Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.
Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав суворі визначення багатьом поняттям матану та заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, тому що довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема більш вбивча за іншу. У цьому зв'язку ми поки не розглядатимемо визначення межі по Коші, а спробуємо зробити дві речі:
1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.
Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.
Отже, що таке межа?
А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….
Будь-яка межа складається з трьох частин:
1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .
Сам запис 
читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».
Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, 
, ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.
Як вирішити вищезгаданий приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:
Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.
Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!
Приклад із нескінченністю:
Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.
А що в цей час відбувається з функцією?
, , 
, …
Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:
Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.
Ще один приклад із нескінченністю:
Знову починаємо збільшувати до нескінченності і дивимося на поведінку функції: 
Висновок: при функція необмежено зростає:
І ще серія прикладів:
Будь ласка, спробуйте самостійно подумки проаналізувати наступне і запам'ятайте найпростіші види меж:
, , , , 
, , , , 
,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .
! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.
Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч із мільйоном: , то все одно 
, оскільки рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.
Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?
1) Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.
2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як 
, , і т.д.
Більше того, межа має дуже хороший геометричний зміст. Для кращого розуміння теми рекомендую ознайомитись із методичним матеріалом Графіки та властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, а й познайомитеся з цікавими випадками, коли межі функції взагалі не існує!
На практиці, на жаль, подарунків небагато. А тому переходимо до розгляду складніших меж. До речі, на цю тему є інтенсивний курсу pdf-форматі, який особливо корисний, якщо у вас дуже мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірші:
Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени
Приклад:
Обчислити межу 
Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.
Як вирішувати межі цього типу?
Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.
Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь знаменника дорівнює двом.
Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.
Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.
Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.
Що важливо в оформленні рішення?
По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.
По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.
По-третє, межі бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так: 
Для позначок краще використовувати простий олівець.
Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, можливо, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові запитання. А воно Вам потрібне?
Приклад 2
Знайти межу 
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені: 
Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Згідно з нашим алгоритмом, для розкриття невизначеності ділимо чисельник і знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Приклад 3
Знайти межу 
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.
Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.
Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення
Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.
Приклад 4
Вирішити межу 
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб: 
В даному випадку отримана так звана невизначеність.
Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.
Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.
Отже, вирішуємо нашу межу 
Розкладемо чисельник і знаменник на множники
Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння: 
Спочатку знаходимо дискримінант:
І квадратний корінь із нього: .
Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.
! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання помилки.
Далі знаходимо коріння: 
Таким чином:
Всі. Чисельник на множники розкладено.
Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.
Очевидно, що можна скоротити на :
Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:
Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:
Розкладемо чисельник на множники. 
Приклад 5
Обчислити межу 
Спочатку «чистовий» варіант рішення
Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Чисельник:
Знаменник: 
, 
Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.
Рекомендація: Якщо в межі (майже будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більше того, такі числа доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Та просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити під час рішення.
Зауважте, що на заключному етапі рішення я виніс за значок межі двійку, а потім – мінус.
! Важливо
У результаті рішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. Скорочувати такий дрібне можна
. Спочатку потрібно поміняти знак у чисельника чи знаменника (винести -1 за дужки).
тобто з'являється знак «мінус», який при обчисленні межі враховується і втрачати його зовсім не потрібно.
Взагалі, я помітив, що найчастіше у знаходженні меж даного типу доводиться вирішувати два квадратні рівняння, тобто і в чисельнику і знаменнику знаходяться квадратні тричлени.
Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз
Продовжуємо розглядати невизначеність виду
Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.
Приклад 6
Знайти межу 
Починаємо вирішувати.
Спочатку пробуємо підставити 3 у вираз під знаком межі
Ще раз повторюю – це перше, що потрібно виконувати для будь-якої межі. Ця дія зазвичай проводиться подумки або на чернетці.
Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати. 
Як Ви, напевно, помітили, у нас у чисельнику є різниця коренів. А коріння в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися. Навіщо? А без них життя простіше.
