ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఈ సంఘటన సంభవించే అవకాశం యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యా లక్షణంగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది. సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి అనేక విధానాలు ఉన్నాయి.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎపూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే అన్ని సమాన సాధ్యం అననుకూల ప్రాథమిక ఫలితాల మొత్తం సంఖ్యకు ఈ ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తి అంటారు. కాబట్టి, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఎక్కడ m- అనుకూలమైన ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య ఎ, n- సాధ్యమయ్యే అన్ని ప్రాథమిక పరీక్ష ఫలితాల సంఖ్య.

ఉదాహరణ 3.1.డైని విసిరే ప్రయోగంలో, అన్ని ఫలితాల సంఖ్య n 6కి సమానం మరియు అవన్నీ సమానంగా సాధ్యమే. ఈవెంట్ లెట్ ఎఅంటే సరి సంఖ్య యొక్క రూపాన్ని సూచిస్తుంది. అప్పుడు ఈ ఈవెంట్ కోసం, అనుకూలమైన ఫలితాలు 2, 4, 6 సంఖ్యల రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి. వాటి సంఖ్య 3. కాబట్టి, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎసమానంగా

ఉదాహరణ 3.2.యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న రెండు అంకెల సంఖ్య ఒకే అంకెలను కలిగి ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?

రెండు-అంకెల సంఖ్యలు 10 నుండి 99 వరకు సంఖ్యలు, మొత్తం 90 అటువంటి సంఖ్యలు ఉన్నాయి. 9 సంఖ్యలు ఒకే అంకెలను కలిగి ఉంటాయి (ఇవి 11, 22, ..., 99 సంఖ్యలు). ఈ సందర్భంలో నుండి m=9, n=90, అప్పుడు

ఎక్కడ ఎ- ఈవెంట్, "అదే అంకెలు ఉన్న సంఖ్య."

ఉదాహరణ 3.3. 10 భాగాల బ్యాచ్‌లో, 7 ప్రామాణికమైనవి. యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న ఆరు భాగాలలో, 4 ప్రామాణికంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

సాధ్యమయ్యే ప్రాథమిక పరీక్ష ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య 10 నుండి 6 భాగాలను సంగ్రహించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం, అనగా, ఒక్కొక్కటి 6 మూలకాల 10 మూలకాల కలయికల సంఖ్య. మనకు ఆసక్తి కలిగించే సంఘటనకు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్యను మేము నిర్ణయిస్తాము ఎ(తీసుకున్న ఆరు భాగాలలో 4 ప్రామాణికమైనవి ఉన్నాయి). నాలుగు ప్రామాణిక భాగాలను ఏడు ప్రామాణిక భాగాల నుండి వివిధ మార్గాల్లో తీసుకోవచ్చు; అదే సమయంలో, మిగిలిన 6-4=2 భాగాలు తప్పనిసరిగా ప్రామాణికం కానివిగా ఉండాలి, కానీ మీరు 10-7=3 ప్రామాణికం కాని భాగాల నుండి వివిధ మార్గాల్లో రెండు ప్రామాణికం కాని భాగాలను తీసుకోవచ్చు. కాబట్టి, అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు అవసరమైన సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది

సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి:

1. నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం.

నిజానికి, ఈవెంట్ నమ్మదగినది అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రతి ప్రాథమిక ఫలితం ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో m=n, కాబట్టి

2. అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా.

నిజానికి, ఒక ఈవెంట్ అసాధ్యం అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రాథమిక ఫలితాలు ఏవీ ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా లేవు. ఈ సందర్భంలో, దీని అర్థం

3. యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య ధనాత్మక సంఖ్య.

నిజానికి, పరీక్ష యొక్క మొత్తం ప్రాథమిక ఫలితాలలో కొంత భాగం మాత్రమే యాదృచ్ఛిక సంఘటనకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ విషయంలో< m< n, 0 అని అర్థం < m/n < 1, అంటే 0< పి(ఎ) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

సంభావ్యత యొక్క తార్కికంగా పూర్తి సిద్ధాంతం యొక్క నిర్మాణం యాదృచ్ఛిక సంఘటన మరియు దాని సంభావ్యత యొక్క అక్షసంబంధ నిర్వచనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. A. N. కోల్మోగోరోవ్ ప్రతిపాదించిన సిద్ధాంతాల వ్యవస్థలో, నిర్వచించబడని భావనలు ఒక ప్రాథమిక సంఘటన మరియు సంభావ్యత. సంభావ్యతను నిర్వచించే సిద్ధాంతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. ప్రతి ఈవెంట్ ఎనాన్-నెగటివ్ రియల్ నంబర్ కేటాయించబడింది పి(ఎ). ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అంటారు ఎ.

2. నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం.

3. జతగా అననుకూల ఈవెంట్‌లలో కనీసం ఒకటి సంభవించే సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం.

ఈ సిద్ధాంతాల ఆధారంగా, సంభావ్యత యొక్క లక్షణాలు మరియు వాటి మధ్య ఆధారపడటం సిద్ధాంతాలుగా ఉద్భవించాయి.

స్వీయ-పరీక్ష ప్రశ్నలు

1. ఒక సంఘటన సంభవించే అవకాశం యొక్క సంఖ్యా లక్షణం పేరు ఏమిటి?

2. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?

3. నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?

4. అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?

5. యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క పరిమితులు ఏమిటి?

6. ఏదైనా సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క పరిమితులు ఏమిటి?

7. సంభావ్యత యొక్క ఏ నిర్వచనాన్ని క్లాసికల్ అంటారు?

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం.

పైన చెప్పినట్లుగా, పెద్ద సంఖ్యలో n పరీక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ P*(A)=m/ nఒక సంఘటన సంభవించడం ఎ స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను ఇస్తుంది ఎ , అనగా .

ఈ పరిస్థితి ప్రయోగాత్మకంగా ఈవెంట్ యొక్క సుమారు సంభావ్యతను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది. ఆచరణలో, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనే ఈ పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ అనుకూలమైనది కాదు. అన్నింటికంటే, ప్రయోగానికి ముందు కూడా కొన్ని సంఘటనల సంభావ్యతను మనం ముందుగానే తెలుసుకోవాలి. ఇది సైన్స్ యొక్క హ్యూరిస్టిక్, ప్రిడిక్టివ్ పాత్ర. అనేక సందర్భాల్లో, ఈవెంట్‌ల సమతౌల్యత (లేదా ఈక్విపోసిబిలిటీ) భావనను ఉపయోగించి ప్రయోగానికి ముందు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించవచ్చు.

రెండు సంఘటనలు అంటారు సమానంగా సంభావ్య (లేదా సమానంగా సాధ్యం ), వాటిలో ఒకటి మరొకదాని కంటే ఎక్కువగా సంభవించవచ్చని విశ్వసించడానికి ఎటువంటి లక్ష్యం కారణాలు లేకుంటే.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఒక నాణెం విసిరేటప్పుడు ఒక కోటు లేదా శాసనం కనిపించడం సమానంగా సంభావ్య సంఘటనలు.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. వారు పాచికలు వేయనివ్వండి. క్యూబ్ యొక్క సమరూపత కారణంగా, ఏదైనా సంఖ్యల రూపాన్ని మనం ఊహించవచ్చు 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 సమానంగా సాధ్యం (సమానంగా అవకాశం).

ఈవెంట్స్ ఈ ప్రయోగంలో అవి ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహం , వాటిలో కనీసం ఒకటి ప్రయోగం ఫలితంగా సంభవించినట్లయితే. కాబట్టి, చివరి ఉదాహరణలో, సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహం ఆరు సంఘటనలను కలిగి ఉంటుంది - సంఖ్యల రూపాన్ని 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6.

స్పష్టంగా, ఏదైనా సంఘటన ఎ మరియు దాని వ్యతిరేక సంఘటన పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ఈవెంట్ బి అని పిలిచారు అనుకూలమైన సంఘటన ఎ , ఒక సంఘటన సంభవించినట్లయితే బి ఒక సంఘటన సంభవించడాన్ని సూచిస్తుంది ఎ . కాబట్టి, ఉంటే ఎ - పాచికలు విసిరేటప్పుడు సమాన సంఖ్యలో పాయింట్ల రూపాన్ని, ఆపై సంఖ్య యొక్క రూపాన్ని 4 ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉండే ఈవెంట్‌ను సూచిస్తుంది ఎ.

ఈవెంట్స్ లెట్ ఈ ప్రయోగంలో సమానంగా సంభావ్య మరియు జత వైపు అననుకూల సంఘటనల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. వారిని పిలుద్దాం ఫలితాలను పరీక్షలు. ఆ సంఘటన అనుకుందాం ఎ విచారణ ఫలితాలకు అనుకూలంగా. అప్పుడు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎ ఈ ప్రయోగంలో వైఖరి అంటారు. కాబట్టి మేము ఈ క్రింది నిర్వచనానికి వచ్చాము.

ఇచ్చిన ప్రయోగంలో ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత P(A) అనేది ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన ప్రయోగాత్మక ఫలితాల సంఖ్య మరియు సమాన సంభావ్య జత వైపు అననుకూల సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే మొత్తం ప్రయోగాత్మక ఫలితాల సంఖ్యకు నిష్పత్తి: .

సంభావ్యత యొక్క ఈ నిర్వచనం తరచుగా పిలువబడుతుంది క్లాసిక్. సాంప్రదాయిక నిర్వచనం సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరుస్తుందని చూపవచ్చు.

ఉదాహరణ 1.1.నుండి ఒక బ్యాచ్ 1000 బేరింగ్లు. అనుకోకుండా ఈ బ్యాచ్‌లోకి వచ్చాను 30 ప్రమాణానికి అనుగుణంగా లేని బేరింగ్లు. సంభావ్యతను నిర్ణయించండి పి(ఎ) యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న బేరింగ్ ప్రామాణికంగా మారుతుంది.

పరిష్కారం:ప్రామాణిక బేరింగ్ల సంఖ్య 1000-30=970 . ప్రతి బేరింగ్‌ని ఎంపిక చేయడానికి ఒకే విధమైన సంభావ్యత ఉందని మేము ఊహిస్తాము. అప్పుడు సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహం సమానంగా సంభావ్య ఫలితాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ఈవెంట్ ఎ అనుకూలమైన ఫలితాలు. అందుకే .

ఉదాహరణ 1.2.కలశంలో 10 బంతులు: 3 తెలుపు మరియు 7 నలుపు. కలశం నుండి ఒకేసారి రెండు బంతులను తీసుకుంటారు. సంభావ్యత ఏమిటి ఆర్ రెండు బంతులు తెల్లగా మారతాయా?

