1. త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు ఇవ్వబడ్డాయి ABC.ఎ(–9; –2), IN(3; 7), తో(1; –7).
1) వైపు పొడవు AB;
2) భుజాల సమీకరణాలు ABమరియు ACమరియు వాటి కోణీయ గుణకాలు;
3) కోణం ఎరేడియన్లలో;
4) ఎత్తు సమీకరణం తోడిమరియు దాని పొడవు;
5) ఎత్తు ఉన్న వృత్తం యొక్క సమీకరణం తోడిఒక వ్యాసం ఉంది;
6) త్రిభుజాన్ని నిర్వచించే సరళ అసమానతల వ్యవస్థ ABC.
పరిష్కారం. డ్రాయింగ్ చేద్దాం.
1. AB వైపు పొడవును కనుగొనండి.రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
2. భుజాల సమీకరణాలను కనుగొనండిAB మరియుAC మరియు వాటి కోణీయ గుణకాలు.
రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం.
ఇది పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం. y కి సంబంధించి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది
, సరళ రేఖ యొక్క వాలు సమానంగా ఉంటుంది 
అదేవిధంగా మనకు సైడ్ ఎసి ఉంది.
సరళ రేఖ యొక్క వాలు సమానంగా ఉంటుంది 
3. మేము కనుగొంటాముమూలలోఎ
రేడియన్లలో.
ఇది రెండు వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 
మరియు 
. వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను వ్రాస్దాం. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ సమానంగా ఉంటుంది
4. మేము కనుగొంటాముఎత్తు సమీకరణంతో
డి
మరియు దాని పొడవు.
, కాబట్టి, వాటి కోణీయ గుణకాలు సంబంధంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి 
.
కోణీయ గుణకం ద్వారా ఎత్తు సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం
చుక్క 
లైన్ CDకి చెందినది, కాబట్టి దాని కోఆర్డినేట్లు లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి, అందువల్ల మనకు 
చివరగా 
లేదా
మేము ఎత్తు యొక్క పొడవును పాయింట్ C నుండి సరళ రేఖ AB వరకు దూరంగా లెక్కిస్తాము
5. వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, ఏ ఎత్తు కోసంతో డి వ్యాసం ఉంది.
మేము పాయింట్ D యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను AB మరియు CD అనే రెండు సరళ రేఖల ఖండన బిందువుగా కనుగొంటాము, వీటిలో సమీకరణాలు అంటారు.
పాయింట్ O యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి - సర్కిల్ మధ్యలో. ఇది CD సెక్షన్ మధ్యలో ఉంటుంది.
వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 
వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాస్దాం.
6) త్రిభుజాన్ని నిర్వచిద్దాంABC సరళ అసమానతల వ్యవస్థ.
లైన్ CB యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
సరళ అసమానతల వ్యవస్థ ఇలా ఉంటుంది.
2. క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. ఫలిత పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయండి.
పరిష్కారం.ఈ వ్యవస్థ యొక్క డిటర్మినేట్‌ను మనం లెక్కిద్దాం:
.
నిర్ణాయకాలను కనుగొనండి 
మరియు వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:
పరీక్ష:
సమాధానం:
3. మాతృక రూపంలో సమీకరణాల వ్యవస్థను వ్రాసి దాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించండి
విలోమ మాతృక. ఫలిత పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయండి
పరిష్కారం.
మాతృక A యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కనుగొనండి
మాతృక ఏకవచనం కానిది మరియు విలోమాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అన్ని బీజగణిత పూరకాలను కనుగొని, యూనియన్ మ్యాట్రిక్స్‌ని క్రియేట్ చేద్దాం. 
విలోమ మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంది: 
గుణకారం చేద్దాం 
మరియు పరిష్కారాల వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.
పరీక్ష
. 
సమాధానం: 
పరిష్కారం.
ఎన్ = (2, 1). సాధారణ వెక్టర్‌కు లంబంగా లెవెల్ లైన్‌ని గీయండి మరియు దానిని సాధారణ దిశలో తరలించండి,
ఆబ్జెక్టివ్ ఫంక్షన్ పాయింట్ A వద్ద కనిష్ట స్థాయికి చేరుకుంటుంది మరియు పాయింట్ B వద్ద గరిష్ట స్థాయికి చేరుకుంటుంది. ఈ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను అవి ఉన్న ఖండన వద్ద ఉన్న రేఖల సమీకరణాలను సంయుక్తంగా పరిష్కరించడం ద్వారా మేము కనుగొంటాము.
