У цій темі ми розглянемо всі три перелічені вище групи меж з ірраціональностями. Почнемо з меж, що містять невизначеність виду $ frac (0) (0) $.

Розкриття невизначеності $\frac(0)(0)$.

Схема розв'язання стандартних прикладівтакого типу зазвичай складається з двох кроків:

• Позбавляємося ірраціональності, що викликала невизначеність, домножуючи на так зване "сполучене" вираз;
• При необхідності розкладаємо вираз у чисельнику або знаменнику (або там і там) на множники;
• Скорочуємо множники, що призводять до невизначеності, і обчислюємо значення межі, що шукається.

Термін "сполучене вираз", використаний вище, буде детально пояснений у прикладах. Поки що зупинятись на ньому докладно немає резону. Взагалі можна піти іншим шляхом, без використання сполученого виразу. Іноді ірраціональності може позбавити вдало підібрана заміна. Такі приклади рідкісні у стандартних контрольні роботи, тому використання заміни розглянемо лише приклад №6 (див. другу частину цієї теми).

Нам знадобиться кілька формул, які я запишу нижче:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Крім того, припускаємо, що читач знає формули для розв'язання квадратних рівнянь. Якщо $x_1$ і $x_2$ - коріння квадратного тричлена$ax^2+bx+c$, то розкласти його на множники можна по наступною формулою:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Формул (1)-(5) цілком вистачить для розв'язання стандартних завдань, До яких ми зараз і перейдемо.

Приклад №1

Знайти $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Оскільки $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ і $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, то заданому межі ми маємо невизначеність виду $\frac(0)(0)$. Розкрити цю невизначеність нам заважає різницю $ sqrt (7-x)-2 $. Для того, щоб позбавлятися подібних ірраціональностей, застосовують множення на так зване "сполучене вираження". Як діє таке множення, ми зараз і розглянемо. Помножимо $\sqrt(7-x)-2$ на $sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Щоб розкрити дужки застосуємо , підставивши праву частину згаданої формули $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Як бачите, якщо помножити чисельник на $sqrt(7-x)+2$, то корінь (тобто ірраціональність) у чисельнику зникне. Ось цей вираз $\sqrt(7-x)+2$ і буде пов'язанимдо виразу $ \ sqrt (7-x) - 2 $. Однак ми не вправі просто взяти і помножити чисельник на $\sqrt(7-x)+2$, бо це змінить дріб $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, що стоїть під межею . Помножувати потрібно одчасно і чисельник і знаменник:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Тепер пригадаємо, що $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ і розкриємо дужки. А після розкриття дужок і невеликого перетворення $3-x=-(x-3)$ скоротимо дріб на $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Невизначеність $\frac(0)(0)$ зникла. Зараз можна легко отримати відповідь даного прикладу:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Зауважу, що сполучене вираз може змінювати свою структуру - залежно від того, яку саме ірраціональність вона має прибрати. У прикладах №4 і №5 (див. другу частину цієї теми) буде використано інший вид сполученого виразу.

Відповідь: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Приклад №2

Знайти $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Оскільки $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)=3-3=0$ і $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то ми маємо справу з невизначеністю виду $ frac (0) (0) $. Позбавимося ірраціональності в знаменнику даного дробу. Для цього доможемо і чисельник і знаменник дробу $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ на вираз $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$, пов'язане до знаменника:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Знову, як і прикладі №1, потрібно використовуватиме розкриття дужок. Підставивши праву частину згаданої формули $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$, отримаємо такий вираз для знаменника:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Повернемося до нашої межі:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

У прикладі №1 практично відразу після домноження на сполучене вираз відбулося скорочення дробу. Тут перед скороченням доведеться розкласти на множники вирази $3x^2-5x-2$ і $x^2-4$, а потім перейти до скорочення. Щоб розкласти на множники вираз $3x^2-5x-2$ потрібно використати . Для початку вирішимо квадратне рівняння$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ; \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aligned) $$

Підставляючи $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ в , будемо мати:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Тепер настала черга розкласти на множники вираз $x^2-4$. Скористаємося , підставивши до неї $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Використовуємо отримані результати. Оскільки $x^2-4=(x-2)(x+2)$ і $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Скорочуючи на дужку $x-2$ отримаємо:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Всі! Невизначеність зникла. Ще один крок і ми приходимо до відповіді:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -frac(1)(6)cdotfrac(7(3+3))(4)=-frac(7)(4). $$

Відповідь: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

У наступному прикладі розглянемо випадок, коли ірраціональності будуть присутні як у чисельнику, так і в знаменнику дробу.

