Варіант 1
1. Закінчіть речення
а) Прямокутний паралелепіпед - це (плоска, об'ємна) фігура.
б) У паралелепіпеда_____вершин, ________ребер,______ граней.
в) Кожне ребро паралелепіпеда - це _______________.
г) Вершини прямокутного паралелепіпеда _________________.
д) ребра прямокутного паралелепіпеда____________________.
е) грані прямокутного паралелепіпеда____________________.
ж) Щоб обчислити обсяг куба, потрібно ______________________.
2. Випишіть ті фігури, які могут мати форму прямокутного паралелепіпеда:
а = 60 см, в = 70 см, з = 4 см. Обчисліть:
2 потрібно 3 г?
5. З фігур, зображених на малюнку, оберіть ті, які є розгортками куба. Якщо так, то виберіть верхню граньта зафарбуйте її синім кольором. 
Тест «Прямокутний паралелепіпед»
Варіант 2
1. Закінчіть речення
а) Кожна грань паралелепіпеда - це __________________.
б)Вимірами прямокутного паралелепіпеда називаються______.
в)У паралелепіпеда_______вимірювання.
г)МА - загальне ребро граней______________________________.
д) Крапка Р - загальна вершина ребер_________________________.
е) Точка____загальна вершина ребер МА, MN та_____________________.
ж) Якщо два куби мають однакові ребра, їх обсяги___________.
2.
а) кавун; б) ящик; в) торт; г) олівець; д) м'яч; е) будинок; ж) шматок сиру; з) склянка
3. Позначте синім олівцем усі вершини куба, червоним олівцем усі грані куба.
4. Вимірювання прямокутного паралелепіпеда: а = 20 см, в = 30 см, з = 9 см. Обчисліть:
а) довжину всіх ребер паралелепіпеда;
б) площу повної поверхні;
в) обсяг прямокутного паралелепіпеда.
г) Скільки фарби було витрачено, якщо відомо, що на 1 дм 2 потрібно 3 г?
5. З фігур, зображених на малюнку, оберіть ті, які є розгортками куба. Якщо так, виберіть верхню грань і зафарбуйте її червоним кольором.
Тест «Прямокутний паралелепіпед»
Варіант 3
1. Закінчіть речення
а) Прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри дорівнюють ________.
б) Гранями куба є рівні ______________.
в) Кожна вершина куба належить _________ребрам.
г) Ребра, рівні ребру MN _________________________________.
д) ребра, рівні ребру МР__________________________________.
е) грані, рівні грані DPKC _______________________________.
ж) Якщо фігуру розділити на частини, її обсяг дорівнює______________.
2. Випишіть ті фігури, які НЕ могут мати форму прямокутного паралелепіпеда:
а) кавун; б) ящик; в) торт; г) олівець; д) м'яч; е) будинок; ж) шматок сиру; з) склянка
3. Розфарбуйте зеленим кольором верхню та нижню грані куба, синім кольором – праву та ліву грані куба.
Тип уроку:формування нових знань.
Цілі:
- ознайомити учнів із різноманіттям геометричних тіл, які фігури називаються багатокутниками, яка фігура називається прямокутним паралелепіпедом;
- систематизація знань про прямокутник, куб;
- розвиток просторової уяви та просторового уявлення;
- навчити аналізувати отримані дані та робити висновки;
- підвищити мотивацію до предмета, що вивчається.
Методи навчання:
- Розмова (з елементами проблемної ситуації).
- Фронтальна лабораторна робота(Дослідний метод).
Обладнання:проектор, слайди із зображенням багатогранників; моделі геометричних тіл (картонні та каркасні). До кожного учня: набір кольорового паперу; клей; ножиці; фломастери; пластилін; дерев'яні палички (по 12 штук – 3 групи різної довжини); сірникова коробкаабо коробочка, обклеєна білим папером.
Структура уроку:
- Організаційний момент, постановка мети уроку (1 хв.)
- Історична довідка– вступна розмова (2 хв.)
- Ознайомлення з новим матеріалом (26 хв.)
- Первинне закріплення вивченого матеріалу (5 хв.)
- Домашнє завдання(3 хв.)
- Підбиття підсумку уроку (3 хв.)
ХІД УРОКУ
I. Постановка мети уроку
ІІ. Невелика історична довідка
Нас оточує безліч предметів. Вони відрізняються формою, розмірами, матеріалом, з якого виготовлені, забарвленням, …. Людей цікавлять різні риси цих предметів. Математиків цікавлять їх форма та розміри.
М'ячі, якими ви багато разів грали, мають форму кулі, хоча всі вони різних розмірів. Багато небесних тіл мають форму, близьку до форми кулі, включаючи і нашу планету. Склянка та олівець мають форму циліндра.
Зверніть увагу, що форми предметів дуже різноманітні і не для будь-якої форми є спеціальна назва.
Оскільки математики вивчають не самі предмети, які форми, то замість предметів вона розглядають геометричні тіла: циліндр, куля, куб і т.д. (Зразки фігур на столі вчителя). Назви багатьох геометричних тіл йдуть із давнини, причому походять вони від відповідних предметів. Наприклад, з Стародавню Греціюприйшли терміни "конус" (предмет яким затикали бочку), "піраміда" (вогонь, багаття), "циліндр" (валик), " прямокутний паралелепіпед” (Прямокутні площини).
