పేజీ 2
O, (a b) / 2, t మరియు 0, (a) / 2, t అనే బిందువుల ద్వారా వరుసగా ఏర్పడిన లంబ త్రిభుజాలు వాస్తవానికి సమానంగా ఉంటాయి.
కుడి త్రిభుజం 5 మరియు 12 సెం.మీ కాళ్ళతో, అది ఒక బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఇది పెద్ద కాలుకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని నుండి 3 సెం.మీ దూరంలో ఉంటుంది. విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
15 సెం.మీ మరియు 20 సెం.మీ కాళ్ళతో కూడిన లంబ త్రిభుజం పెద్ద తీవ్రమైన కోణం యొక్క శీర్షం ద్వారా గీసిన హైపోటెన్యూస్‌కు లంబంగా తిరుగుతుంది.
లంబ త్రిభుజాలు ప్రతి ఒక్కటి సమానమైన కోణాన్ని కలిగి ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి.
ఒకదాని భుజాలు మరొకదాని భుజాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే లంబ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.
లంబ త్రిభుజం భుజాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి పూర్ణాంకం. లంబ త్రిభుజం యొక్క భుజాల కోసం మూడు పూర్ణాంకాల విలువల సమితిని అంటారు పైథాగరియన్ ట్రిపుల్. ఈ మూడు భుజాలు కింది సంబంధాన్ని తప్పనిసరిగా సంతృప్తి పరచాలి: రెండు కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ వర్గానికి సమానం. లూప్ కోసం ట్రిపుల్-నెస్టెడ్‌ని ఉపయోగించండి, అది అన్ని అవకాశాల ద్వారా సులభంగా మారుతుంది. బ్రూట్ ఫోర్స్ గణనకు ఇది ఒక ఉదాహరణ. చాలా మందికి, ఇది సౌందర్య సంతృప్తిని కలిగించదు. కానీ ఈ పద్ధతులు ముఖ్యమైనవి కావడానికి చాలా కారణాలు ఉన్నాయి. మొదట, శక్తితో కంప్యూటర్ సాంకేతిక పరిజ్ఞానం, కంప్యూటర్ విజ్ఞానం, ధీయంత్ర పరిజ్ఞానం, ధీయంత్ర విజ్ఞానంఅటువంటి అసాధారణ రేటుతో పెరుగుతున్న, కొన్ని సంవత్సరాల క్రితం ఉపయోగించిన సాంకేతిక పరిజ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి సంవత్సరాలు లేదా శతాబ్దాల కంప్యూటర్ సమయం అవసరమయ్యే పరిష్కారాలను ఇప్పుడు గంటలు, నిమిషాలు లేదా సెకన్లలో కూడా సాధించవచ్చు. ఆధునిక మైక్రోప్రాసెసర్ సర్క్యూట్లు సెకనుకు 100 మిలియన్ల కంటే ఎక్కువ కార్యకలాపాలను ప్రాసెస్ చేయగలవు. మరియు 90 లలో, అన్ని సంభావ్యతలలో, సెకనుకు ఒక బిలియన్ కార్యకలాపాలను ప్రాసెస్ చేయగల మైక్రోప్రాసెసర్ సర్క్యూట్లు కనిపించాలి. రెండవది, మీరు అధునాతన కంప్యూటర్ సైన్స్ కోర్సులలో నేర్చుకుంటారు పెద్ద సంఖ్య ఆసక్తికరమైన పనులు, దీని కోసం బ్రూట్ ఫోర్స్ సొల్యూషన్స్ తప్ప తెలిసిన అల్గారిథమిక్ విధానాలు లేవు.
12 సెం.మీ మరియు 16 సెం.మీ భుజాలు ఉన్న ఒక లంబ త్రిభుజం హైపోటెన్యూస్ చుట్టూ తిరుగుతుంది.
భుజాలతో కూడిన లంబ త్రిభుజాలు పూర్ణ సంఖ్యలలో కొలుస్తారు.
8 సెం.మీ మరియు 15 సెం.మీ కాళ్ళతో ఒక లంబ త్రిభుజం పెద్ద కాలు చుట్టూ తిరుగుతుంది.
ప్రాంతం S మరియుతో ఉన్న కుడి త్రిభుజం తీవ్రమైన కోణంఒక హైపోటెన్యూస్ ఉన్న అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది.
ప్రాంతం S మరియు తీవ్రమైన కోణం aతో కూడిన లంబ త్రిభుజం శీర్షం ద్వారా అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది లంబ కోణంహైపోటెన్యూస్‌కు సమాంతరంగా.
లెగ్ a మరియు 30 వ్యతిరేక కోణం ఉన్న లంబ త్రిభుజం హైపోటెన్యూస్ చుట్టూ తిరుగుతుంది.
ఒక లంబ త్రిభుజం ఒక సమతలంలో కదులుతుంది, తద్వారా దాని తీవ్రమైన కోణాల శీర్షాలు రెండు పరస్పరం లంబంగా ఉండే సరళ రేఖల వెంట జారిపోతాయి. ఈ త్రిభుజం యొక్క లంబ కోణం యొక్క శీర్షాల ద్వారా ఏ ఆకారం ఏర్పడుతుంది?
తెలిసినట్లుగా; ఒక బిందువు అక్షం చుట్టూ తిరిగినప్పుడు, అది ఒక విమానంలో కదులుతుంది, అక్షానికి లంబంగాభ్రమణం మరియు ఒక వృత్తాన్ని వివరిస్తుంది. డ్రాయింగ్‌ను మార్చడానికి భ్రమణ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి, మేము ఈ క్రింది నాలుగు అంశాలను గమనించండి (Fig. 5.8):
భ్రమణ అక్షం (MN);
పాయింట్ భ్రమణ విమానం(pl. S లంబంగా ఉంటుంది (MN));
భ్రమణ కేంద్రం;
భ్రమణ వ్యాసార్థం (R; R= |OA|).
ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌లకు లంబంగా లేదా సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖలు సాధారణంగా భ్రమణ అక్షం వలె ఉపయోగించబడతాయి. అక్షాల గురించి భ్రమణాన్ని పరిశీలిద్దాం, విమానాలకు లంబంగాఅంచనాలు.
పాయింట్ A యొక్క భ్రమణం అక్షానికి సంబంధించి డ్రాయింగ్‌లో MN, విమానానికి లంబంగా N, మూర్తి 5.9లో చూపబడింది. భ్రమణ విమానంఎస్ H విమానానికి సమాంతరంగా మరియు ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్‌లో తదుపరి చిత్రీకరించబడిందిఎస్ వి . క్షితిజసమాంతర ప్రొజెక్షన్ o భ్రమణ కేంద్రం o ప్రొజెక్షన్‌తో సమానంగా ఉంటుంది tp అక్షం, మరియు క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ఓ ఏ భ్రమణ వ్యాసార్థంఓ ఏ దాని సహజ పరిమాణం. ఒక పాయింట్‌ని తిప్పండిఎ మూర్తి 5.9లో f కోణంతో అపసవ్య దిశలో ఉంటుంది, తద్వారా కొత్త స్థానంలో అంచనాలతో పాయింట్లు ఉంటాయి a1", a1 భ్రమణ వ్యాసార్థం విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుందిV ఒక బిందువు చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు నిలువు అక్షందాని క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ వృత్తం చుట్టూ కదులుతుంది మరియు దాని ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు భ్రమణ అక్షానికి లంబంగా కదులుతుంది.
V సమతలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం చుట్టూ ఒక బిందువును తిప్పినట్లయితే, దాని ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ వృత్తం వెంట కదులుతుంది మరియు దాని సమాంతర ప్రొజెక్షన్ x- అక్షానికి సమాంతరంగా కదులుతుంది.
