వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్డ్: గణిత శిక్షకుడు కోసం లక్షణాలు, సూత్రాలు మరియు పనులు. రేఖాగణిత బొమ్మలు

సమాంతర పైప్డ్ అనేది దాని బేస్ వద్ద సమాంతర చతుర్భుజాలతో కూడిన చతుర్భుజ ప్రిజం. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఎత్తు దాని స్థావరాల విమానాల మధ్య దూరం. చిత్రంలో, ఎత్తు సెగ్మెంట్ ద్వారా చూపబడింది . రెండు రకాల సమాంతర పైపెడ్లు ఉన్నాయి: నేరుగా మరియు వంపుతిరిగినవి. నియమం ప్రకారం, గణిత బోధకుడు మొదట ప్రిజమ్‌కు తగిన నిర్వచనాలను ఇచ్చి, ఆపై వాటిని సమాంతర పైప్‌కు బదిలీ చేస్తాడు. అలాగే చేస్తాం.

ప్రిజం యొక్క ప్రక్క అంచులు స్థావరాలకు లంబంగా ఉంటే దానిని నేరుగా అని పిలుస్తానని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను; లంబంగా లేకుంటే, ప్రిజమ్‌ను వంపుతిరిగినది అని పిలుస్తారు. ఈ పరిభాష పారలెలెపిప్డ్ ద్వారా కూడా సంక్రమిస్తుంది. కుడి సమాంతర పైప్డ్ అనేది ఒక రకమైన స్ట్రెయిట్ ప్రిజం కంటే మరేమీ కాదు, దీని వైపు అంచు ఎత్తుతో సమానంగా ఉంటుంది. ముఖం, అంచు మరియు శీర్షం వంటి భావనల నిర్వచనాలు, పాలిహెడ్రా యొక్క మొత్తం కుటుంబానికి సాధారణం, ఇవి భద్రపరచబడ్డాయి. వ్యతిరేక ముఖాల భావన కనిపిస్తుంది. సమాంతర పైప్డ్‌లో 3 జతల వ్యతిరేక ముఖాలు, 8 శీర్షాలు మరియు 12 అంచులు ఉంటాయి.

సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణం (ప్రిజం యొక్క వికర్ణం) అనేది ఒక పాలీహెడ్రాన్ యొక్క రెండు శీర్షాలను కలుపుతూ మరియు దాని ఏ ముఖం మీదా పడుకోకుండా ఉండే విభాగం.

వికర్ణ విభాగం - దాని వికర్ణం మరియు దాని బేస్ యొక్క వికర్ణం గుండా వెళుతున్న సమాంతర పైప్ యొక్క విభాగం.

వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్ యొక్క లక్షణాలు:
1) దాని ముఖాలన్నీ సమాంతర చతుర్భుజాలు మరియు వ్యతిరేక ముఖాలు సమాన సమాంతర చతుర్భుజాలు.
2)సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి మరియు ఈ బిందువు వద్ద విభజిస్తాయి.
3)ప్రతి సమాంతర పైప్డ్ సమాన పరిమాణంలో ఆరు త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని విద్యార్థికి చూపించడానికి, గణిత బోధకుడు దాని వికర్ణ విభాగంతో సమాంతరంగా ఉన్న సగం భాగాన్ని కత్తిరించాలి మరియు దానిని విడిగా 3 పిరమిడ్‌లుగా విభజించాలి. వాటి స్థావరాలు తప్పనిసరిగా అసలైన సమాంతర పైప్ యొక్క విభిన్న ముఖాలపై ఉండాలి. గణిత బోధకుడు విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో ఈ ఆస్తి యొక్క అనువర్తనాన్ని కనుగొంటారు. వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి ద్వారా పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను పొందేందుకు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది.

