Редакція NNN випадково натрапила на вельми цікавий матеріал, представлений у блозі користувача xtsarx, присвячений елементам теорії фракталівта її практичного застосування. Як відомо, терія фракталів відіграє далеко не останню роль у фізиці та хімії наносистем. Внісши свій внесок у цей добротний матеріал, викладений мовою, доступною для широкого кола читачів і підкріплений великою кількістю графічного і навіть відео матеріалу, ми представляємо його Вашій увазі. Сподіваємось, що читачам NNN цей матеріал буде цікавим.

Природа так загадкова, що чим більше вивчаєш її, тим більше питань з'являється… Нічні блискавки – сині «струмені» розрядів, що розгалужуються, морозні візерунки на вікні, сніжинки, гори, хмари, кора дерева – все це виходить за рамки звичної евклідової геометрії. Ми не можемо описати камінь або межі острова за допомогою прямих, гуртків та трикутників. І тут нам приходять на допомогу фрактали. Що це за знайомі незнайомці?

«Під мікроскопом він відкрив, що на блосі
Живе блоху кусаюча блішка;
На блішці тієї блошинка-крихта,
У блошинку ж встромляє зуб сердито
Блошиночка, і так ad infinitum». Д. Свіфт.

Трохи з історії

Перші ідеї фрактальної геометріївиникли у 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури, що повторюється, перетворив лінію на набір незв'язаних точок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками, що залишилися.

Мал. 1. Крива пеано 1,2-5 ітерації.

Пеано намалював особливий вид лінії. Пеано вчинив так: На першому кроці він брав пряму лінію і заміняв її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії Далі він робив те саме з кожним відрізком лінії, що вийшла. І так до безкінечності. Її унікальність у цьому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано та пил Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувався начебто на підставі одномірної прямої, але складався з точок (розмірність 0). А крива Пеано будувалася виходячи з одномірної лінії, а результаті виходила площину. У багатьох інших галузях науки з'являлися завдання, вирішення яких призводило до дивних результатів на кшталт описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції). Кожен з нас може зробити цю процедуру.

Батько Фракталов

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про такі дивні об'єкти, без спроби їх систематизувати. Так було, доки за них не взявся Бенуа Мандельброт – батько сучасної фрактальної геометрії та слова фрактал.

Мал. 2. Бенуа Мандельброт.

Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставляючи факти, він прийшов до відкриття нового напряму математики – фрактальної геометрії.

Термін «фрактал» Б.Мандельброт увів у 1975 р.. Згідно з Мандельбротом, фракталом(від латів. «fractus» – дробовий, ламаний, розбитий) називається структура, що складається з частин, подібних до цілого. Властивість самоподібності різко відрізняє фрактал від об'єктів класичної геометрії. Термін самоподібністьозначає наявність тонкої структури, що повторюється, як на найменших масштабах об'єкта, так і в макромаштабі.

Мал. 3. До визначення поняття «фрактал».

Прикладами самоподібності є: криві Коха, Леві, Мінковського, трикутник Серпінського, губка Менгера, дерево Піфагора та ін.

З математичної точки зору, фрактал- це, перш за все, множина з дробовою (проміжною, «не цілою») розмірністю. У той час як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновимірний простір, фрактальна крива виходить за межі одновимірного простору, вторгається за кордони в двовимірний простір. у фрактального об'єкта неможливо точно виміряти його довжину! З цих геометричних фракталів дуже цікавим і досить відомим є перший. сніжинка Коха.

Мал. 4. До визначення поняття «фрактал».

Будується вона на основі рівностороннього трикутника. Кожна лінія якого замінюється на 4 лінії кожна довжиною 1/3 вихідної. Таким чином, з кожною ітерацією довжина кривої збільшується на третину. І якщо ми зробимо нескінченну кількість ітерацій – отримаємо фрактал – сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, що наша нескінченна крива вкриває обмежену площу. Спробуйте зробити те саме методами і фігурами з евклідової геометрії.
Розмір сніжинки Коха(При збільшенні сніжинки втричі її довжина зростає вчетверо) D=log(4)/log(3)=1.2619.

Про сам фракталь

Фрактали знаходять дедалі більше застосування у науці та техніці. Основна причина цього у тому, що вони описують реальний світ іноді навіть краще, ніж традиційна фізика чи математика. Можна до нескінченності наводити приклади фрактальних об'єктів у природі – це і хмари, і пластівці снігу, і гори, і спалах блискавки, і, нарешті, цвітна капуста. Фрактал як природний об'єкт – це вічне безперервне рух, нове становлення та розвитку.

Мал. 5. Фрактали економіки.

Крім того, фрактали знаходять застосування у децентралізованих комп'ютерних мережах і «фрактальні антени» . Дуже цікаві та перспективні для моделювання різних стохастичних (не детермінованих) «випадкових» процесів, так звані «броунівські фрактали». У разі нанотехнологій фрактали теж відіграють важливу роль , оскільки через свою ієрархічну самоорганізацію багато наносистеми мають нецілочисленну розмірністьтобто є за своєю геометричною, фізико-хімічною або функціональною природою фракталами. Наприклад, яскравим прикладом хімічних фрактальних систем є молекули «дендрімерів» . Крім того, принцип фрактальності (самоподібної, скейлінгової структури) є відображенням ієрархічності будови системи і тому є більш загальним та універсальним, ніж стандартні підходи до опису будови та властивостей наносистем.

