Для виготовлення кожухів машин, огорож верстатів, вентиляційних пристроїв, трубопроводів необхідно з листового матеріалу вирізати їх розгортки.
Розгорткою поверхнібагатогранника називають плоску фігуру, отриману при поєднанні з площиною креслення всіх граней багатогранника в послідовності їхнього розташування на багатограннику.
Щоб побудувати розгортку поверхні багатогранника, потрібно визначити натуральну величину граней та викреслити на площині послідовно усі грані. Справжні розміри ребер граней, якщо вони спроектовані над натуральну величину, знаходять способами обертання чи зміни площин проекцій (проеціюванням на додаткову площину), наведеними у попередньому параграфі.
Розглянемо побудову розгорток поверхні деяких найпростіших тіл.
Розгорнення поверхні прямої призмиє плоскою фігурою, складеною з бічних граней - прямокутників і двох рівних між собою багатокутників основ. Для прикладу взято правильну пряму шестикутну призму (рис. 176, а). Усі бічні грані призми - прямокутники, рівні між собою по ширині і висоті Н; основи призми - правильні шестикутники зі стороною, що дорівнює а. Оскільки справжні розміри граней нам відомі, неважко виконати побудову розгортки. Для цього на горизонтальній прямій послідовно відкладають шість відрізків, рівних стороні основи шестикутника, тобто 6а. З отриманих точок відновлюють перпендикуляри, рівні висоті призми Н, і через кінцеві точки перпендикулярів проводять другу горизонтальну пряму. Отриманий прямокутник (Н х 6а) є розгорткою бічної поверхні призми. Потім на одній осі пристосовують фігури основ - два шестикутники зі сторонами, рівними а. Контур обводять суцільною основною лінією, а лінії згину - штрихпунктирною з двома точками.
Подібним чином можна побудувати розгортки прямих призм із будь-якою фігурою в основі.
Розгорнення поверхні правильної пірамідиє плоскою фігурою, складеною з бічних граней - рівнобедрених або рівносторонніх трикутників і правильного багатокутника основи. Для прикладу взято правильну чотирикутну піраміду (рис. 176, б). Розв'язання задачі ускладнюється тим, що невідома величина бічних граней піраміди, так як ребра граней не паралельні жодній із площин проекцій. Тому побудову починають із визначення істинної величини похилого ребра SA. Визначивши способом обертання (див. рис. 173, в) справжню довжину похилого ребра SA, рівну s"a`1 (рис. 176 б), з довільної точки Про, як з центру, проводять дугу радіусом s"a`1. На дузі відкладають чотири відрізки, рівні стороні основи піраміди, яке спроектовано на кресленні в справжню величину. Знайдені точки з'єднують прямими з точкою О. Отримавши розгортку бічної поверхні, до основи одного з трикутників пристосовують квадрат, рівний основи піраміди.
Розгортка поверхні прямого кругового конусає плоскою фігурою, що складається з кругового сектора і кола (рис. 176, в). Побудову виконують в такий спосіб. Проводять осьову лінію і з точки, взятої на ній, як з центру, радіусом Rh рівним утворює конуса sfd, окреслюють дугу кола. У цьому прикладі утворювальна, підрахована за теоремою Піфагора, дорівнює приблизно
З розгортками поверхонь ми часто зустрічаємося у повсякденному житті, на виробництві та у будівництві. Щоб виготовити футляр для книги (рис. 169), пошити чохол для валізи, покришку для волейбольного м'яча тощо, треба вміти будувати розгортки поверхонь призми, кулі та інших геометричних тіл. Розгорткою називається фігура, отримана в результаті поєднання поверхні даного тіла із площиною. Для одних тіл розгортки можуть бути точними, для інших наближеними. Точні розгортки мають усі багатогранники (призми, піраміди та ін), циліндричні та конічні поверхні та деякі інші. Наближені розгортки мають кулю, тор та інші поверхні обертання з криволінійною твірною. Першу групу поверхонь будемо називати такими, що розгортаються, другу - нерозгортаються.
TBegin-->TEnd-->
TBegin--> 
TEnd-->
При побудові розгорток багатогранників доведеться знаходити дійсну величину ребер та граней цих багатогранників за допомогою обертання чи зміни площин проекцій. При побудові наближених розгорток для поверхонь, що не розгортаються, доведеться замінювати ділянки останніх близькими до них за формою поверхнями, що розгортаються.
