Uzaydaki herhangi üç noktadan tek bir düzlemin çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.
Genel olarak M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarını düşünün Kartezyen sistem koordinatlar
Rastgele bir M(x, y, z) noktasının M 1, M 2, M 3 noktalarıyla aynı düzlemde yer alması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.
Tanım 2.1.
Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde yer alıyorsa ve aralarında bir bağ yoksa paralel denir. ortak noktalar.
Eğer a ve b doğruları paralelse, planimetride olduğu gibi bir || yazın. B. Uzayda çizgiler kesişmeyecek veya paralel olacak şekilde yerleştirilebilir. Bu durum stereometriye özeldir.
Tanım 2.2.
Ortak noktaları olmayan ve paralel olmayan doğrulara kesişen doğrular denir.
Teorem 2.1.
Belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan, verilen çizgiye paralel ve yalnızca bir çizgi çizmek mümkündür.
| Paralel çizgilerin işareti |
| Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde bulunuyorsa ve kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır. Belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan bu düz çizgiye paralel bir çizgi çizebilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. |
25.Bu ifade bir düzlemdeki paralellikler aksiyomuna indirgenir.
Teorem. Üçüncü bir çizgiye paralel iki çizgi paraleldir.
b ve c doğruları a doğrusuna paralel olsun. b || olduğunu kanıtlayalım. İle. Planimetride a, b ve aynı düzlemde yer alan düz çizgiler dikkate alınmaz; a, b ve c'nin aynı düzlemde olmadığını varsayalım. Ancak iki paralel çizgi aynı düzlemde bulunduğundan, a ve b'nin düzlemde, a b ve c'nin düzlemde olduğunu varsayabiliriz (Şekil 61). c doğrusu üzerinde bir (herhangi) M noktasını işaretliyoruz ve b doğrusu ve M noktası boyunca bir düzlem çiziyoruz. O, l düz bir çizgisiyle kesişiyor. Düz çizgi l düzlemi kesmez, çünkü eğer l kesişirse, kesişme noktaları a (a ve l aynı düzlemdedir) ve b (b ve l aynı düzlemdedir) üzerinde olmalıdır. Bu nedenle, bir l kesişme noktası hem a hem de b doğrusu üzerinde yer almalıdır, bu imkansızdır: a || B. Bu nedenle, bir || , ben || a, ben || B. a ve l aynı düzlemde yer aldığından l, c doğrusuyla (paralellik aksiyomuna göre) ve dolayısıyla || ile çakışır. B. Teorem kanıtlandı.
Bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralellik işareti
Teorem
27.Bir düzleme ait olmayan bir doğru, bu düzlemdeki bir doğruya paralelse, o zaman düzlemin kendisine de paraleldir.
Teorem. Üçüncü bir çizgiye paralel iki çizgi paraleldir.
Kanıt
Bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralellik işareti
α bir düzlem, a onun içinde olmayan bir doğru ve a1 α düzleminde a doğrusuna paralel bir doğru olsun. a ve a1 doğruları boyunca α1 düzlemini çizelim. α ve α1 düzlemleri a1 düz çizgisi boyunca kesişiyor. Eğer doğru bir α düzlemiyle kesişiyorsa, kesişme noktası a1 doğrusuna ait olacaktır. Ancak a ve a1 doğruları paralel olduğundan bu imkansızdır. Sonuç olarak, a doğrusu α düzlemiyle kesişmez ve dolayısıyla α düzlemine paraleldir. Teorem kanıtlandı. Belirli bir düzleme paralel bir düzlemin varlığı Belirli bir düzlemin dışındaki bir noktadan, verilen düzleme paralel ve yalnızca bir düzlem çizmek mümkündür.
Bu α düzleminde kesişen herhangi iki a ve b doğrusu çizelim. Başından sonuna kadar bu noktaα. β1 düzleminde β düzleminde olmayan bir C noktasını işaretleyelim. γ düzlemini A, C noktalarından ve α düzleminin bir B noktasından geçirerek çizelim. Bu düzlem α, β ve β1 düzlemlerini b, a ve c düz çizgileri boyunca kesecektir. a ve c doğruları α düzlemini kesmediklerinden b doğrusuyla kesişmezler. Bu nedenle b doğrusuna paraleldirler. Ancak γ düzleminde A noktasından yalnızca b doğrusuna paralel bir doğru geçebilir. bu da varsayımla çelişiyor. Teorem kanıtlandı.
28.Paralel düzlemlerin özellikleri o
29. 
