Matematik bilim bilgeliğinin sembolüdür,

bilimsel titizlik ve basitliğin bir modeli,

Bilimde mükemmellik ve güzellik standardı.

Rus filozof, profesör A.V. Voloşinov

Modüllü eşitsizlikler

Okul matematiğinde çözülmesi en zor problem eşitsizliklerdir, modül işaretinin altındaki değişkenleri içerir. Bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözebilmek için modülün özelliklerini iyi bilmeniz ve bunları kullanma becerisine sahip olmanız gerekir.

Temel kavramlar ve özellikler

Modül ( mutlak değer) gerçek sayı ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

İLE basit özellikler modül aşağıdaki ilişkileri içerir:

VE .

Not, son iki özelliğin herhangi bir çift derece için geçerli olduğu.

Üstelik eğer, nerede, o zaman ve

Daha karmaşık özellikler modül, modüllerle denklem ve eşitsizlikleri çözerken etkili bir şekilde kullanılabilir, aşağıdaki teoremlerle formüle edilir:

Teorem 1.Herhangi biri için analitik fonksiyonlar Ve eşitsizlik doğrudur.

Teorem 2. Eşitlik eşitsizlikle eşdeğer.

Teorem 3. Eşitlik eşitsizlikle eşdeğer.

En yaygın olanı okul matematik eşitsizlikler, modül işareti altında bilinmeyen değişkenler içeren, formdaki eşitsizlikler ve nerede bazı pozitif sabitler.

Teorem 4. Eşitsizlik çift ​​eşitsizliğe eşdeğer, ve eşitsizliğin çözümübir dizi eşitsizliği çözmeye indirgenir Ve .

Bu teorem, Teorem 6 ve 7'nin özel bir durumudur.

Daha karmaşık eşitsizlikler, bir modül içeren formdaki eşitsizliklerdir, Ve .

Bu tür eşitsizlikleri çözme yöntemleri aşağıdaki üç teorem kullanılarak formüle edilebilir.

Teorem 5. Eşitsizlik iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir

ben (1)

Kanıt. O zamandan beri

Bu (1)'in geçerliliğini ifade eder.

Teorem 6. Eşitsizlik eşitsizlik sistemine eşdeğerdir

Kanıt.Çünkü , o zaman eşitsizliktenşu şekildedir . Bu koşul altında eşitsizlikve bu durumda ikinci eşitsizlik sisteminin (1) tutarsız olduğu ortaya çıkacaktır.

Teorem kanıtlandı.

Teorem 7. Eşitsizlik bir eşitsizlik ile iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir

ben (3)

Kanıt. O zamandan beri eşitsizlik her zaman idam edildi, Eğer .

İzin vermek o zaman eşitsizlikeşitsizliğe eşdeğer olacak, buradan iki eşitsizlik kümesi çıkar Ve .

Teorem kanıtlandı.

düşünelim tipik örnekler“Eşitsizlikler” konulu problemlerin çözümü, modül işareti altında değişkenler içeren."

Eşitsizlikleri modül ile çözme

En basit yöntem eşitsizlikleri modül ile çözme yöntemi, Modül genişletmeye dayalı. Bu yöntem evrenseldir, ancak içinde genel durum kullanımı çok hantal hesaplamalara yol açabilir. Bu nedenle öğrencilerin bu tür eşitsizliklerin çözümüne yönelik diğer (daha etkili) yöntem ve teknikleri bilmeleri gerekmektedir. özellikle, teoremleri uygulama becerisine sahip olmak gerekir, bu makalede verilmiştir.

Örnek 1.Eşitsizliği çözün

. (4)

Çözüm.Eşitsizliği (4) “klasik” yöntemi, yani modülleri açma yöntemini kullanarak çözeceğiz. Bu amaçla sayı eksenini bölüyoruz noktalar ve aralıklara bölün ve üç durumu düşünün.

1. Eğer öyleyse , , , ve eşitsizlik (4) şu şekli alır veya .

Burada durum ele alındığından eşitsizliğin çözümüdür (4).

2. Eğer, o zaman eşitsizlikten (4) elde ederiz veya . Aralıkların kesişiminden bu yana Ve boş, o zaman söz konusu çözüm aralığında eşitsizlik yoktur (4).

3. Eğer, o zaman eşitsizlik (4) formunu alır veya . Açıkça görülüyor ki aynı zamanda eşitsizliğe de bir çözümdür (4).

Cevap: , .

Örnek 2. Eşitsizliği çözün.

Çözüm. Bunu varsayalım. Çünkü , o zaman verilen eşitsizlik şu şekli alır: veya . O zamandan beri ve buradan itibaren şu şekilde oluyor veya .

Ancak bu nedenle veya.

Örnek 3. Eşitsizliği çözün

. (5)

Çözüm.Çünkü , o zaman eşitsizlik (5) eşitsizliklere eşdeğerdir veya . Buradan, Teorem 4'e göre, bir takım eşitsizliklerimiz var Ve .

Cevap: , .

Örnek 4.Eşitsizliği çözün

. (6)

Çözüm. belirtelim. Daha sonra eşitsizlikten (6) , , veya eşitsizliklerini elde ederiz.

Buradan, aralık yöntemini kullanma, anlıyoruz. Çünkü , o zaman burada bir eşitsizlik sistemimiz var

(7) numaralı sistemin ilk eşitsizliğinin çözümü iki aralığın birleşimidir Ve , ve ikinci eşitsizliğin çözümü çift eşitsizliktir. Bundan şu sonuç çıkıyor: eşitsizlikler sisteminin (7) çözümünün iki aralığın birleşimi olduğu Ve .

Cevap: ,

Örnek 5.Eşitsizliği çözün

. (8)

Çözüm. Eşitsizliği (8) şu şekilde dönüştürelim:

Veya .

Aralık yöntemini kullanma, eşitsizliğin çözümünü elde ederiz (8).

Cevap: .

Not. Teorem 5'in koşullarını koyarsak ve elde ederiz.

