Bence bundan daha fazlasını hak ediyorsun. İşte trigonometri anahtarım:

• Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
• Trigonometrik fonksiyonlar bu üç formun yüzdelerinden başka bir şey değildir.

Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe

Sadece üçgenlere bakmak yerine, bazı üçgenler bularak onları çalışırken hayal edin. özel örnek hayattan.

Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektör ekranı asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye belirli bir “x” açısıyla doğrultuyorsunuz ve ekranın bu noktadan asılı kalması gerekiyor.

İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:

• sinüs(x) = sin(x) = ekran yüksekliği (zeminden kubbe montaj noktasına kadar)
• kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan mesafe (kata göre)
• hipotenüs, sizden ekranın tepesine olan mesafe, her zaman aynıdır, kubbenin yarıçapına eşittir

Ekranın mümkün olduğunca büyük olmasını mı istiyorsunuz? Doğrudan üzerinize asın.

Ekranın sizden mümkün olduğunca uzağa asılmasını mı istiyorsunuz? Düz bir şekilde dik olarak asın. Bu konumda ekranın yüksekliği sıfır olacak ve istediğiniz gibi en uzağa asılacaktır.

Yükseklik ve ekrana olan mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakınsa yüksekliği de o kadar artar.

Sinüs ve kosinüs yüzdedir

Ne yazık ki, eğitim yıllarım boyunca hiç kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonların yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri +%100 ile %0 ila -%100 arasında veya pozitif maksimumdan sıfıra ve negatif maksimuma kadar değişir.

Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama yüzde 95 vergi ödedim derseniz, beni kandırdığımı anlayacaksınız.

Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ancak sinüs değeri 0,95 ise TV'nin neredeyse kubbenizin tepesinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında ulaşacak maksimum yükseklik kubbenin ortasında yer alır ve daha sonra tekrar alçalmaya başlar.

Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere bölün (kubbenin yarıçapı, aynı zamanda hipotenüs olarak da adlandırılır).

Bu yüzden bize “kosinüs = karşı kenar / hipotenüs” deniyor. Her şey ilgi çekmekle ilgili! Sinüsü "mümkün olan maksimumdan mevcut yüksekliğin yüzdesi" olarak tanımlamak en iyisidir. (Açınız "yeraltını" gösterirse sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasına doğru bakarsa kosinüs negatif olur.)

Merkezde olduğumuzu varsayarak hesaplamaları basitleştirelim. birim çember(yarıçap = 1). Bölmeyi atlayıp sinüsü yüksekliğe eşitleyebiliriz.

Her daire aslında ölçeği büyütülmüş veya küçültülmüş bir birimdir. dogru beden. Bu nedenle birim çember bağlantılarını belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.

Deney: Herhangi bir açıdan bakın ve ne olduğunu görün yüzde yükseklikten genişliğe şunu görüntüler:

Sinüs değerinin büyüme grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar, ancak son 10 derece (80°'den 90°'ye kadar) yalnızca %2'sini kaplar.

Bu sizin için daha açıklayıcı olacaktır: Bir daire içinde yürürseniz, 0°'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik giderek daha az değişir.

Teğet ve sekant. Duvar

Bir gün komşunun biri duvar ördü hemen yan yana senin kubbene. Pencereden manzaranızı ağlattım ve yeniden satış için iyi bir fiyat!

Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?

Tabii ki evet. Peki ya komşumuzun duvarına bir film ekranı assak? (x) açısını hedeflersiniz ve şunu elde edersiniz:

• tan(x) = tan(x) = duvardaki ekranın yüksekliği
• sizden duvara olan mesafe: 1 (bu sizin kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmiyor, değil mi?)
• secant(x) = sec(x) = Kubbenin ortasında durduğunuz yerden asılı paravanın tepesine kadar olan “merdivenin uzunluğu”

Teğet veya ekran yüksekliğiyle ilgili birkaç noktayı açıklığa kavuşturalım.

