అన్ని సూత్రాలు పురోగతిలో ఉన్నాయి. అంకగణిత పురోగతి - సంఖ్య క్రమం

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగతి

సైద్ధాంతిక సమాచారం

సైద్ధాంతిక సమాచారం

	అంకగణిత పురోగతి	రేఖాగణిత పురోగతి
నిర్వచనం	అంకగణిత పురోగతి ఒక ఎన్ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యకు జోడించబడిన మునుపటి సభ్యునికి సమానంగా ఉండే క్రమం డి (డి- పురోగతి వ్యత్యాసం)	రేఖాగణిత పురోగతి b nసున్నా కాని సంఖ్యల శ్రేణి, ప్రతి పదం, రెండవది నుండి మొదలై, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి పదానికి సమానం q (q- పురోగతి యొక్క హారం)
పునరావృత సూత్రం	ఏదైనా సహజ కోసం n a n + 1 = a n + d	ఏదైనా సహజ కోసం n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
ఫార్ములా n వ పదం	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
లక్షణ లక్షణం
మొదటి n నిబంధనల మొత్తం

వ్యాఖ్యలతో టాస్క్‌ల ఉదాహరణలు

వ్యాయామం 1

అంకగణిత పురోగతిలో ( ఒక ఎన్) a 1 = -6, ఒక 2

n వ పదం యొక్క సూత్రం ప్రకారం:

ఒక 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 డి

షరతు ప్రకారం:

a 1= -6, అప్పుడు ఒక 22= -6 + 21 డి .

పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం అవసరం:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ఒక 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

సమాధానం : ఒక 22 = -48.

టాస్క్ 2

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి: -3; 6;....

1వ పద్ధతి (n-టర్మ్ ఫార్ములా ఉపయోగించి)

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం సూత్రం ప్రకారం:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

ఎందుకంటే బి 1 = -3,

2వ పద్ధతి (పునరావృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి)

పురోగతి యొక్క హారం -2 (q = -2) కాబట్టి:

బి 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

బి 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

బి 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

సమాధానం : బి 5 = -48.

టాస్క్ 3

అంకగణిత పురోగతిలో ( a n ) a 74 = 34; ఒక 76= 156. ఈ పురోగతి యొక్క డెబ్బై-ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి.

అంకగణిత పురోగతి కోసం లక్షణ ఆస్తికనిపిస్తోంది .

అందువలన:

ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

సమాధానం: 95.

టాస్క్ 4

అంకగణిత పురోగతిలో ( a n ) a n= 3n - 4. మొదటి పదిహేడు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, రెండు సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

ఇందులో ఏది ఉంది ఈ విషయంలోఉపయోగించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా?

షరతు ప్రకారం, అసలు పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క ఫార్ములా తెలుస్తుంది ( ఒక ఎన్) ఒక ఎన్= 3n - 4. మీరు వెంటనే కనుగొనవచ్చు మరియు a 1, మరియు ఒక 16కనుగొనకుండా డి. కాబట్టి, మేము మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

సమాధానం: 368.

టాస్క్ 5

అంకగణిత పురోగతిలో( ఒక ఎన్) a 1 = -6; ఒక 2= -8. పురోగతి యొక్క ఇరవై-రెండవ పదాన్ని కనుగొనండి.

n వ పదం యొక్క సూత్రం ప్రకారం:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21డి.

షరతు ప్రకారం, ఉంటే a 1= -6, అప్పుడు ఒక 22= -6 + 21డి. పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం అవసరం:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

ఒక 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

సమాధానం : ఒక 22 = -48.

టాస్క్ 6

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలు వ్రాయబడ్డాయి:

x ద్వారా సూచించబడిన పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము b n = b 1 ∙ q n - 1కోసం రేఖాగణిత పురోగతి. పురోగతి యొక్క మొదటి పదం. ప్రోగ్రెస్షన్ q యొక్క హారంని కనుగొనడానికి, మీరు ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క ఇచ్చిన నిబంధనలలో దేనినైనా తీసుకోవాలి మరియు మునుపటి దానితో విభజించాలి. మా ఉదాహరణలో, మనం తీసుకోవచ్చు మరియు విభజించవచ్చు. మేము q = 3ని పొందుతాము. nకి బదులుగా, మేము ఫార్ములాలో 3ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, ఎందుకంటే ఇచ్చిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మూడవ పదాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

కనుగొన్న విలువలను సూత్రంలోకి మార్చడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:

సమాధానం : .

టాస్క్ 7

అంకగణిత పురోగతి నుండి, ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడింది nవ పదం, షరతు సంతృప్తికరంగా ఉన్నదాన్ని ఎంచుకోండి ఒక 27 > 9:

ఎందుకంటే ఇచ్చిన షరతుపురోగమనం యొక్క 27వ టర్మ్ కోసం తప్పనిసరిగా పూర్తి చేయాలి, మేము ప్రతి నాలుగు పురోగతిలో nకి బదులుగా 27ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. 4 వ పురోగతిలో మనం పొందుతాము:

సమాధానం: 4.

టాస్క్ 8

అంకగణిత పురోగతిలో a 1= 3, d = -1.5. పేర్కొనవచ్చు అత్యధిక విలువ n దీని కోసం అసమానత కలిగి ఉంది ఒక ఎన్ > -6.

మొదటి స్థాయి

అంకగణిత పురోగతి. వివరణాత్మక సిద్ధాంతంఉదాహరణలతో (2019)

సంఖ్య క్రమం

కాబట్టి, కూర్చుని కొన్ని సంఖ్యలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:
మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు (మా విషయంలో, అవి ఉన్నాయి). మనం ఎన్ని అంకెలు వ్రాసినా, ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది, మరియు చివరి వరకు, అంటే వాటిని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలము. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ:

సంఖ్య క్రమం
ఉదాహరణకు, మా క్రమం కోసం:

అసైన్డ్ నంబర్ సీక్వెన్స్‌లో ఒక నంబర్‌కు మాత్రమే నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, క్రమంలో మూడు సెకన్ల సంఖ్యలు లేవు. రెండవ సంఖ్య (వ సంఖ్య వంటిది) ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ పదం అంటారు.

మేము సాధారణంగా మొత్తం క్రమాన్ని ఏదో ఒక అక్షరంతో పిలుస్తాము (ఉదాహరణకు,), మరియు ఈ శ్రేణిలోని ప్రతి సభ్యుడు ఈ సభ్యుని సంఖ్యకు సమానమైన సూచికతో ఒకే అక్షరం: .

మా విషయంలో:

మన దగ్గర ఉందనుకుందాం సంఖ్య క్రమం, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకి:

మొదలైనవి
ఈ సంఖ్యా క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతి అంటారు.
"ప్రగతి" అనే పదాన్ని 6వ శతాబ్దంలో రోమన్ రచయిత బోథియస్ పరిచయం చేశారు మరియు దీనిని మరింత అర్థం చేసుకున్నారు. విస్తృత కోణంలో, అనంతమైన సంఖ్యల క్రమం వంటిది. "అంకగణితం" అనే పేరు నిరంతర నిష్పత్తుల సిద్ధాంతం నుండి బదిలీ చేయబడింది, దీనిని పురాతన గ్రీకులు అధ్యయనం చేశారు.

ఇది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, ఇందులోని ప్రతి సభ్యుడు అదే సంఖ్యకు జోడించిన మునుపటి దానికి సమానం. ఈ సంఖ్యను అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు మరియు నియమించబడుతుంది.

ఏ సంఖ్యా శ్రేణులు అంకగణిత పురోగతి మరియు ఏవి కావు అని గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి:

a)
బి)
సి)
d)

దొరికింది? మన సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:
ఉందిఅంకగణిత పురోగతి - బి, సి.
కాదుఅంకగణిత పురోగతి - a, d.

తిరిగి వెళ్దాం ఇచ్చిన పురోగతి() మరియు దాని సభ్యుని విలువను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఉనికిలో ఉంది రెండుదానిని కనుగొనే మార్గం.

1. పద్ధతి

మేము పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని చేరుకునే వరకు మేము మునుపటి విలువకు పురోగతి సంఖ్యను జోడించవచ్చు. సారాంశం చేయడానికి మనకు పెద్దగా ఏమీ లేకపోవడం మంచిది - మూడు విలువలు మాత్రమే:

కాబట్టి, వివరించిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సమానం.

2. పద్ధతి

మేము పురోగతి యొక్క వ పదం యొక్క విలువను కనుగొనవలసి వస్తే? సమ్మషన్ మాకు ఒక గంట కంటే ఎక్కువ సమయం పడుతుంది మరియు సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు మనం తప్పులు చేయకూడదనేది వాస్తవం కాదు.
వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఒక మార్గాన్ని కనుగొన్నారు, దీనిలో మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని జోడించాల్సిన అవసరం లేదు. గీసిన చిత్రాన్ని నిశితంగా పరిశీలించండి... ఖచ్చితంగా మీరు ఇప్పటికే ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను గమనించారు, అవి:

ఉదాహరణకు, ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం యొక్క విలువ ఏమి కలిగి ఉందో చూద్దాం:

వేరే పదాల్లో:

ఇచ్చిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని విలువను ఈ విధంగా కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

మీరు లెక్కించారా? మీ గమనికలను సమాధానంతో సరిపోల్చండి:

మేము మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను వరుసగా జోడించినప్పుడు, మీరు మునుపటి పద్ధతిలో అదే సంఖ్యను పొందారని దయచేసి గమనించండి.
"వ్యక్తిగతీకరించడానికి" ప్రయత్నిద్దాం ఈ ఫార్ములా- ఆమెను తీసుకురండి సాధారణ రూపంమరియు మేము పొందుతాము:

అంకగణిత పురోగతి సమీకరణం.

అంకగణిత పురోగమనాలు పెరుగుతాయి లేదా తగ్గవచ్చు.