పరిష్కారం:అన్ని సమానంగా సంభావ్య పరీక్ష ఫలితాల సంఖ్య ఏ మార్గాల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది 10 రెండు బంతులను తీయండి, అనగా కలయికల సంఖ్య 10 ద్వారా అంశాలు 2 (పూర్తి ఈవెంట్ గ్రూప్):

అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (ఒకరు ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు 3 బంతులను ఎంచుకోండి 2) : . అందువలన, అవసరమైన సంభావ్యత .

మున్ముందు చూస్తే, ఈ సమస్య మరొక విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

పరిష్కారం:మొదటి ట్రయల్‌లో (బంతిని బయటకు లాగడం) తెల్లటి బంతిని డ్రా చేసే సంభావ్యత (మొత్తం బంతులు)కి సమానం 10 , వారిది 3 తెలుపు). రెండవ ట్రయల్ సమయంలో వైట్ బాల్ మళ్లీ డ్రా అయ్యే సంభావ్యత (మొత్తం బంతుల సంఖ్య ఇప్పుడు ఉంది 9, ఎందుకంటే వారు ఒకదాన్ని బయటకు తీశారు, అది తెల్లగా మారింది 2, ఎందుకంటే వారు తెల్లటిదాన్ని బయటకు తీశారు). పర్యవసానంగా, ఈవెంట్‌లను కలపడం యొక్క సంభావ్యత వాటి సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. .

ఉదాహరణ 1.3.కలశంలో 2 ఆకుపచ్చ, 7 ఎరుపు, 5 గోధుమ మరియు 10 తెల్లని బంతులు. రంగు బంతి కనిపించే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం: మేము వరుసగా, ఆకుపచ్చ, ఎరుపు మరియు గోధుమ బంతుల్లో కనిపించే సంభావ్యతలను కనుగొంటాము: ; . పరిశీలనలో ఉన్న సంఘటనలు స్పష్టంగా విరుద్ధంగా ఉన్నందున, అదనపు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము రంగు బంతి కనిపించే సంభావ్యతను కనుగొంటాము:

లేదా, మరొక విధంగా. తెల్లటి బంతి కనిపించే సంభావ్యత . అప్పుడు నాన్-వైట్ బాల్ (అంటే రంగు) కనిపించే సంభావ్యత, అనగా. వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది .

సంభావ్యత యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం యొక్క ప్రతికూలతను అధిగమించడానికి (అనంతమైన ఫలితాలతో పరీక్షలకు ఇది వర్తించదు), సంభావ్యత యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం ప్రవేశపెట్టబడింది - ఒక ప్రాంతం (సెగ్మెంట్, విమానం యొక్క భాగం, మొదలైనవి).

సెగ్మెంట్‌ని సెగ్మెంట్‌లో భాగంగా ఉండనివ్వండి. సెగ్మెంట్‌పై ఒక పాయింట్ యాదృచ్ఛికంగా ఉంచబడుతుంది, అంటే కింది అంచనాలు నెరవేరుతాయి: ఉంచిన పాయింట్ సెగ్మెంట్‌పై ఏ పాయింట్‌లోనైనా ఉండవచ్చు, సెగ్మెంట్‌పై పడే బిందువు సంభావ్యత ఈ సెగ్మెంట్ పొడవుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు అలా చేయదు. విభాగానికి సంబంధించి దాని స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ అంచనాల ప్రకారం, ఒక సెగ్మెంట్‌పై పాయింట్ పడే సంభావ్యత సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ప్రారంభంలో, పాచికల ఆట గురించి సమాచారం మరియు అనుభావిక పరిశీలనల సేకరణ మాత్రమే, సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం సమగ్ర శాస్త్రంగా మారింది. దీనికి మొదటి గణిత చట్రాన్ని అందించిన వారు ఫెర్మాట్ మరియు పాస్కల్.

శాశ్వతమైన దాని గురించి ఆలోచించడం నుండి సంభావ్యత సిద్ధాంతం వరకు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం దాని యొక్క అనేక ప్రాథమిక సూత్రాలకు రుణపడి ఉన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు, బ్లైస్ పాస్కల్ మరియు థామస్ బేయెస్, లోతైన మతపరమైన వ్యక్తులు అని పిలుస్తారు, రెండో వ్యక్తి ప్రెస్బిటేరియన్ మంత్రి. స్పష్టంగా, ఈ ఇద్దరు శాస్త్రవేత్తలు ఒక నిర్దిష్ట ఫార్చ్యూన్ తనకు ఇష్టమైన వారికి అదృష్టాన్ని అందించడం గురించి అభిప్రాయం యొక్క తప్పును నిరూపించాలనే కోరిక ఈ ప్రాంతంలో పరిశోధనలకు ప్రేరణనిచ్చింది. అన్నింటికంటే, వాస్తవానికి, దాని విజయాలు మరియు నష్టాలతో కూడిన ఏదైనా జూదం గేమ్ కేవలం గణిత సూత్రాల సింఫొనీ.

సమానంగా జూదగాడు మరియు సైన్స్ పట్ల ఉదాసీనత లేని వ్యక్తి అయిన చెవాలియర్ డి మేరే యొక్క అభిరుచికి ధన్యవాదాలు, పాస్కల్ సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఒక మార్గాన్ని కనుగొనవలసి వచ్చింది. డి మేరే ఈ క్రింది ప్రశ్నపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాడు: "12 పాయింట్లను పొందే సంభావ్యత 50% కంటే ఎక్కువగా ఉండటానికి మీరు రెండు పాచికలను జంటగా ఎన్నిసార్లు విసరాలి?" రెండవ ప్రశ్న, పెద్దమనిషికి చాలా ఆసక్తిని కలిగించింది: "అసంపూర్తిగా ఉన్న ఆటలో పాల్గొనేవారి మధ్య పందెం ఎలా విభజించాలి?" వాస్తవానికి, పాస్కల్ డి మేరే యొక్క రెండు ప్రశ్నలకు విజయవంతంగా సమాధానమిచ్చాడు, అతను సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అభివృద్ధికి తెలియకుండానే ప్రారంభించాడు. డి మేరే యొక్క వ్యక్తి ఈ ప్రాంతంలో ప్రసిద్ధి చెందాడు మరియు సాహిత్యంలో కాదు.

ఇంతకుముందు, ఏ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు సంఘటనల సంభావ్యతలను లెక్కించడానికి ప్రయత్నించలేదు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం ఊహించే పరిష్కారం మాత్రమే అని నమ్ముతారు. బ్లేజ్ పాస్కల్ ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క మొదటి నిర్వచనాన్ని ఇచ్చాడు మరియు అది గణితశాస్త్రపరంగా సమర్థించబడే ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తి అని చూపించాడు. సంభావ్యత సిద్ధాంతం గణాంకాలకు ప్రాతిపదికగా మారింది మరియు ఆధునిక శాస్త్రంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

యాదృచ్ఛికత అంటే ఏమిటి

మేము అనంతమైన సార్లు పునరావృతమయ్యే పరీక్షను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము యాదృచ్ఛిక సంఘటనను నిర్వచించవచ్చు. ఇది ప్రయోగం యొక్క సంభావ్య ఫలితాలలో ఒకటి.

అనుభవం అనేది స్థిరమైన పరిస్థితులలో నిర్దిష్ట చర్యల అమలు.

ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలతో పని చేయడానికి, సంఘటనలు సాధారణంగా A, B, C, D, E... అక్షరాలతో సూచించబడతాయి.

యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత

సంభావ్యత యొక్క గణిత భాగాన్ని ప్రారంభించడానికి, దాని అన్ని భాగాలను నిర్వచించడం అవసరం.

ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత అనేది ఒక అనుభవం ఫలితంగా సంభవించే కొన్ని సంఘటన (A లేదా B) యొక్క సంభావ్యత యొక్క సంఖ్యాపరమైన కొలత. సంభావ్యత P(A) లేదా P(B)గా సూచించబడుతుంది.

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో వారు వేరు చేస్తారు:

• నమ్మదగిన P(Ω) = 1 అనుభవం ఫలితంగా ఈవెంట్ జరుగుతుందని హామీ ఇవ్వబడింది;
• అసాధ్యంఈవెంట్ ఎప్పుడూ జరగదు P(Ø) = 0;
• యాదృచ్ఛికంగాఒక సంఘటన నమ్మదగిన మరియు అసాధ్యమైన వాటి మధ్య ఉంటుంది, అనగా, దాని సంభవించే సంభావ్యత సాధ్యమే, కానీ హామీ ఇవ్వబడదు (యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0≤Р(А)≤ 1 పరిధిలో ఉంటుంది).

సంఘటనల మధ్య సంబంధాలు

ఈవెంట్‌ను లెక్కించినప్పుడు ఒకటి మరియు ఈవెంట్‌ల మొత్తం A+B రెండూ పరిగణించబడతాయి, కనీసం ఒక కాంపోనెంట్‌ అయిన A లేదా B లేదా రెండూ, A మరియు B, నెరవేర్చబడినప్పుడు.

ఒకదానికొకటి సంబంధించి, సంఘటనలు కావచ్చు:

• సమానంగా సాధ్యం.
• అనుకూలంగా.
• అననుకూలమైనది.
• వ్యతిరేక (పరస్పర ప్రత్యేకం).
• డిపెండెంట్.

రెండు సంఘటనలు సమాన సంభావ్యతతో జరిగితే, అవి సమానంగా సాధ్యం.

ఈవెంట్ A సంభవించినప్పుడు, ఈవెంట్ B సంభవించే సంభావ్యతను సున్నాకి తగ్గించకపోతే, అవి అనుకూలంగా.

A మరియు B ఈవెంట్‌లు ఒకే అనుభవంలో ఎప్పుడూ ఏకకాలంలో జరగకపోతే, వాటిని అంటారు అననుకూలమైనది. ఒక నాణెం విసిరివేయడం ఒక మంచి ఉదాహరణ: తలలు స్వయంచాలకంగా కనిపించకపోవడం.

అటువంటి అననుకూల సంఘటనల మొత్తానికి సంభావ్యత ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

P(A+B)=P(A)+P(B)

ఒక సంఘటన జరిగినప్పుడు మరొకటి జరగడం అసాధ్యం అయితే, వాటిని వ్యతిరేకం అంటారు. అప్పుడు వాటిలో ఒకటి A గా మరియు మరొకటి - Ā ("A కాదు" అని చదవండి). సంఘటన A సంభవించడం అంటే Ā జరగలేదని అర్థం. ఈ రెండు సంఘటనలు 1కి సమానమైన సంభావ్యతల మొత్తంతో పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ఆధారపడిన సంఘటనలు పరస్పర ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఒకదానికొకటి సంభావ్యతను తగ్గించడం లేదా పెంచడం.

సంఘటనల మధ్య సంబంధాలు. ఉదాహరణలు

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు సంఘటనల కలయికల సూత్రాలను అర్థం చేసుకోవడం చాలా సులభం.