Örnek 6. Eşitsizliği çözün

. (9)

Çözüm. Eşitsizlikten (9) şu sonuç çıkıyor. Eşitsizliği (9) şu şekilde dönüştürelim:

Veya

O zamandan beri veya .

Cevap: .

Örnek 7.Eşitsizliği çözün

. (10)

Çözüm. O zamandan beri ve , o zaman veya .

Bu konuda ve eşitsizlik (10) şu şekli alır

Veya

. (11)

Bunu takip eder veya . O zamandan beri eşitsizlik (11) aynı zamanda veya anlamına da gelir.

Cevap: .

Not. Teorem 1'i eşitsizliğin sol tarafına uygularsak (10), sonra elde ederiz . Bundan ve eşitsizlikten (10) şu sonuç çıkıyor, ne veya . Çünkü , o zaman eşitsizlik (10) formunu alır veya .

Örnek 8. Eşitsizliği çözün

. (12)

Çözüm. O zamandan beri ve eşitsizlikten (12) şu sonuç çıkıyor veya . Ancak bu nedenle veya. Buradan veya elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 9. Eşitsizliği çözün

. (13)

Çözüm. Teorem 7'ye göre eşitsizliğin (13) çözümü veya'dır.

Şimdi bırak. bu durumda ve eşitsizlik (13) şu şekli alır veya .

Aralıkları birleştirirseniz Ve , daha sonra formun (13) eşitsizliğine bir çözüm elde ederiz.

Örnek 10. Eşitsizliği çözün

. (14)

Çözüm. Eşitsizliği (14) eşdeğer biçimde yeniden yazalım: . Bu eşitsizliğin sol tarafına Teorem 1'i uygularsak eşitsizliği elde ederiz.

Bundan ve Teorem 1'den şu sonuç çıkıyor, eşitsizliğin (14) herhangi bir değer için karşılandığı.

Cevap: herhangi bir sayı.

Örnek 11. Eşitsizliği çözün

. (15)

Çözüm. Teorem 1'in eşitsizliğin sol tarafına uygulanması (15), alıyoruz . Bu ve eşitsizlik (15) denklemi verir, forma sahip olan.

Teorem 3'e göre, denklem eşitsizlikle eşdeğer. Buradan anlıyoruz.

Örnek 12.Eşitsizliği çözün

. (16)

Çözüm. Teorem 4'e göre eşitsizlikten (16) bir eşitsizlik sistemi elde ediyoruz

Eşitsizliği çözerkenTeorem 6'yı kullanalım ve bir eşitsizlik sistemi elde edelimburadan takip ediliyor.

Eşitsizliği düşünün. Teorem 7'ye göre, bir dizi eşitsizlik elde ederiz Ve . İkinci nüfus eşitsizliği herhangi bir gerçek için geçerlidir..

Buradan , eşitsizliğin çözümü (16).

Örnek 13.Eşitsizliği çözün

. (17)

Çözüm. Teorem 1'e göre şunu yazabiliriz:

(18)

Eşitsizliği (17) hesaba katarak, her iki eşitsizliğin de (18) eşitliğe dönüştüğü sonucuna varıyoruz; bir denklem sistemi var

Teorem 3'e göre bu sistem denklemler eşitsizlik sistemine eşdeğerdir

veya

Örnek 14.Eşitsizliği çözün

. (19)

Çözüm. O zamandan beri. Eşitsizliğin her iki tarafını da (19) herhangi bir değer için yalnızca pozitif değerler. Daha sonra eşitsizliğe (19) eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz:

Buradan or'u alıyoruz, nerede. O zamandan beri ve o zaman eşitsizliğin çözümü (19) Ve .

Cevap: , .

Eşitsizlikleri modülle çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için ders kitaplarına dönmenizi öneririz., Önerilen literatür listesinde verilmiştir.

1. Üniversitelere başvuran adaylar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Barış ve Eğitim, 2013. – 608 s.

2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: eşitsizlikleri çözme ve kanıtlama yöntemleri. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.

3. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: standart dışı yöntemler problem çözme. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Sayıların modülü bu sayının kendisi negatif değilse veya aynı sayıysa çağrılır. karşıt işaret negatifse.

Örneğin 6 sayısının modülü 6, -6 sayısının modülü de 6'dır.

Yani bir sayının modülü mutlak bir değer olarak anlaşılır, mutlak değer Bu sayıyı işareti dikkate alınmadan kullanın.

Şu şekilde belirtilir: |6|, | X|, |A| vesaire.

(“Numara modülü” bölümünde daha fazla ayrıntı).

Modüllü denklemler.

Örnek 1 . Denklemi çöz|10 X - 5| = 15.

Çözüm.

Kurala göre denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Biz karar veriyoruz:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cevap: X 1 = 2, X 2 = -1.

Örnek 2 . Denklemi çöz|2 X + 1| = X + 2.

Çözüm.

Modül negatif olmayan bir sayı olduğundan, o zaman X+ 2 ≥ 0. Buna göre:

X ≥ -2.

İki denklem kuralım:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Biz karar veriyoruz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Her iki sayı da -2'den büyüktür. Yani her ikisi de denklemin kökleridir.

Cevap: X 1 = -1, X 2 = 1.

Örnek 3 . Denklemi çöz

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Çözüm.

Payda değilse denklem anlamlıdır sıfıra eşit- eğer X≠ 1. Bu durumu dikkate alalım. İlk eylemimiz basit; sadece kesirden kurtulmakla kalmıyoruz, aynı zamanda modülü saf haliyle elde edecek şekilde dönüştürüyoruz:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Artık denklemin sol tarafındaki modülün altında sadece bir ifademiz var. Devam edelim.
Bir sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır; yani sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır. Buna göre eşitsizliği çözüyoruz:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Böylece ikinci bir şartımız daha var: Denklemin kökü en az 3/4 olmalıdır.

Kurala uygun olarak iki denklem kümesi oluşturup bunları çözüyoruz:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki cevap aldık. Bunların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

İki şartımız vardı: Denklemin kökü 1 olamaz, en az 3/4 olmalı. yani X ≠ 1, X≥ 3/4. Elde edilen iki cevaptan yalnızca biri bu koşulların her ikisine de karşılık gelir - 2 sayısı. Bu, yalnızca bunun orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: X = 2.