Серед безлічі різноманітних геометричних тіл є велика групабагатогранників. Ці фігури (викладач показує фігури) є багатогранниками. А на запитання: "Чому ці тіла називаються багатогранниками?", ми з вами відповімо під час нашого уроку.
ІІІ. Ознайомлення з новим матеріалом
У гості до хлопців прийшли веселі чоловічки: Буратіно, Олівець, Незнайко, Самодєлкін.
Вчитель:Давно ми з вами не бачилися! Ну що цікавого відбувалося з вами за цей час? Що нового впізнали? Чому навчилися?
Люди почали навперебій розповідати про те, що вони знають і вміють у геометрії: що таке трикутник, чотирикутник, багатокутник, як виміряти довжину і площу.
Вчитель:Які молодці! Як багато впізнали! Можна сказати, що ви тепер із геометрією на “ти”. Навіть не всі мої учні так цікавляться нею.
Буратіно:А ми цікавимося дуже!
Потім він раптом вискочив до дошки і заспівав пісеньку, яку щойно придумав:
Ми з Геометрією на “ти”:
Вміємо складати плоти,
Вміємо площу вимірювати
І периметр обчислювати.
Про коло вміємо пісні співати...
Нам дуже подобається вміти!
Вчитель:Я бачу, що ти, Буратіно, вмієш складати не лише плоти, а й пісеньки. А будиночки з кубиків та брусочків тобі доводилося складати?
Олівець:Ні, ми ще цим не займалися. Ми знайомилися лише з пласкими фігурами.
Незнайка:А що таке "плоскі"? Ти нам не казав такого слова, Олівцю.
Олівець:Слово "плоскі" я і, щоправда, не говорив. Але саме з такими постатями ми мали справу досі. Трикутник, чотирикутник, багатокутник, коло – це плоскі фігури. Кожну таку фігуру можна вирізати з аркуша паперу, повністю покласти на столі або прикласти до дошки.
Вчитель:Завдання всьому класу: виріжте з кольорового паперу і покладіть на стіл якусь плоску фігуру.
Саморобкін:А кубик не плоска фігура? Його цілком на стіл не покладеш? Як не клади - він обов'язково над столом височітиме.
Вчитель:Так, кубик, звісно, не плоский. Лише його не називають фігурою. У геометрії є спеціальна назва – тіло. Куб – це геометричне тіло.
Олівець:Куля – теж геометричне тіло.
Незнайка:А які ще бувають геометричні тіла?
Вчитель:Діти допоможіть Незнайці, назвіть геометричні тіла. (Учні називають самі, якщо виникає труднощі, їм допомагають веселі чоловічки.)
Незнайка:Як цікаво! Куб, куля, циліндр, прямокутний паралелепіпед. Давайте поговоримо про прямокутний паралелепіпед докладніше.
Буратіно:Що про нього казати? Як його не клади, він з усіх боків однаковий. У нього всі боки – прямокутники.
Вчитель:Про прямокутники ти помітив правильно. Тільки кожен такий прямокутник називають не стороною, а гранню прямокутного паралелепіпеда. Скажи-но, Буратіно, скільки всього граней у прямокутного паралелепіпеда?
Буратіно:Чотири.
Вчитель:Дайте відповідь і ви хлопці на це питання. Чи згодні ви з Буратіно? (Учні відповідають.)Тільки Буратіно знову поквапився. І відповів неправильно. Насправді прямокутний паралелепіпед має шість граней. Вважай: на одній грані він лежить, інша грань – зверху, та ще чотири з боків.
Квадрат:Причому всі межі розташовані парами. Подивіться – протилежні грані – рівні прямокутники.
Саморобкін:Подивіться, як я розмалював свій прямокутний паралелепіпед.
Вчитель:У кожного з вас є прямокутний паралелепіпед – це коробочка або сірникова коробка, обклеєна білим папером. Розфарбуйте їх. Рівні грані – одним кольором. Скажіть: “Скільки потрібно фломастерів різних кольорівдля цього? (Відповідь: 3, учні виконують завдання, під контролем та за допомогою, якщо необхідно, вчителя та веселих чоловічків.)
- Ми порахували, скільки у прямокутного паралелепіпеда граней. Скажи, Олівець, що ще можна підрахувати у прямокутного паралелепіпеда?
Олівець:Ребра та вершини. Грані прямокутного паралелепіпеда – це прямокутники, які боку називають ребрами прямокутного паралелепіпеда.
Незнайка:А скільки в куба ребер?
Олівець:Порахуйте самі, хлопці.
Вчитель:Спочатку фломастером (того кольору, який не був використаний) виділіть у своєї моделі ребра, а потім порахуйте їх кількість.
Самодєлкін укладає:У прямокутного паралелепіпеда дванадцять ребер.
Незнайка:Як це ти так швидко порахував?
Саморобкін:Я уявив, що прямокутний паралелепіпед це наш клас. Підлога нього – прямокутник. Ось уже чотири ребра є. Стеля теж прямокутник. Ще чотири ребра. Вже вісім ребер вийшло. Та ще чотири у кутах стін. Усього виходить дванадцять!