Основні елементарні функції розібралися.
При переході до функцій складнішого виду ми обов'язково зіткнемося з появою виразів, значення яких не визначено. Такі вирази називають невизначеності.
Перерахуємо все основні види невизначеностей: нуль ділити на нуль (0 на 0 ), нескінченність ділити на нескінченність , нуль помножити на нескінченність , нескінченність мінус нескінченність , одиниця в ступеня нескінченність , нуль в ступеня нуль , нескінченність у ступеня нуль .
ВСІ ІНШІ ВИРАЗИ НЕВИЗНАЧЕННЯМИ НЕ Є ТА ПРИЙМАЮТЬ ЦІЛКОМ КОНКРЕТНЕ КІНЦЕВЕ АБО БЕЗКІНЦЕВЕ ЗНАЧЕННЯ.
Розкривати невизначеностідозволяє:
- спрощення виду функції (перетворення виразу з використанням формул скороченого множення, тригонометричних формул, домноженням на сполучені вирази з подальшим скороченням тощо);
- використання чудових меж;
- застосування правила Лопіталя;
- використання заміни нескінченно малого виразу йому еквівалентним (використання таблиці еквівалентних нескінченно малих).
Згрупуємо невизначеності в таблицю невизначеностей. Кожному виду невизначеності поставимо у відповідність метод її розкриття (метод знаходження межі).
Ця таблиця разом із таблицею меж основних елементарних функцій будуть Вашими головними інструментами під час перебування будь-яких меж.
Наведемо кілька прикладів, коли все відразу виходить після підстановки значення і невизначеності не виникають.
приклад.
Обчислити межу 
Рішення.
Підставляємо значення: 
І одразу отримали відповідь.
Відповідь:
приклад.
Обчислити межу 
Рішення.
Підставляємо значення х=0 в основу нашої показово статечної функції: 
Тобто межу можна переписати у вигляді 
Тепер займемося показником. Це є статечна функція. Звернемося до таблиці меж для статечних функцій із негативним показником. Звідти маємо 
і 
, отже, можна записати 
.
Виходячи з цього, наша межа запишеться у вигляді: 
Знову звертаємося до таблиці меж, але вже для показових функцій з основою великої одиниці, звідки маємо:
Відповідь:
Розберемо на прикладах із докладними рішеннями розкриття невизначеностей перетворенням виразів.
Дуже часто вираз під знаком межі потрібно трохи перетворити, щоб позбавитися невизначеностей.
приклад.
Обчислити межу
Рішення.
Підставляємо значення: 
Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу розв'язання. Пробуємо спростити вираз. 
Відповідь:
приклад.
Обчислити межу 
Рішення.
Підставляємо значення: 
Прийшли до невизначеності (0 на 0). Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Домножимо і чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний з знаменником.
Для знаменника сполученим виразом буде 
Знаменник ми примножували для того, щоб можна було застосувати формулу скороченого множення – різницю квадратів і потім скоротити отриманий вираз. 
Після низки перетворень невизначеність зникла.
Відповідь:
ЗАУВАЖЕННЯ:Для меж подібного виду спосіб примноження на сполучені вирази є типовим, так що сміливо користуйтеся.
приклад.
Обчислити межу 
Рішення.
Підставляємо значення: 
Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Так як і чисельник і знаменник звертаються в нуль при х = 1, якщо ці вирази, можна буде скоротити (х-1) і невизначеність зникне.
Розкладемо чисельник на множники: 
Розкладемо знаменник на множники: 
Наша межа набуде вигляду: 
Після перетворення невизначеність розкрилася.
Відповідь:
Розглянемо межі на нескінченності від статечних виразів. Якщо показники статечного вираження позитивні, то межа на нескінченності нескінченна. Причому основне значення має найбільший рівень, інші можна відкидати.
приклад.
приклад.
