Теорема про існування найменшої верхньої грані. Існування точної верхньої грані у обмеженої зверху множини

ОПР1.

ОПР2. точною верхньою граннюі позначається sup A.

ОПР2'.

ПТВ.ОПР2. ó ОПР2 '.

=> виконано ОПР2, тобто. М = sup A – найменш.з усіх верхніх граней => М – верхня грань мн-ва А => (Тобто виконано 1) ОПР2').

Д-м 2) від протилежного, тобто. верхня грань мн-ва А, причому М – не найменша верхня грань – протиріччя, т.к.М – верхня грань => виконано св-во 2) ОПР2 '.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Т.к. M’ по виору верх. Межа мн-ва А, сл-но, М – найменша верхня грань мн-ва А => виконується ОПР2.

Білет № 2 стор2

ОПР3.

ОПР4. точною нижньою граннюі позначається inf A.

ОПР4'.

ПТВ.ОПР4. ó ОПР4’

Доводиться аналогічно з ПТВ.ОПР2. ó ОПР2 '.

ТЕОРЕМА!

ДОК-ВО!

Примітка:якщо мн-во А не обмежена зверху => він не має верхніх граней =>

Квиток №1 «ОБМЕЖЕНІ І НЕОБМЕЖЕНІ МНОЖИВОСТІ. ПРИКЛАДИ».

ОПР1:мн-во А назив. обмеженим зверхуякщо . І тут М – верх. грань мн-ва А.

Приклад: А обмежено згори. М = 3 – верхня грань. Будь-яке число більше 3 – верхня грань.

ОПР2:мн-во А назив. обмеженим знизуякщо . І тут m – нижня. грань мн-ва А.

Приклад:

N – обмежено знизу. m = 1 – нижня грань. Будь-яке число менше 1 буде нижньою гранню.

ОПР3:мн-во А назив. обмеженим, якщо вона обмежена згори і знизу, тобто. .

ОПР3':мн-во А назив. обмеженим, якщо

ДОКАЖЕМО,ЩО ОПР3 ó ОПР3'

=> Н.Д. ОПР3 => ОПР3'

Маємо: Нехай

Тобто. виконано ОПР3’

<= Н.Д. ОПР3’ =>ОПР3

Маємо: ,Тобто. виконано ОПР3.

ОПР4.Мн - в А називається необмеженим, якщо

Білет № 3 «ЧИСЛОВІ НАСЛІДНОСТІ».

ОПР.Якщо до кожного натур числу ставити відповідно діє число за деяким законом, то занумер мн-во чисел , Наз-ся числовий послід. позначимо число наслід. ; числа - Елементи послід.

Приклад:

ОПР.Число а наз-ся межею послід. , якщо (для будь-якого стану числа )

Позначається:

Приклад:

Позначає: околиця т.а.

Білет № 4 «Б.М. ПІСЛЯ ТА ЇХ СВ-ВА (2 ТЕОРЕМИ)».

ОПР.Послід наз-ся нескінченно малою (б.м.), якщо

Приклад: б.м.послед.

СВ-ВА:

ТЕОРЕМА_1 !!!нехай і - б.м. слід, тоді:

1) Слід б.м.послед.

2) Слід б.м.послед.

ДОК-ВО!

1) дано: б.м, тобто.

Д-м, що б.м. послід, тобто.

Виберемо і позначимо його.

Т.к. б.м. => для числа ,

Б.М. => для числа

Т.к. поклади число =>

2) Д-м, що б.м.послед.

Вибираємо та позначимо його.

Б.М. => для числа ,

Б.М. => для числа

Білет № 4 стр2

Т.к. полож число => виконується опр. б.м. для , тобто. б.м.

ТЕОРЕМА_2 !!!

Нехай б.м.послед, обмеж. позитивна послід, тоді б.м.позитивна наслід.

ОПР.Слід. обмеж. якщо

ДОК-ВО!

Фіксуємо.

Обмеж. =>

Б.м.послед. => для

Наслідок:

Нехай б.м. Тоді для послід б.м.

Справді, розглянути. послід.

Огр. послід. б.м, тому що б.м.

Приклад:

Т.О. по ТЕОРЕМІ_2!

