త్రిభుజం అనేది ఒకే సరళ రేఖపై పడని బిందువుల వద్ద అనుసంధానించే మూడు సరళ రేఖలను కలిగి ఉండే రేఖాగణిత బొమ్మ. పంక్తుల కనెక్షన్ పాయింట్లు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు, ఇవి నియమించబడ్డాయి లాటిన్ అక్షరాలతో(ఉదా. A, B, C). త్రిభుజం యొక్క అనుసంధాన సరళ రేఖలను విభాగాలు అంటారు, ఇవి సాధారణంగా లాటిన్ అక్షరాలతో కూడా సూచించబడతాయి. వేరు చేయండి క్రింది రకాలుత్రిభుజాలు:

• దీర్ఘచతురస్రాకార.
• మొద్దుబారిన.
• తీవ్రమైన కోణీయ.
• బహుముఖ.
• సమబాహు.
• ఐసోసెల్స్.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సాధారణ సూత్రాలు

పొడవు మరియు ఎత్తు ఆధారంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా

S= a*h/2,
ఇక్కడ a అనేది త్రిభుజం వైపు పొడవు, దీని వైశాల్యం కనుగొనవలసి ఉంటుంది, h అనేది బేస్‌కు గీసిన ఎత్తు యొక్క పొడవు.

హెరాన్ సూత్రం

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
√ ఎక్కడ ఉంది వర్గమూలం, p అనేది త్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత, a,b,c అనేది త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు పొడవు. త్రిభుజం యొక్క అర్ధ చుట్టుకొలతను p=(a+b+c)/2 సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.

కోణం మరియు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు ఆధారంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా

S = (a*b*sin(α))/2,
ఎక్కడ b,c ఉందిత్రిభుజం యొక్క భుజాల పొడవు, sin(α) అనేది రెండు భుజాల మధ్య కోణం యొక్క సైన్.

లిఖిత వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు మూడు వైపులా ఇచ్చిన త్రిభుజం వైశాల్యానికి ఫార్ములా

S=p*r,
ఇక్కడ p అనేది త్రిభుజం యొక్క సెమీ చుట్టుకొలత, దీని ప్రాంతాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది, r అనేది ఈ త్రిభుజంలో వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

మూడు భుజాల ఆధారంగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం మరియు దాని చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క ఫార్ములా

S= (a*b*c)/4*R,
ఇక్కడ a,b,c అనేది త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు పొడవు, R అనేది త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

పాయింట్ల కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్‌లను ఉపయోగించి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా

పాయింట్ల కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్‌లు xOy సిస్టమ్‌లో కోఆర్డినేట్‌లు, ఇక్కడ x అనేది అబ్సిస్సా, y అనేది ఆర్డినేట్. కార్టేసియన్ వ్యవస్థవిమానంలోని xOy కోఆర్డినేట్‌లను పరస్పరం లంబంగా ఉండే సంఖ్యా అక్షాలు Ox మరియు Oy అని పిలుస్తారు సాధారణ ప్రారంభంపాయింట్ O వద్ద సూచన. ఈ ప్లేన్‌లోని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు A(x1, y1), B(x2, y2) మరియు C(x3, y3) రూపంలో ఇచ్చినట్లయితే, మీరు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించవచ్చు ఉపయోగించి క్రింది సూత్రం, నుండి పొందబడింది వెక్టర్ ఉత్పత్తిరెండు వెక్టర్స్.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ఎక్కడ || మాడ్యూల్ కోసం నిలుస్తుంది.

లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

లంబ త్రిభుజం అనేది 90 డిగ్రీలు కొలిచే ఒక కోణంతో కూడిన త్రిభుజం. ఒక త్రిభుజం అటువంటి కోణాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

రెండు వైపులా లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా

S= a*b/2,
ఇక్కడ a,b అనేది కాళ్ల పొడవు. కాళ్ళు లంబ కోణానికి ప్రక్కనే ఉన్న భుజాలు.

హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్ ఆధారంగా లంబ త్రిభుజం వైశాల్యం కోసం ఫార్ములా

S = a*b*sin(α)/ 2,
ఇక్కడ a, b అనేది త్రిభుజం యొక్క కాళ్లు, మరియు sin(α) అనేది a, b రేఖలు కలిసే కోణం యొక్క సైన్.