Uzayda dik çizgiler. Uzaydaki iki çizgi, aralarındaki açı 90 derece ise dik olarak adlandırılır. C. M. k. k. M. C. k. Kesişen. Melezleme.
| Teorem 1 BİR DOĞRU VE DÜZLEMİN DİKLİK İŞARETİ. Bir düzlemi kesen bir doğru, bu doğru ile düzlemin kesişme noktasından geçen bu düzlemdeki iki doğruya dik ise, o zaman düzleme diktir. | |
| İspat: a, düzlemdeki b ve c doğrularına dik bir doğru olsun. Daha sonra a çizgisi, b ve c doğrularının kesiştiği A noktasından geçer. A düz çizgisinin düzleme dik olduğunu kanıtlayalım. Düzlemde A noktasından geçen rastgele bir x çizgisi çizelim ve bunun a çizgisine dik olduğunu gösterelim. Düzlemde A noktasından geçmeyen ve b, c ve x doğrularıyla kesişen rastgele bir çizgi çizelim. Kesişme noktaları B, C ve X olsun. A noktasından noktasına doğru bir doğru üzerinde a çizelim. farklı taraflar eşit parçalar AA1 ve AA2. A 1 CA 2 üçgeni ikizkenardır, çünkü AC segmenti teoreme göre yükseklik ve yapı gereği ortancadır (AA 1 = AA 2). Aynı nedenden dolayı, A 1 BA 2 üçgeni de ikizkenardır. Bu nedenle, A 1 BC ve A 2 BC üçgenlerinin üç tarafı eşittir. A 1 BC ve A 2 BC üçgenlerinin eşitliğinden, A 1 BC ve A 2 BC açılarının eşit olduğu ve dolayısıyla A 1 BC ve A 2 BC üçgenlerinin iki tarafta eşit olduğu ve aralarındaki açının olduğu sonucu çıkar. . Bu üçgenlerin A 1 X ve A 2 X kenarlarının eşitliğinden, A 1 XA 2 üçgeninin ikizkenar olduğu sonucuna varıyoruz. Bu nedenle medyan XA aynı zamanda yüksekliğidir. Bu da x çizgisinin a'ya dik olduğu anlamına gelir. Tanım gereği düz bir çizgi bir düzleme diktir. Teorem kanıtlandı. |
| Teorem 2 DİK DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN 1. ÖZELLİĞİ. Bir düzlem iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir. |  |
| İspat: a 1 ve a 2 - 2 paralel doğrular ve a 1 doğrusuna dik bir düzlem olsun. Bu düzlemin a 2 doğrusuna dik olduğunu kanıtlayalım. Düzlemde, a 2 düz çizgisinin düzlemle kesiştiği noktada A 2 noktasından geçen keyfi bir x 2 çizgisi çizelim. A 1 noktasından geçen düzlemde a 1 doğrusu ile x 2 doğrusuna paralel x 1 doğrusu ile kesişimini çizelim. a 1 doğrusu düzleme dik olduğundan, a 1 ve x 1 doğruları da diktir. Ve Teorem 1'e göre, bunlara paralel kesişen a 2 ve x 2 düz çizgileri de diktir. Dolayısıyla a 2 doğrusu düzlemdeki herhangi bir x 2 doğrusuna diktir. Ve bu (tanım gereği), a 2 düz çizgisinin düzleme dik olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı. Ayrıca bakınız referans sorunu №2. | |
| Teorem 3 DİK DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN 2. ÖZELLİĞİ. Aynı düzleme dik olan iki doğru paraleldir. |  |
| İspat: a ve b 2 düz çizgi olsun, dik düzlemler. a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. B doğrusu üzerinde düzlemde yer almayan bir C noktası seçelim. C noktasından a çizgisine paralel bir b 1 çizgisi çizelim. Teorem 2'ye göre b 1 doğrusu düzleme diktir. B ve B 1, b ve b 1 doğrularının düzlemle kesişme noktaları olsun. O halde BB 1 düz çizgisi, b ve b 1 ile kesişen çizgilere diktir. Ve bu imkansızdır. Bir çelişkiye ulaştık. Teorem kanıtlandı. |
33.Dik belirli bir düzlemde belirli bir noktadan indirilen, belirli bir noktayı düzlemdeki bir noktaya bağlayan ve düzleme dik bir düz çizgi üzerinde uzanan bir bölümdür. Bu parçanın düzlemde yer alan ucuna denir. dikey tabanı.
Eğimli Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen, belirli bir noktayı düzlem üzerinde düzleme dik olmayan bir noktaya bağlayan herhangi bir parçadır. Düzlemde bulunan bir doğru parçasının sonuna denir eğimli taban. Bir dikmenin tabanlarını aynı noktadan çizilen bir eğik çizgiye birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? eğik projeksiyon.
AB, α düzlemine diktir.
AC – eğik, CB – projeksiyon.
Teoremin ifadesi
Eğimli bir çizginin tabanından geçen bir düzlem üzerinde çizilen düz bir çizgi, izdüşümüne dik ise, o zaman eğimli olana diktir.
Bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralellik işareti
İzin vermek AB- α düzlemine dik, AC- eğimli ve C- α düzleminde noktadan geçen düz bir çizgi C Ve projeksiyona dik M.Ö.. Direkt yapalım CKçizgiye paralel AB. Dümdüz CKα düzlemine diktir (paralel olduğundan AB) ve dolayısıyla bu düzlemin herhangi bir düz çizgisi, dolayısıyla, CK düz bir çizgiye dik C. Paralel çizgiler üzerinden çizelim AB Ve CKβ düzlemi (paralel çizgiler bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tane). Dümdüz Cβ düzleminde bulunan kesişen iki çizgiye dik olan bu M.Ö. duruma göre ve CK yapım gereği bu düzleme ait herhangi bir çizgiye dik olduğu anlamına gelir, yani çizgiye dik olduğu anlamına gelir AC.
Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulmamız gerektiğini varsayalım. Yarıçap vektörlerini ile ve mevcut yarıçap vektörünü ile göstererek gerekli denklemi kolaylıkla elde edebiliriz. vektör formu. Aslında vektörlerin aynı düzlemde olması gerekir (hepsi istenilen düzlemde yer alır). Bu nedenle, bu vektörlerin vektör-skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır:
Bu, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin vektör formundaki denklemidir.
Koordinatlara geçerek denklemi koordinat cinsinden elde ederiz:
Verilen üç nokta aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, vektörler eşdoğrusal olacaktır. Bu nedenle, ikisinin karşılık gelen unsurları son satırlar Denklem (18)'deki determinant orantılı olacaktır ve determinant aynı olacaktır sıfıra eşit. Sonuç olarak denklem (18), x, y ve z'nin herhangi bir değeri için aynı olacaktır. Geometrik olarak bu, uzaydaki her noktadan, verilen üç noktanın bulunduğu bir düzlemin geçtiği anlamına gelir.
Açıklama 1. Aynı problem vektörler kullanılmadan da çözülebilir.
Verilen üç noktanın koordinatlarını sırasıyla belirterek, ilk noktadan geçen herhangi bir düzlemin denklemini yazacağız:
İstenilen düzlemin denklemini elde etmek için denklemin (17) diğer iki noktanın koordinatları tarafından karşılanması gerekir:
Denklemlerden (19), iki katsayıların üçüncüye oranını belirlemek ve bulunan değerleri denklem (17)'ye girmek gerekir.
Örnek 1. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın.
Bu noktalardan ilkinden geçen düzlemin denklemi şöyle olacaktır:
Uçağın (17) diğer iki noktadan ve birinci noktadan geçmesi için gereken koşullar şunlardır:
İkinci denklemi birinciye eklersek şunu buluruz:
İkinci denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Denklem (17)'de A, B, C yerine sırasıyla 1, 5, -4 (bunlarla orantılı sayılar) yerine koyarak şunu elde ederiz:
Örnek 2. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) noktalarından geçen bir düzlem için bir denklem yazın.
(0, 0, 0) noktasından geçen herhangi bir düzlemin denklemi şöyle olacaktır:
Bu düzlemin (1, 1, 1) ve (2, 2, 2) noktalarından geçmesinin koşulları şunlardır:
İkinci denklemi 2'ye indirdiğimizde, iki bilinmeyeni belirlemek için bir denklemin olduğunu görüyoruz.
Buradan anlıyoruz. Şimdi düzlemin değerini denklemde yerine koyarsak şunu buluruz:
Bu istenilen düzlemin denklemidir; keyfiye bağlıdır
B, C miktarları (yani ilişkiden, yani verilen üç noktadan geçen sonsuz sayıda düzlem vardır (belirli üç nokta aynı düz çizgi üzerinde yer alır).
Açıklama 2. Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlem çizme problemi şu şekilde kolaylıkla çözülebilir: genel görünüm determinantları kullanırsak. Nitekim (17) ve (19) numaralı denklemlerde A, B, C katsayıları aynı anda sıfıra eşit olamayacağından bu denklemler şu şekilde ele alınır: homojen sistemÜç bilinmeyenli A, B, C ile gerekli ve yeterli koşul bu sistemin sıfır dışında bir çözümünün varlığı (Bölüm 1, Bölüm VI, § 6):
Bu determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek, mevcut koordinatlara göre, özellikle verilen üç noktanın koordinatları tarafından karşılanacak birinci dereceden bir denklem elde ederiz.
Ayrıca bu noktalardan herhangi birinin koordinatlarını yerine koyarak da doğrudan doğrulayabilirsiniz. Sol tarafta, ya ilk satırın elemanlarının sıfır olduğu ya da iki özdeş satırın olduğu bir determinant elde ederiz. Böylece kurulan denklem verilen üç noktadan geçen bir düzlemi temsil eder.
13. Düzlemler arasındaki açı, bir noktadan düzleme olan mesafe.
α ve β düzlemlerinin bir c doğrusu boyunca kesişmesine izin verin.
Düzlemler arasındaki açı, bu düzlemlerde çizilen kesişme çizgisine dik olanlar arasındaki açıdır.
Başka bir deyişle, α düzleminde c'ye dik bir düz çizgi çizdik. β düzleminde - düz çizgi b, aynı zamanda c'ye dik. α ve β düzlemleri arasındaki açı açıya eşit a ve b satırları arasında.