Для побудови розгортки бічної поверхні призми (рис. 170) вважають, що площина розгортки збігається з гранню AADD призми; з цією ж площиною поєднують інші грані призми, як показано на малюнку. Грань ССВВ попередньо поєднують з гранню ААВВ. Лінії згинів відповідно до ГОСТ 2.303-68 проводять тонкими суцільними лініями завтовшки s/3-s/4. Крапки на розгортці прийнято позначати тими самими літерами, як і комплексному кресленні, але з індексом 0 (нульове). При побудові розгортки прямої призми по комплексному кресленню (рис. 171 а) висоту граней беруть з фронтальної проекції, а ширину — з горизонтальної. Розгортку прийнято будувати так, щоб до спостерігача була звернена лицьова сторона поверхні (рис. 171 б). Ця умова важливо дотримуватися тому, що деякі матеріали (шкіра, тканини) мають дві сторони: лицьову та оборотну. До однієї з граней бічної поверхні пристосовують підстави призми ABCD.
Якщо поверхні призми задана точка 1, то розгортку її переносять з допомогою двох відрізків, помічених на комплексному кресленні одним і двома штрихами, перший відрізок С1l1 відкладають вправо від точки С0, а другий відрізок — по вертикалі (до точки l0).
TBegin--> 
TEnd-->
Аналогічно будують розгортку поверхні циліндра обертання (рис. 172). Ділять поверхню циліндра на певну кількість рівних частин, наприклад, на 12, і розгортають вписану поверхню правильної дванадцятикутної призми. Довжина розгортки при такій побудові виходить дещо меншою за дійсну довжину розгортки. Якщо потрібна значна точність, застосовують графо-аналітичний спосіб. Діаметр d кола основи циліндра (рис. 173, а) множать на число π = 3,14; отриманий розмір використовують як довжину розгортки (рис. 173, б), а висоту (ширину) беруть безпосередньо з креслення. До розгортки бічної поверхні пристосовують основи циліндра.
TBegin--> 
TEnd-->
Якщо на поверхні циліндра задана точка А, наприклад між 1 і 2 утворюючими, то її місце на розгортці знаходять за допомогою двох відрізків: хорди, позначеної потовщеною лінією (правіше точки l1), і відрізка, рівного відстані точки А від верхньої основи циліндра , позначені на кресленні двома штрихами.
Значно складніше побудова розгортки піраміди (рис. 174, а). Її ребра SA і SC є прямими загального становища та проектуються на обидві площині проекцій спотворенням. Перед тим, як будувати розгортку, необхідно знайти дійсну величину кожного ребра. Величину ребра SB знаходять шляхом побудови його третьої проекції, оскільки це ребро паралельно площині П 3 . Ребра SA і SC обертають навколо горизонтально-проекції осі, що проходить через вершину S настільки, щоб вони стали паралельними фронтальної площини проекцій П, (таким самим способом може бути знайдена дійсна величина ребра SB).
TBegin--> 
TEnd-->
Після такого обертання їх фронтальні проекції S 2 A 2 і S 2 C 2 дорівнюють дійсної величини ребер SA і SC. Сторони основи піраміди, як горизонтальні прямі, без спотворення проектуються на площину проекцій П 1 . Маючи три сторони кожної грані та користуючись способом засічок, легко побудувати розгортку (рис. 174, б). Побудову починають із передньої грані; на горизонтальній прямій відкладають відрізок A 0 С 0 =A 1 C 1 першу засічку роблять радіусом A 0 S 0 - A 2 S 2 другу - радіусом C 0 S 0 = = G 2 S 2 ; у перетині засічок отримують точку S„. Приймають замовлення сторону A 0 S 0; з точки A 0 роблять засічку радіусом A 0 0 = A 1 B 1 з точки S 0 роблять засічку радіусом S 0 B 0 = S 3 B 3 ; у перетині засічок отримують точку 0 . Аналогічно до сторони S 0 G 0 пристосовують грань S 0 B 0 C 0 . На закінчення, до сторони A 0 0 пристроюють трикутник основи A 0 G 0 S 0 . Довжини сторін цього трикутника можна взяти безпосередньо з розгортки, як показано на кресленні.
