При обчисленні площ багатокутників використовується простий прийом, який називається методом розбиття. Розглянемо багатокутники та , зображені на рис. 1, де показано, як розбити ці багатокутники на однакове числовідповідно рівних частин (рівні частини відмічені однаковими цифрами). Про багатокутники і кажуть, що вони рівноскладені. Взагалі, багатокутники і називаються рівноскладеними, якщо, певним чином розрізавши багатокутник на кінцеве числочастин, можна, розташовуючи ці частини інакше, скласти їх багатокутник . Легко бачити, що справедливою є наступна теорема: рівноскладені багатокутники мають однакову площу, або, як кажуть, рівновеликі. Наприклад, паралелограм рівно складений із прямокутником (рис. 2), і тому, знаючи формулу площі прямокутника, знаходимо, що площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторони та відповідної висоти.
Цей приклад ілюструє метод розбиття, що полягає в тому, що для обчислення площі багатокутника намагаються розбити його на кінцеве число частин таким чином, щоб з цих частин можна було скласти простіший багатокутник, площа якого нам вже відома. Наприклад, трикутник рівноскладний з паралелограмом, що має ту саму основу і вдвічі меншу висоту (рис. 3); із цього легко виводиться формула площі трикутника. Цей спосіб обчислення площ багатокутників був відомий ще Евкліду, який жив понад 2000 років тому.
Чудово, що з наведеної вище теореми справедлива і зворотна теорема: якщо два багатокутники рівновеликі, всі вони рівноскладені. Цю теорему, доведену у першій половині ХІХ ст. угорським математиком Ф. Бойяї та німецьким офіцеромі любителем математики П. Гервіном, можна пояснити так: якщо є пряник у формі багатокутника і багатокутна коробка зовсім іншої форми, але тієї ж площі, то можна так розрізати пряник на кінцеве число шматків, що їх вдасться вкласти в цю коробку.
У зв'язку з теоремою Бойяї-Гервіна виникає питання про накладення додаткових обмежень на число чи розташування частин, у тому числі складаються рівновеликі багатокутники. Наприклад, уявімо собі площину у вигляді аркуша кольорового паперу, у якого одна сторона червона, а інша – біла. Якщо з такого паперу вирізані два рівновеликі червоні багатокутники, то виникає питання, чи можна один з них розрізати на частини, з яких вдасться скласти червоний багатокутник, що дорівнює другому. Частині дозволяється перекладати, не перевертаючи їх на білу, виворітну сторону. Відповідь на це питання також позитивна.
Варіант цього завдання був запропонований на одній із московських математичних олімпіаду наступній жартівливій формі. Дивак-кондитер іспек торт (а біля торта, на відміну від пряника, верхня сторона вкрита кремом) у формі трикутника різностороннього. Зробили і коробку до торта, але з недогляду склеїли її неправильно, тож торт і коробка виявилися симетричними одне одному (рис. 4). Потрібно (по можливості ощадливо) розрізати торт на частини, які вдалося б укласти в цю коробку. Зрозуміло, частини торта не можна укладати вниз кремом.
Цікавий результат, пов'язаний із накладенням додаткових вимогна розташування частин, був отриманий у 1952 р. швейцарськими математиками Г. Хадвігером і П. Глюром: рівноскладненість двох рівновеликих багатокутників може бути встановлена за допомогою таких розбиття, в яких відповідні частини мають паралельні сторони. На перший погляд це здається навіть неправдоподібним: важко повірити, що два рівні трикутники, повернені один щодо одного на довільний кут (рис. 5), завжди можна розбити на рівні частини з паралельними сторонами. Тим не менш, існує таке розбиття цих трикутників, що частини, на які розбитий один трикутник, виходять з відповідних частин другого трикутника паралельними переносамичи центральними симетріями. Те саме справедливо для будь-яких двох рівновеликих багатокутників. Проте лише паралельними переносами частин обійтися не вдається. Наприклад, як би ми не розрізали паралелограм на частини, неможливо паралельними переносами скласти із цих частин трикутник.