İki düzlem kesiştiğinde aslında dört açının oluştuğunu unutmayın. Resimde onları görüyor musun? Aldığımız düzlemler arasındaki açı olarak baharatlı köşe.
Düzlemler arasındaki açı 90 derece ise düzlemler dik,
Bu, düzlemlerin dikliğinin tanımıdır. Stereometrideki problemleri çözerken aynı zamanda kullanırız. düzlemlerin diklik işareti:
Eğer α düzlemi β düzlemine dik bir noktadan geçiyorsa, α ve β düzlemleri diktir.
noktadan düzleme uzaklık
Koordinatlarıyla tanımlanan T noktasını düşünün:
T = (x 0, y 0, z 0)
Ayrıca α düzlemini de göz önünde bulunduruyoruz, denklem tarafından verilen:
Ax + By + Cz + D = 0
Daha sonra T noktasından α düzlemine olan L mesafesi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Başka bir deyişle, noktanın koordinatlarını düzlem denkleminde yerine koyarız ve sonra bu denklemi düzlemin normal vektörü n'nin uzunluğuna böleriz:
Ortaya çıkan sayı mesafedir. Bu teoremin pratikte nasıl çalıştığını görelim.
Düzlemdeki bir doğrunun parametik denklemlerini zaten türetmiştik, şimdi de düz bir çizginin parametrik denklemlerini elde edelim. dikdörtgen sistem koordinatlar üç boyutlu uzay.
Dikdörtgen bir koordinat sisteminin üç boyutlu uzayda sabitlenmesine izin verin Oksiz. İçinde düz bir çizgi tanımlayalım A(uzayda bir çizgiyi tanımlama yöntemleri bölümüne bakın), çizginin yön vektörünü gösterir 
ve doğru üzerindeki bir noktanın koordinatları 
. Uzayda düz bir çizginin parametrik denklemlerini çizerken bu verilerden başlayacağız.
Üç boyutlu uzayda rastgele bir nokta olsun. Noktanın koordinatlarından çıkarırsak M karşılık gelen nokta koordinatları M1, sonra vektörün koordinatlarını alacağız (bir vektörün koordinatlarını, bitiş ve başlangıç noktalarının koordinatlarından bulma makalesine bakın), yani, 
.
Açıkçası, noktalar kümesi düz bir çizgiyi tanımlar A ancak ve ancak ve vektörleri doğrusal ise.
Vektörlerin eşdoğrusallığı için gerekli ve yeterli koşulu yazalım 
Ve : 
, nerede - bazıları gerçek sayı. Ortaya çıkan denklem denir çizginin vektör-parametrik denklemi dikdörtgen koordinat sisteminde Oksizüç boyutlu uzayda. Koordinat formundaki bir düz çizginin vektör-parametrik denklemi şu şekildedir: 
ve temsil eder doğrunun parametrik denklemleri A. Doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları parametre kullanılarak belirtildiğinden "parametrik" adı tesadüfi değildir.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki düz bir çizginin parametrik denklemlerine bir örnek verelim Oksiz uzayda: . Burada
15. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı. Bir doğrunun bir düzlemle kesişme noktası.
Koordinatlara göre her birinci derece denklem x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3,1)
bir düzlemi tanımlar ve bunun tersi de geçerlidir: herhangi bir düzlem, denklem (3.1) ile temsil edilebilir; düzlem denklemi.
Vektör N(A, B, C), düzleme dik, isminde normal vektör uçak. Denklem (3.1)'de A, B, C katsayıları aynı anda 0'a eşit değildir.
Özel durumlar denklemler (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - düzlem orijinden geçer.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - düzlem Oz eksenine paraleldir.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - düzlem Oz ekseninden geçer.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - düzlem Oyz düzlemine paraleldir.
Denklemler koordinat düzlemleri: x = 0, y = 0, z = 0.
Uzayda düz bir çizgi belirtilebilir:
1) iki düzlemin kesişme çizgisi olarak, yani. denklem sistemi:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasıyla, onlardan geçen düz çizgi aşağıdaki denklemlerle verilir:
3) ona ait M 1 (x 1, y 1, z 1) noktası ve vektör A(m, n, p), onunla eşdoğrusaldır. Daha sonra düz çizgi denklemlerle belirlenir:
. (3.4)
Denklemler (3.4) denir doğrunun kanonik denklemleri.
Vektör A isminde yön vektörü düz.
Parametrik denklemler(3.4) ilişkilerinin her birini t parametresine eşitleyerek düz bir çizgi elde ederiz:
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)
Sistem (3.2)'nin sistem olarak çözülmesi doğrusal denklemler nispeten bilinmiyor X Ve sen, doğrunun denklemlerine varıyoruz projeksiyonlar veya verilen doğru denklemleri:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Denklemlerden (3.6) kanonik denklemlere gidebiliriz: z her denklemden ve elde edilen değerlerin eşitlenmesinden:
.
