సిలిండర్ (గ్రీకు భాష నుండి వచ్చింది, "రోలర్", "రోలర్" అనే పదాల నుండి) అనేది ఒక రేఖాగణిత శరీరం, ఇది స్థూపాకార మరియు రెండు విమానాలు అని పిలువబడే ఉపరితలం ద్వారా వెలుపల పరిమితం చేయబడింది. ఈ విమానాలు బొమ్మ యొక్క ఉపరితలాన్ని కలుస్తాయి మరియు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.
స్థూపాకార ఉపరితలం అనేది అంతరిక్షంలో సరళ రేఖ ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం. ఈ కదలికలు ఈ సరళ రేఖ యొక్క ఎంచుకున్న బిందువు విమానం రకం వక్రరేఖ వెంట కదులుతుంది. అటువంటి సరళ రేఖను జనరేటర్ అంటారు, మరియు వక్ర రేఖను గైడ్ అంటారు.
సిలిండర్ ఒక జత స్థావరాలు మరియు పార్శ్వ స్థూపాకార ఉపరితలం కలిగి ఉంటుంది. అనేక రకాల సిలిండర్లు ఉన్నాయి:
1. వృత్తాకార, నేరుగా సిలిండర్. ఇటువంటి సిలిండర్ ఉత్పాదక రేఖకు లంబంగా ఒక బేస్ మరియు గైడ్ ఉంది, మరియు ఉంది
2. వంపుతిరిగిన సిలిండర్. ఉత్పాదక రేఖ మరియు బేస్ మధ్య దాని కోణం నేరుగా ఉండదు.
3. వేరే ఆకారం యొక్క సిలిండర్. హైపర్బోలిక్, ఎలిప్టిక్, పారాబొలిక్ మరియు ఇతరులు.
సిలిండర్ యొక్క వైశాల్యం, అలాగే ఏదైనా సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం, ఈ బొమ్మ యొక్క స్థావరాల ప్రాంతాలను మరియు పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యాన్ని జోడించడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.
వృత్తాకార, సరళ సిలిండర్ కోసం సిలిండర్ యొక్క మొత్తం వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రం:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం మొత్తం సిలిండర్ యొక్క వైశాల్యం కంటే కొంచెం క్లిష్టంగా ఉన్నట్లు కనుగొనబడింది, ఇది లంబంగా ఏర్పడిన విభాగం యొక్క చుట్టుకొలత ద్వారా జనరేట్రిక్స్ లైన్ యొక్క పొడవును గుణించడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది; జెనరేట్రిక్స్ లైన్‌కు.
వృత్తాకార, నేరుగా సిలిండర్ కోసం ఇచ్చిన సిలిండర్ ఈ వస్తువు యొక్క అభివృద్ధి ద్వారా గుర్తించబడుతుంది.
అభివృద్ధి అనేది ఒక దీర్ఘచతురస్రం, ఇది ఎత్తు h మరియు పొడవు P కలిగి ఉంటుంది, ఇది బేస్ చుట్టుకొలతకు సమానంగా ఉంటుంది.
సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ వైశాల్యం స్వీప్ ప్రాంతానికి సమానం మరియు ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
మేము వృత్తాకార, నేరుగా సిలిండర్ తీసుకుంటే, దాని కోసం:
P = 2p R, మరియు Sb = 2p Rh.
సిలిండర్ వంపుతిరిగినట్లయితే, పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం దాని ఉత్పాదక రేఖ యొక్క పొడవు మరియు విభాగం యొక్క చుట్టుకొలత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉండాలి, ఇది ఈ ఉత్పత్తి రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
దురదృష్టవశాత్తు, వంపుతిరిగిన సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని దాని ఎత్తు మరియు దాని బేస్ యొక్క పారామితుల పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి సాధారణ సూత్రం లేదు.
సిలిండర్‌ను లెక్కించడానికి, మీరు కొన్ని వాస్తవాలను తెలుసుకోవాలి. దాని విమానంతో ఒక విభాగం స్థావరాలు కలుస్తే, అటువంటి విభాగం ఎల్లప్పుడూ దీర్ఘచతురస్రం. కానీ ఈ దీర్ఘచతురస్రాలు విభాగం యొక్క స్థానాన్ని బట్టి భిన్నంగా ఉంటాయి. ఫిగర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క భుజాలలో ఒకటి, ఇది స్థావరాలకి లంబంగా ఉంటుంది, ఇది ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు మరొకటి సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది. మరియు అటువంటి విభాగం యొక్క వైశాల్యం, తదనుగుణంగా, దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ఒక వైపు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, మొదటిదానికి లంబంగా ఉంటుంది, లేదా ఇచ్చిన వ్యక్తి యొక్క ఎత్తు మరియు దాని బేస్ యొక్క వ్యాసం.
విభాగం ఫిగర్ యొక్క బేస్‌లకు లంబంగా ఉంటే, కానీ భ్రమణ అక్షం గుండా వెళ్ళకపోతే, ఈ విభాగం యొక్క వైశాల్యం ఈ సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు మరియు ఒక నిర్దిష్ట తీగ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. తీగను పొందడానికి, మీరు సిలిండర్ యొక్క బేస్ వద్ద ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించాలి, వ్యాసార్థాన్ని గీయండి మరియు దానిపై విభాగం ఉన్న దూరాన్ని ప్లాట్ చేయండి. మరియు ఈ పాయింట్ నుండి మీరు సర్కిల్‌తో ఖండన నుండి వ్యాసార్థానికి లంబంగా గీయాలి. ఖండన పాయింట్లు కేంద్రానికి అనుసంధానించబడ్డాయి. మరియు త్రిభుజం యొక్క ఆధారం కావలసినది, ఇది ఈ విధమైన శబ్దాల ద్వారా కోరబడుతుంది: "రెండు కాళ్ళ చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ స్క్వేర్డ్‌కు సమానం":
C2 = A2 + B2.