Інтерес до цих питань був пробуджений знаменитою доповіддю"Математичні проблеми", який був прочитаний видатним математикомД. Гільбертом на Другому Міжнародному конгресі математиків, що відбувся на рубежі XIXта XX ст. З двадцяти трьох поставлених Гільбертом проблем більшість відноситься до нових розділів математики, що швидко розвиваються. І лише одна проблема – третя – пов'язана з питаннями шкільної геометрії. Гільберт звертає увагу на те, що при обчисленні обсягу трикутної пірамідище з часів Евкліда використовується досить складний граничний перехід (див. Межа) (а в даний час - інтегрування), тоді як при обчисленні площі трикутника ми обходимося без аналогічного граничного переходу. Істота проблеми Гільберта у тому, щоб обгрунтувати використання цього «зайвого» (проти планіметрією) граничного переходу, тобто. довести, що його теорія обсягів багатогранників може бути побудована. У 1900 р. М. Ден вирішив третю проблему Гільберта, довівши, що правильний тетраедрі рівновеликий йому куб не рівноскладені. Гільберт передбачав, що це питання може призвести до створення математично цікавої та багатої на результати теорії рівноскладненості багатокутників і багатогранників. Передбачення Гільберта блискуче виправдалося; красива будівля сучасної теорії рівноскладеності є гідною пам'яткою вченому.
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі уроку:Повторити тему «Площа паралелограма». Вивести формулу площі трикутник, запровадити поняття рівновеликих фігур. Розв'язання задач на тему «Площі рівновеликих фігур».
Хід уроку
I. Повторення.
1) Усно по готовому кресленню вивести формулу площі паралелограма.
2) Яка залежність між сторонами паралелограма та висотами, опущеними на них?
(За готовим кресленням)
залежність обернено пропорційна.
3) Знайти другу висоту (за готовим кресленням)
4) Знайти площу паралелограма за готовим кресленням.
Рішення:
5) Порівняйте площі паралелограмів S1, S2, S3. (Вони мають рівні площі, у всіх основа і висота h).
Визначення: Фігури, що мають рівні площі, називаються рівновеликими.
ІІ. Розв'язання задач.
1) Довести, що будь-яка пряма, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить його на 2 рівновеликі частини.
Рішення:
2) У паралелограмі ABCD CF та CE висоти. Довести, що AD ∙ CF = AB ∙ CE.
3) Дана трапеція з основами a та 4a. Чи можна через одну з її вершин провести прямі, що розбивають трапецію на 5 рівновеликих трикутників?
Рішення:Можна. Усі трикутники рівновеликі.
4) Довести, що якщо на стороні паралелограма взяти точку A і з'єднати її з вершинами, то площа трикутника ABC, що вийшла, дорівнює половині площі паралелограма.
Рішення:
5) Торт має форму паралелограма. Малюк і Карлсон ділять його так: Малюк вказує на поверхні торта крапку, а Карлсон по прямій, що проходить через цю точку, розрізає торт на 2 шматки і один із шматків забирає собі. Кожен хоче отримати більший шматок. Де Малюк має поставити крапку?
Рішення:У точці перетину діагоналей.
6) На діагоналі прямокутника вибрали точку і провели через неї прямі, паралельні сторонампрямокутник. за різні сторониутворилися 2 прямокутники. Порівняйте їхні площі.
Рішення:
ІІІ. Вивчення теми «Площа трикутника»
почати із завдання:
«Знайти площу трикутника, у якого основа a, а висота h».
Діти, використовуючи поняття рівновеликих постатей, доводять теорему.
Добудуємо трикутник до паралелограма.
Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма.
Завдання: Накресліть рівновеликі трикутники.
Використовується модель (з паперу вирізано 3 кольорові трикутники і склеєно біля основ).
Вправа №474. «Порівняйте площі двох трикутників, на які поділяється даний трикутникйого медіаною».
У трикутників однакові підстави a і та сама висота h. Трикутники мають однакову площу
Висновок: Фігури, що мають рівні площі, називаються рівновеликими.
Запитання до класу:
- Чи рівні великі фігури?
- Сформулюйте зворотне твердження. Чи вірно воно?
- Чи правильно:
а) Рівносторонні трикутникирівновеликі?