సమాంతర పైప్డ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాలు:
1) బేస్ యొక్క వైశాల్యం ఎక్కడ ఉంది, h అనేది ఎత్తు.
2) సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్ క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతం మరియు పార్శ్వ అంచు యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
గణిత బోధకుడు: మీకు తెలిసినట్లుగా, ఫార్ములా అన్ని ప్రిజమ్‌లకు సాధారణం మరియు ట్యూటర్ దీనిని ఇప్పటికే నిరూపించినట్లయితే, సమాంతర పైప్ కోసం అదే విషయాన్ని పునరావృతం చేయడంలో అర్థం లేదు. అయితే, సగటు-స్థాయి విద్యార్థితో పని చేస్తున్నప్పుడు (బలహీనమైన విద్యార్థికి సూత్రం ఉపయోగపడదు), ఉపాధ్యాయుడు సరిగ్గా విరుద్ధంగా వ్యవహరించడం మంచిది. ప్రిజమ్‌ను ఒంటరిగా వదిలేయండి మరియు సమాంతర పైప్ కోసం జాగ్రత్తగా రుజువు చేయండి.
3) , సమాంతర పైప్‌ను రూపొందించే ఆరు త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లలో ఒకదాని వాల్యూమ్ ఎక్కడ ఉంది.
4) అయితే, అప్పుడు

సమాంతర పైప్డ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క వైశాల్యం దాని అన్ని ముఖాల ప్రాంతాల మొత్తం:
సమాంతర పైప్డ్ యొక్క మొత్తం ఉపరితలం దాని అన్ని ముఖాల ప్రాంతాల మొత్తం, అంటే ప్రాంతం + బేస్ యొక్క రెండు ప్రాంతాలు: .

వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్‌తో ట్యూటర్ పని గురించి:
గణిత బోధకులు తరచుగా వంపుతిరిగిన సమాంతర పైపెడ్‌లతో కూడిన సమస్యలపై పని చేయరు. వారు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో కనిపించే అవకాశం చాలా తక్కువగా ఉంది మరియు ఉపదేశాలు అసభ్యకరంగా ఉన్నాయి. వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్‌పై ఎక్కువ లేదా తక్కువ మంచి సమస్య పాయింట్ H యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించడంలో తీవ్రమైన సమస్యలను పెంచుతుంది - దాని ఎత్తు యొక్క ఆధారం. ఈ సందర్భంలో, గణిత బోధకుడు సమాంతర పిరమిడ్‌ను దాని ఆరు పిరమిడ్‌లలో ఒకదానికి కత్తిరించమని సలహా ఇవ్వవచ్చు (ఇవి ప్రాపర్టీ నెం. 3లో చర్చించబడ్డాయి), దాని వాల్యూమ్‌ను కనుగొని దానిని 6తో గుణించండి.

సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ప్రక్క అంచు బేస్ యొక్క భుజాలతో సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు H బేస్ ABCD యొక్క A కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉంటుంది. మరియు ఉదాహరణకు, ABCD ఒక రాంబస్ అయితే, అప్పుడు

గణిత బోధకుని పనులు:
1) సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ముఖాలు ఒకదానికొకటి 2 సెంటీమీటర్ల వైపు మరియు తీవ్రమైన కోణంతో సమానంగా ఉంటాయి. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.
2) ఒక వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్డ్లో, వైపు అంచు 5 సెం.మీ. దానికి లంబంగా ఉన్న విభాగం 6 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ పొడవు కలిగిన పరస్పర లంబ వికర్ణాలతో చతుర్భుజంగా ఉంటుంది. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి.
3) ఒక వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్‌లో అది తెలిసినది , మరియు ABCDలో ఆధారం 2 సెం.మీ మరియు కోణంతో కూడిన రాంబస్. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్ను నిర్ణయించండి.

గణిత బోధకుడు, అలెగ్జాండర్ కోల్పకోవ్

లేదా (సమానంగా) సమాంతర చతుర్భుజాలుగా ఉండే ఆరు ముఖాలు కలిగిన పాలిహెడ్రాన్. షడ్భుజి.