Мал. 6. Молекули «дендрімерів».

Мал. 7. Графічна модель комунікації у архітектурно-будівельному процесі. Перший рівень взаємодії з позицій мікропроцесів.

Мал. 8. Графічна модель комунікації у архітектурно-будівельному процесі. Другий рівень взаємодії з позицій макропроцесів (фрагмент моделі).

Мал. 9. Графічна модель комунікації у архітектурно-будівельному процесі. Другий рівень взаємодії з позицій макропроцесів (модель цілком)

Мал. 10. Площинний розвиток графічної моделі. Перший гомеостатичний стан.

Фрактали та золотий перетин «Фрактали» частина 1 «Фрактали» частина 2 «Фрактали» частина 3 «Фрактали» частина 4 «Фрактали» частина 5

Фотогалерея красивих та незвичайних фракталів

Мал. 11.

Мал. 12.

Мал. 13.

Мал. 14.

Мал. 15.

Мал. 16.

Мал. 17.

Мал. 18.

Мал. 19.

Мал. 20.

Мал. 21.

Мал. 22.

Мал. 23.

Мал. 24.

Мал. 25.

Мал. 26.

Мал. 27.

Мал. 28.

Мал. 29.

Мал. 30.

Мал. 31.

Мал. 32.

Мал. 33.

Мал. 34.

Мал. 35.

Корекція та правка виконані Пилиповим Ю.П.

Фрактал

Фрактал (лат. fractus-подрібнений, зламаний, розбитий) - геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної. Фрактазм - самостійна точна наука вивчення та складання фракталів.

Тобто фрактали – геометричні об'єкти з дробовою розмірністю. Наприклад, розмірність лінії – 1, площі – 2, обсягу – 3. У фрактала значення розмірності може бути між 1 і 2 або між 2 і 3. Наприклад, фрактальна розмірність зім'ятої паперової кульки приблизно дорівнює 2,5. У математиці існує спеціальна складна формула для обчислення розмірності фракталів. Розгалуження трубочок трахей, листя на деревах, вени в руці, річка – це фрактали. Говорячи простою мовою, фрактал – це геометрична фігура, певна частина якої повторюється знову і знову, змінюючись у розмірах – це і є принцип самоподібності. Фрактали подібні до самих себе, вони схожі самі на себе на всіх рівнях (тобто в будь-якому масштабі). Існує багато різних типів фракталів. В принципі, можна стверджувати, що все, що існує в реальному світі, є фракталом, чи то хмара, чи молекула кисню.

Слово «хаос» наводить на думки про щось непередбачуване, але насправді хаос досить упорядкований і підпорядковується певним законам. Мета вивчення хаосу та фракталів – передбачити закономірності, які, на перший погляд, можуть здаватися непередбачуваними та абсолютно хаотичними.

Піонером у цій галузі пізнання був франко-американський математик, професор Бенуа Б. Мандельброт. У середині 1960-х ним розроблено фрактальну геометрію, метою якої був аналіз ламаних, зморшкуватих та нечітких форм. Безліч Мандельброта (показано малюнку) - перша асоціація, що виникає в людини, що він чує слово «фрактал». До речі, Мандельброт визначив, що фрактальна розмірність берегової лінії Англії становить 1,25.

Фрактали знаходять дедалі більше застосування у науці. Вони описують реальний світ навіть краще, ніж традиційна фізика чи математика. Броунівський рух - це, наприклад, випадковий та хаотичний рух частинок пилу, зважених у воді. Цей тип руху, можливо, є аспектом фрактальної геометрії, що має найбільше практичного використання. Випадковий броунівський рух має частотну характеристику, яка може бути використана для передбачення явищ, що включають велику кількість даних та статистики. Наприклад, Мандельброт передбачив з допомогою броунівського руху зміну ціни шерсть.

Слово «фрактал» може вживатися як математичний термін. Фракталом у пресі та науково-популярній літературі можуть називати фігури, що володіють якими-небудь із наведених нижче властивостей:

Має нетривіальну структуру на всіх масштабах. У цьому відмінність від регулярних фігур (таких, як коло, еліпс, графік гладкої функції): якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він схожий на фрагмент прямий. Для фрактал збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.

Є самоподібною або приблизно самоподібною.

Має дробову метричну розмірність або метричну розмірність, що перевищує топологічну.

Найбільш корисним використанням фракталів у комп'ютерній техніці є фрактальний стиск даних. При цьому картинки стискаються набагато краще, ніж це робиться звичайними методами – до 600:1. Інша перевага фрактального стиску в тому, що при збільшенні не спостерігається ефекту пікселізації, що різко погіршує картинку. Мало того, фрактально стиснене зображення після збільшення часто виглядає навіть краще, ніж до нього. Cпеціалістам у галузі комп'ютерної техніки відомо також, що фрактали нескінченної складності та краси можуть бути згенеровані простими формулами. Індустрія кіно для створення реалістичних елементів ландшафту (хмари, скелі та тіні) широко використовує технологію фрактальної графіки.