Bu doğru üzerinde herhangi bir nokta ve onun yön vektörünü bulursanız, genel denklemlerden (3.2) kanonik denklemlere başka bir şekilde gidebilirsiniz. N= [N 1 , N 2 ], burada N 1 (A 1, B 1, C 1) ve N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - verilen düzlemlerin normal vektörleri. Paydalardan biri ise m, n veya R denklemlerde (3.4) ortaya çıkıyor sıfıra eşit, o zaman karşılık gelen kesrin payı sıfıra eşitlenmelidir, yani. sistem
sisteme eşdeğerdir 
; böyle bir düz çizgi Ox eksenine diktir.
Sistem 
x = x 1, y = y 1 sistemine eşdeğerdir; düz çizgi Oz eksenine paraleldir.
Örnek 1.15. A(1,-1,3) noktasının orijinden bu düzleme çizilen bir dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlem için bir denklem yazın.
Çözüm. Problem koşullarına göre vektör OA(1,-1,3) düzlemin normal bir vektörü ise denklemi şu şekilde yazılabilir:
x-y+3z+D=0. A(1,-1,3) noktasının koordinatlarını yerine koyarsak, uçağa ait, D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11'i buluruz. Yani x-y+3z-11=0.
Örnek 1.16. Oz ekseninden geçen ve 2x+y-z-7=0 düzlemiyle 60 derecelik açı yapan bir düzlemin denklemini yazınız.
Çözüm. Oz ekseninden geçen düzlem Ax+By=0 denklemiyle verilir; burada A ve B aynı anda yok olmaz. B olmasın
0'a eşittir, A/Bx+y=0. İki düzlem arasındaki açı için kosinüs formülünü kullanma
.
Karar verme ikinci dereceden denklem 3m 2 + 8m - 3 = 0, köklerini bulun
m 1 = 1/3, m 2 = -3, buradan 1/3x+y = 0 ve -3x+y = 0 olmak üzere iki düzlem elde ederiz.
Örnek 1.17. Doğrunun kanonik denklemlerini oluşturun:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Çözüm.Kanonik denklemler düz çizgiler şu şekildedir:
Nerede m, n, p- düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları, x 1 , y 1 , z 1- bir çizgiye ait herhangi bir noktanın koordinatları. Düz bir çizgi, iki düzlemin kesişme çizgisi olarak tanımlanır. Bir doğruya ait bir noktayı bulmak için koordinatlardan biri sabitlenir (en kolay yol örneğin x=0 ayarlamaktır) ve ortaya çıkan sistem iki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemi olarak çözülür. Yani, x=0 olsun, o zaman y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, dolayısıyla y=-1, z=1. Bu doğruya ait M(x 1, y 1, z 1) noktasının koordinatlarını bulduk: M(0,-1,1). Orijinal düzlemlerin normal vektörleri bilindiğinde düz bir çizginin yön vektörünü bulmak kolaydır N 1 (5,1,1) ve N 2 (2,3,-2). Daha sonra
Doğrunun kanonik denklemleri şu şekildedir: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Örnek 1.18. 2x-y+5z-3=0 ve x+y+2z+1=0 düzlemleriyle tanımlanan kirişte, biri M(1,0,1) noktasından geçen iki dik düzlem bulun.
Çözüm. Bu düzlemler tarafından tanımlanan ışının denklemi u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 formundadır; burada u ve v aynı anda yok olmaz. Işın denklemini yeniden yazalım aşağıdaki gibi:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
M noktasından geçen ışından bir düzlem seçmek için M noktasının koordinatlarını ışın denkleminde yerine koyarız. Şunu elde ederiz:
(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 veya v = - u.
Daha sonra kiriş denkleminde v = - u yerine M'yi içeren düzlemin denklemini buluruz:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Çünkü u¹0 (aksi halde v=0 ve bu ışın tanımıyla çelişir), o zaman x-2y+3z-4=0 düzleminin denklemine sahip oluruz. Kirişe ait ikinci düzlem ona dik olmalıdır. Düzlemlerin dik olma koşulunu yazalım:
(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 veya v = - 19/5u.
Bu, ikinci düzlemin denkleminin şu şekilde olduğu anlamına gelir:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 veya 9x +24y + 13z + 34 = 0
Ayarlayabilirsiniz farklı şekillerde(bir nokta ve bir vektör, iki nokta ve bir vektör, üç nokta, vb.). Düzlemin denklemi bunu akılda tutarak olabilir. çeşitli türler. Ayrıca belirli koşullara bağlı olarak düzlemler paralel, dik, kesişen vb. olabilir. Bu yazımızda bunun hakkında konuşacağız. Bir düzlemin genel denklemini ve daha fazlasını nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz.
Normal denklem biçimi
Diyelim ki dikdörtgen XYZ koordinat sistemine sahip bir R3 uzayı var. Başlangıç noktası O'dan serbest bırakılacak olan α vektörünü tanımlayalım. α vektörünün ucu boyunca ona dik olacak bir P düzlemi çizeriz.