• 0'dan başlar ve sonsuza kadar yükselebilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval oluşturmak amacıyla ekranı duvarda giderek daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Böylesine büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
• teğet sinüsün sadece daha büyük bir versiyonudur! Kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsteki artış yavaşlarken, teğet büyümeye devam ediyor!

Sekansu'nun da övüneceği bir şey var:

• Sekant 1'den başlar (merdiven yerde, sizden duvara doğru) ve oradan yükselmeye başlar.
• Sekant her zaman teğetten daha uzundur. Ekranınızı asmak için kullandığınız eğimli merdiven ekranın kendisinden daha uzun olmalı değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlarda, ekran çok uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).

Unutmayın, değerler yüzde. Ekranı 50 derecelik bir açıyla asmaya karar verirseniz tan(50)=1,19 olur. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.

(x=0 girin ve sezginizi kontrol edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)

Kotanjant ve kosekant. Tavan

İnanılmaz bir şekilde, komşunuz artık kubbenizin üzerine bir çatı inşa etmeye karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu gözetlemeni istemiyor...)

Artık çatıya bir çıkış yapıp komşunuzla konuşmanın zamanı geldi. Eğim açısını seçersiniz ve inşaata başlarsınız:

• çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbenin yarıçapı)
• kotanjant(x) = cot(x) = kubbenin üstü ile çıkış noktası arasındaki mesafe
• cosecant(x) = csc(x) = çatıya giden yolunuzun uzunluğu

Teğet ve kesen duvarı, COtanjant ve COsekant ise tavanı tanımlar.

Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benzer:

• Açıyı 0°'ye eşit alırsanız tavana asla ulaşamayacağı için çatıya çıkışınız sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
• Zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz çatıya giden en kısa “merdiven” elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacaktır (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dik olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacaktır ("merdivenin uzunluğu" minimum olacaktır).

Bağlantıları görselleştirin

Her üç kasa da kubbe-duvar-tavan birleşiminde çizilirse sonuç şu şekilde olacaktır:

Hâlâ aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşacak kadar büyütülmüş. Dikey kenarlarımız (sinüs, teğet), yatay kenarlarımız (kosinüs, kotanjant) ve “hipotenüslerimiz” (sekant, kosekant) vardır. (Oklarla her bir elemanın nereye ulaştığını görebilirsiniz. Kosekant sizden çatıya kadar olan toplam mesafedir).

Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:

Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlandığını görüyoruz. Ayrıca “yükseklik-genişlik” oranları da tüm üçgenler için aynı olmalıdır. (Sadece en başından bir adım geri çekilin) büyük üçgen daha az. Evet, boyut değişti ancak en boy oranları aynı kalacak).

Her üçgenin hangi tarafının 1'e (kubbenin yarıçapı) eşit olduğunu bildiğimizde "sin/cos = tan/1" sonucunu kolaylıkla hesaplayabiliriz.

Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görüyor ve nereden geldiklerini anlıyorsunuz. Bu teknik çok ezberlemekten daha iyi kuru formüller.

Diğer açıları unutmayın

Şşş... Teğetin her zaman 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılıp kalmayın. Açıyı artırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:

Pisagor bağlantıları her zaman işe yarar, ancak göreceli boyutlar farklı olabilir.

(Sinüs ve kosinüs oranlarının kubbenin içinde yer almasından dolayı her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir).

Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?

Çoğumuz için bunun yeterli olacağını söyleyebilirim:

• trigonometri daireler ve tekrarlanan aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar
• Kubbe/duvar/çatı analojisi farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir
• sonuç trigonometrik fonksiyonlar senaryomuza uyguladığımız yüzdelerdir.

1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Bunlar yalnızca aşağıdakiler için uygundur: aptal testler, bir gerçeğin bilgisinin onu anlamak olarak aktarıldığı. Bir dakikanızı ayırıp kubbe, duvar ve çatı şeklinde bir yarım daire çizin, elemanları etiketleyin; tüm formüller size kağıt üzerinde gelecektir.