Приклад №3

Знайти $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )) $.

Оскільки $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ і $\lim_( x\to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, то ми маємо невизначеність виду $\frac (0)(0)$. Бо в даному випадкукоріння є і в знаменнику, і в чисельнику, то щоб позбутися невизначеності доведеться примножувати відразу на дві дужки. По-перше, на вираз $ sqrt (x + 4) + sqrt (x ^ 2-16) $, пов'язане чисельнику. А по-друге на вираз $\sqrt(x^2-3x+6)-sqrt(5x-9)$, пов'язане знаменнику.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16)) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) -x^2+x+20=-1cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Для вираження $x^2-8x+15$ отримаємо:

$$ x^2-8x+15=0; \\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(aligned)\x^2+8x+15=1cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Підставляючи отримані розлучення $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ і $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ у межу, будемо мати:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Відповідь: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 )) = -6 $.

У наступній (другій) частині розглянемо ще пару прикладів, у яких сполучене вираз матиме інший вигляд, ніж у попередніх завданнях. Головне, пам'ятайте, що мета використання сполученого виразу - позбавитися ірраціональності, що викликає невизначеність.

Токарєв Кирило

Робота допомагає навчитися отримувати квадратний коріньз будь-якого числа без застосування калькулятора та таблиці квадратів та звільняти знаменник дробу від ірраціональності.

Звільнення від ірраціональності знаменника дробу

Суть методу полягає у множенні та розподілі дробу на такий вираз, який дозволить виключити ірраціональність (квадратні та кубічні корені) Зі знаменника і зробить його простіше. Після цього дробу простіше призвести до спільному знаменникуі остаточно спростити вихідний вираз.

Витяг квадратного кореня з наближенням до заданого розряду.

Нехай потрібно витягти квадратний корінь із натурального числа 17358122, причому відомо, що корінь витягується. Щоб знайти результат, іноді зручно скористатися описаним у роботі правилом.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Радикал. Звільнення від ірраціональності знаменника дробу. Вилучення квадратного кореня із заданим ступенем точності. Учня 9Б класу МОУ ЗОШ №7 м. Сальська Токарєва Кирила

ОСНОВОПЛАГАЮЧЕ ПИТАННЯ: Чи можна витягти квадратний корінь з будь-якого числа із заданим ступенем точності, не маючи калькулятора та таблиці квадратів?

ЦІЛІ ТА ЗАВДАННЯ: Розглянути випадки вирішення виразів з радикалами, які не вивчаються в шкільному курсіматематики, але необхідні на ЄДІ.

ІСТОРІЯ КОРНЯ Знак кореня походить із малої латинської літери r (початковий в латинському слові radix – корінь), що зрісся з надрядковою межею. За старих часів надкреслення виразу використовувалося замість нинішнього ув'язнення в дужки, так що є лише видозмінений. стародавній спосібзаписи чогось на зразок. Вперше таке позначення використав німецький математикТомас Рудольф у 1525 році.

ЗВІЛЬНЕННЯ ВІД ІРРАЦІОНАЛЬНОСТІ ЗНАМІНАЧА ДРОБІ Суть методу полягає у множенні та розподілі дробу на такий вираз, який дозволить виключити ірраціональність (квадратні та кубічні корені) із знаменника та зробить його простіше. Після цього дробу простіше призвести до спільного знаменника і остаточно спростити вихідний вираз. АЛГОРИТМ ЗВІЛЬНЕННЯ ВІД ІРРАЦІОНАЛЬНОСТІ У ЗНАМІВАЧІ ДРОБИ: 1. Розкласти знаменник дробу на множники. 2. Якщо знаменник має вигляд або містить множник, то чисельник та знаменник слід помножити на. Якщо знаменник має вигляд або містить множник такого виду, то чисельник і знаменник дробу слід помножити відповідно на або на. Числа і називають сполученими. 3. Перетворити чисельник і знаменник дробу, якщо можливо, скоротити отриманий дріб.

а) б) в) г) = - Звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

ВИНЯТТЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ З НАБЛИЖЕННЯМ ДО ЗАДАНОГО РОЗРЯДУ. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 832 Для вирішення задачі це числорозкладається на суму двох доданків: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, перше з яких є повним квадратом. Потім застосовуємо формулу. Алгебраїчний спосіб:

ВИНЯТТЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ З НАБЛИЖЕННЯМ ДО ЗАДАНОГО РОЗРЯДУ. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 3

Список литературы 1. Збірник завдань з математики вступників до вузів за редакцією М.И.Сканави. В. К. Єгерєв, Б. А. Кордемський, В. В. Зайцев, "ОНІКС 21 століття", 2003р. 2. Алгебра та елементарні функції. Р. А. Калнін, "Наука", 1973р. 3. Математика. Довідкові матеріали. В. А. Гусєв, А. Г. Мордкович, видавництво "Освіта", 1990р. 4. Школярам про математику та математиків. Упорядник М.М.Ліман, Просвітництво, 1981р.