ప్రొజెక్టింగ్ లైన్ చుట్టూ పాయింట్ యొక్క భ్రమణ కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, లైన్ సెగ్మెంట్ యొక్క సహజ పరిమాణాన్ని నిర్ణయించేటప్పుడు. దీని కోసం (Fig. 5.10), అంచనాలతో భ్రమణ అక్షం సరిపోతుంది tp, tp ఎంచుకోండి, తద్వారా ఇది ఒకటి గుండా వెళుతుంది తీవ్రమైన పాయింట్లుసెగ్మెంట్, ఉదాహరణకు ప్రొజెక్షన్‌లతో కూడిన పాయింట్ బి", బి. అప్పుడు పాయింట్ తిరిగేటప్పుడుఎ స్థానం f కోణం ద్వారా A1 (OA1 || ప్రాంతం V, oa, || x అక్షం) సెగ్మెంట్ AB స్థానానికి కదులుతుంది A1B, విమానానికి సమాంతరంగా వి అందువలన దాని జీవిత పరిమాణంలో అంచనా వేయబడుతుంది. అదే సమయంలో, సెగ్మెంట్ యొక్క వంపు కోణం పూర్తి పరిమాణంలో అంచనా వేయబడుతుంది AB నుండి విమానం H.
అంచనాలతో బిందువు యొక్క భ్రమణ (భ్రమణం).", బి అంచనాలతో అక్షానికి సంబంధించి tp, tp, విమానానికి లంబంగా V, మూర్తి 5.11లో చూపబడింది. పాయింట్ తిరిగేటప్పుడు IN భ్రమణ విమానంలో తరలించబడిందిటి (Th) అంచనాలు b1తో స్థానానికి", b1 తద్వారా భ్రమణ వ్యాసార్థం OB విమానానికి సమాంతరంగా మారింది H (o"b" || x అక్షం).
ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌లకు లంబంగా భ్రమణ అక్షాలను డ్రాయింగ్‌లో సూచించకుండా భ్రమణ పద్ధతిని ఉపయోగించడం.మీరు ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉన్న అక్షం చుట్టూ రేఖాగణిత బొమ్మను తిప్పితే, ఈ విమానంలోని ప్రొజెక్షన్ ప్రదర్శనలో లేదా పరిమాణంలో మారదు (ప్రొజెక్షన్ అక్షానికి సంబంధించి ప్రొజెక్షన్ యొక్క స్థానం మాత్రమే మారుతుంది). పాయింట్ అంచనాలు రేఖాగణిత బొమ్మభ్రమణ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న విమానంలో, సరళ రేఖల్లో కదలండి, అక్షానికి సమాంతరంగాఅంచనాలు (భ్రమణం యొక్క అక్షంపై ఉన్న పాయింట్ల అంచనాలను మినహాయించి), మరియు ప్రొజెక్షన్ మొత్తం ఆకారం మరియు పరిమాణంలో మారుతుంది. అందువల్ల, మీరు భ్రమణ అక్షం యొక్క చిత్రాన్ని పేర్కొనకుండా భ్రమణ పద్ధతిని వర్తింపజేయవచ్చు. అందులో
సందర్భంలో, రేఖాగణిత చిత్రం యొక్క ప్రొజెక్షన్లలో ఒకదాని పరిమాణం మరియు ఆకారాన్ని మార్చకుండా, ఈ ప్రొజెక్షన్‌ను అవసరమైన స్థానానికి తరలించి, ఆపై పైన సూచించిన విధంగా మరొక ప్రొజెక్షన్‌ను రూపొందించండి.
త్రిభుజం యొక్క సహజ పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడానికి అక్షాలను పేర్కొనకుండా భ్రమణ పద్ధతిని ఉపయోగించడాన్ని మూర్తి 5.12 చూపుతుంది ABC, అంచనాల ద్వారా ఇవ్వబడింది a"b"c", abc. ఇది చేయుటకు, విమానం యొక్క రెండు భ్రమణాలను ప్రదర్శించారు సాధారణ స్థానం, దీనిలో త్రిభుజం ఉంది కాబట్టి మొదటి భ్రమణం తర్వాత ఈ విమానం సమతలానికి లంబంగా మారుతుంది V, మరియు రెండవ తర్వాత - H సమతలానికి సమాంతరంగా H సమతలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం చుట్టూ మొదటి భ్రమణం, దాని స్థానాన్ని సూచించకుండా, అంచనాలతో సమాంతర రేఖను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. s"1", s-1 త్రిభుజం యొక్క విమానంలో. ఈ సందర్భంలో, క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ ac ప్రొజెక్షన్ దిశకు సరిపోయేలా తిప్పబడింది. త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ దాని రూపాన్ని మరియు పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దాని స్థానం మాత్రమే మారుతుంది. పాయింట్లుఎ, బి మరియు సి అటువంటి భ్రమణంతో అవి H సమతలానికి సమాంతరంగా సమతలంలో కదులుతాయి a1", c1, b1" a"a1", b"b1" మరియు c"c1". కొత్త స్థానంలో త్రిభుజం యొక్క ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ సెగ్మెంట్ a1"b1"c1".
రెండవ భ్రమణం, త్రిభుజాన్ని H సమతలానికి సమాంతర స్థానానికి తీసుకురావడం, H సమతలానికి లంబంగా భ్రమణ అక్షం చుట్టూ తయారు చేయబడుతుంది (అక్షం యొక్క స్థానం కూడా సూచించబడలేదు). రెండవ భ్రమణ సమయంలో ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ మొదటి భ్రమణ తర్వాత పొందిన రూపాన్ని మరియు పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పాయింట్లు A1, D1 మరియు C1 విమానానికి సమాంతరంగా విమానాలలో కదలండి V అంచనాలు a 2, b 2, c 2 లో ఉన్నాయి క్షితిజ సమాంతర రేఖలుకమ్యూనికేషన్లు a,a 2, blb2, c1c2. ప్రొజెక్షన్ a2b2c 2 ఇచ్చిన త్రిభుజం యొక్క వాస్తవ పరిమాణాన్ని సూచిస్తుంది.
ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌లకు లంబంగా ఉన్న అక్షాల చుట్టూ పరిగణింపబడే భ్రమణాలను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, ఈ అక్షాలు సూచించబడవు, కానీ వాటిని సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు విభాగాలను గీస్తే aa1, b1b2 మరియు వాటి మధ్య బిందువుల ద్వారా లంబాలను గీయండి, అప్పుడు ఈ లంబాల యొక్క ఖండన స్థానం H సమతలానికి లంబంగా భ్రమణ అక్షం యొక్క క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ అవుతుంది.
గొడ్డలిని పేర్కొనకుండా భ్రమణ పద్ధతిని ఉపయోగించడం కొంతవరకు నిర్మాణాన్ని సులభతరం చేస్తుంది; ఒకటి అతివ్యాప్తి చెందదు
మరొకదానిపై ప్రొజెక్షన్, కానీ డ్రాయింగ్ ఆక్రమిస్తుంది పెద్ద ప్రాంతం. (భ్రమణ అక్షాలను వర్ణించకుండా భ్రమణానికి సంబంధించిన పరిగణించబడిన సందర్భం విమానం-సమాంతర కదలిక పద్ధతి యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.)
ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌లకు సమాంతరంగా సరళ రేఖల చుట్టూ తిరిగే పద్ధతి.జీవిత పరిమాణం ఫ్లాట్ ఫిగర్ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఒక అక్షం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు, ఫిగర్‌ను ఒక భ్రమణంతో ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఉంచుతుంది.
మూర్తి 5.13 అంచనాలతో త్రిభుజం పరిమాణం యొక్క నిర్వచనాన్ని చూపుతుంది a"b"c", abc క్షితిజ సమాంతర చుట్టూ భ్రమణం.అంతేకాక, త్రిభుజం యొక్క అన్ని పాయింట్లు(భ్రమణ అక్షం మీద పడుకున్నవి తప్ప)అక్షానికి లంబంగా ఉన్న విమానాలలో వృత్తాలలో అక్షం చుట్టూ తిప్పండి.త్రిభుజం ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఒక స్థానాన్ని తీసుకుంటే, దాని పాయింట్ల భ్రమణ వ్యాసార్థం ఈ సమతలానికి సమాంతరంగా మారుతుంది, అనగా అవి విమానంలో ప్రదర్శించబడతాయి.ఎన్ నిజమైన పరిమాణం.