నిర్వహించబడే ప్రయోగంలో ఒక పెట్టె నుండి బంతులను తీయడం ఉంటుంది మరియు ప్రతి ప్రయోగం యొక్క ఫలితం ప్రాథమిక ఫలితం.

ఒక ఈవెంట్ అనేది ఒక ప్రయోగం యొక్క సాధ్యమైన ఫలితాలలో ఒకటి - ఎరుపు బంతి, నీలిరంగు బంతి, ఆరో సంఖ్యతో కూడిన బంతి మొదలైనవి.

పరీక్ష నం. 1. ఇందులో 6 బంతులు ఉన్నాయి, వాటిలో మూడు బేసి సంఖ్యలతో నీలం రంగులో ఉంటాయి మరియు మిగిలిన మూడు సరి సంఖ్యలతో ఎరుపు రంగులో ఉంటాయి.

పరీక్ష సంఖ్య 2. ఒకటి నుండి ఆరు వరకు సంఖ్యలతో 6 నీలిరంగు బంతులు ఉన్నాయి.

ఈ ఉదాహరణ ఆధారంగా, మేము కలయికలకు పేరు పెట్టవచ్చు:

• నమ్మదగిన సంఘటన.స్పానిష్ లో నం. 2 ఈవెంట్ "నీలిరంగు బంతిని పొందండి" నమ్మదగినది, ఎందుకంటే దాని సంభవించే సంభావ్యత 1కి సమానం, ఎందుకంటే అన్ని బంతులు నీలం రంగులో ఉంటాయి మరియు మిస్ కాకపోవచ్చు. అయితే "1వ నంబర్‌తో బంతిని పొందండి" అనే ఈవెంట్ యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది.
• అసాధ్యమైన సంఘటన.స్పానిష్ లో నీలం మరియు ఎరుపు బంతులతో నం. 1, ఈవెంట్ "పర్పుల్ బాల్ పొందడం" అసాధ్యం, ఎందుకంటే దాని సంభవించే సంభావ్యత 0.
• సమానంగా సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు.స్పానిష్ లో నం. 1, ఈవెంట్‌లు “2వ నంబర్‌తో బంతిని పొందండి” మరియు “3వ నంబర్‌తో బంతిని పొందండి” అనేవి సమానంగా సాధ్యమే, మరియు ఈవెంట్‌లు “బంతిని సరి సంఖ్యతో పొందండి” మరియు “బంతిని 2 సంఖ్యతో పొందండి ” విభిన్న సంభావ్యతలను కలిగి ఉంటాయి.
• అనుకూలమైన ఈవెంట్‌లు.డై విసిరేటప్పుడు వరుసగా రెండుసార్లు సిక్స్ పొందడం అనుకూలమైన సంఘటన.
• అననుకూల సంఘటనలు.అదే స్పానిష్‌లో నం. 1, "ఎరుపు బంతిని పొందండి" మరియు "బేసి సంఖ్యతో బంతిని పొందండి" ఈవెంట్‌లను ఒకే అనుభవంలో కలపడం సాధ్యం కాదు.
• వ్యతిరేక సంఘటనలు.దీనికి అత్యంత అద్భుతమైన ఉదాహరణ కాయిన్ టాస్సింగ్, ఇక్కడ తలలు గీయడం తోకలను గీయకుండా ఉండటానికి సమానం మరియు వాటి సంభావ్యత మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 1 (పూర్తి సమూహం).
• డిపెండెంట్ ఈవెంట్స్. కాబట్టి, స్పానిష్‌లో నం. 1, మీరు ఎర్ర బంతిని వరుసగా రెండుసార్లు గీయడం లక్ష్యాన్ని సెట్ చేయవచ్చు. మొదటి సారి తిరిగి పొందబడినా, చేయకున్నా రెండవసారి తిరిగి పొందే సంభావ్యతను ప్రభావితం చేస్తుంది.

మొదటి సంఘటన రెండవ (40% మరియు 60%) సంభావ్యతను గణనీయంగా ప్రభావితం చేస్తుందని చూడవచ్చు.

ఈవెంట్ సంభావ్యత ఫార్ములా

అదృష్టాన్ని చెప్పడం నుండి ఖచ్చితమైన డేటాకు మారడం టాపిక్ యొక్క గణిత విమానంలోకి అనువదించడం ద్వారా జరుగుతుంది. అంటే, "అధిక సంభావ్యత" లేదా "కనిష్ట సంభావ్యత" వంటి యాదృచ్ఛిక సంఘటన గురించి తీర్పులు నిర్దిష్ట సంఖ్యా డేటాలోకి అనువదించబడతాయి. అటువంటి పదార్థాన్ని మరింత సంక్లిష్టమైన గణనలలో విశ్లేషించడానికి, సరిపోల్చడానికి మరియు నమోదు చేయడానికి ఇది ఇప్పటికే అనుమతించబడుతుంది.

గణన దృక్కోణం నుండి, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించడం అనేది ఒక నిర్దిష్ట సంఘటనకు సంబంధించి అనుభవానికి సంబంధించిన అన్ని సంభావ్య ఫలితాల సంఖ్యకు ప్రాథమిక సానుకూల ఫలితాల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి. సంభావ్యత P(A) చేత సూచించబడుతుంది, ఇక్కడ P అంటే "ప్రాబబిలిటీ" అనే పదాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది ఫ్రెంచ్ నుండి "సంభావ్యత"గా అనువదించబడింది.

కాబట్టి, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత కోసం సూత్రం:

m అనేది ఈవెంట్ A కోసం అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య, n అనేది ఈ అనుభవం కోసం సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల మొత్తం. ఈ సందర్భంలో, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటుంది:

0 ≤ P(A)≤ 1.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత యొక్క గణన. ఉదాహరణ

స్పానిష్ తీసుకుందాం. ముందుగా వివరించిన బంతులతో నం. 1: 1/3/5 సంఖ్యలతో 3 నీలిరంగు బంతులు మరియు 2/4/6 సంఖ్యలతో 3 ఎరుపు బంతులు.

ఈ పరీక్ష ఆధారంగా, అనేక విభిన్న సమస్యలను పరిగణించవచ్చు:

• A - ఎర్రటి బంతి బయట పడుతోంది. 3 ఎర్రటి బంతులు ఉన్నాయి మరియు మొత్తం 6 ఎంపికలు ఉన్నాయి. ఇది ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత P(A)=3/6=0.5గా ఉండే సరళమైన ఉదాహరణ.
• B - సరి సంఖ్యను రోలింగ్ చేయడం. 3 సరి సంఖ్యలు ఉన్నాయి (2,4,6), మరియు సాధ్యమయ్యే సంఖ్యా ఎంపికల మొత్తం సంఖ్య 6. ఈ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత P(B)=3/6=0.5.
• C - 2 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య యొక్క సంభవం. 6 యొక్క సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఫలితాలలో 4 అటువంటి ఎంపికలు (3,4,5,6) ఉన్నాయి. ఈవెంట్ C సంభావ్యత P(C)=4కి సమానం. /6=0.67.

గణనల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ఈవెంట్ C అధిక సంభావ్యతను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే సంభావ్య సానుకూల ఫలితాల సంఖ్య A మరియు B కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

అననుకూల సంఘటనలు

ఇలాంటి సంఘటనలు ఒకే అనుభవంలో ఏకకాలంలో కనిపించవు. స్పానిష్‌లో వలె నం. 1 ఒకే సమయంలో నీలం మరియు ఎరుపు బంతిని పొందడం అసాధ్యం. అంటే, మీరు నీలం లేదా ఎరుపు బంతిని పొందవచ్చు. అదే విధంగా, ఒక సరి మరియు బేసి సంఖ్య ఒకే సమయంలో ఒక పాచికలో కనిపించదు.

రెండు సంఘటనల సంభావ్యత వాటి మొత్తం లేదా ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యతగా పరిగణించబడుతుంది. అటువంటి సంఘటనల మొత్తం A+B ఈవెంట్ A లేదా B సంభవించిన సంఘటనగా పరిగణించబడుతుంది మరియు వాటి యొక్క AB అనేది రెండింటి యొక్క సంభవనీయత. ఉదాహరణకు, ఒక త్రోలో రెండు పాచికల ముఖాలపై ఒకేసారి రెండు సిక్సర్లు కనిపించడం.

అనేక సంఘటనల సమాహారం వాటిలో కనీసం ఒకదానికి సంబంధించిన సంఘటనను సూచిస్తుంది. అనేక సంఘటనల ఉత్పత్తి వాటన్నింటికీ ఉమ్మడి సంఘటన.

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, ఒక నియమం వలె, "మరియు" సంయోగం యొక్క ఉపయోగం మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది మరియు "లేదా" సంయోగం - గుణకారం. ఉదాహరణలతో కూడిన సూత్రాలు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కూడిక మరియు గుణకారం యొక్క తర్కాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడతాయి.

అననుకూల సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత

అననుకూల సంఘటనల సంభావ్యతను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఈవెంట్‌ల మొత్తం సంభావ్యత వాటి సంభావ్యతల జోడింపుతో సమానంగా ఉంటుంది:

P(A+B)=P(A)+P(B)

ఉదాహరణకు: స్పానిష్‌లో సంభావ్యతను గణిద్దాం. నీలం మరియు ఎరుపు రంగు బంతులతో నం. 1, 1 మరియు 4 మధ్య సంఖ్య కనిపిస్తుంది. మేము ఒక చర్యలో కాకుండా, ప్రాథమిక భాగాల సంభావ్యత మొత్తం ద్వారా గణిస్తాము. కాబట్టి, అటువంటి ప్రయోగంలో కేవలం 6 బంతులు లేదా అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలలో 6 మాత్రమే ఉన్నాయి. షరతును సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యలు 2 మరియు 3. సంఖ్య 2 పొందే సంభావ్యత 1/6, సంఖ్య 3 పొందే సంభావ్యత కూడా 1/6. 1 మరియు 4 మధ్య సంఖ్యను పొందే సంభావ్యత:

పూర్తి సమూహం యొక్క అననుకూల సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత 1.

కాబట్టి, ఒక క్యూబ్‌తో చేసిన ప్రయోగంలో కనిపించే అన్ని సంఖ్యల సంభావ్యతలను కలిపితే, ఫలితం ఒకటిగా ఉంటుంది.