б) Рівносторонні трикутники з рівними сторонами рівновеликі?
в) Квадрати з рівними сторонами рівновеликі?
г) Доведіть, що паралелограми, утворені при перетині двох смуг однакової ширини під різними кутаминахилу один до одного, рівновеликі. Знайдіть паралелограм найменшої площі, що утвориться при перетині двох смуг однакової ширини. (Показати на моделі: смужки однакової ширини)
IV. Крок уперед!
На дошці написані завдання на вибір:
1. «Розріжте трикутник двома прямими лініями так, щоб можна було з частин скласти прямокутник».
Рішення:
2. "Розріжте прямокутник по прямій лінії на 2 частини, з яких можна скласти прямокутний трикутник".
Рішення:
3) У прямокутнику проведено діагональ. В одному з трикутників, що вийшли, проведена медіана. Знайдіть співвідношення між площами фігур 
.
Рішення:
Відповідь: 
3. З олімпіадних завдань:
«У чотирикутнику ABCD точка E-середина AB, з'єднана з вершиною D, а F – середина CD, з вершиною B. Довести, що площа чотирикутника EBFD у 2 рази менше площічотирикутника ABCD.
Рішення: провести діагональ BD.
Вправа №475.
«Накресліть трикутник ABC. Через вершину В проведіть 2 прямі так, щоб вони розділили цей трикутник на 3 трикутники, що мають рівні площі».
Використовувати теорему Фалеса (розділити АС на 3 рівні частини).
V. Завдання дня.
Для неї відвела крайню праву частину дошки, де пишу завдання сьогоднішнього дня. Діти можуть вирішувати її, а можуть і не вирішувати. На уроці дане завданнями сьогодні не вирішуємо. Просто ті, кому вони цікаві, можуть списати її, вирішити її вдома чи зміну. Зазвичай вже у зміну багато хлопців починають вирішувати завдання, якщо вирішили, то показують рішення, і я фіксую це у спеціальній таблиці. На наступному уроці до цього завдання обов'язково повертаємося, приділяючи його рішенню невелику частину уроку (а на дошці може бути записане нове завдання).
«У паралелограмі вирізано паралелограм. Розділіть частину, що залишилася, на 2 рівновеликі фігури».
Рішення:Секальна AB проходить через точку перетину діагоналей паралелограмів O та O1.
Додаткові завдання (з олімпіадних завдань):
1) «У трапеції ABCD (AD||BC) вершини A і B з'єднані з точкою M – серединою сторони CD. Площа трикутника ABM дорівнює m. Знайти площу трапеції ABCD».
Рішення:
Трикутники ABM та AMK - рівновеликі фігури, т.к. AM – медіана.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.
Відповідь: S ABCD = 2m.
2) «У трапеції ABCD (AD || BC) діагоналі перетинаються у точці O. Довести, що трикутники AOB і COD рівновеликі».
Рішення:
S ∆BCD = S ∆ABC , т.к. у них загальна підстава BC та однакова висота.
3) Сторона АВ довільного трикутникаАВС продовжена за вершину так, що ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, що АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, що КС = ВС. У скільки разів площа трикутника РМК більше площі трикутника АВС?
Рішення:
У трикутнику МВС: МА = АС, отже, площа трикутника ВАМ дорівнює площі трикутника АВС. У трикутнику АРМ: ВР = АВ, отже, площа трикутника ВАМ дорівнює площі трикутника АВР. У трикутнику АРС: АВ = ВР, отже, площа трикутника ВАС дорівнює площі трикутника ВРС. У трикутнику ВРК: ВС = СК, отже, площа трикутника ВРС дорівнює площі трикутника РКС. У трикутнику АВК: ВС = СК, отже, площа трикутника ВАС дорівнює площі трикутника АСК. У трикутнику МСК: МА = АС, отже, площа трикутника КАМ дорівнює площі трикутника АСК. Отримуємо 7 рівновеликих трикутників. Значить,
Відповідь: Площа трикутника МРК у 7 разів більша за площу трикутника АВС.
4) Зчеплені паралелограми.
