Для опису руху тіла потрібно знати, як рухаються різні точки. Однак у разі поступального руху всі точки тіла рухаються однаково. Тому для опису поступального руху тіла достатньо описати рух однієї точки.
Також у багатьох завданнях механіки немає потреби вказувати положення окремих частин тіла. Якщо розміри тіла малі порівняно з відстанями до інших тіл, це тіло можна описувати як точку.
ВИЗНАЧЕННЯ
Матеріальною точкоюназивається тіло, розмірами якого в цих умовах можна знехтувати.
Слово "матеріальна" підкреслює тут відмінність цієї точки від геометричної. Геометрична точка не має жодних фізичних властивостей. Матеріальна точка може мати масу, електричний заряд та інші фізичні характеристики.
Те саме тіло в одних умовах можна вважати матеріальною точкою, а в інших – ні. Так, наприклад, розглядаючи рух корабля з одного морського порту до іншого, корабель можна вважати матеріальною точкою. Однак, при дослідженні руху кульки, яка котиться палубою корабля, корабель вважати матеріальною точкою не можна. Рух зайця, що тікає лісом від вовка, можна описувати, прийнявши зайця за матеріальну точку. Але не можна вважати зайця матеріальною точкою, описуючи його спроби сховатись у нору. При вивченні руху планет навколо Сонця їх можна описувати матеріальними точками, а при добовому обертанні планет навколо своєї осі така модель не застосовується.
Важливо розуміти, що у природі матеріальних точок немає. Матеріальна точка – це абстракція, модель опису руху.
Приклади розв'язання задач на тему «Матеріальна точка»
ПРИКЛАД 1
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Вказати, у яких з наведених нижче випадках тіло, що вивчається, можна прийняти за матеріальну точку: а) розраховують тиск трактора на грунт; б) обчислюють висоту, яку піднялася ракета; в) розраховують роботу при піднятті у горизонтальному положенні плити перекриття відомої маси на задану висоту; г) визначають об'єм сталевої кульки за допомогою вимірювального циліндра (мензурки). |
| Відповідь | а) при розрахунку тиску трактора на ґрунт трактор не можна прийняти за матеріальну точку, тому що в даному випадку важливо знати площу поверхні гусениць; б) під час розрахунку висоти підйому ракети, ракету вважатимуться матеріальної точкою, оскільки ракета рухається поступально і відстань, пройдене ракетою. набагато більше її розмірів; в) у разі плиту перекриття вважатимуться матеріальної точкою. оскільки вона здійснює поступальний рух й у вирішення завдання досить знати переміщення її центру мас; г) щодо обсягу кульки. Кульку вважати матеріальною точкою не можна, тому що в даному завданні суттєві розміри кульки. |
ПРИКЛАД 3
| Завдання | Чи можна вважати Землю матеріальною точкою при розрахунку: а) відстані від Землі до Сонця; б) шляхи, пройденого Землею орбітою навколо Сонця; в) довжини екватора Землі; г) швидкості руху точки екватора при добовому обертанні Землі навколо осі; д) швидкості руху Землі орбітою навколо Сонця? |
| Відповідь | а) у даних умовах Землю можна вважати матеріальну точку, оскільки її розміри набагато менше відстані від неї до Сонця; буд) у разі Землю можна вважати матеріальну точку, оскільки розміри орбіти набагато перевищують розміри Землі. |
Визначення
Матеріальною точкою називається макроскопічне тіло, розмірами, формою, обертанням та внутрішньою структурою якого можна знехтувати при описі його руху.
Питання, чи можна це тіло розглядати як матеріальну точку, залежить немає від розмірів цього тіла, як від умов розв'язуваного завдання. Наприклад, радіус Землі значно менший за відстань від Землі до Сонця, і її орбітальний рух можна добре описати як рух матеріальної точки з масою, що дорівнює масі Землі і розташованої в її центрі. Однак при розгляді добового руху Землі навколо власної осі заміна її матеріальною точкою не має сенсу. Застосовність моделі матеріальної точки до конкретного тіла залежить не так від розмірів самого тіла, як від умов його руху. Зокрема, відповідно до теореми про рух центру мас системи при поступальному русі будь-яке тверде тіло можна вважати матеріальною точкою, положення якої збігається з центром мас тіла.
Маса, становище, швидкість та інші фізичні властивості матеріальної точки у кожен конкретний час повністю визначають її поведінка.