అంచనాలతో ఉన్న క్షితిజ సమాంతర అక్షం భ్రమణ అక్షం వలె తీసుకోబడుతుంది c"1", c-1.
భ్రమణ అక్షం మీద పాయింట్ C కదలకుండా ఉంటుంది. భ్రమణ తర్వాత త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్‌ను చిత్రీకరించడానికి, మీరు దాని రెండు ఇతర శీర్షాల అంచనాల స్థానాన్ని కనుగొనాలి. అంచనాలతో శీర్షాలు a", a మరియు b", b కదిలే త్రిభుజం
విమానాలలో ఉన్నాయిపి మరియు క్యూ ఈ పాయింట్ల కదలికలు. క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ఓ అపెక్స్ భ్రమణ కేంద్రంఎ క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఖండన స్థానం s-1 క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్‌తో భ్రమణ అక్షంపి హెచ్. దాని ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ దానిపై గుర్తించబడింది o". విభాగాలు oa - సమాంతర,ఓ ఏ" - పాయింట్ యొక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం యొక్క ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ఎ. జీవిత పరిమాణంఓ ఏ ఒక బిందువు యొక్క భ్రమణ వ్యాసార్థంఎ 2.3 (Fig. 2.9 చూడండి) లో చర్చించిన పద్ధతి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా, ఒక లంబ త్రిభుజాన్ని నిర్మించడం ద్వారా. పొడవు ద్వారా oa మరియు aA = o"2" ఒక త్రిభుజం నిర్మించబడింది oaA, దాని హైపోటెన్యూస్ బిందువు యొక్క భ్రమణ వ్యాసార్థానికి సమానంఎ.
ప్రొజెక్షన్ o నుండి బిందువు యొక్క భ్రమణ కేంద్రంఎ దాని కదలిక యొక్క విమానం యొక్క ట్రేస్ Ph దిశలో మేము భ్రమణ వ్యాసార్థం యొక్క సహజ విలువను ప్లాట్ చేస్తాము. క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్‌ను గుర్తించడం a, పాయింట్లు A, విమానానికి సమాంతరంగా ఒక త్రిభుజ స్థానానికి తిప్పబడిందిఎన్. bt పాయింట్ యొక్క క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ IN తిప్పబడిన స్థితిలో మనం దానిని క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఖండన బిందువుగా కనుగొంటాముట్రేస్ Q h తో 1-AT. క్షితిజసమాంతర ప్రొజెక్షన్ a1cb1 A యొక్క సహజ విలువను వ్యక్తపరుస్తుంది AC, భ్రమణం తర్వాత త్రిభుజం యొక్క విమానం సమతలానికి సమాంతరంగా ఉంటుందిఎన్. తిప్పబడిన త్రిభుజం యొక్క ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్ క్షితిజ సమాంతర ఫ్రంటల్ ప్రొజెక్షన్‌తో సమానంగా ఉంటుంది 1"లు", అంటే, ఇది సరళ రేఖ విభాగం.
మీరు ఫ్లాట్ రేఖాగణిత చిత్రాన్ని విమానానికి సమాంతర స్థానానికి తిప్పాలనుకుంటే V, అప్పుడు ముందు భాగం భ్రమణ అక్షం వలె ఎంపిక చేయబడుతుంది.
సంబంధిత ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌తో సమలేఖనం అయ్యే వరకు దాని ట్రేస్ చుట్టూ ప్లేన్‌ను తిప్పడం(ఈ కేసును కలయిక పద్ధతి అని కూడా పిలుస్తారు). ఈ ట్రేస్ ఉన్న ప్రొజెక్షన్ ప్లేన్‌తో సమలేఖనం అయ్యే వరకు విమానం దాని ట్రేస్ చుట్టూ తిప్పబడితే, విమానంలో ఉన్న రేఖాగణిత చిత్రాలు వక్రీకరణ లేకుండా చిత్రీకరించబడతాయి. ఈ పద్ధతి క్షితిజ సమాంతర లేదా ఫ్రంటల్ చుట్టూ తిరిగే ప్రత్యేక సందర్భం, ఎందుకంటే విమానం యొక్క క్షితిజ సమాంతర జాడను క్షితిజ సమాంతర విమానం యొక్క “సున్నా” క్షితిజ సమాంతరంగా మరియు ఫ్రంటల్ ట్రేస్‌ను “సున్నా” ఫ్రంటల్‌గా పరిగణించవచ్చు.
మూర్తి 5.14 సాధారణ స్థాన విమానం యొక్క భ్రమణానికి సంబంధించిన దృశ్యమాన ప్రాతినిధ్యాన్ని చూపుతుందిఆర్ క్షితిజ సమాంతర ట్రాక్ చుట్టూపి హెచ్ విమానం నుండి దూరంగావి విమానంతో సమలేఖనం అయ్యే వరకు వీక్షకుడి వైపుఎన్. విమానం అమరిక స్థానంలోవిమానంతో పి
H సరళ రేఖ P Uq ఒక జాడను సూచిస్తుందిఆర్ మరియు, విమానంతో కలిపి N. ట్రేస్ Ph భ్రమణ అక్షం దాని స్థానాన్ని ఎలా మార్చదు. చుక్క Px ట్రాక్‌ల ఖండన కూడా దాని స్థానాన్ని మార్చదు. మిశ్రమ స్థానాన్ని నిర్మించడానికి P L, ఒక ట్రేస్ P v మరో పాయింట్‌ని కనుగొనడం సరిపోతుంది, ఉదాహరణకు పాయింట్ N, ఈ ట్రేస్ (పాయింట్ మినహా P x) విమానంతో సమలేఖనం చేయబడిన స్థితిలోఎన్.
పాయింట్ ఎన్ ఒక విమానంలో ఒక ఆర్క్ వివరిస్తుందిప్ర, భ్రమణ అక్షానికి లంబంగా. కేంద్రంగురించి ఈ ఆర్క్ విమానం యొక్క ఖండన స్థానంట్రేస్ P h తో Q. H విమానంలో పాయింట్ N 0 అనేది ఆర్క్ వ్యాసార్థం యొక్క ఖండన స్థానం Q h ట్రేస్‌తో Q విమానంలో ఆన్ చేయబడింది. P x మరియు N 0 ద్వారా సరళ రేఖను గీయడం, మేము P U0ని పొందుతాము. విభాగం P X N విమానం తిరిగేటప్పుడు దాని పొడవును మార్చదు; కాబట్టి పాయింట్ N 0 దాటడం ద్వారా పొందవచ్చు Q h ఒక విమానంలో వివరించిన ఒక ఆర్క్తో H, P X N వ్యాసార్థంతో పాయింట్ P x నుండి.
ట్రేస్పై డ్రాయింగ్ (Fig. 5.15) లో చర్చించిన నిర్మాణాలను చేపట్టడానికిఆర్ మరియు ఏకపక్ష పాయింట్ ఎంచుకోబడిందిఎన్ (ఇది దాని ప్రొజెక్షన్‌తో సమానంగా ఉంటుందిపి"). దాని క్షితిజ సమాంతర ప్రొజెక్షన్ ద్వారాపి ఒక ప్రత్యక్ష గీత గీసారుద్వారా, భ్రమణ అక్షానికి లంబంగా - ట్రేస్పి హెచ్. ఈ లైన్‌లో ఒక పాయింట్ కనుగొనబడింది N 0, అంటే పాయింట్ N విమానంతో అమరిక తర్వాతఎన్. ఆమె దూరం లో కనుగొనబడింది P X N 0 = P x p" పాయింట్ P x నుండి లేదా దూరంలోపాయింట్ o నుండి oN 0, బిందువు యొక్క భ్రమణ వ్యాసార్థానికి సమానం N. వ్యాసార్థం పొడవు oN 0 = oN ఉదాహరణకు, కాళ్ళతో కూడిన లంబ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్‌గా నిర్వచించబడిందిఆన్ మరియు nN (nN=nn"). డైరెక్ట్ లైన్ P U0, పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది P x మరియు N 0, - కలిపి ట్రాక్ స్థానంఆర్ ఐ.