విభాగం సిలిండర్ యొక్క ఆధారాన్ని ప్రభావితం చేయకపోతే, మరియు సిలిండర్ వృత్తాకారంగా మరియు సూటిగా ఉంటే, ఈ విభాగం యొక్క ప్రాంతం సర్కిల్ యొక్క ప్రాంతంగా గుర్తించబడుతుంది.
వృత్తం యొక్క ప్రాంతం:
ఎస్ ఎన్వి. = 2పి R2.
Rని కనుగొనడానికి, మీరు దాని పొడవు Cని 2n ద్వారా విభజించాలి:
R = C\2n, ఇక్కడ n అనేది pi, సర్కిల్ డేటాతో పని చేయడానికి మరియు 3.14కి సమానమైన గణిత స్థిరాంకం.
స్టీరియోమెట్రీ అనేది జ్యామితి యొక్క ఒక శాఖ, దీనిలో అంతరిక్షంలో ఉన్న బొమ్మలను అధ్యయనం చేస్తారు. అంతరిక్షంలో ప్రధాన వ్యక్తులు ఒక బిందువు, ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానం. స్టీరియోమెట్రీలో, లైన్ల యొక్క కొత్త రకం సాపేక్ష అమరిక కనిపిస్తుంది: క్రాసింగ్ లైన్లు. స్టీరియోమెట్రీ మరియు ప్లానిమెట్రీ మధ్య ఉన్న కొన్ని ముఖ్యమైన వ్యత్యాసాలలో ఇది ఒకటి, ఎందుకంటే అనేక సందర్భాల్లో ప్లానిమెట్రిక్ చట్టాలు సంతృప్తి చెందిన వివిధ విమానాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా స్టీరియోమెట్రీలో సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి.
మన చుట్టూ ఉన్న ప్రకృతిలో, ఈ బొమ్మ యొక్క భౌతిక నమూనాలు అనేక వస్తువులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, అనేక యంత్ర భాగాలు సిలిండర్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటాయి లేదా వాటి కలయికతో ఉంటాయి మరియు సిలిండర్ల ఆకారంలో తయారు చేయబడిన దేవాలయాలు మరియు కేథడ్రాల్స్ యొక్క గంభీరమైన నిలువు వరుసలు వాటి సామరస్యాన్ని మరియు అందాన్ని నొక్కి చెబుతాయి.
గ్రీకు - కైలిండ్రోస్. ఒక పురాతన పదం. రోజువారీ జీవితంలో - పాపిరస్ స్క్రోల్, రోలర్, రోలర్ (క్రియ - ట్విస్ట్, రోల్).
యూక్లిడ్ కోసం, ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని తిప్పడం ద్వారా సిలిండర్ పొందబడుతుంది. కావలీరీలో - జనరేట్రిక్స్ యొక్క కదలిక ద్వారా (ఏకపక్ష గైడ్‌తో - "సిలిండర్").
ఈ వ్యాసం యొక్క ఉద్దేశ్యం రేఖాగణిత శరీరాన్ని పరిగణించడం - ఒక సిలిండర్.
ఈ లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి, ఈ క్రింది పనులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం:
- సిలిండర్ యొక్క నిర్వచనాలను ఇవ్వండి;
- సిలిండర్ యొక్క మూలకాలను పరిగణించండి;
- సిలిండర్ యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేయండి;
- సిలిండర్ విభాగాల రకాలను పరిగణించండి;
- సిలిండర్ యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రాన్ని పొందండి;
- సిలిండర్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని పొందండి;
- సిలిండర్‌ను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించండి.
1.1 సిలిండర్ యొక్క నిర్వచనం
కొన్ని రేఖ (వక్రత, విరిగిన లేదా మిశ్రమ) l కొన్ని విమానంలో α మరియు కొన్ని సరళ రేఖ S ఈ విమానాన్ని కలుస్తుంది. ఇచ్చిన రేఖ యొక్క అన్ని పాయింట్ల ద్వారా l మేము సరళ రేఖ Sకి సమాంతరంగా సరళ రేఖలను గీస్తాము; ఈ సరళ రేఖల ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం αని స్థూపాకార ఉపరితలం అంటారు. లైన్ l ఈ ఉపరితలం యొక్క గైడ్ అని పిలుస్తారు, పంక్తులు s 1, s 2, s 3,... దాని జనరేటర్లు.
గైడ్ విచ్ఛిన్నమైతే, అటువంటి స్థూపాకార ఉపరితలం సమాంతర సరళ రేఖల జతల మధ్య అనేక ఫ్లాట్ స్ట్రిప్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు దీనిని ప్రిస్మాటిక్ ఉపరితలం అంటారు. గైడ్ విరిగిన రేఖ యొక్క శీర్షాల గుండా వెళుతున్న జెనరాట్రిక్స్ ప్రిస్మాటిక్ ఉపరితలం యొక్క అంచులు అని పిలుస్తారు, వాటి మధ్య ఫ్లాట్ స్ట్రిప్స్ దాని ముఖాలు.
మేము దాని జనరేటర్లకు సమాంతరంగా లేని ఏకపక్ష విమానంతో ఏదైనా స్థూపాకార ఉపరితలాన్ని కత్తిరించినట్లయితే, మేము ఈ ఉపరితలం కోసం గైడ్గా కూడా తీసుకోగల ఒక లైన్ను పొందుతాము. గైడ్‌లలో, ఉపరితలం యొక్క జెనరేట్రిక్‌లకు లంబంగా ఉన్న విమానంతో ఉపరితలాన్ని కత్తిరించడం ద్వారా పొందబడినది ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది. అటువంటి విభాగాన్ని సాధారణ విభాగం అంటారు మరియు సంబంధిత గైడ్‌ను సాధారణ గైడ్ అంటారు.
