ఈ ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి మీరు స్పేస్‌లోని పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనవచ్చు. వివరణలతో కూడిన వివరణాత్మక పరిష్కారం ఇవ్వబడింది. స్పేస్‌లోని పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించడానికి, పంక్తుల సమీకరణ రకాన్ని సెట్ చేయండి ("కానానికల్" లేదా "పారామెట్రిక్"), కణాలలోని పంక్తుల సమీకరణాల గుణకాలను నమోదు చేయండి మరియు "పరిష్కరించు" బటన్‌పై క్లిక్ చేయండి.
×
హెచ్చరిక
అన్ని కణాలను క్లియర్ చేయాలా?
క్లోజ్ క్లియర్
డేటా ఎంట్రీ సూచనలు.సంఖ్యలు పూర్ణాంకాలు (ఉదాహరణలు: 487, 5, -7623, మొదలైనవి), దశాంశాలు (ఉదా. 67., 102.54, మొదలైనవి) లేదా భిన్నాలుగా నమోదు చేయబడ్డాయి. భిన్నం తప్పనిసరిగా a/b రూపంలో నమోదు చేయాలి, ఇక్కడ a మరియు b (b>0) పూర్ణాంకాలు లేదా దశాంశాలు. ఉదాహరణలు 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, మొదలైనవి.
అంతరిక్షంలో పంక్తుల మధ్య దూరం - సిద్ధాంతం, ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలు
కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఇవ్వబడనివ్వండి ఆక్సిజ్ ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2:
| . | (1) |
 ,
| (2) |
ఎక్కడ ఎం 1 (x 1 , వై 1 , z 1) మరియు ఎం 2 (x 2 , వై 2 , z 2) - పాయింట్లు సరళ రేఖలపై ఉంటాయి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2, ఎ q 1 ={m 1 , p 1 , ఎల్ 1) మరియు q 2 ={m 2 , p 2 , ఎల్ 2) - సరళ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2, వరుసగా.
అంతరిక్షంలోని పంక్తులు (1) మరియు (2) ఏకీభవించవచ్చు, సమాంతరంగా ఉండవచ్చు, కలుస్తాయి లేదా కలుస్తాయి. అంతరిక్షంలో పంక్తులు కలుస్తుంటే లేదా ఏకీభవిస్తే, వాటి మధ్య దూరం సున్నా. మేము రెండు కేసులను పరిశీలిస్తాము. మొదటిది పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు రెండవది పంక్తులు కలుస్తాయి. మిగిలినవి సాధారణ కేసులు. సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, మనం సున్నాకి సమానమైన దూరాన్ని పొందినట్లయితే, ఈ పంక్తులు సమానంగా ఉన్నాయని దీని అర్థం. ఖండన రేఖల మధ్య దూరం సున్నా అయితే, ఈ పంక్తులు కలుస్తాయి.
1. అంతరిక్షంలో సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం
పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించడానికి రెండు పద్ధతులను పరిశీలిద్దాం.
విధానం 1. ఒక పాయింట్ నుండి ఎం 1 నేరుగా ఎల్ 1 విమానం గీయండి α , రేఖకు లంబంగా ఎల్ 2. ఒక పాయింట్ కనుగొనడం ఎం 3 (x 3 , వై 3 , వై 3) విమాన విభజనలు α మరియు నేరుగా ఎల్ 3. ముఖ్యంగా మేము పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను కనుగొంటాము ఎం 1 నేరుగా ఎల్ 2. ఒక లైన్‌లో పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ను ఎలా కనుగొనాలి, చూడండి. తరువాత మేము పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కిస్తాము ఎం 1 (x 1 , వై 1 , z 1) మరియు ఎం 3 (x 3 , వై 3 , z 3):
ఉదాహరణ 1. పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2:నేరుగా ఎల్ 2 పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఎం 2 (x 2 , వై 2 , z 2)=ఎం
విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తోంది m 2 , p 2 , ఎల్ 2 , x 1 , వై 1 , z 1 in (5) మనకు లభిస్తుంది:
రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి ఎల్ 2 మరియు విమానం α , దీని కోసం మేము సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాన్ని నిర్మిస్తాము ఎల్ 2 .
రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనడానికి ఎల్ 2 మరియు విమానం α , వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి x, వై, z(7) నుండి (6):
ఫలిత విలువను భర్తీ చేయడం t(7) లో, మేము సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును పొందుతాము ఎల్ 2 మరియు విమానం α :
 |
పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది ఎం 1 మరియు ఎం 3:
  |
ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సమానం డి=7.2506.
విధానం 2. పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 (సమీకరణాలు (1) మరియు (2)). మొదట, మేము పంక్తుల సమాంతరతను తనిఖీ చేస్తాము ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2. సరళ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ అయితే ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 కొలినియర్, అనగా. సమానత్వం వంటి సంఖ్య λ ఉంటే q 1 =λ q 2, ఆపై నేరుగా ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సమాంతరంగా ఉంటాయి.