Примітка:

З ТЕОРЕМИ_1! Випливає, що

1) сума будь-якого кінцевого числа б. послід. є б.м.послед.

2) добуток будь-якого кінцевого числа б.м. послід. є б.м. послід.

Білет № 5 «ББ НАСЛІДНОСТІ ТА ЇХ ЗВ'ЯЗОК З БМ НАСЛІДНОСТЯМИ».

ОПР.нехай наз-ся б.б.послед, якщо

Позначимо

ТЕОРЕМА!Нехай б.б.послід., тоді б.м.послід.

ДОК-ВО!

Фіксір. Слід

Т.О.
б.м. послід.

ЗВ'ЯЗОК ББ З БМ ПОСЛІДЖЕННЯМИ.

Б.б. послід. б.м. послід. Зворотня залежність.

Билет 18 властивості меж функцій(а) єдиність межі. Б) обмеженість функцій мають межу.)

Єдиність межі

ТЕОРЕМА!Якщо ф-я має межу при К®0, то він єдності

ДОК-ВО!(від неприємного)

Нехай і

Розглянути X n ¹a "n

Т.к для дан (X n ) наслід-сть

для цієї ( X n ) наслід-сть

Т.о. ( f(x)-ч.п-ть)противор.т.к не може мати

b¹c 2 різної межі Þ в = с

.с

Наслідки

Питання № 22 2а чудова межа

Наслідки

(ан-но а х = lna)

Біл22стр4
Білет 23 властивості БМ функції

квиток 24 бб функції та їх зв'язок з бм

Билет26.еквівалентність бм ф-ий.(таблиця,т.)

квиток26стор.2

Билет25.Порівняння бм ф-ий.

Билет28.Непр-ть ф-ии у точке.2св-ва ф-ии непр-ной у т.п.

біл.28

КВИТОК 30.класифікація точок розриву функції (визначення та приклади)

Нехай f(x) опр. в некіт. U(a) (м.б. викл. Саму т.а.). т.ч. зв-ся точкою розриву ф-ії f (x), якщо f не явл-ся непр-ної в т.ч. нехай т.а.-точка розриву ф-ії f(x).

Опр. 1)т.а.-точка розриву 1-го роду, якщо (тобто сущ. кінцеві односторонні)

2) Якщо, крім того,, то т.а- точка усуненого розриву.

3) т.а.- точка розриву 2-го роду ,якщо вона явл-ся т.розриву 1-го роду.

приклади. 1) y = sgn (x). x=0-т.р.1-го роду,т.к.

2) y = , x = 0 -т. устр.раз-ва,т.к.

3) y = x = 0 -т.р.2-го роду,т.к.

,

Крапка розриву 2-го роду.

3).

,

х=0- точка розриву 2-го роду.

4).

Немає точка х=0- точка розриву 2-го роду.

, . Точка х=0- точка розриву 2-го роду.

Білет № 2 «ВЕРХНЯ І НИЖНЯ ГРАНІ ЧИСЛОВОГО МНОЖИНСТВА. ТЕОРЕМА ПРО СУТНОСТЬ ТОЧНОЇ НИЖНЬОЇ І ВЕРХНЬОЇ ГРАНІ МНОЖЕСТВА.

ОПР1.М – верхня грань мн-ва А якщо .

ОПР2.найменша з усіх верхніх граней мн-ва А, зв-ся точною верхньою граннюі позначається sup A.

ОПР2'.Число М наз-ся точною віхою гранню мн-ва А, якщо

ПТВ.ОПР2. ó ОПР2 '.

=> виконано ОПР2, тобто. М = sup A – найменш.з усіх верхніх граней => М – верхня грань мн-ва А => (Тобто виконано 1) ОПР2').

Д-м 2) від протилежного, тобто. верхня грань мн-ва А, причому М – не найменша верхня грань – протиріччя, т.к.М – верхня грань => виконано св-во 2) ОПР2 '.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Н.д, що М – найменша верхня грань.

Д-м від неприємного, тобто. Нехай М - не найменша верх грань. Познач. по св-ву 2) для цього протиріччя.

Т.к. M’ по виору верх. Межа мн-ва А, сл-но, М – найменша верхня грань мн-ва А => виконується ОПР2.