గైడ్ ఒక క్లోజ్డ్ (కుంభాకార) లైన్ (విరిగిన లేదా వక్రంగా) ఉంటే, అప్పుడు సంబంధిత ఉపరితలాన్ని క్లోజ్డ్ (కుంభాకార) ప్రిస్మాటిక్ లేదా స్థూపాకార ఉపరితలం అంటారు. సరళమైన స్థూపాకార ఉపరితలాలు దాని సాధారణ మార్గదర్శకంగా ఒక వృత్తాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా రెండు విమానాలతో సంవృత కుంభాకార ప్రిస్మాటిక్ ఉపరితలాన్ని విడదీద్దాం, కానీ జనరేటర్లకు సమాంతరంగా కాదు.
విభాగాలలో మేము కుంభాకార బహుభుజాలను పొందుతాము. ఇప్పుడు α మరియు α" విమానాల మధ్య ఉన్న ప్రిస్మాటిక్ ఉపరితలం యొక్క భాగం మరియు ఈ విమానాలలో ఏర్పడిన రెండు బహుభుజి పలకలు ప్రిస్మాటిక్ బాడీ అని పిలువబడే శరీరాన్ని పరిమితం చేస్తాయి - ప్రిజం.
స్థూపాకార శరీరం - ఒక సిలిండర్ ప్రిజం వలె నిర్వచించబడింది:
ఒక సిలిండర్ అనేది ఒక క్లోజ్డ్ (కుంభాకార) స్థూపాకార ఉపరితలం ద్వారా వైపులా మరియు చివర్లలో రెండు ఫ్లాట్ సమాంతర స్థావరాలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న శరీరం. సిలిండర్ యొక్క రెండు స్థావరాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సిలిండర్ యొక్క అన్ని భాగాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, అనగా. స్థావరాల విమానాల మధ్య ఒక స్థూపాకార ఉపరితలం యొక్క జనరేట్రిక్స్ యొక్క విభాగాలు.
ఒక సిలిండర్ (మరింత ఖచ్చితంగా, ఒక వృత్తాకార సిలిండర్) అనేది ఒక రేఖాగణిత శరీరం, ఇది ఒకే విమానంలో ఉండని రెండు వృత్తాలు మరియు సమాంతర అనువాదంతో కలిపి ఉంటాయి మరియు ఈ సర్కిల్‌ల సంబంధిత పాయింట్లను అనుసంధానించే అన్ని విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది (Fig. 1) .
సర్కిల్‌లను సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు అని పిలుస్తారు మరియు సర్కిల్‌ల చుట్టుకొలత యొక్క సంబంధిత బిందువులను అనుసంధానించే విభాగాలను సిలిండర్ యొక్క జనరేటర్లు అంటారు.
సమాంతర అనువాదం చలనం కాబట్టి, సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు సమానంగా ఉంటాయి.
సమాంతర అనువాద సమయంలో విమానం సమాంతర సమతలంగా (లేదా దానిలోకి) రూపాంతరం చెందుతుంది కాబట్టి, సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు సమాంతర విమానాలలో ఉంటాయి.
సమాంతర అనువాదం సమయంలో పాయింట్లు ఒకే దూరం ద్వారా సమాంతర (లేదా ఏకకాలిక) పంక్తుల వెంట మార్చబడతాయి కాబట్టి, సిలిండర్ యొక్క జనరేటర్లు సమాంతరంగా మరియు సమానంగా ఉంటాయి.
సిలిండర్ యొక్క ఉపరితలం బేస్ మరియు సైడ్ ఉపరితలం కలిగి ఉంటుంది. పార్శ్వ ఉపరితలం జెనరేట్రిసెస్‌తో కూడి ఉంటుంది.
ఒక సిలిండర్ దాని జనరేటర్లు స్థావరాల విమానాలకు లంబంగా ఉంటే నేరుగా అంటారు.
ఒక స్ట్రెయిట్ సిలిండర్‌ను దృశ్యమానంగా రేఖాగణిత శరీరంగా ఊహించవచ్చు, అది ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని దాని వైపు చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు అక్షం (Fig. 2)గా వివరిస్తుంది.
అన్నం. 2 - స్ట్రెయిట్ సిలిండర్
కింది వాటిలో, మేము స్ట్రెయిట్ సిలిండర్‌ను మాత్రమే పరిగణిస్తాము, దానిని సంక్షిప్తత కోసం సిలిండర్ అని పిలుస్తాము.
సిలిండర్ యొక్క వ్యాసార్థం దాని బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం. సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు దాని స్థావరాల విమానాల మధ్య దూరం. సిలిండర్ యొక్క అక్షం అనేది స్థావరాల కేంద్రాల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ. ఇది జనరేటర్లకు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
ఒక సిలిండర్ ఎత్తు బేస్ యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటే దానిని సమబాహు అంటారు.
సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు ఫ్లాట్ అయితే (మరియు, అందువల్ల, వాటిని కలిగి ఉన్న విమానాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి), అప్పుడు సిలిండర్ ఒక విమానంలో నిలబడుతుందని చెప్పబడింది. ఒక విమానంలో నిలబడి ఉన్న సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు జెనరాట్రిక్స్‌కు లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు సిలిండర్‌ను నేరుగా అంటారు.
ప్రత్యేకించి, ఒక విమానంలో నిలబడి ఉన్న సిలిండర్ యొక్క ఆధారం ఒక వృత్తం అయితే, మేము వృత్తాకార (వృత్తాకార) సిలిండర్ గురించి మాట్లాడుతాము; అది దీర్ఘవృత్తాకారం అయితే, అది దీర్ఘవృత్తాకారంగా ఉంటుంది.
