Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?
Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:
3,3: 300 або х : 500.
Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):
х = (3,3 · 500): 300;
х = 5,5. Відповідь:пачка 500 аркушів паперу має товщину 5,5 см.
Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:
або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.
Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.
Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?
Рішення.
Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.
5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:
5: 100 = х : 98.
х = (5 · 98): 100;
х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.
Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?
Рішення.
Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:
16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:
16,8: 21=х : 35.
Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .
Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).
Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.
Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?
Рішення.
Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:
х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:
х : 100 = 9: 18.
Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100
і 9
) і ділимо на відомий крайній член ( 18
). Скорочуємо дріб.
Відповідь: площа всього поля 50 га.
Сторінка 1 з 1 1
§ 125. Поняття про пропорцію.
Пропорцією називається рівність двох відносин. Ось приклади рівностей, які називають пропорціями:
Примітка. Найменування величин у пропорціях не вказано.
Пропорції прийнято читати так: 2 так відноситься до 1 (одиниці), як 10 відноситься до 5 (перша пропорція). Можна читати інакше, наприклад: 2 у стільки разів більше 1, скільки разів 10 більше 5. Третю пропорцію можна прочитати так: - 0,5 стільки разів менше 2, у скільки разів 0,75 менше 3.
Числа, що входять до пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається із чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, що стоять по краях, називаються крайніми, А члени пропорції, що знаходяться в середині, називаються середнімичленами. Значить, у першій пропорції числа 2 та 5 будуть крайніми членами, а числа 1 та 10 – середніми членами пропорції.
§ 126. Основна властивість пропорції.
Розглянемо пропорцію:
Перемножимо окремо її крайні та середні члени. Добуток крайніх 6 4 = 24, добуток середніх 3 8 = 24.
Розглянемо іншу пропорцію: 10: 5 = 12: 6. Перемножимо і тут окремо крайні та середні члени.
Добуток крайніх 10 6 = 60, добуток середніх 5 12 = 60.
Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.
У загальному вигляді основна властивість пропорції записується так: ad = bc .
Перевіримо його на кількох пропорціях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорція ця вірна, оскільки рівні відносини, у тому числі вона складена. Разом про те, взявши твір крайніх членів пропорції (12 10) і середніх її членів (4 30), побачимо, що вони рівні між собою, тобто.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорція вірна, що легко переконатися, спростивши перше і друге відносини. Основна властивість пропорції набуде вигляду:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Неважко переконатися в тому, що якщо ми напишемо таку рівність, у якої в лівій частині стоїть твір двох чисел, а в правій частині твір двох інших чисел, то з цих чотирьох чисел можна скласти пропорцію.
Нехай у нас є рівність, до якої входять чотири числа, попарно перемножені:
ці чотири числа можуть бути членами пропорції, яку неважко написати, якщо прийняти перший твір за твір крайніх членів, а другий - за твір середніх. Виданої рівності можна скласти, наприклад, таку пропорцію:
Взагалі, з рівності ad = bc можна отримати такі пропорції:
Виконайте самостійно таку вправу. Маючи добуток двох пар чисел, напишіть пропорцію, яка відповідає кожній рівності:
а) 16 = 23;
б) 215 = б 5.
§ 127. Обчислення невідомих членів пропорції.
Основна властивість пропорції дозволяє обчислити будь-який із членів пропорції, якщо він невідомий. Візьмемо пропорцію:
х : 4 = 15: 3.
У цій пропорції невідомий один крайній член. Ми знаємо, що у будь-якій пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. На цій підставі ми можемо написати:
x 3 = 4 15.
Після множення 4 на 15 ми можемо переписати цю рівність так:
х 3 = 60.
Розглянемо цю рівність. У ньому перший співмножник невідомий, другий співмножник відомий і твір відомий. Ми знаємо, що знаходження невідомого співмножника досить твір розділити інший (відомий) сомножитель. Тоді вийде:
х = 60: 3, або х = 20.
Перевіримо знайдений результат підстановкою числа 20 замість х у цю пропорцію:
Пропорція вірна.
Подумаємо, які дії довелося виконати для обчислення невідомого крайнього члена пропорції. З чотирьох членів пропорції нам був невідомий лише один крайній; два середніх і другий крайній були відомі. Для знаходження крайнього члена пропорції ми спочатку перемножили середні члени (4 і 15), а потім знайдений твір поділили відомий крайній член. Зараз ми покажемо, що дії не змінилися б, якби крайній член пропорції, що шукається, стояв не на першому місці, а на останньому. Візьмемо пропорцію:
70: 10 = 21: х .
Запишемо основну властивість пропорції: 70 х = 10 21.
