Розберемося в тому, що таке скорочення дробів, навіщо і як скорочувати дроби, наведемо правило скорочення дробів та приклади його використання.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Що таке "скорочення дробів"
Скоротити дрібСкоротити дріб - означає розділити її чисельник і знаменник на спільний дільник, позитивний та відмінний від одиниці.
В результаті такої дії вийде дріб з новим чисельником і знаменником, що дорівнює вихідному дробу.
Наприклад, візьмемо звичайний дріб 6 24 і скоротимо її. Розділимо чисельник та знаменник на 2 , внаслідок чого отримаємо 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . У цьому прикладі ми скоротили вихідний дріб на 2 .
Приведення дробів до нескоротного виду
У попередньому прикладі ми скоротили дріб 6 24 на 2 , внаслідок чого отримали дріб 3 12 . Неважко помітити, що цей дріб можна скоротити ще. Як правило, метою скорочення дробів є отримання в результаті нескоротного дробу. Як привести дріб до нескоротного виду?
Це можна зробити, якщо скоротити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НДД). Тоді, за якістю найбільшої спільного дільника, у чисельнику та у знаменнику будуть взаємно прості числа, і дріб виявиться нескоротним.
a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)
Приведення дробу до нескоротного виду
Щоб привести дріб до нескоротного виду, потрібно його чисельник і знаменник розділити на їх НОД.
Повернемося до дробу 6 24 з першого прикладу і наведемо його до нескоротного вигляду. Найбільший загальний дільник чисел 6 та 24 дорівнює 6 . Скоротимо дріб:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Скорочення дробів зручно застосовувати, щоб не працювати з великими цифрами. Взагалі, в математиці існує негласне правило: якщо можна спростити будь-який вираз, потрібно це робити. Під скороченням дробу найчастіше мають на увазі її приведення до нескоротного виду, а не просто скорочення на загальний дільник чисельника та знаменника.
Правило скорочення дробів
Щоб скорочувати дроби, досить запам'ятати правило, яке складається з двох кроків.
Правило скорочення дробів
Щоб скоротити дріб потрібно:
- Знайти НОД чисельника та знаменника.
- Розділити чисельник та знаменник на їх НОД.
Розглянемо практичні приклади.
Приклад 1. Скоротимо дріб.
Дано дріб 182 195 . Скоротимо її.
Знайдемо НОД чисельника та знаменника. Для цього в даному випадкуНайзручніше скористатися алгоритмом Евкліда.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182, 195) = 13
Розділимо чисельник та знаменник на 13 . Отримаємо:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Ми отримали нескоротний дріб, Яка дорівнює вихідного дробу.
Як ще можна скорочувати дроби? У деяких випадках зручно розкласти чисельник та знаменник на прості множники, а потім з верхньої та нижньої частиндроби прибрати всі загальні множники.
Приклад 2. Скоротимо дріб
Даний дріб 360 2940 . Скоротимо її.
Для цього представимо вихідний дріб у вигляді:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Позбавимося спільних множниківу чисельнику та знаменнику, внаслідок чого отримаємо:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Зрештою, розглянемо ще один спосіб скорочення дробів. Це так зване послідовне скорочення. З використанням цього способу скорочення проводиться у кілька етапів, на кожному з яких дріб скорочується на якийсь очевидний спільний дільник.
Приклад 3. Скоротимо дріб
Скоротимо дріб 2000 4400 .
Відразу видно, що чисельник та знаменник мають загальний множник 100 . Скорочуємо дріб на 100 і отримуємо:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Результат, що вийшов, знову скорочуємо на 2 і отримуємо вже нескоротний дріб:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Працюючи з дробами, багато учнів допускають одні й самі помилки. А все тому, що вони забувають про елементарні правила арифметики. Сьогодні ми повторимо ці правила на конкретних завданняхякі я даю на своїх заняттях.
Ось завдання, яке я пропоную кожному, хто готується до ЄДІ з математики:
Завдання. Морська свиня їсть 150 г корму на день. Але вона виросла і стала їсти на 20% більше. Скільки грамів корму тепер їсть свиня?
Не правильне рішення. Це завдання на відсотки, що зводиться до рівняння:
Багато (дуже багато) скорочують число 100 у чисельнику і знаменнику дробу:
Ось такої помилки припустилася моя учениця прямо в день написання цієї статті. Червоним відзначені числа, скорочені.
Зайве говорити, що відповідь вийшла неправильною. Судіть самі: свиня їла 150 грам, а стала їсти 3150 грам. Збільшення не так на 20%, а 21 раз, тобто. на 2000%.
Щоб не допускати таких непорозумінь, пам'ятайте основне правило:
Скорочувати можна лише множники. Складники скорочувати не можна!
Таким чином, правильне рішення попереднього завданнявиглядає так:
Червоним відзначені цифри, які скорочуються у чисельнику та знаменнику. Як бачите, у чисельнику стоїть твір, знаменнику звичайне число. Тому скорочення цілком законне.