P üzerinde keyfi bir noktayı Q = (x, y, z) olarak gösterelim. Q noktasının yarıçap vektörünü p harfiyle işaretleyelim. Bu durumda α vektörünün uzunluğu р=IαI ve ɲ=(cosα,cosβ,cosγ)'ya eşittir.
Bu birim vektörα vektörü gibi yana doğru yönlendirilmiş. α, β ve γ, sırasıyla Ʋ vektörü ile uzay eksenleri x, y, z'nin pozitif yönleri arasında oluşan açılardır. Herhangi bir QϵП noktasının Ʋ vektörüne izdüşümü sabit değer, p'ye eşittir: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Yukarıdaki denklem p=0 olduğunda anlamlıdır. Tek şey, bu durumda P düzleminin, koordinatların orijini olan O (α = 0) noktasıyla kesişmesi ve O noktasından serbest bırakılan Ʋ birim vektörünün yönüne rağmen P'ye dik olmasıdır. Ʋ vektörünün işarete göre doğru olarak belirlendiği anlamına gelir. Önceki denklem P düzlemimizin vektör formunda ifade edilen denklemidir. Ancak koordinatlarda şöyle görünecek:
Burada P 0'dan büyük veya eşittir. Uzaydaki düzlemin denklemini normal formda bulduk.
Genel denklem
Koordinatlardaki denklemi sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıyla çarparsak, buna eşdeğer, o düzlemi tanımlayan bir denklem elde ederiz. Şunun gibi görünecek:
Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklı olan sayılardır. Bu denkleme genel düzlem denklemi denir.
Düzlem denklemleri. Özel durumlar
Genel formdaki denklem eğer varsa değiştirilebilir ek koşullar. Bunlardan bazılarına bakalım.
A katsayısının 0 olduğunu varsayalım. Bu şu anlama gelir: Verilen uçak verilen eksene paralel Ox. Bu durumda denklemin formu değişecektir: Ву+Cz+D=0.
Benzer şekilde denklemin formu aşağıdaki koşullar altında değişecektir:
- Öncelikle B = 0 ise denklem Ax + Cz + D = 0 olarak değişecektir, bu da Oy eksenine paralelliği gösterecektir.
- İkinci olarak, eğer C=0 ise denklem Ax+By+D=0'a dönüştürülecektir, bu da verilen Oz eksenine paralelliği gösterecektir.
- Üçüncüsü, eğer D=0 ise denklem Ax+By+Cz=0 gibi görünecektir, bu da düzlemin O (orijin) ile kesiştiği anlamına gelir.
- Dördüncüsü, eğer A=B=0 ise denklem Cz+D=0 olarak değişecektir ve bu da Oxy'ye paralel olacaktır.
- Beşinci olarak, eğer B=C=0 ise denklem Ax+D=0 olur, bu da Oyz düzleminin paralel olduğu anlamına gelir.
- Altıncısı, eğer A=C=0 ise denklem Ву+D=0 formunu alacaktır, yani Oxz'ye paralellik bildirecektir.
Segmentlerdeki denklem türü
A, B, C, D sayılarının sıfırdan farklı olması durumunda denklemin (0) formu aşağıdaki gibi olabilir:
x/a + y/b + z/c = 1,
burada a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Sonuç olarak şunu elde ediyoruz: Bu düzlemin Ox eksenini (a,0,0), Oy - (0,b,0) ve Oz - (0,0,c) koordinatlarında keseceğini belirtmekte fayda var. ).
x/a + y/b + z/c = 1 denklemi dikkate alındığında, düzlemin belirli bir koordinat sistemine göre yerleşimini görsel olarak hayal etmek zor değildir.
Normal vektör koordinatları
P düzlemine normal vektör n, katsayı olan koordinatlara sahiptir genel denklem belirli bir düzlemin, yani n (A, B, C).
Normal n'nin koordinatlarını belirlemek için belirli bir düzlemin genel denklemini bilmek yeterlidir.
Genel bir denklem kullanırken olduğu gibi x/a + y/b + z/c = 1 formundaki parçalar halinde bir denklem kullanırken, belirli bir düzlemin herhangi bir normal vektörünün koordinatlarını yazabilirsiniz: (1/a) + 1/b + 1/ İle).
Normal vektörün çözmeye yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var. çeşitli görevler. En yaygın olanları, düzlemlerin dikliğini veya paralelliğini kanıtlamayı içeren problemleri, düzlemler arasındaki açıları veya düzlemler ile düz çizgiler arasındaki açıları bulma problemlerini içerir.
Noktanın koordinatlarına ve normal vektöre göre düzlem denklemi türü
Belirli bir düzleme dik sıfırdan farklı bir n vektörüne, belirli bir düzlem için normal denir.
Koordinat uzayında (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz'in verildiğini varsayalım:
- koordinatları olan Mₒ noktası (xₒ,yₒ,zₒ);
- sıfır vektörü n=A*i+B*j+C*k.
N normaline dik Mₒ noktasından geçecek bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.
