Вам знадобиться

• - властивості симетричних точок;
• - властивості симетричних фігур;
• - Лінійка;
• - косинець;
• - циркуль;
• - олівець;
• - аркуш паперу;
• - комп'ютер із графічним редактором.

Інструкція

Проведіть пряму a, яка буде віссю симетрії. Якщо її координати не задані, накресліть її довільно. З одного боку від цієї прямої поставте довільну точку A. потрібно знайти симетричну точку.

Корисна порада

Властивості симетрії постійно використовуються у програмі AutoCAD. Для цього використовується опція Mirror. Для побудови рівнобедреного трикутника або рівнобедреної трапеціїдостатньо накреслити нижню основу та кут між ним і бічною стороною. Відобразіть їх за допомогою вказаної команди та продовжіть бічні сторонидо необхідної величини. У випадку з трикутником це буде точка їхнього перетину, а для трапеції - задана величина.

З симетрією ви постійно стикаєтесь у графічних редакторів, коли використовуєте опцію «відобразити по вертикалі/горизонталі». В цьому випадку за вісь симетрії береться пряма, що відповідає одній з вертикальних або горизонтальних сторін кадру малюнка.

Джерела:

• як накреслити центральну симетрію

Побудова перерізу конуса не така вже складна задача. Головне - дотримуватися суворої послідовності дій. Тоді дане завданнябуде легко здійсненна і не вимагатиме від Вас великих трудовитрат.

Вам знадобиться

• - папір;
• - ручка;
• - циркль;
• - Лінійка.

Інструкція

При відповіді це питання, спочатку слід визначитися – якими параметрами заданий перетин.
Нехай це буде пряма перетину площини l з площиною та точка О, яка є місцем перетину з його перетином.

Побудова ілюструє рис.1. Перший крок побудови перерізу – це через центр перерізу його діаметра, продовженого до l перпендикулярно до цієї лінії. У результаті виходить точка L. Далі через т.про проведіть пряму LW, і побудуйте дві напрямні конуса, що у головному перерізі О2М і О2С. У перетині цих напрямних лежать точка Q, і навіть показана точка W. Це перші дві точки шуканого перерізу.

Тепер проведіть у основі конуса ВВ1 перпендикулярний МС і побудуйте утворюючі перпендикулярного перерізуО2В та О2В1. У цьому перерізі через т. проведіть пряму RG, паралельну ВВ1. Т.R і т.G - ще дві точки перетину шуканого. Якби переріз бал відомий, його можна було б побудувати вже на цій стадії. Однак це зовсім не еліпс, а щось еліпсообразне, що має симетрію щодо відрізку QW. Тому слід будувати якнайбільше точок перерізу, щоб з'єднуючи їх надалі плавною кривою отримати найбільш достовірний ескіз.

Побудуйте довільну точку перерізу. Для цього проведіть до підстави конуса довільний діаметр AN і побудуйте відповідні напрямні О2A і O2N. Через проведіть пряму, що проходить через PQ і WG, до її перетину з щойно побудованими напрямними в точках P і E. Це ще дві точки шуканого перерізу. Продовжуючи так само і далі, можна скільки завгодно шуканих точок.

Щоправда, процедуру їх отримання можна трохи спростити, користуючись симетрією щодо QW. Для цього можна в площині перетину шукати провести прямі SS', паралельні RG до перетину їх з поверхню конуса. Побудова завершується округленням збудованої ламаною з хорд. Достатньо побудувати половину шуканого перерізу з уже згаданої симетрії щодо QW.

Відео на тему

Порада 3: Як побудувати графік тригонометричної функції

Вам потрібно накреслити графіктригонометричної функції? Освойте алгоритм дій з прикладу побудови синусоїди. Для вирішення поставленої задачі використовуйте метод дослідження.

Вам знадобиться

• - Лінійка;
• - олівець;
• - знання засад тригонометрії.

Інструкція

Відео на тему

Зверніть увагу

Якщо дві півосі односмугового гіперболоїда рівні, то фігуру можна отримати шляхом обертання гіперболи з півосями, одна з яких вищезгадана, а інша, що відрізняється від двох рівних, навколо уявної осі.

