Для будь-якої монотонної обмеженої послідовності існує. Числові послідовності

Визначення 1. Послідовність називається неубутньою [незростаючою], якщо кожен елемент послідовності, починаючи з другого, не менший [не більше) попереднього її елемента, тобто якщо для всіх номерів справедлива нерівність

Визначення 2. Послідовність називається монотонною, якщо вона є або меншою, або незростаючою.

Якщо елементи незабутньої послідовності всім номерів задовольняють строгому нерівності то цю послідовність називають зростаючою.

Аналогічно, якщо елементи послідовності, що не збільшується, для всіх номерів задовольняють суворій нерівності, то цю послідовність називають спадною.

Зауважимо, що будь-яка монотонна послідовність свідомо обмежена з одного боку (або зверху, або знизу). Справді, будь-яка незнижена послідовність обмежена знизу (як нижню грань можна взяти величину її першого елемента), а всяка послідовність, що не зростає, обмежена зверху (як верхня грань також можна взяти величину її першого елемента).

Звідси випливає, що незнижена послідовність буде обмеженою з обох сторін, або просто обмеженою, тоді і тільки тоді, коли вона обмежена зверху, а послідовність, що не зростає, буде обмеженою тоді і тільки тоді, коли вона обмежена знизу.

Розглянемо приклади монотонних послідовностей.

1. Послідовність є незабутньою. Вона обмежена знизу величиною першого елемента, а зверху не обмежена.

2. Послідовність є спадною. Вона обмежена по обидва боки: зверху величиною свого першого елемента 2, а знизу, наприклад, числом 1.

Визначення. Послідовність (x n ) називається обмеженоюякщо існує таке число М>0, що для будь-якого nвірна нерівність:

тобто. усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Наприклад, послідовності 20), 30), 40), 50) – обмежені, а послідовність 10) – необмежена.

Безпосередньо з визначення обмеженої послідовності та визначення межі послідовності випливає теорема:

Теорема. Якщо x n ® a, то послідовність (x n ) обмежена.

Слід зазначити, що зворотне твердження не так, тобто. з обмеженості послідовності не випливає її збіжність.

Наприклад, послідовність не має межі, хоча

Визначення. Послідовність (x n )називається обмеженою зверху, якщо для будь-кого nІснує таке число М, що x n £ M.

приклад.(x n ) = 3n – обмежена знизу (3, 6, 9, …).

Монотонні послідовності.

Визначення. 1) Якщо x n +1 > x n всім n, то послідовність зростаюча.

2) Якщо x n +1 ³ x n для всіх n, то послідовність незнижена.

3) Якщо x n +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.

4) Якщо x n +1 £ x n всім n, то послідовність невозрастающая

Всі ці послідовності називаються монотонними.Зростаючі та спадні послідовності називаються суворо монотонними.

приклад.(x n ) = 1/n – спадна та обмежена

(x n ) = n – зростаюча та необмежена.

приклад.Довести, що послідовність (xn) = монотонна зростаюча.

Рішення.Знайдемо член послідовності (x n +1) =

Знайдемо знак різниці: (x n )-(x n +1 )=

, т.к. nÎN, то знаменник позитивний за будь-якого n.

Отже, x n +1 > x n . Послідовність зростаюча, як і слід було довести.

приклад.З'ясувати є зростаючою чи спадною послідовність

Рішення.Знайдемо. Знайдемо різницю

Т.к. nÎN, то 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з одного боку.

Теорема. Монотонна обмежена послідовність має межу.

Доведення. Розглянемо монотонну неубутню послідовність

х 1 £ х 2 £ х 3 £ … £ х n £ x n +1 £ …

Ця послідовність обмежена зверху: x n £ M, де М – кілька.

Т.к. будь-яке, обмежене зверху, числова множина має чітку верхню грань, то для будь-якого e>0 існує таке число N, що x N > a - e, де а - деяка верхня грань множини.

Т.к. (x n )- Незменшуюча послідовність, то при N > n а - e< x N £ x n ,

Звідси a - e< x n < a + e

E< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

Для інших монотонних послідовностей підтвердження аналогічне.

Теорему доведено.

§3. Число е.

Розглянемо послідовність (xn) = .

Якщо послідовність (x n ) монотонна та обмежена, то вона має кінцеву межу.

За формулою бінома Ньютона:

Або, що те саме

Покажемо, що послідовність (x n ) - Зростаюча. Дійсно, запишемо вираз x n +1 і порівняємо його з виразом x n:

Кожне доданок у виразі x n +1 більше відповідного значення x n і, крім того, у x n +1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність (x n) зростаюча.

Доведемо тепер, що за будь-якого n її члени не перевищують трьох: x n< 3.

