Для того, щоб визначити, чи є дана фігураПаралелограм існує ряд ознак. Розглянемо три основні ознаки паралелограма.
1 ознака паралелограма
Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник буде паралелограммом.
Доказ:
Розглянемо чотирикутник ABCD. Нехай у ньому сторони AB та СD паралельні. І нехай AB = CD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.
Ці трикутники рівні між собою по обидва боки і кут між ними (BD - спільна сторона, AB = CD за умовою, кут1 = кут2 як навхрест лежачі кути при січній BD паралельних прямих AB і CD.), а отже кут3 = кут4.
А ці кути будуть навхрест лежать при перетині прямих BC і AD BD. З цього випливає, що BC і AD паралельні між собою. Маємо, що у чотирикутнику ABCD протилежні сторонипопарно паралельні, і, отже, чотирикутник ABCD є паралелограмом.
2 ознака паралелограма
Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник буде паралелограммом.
Доказ:
Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.
Ці два трикутники будуть рівними між собою по трьох сторонах (BD - загальна сторона, AB = CD і BC = AD за умовою). З цього можна дійти невтішного висновку, що кут1 = кут2. Звідси випливає, що AB паралельна до CD. Оскільки AB = CD і AB паралельна CD, то за першою ознакою паралелограма, чотирикутник ABCD буде паралелограмом.
3 ознака паралелограма
Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник буде паралелограммом.
Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо в ньому дві діагоналі AC і BD, які перетинатимуться в точці О і діляться цією точкою навпіл.
Трикутники AOB і COD дорівнюють між собою, за першою ознакою рівності трикутників. (AO = OC, BO = OD за умовою, кут AOB = кут COD як вертикальні кути.) Отже, AB = CD та кут1 = кут 2. З рівності кутів 1 і 2 маємо, що AB паралельна CD. Тоді маємо, що у чотирикутнику ABCD сторони AB рівні CD і паралельні, і за першою ознакою паралелограма чотирикутник ABCD буде паралелограмом.
I. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.
Завдання 1.З вершин В і D паралелограма АBCD, у якого АВ≠ВС і кут А — гострий, проведено перпендикуляри BK та DM до прямої АС. Доведіть, що чотирикутник BMDK — паралелограм.
Доказ.
Так як ВК і DM перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої АС, то ВК II DM. Крім того, ВК і DM є висотами, проведеними в рівних трикутникахΔ АВС та Δ CDA з вершин рівних кутів∠B і ∠D до однієї сторони АС, отже, ВК = DM. Маємо: дві сторони ВК та DM чотирикутника BMDK паралельні та рівні, отже, BMDK – паралелограм, що й вимагалося довести.
ІІ. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник — паралелограмм.
Завдання 2.На сторонах AB, BC, CD та DA чотирикутника ABCD позначені відповідно точки M, N, P та Q так, що AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Доведіть, що ABCD та MNPQ — паралелограми.
Доказ.
1. За умовою у чотирикутнику ABCD протилежні сторони складаються з рівних відрізків, Тому рівні, тобто. AD = BC, AB = CD. Отже, ABCD – паралелограм.
2. Розглянемо ΔMBN та ΔPDQ. BM=DP та BN=DQ за умовою. ∠B =∠D як протилежні кути паралелограма ABCD. Значить, MBN = PDQ по двох сторонах і куті між ними (1-а ознака рівності трикутників). А в рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Звідси MN = PQ. Ми довели, що протилежні сторони MN та PQ чотирикутника MNPQ рівні. Аналогічно, з рівності трикутників MAQ і PCN випливає рівність сторін MQ і PN, які є протилежними сторонами чотирикутника MNPQ. Маємо: протилежні сторони чотирикутника MNPQ попарно рівні. Отже, чотирикутник MNPQ – паралелограм. Завдання вирішено.
ІІІ. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.
Завдання 3.Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O Доведіть, що чотирикутник MNPQ, вершинами якого є середини відрізків OA, OB, OC і OD, — паралелограм.