Положення матеріальної точки у просторі окреслюється положення геометричної точки. У класичній механіці маса матеріальної точки належить постійної у часі і незалежної від будь-яких особливостей її руху та взаємодії коїться з іншими телами. При аксіоматичному підході до побудови класичної механіки як одна з аксіом приймається наступне:
Аксіома
Матеріальна точка - геометрична точка, якій поставлений у відповідність скаляр, званий масою: $(r,m)$, де $r$ - вектор в евклідовому просторі, віднесеному до будь-якої декартової системи координат. Маса належить постійної, незалежної від положення точки у просторі, ні від часу.
Механічна енергія може бути запасена матеріальною точкою лише у вигляді кінетичної енергії її руху у просторі та (або) потенційної енергії взаємодії з полем. Це автоматично означає нездатність матеріальної точки до деформацій (матеріальною точкою може бути названо лише абсолютно тверде тіло) та обертання навколо власної осі та змін напряму цієї осі у просторі. Разом з цим модель руху тіла, що описується матеріальною точкою, що полягає у зміні її відстані від деякого миттєвого центру повороту та двох кутів Ейлера, які задають напрямок лінії, що з'єднує цю точку з центром, надзвичайно широко використовується в багатьох розділах механіки.
Метод вивчення законів руху реальних тіл шляхом дослідження руху ідеальної моделі – матеріальної точки – є основним у механіці. Будь-яке макроскопічне тіло можна як сукупність взаємодіючих матеріальних точок g, з масами, рівними мас його частин. Вивчення руху цих елементів зводиться до вивчення руху матеріальних точок.
Обмеженість застосування поняття про матеріальну точку видно з такого прикладу: у розрідженому газі за високої температури розмір кожної молекули дуже малий порівняно з типовою відстанню між молекулами. Здавалося б, їм можна знехтувати та вважати молекулу матеріальною точкою. Однак це не завжди так: коливання та обертання молекули – важливий резервуар «внутрішньої енергії» молекули, «ємність» якого визначається розмірами молекули, її структурою та хімічними властивостями. У хорошому наближенні як матеріальну точку можна іноді розглядати одноатомну молекулу (інертні гази, пари металів та ін), але навіть у таких молекул при досить високій температурі спостерігається збудження електронних оболонок за рахунок зіткнень молекул, з наступним висвічуванням.
Завдання 1
а) автомобіль, що в'їжджає у гараж;
б) автомобіль на трасі Воронеж – Ростов?
а) автомобіль, що в'їжджає в гараж, не можна прийняти за матеріальну точку, оскільки в умовах істотні розміри автомобіля;
б) автомобіль на трасі Воронеж-Ростов можна прийняти за матеріальну точку, оскільки розміри автомобіля набагато менші за відстань між містами.
Чи можна вважати матеріальну точку:
а) хлопчика, який дорогою зі школи додому проходить 1 км;
б) хлопчика, який робить зарядку.
а) Коли хлопчик, повертаючись зі школи, проходить до будинку відстань в 1 км, то хлопчика в цьому русі можна розглядати як матеріальну точку, тому що його розміри малі порівняно з відстанню, яку він проходить.
б) коли той самий хлопчик виконує вправи ранкової зарядки, то матеріальною точкою вважати його неможливо.
Що таке матеріальна точка? Які фізичні величини пов'язані з нею, навіщо взагалі вводиться поняття матеріальної точки? У цій статті ми поговоримо про ці питання, наведемо приклади завдань, які пов'язані з поняттям, що обговорюється, а також поговоримо про формули, що застосовуються для їх вирішення.
Визначення
Отже, що таке матеріальна точка? Різні джерела дають визначення у дещо різному літературному стилі. Те саме стосується і викладачів у вузах, коледжах та загальноосвітніх закладах. Однак, згідно зі стандартом, матеріальною точкою називається тіло, розмірами якого (порівняно з розмірами системи відліку) можна знехтувати.
Зв'язок із реальними об'єктами
Здавалося б, як можна прийняти за матеріальну точку людини, велосипедиста, автомобіль, корабель і навіть літак, про які в більшості випадків йдеться в завданнях з фізики, коли мова заходить про механіку тіла, що рухається? Давайте дивитися глибше! Для визначення координати тіла, що рухається в будь-який момент часу необхідно знати кілька параметрів. Це і початкова координата, і швидкість руху, і прискорення (якщо воно, звичайно, має місце), і час.