Корисна порада

При розгляді цієї фігури щодо осей Oxz та Oyz видно, що її головними перерізами є гіперболи. А при розрізі даної просторової фігуриобертання площиною Oxy її переріз є еліпс. Горловий еліпс односмугового гіперболоїду проходить через початок координат, адже z=0.

Горловий еліпс описується рівнянням x²/a² +y²/b²=1, інші еліпси складаються за рівнянням x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Джерела:

• Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди. Прямолінійні утворюючі

Форма п'ятикутної зірки повсюдно використовується людиною з давніх часів. Ми вважаємо її форму прекрасною, оскільки несвідомо розрізняємо у ній співвідношення золотого перерізу, тобто. краса п'ятикутної зірки обґрунтована математично. Першим описав побудову п'ятикутної зірки Евклід у своїх "Початках". Давайте ж долучимося до його досвіду.

Вам знадобиться

• лінійка;
• олівець;
• циркуль;
• транспортир.

Інструкція

Побудова зірки зводиться до побудови з наступним з'єднанням вершин один з одним послідовно через одну. Для того щоб побудувати правильний необхідно розбити коло на п'ять.
Побудуйте довільне колоза допомогою циркуля. Позначте її центр точкою O.

Позначте точку A і з допомогою лінійки накресліть відрізок ОА. Тепер необхідно розділити відрізок OA навпіл, для цього з точки А проведіть дугу радіусом ОА до перетину її з колом у двох точках M та N. Побудуйте відрізок MN. Точка Е, в якій MN перетинає OA, ділитиме відрізок OA навпіл.

Відновіть перпендикуляр OD до радіусу ОА та з'єднайте точку D та E. Зробіть засічку B на OA з точки E радіусом ED.

Тепер за допомогою відрізка DB розмітте коло на п'ять рівних частин. Позначте вершини правильного п'ятикутника послідовно цифрами від 1 до 5. З'єднайте точки в наступної послідовності: 1 з 3, 2 з 4, 3 з 5, 4 з 1, 5 з 2. Ось і правильна п'ятикутна зірка, правильний п'ятикутник. Саме в такий спосіб будував

Життя людей наповнене симетрією. Це зручно, красиво, не потрібно вигадувати нових стандартів. Але що вона є насправді і чи така гарна в природі, як прийнято вважати?

Симетрія

З давніх-давен люди прагнуть упорядкувати світ навколо себе. Тож щось вважається гарним, а щось не дуже. З естетичної точки зору як привабливі розглядаються золотий та срібний переріз, а також, зрозуміло, симетрія. Цей термін має грецьке походженняі дослівно означає "пропорційність". Зрозуміло, мова йдене тільки про збіг за цією ознакою, а й за деякими іншими. У загальному сенсісиметрія - це така властивість об'єкта, коли в результаті тих чи інших утворень результат дорівнює вихідним даним. Це зустрічається як у живій, так і в неживої природи, а також у предметах, зроблених людиною.

Насамперед термін "симетрія" вживається в геометрії, але знаходить застосування у багатьох наукових галузях, причому його значення залишається у цілому незмінним. Це досить часто зустрічається і вважається цікавим, оскільки відрізняється його видів, і навіть елементів. Використання симетрії також цікаве, адже вона зустрічається не тільки в природі, а й у орнаментах на тканині, бордюрах будівель та багатьох інших рукотворних предметах. Варто розглянути це подробиці, оскільки це вкрай захоплююче.

Вживання терміна в інших наукових галузях

Надалі симетрія розглядатиметься з погляду геометрії, проте варто згадати, що дане слововикористовується не лише тут. Біологія, вірусологія, хімія, фізика, кристалографія – все це неповний список областей, у яких дане явищевивчається з різних сторіні в різних умовах. Від того, до якої науки належить цей термін, залежить, наприклад, класифікація. Так, поділ на типи серйозно варіюється, хоча деякі основні, мабуть, залишаються незмінними скрізь.

Класифікація

Розрізняють кілька основних типів симетрії, з яких найчастіше зустрічаються три:

Крім того, в геометрії розрізняють також наступні типи, вони зустрічаються значно рідше, але не менш цікаві:

• ковзна;
• обертальна;
• точкова;
• поступальна;
• гвинтова;
• фрактальна;
• і т.д.

У біології всі види називаються трохи інакше, хоча насправді можуть бути такими ж. Підрозділ на ті чи інші групи відбувається на підставі наявності чи відсутності, а також кількості деяких елементів, таких як центри, площини та осі симетрії. Їх слід розглянути окремо та детальніше.