5. ట్రావెల్ కంపెనీకి ఇక అవసరం లేదు ఎమూడు టన్నుల బస్సులు మరియు మరేవీ లేవు వి
ఐదు టన్నుల బస్సులు. మొదటి బ్రాండ్ యొక్క బస్సుల అమ్మకపు ధర రెండవ బ్రాండ్ యొక్క 20,000 USD
40000 USD ప్రయాణ సంస్థ కంటే ఎక్కువ కేటాయించదు తో c.u
ఒక్కో బ్రాండ్‌కు చెందిన ఎన్ని బస్సులను విడివిడిగా కొనుగోలు చేయాలి, తద్వారా వాటి మొత్తం
(మొత్తం) లోడ్ సామర్థ్యం గరిష్టంగా ఉంది. సమస్యను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించండి.
ఎ= 20 వి= 18 తో= 1000000
పరిష్కారం.
సమస్య యొక్క గణిత నమూనాను రూపొందిద్దాం .
ద్వారా సూచిస్తాము 
- కొనుగోలు చేసే ప్రతి టన్ను బస్సుల సంఖ్య. కొనుగోలు చేసిన యంత్రాల యొక్క గరిష్ట మోసుకెళ్లే సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉండటమే సేకరణ యొక్క ఉద్దేశ్యం, గోల్ ఫంక్షన్ ద్వారా వివరించబడింది
పని యొక్క పరిమితులు కొనుగోలు చేయబడిన బస్సుల సంఖ్య మరియు వాటి ధర ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.
సమస్యను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరిద్దాం. . మేము సమస్యకు సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాల ప్రాంతాన్ని మరియు స్థాయి లైన్‌లకు సాధారణమైన వాటిని నిర్మిస్తాము ఎన్ = (3, 5). సాధారణ వెక్టర్‌కు లంబంగా ఒక లెవెల్ లైన్‌ను గీయండి మరియు దానిని సాధారణ దిశలో తరలించండి.
లక్ష్యం ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద గరిష్టంగా చేరుకుంటుంది 
, గోల్ ఫంక్షన్ విలువను తీసుకుంటుంది.
పరిష్కారం. 1. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మొత్తం సంఖ్యా అక్షం.
2, ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు.
3. ఎప్పుడు x=0, y=20
4. మేము మోనోటోనిసిటీ మరియు ఎక్స్‌ట్రీమా కోసం ఫంక్షన్‌ను పరిశీలిస్తాము.
ఉత్పన్నం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి
ఫంక్షన్ యొక్క స్టేషనరీ పాయింట్లు.
ఆక్స్ అక్షం మీద స్థిర బిందువులను ప్లాట్ చేద్దాం మరియు అక్షంలోని ప్రతి విభాగంలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాలను తనిఖీ చేద్దాం.
- గరిష్ట పాయింట్ 
; 
- కనీస పాయింట్ 
5. మేము కుంభాకారం మరియు పుటాకార కోసం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిశీలిస్తాము. 2వ ఉత్పన్నం తీసుకుందాం
ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్.
వద్ద 
- ఫంక్షన్ కుంభాకారంగా ఉంటుంది; వద్ద 
- ఫంక్షన్ పుటాకారంగా ఉంటుంది.
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఇలా కనిపిస్తుంది
6. విరామం [-1లో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువను కనుగొనండి; 4]
సెగ్మెంట్ చివర్లలో ఫంక్షన్ విలువను గణిద్దాం 
కనిష్ట బిందువు వద్ద, ఫంక్షన్ విలువలను తీసుకుంటుంది, కాబట్టి, సెగ్మెంట్లో అతిచిన్న విలువ [-1; 4] ఫంక్షన్ కనిష్ట బిందువు వద్ద మరియు గరిష్టం విరామం యొక్క ఎడమ సరిహద్దు వద్ద పడుతుంది.
7. నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొని, ఏకీకరణ ఫలితాలను తనిఖీ చేయండి
భేదం.
పరిష్కారం.
పరీక్ష.
ఇక్కడ త్రికోణమితి సూత్రాల ప్రకారం కొసైన్‌ల ఉత్పత్తి మొత్తంతో భర్తీ చేయబడింది.