1. 3. సిలిండర్ యొక్క విభాగాలు
దాని అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న విమానంతో సిలిండర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్ ఒక దీర్ఘ చతురస్రం (Fig. 3, a). దాని రెండు వైపులా సిలిండర్ యొక్క జనరేటర్లు, మరియు ఇతర రెండు స్థావరాల యొక్క సమాంతర తీగలు.
ఎ) 
బి)
V) జి)
అన్నం. 3 - సిలిండర్ యొక్క విభాగాలు
ముఖ్యంగా, దీర్ఘచతురస్రం అక్షసంబంధ విభాగం. ఇది ఒక సిలిండర్ యొక్క ఒక విభాగం, దాని అక్షం గుండా వెళుతున్న విమానం (Fig. 3, b).
బేస్కు సమాంతరంగా ఉన్న ఒక సిలిండర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్ ఒక వృత్తం (మూర్తి 3, సి).
బేస్ మరియు దాని అక్షానికి సమాంతరంగా లేని విమానం ఉన్న సిలిండర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్ ఓవల్ (Fig. 3d).
సిద్ధాంతం 1. సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క విమానానికి సమాంతరంగా ఉన్న ఒక విమానం బేస్ చుట్టుకొలతకు సమానమైన వృత్తంతో పాటు దాని పార్శ్వ ఉపరితలాన్ని కలుస్తుంది.
రుజువు. β అనేది సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఉండే విమానం. సిలిండర్ అక్షం యొక్క దిశలో సమాంతర అనువాదం, సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క విమానంతో విమానం β కలపడం, బేస్ చుట్టుకొలతతో విమానం β ద్వారా సైడ్ ఉపరితలం యొక్క విభాగాన్ని మిళితం చేస్తుంది. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం.
సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం ఈ ప్రిజం యొక్క బేస్ యొక్క భుజాల సంఖ్య నిరవధికంగా పెరిగినప్పుడు సిలిండర్లో చెక్కబడిన సాధారణ ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం యొక్క పరిమితిగా పరిగణించబడుతుంది.
సిద్ధాంతం 2. సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం దాని బేస్ మరియు దాని ఎత్తు యొక్క చుట్టుకొలత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం (S side.c = 2πRH, ఇక్కడ R అనేది సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం, H సిలిండర్ ఎత్తు).
ఎ) 
బి) 
అన్నం. 4 - సిలిండర్ యొక్క సైడ్ ఉపరితల వైశాల్యం
రుజువు.
P n మరియు H ఆధారం యొక్క చుట్టుకొలత మరియు సిలిండర్లో వరుసగా లిఖించబడిన సాధారణ n-గోనల్ ప్రిజం యొక్క ఎత్తుగా ఉండనివ్వండి (Fig. 4, a). అప్పుడు ఈ ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యం S side.c - P n H. బేస్‌లో లిఖించబడిన బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య పరిమితి లేకుండా పెరుగుతుందని అనుకుందాం (Fig. 4, b). అప్పుడు చుట్టుకొలత P n చుట్టుకొలత C = 2πRకి మొగ్గు చూపుతుంది, ఇక్కడ R అనేది సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం మరియు ఎత్తు H మారదు. అందువలన, ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం 2πRH పరిమితిని కలిగి ఉంటుంది, అనగా, సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం S side.c = 2πRHకి సమానం. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం.
సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం అనేది పార్శ్వ ఉపరితలం మరియు రెండు స్థావరాల యొక్క ప్రాంతాల మొత్తం. సిలిండర్ యొక్క ప్రతి బేస్ వైశాల్యం πR 2కి సమానం, కాబట్టి, సిలిండర్ S మొత్తం యొక్క మొత్తం ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం S side.c = 2πRH+ 2πR 2 సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.
|
|
|
|
|
|
|
|
అన్నం. 5 - సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం
సిలిండర్ యొక్క ప్రక్క ఉపరితలం జెనరేట్రిక్స్ FT (Fig. 5, a) వెంట కత్తిరించబడి, అన్ని జనరేటర్లు ఒకే విమానంలో ఉండేలా విప్పబడితే, ఫలితంగా మనకు దీర్ఘచతురస్రం FTT1F1 లభిస్తుంది, దీనిని అభివృద్ధి అని పిలుస్తారు. సిలిండర్ వైపు ఉపరితలం. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సైడ్ FF1 అనేది సిలిండర్ యొక్క ఆధారం యొక్క వృత్తం యొక్క అభివృద్ధి, కాబట్టి, FF1=2πR, మరియు దాని వైపు FT అనేది సిలిండర్ యొక్క జనరేట్రిక్స్‌కు సమానం, అంటే FT = H (Fig. 5, b). అందువలన, సిలిండర్ అభివృద్ధి యొక్క ప్రాంతం FT∙FF1=2πRH దాని పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం.
1.5 సిలిండర్ వాల్యూమ్
రేఖాగణిత శరీరం సరళంగా ఉంటే, అంటే, దానిని పరిమిత సంఖ్యలో త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లుగా విభజించవచ్చు, అప్పుడు దాని వాల్యూమ్ ఈ పిరమిడ్‌ల వాల్యూమ్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఏకపక్ష శరీరం కోసం, వాల్యూమ్ క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది.
ఇవ్వబడిన శరీరానికి కావలసిన విధంగా V నుండి కొద్దిగా భిన్నమైన వాల్యూమ్‌లను కలిగి ఉన్న సాధారణ శరీరాలు మరియు దానిలో ఉన్న సాధారణ శరీరాలు ఉంటే వాల్యూమ్ Vని కలిగి ఉంటుంది.
మూల వ్యాసార్థం R మరియు ఎత్తు H ఉన్న సిలిండర్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి ఈ నిర్వచనాన్ని వర్తింపజేద్దాం.