Uzayda herhangi bir rastgele noktayı seçiyoruz ve onu M (x y, z) olarak gösteriyoruz. Herhangi bir M (x,y,z) noktasının yarıçap vektörü r=x*i+y*j+z*k olsun ve Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* noktasının yarıçap vektörü olsun i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektörü n vektörüne dik ise M noktası belirli bir düzleme ait olacaktır. Skaler çarpımı kullanarak diklik koşulunu yazalım:
[MₒM, n] = 0.
MₒM = r-rₒ olduğundan düzlemin vektör denklemi şöyle görünecektir:
Bu denklemin başka bir formu da olabilir. Bunu yapmak için skaler çarpımın özellikleri kullanılır ve dönüşüm yapılır. sol taraf denklemler
= - . c olarak gösterirsek, aşağıdaki denklemi elde ederiz: - c = 0 veya = c, bu, düzleme ait belirli noktaların yarıçap vektörlerinin normal vektörüne izdüşümlerinin sabitliğini ifade eder. Artık kaydın koordinat görünümünü alabilirsiniz vektör denklemi
düzlemimiz = 0. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ve n = A*i+B*j+C*k olduğundan, biz sahibiz:
Normal n'ye dik bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklemimiz olduğu ortaya çıktı:
A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.
İki noktanın koordinatlarına ve düzleme eşdoğrusal bir vektöre göre düzlem denklemi türü
İki keyfi M′ (x′,y′,z′) ve M″ (x″,y″,z″) noktasının yanı sıra bir a (a′,a″,a‴) vektörünü tanımlayalım.
Şimdi, mevcut M′ ve M″ noktalarından ve ayrıca verilen a vektörüne paralel (x, y, z) koordinatlarına sahip herhangi bir M noktasından geçecek belirli bir düzlem için bir denklem oluşturabiliriz.
Bu durumda, M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ve M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektörleri vektörle aynı düzlemde olmalıdır a=(a′,a″,a‴), bunun anlamı (M′M, M″M, a)=0'dır.
Yani uzaydaki düzlem denklemimiz şöyle görünecek:
Üç noktayı kesen bir düzlemin denklem türü
Diyelim ki aynı doğruya ait olmayan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) üç noktamız var. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazmak gerekir. Geometri teorisi bu tür bir düzlemin gerçekten var olduğunu iddia eder, ancak bu tek ve benzersizdir. Bu düzlem (x',y',z') noktasını kestiği için denkleminin formu aşağıdaki gibi olacaktır:
Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklıdır. Ayrıca verilen düzlem iki noktayı daha kesiyor: (x″,y″,z″) ve (x‴,y‴,z‴). Bu bağlamda aşağıdaki şartların yerine getirilmesi gerekmektedir:
Artık u, v, w bilinmeyenleriyle homojen bir sistem oluşturabiliriz: bizim durum x,y veya z çıkıntı yapar keyfi nokta
, denklem (1)'i karşılar. Denklem (1) ve denklem sistemi (2) ve (3) verildiğinde, yukarıdaki şekilde gösterilen denklem sistemi önemsiz olmayan N (A,B,C) vektörü tarafından karşılanır. Bu sistemin determinantının sıfıra eşit olmasının nedeni budur. Elde ettiğimiz denklem (1) düzlemin denklemidir. Tam olarak 3 noktadan geçer ve bunu kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için determinantımızı ilk satırdaki öğelere genişletmemiz gerekiyor. İtibaren determinant olduğundan, düzlemimizin başlangıçta verilen üç noktayı (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) aynı anda kestiği sonucu çıkar. Yani bize verilen görevi çözdük.
Düzlemler arasındaki dihedral açı
Dihedral açı uzaysal bir açıyı temsil eder geometrik şekil bir düz çizgiden çıkan iki yarım düzlemden oluşur. Yani uzayın bu yarım düzlemlerle sınırlanan kısmı burasıdır.
Diyelim ki aşağıdaki denklemlere sahip iki düzlemimiz var:
N=(A,B,C) ve N¹=(A¹,B¹,C¹) vektörlerinin şuna göre dik olduğunu biliyoruz: Verilen uçaklar. Bu bakımdan N ve N¹ vektörleri arasındaki φ açısı, bu düzlemler arasında bulunan açıya (dihedral) eşittir. Nokta çarpımışu forma sahiptir:
NN¹=|N||N¹|çünkü φ,
tam olarak çünkü
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
0≤φ≤π olduğunu dikkate almak yeterlidir.
Aslında kesişen iki düzlem iki açı (dihedral) oluşturur: φ 1 ve φ 2. Toplamları π'ye eşittir (φ 1 + φ 2 = π). Kosinüslerine gelince, mutlak değerleri eşittir, ancak işaret bakımından farklılık gösterirler, yani cos φ 1 = -cos φ 2. Eğer denklem (0)'da A, B ve C'yi sırasıyla -A, -B ve -C sayılarıyla değiştirirsek, elde ettiğimiz denklem aynı düzlemi, tek düzlemi, φ açısını belirleyecektir. çünkü denklemφ=NN 1 /|N||N 1 | π-φ ile değiştirilecektir.