Білет № 2 стор2

ОПР3. m – нижня грань мн-ва А якщо .

ОПР4.найбільша з усіх нижніх граней мн-ва А, зв-ся точною нижньою граннюі позначається inf A.

ОПР4'.Число m наз-ся точною нижньою гранню мн-ва А, якщо

ПТВ.ОПР4. ó ОПР4’

Доводиться аналогічно з ПТВ.ОПР2. ó ОПР2 '.

ТЕОРЕМА!Будь-яке непусте обмежене зверху (знизу) мн-во має точну верхню (нижню) грань.

ДОК-ВО!Непорожнє мн-во А – обмеж. зверху, тоді мн-во має хоча б одну верхню грань. Нехай Y – мн-у всіх верхніх граней мн-ва А, тобто. , причому мн-во Y непусте, т.к. хоча б одна верхня грань у мн-ва А є.

Т.О. непусті мн-ва А і Y і по св-ву безперервно. дійств. чисел тобто. верхня грань мн-ва А. М = sup А.

Примітка:якщо мн-во А не обмежена зверху => він немає верхніх граней => немає точної верхньої грані. У цьому випадку іноді вважають, що . Аналогічно, якщо мн-во А не обмеж. знизу, то іноді вважають, що

Існування у будь-якого обмеженого зверху (знизу) множини точної верхньої (точної нижньої) грані не є очевидним і потребує доказу. Доведемо таку основну теорему.

Основна теорема 2.1. Якщо безліч чисел, представлених нескінченними десятковими дробами, обмежена зверху (відповідно знизу) і містить хоча б один елемент, то у цієї множини існує точна верхня (відповідно точна нижня) грань.

Доведення. Ми зупинимося лише на доказі існування точної верхньої грані у будь-якої обмеженої зверху множини, бо існування точної нижньої грані у будь-якої обмеженої знизу множини доводиться абсолютно аналогічно.

Отже, нехай множина обмежена зверху, тобто існує таке число М, що кожен елемент х множини задовольняє нерівності

Можуть бути два випадки:

1°. Серед елементів множини є хоча б одне невід'ємне число. 2 °. Усі елементи множини є негативними числами. Ці випадки ми розглянемо окремо.

1°. Розглянемо лише невід'ємні числа, що входять до складу множини Кожне з цих чисел представимо у вигляді нескінченного десяткового дробу та розглянемо цілі частини цих десяткових дробів. У силу нерівності всі цілі частини не перевищують числа М, а тому знайдеться найбільша з цілих частин, яку ми позначимо через Збережемо серед невід'ємних чисел множини ті, у яких ціла частина дорівнює і відкинемо всі інші числа. У збережених чисел розглянемо перші десяткові знаки після коми. Найбільший із цих знаків позначимо через Збережемо серед невід'ємних чисел множини ті, у яких ціла частина дорівнює а перший десятковий знак дорівнює і відкинемо всі інші числа. У збережених чисел розглянемо другі десяткові знаки після коми. Найбільший із цих знаків позначимо через Продовжуючи аналогічні міркування далі, ми послідовно визначимо десяткові знаки деякого числа

Доведемо, що це число х і є точною верхньою гранню множини Для цього достатньо довести два твердження: 1) кожен елемент х множини задовольняє нерівності 2) яке б не було число х, менше х, знайдеться хоча б один елемент х множини, що задовольняє нерівності

Доведемо спочатку затвердження 1). Так як х за побудовою є невід'ємним числом, то будь-який негативний елемент х множини явно задовольняє нерівності

Тому нам достатньо довести, що будь-який невід'ємний елемент х множини задовольняє нерівності.

Припустимо, що деякий невід'ємний елемент не задовольняє нерівності. Тоді і за правилом упорядкування знайдеться номер такий, що Але останні співвідношення суперечать

суперечать тому, що як береться найбільший з десяткових знаків тих елементів яких ціла частина і перші знаків після коми відповідно рівні

Отримане протиріччя доводить твердження 1).

Доведемо тепер твердження 2). Нехай х - будь-яке число, що задовольняє умові Потрібно довести, що існує хоча б один елемент х множини, що задовольняє нерівності

Якщо число х є негативним, то нерівності свідомо задовольняє невід'ємний елемент х множини (за припущенням хоча один такий елемент існує).