Що необхідно для вирішення завдань із матеріальними точками?
Координатний зв'язок можна знайти лише прив'язавшись до системи координат. Ось такою своєрідною системою координат для автомобіля та іншого тіла стає наша планета. А в порівнянні з її величиною розмірами тіла дійсно можна знехтувати. Відповідно, якщо тіло ми приймаємо за матеріальну точку, її координату у двовимірному (тривимірному) просторі можна і потрібно знаходити як координату геометричної точки.
Рух матеріальної точки. Завдання
Залежно від складності, завдання можуть набувати певних умов. Відповідно, відштовхуючись від даних умов, можна використовувати певні формули. Іноді, навіть маючи весь арсенал формул, вирішити завдання, що називається, "в лоб" все одно неможливо. Тому вкрай важливо не просто знати формули кінематики, що стосуються матеріальної точки, а й вміти їх використовувати. Тобто висловлювати потрібну величину, а системи рівнянь прирівнювати. Ось основні формули, які ми будемо застосовувати під час вирішення завдань:
Завдання №1
Автомобіль, що стоїть на стартовій межі, різко починає рух із нерухомого становища. Дізнатися, за який час він розженеться до 20 метрів за секунду, якщо його прискорення становить 2 метри за секунду в квадраті.
Відразу хочеться сказати, що це завдання - найпростіше, що може очікувати учня. Слово “практично” стоїть тут не так. Вся справа в тому, що простіше можливо тільки підставити прямі значення формули. Нам слід спочатку висловити час, а потім зробити розрахунки. Для вирішення задачі знадобиться формула визначення миттєвої швидкості (миттєва швидкість – це швидкість тіла у певний момент часу). Вона має такий вигляд:
Як ми бачимо, у лівій частині рівняння ми маємо миттєву швидкість. Вона нам там абсолютно не потрібна. Тому робимо прості математичні дії: добуток прискорення на якийсь час залишаємо в правій частині, а початкову швидкість переносимо вліво. При цьому слід уважно стежити за знаками, оскільки один неправильно залишений знак може докорінно змінити відповідь на завдання. Далі трохи ускладнюємо вираз, позбавляючись прискорення у правій частині: ділимо на нього. У результаті справа має залишитися чистий час, зліва - дворівневе вираз. Усю цю справу просто міняємо місцями, щоб виглядало звичніше. Залишається лише підставити величини. Отже, виходить, що автомобіль розженеться за 10 секунд. Важливо: ми вирішили завдання, припускаючи, що автомобіль у ній - матеріальна точка.
Завдання №2
Матеріальна точка починає екстрене гальмування. Визначити, якою була початкова швидкість у момент екстреного гальмування, якщо до зупинки тіла пройшло 15 секунд. Прискорення прийняти рівним 2 метрів на секунду у квадраті.
Завдання, в принципі, досить схоже на попереднє. Але тут є кілька своїх нюансів. По-перше, нам потрібно визначити швидкість, яку ми зазвичай називаємо початковою. Тобто у певний момент починається відлік часу та відстані, пройденого тілом. Швидкість при цьому справді підпадатиме під дане визначення. Другий нюанс – знак прискорення. Нагадаємо, що прискорення – це величина векторна. Отже, залежно від напряму вона змінюватиме свій знак. Позитивне прискорення спостерігається у разі, якщо напрям швидкості тіла збігається з його напрямом. Простіше кажучи, коли тіло пришвидшується. В іншому випадку (тобто в нашій ситуації з гальмуванням) прискорення буде негативним. І ці два фактори потрібно враховувати, щоб вирішити це завдання:
Як і минулого разу, спочатку висловимо необхідну нам величину. Щоб уникнути метушні зі знаками, початкову швидкість залишимо там, де вона є. З протилежним знаком переносимо до іншої частини рівняння твір прискорення тимчасово. Так як гальмування було повним, кінцева швидкість становить 0 метрів за секунду. Підставляючи ці та інші значення легко знаходимо початкову швидкість. Вона дорівнюватиме 30 метрам в секунду. Легко помітити, що, знаючи формули, справлятися з найпростішими завданнями не так уже й складно.
Завдання №3
У певний час диспетчери починають стеження за переміщенням повітряного об'єкта. Його швидкість у цей момент дорівнює 180 кілометрам на годину. Через проміжок часу, що дорівнює 10 секунд, його швидкість збільшується до 360 кілометрів на годину. Визначте відстань, пройдену літаком за час перельоту, якщо час польоту становив 2 години.