Вчитель:Самодєлкін дуже вдало помітив, що наша класна кімнатамає форму прямокутного паралелепіпеда. Назвіть і ви хлопці предмети, які мають ту саму форму (учні наводять приклади).
Одночасно веселі чоловічки взяли дванадцять залізних (дерев'яних) лозин і змайстрували з них прямокутний паралелепіпед.
Вчитель:Спробуйте і ви хлопці змайструвати прямокутний паралелепіпед із дванадцяти паличок, що лежать перед кожним із вас. (Учні майструють, а вчитель та веселі чоловічки допомагають тим, у кого виникли труднощі.)
Олівець:Ми ще не порахували, скільки прямокутного паралелепіпеда вершин.
Незнайка:А де прямокутний паралелепіпед вершини?
Олівець:Там, де сходяться три ребра.
Вчитель:Завдання всьому класу: знайти на своїй моделі вершини та порахувати скільки їх у прямокутного паралелепіпеда.
Саморобкін:Загалом у прямокутного паралелепіпеда вісім вершин. Подивіться, я намалював прямокутний паралелепіпед і в усіх вершинах поставив номери.
Вчитель:Молодець, Самодєлкін, гарний креслення. Ти уявив, що прямокутний паралелепіпед прозорий. Тепер ми бачимо усі його грані, ребра, вершини. Але зображати багатогранник прозорим не дуже зручно. Виходить набір ліній, де важко розібратися. Дивлячись на цей малюнок, неможливо зрозуміти, як лінії розташовані у просторі.
У геометрії для полегшення сприйняття лінії, які приховані від очей спостерігача, зображати не суцільними, а штрихованими. Тоді наш багатогранник ми зображатимемо так, як показано на дошці.
IV. Первинне закріплення вивченого матеріалу
- Перенесіть це креслення собі в зошит і на ньому виділіть, показавши на кресленні ребро, грань, вершину.
| Г – грань Р – ребро В – вершина |
|
Р – 6 Р – 12 В – 8 |
V. Завдання додому
Поки хлопці узагальнювали знання нового матеріалу, Буратіно щось вирізав із паперу.
Вчитель:Що ти робиш, Буратіно?
Буратіно:Хочу склеїти прямокутний паралелепіпед з паперу. Ось уже вирізав шість його граней (Показує). Нині почну їх склеювати.
Вчитель:Окремо вирізані грані важко склеїти один з одним так, щоб вийшов прямокутний паралелепіпед. Є зручніший спосіб. Можна вирізати з паперу таку фігуру.
– Тут усі грані з'єднані між собою.
Буратіно:Це ж пліт із шести прямокутників!
Вчитель:Можна припустити, що це пліт, але в математиці це називається розгорткою. Якщо його зігнути так, то складеться прямокутний паралелепіпед. А щоб можна було склеїти його, зручно вирізати наш плід з додатковими “язичками” для приклеювання.
(Рівні прямокутники позначені однаковими літерами.)
Домашнє завдання:
1. Виріжте з паперу схожий пліт (розміром більше) з "язичками" і постарайтеся склеїти з нього прямокутний паралелепіпед. А щоб краще запам'ятати слово паралелограм, таке домашнє завдання:
2. З цього слова(паралелограм) скласти якнайбільше нових слів, що складаються з букв даного слова (причому кожну букву, в новому слові, можна використовувати один раз)
VI. Підбиття підсумків
Вчитель:Ось і добігла кінця наша подорож.
Буратіно:Хіба ми вже знаємо про геометрію?
Вчитель:Що ти, Буратіно! Звісно, ні. Геометрія – це дуже велика науката вивчати її потрібно довго-довго.
Незнайка:Олівець, а ми ще колись займатимемося геометрією?
Олівець:Обов'язково будемо! А зараз підіб'ємо підсумки.
Вчитель:Дайте відповідь, будь ласка, на наступні питання. З яким геометричним тілом ми сьогодні познайомилися на уроці? (Прямокутний паралелепіпед.)
Буратіно:А які постаті називаються багатогранниками? (Геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками.)
Наведіть приклади цих фігур (Куля, циліндр, конус, піраміда, куб, …)
Незнайка:Я так і не зрозумів, як із усіх багатогранників вибрати прямокутний паралелепіпед? (Це багатогранник, у якого всі грані прямокутники і попарно паралельні.)
Саморобкін:Покажіть на своїй каркасній моделі грані, ребра, вершини прямокутного паралелепіпеда.
Олівець:Скільки у прямокутного паралелепіпеда граней, ребер, вершин?
Веселі чоловічки прощаються з хлопцями, попередньо надавши допомогу у виставленні позначок учням за урок.
Програма курсу
|
№ газети |
|
|
лекція 1. Проблема пропедевтики вивчення геометрії та аналіз шляхів її вирішення в минулому та сьогоденні |
|
|
лекція 2. Особливості психічного розвиткудітей 10-12 років у зв'язку з навчанням геометрії |
|
|
лекція 3. Зміст курсу наочної геометрії та основа методики його вивчення |
|
|
лекція 4. Геометрична діяльність: вчимо спостерігати та розвиваємо просторова уява |
|
| лекція 5. Геометрична діяльність: навчаємо графічним діям, навичкам конструювання, формуємо метричні уявлення | |
|
Лекція 6 Методика організації геометричної діяльності учнів на прикладі формування уявлень про симетрію |
|
|
лекція 7. Пріоритетні формиорганізації навчальної роботи та форми контролю навчальних досягнень |
|
|
лекція 8. Комп'ютерні технологіїщодо наочної геометрії |
Лекція 4
Геометрична діяльність: вчимо спостерігати та розвиваємо просторову уяву
Вивчення геометричних фігур та просторових відносин ґрунтується на певних діях, Якими учні повинні опанувати. Це дії спостереження, уяви, виміру, конструювання та графічні дії. У цій лекції ми зупинимося на перших двох, а решту розглянемо надалі.