వ్యతిరేక సంఘటనలకు కూడా ఇది వర్తిస్తుంది, ఉదాహరణకు నాణెంతో చేసిన ప్రయోగంలో, ఒక వైపు ఈవెంట్ A, మరియు మరొకటి వ్యతిరేక సంఘటన Ā, తెలిసినట్లుగా,

P(A) + P(Ā) = 1

అననుకూల సంఘటనలు సంభవించే సంభావ్యత

ఒక పరిశీలనలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అననుకూల సంఘటనలు సంభవించినప్పుడు సంభావ్యత గుణకారం ఉపయోగించబడుతుంది. అందులో A మరియు B ఈవెంట్‌లు ఏకకాలంలో కనిపించే సంభావ్యత వాటి సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, లేదా:

P(A*B)=P(A)*P(B)

ఉదాహరణకు, స్పానిష్‌లో సంభావ్యత నం. 1, రెండు ప్రయత్నాల ఫలితంగా, నీలిరంగు బంతి రెండుసార్లు కనిపిస్తుంది, సమానంగా ఉంటుంది

అంటే, బంతులను సంగ్రహించడానికి రెండు ప్రయత్నాల ఫలితంగా, కేవలం నీలిరంగు బంతులను సంగ్రహించినప్పుడు సంభవించే సంఘటన యొక్క సంభావ్యత 25%. ఈ సమస్యపై ఆచరణాత్మక ప్రయోగాలు చేయడం చాలా సులభం మరియు ఇది వాస్తవంగా ఉందో లేదో చూడండి.

ఉమ్మడి సంఘటనలు

వాటిలో ఒకటి సంభవించినప్పుడు మరొకటి సంభవించినప్పుడు సంఘటనలు ఉమ్మడిగా పరిగణించబడతాయి. అవి ఉమ్మడిగా ఉన్నప్పటికీ, స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత పరిగణించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, రెండు పాచికలు విసరడం వల్ల రెండింటిపై 6 వ సంఖ్య కనిపించినప్పుడు ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. సంఘటనలు ఏకకాలంలో మరియు ఒకే సమయంలో కనిపించినప్పటికీ, అవి ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి - ఒక ఆరు మాత్రమే బయట పడవచ్చు, రెండవ డైస్ లేదు. దాని మీద ప్రభావం.

ఉమ్మడి సంఘటనల సంభావ్యత వాటి మొత్తం యొక్క సంభావ్యతగా పరిగణించబడుతుంది.

ఉమ్మడి సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత. ఉదాహరణ

ఒకదానికొకటి సంబంధించి ఉమ్మడిగా ఉన్న A మరియు B సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం, అవి సంభవించే సంభావ్యత (అంటే వాటి ఉమ్మడి సంఘటన):

R ఉమ్మడి (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

ఒక్క షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 0.4 అని అనుకుందాం. అప్పుడు ఈవెంట్ A మొదటి ప్రయత్నంలో లక్ష్యాన్ని చేధిస్తోంది, B - రెండవది. ఈ సంఘటనలు ఉమ్మడిగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే మీరు మొదటి మరియు రెండవ షాట్‌లతో లక్ష్యాన్ని చేధించే అవకాశం ఉంది. కానీ సంఘటనలు ఆధారపడి ఉండవు. రెండు షాట్‌లతో (కనీసం ఒక షాట్‌తో) లక్ష్యాన్ని చేధించే సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎంత? సూత్రం ప్రకారం:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

ప్రశ్నకు సమాధానం: "రెండు షాట్లతో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 64%."

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత కోసం ఈ ఫార్ములా అననుకూల ఈవెంట్‌లకు కూడా వర్తించబడుతుంది, ఇక్కడ ఈవెంట్ P(AB) = 0 యొక్క ఉమ్మడి సంఘటన సంభావ్యత. అంటే అననుకూల సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యతను ప్రత్యేక సందర్భంగా పరిగణించవచ్చు ప్రతిపాదిత సూత్రం.

స్పష్టత కోసం సంభావ్యత యొక్క జ్యామితి

ఆసక్తికరంగా, ఉమ్మడి సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యతను A మరియు B అనే రెండు ప్రాంతాలుగా సూచించవచ్చు, ఇవి ఒకదానితో ఒకటి కలుస్తాయి. చిత్రం నుండి చూడగలిగినట్లుగా, వారి యూనియన్ యొక్క ప్రాంతం వారి ఖండన వైశాల్యం మైనస్ మొత్తం వైశాల్యానికి సమానం. ఈ రేఖాగణిత వివరణ అకారణంగా అశాస్త్రీయమైన సూత్రాన్ని మరింత అర్థమయ్యేలా చేస్తుంది. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో రేఖాగణిత పరిష్కారాలు అసాధారణం కాదని గమనించండి.

అనేక (రెండు కంటే ఎక్కువ) ఉమ్మడి సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యతను నిర్ణయించడం చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది. దీన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ఈ సందర్భాలలో అందించిన సూత్రాలను ఉపయోగించాలి.

డిపెండెంట్ ఈవెంట్స్

ఈవెంట్‌లలో ఒకటి (A) సంభవించడం మరొక (B) సంభవించే సంభావ్యతను ప్రభావితం చేస్తే వాటిని డిపెండెంట్ అంటారు. అంతేకాకుండా, ఈవెంట్ A సంభవించడం మరియు అది జరగకపోవడం రెండింటి ప్రభావం పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది. ఈవెంట్‌లను నిర్వచనం ప్రకారం డిపెండెంట్‌గా పిలిచినప్పటికీ, వాటిలో ఒకటి మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది (B). సాధారణ సంభావ్యత P(B) లేదా స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతగా సూచించబడుతుంది. ఆధారిత సంఘటనల విషయంలో, ఒక కొత్త భావన పరిచయం చేయబడింది - షరతులతో కూడిన సంభావ్యత P A (B), ఇది ఒక ఆధారిత ఈవెంట్ B యొక్క సంభావ్యత, ఇది ఈవెంట్ A (పరికల్పన) యొక్క సంఘటనకు లోబడి ఉంటుంది.

కానీ ఈవెంట్ A కూడా యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది, కాబట్టి దీనికి అవసరమైన సంభావ్యత కూడా ఉంది మరియు ప్రదర్శించిన గణనలలో పరిగణనలోకి తీసుకోవచ్చు. కింది ఉదాహరణ ఆధారిత సంఘటనలు మరియు పరికల్పనతో ఎలా పని చేయాలో చూపుతుంది.

ఆధారిత సంఘటనల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణ

డిపెండెంట్ ఈవెంట్‌లను లెక్కించడానికి ఒక మంచి ఉదాహరణ ప్రామాణిక డెక్ ఆఫ్ కార్డ్‌లు.

36 కార్డ్‌ల డెక్‌ని ఉదాహరణగా ఉపయోగించి, డిపెండెంట్ ఈవెంట్‌లను చూద్దాం. మొదటి కార్డ్ డ్రా అయినట్లయితే డెక్ నుండి తీసిన రెండవ కార్డ్ వజ్రాలతో ఉండే సంభావ్యతను మనం గుర్తించాలి:

1. బుబ్నోవాయ.
2. వేరే రంగు.

సహజంగానే, రెండవ ఈవెంట్ B యొక్క సంభావ్యత మొదటి Aపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి, మొదటి ఎంపిక నిజమైతే, డెక్‌లో 1 కార్డ్ (35) మరియు 1 డైమండ్ (8) తక్కువగా ఉంటుంది, ఈవెంట్ B యొక్క సంభావ్యత:

R A (B) =8/35=0.23

రెండవ ఎంపిక నిజమైతే, డెక్‌లో 35 కార్డ్‌లు ఉన్నాయి మరియు పూర్తి సంఖ్యలో వజ్రాలు (9) ఇప్పటికీ అలాగే ఉంచబడ్డాయి, అప్పుడు క్రింది ఈవెంట్ B యొక్క సంభావ్యత:

R A (B) =9/35=0.26.

ఈవెంట్ A మొదటి కార్డ్ డైమండ్ అనే వాస్తవంపై షరతు విధించబడితే, ఈవెంట్ B యొక్క సంభావ్యత తగ్గుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

ఆధారపడిన సంఘటనలను గుణించడం

మునుపటి అధ్యాయం ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయబడి, మేము మొదటి ఈవెంట్ (A)ని వాస్తవంగా అంగీకరిస్తాము, కానీ సారాంశంలో, ఇది యాదృచ్ఛిక స్వభావం. ఈ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత, అంటే కార్డుల డెక్ నుండి డైమండ్ గీయడం, దీనికి సమానం:

P(A) = 9/36=1/4

సిద్ధాంతం దాని స్వంతదానిపై ఉనికిలో లేదు, కానీ ఆచరణాత్మక ప్రయోజనాల కోసం ఉద్దేశించబడింది, ఇది చాలా తరచుగా అవసరమయ్యేది ఆధారిత సంఘటనలను ఉత్పత్తి చేసే సంభావ్యత అని గమనించాలి.

ఆధారిత సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తిపై సిద్ధాంతం ప్రకారం, సంయుక్తంగా ఆధారపడిన సంఘటనలు A మరియు B సంభవించే సంభావ్యత ఒక ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యతకు సమానం, ఈవెంట్ B (Aపై ఆధారపడి) యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతతో గుణించబడుతుంది:

P(AB) = P(A) *P A(B)

అప్పుడు, డెక్ ఉదాహరణలో, డైమండ్స్ సూట్‌తో రెండు కార్డులను గీయడానికి సంభావ్యత:

9/36*8/35=0.0571, లేదా 5.7%

మరియు మొదట వజ్రాలను కాకుండా, ఆపై వజ్రాలను వెలికితీసే సంభావ్యత దీనికి సమానం:

27/36*9/35=0.19, లేదా 19%

గీసిన మొదటి కార్డ్ వజ్రాలు కాకుండా ఇతర సూట్‌లది అయితే ఈవెంట్ B సంభవించే సంభావ్యత ఎక్కువగా ఉంటుందని చూడవచ్చు. ఈ ఫలితం చాలా తార్కికంగా మరియు అర్థమయ్యేలా ఉంది.

ఈవెంట్ యొక్క మొత్తం సంభావ్యత

షరతులతో కూడిన సంభావ్యతతో సమస్య బహుముఖంగా మారినప్పుడు, అది సంప్రదాయ పద్ధతులను ఉపయోగించి లెక్కించబడదు. రెండు కంటే ఎక్కువ పరికల్పనలు ఉన్నప్పుడు, అవి A1, A2,..., A n, .. అందించబడిన ఈవెంట్‌ల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

కాబట్టి, యాదృచ్ఛిక సంఘటనల A1, A2,..., A n పూర్తి సమూహంతో ఈవెంట్ B యొక్క మొత్తం సంభావ్యత యొక్క సూత్రం దీనికి సమానం:

భవిష్యత్తులో ఒక లుక్

విజ్ఞాన శాస్త్రంలోని అనేక రంగాలలో యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత చాలా అవసరం: ఎకనామెట్రిక్స్, స్టాటిస్టిక్స్, ఫిజిక్స్, మొదలైనవి. కొన్ని ప్రక్రియలు నిర్ణయాత్మకంగా వర్ణించబడవు కాబట్టి, అవి ప్రకృతిలో సంభావ్యత ఉన్నందున, ప్రత్యేక పని పద్ధతులు అవసరం. ఈవెంట్ సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం ఏదైనా సాంకేతిక రంగంలో లోపం లేదా పనిచేయకపోవడం యొక్క అవకాశాన్ని గుర్తించడానికి మార్గంగా ఉపయోగించవచ్చు.