సైడ్ మరియు వ్యతిరేక కోణం ఆధారంగా లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా

S = a*b/2*tg(β),
ఇక్కడ a, b అనేది త్రిభుజం యొక్క కాళ్లు, టాన్(β) అనేది a, b కాళ్లు అనుసంధానించబడిన కోణం యొక్క టాంజెంట్.

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలి

సమద్విబాహు త్రిభుజం రెండు సమాన భుజాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ భుజాలను భుజాలు అని పిలుస్తారు మరియు మరొక వైపు ఆధారం. సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు క్రింది సూత్రాలలో ఒకదాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ప్రాథమిక సూత్రం

S=h*c/2,
ఇక్కడ c అనేది త్రిభుజం యొక్క ఆధారం, h అనేది ఆధారానికి తగ్గించబడిన త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు.

సైడ్ మరియు బేస్ ఆధారంగా సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క ఫార్ములా

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
ఇక్కడ c అనేది త్రిభుజం యొక్క ఆధారం, a అనేది సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క భుజాలలో ఒకదాని పరిమాణం.

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

సమబాహు త్రిభుజం అనేది అన్ని వైపులా సమానంగా ఉండే త్రిభుజం. ప్రాంతం లెక్కించేందుకు సమబాహు త్రిభుజంమీరు క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
S = (√3*a*a)/4,
ఇక్కడ a అనేది సమబాహు త్రిభుజం వైపు పొడవు.

పై సూత్రాలు త్రిభుజం యొక్క అవసరమైన ప్రాంతాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు త్రిభుజం యొక్క రకాన్ని మరియు గణన కోసం ఉపయోగించగల అందుబాటులో ఉన్న డేటాను పరిగణించాలని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం.

మీరు నుండి గుర్తు ఉండవచ్చు పాఠశాల పాఠ్యాంశాలుజ్యామితి ప్రకారం, త్రిభుజం అనేది ఒకే సరళ రేఖపై పడని మూడు బిందువులతో అనుసంధానించబడిన మూడు విభాగాల నుండి ఏర్పడిన బొమ్మ. ఒక త్రిభుజం మూడు కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది, అందుకే ఆ బొమ్మ పేరు. నిర్వచనం భిన్నంగా ఉండవచ్చు. త్రిభుజాన్ని మూడు కోణాలతో బహుభుజి అని కూడా పిలుస్తారు, సమాధానం కూడా సరైనది. త్రిభుజాలు సమాన భుజాల సంఖ్య మరియు బొమ్మలలోని కోణాల పరిమాణం ప్రకారం విభజించబడ్డాయి. అందువల్ల, త్రిభుజాలు వరుసగా సమద్విబాహులు, సమబాహు మరియు స్కేలేన్, అలాగే దీర్ఘచతురస్రాకార, తీవ్రమైన మరియు మొండిగా విభజించబడ్డాయి.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి చాలా సూత్రాలు ఉన్నాయి. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో ఎంచుకోండి, అనగా. ఏ ఫార్ములా ఉపయోగించాలో మీ ఇష్టం. కానీ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి అనేక సూత్రాలలో ఉపయోగించే కొన్ని సంకేతాలను మాత్రమే గమనించడం విలువ. కాబట్టి, గుర్తుంచుకో:

S అనేది త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం,

a, b, c అనేవి త్రిభుజం యొక్క భుజాలు,

h అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు,

R అనేది చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం,

p అనేది సెమీ చుట్టుకొలత.

మీరు మీ జ్యామితి కోర్సును పూర్తిగా మరచిపోయినట్లయితే మీకు ఉపయోగపడే ప్రాథమిక సంకేతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. క్రింద చాలా అర్థమయ్యేవి మరియు కాదు సంక్లిష్ట ఎంపికలుత్రిభుజం యొక్క తెలియని మరియు మర్మమైన ప్రాంతాన్ని లెక్కించడం. ఇది కష్టం కాదు మరియు మీ ఇంటి అవసరాలకు మరియు మీ పిల్లలకు సహాయం చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని వీలైనంత సులభంగా ఎలా లెక్కించాలో గుర్తుంచుకోండి:

మా సందర్భంలో, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. cm. ప్రాంతం కొలుస్తారు అని గుర్తుంచుకోండి చదరపు సెంటీమీటర్లు(చ.సెం.మీ.)

కుడి త్రిభుజం మరియు దాని ప్రాంతం.