Насправді у широкому розумінні це завдання має безліч нюансів. Наприклад, розгін повітряного судна. Зрозуміло, що прямолінійною траєкторією наше тіло рухатися б не могло в принципі. Тобто йому треба злетіти, набрати швидкість, а потім уже на певній висоті якийсь відрізок відстані рухатись прямолінійно. У розрахунок не беруться відхилення, а також уповільнення літака під час посадки. Але це не наша справа у цьому випадку. Тому ми вирішуватимемо завдання в рамках шкільних знань, загальних відомостей про кінематичний рух. Щоб вирішити завдання, нам знадобиться така формула:
Але тут нас чекає проблема, про яку ми говорили раніше. Знати формули недостатньо – їх треба вміти використовувати. Тобто виводити одну величину за допомогою альтернативних формул, знаходити її та підставляти. При перегляді початкових відомостей, які є в задачі, відразу стає зрозуміло, що вирішити її просто так не вийде. Про прискорення нічого не сказано, проте є інформація про те, як змінилася швидкість за певний проміжок часу. Отже, прискорення ми можемо знайти самостійно. Беремо формулу знаходження миттєвої швидкості. Вона має вигляд
Прискорення та час залишаємо в одній частині, а початкову швидкість переносимо до іншої. Потім розподілом обох частин на якийсь час звільняємо праву частину. Тут відразу можна підрахувати прискорення, підставивши прямі дані. Але набагато доцільніше висловлювати й надалі. Отриману формулу для прискорення підставляємо в основну. Там можна трохи скоротити змінні: у чисельнику час дано у квадраті, а у знаменнику – у першому ступені. Тому цього знаменника можна позбутися. Ну а далі – проста підстановка, оскільки більше висловлювати нічого не треба. Відповідь має вийти така: 440 кілометрів. Відповідь буде іншою, якщо переводити величини в іншу розмірність.
Висновок
Отже, що ми з'ясували під час цієї статті?
1) Матеріальна точка - це тіло, розмірами якого порівняно з розмірами системи відліку можна знехтувати.
2) Для вирішення завдань, пов'язаних із матеріальною точкою, є кілька формул (наведені у статті).
3) Знак прискорення у цих формулах залежить від параметра руху тіла (прискорення чи гальмування).
Концепція матеріальної точки. Траєкторія. Шлях та переміщення. Система відліку. Швидкість та прискорення при криволінійному русі. Нормальне та тангенціальне прискорення. Класифікація механічних рухів
Предмет механіки . Механікою називають розділ фізики, присвячений вивченню закономірностей найпростішої форми руху матерії – механічного руху.
Механіка складається з трьох підрозділів: кінематики, динаміки та статики.
Кінематика вивчає рух тіл без урахування причин, що його викликають. Вона оперує такими величинами як переміщення, пройдений шлях, час, швидкість руху та прискорення.
Динаміка досліджує закони та причини, що викликають рух тіл, тобто. вивчає рух матеріальних тіл під впливом прикладених до них сил. До кінематичних величин додаються величини - сила та маса.
Устатики досліджують умови рівноваги системи тел.
Механічним рухом тіла називається зміна його становища у просторі щодо інших тіл з часом.
Матеріальна точка - Тіло, розмірами і формою якого можна знехтувати в умовах руху, вважаючи масу тіла зосередженою в даній точці. Модель матеріальної точки – найпростіша модель руху тіла у фізиці. Тіло можна вважати матеріальною точкою, коли його розміри набагато менші за характерні відстані в задачі.
Для опису механічного руху необхідно вказати тіло, щодо якого розглядається рух. Довільно обране нерухоме тіло, стосовно якого розглядається рух даного тіла, називається тілом відліку .
Система відліку - тіло відліку разом із пов'язаними з ним системою координат та годинами.
Розглянемо рух матеріальної точки М у прямокутній системі координат, помістивши початок координат у точку О.
Положення точки М щодо системи відліку можна задати не лише за допомогою трьох декартових координат, але також за допомогою однієї векторної величини - радіуса-вектора точки М, проведеного в цю точку з початку системи координат (рис. 1.1). Якщо - одиничні вектори (орти) осей прямокутної декартової системи координат, то
або залежність від часу радіус-вектор цієї точки
Три скалярні рівняння (1.2) або еквівалентне їм одне векторне рівняння (1.3) називаються кінематичними рівняннями руху матеріальної точки .