సంభావ్యతను గుర్తించడం ద్వారా, మేము ఏదో ఒక విధంగా భవిష్యత్తులోకి సైద్ధాంతిక అడుగు వేస్తాము, సూత్రాల ప్రిజం ద్వారా దానిని చూస్తాము.

సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్ణయంపై సమస్యలు.
పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

మూడవ పాఠంలో సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనంతో కూడిన వివిధ సమస్యలను మేము పరిశీలిస్తాము. ఈ వ్యాసంలోని పదార్థాలను సమర్థవంతంగా అధ్యయనం చేయడానికి, మీరు ప్రాథమిక భావనలతో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను సంభావ్యత సిద్ధాంతంమరియు కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు. టర్వర్‌పై మీ స్వతంత్ర/నియంత్రణ పనిలో ఒక సంభావ్యతతో ప్రాబబిలిటీని క్లాసికల్‌గా నిర్ణయించే పని ఉంటుంది, కాబట్టి తీవ్రమైన పని కోసం సిద్ధంగా ఉందాం. మీరు అడగవచ్చు, దీని గురించి చాలా తీవ్రమైనది ఏమిటి? ...కేవలం ఒక ఆదిమ సూత్రం. పనికిమాలిన పనికి వ్యతిరేకంగా నేను మిమ్మల్ని హెచ్చరిస్తున్నాను - నేపథ్య పనులు చాలా వైవిధ్యమైనవి మరియు వాటిలో చాలా సులభంగా మిమ్మల్ని గందరగోళానికి గురిచేస్తాయి. ఈ విషయంలో, ప్రధాన పాఠం ద్వారా పని చేయడంతో పాటు, పిగ్గీ బ్యాంకులో ఉన్న అంశంపై అదనపు పనులను అధ్యయనం చేయడానికి ప్రయత్నించండి. ఉన్నత గణితానికి సిద్ధంగా ఉన్న పరిష్కారాలు. పరిష్కార పద్ధతులు పరిష్కార పద్ధతులు, కానీ "స్నేహితులు" ఇప్పటికీ "దృష్టి ద్వారా తెలుసుకోవలసిన అవసరం ఉంది", ఎందుకంటే గొప్ప ఊహ కూడా పరిమితం చేయబడింది మరియు తగినంత ప్రామాణిక పనులు కూడా ఉన్నాయి. సరే, నేను వాటిలో వీలైనన్ని మంచి నాణ్యతతో క్రమబద్ధీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

కళా ప్రక్రియ యొక్క క్లాసిక్‌లను గుర్తుంచుకోండి:

ఒక నిర్దిష్ట పరీక్షలో సంభవించే సంఘటన యొక్క సంభావ్యత నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది, ఇక్కడ:

- మొత్తం మొత్తం సంఖ్య సమానంగా సాధ్యం, ప్రాథమికఈ పరీక్ష ఫలితాలు, ఏ రూపంలో ఉంటాయి సంఘటనల పూర్తి సమూహం;

- పరిమాణం ప్రాథమికఈవెంట్కు అనుకూలమైన ఫలితాలు.

మరియు వెంటనే వెంటనే పిట్ స్టాప్. మీరు అండర్‌లైన్ చేసిన నిబంధనలను అర్థం చేసుకున్నారా? దీనర్థం స్పష్టమైన, సహజమైన అవగాహన కాదు. కాకపోతే, 1వ కథనానికి తిరిగి రావడం ఇంకా మంచిది సంభావ్యత సిద్ధాంతంమరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే ముందుకు సాగండి.

దయచేసి మొదటి ఉదాహరణలను దాటవేయవద్దు - వాటిలో నేను ప్రాథమికంగా ఒక ముఖ్యమైన అంశాన్ని పునరావృతం చేస్తాను మరియు పరిష్కారాన్ని ఎలా సరిగ్గా ఫార్మాట్ చేయాలో మరియు దీన్ని ఏ విధంగా చేయవచ్చో కూడా మీకు చెప్తాను:

సమస్య 1

ఒక కలశంలో 15 తెలుపు, 5 ఎరుపు మరియు 10 నలుపు బంతులు ఉంటాయి. 1 బంతి యాదృచ్ఛికంగా డ్రా చేయబడింది, అది ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి: ఎ) తెలుపు, బి) ఎరుపు, సి) నలుపు.

పరిష్కారం: సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించడం కోసం అత్యంత ముఖ్యమైన అవసరం మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను లెక్కించే సామర్థ్యం.

కలశంలో మొత్తం 15 + 5 + 10 = 30 బంతులు ఉన్నాయి మరియు ఈ క్రింది వాస్తవాలు స్పష్టంగా ఉన్నాయి:

- ఏదైనా బంతిని తిరిగి పొందడం సమానంగా సాధ్యమవుతుంది (సమాన అవకాశంఫలితాలను), ఫలితాలు అయితే ప్రాథమిక మరియు రూపం సంఘటనల పూర్తి సమూహం (అనగా, పరీక్ష ఫలితంగా, 30 బంతుల్లో ఒకటి ఖచ్చితంగా తీసివేయబడుతుంది).

ఈ విధంగా, మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య:

ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: - కలశం నుండి తెల్లటి బంతి తీయబడుతుంది. ఈ ఈవెంట్ అనుకూలంగా ఉంది ప్రాథమికఅందువల్ల, శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం ఫలితాలు:
- కలశం నుండి తెల్లటి బంతి తీయబడే సంభావ్యత.

విచిత్రమేమిటంటే, ఇంత సాధారణ పనిలో కూడా ఒకరు తీవ్రమైన సరికానితనం చేయవచ్చు, నేను ఇప్పటికే మొదటి వ్యాసంలో దృష్టి సారించాను సంభావ్యత సిద్ధాంతం. ఇక్కడ ఆపద ఎక్కడ ఉంది? అని ఇక్కడ వాదించడం సరికాదు "సగం బంతులు తెల్లగా ఉన్నందున, తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత» . సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం సూచిస్తుంది ఎలిమెంటరీఫలితాలు, మరియు భిన్నం తప్పనిసరిగా వ్రాయబడాలి!

ఇతర అంశాలతో, అదేవిధంగా, క్రింది సంఘటనలను పరిగణించండి:

- ఒక ఎర్రటి బంతిని రంధ్రము నుండి తీయబడుతుంది;
- కలశం నుండి నల్లటి బంతి తీయబడుతుంది.

ఒక ఈవెంట్‌కు 5 ప్రాథమిక ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి మరియు ఈవెంట్‌కు 10 ప్రాథమిక ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి. కాబట్టి సంబంధిత సంభావ్యతలు:

అనేక సర్వర్ పనుల యొక్క సాధారణ తనిఖీని ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకునే సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తంపై సిద్ధాంతాలు. మా సందర్భంలో, ఈవెంట్‌లు పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, అంటే సంబంధిత సంభావ్యతల మొత్తం తప్పనిసరిగా ఒకదానికి సమానంగా ఉండాలి: .

ఇది నిజమో కాదో తనిఖీ చేద్దాం: నేను నిర్ధారించుకోవాలనుకున్నది అదే.

సమాధానం:

సూత్రప్రాయంగా, సమాధానాన్ని మరింత వివరంగా వ్రాయవచ్చు, కానీ వ్యక్తిగతంగా, నేను అక్కడ సంఖ్యలను మాత్రమే ఉంచడం అలవాటు చేసుకున్నాను - మీరు వందల మరియు వేలల్లో సమస్యలను “స్టాంపింగ్ అవుట్” చేయడం ప్రారంభించినప్పుడు, మీరు వ్రాయడాన్ని తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తారు. సాధ్యమైనంత వరకు పరిష్కారం. మార్గం ద్వారా, సంక్షిప్తత గురించి: ఆచరణలో, "హై-స్పీడ్" డిజైన్ ఎంపిక సాధారణం పరిష్కారాలు:

మొత్తం: కలశంలో 15 + 5 + 10 = 30 బంతులు. సాంప్రదాయ నిర్వచనం ప్రకారం:
- కలశం నుండి తెల్లటి బంతి తీయబడే సంభావ్యత;
- ఎర్రటి బంతిని రంధ్రము నుండి తీయబడే సంభావ్యత;
- కలశం నుండి నల్లటి బంతి తీయబడే సంభావ్యత.

సమాధానం:

అయినప్పటికీ, పరిస్థితిలో అనేక పాయింట్లు ఉంటే, మొదటి మార్గంలో పరిష్కారాన్ని రూపొందించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, దీనికి కొంచెం ఎక్కువ సమయం పడుతుంది, కానీ అదే సమయంలో “అంతా అల్మారాల్లో ఉంచుతుంది” మరియు సులభతరం చేస్తుంది సమస్యను నావిగేట్ చేయడానికి.

వేడెక్కిద్దాం:

సమస్య 2

దుకాణం 30 రిఫ్రిజిరేటర్లను అందుకుంది, వాటిలో ఐదు తయారీ లోపాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. ఒక రిఫ్రిజిరేటర్ యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడింది. ఇది లోపం లేకుండా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?

తగిన డిజైన్ ఎంపికను ఎంచుకోండి మరియు పేజీ దిగువన ఉన్న నమూనాను తనిఖీ చేయండి.

సరళమైన ఉదాహరణలలో, సాధారణ సంఖ్య మరియు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య ఉపరితలంపై ఉంటాయి, కానీ చాలా సందర్భాలలో మీరు బంగాళాదుంపలను మీరే త్రవ్వాలి. మతిమరుపు సబ్‌స్క్రైబర్‌కు సంబంధించిన సమస్యల యొక్క నియమానుగుణ శ్రేణి:

సమస్య 3

ఫోన్ నంబర్‌ను డయల్ చేస్తున్నప్పుడు, చందాదారుడు చివరి రెండు అంకెలను మర్చిపోయాడు, కానీ వాటిలో ఒకటి సున్నా మరియు మరొకటి బేసి అని గుర్తుంచుకుంటారు. అతను సరైన నంబర్‌కు డయల్ చేసే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

గమనిక : సున్నా అనేది సరి సంఖ్య (శేషం లేకుండా 2తో భాగించబడుతుంది)

పరిష్కారం: మొదట మేము మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను కనుగొంటాము. షరతు ప్రకారం, సబ్‌స్క్రైబర్ అంకెల్లో ఒకటి సున్నా అని మరియు మరొక అంకె బేసి అని గుర్తుంచుకుంటారు. ఇక్కడ కాంబినేటరిక్స్ మరియు ఉపయోగంతో గమ్మత్తైనది కాదు అనేది మరింత హేతుబద్ధమైనది ఫలితాల ప్రత్యక్ష జాబితా పద్ధతి . అంటే, ఒక పరిష్కారం చేసేటప్పుడు, మేము అన్ని కలయికలను వ్రాస్తాము:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

మరియు మేము వాటిని లెక్కిస్తాము - మొత్తం: 10 ఫలితాలు.