లంబ త్రిభుజం అనేది ఒక త్రిభుజం, దీనిలో ఒక కోణం 90 డిగ్రీలకు సమానం (అందుకే కుడి అంటారు). లంబ కోణం రెండు లంబ రేఖల ద్వారా ఏర్పడుతుంది (త్రిభుజం విషయంలో, రెండు విభాగానికి లంబంగా) లంబ త్రిభుజంలో ఒక లంబ కోణం మాత్రమే ఉంటుంది, ఎందుకంటే... ఏదైనా ఒక త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానం. 2 ఇతర కోణాలు మిగిలిన 90 డిగ్రీలను విభజించాలి, ఉదాహరణకు 70 మరియు 20, 45 మరియు 45, మొదలైనవి. కాబట్టి, మీరు ప్రధాన విషయం గుర్తుంచుకోవాలి, ప్రాంతాన్ని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవడానికి మాత్రమే మిగిలి ఉంది కుడి త్రిభుజం. మన ముందు అటువంటి లంబ త్రిభుజం ఉందని ఊహించుకుందాం మరియు దాని ప్రాంతం Sని కనుగొనాలి.

1. లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి సులభమైన మార్గం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

మా విషయంలో, కుడి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq. cm.

సూత్రప్రాయంగా, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఇతర మార్గాల్లో ధృవీకరించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది మాత్రమే ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది మరియు రోజువారీ జీవితంలో సహాయపడుతుంది. కానీ తీవ్రమైన కోణాల ద్వారా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కొలిచే ఎంపికలు కూడా ఉన్నాయి.

2. ఇతర గణన పద్ధతుల కోసం, మీరు తప్పనిసరిగా కొసైన్‌లు, సైన్స్ మరియు టాంజెంట్‌ల పట్టికను కలిగి ఉండాలి. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి, ఇప్పటికీ ఉపయోగించబడే లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఇక్కడ కొన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయి:

మేము మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలని నిర్ణయించుకున్నాము మరియు కొన్ని చిన్న మచ్చలతో (మేము దానిని నోట్‌బుక్‌లో గీసాము మరియు పాత పాలకుడు మరియు ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించాము), కానీ మాకు సరైన గణన వచ్చింది:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). మేము ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందాము: 3.6=3.7, కానీ కణాల మార్పును పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము ఈ స్వల్పభేదాన్ని క్షమించగలము.

సమద్విబాహు త్రిభుజం మరియు దాని వైశాల్యం.

మీరు సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క సూత్రాన్ని లెక్కించే పనిని ఎదుర్కొన్నట్లయితే, ప్రధానమైనది మరియు దానిని ఎలా లెక్కించాలి అనేది సులభమయిన మార్గం. శాస్త్రీయ సూత్రంత్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం.

అయితే ముందుగా, సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనే ముందు, ఇది ఏ విధమైన ఫిగర్ అని తెలుసుకుందాం. సమద్విబాహు త్రిభుజం అనేది రెండు వైపులా ఉండే త్రిభుజం అదే పొడవు. ఈ రెండు వైపులా పార్శ్వం అంటారు, మూడవ వైపు బేస్ అంటారు. సమబాహు త్రిభుజంతో సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కంగారు పెట్టవద్దు, అనగా. మూడు వైపులా సమానంగా ఉండే సాధారణ త్రిభుజం. అటువంటి త్రిభుజంలో కోణాలకు లేదా వాటి పరిమాణానికి ప్రత్యేక ధోరణులు లేవు. అయితే, సమద్విబాహు త్రిభుజంలో బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, కానీ వాటి మధ్య కోణం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి సమాన వైపులా. కాబట్టి, మీకు ఇప్పటికే మొదటి మరియు ప్రధాన సూత్రం తెలుసు; సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి ఇతర సూత్రాలు ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:

త్రిభుజం అత్యంత సాధారణమైన వాటిలో ఒకటి రేఖాగణిత ఆకారాలు, ఇది మనకు ఇప్పటికే పరిచయం చేయబడింది ప్రాథమిక పాఠశాల. జ్యామితి పాఠాలలో త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలనే ప్రశ్న ప్రతి విద్యార్థి ఎదుర్కొంటుంది. కాబట్టి, ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో ఏ లక్షణాలను గుర్తించవచ్చు? ఈ వ్యాసంలో అటువంటి పనిని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన ప్రాథమిక సూత్రాలను పరిశీలిస్తాము మరియు త్రిభుజాల రకాలను కూడా విశ్లేషిస్తాము.