При вивченні перетворень ірраціонального вираження дуже важливим є питання, як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу. Метою цієї статті є пояснення цієї дії на конкретні прикладизадач. У першому пункті ми розглянемо основні правила цього перетворення, тоді як у другому – характерні прикладиіз докладними поясненнями.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поняття звільнення від ірраціональності у знаменнику

Почнемо з пояснення, у чому полягає сенс такого перетворення. Для цього згадаємо такі положення.

Про ірраціональність у знаменнику дробу можна говорити в тому випадку, якщо там є радикал, він же знак кореня. Числа, які записані за допомогою такого знака, часто належать до ірраціональних. Прикладами може бути 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . До дробів із ірраціональними знаменниками також належать ті, що мають там знаки коренів різного ступеня(квадратний, кубічний і т.д.), наприклад, 3 4 3 1 x + x · y 4 + y . Позбавлятися ірраціональності слід для спрощення вираження та полегшення подальших обчислень. Сформулюємо основне визначення:

Визначення 1

Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу– означає перетворити її, замінивши на тотожну рівний дріб, у знаменнику якої немає коренів і ступенів.

Така дія може називатися звільненням або звільненням від ірраціональності, сенс при цьому залишається тим самим. Так, перехід від 12 до 22, тобто. до дробу з рівним значенням без знаку кореня у знаменнику і буде необхідною нам дією. Наведемо ще один приклад: у нас є дріб x x - y. Проведемо необхідні перетворенняі отримаємо тотожно рівний їй дріб x · x + y x - y, звільнившись від ірраціональності в знаменнику.

Після формулювання визначення ми можемо переходити безпосередньо до вивчення послідовності дій, які необхідно виконати для такого перетворення.

Основні дії для позбавлення від ірраціональності у знаменнику дробу

Для звільнення від коріння потрібно провести два послідовні перетвореннядробу: помножити обидві частини дробу на число, відмінне від нуля, а потім перетворити вираз, що вийшов у знаменнику. Розглянемо основні випадки.

У найбільш простому випадкуможна обійтися перетворенням знаменника. Наприклад, ми можемо взяти дріб зі знаменником, рівним коренюіз 9 . Обчисливши 9 , ​​ми запишемо в знаменнику 3 і позбавимося таким чином ірраціональності.

Однак набагато частіше доводиться попередньо множити чисельник та знаменник на таке число, яке потім дозволить привести знаменник до потрібного виду (без коріння). Так, якщо ми виконаємо множення 1 x + 1 на x + 1 ми отримаємо дріб x + 1 x + 1 · x + 1 і зможемо замінити вираз у її знаменнику на x + 1 . Так ми перетворили 1 x + 1 в x + 1 x + 1, позбувшись ірраціональності.

Іноді перетворення, які потрібно виконати, бувають досить специфічними. Розберемо кілька прикладів.

Як перетворити вираз у знаменнику дробу

Як ми вже говорили, найпростіше виконати перетворення знаменника.

Приклад 1

Умова:звільніть дріб 1 2 · 18 + 50 від ірраціональності у знаменнику.

Рішення

Для початку розкриємо дужки і отримаємо вираз 12 · 18 + 2 · 50 . Використовуючи основні властивості коренів, перейдемо до виразу 12 · 18 + 2 · 50 . Обчислюємо значення обох виразів під корінням і отримуємо 136 + 100. Тут уже можна одержати коріння. У результаті у нас вийшов дріб 1 6 + 10 , що дорівнює 1 16 . На цьому перетворення можна закінчити.

Запишемо хід всього рішення без коментарів:

1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Відповідь: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .

Приклад 2

Умова:дано дріб 7 - x (x + 1) 2 . Позбавтеся ірраціональності в знаменнику.

Рішення

Раніше у статті, присвяченій перетворенням ірраціональних виразівіз застосуванням властивостей коренів, ми згадували, що з будь-яким A і парних n ми можемо замінити вираз A n n на | A | по всій області допустимих значень змінних. Отже, у разі ми можемо записати так: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 . У такий спосіб ми звільнилися від ірраціональності у знаменнику.

Відповідь: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1 .