Uygulama: Ters Fonksiyonlar

Herhangi bir trigonometrik fonksiyon, giriş parametresi olarak açıyı alır ve sonucu yüzde olarak döndürür. günah(30) = 0,5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.

Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin olarak yazılır. Ayrıca sıklıkla şu şekilde yazılır: çeşitli diller programlama.

Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?

Oranlar tablomuzda sekantın 1'e bölündüğü bir oran bulabilirsiniz. Örneğin, 1'e bölünen sekant (yatay hipotenüs) 1'in kosinüse bölünmesine eşit olacaktır:

Diyelim ki sekantımız 3,5, yani. Birim çemberin yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?

Ek: Bazı örnekler

Örnek: x açısının sinüsünü bulun.

Sıkıcı bir görev. Sıradan "sinüs bulma" işlemini "Maksimumun (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?" şeklinde karmaşıklaştıralım.

Öncelikle üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda yanlış bir şey yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil renkle gösterilmiştir.

Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoremine göre şunu biliyoruz:

3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs

İyi! Sinüs, üçgenin en uzun kenarının veya hipotenüsünün yüksekliğinin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0,60'tır.

Elbette birkaç yoldan gidebiliriz. Artık sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz, arksinüsü kolayca bulabiliriz:

Asin(0,6)=36,9

İşte başka bir yaklaşım. Üçgenin "duvara dönük" olduğuna dikkat edin, böylece sinüs yerine teğet kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara olan mesafe 4, yani teğet ¾ veya %75'tir. Yüzde değerinden bir açıya geri dönmek için arktanjantı kullanabiliriz:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Örnek: Kıyıya yüzecek misin?

Bir teknedesiniz ve 2 km yol almaya yetecek kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0,25 km uzaktasınız. Yeterli yakıta sahip olmak için kıyıya maksimum hangi açıda yüzebilirsiniz? Sorun açıklamasına ek olarak: elimizde yalnızca ark kosinüs değerleri tablosu var.

Neyimiz var? kıyı şeridi meşhur üçgenimizde bir “duvar” olarak temsil edilebilir ve duvara iliştirilen “merdiven uzunluğu” teknenin kıyıya kadar kat edebileceği maksimum mesafedir (2 km). Bir sekant belirir.

İlk önce yüzdelere gitmeniz gerekiyor. Elimizde 2/0.25 = 8 var, yani kıyıya (veya duvara) olan düz mesafenin 8 katı kadar bir mesafeyi yüzebiliriz.

Şu soru ortaya çıkıyor: "8'in sekantı nedir?" Ancak elimizde yalnızca yay kosinüsleri olduğu için buna cevap veremeyiz.

Sekantı kosinüsle ilişkilendirmek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"

Sekanlar 8 kosinüse eşit⅛. Kosinüsü ⅛ olan bir açı acos(1/8) = 82,8'e eşittir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.

Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan benzetmesi olmasaydı bir sürü formül ve hesaplamanın içinde kaybolurdum. Sorunu görselleştirmek, çözüm aramayı büyük ölçüde basitleştirir ve sonuçta hangi trigonometrik fonksiyonun yardımcı olacağını görmek de ilginçtir.

Her sorunu çözerken düşünün Aşağıdaki şekilde: Kubbe (sin/cos), duvar (tan/sn) veya tavan (karyola/csc) ile ilgileniyor muyum?

Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!

“Sinüs, kosinüs ve teğet” konulu ders dar açı dik üçgen"

Dersin Hedefleri:

eğitici - sinüs, kosinüs, dik üçgende dar bir açının tanjantı kavramını tanıtmak, bu büyüklükler arasındaki bağımlılıkları ve ilişkileri keşfetmek;

geliştirme - bir açının fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, teğet kavramının oluşumu, trigonometrik fonksiyonların tanım alanı, gelişme mantıksal düşünme, doğru matematiksel konuşmanın geliştirilmesi;

eğitici – bağımsız çalışma becerilerinin geliştirilmesi, davranış kültürü, kayıt tutmada doğruluk.