Перемноживши числа 10 і 21, перепишемо рівність у такому вигляді:
70 х = 210.
Тут невідомий один співмножник, для його обчислення достатньо твір (210) розділити на інший співмножник (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким чином, ми можемо сказати, що кожен крайній член пропорції дорівнює добутку середніх, поділеному на інший крайній.
Тепер перейдемо до обчислення невідомого середнього члена. Візьмемо пропорцію:
30: х = 27: 9.
Напишемо основну властивість пропорції:
30 9 = х 27.
Обчислимо добуток 30 на 9 і переставимо частини останньої рівності:
х 27 = 270.
Знайдемо невідомий співмножник:
х = 270: 27, або х = 10.
Перевіримо підстановкою:
30: 10 = 27: 9. Пропорція вірна.
Візьмемо ще одну пропорцію:
12: б = х : 8. Напишемо основну властивість пропорції:
12 . 8 = 6 х . Перемножуючи 12 і 8 і переставляючи частини рівності, отримаємо:
6 х = 96. Знаходимо невідомий співмножник:
х = 96: 6, або х = 16.
Таким чином, кожен середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на інший середній.
Знайдіть невідомі члени таких пропорцій:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два останні правила загалом можна записати так:
1) Якщо пропорція має вигляд:
х: а = b: с , то
2) Якщо пропорція має вигляд:
а: х = b: с , то
§ 128. Спрощення пропорції та перестановка її членів.
У цьому параграфі ми виведемо правила, що дозволяють спрощувати пропорцію у тому випадку, коли до неї входять великі числа чи дробові члени. До числа перетворень, що не порушують пропорцію, належать такі:
1. Одночасне збільшення або зменшення обох членів будь-якого відношення в однакове число разів.
П р і м е р. 40: 10 = 60: 15.
Збільшивши в 3 рази обидва члени першого відношення, отримаємо:
120:30 = 60: 15.
Пропорція не порушилась.
Зменшивши в 5 разів обидва члени другого відношення, отримаємо:
Здобули знову правильну пропорцію.
2. Одночасне збільшення або зменшення обох попередніх або обох наступних членів у однакове число разів.
приклад. 16:8 = 40:20.
Збільшимо вдвічі попередні члени обох відносин:
Отримали правильну пропорцію.
Зменшимо у 4 рази наступні члени обох відносин:
Пропорція не порушилась.
Два отримані висновки можна коротко висловити так: Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь-який крайній член пропорції і середній.
Наприклад, зменшивши в 4 рази 1-й крайній та 2-й середній члени пропорції 16:8 = 40:20, отримаємо:
3. Одночасне збільшення чи зменшення всіх членів пропорції в однакове число разів. приклад. 36:12 = 60:20. Збільшимо всі чотири числа у 2 рази:
Пропорція не порушилась. Зменшимо всі чотири числа у 4 рази:
Пропорція вірна.
Перелічені перетворення дозволяють, по-перше, спрощувати пропорції, а по-друге, звільняти їхню відмінність від дробових членів. Наведемо приклади.
1) Нехай є пропорція:
200: 25 = 56: x .
У ній членами першого відносини є порівняно великі числа, і якби ми побажали знайти значення х нам довелося б виконувати обчислення над цими числами; але ми знаємо, що пропорція не порушиться, якщо обидва члени відносини поділити на те саме число. Розділимо кожен із них на 25. Пропорція набуде вигляду:
8:1 = 56: x .
Таким чином, ми отримали більш зручну пропорцію, з якої х можна знайти в розумі:
2) Візьмемо пропорцію:
2: 1 / 2 = 20: 5.
У цій пропорції є дрібний член (1/2), від якого можна звільнитися. Для цього доведеться помножити цей член, наприклад, на 2. Але один середній член пропорції ми не маємо права збільшувати; потрібно разом з ним збільшити якийсь із крайніх членів; тоді пропорція не порушиться (на підставі перших двох пунктів). Збільшимо перший із крайніх членів
(2 2): (2 1 / 2) = 20: 5, або 4: 1 = 20:5.
Збільшимо другий крайній член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), або 2: 1 = 20: 10.
Розглянемо ще три приклади звільнення пропорції від дробових членів.
Приклад 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Наведемо дроби до спільного знаменника:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Помноживши на 8 обидва члени першого відношення, отримаємо:
Приклад 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Наведемо дроби до спільного знаменника:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Помножимо обидва наступні члени на 14, отримаємо: 12:15 = 16:20.
Приклад 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.
Помножимо всі члени пропорції на 48:
24: 1 = 960: 40.