Залишається розглянути випадок, коли число х, яке задовольняє умову, є невід'ємним. Нехай З умови та правила впорядкування випливає, що знайдеться номер такий, що

З іншого боку, з побудови числа (2.9) випливає, що для будь-якого номера знайдеться невід'ємний елемент множини такий, у якого ціла частина і всі перші знаків після коми ті ж, що у числа х. Іншими словами, для номера знайдеться елемент х такий, для якого

Обмежена множина. Точні грані

Формула Муавра

Була знайдена А.Муавром у 1707; сучасний її запис запропоновано Л. Ейлером в 1748.

z n =r n e in j =r n(cos n j + i sin n j). (3)

Формула (3) доводиться індукцією за n.

Розмноження комплексних чисел

При цьому вона, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для деякого n, доведемо її для n+1. Маємо:

Для заданого знайдемо, що відповідає рівнянню. Іншими словами, знайдемо корінь n-ой ступеня з комплексного числа. Маємо r n e in j =r e i y n n j=y+2p k, kÎZ r=звідки отримуємо формули

які використовуються для обчислення кореня n-ой ступеня з комплексного числа. Процес знаходження кореня n- ой ступеня з комплексного числа zможна описати так. Якщо це число не дорівнює 0, то такого коріння буде рівно n. Всі вони будуть вершинами правильного n– косинця, вписаного в коло радіусу . Одна з вершин цього багатокутника має рівний аргумент.

приклад. Обчислити. У цьому випадку тому приймає три значення:

Мал. 1.7

Зауваження: Знаки порівняння менше, більше (<, >) не визначені в C .

1.3. Верхня та нижня грані безлічі дійсних чисел

Обмеженість та межі множини.

Обмежена зверху безліч E:$b"xÎ E: x£ b.

b - верхня грань множини:"xÎE:x£ b.

Обмежене знизу безліч:$a"xÎ E: x³ a.

a - нижня грань безлічі:"xÎE: x ³ a.

Точна верхня грань множини: b = sup E – це число, яке задовольняє двом властивостям:

1)(b - верхня грань)"xÎ E: x£ b.

2) (ні меншою) "e> 0 $ xÎ E: x > b- e.

Аналогічно визначається точна нижня грань a = inf E.Обмежена множина E:$b"xÎ E: .

Примітка:Якщо b = sup E, то -b = inf E¢, де E¢- дзеркальне до Eбезліч, E¢={xÎR:(-x)ÎE} .

Теорема 1. У непустої, обмеженої зверху множини існує точна верхня грань.

Доведення:Нехай bверхня грань множини Eі aÎ E.Позначимо через [ a 1 ,b 1 ] відрізок, якщо в ньому є точки з E.В іншому випадку через [ a 1 ,b 1 ] позначимо відрізок

Мал. 1.8

Зазначимо властивості цього збудованого відрізка:

1) "xÎE: x£ b 1 .

2) EÇ[ a 1 ,b 1] ¹ Æ.

Цю процедуру повторимо для [ a 1 ,b 1 ], і т. д. В результаті отримаємо послідовність вкладених відрізків [ a k ,b k], що задовольняють властивостям:

1)"xÎE: x £ b k .

2) EÇ[ a k , b k] ¹ Æ.

Доказ цього проводиться у разі індукції. Припустимо, що побудований відрізок [ a k ,b k] із зазначеними властивостями. Розділимо його навпіл крапкою. Через [ a k + 1 , b k + 1 ] позначимо той із відрізків , який має непустий перетин з E. Якщо обидва містять

Мал. 1.9

крапки з E,то [ a k + 1 , b k + 1] нехай буде правий відрізок. Отриманий відрізок має властивості 1), 2). Довжини цих відрізків b k - a k =(b - a)/ 2kпрагнуть до 0, тому існує однина cзагальне всім цих відрізків. Це число є точною верхньою гранню цієї множини. Дійсно:

1) "xÎ E: x £ c.

Припустимо неприємне: $ xÎ E:x>c, Візьмемо, для нього існує тоді, звідки слідує b n< x , що суперечить умові xÎ[ a n, b n].