Позбавлення ірраціональності методом множення на корінь

Якщо в знаменнику дробу знаходиться вираз виду A і вираз A не має знаків коренів, то ми можемо звільнитися від ірраціональності, просто помноживши обидві частини вихідного дробу на A . Можливість цієї дії визначається тим, що A на ділянці допустимих значень не буде звертатися в 0 . Після множення в знаменнику виявиться вираз виду A · A , який легко позбавити коріння: A · A = A 2 = A . Подивимося, як правильно застосовувати цей метод практично.

Приклад 3

Умова:дано дроби x 3 і - 1 x 2 + y - 4. Позбавтеся ірраціональності в їх знаменниках.

Рішення

Виконаємо множення першого дробу на корінь другого ступеня із 3 . Отримаємо таке:

x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3

У другому випадку нам треба виконати множення на x 2 + y - 4 і перетворити вираз у знаменнику:

1 x 2 + y - 4 = - 1 · x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 · x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Відповідь: x 3 = x · 3 3 і - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4.

Якщо ж у знаменнику вихідного дробу є вирази виду A n m або A m n (за умови натуральних m і n), нам потрібно вибрати такий множник, щоб вираз, що вийшов, можна було перетворити в A n n · k або A n · k n (при натуральному k) . Після цього позбавитися ірраціональності буде нескладно. Розберемо такий приклад.

Приклад 4

Умова:дано дроби 7 6 3 5 та x x 2 + 1 4 15 . Позбавтеся ірраціональності в знаменниках.

Рішення

Нам потрібно взяти натуральне число, яке можна розділити на п'ять, при цьому воно має бути більшим за три. Щоб показник 6 дорівнював 5 , нам треба виконати множення на 6 2 5 . Отже, обидві частини вихідного дробу нам доведеться помножити на 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6

У другому випадку нам знадобиться число, більше 15, яке можна розділити на 4 без залишку. Беремо 16 . Щоб отримати такий показник ступеня у знаменнику, нам треба взяти як множник x 2 + 1 4 . Уточнимо, що значення цього виразу не буде 0 в жодному разі. Обчислюємо:

x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Відповідь: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 та x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Позбавлення ірраціональності методом множення на сполучене вираз

Наступний метод підійде для тих випадків, коли в знаменнику вихідного дробу стоять вирази a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. У таких випадках нам треба взяти як множник сполучений вираз. Пояснимо зміст цього поняття.

Для першого виразу a + b сполученим буде a - b, для другого a - b - a + b. Для a + b - a - b, для a - b - a + b, для a + b - a - b, а для a - b - a + b. Інакше висловлюючись, сполучене вираз – це такий вираз, у якому перед другим доданком стоїть протилежний знак.

Давайте розглянемо, у чому саме полягає даний метод. Припустимо, ми маємо добуток виду a - b · a + b . Воно може бути замінене різницею квадратів a - b · a + b = a 2 - b 2 , після чого ми переходимо до виразу a - b, позбавленого радикалів. Таким чином, ми звільнилися від ірраціональності у знаменнику дробу за допомогою множення на сполучене вираз. Візьмемо кілька наочних прикладів.

Приклад 5

Умова:позбавтеся ірраціональності у виразах 3 7 - 3 і x - 5 - 2 .

Рішення

У першому випадку беремо сполучене вираз, що дорівнює 7 + 3 . Тепер множимо обох частин вихідного дробу на нього:

3 7 - 3 = 3 · 7 + 3 7 - 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 - 9 = 3 · 7 + 3 - 2 = - 3 · 7 + 3 2

У другому випадку нам знадобиться вираз - 5 + 2 , який є сполученим виразом - 5 - 2 . Помножимо на нього чисельник та знаменник і отримаємо:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Можливо також перед множенням виконати перетворення: якщо ми винесемо зі знаменника спочатку мінус, вважатиметься зручніше:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x · 5 - 2 5 + 2 · 5 - 2 = = - x · 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x · 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Відповідь: 3 7 - 3 = - 3 · 7 + 3 2 і x - 5 - 2 = x · 2 - 5 3 .

Важливо звернути увагу на те, щоб вираз, отриманий в результаті множення, не зверталося в 0 ні за яких змінних в області допустимих значень для даного виразу.

Приклад 6

Умова:дано дріб x x + 4 . Перетворіть її так, щоб у знаменнику не було ірраціональних виразів.

Рішення

Почнемо з знаходження області допустимих значень змінної x. Вона визначена умовами x ≥ 0 та x + 4 ≠ 0 . З них можна дійти невтішного висновку, що потрібна область є безліч x ≥ 0 .