Отже, послідовність - монотонно зростаюча і обмежена згори, тобто. має кінцеву межу. Цю межу прийнято позначати буквою е.

З нерівності випливає, що е £ 3. Відкидаючи в рівності для (x n ) всі члени, починаючи з четвертої, маємо:

переходячи до межі, отримуємо

Таким чином, число е укладено між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів ряду, можна отримати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне та його значення дорівнює 2,71828.

Аналогічно можна показати, що , Розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо:

Число е є основою натурального логарифму.

Вище представлено графік функції y = lnx.

Зв'язок натурального та десяткового логарифмів.

Нехай х = 10 у, тоді lnx = ln10 y, отже lnx = yln10

у = де М = 1/ln10 » 0,43429 ... - модуль переходу.

§4. Поняття межі функції.

4.1. Межа функції у точці.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Нехай функція f(x) визначена в околиці точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути і не визначена)

Визначення. Число А називається межеюфункції f(x) при х®а, якщо для будь-якого e>0 існує таке число D>0, що для всіх х таких, що

ix - aï< D

вірна нерівність ïf(x) - Aï< e.

Те саме визначення може бути записано в іншому вигляді:

Якщо а - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запис межі функції у точці:

Основні теореми про межі.

Теорема 1. де С = const.

Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) та g(x) мають кінцеві межі при х®а.

Теорема 2.

Доказ цієї теореми буде наведено нижче.

Теорема 3.

Слідство.

Теорема 4. при

Теорема 5. Якщо f(x)>0 поблизу точки х = а і , то А>0.

Аналогічно визначається знак межі за f(x)< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Якщо g(x) £ f(x) £ u(x) поблизу точки х = а і , і .

Визначення. Функція f(x) називається обмеженоюпоблизу точки х = а, якщо існує таке число М>0, що ïf(x)ï

Теорема 7. Якщо функція f(x) має кінцеву межу при х®а, вона обмежена поблизу точки х = а.

Доведення. Нехай, тобто. тоді

Де М = e + ïАï

Теорему доведено.

4.2. Односторонні межі.

Визначення. Якщо f(x) ® A 1 при х ® а лише за x< a, то - называется межеюфункції f(x) у точці х = а зліва, а якщо f(x) ® A 2 при х ® а лише за x > a, то називається межеюфункції f(x) у точці х = а справа.

Наведене вище визначення відноситься до випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій скільки завгодно малої околиці цієї точки.

Межі А 1 та А 2 називаються також односторонніми межамифункції f(x) у точці х = а. Також кажуть, що А – кінцева межафункції f(x).

4.3.Межа функції при прагненні аргументу до нескінченності.

Визначення. Число А називається межеюфункції f(x) при х®¥, якщо для будь-якого числа e>0 існує таке число М>0, що для всіх х, ïхï>M виконується нерівність

Визначення 1. Послідовністьназивається спадаючою (незростаючою ), якщо для всіх
виконується нерівність
.

Визначення 2. Послідовність
називається зростаючою (невпадаючою ), якщо для всіх
виконується нерівність
.

Визначення 3. Зменшувальні, незростаючі, зростаючі та неубутні послідовності називаються монотонними послідовностями, спадні та зростаючі послідовності називають також суворо монотонними послідовності.

Очевидно, що незнижена послідовність обмежена знизу, послідовність, що не зростає, обмежена зверху. Тому будь-яка монотонна послідовність свідомо обмежена з одного боку.

приклад 1. Послідовність
зростає, не зменшується,
зменшується,
не зростає,
- Немонотонна послідовність.

Для монотонних послідовностей важливу роль відіграє

Теорема 1. Якщо незнижена (незростаюча) послідовність обмежена зверху (знизу), вона сходиться.

Доведення. Нехай послідовність
не зменшується і обмежена зверху, тобто.
і безліч
обмежена зверху. По теоремі 1 § 2 існує
. Доведемо, що
.

Візьмемо
довільно. Оскільки а- Точна верхня межа, існує номер N такий, що
. Так як послідовність незнижена, то для всіх
маємо, тобто.
тому
для всіх
, А це і означає, що
.

Для незростаючої послідовності, обмеженої знизу, доказ проводиться аналогічно ( студенти можуть довести це твердження вдома самостійно). Теорему доведено.

Зауваження. Теорему 1 можна сформулювати інакше.

Теорема 2. Для того, щоб монотонна послідовність сходилася, необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена.

Достатність встановлена у теоремі 1, необхідність – у теоремі 2 § 5.

Умова монотонності не є необхідною для збіжності послідовності, оскільки послідовність, що сходить, не обов'язково монотонна. Наприклад, послідовність
не монотонна, проте сходиться до нуля.