При вирішенні завдань, у яких зустрічаються якісь пропорції, часто доводиться для різних цілей переставляти члени пропорції. Розглянемо, які перестановки є законними, т. е. пропорції, що не порушують. Візьмемо пропорцію:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставивши в ній крайні члени, отримаємо:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставимо тепер середні члени:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставимо одночасно і крайні, і середні члени:
20: 12 = 5: 3. (4)
Усі ці пропорції вірні. Тепер поставимо перше ставлення місце другого, а друге - місце першого. Вийде пропорція:
12: 20 = 3: 5. (5)
У цій пропорції ми зробимо ті ж самі перестановки, які робили раніше, тобто переставимо спочатку крайні члени, потім середні і, нарешті, одночасно і крайні, і середні. Вийдуть ще три пропорції, які теж будуть справедливими:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Отже, з однієї пропорції шляхом перестановки можна отримати ще 7 пропорцій, що разом з даною становить 8 пропорцій.
Особливо легко можна знайти справедливість всіх цих пропорцій при буквеному записі. Отримані вище 8 пропорцій набувають вигляду:
а: b = с: d; c: d = a: b;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко бачити, що в кожній з цих пропорцій основна властивість набуває вигляду:
ad = bc.
Таким чином, зазначені перестановки не порушують справедливості пропорції та ними можна користуватися у разі потреби.
Для вирішення більшості завдань у математиці середньої школи необхідно знання зі складання пропорцій. Це нескладне вміння допоможе як виконувати складні вправи з підручника, а й заглибитися у саму суть математичної науки. Як скласти пропорцію? Зараз розберемо.
Найпростішим прикладом є завдання де відомі три параметри, а четвертий необхідно знайти. Пропорції бувають, звичайно, різні, але часто потрібно знайти по відсотках якесь число. Наприклад, всього хлопчик мав десять яблук. Четверту частину він подарував своїй мамі. Скільки яблук у хлопчика? Це найпростіший приклад, який дозволить скласти пропорцію. Головне це зробити. Спочатку було десять яблук. Нехай це сто відсотків. Це ми окреслили всі його яблука. Він віддав одну четверту частину. 1/4 = 25/100. Значить, у нього залишилося: 100% (було спочатку) – 25% (він віддав) = 75%. Ця цифра показує процентне відношення кількості фруктів, що залишилися, до кількості наявних спочатку. Тепер ми маємо три числа, за якими вже можна вирішити пропорцію. 10 яблук – 100%, хяблук - 75%, де х - кількість фруктів, що шукається. Як скласти пропорцію? Потрібно розуміти, що це таке. Математично виглядає так. Знак поставлений для вашого розуміння.
10 яблук = 100%;
х яблук = 75%.
Виявляється, що 10/х = 100%/75. Це і є основна властивість пропорцій. Адже що більше x, то більше відсотків становить це число від вихідного. Вирішуємо цю пропорцію та отримуємо, що x = 7,5 яблук. Чому хлопчик вирішив віддати нецілу кількість, нам невідомо. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Головне, знайти два співвідношення, в одному з яких є невідоме.
Рішення пропорції часто зводиться до простого множення, та був до поділу. У школах дітям не пояснюють, чому це так. Хоча важливо розуміти, що пропорційні відносини є математичною класикою, сама суть науки. Для вирішення пропорцій необхідно вміти поводитися з дробами. Наприклад, часто доводиться переводити відсотки у звичайні дроби. Тобто, запис 95% не підійде. А якщо одразу написати 95/100, то можна провести солідні скорочення, не починаючи основного підрахунку. Відразу варто сказати, що якщо ваша пропорція вийшла з двома невідомими, її не вирішити. Жодний професор вам тут не допоможе. А ваше завдання, швидше за все, має складніший алгоритм правильних дій.
Розглянемо ще один приклад, де немає відсотків. Автомобіліст купив 5 літрів бензину за 150 рублів. Він подумав про те, скільки він заплатив би за 30 літрів палива. Для вирішення цього завдання позначимо за x кількість грошей, що шукається. Можете самостійно вирішити це завдання і потім перевірити відповідь. Якщо ви ще не зрозуміли, як скласти пропорцію, дивіться. 5 літрів бензину – це 150 рублів. Як і в першому прикладі, запишемо 5л – 150р. Тепер знайдемо третє число. Звісно, це 30 літрів. Погодьтеся, що пара 30 л - х рублів доречна у цій ситуації. Перейдемо математичною мовою.
5 літрів – 150 рублів;
30 літрів – х рублів;
Вирішуємо цю пропорцію:
x = 900 рублів.