Ders ilerlemesi:

1. Zamanı organize etmek

“Eğitim alınan ders sayısı değil, anlaşılanların sayısıdır. Bu yüzden eğer ilerlemek istiyorsanız yavaş yavaş acele edin ve dikkatli olun."

2. Ders motivasyonu.

Bilge bir adam şöyle dedi: “ Yüce tezahür ruh akıldır. Aklın en yüksek tezahürü geometridir. Geometri hücresi bir üçgendir. Evren kadar tükenmezdir. Çember geometrinin ruhudur. Çemberi bilirseniz yalnızca geometrinin ruhunu bilmekle kalmayacak, aynı zamanda ruhunuzu da yükselteceksiniz.

Sizinle birlikte küçük bir araştırma yapmaya çalışacağız. Aklınıza gelen fikirlerinizi paylaşalım, hata yapmaktan korkmayın, her düşünce bize yeni bir arayış yönü verebilir. Başarılarımız birilerine büyük gelmeyebilir ama bunlar bizim başarılarımız olacak!

3. Temel bilgilerin güncellenmesi.

Hangi açılar olabilir?

Üçgenler nelerdir?

Bir üçgeni tanımlayan ana unsurlar nelerdir?

Kenarlara bağlı olarak ne tür üçgenler vardır?

Açılara bağlı olarak ne tür üçgenler vardır?

Bacak nedir?

Hipotenüs nedir?

Dik üçgenin kenarlarına ne denir?

Bu üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler nelerdir?

Kenarlar ve açılar arasındaki ilişkileri neden bilmeniz gerekiyor?

Hayattaki hangi görevler hesaplama ihtiyacına yol açabilir? bilinmeyen taraflarüçgende mi?

"Hipotenüs" terimi buradan gelir. Yunan kelimesi“hipoinoz”, “bir şeyin üzerine uzanmak”, “büzülmek” anlamına gelir. Kelime, tellerin karşılıklı olarak iki dik standın uçlarında gerildiği eski Yunan arplarının görüntüsünden kaynaklanmaktadır. "Katetus" terimi, "çekül çizgisinin" başlangıcı, "dik" anlamına gelen Yunanca "kathetos" kelimesinden gelir.

Öklid şöyle dedi: "Bacaklar dik açıyı çevreleyen kenarlardır."

İÇİNDE Antik Yunan Zeminde dik üçgen oluşturmanın bir yöntemi zaten biliniyordu. Bunu yapmak için birbirinden aynı mesafede 13 düğümün bağlandığı bir halat kullandılar. Mısır'daki piramitlerin inşası sırasında dik üçgenler bu şekilde yapılmıştır. Muhtemelen bu yüzden dik üçgen kenarları 3,4,5 olan ve çağrılan Mısır üçgeni.

4. Yeni materyalin incelenmesi.

Antik çağda insanlar yıldızları izliyor ve bu gözlemlere dayanarak bir takvim tutuyor, ekim tarihlerini ve nehir taşma zamanlarını hesaplıyorlardı; denizdeki gemiler ve karadaki kervanlar yolculuklarını yıldızlara göre yönlendiriyordu. Bütün bunlar, köşelerinden ikisi yerde olan ve üçüncüsü yıldızlı gökyüzündeki bir nokta ile temsil edilen bir üçgenin kenarlarının nasıl hesaplanacağını öğrenme ihtiyacını doğurdu. Bu ihtiyaca dayanarak, bir üçgenin kenarları arasındaki bağlantıları inceleyen bir bilim olan trigonometri bilimi ortaya çıktı.

Zaten bildiğimiz ilişkilerin bu tür sorunları çözmeye yeterli olduğunu düşünüyor musunuz?

Bugünkü dersin amacı yeni bağlantıları ve bağımlılıkları keşfetmek, ilişkiler türetmek, bunları kullanarak bir sonraki geometri derslerinde bu tür problemleri çözebilirsiniz.