Сполучене знаменнику вираз є x - 4 . Коли ми можемо виконати множення? Тільки тому випадку, якщо x - 4 ≠ 0 . На ділянці допустимих значень це буде рівнозначно умові x≠16. У результаті ми отримаємо таке:

x x + 4 = x · x - 4 x + 4 · x - 4 = = x · x - 4 x 2 - 4 2 = x · x - 4 x - 16

Якщо x дорівнюватиме 16 , то ми отримаємо:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Отже, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 при всіх значеннях x , що належать до області допустимих значень, за винятком 16 . При x = 16 отримаємо x x + 4 = 2.

Відповідь: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Перетворення дробів з ірраціональністю у знаменнику з використанням формул суми та різниці кубів

У попередньому пунктіми виконували множення на сполучені вирази для того, щоб потім використовувати формулу різниці квадратів. Іноді для позбавлення від ірраціональності у знаменнику корисно скористатися й іншими формулами скороченого множення, наприклад, різницею кубів a 3 − b 3 = (a − b) · (a 2 + a · b + b 2). Цією формулою зручно користуватися, якщо в знаменнику вихідного дробу стоять вирази з корінням третього ступеня виду A3 - B3, A32 + A3 · B3 + B32. і т.д. Щоб застосувати її, нам потрібно помножити знаменник дробу на неповний квадрат суми A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 або різницю A 3 - B 3 . Так само можна застосувати і формулу суми a 3 + b 3 = (а) · (a 2 − a · b + b 2).

Приклад 7

Умова:перетворіть дроби 1 7 3 - 2 3 і 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 так, щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику.

Рішення

Для першого дробу нам потрібно скористатися методом множення обох частин на неповний квадрат суми 73 і 23, оскільки потім ми зможемо виконати перетворення за допомогою формули різниці кубів:

1 7 3 - 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

У другому дробі представимо знаменник як 2 2 - 2 · х 3 + х 3 2 . У цьому вся виразі видно неповний квадрат різниці 2 і х 3 , отже, можемо помножити обидві частини дробу у сумі 2 + х 3 і скористатися формулою суми кубів. Для цього має бути дотримана умова 2 + x 3 ≠ 0, рівносильна x 3 ≠ - 2 і x ≠ − 8:

3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x

Підставимо в дріб - 8 і знайдемо значення:

3 4 - 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 · 2 + 4 = 3 4

Підведемо підсумки. При всіх x , що входять в область значень вихідного дробу (множина R), за винятком - 8 ми отримаємо 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Якщо x = 8, то 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Відповідь: 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = - 8 .

Послідовне застосування різних способів перетворення

Часто на практиці зустрічаються більше складні прикладиколи ми не можемо звільнитися від ірраціональності в знаменнику за допомогою всього одного методу. Для них потрібно послідовно виконувати кілька перетворень чи підбирати нестандартні рішення. Візьмемо одне таке завдання.

Приклад N

Умова:перетворіть 5 7 4 - 2 4 , щоб позбавитися знаків коренів у знаменнику.

Рішення

Виконаємо множення обох частин вихідного дробу на сполучене вираз 7 4 + 2 4 з ненульовим значенням. Отримаємо таке:

5 7 4 - 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 - 2

А тепер застосуємо той самий спосіб ще раз:

5 · 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 - 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 - 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2

Відповідь: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Інструкція

Перш ніж позбутися ірраціональностів знаменникаслід її тип, і в залежності від цього продовжувати рішення. І хоча будь-яка ірраціональність випливає з простої присутності, різні їх комбінації та ступеня припускають різні алгоритми.

Наявність під межею дробикореня дробового ступенявиду m/n, причому n>mЦе вираз виглядає так:a/√(b^m/n).

Позбудьтеся подібної ірраціональностітакож шляхом введення множника, цього разу складнішого: b^(n-m)/n, тобто. з показника ступеня самого кореня потрібно вираз під його знаком. Тоді в знаменниказалишиться тільки :a/(b^m/n) → a√(b^(n-m)/n)/b.Приклад 2: 5/(4^3/5) → 5√(4^2/5)/ 4 = 5 √(16^1/5)/4.

Сума квадратних коренів Помножте обидві складові дробина аналогічну різницю. Тоді з ірраціонального складання коренів знаменник перетворюється на / під знаком кореня: a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c). Приклад 3: 9/(√13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

Сума/різниця кубічних коренівВиберіть як додатковий множник неповний квадрат різниці, якщо в знаменникакоштує сума і відповідно неповний квадрат суми для різниці коріння ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c). /9.