Мал. 1.10

2) "e> 0 $ xÎE: x > c - e.

Для будь-якого e існує n: b n - a n< e . Виберемо якесь xÎ[ a n, b n] . З огляду на властивості 1) буде виконано x< c, Крім того

c-x£ b n - a n< e . Таким чином, знайдено потрібне x.

Мал. 1.11

Аналогічно можна довести, що у непустого обмеженого знизу множини існує точна нижня грань.

Теорема 2. Точна верхня грань (якщо вона існує) єдина.

Доведення: Нехай є дві точні грані. b 2 , b 1 , b 1 2 . Візьме e = b 2 - b 1 > 0. Визначення точної верхньої грані (для b 2)$xÎ E: x > b 2 - e = b 1 , що суперечить тому, що b 1 верхня грань.

Мал. 1.12

Зауваження.Аналогічно доводиться, що точна нижня грань єдина.

Якщо E не обмежено згори, то пишуть sup E = + ¥, аналогічно, якщо E не обмежено знизу, то пишуть inf E = -¥ .

Доведемо ще одну теорему, яка спирається на властивість безперервності дійсних чисел.

Терема про існування верхньої (нижньої) грані.Спочатку введемо кілька визначень.

Визначення. Числове безліч Xназивається обмеженим зверху, якщо існує число М таке, що x ≤ Mдля будь-якого елемента xз множини X .

Визначення. Числове безліч Xназивається обмеженим знизу, якщо існує число mтаке, що x ≥ mдля будь-якого елемента xз множини X .

Визначення. Числове безліч Xназивається обмеженим, якщо воно обмежене зверху та знизу.

У символічному записі ці визначення виглядатимуть так:

безліч Xобмежено зверху, якщо ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

обмежено знизу, якщо ∃m ∀x ∈ X: x ≥ mі

обмежено, якщо ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Визначення.Для будь-якого числа a R невід'ємне число

називається його абсолютною величиноюабо модулем. Для абсолютних величин чисел справедлива нерівність |a+b| < |a|, що випливає з визначення модуля числа та з аксіом складання та порядку.

Теорема 4.3.1. Числове безліч Xобмежено тоді і лише тоді, коли існує число C таке, що для всіх елементів x з цієї множини виконується нерівність ≤ C.

Доведення. Нехай безліч Xобмежено. Покладемо C = max (m, M)- найбільший з чисел m і M. Тоді, використовуючи властивості модуля дійсних чисел, отримаємо нерівності x ≤M≤M ≤C та x≥m≥ −m≥ −C, звідки випливає, що ≤ C .

Назад, якщо виконується нерівність ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Це і є необхідним, якщо покласти M = C і m = −C .◄

Число M, що обмежує безліч Xзверху, називається верхнім кордоном множини. Якщо M- верхня межа множини X, то будь-яке число M′, яке більше M, теж буде верхньою межею цієї множини. Таким чином, ми можемо говорити про безліч верхніх меж множини X. Позначимо безліч верхніх кордонів через . Тоді, ∀x ∈ X та ∀M ∈буде виконано нерівність x ≤MОтже, по аксіомі безперервності існує число таке, що x ≤ ≤ M. Це число називається точною верхньою межею числової множини X або верхньою гранню цієї множиниабо супремумом множини Xі позначається =sup X. Таким чином, ми довели, що кожна непуста числова множина, обмежена зверху, завжди має точну верхню межу.

Очевидно, що рівність = sup Xрівносильно двом умовам:

1) ∀x ∈ Xвиконується нерівність x ≤ , тобто. - верхня межа множини X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xотже виконується нерівність xε > −ε , тобто. цей кордон не можна покращити (зменшити).

Аналогічно, можна довести, що якщо множина обмежена знизу, то вона має точну нижню межу, яка називається також нижньою гранню або інфімумом множини X і позначається inf X. Рівність =inf X рівносильна умовам:

1) ∀x ∈ Xвиконується нерівність x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xтак, що виконується нерівність xε< + ε .

Якщо у множині X є найбільший елемент, то називатимемо його

максимальним елементом множини X і позначати = max X. Тоді

supX =. Аналогічно, якщо в множині існує найменший елемент, то його називатимемо мінімальним, позначати minX і він буде інфімумом множини X .