Розгорнення конуса обертання будують так само, як і розгорнення піраміди. Ділять коло основи на рівні частини, наприклад, на 12 частин (рис. 175, а), і уявляють, що в конус вписана правильна дванадцятикутна піраміда. Перші три грані показано на кресленні. Розрізають поверхню конуса за твірною S6. Як відомо з геометрії, розгортка конуса зображується сектором кола, у якого радіус дорівнює довжині утворює конуса l. Усі утворюють кругового конуса рівні, тому дійсна довжина утворює l дорівнює фронтальної проекції лівої (або правої) утворюючої. Від точки S 0 (рис. 175 б) по вертикалі відкладають відрізок 5000 =l. Цим радіусом проводять дугу кола. Від точки O 0 відкладають відрізки Оl 0 = O 1 l 1 , 1 0 2 0 = 1 1 2 1 і т. д. Відклавши шість відрізків, одержують точку 60, яку з'єднують з вершиною S0. Аналогічно будують ліву частину розгортки; знизу прибудовують основу конуса.
TBegin--> 
TEnd-->
Якщо потрібно нанести на розгортку точку, то проводять через неї утворює SB (у нашому випадку S 2), наносять цю утворюючу на розгортку (S 0 2 0); обертаючи утворюючу з точкою праворуч до суміщення її з твірною S 3 (S 2 5 2), знаходять дійсну відстань S 2 B 2 і відкладають його від точки S 0 . Знайдені відрізки позначені на кресленнях трьома штрихами.
Якщо на розгортці конуса не потрібно наносити точки, то вона може бути побудована швидше і точніше, оскільки відомо, що кут сектора розгортки a = 360 R / l радіус кола основи, а l - довжина утворює конуса.
Циліндром (прямим круговим циліндром)називається тіло, що складається з двох кіл (підстав циліндра), що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні при паралельному перенесенні точки цих кіл. Відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл підстав, називаються утворюючими циліндра.
Ось інше визначення:
Циліндр- тіло, яке обмежене циліндричною поверхнею із замкнутою напрямною та двома паралельними площинами, що перетинають утворюють дану поверхню.
Циліндрична поверхня- Поверхня, яка утворюється рухом прямої лінії вздовж деякої кривої. Пряму називають утворюючої циліндричної поверхні, а криву лінію - напрямної циліндричної поверхні.
Бічна поверхня циліндра- Частина циліндричної поверхні, яка обмежена паралельними площинами.
Основи циліндра- частини паралельних площин, що відсікаються бічною поверхнею циліндра.
Мал.1 міні
Циліндр називається прямим(Див. Рис.1), якщо його утворюють перпендикулярні площинам основ. В іншому випадку циліндр називається похилим.
Круговий циліндр- Циліндр, основи якого є колами.
Прямий круговий циліндр (просто циліндр)- Це тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї з його сторін. Див. Рис.1.
Радіус циліндра- Радіус його заснування.
Утворююча циліндра- Утворює циліндричної поверхні.
Висотою циліндраназивається відстань між площинами основ. Оссю циліндраназивається пряма, що проходить через центри основ. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.
Вісь циліндра паралельна його утворює і є віссю симетрії циліндра.
Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра. Див. Рис.2.
Розгортка бічної поверхні циліндра- прямокутник зі сторонами, рівними висоті циліндра та довжині кола основи.
Площа бічної поверхні циліндра- Площа розгортки бічної поверхні. $$S_(сторона)=2\pi\cdot rh$$ , де h- Висота циліндра, а r- Радіус основи.
Площа повної поверхні циліндра- площа, яка дорівнює сумі площ двох основ циліндра та його бічної поверхні, тобто. виражається формулою: $ $ S_ (повний) = 2 \ pi \ cdot r ^ 2 + 2 \ pi \ cdot rh = 2 \ pi \ cdot r (r + h) $ $, де h- Висота циліндра, а r- Радіус основи.
Об'єм будь-якого циліндрадорівнює добутку площі підстави на висоту: $$ V = S \ cdot h $ $ Об'єм круглого циліндра: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , де ( r- Радіус основи).
Призма є окремий вид циліндра (утворюючі паралельні бічним ребрам; напрямна - багатокутник, що лежить в основі). З іншого боку, довільний циліндр можна розглядати як призму, що виродилася («згладжена») з дуже великим числом дуже вузьких граней. Майже циліндр не відрізняється від такої призми. Усі властивості призми зберігаються й у циліндрі.
Вам знадобиться
- Олівець Лінійка косинець циркуль транспортир Формули обчислення кута по довжині дуги та радіусу Формули обчислення сторін геомтричних фігур
Інструкція
На аркуші паперу побудуйте основу потрібного геометричного тіла. Якщо вам дано паралелепіпед або , виміряйте довжину та ширину основи та накресліть на аркуші паперу прямокутник з відповідними параметрами. Для побудови розгортки а або циліндра вам необхідно радіус кола основи. Якщо вона не задана в умові, виміряйте та обчисліть радіус.