1. AB మరియు BC భుజాల సమీకరణం మరియు వాటి కోణీయ గుణకాలు.
అసైన్‌మెంట్ ఈ పంక్తులు పాస్ అయ్యే పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను ఇస్తుంది, కాబట్టి మేము ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల ద్వారా వెళుతున్న లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ ప్రత్యామ్నాయం మరియు సమీకరణాలను పొందండి
లైన్ AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ సరళ రేఖ AB యొక్క వాలు \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)కి సమానం
BC రేఖ యొక్క సమీకరణం $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ రేఖ BC వాలు \కి సమానం (k_( BC) = -7\)
2. రెండు అంకెల ఖచ్చితత్వంతో రేడియన్లలో B కోణం
కోణం B అనేది AB మరియు BC పంక్తుల మధ్య కోణం, ఇది $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$కోణీయ గుణకాల విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ఈ పంక్తులు మరియు $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \సుమారు 0.79$$
3.ఎబి వైపు పొడవు
AB వైపు పొడవు పాయింట్ల మధ్య దూరంగా లెక్కించబడుతుంది మరియు \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB)కి సమానం = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD ఎత్తు మరియు దాని పొడవు యొక్క సమీకరణం.
మేము ఇచ్చిన దిశలో ఇచ్చిన పాయింట్ C(4;13) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఎత్తు సమీకరణాన్ని కనుగొంటాము - సూత్రాన్ని ఉపయోగించి AB సరళ రేఖకు లంబంగా \(y-y_0=k(x-x_0) \). లంబ రేఖల లక్షణాన్ని ఉపయోగించి \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) ఎత్తు యొక్క కోణీయ గుణకం \(k_(CD)\)ని కనుగొనండి )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ మేము సమీకరణంలో సరళ రేఖను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, మనకు $$y వస్తుంది - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ మేము ఎత్తు యొక్క పొడవు కోసం చూస్తాము పాయింట్ C(4;13) నుండి AB సరళ రేఖకు దూరం $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లవం సమీకరణం సరళ రేఖ AB యొక్క, దానిని ఈ ఫారమ్‌కి తగ్గిద్దాం \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , ఫలితాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = సూత్రంలోకి పాయింట్ యొక్క సమీకరణం మరియు కోఆర్డినేట్లు 10$$
5. మధ్యస్థ AE యొక్క సమీకరణం మరియు పాయింట్ K యొక్క కోఆర్డినేట్లు, ఎత్తు CDతో ఈ మధ్యస్థం యొక్క ఖండన.
A(-6;8) మరియు E అనే రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంగా మధ్యస్థం యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తాము, ఇక్కడ పాయింట్ E అనేది B మరియు C పాయింట్ల మధ్య మధ్య బిందువు మరియు దాని కోఆర్డినేట్లు దీని ప్రకారం కనుగొనబడతాయి సూత్రం \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తుంది \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) => \(E(5; 6)\), అప్పుడు మధ్యస్థ AE యొక్క సమీకరణం క్రింది $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$ ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి ఎత్తులు మరియు మధ్యస్థం, అనగా. వారి సాధారణ పాయింట్‌ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము సిస్టమ్ సమీకరణాన్ని సృష్టిస్తాము $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(కేసులు)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(కేసులు)=> \begin(కేసులు)25y =175\\3y = 4x+23\end(కేసులు)=> $$ $$\ ప్రారంభం(కేసులు) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(కేసులు)$$ ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు \(K(-\frac(1)(2);7); )\)
6. AB వైపు సమాంతరంగా పాయింట్ K గుండా వెళ్ళే రేఖ యొక్క సమీకరణం.
సరళ రేఖ సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు వాటి కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి, అనగా. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), \(K(-\frac(1)(2);7)\) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు కూడా అంటారు. , అనగా. సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, మేము ఇచ్చిన దిశలో ఇచ్చిన బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం కోసం సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము \(y - y_0=k(x-x_0)\), డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేసి $ని పొందండి $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఇది సరళ రేఖ CDకి సంబంధించి పాయింట్ Aకి సుష్టంగా ఉంటుంది.