Rolün içinde olduğumuzu hissedelim bilimsel işçiler ve antik çağın dehalarını takip ederek Thales, Euclid, Pythagoras hadi yolu yürüyelim gerçeği arayın.

Bunun için ihtiyacımız var teorik temel.

A açısını ve BC ayağını kırmızıyla vurgulayın.

Vurgulamak yeşil bacak AC.

A dar açısının hipotenüsüne karşı tarafın hangi kısmı olduğunu hesaplayalım, bunun için oranı yaratıyoruz karşı bacak hipotenüse göre:

Bu ilişkinin özel bir adı var; öyle ki, gezegenin her noktasındaki her insan bunu anlıyor. Hakkında konuşuyoruz yaklaşık olarak bir dar açının karşı tarafının hipotenüse oranını temsil eden bir sayı. Bu kelime sinüstür. Bir yere yaz. Açı adı olmadan sinüs kelimesi tüm anlamını yitirdiğinden matematiksel gösterim aşağıdaki gibidir:

Şimdi A dar açısı için bitişik kenarın hipotenüse oranını hesaplayın:

Bu orana kosinüs denir. Matematiksel gösterimi:

A dar açısı için başka bir ilişkiyi ele alalım: karşı tarafın oranı bitişik bacak:

Bu orana teğet denir. Matematiksel gösterimi:

5. Yeni malzemenin konsolidasyonu.

Ara keşiflerimizi pekiştirelim.

Sinüs...

Kosinüs...

Teğet...

günah A =	günah HAKKINDA =	günah A 1 =
çünkü bir =	çünkü HAKKINDA =	çünkü A 1 =
ten rengi A =	tg HAKKINDA =	ten rengi bir 1 =

88, 889, 892 numaralı soruları sözlü olarak çözün (çiftler halinde çalışın).

Edinilen bilgiyi çözmek için kullanma pratik problem:

“70 m yüksekliğindeki deniz feneri kulesinden ufka 3° açıyla bir gemi görülüyor. Nasıl bir şey

deniz fenerinden gemiye olan mesafe?

Sorun önden çözüldü. Tartışma sırasında tahtaya ve defterlere çizim yapıyoruz ve gerekli notları alıyoruz.

Problemin çözümünde Bradis tabloları kullanılmaktadır.

Sorunun çözümünü düşünün sayfa 175.

902(1) numaralı soruyu çözün.

6. Gözler için egzersiz yapın.

Başınızı çevirmeden sınıf duvarının çevresine saat yönünde, çevre etrafındaki kara tahtaya saat yönünün tersine, sehpa üzerinde gösterilen üçgene saat yönünde ve eşit üçgene saat yönünün tersine bakın. Başınızı sola çevirin ve ufuk çizgisine, şimdi de burnunuzun ucuna bakın. Gözlerinizi kapatın, 5'e kadar sayın, gözlerinizi açın ve...

Avuçlarımızı gözlerimize koyacağız,
Güçlü bacaklarımızı açalım.
Sağa dönüyorum
Etrafımıza görkemli bir şekilde bakalım.
Ve sen de sola gitmelisin
Avuçlarınızın altından bakın.
Ve - sağa! Ve ilerisi
Sol omzunun üzerinden!
Şimdi çalışmaya devam edelim.

7. Bağımsız işöğrenciler.

Hayır'ı çöz.

8. Ders özeti. Refleks. D/z.

Hangi yeni şeyleri öğrendin? Derste:

düşündün mü...

analiz ettin...

Aldığınız…

sonuca vardın...

yeniledin sözlük aşağıdaki şartlar...

Dünya bilimi geometriyle başladı. Bir kişi okulda geometri eğitimi almamışsa kültürel ve ruhsal olarak gerçek anlamda gelişemez. Geometri sadece pratikten değil aynı zamanda insanın manevi ihtiyaçlarından da doğmuştur.