ఒకే ఒక అనుకూలమైన ఫలితం ఉంది: సరైన సంఖ్య.

సాంప్రదాయ నిర్వచనం ప్రకారం:
- సబ్‌స్క్రైబర్ సరైన నంబర్‌కు డయల్ చేసే సంభావ్యత

సమాధానం: 0,1

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో దశాంశ భిన్నాలు చాలా సముచితంగా కనిపిస్తాయి, కానీ మీరు సాంప్రదాయ వైష్మాటోవ్ శైలికి కూడా కట్టుబడి ఉండవచ్చు, సాధారణ భిన్నాలతో మాత్రమే పనిచేస్తాయి.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం అధునాతన పని:

సమస్య 4

సబ్‌స్క్రైబర్ తన సిమ్ కార్డ్ కోసం పిన్ కోడ్‌ను మర్చిపోయాడు, కానీ అందులో మూడు “ఐదు”లు ఉన్నాయని మరియు సంఖ్యలలో ఒకటి “ఏడు” లేదా “ఎనిమిది” అని గుర్తుంచుకోవాలి. మొదటి ప్రయత్నంలో విజయవంతమైన అధికారం యొక్క సంభావ్యత ఎంత?

ఇక్కడ మీరు చందాదారుడు puk కోడ్ రూపంలో శిక్షను ఎదుర్కొనే సంభావ్యత యొక్క ఆలోచనను కూడా అభివృద్ధి చేయవచ్చు, కానీ, దురదృష్టవశాత్తు, తార్కికం ఈ పాఠం యొక్క పరిధిని మించిపోతుంది

పరిష్కారం మరియు సమాధానం క్రింద ఉన్నాయి.

కొన్నిసార్లు కలయికలను జాబితా చేయడం చాలా శ్రమతో కూడుకున్న పనిగా మారుతుంది. ప్రత్యేకించి, 2 పాచికలు చుట్టబడిన తరువాతి, తక్కువ జనాదరణ లేని సమస్యల సమూహంలో ఇది జరుగుతుంది (తక్కువ తరచుగా - పెద్ద పరిమాణంలో):

సమస్య 5

రెండు పాచికలు విసిరేటప్పుడు మొత్తం సంఖ్య ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి:

ఎ) ఐదు పాయింట్లు;
బి) నాలుగు పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ కాదు;
c) 3 నుండి 9 పాయింట్లు కలుపుకొని.

పరిష్కారం: మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను కనుగొనండి:

1 వ డై యొక్క వైపు మార్గాలు బయటకు వస్తాయి మరియువివిధ మార్గాల్లో 2 వ క్యూబ్ వైపు బయటకు వస్తాయి; ద్వారా కలయికలను గుణించడం కోసం నియమం, మొత్తం: సాధ్యం కలయికలు. వేరే పదాల్లో, ప్రతి 1వ క్యూబ్ యొక్క ముఖం ఉంటుంది ఆదేశించారుఒక జంట ప్రతి తో 2వ క్యూబ్ అంచు. అటువంటి జతని ఫారమ్‌లో వ్రాయడానికి అంగీకరిస్తాము , 1 వ డైలో కనిపించే సంఖ్య మరియు 2 వ డైలో కనిపించే సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది. ఉదాహరణకి:

– మొదటి పాచికలు 3 పాయింట్లు, రెండవ పాచికలు 5 పాయింట్లు, మొత్తం పాయింట్లు: 3 + 5 = 8;
– మొదటి పాచికలు 6 పాయింట్లు, రెండవ పాచికలు 1 పాయింట్, మొత్తం పాయింట్లు: 6 + 1 = 7;
– రెండు పాచికల మీద 2 పాయింట్లు చుట్టబడ్డాయి, మొత్తం: 2 + 2 = 4.

సహజంగానే, అతిచిన్న మొత్తం ఒక జత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది మరియు అతిపెద్దది రెండు "సిక్స్లు" ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

ఎ) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: - రెండు పాచికలు విసిరినప్పుడు, 5 పాయింట్లు కనిపిస్తాయి. ఈ ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్యను వ్రాసి గణిద్దాం:

మొత్తం: 4 అనుకూల ఫలితాలు. సాంప్రదాయ నిర్వచనం ప్రకారం:
- కావలసిన సంభావ్యత.

బి) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: – 4 కంటే ఎక్కువ పాయింట్లు రోల్ చేయబడవు. అంటే, 2, లేదా 3, లేదా 4 పాయింట్లు. మళ్ళీ మేము అనుకూలమైన కలయికలను జాబితా చేస్తాము మరియు లెక్కిస్తాము, ఎడమ వైపున నేను మొత్తం పాయింట్ల సంఖ్యను వ్రాస్తాను మరియు పెద్దప్రేగు తర్వాత - తగిన జతలు:

మొత్తం: 6 అనుకూలమైన కలయికలు. ఈ విధంగా:
- 4 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ రోల్ చేయబడని సంభావ్యత.

సి) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: – 3 నుండి 9 పాయింట్లు రోల్ అవుతాయి, కలుపుకొని. ఇక్కడ మీరు నేరుగా రహదారిని తీసుకోవచ్చు, కానీ... కొన్ని కారణాల వల్ల మీరు కోరుకోవడం లేదు. అవును, కొన్ని జతల ఇప్పటికే మునుపటి పేరాల్లో జాబితా చేయబడ్డాయి, కానీ ఇంకా చాలా పని చేయాల్సి ఉంది.

కొనసాగించడానికి ఉత్తమ మార్గం ఏమిటి? అటువంటి సందర్భాలలో, ఒక రౌండ్అబౌట్ మార్గం హేతుబద్ధమైనదిగా మారుతుంది. పరిగణలోకి తీసుకుందాం వ్యతిరేక సంఘటన: – 2 లేదా 10 లేదా 11 లేదా 12 పాయింట్లు రోల్ చేయబడతాయి.

విషయం ఏంటి? వ్యతిరేక సంఘటనను గణనీయంగా తక్కువ సంఖ్యలో జంటలు ఇష్టపడతారు:

మొత్తం: 7 అనుకూల ఫలితాలు.

సాంప్రదాయ నిర్వచనం ప్రకారం:
- మీరు మూడు కంటే తక్కువ లేదా 9 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ రోల్ చేసే సంభావ్యత.

ప్రత్యక్ష జాబితా మరియు ఫలితాల లెక్కింపుతో పాటు, వివిధ సంయోగ సూత్రాలు. ఎలివేటర్ గురించి మళ్ళీ ఒక పురాణ సమస్య:

సమస్య 7

మొదటి అంతస్తులో ఉన్న 20 అంతస్తుల భవనంలోని లిఫ్ట్‌లోకి ముగ్గురు వ్యక్తులు ప్రవేశించారు. మరియు వెళ్దాం. సంభావ్యతను కనుగొనండి:

ఎ) వారు వేర్వేరు అంతస్తులలో నిష్క్రమిస్తారు
బి) ఇద్దరు ఒకే అంతస్తులో నిష్క్రమిస్తారు;
సి) అందరూ ఒకే అంతస్తులో దిగుతారు.

మా ఉత్తేజకరమైన పాఠం ముగిసింది, చివరకు, పరిష్కరించకపోతే, కనీసం గుర్తించాలని నేను మరోసారి గట్టిగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్ణయంపై అదనపు సమస్యలు. నేను ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, "హ్యాండ్ పాడింగ్" కూడా ముఖ్యమైనది!

కోర్సుతో పాటు - సంభావ్యత యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనంమరియు సంభావ్యత జోడింపు మరియు గుణకార సిద్ధాంతాలుమరియు ... ప్రధాన విషయం లో అదృష్టం!

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

టాస్క్ 2: పరిష్కారం: 30 - 5 = 25 రిఫ్రిజిరేటర్‌లకు ఎటువంటి లోపం లేదు.

- యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న రిఫ్రిజిరేటర్‌లో లోపం లేని సంభావ్యత.
సమాధానం :

టాస్క్ 4: పరిష్కారం: మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను కనుగొనండి:
సందేహాస్పద సంఖ్య ఉన్న స్థలాన్ని మీరు ఎంచుకోవచ్చు మరియు ప్రతిదానిపైఈ 4 స్థానాల్లో 2 అంకెలు (ఏడు లేదా ఎనిమిది) గుర్తించవచ్చు. కలయికల గుణకారం యొక్క నియమం ప్రకారం, మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య: .
ప్రత్యామ్నాయంగా, పరిష్కారం అన్ని ఫలితాలను జాబితా చేయగలదు (అదృష్టవశాత్తూ వాటిలో కొన్ని ఉన్నాయి):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
ఒక అనుకూలమైన ఫలితం మాత్రమే ఉంది (సరైన పిన్ కోడ్).
అందువలన, శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం:
- 1వ ప్రయత్నంలో చందాదారు లాగిన్ అయ్యే సంభావ్యత
సమాధానం :

టాస్క్ 6: పరిష్కారం: మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను కనుగొనండి:
2 పాచికల సంఖ్యలు వివిధ మార్గాల్లో కనిపిస్తాయి.

ఎ) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: - రెండు పాచికలు విసిరినప్పుడు, పాయింట్ల ఉత్పత్తి ఏడుకి సమానంగా ఉంటుంది. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం, ఇచ్చిన ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాలు లేవు:
, అనగా ఈ సంఘటన అసాధ్యం.

బి) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: – రెండు పాచికలు విసిరినప్పుడు, పాయింట్ల ఉత్పత్తి కనీసం 20 ఉంటుంది. ఈ ఈవెంట్‌కు కింది ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి:

మొత్తం: 8
సాంప్రదాయ నిర్వచనం ప్రకారం:
- కావలసిన సంభావ్యత.

సి) వ్యతిరేక సంఘటనలను పరిగణించండి:
- పాయింట్ల ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది;
- పాయింట్ల ఉత్పత్తి బేసిగా ఉంటుంది.
ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన అన్ని ఫలితాలను జాబితా చేద్దాం:

మొత్తం: 9 అనుకూల ఫలితాలు.
సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం:
వ్యతిరేక సంఘటనలు పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, కాబట్టి:
- కావలసిన సంభావ్యత.