Dik bir düzlemin denklemi
Açısı 90 derece olan düzlemlere dik denir. Yukarıda sunulan materyali kullanarak diğerine dik bir düzlemin denklemini bulabiliriz. Diyelim ki iki düzlemimiz var: Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 ise dik olacaklarını söyleyebiliriz. Bu, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 anlamına gelir.
Paralel düzlem denklemi
Ortak noktaları olmayan iki düzleme paralel denir.
Durum (denklemleri aşağıdakilerle aynıdır) önceki paragraf) onlara dik olan N ve N¹ vektörlerinin eşdoğrusal olmasıdır. Bu da onların yerine getirildiği anlamına gelir aşağıdaki koşullar orantılılık:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Orantılılık koşulları genişletilirse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
bu, bu düzlemlerin çakıştığını gösterir. Bu, Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 denklemlerinin bir düzlemi tanımladığı anlamına gelir.
Noktadan düzleme uzaklık
Diyelim ki (0) denklemiyle verilen bir P düzlemimiz var. Koordinatları (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ olan bir noktadan ona olan mesafeyi bulmak gerekir. Bunu yapmak için P düzleminin denklemini normal forma getirmeniz gerekir:
(ρ,v)=р (р≥0).
İÇİNDE bu durumdaρ (x,y,z), P üzerinde bulunan Q noktamızın yarıçap vektörüdür, p, P'den serbest bırakılan P dikinin uzunluğudur. sıfır noktası, v, a yönünde yer alan birim vektördür.
P'ye ait bir Q = (x, y, z) noktasının ρ-ρº yarıçap vektörü farkı ve ayrıca belirli bir Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) noktasının yarıçap vektörü böyle bir vektördür, mutlak değer v üzerindeki izdüşümü, Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)'den P'ye bulunması gereken d mesafesine eşittir:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ancak
(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).
Yani ortaya çıkıyor
d=|(ρ 0 ,v)-р|.
Yani bulacağız mutlak değer ortaya çıkan ifade, yani istenen d.
Parametre dilini kullanarak şunu açıkça görüyoruz:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Eğer ayar noktası Q 0, koordinatların orijini gibi P düzleminin diğer tarafındadır, dolayısıyla ρ-ρ 0 vektörü ile v arasında bulunur:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.
Q 0 noktasının koordinatların kökeni ile birlikte P'nin aynı tarafında olması durumunda, oluşturulan açı dardır, yani:
d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.
Sonuç olarak, ilk durumda (ρ 0 ,v)>р, ikinci durumda (ρ 0 ,v) olduğu ortaya çıktı.<р.
Teğet düzlem ve denklemi
M° temas noktasında yüzeye teğet düzlem, yüzeyde bu noktadan çizilen eğrilere olası tüm teğetleri içeren bir düzlemdir.
Bu tür yüzey denklemi F(x,y,z)=0 ile, M°(x°,y°,z°) teğet noktasındaki teğet düzlemin denklemi şöyle görünecektir:
F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.
Yüzeyi açıkça z=f (x,y) biçiminde belirtirseniz, teğet düzlem aşağıdaki denklemle tanımlanacaktır:
z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).
İki düzlemin kesişimi
Koordinat sisteminde (dikdörtgen) Oxyz bulunur, kesişen ve çakışmayan iki П′ ve П″ düzlemi verilmiştir. Dikdörtgen koordinat sisteminde yer alan herhangi bir düzlem genel bir denklemle belirlendiğinden, P' ve P″'nin A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x denklemleriyle verildiğini varsayacağız. +B″y+ С″z+D″=0. Bu durumda, P' düzleminin normal n' (A',B',C')'sine ve P" düzleminin normal n″'sine (A″,B″,C″) sahibiz. Düzlemlerimiz paralel olmadığından ve çakışmadığından bu vektörler doğrusal değildir. Matematik dilini kullanarak bu koşulu şu şekilde yazabiliriz: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P' ve P″'nin kesiştiği noktada bulunan düz çizginin a harfiyle gösterilmesine izin verin, bu durumda a = P′ ∩ P″.
a, (ortak) P′ ve P″ düzlemlerinin tüm noktalarının kümesinden oluşan düz bir çizgidir. Bu, a doğrusuna ait herhangi bir noktanın koordinatlarının aynı anda A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x+B″y+C″z+D″=0 denklemlerini sağlaması gerektiği anlamına gelir. . Bu, noktanın koordinatlarının aşağıdaki denklem sisteminin kısmi çözümü olacağı anlamına gelir:
Sonuç olarak, bu denklem sisteminin (genel) çözümünün, P' ve P″'nin kesişme noktası görevi görecek çizginin noktalarının her birinin koordinatlarını belirleyeceği ve düz çizgiyi belirleyeceği ortaya çıktı. a uzaydaki Oxyz (dikdörtgen) koordinat sisteminde.