Чому дорівнює середня лінія трикутника визначення? Прямокутний трикутник

Середня лінія трапеції, а особливо її властивості, дуже часто використовуються в геометрії для вирішення задач та доказів тих чи інших теорем.

– це чотирикутник, у якого лише дві сторони паралельні одна одній. Паралельні сторони називають основами (на малюнку 1 - ADі BC), дві інші – бічними (на малюнку ABі CD).

Середня лінія трапеції- Це відрізок, що з'єднує середини її бокових сторін (на малюнку 1 - KL).

Властивості середньої лінії трапеції

Доказ теореми про середню лінію трапеції

Довести, що середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ і паралельна цим основам.

Дана трапеція ABCDіз середньою лінією KL. Для доказу властивостей, що розглядаються, потрібно провести пряму через точки Bі L. На малюнку 2 це пряма BQ. А також продовжити основу ADдо перетину з прямої BQ.

Розглянемо отримані трикутники LBCі LQD:

За визначенням середньої лінії KLкрапка Lє серединою відрізка CD. Звідси випливає, що відрізки CLі LDрівні.
∠ BLC = ∠ QLD, оскільки ці кути вертикальні.
∠ BCL = ∠ LDQ, тому що ці кути навхрест лежать при паралельних прямих ADі BCі січеною CD.

З цих 3 рівностей випливає, що розглянуті раніше трикутники LBCі LQDрівні по 1 стороні та двом прилеглим до неї кутам (див. рис. 3). Отже, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQі найголовніше - BL=LQ => KL, що є середньою лінією трапеції ABCD, також є середньою лінією трикутника ABQ. Відповідно до властивості середньої лінії трикутника ABQотримуємо.

Деколи теми, які пояснюють у школі, можуть бути не завжди зрозумілі з першого разу. Особливо це стосується такого предмета як математика. Але все стає набагато складніше, коли ця наука починає поділятися на дві частини: алгебру та геометрію.

Кожен учень може мати здатність до одного з двох напрямків, але особливо в початкових класах важливо зрозуміти базу і алгебри, і геометрії. У геометрії однією з основних тем прийнято вважати розділ про трикутники.

Як знаходити середню лінію трикутника? Давайте розумітися.

Основні поняття

Для початку, щоб розібратися, як знаходити середню лінію трикутника, важливо розуміти, що ж це.

Для проведення середньої лінії немає обмежень: трикутник може бути будь-яким (рівностегновим, рівностороннім, прямокутним). І всі властивості, які відносяться до середньої лінії, діятимуть.

Середня лінія трикутника є відрізком, що з'єднує середини 2-х сторін. Отже, будь-який трикутник може мати 3 лінії.

Властивості

Щоб знати, як знаходити середню лінію трикутника, позначимо її властивості, які необхідно запам'ятати, інакше без них буде неможливим вирішення задач з необхідністю позначити довжину середньої лінії, оскільки всі отримані дані необхідно обґрунтувати та аргументувати теоремами, аксіомами чи властивостями.

Таким чином, щоб відповісти на запитання: «Як знайти середню лінію трикутника АВС?» достатньо знати одну зі сторін трикутника.

Наведемо приклад

Погляньте на малюнок. На ньому представлено трикутник ABC із середньою лінією DE. Звернемо увагу, що вона паралельна основі AC у трикутнику. Отже, яким би не було значення AC, середня лінія DE буде вдвічі меншою. Наприклад, AC=20, отже DE=10 тощо.

Ось такими нескладними способами можна зрозуміти, як знаходити середню лінію трикутника. Запам'ятайте її основні властивості та визначення, і тоді у вас ніколи не виникне проблем зі знаходженням її значення.

Середня лінія трикутника

Властивості

середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
при проведенні всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.
середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній чверті площі вихідного трикутника.

Середня лінія чотирикутника

Середня лінія чотирикутника- Відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін чотирикутника.

Властивості

Перша лінія з'єднує дві протилежні сторони. Друга з'єднує 2 інші протилежні сторони. Третя з'єднує центри двох діагоналей (не у всіх чотирикутниках центри перетинаються)

Якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
Довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
Середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є центроїдом вершин чотирикутника.
У довільному чотирикутнику вектор середньої лінії дорівнює напівсумі векторів основ.

Середня лінія трапеції

Середня лінія трапеції- Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін цієї трапеції. Відрізок, що з'єднує середини основ трапеції, називають другою середньою лінією трапеції.

Властивості

середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Див. також

Примітки

Wikimedia Foundation.

2010 .

Дивитись що таке "Середня лінія" в інших словниках:СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ - (1) трапеції відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі; (2) трикутника відрізок, що з'єднує середини двох сторін цього трикутника: третя сторона при цьому.

Велика політехнічна енциклопедія Трикутника (трапеції) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції).

Великий Енциклопедичний словниксередня лінія - 24 середня лінія: Уявна лінія, що проходить через профіль різьблення так, що товщина виступу дорівнює ширині канавки. Джерело …

Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації Трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). * * * СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції) …

Великий Енциклопедичний словникЕнциклопедичний словник

Великий Енциклопедичний словник- vidurio linija statusas t sritis kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso stalo paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: англ. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. середня лінія … Sporto terminų žodynas

Великий Енциклопедичний словник- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: англ. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. середня лінія … Sporto terminų žodynas

- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikst(el)ę pusiau. atitikmenys: англ. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. середня лінія … Sporto terminų žodynas Велика Радянська Енциклопедія

Трикутника відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника. Третя сторона трикутника у своїй зв. основою трикутника. С. л. трикутника паралельна до основи і дорівнює половині його довжини. У кожному трикутнику С. л. відсікає від… … Математична енциклопедія

Трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). Природознавство. Енциклопедичний словник

Книги

Ручка кулькова "Jotter Luxe K177 West M" (синя) (1953203) , . Кулькова ручка в подарунковій упаковці. Колір листа: синій. Лінія: середня. Вироблено у Франції.