పెరుగుతోంది- నిబంధనల యొక్క ప్రతి తదుపరి విలువ మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉండే పురోగతి.
ఉదాహరణకి:

అవరోహణ- నిబంధనల యొక్క ప్రతి తదుపరి విలువ మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉండే పురోగతి.
ఉదాహరణకి:

ఉత్పన్నమైన ఫార్ములా అంకగణిత పురోగతి యొక్క పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న నిబంధనలలో నిబంధనలను లెక్కించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.
దీన్ని ఆచరణలో తనిఖీ చేద్దాం.
మేము కలిగి ఉన్న అంకగణిత పురోగతిని అందించాము క్రింది సంఖ్యలు: ఈ అంకగణిత పురోగతిని లెక్కించడానికి మన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే, దాని సంఖ్య ఎంత ఉంటుందో చూద్దాం:

అప్పటి నుండి:

అందువల్ల, ఫార్ములా తగ్గుతున్న మరియు పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి రెండింటిలోనూ పనిచేస్తుందని మేము నమ్ముతున్నాము.
ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ మరియు వ నిబంధనలను మీరే కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

అంకగణిత పురోగతి లక్షణం

సమస్యను క్లిష్టతరం చేద్దాం - మేము అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తిని పొందుతాము.
మనకు ఈ క్రింది షరతు ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం:
- అంకగణిత పురోగతి, విలువను కనుగొనండి.
సులభం, మీరు చెప్పండి మరియు మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన ఫార్ములా ప్రకారం లెక్కించడం ప్రారంభించండి:

లెట్, ఆహ్, అప్పుడు:

కచ్చితముగా. మేము మొదట కనుగొన్నాము, ఆపై దానిని మొదటి సంఖ్యకు జోడించి, మనం వెతుకుతున్న దాన్ని పొందండి. పురోగతి చిన్న విలువలతో సూచించబడితే, దాని గురించి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, కానీ పరిస్థితిలో మనకు సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే? అంగీకరిస్తున్నారు, లెక్కల్లో పొరపాటు చేసే అవకాశం ఉంది.
ఏదైనా ఫార్ములా ఉపయోగించి ఈ సమస్యను ఒక దశలో పరిష్కరించడం సాధ్యమేనా అని ఇప్పుడు ఆలోచించండి? వాస్తవానికి అవును, మరియు మేము ఇప్పుడు బయటకు తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క అవసరమైన పదాన్ని సూచిస్తాము, దానిని కనుగొనే సూత్రం మనకు తెలుసు - ఇది మేము ప్రారంభంలో ఉద్భవించిన అదే సూత్రం:
, అప్పుడు:

పురోగతి యొక్క మునుపటి పదం:
పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనలను సంగ్రహిద్దాం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనల మొత్తం వాటి మధ్య ఉన్న పురోగతి పదం యొక్క రెట్టింపు విలువ అని ఇది మారుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తెలిసిన మునుపటి మరియు వరుస విలువలతో పురోగతి పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మీరు వాటిని జోడించి విభజించాలి.

నిజమే, మాకు అదే నంబర్ వచ్చింది. పదార్థాన్ని భద్రపరుద్దాం. పురోగతి యొక్క విలువను మీరే లెక్కించండి, ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.

బాగా చేసారు! పురోగతి గురించి మీకు దాదాపు ప్రతిదీ తెలుసు! పురాణాల ప్రకారం, ఎప్పటికప్పుడు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరైన “గణిత శాస్త్రజ్ఞుల రాజు” - కార్ల్ గాస్ చేత సులభంగా తగ్గించబడిన ఒక సూత్రాన్ని మాత్రమే కనుగొనడం మిగిలి ఉంది.

కార్ల్ గౌస్ 9 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉన్నప్పుడు, ఇతర తరగతుల విద్యార్థుల పనిని తనిఖీ చేయడంలో బిజీగా ఉన్న ఉపాధ్యాయుడు, తరగతిలో ఈ క్రింది సమస్యను అడిగాడు: “అన్నింటి మొత్తాన్ని లెక్కించండి. సహజ సంఖ్యలునుండి (ఇతర మూలాధారాల ప్రకారం) కలుపుకొని.” అతని విద్యార్థిలో ఒకరు (ఇది కార్ల్ గౌస్) ఒక నిమిషం తర్వాత టాస్క్‌కు సరైన సమాధానం ఇచ్చినప్పుడు ఉపాధ్యాయుని ఆశ్చర్యాన్ని ఊహించండి, అయితే చాలా మంది డేర్‌డెవిల్ క్లాస్‌మేట్స్, సుదీర్ఘ గణనల తర్వాత, తప్పు ఫలితాన్ని అందుకున్నారు...

యువకుడు కార్ల్ గాస్ మీరు కూడా సులభంగా గమనించగల నిర్దిష్ట నమూనాను గమనించారు.
-వ నిబంధనలతో కూడిన అంకగణిత పురోగతిని కలిగి ఉన్నామని చెప్పండి: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఈ నిబంధనల మొత్తాన్ని మనం కనుగొనాలి. అయితే, మేము అన్ని విలువలను మాన్యువల్‌గా సంక్షిప్తం చేయవచ్చు, అయితే టాస్క్‌కి గాస్ వెతుకుతున్నట్లుగా దాని నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి?

మనకు అందించిన పురోగతిని వర్ణిద్దాం. హైలైట్ చేసిన సంఖ్యలను నిశితంగా పరిశీలించి, వాటితో వివిధ గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి ప్రయత్నించండి.

మీరు ప్రయత్నించారా? మీరు ఏమి గమనించారు? నిజమే! వాటి మొత్తాలు సమానంగా ఉంటాయి

ఇప్పుడు చెప్పండి, మనకు ఇచ్చిన ప్రోగ్రెస్‌లో మొత్తం ఎన్ని జతలు ఉన్నాయి? వాస్తవానికి, అన్ని సంఖ్యలలో సరిగ్గా సగం, అంటే.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క రెండు పదాల మొత్తం సమానం మరియు సారూప్య జంటలు సమానం అనే వాస్తవం ఆధారంగా, మేము దానిని పొందుతాము మొత్తం మొత్తంసమానముగా:
.
అందువల్ల, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

కొన్ని సమస్యలలో మనకు పదం తెలియదు, కానీ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం మనకు తెలుసు. వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని మొత్తం సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
నీకు ఏమి వచ్చింది?

బాగా చేసారు! ఇప్పుడు కార్ల్ గౌస్‌ని అడిగిన సమస్యకు తిరిగి వెళ్దాం: వ నుండి ప్రారంభమయ్యే సంఖ్యల మొత్తం ఎంతకు సమానం మరియు వ నుండి ప్రారంభమయ్యే సంఖ్యల మొత్తాన్ని మీరే లెక్కించండి.

మీకు ఎంత వచ్చింది?
నిబంధనల మొత్తం సమానమని, నిబంధనల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని గాస్ కనుగొన్నారు. మీరు నిర్ణయించుకున్నది అదేనా?

వాస్తవానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రం 3వ శతాబ్దంలో పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త డయోఫాంటస్చే నిరూపించబడింది మరియు ఈ సమయంలో చమత్కారమైన వ్యక్తులుఅంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలను పూర్తిగా ఉపయోగించుకుంది.
ఉదాహరణకు, ఊహించుకోండి పురాతన ఈజిప్ట్మరియు అత్యంత పెద్ద ఎత్తున నిర్మాణంఆ సమయంలో - ఒక పిరమిడ్ నిర్మాణం... చిత్రం దాని ఒక వైపు చూపిస్తుంది.

ఇక్కడ పురోగతి ఎక్కడ ఉంది, మీరు అంటున్నారు? జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు పిరమిడ్ గోడ యొక్క ప్రతి వరుసలో ఇసుక బ్లాక్‌ల సంఖ్యలో ఒక నమూనాను కనుగొనండి.

అంకగణిత పురోగతి ఎందుకు లేదు? బ్లాక్ ఇటుకలను బేస్ వద్ద ఉంచినట్లయితే ఒక గోడను నిర్మించడానికి ఎన్ని బ్లాక్స్ అవసరమో లెక్కించండి. మానిటర్‌లో మీ వేలిని కదుపుతున్నప్పుడు మీరు లెక్కించరని నేను ఆశిస్తున్నాను, చివరి ఫార్ములా మరియు అంకగణిత పురోగతి గురించి మేము చెప్పినవన్నీ మీకు గుర్తున్నాయా?

ఈ సందర్భంలో, పురోగతి కనిపిస్తుంది క్రింది విధంగా: .
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంఖ్య.
మన డేటాను చివరి ఫార్ములాల్లోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం (బ్లాకుల సంఖ్యను 2 విధాలుగా లెక్కించండి).

పద్ధతి 1.

పద్ధతి 2.

ఇప్పుడు మీరు మానిటర్‌లో లెక్కించవచ్చు: పొందిన విలువలను మా పిరమిడ్‌లో ఉన్న బ్లాక్‌ల సంఖ్యతో సరిపోల్చండి. దొరికింది? బాగా చేసారు, మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ నిబంధనల మొత్తాన్ని ప్రావీణ్యం పొందారు.
వాస్తవానికి, మీరు బేస్ వద్ద ఉన్న బ్లాకుల నుండి పిరమిడ్‌ను నిర్మించలేరు, కానీ నుండి? ఈ పరిస్థితితో గోడను నిర్మించడానికి ఎన్ని ఇసుక ఇటుకలు అవసరమో లెక్కించేందుకు ప్రయత్నించండి.
మీరు నిర్వహించారా?
సరైన సమాధానం బ్లాక్స్:

శిక్షణ

పనులు:

మాషా వేసవి కోసం ఆకృతిని పొందుతోంది. ప్రతి రోజు ఆమె స్క్వాట్‌ల సంఖ్యను పెంచుతుంది. మాషా మొదటి శిక్షణలో స్క్వాట్‌లు చేస్తే వారానికి ఎన్నిసార్లు స్క్వాట్‌లు చేస్తారు?
ఇందులో ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత.
లాగ్‌లను నిల్వ చేసేటప్పుడు, లాగర్లు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా పేర్చుతారు ఎగువ పొరమునుపటి దాని కంటే తక్కువ లాగ్‌ను కలిగి ఉంది. ఒక తాపీపనిలో ఎన్ని దుంగలు ఉంటాయి, తాపీకి పునాది దుంగలు అయితే?

సమాధానాలు:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క పారామితులను నిర్వచిద్దాం. ఈ విషయంలో
(వారాలు = రోజులు).
సమాధానం:రెండు వారాలలో, Masha రోజుకు ఒకసారి స్క్వాట్స్ చేయాలి.
ప్రధమ బేసి సంఖ్య, చివరి సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
బేసి సంఖ్యల సంఖ్య సగం ఉంది, అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేద్దాం:
సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
అందుబాటులో ఉన్న డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:కలిగి ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ల గురించిన సమస్యను గుర్తుంచుకుందాం. మా విషయంలో, a , ప్రతి పై పొర ఒక లాగ్ ద్వారా తగ్గించబడినందున, మొత్తంగా అనేక పొరలు ఉన్నాయి, అనగా.
ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:రాతిలో దుంగలు ఉన్నాయి.