Geometriye olan aşkını şiirsel bir şekilde böyle anlattı

Geometriyi seviyorum...

Geometri öğretiyorum çünkü onu seviyorum

Geometriye ihtiyacımız var, onsuz hiçbir yere varamayız.

Sinüs, kosinüs, çevre - burada her şey önemlidir,

Burada her şeye ihtiyaç var

Sadece her şeyi çok net bir şekilde öğrenmeniz ve anlamanız gerekiyor.

Ödevleri ve testleri zamanında tamamlayın.

Bir dikdörtgen koordinat sistemi ve bir düz çizgi verilse . İzin vermek Ve - Düz bir çizgide kesişen iki farklı düzlem ve buna göre denklemlerle verilir. Bu iki denklem ortaklaşa düz çizgiyi tanımlar ancak ve ancak paralel değillerse ve birbirleriyle çakışmıyorlarsa, yani normal vektörler
Ve
bu düzlemler eşdoğrusal değildir.

Tanım. Denklemlerin katsayıları ise

orantılı değilse bu denklemlere denir genel denklemler düzlemlerin kesişme çizgisi olarak tanımlanan düz çizgi.

Tanım. Bir doğruya paralel sıfırdan farklı herhangi bir vektöre denir kılavuz vektör bu düz çizgi.

Doğrunun denklemini türetelim Belirli bir noktadan geçerken
uzay ve belirli bir yön vektörüne sahip
.

Bırakın nokta
- düz bir çizgi üzerinde rastgele bir nokta . Bu nokta bir doğrunun üzerinde yer alır ancak ve ancak vektör
, koordinatları olan
, yön vektörüne eşdoğrusal
dümdüz. (2.28)'e göre, vektörlerin eşdoğrusallık koşulu
Ve benziyor

. (3.18)

Denklemler (3.18) denir kanonik denklemler bir noktadan geçen düz çizgi
ve bir yön vektörüne sahip olmak
.

Düz ise genel denklemler (3.17) ile verilir, ardından yön vektörü bu çizgi normal vektörlere diktir
Ve
Denklemlerle belirtilen düzlemler. Vektör
vektör çarpımı özelliğine göre, vektörlerin her birine diktir Ve . Tanıma göre yön vektörü olarak dümdüz bir vektör alabilirsin
yani
.

Bir nokta bulmak için
denklem sistemini düşünün
. Denklemlerin tanımladığı düzlemler paralel olmadığından ve çakışmadığından eşitliklerden en az biri geçerli değildir.
. Bu, belirleyicilerden en az birinin ,
,
sıfırdan farklı. Kesinlik için şunu varsayacağız:
. Daha sonra keyfi bir değer alarak bilinmeyenler için bir denklem sistemi elde ederiz Ve :

.

Cramer teoremine göre bu sistemin formüllerle tanımlanan benzersiz bir çözümü vardır.

,
. (3.19)

Eğer alırsan
, daha sonra denklemler (3.17) tarafından verilen düz çizgi noktadan geçer
.

Dolayısıyla, şu durumda
, kanonik denklemler düz çizgiler (3.17) şu şekle sahiptir:

.

Doğrunun kanonik denklemleri (3.17), determinantın sıfırdan farklı olduğu durum için benzer şekilde yazılır.
veya
.

Bir doğru iki farklı noktadan geçiyorsa
Ve
, o zaman kanonik denklemleri şu şekle sahiptir:

. (3.20)

Bu, düz çizginin noktadan geçmesi gerçeğinden kaynaklanır.
ve bir yön vektörüne sahiptir.