Базові елементи

У явищі виділяють деякі риси, одна з яких обов'язково є. Так звані базові елементивключають площини, центри і осі симетрії. Саме відповідно до їх наявності, відсутності та кількості визначається тип.

Центром симетрії називають точку всередині фігури або кристала, в якій сходяться лінії, що поєднують попарно всі паралельні другдругої сторони. Зрозуміло, він не завжди. Якщо є сторони, до яких немає паралельної пари, то таку точку знайти неможливо, оскільки її немає. Відповідно до визначення, очевидно, що центр симетрії - це те, через що фігура може бути відображена сама на себе. Прикладом може бути, наприклад, коло і точка у її середині. Цей елемент зазвичай позначається як C.

Площина симетрії, зрозуміло, уявна, але вона ділить фігуру на дві рівні одна одній частини. Вона може проходити через одну або кілька сторін, бути паралельною до неї, а може ділити їх. Для однієї й тієї фігури може існувати відразу кілька площин. Ці елементи зазвичай позначаються як P.

Але, мабуть, найчастіше трапляється те, що називають "осі симетрії". Це нерідке явище можна побачити як у геометрії, і у природі. І воно гідне окремого розгляду.

Осі

Часто елементом, щодо якого фігуру можна назвати симетричною,

виступає пряма чи відрізок. У будь-якому випадку йдеться не про точку і не про площину. Тоді розглядаються постаті. Їх може бути дуже багато, і розташовані вони можуть бути як завгодно: ділити сторони або бути паралельними до них, а також перетинати кути або не робити цього. Осі симетрії зазвичай позначаються як L.

Прикладами можуть бути рівнобедрені і У першому випадку буде вертикальна вісьсиметрії, по обидва боки якої рівні грані, а в другому лінії перетинатимуть кожен кут і збігатимуться з усіма бісектрисами, медіанами та висотами. Звичайні ж трикутники нею не мають.

До речі, сукупність усіх вищезгаданих елементів у кристалографії та стереометрії називається ступенем симетрії. Цей показник залежить від кількості осей, площин та центрів.

Приклади у геометрії

Умовно можна розділити всі безліч об'єктів вивчення математиків на постаті, що мають вісь симетрії, і такі, які її не мають. У першу категорію автоматично потрапляють усі кола, овали, а також деякі окремі випадки, інші ж потрапляють у другу групу.

Як і у випадку, коли йшлося про вісь симетрії трикутника, даний елементдля чотирикутника існує не завжди. Для квадрата, прямокутника, ромба чи паралелограма він є, а для неправильної фігуривідповідно, ні. Для кола осі симетрії – це безліч прямих, які проходять через її центр.

Крім того, цікаво розглянути та об'ємні фігуриз цієї точки зору. Хоча б однією віссю симетрії крім усіх правильних багатокутниківі кулі будуть мати деякі конуси, а також піраміди, паралелограми та деякі інші. Кожен випадок слід розглядати окремо.

Приклади у природі

У житті називається білатеральною, вона зустрічається найбільш
часто. Будь-яка людина і дуже багато тварин тому приклад. Осьова ж називається радіальною і зустрічається набагато рідше, як правило, в рослинному світі. І все-таки вони є. Наприклад, варто подумати, скільки осей симетрії має зірка, і чи вона їх взагалі? Зрозуміло, йдеться про морських мешканців, а не предмет вивчення астрономів. І правильною відповіддю буде така: це залежить від кількості променів зірки, наприклад п'ять, якщо вона п'ятикутна.

Крім того, радіальна симетрія спостерігається у багатьох квіток: ромашки, волошки, соняшники і т. д. Прикладів величезна кількість вони буквально скрізь навколо.

Аритмія

Цей термін, перш за все, нагадує більшості про медицину та кардіологію, проте він спочатку має дещо інше значення. У даному випадкусинонімом буде "асиметрія", тобто відсутність чи порушення регулярності у тому чи іншому вигляді. Її можна зустріти як випадковість, а іноді вона може стати чудовим прийомом, наприклад, в одязі чи архітектурі. Адже симетричних будівель дуже багато, але знаменита трохи нахилена, і хоч вона не одна така, але це сама відомий приклад. Відомо, що так вийшло випадково, але в цьому є своя краса.