Вивчення турбулентності у потоках дуже добре підлаштовується під фрактали. Це дозволяє краще зрозуміти динаміку складних потоків. За допомогою фракталів можна також змоделювати мови полум'я. Пористі матеріали добре видаються у фрактальній формі у зв'язку з тим, що вони мають дуже складну геометрію. Для передачі даних на відстані використовуються антени, що мають фрактальні форми, що сильно зменшує їх розміри та вагу. Фрактали використовуються для опису кривизни поверхонь. Нерівна поверхня характеризується комбінацією двох різних фракталів.

Багато об'єктів у природі мають фрактальні властивості, наприклад, узбережжя, хмари, крони дерев, сніжинки, кровоносна система і система альвеол людини або тварин.

Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютера.

Перші приклади самоподібних множин з незвичайними властивостями з'явилися в XIX столітті (наприклад, функція Больцано, функція Вейєрштраса, безліч Кантора). Термін «фрактал» був запроваджений Бенуа Мандельбротом у 1975 році і набув широкої популярності з виходом у 1977 році його книги «Фрактальна геометрія природи».

На малюнку зліва як простий приклад наведено фрактал «п'ятикутник Дарера», який виглядає, як зв'язка п'ятикутників, стиснутих разом. Фактично він утворений при використанні п'ятикутника в якості ініціатора і рівнобедрених трикутників, відношення більшої сторони до меншої в яких точно так званої золотої пропорції (1.618033989 або 1/(2cos72°)) в якості генератора. Ці трикутники вирізаються з середини кожного п'ятикутника, у результаті виходить фігура, схожа на 5 маленьких п'ятикутників, приклеєних до одного великому.

Теорія хаосу каже, що складні нелінійні системи є спадково непередбачуваними, але, водночас стверджує, що спосіб висловлювання таких непередбачуваних систем виявляється вірним над точних рівностях, а представлення поведінки системи - у графіках дивних атракторів, мають вигляд фракталів. Таким чином, теорія хаосу, про яку багато хто думає як про непередбачуваність, виявляється наукою про передбачуваність навіть у найбільш нестабільних системах. Вчення про динамічні системи показує: прості рівняння можуть породжувати таке хаотичне поведінка, у якому система будь-коли повертається у стабільний стан і навіть не проявляється ніякої закономірності. Часто такі системи поводяться цілком нормально до певного певного значення ключового параметра, потім відчувають перехід, у якому є дві можливості її подальшого розвитку, потім чотири, і, нарешті, хаотичний набір можливостей.

Схеми процесів, які у технічних об'єктах, мають чітко виражене фрактальне будова. Структура мінімальної технічної системи (МС) має на увазі протікання в межах ТЗ двох типів процесів - головного і забезпечують, причому цей поділ умовно і відносно. Будь-який процес може бути головним по відношенню до забезпечувальних, а будь-який із забезпечувальних процесів може вважатися головним по відношенню до «своїм» забезпечуючим процесам. Гуртками на схемі позначені фізефекти, що забезпечують протікання тих процесів, для забезпечення яких не потрібно спеціально створювати «свої» ТЗ. Ці процеси є результатом взаємодії між речовинами, полями, речовинами та полями. Якщо бути точним, то фізефект - це ТЗ, на принцип роботи якої ми не можемо вплинути, а в її пристрій не бажаємо або не маємо можливості втручатися.

Протікання головного процесу, зображеного на схемі, забезпечується існуванням трьох забезпечують процесів, що є головними для породжують їх ТЗ. Задля справедливості зазначимо, що з функціонування навіть мінімальної ТЗ трьох процесів явно недостатньо, тобто. схема дуже і дуже перебільшена.

Все не так просто, як показано на схемі. Корисний (потрібний людині) процес не може виконуватися із стовідсотковою ефективністю. Розсіювана енергія витрачається створення шкідливих процесів – нагрівання, вібрації тощо. В результаті паралельно корисному процесу виникають шкідливі. Не завжди є можливість замінити «поганий» процес на «хороший», тому доводиться організовувати нові процеси, спрямовані на компенсацію шкідливих для системи наслідків. Характерний приклад - необхідність боротьби з тертям, що змушує організовувати хитромудрі схеми мастила, застосовувати дорогі антифрикційні матеріали або витрачати час на мастило вузлів і деталей або його періодичну заміну.

У зв'язку з існуванням неминучого впливу мінливого середовища корисний процес може потребувати управління. Управління може здійснюватися як з допомогою автоматичних пристроїв, і безпосередньо людиною. Схема процесів є набором спеціальних команд, тобто. алгоритмом. Сутність (опис) кожної команди складає сукупність окремо взятого корисного процесу, супутніх йому шкідливих процесів та набору необхідних керуючих процесів. У такому алгоритмі набір процесів, що забезпечують, є звичайною підпрограмою – і тут ми теж виявляємо фрактал. Створений чверть століття тому метод Р. Колера дозволяє при створенні систем обійтися досить обмеженим набором лише з 12 пар функцій (процесів).