Спостереження
Існує глибока помилка, що спостереженню вчити не треба, достатньо лише сказати: «Дивися!», і все необхідне зроблять очі. Чому тоді одні учні легко «зчитують» із геометричного креслення потрібну їм інформацію, а інші дивляться, але нічого не бачать? На жаль, все не так просто, і сприйняття так само як і, наприклад, мислення вимагає уваги до свого розвитку. Розвиток уміння спостерігати відбувається у процесі осмисленої діяльності з сприйняттю, розгляду геометричних об'єктів, через формування зорових зразків, що відбивають основні геометричні зміни, через ознайомлення з деякими спеціальними прийомами, що полегшують сприйняття.
Бажаєте дізнатися більше?
Спостереження є осмислюючим, інтерпретуючим та цілеспрямованим сприйняттям.
Спостережливість - здатність людини, що у вмінні помічати істотні, характерні, зокрема і малопомітні, властивості предметів і явищ. Розвиток Н. - важливе завданняформування пізнавальної установки та адекватного сприйняттянасправді. Психологія Словник / За заг. ред. А.В. Петровського, М.Г. Ярошевського. - М.: Політвидав, 1990.
Дії спостереження становлять основний зміст завдань, метою яких є:
- створення уявного образу геометричного об'єкта;
- розпізнавання заданих конфігурацій чи фігур;
- порівняння безпосередньо сприйманих об'єктів чи груп об'єктів.
Створення уявного образу геометричного об'єкта - це, мабуть, ключовий моментна формування геометричних уявлень, вивчення властивостей геометричних фігур. І тут винятково важливим є те, що відбуватиметься створення образу в процесі правильно організованої, різноманітної діяльності з всебічного обстеження об'єкта. Покажемо це на прикладі.
П р і м е р 1. Формування уявлення про прямокутний паралелепіпед.
Може здатися, що такі уявлення формуються ще в дошкільному дитинстві, адже це найпоширеніша геометрична фігура в навколишньому світі. Але це негаразд. Щоб переконатися в цьому, достатньо попросити п'ятикласників відповісти на запитання, скільки куба граней. А на питання про кількість ребер відповіді будуть різні, навіть якщо при цьому куб перебуватиме у кожного в руках. Ви побачите, що навіть перерахувати ребра не всім вдається!
Щоб створити образ паралелепіпеда, учням необхідно здійснити різноманітні практичні дії з моделями паралелепіпеда, причому під керівництвом вчителя, який керував би процесом обстеження та спрямовував його: вказівкою, які особливості необхідно виділити, називанням їх тощо. Учням слід, взявши модель паралелепіпеда в руки (це може бути дерев'яний брусок, сірникова коробка, паперова модель, склеєна з розгортки, тощо), виконати такі дії:
1) провести долонею на його поверхні і відчути, що вона складається з плоских частин;
2) розглянути окремі плоскі частини – грані паралелепіпеда, визначити їх форму;
3) зафіксувавши протилежні грані, наприклад, пальцями, візуально встановити їхню рівність;
4) зафіксувавши кожну грань пальцями (трьома пальцями однієї руки та трьома пальцями іншої), визначити кількість граней;
5) провести долонею по поверхні паралелепіпеда, виділивши лінію зламу - ребро паралелепіпеда; виділити грані, межам яких належить це ребро; виділити й інші ребра, що належать цим же граням; виділити ще кілька ребер паралелепіпеда;
6) виділити групи рівних ребер паралелепіпеда та визначити їх число; обвести рівні ребраолівцем одного кольору;
7) виділити вершини паралелепіпеда; помістивши його між долонями, визначити особливості розташування вершин;
8) зафіксувавши кожну вершину одним пальцем, підрахувати їхнє число;
9) вибравши одну з вершин, визначити кількість ребер, що сходяться в цій вершині; порівняти довжини цих ребер (на око; провівши по них пальцем; виміром); зробити це для інших вершин; помітити, що у кожній вершині сходяться три ребра різної довжини;
10) зафіксувати увагу на гранях, що сходяться в одній вершині: їх кількість, розміри.
У чому відмінність уявного образу, створеного в результаті такого всебічного та докладного дослідження, від образу, який виникає за звичайної наочної демонстрації? Так само, як між уявленнями про автомобіль, одне з яких створюється після перегляду фотографії, а інше - після тест-драйву і можливості «покопатися в моторі». Образ, що створюється в результаті самостійно вироблених дій, наповнений знаннями про властивості об'єкта, в іншому випадку- Це просто фотографія.