సమాంతర వెక్టర్స్ మధ్య దూరాన్ని లెక్కించే ఈ పద్ధతి వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క కట్టుబాటు మరియు q 1 ఈ వెక్టర్స్ ద్వారా ఏర్పడిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని ఇస్తుంది (Fig. 2). మీరు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని తెలుసుకున్న తర్వాత, మీరు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనవచ్చు డి, ప్రాంతాన్ని బేస్ ద్వారా విభజించడం q 1 సమాంతర చతుర్భుజం.
q 1:
 .
|
పంక్తుల మధ్య దూరం ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సమానం:
| , |
 ,
|
ఉదాహరణ 2. పద్ధతి 2ని ఉపయోగించి ఉదాహరణ 1ని పరిష్కరిద్దాం. పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి
నేరుగా ఎల్ 2 పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఎం 2 (x 2 , వై 2 , z 2)=ఎం 2 (8, 4, 1) మరియు దిశ వెక్టార్‌ను కలిగి ఉంటుంది
| q 2 ={m 2 , p 2 , ఎల్ 2 }={2, −4, 8} |
వెక్టర్స్ q 1 మరియు q 2 కొలినియర్. అందువలన నేరుగా ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సమాంతరంగా ఉంటాయి. సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించడానికి, మేము వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగిస్తాము.
వెక్టార్‌ని నిర్మిస్తాం =( x 2 −x 1 , వై 2 −వై 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.
వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని గణిద్దాం మరియు q 1 . దీన్ని చేయడానికి, మేము 3 × 3 మాతృకను సృష్టిస్తాము, వీటిలో మొదటి వరుస ఆధార వెక్టర్స్ i, j, k, మరియు మిగిలిన పంక్తులు వెక్టర్స్ యొక్క అంశాలతో నిండి ఉంటాయి మరియు q 1:
అందువలన, వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క ఫలితం మరియు q 1 వెక్టర్ అవుతుంది:
సమాధానం: పంక్తుల మధ్య దూరం ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సమానం డి=7.25061.
2. అంతరిక్షంలో క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరం
కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఇవ్వబడనివ్వండి ఆక్సిజ్మరియు ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖలను ఇవ్వనివ్వండి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 (సమీకరణాలు (1) మరియు (2)).
నేరుగా లెట్ ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 సమాంతరంగా లేవు (మునుపటి పేరాలో మేము సమాంతర రేఖలను చర్చించాము). పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 మీరు సమాంతర విమానాలను నిర్మించాలి α 1 మరియు α 2 కాబట్టి అది నేరుగా ఉంటుంది ఎల్ 1 విమానంలో పడుకున్నాడు α 1 ఒక నేరుగా ఎల్ 2 - విమానంలో α 2. అప్పుడు పంక్తుల మధ్య దూరం ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 విమానాల మధ్య దూరానికి సమానం ఎల్ 1 మరియు ఎల్ 2 (Fig. 3).
ఎక్కడ n 1 ={ఎ 1 , బి 1 , సి 1 ) - విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టర్ α 1 . విమానం కోసం α 1 సరళ రేఖ గుండా వెళ్ళింది ఎల్ 1, సాధారణ వెక్టర్ n 1 దిశ వెక్టర్‌కు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉండాలి q 1 నేరుగా ఎల్ 1, అనగా ఈ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి:
మూడు సమీకరణాలు మరియు నాలుగు తెలియని అంశాలతో సరళ సమీకరణాల (27)-(29) వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ఎ 1 , బి 1 , సి 1 , డి 1, మరియు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం
విమానాలు α 1 మరియు α 2 సమాంతరంగా ఉంటాయి, కాబట్టి ఫలితంగా వచ్చే సాధారణ వెక్టర్స్ n 1 ={ఎ 1 , బి 1 , సి 1) మరియు n 2 ={ఎ 2 , బి 2 , సి 2) ఈ విమానాలు కొలినియర్. ఈ వెక్టర్స్ సమానంగా లేకుంటే, మనం (31)ని ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించవచ్చు, ఫలితంగా వచ్చే సాధారణ వెక్టర్ n 2 సమీకరణం యొక్క సాధారణ వెక్టార్‌తో సమానంగా ఉంటుంది (30).
అప్పుడు సమాంతర విమానాల మధ్య దూరం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
 | (33) |
పరిష్కారం. నేరుగా ఎల్ 1 పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఎం 1 (x 1 , వై 1 , z 1)=ఎం 1 (2, 1, 4) మరియు దిశ వెక్టార్‌ను కలిగి ఉంటుంది q 1 ={m 1 , p 1 , ఎల్ 1 }={1, 3, −2}.
నేరుగా ఎల్ 2 పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఎం 2 (x 2 , వై 2 , z 2)=ఎం 2 (6, −1, 2) మరియు దిశ వెక్టార్‌ను కలిగి ఉంటుంది q 2 ={m 2 , p 2 , ఎల్ 2 }={2, −3, 7}.