Самоподібні множини з незвичайними властивостями в математиці

Починаючи з кінця XIX століття, в математиці з'являються приклади самоподібних об'єктів із патологічними з погляду класичного аналізу властивостями. До них можна віднести такі:

безліч Кантора - ніде не щільне незліченне досконале безліч. Модифікувавши процедуру, можна отримати ніде не щільне безліч позитивної довжини.

трикутник Серпінського («скатертина») та килим Серпінського - аналоги безлічі Кантора на площині.

губка Менгера - аналог множини Кантора в тривимірному просторі;

приклади Вейєрштраса і Ван дер Вардена ніде не диференційованої безперервної функції.

крива Коха - безперервна крива нескінченної довжини, що не самоперетинається, не має дотичної в жодній точці;

крива Пеано - безперервна крива, що проходить через усі крапки квадрата.

траєкторія броунівської частки також із ймовірністю 1 ніде не диференційована. Її хаусдорфова розмірність дорівнює двом

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих

Побудова кривої Коха

Існує проста рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, що називається генератором. Далі, замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаною, подібною до генератора). У ламаною, що вийшла, знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, отримаємо в межах фрактальну криву. На малюнку праворуч наведено чотири перші кроки цієї процедури для кривої Коха.

Прикладами таких кривих є:

крива дракона,

крива Коха (сніжинка Коха),

крива Леві,

крива Мінковського,

Крива Гільберта,

Ламана (крива) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуея),

крива Пеан.

За допомогою подібної процедури виходить дерево Піфагора.

Фрактали як нерухомі точки стискаючих відображень

Властивість самоподібності можна математично суворо висловити в такий спосіб. Нехай – стискаючі відображення площини. Розглянемо наступне відображення на безлічі всіх компактних (замкнутих та обмежених) підмножин площини:

Можна показати, що відображення є стискуючим відображенням на багатьох компактах з метрикою Хаусдорфа. Отже, за теоремою Банаха це відображення має єдину нерухому точку. Ця нерухома точка і буде нашим фракталом.

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих, описана вище, є окремим випадком даної конструкції. У ньому все відображення - відображення подоби, а - число ланок генератора.

Для трикутника Серпінського та відображення , , - гомотетії з центрами у вершинах правильного трикутника та коефіцієнтом 1/2. Легко бачити, що трикутник Серпінського перетворюється на відображення .

У разі коли відображення - перетворення подібності з коефіцієнтами , розмірність фракталу (за деяких додаткових технічних умов) може бути обчислена як рішення рівняння . Так, для трикутника Серпінського отримуємо .

По тій же теоремі Банаха, розпочавши з будь-якої компактної множини і застосовуючи до неї ітерацію відображення, ми отримаємо послідовність компактів, що сходяться (в сенсі метрики Хаусдорфа) до нашого фракталу.

Фрактали у комплексній динаміці

Безліч Жюліа

Ще одна безліч Жюліа

Фрактали природно виникають щодо нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями багаточлена чи голоморфної функції комплексної змінної на площині. Перші дослідження в цій галузі відносяться до початку 20 століття та пов'язані з іменами Фату та Жюліа.

Нехай F(z) - багаточлен, z 0 – комплексне число. Розглянемо таку послідовність: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Нас цікавить поведінка цієї послідовності при прагненні nдо нескінченності. Ця послідовність може:

прагнути до нескінченності,

прагнути до кінцевої межі,

демонструвати в межі циклічну поведінку, наприклад: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

вести себе хаотично, тобто не демонструвати жоден із трьох згаданих типів поведінки.

Безліч значень z 0 , для яких послідовність демонструє один конкретний тип поведінки, а також безлічі точок біфуркації між різними типами, часто володіють фрактальними властивостями.

Так, безліч Жюлі - безліч точок біфуркації для многочлена F(z)=z 2 +c(або іншої схожої функції), тобто тих значень z 0 , для яких поведінка послідовності ( z n) може різко змінюватися при будь-яких малих змінах z 0 .

Інший варіант отримання фрактальних множин - введення параметра в багаточлен F(z) та розгляд безлічі тих значень параметра, при яких послідовність ( z n) демонструє певну поведінку при фіксованому z 0 . Так, безліч Мандельброта - це безліч всіх, при яких ( z n) для F(z)=z 2 +cі z 0 не прагне нескінченності.

Ще один відомий приклад такого роду – басейни Ньютона.

Популярне створення гарних графічних образів на основі комплексної динаміки шляхом розфарбовування точок площини залежно від поведінки відповідних динамічних систем. Наприклад, для доповнення безлічі Мандельброта можна розфарбувати крапки в залежності від швидкості прагнення ( z n) до нескінченності (визначуваної, скажімо, як найменший номер n, у якому | z n| перевищить фіксовану велику величину A.