దాన్ని క్రోడీకరించుకుందాం

- ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమం. ఇది పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు.
సూత్రాన్ని కనుగొనడంఅంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడుతుంది - , పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి- - పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంరెండు విధాలుగా కనుగొనవచ్చు:

, విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. సగటు స్థాయి

సంఖ్య క్రమం

కూర్చొని కొన్ని అంకెలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:

మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు. కానీ ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది అని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలం, అంటే మనం వాటిని లెక్కించవచ్చు. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ.

సంఖ్య క్రమంసంఖ్యల సమితి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రత్యేక సంఖ్యను కేటాయించవచ్చు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రతి సంఖ్యను నిర్దిష్ట సహజ సంఖ్యతో మరియు ఒక ప్రత్యేక సంఖ్యతో అనుబంధించవచ్చు. మరియు మేము ఈ సంఖ్యను ఈ సెట్ నుండి మరే ఇతర సంఖ్యకు కేటాయించము.

సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ సభ్యుడు అంటారు.

క్రమం యొక్క వ పదాన్ని ఏదైనా ఫార్ములా ద్వారా పేర్కొనగలిగితే ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఫార్ములా

క్రమాన్ని సెట్ చేస్తుంది:

మరియు సూత్రం క్రింది క్రమం:

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక క్రమం (ఇక్కడ మొదటి పదం సమానం మరియు తేడా). లేదా (, వ్యత్యాసం).

nవ పదం సూత్రం

మేము ఫార్ములా పునరావృతం అని పిలుస్తాము, దీనిలో వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మునుపటి లేదా అనేక మునుపటి వాటిని తెలుసుకోవాలి:

ఉదాహరణకు, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మేము మునుపటి తొమ్మిదిని లెక్కించాలి. ఉదాహరణకు, దానిని అనుమతించండి. అప్పుడు:

సరే, ఫార్ములా ఏమిటో ఇప్పుడు తేలిపోయిందా?

ప్రతి పంక్తిలో మనం జోడించి, కొంత సంఖ్యతో గుణించాలి. ఏది? చాలా సులభం: ఇది ప్రస్తుత సభ్యుల సంఖ్య మైనస్:

ఇప్పుడు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంది, సరియైనదా? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

అంకగణిత పురోగతిలో, nవ పదానికి సూత్రాన్ని కనుగొని, వందవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మొదటి పదం సమానం. తేడా ఏమిటి? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

(అందుకే దీనిని వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది పురోగతి యొక్క వరుస నిబంధనల వ్యత్యాసానికి సమానం).

కాబట్టి, సూత్రం:

అప్పుడు వందవ పదం దీనికి సమానం:

నుండి వరకు అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

పురాణం ప్రకారం, గొప్ప గణిత శాస్త్రవేత్తకార్ల్ గౌస్, 9 ఏళ్ల బాలుడిగా, ఈ మొత్తాన్ని కొన్ని నిమిషాల్లో లెక్కించాడు. మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని, రెండవ మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని, చివరి నుండి మూడవ మరియు 3వ మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని అతను గమనించాడు. అలాంటి జంటలు మొత్తం ఎన్ని ఉన్నాయి? అది సరియైనది, అన్ని సంఖ్యల సంఖ్యలో సరిగ్గా సగం, అంటే. కాబట్టి,

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తానికి సాధారణ సూత్రం:

ఉదాహరణ:
అన్నింటి మొత్తాన్ని కనుగొనండి రెండంకెల సంఖ్యలు, గుణిజాలు.

పరిష్కారం:

అటువంటి మొదటి సంఖ్య ఇది. ప్రతి తదుపరిది జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది మునుపటి తేదీ. అందువలన, మేము రూపం ఆసక్తి సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిమొదటి పదం మరియు తేడాతో.

ఈ పురోగతి కోసం వ పదం యొక్క సూత్రం:

అవన్నీ రెండు అంకెలుగా ఉండాలంటే పురోగతిలో ఎన్ని నిబంధనలు ఉన్నాయి?

చాలా సులభం: .

పురోగతి యొక్క చివరి పదం సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం:

సమాధానం: .

ఇప్పుడు మీరే నిర్ణయించుకోండి:

ప్రతి రోజు అథ్లెట్ మునుపటి రోజు కంటే ఎక్కువ మీటర్లు నడుస్తుంది. మొదటి రోజు కిమీ పరిగెత్తితే వారంలో మొత్తం ఎన్ని కిలోమీటర్లు పరిగెత్తాడు?
ఒక సైక్లిస్ట్ మునుపటి రోజు కంటే ప్రతిరోజూ ఎక్కువ కిలోమీటర్లు ప్రయాణిస్తాడు. తొలిరోజు కి.మీ. అతను కిలోమీటరు ప్రయాణించడానికి ఎన్ని రోజులు ప్రయాణించాలి? తన ప్రయాణంలో చివరి రోజు ఎన్ని కిలోమీటర్లు ప్రయాణం చేస్తాడు?
దుకాణంలో రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ప్రతి సంవత్సరం అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది. రూబిళ్లు కోసం అమ్మకానికి ఉంచినట్లయితే, ఆరు సంవత్సరాల తరువాత అది రూబిళ్లకు విక్రయించబడితే, ప్రతి సంవత్సరం రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ఎంత తగ్గుతుందో నిర్ణయించండి.

సమాధానాలు:

ఇక్కడ అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం అంకగణిత పురోగతిని గుర్తించడం మరియు దాని పారామితులను గుర్తించడం. ఈ సందర్భంలో, (వారాలు = రోజులు). మీరు ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తాన్ని గుర్తించాలి:
.
సమాధానం:
ఇక్కడ ఇవ్వబడింది: , తప్పక కనుగొనాలి.
సహజంగానే, మీరు అదే మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి మునుపటి పని:
.
విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
రూట్ స్పష్టంగా సరిపోదు, కాబట్టి సమాధానం.
వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చివరి రోజు ప్రయాణించిన మార్గాన్ని గణిద్దాం:
(కిమీ).
సమాధానం:
ఇచ్చిన: . కనుగొను: .
ఇది సరళమైనది కాదు:
(రబ్).
సమాధానం:

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

ఇది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.

అంకగణిత పురోగతి () పెరగడం మరియు తగ్గడం ().

ఉదాహరణకి:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రం

ఫార్ములా ద్వారా వ్రాయబడింది, పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి

దాని పొరుగు నిబంధనలు తెలిసినట్లయితే, పురోగతి యొక్క పదాన్ని సులభంగా కనుగొనడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అవును, అవును: అంకగణిత పురోగతి మీ కోసం బొమ్మ కాదు :)

సరే, మిత్రులారా, మీరు ఈ వచనాన్ని చదువుతుంటే, అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటో మీకు ఇంకా తెలియదని అంతర్గత టోపీ-సాక్ష్యం నాకు చెబుతుంది, కానీ మీరు నిజంగా (లేదు, అలాంటిది: SOOOOO!) తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. అందువల్ల, నేను మిమ్మల్ని సుదీర్ఘ పరిచయాలతో హింసించను మరియు నేరుగా పాయింట్‌కి వస్తాను.

మొదట, కొన్ని ఉదాహరణలు. అనేక సెట్ల సంఖ్యలను చూద్దాం:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ఈ సెట్లన్నింటికీ ఉమ్మడిగా ఏమి ఉంది? మొదటి చూపులో, ఏమీ లేదు. కానీ నిజానికి ఏదో ఉంది. అవి: ప్రతి తదుపరి మూలకంఅదే సంఖ్య ద్వారా మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

మీరే తీర్పు చెప్పండి. మొదటి సెట్ కేవలం వరుస సంఖ్యలు, ప్రతి తదుపరిది మునుపటి కంటే ఒకటి ఎక్కువ. రెండవ సందర్భంలో, సిరీస్ మధ్య వ్యత్యాసం నిలబడి సంఖ్యలుఇప్పటికే ఐదుకి సమానం, కానీ ఈ వ్యత్యాసం ఇప్పటికీ స్థిరంగా ఉంది. మూడవ సందర్భంలో, పూర్తిగా మూలాలు ఉన్నాయి. అయితే, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, మరియు $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, అనగా. మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం కేవలం $\sqrt(2)$ పెరుగుతుంది (మరియు ఈ సంఖ్య అహేతుకం అని భయపడవద్దు).

కాబట్టి: అటువంటి అన్ని క్రమాలను అంకగణిత పురోగతి అంటారు. ఖచ్చితమైన నిర్వచనం ఇద్దాం:

నిర్వచనం. సంఖ్యల శ్రేణిలో ప్రతి తదుపరిది మునుపటి దాని నుండి సరిగ్గా అదే మొత్తంలో భిన్నంగా ఉండే సంఖ్యలను అంకగణిత పురోగతి అంటారు. సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉండే మొత్తాన్ని ప్రోగ్రెస్షన్ డిఫరెన్స్ అంటారు మరియు చాలా తరచుగా $d$ అక్షరంతో సూచిస్తారు.

సంజ్ఞామానం: $\left(((a)_(n)) \right)$ అనేది పురోగతి కూడా, $d$ అనేది దాని తేడా.

మరియు కేవలం కొన్ని ముఖ్యమైన గమనికలు. మొదట, పురోగతి మాత్రమే పరిగణించబడుతుంది ఆదేశించారుసంఖ్యల క్రమం: అవి వ్రాసిన క్రమంలో ఖచ్చితంగా చదవడానికి అనుమతించబడతాయి - మరియు మరేమీ కాదు. సంఖ్యలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం లేదా మార్పిడి చేయడం సాధ్యం కాదు.