త్రిభుజాల రకాలు

మీరు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఖచ్చితంగా కనుగొనవచ్చు వివిధ మార్గాలు, ఎందుకంటే జ్యామితిలో మూడు కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒకటి కంటే ఎక్కువ రకాల బొమ్మలు ఉన్నాయి. ఈ రకాలు ఉన్నాయి:

• మొద్దుబారిన.
• సమబాహు (సరైనది).
• కుడి త్రిభుజం.
• ఐసోసెల్స్.

వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిశితంగా పరిశీలిద్దాం ఇప్పటికే ఉన్న రకాలుత్రిభుజాలు.

పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ రేఖాగణిత సంఖ్య అత్యంత సాధారణమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది రేఖాగణిత సమస్యలు. డ్రా అవసరం వచ్చినప్పుడు ఏకపక్ష త్రిభుజం, ఈ ఎంపిక రెస్క్యూకి వస్తుంది.

తీవ్రమైన త్రిభుజంలో, పేరు సూచించినట్లుగా, అన్ని కోణాలు తీవ్రంగా ఉంటాయి మరియు 180° వరకు జోడించబడతాయి.

ఈ రకమైన త్రిభుజం కూడా చాలా సాధారణం, కానీ తీవ్రమైన త్రిభుజం కంటే కొంత తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, త్రిభుజాలను పరిష్కరించేటప్పుడు (అనగా, దాని అనేక భుజాలు మరియు కోణాలు తెలిసినవి మరియు మీరు మిగిలిన మూలకాలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది), కొన్నిసార్లు మీరు కోణం మందంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించాలి. కొసైన్ ప్రతికూల సంఖ్య.

B, కోణాలలో ఒకదాని విలువ 90° మించిపోయింది, కాబట్టి మిగిలిన రెండు కోణాలు చిన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు (ఉదాహరణకు, 15° లేదా 3° కూడా).

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి ఈ రకం, మీరు కొన్ని సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను తెలుసుకోవాలి, దాని గురించి మేము తరువాత మాట్లాడుతాము.

సాధారణ మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు

సాధారణ బహుభుజి n కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒక ఫిగర్ మరియు దీని భుజాలు మరియు కోణాలు అన్నీ సమానంగా ఉంటాయి. సాధారణ త్రిభుజం అంటే ఇదే. త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాల మొత్తం 180° కాబట్టి, మూడు కోణాల్లో ఒక్కొక్కటి 60°.

ఒక సాధారణ త్రిభుజం, దాని ఆస్తి కారణంగా, దీనిని ఈక్విలేటరల్ ఫిగర్ అని కూడా అంటారు.

ఒక సాధారణ త్రిభుజంలో ఒక వృత్తాన్ని మాత్రమే చెక్కవచ్చు మరియు దాని చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని మాత్రమే వివరించవచ్చు మరియు వాటి కేంద్రాలు ఒకే పాయింట్‌లో ఉన్నాయని కూడా గమనించాలి.

సమబాహు రకానికి అదనంగా, ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని కూడా వేరు చేయవచ్చు, ఇది దాని నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. అటువంటి త్రిభుజంలో, రెండు భుజాలు మరియు రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి మరియు మూడవ వైపు (ప్రక్కనే సమాన కోణాలు) అనేది ఆధారం.

ఫిగర్ ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం DEFని చూపుతుంది, దీని కోణాలు D మరియు F సమానంగా ఉంటాయి మరియు DF ఆధారం.

కుడి త్రిభుజం

లంబకోణ త్రిభుజం పేరు పెట్టబడింది, ఎందుకంటే దాని కోణాలలో ఒకటి సరిగ్గా ఉంటుంది, అంటే 90°కి సమానం. మిగిలిన రెండు కోణాలు 90° వరకు జోడించబడతాయి.

అత్యంత పెద్ద వైపుఅటువంటి త్రిభుజంలో, 90° కోణానికి ఎదురుగా ఉన్నది హైపోటెన్యూస్, మిగిలిన రెండు భుజాలు కాళ్లు. ఈ రకమైన త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం వర్తిస్తుంది:

కాళ్ళ పొడవు యొక్క చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ పొడవు యొక్క వర్గానికి సమానం.