Modüllü eşitsizlikler.

Örnek 1 . Eşitsizliği çözün| X - 3| < 4

Çözüm.

Modül kuralı şunları belirtir:

|A| = A, Eğer A ≥ 0.

|A| = -A, Eğer A < 0.

Modül hem negatif olmayan hem de negatif sayılara sahip olabilir. Dolayısıyla her iki durumu da dikkate almamız gerekiyor: X- 3 ≥ 0 ve X - 3 < 0.

1) Ne zaman X- 3 ≥ 0 orijinal eşitsizliğimiz modül işareti olmadan olduğu gibi kalır:
X - 3 < 4.

2) Ne zaman X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Parantezleri açarak şunu elde ederiz:

-X + 3 < 4.

Böylece bu iki koşuldan iki eşitsizlik sisteminin birleşimine ulaştık:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Bunları çözelim:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Yani cevabımız iki kümenin birleşimidir:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

En küçüğünü belirleyin ve en yüksek değer. Bunlar -1 ve 7'dir. Üstelik X-1'den büyük ama 7'den küçük.
Ayrıca, X≥ 3. Bu, eşitsizliğin çözümünün, bu uç sayılar hariç, -1'den 7'ye kadar olan tüm sayı kümesi olduğu anlamına gelir.

Cevap: -1 < X < 7.

Veya: X ∈ (-1; 7).

Eklentiler.

1) Eşitsizliğimizi grafiksel olarak çözmenin daha basit ve daha kısa bir yolu var. Bunu yapmak için yatay bir eksen çizmeniz gerekir (Şekil 1).

İfade | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3. noktaya kadar dört birimden azdır. Eksende 3 sayısını işaretliyoruz ve onun solunda ve sağında 4 bölüm sayıyoruz. Solda -1 noktasına, sağda - 7 noktasına geleceğiz. Böylece noktalar X onları hesaplamadan sadece gördük.

Ayrıca eşitsizlik koşuluna göre -1 ve 7'nin kendisi de çözüm kümesine dahil edilmemektedir. Böylece şu cevabı alıyoruz:

1 < X < 7.

2) Ancak grafiksel yöntemden bile daha basit olan başka bir çözüm daha var. Bunu yapmak için eşitsizliğimizin aşağıdaki biçimde sunulması gerekir:

4 < X - 3 < 4.

Sonuçta modül kuralına göre bu böyle. Negatif olmayan 4 sayısı ve benzer negatif sayı -4, eşitsizliği çözmenin sınırlarıdır.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Örnek 2 . Eşitsizliği çözün| X - 2| ≥ 5

Çözüm.

Bu örnek öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Sol taraf 5'ten büyük veya 5'e eşittir. C geometrik nokta Bakış açısına göre eşitsizliğin çözümü, 2 noktasından 5 birim veya daha fazla uzaklıkta olan tüm sayılardır (Şekil 2). Grafik bunların hepsinin -3'ten küçük veya eşit ve 7'den büyük veya eşit sayılar olduğunu gösteriyor. Bu, cevabı zaten aldığımız anlamına geliyor.

Cevap: -3 ≥ X ≥ 7.

Yol boyunca, serbest terimi sola ve sağa ters işaretle yeniden düzenleyerek aynı eşitsizliği çözüyoruz:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cevap aynı: -3 ≥ X ≥ 7.

Veya: X ∈ [-3; 7]

Örnek çözüldü.

Örnek 3 . Eşitsizliği çözün 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Çözüm.

Sayı X pozitif bir sayı, negatif bir sayı veya sıfır olabilir. Bu nedenle her üç durumu da dikkate almamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi iki eşitsizlikte dikkate alınıyorlar: X≥ 0 ve X < 0. При X≥ 0 orijinal eşitsizliğimizi modül işareti olmadan olduğu gibi yeniden yazarız:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Şimdi ikinci durum hakkında: eğer X < 0. Модулем negatif sayı zıt işaretli aynı sayıdır. Yani modülün altındaki sayıyı ters işaretle yazıyoruz ve yine kendimizi modül işaretinden kurtarıyoruz:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Parantezleri genişletiyoruz:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Böylece iki denklem sistemi elde ettik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlerdeki eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor; bu da iki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmamız gerektiği anlamına geliyor. Bunu yapmak için eşitsizliklerin sol taraflarını sıfıra eşitleriz.

İlkiyle başlayalım:

6X 2 - X - 2 = 0.

Nasıl çözülür? ikinci dereceden denklem- “İkinci Dereceden Denklem” bölümüne bakın. Cevabı hemen adlandıracağız:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

İlk eşitsizlik sisteminden, orijinal eşitsizliğin çözümünün -1/2'den 2/3'e kadar olan sayıların tamamı olduğu sonucunu elde ederiz. Çözümlerin birliğini şu adrese yazıyoruz: X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözelim:

6X 2 + X - 2 = 0.

Kökleri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Sonuç: ne zaman X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

İki cevabı birleştirelim ve son cevaba ulaşalım: Çözüm, bu uç sayılar da dahil olmak üzere -2/3'ten 2/3'e kadar olan sayı kümesinin tamamıdır.

Cevap: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Veya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Modül içeren eşitsizlikleri çözmenin birkaç yolu vardır. Bunlardan bazılarına bakalım.

1) Modülün geometrik özelliğini kullanarak eşitsizliği çözme.

Sana ne olduğunu hatırlatayım geometrik özellik Modül: Bir x sayısının modülü, orijinden x koordinatına sahip noktaya olan mesafedir.

Bu yöntemi kullanarak eşitsizlikleri çözerken iki durum ortaya çıkabilir:

1. |x| ≤ b,

Ve modüllü eşitsizlik açıkça iki eşitsizlikten oluşan bir sisteme indirgenir. Burada işaret katı olabilir, bu durumda resimdeki noktalar "delinmiş" olacaktır.