Крім того, очевидно, що обличчя і тіла людей та тварин теж не повністю симетричні. Проводились навіть дослідження, згідно з результатами яких "правильні" особи розцінювалися як неживі чи просто непривабливі. Все-таки сприйняття симетрії і це явище саме собою дивовижні і поки не до кінця вивчені, а тому вкрай цікаві.

Мета уроку:

• формування поняття "симетричні точки";
• вчити дітей будувати точки, симетричні даним;
• вивчати будувати відрізки, симетричні даним;
• закріплення пройденого (формування обчислювальних навичок, розподіл багатозначного числа на однозначне).

На стенді "до уроку" картки:

1. Організаційний момент

Вітання.

Вчитель звертає увагу на стенд:

Діти, починаємо урок із планування нашої роботи.

Сьогодні на уроці математики ми здійснимо подорож у 3 царства: царство арифметики, алгебри та геометрії. Почнемо урок із найголовнішого для нас сьогодні, з геометрії. Я розповім вам казку, але "Казка - брехня, та в ній натяк - добрим молодцям урок".

Одного разу, їдучи надовго, філософ поклав перед ослом два однакові оберемки сіна. Він поставив лаву, а ліворуч від лави і праворуч від неї на однаковій відстані поклав абсолютно однакові оберемки сіна.

Малюнок 1 на дошці:

Осел ходив від одного оберемка сіна до іншого, але так і не вирішив, з якого оберемка йому почати. І, зрештою, помер із голоду".

Чому осел так і не вирішив, з якого оберемка сіна йому почати?

Що ви можете сказати про ці оберемки сіна?

(Оберемки сіна абсолютно однакові, знаходилися на однаковій відстані від лави, отже, вони симетричні).

2. Проведемо невелику дослідницьку роботу.

Візьміть аркуш паперу (у кожної дитини на парті лежить аркуш кольорового паперу), складіть його навпіл. Проколи його ніжкою циркуля. Розгорніть.

Що у вас вийшло? (2 симетричні точки).

Як переконатися, що вони справді симетричні? (Складемо лист, точки збігаються)

3. На дошці:

Як ви вважаєте, чи симетричні дані точки? (Ні). Чому? Як нам переконатися у цьому?

Малюнок 3:

Чи симетричні ці точки А та В?

Як ми можемо довести це?

(Виміряти відстань від прямої до точок)

Повертаємось до наших листочків кольорового паперу.

Виміряйте відстань від лінії згину (осі симетрії) спочатку до однієї, а потім до іншої точки (але спочатку з'єднайте їх відрізком).

Що ви можете сказати про ці відстані?

(однакові)

Знайдіть середину відрізка.

Де вона знаходиться?

(є точкою перетину відрізка АВ з віссю симетрії)

4. Звертаємо увагу на кути, утворені внаслідок перетину відрізка АВ з віссю симетрії. (З'ясовуємо за допомогою косинця, кожна дитина працює на своєму робочому місці, один навчається на дошці).

Виведення дітей: відрізок АВ знаходиться під прямим кутом по відношенню до осі симетрії.

Самі того не знаючи, ми зараз з вами відкрили математичне правило:

Якщо точки А і В симетричні щодо прямої або осі симетрії, то відрізок, що з'єднує ці точки, знаходиться під прямим кутом, або перпендикулярний до цієї прямої. (Слово "перпендикулярне" виписано окремо на стенді). Слово "перпендикулярний" вимовляємо вголос хором.

5. Звернімо увагу, як це правило написано у нас у підручнику.

Робота з підручника.

Знайдіть симетричні точки щодо прямої. Чи будуть точки А та В симетричні щодо цієї прямої?

6. Робота над новим матеріалом

Повчимося будувати точки, симетричні даним, щодо прямої.

Вчитель вчить міркувати.

Щоб побудувати точку, симетричну точці А, потрібно перенести цю точку від прямої на ту саму відстань вправо.

7. Вчимося будувати відрізки, симетричні даним, щодо прямої. Робота з підручника.

Учні міркують біля дошки.

8. Усний рахунок.

На цьому ми закінчимо наше перебування в Царстві Геометрія і проведемо невелику математичну розминку, побувавши в царстві Арифметика.