C0 పాయింట్ యొక్క మిళిత స్థానం అదేవిధంగా నిర్మించబడింది C. భ్రమణ వ్యాసార్థం оС దీర్ఘచతురస్రాకారపు హైపోటెన్యూస్‌గా కనుగొనబడింది
ఒక కాలుతో త్రిభుజం os, ఇతర కాలు сС=с"1. రెండవ నిర్మాణ ఎంపిక క్షితిజ సమాంతర విమానం ఉపయోగించి తయారు చేయబడిందిసి"2", సి -2 అంచనాలతో పి. ఆర్క్ వ్యాసార్థాన్ని ఉపయోగించడం R x 2" కలిపి స్థానం కనుగొనబడింది Pv0 లైన్‌లో 2o పాయింట్ 2, మరియు మిశ్రమ స్థానంలో 20С0 క్షితిజ సమాంతర రేఖ పాయింట్ ద్వారా డ్రా చేయబడింది 2 0 Ph ట్రయల్‌కి సమాంతరంగా.
ప్రొజెక్షన్ల ఫ్రంటల్ ప్లేన్‌తో విమానం సమలేఖనం చేయాల్సిన అవసరం ఉంటే, అప్పుడు విమానం దాని ఫ్రంటల్ ట్రేస్ చుట్టూ తిప్పాలి.
§ 24. భ్రమణ శరీరాలు.
సిలిండర్, కోన్ మరియు కత్తిరించబడిన కోన్.
1. పక్కతో చతురస్రం ఎ దాని ముగింపు ద్వారా గీసిన వికర్ణానికి లంబంగా చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
2. పక్కతో చతురస్రం ఎ ఒక బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఇది దాని వైపుకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని నుండి పక్క పొడవు ద్వారా ఖాళీగా ఉంటుంది. అవసరం: 1) ఫలితంగా శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలం నిర్ణయించండి; 2) చతురస్రం యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన వాల్యూమ్ దాని వికర్ణం వివరించే ఉపరితలంతో ఏ నిష్పత్తిలో విభజించబడుతుందో నిర్ణయించండి.
3. ఒక సమబాహు త్రిభుజం దాని ముగింపు ద్వారా గీసిన వైపుకు లంబంగా తిరుగుతుంది. త్రిభుజం యొక్క భుజాల ద్వారా వివరించబడిన ఉపరితలాలు ఒకదానికొకటి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి?
4. ఒక సమబాహు త్రిభుజం మొదట ఒక వైపు చుట్టూ తిరుగుతుంది మరియు శీర్షం ద్వారా గీసిన వైపుకు సమాంతరంగా తిరుగుతుంది. రెండవసారి, ఫలితంగా వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలం మొదటి సారి కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ. నిరూపించండి.
5. పక్కతో సమబాహు త్రిభుజం ఎ బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఇది పక్కకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని నుండి దూరంగా ఉంటుంది, అపోథెమ్‌తో సమానంత్రిభుజం. ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
6. ఒక వైపు ఎ ఒక సమబాహు త్రిభుజం దానికి సమానమైన పొడవు వరకు విస్తరించబడుతుంది మరియు దానికి లంబంగా పొడిగింపు ముగింపు ద్వారా డ్రా చేయబడుతుంది. మీరు ఈ లంబంగా త్రిభుజాన్ని తిప్పితే శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
7. సమబాహు త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు దాని శీర్షానికి మించి దాని పొడవు వరకు విస్తరించబడుతుంది మరియు దానికి లంబంగా పొడిగింపు ముగింపు ద్వారా డ్రా చేయబడుతుంది. వైపు ఎ ఈ లంబంగా త్రిభుజాన్ని తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
8. చతురస్రం యొక్క భుజాలు భుజాలుగా పనిచేస్తాయి సమబాహు త్రిభుజాలువెలుపల నిర్మించబడింది మరియు ఫలితంగా వచ్చిన బొమ్మ రెండింటి బయటి శీర్షాలను కలుపుతూ సరళ రేఖ చుట్టూ తిరుగుతుంది వ్యతిరేక త్రిభుజాలు. చతురస్రం వైపు ఉంది ఎ . ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
9. వైపు ఎ ఒక సాధారణ షడ్భుజి, దాని భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరాల వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి: 1) వ్యాసం చుట్టూ; 2) అపోథెమ్ చుట్టూ.
10. వైపు ఎ ఒక సాధారణ షడ్భుజి, ప్రక్క చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
11. ఎ ఈ శీర్షానికి గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా దాని శీర్షం గుండా వెళుతున్న అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
12. సాధారణ షడ్భుజివైపు తో ఎ ఒక బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఇది ప్రక్కకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని నుండి అపోథెమ్ పొడవు ద్వారా ఖాళీ చేయబడుతుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
13. 5 సెం.మీ మరియు 12 సెం.మీ కాళ్ళతో ఒక లంబ త్రిభుజం బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఇది పెద్ద కాలుకు సమాంతరంగా మరియు దాని నుండి 3 సెం.మీ దూరంలో ఉంటుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
14. 15 సెం.మీ మరియు 20 సెం.మీ కాళ్ళతో కూడిన లంబ త్రిభుజం పెద్ద తీవ్రమైన కోణం యొక్క శీర్షం ద్వారా గీసిన హైపోటెన్యూస్‌కు లంబంగా తిరుగుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
15. 9 సెం.మీ, 10 సెం.మీ మరియు 17 సెం.మీ భుజాలతో ఒక త్రిభుజం దాని చిన్న కోణం యొక్క శీర్షం నుండి గీసిన ఎత్తు చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
16. 8 సెం.మీ మరియు 5 సెం.మీ భుజాలతో 60° కోణాన్ని ఆవరించి ఉండే త్రిభుజం దాని చిన్న భుజాలకు లంబంగా ఈ కోణం యొక్క శీర్షం గుండా ఒక అక్షం చుట్టూ తిప్పబడుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
17. సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు ప్రక్క ప్రక్కల చుట్టూ వరుసగా తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన వాల్యూమ్‌లు ఈ భుజాలకు విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి. నిరూపించండి.
18. Q ప్రాంతం ఉన్న రాంబస్ దాని చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
19. 1) వైపు ఉన్న డైమండ్ ఎ మరియు వైపుకు లంబంగా ఈ కోణం యొక్క శీర్షం ద్వారా గీసిన అక్షం చుట్టూ 60° తీవ్ర కోణంలో తిరుగుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
2) 45° కోణం కోసం అదే పని.
20. ఐసోసెల్స్ ట్రాపెజాయిడ్, దీని తీవ్రమైన కోణం 45° మరియు సైడ్ చిన్న స్థావరానికి సమానంగా ఉంటుంది, దాని చుట్టూ తిరుగుతుంది. దాని పొడవుతో పాటు ఎ విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
21. ఒక ట్రాపెజాయిడ్ R వ్యాసార్థం యొక్క అర్ధ వృత్తంలో చెక్కబడి ఉంటుంది, తద్వారా దాని దిగువ ఆధారం ఈ వృత్తం యొక్క వ్యాసం, మరియు దాని వైపు 30° ఆర్క్‌ను కలిగి ఉంటుంది. ఈ ట్రాపెజాయిడ్‌ను దాని పునాదికి లంబంగా వ్యాసార్థం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
22. AB అనేది వ్యాసార్థం R యొక్క ఇచ్చిన సెమిసర్కిల్ యొక్క వ్యాసం; 60° కలిగి ఉన్న BC-ఆర్క్. ఒక తీగ AC మరియు ఒక టాంజెంట్ CD డ్రా చేయబడతాయి, ఇక్కడ D అనేది AB వ్యాసం యొక్క పొడిగింపుపై ఒక బిందువు. AD అక్షం చుట్టూ త్రిభుజం ACDని తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
బంతి మరియు దాని భాగాలు.