Сформулюємо кілька властивостей верхніх та нижніх граней:

Властивість 1. Нехай X- деяке числове безліч. Позначимо через −Xбезліч (− x| x ∈ X ). Тоді sup (− X) = − inf Xі inf (− X) = − sup X .

Властивість 2.Нехай X- деяка числова множина - речовинне число. Позначимо через λXбезліч (λx | x ∈ X). Тоді, якщо λ ≥ 0 , то sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infXі якщо λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .

Властивість 3. Нехай X1 та X2- Чисельні множини. Позначимо через X1+X2безліч ( x1+ x2| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 )і через X1 − X2безліч (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Тоді sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2, sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2і inf (X1 - X2) = inf X1 - sup X2.

Властивість 4. Нехай X1 і X2 – числові множини, всі елементи яких невід'ємні. Тоді sup (X1 * X2) = sup X1 * sup X2, inf (X1 * X2) = inf X1 * inf X2.

Доведемо, наприклад, першу рівність властивості 3. Нехай x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 та x=x1+x2.Тоді x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2і x ≤ sup X1 + sup X2, звідки sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .

Щоб довести протилежну нерівність, візьмемо число y . Тоді можна знайти елементи ∈ X1і ∈ X2 такі, що ^{y . Це означає, що існує елемент = + ∈ X1+X2, який більший за число y та sup X1 + sup X2 = sup (X1 + X2). Інші співвідношення доводяться аналогічно.}

Принцип Архімеда та існування верхньої та нижньої граней можна постулювати як аксіому замість аксіоми безперервності, тоді аксіома безперервності випливатиме з цієї нової аксіоми. (Спробуйте довести самостійно).

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Частина I

ТЕОРІЯ МЕЖІ. Межа послідовності та межа функції. Теорема про існування точної верхньої грані.

Нехай змінна величина x nприймає нескінченну послідовність значень

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причому відомий закон зміни змінної x n, тобто. для кожного натурального числа nможна вказати відповідне значення x n. Таким чином, передбачається, що змінна x nє функцією від n:

x n = f(n)

Визначимо одне з найважливіших понять математичного аналізу - межа послідовності, або, що те саме, межа змінної величини x n, що пробігає послідовність x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Визначення.Постійне число aназивається межею послідовності x 1 , x 2 , ..., x n , ... . або межею змінної x nякщо для будь-якого малого позитивного числа e знайдеться таке натуральне число N(тобто номер N), що всі значення змінної x n, починаючи з x N, відрізняються від aпо абсолютній величині менше, ніж e. Дане визначення коротко записується так:

| x n - a |< (2)

при всіх n  N, або, що те саме,

Визначення межі по Коші. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх x, що задовольняють умові | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Визначення межі за Гейном. Число A називається межею функції f (x) у точці a, якщо ця функція визначена в деякій околиці точки a за винятком, можливо, самої точки a, і для будь-якої послідовності такою, що що збігається до a, відповідна послідовність значень функції сходить до A.

Якщо функція f (x) має межу в точці a, то ця межа єдина.

Число A 1 називається межею функції f(x) ліворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ >

Число A 2 називається межею функції f(x) праворуч у точці a, якщо для кожного ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх виконується нерівність

Межа ліворуч позначається межа праворуч –Ці межі характеризують поведінку функції ліворуч і праворуч від точки a. Їх часто називають односторонніми межами. У позначенні односторонніх меж при x → 0 зазвичай опускають перший нуль. Так, для функції

Якщо кожного ε > 0 існує така δ-околиця точки a, що всіх x, задовольняють умові |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, то кажуть, що функція f (x) має в точці a нескінченну межу:

Так, функція має у точці x = 0 нескінченну межу Часто розрізняють межі, рівні +∞ та –∞. Так,

Якщо кожного ε > 0 існує таке δ > 0, що з будь-якого x > δ виконується нерівність |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема про існування точної верхньої грані

Визначення:АR mR, m - верхня (нижня) грань А, якщо аА аm (аm).

Визначення:Безліч A обмежена зверху (знизу), якщо існує таке m, що аА, виконується аm (аm).