Якщо в задачі присутній і квадратний і тоді розділіть рішення на два етапи: послідовно виведіть зі знаменника квадратний корінь, а потім кубічний. Робиться це за вже відомими вам методами: у першій дії потрібно вибрати множник різниці/суми коренів, у другому – неповний квадрат суми/різниці.

Відео на тему

Джерела:

• як позбутися ірраціональності в дробі

Порада 2: Як позбутися ірраціональності у знаменнику

Коректний запис дробового числане містить ірраціональностів знаменника. Такий запис і легше сприймається на вигляд, тому з появою ірраціональностів знаменникарозумно її позбутися. І тут ірраціональність може перейти в чисельник.

Інструкція

Спочатку можна розглянути найпростіший - 1/sqrt(2). Квадратний корінь із двох - число в .У цьому випадку необхідно домножити чисельник та знаменник на її знаменник. Це забезпечить у знаменника. Дійсно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Розмноження двох однакових квадратних коренів один на одного дасть у результаті те, що знаходиться під кожним з коренів: у даному випадку - двійку. У результаті: 1/ sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Цей алгоритм підходить також до дробів, знаменникаяких корінь множиться на раціональне число. Чисельник і знаменник у цьому випадку потрібно помножити на корінь, що знаходиться в знаменника.Приклад: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

Абсолютно аналогічно потрібно діяти, якщо в знаменниказнаходиться не корінь, а, скажімо, кубічний або будь-якого іншого ступеня. Корінь у знаменникапотрібно множити на такий самий корінь, на цей же корінь множити і чисельник. Тоді корінь перейде до чисельника.

У більш разі знаменникаприсутня сума або ірраціонального або двох ірраціональних чисел.У разі суми (різниці) двох квадратних коренів або квадратного кореня та раціонального числаможна скористатися добре відомою формулою(x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Вона допоможе позбавитися від знаменника. Якщо в знаменникарізниця, то примножувати чисельник і знаменник потрібно у сумі таких чисел, якщо сума - то різниця. Ця сума, що домножується, або різниця буде називатися пов'язаною до виразу, що стоїть в знаменника.Ефект цієї добре видно з прикладу: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

Якщо в знаменникаприсутня сума (різниця), в якій є корінь більшою мірою, то ситуація стає нетривіальною і позбавлення від ірраціональностів знаменникане завжди можливо

Джерела:

• позбавитися кореня в знаменнику в 2019

Порада 3: Як звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу

Дроб складається з чисельника, розташованого зверху лінії, і знаменника, на який він ділиться, розташованого внизу. Ірраціональним називається число, яке не може бути представлене у вигляді дробиз цілим числом у чисельнику та натуральним у знаменника. Такими числами є, наприклад, квадратний корінь із двох або пі. Зазвичай, коли говорять про ірраціональностів знаменника, Мається на увазі корінь.

Інструкція

Позбудьтеся множенням на знаменник. Таким чином буде перенесено до чисельника. При множенні чисельника та знаменника на те саме число, значення дробине змінюється. Скористайтеся цим варіантом, якщо весь знаменник є коренем.

Помножте чисельник та знаменник на знаменник потрібне числоразів, залежно від кореня. Якщо корінь квадратний, один раз.

Помножте чисельник та знаменник дробина знаменник, тобто √(x+2). Початковий приклад (56-y)/√(x+2) перетвориться на ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Через війну вийде ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Тепер корінь знаходиться в чисельнику, а в знаменникані ірраціональності.

Помножте знаменник у сумі коренів. Помножте на те ж чисельник, щоб значення дробине змінилося. Дроб набере вигляду ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).

Скористайтеся вищезгаданою властивістю (x+y)*(x-y)=x²-y² та звільніть знаменник від ірраціональності. В результаті вийде ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Тепер корінь знаходиться в чисельнику, а знаменник позбавився ірраціональності.

У складних випадкахповторюйте обидва ці варіанти, застосовуючи за потребою. Врахуйте, що не завжди можна позбутися від ірраціональностів знаменника.

Джерела:

Алгебраїчна дріб - це вираз виду А/В, де літери А і В позначають будь-які числові або буквені вирази. Найчастіше чисельник і знаменник у алгебраїчних дробахмають громіздкий вигляд, але дії з такими дробами слід здійснювати за тими самими правилами, що й дії зі звичайними, де чисельник і знаменник - цілі позитивні числа.

Інструкція

Якщо дані дроби, переведіть їх (дроб, в якому чисельник більший за знаменник): помножте знаменник на цілу частину і додайте чисельник. Так число 2 1/3 перетвориться на 7/3. Для цього 3 множать на 2 і додають одиницю.