వృత్తం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రాన్ని పొందినప్పుడు, రెండు n-గోన్‌లు నిర్మించబడ్డాయి (ఒకటి సర్కిల్‌ను కలిగి ఉంటుంది, మరొకటి సర్కిల్‌లో ఉంటుంది) అంటే వాటి ప్రాంతాలు, nలో అపరిమిత పెరుగుదలతో, వైశాల్యానికి చేరువయ్యాయి. పరిమితి లేని సర్కిల్. సిలిండర్ యొక్క బేస్ వద్ద సర్కిల్ కోసం అటువంటి బహుభుజాలను నిర్మిస్తాము. P ఒక వృత్తాన్ని కలిగి ఉన్న బహుభుజిగా ఉండనివ్వండి మరియు P" ఒక వృత్తంలో ఉండే బహుభుజిగా ఉండనివ్వండి (Fig. 6).
అన్నం. 7 - ప్రిజంతో సిలిండర్ వివరించబడింది మరియు దానిలో చెక్కబడింది
P మరియు P బేస్‌లతో రెండు స్ట్రెయిట్ ప్రిజమ్‌లను నిర్మిస్తాం మరియు సిలిండర్ ఎత్తుకు సమానమైన ఎత్తు H. మొదటి ప్రిజం ఒక సిలిండర్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండవ ప్రిజం సిలిండర్లో ఉంటుంది. nలో అపరిమిత పెరుగుదలతో, ప్రిజమ్‌ల స్థావరాల ప్రాంతాలు అపరిమితంగా సిలిండర్ S యొక్క స్థావరాన్ని చేరుకుంటాయి, అప్పుడు వాటి వాల్యూమ్‌లు నిరవధికంగా SНకి చేరుకుంటాయి, నిర్వచనం ప్రకారం, సిలిండర్ వాల్యూమ్
V = SH = πR 2 H.
కాబట్టి, సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ బేస్ మరియు ఎత్తు యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
టాస్క్ 1.
సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం Q ప్రాంతంతో ఒక చతురస్రం.
సిలిండర్ యొక్క బేస్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
ఇవ్వబడింది: సిలిండర్, స్క్వేర్ - సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం, S స్క్వేర్ = Q.
కనుగొను: S ప్రధాన సిలిండర్
చతురస్రం వైపు ఉంటుంది. ఇది బేస్ యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి బేస్ యొక్క ప్రాంతం 
.
సమాధానం: S ప్రధాన సిలిండర్ =
టాస్క్ 2.
ఒక సాధారణ షట్కోణ ప్రిజం ఒక సిలిండర్లో చెక్కబడి ఉంటుంది. బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం సిలిండర్ ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటే, దాని వైపు ముఖం యొక్క వికర్ణం మరియు సిలిండర్ యొక్క అక్షం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.
ఇవ్వబడింది: సిలిండర్, సిలిండర్లో లిఖించబడిన సాధారణ షట్కోణ ప్రిజం, మూల వ్యాసార్థం = సిలిండర్ ఎత్తు.
కనుగొనండి: దాని వైపు ముఖం యొక్క వికర్ణం మరియు సిలిండర్ యొక్క అక్షం మధ్య కోణం.
పరిష్కారం: ప్రిజం యొక్క పార్శ్వ ముఖాలు చతురస్రాలు, ఎందుకంటే వృత్తంలో చెక్కబడిన సాధారణ షడ్భుజి వైపు వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది.
ప్రిజం యొక్క అంచులు సిలిండర్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటాయి, కాబట్టి ముఖం యొక్క వికర్ణం మరియు సిలిండర్ అక్షం మధ్య కోణం వికర్ణ మరియు ప్రక్క అంచుల మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. మరియు ఈ కోణం 45°, ఎందుకంటే ముఖాలు చతురస్రాలు.
సమాధానం: దాని వైపు ముఖం యొక్క వికర్ణం మరియు సిలిండర్ యొక్క అక్షం = 45° మధ్య కోణం.
టాస్క్ 3.
సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు 6 సెం.మీ., బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం 5 సెం.మీ.
దాని నుండి 4 సెంటీమీటర్ల దూరంలో సిలిండర్ యొక్క అక్షానికి సమాంతరంగా గీసిన విభాగం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
ఇవ్వబడింది: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
కనుగొను: S సెకను.
S సెకను = KM×KS,
OE = 4 సెం.మీ., KS = 6 సెం.మీ.
త్రిభుజం OKM - సమద్విబాహులు (OK = OM = R = 5 సెం.మీ),
త్రిభుజం OEK ఒక లంబ త్రిభుజం.
OEK త్రిభుజం నుండి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:
KM = 2EK = 2×3 = 6,
S సెకను = 6×6 = 36 సెం.మీ 2.
ఈ వ్యాసం యొక్క ఉద్దేశ్యం సిలిండర్ వంటి జ్యామితీయ అంశంగా పరిగణించబడింది.
కింది పనులు పరిగణించబడతాయి:
- సిలిండర్ యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది;
- సిలిండర్ యొక్క మూలకాలు పరిగణించబడతాయి;
- సిలిండర్ యొక్క లక్షణాలు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి;
- సిలిండర్ విభాగాల రకాలు పరిగణించబడతాయి;
- సిలిండర్ యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రం తీసుకోబడింది;
- సిలిండర్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రం తీసుకోబడింది;
- సిలిండర్‌ని ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించారు.
1. పోగోరెలోవ్ A.V. జ్యామితి: 10 - 11 తరగతుల విద్యా సంస్థల పాఠ్య పుస్తకం, 1995.
2. బెస్కిన్ L.N. స్టీరియోమెట్రీ. మాధ్యమిక పాఠశాల ఉపాధ్యాయుల కోసం మాన్యువల్, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. జ్యామితి: విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం, 2000.