23. వ్యాసార్థం R యొక్క సెమిసర్కిల్‌పై దాని వ్యాసం AB చివరి నుండి, 60° యొక్క IUD యొక్క ఆర్క్ వేయబడింది మరియు పాయింట్ C కి కనెక్ట్ చేయబడింది. వ్యాసం AB, తీగ AC మరియు IUD యొక్క ఆర్క్ AB చుట్టూ తిప్పబడతాయి.
24. వ్యాసార్థం R యొక్క సెమిసర్కిల్‌పై దాని వ్యాసం AB చివరి నుండి, 45° యొక్క ఆర్క్ IUD వేయబడింది; పాయింట్ C నుండి ఒక టాంజెంట్ తీయబడుతుంది, ఇది పాయింట్ D వద్ద AB వ్యాసం యొక్క కొనసాగింపును ఖండిస్తుంది. ఈ చిత్రం సరళ రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉంటుంది. BD మరియు CD మరియు ఆర్క్ IUD, BD చుట్టూ తిరుగుతాయి. ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
25. O - వ్యాసార్థం R యొక్క AMC ఆర్క్ యొక్క కేంద్రం; వ్యాసార్థం OA యొక్క పొడిగింపుపై B-పాయింట్; BC-టాంజెంట్ నుండి ఆర్క్ AMC; CD - వ్యాసార్థం OAకి లంబంగా. బొమ్మ OB అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఆర్క్ AMC యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం OB అక్షం చుట్టూ OCB త్రిభుజం యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడిన వాల్యూమ్ను విభజిస్తే దూరం ODని నిర్ణయించండి.
26. AMC, CND మరియు DPB అనేవి AB వ్యాసం మరియు O మధ్యలో ఉన్న సెమిసర్కిల్‌లో వరుసగా మూడింట ఒక వంతు. రేడియో OS మరియు OD మరియు AC మరియు AD తీగలు గీయబడ్డాయి మరియు బొమ్మ AB వ్యాసం చుట్టూ తిరుగుతుంది. ACND మరియు OCND గణాంకాలు వివరిస్తాయని నిరూపించండి సమాన వాల్యూమ్‌లు, ప్రతి ఒక్కటి గోళం యొక్క సగం వాల్యూమ్ను కలిగి ఉంటుంది.
27. వృత్తాకార విభాగం తీగకు సమాంతరంగా ఒక వ్యాసం చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలితంగా వాల్యూమ్ అని నిరూపించండి వాల్యూమ్‌కు సమానంవ్యాసం కలిగిన బంతి తీగతో సమానంసెగ్మెంట్.
28. 1) AOB - కేంద్రం O మరియు R వ్యాసార్థంతో కూడిన క్వాడ్రంట్; AMC - 60° కలిగిన ఆర్క్; AD అనేది ఒక టాంజెంట్, మరియు D అనేది వ్యాసార్థం OS యొక్క పొడిగింపుతో దాని ఖండన బిందువు. AD మరియు CD మరియు ఆర్క్ AMC విభాగాలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫిగర్ OB వ్యాసార్థం చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితలాన్ని నిర్ణయించండి.
2) 45°కి సమానమైన AMC ఆర్క్‌కి అదే సమస్య.
గిల్డెన్ సిద్ధాంతాలు.
29. భ్రమణ కేసుల కోసం రెండు గిల్డెన్ సిద్ధాంతాలను తనిఖీ చేయండి:
1) దాని వైపులా ఒక దీర్ఘచతురస్రం;
2) సైడ్ తో రాంబస్ ఎ మరియు ఎత్తు h దాని ఒక వైపు చుట్టూ;
3) పక్కతో సాధారణ త్రిభుజం ఎ పునాదికి సమాంతరంగా పైభాగం గుండా వెళుతున్న అక్షం చుట్టూ;
4) కాళ్ళలో ఒకదాని చుట్టూ ఒక లంబ త్రిభుజం;
5) హైపోటెన్యూస్ చుట్టూ ఒక లంబ త్రిభుజం.
30. మధ్యచ్ఛేదము ఇనుప ఉంగరం- పక్కతో చతురస్రం ఎ = 4 సెం.మీ; సగటు రింగ్ వ్యాసం డి = 80 సెం.మీ మరియు నిర్దిష్ట ఆకర్షణదాని 8.6. రింగ్ యొక్క బరువును కనుగొనండి.
31. లైఫ్‌బాయ్, దాని క్రాస్ సెక్షన్ వృత్తం, ఒక నిర్దిష్ట అక్షం చుట్టూ వృత్తం యొక్క భ్రమణ ఫలితంగా ఏర్పడే శరీరంగా పరిగణించబడుతుంది. విభాగం వ్యాసం డి =12 సెం.మీ; లైఫ్‌బాయ్ యొక్క బయటి వ్యాసం D = 75 సెం.మీ. లైఫ్‌బాయ్ యొక్క ఉపరితలం మరియు దాని వాల్యూమ్ను లెక్కించండి.
32. లోకోమోటివ్ డిపో ప్లాన్‌లో సెమిరింగ్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది (Fig. 44), దీని అంతర్గత వ్యాసం 20 మీ; సగం రింగ్ వెడల్పు 9 మీ; వి మధ్యచ్ఛేదముడిపో దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాపెజాయిడ్ ABCD రూపాన్ని కలిగి ఉంది, సమాంతర వైపులాఇవి 4.25 మీ మరియు 6.5 మీ.కి సమానం. డిపో వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
33. త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 9 సెం.మీ, 10 సెం.మీ మరియు 17 సెం.మీ. త్రిభుజం దాని ఎక్కువ ఎత్తు చుట్టూ తిరుగుతుంది. విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క ఉపరితలం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించండి.
34. ఆధారం చుట్టూ త్రిభుజాన్ని తిప్పడం ద్వారా మరియు త్రిభుజం యొక్క శీర్షం గుండా వెళుతున్న ఆధారానికి సమాంతర రేఖ చుట్టూ త్రిభుజాన్ని తిప్పడం ద్వారా పొందిన వాల్యూమ్‌లు 1:2 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయని నిరూపించండి.
కోన్. విసుగు
శంఖాకార ఉపరితలంఇచ్చిన వక్రరేఖ యొక్క ప్రతి బిందువు మరియు వక్రరేఖ వెలుపల ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న అన్ని సరళ రేఖల ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం (Fig. 32).
ఈ వక్రరేఖ అంటారు మార్గదర్శకుడు , నేరుగా - ఏర్పడుతోంది , చుక్క - టాప్ శంఖాకార ఉపరితలం.
నేరుగా వృత్తాకార శంఖాకార ఉపరితలంఇచ్చిన వృత్తం యొక్క ప్రతి బిందువు గుండా వెళుతున్న అన్ని సరళ రేఖల ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం మరియు వృత్తం యొక్క సమతలానికి లంబంగా మరియు దాని కేంద్రం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖపై ఒక బిందువు. కింది వాటిలో మనం క్లుప్తంగా ఈ ఉపరితలాన్ని పిలుస్తాము శంఖాకార ఉపరితలం (Fig. 33).
కోన్ (ప్రత్యక్షంగా వృత్తాకార కోన్ ) అంటారు రేఖాగణిత శరీరం, ఒక శంఖమును పోలిన ఉపరితలం మరియు గైడ్ సర్కిల్ (Fig. 34) యొక్క విమానానికి సమాంతరంగా ఉండే ఒక విమానం ద్వారా పరిమితం చేయబడింది.
 |
|||
అన్నం. 32 అంజీర్. 33 అంజీర్. 34
త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళలో ఒకదానిని కలిగి ఉన్న అక్షం చుట్టూ లంబ త్రిభుజాన్ని తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరంగా కోన్ పరిగణించబడుతుంది.