Якщо треба перевести дріб у неправильний, то уявіть його як числа без коми на одиницю зі стількими нулями, скільки чисел коштує після коми. Наприклад, число 2,5 уявіть як 25/10 (якщо скоротити, то вийде 5/2), а число 3,61 – як 361/100. Оперувати з неправильними часто легше, ніж зі змішаними чи десятковими.

Якщо треба або відняти один дріб з іншого, а вони мають різні знаменники, наведіть дроби до спільного знаменника. Для цього знайдіть число, яке буде найменшим загальним кратним (НОК) обом знаменникам або декільком, якщо дробів більше двох. НОК - це число, яке розділиться на знаменники всіх дробів. Наприклад, для 2 та 5 це число 10.

Після знака "рівно" проведіть горизонтальну межуі запишіть у знаменник це число (НОК). Проставте до кожного доданку додаткові множники - те число, на яке треба домножити і чисельник, і знаменник, щоб отримати НОК. Послідовно помножуйте чисельники на додаткові множники, зберігаючи знак додавання або віднімання.

Порахуйте результат, зменшіть його за потреби або виділіть цілу частину. Наприклад - необхідно скласти ⅓ і ¼. НОК для обох дробів - 12. Тоді додатковий множник до першого дробу - 4, другого - 3. Разом: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

Якщо дано на множення, перемножте між собою чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (вийде знаменник результату). І тут до спільного знаменника їх приводити зайве.

Розкладайте чисельник та знаменник на множники, якщо це потрібно. Наприклад, виносите загальний множник за дужку або розкладайте за формулами скороченого множення, щоб потім можна було за необхідності скоротити чисельник і знаменник на НОД - найменший спільний дільник.

Зверніть увагу

Числа складайте з числами, літери одного роду з літерами того ж таки роду. Наприклад, не можна скласти 3a і 4b, отже в чисельнику так і залишиться їхня сума або різниця - 3a±4b.

Джерела:

• Множення та поділ дробів

У побуті найчастіше зустрічаються не натуральні числа: 1, 2, 3, 4 і т.д. (5 кг. картоплі), а дробові, нецілі числа (5,4 кг цибулі). Більшість з них представлені в виглядідесяткових дробів. Але десятковий дрібуявити в вигляді дробидосить просто.

Інструкція

Наприклад, дано число "0,12". Якщо не цей дріб і уявити його так, як є, то виглядатиме він так: 12/100 ("дванадцять"). Щоб позбутися сотні в , потрібно і чисельник, і знаменник поділити число, яке ділить їх числа. Це число 4. Тоді, поділивши чисельник та знаменник, виходить число: 3/25.

Якщо розглядати більш побутову , то часто на ціннику видно, що вага його становить, наприклад, 0,478 кг або ін. Таке число теж легко уявити вигляді дроби:
478/1000 = 239/500. Дроб цей досить негарний, і якби була можливість, то цей десятковий дріб можна було б скорочувати і далі. І тим самим методом: підбору числа, яке ділить як чисельник, і знаменник. Це число найбільшим спільним множником. "Найбільшим" множник тому, що набагато зручніше і чисельник, і знаменник відразу поділити на 4 (як у першому прикладі), ніж ділити двічі на 2.

На ваші прохання!

5. Розв'яжіть нерівність:

6 . Спростіть вираз:

17. f(x)=6x 2 +8x+5, F(-1)=3. Знайдіть F(-2).

Знайдемо, знаючи, що F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 - 5 + C;

Таким чином, первісна F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. Знайдемо F(-2).

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Позбавтеся ірраціональності у знаменнику

Рішення засноване на основній властивості дробу, що дозволяє множити чисельник і знаменник дробу на те саме, не рівне нулючисло. Щоб позбавитися знаків радикала в знаменнику дробу, зазвичай використовують ФСУ (формули скороченого множення). Адже якщо різницю двох радикалів помножити з їхньої суму, то вийде різницю квадратів коренів, тобто. вийде вираз без символів радикалів.

21. Спростити вираз:

Вирішимо цей приклад двома способами. 1) Представимо підкорене вираз другого множника як квадрата суми двох виразів, тобто. у вигляді (a + b) 2 . Це дозволить нам отримати арифметичний квадратний корінь.

2) Зведемо перший множник у квадрат і внесемо його під знак арифметичного квадратного кореня другого множника.

Вирішуйте зручним для себе способом!