రెండవది, క్రమం కూడా పరిమితమైనది లేదా అనంతం కావచ్చు. ఉదాహరణకు, సెట్ (1; 2; 3) స్పష్టంగా పరిమిత అంకగణిత పురోగతి. కానీ మీరు ఆత్మలో ఏదైనా వ్రాస్తే (1; 2; 3; 4; ...) - ఇది ఇప్పటికే ఉంది అంతులేని పురోగతి. నాలుగింటి తర్వాత ఎలిప్సిస్ ఇంకా కొన్ని సంఖ్యలు రాబోతున్నాయని సూచించినట్లు తెలుస్తోంది. అనంతమైన అనేక, ఉదాహరణకు. :)

పురోగతి పెరుగుతుందని లేదా తగ్గుతుందని కూడా నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. మేము ఇప్పటికే పెరుగుతున్న వాటిని చూశాము - అదే సెట్ (1; 2; 3; 4; ...). తగ్గుతున్న పురోగతికి ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

అలాగె అలాగె: చివరి ఉదాహరణచాలా క్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు. కానీ మిగిలినవి, మీరు అర్థం చేసుకున్నారని నేను అనుకుంటున్నాను. కాబట్టి, మేము కొత్త నిర్వచనాలను పరిచయం చేస్తున్నాము:

నిర్వచనం. అంకగణిత పురోగతిని అంటారు:

ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే పెరుగుతుంది;

దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే తగ్గుతుంది.

అదనంగా, "స్టేషనరీ" సీక్వెన్సులు అని పిలవబడేవి ఉన్నాయి - అవి ఒకే పునరావృత సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, (3; 3; 3; ...).

ఒక ప్రశ్న మాత్రమే మిగిలి ఉంది: పెరుగుతున్న పురోగతిని తగ్గుతున్న దాని నుండి ఎలా వేరు చేయాలి? అదృష్టవశాత్తూ, ఇక్కడ ప్రతిదీ $d$ సంఖ్య యొక్క గుర్తుపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా. పురోగతి తేడాలు:

$d \gt 0$ అయితే, పురోగతి పెరుగుతుంది;
$d \lt 0$ అయితే, పురోగతి స్పష్టంగా తగ్గుతోంది;
చివరగా, కేసు $d=0$ ఉంది - ఈ సందర్భంలో మొత్తం పురోగతి స్థిరమైన క్రమానికి తగ్గించబడుతుంది ఒకే సంఖ్యలు: (1; 1; 1; 1; ...), మొదలైనవి.

పైన ఇచ్చిన మూడు తగ్గుతున్న పురోగతికి $d$ వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది చేయుటకు, ఏదైనా రెండు ప్రక్కనే ఉన్న మూలకాలను (ఉదాహరణకు, మొదటి మరియు రెండవది) తీసుకొని, కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్య నుండి ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యను తీసివేయడం సరిపోతుంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

మేము చూడగలిగినట్లుగా, మూడు సందర్భాల్లోనూ వ్యత్యాసం వాస్తవానికి ప్రతికూలంగా మారింది. మరియు ఇప్పుడు మేము నిర్వచనాలను ఎక్కువ లేదా తక్కువ కనుగొన్నాము, పురోగతి ఎలా వివరించబడింది మరియు అవి ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయో గుర్తించడానికి ఇది సమయం.

పురోగతి నిబంధనలు మరియు పునరావృత సూత్రం

మా సీక్వెన్స్‌ల మూలకాలను మార్చుకోలేము కాబట్టి, వాటిని లెక్కించవచ్చు:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \కుడి$\]

ఈ సెట్ యొక్క వ్యక్తిగత మూలకాలను పురోగతి సభ్యులు అంటారు. అవి సంఖ్య ద్వారా సూచించబడతాయి: మొదటి సభ్యుడు, రెండవ సభ్యుడు, మొదలైనవి.

అదనంగా, మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, పురోగతి యొక్క పొరుగు నిబంధనలు ఫార్ములా ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

సంక్షిప్తంగా, పురోగతి యొక్క $n$వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు $n-1$వ పదం మరియు వ్యత్యాసం $d$ తెలుసుకోవాలి. ఈ సూత్రాన్ని పునరావృతం అంటారు, ఎందుకంటే దాని సహాయంతో మీరు మునుపటి (మరియు వాస్తవానికి, అన్ని మునుపటి వాటిని) తెలుసుకోవడం ద్వారా మాత్రమే ఏదైనా సంఖ్యను కనుగొనవచ్చు. ఇది చాలా అసౌకర్యంగా ఉంది, కాబట్టి ఏదైనా గణనలను మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసానికి తగ్గించే మరింత మోసపూరిత సూత్రం ఉంది:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఈ ఫార్ములాను చూసి ఉండవచ్చు. వారు దానిని అన్ని రకాల రిఫరెన్స్ పుస్తకాలు మరియు పరిష్కార పుస్తకాలలో ఇవ్వడానికి ఇష్టపడతారు. మరియు ఏదైనా తెలివైన గణిత పాఠ్య పుస్తకంలో ఇది మొదటిది.

అయితే, మీరు కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను.

పని సంఖ్య 1. $(a)_(1))=8,d=-5$ అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలను $\left((((a)_(n)) \right)$ వ్రాయండి.

పరిష్కారం. కాబట్టి, మొదటి పదం $((a)_(1))=8$ మరియు పురోగతి $d=-5$ తేడా మాకు తెలుసు. ఇప్పుడే అందించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు $n=1$, $n=2$ మరియు $n=3$లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సమాధానం: (8; 3; -2)

అంతే! దయచేసి గమనించండి: మా పురోగతి తగ్గుతోంది.

వాస్తవానికి, $n=1$ని భర్తీ చేయడం సాధ్యపడలేదు - మొదటి పదం ఇప్పటికే మాకు తెలుసు. అయితే, ఐక్యతను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మొదటి టర్మ్‌కు కూడా మా ఫార్ములా పనిచేస్తుందని మేము ఒప్పించాము. ఇతర సందర్భాల్లో, ప్రతిదీ సామాన్యమైన అంకగణితానికి వచ్చింది.

పని సంఖ్య 2. దాని ఏడవ పదం −40 మరియు దాని పదిహేడవ పదం −50కి సమానం అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలను వ్రాయండి.

పరిష్కారం. సమస్య పరిస్థితిని తెలిసిన పదాలలో వ్రాస్దాం:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\ఎడమ\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ end(align) \కుడి.\]

ఈ అవసరాలు ఏకకాలంలో తీర్చబడాలి కాబట్టి నేను సిస్టమ్ గుర్తును ఉంచాను. ఇప్పుడు మనం రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తే (మనకు సిస్టమ్ ఉన్నందున దీన్ని చేయడానికి మాకు హక్కు ఉంది), మనకు ఇది లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ప్రగతి వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం ఎంత సులభం! సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణాలలో కనుగొనబడిన సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. ఉదాహరణకు, మొదటిదానిలో:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \ఎండ్(మ్యాట్రిక్స్)\]

ఇప్పుడు, మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని తెలుసుకోవడం, రెండవ మరియు మూడవ పదాలను కనుగొనడం మిగిలి ఉంది:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సిద్ధంగా ఉంది! సమస్య పరిష్కారమైంది.

సమాధానం: (−34; -35; -36)

మేము కనుగొన్న పురోగతి యొక్క ఆసక్తికరమైన లక్షణాన్ని గమనించండి: మేము $n$th మరియు $m$th నిబంధనలను తీసుకొని వాటిని ఒకదానికొకటి తీసివేస్తే, మేము $n-m$ సంఖ్యతో గుణించబడిన పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని పొందుతాము:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

మీరు ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవలసిన ఒక సాధారణ కానీ చాలా ఉపయోగకరమైన ఆస్తి - దాని సహాయంతో మీరు అనేక పురోగతి సమస్యల పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా వేగవంతం చేయవచ్చు. ఇక్కడ ప్రకాశవంతమైన అనిఉదాహరణ:

పని సంఖ్య 3. అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ పదం 8.4 మరియు దాని పదవ పదం 14.4. ఈ పురోగతి యొక్క పదిహేనవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, మరియు మేము $((a)_(15))$ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని గమనించాము:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ఎ)_(10))-((ఎ)_(5))=5డి. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కానీ షరతు ప్రకారం $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, కాబట్టి $5d=6$, దీని నుండి మనకు:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సమాధానం: 20.4

అంతే! మేము సమీకరణాల వ్యవస్థలను సృష్టించాల్సిన అవసరం లేదు మరియు మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు - ప్రతిదీ కేవలం రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించబడింది.

ఇప్పుడు మరొక రకమైన సమస్యను చూద్దాం - పురోగతి యొక్క ప్రతికూల మరియు సానుకూల పదాల కోసం శోధించడం. పురోగతి పెరిగితే, మరియు దాని మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటే, ముందుగానే లేదా తరువాత సానుకూల పదాలు దానిలో కనిపిస్తాయి అనేది రహస్యం కాదు. మరియు వైస్ వెర్సా: తగ్గుతున్న పురోగతి యొక్క నిబంధనలు ముందుగానే లేదా తరువాత ప్రతికూలంగా మారతాయి.

అదే సమయంలో, మూలకాల ద్వారా క్రమంగా వెళ్లడం ద్వారా ఈ క్షణాన్ని "హెడ్-ఆన్" కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమస్యలు సూత్రాలు తెలియకుండానే, లెక్కలు అనేక కాగితపు షీట్లను తీసుకునే విధంగా వ్రాయబడతాయి-మేము సమాధానాన్ని కనుగొన్నప్పుడు మనం నిద్రపోతాము. అందువల్ల, ఈ సమస్యలను వేగంగా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

పని సంఖ్య 4. అంకగణిత పురోగతిలో ఎన్ని ప్రతికూల పదాలు ఉన్నాయి -38.5; -35.8; ...?

పరిష్కారం. కాబట్టి, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ఇక్కడ నుండి మేము వెంటనే తేడాను కనుగొంటాము:

వ్యత్యాసం సానుకూలంగా ఉందని గమనించండి, కాబట్టి పురోగతి పెరుగుతుంది. మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి వాస్తవానికి ఏదో ఒక సమయంలో మనం సానుకూల సంఖ్యలపై పొరపాట్లు చేస్తాము. ఇది ఎప్పుడు జరుగుతుందనేది ఒక్కటే ప్రశ్న.

నిబంధనల ప్రతికూలత ఎంతకాలం (అంటే సహజ సంఖ్య $n$ వరకు) ఉందో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \కుడి. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చివరి పంక్తికి కొంత వివరణ అవసరం. కాబట్టి $n \lt 15\frac(7)(27)$ అని మాకు తెలుసు. మరోవైపు, మేము సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక విలువలతో మాత్రమే సంతృప్తి చెందాము (అంతేకాకుండా: $n\in \mathbb(N)$), కాబట్టి అతిపెద్ద అనుమతించదగిన సంఖ్య ఖచ్చితంగా $n=15$, మరియు ఎటువంటి సందర్భంలోనూ 16 .