Слідство. Якщо послідовність
зростає (зменшується) і обмежена зверху (знизу), то
(
).

Дійсно, за теоремою 1
(
).

Визначення 4. Якщо
при
, то послідовність називається стягується системою вкладених відрізків .

Теорема 3 (принцип вкладених відрізків). У будь-якої системи вкладених відрізків, що стягується, існує, і до того ж єдина, точка з, Що належить усім відрізкам цієї системи.

Доведення. Доведемо, що точка зІснує. Оскільки
, то
і, отже, послідовність
не зменшується, а послідовність
не зростає. При цьому
і
обмежені, оскільки. Тоді за теоремою 1 існують
і
, але так як
, то
=
. Знайдена точка зналежить всім відрізкам системи, оскільки за наслідком теореми 1
,
, тобто.
для всіх значень n.

Покажемо тепер, що точка з- Єдина. Припустимо, що таких точок дві: зі dі нехай для визначеності
. Тоді відрізок
належить усім відрізкам
, тобто.
для всіх n, що неможливо, тому що
і, отже, починаючи з деякого номера,
. Теорему доведено.

Зазначимо, тут істотно те, що розглядаються замкнуті проміжки, тобто. відрізки. Якщо розглянути систему інтервалів, що стягуються, то принцип, взагалі кажучи, неправильний. Наприклад, інтервали
, очевидно, стягуються в крапку
, проте точка
не належить жодному інтервалу цієї системи.

Розглянемо тепер приклади монотонних послідовностей, що сходяться.

1) Число е.

Розглянемо тепер послідовність
. Як вона поводиться? Заснування

ступеня
тому
? З іншого боку,
, а
тому
? Чи межа не існує?

Щоб відповісти на ці питання, розглянемо допоміжну послідовність
. Доведемо, що вона зменшується і обмежена знизу. При цьому нам буде потрібна

Лемма. Якщо
, то для всіх натуральних значень nмаємо

(Нерівність Бернуллі).

Доведення. Скористаємося методом математичної індукції.

Якщо
, то
, тобто. нерівність вірна.

Припустимо, що воно вірне для
і доведемо його справедливість для
+1.

Правильно
. Помножимо цю нерівність на
:

Таким чином, . Отже, згідно з принципом математичної індукції, нерівність Бернуллі правильна для всіх натуральних значень n. Лемма доведена.

Покажемо, що послідовність
зменшується. Маємо

‌‌‌׀нерівність Бернуллі׀
,А це і означає, що послідовність
зменшується.

Обмеженість знизу випливає з нерівності
‌‌‌׀нерівність Бернуллі׀
для всіх натуральних значень n.

За теоремою 1 існує
, який позначають буквою е. Тому
.

Число еірраціонально та трансцендентно, е= 2,718281828…. Воно є, як відомо, основою натуральних логарифмів.

Зауваження. 1) Нерівність Бернуллі можна використовувати для доказу того, що
при
. Справді, якщо
, то
. Тоді, за нерівністю Бернуллі,
. Звідси при
маємо
, тобто
при
.

2) У розглянутому вище прикладі основа ступеня прагне до 1, а показник ступеня n- До , тобто має місце невизначеність виду . Невизначеність такого виду, як ми показали, розкривається за допомогою чудової межі
.

2)
(*)

Доведемо, що це послідовність сходиться. Для цього покажемо, що вона обмежена знизу та не зростає. При цьому скористаємося нерівністю
для всіх
, яке є наслідком нерівності
.

Маємо
див. нерівність вище
, тобто. послідовність обмежена знизу числом
.

Далі,
так як

, тобто. послідовність не зростає.

За теоремою 1 існує
, який позначимо х. Переходячи в рівності (*) до межі при
, отримаємо

, тобто.
, звідки
(беремо знак «плюс», оскільки всі члени послідовності є позитивними).

Послідовність (*) застосовується при обчисленні
приблизно. За беруть будь-яке позитивне число. Наприклад, знайдемо
. Нехай
. Тоді
,. Таким чином,
.

3)
.

Маємо
. Оскільки
при
, існує номер N, такий, що для всіх
виконується нерівність
. Таким чином, послідовність
, починаючи з деякого номера N, зменшується і обмежена знизу, оскільки
для всіх значень n. Отже, за теоремою 1 існує
. Оскільки
, маємо
.

Отже,
.

4)
, справа – n коріння.

Методом математичної індукції покажемо, що
для всіх значень n. Маємо
. Нехай
. Тоді звідси отримуємо твердження за принципом математичної індукції. Використовуючи цей факт, бачимо, тобто. послідовність
зростає та обмежена зверху. Тому існує, оскільки
.

Таким чином,
.

Елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають. Подібні послідовності часто зустрічаються при дослідженнях і мають низку відмінних рис та додаткових властивостей. Послідовність з одного числа не може вважатися зростаючою або меншою.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5
Нехай є безліч X (\displaystyle X), на якому введено відношення порядку.
Послідовність елементів множини X (\displaystyle X)називається невпадаючою якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- Незменшується ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))
Послідовність ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))елементів множини X (\displaystyle X)називається незростаючою якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- Незростаюча ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))
Послідовність ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))елементів множини X (\displaystyle X)називається зростаючою якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- Зростаюча ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}
Послідовність ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))елементів множини X (\displaystyle X)називається спадаючою якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.
( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- спадна ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))
монотонної, якщо вона є незнищувальною, або незростаючою.
Послідовність називається суворо монотонної, якщо вона є зростаючою, чи спадною.
Очевидно, що монотонна послідовність є монотонною.
Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «невипадна послідовність», а термін «зменшується послідовність» - як синоніму терміну «незростаюча послідовність». У такому разі зростаючі та спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадаючими», відповідно.

Проміжки монотонності

Може виявитися, що вищезазначені умови виконуються не для всіх номерів n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) ), а лише для номерів з деякого діапазону
I = ( n ∈ N ∣ N − ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n
(тут допускається звернення правого кордону N + (\displaystyle N_(+))у нескінченність). У цьому випадку послідовність називається монотонної на проміжку I (\displaystyle I) , а сам діапазон I (\displaystyle I)називається проміжком монотонності послідовності.

Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність деяке дійсне число x n , то кажуть, що задана числова послідовність
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 називають членом послідовності з номером 1 або першим членом послідовності, число x 2 - членом послідовності з номером 2 або другим членом послідовності і т.д. Число x n називають членом послідовності з номером n.
Існують два способи завдання числових послідовностей – за допомогою та за допомогою рекурентної формули.
Завдання послідовності за допомогою формули загального члена послідовності- Це завдання послідовності
x 1 , x 2 , … x n , …
за допомогою формули, що виражає залежність члена x n від номера n .
приклад 1 . Числова послідовність
1, 4, 9, … n 2 , …
задана за допомогою формули загального члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Завдання послідовності за допомогою формули, що виражає член послідовності x n через члени послідовності з попередніми номерами, називають завданням послідовності за допомогою рекурентної формули.
x 1 , x 2 , … x n , …
називають зростаючою послідовністю, більшепопереднього члена.
Іншими словами, для всіх n
x n + 1 >x n
Приклад 3 . Послідовність натуральних чисел
1, 2, 3, … n, …
є зростаючою послідовністю.
Визначення 2. Числову послідовність
x 1 , x 2 , … x n , …
називають спадною послідовністю,якщо кожен член цієї послідовності меншепопереднього члена.
Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність
x n + 1 < x n
Приклад 4 . Послідовність
задана формулою
є спадною послідовністю.
Приклад 5 . Числова послідовність
1, - 1, 1, - 1, …
задана формулою
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не є ні зростаючою, ні спадаючоюпослідовністю.
Визначення 3. Зростаючі та спадні числові послідовності називають монотонними послідовностями.
Обмежені та необмежені послідовності
Визначення 4. Числову послідовність
x 1 , x 2 , … x n , …
називають обмеженою зверху,якщо існує таке число M, кожен член цієї послідовності меншечисла M.
Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність
Визначення 5. Числову послідовність
x 1 , x 2 , … x n , …
називають обмеженою знизу,якщо існує таке число m, кожен член цієї послідовності більшечисла m.
Іншими словами, для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність
Визначення 6. Числову послідовність
x 1 , x 2 , … x n , …
називають обмеженою, якщо вона обмежена і згори, і знизу.
Іншими словами, існують такі числа M та m, що для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність
m< x n < M
Визначення 7. Числові послідовності, які не є обмеженими, називають необмеженими послідовностями.
Приклад 6 . Числова послідовність
1, 4, 9, … n 2 , …
задана формулою
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
обмежена знизунаприклад, числом 0. Однак ця послідовність необмежена зверху.
Приклад 7 . Послідовність
задана формулою
є обмеженою послідовністю, оскільки для всіх n= 1, 2, 3, … виконано нерівність
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «Резольвента» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ та ОДЕ з математики.
Для школярів, які бажають добре підготуватися та здати ЄДІ з математики чи російської мовина високий бал, навчальний центр "Резольвента" проводить
підготовчі курси для школярів 10 та 11 класів

Для будь-якої монотонної обмеженої послідовності існує. Числові послідовності

Енциклопедичний YouTube

Проміжки монотонності

Обмежені та необмежені послідовності