Düz çizginin kanonik denklemlerini (3.18) ele alalım. İlişkilerin her birini parametre olarak alalım yani
. Bu kesirlerin paydalarından biri sıfırdan farklıdır ve karşılık gelen pay herhangi bir değeri alabilir; dolayısıyla parametre her türlü gerçek değeri alabilir. Oranların her birinin eşit olduğunu düşünürsek , alıyoruz parametrik denklemler dümdüz:

,
,
. (3.21)

Uçağa izin ver genel bir denklemle verilir ve düz çizgi - parametrik denklemler
,
,
. Nokta
düz bir çizginin kesişimi ve uçaklar aynı anda bir düzleme ve bir doğruya ait olmalıdır. Bu ancak parametrenin denklemi karşılar, yani
. Böylece, bir düz çizgi ile bir düzlemin kesişme noktasının koordinatları vardır.

,

,

.

Örnek 32. Noktalardan geçen bir çizgi için parametrik denklemler yazın
Ve
.

Çözüm. Düz çizginin yönlendirici vektörü için vektörü alıyoruz

. Düz bir çizgi bir noktadan geçer bu nedenle formül (3.21)'e göre gerekli düz çizgi denklemleri şu şekildedir:
,
,
.

Örnek 33. Üçgenin köşeleri
koordinatları var
,
Ve
sırasıyla. Tepe noktasından çizilen medyan için parametrik denklemler oluşturun .

Çözüm.İzin vermek
- yanın ortası
, Daha sonra
,
,
. Medyanın kılavuz vektörü olarak vektörü alıyoruz
. Daha sonra medyanın parametrik denklemleri şu şekildedir:
,
,
.

Örnek 34. Bir noktadan geçen bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun
çizgiye paralel
.

Çözüm. Düz çizgi, düzlemlerin normal vektörlerle kesişme çizgisi olarak tanımlanır
Ve
. Kılavuz vektörü olarak bu doğrunun vektörünü al
yani
. (3.18)’e göre gerekli denklem şu şekildedir:
veya
.

3.8. Uzaydaki düz çizgiler arasındaki açı. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı

İki düz çizgi olsun Ve uzayda kanonik denklemleriyle verilir
Ve
. Daha sonra köşelerden biri bu satırların arasında açıya eşit yön vektörleri arasında
Ve
. Açıyı belirlemek için formül (2.22)'yi kullanma formülü elde ederiz

. (3.22)

İkinci köşe bu çizgiler arasında eşittir
Ve
.

Paralel çizgiler için durum Ve vektörlerin eşdoğrusallık durumuna eşdeğerdir
Ve
ve koordinatlarının orantılılığında yatmaktadır, yani paralel çizgiler için koşul şu şekildedir:

. (3.23)

Düz ise Ve dikse, yön vektörleri diktir, yani. diklik koşulu eşitlikle belirlenir

. (3.24)

Bir uçak düşünün genel denklemle verilen ve düz çizgi kanonik denklemlerle verilen
.

Köşe düz çizgi arasında ve uçak açının tamamlayıcısıdır Düz çizginin yönlendirici vektörü ile düzlemin normal vektörü arasında, yani.
Ve
, veya

. (3.24)

Bir doğrunun paralellik koşulu ve uçaklar doğrunun yön vektörü ile düzlemin normal vektörünün dik olması koşuluna eşdeğerdir, yani bu vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır:

Doğru, düzleme dik ise, doğrunun yön vektörü ile düzlemin normal vektörü eşdoğrusal olmalıdır. Bu durumda vektörlerin koordinatları orantılıdır, yani.

. (3.26)

Örnek 35. Bulmak geniş açı düz çizgiler arasında
,
,
Ve
,
,
.

Çözüm. Bu çizgilerin yön vektörleri koordinatlara sahiptir
Ve
. Bu nedenle bir köşe düz çizgiler arasındaki oran, yani belirlenir.
. Bu nedenle problemin koşulu, çizgiler arasındaki ikinci açının eşit olmasıyla sağlanır.
.

3.9. Uzayda bir noktadan bir çizgiye olan mesafe

İzin vermek
 uzayda koordinatlarla nokta
, kanonik denklemlerle verilen düz çizgi
. Uzaklığı bulalım noktadan
düz bir çizgiye .