పాయింట్ M AB లైన్‌లో ఉంటుంది, ఎందుకంటే CD అనేది ఈ వైపుకు ఎత్తు. CD మరియు AB యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి; దీన్ని చేయడానికి, $$\begin(కేసులు)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(కేసులు) =>\ప్రారంభం(కేసులు)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(కేసులు) => $$$$\begin(కేసులు )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(కేసులు) =>
\begin(కేసులు)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(కేసులు) => $$$$\begin(కేసులు)x=-2\\y=5 \end(కేసులు)$$ పాయింట్ D (-2;5) యొక్క కోఆర్డినేట్లు. AD=DK షరతు ప్రకారం, పాయింట్ల మధ్య ఈ దూరం పైథాగరియన్ ఫార్ములా \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) ద్వారా కనుగొనబడుతుంది, ఇక్కడ AD మరియు DK ఉంటాయి సమాన లంబ త్రిభుజాల హైపోటెన్యూస్, మరియు \(Δx =x_2-x_1\) మరియు \(Δy=y_2-y_1\) ఈ త్రిభుజాల కాళ్లు, అనగా. కాళ్ళను కనుగొని, పాయింట్ M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), మరియు \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి పాయింట్ M సమానంగా ఉంటుంది \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), మరియు \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు \( M(2;2)\) అని మేము కనుగొన్నాము
ప్రామాణిక పని “విమానంలో విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి” నుండి కొన్ని పనులను పరిష్కరించే ఉదాహరణ
శీర్షాలు ఇవ్వబడ్డాయి, 
,
త్రిభుజం ABC. కనుగొనండి:
త్రిభుజం యొక్క అన్ని వైపుల సమీకరణాలు;
త్రిభుజాన్ని నిర్వచించే సరళ అసమానతల వ్యవస్థ ABC;
శీర్షం నుండి గీసిన త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు, మధ్యస్థ మరియు ద్విభాగ సమీకరణాలు ఎ;
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తుల ఖండన స్థానం;
త్రిభుజం మధ్యస్థాల ఖండన స్థానం;
ఎత్తు యొక్క పొడవు పక్కకు తగ్గించబడింది AB;
కార్నర్ ఎ;
డ్రాయింగ్ చేయండి.
త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉండనివ్వండి: ఎ (1; 4), IN (5; 3), తో(3; 6). వెంటనే డ్రాయింగ్ గీద్దాం:
1. త్రిభుజం యొక్క అన్ని భుజాల సమీకరణాలను వ్రాయడానికి, మేము కోఆర్డినేట్‌లతో ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము ( x 0 , వై 0 ) మరియు ( x 1 , వై 1 ):
=
అందువలన, బదులుగా ( x 0 , వై 0 ) పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు ఎ, మరియు బదులుగా ( x 1 , వై 1 ) పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు IN, మేము లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము AB:
ఫలిత సమీకరణం సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం అవుతుంది AB, సాధారణ రూపంలో వ్రాయబడింది. అదేవిధంగా, మేము సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొంటాము AC:
మరియు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం కూడా సూర్యుడు:
2. త్రిభుజం యొక్క బిందువుల సమితిని గమనించండి ABCమూడు అర్ధ-విమానాల ఖండనను సూచిస్తుంది మరియు ప్రతి అర్ధ-విమానం సరళ అసమానతను ఉపయోగించి నిర్వచించవచ్చు. మనం రెండు వైపుల సమీకరణాన్ని తీసుకుంటే ∆ ABC, ఉదాహరణకి AB, తర్వాత అసమానతలు
మరియు 
రేఖకు ఎదురుగా ఉన్న పాయింట్లను నిర్వచించండి AB. పాయింట్ C ఉన్న హాఫ్-ప్లేన్‌ని మనం ఎంచుకోవాలి. దాని కోఆర్డినేట్‌లను రెండు అసమానతలకు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
రెండవ అసమానత సరైనది, అంటే అవసరమైన పాయింట్లు అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి
.
మేము సరళ రేఖ BC, దాని సమీకరణంతో అదే చేస్తాము 
. మేము పాయింట్ A (1, 1)ని టెస్ట్ పాయింట్‌గా ఉపయోగిస్తాము:
అవసరమైన అసమానత రూపాన్ని కలిగి ఉందని దీని అర్థం:
.