ఫిగర్ హైపోటెన్యూస్ AC మరియు కాళ్లు AB మరియు BCతో ఉన్న లంబ త్రిభుజం BACని చూపుతుంది.

లంబ కోణంతో త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు తెలుసుకోవాలి సంఖ్యా విలువలుదాని కాళ్ళు.

ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాలకు వెళ్దాం.

ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ప్రాథమిక సూత్రాలు

జ్యామితిలో, చాలా రకాల త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి అనువైన రెండు సూత్రాలు ఉన్నాయి, అవి తీవ్రమైన, మందమైన, సాధారణ మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాల కోసం. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి చూద్దాం.

వైపు మరియు ఎత్తు ద్వారా

ఈ ఫార్ములామేము పరిశీలిస్తున్న ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సార్వత్రికమైనది. ఇది చేయుటకు, వైపు పొడవు మరియు దానికి గీసిన ఎత్తు యొక్క పొడవును తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. ఫార్ములా (బేస్ మరియు ఎత్తు యొక్క సగం ఉత్పత్తి) లాగా కనిపిస్తుంది క్రింది విధంగా:

ఇక్కడ A అనేది వైపు ఇచ్చిన త్రిభుజం, మరియు H అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు.

ఉదాహరణకు, ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి తీవ్రమైన త్రిభుజం ACB, మీరు ఎత్తు CD ద్వారా దాని వైపు AB ను గుణించాలి మరియు ఫలిత విలువను రెండు ద్వారా విభజించాలి.

అయితే, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఈ విధంగా కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సులభం కాదు. ఉదాహరణకు, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి మందమైన త్రిభుజం, దాని వైపులా ఒకదానిని కొనసాగించాల్సిన అవసరం ఉంది మరియు దాని తర్వాత మాత్రమే ఎత్తును గీయండి.

ఆచరణలో, ఈ సూత్రం ఇతరులకన్నా ఎక్కువగా ఉపయోగించబడుతుంది.

రెండు వైపులా మరియు మూలలో

ఈ ఫార్ములా, మునుపటి మాదిరిగానే, చాలా త్రిభుజాలకు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు దాని అర్థంలో త్రిభుజం యొక్క ప్రక్క ప్రక్కన మరియు ఎత్తును కనుగొనే సూత్రం యొక్క పరిణామం. అంటే, ప్రశ్నలోని ఫార్ములా మునుపటి నుండి సులభంగా తీసుకోవచ్చు. దీని సూత్రీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = ½*sinO*A*B,

ఇక్కడ A మరియు B త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు O అనేది A మరియు B భుజాల మధ్య కోణం.

విశిష్టమైన సోవియట్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు V. M. బ్రాడిస్ పేరు మీద ఒక ప్రత్యేక పట్టికలో కోణం యొక్క సైన్ చూడవచ్చని గుర్తుచేసుకుందాం.

ఇప్పుడు అసాధారణమైన రకాల త్రిభుజాలకు మాత్రమే సరిపోయే ఇతర సూత్రాలకు వెళ్దాం.

లంబ త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం

త్రిభుజంలో ఎత్తును కనుగొనవలసిన అవసరాన్ని కలిగి ఉన్న సార్వత్రిక సూత్రంతో పాటు, లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతాన్ని దాని కాళ్ళ నుండి కనుగొనవచ్చు.

అందువల్ల, లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని కాళ్ళ యొక్క సగం ఉత్పత్తి, లేదా:

ఇక్కడ a మరియు b లంబ త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళు.

సాధారణ త్రిభుజం

ఈ పద్దతిలోరేఖాగణిత బొమ్మలు విభిన్నంగా ఉంటాయి, దాని ప్రాంతం దాని యొక్క ఒక వైపు మాత్రమే సూచించబడిన విలువతో కనుగొనబడుతుంది (అన్ని వైపుల నుండి సాధారణ త్రిభుజంసమానంగా ఉంటాయి). కాబట్టి, "భుజాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం" అనే పనిని ఎదుర్కొన్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:

S = A 2 *√3 / 4,

ఇక్కడ A అనేది సమబాహు త్రిభుజం వైపు.