4. అలెక్సాండ్రోవ్ A.D., వెర్నర్ A.L., రిజిక్ V.I. జ్యామితి: సాధారణ విద్యా సంస్థలలో 10-11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం, 1998.
5. కిసెలెవ్ A. P., Rybkin N. A. జ్యామితి: స్టీరియోమెట్రీ: గ్రేడ్‌లు 10 - 11: పాఠ్య పుస్తకం మరియు సమస్య పుస్తకం, 2000.
సిలిండర్ యొక్క ప్రతి బేస్ వైశాల్యం π ఆర్ 2, రెండు బేస్‌ల వైశాల్యం 2π అవుతుంది ఆర్ 2 (అత్తి.).సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం 2π ఉన్న దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యానికి సమానం ఆర్, మరియు ఎత్తు సిలిండర్ యొక్క ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది h, అంటే 2π rh.
సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలం: 2π ఆర్ 2 + 2π rh= 2π ఆర్(ఆర్+ h).
సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం పరిగణించబడుతుంది స్వీప్ ప్రాంతందాని పార్శ్వ ఉపరితలం.
అందువల్ల, కుడి వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం సంబంధిత దీర్ఘచతురస్రం (Fig.) యొక్క వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.
ఎస్ బి.సి. = 2πRH, (1)
మేము దాని రెండు స్థావరాల వైశాల్యాన్ని సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యానికి జోడిస్తే, మేము సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని పొందుతాము
S పూర్తి =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
నేరుగా సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్
సిద్ధాంతం. నేరుగా సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ దాని బేస్ మరియు దాని ఎత్తు యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది , అనగాఇక్కడ Q అనేది బేస్ యొక్క వైశాల్యం మరియు H అనేది సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు.
సిలిండర్ యొక్క ఆధారం యొక్క వైశాల్యం Q కాబట్టి, Q ప్రాంతాలతో చుట్టుముట్టబడిన మరియు లిఖించబడిన బహుభుజాల శ్రేణులు ఉన్నాయి. nమరియు Q' nఅలాంటి
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= Q.
పైన వివరించిన మరియు లిఖించబడిన బహుభుజాల స్థావరాలు మరియు దాని ప్రక్క అంచులు ఇచ్చిన సిలిండర్ యొక్క జనరేట్రిక్స్‌కు సమాంతరంగా మరియు పొడవు H కలిగి ఉండే ప్రిజమ్‌ల క్రమాన్ని నిర్మిస్తాము. వాటి వాల్యూమ్‌లు సూత్రాల ద్వారా కనుగొనబడతాయి
వి n= Q n H మరియు V' n= ప్ర' nహెచ్.
అందుకే,
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n H = QH.
పర్యవసానం.
కుడి వృత్తాకార సిలిండర్ వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
V = π R 2 H
ఇక్కడ R అనేది బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం మరియు H అనేది సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు.
వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క ఆధారం R వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తం కాబట్టి, Q = π R 2, అందువలన
సిలిండర్ అనేది సుష్ట ప్రాదేశిక వ్యక్తి, దీని లక్షణాలు స్టీరియోమెట్రీ కోర్సులో ఉన్నత పాఠశాలలో పరిగణించబడతాయి. దానిని వివరించడానికి, ఎత్తు మరియు మూల వ్యాసార్థం వంటి సరళ లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఈ వ్యాసంలో సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం ఏమిటి మరియు ఫిగర్ యొక్క ప్రాథమిక సరళ లక్షణాల ద్వారా దాని పారామితులను ఎలా లెక్కించాలి అనే ప్రశ్నలను మేము పరిశీలిస్తాము.
రేఖాగణిత బొమ్మ
మొదట, వ్యాసంలో చర్చించబడే బొమ్మను నిర్వచిద్దాం. సిలిండర్ అనేది ఒక నిర్దిష్ట వక్రతతో పాటు స్థిరమైన పొడవు యొక్క సెగ్మెంట్ యొక్క సమాంతర కదలిక ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం. ఈ కదలికకు ప్రధాన షరతు ఏమిటంటే, సెగ్మెంట్ వక్రరేఖకు చెందినది కాదు.
దిగువ బొమ్మ ఒక సిలిండర్‌ను చూపుతుంది, దీని వక్రరేఖ (గైడ్) దీర్ఘవృత్తాకారంగా ఉంటుంది.
ఇక్కడ పొడవు h యొక్క ఒక విభాగం దాని జనరేటర్ మరియు ఎత్తు.
సిలిండర్ రెండు సారూప్య స్థావరాలు (ఈ సందర్భంలో దీర్ఘవృత్తాలు) కలిగి ఉన్నట్లు చూడవచ్చు, ఇవి సమాంతర విమానాలు మరియు ఒక ప్రక్క ఉపరితలంలో ఉంటాయి. రెండోది ఏర్పడే పంక్తుల యొక్క అన్ని పాయింట్లకు చెందినది.
సిలిండర్ల యొక్క అక్షసంబంధ విభాగాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకునే ముందు, ఈ సంఖ్యల రకాలు ఏవి ఉన్నాయో మేము మీకు చెప్తాము.
ఉత్పాదక రేఖ ఫిగర్ యొక్క స్థావరాలకు లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు మేము నేరుగా సిలిండర్ గురించి మాట్లాడుతాము. లేకుంటే సిలిండర్ వంగి ఉంటుంది. మీరు రెండు స్థావరాల యొక్క కేంద్ర బిందువులను కనెక్ట్ చేస్తే, ఫలితంగా వచ్చే సరళ రేఖను ఫిగర్ యొక్క అక్షం అంటారు. దిగువ బొమ్మ నేరుగా మరియు వంపుతిరిగిన సిలిండర్ల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని చూపుతుంది.