పని సంఖ్య 5. అంకగణిత పురోగతిలో $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. మొదటి సంఖ్యను కనుగొనండి సానుకూల పదంఈ పురోగతి.

ఇది మునుపటి సమస్య వలెనే ఉంటుంది, కానీ మాకు $((a)_(1))$ తెలియదు. కానీ పొరుగు నిబంధనలు తెలిసినవి: $((a)_(5))$ మరియు $((a)_(6))$, కాబట్టి మనం పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

అదనంగా, ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి మరియు తేడా ద్వారా ఐదవ పదాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ఎ)_(1))=-150-12=-162. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు మేము మునుపటి పనితో సారూప్యతతో కొనసాగుతాము. మన క్రమంలో సానుకూల సంఖ్యలు ఏ సమయంలో కనిపిస్తాయో తెలుసుకుందాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కనిష్ట పూర్ణాంకం పరిష్కారంఈ అసమానత సంఖ్య 56.

దయచేసి గమనించండి: in చివరి పనిఇది అన్ని వచ్చింది కఠినమైన అసమానత, కాబట్టి ఎంపిక $n=55$ మాకు సరిపోదు.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము, మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్దాం. అయితే మొదట, అంకగణిత పురోగతి యొక్క మరొక ఉపయోగకరమైన ఆస్తిని అధ్యయనం చేద్దాం, ఇది భవిష్యత్తులో మనకు చాలా సమయాన్ని మరియు అసమాన కణాలను ఆదా చేస్తుంది. :)

అంకగణిత సగటు మరియు సమాన ఇండెంటేషన్లు

పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలను పరిశీలిద్దాం $\left(((a)_(n)) \right)$. వాటిని నంబర్ లైన్‌లో గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

సంఖ్య రేఖపై అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు

నేను ప్రత్యేకంగా ఏకపక్ష నిబంధనలను గుర్తు పెట్టాను $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, మరియు కొన్ని $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, మొదలైనవి. ఎందుకంటే నేను ఇప్పుడు మీకు చెప్పే నియమం ఏదైనా "విభాగాలు" కోసం అదే పని చేస్తుంది.

మరియు నియమం చాలా సులభం. గుర్తుంచుకుందాం పునరావృత సూత్రంమరియు గుర్తించబడిన సభ్యులందరి కోసం దీన్ని వ్రాయండి:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అయితే, ఈ సమానత్వాన్ని వేరే విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

బాగా, కాబట్టి ఏమిటి? మరియు $((a)_(n-1))$ మరియు $((a)_(n+1))$ అనే పదాలు $((a)_(n)) $ నుండి ఒకే దూరంలో ఉన్నాయి. . మరియు ఈ దూరం $d$కి సమానం. $((a)_(n-2))$ మరియు $((a)_(n+2))$ నిబంధనల గురించి కూడా అదే చెప్పవచ్చు - అవి $((a)_(n) నుండి కూడా తీసివేయబడతాయి )$ అదే దూరం వద్ద $2d$కి సమానం. మేము ప్రకటన అనంతంగా కొనసాగించవచ్చు, కానీ అర్థం చిత్రం ద్వారా బాగా వివరించబడింది

పురోగతి యొక్క నిబంధనలు కేంద్రం నుండి అదే దూరంలో ఉన్నాయి

దీని అర్థం మనకు ఏమిటి? దీని అర్థం పొరుగు సంఖ్యలు తెలిసినట్లయితే $((a)_(n))$ని కనుగొనవచ్చు:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

మేము ఒక అద్భుతమైన ప్రకటనను పొందాము: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం దాని పొరుగు పదాల అంకగణిత సగటుకు సమానం! అంతేకాకుండా: మేము మా $((a)_(n))$ నుండి ఎడమకు మరియు కుడికి ఒక అడుగు ద్వారా కాకుండా $k$ దశల ద్వారా వెనక్కి తగ్గవచ్చు - మరియు సూత్రం ఇప్పటికీ సరైనదే:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ఆ. మనకు $((a)_(100))$ మరియు $((a)_(200))$ తెలిస్తే మనం కొన్ని $((a)_(150))$ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు, ఎందుకంటే $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. మొదటి చూపులో, ఈ వాస్తవం మనకు ఉపయోగకరంగా ఏమీ ఇవ్వలేదని అనిపించవచ్చు. అయితే, ఆచరణలో, అనేక సమస్యలు అంకగణిత సగటును ఉపయోగించడానికి ప్రత్యేకంగా రూపొందించబడ్డాయి. ఒకసారి చూడు:

పని సంఖ్య 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ మరియు $14+4((x)^(2))$ అనే సంఖ్యలు వరుసగా ఉండే $x$ యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనండి ఒక అంకగణిత పురోగతి (సూచించిన క్రమంలో).

పరిష్కారం. ఎందుకంటే పేర్కొన్న సంఖ్యలుపురోగమనంలో సభ్యులు, వారికి అంకగణిత సగటు యొక్క పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉంది: కేంద్ర మూలకం $x+1$ పొరుగు మూలకాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇది క్లాసిక్ గా మారింది వర్గ సమీకరణం. దీని మూలాలు: $x=2$ మరియు $x=-3$ సమాధానాలు.

సమాధానం: −3; 2.

పని సంఖ్య 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి (ఆ క్రమంలో) $$ విలువలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మళ్ళీ వ్యక్తం చేద్దాం సగటు సభ్యుడుపొరుగు పదాల అంకగణిత సగటు ద్వారా:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \ కుడి.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మళ్ళీ క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్. మరియు మళ్లీ రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: $x=6$ మరియు $x=1$.

సమాధానం: 1; 6.

సమస్యను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మీరు కొన్ని క్రూరమైన సంఖ్యలతో ముందుకు వస్తే లేదా కనుగొన్న సమాధానాల ఖచ్చితత్వం గురించి మీకు పూర్తిగా తెలియకపోతే, తనిఖీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే అద్భుతమైన టెక్నిక్ ఉంది: మేము సమస్యను సరిగ్గా పరిష్కరించామా?

సమస్య నం. 6లో మనం సమాధానాలు −3 మరియు 2 అందుకున్నామని చెప్పండి. ఈ సమాధానాలు సరైనవని మనం ఎలా తనిఖీ చేయవచ్చు? వాటిని అసలు స్థితికి చేర్చి, ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం. మా వద్ద మూడు సంఖ్యలు ($-6(()^(2))$, $+1$ మరియు $14+4(()^(2))$) ఉన్నాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, అవి తప్పనిసరిగా అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి. $x=-3$ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

మాకు −54 సంఖ్యలు వచ్చాయి; -2; 52తో విభేదించే 50 నిస్సందేహంగా అంకగణిత పురోగతి. $x=2$కి ఇదే జరుగుతుంది:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

మళ్లీ పురోగతి, కానీ 27 తేడాతో. ఆ విధంగా, సమస్య సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది. కోరుకునే వారు రెండవ సమస్యను స్వయంగా తనిఖీ చేయవచ్చు, కానీ నేను వెంటనే చెబుతాను: అక్కడ కూడా ప్రతిదీ సరైనది.

సాధారణంగా, చివరి సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మేము మరొకదానిని చూశాము ఆసక్తికరమైన వాస్తవం, ఇది కూడా గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం ఉంది:

మూడు సంఖ్యలు ఉంటే రెండవది మధ్యలో ఉంటుంది మొదటి అంకగణితంమరియు చివరగా, ఈ సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

భవిష్యత్తులో, ఈ ప్రకటనను అర్థం చేసుకోవడం వల్ల మనం అక్షరాలా "డిజైన్" చేయవచ్చు అవసరమైన పురోగతులు, సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ఆధారంగా. కానీ మేము అలాంటి "నిర్మాణంలో" నిమగ్నమవ్వడానికి ముందు, మనం మరొక వాస్తవానికి శ్రద్ధ వహించాలి, ఇది ఇప్పటికే చర్చించబడిన దాని నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది.

గ్రూపింగ్ మరియు సమ్మింగ్ ఎలిమెంట్స్

మళ్ళీ సంఖ్య అక్షానికి తిరిగి వెళ్దాం. పురోగతి యొక్క అనేక మంది సభ్యులను అక్కడ గమనించండి, వాటి మధ్య, బహుశా. ఇతర సభ్యులకు చాలా విలువైనది:

సంఖ్య రేఖపై 6 మూలకాలు గుర్తించబడ్డాయి

“ఎడమ తోక”ని $((a)_(n))$ మరియు $d$ ద్వారా మరియు “కుడి తోక” $((a)_(k))$ మరియు $d$ ద్వారా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది చాలా సులభం:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు కింది మొత్తాలు సమానంగా ఉన్నాయని గమనించండి:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ఎస్. \end(align)\]

సరళంగా చెప్పాలంటే, మేము పురోగతి యొక్క రెండు మూలకాలను ప్రారంభంగా పరిగణించినట్లయితే, మొత్తంగా $S$ కొంత సంఖ్యకు సమానం, ఆపై ఈ మూలకాల నుండి అడుగు పెట్టడం ప్రారంభించండి ఎదురుగా(ఒకరికొకరు లేదా వైస్ వెర్సా దూరంగా తరలించడానికి), అప్పుడు మనం పొరపాట్లు చేసే మూలకాల మొత్తాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి$S$. ఇది చాలా స్పష్టంగా గ్రాఫికల్‌గా సూచించబడుతుంది:

సమాన ఇండెంటేషన్లు సమాన మొత్తాలను ఇస్తాయి

అవగాహన ఈ నిజంమరింత ప్రాథమికంగా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ఉన్నతమైన స్థానంమేము పైన పరిగణించిన వాటి కంటే ఇబ్బందులు. ఉదాహరణకు, ఇవి:

పని సంఖ్య 8. మొదటి పదం 66, మరియు రెండవ మరియు పన్నెండవ పదాల ఉత్పత్తి సాధ్యమైనంత చిన్నదిగా ఉండే అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం. మనకు తెలిసిన ప్రతిదాన్ని వ్రాసుకుందాం:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

కాబట్టి, $d$ పురోగతి తేడా మాకు తెలియదు. వాస్తవానికి, మొత్తం పరిష్కారం వ్యత్యాసం చుట్టూ నిర్మించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఉత్పత్తి $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

ట్యాంక్‌లో ఉన్నవారికి: నేను దానిని బయటకు తీశాను సాధారణ గుణకంరెండవ బ్రాకెట్ నుండి 11. ఈ విధంగా, కావలసిన ఉత్పత్తి $d$ వేరియబుల్‌కు సంబంధించి క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్. కాబట్టి, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ అనే ఫంక్షన్‌ని పరిగణించండి - దాని గ్రాఫ్ బ్రాంచ్‌లతో కూడిన పారాబొలాగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మేము బ్రాకెట్లను విస్తరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అత్యధిక పదం యొక్క గుణకం 11 - ఇది సానుకూల సంఖ్య, కాబట్టి మేము నిజంగా శాఖలతో కూడిన పారాబొలాతో వ్యవహరిస్తున్నాము:

షెడ్యూల్ క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్- పారాబొలా
గమనిక: కనీస విలువఈ పారాబొలా $((d)_(0))$ని అబ్సిస్సాతో దాని శీర్షం వద్ద తీసుకుంటుంది. వాస్తవానికి, మేము ఈ అబ్సిస్సాను ప్రామాణిక స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ అనే ఫార్ములా ఉంది), అయితే ఇది గమనించడం చాలా సహేతుకంగా ఉంటుంది. కావలసిన శీర్షం పారాబొలా యొక్క అక్షం సమరూపతపై ఉంటుంది, కనుక $((d)_(0))$ పాయింట్ $f\left(d \right)=0$ సమీకరణం యొక్క మూలాల నుండి సమానంగా ఉంటుంది.