Bir kılavuz vektör uygulayalım
diyeceğim şey şu ki
. Mesafe noktadan
düz bir çizgiye vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın yüksekliğidir Ve
. Çapraz çarpımı kullanarak paralelkenarın alanını bulalım:

Diğer tarafta, . Son iki ilişkinin sağ taraflarının eşitliğinden şu sonuç çıkar:

. (3.27)

3.10. elipsoid

Tanım. elipsoid bazı koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan ikinci dereceden bir yüzeydir

. (3.28)

Denklem (3.28) elipsoidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Denklem (3.28)'den, koordinat düzlemlerinin elipsoidin simetri düzlemleri olduğu ve koordinatların kökeninin simetri merkezi olduğu sonucu çıkar. Sayılar
elipsoidin yarı eksenleri olarak adlandırılır ve orijinden elipsoidin koordinat eksenleriyle kesişim noktasına kadar olan bölümlerin uzunluklarını temsil eder. Bir elipsoid, paralel yüzlü bir çerçeve içine alınmış sınırlı bir yüzeydir
,
,
.

Elipsoidin geometrik formunu oluşturalım. Bunu yapmak için koordinat eksenlerine paralel düzlemlerinin kesişme çizgilerinin şeklini bulalım.

Daha spesifik olmak gerekirse, elipsoidin düzlemlerle kesişme çizgilerini düşünün.
, düzleme paralel
. Kesişme çizgisinin bir düzleme izdüşümü için denklem
(3.28)'i içine koyarsak, elde edilir
. Bu projeksiyonun denklemi

. (3.29)

Eğer
, (3.29) hayali bir elipsin denklemi ve elipsoidin düzlemle kesişme noktalarıdır
HAYIR. Şunu takip ediyor
. Eğer
, daha sonra (3.29) doğrusu noktalara, yani düzlemlere dejenere olur
elipsoidin bazı noktalarına dokunun
Ve
. Eğer
, O
ve gösterimi tanıtabilirsiniz

,
. (3.30)

Daha sonra denklem (3.29) şu formu alır

, (3.31)

yani bir düzleme projeksiyon
elipsoid ile düzlemin kesişme çizgileri
eşitliklerle (3.30) belirlenen yarı eksenli bir elipstir. Yüzeyin koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesişme çizgisi yüksekliğe "yükseltilmiş" bir çıkıntı olduğundan ise kesişim çizgisinin kendisi bir elips olur.

Değeri azaltırken aks milleri Ve artacak ve en büyük değerine ulaşacak
, yani elipsoidin koordinat düzlemine göre bölümünde
yarı eksenli en büyük elips elde edilir
Ve
.

Elipsoid fikri başka bir şekilde elde edilebilir. Uçakta düşünün
yarı eksenli elips ailesi (3.31) Ve ilişkiler (Madde 3.30) ile tanımlanır ve aşağıdakilere bağlı olarak . Bu elipslerin her biri bir seviye çizgisidir, yani her noktada değeri olan bir çizgidir. aynısı. Bu elipslerin her birini bir yüksekliğe "yükseltmek" , elipsoidin uzaysal bir görünümünü elde ederiz.

Belirli bir yüzey koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesiştiğinde benzer bir resim elde edilir.
Ve
.

Dolayısıyla bir elipsoid kapalı bir eliptik yüzeydir. Ne zaman
Elipsoid bir küredir.

Bir elipsoidin herhangi bir düzlemle kesişme çizgisi bir elipstir, çünkü böyle bir çizgi ikinci dereceden sınırlı bir çizgidir ve ikinci dereceden tek sınırlı çizgi bir elipstir.

“A Alın” video kursu ihtiyacınız olan tüm konuları içerir başarılı tamamlama Matematikte 60-65 puanlık Birleşik Devlet Sınavı. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematik. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs 5 içerir büyük konular, her biri 2,5 saat. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans malzemesi, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, kullanışlı hileler, geliştirme mekansal hayal gücü. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.