2 паралелограми розташовані так, як показано на малюнку: вони мають загальну вершину і ще по одній вершині кожного з паралелограмів лежить на сторонах іншого паралелограма. Довести, що площі паралелограмів дорівнюють.
Рішення:
і
, значить,
Список використаної літератури:
- Підручник "Геометрія 7-9" (автори Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, "Освіта", 2003).
- Олімпіадні завдання різних років, зокрема з навчального посібника « Найкращі завданняматематичних олімпіад» (упорядник А.А. Корзняков, Перм, « Книжковий світ», 1996).
- Добірка завдань, накопичених багато років роботи.
Геометричні фігури вважаються рівними, якщо вони є точною копією один одного, тобто мають виконуватися такі умови:
- фігури мають однакову форму;
- у постатей однакові розміри;
- існує таке накладення (рух) однієї фігури в іншу, що вони збігаються у всіх своїх точках.
Що означає однакова форма фігур
Говорячи про форму фігурі, мається на увазі в першу чергу клас геометричних фігур, а також кількість кутів, напрям опуклостей (увігнутостей) та інші візуальні деталі контуру плоскої фігури.
Наприклад, овал і прямокутник мають явно різну форму. А якщо взяти фігури одного класу, допустимо 2 трикутники, то потрібно порівняти елементи, що становлять контур. У даному випадку йдетьсяпро кути та сторони. Так, якщо в одного трикутника є прямий кут, а в іншого немає, то відразу помітно вони мають різну форму. Якщо довжини трьох сторін одного трикутника не сильно відрізняються один від одного, а в іншого одна сторона значно більша за дві інші, ми теж з першого погляду зауважимо, що їх форми різні.
Чому важливим є збіг розмірів фігур
Що, якщо відмінності у розмірах візуально мало помітні? Тоді необхідно зробити точні виміри обох фігур. Також рівність розмірів поділяє поняття подібних та рівних фігур. Наприклад, 2 квадрати з різною площеюбудуть подібними, але не рівними (мається на увазі, коли один більший за інший).
Що розуміється під «накладенням» фігур одна на одну
Іноді зробити точні виміри складно. Особливо якщо фігура утворена замкненою довільною кривою або ламаною лінією. Тоді потрібно знайти спосіб накласти одну фігуру на іншу.
Так, якщо вони намальовані на аркуші паперу, потрібно вирізати одну з них точно по контуру і покласти поверх іншої. Можна її повертати у будь-якому напрямку і навіть перевертати. Якщо знайдеться спосіб поєднати ці фігури так, щоб вони збіглися точно за контурами, то вони рівні.
Чи завжди можна довести рівність фігур
Іноді зробити це неможливо. Наприклад, якщо йдеться про прямі. Усі вони нескінченні. Те саме стосується і променів.
Рівними називаються такі фігури, які можна поєднати, скориставшись якимось видом руху (центральна та осьова симетрія, поворот та паралельне перенесення).
У таких постатях усі сторони та кути відповідно рівні.
Наприклад, якщо дані трикутники ABC і A₁B₁C₁, то вони рівні в тому випадку, якщо дотримується рівність сторін (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) і кутів (кут A = кут A₁, кут B = = кут C₁).
Також у рівних фігурах рівні та відповідні точкита лінії. Наприклад, у тих же рівних трикутниках ABC і A₁B₁C₁ дорівнюватимуть бісектриси, медіани, висоти, радіуси вписаного та описаного кіл, центроїди тощо.
VIII клас: Тема 3. Площі фігур. Теорема Піфагор.
1. Поняття площі. Рівновеликі постаті.
Якщо довжина – це числова характеристикалінії, площа – це числова характеристика замкнутої фігури. Незважаючи на те, що з поняттям площі ми добре знайомі з повсякденному житті, Суворе визначення цього поняття дати непросто. Виявляється, що площею замкнутої фігури можна назвати будь-яку невід'ємну величину, яка має наступні властивостями виміру площ фігур:
Рівні постаті мають рівні площі. 
Якщо цю замкнуту фігуру розбити на кілька замкнутих фігур, то площа фігури дорівнює сумі площ складових її фігур (фігура на малюнку 1 розбита на nфігур; у цьому випадку площа фігури , де Si– площа i-ой фігури).