У цьому дослідженні використовуються дуже різні дії. І прості тактильні дії і рухи, які «в ходу» у кожної дитини з дитинства (наприклад, рухи руки, що фіксують той чи інший елемент, що виділяється в даний момент, об'єкта, що акцентується, що акцентують на ньому увагу; при цьому способи фіксування учні можуть вигадувати самі). Вони допомагають здійснювати, спрямовують складніші дії, що поєднують у собі зорове зіставлення, порівняння та аналіз окремих елементів, визначення їх кількісних характеристик, синтез цих елементів у єдине ціле та виділення ключових особливостей досліджуваного об'єкта.
По суті, спостереження тут виступає і методом дослідження, оскільки запропонований набір дій є планом систематичного спостереження. Запропонуйте учням провести описане дослідження, а потім попросіть розповісти, що вони знають про паралелепіпед.
Розв'язання задачі порівняння безпосередньо сприйманих об'єктів вимагає від учнів уміння помічати в об'єктах загальні риси і відмінності, знаходити серед них суттєві, і служить, тим самим, формуванню понять.
П р і м е р 2. На малюнку 1 зображено дві групи ліній. Чим відрізняються лінії однієї групи від ліній іншої?
Завдання порівняння у цьому завданні сформульовано прямо. Порівнюючи лінії кожної групи, учні повинні побачити, що лінії першої групи не мають самоперетинів, а лінії другої групи самоперетинаються.
П р і м е р 3. На малюнку 2 зображено два паралелограми. Покажіть, що ці паралелограми рівновеликі.
Тут завдання порівняння у явному вигляді не сформульована, але є суттю завдання, тому що для її вирішення учням необхідно помітити, що обидві дані паралелограма можуть бути перекроєні в той самий прямокутник. Це означатиме, що паралелограми рівновеликі. Є й інше рішення, яке полягає в тому, що один із даних паралелограмів можна перекроїти в інший. Це теж можна "побачити" на малюнку: подумки "відрізавши" від першого паралелограма трикутник і "приклавши" його до протилежному боці, ми отримаємо другий паралелограм.
Коли ми ставимо перед учнями задачу розпізнавання геометричних об'єктів, ми ставимо перед собою дві мети - формування закінченого образу об'єкта вивчення, його впізнавання і розрізнення в різних просторових положеннях, у складніших конфігураціях, а також розвиток у учнів геометричної пильності та спостережливості.
П р і м е р 4. Знайдіть на малюнку 3 прямокутники.
Особливість малюнка полягає в тому, що він містить дві фігури, які не є прямокутниками, а також два квадрати. Щоб упоратися з цим завданням, учні повинні, по-перше, пам'ятати, що квадрат є прямокутником, а по-друге, побачити квадрат, розташований у незвичному для них положенні. Особливість сприйняття геометричних об'єктів така, що фігура 4 сприймається як ромб, якщо учні знайомі з ромбом, інакше - як чотирикутник, що не є квадратом. Якщо учні не виділяють цю фігуру як квадрат, необхідно запропонувати їм подумки, а в разі утруднення і практично, повернути її так, щоб квадрат прийняв звичне для розпізнавання горизонтально-вертикальне розташування.
П р і м е р 5. Скільки трикутників зображено на малюнку 4?
Ця вправа спрямована на відпрацювання вміння розпізнавати трикутник у складнішій конфігурації, а в даному випадкуі як складову частину іншої фігури, і як поєднання інших фігур.
Прийоми, що допомагають сприйняттю
Поговоримо тепер про прийоми, які можуть допомогти учням під час вирішення розглянутих завдань. Один із прийомів полягає в предметне моделювання конфігурації. Його можна застосувати при виконанні вправи, описаної в прикладі 5. Для того, щоб вчитель міг керувати сприйняттям учнів, акцентуючи їх увагу на тому чи іншому трикутнику, навчити їх перемикати свій погляд з «великого» трикутника на «маленькі» трикутники, які його складають, він може запропонувати учням модель, виготовлену із кольорового паперу. Тренування сприйняття полягає в тому, що складаючи два трикутники разом, учні бачать один трикутник, роз'єднуючи їх, знову бачать два вихідні трикутники.
Іншим прийомом є виділення елементів конфігурації кольором.Це може бути або розфарбовування фігури, що входить до конфігурації, або обведення її контуру. Так, наприклад, при аналізі малюнка прикладу 3 учні можуть виділити кольором один з даних паралелограмів. При певному рівні володіння прийомом, за його самостійне застосуваннядеякі учні зафарбовують один із паралелограмів, інші виділяють лише його контур, треті - контури двох паралелограмів олівцями двох різних кольорів. Творче використання освоєного прийому грає істотну роль під час вирішення завдань.
П р і м е р 6. Скільки діагоналей у опуклого п'ятикутника?
Статтю опубліковано за підтримки веб-студії SAIT.UA. Компанія пропонує Вам послуги з розробки корпоративних сайтів, інтернет-каталогів, інтернет-магазинів, а також проектування та підтримка сайтів, графічний дизайн, медіапланування, хостинг, створення ексклюзивних програмних продуктівна замовлення та інше. Дізнатись детальну інформаціюпро веб-агенство та контакти Ви зможете на сайті, що знаходиться за адресою: sait.ua.