Траєкторією матеріальної точки називається лінія, що описується простором цією точкою при її русі (геометричне місце кінців радіуса-вектора частки). Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рух точки. Якщо всі ділянки траєкторії точки лежать в одній площині, рух точки називають плоским.
Рівняння (1.2) та (1.3) задають траєкторію точки в так званій параметричній формі. Роль параметра відіграє час t. Вирішуючи ці рівняння разом і виключаючи час t, знайдемо рівняння траєкторії.
Довжиною шляху матеріальної точки називають суму довжин всіх ділянок траєкторії, пройдених точкою за проміжок часу, що розглядається.
Вектор переміщення матеріальної точки називається вектор, який би початкове і кінцеве становище матеріальної точки, тобто. збільшення радіуса-вектора точки за розглянутий проміжок часу
|
|
При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з ділянкою траєкторії. З того, що переміщення є вектором, слід підтверджується на досвіді закону незалежності рухів: якщо матеріальна точка бере участь у кількох рухах, то результуюче переміщення точки дорівнює векторній сумі її переміщень, що здійснюються нею за той же час у кожному з рухів нарізно
Для характеристики руху матеріальної точки вводять векторну фізичну величину швидкість , величину, що визначає як швидкість руху, так і напрямок руху в даний момент часу.
Нехай матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії МN так, що в момент часу t вона знаходиться в т.м, а в момент часу в т. n. ).
Вектор середньої швидкості точки в інтервалі часу від tдо t+Δ tназивають відношення збільшення радіуса-вектора точки за цей проміжок часу до його величини:
Вектор середньої швидкості спрямований як вектор переміщення тобто. вздовж хорди МN.
Миттєва швидкість або швидкість в даний момент часу . Якщо у виразі (1.5) перейти до межі, спрямовуючи до нуля, ми отримаємо вираз для вектора швидкості м.т. у момент часу t проходження її через т.м траєкторії.
|
|
У процесі зменшення величини точка N наближається до т.м, і хорда МN, повертаючись навколо т.м, межі збігається у напрямку з дотичної до траєкторії в точці М. Тому векторта швидкістьvрухомої точки спрямовані по дотичній траєкторії у бік руху. p align="justify"> Вектор швидкості v матеріальної точки можна розкласти на три складові, спрямовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат.
Зі зіставлення виразів (1.7) і (1.8) випливає, що проекції швидкості матеріальної точки на осі прямокутної декартової системи координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат точки:
Рух, у якому напрям швидкості матеріальної точки не змінюється, називається прямолінійним. Якщо чисельне значення миттєвої швидкості точки залишається під час руху незмінним, такий рух називається рівномірним.
Якщо ж за довільні рівні проміжки часу точка проходить шляхи різної довжини, чисельне значення її миттєвої швидкості з часом змінюється. Такий рух називають нерівномірним.
І тут часто користуються скалярної величиною , званої середньої дорожньою швидкістю нерівномірного руху цьому ділянці траєкторії. Вона дорівнює чисельному значенню швидкості такого рівномірного руху, у якому проходження шляху витрачається те саме час , як і за заданому нерівномірному русі:
Т.к. тільки у разі прямолінійного руху з незмінною за напрямом швидкістю, то у загальному випадку:
Величину пройденого точкою шляху можна уявити графічно площею фігури обмеженою кривою v = f (t), прямими t = t 1 і t = t 1 та віссю часу на графіку швидкості.
Закон складання швидкостей . Якщо матеріальна точка одночасно бере участь у кількох рухах, то результуюче переміщення відповідно до закону незалежності руху дорівнює векторній (геометричній) сумі елементарних переміщень, обумовлених кожним з цих рухів окремо:
Відповідно до визначення (1.6):
Таким чином, швидкість результуючого руху дорівнює геометричній сумі швидкостей всіх рухів, в яких бере участь матеріальна точка, (це положення має назву закону складання швидкостей).
При русі точки миттєва швидкість може змінюватися як за величиною, так і за напрямом. Прискорення характеризує швидкість зміни модуля та напрямки вектора швидкості, тобто. Зміна величини вектора швидкості за одиницю часу.