2. |x| ≥ b, o zaman çözüm resmi şöyle görünür:

Ve modüllü eşitsizlik açıkça iki eşitsizliğin birleşimine indirgenir. Burada işaret katı olabilir, bu durumda resimdeki noktalar "delinmiş" olacaktır.

Örnek 1.

|4 – |x|| eşitsizliğini çözün ≥ 3.

Çözüm.

Bu eşitsizlik aşağıdaki kümeye eşdeğerdir:

U [-1;1] U

Örnek 2.

||x+2| eşitsizliğini çözün – 3| ≤ 2.

Çözüm.

Bu eşitsizlik aşağıdaki sisteme eşdeğerdir.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Sistemin birinci eşitsizliğini ayrı ayrı çözelim. Aşağıdaki sete eşdeğerdir:

U[-1; 3].

2) Modül tanımını kullanarak eşitsizlikleri çözmek.

Öncelikle hatırlatayım modül tanımı.

|bir| = a eğer a ≥ 0 ve |a| = -a eğer a< 0.

Örneğin, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Örnek 1.

3|x – 1| eşitsizliğini çözün ≤ x+3.

Çözüm.

Modül tanımını kullanarak iki sistem elde ederiz:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Birinci ve ikinci sistemleri ayrı ayrı çözerek şunu elde ederiz:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(X< 1
(x ≥ 0.

Orijinal eşitsizliğin çözümü birinci sistemin tüm çözümleri ve ikinci sistemin tüm çözümleri olacaktır.

Cevap: x€.

3) Eşitsizliklerin karesini alarak çözmek.

Örnek 1.

|x 2 – 1| eşitsizliğini çözün< | x 2 – x + 1|.

Çözüm.

Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Eşitsizliğin her iki tarafının karesini ancak her ikisinin de pozitif olması durumunda alabileceğinizi belirtmek isterim. İÇİNDE bu durumda Hem solda hem de sağda modüllerimiz var, böylece bunu yapabiliriz.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Şimdi modülün şu özelliğini kullanalım: (|x|) 2 = x 2 .

(x2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz.

Cevap: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Değişkenleri değiştirerek eşitsizlikleri çözmek.

Örnek.

Eşitsizliği çözün (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Çözüm.

(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 olduğuna dikkat edin. Sonra eşitsizliği elde ederiz

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

y = |2x + 3| değişikliğini yapalım.

Eşitsizliğimizi yer değiştirmeyi dikkate alarak yeniden yazalım.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Haydi ayrıştıralım ikinci dereceden üç terimli, solda duran, faktörlere ayrılmıştır.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Aralık yöntemini kullanarak çözelim ve şunu elde edelim:

Değiştirme konusuna geri dönelim:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Bu çifte eşitsizlik eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Eşitsizliklerin her birini ayrı ayrı çözelim.

İlki sisteme eşdeğerdir

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Hadi çözelim.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

İkinci eşitsizlik açıkça tüm x'ler için geçerlidir, çünkü modül tanım gereği pozitif bir sayıdır. Sistemin çözümü, sistemin hem birinci hem de ikinci eşitsizliğini aynı anda sağlayan tüm x'ler olduğundan, orijinal sistemin çözümü, ilk çift eşitsizliğinin çözümü olacaktır (sonuçta, ikincisi tüm x için doğrudur) .

Cevap: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bugün arkadaşlar, sümük ve duygusallık olmayacak. Bunun yerine, seni hiçbir soru sorulmadan dünyanın en iyilerinden biriyle savaşa göndereceğim. zorlu rakipler 8-9.sınıf cebir dersinde.

Evet, her şeyi doğru anladınız: modüllü eşitsizliklerden bahsediyoruz. Bu tür sorunların yaklaşık %90'ını çözmeyi öğreneceğiniz dört temel tekniğe bakacağız. Geriye kalan %10 ne olacak? Neyse bunları ayrı bir derste konuşacağız :)

Ancak tekniklerin herhangi birini analiz etmeden önce bilmeniz gereken iki gerçeği size hatırlatmak isterim. Aksi takdirde bugünkü dersin materyalini hiç anlamama riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Zaten bilmeniz gerekenler

Kaptan Açıklık, modüllü eşitsizlikleri çözmek için iki şeyi bilmeniz gerektiğini ima ediyor gibi görünüyor:

1. Eşitsizlikler nasıl çözümlenir;
2. Modül nedir?

İkinci noktayla başlayalım.

Modül Tanımı

Burada her şey basit. İki tanımı vardır: cebirsel ve grafiksel. Başlangıç ​​olarak - cebirsel:

Tanım. Bir $x$ sayısının modülü, eğer negatif değilse sayının kendisidir veya orijinal $x$ hala negatifse, onun karşısındaki sayıdır.

Bu şekilde yazılmıştır:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Konuşuyorum basit bir dille, modül “eksi olmayan bir sayıdır”. Ve işte bu ikilik (bazı yerlerde orijinal sayıyla hiçbir şey yapmanıza gerek yok, ancak diğerlerinde bir tür eksiyi kaldırmanız gerekecek), yeni başlayan öğrenciler için tüm zorluğun yattığı yer burasıdır.

Daha fazlası var geometrik çözünürlüklü. Bunu bilmek de faydalıdır, ancak buna yalnızca geometrik yaklaşımın cebirsel yaklaşımdan daha uygun olduğu karmaşık ve bazı özel durumlarda başvuracağız (spoiler: bugün değil).

Tanım. Sayı doğrusunda $a$ noktası işaretlensin. Daha sonra $\left| modülü x-a \right|$, bu doğru üzerindeki $x$ noktasından $a$ noktasına olan mesafedir.

Bir resim çizerseniz şöyle bir şey elde edersiniz:

Grafiksel modül tanımı

Öyle ya da böyle, bir modülün tanımından itibaren onun temel özelliği hemen şu şekilde ortaya çıkar: bir sayının modülü her zaman negatif olmayan bir miktardır. Bu gerçek, bugünkü anlatımızın tamamında kırmızı bir iplik olacak.

Eşitsizlikleri çözme. Aralık yöntemi

Şimdi eşitsizliklere bakalım. Birçoğu var ama şimdi görevimiz en azından en basitini çözebilmek. Aşağıya inenler doğrusal eşitsizlikler Aralık yönteminin yanı sıra.