22. Знайдіть (х 1 ∙ у 1 +х 2 ∙ у 2), де (х n ; y n) – розв'язки системи рівнянь:

Оскільки арифметичний квадратний корінь можна витягти тільки з невід'ємного числа, то допустимими значеннямизмінної услужать усі числа, що задовольняють нерівності y≥0. Тому що твір у першому рівнянні системи дорівнює негативному числу, то має виконуватися умова: x<0 . Висловимо хз першого рівняння і підставимо його значення другого рівняння. Вирішимо рівняння, що вийшло відносно у, а потім знайдемо значення х, що відповідають отриманим раніше значенням у.

23. Вирішити нерівність: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.

Так як за основною тригонометричною тотожністю: sin 2 x+cos 2 x=1, то представивши дану нерівність у вигляді 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx і застосувавши основне тригонометрична тотожність, Отримуємо: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Вирішуємо нерівність:

6sin 2 x-5sinx+1 >0. Зробимо заміну: sinx=y та отримаємо квадратичну нерівність:

6y 2 -5y+1>0. Вирішимо цю нерівність методом інтервалів, розклавши ліву частинуна множники. Для цього знайдемо коріння повного квадратного рівняння:

6y 2 -5y+1=0. Дискримінант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Тоді отримуємо у 1 та у 2:

24. В основі прямої призми лежить правильний трикутник, площа якого дорівнює Обчисліть площу бічної поверхні призми, якщо її об'єм дорівнює 300 см 3 .

Нехай нам дана правильна трикутна призмаАВСА 1 В 1 С 1 , в основі якої лежить правильний АВС, його площа нам відома. Застосувавши формулу площі рівностороннього трикутника, ми знайдемо бік нашого трикутника АВС. Оскільки обсяг прямої призми, обчислюється за формулою V=S осн. ∙ H, і нам також відомий, то можна знайти Н – висоту призми. Бокове ребро призми дорівнює висоті призми: AA 1 =H. Знаючи бік основи та довжину бічного ребра призми можна знайти площу її бічної поверхні за формулою: S бік. = P осн. ∙ H.

25. На шкільній вікторині було запропоновано 20 запитань. За кожну правильну відповідь учаснику нараховували 12 очок, а за кожну неправильну списували 10 очок. Скільки правильних відповідей дав один із учасників, якщо він відповідав на всі запитання та набрав 86 очок?

Нехай учасник дав їх правильних відповідей. Тоді неправильних у нього (20-х) відповідей. Знаючи, що за кожну правильну відповідь йому нараховували 12 очок, а за кожну неправильну списували 10 очок і при цьому він набрав 86 очок, складемо рівняння:

12х-10 · (20-х) = 86;

12х-200 + 10х = 86;

22х = 286 ⇒ х = 286:22 ⇒ х = 13. Учасник дав 13 правильних відповідей.

Я бажаю вам дати 25 правильних відповідей на тест з математики на ЕНТ!

24. У правильній чотирикутної пірамідивисота дорівнює 3, бічне ребро 6. Знайти радіус кулі, описаної біля піраміди.

Нехай куля з центром у точці О 1 і радіусом МО 1 описаний навколо правильної піраміди MABCD з висотою МО=3 та бічним ребром МА=6. Потрібно знайти радіус кулі МО 1 . Розглянемо ΔМАМ 1 , у якому сторона ММ 1 діаметр кулі. Тоді ∠МАМ 1 = 90 °. Знайдемо гіпотенузу ММ 1 якщо відомі катет МА і проекція цього катета МО на гіпотенузу. Пам'ятаєте? Висота, проведена з вершини прямого кутадо гіпотенузи є середня пропорційна величинаміж проекціями катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середня пропорційна величина між усією гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу.Нам у цьому завдання знадобиться лише підкреслена частина правила.

Записуємо рівність: МА 2 = МО∙ММ 1 . Підставляємо свої дані: 6 2 = 3 ММ 1 . Звідси ММ 1 = 36: 3 = 12. Ми знайшли діаметр кулі, отже, радіус МО 1 =6.

25. Петя старше Колі, який старший за Мішу, Маша старша за Колі, а Даша молодша за Петі, але старша за Машу. Хто третій за віком?

Вважатимемо: старше — це більше. Петя старший за Колі, який старший за Михайлазапишемо так: Петя>Коля>Миша. Даша молодша за Пету, але старша за Машузапишемо так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так як Маша старша за Колі,то отримуємо: Петя> Даша> Маша> Коля. І остаточно: Петя> Даша> Маша> Коля> Міша. Таким чином, третій за віком – Маша.

Бажаю успішної підготовки до ЄНТ!