Вектор середнього прискорення . Відношення збільшення швидкості до проміжку часу, протягом якого відбулося це збільшення, виражає середнє прискорення:
Вектор середнього прискорення збігається в напрямку вектора .
Прискорення або миттєве прискорення дорівнює межі середнього прискорення при прагненні проміжку часу до нуля:
|
|
У проекціях на відповідні координати осі:
При прямолінійному русі вектори швидкості та прискорення збігаються з напрямком траєкторії. Розглянемо рух матеріальної точки по криволінійній плоскій траєкторії. Вектор швидкості в будь-якій точці траєкторії спрямований щодо до неї. Припустимо, що у т.м траєкторії швидкість була , а т.м 1 стала . При цьому вважаємо, що проміжок часу при переході точки на шляху з М М 1 настільки малий, що зміною прискорення за величиною і напрямом можна знехтувати. Для того, щоб знайти вектор зміни швидкості, необхідно визначити векторну різницю:
Для цього перенесемо паралельно самому собі, поєднуючи його початок з точкою М. Різниця двох векторів дорівнює вектору, що з'єднує їх кінці дорівнює боці АС МАС, побудованого на векторах швидкостей, як на сторонах. Розкладемо вектор на дві складові АВ і АТ, і обидві відповідно через і . Таким чином, вектор зміни швидкості дорівнює векторній сумі двох векторів:
Таким чином, прискорення матеріальної точки можна представити як векторну суму нормального та тангенціального прискорень цієї точки. 
За визначенням:
де - колійна швидкість вздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент. Вектор тангенціального прискорення спрямований щодо траєкторії руху тіла.
Якщо використовувати для одиничного дотичного вектора позначення , можна записати тангенціальне прискорення у векторному вигляді:
Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни швидкості за напрямом. Обчислимо вектор:
Для цього проведемо перпендикуляр через точки М і М1 до дотичних до траєкторії (рис. 1.4) Точку перетину позначимо через О. При досить малій ділянку криволінійної траєкторії можна вважати частиною кола радіуса R. Трикутники МОМ1 і МВС подібні, тому що є рівнобедреними трикутниками з однаковими кутами при вершинах. Тому:
Але тоді:
Переходячи до межі при і враховуючи, що при цьому знаходимо:
,
|
|
Оскільки за кут , напрям цього прискорення збігаються з напрямом нормалі до швидкості , тобто . вектор прискорення перпендикулярний. Тому це прискорення часто називають доцентровим.
Нормальне прискорення(доцентрове) спрямоване за нормаллю до траєкторії до центру її кривизни O і характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості точки.
Повне прискорення визначається векторною сумою нормального тангенціального прискорень (1.15). Оскільки вектори цих прискорень взаємноперпендикулярні, то модуль повного прискорення дорівнює:
Напрямок повного прискорення визначається кутом між векторами і :
Класифікація рухів.
Для класифікацій рухів скористаємося формулою визначення повного прискорення
Припустимо, що
Отже, 
Це випадок рівномірного прямолінійного руху.
Але 
2)
Отже 
Це випадок рівномірного руху. В цьому випадку
При v 0 = 0 v t= at - Швидкість рівноприскореного руху без початкової швидкості.
Криволінійний рух із постійною швидкістю.
МАТЕРІАЛЬНА ТОЧКА- Модельне поняття (абстракція) класичної механіки, що позначає тіло зникаюче малих розмірів, але володіє деякою масою.
З одного боку, матеріальна точка – найпростіший об'єкт механіки, оскільки його становище у просторі визначається лише трьома числами. Наприклад, трьома декартовими координатами тієї точки простору, де знаходиться наша матеріальна точка.
З іншого боку, матеріальна точка – основний опорний об'єкт механіки, оскільки саме неї сформульовані основні закони механіки. Всі інші об'єкти механіки - матеріальні тіла та середовища - можуть бути представлені у вигляді тієї чи іншої сукупності матеріальних точок. Наприклад, будь-яке тіло можна «розрізати» на малі частини і кожну з них прийняти як матеріальну точку з відповідною масою.
Коли можна «замінити» реальне тіло матеріальною точкою при постановці задачі про рух тіла, залежить від тих питань, на які має відповісти розв'язання задачі, що формулюється.
Можливі різні підходи до питання використання моделі матеріальної точки.