Bu konuyla ilgili iki tane var büyük ders(bu arada, çok ama çok faydalı - çalışmanızı tavsiye ederim):

1. Eşitsizlikler için aralık yöntemi (özellikle videoyu izleyin);
2. Kesirli rasyonel eşitsizlikler çok kapsamlı bir derstir, ancak sonrasında hiçbir sorunuz olmayacak.

Bütün bunları biliyorsanız, “eşitsizlikten denkleme geçelim” sözü sizde belli belirsiz bir duvara çarpma isteği uyandırmıyorsa hazırsınız: dersin ana konusuna cehenneme hoş geldiniz :)

1. “Modül fonksiyondan küçüktür” formundaki eşitsizlikler

Bu, modüllerle ilgili en yaygın sorunlardan biridir. Formdaki bir eşitsizliği çözmek gerekir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ ve $g$ fonksiyonları herhangi bir şey olabilir, ancak genellikle polinomlardır. Bu tür eşitsizliklere örnekler:

\[\begin(hizala) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\left| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizala)\]

Hepsi aşağıdaki şemaya göre tam anlamıyla tek satırda çözülebilir:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \sağ.\sağ)\]

Modülden kurtulduğumuzu görmek kolaydır, ancak karşılığında çifte eşitsizlik (veya aynı şey olan iki eşitsizlik sistemi) elde ederiz. Ancak bu geçiş kesinlikle her şeyi hesaba katıyor olası sorunlar: eğer modülün altındaki sayı pozitifse yöntem işe yarar; negatifse hala çalışıyor; ve $f$ veya $g$ yerine en yetersiz işlevle bile yöntem yine de işe yarayacaktır.

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Daha basit olamaz mıydı? Ne yazık ki bu mümkün değil. Modülün bütün amacı budur.

Ancak felsefe yapmakla yetinelim. Birkaç problemi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Çözüm. Yani önümüzde "modül daha az" şeklinde klasik bir eşitsizlik var; dönüştürülecek hiçbir şey yok. Algoritmaya göre çalışıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Önünde “eksi” bulunan parantezleri açmak için acele etmeyin: acelenizden dolayı hücum hatası yapmanız oldukça olasıdır.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Sorun iki temel eşitsizliğe indirgenmişti. Çözümlerini paralel sayı doğrusu üzerinde not edelim:

Kümelerin kesişimi

Bu kümelerin kesişimi cevap olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Çözüm. Bu görev biraz daha zordur. Öncelikle ikinci terimi sağa kaydırarak modülü izole edelim:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, yine "modül daha küçük" şeklinde bir eşitsizliğimiz var, bu yüzden zaten bilinen algoritmayı kullanarak modülden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Şimdi dikkat: Bütün bu parantezlerle birileri benim biraz sapık olduğumu söyleyecektir. Ama şunu bir kez daha hatırlatayım ki asıl amacımız Eşitsizliği doğru bir şekilde çözün ve cevabı alın. Daha sonra, bu derste anlatılan her şeye mükemmel bir şekilde hakim olduğunuzda, bunu istediğiniz gibi kendiniz saptırabilirsiniz: parantezleri açın, eksileri ekleyin, vb.

Başlangıç ​​olarak soldaki çift eksiden kurtulacağız:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sol(x+1 \sağ)\]

Şimdi çift eşitsizlikteki tüm parantezleri açalım:

Çifte eşitsizliğe geçelim. Bu sefer hesaplar daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağ.\]

Her iki eşitsizlik de ikinci derecedendir ve aralık yöntemi kullanılarak çözülebilir (bu yüzden şunu söylüyorum: bunun ne olduğunu bilmiyorsanız, henüz modülleri ele almamak daha iyidir). İlk eşitsizlikteki denkleme geçelim:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sol(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi çıktı, temel bir şekilde çözülebilen tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğine bakalım. Orada Vieta teoremini uygulamanız gerekecek:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\bit(hizala)\]

Ortaya çıkan sayıları iki paralel çizgi üzerinde işaretleriz (ilk eşitsizlik için ayrı, ikincisi için ayrı):

Yine bir eşitsizlik sistemini çözdüğümüz için, gölgeli kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Cevap bu.

Cevap: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Bu örneklerden sonra çözüm şemasının son derece net olduğunu düşünüyorum:

1. Diğer tüm terimleri eşitsizliğin karşı tarafına taşıyarak modülü izole edin. Böylece $\left| biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. f\sağ| \ltg$.
2. Yukarıda anlatılan şemaya göre modülden kurtularak bu eşitsizliği çözün. Bir noktada, çifte eşitsizlikten, her biri zaten ayrı ayrı çözülebilen iki bağımsız ifadeden oluşan bir sisteme geçmek gerekli olacaktır.
3. Son olarak geriye kalan tek şey bu iki bağımsız ifadenin çözümlerini kesiştirmektir - işte bu kadar, nihai cevabı alacağız.

Eşitsizlikler için de benzer bir algoritma mevcuttur sonraki tür, modül ne zaman daha fazla özellik. Ancak birkaç ciddi “ama” var. Şimdi bu “ama”lardan bahsedeceğiz.

2. “Modül fonksiyondan büyüktür” formundaki eşitsizlikler

Şuna benziyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Öncekine benzer mi? Görünüşe göre. Yine de bu tür sorunlar tamamen farklı bir şekilde çözülüyor. Resmi olarak şema aşağıdaki gibidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başka bir deyişle iki durumu ele alıyoruz:

1. İlk önce modülü görmezden geliyoruz ve olağan eşitsizliği çözüyoruz;
2. Daha sonra özünde modülü eksi işaretiyle genişletiyoruz ve elimde işaret varken eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpıyoruz.

Seçenekler birleştirildi köşeli parantez, yani Önümüzde iki gereksinimin birleşimi var.

Lütfen tekrar unutmayın: bu bir sistem değil, bir bütünlüktür, dolayısıyla cevapta kümeler kesişmiyor, birleşiyor. Bu önceki noktadan temel bir farktır!