Нехай з певної вершини п'ятикутника учні проведуть олівцем одного кольору дві діагоналі, що виходять з неї. І так для всіх вершин, щоразу, переходячи до нової вершини, змінюючи колір олівця. Таким чином вони використовують олівці п'яти різних кольорів і проведуть 10 відрізків. Далі вони звернуть увагу на те, що кожну діагональ було проведено ними двічі (відрізки двох різних кольорів). Отже, п'ятикутник має 5 діагоналей. Описаний спосіб рішення дозволяє вчителю поставити перед учнями питання кількості діагоналей у шестикутника, семикутника, стокутника. Знайдений спосіб легко може бути перенесений ними на будь-який багатокутник: число діагоналей дорівнює половині (кожну діагональ провели двічі) добутку числа вершин (число використаних олівців) на число діагоналей, що виходять з однієї вершини (їх на три менше числавершин).
Ще один прийом сприйняття складних конфігурацій полягає у визначенні логіки перебору. Цей прийом (поряд з виділенням кольором) має місце, наприклад, при виконанні завдання прикладу 6. Логіка перебору полягає тут у послідовному проведенні всіх діагоналей, що виходять з кожної вершини п'ятикутника. Але розглянемо ще один приклад.
П р і м е р 7. На малюнку 5 знайдіть усі 35 трикутників.
Це приклад одного з найбільш складних завданьдля учнів 5-6-х класів, тому у формулюванні кількість трикутників вже задано; крім того, воно стимулюватиме дії самоконтролю. Успішне виконаннязавдання залежить від більшою міроювід цього, як буде організований перебір трикутників, які входять у цю конфігурацію, а чи не від розвитку сприйняття. Тут вчитель повинен допомогти учням, озброївши їх логікою перебору, що послідовно відкриває перед їхніми поглядами усі трикутники. Попередній етап вирішення завдання полягає у виділенні кольором фігур, що становлять п'ятикутник: учням пропонується розфарбувати спочатку внутрішній п'ятикутник, потім олівцями двох інших кольорів дві групи рівних «маленьких» трикутників.
Опишемо один із варіантів рішення. Зафіксуємо вершину Уяк початок відліку, напрям обходу - за годинниковою стрілкою. Підрахуємо число маленьких трикутників – п'ять трикутників, рівних трикутнику АВО, і п'ять трикутників, рівних OBF. (Якщо рівні трикутники попередньо були розфарбовані, наприклад, червоним і синім кольором, замість використання буквених позначень зручніше «позначати» трикутники кольором - п'ять червоних трикутників і п'ять синіх.) Число трикутників, складених з двох маленьких трикутників (одного червоного і одного синього) , рівно десяти - по два у кожної вершини п'ятикутника. Число трикутників, складених із трьох маленьких трикутників (двох червоних та одного синього), дорівнює п'яти - по одному у кожної вершини п'ятикутника. Тепер підрахуємо кількість трикутників, до яких входить маленький п'ятикутник. Число трикутників, складених із п'ятикутника та двох синіх трикутників, дорівнює п'яти - по одному у кожної вершини маленького п'ятикутника. І нарешті число трикутників, складених з п'ятикутника, трьох синіх і одного червоного трикутника, їх п'ять - за кількістю вершин п'ятикутника. Разом, 35 трикутників.
Уява
Під уявою ми розумітимемо операції з уявного оперування геометричними образами і створення нових образів. Це творча уява, що створює принципово нові об'єкти, новими ці об'єкти для учнів, оскільки народжуються ними самостійно з урахуванням перетворення відомих об'єктів. Ця відтворююча уява - уявлення нових об'єктів відповідно до їх опису, креслення, схеми.
Формується уяву з урахуванням сприйняття, тому збагачуючи досвід сприйняття, спостереження, спонукаючи учнів до створення образів, вчитель розвиває їх уяву. Будь-яка складна дія, перш ніж стати надбанням розуму, має бути реалізована назовні. Опанування процесами уяви відбувається у процесі переходу практичних процесів у внутрішній план.Бажаєте дізнатися більше?
Уява - створення образів таких предметів і явищ, які ніколи не сприймалися людиною раніше. Розвитку уяви сприяють ситуації незавершеності, заохочення багатьох питань, стимулювання незалежності, самостійних розробок. Крутецький В.А. Психологія - М: Просвітництво, 1980.
Бажаєте дізнатися більше?
Інтеріоризація - перетворення структури предметної діяльності у структуру внутрішнього плану свідомості. Психологія Словник / За заг. ред. А.В. Петровського, М.Г. Ярошевського. - М.: Політвидав, 1990.
Дії уяви є змістом завдань, метою яких є:
- створення уявного образу геометричного об'єкта за його описом;
- створення уявного об'ємного образу об'єкта на основі малюнка
- ространевого тіла чи проекційного креслення;
- уявне оперування образом.
Говорячи про створення уявного образу за його описом , розглядатимемо два випадки: по-перше, коли в ході вирішення завдання учням необхідно подумки конструювати новий образіз знайомих образів як із елементів конструктора, по-друге, як йдетьсяо геометричне місцеточок.
Наведемо приклади двох завдань, де як «елементи конструктора» виступають паралелепіпеди.
П р і м е р 8. З чотирьох кубиків викласти паралелепіпед можна двома способами. Чи однаковою буде площа поверхні паралелепіпеда в першому та другому випадках?