Розгляньте паралелепіпед. Ви побачите, що всі його грані розташовані під кутом до основи, але ці параметри різні. Виміряйте висоту геометричного тіла і за допомогою косинця накресліть два перпендикуляри до довжини основи. Відкладіть на них висоту паралелепіпеда. Кінці відрізків, що вийшли, з'єднайте прямий. Те саме зробіть з протилежного боку вихідного.
Від точок перетину сторін вихідного прямокутника проведіть перпендикуляри та до його ширини. Відкладіть на цих прямих висоту паралелепіпеда і з'єднайте отримані точки прямої. Те саме зробіть і з іншого боку.
Від зовнішнього краю будь-якого з нових прамокутників, довжина якого збігається з довжиною основи, збудуйте верхню грань паралелепіпеда. Для цього з точок перетину ліній довжини та ширини, розташованих на зовнішній стороні, проведіть перпендикуляри. Відкладіть на них ширину основи та з'єднайте точки прямої.
Для побудови розгортки конуса через центр кола основи проведіть радіус через будь-яку точку кола та продовжіть його. Виміряйте відстань від основи до вершини конуса. Відкладіть цю відстань від точки перетину радіусу та кола. Позначте точку вершини бічної поверхні. За радіусом бічної поверхні та довжиною дуги, яка дорівнює довжині кола основи, обчисліть кут розгортки і відкладіть його від вже проведеного через вершину основи прямої. За допомогою циркуля з'єднайте знайдену раніше точку перетину радіуса та кола з цією новою точкою. Розгортка конуса готова.
Для побудови розгортки піраміди виміряйте висоти її сторін. Для цього знайдіть середину кожної сторони основи та виміряйте довжину перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди до цієї точки. Накресливши на аркуші основу піраміди, знайдіть середини сторін і проведіть до цих точок перпендикуляри. З'єднайте отримані точки з точками перетину сторін піраміди.
Розгортка циліндра є двома колами і розташований між ними прямокутник, довжина якого дорівнює довжині кола, а висота - висоті циліндра.
Криві поверхні, які повністю, без розтягування або стиснення, без розривів і складок можна поєднати з площиною, називають розгортається. До цих поверхонь відносяться лише лінійчасті і тільки такі, у яких суміжні утворюючі перетинаються між собою або паралельні. Цю властивість мають торси (поверхні, утворені прямими, що стосуються напрямної просторової кривої), конічні та циліндричні поверхні. Решта лінійчастих поверхонь, а також всі не лінійчасті - не розгортаються.
Побудова повної розгортки прямого кругового усіченого циліндра обертання
(Рис. 10.41).
Для побудови розгортки циліндра досить подати його як призму з великою кількістю граней (фактично достатньо 12-16 таких граней), рівномірно розділивши коло основи циліндра на рівну кількість частин.
Якщо на поверхні циліндра розташована якась лінія, то на розгортку циліндра цю лінію можна перенести по точках, що належать відповідним утворюючим цій поверхні.
Побудови розгорнення повної поверхні прямого кругового конуса (рис.10.42).
Для побудови розгортки прямого кругового конуса достатньо уявити його поверхню як правильну піраміду з великим числом граней і далі побудувати її розгортку, знайшовши натуральну величину однієї з граней, що є рівнобедреним трикутником, по його боці і підставі. Побудова розгортки конуса видно з креслення, де основа "грані" S01 дорівнює хорді 0 `1`. Розгортка бічної поверхні конуса, у разі, містить 12 таких “гранів”.
Розгорнення бічної поверхні буде знайдено точніше, якщо визначити кут j 0 при точці S на розгортці за формулою:
j 0 =R/l 360 0 де R - радіус основи конуса, а l - довжина утворює конуса.
Належні бічній поверхні конуса точки деякої кривої АВСDЕ можна знайти за належністю цих точок відповідним утворюючим конічної поверхні. Для цього достатньо способом обертання, як показано на прикладі точки С, що належить утворює S2, знайти відрізки S ``B``0 = SB, S ``D``0 = SD і S ``E``0 = SE . Знайдені відрізки відкласти по відповідним утворюючим на розгортці конуса та провести через них лінію АВСDE. Для отримання повної розгортки поверхні конуса її потрібно доповнити основою конуса, що стосується у відповідній точці розгортки бічної поверхні.
Розгорнення бічної поверхні похилого конусаперебувати як розгортка похилої піраміди з великою кількістю граней, кожну з яких знаходять по трьом сторонам - двом боковим “ребрам” і “основі”.(рис.10.43).