సమాంతర చతుర్భుజాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి అంచులుఈ సమాంతర చతుర్భుజాల వైపులా ఉంటాయి సమాంతర పైప్ యొక్క అంచులు, మరియు సమాంతర చతుర్భుజాల శీర్షాలు శిఖరాలు సమాంతర గొట్టం. సమాంతరంగా, ప్రతి ముఖం ఉంటుంది సమాంతర చతుర్భుజం.

నియమం ప్రకారం, ఏదైనా 2 వ్యతిరేక ముఖాలు గుర్తించబడతాయి మరియు పిలవబడతాయి సమాంతర పైప్డ్ యొక్క స్థావరాలు, మరియు మిగిలిన ముఖాలు - సమాంతర పైప్డ్ యొక్క పార్శ్వ ముఖాలు. స్థావరాలకి చెందని సమాంతర పైప్డ్ యొక్క అంచులు పార్శ్వ పక్కటెముకలు.

ఒక సాధారణ అంచుని కలిగి ఉన్న సమాంతర పైప్ యొక్క 2 ముఖాలు ప్రక్కనే, మరియు సాధారణ అంచులు లేనివి - ఎదురుగా.

1వ ముఖానికి చెందని 2 శీర్షాలను కలిపే విభాగం సమాంతర పైప్డ్ వికర్ణ.

సమాంతరంగా లేని దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్ యొక్క అంచుల పొడవు సరళ కొలతలు (కొలతలు) సమాంతరంగా. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ 3 సరళ పరిమాణాలను కలిగి ఉంటుంది.

సమాంతర పైప్డ్ రకాలు.

సమాంతర పైపెడ్లలో అనేక రకాలు ఉన్నాయి:

డైరెక్ట్బేస్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా అంచుతో సమాంతరంగా ఉంటుంది.

అన్ని 3 కొలతలు సమానంగా ఉండే దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్ క్యూబ్. క్యూబ్ యొక్క ప్రతి ముఖాలు సమానంగా ఉంటాయి చతురస్రాలు .

ఏదైనా సమాంతరంగా.వంపుతిరిగిన సమాంతర పైప్‌లోని వాల్యూమ్ మరియు నిష్పత్తులు ప్రధానంగా వెక్టార్ బీజగణితాన్ని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడతాయి. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్ 3 వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సమానంగా ఉంటుంది, ఇవి సమాంతర పైప్డ్ యొక్క 3 వైపుల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి (అదే శీర్షం నుండి ఉద్భవించాయి). సమాంతర పైప్డ్ యొక్క భుజాల పొడవులు మరియు వాటి మధ్య కోణాల మధ్య సంబంధం, ఇచ్చిన 3 వెక్టర్స్ యొక్క గ్రామ్ డిటర్మినెంట్ వాటి మిశ్రమ ఉత్పత్తి యొక్క వర్గానికి సమానం అనే ప్రకటనను చూపుతుంది.

సమాంతర పైప్డ్ యొక్క లక్షణాలు.

• సమాంతర పైప్డ్ దాని వికర్ణం మధ్యలో సుష్టంగా ఉంటుంది.
• సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఉపరితలానికి చెందిన మరియు దాని వికర్ణం మధ్యలో ఉన్న చివరలను కలిగి ఉన్న ఏదైనా విభాగం దాని ద్వారా రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించబడింది. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క అన్ని వికర్ణాలు 1 వ పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి మరియు దాని ద్వారా రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించబడ్డాయి.
• సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వ్యతిరేక ముఖాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు సమాన కొలతలు కలిగి ఉంటాయి.
• దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణం యొక్క పొడవు యొక్క చతురస్రం సమానంగా ఉంటుంది

ఈ పాఠంలో, ప్రతి ఒక్కరూ "దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేయగలరు. పాఠం ప్రారంభంలో, మేము ఏకపక్ష మరియు సరళమైన సమాంతర పైప్‌లు ఏమిటో పునరావృతం చేస్తాము, వాటి వ్యతిరేక ముఖాలు మరియు సమాంతర పైప్ యొక్క వికర్ణాల లక్షణాలను గుర్తుంచుకోండి. అప్పుడు మేము క్యూబాయిడ్ అంటే ఏమిటో చూద్దాం మరియు దాని ప్రాథమిక లక్షణాలను చర్చిస్తాము.