Робота з пропорціями
Ще одне проблемне місце. пропорції. Особливо коли змінна стоїть з обох боків. Наприклад:
Завдання. Розв'яжіть рівняння:
Неправильне рішення - у деяких буквально руки сверблять скоротити все на m :
Змінні змінні показані червоним. Виходить вираз 1/4 = 1/5 - повне марення, ці числа ніколи не рівні.
А тепер – правильне рішення. Фактично, це звичайне лінійне рівняння . Вирішується або перенесенням всіх елементів в один бік, або за основною якістю пропорції:
Чимало читачів заперечать: «Де помилка в першому рішенні?» Що ж, давайте розбиратись. Згадаймо правило роботи з рівняннями:
Будь-яке рівняння можна ділити та множити на будь-яке число, відмінне від нуля.
Просікли фішку? Можна ділити тільки числа, відмінні від нуля. Зокрема, можна ділити на змінну m тільки якщо m! = 0. А що робити, якщо все-таки m = 0? Підставимо та перевіримо:
Здобули вірне числова рівність, тобто. m = 0 – корінь рівняння. Для інших m != 0 отримуємо вираз виду 1/4 = 1/5, що, звісно, не так. Таким чином, немає коренів, відмінних від нуля.
Висновки: збираємо всі разом
Отже, для вирішення дробово-раціональних рівняньпам'ятайте три правила:
- Скорочувати можна лише множники. Доданки – не можна. Тому вчіться розкладати чисельник і знаменник на множники;
- Основна властивість пропорції: добуток крайніх елементів дорівнює добутку середніх;
- Рівняння можна множити і ділити тільки числа k , відмінні від нуля. Випадок k = 0 треба перевіряти окремо.
Пам'ятайте ці правила та не допускайте помилок.
Поділі чисельника та знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.
Щоб скоротити звичайний дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на те саме натуральне число.
Це число є найбільшим спільним дільником чисельника та знаменника даного дробу.
Можливі наступні форми запису рішенняприкладів скорочення звичайних дробів.
Студент має право вибрати будь-яку форму запису.
приклади. Спростити дроби.
Скоротимо дріб на 3 (ділимо чисельник на 3;
ділимо знаменник на 3).
Скорочуємо дріб на 7.
Виконуємо зазначені дії в чисельнику та знаменнику дробу.
Отриманий дріб скорочуємо на 5.
Скоротимо цей дріб 4)
на 5·7³- Найбільший загальний дільник (НДД) чисельника та знаменника, який складається із загальних множників чисельника та знаменника, взятих у ступені з найменшим показником.
Розкладемо чисельник і знаменник цього дробу на прості множники.
Отримуємо: 756=2²·3³·7і 1176 = 2? · 3 · 7 ².
Визначаємо НОД (найбільший спільний дільник) чисельника та знаменника дробу 5) .
Це добуток загальних множників, взятих із найменшими показниками.
НОД(756; 1176) = 2²·3·7.
Ділимо чисельник і знаменник даного дробу з їхньої НОД, т. е. на 2²·3·7отримуємо нескоротний дріб 9/14
.
А можна було записати розкладання чисельника та знаменника у вигляді добутку простих множників, не застосовуючи поняття ступеня, а потім провести скорочення дробу, закреслюючи однакові множники у чисельнику та знаменнику. Коли однакових множників не залишиться — перемножуємо множники, що залишилися, окремо в чисельнику і окремо в знаменнику і виписуємо дроб, що вийшов. 9/14 .
І, нарешті, можна було скорочувати цей дріб 5) поступово, застосовуючи ознаки поділу чисел і до чисельника і знаменника дробу. Розмірковуємо так: числа 756 і 1176 закінчуються парною цифрою, отже, обоє поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Чисельник і знаменник нового дробу- Числа 378 і 588 також поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Помічаємо, що число 294 - парне, а 189 - непарне, і скорочення на 2 вже неможливо. Перевіримо ознаку ділимості чисел 189 і 294 на 3 .
(1+8+9)=18 ділиться на 3 і (2+9+4)=15 ділиться на 3, отже, і числа 189 і 294 діляться на 3 . Скорочуємо дріб на 3 . Далі, 63 ділиться на 3, а 98 - Ні. Перебираємо інші звичайні множники. Обидва числа поділяються на 7 . Скорочуємо дріб на 7 і отримуємо нескоротний дріб 9/14 .
Калькулятор онлайн виконує скорочення алгебраїчних дробіввідповідно до правила скорочення дробів: заміна вихідного дробу рівним дробом, але з меншими чисельником і знаменником, тобто. одночасне розподіл чисельника і знаменника дробу з їхньої загальний найбільший спільний дільник (НОД). Також калькулятор виводить докладне рішеннящо допоможе зрозуміти послідовність виконання скорочення.