Скласти з чотирьох кубиків паралелепіпед учні повинні подумки, а от перевірити, що таких можливостей тільки дві, досить складно. Зробити це необхідно, вдавшись до кубиків реальним.
П р і м е р 9. Об'єм паралелепіпеда дорівнює 64 см 3 , ширина - 4 см, висота - 2 см. Довжину цього паралелепіпеда зменшили на 3 см. Визначте об'єм паралелепіпеда, що вийшов.
Тут уявне відтворення ситуації дозволяє знайти більше раціональний шлях, Чим послідовне обчислення довжини великого паралелепіпеда, зменшення її на 3 см і обчислення обсягу нового паралелепіпеда. Під час пошуку та обговорення способів вирішення завдання вчитель пропонує учням уявити, що заданий в умові паралелепіпед розрізають на два паралелепіпеди, при цьому довжина паралелепіпеда, що «відрізається», дорівнює 3 см. Звідси, щоб вирішити задачу, необхідно об'єм вихідного паралелепіпеда зменшити на об'єм вихідного паралелепіпеда частини.
В результаті виконання завдань на ГМТ учні повинні саме «побачити» фігуру як безліч точок, які мають певною властивістю, як змусити точки злитися в єдину фігуру.
П р і м е р 10. Накресліть якусь пряму і позначте її літерою а. Побудуйте кілька точок, що знаходяться від прямої, а на відстані 2 см. Де розташовані всі такі точки?
Виконуючи побудову точок, віддалених від прямої на 2 см, учні спочатку повинні «побачити», що точки утворюють пряму, паралельну до прямої а, після чого зрозуміти, що прямих, які задовольняють умові, дві.
Завдання створення уявного образу просторового тіла на основі графічного зображення вирішується насамперед для просторових фігур. Перш ніж познайомитися з проекційним кресленням, що використовується в стереометрії, в курсі наочної геометрії вивчення просторових фігур корисно розпочати з малюнків скляних, каркасних моделей, а також суцільних тіл, що складаються з кубиків або паралелепіпедів, поступово абстрагуючи зображення матеріальних тілта замінюючи їх проекційним кресленням.
П р і м е р 11. Скільки вершин, ребер та граней у багатогранника (рис. 6)?
Матеріальний об'єкт уявити легше. Використання зображення скляної моделі на початковому етапі оволодіння діями зі створення уявних просторових образів і термінологією, що з багатогранниками, дозволяє учням «побачити» всі елементи багатогранника, визначити їх кількість, особливості розташування, форму граней. На скляній моделі видно і ребра, і грані.
П р і м е р 12. На малюнку 7 зображено каркасна модель куба. Назвіть ребра, що виходять із вершини М.
Зображення каркасної моделі має абстрактніший характер, тому його використання носить перехідний характер від зображення скляної моделі до проекційного креслення. На каркасній моделі видно ребра, а грані прозорі, реально не видимі.
П р і м е р 13. Заштрихуйте видимі грані куба (рис. 8), використовуючи для кожної грані свій колір.
Проекційне креслення – це вже умовне зображення, яке треба вміти читати. Вчитель фіксує увагу учнів у тому, що з видимої грані все ребра є також видимими. Учні послідовно виділяють контури, обмежені суцільними (видимими) лініями. Перед їхніми поглядами з'являється куб із трьома видимими гранями різного кольору.
П р і м е р 14. На малюнку 9 зображено прямокутний паралелепіпед, повернутий на глядача ребром LN. Обведіть видимі ребра суцільними, невидимі – штриховими лініями.
Вчитель пропонує учням визначити, які грані мають ребро LNі чи будуть вони видимими. Потім вони визначають, які ребра цих граней видно, і обводять їх олівцем. Далі, щоб побачити, які ще ребра є видимими, вони можуть скористатися предметною моделлю паралелепіпеда, розташувавши перед собою так, як зображено на малюнку.
Щоб подумки перекотити куб з однієї грані в іншу, необхідно мати практичний досвід виконання цих дій. Щоб учні оволоділи діями щодо уявного оперування образом та його перетворення, вони повинні навчитися перекладати практичні дії з предметними моделями в внутрішній план. Найбільш простим серед таких дій є зміна просторового положення об'єкта, наприклад, переміщення у заданому напрямку, поворот. Характерно воно і на площині, і просторі.
П р і м е р 15. Піраміду ABCD поставили на аркуш паперу гранню ABC. Потім перекотили на межу BCD. Потім покотили далі. Кожна грань залишає на аркуші свій слід (рис. 10). Позначте на ньому буквами сліди відповідних вершин.
Вчитель може запропонувати кожному учневі виконати описані дії з моделлю піраміди в такий спосіб: учень має піраміду на аркуші паперу і обводить обрис грані олівцем; перекочує піраміду на іншу грань і знову обводить її, стежачи при цьому, щоб піраміда залишала такий самий слід, як на малюнку; проставляє своєму малюнку позначення вершин. Під час виконання завдання (наприклад, після другого перекочування) вчитель може запропонувати учням наступного разу перекотити піраміду подумки, та був перевірити себе. Далі кожен продовжує свою змійку самостійно, спочатку намагаючись виконати дію подумки, а потім практично.