Визначення: SupA=m, якщо 1) m - верхня грань A

2) m’: m’ m’ не верхня грань A

InfA = n, якщо 1) n – нижня грань A

2) n': n'>n => n' не нижня грань A

Визначення: SupA=m називається число, таке що: 1)  aA am

2) >0 a  A, таке, що a  a-

?

2) >0 a  A, таке, що a E a+

Теорема:Будь-яка, непуста обмежена зверху безліч АR, має точну верхню грань, причому єдину.

Доведення:

Побудуємо на числовий прямий число m і доведемо, що це точна верхня грань А.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхня грань A

Відрізок [[m],[m]+1] – розбиваємо на 10 частин

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m до =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - верхня грань A

Доведемо, що m=[m],m 1 ...m K - точна верхня грань і що вона єдина:

к: , то знайдеться така точка , де функція досягає свого максимуму, знайдеться така точка , у якій функція досягає свого мінімуму.

Доведення:

Нехай функція f(x) безперервна на тоді в силу теореми 1 вона обмежена на цьому відрізку. Отже, обмежено безліч значень функції. Тоді в силу принципу верхньої грані ця множина має точну верхню і точну нижню межу.

Позначимо: і покажемо, що буде найбільшим значенням функції f(x) на відрізку : .

Припустимо неприємне, тобто .

Оскільки , то f(x)< .

введемо на розгляд функцію . Функція безперервна на , оскільки -f(x) 0. Тоді, з першої теореми Вейерштрасса, функція обмежена на .

, де >0

Так як ця нерівність виконується , то число не є точною верхньою гранню множини значень функції. Приходимо до протиріччя, отже, наше припущення є невірним. Аналогічно можна довести, що безперервна функція досягає відрізку свого мінімального значення. Теорему доведено.

ДИФЕРЕНЦІЙНІ ФУНКЦІЇ Теореми Ролля та Лагранжа.Формула Т

ейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Теорема Роля.

Якщо функція f(x) безперервна на замкнутому інтервалі [а, b], має всередині похідну інтервалу і якщо

f(a) = f(b) 0 то всередині інтервалу [а, b] знайдеться хоча б одне таке значення x< x 0 < b), что

(a 0 ) = 0.

f" (x Доведення.

Розглянемо два випадки. 1. Функція f(x) постійна на інтервалі [а, b ]; тоді f "(x) = 0 для будь-кого< x < b) x (a

, тобто. затвердження теореми Роля виконується автоматично. 1. Функція 2. Функція не є постійною (Малюнок 1); тоді найбільшого чи найменшого чи обох цих значень вона сягає у внутрішній точці інтервалу, бо f(b) = f(a) , і якщо f(a) 1. Функціяприйме всередині інтервалу.

Нехай наприклад f(x 0 ) - найбільше значення функції 1. Функціяна інтервалі [ постійна на інтервалі [] та x 0 - Внутрішня точка цього інтервалу. Тоді f(x 0 ) є максимумом функції: f(x 0 )  1. Функціядля всіх xіз досить малої околиці x 0 [за цю околицю можна втім, взяти інтервал ( постійна на інтервалі [)].

Оскільки, за умовою, 1. Функціямає в точці x 0 похідну, то за теоремою про необхідну ознаку екстремуму,

(a 0 ) = 0 ,

та теорема Ролля доведена.

Теорема Роля має просте геометричне тлумачення: якщо дана дуга AB кривою y = f(x), у кожній точці якої існує дотична, причому кінці A і B знаходяться на однаковій відстані від осі Ox, то на цій дузі знайдеться, принаймні, одна точка, в якій дотична t до кривої буде паралельна стягує дугу хорді, а отже і осі Ox(Дивися малюнок 1).

Якщо повернути осі координат на кут a, то кінці Aі Bдуги ABвже не будуть на однаковій відстані від осі Ox", але дотична tяк і раніше буде паралельна хорді AB(Дивися малюнок 1). Тому природно очікувати, що має місце теорема: Якщо дана дуга AB кривою y = f(x) з дотичною, що безперервно змінюється, то на цій дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна стягує її хорді AB(Малюнок 2).