అంశం: పంక్తులు మరియు విమానాల లంబంగా

పాఠం: క్యూబాయిడ్

రెండు సమాన సమాంతర చతుర్భుజాలు ABCD మరియు A 1 B 1 C 1 D 1 మరియు నాలుగు సమాంతర చతుర్భుజాలతో కూడిన ఉపరితలాన్ని ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 అంటారు. సమాంతర గొట్టం(చిత్రం 1).

అన్నం. 1 సమాంతర పైప్డ్

అంటే: మనకు ABCD మరియు A 1 B 1 C 1 D 1 (బేస్‌లు) రెండు సమాన సమాంతర చతుర్భుజాలు ఉన్నాయి, అవి సమాంతర సమతలంలో ఉంటాయి, తద్వారా పక్క అంచులు AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 సమాంతరంగా ఉంటాయి. అందువలన, సమాంతర చతుర్భుజాలతో కూడిన ఉపరితలం అంటారు సమాంతర గొట్టం.

అందువల్ల, సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఉపరితలం అనేది సమాంతర పైప్డ్‌ను రూపొందించే అన్ని సమాంతర చతుర్భుజాల మొత్తం.

1. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వ్యతిరేక ముఖాలు సమాంతరంగా మరియు సమానంగా ఉంటాయి.

(ఆకారాలు సమానంగా ఉంటాయి, అనగా, వాటిని అతివ్యాప్తి చేయడం ద్వారా కలపవచ్చు)

ఉదాహరణకి:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (నిర్వచనం ప్రకారం సమాన సమాంతర చతుర్భుజాలు),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B మరియు DD 1 C 1 C సమాంతర పైప్ యొక్క వ్యతిరేక ముఖాలు కాబట్టి),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (AA 1 D 1 D మరియు BB 1 C 1 C సమాంతర పైప్ యొక్క వ్యతిరేక ముఖాలు కాబట్టి).

2. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి మరియు ఈ బిందువు ద్వారా విభజించబడతాయి.

సమాంతర పైప్డ్ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B యొక్క వికర్ణాలు ఒక పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయి మరియు ప్రతి వికర్ణం ఈ పాయింట్ ద్వారా సగానికి విభజించబడింది (Fig. 2).

అన్నం. 2 సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణాలు కలుస్తాయి మరియు ఖండన పాయింట్ ద్వారా సగానికి విభజించబడ్డాయి.

3. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క సమాన మరియు సమాంతర అంచుల యొక్క మూడు నాలుగు రెట్లు ఉన్నాయి: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

నిర్వచనం. దాని పార్శ్వ అంచులు స్థావరాలకి లంబంగా ఉంటే సమాంతర పైప్డ్‌ను నేరుగా అంటారు.

సైడ్ ఎడ్జ్ AA 1 బేస్‌కు లంబంగా ఉండనివ్వండి (Fig. 3). దీనర్థం AA 1 సరళ రేఖ AD మరియు AB సరళ రేఖలకు లంబంగా ఉంటుంది, ఇది బేస్ యొక్క సమతలంలో ఉంటుంది. దీని అర్థం పక్క ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాలను కలిగి ఉంటాయి. మరియు స్థావరాలు ఏకపక్ష సమాంతర చతుర్భుజాలను కలిగి ఉంటాయి. మనం ∠BAD = φని సూచిస్తాము, కోణం φ ఏదైనా కావచ్చు.

అన్నం. 3 కుడి సమాంతరంగా

కాబట్టి, కుడి సమాంతర పైప్డ్ అనేది సమాంతర పైప్డ్, దీనిలో సైడ్ అంచులు సమాంతర పైప్డ్ యొక్క స్థావరాలకు లంబంగా ఉంటాయి.