От і вирішили. У своєму завданні не забудьте перевірити відповідність на адекватність. Буває, що при неправильному вирішенні автомобілі досягають нереальних швидкостей 5000 кілометрів на годину і так далі. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Також ви зможете її вирішити. Як бачите, у цьому немає нічого складного.
З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.
Властивості пропорції та формула
- Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
- Перемноження заданих членів пропорції навхрест. У буквеному виразі це має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добутку середніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
- При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
- 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
- 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
- Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
- (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
- (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
- Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
- (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
- (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
- Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові чи великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
- Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.
Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.
Минулого відеоуроку ми розглядали розв'язання задач на відсотки за допомогою пропорцій. Тоді за умовою завдання нам потрібно було знайти значення тієї чи іншої величини.
На цей раз вихідне і кінцеве значення нам уже дано. Тому в завданнях буде потрібно знайти відсотки. Точніше, на скільки відсотків змінилася та чи інша величина. Давайте спробуємо.
Завдання. Кросівки коштували 3200 рублів. Після підвищення ціни вони стали коштувати 4000 рублів. На скільки відсотків було підвищено ціну на кросівки?
Отже, вирішуємо через пропорцію. Перший крок - вихідна ціна дорівнювала 3200 рублів. Отже, 3200 рублів – це 100%.
Крім того, нам дана кінцева ціна - 4000 рублів. Це невідома кількість відсотків, тому позначимо його за x. Отримаємо таку конструкцію:
3200 — 100%
4000 - x%
Що ж, умова завдання записана. Складаємо пропорцію:
Дроби зліва чудово скорочується на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Крім того, можна скоротити на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Отримаємо таку пропорцію:
Скористаємося основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. Отримуємо:
8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.
Це звичайне лінійне рівняння. Звідси знаходимо x:
x = 1000: 8 = 125
Отже, ми отримали підсумковий відсоток x = 125. Але чи є число 125 розв'язанням задачі? Ні, в жодному разі! Тому що завдання потрібно дізнатися, на скільки відсотків була підвищена ціна на кросівки.
На скільки відсотків це означає, що нам потрібно знайти зміну:
∆ = 125 − 100 = 25
Отримали 25% — саме настільки було підвищено вихідну ціну. Це є відповіддю: 25.
Завдання B2 на відсотки №2
Переходимо до другого завдання.
Завдання. Сорочка коштувала 1800 рублів. Після зниження ціни вона стала коштувати 1530 рублів. На скільки відсотків було знижено ціну на сорочку?
Перекладаємо умову на математичну мову. Вихідна вартість 1800 рублів — це 100%. А підсумкова ціна 1530 рублів - вона нам відома, але невідомо скільки відсотків вона становить від вихідної величини. Тому позначимо її за x. Отримаємо таку конструкцію:
1800 — 100%
1530 - x%
На основі отриманого запису складаємо пропорцію:
Давайте для спрощення подальших обчислень розділимо обидві частини даного рівняння на 100. Іншими словами, у чисельника лівого та правого дробу ми закреслимо два нулі. Отримаємо:
Тепер знову скористаємося основною властивістю пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.
18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.
Залишилось знайти x :
x = 1530: 18 = (765 · 2): (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Ми отримали, що x = 85. Але, як і в минулому завданні, це число не є відповіддю. Повернімося до нашої умови. Тепер ми знаємо, що нова ціна, одержана після зниження, становить 85% від старої. І щоб знайти зміни, потрібно зі старої ціни, тобто. 100%, відняти нову ціну, тобто. 85%. Отримаємо:
∆ = 100 − 85 = 15
Це число і буде відповіддю: Зверніть увагу: саме 15, а в жодному разі не 85. Ось і все! Завдання вирішено.
Уважні учні, напевно, запитають: чому в першому завданні ми при знаходженні різниці вичитали з кінцевого числа початкове, а в другому задачі надійшли в точності навпаки: з вихідних 100% відняли кінцеві 85%?
Давайте прояснимо цей момент. Формально, в математиці зміною величини завжди називається різниця між кінцевим значенням та початковим. Іншими словами, у другому завданні ми мали вийти не 15, а −15.
Однак цей мінус у жодному разі не повинен потрапити у відповідь, тому що він уже врахований за умови вихідного завдання. Там прямо сказано про зниження ціни. А зниження ціни на 15% — це те саме, що підвищення ціни на −15%. Саме тому у вирішенні та відповіді завдання достатньо написати просто 15 — без жодних мінусів.
Усі, сподіваюся, з цим моментом ми розібралися. На цьому наш сьогоднішній урок закінчено. До нових зустрічей!