Поняття середньої лінії трикутника

Введемо поняття середньої лінії трикутника.

Визначення 1

Це відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (рис. 1).

Рисунок 1. Середня лінія трикутника

Теорема про середню лінію трикутника

Теорема 1

Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює її половині.

Доведення.

Нехай нам дано трикутник $ ABC $. $MN$ - середня лінія (як малюнку 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Оскільки $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, то трикутники $ABC$ і $MBN$ подібні за другою ознакою подібності трикутників. Значить

Також, звідси випливає, що $angle A=angle BMN$, значить $MN||AC$.

Теорему доведено.

Наслідки з теореми про середню лінію трикутника

Наслідок 1:Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину щодо $2:1 починаючи з вершини.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його медіани. Бо медіани ділять сторони навпіл. Розглянемо середню лінію $A_1B_1$ (Мал. 3).

Малюнок 3. Ілюстрація слідства 1

За теоремою 1, $AB||A_1B_1$ і $AB=2A_1B_1$, отже, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Отже, трикутники $ABM$ і $A_1B_1M$ подібні за першою ознакою подібності трикутників. Тоді

Аналогічно доводиться, що

Теорему доведено.

Наслідок 2:Три середні лінії трикутника ділять його на 4 трикутники, подібні до вихідного трикутника з коефіцієнтом подібності $k=\frac(1)(2)$.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$ із середніми лініями $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1, \ B_1C_1$ (рис. 4)

Малюнок 4. Ілюстрація слідства 2

Розглянемо трикутник $A_1B_1C$. Оскільки $A_1B_1$ - середня лінія, то

Кут $C$ - загальний кут цих трикутників. Отже, трикутники $A_1B_1C$ і $ABC$ подібні за другою ознакою подібності трикутників з коефіцієнтом подібності $k=\frac(1)(2)$.

Аналогічно доводиться, що трикутники $A_1C_1B$ і $ABC$, і трикутники $C_1B_1A$ і $ABC$ подібні до коефіцієнта подібності $k=\frac(1)(2)$.

Розглянемо трикутник $A_1B_1C_1$. Оскільки $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ -- середні лінії трикутника, то

Отже, за третьою ознакою подібності трикутників, трикутники $A_1B_1C_1$ і $ABC$ подібні до коефіцієнта подібності $k=\frac(1)(2)$.

Теорему доведено.

Приклади завдання поняття середньої лінії трикутника

Приклад 1

Даний трикутник зі сторонами $16$ см, $10$ см і $14$ см. Знайти периметр трикутника, вершини якого лежать у серединах сторін цього трикутника.

Рішення.

Оскільки вершини шуканого трикутника лежать у серединах сторін даного трикутника, його сторони - середні лінії вихідного трикутника. За наслідком 2, отримаємо, що сторони трикутника, що шукаються, дорівнюють $8$ см, $5$ см і $7$ см.

Відповідь:$20$ див.

Приклад 2

Дано трикутник $ABC$. Точки $N\ і M$ -- середини сторін $BC$ і $AB$ відповідно (Рис. 5).

Малюнок 5.

Периметр трикутника $BMN=14$ див. Знайти периметр трикутника $ABC$.

Рішення.

Оскільки $N\ і M$ -- середини сторін $BC$ і $AB$, то $MN$ -- середня лінія. Значить

По теоремі 1 $AC = 2MN $. Отримуємо:

Середня лінія трикутника

Властивості

середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
при проведенні всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.
середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній чверті площі вихідного трикутника.

Середня лінія чотирикутника

Середня лінія чотирикутника- Відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін чотирикутника.

Властивості

Якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
Довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
Середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є центроїдом вершин чотирикутника.
У довільному чотирикутнику вектор середньої лінії дорівнює напівсумі векторів основ.

Середня лінія трапеції

Властивості

середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Див. також

Примітки

Wikimedia Foundation.

Середня летальна доза
Середня лінія трапеції

2010 .

Дивитись що таке "Середня лінія" в інших словниках:- трикутника (трапеції) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). Трикутника (трапеції) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції).

Великий Енциклопедичний словник- трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). * * * СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції) … Трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). * * * СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції) …

Великий Енциклопедичний словникЕнциклопедичний словник

Середня лінія- 1) С. л. трикутника, відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (третю сторону називають основою). С. л. трикутника паралельна до основи і дорівнює його половині; площі частин трикутника, куди ділить його з. л., … … Велика Радянська Енциклопедія

Дивитись що таке "Середня лінія" в інших словниках:- Трикутник відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника. Третя сторона трикутника у своїй зв. основою трикутника. С. л. трикутника паралельна до основи і дорівнює половині його довжини. У кожному трикутнику С. л. відсікає від… … Математична енциклопедія

Дивитись що таке "Середня лінія" в інших словниках:- трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). Природознавство. Енциклопедичний словник

Книги

Ручка кулькова "Jotter Luxe K177 West M" (синя) (1953203) , . Кулькова ручка в подарунковій упаковці. Колір листа: синій. Лінія: середня. Вироблено у Франції.