మేము సరళ రేఖ AC (టెస్ట్ పాయింట్ B) తనిఖీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
దీని అర్థం అవసరమైన అసమానత రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
మేము చివరకు అసమానతల వ్యవస్థను పొందుతాము:
“≤”, “≥” సంకేతాలు అంటే త్రిభుజం వైపులా ఉన్న పాయింట్లు కూడా త్రిభుజాన్ని రూపొందించే పాయింట్ల సెట్‌లో చేర్చబడ్డాయి. ABC.
3. a) శీర్షం నుండి పడిపోయిన ఎత్తు కోసం సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ఎపక్కకు సూర్యుడు, వైపు సమీకరణాన్ని పరిగణించండి సూర్యుడు:
. కోఆర్డినేట్‌లతో వెక్టర్ 
వైపు లంబంగా సూర్యుడుఅందువలన ఎత్తుకు సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాసుకుందాం ఎవెక్టర్‌కు సమాంతరంగా 
:
ఇది t నుండి తొలగించబడిన ఎత్తుకు సమీకరణం. ఎపక్కకు సూర్యుడు.
బి) వైపు మధ్యలో ఉన్న కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి సూర్యుడుసూత్రాల ప్రకారం: 
ఇక్కడ 
– ఇవి t యొక్క అక్షాంశాలు. IN, ఎ 
– కోఆర్డినేట్స్ t. తో. ప్రత్యామ్నాయం చేసి పొందండి:
ఈ పాయింట్ మరియు పాయింట్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ ఎకావలసిన మధ్యస్థం:
c) సమద్విబాహు త్రిభుజంలో ఒక శీర్షం నుండి త్రిభుజం యొక్క ఆధారం వరకు ఉన్న ఎత్తు, మధ్యస్థం మరియు ద్విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి అనే వాస్తవం ఆధారంగా మేము ద్విభాగ సమీకరణం కోసం చూస్తాము. రెండు వెక్టర్‌లను కనుగొందాం 
మరియు 
మరియు వాటి పొడవు:
అప్పుడు వెక్టర్ 
వెక్టర్ వలె అదే దిశను కలిగి ఉంటుంది 
, మరియు దాని పొడవు 
అదేవిధంగా, యూనిట్ వెక్టర్ 
వెక్టర్‌తో దిశలో ఏకీభవిస్తుంది 
వెక్టర్ మొత్తం
కోణం యొక్క బైసెక్టర్‌తో దిశలో ఏకీభవించే వెక్టర్ ఉంది ఎ. కాబట్టి, కావలసిన ద్విభాగ సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
4) మేము ఇప్పటికే ఎత్తులలో ఒకదానికి సమీకరణాన్ని రూపొందించాము. మరొక ఎత్తు కోసం సమీకరణాన్ని నిర్మిస్తాము, ఉదాహరణకు, శీర్షం నుండి IN. వైపు ACసమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడింది 
కాబట్టి వెక్టర్ 
లంబంగా AC, మరియు తద్వారా కావలసిన ఎత్తుకు సమాంతరంగా ఉంటుంది. అప్పుడు శీర్షం గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం INవెక్టర్ దిశలో 
(అనగా లంబంగా AC), రూపం ఉంది:
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తులు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయని తెలుసు. ప్రత్యేకించి, ఈ పాయింట్ దొరికిన ఎత్తుల ఖండన, అనగా. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం:
- ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు.
5. మధ్య ABకోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది 
. మధ్యస్థం యొక్క సమీకరణాన్ని ప్రక్కకు వ్రాద్దాం AB.ఈ పంక్తి కోఆర్డినేట్‌లతో (3, 2) మరియు (3, 6) పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది, అంటే దాని సమీకరణం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంలో భిన్నం యొక్క హారంలో సున్నా అంటే ఈ సరళ రేఖ ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా నడుస్తుందని గమనించండి.
మధ్యస్థాల ఖండన బిందువును కనుగొనడానికి, సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది:
త్రిభుజం మధ్యస్థాల ఖండన స్థానం కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది 
.
6. ఎత్తు పొడవు పక్కకు తగ్గించబడింది AB,పాయింట్ నుండి దూరానికి సమానం తోసరళ రేఖకు ABసమీకరణంతో 
మరియు సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడింది:
7. కోణం యొక్క కొసైన్ ఎవెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు 
మరియు 
, ఇది ఈ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క నిష్పత్తికి వాటి పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానం:
.