Якщо вираз під знаком межі є дріб, причому і чисельник і знаменник є статечні вирази (m - ступінь чисельника, а n - ступінь знаменника), то при виникає невизначеність виду нескінченність на нескінченність , в цьому випадку невизначеність розкриваєтьсярозподілом і чисельник і знаменник на
приклад.
Обчислити межу 
Елементарні функції та їх графіки.
Основними елементарними функціями вважаються: статечна функція, показова функція, логарифмічна функція, тригонометричні функції та зворотні тригонометричні функції, а також багаточлен та раціональна функція, яка є відношенням двох багаточленів.
До елементарних функцій відносяться і ті функції, які виходять з елементарних шляхом застосування основних чотирьох арифметичних дій та утворення складної функції.
Графіки елементарних функцій
| Пряма лінія- графік лінійної функції y = ax + b. Функція y монотонно зростає при a > 0 і зменшується при a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
| Парабола- графік функції квадратного тричлена у = ах 2 + bх + с. Має вертикальну вісь симетрії. Якщо а > 0 має мінімум, якщо а< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + с = 0 | |
 | Гіперболу- графік функції . При а > Про розташована в І і ІІІ чвертях, при а< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) або у - - х(а< 0). |
 | Показова функція. експонента(Показова функція на підставі е) у = е x. (Інше написання у = ехр(х)). Асимптота – вісь абсцис. |
 | Логарифмічна функція y = log a x(a > 0) |
 | у = sinx. Синусоїда- періодична функція з періодом Т = 2π |
Межа функції.
Функція y=f(x) має число А межею при прагненні хка, якщо для будь-якого числа ε › 0 знайдеться таке число δ › 0, що | y – A | ‹ якщо якщо |х - а| ‹ δ,
або lim у = A
Безперервність функції.
Функція y=f(x) безперервна у точці х = а, якщо lim f(x) = f(а), тобто.
межа функції у точці х = а дорівнює значенню функції у цій точці.
Знаходження меж функций.
Основні теореми про межі функцій.
1. Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині:
2. Межа алгебраїчної суми дорівнює сумі алгебри меж цих функцій:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. Межа добутку кількох функцій дорівнює добутку меж цих функцій:
lim (f * g * h) = lim f * lim g * lim h
4. Межа приватного двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює 0:
lim ------- = ----------
Перша чудова межа: lim --------- = 1
Друга чудова межа: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
Приклади знаходження меж функций.
5.1. Приклад:
Будь-яка межа складається з трьох частин:
1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше – саме х, хоча замість «ікса» може бути будь-яка інша змінна. На місці одиниці може бути абсолютно будь-яке число, а також нескінченність 0 або .
3) Функції під знаком межі, у разі .
Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».
Дуже важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? Вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці і з нею збігаються.
Як вирішити вищезгаданий приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:
Отже, перше правило : Коли дано межу, треба спочатку просто підставити число у функцію
5.2. Приклад із нескінченністю:
Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли зростає необмежено.
Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:
Згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо у функцію нескінченність та отримуємо відповідь.
5.3. Ще один приклад із нескінченністю:
Знову починаємо збільшувати до безкінечності, і дивимося на поведінку функції.
Висновок: функція необмежено зростає
5.4. Серія прикладів:
Спробуйте самостійно подумки проаналізувати наведені нижче приклади і вирішити найпростіші види меж:
, , , , 
, , , , 
,
Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?
Коли дано будь-яку межу, спочатку просто підставити число у функцію. При цьому Ви повинні розуміти і одразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.
6. Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення.
Тепер ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, у чисельнику і знаменнику якої перебувають багаточлени.
6.1. Приклад:
Обчислити межу 
Згідно з нашим правилом спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що = 1, і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.
Як вирішувати межі цього типу?
Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.
Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені: 
Старший ступінь знаменника дорівнює двом.
Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.
Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник та знаменник на у старшому ступені.
Отже, відповідь , а не 1.
приклад
Знайти межу 
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:
Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Згідно з нашим алгоритмом, для розкриття невизначеності ділимо чисельник і знаменник на .