Біоморфи - фрактали, побудовані на основі комплексної динаміки та нагадують живі організми.

Стохастичні фрактали

Рандомізований фрактал на основі множини Жюліа

Природні об'єкти часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватись стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних фракталів:

траєкторія броунівського руху на площині та у просторі;

межа траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 року Лоулер, Шрамм і Вернер довели припущення Мандельброта у тому, що її розмірність дорівнює 4/3.

еволюції Шрамма-Левнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають у критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад, у моделі Ізинга та перколяції.

різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, яку на кожному кроці введено випадковий параметр. Плазма – приклад використання такого фракталу у комп'ютерній графіці.

У природі

Вид спереду на трахею та бронхи

Бронхіальне дерево

Мережа кровоносних судин

Застосування

Природничі науки

У фізиці фрактали природно виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких, як турбулентний перебіг рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. п. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, нафтохімії. У біології вони використовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин).

Радіотехніка

Фрактальні антени

Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлення зовнішніх антен на будівлі. Натан вирізав із алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха і наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коен заснував власну компанію та налагодив їх серійний випуск.

Інформатика

Стиснення зображень

Основна стаття: Алгоритм фрактального стиснення

Фрактальне дерево

Існують алгоритми стиснення зображення за допомогою фракталів. Вони засновані на ідеї про те, що замість самого зображення можна зберігати відображення, що стискає, для якого це зображення (або деяке близьке до нього) є нерухомою точкою. Один із варіантів даного алгоритму був використаний [ джерело не вказано 895 днів] Фірмою Microsoft при виданні своєї енциклопедії, але великого поширення ці алгоритми не отримали.

Комп'ютерна графіка

Ще одне фрактальне дерево

Фрактал широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і так далі. Існує безліч програм, що служать для генерації фрактальних зображень, див. Генератор фракталів (програма).

Децентралізовані мережі

Система призначення IP-адрес у мережі Netsukuku використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного збереження інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku зберігає всього 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол підключається до загальної мережі без необхідності центрального регулювання роздачі IP-адрес, що, наприклад, характерно для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення інформації гарантує повністю децентралізовану, а отже максимально стійку роботу всієї мережі.

Математика,
якщо на неї правильно подивитися,
відображає не тільки істину,
а й незрівнянну красу.
Бертранд Рассел.

Ви, звичайно, чули про фрактали. Ви, звичайно, бачили ці захоплюючі картинки з Bryce3d більш реальні, ніж сама реальність. Гори, хмари, кора дерева - все це виходить за межі звичної евклідової геометрії. Ми не можемо описати камінь або межі острова за допомогою прямих, гуртків та трикутників. І тут нам приходять на допомогу фрактали. Що це за знайомі незнайомці? Коли вони з'явились?

Історія появи.

Перші ідеї фрактальної геометрії виникли у 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури, що повторюється, перетворив лінію на набір незв'язаних точок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками, що залишилися. Пеано намалював особливий вид лінії (рисунок №1). Для її малювання Пеано використав такий алгоритм.

На першому кроці він брав пряму лінію і заміняв її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії (Частина 1 та 2 рисунка 1). Далі він робив те саме з кожним відрізком лінії, що вийшла. І так до безкінечності. Її унікальність у цьому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано та пил Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувався начебто на підставі одномірної прямої, але складався з точок (розмірність 0). А крива Пеано будувалася виходячи з одномірної лінії, а результаті виходила площину. У багатьох інших галузях науки з'являлися завдання, вирішення яких призводило до дивних результатів на кшталт описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції).

Батько фракталів

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про такі дивні об'єкти, без спроби їх систематизувати. Так було, доки за них не взявся Бенуа Мандельброт – батько сучасної фрактальної геометрії та слова фрактал. Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставивши факти, він прийшов до відкриття нового напряму математики - фрактальної геометрії.

Що ж таке фрактал? Сам Мандельброт вивів слово fractal від латинського слова fractus, що означає розбитий (розділений на частини). І одне з визначень фрактала - це геометрична фігура, що складається з частин і яка може бути поділена на частини, кожна з яких представлятиме зменшену копію цілого (принаймні приблизно).

Щоб уявити собі фрактал понаочніше розглянемо приклад, наведений у книзі Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальна геометрія природи"), що став класичним - "Яка довжина берега Британії?". Відповідь на це питання не така проста, як здається. Все залежить від довжини інструменту, яким ми користуватимемося. Помірявши берег за допомогою кілометрової лінійки, ми отримаємо якусь довжину. Однак ми пропустимо багато невеликих заливчиків і півострівків, які за розміром набагато менші за нашу лінійку. Зменшивши розмір лінійки до, скажімо, 1 метра – ми врахуємо ці деталі ландшафту, і відповідно довжина берега побільшає. Підемо далі і виміряємо довжину берега за допомогою міліметрової лінійки, ми тут врахуємо деталі, які більше міліметра, довжина буде ще більшою. У результаті відповідь на таке, здавалося б, просте питання може поставити в глухий кут будь-кого - довжина берега Британії нескінченна.