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అందుకే బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నేను ప్రత్యేకంగా ఆతురుతలో లేను: వాటి అసలు రూపంలో, మూలాలను కనుగొనడం చాలా సులభం. కాబట్టి, అబ్సిస్సా సగటుకు సమానం అంకగణిత సంఖ్యలు−66 మరియు −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

కనుగొనబడిన సంఖ్య మనకు ఏమి ఇస్తుంది? దానితో, అవసరమైన ఉత్పత్తి పడుతుంది అతి చిన్న విలువ(మార్గం ద్వారా, మేము ఎప్పుడూ $((y)_(\min ))$ని లెక్కించలేదు - ఇది మాకు అవసరం లేదు). అదే సమయంలో, ఈ సంఖ్య అసలు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం, అనగా. మేము సమాధానం కనుగొన్నాము. :)

సమాధానం: −36

పని సంఖ్య 9. $-\frac(1)(2)$ మరియు $-\frac(1)(6)$ సంఖ్యల మధ్య మూడు సంఖ్యలను చొప్పించండి, తద్వారా ఈ సంఖ్యలతో కలిసి అవి అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

పరిష్కారం. ముఖ్యంగా, మేము ఇప్పటికే తెలిసిన మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యతో ఐదు సంఖ్యల క్రమాన్ని తయారు చేయాలి. $x$, $y$ మరియు $z$ వేరియబుల్స్ ద్వారా తప్పిపోయిన సంఖ్యలను సూచిస్తాము:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ అనేది మా క్రమం యొక్క “మధ్యం” అని గమనించండి - ఇది $x$ మరియు $z$ సంఖ్యల నుండి మరియు $-\frac(1)(2)$ మరియు $-\frac సంఖ్యల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది. (1)( 6)$. మరియు $x$ మరియు $z$ సంఖ్యల నుండి మనం ఉన్నట్లయితే ఈ క్షణంమేము $y$ని పొందలేము, అప్పుడు పురోగతి ముగింపులతో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. అంకగణిత సగటును గుర్తుంచుకోండి:

ఇప్పుడు, $y$ తెలుసుకోవడం, మేము మిగిలిన సంఖ్యలను కనుగొంటాము. మేము ఇప్పుడే కనుగొన్న $-\frac(1)(2)$ మరియు $y=-\frac(1)(3)$ సంఖ్యల మధ్య $x$ ఉంటుందని గమనించండి. అందుకే

సారూప్య తర్కాన్ని ఉపయోగించి, మేము మిగిలిన సంఖ్యను కనుగొంటాము:

సిద్ధంగా ఉంది! మేము మూడు సంఖ్యలను కనుగొన్నాము. అసలు సంఖ్యల మధ్య వాటిని చొప్పించాల్సిన క్రమంలో వాటిని సమాధానంలో వ్రాస్దాం.

సమాధానం: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

టాస్క్ నం. 10. 2 మరియు 42 సంఖ్యల మధ్య, చొప్పించిన సంఖ్యలలో మొదటి, రెండవ మరియు చివరి మొత్తం 56 అని మీకు తెలిస్తే, ఈ సంఖ్యలతో కలిసి, ఒక అంకగణిత పురోగతిని రూపొందించే అనేక సంఖ్యలను చొప్పించండి.

పరిష్కారం. మరింత క్లిష్టమైన సమస్య, అయితే, ఇది మునుపటి వాటి వలె అదే పథకం ప్రకారం పరిష్కరించబడుతుంది - అంకగణిత సగటు ద్వారా. సమస్య ఏమిటంటే, ఎన్ని సంఖ్యలను చొప్పించాలో ఖచ్చితంగా తెలియదు. కాబట్టి, ప్రతిదానిని చొప్పించిన తర్వాత ఖచ్చితంగా $n$ సంఖ్యలు ఉంటాయని మరియు వాటిలో మొదటిది 2 మరియు చివరిది 42 అని ఖచ్చితంగా ఊహించుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, అవసరమైన అంకగణిత పురోగతిని రూపంలో సూచించవచ్చు:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \కుడి$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

అయితే, $((a)_(2))$ మరియు $((a)_(n-1))$ అనే సంఖ్యలు 2 మరియు 42 సంఖ్యల నుండి అంచుల నుండి ఒకదానికొకటి ఒకదానికొకటి పొందాయని గమనించండి, అనగా. క్రమం మధ్యలోకి. మరియు దీని అర్థం

\[((ఎ)_(2))+((ఎ)_(n-1))=2+42=44\]

కానీ పైన వ్రాసిన వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ఎ)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

$((a)_(3))$ మరియు $((a)_(1))$ తెలుసుకోవడం ద్వారా, మేము పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మిగిలిన నిబంధనలను కనుగొనడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ఎ)_(2))=2+5=7; \\ & ((ఎ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ విధంగా, ఇప్పటికే 9వ దశలో మనం క్రమం యొక్క ఎడమ చివరన చేరుకుంటాము - సంఖ్య 42. మొత్తంగా, 7 సంఖ్యలను మాత్రమే చొప్పించవలసి ఉంటుంది: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

సమాధానం: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

పురోగతితో పద సమస్యలు

ముగింపులో, నేను సాపేక్షంగా కొన్నింటిని పరిగణించాలనుకుంటున్నాను సాధారణ పనులు. బాగా, చాలా సులభం: పాఠశాలలో గణితాన్ని అభ్యసించే మరియు పైన వ్రాసిన వాటిని చదవని చాలా మంది విద్యార్థులకు, ఈ సమస్యలు కఠినంగా అనిపించవచ్చు. అయినప్పటికీ, ఇవి OGE మరియు గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో కనిపించే సమస్యలు, కాబట్టి మీరు వాటితో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

టాస్క్ నం. 11. ఈ బృందం జనవరిలో 62 భాగాలను ఉత్పత్తి చేసింది మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో వారు మునుపటి నెలలో కంటే 14 ఎక్కువ భాగాలను ఉత్పత్తి చేసారు. నవంబర్‌లో టీమ్ ఎన్ని భాగాలను నిర్మించింది?

పరిష్కారం. సహజంగానే, నెలవారీగా జాబితా చేయబడిన భాగాల సంఖ్య పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతిని సూచిస్తుంది. అంతేకాకుండా:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

నవంబర్ సంవత్సరంలో 11వ నెల, కాబట్టి మనం $((a)_(11))$ని కనుగొనాలి:

\[((ఎ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

అందుకోసం నవంబర్‌లో 202 పార్ట్‌లు నిర్మించనున్నారు.

టాస్క్ నం. 12. బుక్‌బైండింగ్ వర్క్‌షాప్ జనవరిలో 216 పుస్తకాలను బైండింగ్ చేసింది మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో ఇది మునుపటి నెల కంటే 4 పుస్తకాలను బైండ్ చేసింది. డిసెంబర్‌లో వర్క్‌షాప్ బైండ్ చేసిన పుస్తకాలు ఎన్ని?

పరిష్కారం. ఒకే:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

డిసెంబర్ సంవత్సరంలో చివరి, 12వ నెల, కాబట్టి మేము $((a)_(12))$ కోసం వెతుకుతున్నాము:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ఇదీ సమాధానం - డిసెంబర్‌లో 260 పుస్తకాలు బైండ్‌ అవుతాయి.

సరే, మీరు ఇంతవరకు చదివి ఉంటే, నేను మిమ్మల్ని అభినందించడానికి తొందరపడుతున్నాను: మీరు అంకగణిత పురోగతిలో “యంగ్ ఫైటర్ కోర్సు” విజయవంతంగా పూర్తి చేసారు. మీరు తదుపరి పాఠానికి సురక్షితంగా వెళ్లవచ్చు, ఇక్కడ మేము పురోగతి యొక్క మొత్తానికి సూత్రాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము, అలాగే ముఖ్యమైనవి మరియు చాలా ముఖ్యమైనవి ఉపయోగకరమైన పరిణామాలుఆమె నుండి.

మొదటి స్థాయి

అంకగణిత పురోగతి. ఉదాహరణలతో కూడిన వివరణాత్మక సిద్ధాంతం (2019)

సంఖ్య క్రమం

సంఖ్య క్రమం
ఉదాహరణకు, మా క్రమం కోసం:

మా విషయంలో:

మనకు ఒక సంఖ్యా శ్రేణి ఉందని అనుకుందాం, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం సమానంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకి:

మొదలైనవి
ఈ సంఖ్యా క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతి అంటారు.
"పురోగతి" అనే పదాన్ని 6వ శతాబ్దంలో రోమన్ రచయిత బోథియస్ పరిచయం చేసాడు మరియు ఇది అనంతమైన సంఖ్యా క్రమం వలె విస్తృత అర్థంలో అర్థం చేసుకోబడింది. "అంకగణితం" అనే పేరు నిరంతర నిష్పత్తుల సిద్ధాంతం నుండి బదిలీ చేయబడింది, దీనిని పురాతన గ్రీకులు అధ్యయనం చేశారు.

a)
బి)
సి)
d)

ఇచ్చిన పురోగతి ()కి తిరిగి వెళ్లి, దాని వ పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఉనికిలో ఉంది రెండుదానిని కనుగొనే మార్గం.