У принципі, можна було б придумати безліч величин, що мають сформульовані властивості, а отже, характеризують площу фігури. Але найбільш звичною та зручною є величина, що характеризує площу квадрата як квадрат його сторони. Назвемо цю «договірність» третьою властивістю виміру площ фігур:
Площа квадрата дорівнює квадрату його боку (рисунок 2).
При такому визначенні площу фігур вимірюють у квадратних одиницях (см 2, км 2, га=100м 2).
Фігури , що мають рівні площі, називаються рівновеликими .
Примітка:
рівні фігури мають рівні площі, тобто рівні фігури рівновеликі. Але рівновеликі постаті які завжди рівні (наприклад, малюнку 3 зображені квадрат і рівнобедрений трикутникскладені з рівних прямокутних трикутників (до речі, такі фігури
називають рівноскладеними
); відомо, що квадрат і трикутник рівновеликі, але з рівні, оскільки поєднуються накладенням).
Далі виведемо формули для обчислення площ всіх основних видів багатокутників (у тому числі всім відому формулудля знаходження площі прямокутника), спираючись на сформульовані властивості виміру площ фігур.
2. Площа прямокутника. Площа паралелограма.
Формула для обчислення площі прямокутника:
Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін (рисунок 4).
Дано:
ABCD- Прямокутник;
AD=a, AB=b.
Довести: SABCD=a× b.
Доказ:
1. Подовжимо бік ABна відрізок BP=a, а бік AD- На відрізок DV=b. Побудуємо паралелограм APRV(Малюнок 4). Оскільки Ð A= 90 °, APRV- Прямокутник. При цьому AP=a+b=AV, Þ APRV- Квадрат зі стороною ( a+b).
2. Позначимо BCÇ RV=T, CDÇ PR=Q. Тоді BCQP- Квадрат зі стороною a, CDVT- Квадрат зі стороною b, CQRT- Прямокутник зі сторонами aі b.
Формула для обчислення площі паралелограма: Площа паралелограма дорівнює добутку його висоти на основу (рисунок 5).
Примітка: Підставою паралелограма прийнято називати той бік, до якого проведено висоту; Відомо, що основою може бути будь-яка сторона паралелограма.
Дано:
ABCD- П/р;
BH^AD, HÎ AD.
Довести: SABCD=AD× BH.
Доказ:
1. Проведемо до основи ADвисоту CF(Малюнок 5).
2. BCïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- п/г за визначенням. Ð H=90°, Þ BCFH- Прямокутник.
3. BCFH– п/г, Þ за якістю п/г BH=CF, Þ D BAH=D CDFз гіпотенузи та катету ( AB=CDпо св-ву п/р, BH=CF).
4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× BC=BH× AD. #
3. Площа трикутника.
Формула для обчислення площі трикутника: Площа трикутника дорівнює половині добутку його висоти на основу (рисунок 6).
Примітка: Підставою трикутника у разі називають сторону, до якої проведена висота. Будь-яка з трьох сторін трикутника може бути його основою.
Дано:
BD^AC, DÎ AC.
Довести: 
.
Доказ:
1. Добудуємо D ABCдо п/г ABKCшляхом проведення через вершину Bпрямий BKïê AC, а через вершину C- Прямий CKïê AB(Малюнок 6).
2. 
D ABC=D KCBпо трьом сторонам ( BC- загальна, AB=KCі AC=KBпо св-ву п/г), https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).
Наслідок 2: Якщо розглянути п/в D ABCз висотою AH, проведеної до гіпотенузи BC, то. Таким чином, в п/в D-ка висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює відношенню добутку його катетів до гіпотенузи. . Це співвідношення досить часто використовується під час вирішення завдань.
4. Наслідки з формули для знаходження площі трикутника: відношення площ трикутників з рівними висотамичи підставами; рівновеликі трикутники у постатях; властивість площ трикутників, утворених діагоналями опуклого чотирикутника.
З формули для обчислення площі трикутника елементарним чиномвипливають два наслідки:
1. Відношення площ трикутників з рівними висотами
дорівнює відношенню їх підстав (на малюнку 8 
).