Genel olarak birçok öğrencinin kafası birleşimler ve kesişimlerle tamamen karıştırılıyor, o yüzden gelin bu konuyu kesin olarak çözelim:

• "∪" birleşim işaretidir. Aslında bu bize gelen stilize bir "U" harfi. ingilizce dili ve “Birlik”in kısaltmasıdır, yani. "Dernekler".
• "∩" kesişim işaretidir. Bu saçmalık herhangi bir yerden gelmedi, sadece “∪”ye karşı bir karşı nokta olarak ortaya çıktı.

Hatırlamayı daha da kolaylaştırmak için, gözlük yapmak için bu işaretlere bacak çekin (şimdi beni uyuşturucu bağımlılığını ve alkolizmi teşvik etmekle suçlamayın: bu dersi ciddi şekilde çalışıyorsanız, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısısınız demektir):

Kümelerin kesişimi ve birleşimi arasındaki fark

Rusçaya çevrildiğinde bu şu anlama gelir: Birlik (bütünlük) her iki gruptan da öğeler içerir, dolayısıyla hiçbir şekilde bunların her birinden daha az değildir; ancak kesişim (sistem) yalnızca hem birinci kümede hem de ikinci kümede aynı anda bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle kümelerin kesişimi hiçbir zaman kaynak kümelerden daha büyük değildir.

Yani daha mı netleşti? Bu harika. Hadi uygulamaya geçelim.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şemaya göre ilerliyoruz:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Sağ.\]

Nüfustaki her eşitsizliği çözüyoruz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Ortaya çıkan her kümeyi sayı doğrusunda işaretliyoruz ve sonra bunları birleştiriyoruz:

Setlerin birliği

Cevabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı oldukça açık.

Cevap: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]

Çözüm. Kuyu? Hiçbir şey - her şey aynı. Modüllü bir eşitsizlikten iki eşitsizlik kümesine geçiyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hizala) \sağ.\]

Her eşitsizliği çözüyoruz. Maalesef oradaki kökler pek iyi olmayacak:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\bit(hizala)\]

İkinci eşitsizlik de biraz çılgınca:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\bit(hizala)\]

Şimdi bu sayıları her eşitsizlik için bir eksen olmak üzere iki eksende işaretlemeniz gerekiyor. Ancak noktalar işaretlenmelidir. doğru sırayla: Nasıl daha büyük sayı noktayı ne kadar sağa kaydırırsak.

Ve burada bizi bir kurulum bekliyor. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sayılarıyla her şey açıksa (birincinin payındaki terimler) kesir ikincinin payındaki terimlerden küçüktür, dolayısıyla toplam da daha azdır), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) sayılarıyla (21))(2)$ ayrıca hiçbir zorluk olmayacak ( pozitif sayı açıkçası daha olumsuz), o zaman son çiftte her şey o kadar net değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Noktaların sayı doğrusu üzerindeki yerleşimi ve aslında cevap bu sorunun cevabına bağlı olacaktır.

Öyleyse karşılaştıralım:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Kökü izole ettik, aldık Negatif olmayan sayılar eşitsizliğin her iki tarafında olduğundan her iki tarafın karesini alma hakkına sahibiz:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Bence bu hiç de akıllıca değil $4\sqrt(13) \gt 3$, yani $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, eksenlerdeki son noktalar şu şekilde yerleştirilecektir:

Bir çirkin kök vakası

Size bir koleksiyon çözdüğümüzü hatırlatmama izin verin, dolayısıyla cevap gölgeli kümelerin kesişimi değil, birleşim olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Gördüğünüz gibi şemamız her ikisi için de harika çalışıyor basit görevler ve çok zorlu olanlar için. Tek şey" zayıf nokta"Bu yaklaşımda doğru karşılaştırma yapmanız gerekir irrasyonel sayılar(ve inanın bana: mesele sadece kökler değil). Ancak karşılaştırma konularına ayrı (ve çok ciddi) bir ders ayrılacaktır. Ve devam ediyoruz.

3. Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizlikler

Şimdi en ilginç kısma geliyoruz. Bunlar formdaki eşitsizliklerdir:

\[\sol| f\sağ| \gt\sol| g\sağ|\]

Genel olarak şimdi bahsedeceğimiz algoritma sadece modül için doğrudur. Solda ve sağda negatif olmayan ifadelerin garanti edildiği tüm eşitsizliklerde işe yarar:

Bu görevlerle ne yapmalı? Sadece şunu hatırla:

Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizliklerde her iki taraf da herhangi bir noktaya yükseltilebilir. doğal derece. Hiçbiri ek kısıtlamalar ortaya çıkmayacaktır.

Her şeyden önce kare almayla ilgileneceğiz - modülleri ve kökleri yakar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\bit(hizala)\]

Bunu bir karenin kökünü almakla karıştırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2))))=\left| f \sağ|\ne f\]

Bir öğrenci bir modülü kurmayı unuttuğunda sayısız hata yapıldı! Ama bu tamamen farklı bir hikaye (sanki irrasyonel denklemler), bu yüzden şimdi bu konuya girmeyeceğiz. Birkaç sorunu daha iyi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. Hemen iki şeye dikkat edelim:

1. Bu katı bir eşitsizlik değil. Sayı doğrusu üzerindeki noktalar delinecektir.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da açıkça negatif değildir (bu modülün bir özelliğidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Bu nedenle, modülden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alabiliriz ve sorunu olağan aralık yöntemini kullanarak çözebiliriz:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\bit(hizala)\]

Son adımda biraz hile yaptım: Modülün düzgünlüğünden yararlanarak terimlerin sırasını değiştirdim (aslında $1-2x$ ifadesini -1 ile çarptım).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Eşitsizlikten denkleme geçelim:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Bulunan kökleri sayı doğrusunda işaretliyoruz. Bir kez daha: Orijinal eşitsizlik katı olmadığından tüm noktalar gölgelidir!