Наступний приклад відноситься до графічних дій щодо побудови фігури.
П р і м е р 16. На малюнку 11 показаний спосіб побудови прямокутника. Опишіть словами запропонований спосіб і виконайте побудови.
Малюнок задає лише кінцеву конфігурацію, отриману під час виконання побудов, етапи побудови приховані від учнів. Виокремити метод побудови зміни учні можуть лише роботою уяви, виходячи з своїх спостереженнях і знання якостей які входять у неї постатей.
Вчитель повинен направити уявне перетворення ситуації у потрібному напрямку, намагаючись від кінцевого результатупобудов привести учнів до його початковому етапі, тут доведеться рухатися у зворотному напрямку, вирішувати зворотним ходом». Він може запропонувати учням подумки прибрати з цього малюнка прямокутник - адже він з'явився на кресленні останнім. Тепер на ньому залишилося лише коло і два його діаметри. (До цього моменту учні можуть і не бачити, що діагоналі прямокутника є також і діаметрами кола.) Вчитель звертає увагу учнів те що, що прямокутник з'явився, коли послідовно з'єднані кінці діаметрів. І тут стає очевидним, що починати побудову треба з проведення кола та його діаметрів.
Найбільш складними для учнів є операції з перетворення вихідного образу, у якому він зазнає змін у плані просторового розташування, а й зміни структурного характеру. Прикладом такої дії є уявне згортання розгортки куба.
П р і м е р 17. Які точки поєднуються при склеюванні розгортки, зображеної на малюнку 12.
Виконання цього завдання має обов'язково передувати виготовлення учнями цієї розгортки з аркуша паперу. Треба запропонувати учням зафіксувати одну з граней куба як нижню і не поспішаючи згортати розгортку, звертаючи увагу на розташування граней: який із квадратів розгортки утворює верхню грань, які бічні. Потім знову треба повторити виконані дії, але тепер фіксувати увагу, які при цьому поєднуються точки і які відрізки.
Згортаючи куб з різних розгорток, учні приходять до деякого прийому уявного згортання куба, який полягає в тому, що чотири розташовані в ряд квадрата зручно подати як його бічні грані.
Наведемо приклад завдання іншого типу, що також вимагає при оперуванні способом переходу з площини в простір і назад.
Приклад 18 По поверхні скляного куба (рис. 13) проходить ламана лініяз дроту. Нанесіть цю ламану на зображення куба спереду, зверху та ліворуч.
Важливою особливістю цього завдання є те, що виконати його можна не лише подумки розгортаючи куб у потрібному ракурсі, а й змінюючи подумки своє положення щодо куба – поглянути на куб зверху, «зайти» праворуч і т.д.
Прийоми, що допомагають уяві
При оволодінні діями уяви, як і при оволодінні діями спостереження, істотну допомогу надають описані вище прийоми, що полегшують сприйняття: використання предметної моделі, розфарбовування. Це з прикладів 13 і 14. У прикладі 15 також може бути використаний прийом розфарбовування - кожну грань піраміди можна «забарвити» у свій колір; перекочуючись по аркуші паперу, така піраміда залишатиме на ньому «кольоровий слід». Наведемо приклад, що показує доцільність використання під час аналізу малюнка у випадках і логіки перебору.
П р і м е р 19. Скільки потрібно кубиків, щоб скласти вежу, зображену на малюнку 14?
При підрахунку кубиків учні часто забувають про тих, які не видно. Щоб цього не сталося, вчитель повинен обговорити з учнями логіку перерахунку, звертаючи увагу на особливості конструкції, наприклад, на симетрію. Логіка перерахунку завжди спирається деякі уявні перетворення заданої конфігурації (перекладання кубиків, розбирання тощо.). Дуже корисно для перевірки знайденого рішення запропонувати учням скласти конструкцію із кубиків практично.
Методичний практикум
1. Підберіть у літературі або складіть самостійно кілька завдань, спрямованих на формування дій спостереження та розвиток уяви.
2. Проведіть невелике дослідження. Розбийте учнів на дві приблизно рівні за силами групи. Першій групі запропонуйте класифікувати певний набір геометричних фігур за їх графічному зображенню, другий – самі фігури, але вирізані з паперу. Учні повинні відібрати подібні фігури, пояснити, чим вони схожі та чим інші фігури не схожі на них. Досліджуваний набір можуть, наприклад, входити: опуклі і непуклі багатокутники; фігури, межа яких складається з відрізків та дуг кіл. Учні можуть запропонувати кілька підстав класифікації, наприклад, для описаного вище набору - виділити багатокутники чи виділити опуклі фігури. Порівняйте результати роботи першої та другої груп.
Література
1. Венгер Л.А.Сприйняття та навчання. - М: Просвітництво, 1968.
2. Вікові та індивідуальні особливостіобразного мислення учнів/Под ред. І.С. Якиманській. - М: Педагогіка, 1980.
3. Сприйняття та дія / Під. ред. А.В. Запоріжжя. - М: Просвітництво, 1967.
4. Гальперін П.Я., Тализіна Н.Ф.Формування початкових геометричних понятьз урахуванням організованого дії учня // Питання психології, 1957, № 1.
5. Зінченко В.П.Продуктивне сприйняття // Питання психології, 1971 № 6.