నిర్వచనం. సమాంతర పైప్డ్ దీర్ఘచతురస్రాకారంగా పిలువబడుతుంది,దాని పార్శ్వ అంచులు బేస్కు లంబంగా ఉంటే. స్థావరాలు దీర్ఘ చతురస్రాలు.

సమాంతర పైప్డ్ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది (Fig. 4), అయితే:

1. AA 1 ⊥ ABCD (బేస్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉన్న పార్శ్వ అంచు, అంటే నేరుగా సమాంతరంగా ఉంటుంది).

2. ∠BAD = 90°, అంటే ఆధారం ఒక దీర్ఘ చతురస్రం.

అన్నం. 4 దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర గొట్టం

ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ ఏకపక్ష సమాంతర పైప్ యొక్క అన్ని లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది.కానీ క్యూబాయిడ్ యొక్క నిర్వచనం నుండి తీసుకోబడిన అదనపు లక్షణాలు ఉన్నాయి.

కాబట్టి, క్యూబాయిడ్ఇది ఒక సమాంతర పైప్డ్, దీని ప్రక్క అంచులు ఆధారానికి లంబంగా ఉంటాయి. క్యూబాయిడ్ యొక్క ఆధారం ఒక దీర్ఘ చతురస్రం.

1. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్‌లో, మొత్తం ఆరు ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాలే.

ABCD మరియు A 1 B 1 C 1 D 1 నిర్వచనం ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రాలు.

2. పార్శ్వ పక్కటెముకలు బేస్కు లంబంగా ఉంటాయి. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క అన్ని పార్శ్వ ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాలే అని దీని అర్థం.

3. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క అన్ని డైహెడ్రల్ కోణాలు సరిగ్గా ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, AB అంచుతో కూడిన దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్ యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాన్ని పరిశీలిద్దాం, అనగా ABC 1 మరియు ABC విమానాల మధ్య డైహెడ్రల్ కోణం.

AB అనేది ఒక అంచు, పాయింట్ A 1 ఒక విమానంలో ఉంటుంది - ABB 1 విమానంలో మరియు పాయింట్ D మరొకదానిలో - A 1 B 1 C 1 D 1 విమానంలో ఉంటుంది. అప్పుడు పరిశీలనలో ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాన్ని కూడా ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు: ∠A 1 ABD.

AB అంచుపై పాయింట్ A ని తీసుకుందాం. AA 1 విమానం АВВ-1లో అంచు ABకి లంబంగా ఉంటుంది, AD ABC విమానంలో AB అంచుకు లంబంగా ఉంటుంది. దీనర్థం ∠A 1 AD అనేది ఇచ్చిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సరళ కోణం. ∠A 1 AD = 90°, అంటే AB అంచు వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

అదేవిధంగా, దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఏదైనా డైహెడ్రల్ కోణాలు సరైనవని నిరూపించబడింది.

దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణం యొక్క చతురస్రం దాని మూడు పరిమాణాల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.

గమనిక. క్యూబాయిడ్ యొక్క ఒక శీర్షం నుండి వెలువడే మూడు అంచుల పొడవులు క్యూబాయిడ్ యొక్క కొలతలు. వాటిని కొన్నిసార్లు పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు అని పిలుస్తారు.

ఇవ్వబడింది: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ (Fig. 5).

నిరూపించండి: .

అన్నం. 5 దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్

రుజువు:

స్ట్రెయిట్ లైన్ CC 1 విమానం ABCకి లంబంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల సరళ రేఖ ACకి ఉంటుంది. అంటే త్రిభుజం CC 1 A లంబకోణం. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:

కుడి త్రిభుజం ABCని పరిగణించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:

కానీ BC మరియు AD దీర్ఘచతురస్రానికి వ్యతిరేక భుజాలు. కాబట్టి BC = క్రీ.శ. అప్పుడు:

ఎందుకంటే , ఎ , ఆ. CC 1 = AA 1 కాబట్టి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సమాంతరంగా ఉన్న ABC యొక్క కొలతలను a, b, c (Fig. 6 చూడండి), ఆపై AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 = గా సూచిస్తాము.