హెరాన్ సూత్రం

చివరి ఎంపికత్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం హెరాన్ సూత్రం. దీన్ని ఉపయోగించడానికి, మీరు బొమ్మ యొక్క మూడు వైపుల పొడవును తెలుసుకోవాలి. హెరాన్ సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

ఇక్కడ a, b మరియు c ఇవ్వబడిన త్రిభుజం యొక్క భుజాలు.

కొన్నిసార్లు సమస్య ఇవ్వబడుతుంది: "సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దాని వైపు పొడవును కనుగొనడం." IN ఈ విషయంలోసాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం కోసం మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి మరియు దాని నుండి వైపు (లేదా దాని చతురస్రం) విలువను పొందాలి:

A 2 = 4S / √3.

పరీక్షా పనులు

గణితంలో GIA సమస్యలలో అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అదనంగా, చాలా తరచుగా త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం అవసరం గీసిన కాగితం.

ఈ సందర్భంలో, బొమ్మ యొక్క ఒక వైపుకు ఎత్తును గీయడం, కణాల నుండి దాని పొడవును నిర్ణయించడం మరియు ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. సార్వత్రిక సూత్రంప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి:

కాబట్టి, వ్యాసంలో సమర్పించబడిన సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, ఏ రకమైన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో మీకు ఏవైనా సమస్యలు ఉండవు.

నుండి వ్యతిరేక శీర్షం) మరియు ఫలిత ఉత్పత్తిని రెండుగా విభజించండి. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

S = ½ * a * h,

ఎక్కడ:
S - త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం,
a అనేది దాని వైపు పొడవు,
h అనేది ఈ వైపుకు తగ్గించబడిన ఎత్తు.

పక్క పొడవు మరియు ఎత్తు తప్పనిసరిగా ఒకే కొలత యూనిట్లలో ప్రదర్శించబడాలి. ఈ సందర్భంలో, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సంబంధిత "" యూనిట్లలో పొందబడుతుంది.

ఉదాహరణ.
20 సెం.మీ పొడవున్న స్కేలేన్ త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు, 10 సెం.మీ పొడవు ఉన్న వ్యతిరేక శీర్షం నుండి లంబంగా తగ్గించబడుతుంది.
త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతం అవసరం.
పరిష్కారం.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (సెం²).

స్కేలేన్ త్రిభుజం యొక్క ఏదైనా రెండు భుజాల పొడవు మరియు వాటి మధ్య కోణం తెలిసినట్లయితే, అప్పుడు సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

S = ½ * a * b * sinγ,

ఇక్కడ: a, b అనేది రెండు ఏకపక్ష భుజాల పొడవు, మరియు γ అనేది వాటి మధ్య కోణం.

ఆచరణలో, ఉదాహరణకు, కొలిచేటప్పుడు భూమి ప్లాట్లు, పై సూత్రాలను ఉపయోగించడం కొన్నిసార్లు కష్టం, ఎందుకంటే దీనికి అదనపు నిర్మాణాలు మరియు కోణ కొలతలు అవసరం.

ఒక స్కేలేన్ త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాల పొడవు మీకు తెలిస్తే, హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – త్రిభుజం భుజాల పొడవు,
p – సెమీ చుట్టుకొలత: p = (a+b+c)/2.

అన్ని భుజాల పొడవుతో పాటు, త్రిభుజంలో వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం తెలిసినట్లయితే, కింది కాంపాక్ట్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

ఎక్కడ: r - చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (р - సెమీ చుట్టుకొలత).

స్కేలేన్ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం మరియు దాని భుజాల పొడవును లెక్కించడానికి, సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

ఇక్కడ: R - చుట్టుపక్కల వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

త్రిభుజం యొక్క ఒక భుజం మరియు మూడు కోణాల పొడవు మీకు తెలిస్తే (సూత్రప్రాయంగా, రెండు సరిపోతాయి - మూడవ విలువ త్రిభుజం యొక్క మూడు కోణాల మొత్తం సమానత్వం నుండి లెక్కించబడుతుంది - 180º), అప్పుడు ఉపయోగించండి సూత్రం:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

ఇక్కడ α అనేది పరిమాణం ఎదురుగాఒక కోణం;
β, γ - త్రిభుజం యొక్క మిగిలిన రెండు కోణాల విలువలు.