1. పద్ధతి

కాబట్టి, వివరించిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సమానం.

2. పద్ధతి

మీరు లెక్కించారా? మీ గమనికలను సమాధానంతో సరిపోల్చండి:

మేము మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను వరుసగా జోడించినప్పుడు, మీరు మునుపటి పద్ధతిలో అదే సంఖ్యను పొందారని దయచేసి గమనించండి.
ఈ సూత్రాన్ని "వ్యక్తిగతీకరించడానికి" ప్రయత్నిద్దాం - దీనిని సాధారణ రూపంలో ఉంచి, పొందండి:

అంకగణిత పురోగతి సమీకరణం.

అంకగణిత పురోగమనాలు పెరుగుతాయి లేదా తగ్గవచ్చు.

ఉత్పన్నమైన ఫార్ములా అంకగణిత పురోగతి యొక్క పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న నిబంధనలలో నిబంధనలను లెక్కించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.
దీన్ని ఆచరణలో తనిఖీ చేద్దాం.
కింది సంఖ్యలతో కూడిన అంకగణిత పురోగమనం మాకు అందించబడింది: ఈ అంకగణిత పురోగతిని లెక్కించడానికి మన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే దాని వ సంఖ్య ఏమిటో తనిఖీ చేద్దాం:

అప్పటి నుండి:

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

అంకగణిత పురోగతి లక్షణం

లెట్, ఆహ్, అప్పుడు:

పురోగతి యొక్క మునుపటి పదం:
పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనలను సంగ్రహిద్దాం:

కార్ల్ గాస్ 9 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉన్నప్పుడు, ఇతర తరగతుల విద్యార్థుల పనిని తనిఖీ చేయడంలో నిమగ్నమైన ఉపాధ్యాయుడు, తరగతిలో ఈ క్రింది పనిని అప్పగించాడు: "అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని (ఇతర మూలాల ప్రకారం) కలుపుకొని లెక్కించండి." అతని విద్యార్థిలో ఒకరు (ఇది కార్ల్ గౌస్) ఒక నిమిషం తర్వాత టాస్క్‌కు సరైన సమాధానం ఇచ్చినప్పుడు ఉపాధ్యాయుని ఆశ్చర్యాన్ని ఊహించండి, అయితే చాలా మంది డేర్‌డెవిల్ క్లాస్‌మేట్స్, సుదీర్ఘ గణనల తర్వాత, తప్పు ఫలితాన్ని అందుకున్నారు...

ఇప్పుడు చెప్పండి, మనకు ఇచ్చిన ప్రోగ్రెస్‌లో మొత్తం ఎన్ని జతలు ఉన్నాయి? వాస్తవానికి, అన్ని సంఖ్యలలో సరిగ్గా సగం, అంటే.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క రెండు పదాల మొత్తం సమానం మరియు సారూప్య జంటలు సమానం అనే వాస్తవం ఆధారంగా, మొత్తం మొత్తం దీనికి సమానం అని మేము పొందుతాము:
.
అందువల్ల, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

వాస్తవానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రం 3వ శతాబ్దంలో పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త డయోఫాంటస్చే నిరూపించబడింది మరియు ఈ సమయంలో, చమత్కారమైన వ్యక్తులు అంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలను పూర్తిగా ఉపయోగించారు.
ఉదాహరణకు, పురాతన ఈజిప్ట్ మరియు ఆ సమయంలో అతిపెద్ద నిర్మాణ ప్రాజెక్ట్ను ఊహించుకోండి - ఒక పిరమిడ్ నిర్మాణం... చిత్రం దాని ఒక వైపు చూపిస్తుంది.

ఈ సందర్భంలో, పురోగతి ఇలా కనిపిస్తుంది: .
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంఖ్య.
మన డేటాను చివరి ఫార్ములాల్లోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం (బ్లాకుల సంఖ్యను 2 విధాలుగా లెక్కించండి).

పద్ధతి 1.

పద్ధతి 2.

శిక్షణ

పనులు:

మాషా వేసవి కోసం ఆకృతిని పొందుతోంది. ప్రతి రోజు ఆమె స్క్వాట్‌ల సంఖ్యను పెంచుతుంది. మాషా మొదటి శిక్షణలో స్క్వాట్‌లు చేస్తే వారానికి ఎన్నిసార్లు స్క్వాట్‌లు చేస్తారు?
ఇందులో ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత.
లాగ్‌లను నిల్వ చేస్తున్నప్పుడు, లాగర్లు ప్రతి పై పొర మునుపటి కంటే ఒక లాగ్ తక్కువగా ఉండే విధంగా వాటిని పేర్చారు. ఒక తాపీపనిలో ఎన్ని దుంగలు ఉంటాయి, తాపీకి పునాది దుంగలు అయితే?

సమాధానాలు:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క పారామితులను నిర్వచిద్దాం. ఈ విషయంలో
(వారాలు = రోజులు).
సమాధానం:రెండు వారాలలో, Masha రోజుకు ఒకసారి స్క్వాట్స్ చేయాలి.
మొదటి బేసి సంఖ్య, చివరి సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
బేసి సంఖ్యల సంఖ్య సగం ఉంది, అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేద్దాం:
సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
అందుబాటులో ఉన్న డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:కలిగి ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ల గురించిన సమస్యను గుర్తుంచుకుందాం. మా విషయంలో, a , ప్రతి పై పొర ఒక లాగ్ ద్వారా తగ్గించబడినందున, మొత్తంగా అనేక పొరలు ఉన్నాయి, అనగా.
ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:రాతిలో దుంగలు ఉన్నాయి.

దాన్ని క్రోడీకరించుకుందాం

- ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమం. ఇది పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు.
సూత్రాన్ని కనుగొనడంఅంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడుతుంది - , పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి- - పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంరెండు విధాలుగా కనుగొనవచ్చు:

, విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. సగటు స్థాయి

సంఖ్య క్రమం

కూర్చొని కొన్ని అంకెలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:

సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ సభ్యుడు అంటారు.

క్రమాన్ని సెట్ చేస్తుంది:

మరియు సూత్రం క్రింది క్రమం:

nవ పదం సూత్రం

సరే, ఫార్ములా ఏమిటో ఇప్పుడు తేలిపోయిందా?

ఇప్పుడు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంది, సరియైనదా? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

అంకగణిత పురోగతిలో, nవ పదానికి సూత్రాన్ని కనుగొని, వందవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మొదటి పదం సమానం. తేడా ఏమిటి? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

కాబట్టి, సూత్రం:

అప్పుడు వందవ పదం దీనికి సమానం:

నుండి వరకు అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

పురాణాల ప్రకారం, గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కార్ల్ గౌస్, 9 ఏళ్ల బాలుడిగా, ఈ మొత్తాన్ని కొన్ని నిమిషాల్లో లెక్కించాడు. మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని, రెండవ మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని, చివరి నుండి మూడవ మరియు 3వ మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని అతను గమనించాడు. అలాంటి జంటలు మొత్తం ఎన్ని ఉన్నాయి? అది సరియైనది, అన్ని సంఖ్యల సంఖ్యలో సరిగ్గా సగం, అంటే. కాబట్టి,

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తానికి సాధారణ సూత్రం:

ఉదాహరణ:
అన్ని రెండు-అంకెల గుణకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

అటువంటి మొదటి సంఖ్య ఇది. ప్రతి తదుపరి సంఖ్య మునుపటి సంఖ్యకు జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. అందువల్ల, మనకు ఆసక్తి ఉన్న సంఖ్యలు మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసంతో అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

ఈ పురోగతి కోసం వ పదం యొక్క సూత్రం:

అవన్నీ రెండు అంకెలుగా ఉండాలంటే పురోగతిలో ఎన్ని నిబంధనలు ఉన్నాయి?

చాలా సులభం: .

పురోగతి యొక్క చివరి పదం సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం:

సమాధానం: .

ఇప్పుడు మీరే నిర్ణయించుకోండి:

ప్రతి రోజు అథ్లెట్ మునుపటి రోజు కంటే ఎక్కువ మీటర్లు నడుస్తుంది. మొదటి రోజు కిమీ పరిగెత్తితే వారంలో మొత్తం ఎన్ని కిలోమీటర్లు పరిగెత్తాడు?
ఒక సైక్లిస్ట్ మునుపటి రోజు కంటే ప్రతిరోజూ ఎక్కువ కిలోమీటర్లు ప్రయాణిస్తాడు. తొలిరోజు కి.మీ. అతను కిలోమీటరు ప్రయాణించడానికి ఎన్ని రోజులు ప్రయాణించాలి? తన ప్రయాణంలో చివరి రోజు ఎన్ని కిలోమీటర్లు ప్రయాణం చేస్తాడు?
దుకాణంలో రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ప్రతి సంవత్సరం అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది. రూబిళ్లు కోసం అమ్మకానికి ఉంచినట్లయితే, ఆరు సంవత్సరాల తరువాత అది రూబిళ్లకు విక్రయించబడితే, ప్రతి సంవత్సరం రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ఎంత తగ్గుతుందో నిర్ణయించండి.

సమాధానాలు:

ఇక్కడ అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం అంకగణిత పురోగతిని గుర్తించడం మరియు దాని పారామితులను గుర్తించడం. ఈ సందర్భంలో, (వారాలు = రోజులు). మీరు ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తాన్ని గుర్తించాలి:
.
సమాధానం:
ఇక్కడ ఇవ్వబడింది: , తప్పక కనుగొనాలి.
సహజంగానే, మీరు మునుపటి సమస్యలో ఉన్న మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:
.
విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
రూట్ స్పష్టంగా సరిపోదు, కాబట్టి సమాధానం.
వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చివరి రోజు ప్రయాణించిన మార్గాన్ని గణిద్దాం:
(కిమీ).
సమాధానం:
ఇచ్చిన: . కనుగొను: .
ఇది సరళమైనది కాదు:
(రబ్).
సమాధానం:

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

అంకగణిత పురోగతి () పెరగడం మరియు తగ్గడం ().