సమాధానం :

సమస్య 8: పరిష్కారం: మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను గణిద్దాం: 10 నాణేలు వివిధ మార్గాల్లో వస్తాయి.
మరొక మార్గం: 1వ నాణెం పడిపోయే మార్గాలు మరియు 2వ నాణెం పడే మార్గాలు మరియు … మరియు 10వ నాణెం పడిపోయే మార్గాలు. కలయికలను గుణించే నియమం ప్రకారం, 10 నాణేలు వస్తాయి మార్గాలు.
ఎ) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: - అన్ని నాణేలపై తలలు కనిపిస్తాయి. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం, ఈ సంఘటన ఒకే ఫలితం ద్వారా అనుకూలంగా ఉంటుంది: .
బి) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: – 9 నాణేలు తలలు ల్యాండ్ అవుతాయి మరియు ఒక నాణెం తోకలను ల్యాండ్ చేస్తుంది.
తలపై దిగగలిగే నాణేలు ఉన్నాయి. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం: .
సి) ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి: - సగం నాణేలపై తలలు కనిపిస్తాయి.
ఉనికిలో ఉంది తలలను ల్యాండ్ చేయగల ఐదు నాణేల ప్రత్యేక కలయికలు. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం:
సమాధానం :

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

ప్రణాళిక:

1. యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు

2. సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం

3. ఈవెంట్ సంభావ్యత మరియు కాంబినేటరిక్స్ యొక్క గణన

4. రేఖాగణిత సంభావ్యత

సైద్ధాంతిక సమాచారం

యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు.

యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం- ఫలితం స్పష్టంగా నిర్వచించబడని దృగ్విషయం. ఈ భావనను చాలా విస్తృత అర్థంలో అర్థం చేసుకోవచ్చు. అవి: ప్రకృతిలోని ప్రతిదీ చాలా యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది, ఏదైనా వ్యక్తి యొక్క రూపాన్ని మరియు పుట్టుక యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం, దుకాణంలో ఉత్పత్తిని ఎంచుకోవడం కూడా యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం, పరీక్షలో గ్రేడ్ పొందడం యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం, అనారోగ్యం మరియు కోలుకోవడం యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం. , మొదలైనవి

యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాలకు ఉదాహరణలు:

~ క్షితిజ సమాంతరంగా ఇచ్చిన కోణంలో అమర్చబడిన తుపాకీ నుండి కాల్పులు జరుపబడతాయి. లక్ష్యాన్ని చేధించడం ప్రమాదవశాత్తు, కానీ ప్రక్షేపకం నిర్దిష్ట "ఫోర్క్"ని కొట్టడం ఒక నమూనా. మీరు ప్రక్షేపకం ఎగరకుండా ఉండే దూరాన్ని మరియు దాని కంటే దగ్గరగా ఉన్న దూరాన్ని పేర్కొనవచ్చు. మీరు ఒక రకమైన "ప్రాజెక్టైల్ డిస్పర్షన్ ఫోర్క్" పొందుతారు.

~ ఒకే శరీరం అనేక సార్లు బరువు ఉంటుంది. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ప్రతిసారీ మీరు వేర్వేరు ఫలితాలను పొందుతారు, అవి చాలా తక్కువ మొత్తంలో తేడా ఉన్నప్పటికీ, అవి భిన్నంగా ఉంటాయి.

~ ఒక విమానం, అదే మార్గంలో ఎగురుతుంది, ఒక నిర్దిష్ట ఫ్లైట్ కారిడార్‌ను కలిగి ఉంటుంది, దానిలో విమానం ఉపాయాలు చేయగలదు, కానీ అది ఎప్పుడూ ఒకే మార్గాన్ని కలిగి ఉండదు.

~ ఒక అథ్లెట్ ఒకే సమయంలో ఒకే దూరం పరుగెత్తలేరు. దీని ఫలితాలు కూడా నిర్దిష్ట సంఖ్యా పరిధిలో ఉంటాయి.

అనుభవం, ప్రయోగం, పరిశీలన అనేవి పరీక్షలు

విచారణ- ఒకే క్రమంలో, వ్యవధిలో మరియు ఇతర సారూప్య పారామితులకు అనుగుణంగా పదేపదే నిర్వహించబడే మరియు క్రమం తప్పకుండా పునరావృతమయ్యే నిర్దిష్ట షరతులను గమనించడం లేదా నెరవేర్చడం.

ఒక అథ్లెట్ లక్ష్యం వద్ద కాల్పులు జరపడాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఇది అమలు కావాలంటే, అథ్లెట్‌ను సిద్ధం చేయడం, ఆయుధాన్ని లోడ్ చేయడం, లక్ష్యం చేయడం వంటి షరతులను నెరవేర్చడం అవసరం. "హిట్" మరియు "మిస్డ్" - షాట్ ఫలితంగా జరిగిన సంఘటనలు.

ఈవెంట్- అధిక నాణ్యత పరీక్ష ఫలితం.

ఈవెంట్ జరగకపోవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు. ఈవెంట్‌లు పెద్ద అక్షరాలతో సూచించబడతాయి. ఉదాహరణకు: D = "షూటర్ లక్ష్యాన్ని చేధించాడు." S="తెల్లని బంతి డ్రా చేయబడింది." K="గెలవకుండా యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న లాటరీ టిక్కెట్.".

నాణెం విసరడం ఒక పరీక్ష. ఆమె "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" పతనం ఒక సంఘటన, ఆమె "డిజిటల్" పతనం రెండవ సంఘటన.

ఏదైనా పరీక్ష అనేక సంఘటనలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిలో కొన్ని నిర్దిష్ట సమయంలో పరిశోధకుడికి అవసరం కావచ్చు, మరికొన్ని అవసరం ఉండకపోవచ్చు.

సంఘటనను యాదృచ్ఛికంగా పిలుస్తారు, ఒకవేళ, నిర్దిష్టమైన షరతులను నెరవేర్చినప్పుడు ఎస్అది జరగవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు. కిందివాటిలో, "S షరతుల సమితి నెరవేరింది" అని చెప్పడానికి బదులుగా మేము క్లుప్తంగా చెబుతాము: "పరీక్ష నిర్వహించబడింది." అందువలన, ఈవెంట్ పరీక్ష ఫలితంగా పరిగణించబడుతుంది.

~ షూటర్ నాలుగు ప్రాంతాలుగా విభజించబడిన లక్ష్యాన్ని కాలుస్తాడు. షాట్ ఒక పరీక్ష. లక్ష్యం యొక్క నిర్దిష్ట ప్రాంతాన్ని కొట్టడం ఒక సంఘటన.

~ కలశంలో రంగుల బంతులు ఉన్నాయి. కలశం నుండి ఒక బంతి యాదృచ్ఛికంగా తీసుకోబడుతుంది. గిన్నె నుండి బంతిని తిరిగి పొందడం ఒక పరీక్ష. ఒక నిర్దిష్ట రంగు యొక్క బంతి కనిపించడం ఒక సంఘటన.

యాదృచ్ఛిక సంఘటనల రకాలు

1. ఈవెంట్‌లను అననుకూలంగా పిలుస్తారువాటిలో ఒకటి సంభవించినప్పుడు అదే ట్రయల్‌లో ఇతర ఈవెంట్‌ల సంభవించడాన్ని మినహాయిస్తే.

~ భాగాలు పెట్టె నుండి ఒక భాగం యాదృచ్ఛికంగా తీసివేయబడుతుంది. ప్రామాణిక భాగం యొక్క రూపాన్ని ప్రామాణికం కాని భాగం యొక్క రూపాన్ని తొలగిస్తుంది. ఈవెంట్‌లు € ఒక ప్రామాణిక భాగం కనిపించింది" మరియు ప్రామాణికం కాని భాగం కనిపించింది" - అననుకూలమైనది.

~ ఒక నాణెం విసిరారు. "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" యొక్క రూపాన్ని శాసనం యొక్క రూపాన్ని మినహాయించింది. "ఒక కోటు కనిపించింది" మరియు "ఒక శాసనం కనిపించింది" అనే సంఘటనలు అననుకూలమైనవి.

అనేక సంఘటనలు ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహం,పరీక్ష ఫలితంగా వాటిలో కనీసం ఒకటి కనిపించినట్లయితే. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పూర్తి సమూహంలో కనీసం ఒక సంఘటన జరగడం నమ్మదగిన సంఘటన.

ప్రత్యేకించి, పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే ఈవెంట్‌లు జతగా అననుకూలంగా ఉంటే, పరీక్ష ఫలితంగా ఈ ఈవెంట్‌లలో ఒకటి మాత్రమే జరుగుతుంది. ఈ ప్రత్యేక సందర్భం మాకు చాలా ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది మరింత ఉపయోగించబడుతుంది.

~ రెండు నగదు మరియు దుస్తులు లాటరీ టిక్కెట్లు కొనుగోలు చేయబడ్డాయి. కింది ఈవెంట్‌లలో ఒకటి మరియు ఒకటి మాత్రమే ఖచ్చితంగా జరగాలి:

1. "విజయాలు మొదటి టిక్కెట్‌పై పడ్డాయి మరియు రెండవ టిక్కెట్‌పై పడలేదు"

2. "విజయాలు మొదటి టిక్కెట్‌పై పడలేదు మరియు రెండవ టిక్కెట్‌పై పడ్డాయి"

3. "విజయాలు రెండు టిక్కెట్లపై పడ్డాయి",

4. "రెండు టిక్కెట్లు గెలవలేదు."

ఈ ఈవెంట్‌లు జత వైపు అననుకూల ఈవెంట్‌ల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి,

~ షూటర్ లక్ష్యంపై కాల్పులు జరిపాడు. కింది రెండు ఈవెంట్‌లలో ఒకటి ఖచ్చితంగా జరుగుతుంది: హిట్, మిస్. ఈ రెండు అననుకూల సంఘటనలు కూడా పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

2. ఈవెంట్స్ అంటారు సమానంగా సాధ్యం,ఒకదానికొకటి కంటే ఎక్కువ సాధ్యం కాదని నమ్మడానికి కారణం ఉంటే.

~ "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" మరియు నాణెం విసిరేటప్పుడు శాసనం కనిపించడం సమానంగా సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు. నిజానికి, నాణెం ఒక సజాతీయ పదార్థంతో తయారు చేయబడిందని, సాధారణ స్థూపాకార ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుందని మరియు నాణెం యొక్క ఒక వైపు లేదా మరొక వైపు నష్టాన్ని ప్రభావితం చేయదని భావించబడుతుంది.

~ విసిరిన పాచికలపై ఒకటి లేదా మరొక సంఖ్యలో పాయింట్లు కనిపించడం సమానంగా సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు. నిజానికి, డై ఒక సజాతీయ పదార్థంతో తయారు చేయబడిందని, సాధారణ పాలిహెడ్రాన్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుందని మరియు పాయింట్ల ఉనికి ఏ ముఖం యొక్క నష్టాన్ని ప్రభావితం చేయదని భావించబడుతుంది.