Коли всі працюють усно, двоє учнів працюють на індивідуальних дошках.

А) Виконайте поділ із перевіркою:

Б) Вставивши потрібні цифри, розв'яжіть приклад і перевірте:

Усний рахунок.

1. Тривалість життя берези 250 років, а дуба у 4 рази більше. Скільки років живе дуб?
2. Папуга живе в середньому 150 років, а слон утричі менший. Скільки років живе слон?
3. Ведмідь покликав гостей: їжака, лисиця і білку. І дар йому піднесли гірчичницю, виделку і ложку.

Що подарував ведмедеві їжак?

• Відповісти на це питання ми зможемо, якщо виконаємо ці програми.
• Гірчичниця - 7
• Виделка - 8

Ложка - 6

(Їжак подарував ложку)

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

4) Обчисліть. Знайдіть зайвий приклад.

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. 5) Знайдіть закономірність і допоможіть записати потрібне число:

А зараз трохи відпочинемо.

10. Послухаємо "Місячну сонату" Бетховена. Хвилина класичної музики. Учні кладуть голову на парту, заплющують очі, слухають музику.

Подорож до царства алгебри.

Вгадай коріння рівняння та зроби перевірку:

11. "Уч-ся вирішують на дошці та у зошитах. Пояснюють, як здогадалися. .

Бліцтурнір"

а) Ася купила 5 бубликів з а рублів і 2 батони з b рублів. Скільки коштує вся покупка?

12. Перевіряємо. Ділимося думками.

Підбиття підсумків.

Отже, ми закінчили нашу подорож до царства математики.

Що було для вас найважливішим на уроці?

Кому наш урок сподобався?

Мені було приємно з вами працювати

Дякую вам за урок.

ТРИКУТНИКИ.

§ 17. СИМЕТРІЯ ЩОДО ПРЯМИЙ.

1. Фігури, симетричні одна одній.

Накреслимо на аркуші паперу чорнилом якусь фігуру, а олівцем поза нею - довільну пряму. Потім, не даючи чорнилу висохнути, перегнемо аркуш паперу по цій прямій так, щоб одна частина аркуша налягла на іншу. На цій іншій частині аркуша вийде таким чином відбиток даної фігури. Якщо потім аркуш паперу знову розпрямити, то на ньому виявляться дві фігури, які називаютьсясиметричними

щодо цієї прямої (чорт. 128).

Дві фігури називаються симетричними щодо деякої прямої, якщо при перегинанні площини креслення по цій прямій вони поєднуються. Пряма, щодо якої дані фігури симетричні, називається їх.

віссю симетрії З визначення симетричних фігур випливає, що будь-якісиметричні фігури

рівні. Отримати симетричні фігури можна і не користуючись перегинанням площини, а за допомогоюгеометричної побудови
. Нехай потрібно побудувати точку С", симетричну даній точці відносно прямої АВ. Опустимо з точки С перпендикуляр

СD на пряму АВ і на продовженні його відкладемо відрізок DС" = DС. Якщо перегнемо площину креслення по АВ, точка С поєднається з точкою С": точки С і С"симетричні (чорт. 129). даному відрізку CD відносно прямої АВ. Побудуємо точки С" і D", симетричні точкамС і D. Якщо перегнемо площину креслення по АВ, то точки С і D суміщаються відповідно до точок С" і D" (чорт. 130).

Побудуємо тепер фігуру, симетричну даному багатокутникуАВСDЕ щодо цієї осі симетрії МN (чорт. 131).

Для вирішення цього завдання опустимо перпендикуляри А а, В b, З з, D dта Е ена вісь симетрії МN. Потім на продовження цих перпендикулярів відкладемо відрізки
аА" = А а, bВ" = В b, зС" = Сс; d D"" =D dі еЕ" = Е е.

Багатокутник А"В"С"D"Е" буде симетричним багатокутнику АВСDЕ. Дійсно, якщо перегнути креслення по прямій МN, то відповідні вершини обох багатокутників суміщаться, а значить, суміщаться і самі багатокутники; це і доводить, що багатокутники АВСDЕ і А" В"С"D"Е" симетричні щодо прямої MN.

2. Фігури, які з симетричних елементів.

Часто зустрічаються геометричні фігури, які якісь прямі поділяються на дві симетричні частини. Такі фігури називаються симетричними.