Дано:
Рішення:
Виконання скорочення дробів
перевірка можливості виконання скорочення алгебраїчного дробу
1) Визначення найбільшого загального дільника (НДД) чисельника та знаменника дробу
визначення найбільшого загального дільника (НОД) чисельника та знаменника алгебраїчного дробу
2) Скорочення чисельника та знаменника дробу
скорочення чисельника та знаменника алгебраїчного дробу
3) Виділення цілої частини дробу
виділення цілої частини алгебраїчного дробу
4) Переведення алгебраїчного дробу в десятковий дріб
переклад алгебраїчного дробу в десятковий дріб
Допомога на розвиток проекту
Шановний відвідувач сайту.
Якщо Вам не вдалося знайти, то що Ви шукали – обов'язково напишіть про це в коментарях, чого не вистачає зараз сайту. Це допоможе нам зрозуміти, у якому напрямку необхідно далі рухатися, а інші відвідувачі зможуть незабаром отримати необхідний матеріал.
Якщо ж сайт виявився Вам корисним - подаруй проекту сайт всього 2 ₽і ми знатимемо, що рухаємось у правильному напрямку.
Дякую, що не пройшли повз!
I. Порядок дій при скороченні алгебраїчної дробу калькулятором онлайн:
- Щоб виконати скорочення дробу алгебри, введіть у відповідні поля значення чисельника, знаменника дробу. Якщо дріб змішаний, то також заповніть поле, яке відповідає цілій частині дробу. Якщо дріб простий, то залиште поле цілої частини порожнім.
- Щоб поставити негативний дріб, поставте знак мінус у всій частині дробу.
- Залежно від алгебраїчного дробу, що задається, автоматично виконується наступна послідовністьдій:
- визначення найбільшого загального дільника (НДД) чисельника та знаменника дробу;
- скорочення чисельника та знаменника дробу на НОД;
- виділення цілої частини дробу, якщо чисельник підсумкового дробу більший за знаменник.
- переведення підсумкового алгебраїчного дробу в десятковий дрібіз округленням до сотих.
ІІ. Для довідки:
Дроб - число, що складається з однієї або декількох частин (часток) одиниці. Звичайний дріб (простий дріб) записується у вигляді двох чисел (числитель дробу та знаменник дробу), розділених горизонтальною рисою(Докладною рисою), що позначає знак поділу. чисельник дробу - число, що стоїть над дробовою рисою. Чисельник показує, скільки часток взяли в цілого. знаменник дробу - число, що стоїть під дрібною межею. Знаменник показує, на скільки рівних частокрозділене ціле. простий дріб - дріб, що не має цілої частини. Простий дріб може бути правильним або неправильним. правильний дріб - дріб, у якого чисельник менше знаменникатому правильний дріб завжди менше одиниці. Приклад правильних дробів: 8/7, 11/19, 16/17. неправильний дріб - дріб, у якого чисельник більший або дорівнює знаменникутому неправильний дріб завжди більше одиницічи дорівнює їй. Приклад неправильного дробу: 7/6, 8/7, 13/13. змішаний дріб - число, до складу якого входить ціле число та правильний дріб, і позначає суму цього цілого числа та правильного дробу. Будь-який змішаний дріб може бути перетворений на неправильний простий дріб. Приклад змішаних дробів: 1?, 2?, 4?.
ІІІ. Примітка:
- Блок вихідних даних виділено жовтим кольором , блок проміжних обчислень виділено блакитним кольором , блок рішення виділено зеленим кольором.
- Для складання, віднімання, множення та поділу звичайних або змішаних дробів скористайтесь онлайн калькулятором дробів із докладним рішенням.
Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від розподілу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).
Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає в звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У нашому випадку залишок дорівнює 1.
Залишок завжди менший за дільник.
Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.
Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.
Частка від поділу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.
Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.
Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».
Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Вірні такі правила:
Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю поділити на n рівних частин(часткою) і взяти m таких частин.
Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.
Щоб знайти частину від цілого, треба число, що відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.
Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.
Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.
Два останніх перетворенняназивають скороченням дробу.
Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільному знаменнику .
Правильні та неправильні дроби. Змішані числа
Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо поділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глуздпідказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менший за знаменник, називають правильними дробами.
Як ви знаєте, будь-який звичайний дріб, і правильний, і неправильний, можна розглядати як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що у цього дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.
Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.
Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.
Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо застосовувати його тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.
Події з дробами. Додавання дробів.
З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.
Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід призвести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та комбінаційні властивостідодавання.
Додавання змішаних дробів
Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиною змішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дробовою частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».
При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)
Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.
Віднімання дробів (дрібних чисел)
Віднімання дробових чисел, Як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при складанні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)
Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.
За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Розмноження дробів
Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.
За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.
Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.
Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.
Розподіл дробів
Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).
Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.
Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).
За допомогою літер взаємно зворотні дробиможна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)
Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.
Правило поділу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.
Використовуючи літери, правило розподілу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Якщо ділене або дільник є натуральним числомабо змішаним дробом, то, для того щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо подати у вигляді неправильного дробу.