Modül işaretinden kurtulmak

Özellikle inatçı olanlar için şunu hatırlatayım: Denkleme geçmeden önce yazmış olduğumuz son eşitsizliğin işaretlerini alıyoruz. Ve aynı eşitsizlikte gerekli olan alanların üzerini boyuyoruz. Bizim durumumuzda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ şeklindedir.

İşte hepsi bu. Sorun çözüldü.

Cevap: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Her şeyi aynı yapıyoruz. Yorum yapmayacağım - sadece eylemlerin sırasına bakın.

Karesini alın:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ|)^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Sayı doğrusunda tek bir kök vardır:

Cevap tam bir aralıktır

Cevap: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son görevle ilgili küçük bir not. Öğrencilerimden birinin doğru bir şekilde belirttiği gibi, bu eşitsizlikteki her iki alt modüler ifade de açıkça pozitiftir, dolayısıyla sağlığa zarar vermeden modül işareti çıkarılabilir.

Ancak bu tamamen farklı bir düşünce düzeyi ve farklı bir yaklaşımdır - buna şartlı olarak sonuçların yöntemi denilebilir. Bu konuda - ayrı bir derste. Şimdi bugünkü dersin son kısmına geçelim ve her zaman işe yarayan evrensel bir algoritmaya bakalım. Önceki tüm yaklaşımlar güçsüz olsa bile :)

4. Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi

Ya tüm bu teknikler yardımcı olmazsa? Eşitsizlik negatif olmayan kuyruklara indirgenemiyorsa, modülü izole etmek imkansızsa, genel olarak acı, üzüntü, melankoli varsa?

Sonra tüm matematiğin "ağır topları" sahneye çıkıyor; kaba kuvvet yöntemi. Modüllü eşitsizliklerle ilgili olarak şöyle görünür:

1. Tüm alt modüler ifadeleri yazın ve bunları sıfıra eşitleyin;
2. Ortaya çıkan denklemleri çözün ve bir sayı doğrusunda bulunan kökleri işaretleyin;
3. Düz çizgi, her modülün sabit bir işarete sahip olduğu ve dolayısıyla benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı çeşitli bölümlere bölünecektir;
4. Bu tür bölümlerin her birinde eşitsizliği çözün (güvenilirlik için 2. adımda elde edilen kök sınırlarını ayrı ayrı değerlendirebilirsiniz). Sonuçları birleştirin - cevap bu olacak :)

Peki nasıl? Zayıf? Kolayca! Sadece uzun bir süre için. Pratikte görelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Bu saçmalık $\left| gibi eşitsizliklerden ibaret değil f\sağ| \lt g$, $\left| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, bu yüzden ileri doğru hareket ediyoruz.

Alt modüler ifadeler yazıyoruz, bunları sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ok x=1. \\\bit(hizala)\]

Toplamda, sayı doğrusunu üç bölüme ayıran iki kökümüz var ve bu bölümde her modül benzersiz bir şekilde ortaya çıkıyor:

Sayı doğrusunda alt modüler fonksiyonların sıfırlarına göre bölümleme

Her bölüme ayrı ayrı bakalım.

1. $x \lt -2$ olsun. O zaman her iki alt modüler ifade de negatiftir ve orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Oldukça basit bir sınırlamamız var. Bunu $x \lt -2$ şeklindeki başlangıç ​​varsayımıyla kesiştirelim:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Açıkçası, $x$ değişkeni aynı anda -2'den küçük ve 1,5'tan büyük olamaz. Bu alanda herhangi bir çözüm bulunmamaktadır.

1.1. Sınırdaki durumu ayrıca ele alalım: $x=-2$. Bu sayıyı orijinal eşitsizliğin yerine koyalım ve kontrol edelim: bu doğru mu?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Hesaplamalar zincirinin bizi yanlış bir eşitsizliğe sürüklediği açıktır. Bu nedenle orijinal eşitsizlik de yanlıştır ve cevaba $x=-2$ dahil edilmemiştir.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modül zaten bir "artı" ile açılacak, ancak sağdaki modül yine de "eksi" ile açılacaktır. Sahibiz:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\bitiş(hizalama)\]

Yine orijinal gereksinimle kesişiyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ve tekrar boş kümeçözümler, çünkü hem -2,5'tan küçük hem de -2'den büyük sayılar yoktur.

2.1. Ve tekrar özel durum: $x=1$. Orijinal eşitsizliği yerine koyarsak:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0\sağ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Önceki “özel duruma” benzer şekilde, $x=1$ sayısı cevaba açıkça dahil edilmemiştir.

3. Satırın son parçası: $x \gt 1$. Burada tüm modüller artı işaretiyle açılır:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Ve yine bulunan kümeyi orijinal kısıtlamayla kesiştiriyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Nihayet! Cevap olacak bir aralık bulduk.

Cevap: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Son olarak, gerçek sorunları çözerken sizi aptalca hatalardan kurtarabilecek bir not:

Eşitsizliklerin modüllü çözümleri genellikle sayı doğrusu aralıkları ve segmentleri üzerindeki sürekli kümeleri temsil eder. İzole noktalar çok daha az yaygındır. Ve daha da az sıklıkla, çözümün sınırının (bölümün sonu) söz konusu aralığın sınırıyla çakıştığı görülür.

Sonuç olarak, eğer sınırlar (aynı “özel durumlar”) cevaba dahil edilmiyorsa, bu sınırların solunda ve sağındaki alanlar neredeyse kesinlikle cevaba dahil edilmeyecektir. Ve bunun tersi de geçerlidir: sınır cevaba girmiştir, bu da etrafındaki bazı alanların da cevap olacağı anlamına gelir.

Çözümlerinizi incelerken bunu aklınızda bulundurun.

Bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır Bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle çözme. Programı Denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözme yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm

yani Sonucun elde edilme sürecini görüntüler. Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olduğu kadar çabuk halletmek mi istiyorsunuz?

Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz. Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz.

küçük kardeşler

veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

veya abs(x) - modül x

Modüllerle bir denklem veya eşitsizlik girin
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Bir denklemi veya eşitsizliği çözme

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz. Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.

Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir. Lütfen bekleyin saniye...
eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz. unutma.

hangi görevi belirtin

ne olduğuna sen karar ver

alanlara girin

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz: Küçük bir teori.\(|x-a| \)'nin sayı doğrusunda x ve a noktaları arasındaki mesafe olduğu gerçeğine dayanarak: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Örneğin, \(|x-3|=2\) denklemini çözmek için sayı doğrusu üzerinde 3. noktadan 2 uzaklıkta olan noktaları bulmanız gerekir. Böyle iki nokta vardır: \(x_1=1 \) ve \(x_2=5\) .

Eşitsizliği çözme \(|2x+7|

Ancak denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözmenin ana yolu, "modülün tanımı gereği ortaya çıkarılması" ile ilişkilidir:
if \(a \geq 0 \), ardından \(|a|=a \);
if \(a Kural olarak, modüllü bir denklem (eşitsizlik), modül işaretini içermeyen bir dizi denkleme (eşitsizlikler) indirgenir.

Hariç yukarıdaki tanım aşağıdaki ifadeler kullanılmıştır:
1) Eğer \(c > 0\), o zaman \(|f(x)|=c \) denklemi şu denklem grubuna eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(dizi)\sağ.
2) Eğer \(c > 0 \), o zaman eşitsizlik \(|f(x)| 3) Eğer \(c \geq 0 \), o zaman \(|f(x)| > c \) eşitsizliği şöyledir: bir eşitsizlikler kümesine eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Eşitsizliğin her iki tarafı \(f(x) ise ÖRNEK 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) denklemini çözün.

Eğer \(x-1 \geq 0\), o zaman \(|x-1| = x-1\) ve verilen denklem formu alır
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Eğer \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Bu nedenle, verilen denklem belirtilen iki durumun her birinde ayrı ayrı ele alınmalıdır.
1) \(x-1 \geq 0 \) olsun, yani. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) denkleminden \(x_1=2, \; x_2=-4\) bulunur.
\(x \geq 1 \) koşulu yalnızca \(x_1=2\) değeri tarafından karşılanır.

2) \(x-1 Cevap: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \) olsun

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.İlk yol
(tanım gereği modül genişletme).

Örnek 1'deki gibi akıl yürüterek, verilen denklemin iki koşulun karşılanması durumunda ayrı ayrı dikkate alınması gerektiği sonucuna varıyoruz: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) veya \(x^2-6x+7)
1) Eğer \(x^2-6x+7 \geq 0 \), o zaman \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ve verilen denklem \(x) formunu alır ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Bu ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). \(x_1=6\) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0\) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için yerine koyalım belirtilen değer V ikinci dereceden eşitsizlik
\(x_2=\frac(5)(3) \) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0 \) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için belirtilen değeri ikinci dereceden eşitsizliğin yerine koyun. Şunu elde ederiz: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), yani. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) yanlış bir eşitsizliktir. Bu, \(x_2=\frac(5)(3)\) öğesinin verilen denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

2) Eğer \(x^2-6x+7 Değeri \(x_3=3\) koşulu karşılıyorsa \(x^2-6x+7 Değeri \(x_4=\frac(4)(3) \) karşılamıyor \ (x^2-6x+7 koşulu) Yani verilen denklemin iki kökü vardır: \(x=6, \; x=3 \).

İkinci yol. Denklem \(|f(x)| = h(x) \) verilirse, o zaman \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Bu denklemlerin her ikisi de yukarıda çözüldü (verilen denklemin ilk çözümü kullanılarak), kökleri şu şekildedir: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Bunlardan \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) koşulu dört değer yalnızca ikisini sağlayın: 6 ve 3. Bu, verilen denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir: \(x=6, \; x=3\).

Üçüncü yol(grafik).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. İlk önce bir \(y = x^2-6x+7\) parabolünü oluşturalım.
\(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) elimizde. \(y = (x-3)^2-2\) fonksiyonunun grafiği, \(y = x^2\) fonksiyonunun grafiğinden 3 ölçek birim sağa kaydırılarak (yön boyunca) elde edilebilir. x ekseni) ve 2 ölçek birimi aşağı (y ekseni boyunca).
Düz çizgi x=3 ilgilendiğimiz parabolün eksenidir. Daha doğru çizim için kontrol noktaları olarak, parabolün tepe noktası olan (3; -2) noktasını, parabolün eksenine göre ona simetrik olan (0; 7) noktasını ve (6; 7) noktasını almak uygundur. . Şimdi \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, oluşturulmuş parabolün x ekseninin altında olmayan kısımlarını değiştirmeden bırakmanız ve bu kısmı aynalamanız gerekir. x eksenine göre x ekseninin altında yer alan parabol. 2) Bir grafik oluşturalım

doğrusal fonksiyon

\(y = \frac(5x-9)(3)\). (0; –3) ve (3; 2) noktalarını kontrol noktası olarak almak uygundur.. Düz çizginin apsis ekseni ile kesiştiği noktanın x = 1.8 noktasının, parabolün apsis ekseni ile kesiştiği sol noktanın sağında yer alması önemlidir - bu nokta \(x=3-\ sqrt(2) \) (çünkü \(3-\sqrt(2 ) 3) Çizime bakılırsa, grafikler iki noktada kesişiyor - A(3; 2) ve B(6; 7). Verilen denklemde x = 3 ve x = 6 noktalarında, her iki durumda da doğru sayısal eşitliğin elde edildiğine inanıyoruz; bu, hipotezimizin doğrulandığı anlamına gelir - denklemin iki kökü vardır: x = 3 ve. x = 6. Cevap: 3; tüm zarafetine rağmen pek güvenilir değil. Ele alınan örnekte, denklemin kökleri tamsayı olduğu için işe yaradı.

ÖRNEK 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) denklemini çözün

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.
2x–4 ifadesi x = 2 noktasında 0 olur, x + 3 ifadesi de x = –3 noktasında 0 olur. Bu iki nokta sayı doğrusunu üç aralığa böler: \(x

İlk aralığı düşünün: \((-\infty; \; -3) \).
Eğer x İkinci aralığı düşünün: \([-3; \; 2) \).
If \(-3 \leq x Üçüncü aralığı düşünün: \()