Так, наприклад, кут - фігура симетрична, і бісектриса кута є його віссю симетрії, тому що при перегинанні по ній одна частина кута поєднується з іншою (чорт. 132).

У колі віссю симетрії є його діаметр, тому що при перегинанні по ньому одне півколо поєднується з іншим (чорт. 133). Так само симетричні фігури на кресленнях 134, а, б.

Симетричні фігури часто зустрічаються у природі, будівництві, в прикрасах. Зображення, поміщені на кресленнях 135 та 136, симетричні.

Слід зазначити, що симетричні фігури поєднати простим пересуванням площиною можна лише у випадках. Щоб поєднати симетричні фігури, як правило, необхідно одну з них повернути зворотним боком,

симетрія архітектурний фасад споруда

Симетрія - поняття, яке відбиває існуючий у природі порядок, пропорційність і пропорційність між елементами будь-якої системи чи об'єкта природи, упорядкованість, рівновагу системи, стійкість, тобто. якийсь елемент гармонії.

Пройшли тисячоліття, як людство під час своєї суспільно-виробничої діяльності усвідомило необхідність висловити у певних поняттях встановлені їм передусім у природі дві тенденції: наявність суворої впорядкованості, пропорційності, рівноваги та його порушення. Люди давно звернули увагу на правильність форми кристалів, геометричну строгість будови бджолиних стільників, послідовність і повторюваність розташування гілок і листя на деревах, пелюсток, квітів, насіння рослин та відобразили цю впорядкованість у своїй. практичної діяльності, мислення та мистецтво.

Симетрією мають об'єкти та явища живої природи. Вона не тільки тішить око і надихає поетів усіх часів і народів, а дозволяє живим організмам краще пристосуватися до довкілля і просто вижити.

У живій природі більшість живих організмів виявляє різні видисиметрій (форми, подоби, відносного розташування). Причому організми різної анатомічної будови можуть мати той самий тип зовнішньої симетрії.

Принцип симетрії - стверджує, що й простір однорідно, перенесення системи як цілого у просторі не змінює властивостей системи. Якщо всі напрями у просторі рівнозначні, то принцип симетрії дозволяє поворот системи як у просторі. Принцип симетрії дотримується, якщо змінити початок часу. Відповідно до принципу, можна зробити перехід в іншу систему відліку, що рухається щодо даної системи з постійною швидкістю. Неживий світ дуже симетричний. Нерідко порушення симетрії в квантової фізики елементарних частинок- Це прояв ще глибшої симетрії. Асиметрія є структуроутворюючим і принципом життя. У живих клітинах функціонально-значущі біомолекули асиметричні: білки складаються з лівообертаючих амінокислот (L-форма) нуклеїнові кислотимістять у своєму складі, крім гетероциклічних основ, правообертальні вуглеводи - цукру (Д-форма), крім того сама ДНК - основа спадковості є правою подвійною спіраллю.

Принципи симетрії лежать в основі теорії відносності, квантової механіки, фізики твердого тіла, атомної та ядерної фізики, фізики елементарних частинок Ці принципи найяскравіше виражаються у властивостях інваріантності законів природи. Йдеться при цьому не тільки про фізичні закони, Але й інші, наприклад, біологічні. Прикладом біологічного закону збереження може бути закон наслідування. В основі його лежить інваріантність біологічних властивостейпо відношенню до переходу від одного покоління до іншого. Цілком очевидно, що без законів збереження (фізичних, біологічних та інших) наш світ просто не міг би існувати.

Таким чином, симетрія виражає збереження чогось за якихось змін або збереження чогось, незважаючи на зміну. Симетрія передбачає незмінність як самого об'єкта, а й будь-яких його властивостей стосовно перетворенням, виконаним над об'єктом. Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися стосовно різноманітних операцій - до поворотів, переносів, взаємної заміни частин, відображень тощо.

Розглянемо види симетрії з математики:

• * центральна (щодо точки)
• * осьова (щодо прямої)
• * дзеркальна (щодо площини)
• 1. Центральна симетрія (додаток 1)

Фігура називається симетричною щодо точки Про, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точки Про також належить цій фігурі. Точка О називається центром симетрії фігури.