ఒక కోన్‌ను చుట్టుముట్టే వృత్తాన్ని దాని అంటారు ఆధారంగా . శంఖాకార ఉపరితలం యొక్క శీర్షాన్ని అంటారు టాప్ కోన్ కోన్ యొక్క శీర్షాన్ని దాని బేస్ మధ్యలో కలుపుతున్న విభాగాన్ని అంటారు ఎత్తు కోన్ విభాగాలు ఏర్పడుతున్నాయి శంఖాకార ఉపరితలం, అంటారు ఏర్పడుతోంది కోన్ అక్షం ఒక కోన్ అనేది కోన్ యొక్క పైభాగం మరియు దాని బేస్ మధ్యలో ఉన్న సరళ రేఖ. అక్షసంబంధ విభాగం కోన్ యొక్క అక్షం గుండా వెళుతున్న విభాగం అని పిలుస్తారు. సైడ్ ఉపరితల అభివృద్ధి కోన్ యొక్క వ్యాసార్థం ఒక రంగం పొడవుకు సమానంకోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్, మరియు సెక్టార్ యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవు కోన్ యొక్క బేస్ చుట్టుకొలతకు సమానంగా ఉంటుంది.
కోన్ కోసం సరైన సూత్రాలు:
ఎక్కడ ఆర్- బేస్ వ్యాసార్థం;
హెచ్- ఎత్తు;
ఎల్- జనరేట్రిక్స్ యొక్క పొడవు;
S బేస్- బేస్ ప్రాంతం;
S వైపు
S పూర్తి
వి- కోన్ యొక్క వాల్యూమ్.
కత్తిరించబడిన కోన్కోన్ యొక్క స్థావరానికి సమాంతరంగా బేస్ మరియు కట్టింగ్ ప్లేన్ మధ్య మూసివున్న కోన్ యొక్క భాగాన్ని పిలుస్తారు (Fig. 35).
 |
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాపెజాయిడ్‌ను కలిగి ఉన్న అక్షం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరంగా కత్తిరించబడిన కోన్‌ను పరిగణించవచ్చు వైపుస్థావరాలకు లంబంగా ట్రాపజోయిడ్.
ఒక కోన్‌ను చుట్టుముట్టే రెండు వృత్తాలను దాని అంటారు కారణాలు . ఎత్తు కత్తిరించబడిన కోన్ దాని స్థావరాల మధ్య దూరం. కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క శంఖాకార ఉపరితలం ఏర్పడే విభాగాలు అంటారు ఏర్పడుతోంది . స్థావరాల కేంద్రాల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ అంటారు అక్షం కత్తిరించబడిన కోన్. అక్షసంబంధ విభాగం కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క అక్షం గుండా వెళుతున్న విభాగం అని పిలుస్తారు.
కత్తిరించబడిన కోన్ కోసం సరైన సూత్రాలు:
(8)
ఎక్కడ ఆర్- దిగువ బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం;
ఆర్- ఎగువ బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం;
హెచ్- ఎత్తు, l - జనరేట్రిక్స్ యొక్క పొడవు;
S వైపు- పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం;
S పూర్తి- చదరపు పూర్తి ఉపరితలం;
వి- కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క వాల్యూమ్.
ఉదాహరణ 1.బేస్కు సమాంతరంగా ఉన్న కోన్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్ ఎత్తును 1: 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది, ఎగువ నుండి లెక్కించబడుతుంది. బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం మరియు కోన్ యొక్క ఎత్తు 9 సెం.మీ మరియు 12 సెం.మీ ఉంటే, కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.యొక్క డ్రాయింగ్ (Fig. 36) తయారు చేద్దాం.
కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, మేము ఫార్ములా (8) ను ఉపయోగిస్తాము. స్థావరాల వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి సుమారు 1 ఎమరియు సుమారు 1 విమరియు ఏర్పాటు AB.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం సారూప్య త్రిభుజాలు SO2Bమరియు SO 1 A, సారూప్యత గుణకం, అప్పుడు 
ఇక్కడనుంచి 
అప్పటి నుండి 
కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం దీనికి సమానం:
సమాధానం: .
ఉదాహరణ 2.వ్యాసార్థం యొక్క పావు వృత్తం శంఖాకార ఉపరితలంగా మడవబడుతుంది. బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం మరియు కోన్ యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి.
పరిష్కారం.వృత్తం యొక్క చతుర్భుజం కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క అభివృద్ధి. సూచిస్తాం ఆర్- దాని బేస్ వ్యాసార్థం, H –ఎత్తు. ఫార్ములా ఉపయోగించి పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని గణిద్దాం: . ఇది క్వార్టర్ సర్కిల్ వైశాల్యానికి సమానం: . మనకు రెండు తెలియని వాటితో సమీకరణం వస్తుంది ఆర్మరియు ఎల్(ఒక కోన్ ఏర్పాటు). IN ఈ విషయంలోజనరేటర్ క్వార్టర్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది ఆర్, అంటే మనం ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పొందుతాము: , బేస్ మరియు జనరేటర్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా, మేము కోన్ యొక్క ఎత్తును కనుగొంటాము:
సమాధానం: 2 సెం.మీ., .
ఉదాహరణ 3. దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాపెజాయిడ్ 45 O యొక్క తీవ్రమైన కోణంతో, 3 సెంటీమీటర్ల చిన్న బేస్ మరియు వంపుతిరిగిన వైపు సమానంగా ఉంటుంది, స్థావరాలకి లంబంగా వైపు చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలితంగా భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.యొక్క డ్రాయింగ్ (Fig. 37) తయారు చేద్దాం.
భ్రమణ ఫలితంగా, మేము కత్తిరించబడిన కోన్‌ను పొందుతాము; దాని వాల్యూమ్ను కనుగొనడానికి, మేము వ్యాసార్థాన్ని లెక్కిస్తాము పెద్ద బేస్మరియు ఎత్తు. ట్రాపెజీలో O 1 O 2 ABమేము నిర్వహిస్తాము AC^O 1 B. B మనకు ఉంది: ఈ త్రిభుజం సమద్విబాహు అని అర్థం ఎ.సి.=బి.సి.=3 సెం.మీ.
సమాధానం:
ఉదాహరణ 4. 13 సెం.మీ, 37 సెం.మీ మరియు 40 సెం.మీ భుజాలతో ఒక త్రిభుజం సమాంతరంగా ఉండే బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది. పెద్ద వైపుమరియు దాని నుండి 3 సెం.మీ దూరంలో ఉంది (అక్షం త్రిభుజం యొక్క విమానంలో ఉంది). ఫలితంగా భ్రమణ శరీరం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం
.
యొక్క డ్రాయింగ్ (Fig. 38) తయారు చేద్దాం.
విప్లవం యొక్క ఫలిత శరీరం యొక్క ఉపరితలం రెండు కత్తిరించబడిన శంకువుల పార్శ్వ ఉపరితలాలు మరియు సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం కలిగి ఉంటుంది. ఈ ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి, శంకువులు మరియు సిలిండర్ యొక్క స్థావరాల రేడియాలను తెలుసుకోవడం అవసరం ( BEమరియు ఓ.సి.), శంకువులు ఏర్పడటం ( బి.సి.మరియు ఎ.సి.) మరియు సిలిండర్ ఎత్తు ( AB) తెలియనిది ఒక్కటే CO. 
ఇది త్రిభుజం వైపు నుండి భ్రమణ అక్షానికి దూరం. మేము కనుగొంటాము DC. చతురస్రం త్రిభుజం ABCఒక వైపున సగం వైపు AB మరియు దానికి గీసిన ఎత్తు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది DC, మరోవైపు, త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపులా తెలుసుకోవడం, మేము హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని వైశాల్యాన్ని లెక్కిస్తాము.
టాపిక్ మెటీరియల్‌ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మీరు తప్పక నేర్చుకోవాలి:
· విప్లవం యొక్క శరీరాల రకాలు;
· భ్రమణ శరీరాల నిర్వచనాలు;
· భ్రమణ శరీరాల మూలకాల నిర్వచనం;
· సిలిండర్ మరియు కోన్ అభివృద్ధి యొక్క భావనలు;
· సిలిండర్ మరియు కోన్ యొక్క పార్శ్వ మరియు మొత్తం ఉపరితలం యొక్క నిర్ణయం మరియు గణన;
· గోళం మరియు దాని లక్షణాలకు టాంజెంట్ ప్లేన్ యొక్క నిర్వచనం;
గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం యొక్క భావన;
· గోళంలో లిఖించబడిన మరియు దాని చుట్టూ వివరించబడిన పాలిహెడ్రాన్ యొక్క నిర్వచనం.
సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, కింది నైపుణ్యాలు పరీక్షించబడతాయి:
· భ్రమణ శరీరాలను వర్ణిస్తుంది;
· భ్రమణ శరీరాల మూలకాలను లెక్కించండి;
· శరీరాల విభాగాలను వర్ణించండి;
· సిలిండర్ మరియు కోన్ యొక్క పార్శ్వ మరియు మొత్తం ఉపరితలాల ప్రాంతాలను లెక్కించండి;
· గోళం యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయండి.
సైద్ధాంతిక పరీక్ష ప్రశ్నలు
ఎంపిక 1
1. భావన స్థూపాకార ఉపరితలంమరియు దాని అంశాలు. సిలిండర్ మరియు దాని మూలకాల యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.
2. గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందండి.
3. పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం మరియు కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
ఎంపిక 2
1. శంఖాకార ఉపరితలం యొక్క భావన. కోన్ మరియు దాని మూలకాల యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.
2. సరైన చుట్టూ వివరించిన గోళం యొక్క కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించండి చతుర్భుజ పిరమిడ్. మీ ప్రకటనను నిరూపించండి.
3. పార్శ్వ ఉపరితలం మరియు సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క ప్రాంతాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
ఎంపిక 3
1. నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి కత్తిరించబడిన కోన్మరియు దాని అంశాలు.
2. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన గోళం యొక్క కేంద్రం యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించండి. మీ ప్రకటనను నిరూపించండి.
3. సమబాహు కోన్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలం కోన్ యొక్క ఎత్తు యొక్క వ్యాసం కలిగిన బంతి ఉపరితలంతో సమానంగా ఉంటుందని నిరూపించండి.
ఎంపిక 4
1. గోళం మరియు బంతి నిర్వచనాలను రూపొందించండి. పాయింట్ O(0; 0; 0) వద్ద మరియు పాయింట్ A(x0; y0; z0) వద్ద కేంద్రంతో వ్యాసార్థం R గోళం యొక్క సమీకరణాలను వ్రాయండి.
2. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందండి.
3. సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం అదే వ్యాసార్థంలోని మరొక సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యానికి సమానమని నిరూపించండి, దీని ఎత్తు ఈ సిలిండర్ యొక్క వ్యాసార్థం మరియు ఎత్తు మొత్తానికి సమానం.
స్వతంత్ర పని 17
ఎంపిక 1
1. ప్రాంతం అక్షసంబంధ విభాగంసిలిండర్ 16కి సమానం. ఈ సిలిండర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి, ఇది అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని నుండి దూరంలో ఉంది, సగానికి సమానంసిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం.
2. సెమిసర్కిల్ ఒక శంఖాకార ఉపరితలంలోకి చుట్టబడుతుంది. జెనరాట్రిక్స్ మరియు కోన్ ఎత్తు మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.
3. రెండు బంతుల వ్యాసార్థాలు 16 మరియు 20 dm, వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరం 25 dm. వాటి ఉపరితలాలు కలిసే చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.
ఎంపిక 2
1. సిలిండర్ యొక్క ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం 26 సెం.మీ., 4.8 dm. సిలిండర్ అక్షం నుండి ఎంత దూరంలో ఒక విభాగాన్ని అక్షానికి సమాంతరంగా గీయాలి మరియు చతురస్రం ఆకారంలో ఉండాలి?
2. సెక్టార్ యొక్క వ్యాసార్థం 3 మీ, దాని కోణం 120 °. రంగం శంఖాకార ఉపరితలంలోకి చుట్టబడుతుంది. కోన్ బేస్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
3. రాంబస్ యొక్క వికర్ణాలు 30 మరియు 40 సెం.మీ. గోళాకార ఉపరితలం రాంబస్ యొక్క అన్ని వైపులా తాకుతుంది. బంతి యొక్క వ్యాసార్థం 13 సెం.మీ ఉంటే, బంతి మధ్యలో నుండి రాంబస్ యొక్క సమతలానికి ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి.
ఎంపిక 3
1. సిలిండర్ యొక్క ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం 12 సెం.మీ. అక్షసంబంధ విభాగం మరియు సగం ప్రాంతంతో ఉన్న విభాగం మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.
2. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క అభివృద్ధి కోణం 120 °. కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ 15 సెం.మీ. కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసాన్ని లెక్కించండి.
3. 10 సెం.మీ వ్యాసార్థం ఉన్న బంతిపై రాంబస్ ఉంచబడుతుంది, తద్వారా దాని ప్రతి వైపు 12.5 సెం.మీ.కు సమానం, బంతిని తాకుతుంది. రాంబస్ యొక్క విమానం బంతి మధ్యలో నుండి 8 సెం.మీ దూరంలో ఉంది. రాంబస్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
ఎంపిక 4
1. సిలిండర్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ ద్వారా రెండు పరస్పరం లంబంగా ఉన్న విభాగాలు డ్రా చేయబడతాయి, వీటిలో ప్రాంతాలు 60 మరియు 80 dm. అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.
2. కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం 12 సెం.మీ., 40 సెం.మీ.ను ఏర్పరుస్తుంది.ఈ కోన్ యొక్క అభివృద్ధి కోణాన్ని లెక్కించండి.
3. త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 10 dm, 10 dm మరియు 12 dm. త్రిభుజం యొక్క విమానం నుండి త్రిభుజం వైపులా బంతి టాంజెంట్ మధ్యలో ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి. బంతి వ్యాసార్థం 5 dm.
స్వతంత్ర పని 18
ఎంపిక 1
1. సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క వికర్ణం దాని బేస్ యొక్క వ్యాసం కంటే 25% ఎక్కువ. సిలిండర్ కేంద్రాల మధ్య దూరం 15 సెం.మీ ఉంటే దాని మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
2. సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం అభివృద్ధి - 4 dm వైపు ఉన్న ఒక చదరపు. సిలిండర్ వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
3. కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క వికర్ణాలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి, కోన్ యొక్క ఎత్తు H, ఏర్పరుస్తుంది l. కనుగొనండి పార్శ్వ ఉపరితలంకోన్
4. కోన్ యొక్క ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం 12 సెం.మీ., 40 సెం.మీ.
5. కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ 10 సెం.మీ., బేస్‌లలో వ్యత్యాసం 6 సెం.మీ., అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం 112 సెం.మీ. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
6. 21 సెం.మీ మరియు 89 సెం.మీ భుజాలు మరియు 100 సెం.మీ వికర్ణంగా ఉండే సమాంతర చతుర్భుజం చిన్న వైపు చుట్టూ తిరుగుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
7. 16 మరియు 12 సెం.మీ కాళ్ళతో ఒక లంబ త్రిభుజం హైపోటెన్యూస్ చుట్టూ తిరుగుతుంది. భ్రమణ పరిమాణం మరియు ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.
ఎంపిక 2
1. సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం దాని మొత్తం ఉపరితలంలో సగం. అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క వికర్ణం 10 అంగుళాలు అయితే సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
2. సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలం 500 p cm2, దాని బేస్ యొక్క వ్యాసం 20 సెం.మీ. సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
3. కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ దాని ఎత్తు 41:40కి సంబంధించినది. స్థావరాల వ్యాసార్థం 24 మరియు 6 సెం.మీ. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
4. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క అభివృద్ధి కోణం 120 °. కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ 15 సెం.మీ. కోన్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
5. కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి, దాని పార్శ్వ ఉపరితలం స్థావరాల ప్రాంతాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు స్థావరాల యొక్క వ్యాసార్థాలు R మరియు r.