Доказ.
За якістю діагоналей паралелограма ABCD його діагоналі AC і BD точкою перетину діляться навпіл, тобто. ОА=ОС та ОВ=OD. Діагоналі чотирикутника MNPQ так само перетинаються в точці О, яка буде серединою кожної з них. Справді, оскільки вершини чотирикутника MNPQ за умовою є серединами відрізків ОА, ОС, ОВ і OD, BN=ON=OQ=DQ і AM=OM=OP=CP. Отже, діагоналі MP і NQ чотирикутника MNPQ у точці перетину діляться навпіл, отже, чотирикутник MNPQ – паралелограм, що потрібно було довести.
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Мета уроку:розглянути ознаки паралелограма та закріпити отримані знання у процесі вирішення завдань.
Завдання:
- освітня:формування умінь застосовувати ознаки паралелограма на вирішення завдань;
- розвиваюча:розвиток логічного мислення, уваги, навичок самостійної роботи, навичок самооцінки;
- виховна:виховання інтересу до предмета, вміння працювати у колективі, культурі спілкування.
Тип уроку: вивчення нового матеріалу, первинне закріплення.
Обладнання: інтерактивна дошка, проектор, картки із завданням, презентації.
Хід уроку
1. Організаційний момент.
У: Доброго дня, хлопці! Сьогодні на уроці ми знову говоритимемо про паралелограму. Нам належить виконати багато завдань, довести теореми та навчитися застосовувати їх під час вирішення завдань. Девізом нашого уроку будуть слова Ле Карбюзьє: "Все довкола – геометрія".
2. Актуалізація знань учнів.
Теоретичне опитування
Деяким учням дати індивідуальні завдання щодо карток на тему властивості паралелограма(Завдання вибирає кожен самостійно на слайді презентації за гіперпосиланням, наводячи покажчик мишки на фігуру, але не на цифру), вислухати індивідуально кожного, хто відповідає.
З рештою – довести додаткові властивості паралелограма. (Спершу обговорити усно доказ, потім звірити з інтерактивною дошкою).
1°. Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник.
2 °. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні, а бісектриси протилежних кутів паралельні або лежать на одній прямій.
Після підготовки вислухати докази додаткових властивостей паралелограма.
ABCD-паралелограм,
AE -бісектриса кута BAD.
Довести: ABE - рівнобедрений.
Доказ:
Оскільки ABCD - паралелограм, отже BC || AD, тоді кут EAD = куті BEA як навхрест що лежать при паралельних прямих BC і AD і січній AE. AE - бісектриса кута BAD, отже, кут BAE = куту EAD, тому кут BAE = куту BEA.
У ABE кут BAE = куті BEA, отже, ABE - рівнобедрений з основою AE.
Навідні питання:
Сформулюйте ознаку рівнобедреного трикутника.
Які кути в BAE можуть бути рівними? Чому?
ABCD-паралелограм,
BE -бісектриса кута CBA,
AE - бісектриса кута BAD.
Навідні питання:
Коли прямі AE та CK будуть паралельними?
Чи рівні кути BEA і<3? Почему?
У якому разі AE та CK збігатимуться?
Підготовка до вивчення нового матеріалу
Фронтальна робота із класом (усно).
- Що означають слова "властивості" та "ознака"? Наведіть приклади.
- Що таке зворотна теорема?
- Чи завжди правильне твердження протилежне цьому? Наведіть приклади.
3. Пояснення нового матеріалу.
У.: У кожного об'єкта є свої властивості та ознаки. Скажіть, будь ласка, чим відрізняються властивості ознак.
Спробуймо розібратися в цьому питанні на простому прикладі. Даний об'єкт – осінь. Назвіть його властивості: Його ознаки:
- Якими твердженнями є по відношенню один до одного властивість та ознака об'єкта? (Відповідь: зворотними)
- Які властивості у курсі геометрії ми вже вивчали? Сформулюйте їх. (називають кілька)
Чи для будь-якої якості можна побудувати правильне зворотне твердження? (Різні відповіді).