Трохи про розмірності.

У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з розмірностями. Ми прикидаємо довжину дороги (250 м), дізнаємося площу квартири (78 м2) та шукаємо на наклейці обсяг пляшки пива (0.33 дм3). Це поняття цілком інтуїтивно зрозуміле і, начебто, вимагає роз'яснення. Лінія має розмірність 1. Це означає, що вибравши точку відліку, ми можемо будь-яку точку на цій лінії визначити за допомогою 1 числа - позитивного або негативного. Причому це стосується всіх ліній – коло, квадрат, парабола тощо.

Розмірність 2 означає, що будь-яку точку ми можемо однозначно визначити двома числами. Не треба думати, що двовимірний означає плоский. Поверхня сфери теж двомірна (її можна визначити за допомогою двох значень – кутів на зразок ширини та довготи).

Якщо з математичної погляду, то розмірність визначається так: для одномірних об'єктів - збільшення вдвічі їх лінійного розміру призводить до збільшення розмірів (у разі довжини) вдвічі (2^1).

Для двовимірних об'єктів збільшення вдвічі лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (наприклад, площа прямокутника) вчетверо (2^2).

Для 3-х мірних об'єктів збільшення лінійних розмірів удвічі призводи до збільшення обсягу вісім разів (2^3) тощо.

Таким чином, розмірність D можна розрахувати виходячи із залежності збільшення "розміру" об'єкта S від збільшення лінійних розмірів L. D=log(S)/log(L). Для лінії D=log(2)/log(2)=1. Для площини D=log(4)/log(2)=2. Для обсягу D=log(8)/log(2)=3. Може бути трохи заплутано, але загалом нескладно і зрозуміло.

Навіщо я все це розповідаю? А щоб зрозуміти, як відокремлювати фрактали від, скажімо, ковбаси. Спробуймо порахувати розмірність для кривої Пеано. Отже, у нас вихідна лінія, що складається з трьох відрізків довжини Х, замінюється на 9 відрізків утричі меншої за довжину. Таким чином, зі збільшенням мінімального відрізка в 3 рази довжина всієї лінії збільшується в 9 разів і D=log(9)/log(3)=2 - двомірний об'єкт!!!

Так от, коли розмірність фігури одержуваної з якихось найпростіших об'єктів (відрізків) більша за розмірність цих об'єктів - ми маємо справу з фракталом.

Фрактали поділяються на групи. Найбільші групи це:

Геометричні фрактал.

Саме з них і розпочиналася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться "затравка" - аксіома - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї "затравки" застосовують набір правил, який перетворює її на будь-яку геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той самий набір правил. З кожним кроком фігура ставатиме все складніше і складніше, і якщо ми проведемо (принаймні в умі) нескінченну кількість перетворень – отримаємо геометричний фрактал.

Розглянута вище крива Пеано є геометричним фракталом. На малюнку нижче наведено інші приклади геометричних фракталів (зліва направо Сніжинка Коха, Лист, Трикутник Серпінського).

Сніжинка Коха

Аркуш

Трикутник Серпінського

З цих геометричних фракталів дуже цікавим та досить знаменитим є перший – сніжинка Коха. Будується на основі рівностороннього трикутника. Кожна лінія якого ___ замінюється на 4 лінії кожна довжиною 1/3 вихідної _/\_. Таким чином, з кожною ітерацією довжина кривої збільшується на третину. І якщо ми зробимо нескінченну кількість ітерацій – отримаємо фрактал – сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, що наша нескінченна крива вкриває обмежену площу. Спробуйте зробити те саме методами і фігурами з евклідової геометрії.

Розмірність сніжинки Коха (при збільшенні сніжинки в 3 рази її довжина зростає в 4 рази) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Для побудови геометричних фракталів добре пристосовані звані L-Systems. Суть цих систем полягає в тому, що є певний набір символів системи, кожен з яких позначає певну дію та набір правил перетворення символів. Наприклад, опис сніжинки Коха за допомогою L-Systems у програмі Fractint

; Adrian Mariano from The Fractal Geometry of Nature by Mandelbrot Koch1 ( ;встановлюємо кут повороту 360/6=60 градусів Angle 6 ; Початковий малюнок для побудови Axiom F--F--F ; Правило перетворення символів F=F+F--F+F )

У цьому описі геометричні значення символів такі:

F позначає прокреслити відрізок + поворот за годинниковою стрілкою - поворот проти годинникової стрілки

Друга властивість фракталів – самоподібність. Візьмемо, наприклад, трикутник Серпінського. Для його побудови з центру рівностороннього трикутника "виріжемо" трикутник. Повторимо цю ж процедуру для трьох трикутників, що утворилися (за винятком центрального) і так до нескінченності. Якщо ми тепер візьмемо будь-який з трикутників, що утворилися, і збільшимо його - отримаємо точну копію цілого. В даному випадку ми маємо справу з повною самоподібністю.