Ця теорема є геометричним перефразуванням наступної теореми, відомої під назвою теореми Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) безперервна на замкнутому інтервалі[постійна на інтервалі [] і всередині нього має похідну f "(x), то знайдеться хоча б одне таке значення x 0 то всередині інтервалу [а, b] знайдеться хоча б одне таке значення x< x 0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f"(x).

f" (x Розглянемо допоміжну функцію

F(x) = f(x) – k(x – a),

де - кутовий коефіцієнт хорди AB(Дивися малюнок 2).

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля.

Справді, за x = aмаємо F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = bмаємо

Крім того, оскільки функція 1. Функціяі k(x - a)безперервні на [ a, b] та диференційовані в ( a, b), то й функція F(x) = f(x) – k(x – a)безперервна на [ a, b] та диференційована в ( a, b).

Отже, за теоремою Ролля, в інтервалі ( a, b) знайдеться така точка x 0 , що

F"(x 0 ) = 0 ,

(a 0 ) - k = 0

Звідси маємо

f(b) - f(a) = (b - a)f" (x 0 ) ,

що й потрібно було довести.

Так як a + (b - a) = b, то величина a +(b - a)де Q - правильний позитивний дріб (0 <  < 1) , дорівнює якомусь числу в інтервалі ( a, b), тому формулу Лагранжа можна записати у вигляді

f(b) - f(a) = (b - a)f "

Якщо покласти a = x, b = x +x, звідки b - a =x, то формула Лагранжа запишеться у вигляді

y = f(x +x) - f(x) =xf "(x +x).

Раніше було доведено, що якщо функція дорівнює постійній Cза будь-якого значення xв інтервалі (a, b), то її похідна дорівнює нулю.

Доведемо тепер зворотну теорему, яка є наслідком теореми Лагранжа:

Якщо довільна f "(x) звертається в нуль для будь-яких значень x в інтервалі (a, b), то в цьому інтервалі f(x) = C.

Справді, якщо x 1 і x 2 - два будь-які значення в інтервалі (a, b), то через теорему Лагранжа, маємо

f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - x 1 )f"(x 0 ),

де, x 1 < x 0 < x 2 . Але так як f"(x 0 ) = 0 , то

f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,

що й доводить нашу теорему.

Звідси безпосередньо випливає важлива теорема:

Якщо дві функції f 1 (x) та f 2 (x) мають ту саму похідну в інтервалі (a, b), то вони на даному інтервалі відрізняються один від одного на постійну величину.

Справді, розглянемо функцію

(x) = f 2 (x) - f 1 (x).

Тоді для будь-якого значення xз інтервалу (a, b)

"(x) = f 2 "(x) - f 1 "(x) = 0.

Але це означає, що  (x) = Cі, отже

f 2 (x) - f 1 (x) = С.

Формула Тейлора. Нехай на інтерваліфункція f(x) диференційована n разів і виконуються такі рівності:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a) = ... = f (n-1) (a)=0

Тоді всередині інтервалузнайдеться хоча б одне значення з,за якого

f (n) (c) = 0

f" (x за теоремі Ролямаємо

f "(x 0 ) = 0 ,

де a< x 0 < b . Тоді f"(x)на інтервалі задовольняє теорему Роля, оскільки, за умовою, f "(a) = 0і f "(x 0 ) = 0 , а тому

f ""(x 1 ) = 0 ,

де a< x 1 < x 0 .

Застосовуючи теорему Роля послідовно до функцій f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (x), знайдемо нарешті:

f (n) (с) = 0,

де a< c < x n-1 < b . Теорему доведено.

Виведемо тепер формулу Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.

Нехай функція f(x)диференційована nраз на інтервалі.

Розглянемо допоміжну функцію

(x) = f(x) - P(x),

Продиференціюємо nраз функцію  (x). Тоді матимемо

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x) - A n-1 - A n (x - a),

 (n) (x) = f (n) (x) - A n

Потрібно, щоб функція  (x)задовольняла умов узагальненої теореми Ролля. Тоді матимемо

(1) .

Оскільки функція  (x)задовольняє умовам узагальненої теореми Роля, то знайдеться таке значення з (a< c < b) , що

 (n) (с) = f (n) (с) - A n = 0 (2)