Один із них має емпіричний характер. Вважають, що модель матеріальної точки застосовна тоді, коли розміри тіл, що рухаються, зневажливо малі в порівнянні з величиною відносних переміщень цих тіл. Як ілюстрацію можна навести Сонячну систему. Якщо вважати, що Сонце - нерухома матеріальна точка і вважати воно діє на іншу матеріальну точку-планету згідно із законом всесвітнього тяжіння, то завдання про рух точки-планети має відоме рішення. Серед можливих траєкторій руху точки є й такі, у яких виконуються закони Кеплера, емпірично встановлені планет сонячної системи.
Отже, в описах орбітальних рухів планет модель матеріальної точки цілком задовільна. (Однак, побудова математичної моделі таких явищ як сонячні та місячні затемнення вимагає врахування реальних розмірів Сонця, Землі та Місяця, хоча ці явища, очевидно, пов'язані з орбітальними рухами.)
Відношення діаметра Сонця до діаметра орбіти найближчої планети – Меркурія – становить величину ~ 1·10 –2 , а відношення діаметрів ближніх до Сонця планет до діаметрів їх орбіт – величини ~ 1 ÷ 2·10 –4 . Чи можуть ці числа служити формальним критерієм для зневаги до розмірів тіла в інших завданнях і, отже, для прийнятності моделі матеріальної точки? Практика показує, що ні.
Наприклад, маленька куля розміром l= 1 ÷ 2 см пролітає відстань L= 1 ÷ 2 км, тобто. Відношення , проте траєкторія польоту (та й дальність) істотно залежить не тільки від маси кулі, а й від її форми, і від того, чи вона обертається. Тому навіть маленьку кулю, власне кажучи, не можна вважати матеріальною точкою. Якщо в завданнях зовнішньої балістики тіло, що метається, часто вважають матеріальною точкою, то це супроводжується застереженнями низки додаткових умов, як правило, що емпірично враховують реальні характеристики тіла.
Якщо звернутися до космонавтики, то коли космічний апарат (КА) виведений на робочу орбіту, при подальших розрахунках траєкторії його польоту він вважається матеріальною точкою, оскільки ніякі зміни форми КА не чинять помітного впливу на траєкторію. Лише іноді при корекціях траєкторії виникає необхідність забезпечення точної орієнтації реактивних двигунів у просторі.
Коли ж відсік, що спускається, наблизиться до поверхні Землі на відстань ~100 км, він відразу «перетворюється» на тіло, оскільки від того, яким «боком» він входить у щільні шари атмосфери, залежить, чи доставить відсік в потрібну точку Землі космонавтів і матеріали, що повертаються .
Модель матеріальної точки виявилася практично неприйнятною для опису рухів таких фізичних об'єктів мікросвіту як елементарні частинки, атомні ядра, електрон і т.п.
Інший підхід до питання використання моделі матеріальної точки носить раціональний характер. За законом зміни кількості руху системи, застосованому до окремого тіла, центр мас тіла має таке ж прискорення, як і деяка (назвемо її еквівалентною) матеріальна точка, на яку діють ті ж сили, що і на тіло, тобто.
Взагалі кажучи, результуюча сила може бути представлена у вигляді суми , де залежить тільки від (радіус-вектор і швидкість точки С), а - і від кутової швидкості тіла і його орієнтації.
Якщо F 2 = 0, то наведене вище співвідношення перетворюється на рівняння руху еквівалентної матеріальної точки.
І тут кажуть, що рух центру мас тіла залежить від обертального руху тіла. Таким чином, можливість використання моделі матеріальної точки отримує математичне суворе (а не лише емпіричне) обґрунтування.
Природно, що на практиці умова F 2 = 0 виконується рідко та зазвичай F 2 № 0, однак може виявитися, що F 2 у якомусь сенсі мало в порівнянні з F 1 . Тоді можна говорити, що модель еквівалентної матеріальної точки є деяким наближенням в описі руху тіла. Оцінка точності такого наближення може бути отримана математично і якщо ця оцінка виявиться прийнятною для споживача, то заміна тіла на еквівалентну матеріальну точку допустима, в іншому випадку така заміна призведе до значних помилок.
Це може бути і тоді, коли тіло рухається поступально і з погляду кінематики його можна «замінити» деяку еквівалентну точку.
Природно, що модель матеріальної точки не придатна для відповіді на такі питання, як «чому Місяць звернений до Землі лише однією своєю стороною?» Подібні явища пов'язані з обертальним рухом тіла.
Віталій Самсонов