ఉదాహరణకి:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రం

ఫార్ములా ద్వారా వ్రాయబడింది, పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

పాఠం రకం:కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

అంకగణిత పురోగతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడిన సమస్యలపై విద్యార్థుల అవగాహనను విస్తరించడం మరియు లోతుగా చేయడం; అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n పదాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందేటప్పుడు విద్యార్థుల శోధన కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం;
స్వతంత్రంగా కొత్త జ్ఞానాన్ని పొందగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం మరియు ఇచ్చిన పనిని సాధించడానికి ఇప్పటికే సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించడం;
పొందిన వాస్తవాలను సాధారణీకరించడానికి కోరిక మరియు అవసరాన్ని అభివృద్ధి చేయడం, స్వాతంత్ర్యం అభివృద్ధి చేయడం.

పనులు:

"అంకగణిత పురోగతి" అనే అంశంపై ఇప్పటికే ఉన్న జ్ఞానాన్ని సంగ్రహించడం మరియు క్రమబద్ధీకరించడం;
అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n నిబంధనల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాలను పొందండి;
పరిష్కరించేటప్పుడు పొందిన సూత్రాలను ఎలా వర్తింపజేయాలో నేర్పండి వివిధ పనులు;
సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనే విధానంపై విద్యార్థుల దృష్టిని ఆకర్షించండి.

సామగ్రి:

సమూహాలు మరియు జతలలో పనిచేయడానికి పనులతో కార్డులు;
మూల్యాంకన పత్రం;
ప్రదర్శన"అంకగణిత పురోగతి."

I. ప్రాథమిక జ్ఞానం యొక్క నవీకరణ.

1. స్వతంత్ర పనిజతల లో.

1వ ఎంపిక:

అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించండి. అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించే పునరావృత సూత్రాన్ని వ్రాయండి. దయచేసి అంకగణిత పురోగతికి ఉదాహరణను అందించండి మరియు దాని వ్యత్యాసాన్ని సూచించండి.

2వ ఎంపిక:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం సూత్రాన్ని వ్రాయండి. అంకగణిత పురోగతి యొక్క 100వ పదాన్ని కనుగొనండి ( ఒక ఎన్}: 2, 5, 8 …
ఈ సమయంలో ఇద్దరు విద్యార్థులు వెనుక వైపుబోర్డులు ఇవే ప్రశ్నలకు సమాధానాలు సిద్ధం చేస్తున్నాయి.
విద్యార్థులు వారి భాగస్వామి పనిని బోర్డులో తనిఖీ చేయడం ద్వారా అంచనా వేస్తారు. (సమాధానాలతో కూడిన షీట్‌లు ఇవ్వబడ్డాయి.)

2. గేమ్ క్షణం.

వ్యాయామం 1.

టీచర్.నేను కొన్ని అంకగణిత పురోగతి గురించి ఆలోచించాను. నన్ను కేవలం రెండు ప్రశ్నలను మాత్రమే అడగండి, తద్వారా సమాధానాల తర్వాత మీరు ఈ పురోగతి యొక్క 7వ పదాన్ని త్వరగా పేర్కొనవచ్చు. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

విద్యార్థుల నుండి ప్రశ్నలు.

పురోగతి యొక్క ఆరవ పదం ఏమిటి మరియు తేడా ఏమిటి?
పురోగతి యొక్క ఎనిమిదవ పదం ఏమిటి మరియు తేడా ఏమిటి?

ఎక్కువ ప్రశ్నలు లేకుంటే, ఉపాధ్యాయుడు వాటిని ప్రేరేపించగలడు - d (తేడా)పై “నిషేధం”, అంటే, తేడా దేనికి సమానం అని అడగడానికి అనుమతించబడదు. మీరు ప్రశ్నలు అడగవచ్చు: పురోగతి యొక్క 6వ పదం దేనికి సమానం మరియు పురోగతి యొక్క 8వ పదం దేనికి సమానం?

టాస్క్ 2.

బోర్డుపై 20 సంఖ్యలు వ్రాయబడ్డాయి: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ఉపాధ్యాయుడు బోర్డుకు వెన్నుపోటు పొడిచాడు. విద్యార్థులు నంబర్‌కు కాల్ చేస్తారు మరియు ఉపాధ్యాయుడు తక్షణమే నంబర్‌కు కాల్ చేస్తాడు. నేను దీన్ని ఎలా చేయగలనో వివరించండి?

ఉపాధ్యాయుడు nth term కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకుంటాడు a n = 3n – 2మరియు, పేర్కొన్న విలువలను n భర్తీ చేయడం, సంబంధిత విలువలను కనుగొంటుంది ఒక ఎన్.

II. స్టేజింగ్ విద్యా పని.

ఈజిప్షియన్ పాపిరిలో కనుగొనబడిన 2వ సహస్రాబ్ది BC నాటి పురాతన సమస్యను పరిష్కరించాలని నేను ప్రతిపాదిస్తున్నాను.

విధి:"మీతో చెప్పనివ్వండి: 10 మెట్ల బార్లీని 10 మందికి పంచండి, ప్రతి వ్యక్తి మరియు అతని పొరుగువారి మధ్య వ్యత్యాసం కొలతలో 1/8."

ఈ సమస్య అంకగణిత పురోగతికి సంబంధించి ఎలా ఉంది? (ప్రతి తదుపరి వ్యక్తి కొలతలో 1/8 వంతు ఎక్కువ అందుకుంటారు, అంటే వ్యత్యాసం d=1/8, 10 మంది వ్యక్తులు, అంటే n=10.)
సంఖ్య 10 కొలతలు అంటే ఏమిటి అని మీరు అనుకుంటున్నారు? (పురోగతి యొక్క అన్ని నిబంధనల మొత్తం.)
సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా బార్లీని విభజించడం సులభం మరియు సరళంగా చేయడానికి మీరు ఇంకా ఏమి తెలుసుకోవాలి? (పురోగతి యొక్క మొదటి పదం.)

పాఠం లక్ష్యం- వారి సంఖ్య, మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసంపై పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తాన్ని ఆధారపడటం మరియు పురాతన కాలంలో సమస్య సరిగ్గా పరిష్కరించబడిందో లేదో తనిఖీ చేయడం.

మేము సూత్రాన్ని తగ్గించే ముందు, పురాతన ఈజిప్షియన్లు సమస్యను ఎలా పరిష్కరించారో చూద్దాం.

మరియు వారు దానిని ఈ క్రింది విధంగా పరిష్కరించారు:

1) 10 కొలతలు: 10 = 1 కొలత - సగటు వాటా;
2) 1 కొలత ∙ = 2 కొలతలు – రెట్టింపు సగటువాటా.
రెట్టింపు అయింది సగటుషేర్ అనేది 5వ మరియు 6వ వ్యక్తి యొక్క షేర్ల మొత్తం.
3) 2 కొలతలు - 1/8 కొలతలు = 1 7/8 కొలతలు - ఐదవ వ్యక్తి యొక్క వాటా రెండింతలు.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ఐదవ భాగం; మరియు మొదలైనవి, మీరు ప్రతి మునుపటి మరియు తదుపరి వ్యక్తి యొక్క వాటాను కనుగొనవచ్చు.

మేము క్రమాన్ని పొందుతాము:

III. సమస్యను పరిష్కరించడం.

1. సమూహాలలో పని చేయండి

గ్రూప్ I: 20 వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: S 20 =(20+1)∙10 =210.

సాధారణంగా

II సమూహం: 1 నుండి 100 వరకు ఉన్న సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి (ది లెజెండ్ ఆఫ్ లిటిల్ గాస్).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

ముగింపు:

III సమూహం: 1 నుండి 21 వరకు ఉన్న సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం: 1+21=2+20=3+19=4+18…

ముగింపు:

IV సమూహం: 1 నుండి 101 వరకు ఉన్న సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

ముగింపు:

పరిగణించబడిన సమస్యలను పరిష్కరించే ఈ పద్ధతిని "గాస్ మెథడ్" అంటారు.

2. ప్రతి సమూహం బోర్డులో సమస్యకు పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది.

3. ఏకపక్ష అంకగణిత పురోగతి కోసం ప్రతిపాదిత పరిష్కారాల సాధారణీకరణ:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

ఇలాంటి తార్కికాన్ని ఉపయోగించి ఈ మొత్తాన్ని కనుగొనండి:

4. మేము సమస్యను పరిష్కరించామా?(అవును.)

IV. సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు పొందిన సూత్రాల యొక్క ప్రాథమిక అవగాహన మరియు అప్లికేషన్.

1. ఫార్ములా ఉపయోగించి పురాతన సమస్యకు పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడం.

2. వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఫార్ములా యొక్క అప్లికేషన్.

3. సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు సూత్రాలను వర్తించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి వ్యాయామాలు.

ఎ) నం. 613

ఇచ్చిన: ( a n) -అంకగణిత పురోగతి;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

కనుగొనండి: S 1500

పరిష్కారం: , a 1 = 1, మరియు 1500 = 1500,

బి) ఇవ్వబడింది: ( a n) -అంకగణిత పురోగతి;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

కనుగొనండి: n
పరిష్కారం:

V. పరస్పర ధృవీకరణతో స్వతంత్ర పని.

డెనిస్ కొరియర్‌గా పని చేయడం ప్రారంభించాడు. మొదటి నెలలో అతని జీతం 200 రూబిళ్లు, ప్రతి తదుపరి నెలలో అది 30 రూబిళ్లు పెరిగింది. ఏడాదిలో మొత్తం ఎంత సంపాదించాడు?

ఇచ్చిన: ( a n) -అంకగణిత పురోగతి;
a 1 = 200, d=30, n=12
కనుగొనండి: S 12
పరిష్కారం:

సమాధానం: డెనిస్ సంవత్సరానికి 4380 రూబిళ్లు అందుకున్నాడు.

VI. హోంవర్క్ సూచన.

విభాగం 4.3 - సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తెలుసుకోండి.
№№ 585, 623 .
అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించగల సమస్యను సృష్టించండి.

VII. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.

1. స్కోర్ షీట్

2. వాక్యాలను కొనసాగించండి

ఈరోజు క్లాసులో నేర్చుకున్నాను...
సూత్రాలు నేర్చుకున్నా...
నేను దాన్ని నమ్ముతాను …

3. మీరు 1 నుండి 500 వరకు సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనగలరా? ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీరు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు?

గ్రంథ పట్టిక.

1. ఆల్జీబ్రా, 9వ తరగతి. కోసం ట్యుటోరియల్ విద్యా సంస్థలు. Ed. జి.వి. డోరోఫీవా. M.: "జ్ఞానోదయం", 2009.