Відразу зазначу, що більшість малюнків фракталів у цій статті отримано за допомогою програми Fractint. Якщо Вас зацікавили фрактали, це програма must have для Вас. З її допомогою можна будувати сотні різних фракталів, отримати вичерпну інформацію щодо них, і навіть послухати як фрактали звучать;).

Сказати, що програма хороша – значить нічого не сказати. Вона чудова, за винятком одного але - остання версія 20.0 доступна тільки у варіанті для DOS: (. Ви зможете знайти цю програму (остання версія 20.0) на http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html).

Залишити коментар

Коментарі

Ну і на закуску цікавий приклад Microsoft Excel. У комірки A2 і B2 однакові значення між 0 і 1. при значенні 0,5 немає ефекту.

Всім, хто зумів зробити прогу по картинці фраталу привіт. Хто може мені сказати який метот циклу мені краще використовувати щоб побудувати галявину фрактальчиків папортника з підкладкою з 3d max при кількості dt iteration 100 000 на камені з 2800 mH

Є вихідник із програмою відтворення кривої Дракона, теж фрактал.

Стаття офігенна. А ексель - це помилка співпроцесора (на останніх молодших розрядах)

Всім привіт! Мене звуть, Рібенек Валерія,м.Ульяновськ і сьогодні я викладу кілька своїх наукових статей на сайті ЛКІ.

Перша моя наукова стаття у цьому блозі буде присвячена фракталів. Скажу одразу, що мої статті розраховані майже на будь-яку аудиторію. Тобто. вони, сподіваюся, будуть цікавими як школярам, ​​так і студентам.

Нещодавно я дізналася про такі цікаві об'єкти математичного світу як фрактали. Але є вони у математиці. Вони оточують нас усюди. Фрактали бувають природні. Про те, що таке фрактали, про види фракталів, про приклади цих об'єктів та їх застосування я розповім у цій статті. Спочатку коротко розповім, що таке фрактал.

Фракта́л(лат. fractus - дроблений, зламаний, розбитий) - це складна геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури в цілому. У ширшому значенні під фракталами розуміють безліч точок в евклідовому просторі, що мають дробову метричну розмірність (у сенсі Мінковського або Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної. Наприклад, я вставлю картинку із зображенням чотирьох різних фракталів.

Розповім трохи про історію фракталів. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися наприкінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово «фрактал» було запроваджено Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом 1977 року книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. У його роботах використано наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років у тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф). Але лише в наш час вдалося об'єднати їхні роботи у єдину систему.

Прикладів фракталів можна навести масу, бо, як і казала, вони оточують нас усюди. На мою думку, навіть увесь наш Всесвіт — це один величезний фрактал. Адже все в ній, від будови атома до будови самого Всесвіту, точно повторює один одного. Але є, звісно, ​​і конкретніші приклади фракталів із різних галузей. Фрактали, наприклад, є у комплексній динаміці. Там вони природно з'являються при вивченні нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями багаточленаабо голоморфною функцією комплексу зміннихна площині. Одними з найвідоміших фракталів такого виду є безліч Жюліа, безліч Мандельброта та басейни Ньютона. Нижче по порядку на картинки зображені кожен із перерахованих вище фракталів.

Ще одним прикладом фрактал є фрактальні криві. Пояснити, як будуватися фрактал найкраще саме на прикладі фрактальних кривих. Однією з таких кривих є так звана Сніжинка Коха. Існує проста процедура одержання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, що називається генератором. Далі замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаною, подібною до генератора). У ламаною, що вийшла, знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, отримаємо в межах фрактальну криву. Нижче показана Сніжинка (або крива) Коха.

Фрактальних кривих так само існує безліч. Найвідоміші з них — це вже згадана Сніжинка Коха, а також крива Леві, крива Мінковського, ламана Дракона, крива Піано та дерево Піфагора. Зображення даних фракталів та їхню історію, я думаю, за бажання ви легко зможете знайти у Вікіпедії.

Третім прикладом чи видом фракталів є стохастичні фрактали. До таких фракталів можна віднести траєкторію броунівського руху на площині та в просторі, еволюції Шрамма-Левнера, різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, в яку на кожному кроці введено випадковий параметр.

Існують так само суто математичні фрактали. Це, наприклад, безліч канторів, губка Менгера, Трикутник Серпінського та інші.

Але найцікавіші фрактали — це природні. Природні фрактали - це такі об'єкти в природі, які мають фрактальні властивості. І тут уже список великий. Я не перераховуватиму все, бо, напевно, всіх і не перелічитиму, але про деяких розповім. Ось, наприклад, у живій природі до таких фракталів відносяться наша кровоносна система та легені. А ще крони та листя дерев. Також сюди можна віднести морських зірок, морських їжаків, корали, морські раковини, деякі рослини, такі як капуста або броколі. Нижче показано кілька таких природних фракталів з живої природи.

Якщо ж розглядати неживу природу, то там цікавих прикладів набагато більше, ніж живою. Блискавки, сніжинки, хмари, всім відомі, візерунки на вікнах у морозні дні, кристали, гірські хребти — все це є прикладами природних фракталів із неживої природи.