2. 
Відношення площ трикутників з рівними підставами
дорівнює відношенню їх висот (на малюнку 9 
).
Примітка:
При вирішенні завдань часто зустрічаються трикутники із загальною висотою. При цьому, як правило, їхні основи лежать на одній прямій, а вершина, що протилежить основам – загальна (наприклад, на малюнку 10 S 1:S 2:S 3=a:b:c). Слід навчитися бачити загальну висоту таких трикутників.
Також із формули для обчислення площі трикутника випливають корисні факти, що дозволяють знаходити рівновеликі трикутники у фігурах:
1. 
Медіана довільного трикутника розбиває його на два рівновеликі трикутники
(на малюнку 11 у D ABMта D ACMвисота AH– загальна, а підстави BMі CMрівні визначення медіани; звідси випливає, що D ABMта D ACMрівновеликі).
2. 
Діагоналі паралелограма розбивають його на чотири рівновеликі трикутники
(на малюнку 12 AO– медіана трикутника ABDза властивістю діагоналей п/г, у силу попереднього св-ва трикутники ABOі ADOрівновеликі; т. до. BO– медіана трикутника ABC, трикутники ABOі BCOрівновеликі; т. до. CO– медіана трикутника BCD, трикутники BCOі DCOрівновеликі; таким чином, S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).
3. 
Діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники; два з них, прилеглі до бокових сторін, рівновеликі
(Малюнок 13).
Дано:
ABCD- Трапеція;
BCïê AD; ACÇ BD=O.
Довести: S D ABO=S D DCO.
Доказ:
1. Проведемо висоти BFі CH(Малюнок 13). Тоді у D ABDта D ACDпідстава AD– загальне, а висоти BFі CHрівні; Þ S D ABD=S D ACD.
2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #
Якщо провести діагоналі опуклого чотирикутника (рисунок 14), утворюється чотири трикутники, площі яких пов'язані дуже простим для запам'ятовування співвідношенням. Висновок цього співвідношення спирається виключно на формулу для обчислення площі трикутника; проте, у літературі воно трапляється досить рідко. Будучи корисним при вирішенні завдань, співвідношення, яке буде сформульовано і доведено нижче, заслуговує на пильну увагу:
Властивість площ трикутників, утворених діагоналями опуклого чотирикутника: Якщо діагоналі опуклого чотирикутника ABCDперетинаються у точці O, то (рисунок 14).
ABCD– опуклий чотирикутник;
https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.
Доказ:
1. BF– загальна висота D AOBта D BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.
2. DH– загальна висота D AODта D COD; Þ S D AOD:S D COD=AO:CO.
5. Відношення площ трикутників, що мають по рівному куту.
Теорема про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту: Площі трикутників, що мають по рівному куту, відносяться як добутки сторін, які укладають ці кути (рисунок 15).
Дано:
D ABC, D A 1B 1C 1;
Ð BAC=Ð B 1A 1C 1.
Довести:
.
Доказ:
1. Відкладемо на промені ABвідрізок AB 2=A 1B 1, а на промені AC- Відрізок AC 2=A 1C 1 (рисунок 15). Тоді D AB 2C 2=D A 1B 1C 1 по обидва боки і кут між ними ( AB 2=A 1B 1 та AC 2=A 1C 1 за побудовою, а Ð B 2AC 2=Ð B 1A 1C 1 за умовою). Отже, .
2. З'єднаємо точки Cі B 2.
3. CH– загальна висота D AB 2Cта D ABC, Þ.
6. Властивість бісектриси трикутника.
З використанням теорем про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту, і про відношення площ трикутників з рівними висотами, просто доводиться виключно корисний при вирішенні завдань факт, що не має безпосереднього відношення до площ фігур:
Властивість бісектриси трикутника:Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні сторонам, що прилягають до них.
Дано:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.
Доказ:
1..gif" width="72 height=40" height="40">.
3. З пунктів 1 та 2 отримуємо: 
, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61"
Примітка:Оскільки у вірній пропорції можна міняти місцями крайні члени або середні члени, властивість бісектриси трикутника зручніше запам'ятовувати наступному вигляді(Малюнок 16): .