ఇది నేరుగా ఫిగర్ కోసం, ఉత్పాదక విభాగం యొక్క పొడవు h ఎత్తు విలువతో సమానంగా ఉంటుందని చూడవచ్చు. వంపుతిరిగిన సిలిండర్ కోసం, ఎత్తు, అంటే, స్థావరాల మధ్య దూరం, ఎల్లప్పుడూ జెనరాట్రిక్స్ లైన్ పొడవు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
నేరుగా సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం
యాక్సియల్ అనేది సిలిండర్ యొక్క అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా విభాగం. ఈ నిర్వచనం ప్రకారం అక్షసంబంధ విభాగం ఎల్లప్పుడూ జెనరాట్రిక్స్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
నేరుగా సిలిండర్లో, అక్షం వృత్తం మధ్యలో గుండా వెళుతుంది మరియు దాని విమానానికి లంబంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం పరిశీలనలో ఉన్న సర్కిల్ దాని వ్యాసంతో పాటు కలుస్తుంది. ఫిగర్ సగం సిలిండర్‌ను చూపుతుంది, ఇది అక్షం గుండా వెళుతున్న విమానంతో ఫిగర్ ఖండన ఫలితంగా ఉంటుంది.
నేరుగా వృత్తాకార సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం ఒక దీర్ఘ చతురస్రం అని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు. దీని భుజాలు ఆధారం యొక్క వ్యాసం d మరియు ఫిగర్ యొక్క ఎత్తు h.
సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం మరియు దాని వికర్ణం యొక్క పొడవు h d కోసం సూత్రాలను వ్రాస్దాం:
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం రెండు వికర్ణాలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ రెండూ ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం తెలిసినట్లయితే, దాని ద్వారా ఈ సూత్రాలను తిరిగి వ్రాయడం కష్టం కాదు, అది సగం వ్యాసం కలిగి ఉంటుంది.
వంపుతిరిగిన సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం
పై చిత్రంలో కాగితంతో చేసిన ఏటవాలు సిలిండర్‌ని చూపుతున్నారు. మీరు దాని అక్షసంబంధ విభాగాన్ని చేస్తే, మీరు ఇకపై దీర్ఘచతురస్రాన్ని పొందలేరు, కానీ సమాంతర చతుర్భుజం. దాని వైపులా తెలిసిన పరిమాణాలు. వాటిలో ఒకటి, నేరుగా సిలిండర్ యొక్క క్రాస్-సెక్షన్ విషయంలో, బేస్ యొక్క వ్యాసం dకి సమానంగా ఉంటుంది, మరొకటి ఏర్పడే సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు. దీనిని b ని సూచిస్తాము.
సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క పారామితులను నిస్సందేహంగా నిర్ణయించడానికి, దాని వైపు పొడవులను తెలుసుకోవడం సరిపోదు. వాటి మధ్య మరో కోణం అవసరం. గైడ్ మరియు బేస్ మధ్య తీవ్రమైన కోణం α అని అనుకుందాం. ఇది సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భుజాల మధ్య కోణం కూడా అవుతుంది. అప్పుడు వంపుతిరిగిన సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతానికి సూత్రాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
వంపుతిరిగిన సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం యొక్క వికర్ణాలను లెక్కించడం కొంత కష్టం. సమాంతర చతుర్భుజం వేర్వేరు పొడవుల రెండు వికర్ణాలను కలిగి ఉంటుంది. తెలిసిన భుజాలు మరియు వాటి మధ్య తీవ్రమైన కోణాన్ని ఉపయోగించి సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలను లెక్కించడానికి అనుమతించే వ్యుత్పత్తి లేకుండా మేము వ్యక్తీకరణలను ప్రదర్శిస్తాము:
l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));
l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))
ఇక్కడ l 1 మరియు l 2 వరుసగా చిన్న మరియు పెద్ద వికర్ణాల పొడవు. విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ప్రవేశపెట్టడం ద్వారా ప్రతి వికర్ణాన్ని వెక్టర్‌గా పరిగణించినట్లయితే ఈ సూత్రాలను స్వతంత్రంగా పొందవచ్చు.
స్ట్రెయిట్ సిలిండర్ సమస్య
కింది సమస్యను పరిష్కరించడానికి పొందిన జ్ఞానాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో మేము మీకు చూపుతాము. మాకు ఒక రౌండ్ స్ట్రెయిట్ సిలిండర్ ఇవ్వబడుతుంది. సిలిండర్ యొక్క అక్షసంబంధ క్రాస్ సెక్షన్ చదరపు అని తెలుసు. మొత్తం ఫిగర్ 100 సెం.మీ 2 అయితే ఈ విభాగం వైశాల్యం ఎంత?
అవసరమైన ప్రాంతాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు సిలిండర్ యొక్క ఆధారం యొక్క వ్యాసార్థం లేదా వ్యాసాన్ని కనుగొనాలి. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఫిగర్ యొక్క మొత్తం ప్రాంతం S f కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
అక్షసంబంధ విభాగం ఒక చతురస్రం కాబట్టి, దీని అర్థం బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం r సగం ఎత్తు h. దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, పైన ఉన్న సమానత్వాన్ని మనం ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
ఇప్పుడు మనం r వ్యాసార్థాన్ని వ్యక్తీకరించవచ్చు, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
చతురస్రాకార విభాగం యొక్క వైపు ఫిగర్ బేస్ యొక్క వ్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, దాని ప్రాంతాన్ని S లెక్కించడానికి క్రింది సూత్రం చెల్లుబాటు అవుతుంది:
S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)
సిలిండర్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం ద్వారా అవసరమైన ప్రాంతం ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుందని మేము చూస్తాము. డేటాను సమానత్వంగా మారుస్తూ, మేము సమాధానానికి వస్తాము: S = 21.23 cm 2.