కనుగొనేందుకు అవసరం వివిధ అంశాలు, ప్రాంతాలతో సహా త్రిభుజం, మధ్య అనేక శతాబ్దాల BC కనిపించింది శాస్త్రవేత్తలు ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు పురాతన గ్రీసు. చతురస్రం త్రిభుజంలెక్కించవచ్చు వివిధ మార్గాలుఉపయోగించి వివిధ సూత్రాలు. గణన పద్ధతి ఏ అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది త్రిభుజంతెలిసిన.

సూచనలు

పరిస్థితి నుండి మనకు రెండు వైపుల బి, సి మరియు వాటి ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క విలువలు తెలిస్తే?, అప్పుడు ప్రాంతం త్రిభుజం ABC ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది:
S = (bcsin?)/2.

పరిస్థితి నుండి మనకు రెండు వైపుల విలువలు a, b మరియు వాటి ద్వారా ఏర్పడని కోణం తెలిస్తే?, అప్పుడు ప్రాంతం త్రిభుజం ABC క్రింది విధంగా కనుగొనబడింది:
కోణం దొరుకుతుందా?, పాపమా? = bsin?/a, ఆపై కోణాన్ని గుర్తించడానికి పట్టికను ఉపయోగించండి.
కోణం కనుగొనడం?, ? = 180°-?-?.
మేము S = (absin?)/2 ప్రాంతాన్ని కనుగొంటాము.

పరిస్థితి నుండి మనకు మూడు వైపుల విలువలు మాత్రమే తెలిస్తే త్రిభుజం a, b మరియు c, తర్వాత ప్రాంతం త్రిభుజం ABC ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), ఇక్కడ p అనేది సెమీ చుట్టుకొలత p = (a+b+c)/2

సమస్య పరిస్థితుల నుండి మనకు ఎత్తు తెలుసు త్రిభుజం h మరియు ఈ ఎత్తు తగ్గించబడిన వైపు, తర్వాత ప్రాంతం త్రిభుజం ABC సూత్రం ప్రకారం:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

పక్కల అర్థాలు తెలిస్తే త్రిభుజం a, b, c మరియు దీని గురించి వివరించిన వ్యాసార్థం త్రిభుజం R, అప్పుడు దీని ప్రాంతం త్రిభుజం ABC సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
S = abc/4R.
మూడు వైపులా a, b, c మరియు వ్రాయబడిన వ్యాసార్థం తెలిసినట్లయితే, అప్పుడు ప్రాంతం త్రిభుజం ABC ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది:
S = pr, ఇక్కడ p అనేది సెమీ చుట్టుకొలత, p = (a+b+c)/2.

ABC సమబాహు అయితే, ఆ ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది:
S = (a^2v3)/4.
ఉంటే త్రిభుజం ABC- సమద్విబాహు, అప్పుడు ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, ఇక్కడ c – త్రిభుజం.
ABC త్రిభుజం లంబకోణంలో ఉంటే, ఆ ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
S = ab/2, ఇక్కడ a మరియు b కాళ్లు త్రిభుజం.
త్రిభుజం ABC ఒక లంబ సమద్విబాహు త్రిభుజం అయితే, ఆ ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
S = c^2/4 = a^2/2, ఇక్కడ c అనేది హైపోటెన్యూస్ త్రిభుజం, a=b – లెగ్.

అంశంపై వీడియో

మూలాలు:

• త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కొలవాలి

చిట్కా 3: కోణం తెలిస్తే త్రిభుజం వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి కేవలం ఒక పారామీటర్ (కోణం) తెలుసుకోవడం సరిపోదు tre చతురస్రం . ఏవైనా అదనపు కొలతలు ఉన్నట్లయితే, ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడానికి మీరు ఫార్ములాల్లో ఒకదాన్ని ఎంచుకోవచ్చు, దీనిలో కోణం విలువ కూడా తెలిసిన వేరియబుల్స్‌లో ఒకటిగా ఉపయోగించబడుతుంది. చాలా తరచుగా ఉపయోగించే అనేక సూత్రాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

సూచనలు

ఒకవేళ, రెండు వైపులా ఏర్పడిన కోణం (γ) పరిమాణంతో పాటు tre చతురస్రం , ఈ భుజాల పొడవు (A మరియు B) కూడా తెలుసు, అప్పుడు చతురస్రం(S) సంఖ్యలను భుజాల పొడవు మరియు దీని యొక్క సైన్ యొక్క సగం ఉత్పత్తిగా నిర్వచించవచ్చు తెలిసిన కోణం: S=½×A×B×పాపం(γ).