6. 12 మరియు 18 సెం.మీ.ల స్థావరాలు మరియు 60° యొక్క తీవ్రమైన కోణం కలిగిన సమద్విబాహు ట్రాపజోయిడ్ చిన్న బేస్ చుట్టూ తిరుగుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క ఉపరితలం మరియు వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
7. 5 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ రెండు భుజాలు 60° కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం పొడవైన వైపు చుట్టూ తిరుగుతుంది. భ్రమణ శరీరం యొక్క ఉపరితలం మరియు వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
స్వతంత్ర పని 19
ఎంపిక 1
1. భుజాలు 16 మరియు 12 సెం.మీ ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం హైపోటెన్యూస్ చుట్టూ తిరుగుతుంది. విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
2. గోళాకార బెల్ట్ యొక్క స్థావరాల యొక్క వ్యాసార్థాలు 63 మరియు 39 సెం.మీ., దాని ఎత్తు 36 సెం.మీ. గోళాకార బెల్ట్ యొక్క ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
3. ఎత్తు సరైనది త్రిభుజాకార పిరమిడ్ h. పార్శ్వ పక్కటెముకలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి. చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
4. సాధారణ త్రిభుజాకారంలో కత్తిరించిన పిరమిడ్ఎత్తు 17 సెం.మీ., 5 మరియు 12 సెం.మీ స్థావరాల చుట్టూ చుట్టబడిన వృత్తాల వ్యాసార్థం. చుట్టుపక్కల గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
5. ఒక చతురస్రానికి సమానమైన భుజం దాని చివర ద్వారా గీసిన వికర్ణానికి లంబంగా చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
ఎంపిక 2
1. 5 మరియు 8 సెంటీమీటర్ల రెండు భుజాలు 60° కోణాన్ని కలిగి ఉండే త్రిభుజం పొడవైన వైపు చుట్టూ తిరుగుతుంది. విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
2. పూర్తి ఉపరితలం బంతి విభాగం Sకి సమానం. బంతి వ్యాసార్థం Rకి సమానంగా ఉంటే సెగ్మెంట్ ఎత్తును నిర్ణయించండి.
3. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం సాధారణ త్రిభుజం, దీని వైపు 3 dm. పక్క పక్కటెముకలలో ఒకటి 2 dm మరియు ఆధారానికి లంబంగా ఉంటుంది. చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి.
4. సాధారణ చతుర్భుజాకార కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క స్థావరాల భుజాలు 7 మరియు 1 dm. ప్రక్క అంచు 45° కోణంలో ఆధారానికి వంపుతిరిగి ఉంటుంది.
5. సైడ్ aతో కూడిన ఒక సాధారణ షడ్భుజి బాహ్య అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది, ఇది ప్రక్కకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని నుండి అపోథెమ్ పొడవు ద్వారా ఖాళీ ఉంటుంది. ఫలిత శరీరం యొక్క ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.
స్వతంత్ర పని 20
ఎంపిక 1
1. సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ అంచు b కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు బేస్ యొక్క విమానంతో ఒక కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఒక సమబాహు సిలిండర్ పిరమిడ్‌లో చెక్కబడి ఉంటుంది, తద్వారా బేస్ యొక్క విమానం పిరమిడ్ యొక్క బేస్ యొక్క విమానంలో ఉంటుంది. సిలిండర్ వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
2. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం ఒక సాధారణ త్రిభుజం. ఒక వైపు అంచు బేస్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉంటుంది మరియు ఎల్‌కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మిగిలిన రెండు బేస్ ప్లేన్‌తో కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. పిరమిడ్‌లో స్ట్రెయిట్ ప్రిజం చెక్కబడి ఉంది, వీటిలో మూడు శీర్షాలు పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ అంచులలో ఉంటాయి మరియు మిగిలిన మూడు పిరమిడ్ యొక్క బేస్ మీద ఉంటాయి, ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ముఖం యొక్క వికర్ణం బేస్ యొక్క విమానంతో ఉంటుంది. Ð బి. ప్రిజం యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి.
3. సాధారణ చతుర్భుజ ప్రిజంలో, పార్శ్వ ముఖం యొక్క వైశాల్యం qకి సమానం. వికర్ణ విభాగం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.
4. బంతి వ్యాసానికి లంబంగా ఉండే విమానం దానిని 3 మరియు 9 సెం.మీ భాగాలుగా విభజిస్తుంది.బంతి వాల్యూమ్ ఏ భాగాలుగా విభజించబడింది?
ఎంపిక 2
1. కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క శిఖరం వద్ద కోణం 2b. బేస్ చుట్టుకొలత c. కోన్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
2. కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క వికర్ణాలు ఖండన పాయింట్ ద్వారా 2: 1 నిష్పత్తిలో విభజించబడ్డాయి, పెద్ద బేస్ నుండి లెక్కించబడతాయి. ఆధారాన్ని ఎదుర్కొంటున్న వికర్ణాల మధ్య కోణం a కి సమానం. వికర్ణం l కి సమానం. కోన్ వాల్యూమ్ కనుగొనండి.
3. కుడి సమాంతర పైప్డ్ యొక్క పార్శ్వ అంచు 5 సెం.మీ., బేస్ యొక్క భుజాలు 6 మరియు 8 సెం.మీ., బేస్ యొక్క వికర్ణాలలో ఒకటి 12 సెం.మీ. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణాలను కనుగొనండి.
4. బంతి పరిమాణంలో ఏ భాగం బంతి వ్యాసం కంటే 0.1 రెట్లు ఎత్తుతో గోళాకార విభాగం యొక్క ఘనపరిమాణం?
ఎంపిక 3
1. కోన్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ l కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఒక కోణంలో బేస్ యొక్క సమతలానికి వొంపు ఉంటుంది. చెక్కబడిన క్యూబ్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించండి.
2. కోన్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రం చెక్కబడి ఉంటుంది, వైపు a. ఈ చతురస్రం యొక్క ఒక వైపు మరియు కోన్ యొక్క శీర్షం గుండా వెళుతున్న విమానం, కోన్ యొక్క ఉపరితలంతో కలుస్తున్నప్పుడు, ఏర్పడుతుంది సమద్విబాహు త్రిభుజం a కి సమానమైన అపెక్స్ కోణంతో. కోన్ వాల్యూమ్ కనుగొనండి.
3. బేస్ వైపు సరైనది చతుర్భుజ ప్రిజం 15 సెం.మీ., మరియు ఎత్తు 20 సెం.మీ. బేస్ వైపు నుండి దానిని ఖండన చేయని ప్రిజం యొక్క వికర్ణానికి అతి తక్కువ దూరాన్ని కనుగొనండి.
4. రెండు సమాన బంతిఒకదాని మధ్యభాగం మరొకదాని ఉపరితలంపై ఉండేలా ఏర్పాటు చేయబడింది. గోళాల మొత్తం భాగం యొక్క ఘనపరిమాణం మొత్తం గోళం యొక్క వాల్యూమ్‌తో ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది?
ఎంపిక 4
1. కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజంతో సమాన అంచులు. కోన్ యొక్క మూల వ్యాసార్థం Rకి సమానంగా ఉంటే ప్రిజం యొక్క వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
2. ఒక కోన్ వాల్యూమ్ V కి సమానం. ఒక పిరమిడ్ కోన్‌లో చెక్కబడి ఉంటుంది, దాని బేస్ వద్ద ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం ఉంటుంది, ఇది భుజాల మధ్య కోణంతో ఉంటుంది. పిరమిడ్ వాల్యూమ్ను కనుగొనండి.
3. బి కుడి సమాంతర గొట్టంసైడ్ ఎడ్జ్ 1 మీ, బేస్ యొక్క భుజాలు 23 డిఎమ్ మరియు 11 డిఎమ్, బేస్ యొక్క వికర్ణాలు 2: 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. వికర్ణ విభాగాల ప్రాంతాలను కనుగొనండి.
4. బేస్ వైపు a మరియు పార్శ్వ పక్కటెముక b సాధారణ షట్కోణ ప్రిజం యొక్క మొత్తం ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.