приклад
Знайти межу 
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:
Розділимо чисельник та знаменник на
потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники
Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:
приклад
Обчислити межу 
Спочатку "дубовий" варіант рішення, підставимо х = 2:
Розкладемо чисельник і знаменник на множники.
Чисельник:
Знаменник: 
, 
При обчисленні меж слід враховувати такі основні правила:
1. Межа суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) меж доданків:
2. Межа добутку функцій дорівнює добутку меж співмножників:
3. Межа відносини двох функцій дорівнює відношенню меж цих функцій:
.
4. Постійний множник можна виносити за знак межі:
.
5. Межа постійної дорівнює найпостійнішій:
6. Для безперервних функцій символи межі та функції можна поміняти місцями:
.
Знаходження межі функції слід починати з підстановки значення вираз для функції. При цьому якщо виходить числове значення 0 або ¥, то межу знайдено.
приклад 2.1.Обчислити межу.
Рішення.
.
Вирази виду , , , , , називаються невизначеності.
Якщо виходить невизначеність виду , то знаходження межі необхідно перетворити функцію те щоб розкрити цю невизначеність.
Невизначеність виду зазвичай виходить, коли задана межа відношення двох багаточленів. У цьому випадку для обчислення межі рекомендується розкласти багаточлени на множники і скоротити на загальний множник. Цей множник дорівнює нулю при граничному значенні х .
приклад 2.2.Обчислити межу.
Рішення.
Підставляючи, отримаємо невизначеність:
.
Розкладемо чисельник і знаменник на множники:
;
Скоротимо на загальний множник та отримаємо
Невизначеність виду виходить, коли задана межа відношення двох багаточленів при . У цьому випадку для обчислення рекомендується розділити обидва багаточлени на х у старшому ступені.
приклад 2.3.Обчислити межу.
Рішення.При підстановці ∞ виходить невизначеність виду, тому розділимо всі члени виразу на x 3.
.
Тут враховується, що .
При обчисленні меж функції, що містить коріння, рекомендується помножити і розділити функцію на сполучене вираз.
Приклад 2.4.Обчислити межу
Рішення.
При обчисленні меж для розкриття невизначеності виду або (1) ∞ часто використовуються перші та другі чудові межі:
До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини.
Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, який дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад.
Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од.
Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100 × 1,5 = 150, а ще через півроку – у 150 × 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100×(1+1/3)3»237 (ден. од.).
Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. од.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. од.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. од.).
При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що
приклад 2.5.Обчислити межу функції
Рішення.
приклад 2.6.Обчислити межу функції 
.
Рішення.Підставляючи отримаємо невизначеність:
.
Використовуючи тригонометричну формулу, перетворюємо чисельник у твір:
В результаті отримуємо
Тут враховується друга чудова межа.
Приклад 2.7.Обчислити межу функції
Рішення.
.
Для розкриття невизначеності виду або можна використовувати правило Лопіталю, яке ґрунтується на наступній теоремі.
Теорема.Межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює межі відношення їх похідних
Зауважимо, що це правило можна застосовувати кілька разів поспіль.
приклад 2.8.Знайти
Рішення.При підстановці маємо невизначеність виду. Застосовуючи правило Лопіталя, отримаємо
Безперервність функції
Важливою властивістю функції є безперервність.
Визначення.Функція вважається безперервний, якщо мінімальна зміна значення аргументу тягне у себе мінімальна зміна значення функції.
Математично це записується так: при 
Під і розуміється збільшення змінних, тобто різницю між наступним і попереднім значеннями: , (Малюнок 2.3)
 Малюнок 2.3 – Збільшення змінних |
З визначення функції , безперервної в точці , випливає, що 
. Ця рівність означає виконання трьох умов: 
Рішення.Для функції точка є підозрілою на розрив, перевіримо це, знайдемо односторонні межі
Отже, 
значить - точка усуненого розриву
Похідна функції