7. Площа трапеції.
Формула для обчислення площі трапеції: Площа трапеції дорівнює добутку її висоти на півсуми підстав.
Дано:
ABCD- Трапеція;
BCïê AD;
BH- Висота.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.
Доказ:
1. Проведемо діагональ BDта висоту DF(Рисунок 17). BHDF- Прямокутник, Þ BH = DF.
Наслідок: Відношення площ трапецій з рівними висотами дорівнює відношенню їх середніх ліній (або відношенню сум підстав).
8. Площа чотирикутника із взаємно перпендикулярними діагоналями.
Формула для обчислення площі чотирикутника із взаємно перпендикулярними діагоналями:
Площа чотирикутника із взаємно перпендикулярними діагоналями дорівнює половині добутку його діагоналей.
ABCD- Чотирикутник;
AC^BD.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.
Доказ:
1. Позначимо ACÇ BD=O. Оскільки AC^BD, AO- Висота D ABD, а CO- Висота D CBD(Малюнки 18а і 18б для випадків опуклого і непуклого чотирикутників відповідно).
2. 
(знаки «+» або «-» відповідають випадкам опуклого та неопуклого чотирикутників відповідно). #
Теорема Піфагора грає виключно важливу рольу рішенні самих різноманітних завдань; вона дозволяє шукати невідомий бік прямокутного трикутниказ двох відомих його сторін. Відомо багато доказів теореми Піфагора. Наведемо найбільш просте з них, що спирається на формули для обчислення площ квадрата та трикутника:
Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.
Дано:
D ABC– п/в;
Ð A= 90 °.
Довести:
BC 2=AB 2+AC 2.
Доказ:
1. Позначимо AC=a, AB=b. Відкладемо на промені ABвідрізок BP=a, а на промені AC- Відрізок CV=b(Малюнок 19). Проведемо через точку Pпряму PRïê AV, а через точку V- Пряму VRïê AP. Тоді APRV- п/г за визначенням. При цьому оскільки Ð A= 90 °, APRV- Прямокутник. А т. до. AV=a+b=AP, APRV- Квадрат зі стороною a+b, і SAPRV=(a+b)2. Далі поділимо бік PRточкою Qна відрізки PQ=bі QR=a, а бік RV- Крапкою Tна відрізки RT=bі TV=a.
2. D ABC=D PQB=D RTQ=D VCTпо двох катетах, Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, BC=QB=TQ=CT, І https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.
3. Т. до. BC=QB=TQ=CT, CBQT- Ромб. При цьому Ð QBC= 180 ° - (Ð ABC+Ð PBQ) = 180 ° - (Ð ABC+Ð ACB)=Ð BAC= 90 °; Þ CBQT- Квадрат, і SCBQT=BC 2.
4. . Отже, BC 2=AB 2+AC 2. #
Зворотна теорема Піфагора є ознакою прямокутного трикутника, тобто дозволяє за трьома відомим сторонамтрикутник перевірити, чи він прямокутний.
Зворотня теорема Піфагора:
Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник прямокутний, а його велика сторонає гіпотенузою.
Дано:
BC 2=AB 2+AC 2.
Довести: D ABC– п/в;
Ð A= 90 °.
Доказ:
1. Побудуємо прямий кут A 1 і на його сторонах відкладемо відрізки A 1B 1=ABі A 1C 1=AC(Малюнок 20). В отриманому п/в D A 1B 1C 1 за теоремою Піфагора B 1C 12=A 1B 12+A 1C 12=AB 2+AC 2; але за умовою AB 2+AC 2=BC 2; Þ B 1C 12=BC 2, Þ B 1C 1=BC.
2. D ABC=D A 1B 1C 1 по трьох сторонах ( A 1B 1=ABі A 1C 1=ACз побудови, B 1C 1=BCз п.1), Ð A=Ð A 1 = 90 °, Þ D ABC- п/в. #
Прямокутні трикутники, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, називаються піфагоровими трикутниками , а трійки відповідних натуральних чисел – піфагоровими трійками . Піфагорові трійкикорисно пам'ятати (більше з цих чисел дорівнює сумі квадратів двох інших). Наведемо деякі піфагорові трійки:
3, 4, 5;
5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25;
20, 21, 29;
12, 35, 37;
9, 40, 41.
Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5 використовувався в Єгипті для побудови прямих кутів, у зв'язку з чим такий трикутник називають єгипетським .
10. Формула Герона.
Формула Герона дозволяє знаходити площу довільного трикутника за трьома його відомими сторонами і є незамінною при вирішенні багатьох завдань.
Формула Герона:
Площа трикутника зі сторонами a, bі cобчислюється за наступною формулою: , де - напівпериметр трикутника.
Дано:
BC=a; AC=b; AB=c.). Тоді 
.
4. Підставимо отриманий вираз для висоти у формулу для обчислення площі трикутника: . #
Які фігури називаються рівними?
Рівними називають фігури, які збігаються під час накладання.
Частою помилкою на це питання є відповідь, в якій згадуються рівні сторонита кути геометричної фігури. Однак при цьому не береться до уваги, що сторони геометричної фігури не обов'язково бувають прямими. Тому лише збіг геометричних фігур при накладенні може бути ознакою їхньої рівності.
Насправді це легко перевірити за допомогою накладання, вони повинні збігтися.
Все дуже просто і доступно, зазвичай, рівні фігури видно відразу.
Рівними називають ті фігури, у яких збігаються параметри геометрії. Ці параметри: довжина сторін, розмір кутів, товщина.
Найпростіше зрозуміти, що фігури рівні можна за допомогою накладання. Якщо величини фігур однакові – їх називають рівними.
Рівниминазивають тільки ті геометричні фігури, які мають абсолютно однакові параметри:
1) периметр;
2) площу;
4) розміри.
Тобто якщо одну фігуру накласти на іншу, то вони збігатимуться.
Помилково вважати, що й фігури мають однакові периметр чи площу, всі вони рівні. Насправді геометричні фігури, у яких рівна площа називаються рівновеликими.
Фігури називаються рівними, якщо вони збігаються при накладенні одна на одну.Рівні фігури мають однакові розміри, форму, площу та периметр. А ось рівні за площею фігури можуть бути і не рівними між собою.
У геометрії, за правилами, рівні фігури повинні мати однакову площу та периметр, тобто у них мають бути абсолютно самотні форми та розміри. І вони повинні повністю збігатися при їхньому накладенні один на одного. Якщо ж є якісь розбіжності, ці фігури вже не можна буде назвати рівними.
Фігури можна назвати рівними за умови, якщо вони повністю збігаються при накладенні одна на одну, тобто. вони мають однакові розміри, форму і отже площу та периметр, а також інші характеристики. У в іншому випадкуказати про рівності фігур не можна.
У самому слові рівні закладено суть.
Це постаті, які повністю ідентичні одна одній. Тобто повністю збігаються. Якщо фігуру покласти одну на одну, тоді фігури будуть перекривати себе з усіх боків.
Вони однакові, тобто рівні.
На відміну від рівних трикутників(для визначення яких достатньо виконання однієї з умов – ознак рівності), рівними фігураминазивають такі, які мають однакову як форму, а й розміри.
Визначити, чи дорівнює одна фігура інший, можна шляхом накладання. При цьому постаті мають збігатися і сторонами та кутами. Це і будуть рівні постаті.
Рівними можуть бути тільки такі постаті, які при їх накладенні повністю збігатимуться сторонами та кутами. Насправді для всіх найпростіших багатокутників рівність їхньої площі свідчить і про рівність самих фігур. Приклад: квадрат зі стороною а завжди дорівнюватиме іншому квадрату з тією ж стороною а. Теж стосується і прямокутників і ромбів - якщо їхні сторони дорівнюють сторонам іншого прямокутника, вони рівні. Більше складний приклад: трикутники будуть рівними, якщо у них рівні сторони та відповідні кути. Але це лише окремі випадки. У більш загальних випадках, Рівність фігур доводиться все-таки накладенням, але це накладення в планіметрії пишномовно називають рухом.