Вперше поняття центру симетрії зустрічається у XVI ст. В одній з теорем Клавіуса, що говорить: «якщо паралелепіпед розсікається площиною, що проходить через центр, він розбивається навпіл і, навпаки, якщо паралелепіпед розтинається навпіл, то площина проходить через центр». Лежандр, який вперше ввів у елементарну геометріюелементи вчення про симетрію, показує, що у прямого паралелепіпедає 3 площини симетрії, перпендикулярні до ребрів, а куб 9 площин симетрії, з яких 3 перпендикулярні до ребер, а інші 6 проходять через діагоналі граней.

Прикладами фігур, які мають центральною симетрією, є коло та паралелограм.

У алгебрі щодо чётних і непарних функцій розглядаються їх графіки. Графік парної функції під час побудови симетричний щодо осі ординат, а графік непарної функції - щодо початку координат, тобто. точки О. Значить, не парна функціямає центральну симетрію, а парна функція - осьовий.

2. Осьова симетрія (додаток 2)

Фігура називається симетричною щодо прямої а, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо прямої а також належить цій фігурі. Пряма а називається віссю симетрії фігури. Кажуть також, що фігура має осьову симетрію.

У більш вузькому значеннівіссю симетрії називають вісь симетрії другого порядку і говорять про «осьову симетрію», яку можна визначити так: фігура (або тіло) має осьову симетрію щодо деякої осі, якщо кожній її точці Е відповідає така точка F, що належить цій же фігурі, що відрізок EF перпендикулярний до осі, перетинає її й у точці перетину ділиться навпіл.

Наведу приклади фігур, що мають осьову симетрію. У нерозгорнутого кута одна вісь симетрії - пряма, де розташована бісектриса кута. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має також одну вісь симетрії, а рівносторонній трикутник- Три осі симетрії. Прямокутник і ромб, не є квадратами, мають дві осі симетрії, а квадрат- чотири осі симетрії. У кола їх нескінченно багато - будь-яка пряма, що проходить через її центр, є віссю симетрії.

Є фігури, які не мають жодної осі симетрії. До таких фігур відносяться паралелограм, відмінний від прямокутника, різнобічний трикутник.

3. Дзеркальна симетрія (додаток 3)

Дзеркальною симетрією (симетрією щодо площини) називається таке відображення простору він, у якому будь-яка точка М перетворюється на симетричну їй щодо цієї площині точку М1.

Дзеркальна симетрія добре знайома кожній людині із повсякденного спостереження. Як показує сама назва, дзеркальна симетріяпов'язує будь-який предмет та його відображення в плоске дзеркало. Кажуть, що одна фігура (або тіло) є дзеркально симетричною іншою, якщо разом вони утворюють дзеркально симетричну фігуру (або тіло).

Гравцям у більярд давно знайома дія відображення. Їхні «дзеркала» - це борти ігрового поля, а роль променя світла виконують траєкторії куль. Вдарившись об борт біля кута, куля котиться до сторони, розташованої під прямим кутом, і, відбившись від неї, рухається паралельно напряму першого удару.

Слід зазначити, що дві симетричні фігури або дві симетричні частини однієї фігури при всій їх схожості, рівності обсягів і площ поверхонь, загальному випадку, Нерівні, тобто. їх не можна поєднати один з одним. Це різні фігури, їх не можна замінити одна одною, наприклад, права рукавичка, черевики і т.д. не годяться для лівої руки, ноги. Предмети можуть мати одну, дві, три тощо. площин симетрії. Наприклад, пряма піраміда, основою якої є рівнобедрений трикутник, симетрична щодо однієї площини Р. Призма з такою самою основою має дві площини симетрії. У правильної шестикутної призмиїх сім. Тіла обертання: куля, тор, циліндр, конус і т.д. мають нескінченна кількістьплощин симетрії.

Стародавні греки вважали, що Всесвіт симетричний просто тому, що симетрія прекрасна. Виходячи з міркувань симетрії, вони висловили низку припущень. Так, Піфагор (5 століття до н.е.), вважаючи сферу найбільш симетричною та досконалою формою, робив висновок про сферичність Землі та її рух по сфері. При цьому він вважав, що Земля рухається сферою якогось «центрального вогню». Навколо того ж «вогню», згідно з Піфагором, мали звертатися відомі на той час шість планет, а також Місяць, Сонце, зірки.