Перевіримо це на такі властивості:
Зробіть висновок: Чи для будь-якої якості можна побудувати правильне зворотне твердження? (ні, не для будь-кого)
Тепер, повернімося до нашого чотирикутника, згадаємо його властивості і сформулюємо зворотні для них твердження, тобто:.. (відповідь - ознаки паралелограма). Отже, тема сьогоднішнього уроку: "Ознаки паралелограма".
Отже, назвіть властивості паралелограма.
Сформулюйте зворотні властивості затвердження. (учні формулюють ознаки, вчитель їх коригує та формулює повторно)
Доведемо ці ознаки. Перша ознака – докладно, друга – коротко, третя – самостійно вдома.
4. Закріплення вивченого матеріалу.
Робота у робочих зошитах: вирішити завдання №11 на інтерактивній дошці до дошки викликати менш підготовленого учня.
Розв'язання задачі № 379 (рішення записати на інтерактивній дошці). З вершин B і D паралелограма ABCD, у якого AB BC та А гострий, проведені перпендикуляри ВК та DМ до прямої АС. Доведіть, що чотирикутник BMDK – паралелограм.
I. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.
Завдання 1.З вершин В і D паралелограма АBCD, у якого АВ≠ВС і кут А — гострий, проведено перпендикуляри BK та DM до прямої АС. Доведіть, що чотирикутник BMDK — паралелограм.
Доказ.
Так як ВК і DM перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої АС, то ВК II DM. Крім того, ВК і DM є висотами, проведеними в рівних трикутниках Δ АВС і Δ CDA з вершин рівних кутів ∠B і ∠D до однієї і тієї ж сторони АС, отже, ВК = DM. Маємо: дві сторони ВК та DM чотирикутника BMDK паралельні та рівні, отже, BMDK – паралелограм, що й вимагалося довести.
ІІ. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник — паралелограмм.
Завдання 2.На сторонах AB, BC, CD та DA чотирикутника ABCD позначені відповідно точки M, N, P та Q так, що AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Доведіть, що ABCD та MNPQ — паралелограми.
Доказ.
1. За умовою чотирикутнику ABCD протилежні боку складаються з рівних відрізків, тому рівні, тобто. AD = BC, AB = CD. Отже, ABCD – паралелограм.
2. Розглянемо ΔMBN та ΔPDQ. BM=DP та BN=DQ за умовою. ∠B =∠D як протилежні кути паралелограма ABCD. Значить, MBN = PDQ по двох сторонах і куті між ними (1-а ознака рівності трикутників). На рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Звідси MN = PQ. Ми довели, що протилежні сторони MN та PQ чотирикутника MNPQ рівні. Аналогічно, з рівності трикутників MAQ і PCN випливає рівність сторін MQ і PN, які є протилежними сторонами чотирикутника MNPQ. Маємо: протилежні сторони чотирикутника MNPQ попарно рівні. Отже, чотирикутник MNPQ – паралелограм. Завдання вирішено.
ІІІ. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.
Завдання 3.Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O Доведіть, що чотирикутник MNPQ, вершинами якого є середини відрізків OA, OB, OC і OD, — паралелограм.
Доказ.
За якістю діагоналей паралелограма ABCD його діагоналі AC і BD точкою перетину діляться навпіл, тобто. ОА=ОС та ОВ=OD. Діагоналі чотирикутника MNPQ так само перетинаються в точці О, яка буде серединою кожної з них. Справді, оскільки вершини чотирикутника MNPQ за умовою є серединами відрізків ОА, ОС, ОВ і OD, BN=ON=OQ=DQ і AM=OM=OP=CP. Отже, діагоналі MP і NQ чотирикутника MNPQ у точці перетину діляться навпіл, отже, чотирикутник MNPQ – паралелограм, що потрібно було довести.