సిలిండర్ (వృత్తాకార సిలిండర్) అనేది సమాంతర అనువాదంతో కలిపి రెండు వృత్తాలు మరియు ఈ సర్కిల్‌ల సంబంధిత బిందువులను అనుసంధానించే అన్ని విభాగాలను కలిగి ఉండే శరీరం. సర్కిల్‌లను సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు అని పిలుస్తారు మరియు సర్కిల్‌ల చుట్టుకొలత యొక్క సంబంధిత బిందువులను అనుసంధానించే విభాగాలను సిలిండర్ యొక్క జనరేటర్లు అంటారు.
సిలిండర్ యొక్క స్థావరాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సమాంతర విమానాలలో ఉంటాయి మరియు సిలిండర్ యొక్క జనరేటర్లు సమాంతరంగా మరియు సమానంగా ఉంటాయి. సిలిండర్ యొక్క ఉపరితలం బేస్ మరియు సైడ్ ఉపరితలం కలిగి ఉంటుంది. పార్శ్వ ఉపరితలం జెనరేట్రిసెస్‌తో రూపొందించబడింది.
ఒక సిలిండర్ దాని జనరేటర్లు బేస్ యొక్క విమానాలకు లంబంగా ఉంటే నేరుగా అంటారు. ఒక సిలిండర్‌ను ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని దాని చుట్టూ ఒక అక్షం వలె తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరంగా పరిగణించవచ్చు. ఇతర రకాల సిలిండర్లు ఉన్నాయి - ఎలిప్టిక్, హైపర్బోలిక్, పారాబొలిక్. ప్రిజం కూడా ఒక రకమైన సిలిండర్‌గా పరిగణించబడుతుంది.
మూర్తి 2 వంపుతిరిగిన సిలిండర్‌ను చూపుతుంది. O మరియు O 1 కేంద్రాలు కలిగిన సర్కిల్‌లు దాని స్థావరాలు.
సిలిండర్ యొక్క వ్యాసార్థం దాని బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం. సిలిండర్ యొక్క ఎత్తు అనేది స్థావరాల విమానాల మధ్య దూరం. సిలిండర్ యొక్క అక్షం అనేది స్థావరాల కేంద్రాల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ. ఇది జనరేటర్లకు సమాంతరంగా ఉంటుంది. సిలిండర్ అక్షం గుండా ప్రయాణించే విమానం ఉన్న సిలిండర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్‌ను అక్షసంబంధ విభాగం అంటారు. ఈ జెనరాట్రిక్స్ ద్వారా గీసిన అక్షసంబంధ విభాగానికి లంబంగా మరియు నేరుగా సిలిండర్ యొక్క జనరేట్రిక్స్ గుండా వెళుతున్న విమానం సిలిండర్ యొక్క టాంజెంట్ ప్లేన్ అంటారు.
సిలిండర్ యొక్క అక్షానికి లంబంగా ఉన్న ఒక విమానం బేస్ యొక్క చుట్టుకొలతకు సమానమైన వృత్తంతో దాని ప్రక్క ఉపరితలాన్ని కలుస్తుంది.
సిలిండర్లో లిఖించబడిన ప్రిజం అనేది ఒక ప్రిజం, దీని స్థావరాలు సిలిండర్ బేస్‌లలో చెక్కబడిన సమాన బహుభుజాలు. దాని పార్శ్వ పక్కటెముకలు సిలిండర్‌ను ఏర్పరుస్తాయి. ఒక ప్రిజం సిలిండర్ యొక్క స్థావరాల చుట్టూ ఉన్న సమాన బహుభుజాలు అయితే సిలిండర్ గురించి చుట్టుముట్టబడుతుంది. దాని ముఖాల విమానాలు సిలిండర్ యొక్క పక్క ఉపరితలాన్ని తాకుతాయి.
సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని జెనరాట్రిక్స్ యొక్క పొడవును సిలిండర్ యొక్క విభాగం చుట్టుకొలత ద్వారా జెనరాట్రిక్స్‌కు లంబంగా ఉన్న విమానం ద్వారా గుణించడం ద్వారా లెక్కించవచ్చు.
నేరుగా సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని దాని అభివృద్ధి ద్వారా కనుగొనవచ్చు. సిలిండర్ యొక్క అభివృద్ధి ఎత్తు h మరియు పొడవు P తో ఒక దీర్ఘ చతురస్రం, ఇది బేస్ చుట్టుకొలతకు సమానంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, సిలిండర్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం దాని అభివృద్ధి ప్రాంతానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
ప్రత్యేకించి, కుడి వృత్తాకార సిలిండర్ కోసం:
P = 2πR, మరియు S b = 2πRh.
సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం దాని పార్శ్వ ఉపరితలం మరియు దాని స్థావరాల ప్రాంతాల మొత్తానికి సమానం.
నేరుగా వృత్తాకార సిలిండర్ కోసం:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
వంపుతిరిగిన సిలిండర్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి రెండు సూత్రాలు ఉన్నాయి.
జెనరాట్రిక్స్‌కు లంబంగా ఉండే విమానం ద్వారా సిలిండర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం ద్వారా జెనరాట్రిక్స్ పొడవును గుణించడం ద్వారా మీరు వాల్యూమ్‌ను కనుగొనవచ్చు.
వంపుతిరిగిన సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ బేస్ మరియు ఎత్తు యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం (స్థావరాలు ఉన్న విమానాల మధ్య దూరం):
V = Sh = S l పాపం α,
ఇక్కడ l అనేది జనరేట్రిక్స్ యొక్క పొడవు, మరియు α అనేది జెనరాట్రిక్స్ మరియు బేస్ యొక్క విమానం మధ్య కోణం. నేరుగా సిలిండర్ కోసం h = l.
వృత్తాకార సిలిండర్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనే సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
ఇక్కడ d అనేది బేస్ యొక్క వ్యాసం.
blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.