Приклади та види фракталів ми розглянули. Що ж стосується застосування фракталів, то вони застосовуються в різних галузях знань. У фізиці фрактали природно виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентний перебіг рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. п. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, нафтохімії. У біології вони використовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин). Після створення кривої Коха було запропоновано використовувати її для обчислення протяжності берегової лінії. Так само фрактали активно використовуються в радіотехніці, інформатиці та комп'ютерних технологіях, телекомунікаціях і навіть економіці. Ну і, звичайно ж, фрактальне бачення, що активно використовується в сучасному мистецтві та архітектурі. Ось один із прикладів фрактальних картин:

І так, на цьому я думаю завершити свою розповідь про таке незвичайне математичне явище як фрактал. Сьогодні ми дізналися про те, що таке фрактал, як він з'явився, про види та приклади фракталів. А також я розповіла про їх застосування та продемонструвала деякі з фракталів наочно. Сподіваюся, вам сподобалася ця невелика екскурсія у світ дивовижних фрактальних об'єктів, що зачаровують.

Приклад фракталу

«Фрактал» був ужитий математиками менш ніж півстоліття тому, невдовзі став, поряд із синергетикою та атрактором, одним із «трьох китів» молодої Теорії Детермінованого Хаосу, і сьогодні вже визнаний, як один з основоположних елементів устрою світобудови.

З латиною слово fractus перекладаєтьсяяк «зламаний», сучасні латинські мови надали йому значення «рваного». Фрактал — це щось, що ідентично цілому/більшому, частиною чого є, і одночасно копіює кожну власну складову частину. Таким чином, «фрактальність» — це нескінченна подоба «всього» на свої складові, тобто це самоподібність на будь-якому рівні. Кожен рівень фрактальної гілки називається «ітерація», що більше розвинена описана чи графічно зображена система, то більше фрактальних ітерацій бачить спостерігач. При цьому точка, в якій відбувається поділ (наприклад, стовбура на гілки, річки на два потоки тощо) називають точкою біфуркації.

Термін fractusбув обраний математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 для опису наукового відкриття і став популярним кількома роками пізніше – після того як він розвинув тему для широкої аудиторії у своїй книзі «Фрактальна геометрія природи».

Сьогодні фрактал широко відомий як фантастичні візерунки так званого "фрактального мистецтва", створені комп'ютерними програмами. Але за допомогою комп'ютера можна генерувати не тільки красиві абстрактні картинки, але й правдоподібні природні пейзажі - гори, річки, ліси. Тут, власне, є точка переходу науки в реальне життя, або навпаки, якщо припустити, що їх взагалі можна розділяти.

Справа в тому, що принцип фрактальностіпідходить не лише для опису відкриттів у точних науках. Це, насамперед, принцип устрою та розвитку самої природи. Все довкола нас – фрактали! Найочевидніша група прикладів — річки з притоками, венозна система з капілярами, блискавка, морозні візерунки, дерева… Нещодавно вчені, перевіряючи теорію фрактальності, експериментально переконалися навіть у тому, що за схемою одного дерева можна робити висновки про лісовий масив, де ці дерева ростуть. Інші приклади фрактальних груп: атом – молекула – планетарна система – сонячна система – галактики – всесвіт. - Рози ... Індивід - група - партія - держава. Працівник – відділ – департамент – підприємство – концерн… Навіть божественні пантеони різних релігій побудовані за тим самим принципом, включаючи християнство: Бог-Отець – Трійця – святі – церква – віруючі, а про організацію божественних пантеонів язичницьких релігій.

Історіязаявляє, що вперше самоподібні множини були помічені в 19 столітті в працях вчених - Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантора, Хаусдорфа, але істина в тому, що вже язичницькі слов'яни залишили нам доказ того, що люди розуміли індивідуальне буття як малу деталь у нескінченності світобудови. Це – вивчений мистецтвознавцями Білорусі та України об'єкт народної культури, який називається «павук». Він є своєрідним прототипом скульптури сучасного стилю «mobile» (частини перебувають у постійному русі щодо один одного). «Павук» частіше солом'яний, складається з однакових формою маленьких, середніх, великих елементів, підвішених друг до друга отже кожна менша частина точно повторює у структурі велику і всю конструкцію загалом. Цю конструкцію вішали в головному кутку житла, ніби позначаючи свій будинок як елемент усього світу.

Теорія фрактальності сьогодні працює скрізь, у тому числі у філософії, яка каже, що протягом кожного життя, а будь-яке і все життя загалом фрактальне, трапляються «точки біфуркації», коли на вищі рівні розвиток може піти різними шляхами і момент, коли людина «виявляється перед вибором», є справжнісінькою «точкою буфуркації» у фракталах його життя.

Теорія Детермінованого Хаосу каже, що розвиток кожного фракталу не безкінечний. Вчені вважають, що в певний момент настає межа, за якою зростання ітерацій припиняється і фрактал починає «звужуватися», доходячи поступово до свого початкового одиничного заходу, а потім процес знову йде по колу — аналогічно вдихам та видихам, змінам ранку та ночі, зими та літа в природі.