3. ఈవెంట్ అంటారు నమ్మదగిన,అది సహాయం చేయలేకపోతే కానీ జరగదు

4. ఈవెంట్ అంటారు నమ్మదగని, అది జరగకపోతే.

5. ఈవెంట్ అంటారు ఎదురుగాఈ ఈవెంట్‌లో జరగని సంఘటనను కలిగి ఉన్నట్లయితే. వ్యతిరేక సంఘటనలు అనుకూలంగా లేవు, కానీ వాటిలో ఒకటి తప్పనిసరిగా జరగాలి. వ్యతిరేక సంఘటనలు సాధారణంగా నిరాకరణలుగా పేర్కొనబడతాయి, అనగా. అక్షరం పైన డాష్ వ్రాయబడింది. వ్యతిరేక సంఘటనలు: A మరియు Ā; U మరియు Ū మొదలైనవి. .

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం

సంభావ్యత అనేది సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి.

ఈ భావనకు అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నాయి. క్లాసికల్ అని పిలువబడే నిర్వచనం ఇద్దాం. తరువాత, మేము ఈ నిర్వచనం యొక్క బలహీనతలను సూచిస్తాము మరియు శాస్త్రీయ నిర్వచనం యొక్క లోపాలను అధిగమించడానికి అనుమతించే ఇతర నిర్వచనాలను ఇస్తాము.

పరిస్థితిని పరిగణించండి: ఒక పెట్టెలో 6 ఒకేలాంటి బంతులు ఉంటాయి, 2 ఎరుపు, 3 నీలం మరియు 1 తెలుపు. సహజంగానే, తెల్లటి బంతిని గీయడం కంటే యాదృచ్ఛికంగా ఒక కలశం నుండి రంగు (అనగా ఎరుపు లేదా నీలం) బంతిని గీయడానికి అవకాశం ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఈ అవకాశం ఒక సంఖ్య ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది, దీనిని ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అని పిలుస్తారు (రంగు బంతి రూపాన్ని).

సంభావ్యత- ఈవెంట్ సంభవించే అవకాశం యొక్క స్థాయిని వర్ణించే సంఖ్య.

పరిశీలనలో ఉన్న పరిస్థితిలో, మేము సూచిస్తాము:

ఈవెంట్ A = "రంగు బంతిని బయటకు లాగడం."

పరీక్ష యొక్క ప్రతి సాధ్యం ఫలితాలు (పరీక్షలో ఒక పాత్ర నుండి బంతిని తీసివేయడం ఉంటుంది) అని పిలుస్తారు ప్రాథమిక (సాధ్యం) ఫలితం మరియు సంఘటన.ప్రాథమిక ఫలితాలను దిగువ సూచికలతో అక్షరాలతో సూచించవచ్చు, ఉదాహరణకు: k 1, k 2.

మా ఉదాహరణలో 6 బంతులు ఉన్నాయి, కాబట్టి 6 సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉన్నాయి: తెల్లటి బంతి కనిపిస్తుంది; ఎరుపు బంతి కనిపించింది; నీలం బంతి కనిపించింది, మొదలైనవి. ఈ ఫలితాలు జత వైపు అననుకూల సంఘటనల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూడటం సులభం (ఒకే బంతి మాత్రమే కనిపిస్తుంది) మరియు అవి సమానంగా సాధ్యమవుతాయి (బంతి యాదృచ్ఛికంగా తీయబడుతుంది, బంతులు ఒకేలా ఉంటాయి మరియు పూర్తిగా మిశ్రమంగా ఉంటాయి).

మనకు ఆసక్తి కలిగించే సంఘటన సంభవించే ప్రాథమిక ఫలితాలను మనం పిలుద్దాం అనుకూల ఫలితాలుఈ కార్యక్రమం. మా ఉదాహరణలో, ఈవెంట్ అనుకూలంగా ఉంది ఎ(రంగు బంతి రూపాన్ని) క్రింది 5 ఫలితాలు:

కాబట్టి ఈవెంట్ ఎప్రాథమిక ఫలితాలలో ఒకటి అనుకూలంగా ఉంటే గమనించవచ్చు ఎ.ఇది ఏదైనా రంగు బంతి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో బాక్స్‌లో 5 ఉన్నాయి

పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, 6 ప్రాథమిక ఫలితాలు ఉన్నాయి; వాటిలో 5 ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉన్నాయి ఎ.అందుకే, P(A)= 5/6. ఈ సంఖ్య రంగు బంతి కనిపించే అవకాశం యొక్క డిగ్రీ యొక్క పరిమాణాత్మక అంచనాను ఇస్తుంది.

సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం:

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత Aపూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే అన్ని సమాన సాధ్యం అననుకూల ప్రాథమిక ఫలితాల మొత్తం సంఖ్యకు ఈ ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తి అంటారు.

P(A)=m/n లేదా P(A)=m: n, ఇక్కడ:

m అనేది అనుకూలమైన ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య A;

పి- సాధ్యమయ్యే అన్ని ప్రాథమిక పరీక్ష ఫలితాల సంఖ్య.

ఇక్కడ ప్రాథమిక ఫలితాలు అననుకూలమైనవి, సమానంగా సాధ్యమవుతాయి మరియు పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి:

1. నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం.

నిజానికి, ఈవెంట్ నమ్మదగినది అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రతి ప్రాథమిక ఫలితం ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ విషయంలో m = nకాబట్టి p=1

2. అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా.

నిజానికి, ఒక ఈవెంట్ అసాధ్యం అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రాథమిక ఫలితాలు ఏవీ ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా లేవు. ఈ సందర్భంలో m=0, కాబట్టి p=0.

3.యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య ధనాత్మక సంఖ్య. 0టి< n.

తదుపరి అంశాలలో, కొన్ని సంఘటనల యొక్క తెలిసిన సంభావ్యతలను ఉపయోగించి ఇతర సంఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనడానికి అనుమతించే సిద్ధాంతాలు ఇవ్వబడతాయి.

కొలత. విద్యార్థుల బృందంలో 6 మంది బాలికలు, 4 మంది బాలురు ఉన్నారు. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన విద్యార్థి అమ్మాయి అయ్యే సంభావ్యత ఏమిటి? యువకుడు ఉంటాడా?

p dev = 6 / 10 =0.6 p యున్ = 4 / 10 = 0.4

ఆధునిక కఠినమైన సంభావ్యత సిద్ధాంత కోర్సులలో "సంభావ్యత" అనే భావన సమితి-సిద్ధాంత ప్రాతిపదికన నిర్మించబడింది. ఈ విధానంలోని కొన్ని అంశాలను పరిశీలిద్దాం.

పరీక్ష ఫలితంగా జరిగే సంఘటనలలో ఒకటి మాత్రమే జరగనివ్వండి: w i(i=1, 2, .... p). ఈవెంట్స్ w i- అని పిలుస్తారు ప్రాథమిక సంఘటనలు (ప్రాథమిక ఫలితాలు). గురించిప్రాథమిక సంఘటనలు జతగా అననుకూలంగా ఉన్నాయి. పరీక్షలో సంభవించే అన్ని ప్రాథమిక సంఘటనల సమితిని అంటారు ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలంΩ (గ్రీకు పెద్ద అక్షరం ఒమేగా), మరియు ప్రాథమిక సంఘటనలు ఈ స్థలం యొక్క పాయింట్లు..

ఈవెంట్ ఎఉపసమితితో గుర్తించబడింది (స్పేస్ Ω), వీటిలో మూలకాలు ప్రాథమిక ఫలితాలు అనుకూలమైనవి A;సంఘటన INఒక ఉపసమితి Ω దీని మూలకాలు అనుకూలమైన ఫలితాలను కలిగి ఉంటాయి IN,అందువలన, ఒక పరీక్షలో సంభవించే అన్ని సంఘటనల సమితి Ω యొక్క అన్ని ఉపసమితుల సమితి. ఖాళీ Ω యొక్క ఖాళీ ఉపసమితి - అసాధ్యమైన సంఘటన (ఇది ఏ పరీక్ష ఫలితం కింద జరగదు).

ఎలిమెంటరీ ఈవెంట్‌లు అన్ని టాపిక్ ఈవెంట్‌ల నుండి వేరు చేయబడ్డాయి, “వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి మాత్రమే ఒక మూలకం Ω కలిగి ఉంటుంది

ప్రతి ప్రాథమిక ఫలితం w iసానుకూల సంఖ్యను సరిపోల్చండి p i- ఈ ఫలితం యొక్క సంభావ్యత మరియు మొత్తం మొత్తం p i 1కి సమానం లేదా మొత్తం గుర్తుతో, ఈ వాస్తవం వ్యక్తీకరణ రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:

నిర్వచనం ప్రకారం, సంభావ్యత పి(ఎ)సంఘటనలు ఎఅనుకూలమైన ప్రాథమిక ఫలితాల సంభావ్యత మొత్తానికి సమానం ఎ.కాబట్టి, నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం, అసాధ్యమైన సంఘటన సున్నా మరియు ఏకపక్ష సంఘటన సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య ఉంటుంది.

అన్ని ఫలితాలు సమానంగా సాధ్యమైనప్పుడు ఒక ముఖ్యమైన ప్రత్యేక సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఫలితాల సంఖ్య n, అన్ని ఫలితాల సంభావ్యత మొత్తం ఒకదానికి సమానం; కాబట్టి, ప్రతి ఫలితం యొక్క సంభావ్యత 1/p. ఈవెంట్ లెట్ ఎఎం ఫలితాలను అనుకూలిస్తుంది.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎఅనుకూలమైన ఫలితాల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం జ:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం పొందబడింది.

కూడా ఉంది అక్షాంశ"సంభావ్యత" అనే భావనకు సంబంధించిన విధానం. ప్రతిపాదించబడిన సిద్ధాంతాల వ్యవస్థలో. కోల్మోగోరోవ్ A.N., నిర్వచించబడని భావనలు ఒక ప్రాథమిక సంఘటన మరియు సంభావ్యత. సంభావ్యత యొక్క తార్కికంగా పూర్తి సిద్ధాంతం యొక్క నిర్మాణం యాదృచ్ఛిక సంఘటన మరియు దాని సంభావ్యత యొక్క అక్షసంబంధ నిర్వచనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సంభావ్యతను నిర్వచించే సిద్ధాంతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. ప్రతి ఈవెంట్ ఎనాన్-నెగటివ్ రియల్ నంబర్ కేటాయించబడింది R(A).ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అంటారు ఎ.

2. విశ్వసనీయ సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం:

3. జతగా అననుకూల ఈవెంట్‌లలో కనీసం ఒకటి సంభవించే సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం.

ఈ సిద్ధాంతాల ఆధారంగా, సంభావ్యత యొక్క లక్షణాలు మరియు వాటి మధ్య ఆధారపడటం సిద్ధాంతాలుగా ఉద్భవించాయి.