ఒక విమానం తయారు చేద్దాం α 1 లైన్ గుండా వెళుతుంది ఎల్ 1, సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఎల్ 2 .
విమానం నుండి α 1 లైన్ గుండా వెళుతుంది ఎల్ 1, అది కూడా పాయింట్ గుండా వెళుతుంది ఎం 1 (x 1 , వై 1 , z 1)=ఎం 1 (2, 1, 4) మరియు సాధారణ వెక్టర్ n 1 ={m 1 , p 1 , ఎల్ 1) విమానం α 1 దిశ వెక్టర్‌కు లంబంగా q 1 నేరుగా ఎల్ 1 . అప్పుడు విమానం యొక్క సమీకరణం తప్పనిసరిగా పరిస్థితిని సంతృప్తి పరచాలి:
విమానం నుండి α 1 రేఖకు సమాంతరంగా ఉండాలి ఎల్ 2, అప్పుడు కింది షరతు తప్పక కలుసుకోవాలి:
ఈ సమీకరణాలను మాతృక రూపంలో సూచిస్తాం:
 | (40) |
సంబంధించి సరళ సమీకరణాల (40) వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం ఎ 1 , బి 1 , సి 1 , డి 1.
ఈ ఆర్టికల్లో, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ నుండి C2 సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణను ఉపయోగించి, కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి కనుగొనే పద్ధతి విశ్లేషించబడుతుంది. సరళ రేఖలు ఒకే విమానంలో ఉండకపోతే అవి వక్రంగా ఉంటాయని గుర్తుంచుకోండి. ప్రత్యేకించి, ఒక పంక్తి విమానంలో ఉంటే, మరియు రెండవ పంక్తి ఈ విమానాన్ని మొదటి పంక్తిలో లేని పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంది, అప్పుడు అలాంటి పంక్తులు కలుస్తాయి (ఫిగర్ చూడండి).
కనుగొనేందుకు క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరాలుఅవసరం:
- ఇతర ఖండన రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న ఖండన రేఖలలో ఒకదాని ద్వారా విమానాన్ని గీయండి.
- రెండవ పంక్తిలోని ఏదైనా బిందువు నుండి లంబంగా ఉన్న ప్లేన్‌పైకి వదలండి. ఈ లంబంగా ఉండే పొడవు పంక్తుల మధ్య అవసరమైన దూరం అవుతుంది.
గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ నుండి C2 సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ అల్గోరిథంను మరింత వివరంగా విశ్లేషిద్దాం.
అంతరిక్షంలో పంక్తుల మధ్య దూరం
టాస్క్.యూనిట్ క్యూబ్‌లో ABCDA 1 బి 1 సి 1 డి 1 పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి బా. 1 మరియు డి.బి. 1 .
అన్నం. 1. పని కోసం డ్రాయింగ్
పరిష్కారం.క్యూబ్ యొక్క వికర్ణం మధ్యలో డి.బి. 1 (పాయింట్ ఓ) రేఖకు సమాంతరంగా ఒక గీతను గీయండి ఎ 1 బి. అంచులతో ఈ రేఖ యొక్క ఖండన పాయింట్లు బి.సి.మరియు ఎ 1 డి 1 తదనుగుణంగా సూచించబడుతుంది ఎన్మరియు ఎం. నేరుగా MNఒక విమానంలో ఉంది MNB 1 మరియు రేఖకు సమాంతరంగా ఎ 1 బి, ఇది ఈ విమానంలో ఉండదు. దీని అర్థం సరళ రేఖ ఎ 1 బివిమానానికి సమాంతరంగా MNB 1 సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానం యొక్క సమాంతరత ఆధారంగా (Fig. 2).
అన్నం. 2. క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య అవసరమైన దూరం ఎంచుకున్న రేఖలోని ఏదైనా పాయింట్ నుండి వర్ణించబడిన సమతలానికి ఉన్న దూరానికి సమానం
ఇప్పుడు మేము లైన్‌లోని కొంత పాయింట్ నుండి దూరం కోసం చూస్తున్నాము ఎ 1 బివిమానానికి MNB 1 . ఈ దూరం, నిర్వచనం ప్రకారం, క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య అవసరమైన దూరం అవుతుంది.
ఈ దూరాన్ని కనుగొనడానికి మేము కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం, తద్వారా దాని మూలం పాయింట్ B, అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది Xఅంచు వెంట దర్శకత్వం వహించబడింది బా., అక్షం వై- అంచు వెంట బి.సి., అక్షం Z- అంచు వెంట BB 1 (Fig. 3).
అన్నం. 3. చిత్రంలో చూపిన విధంగా మేము దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకుంటాము
విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడం MNBఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో 1. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయిస్తాము ఎం, ఎన్మరియు బి 1: 
మేము ఫలిత అక్షాంశాలను సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము మరియు క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి మనం మూడవది నుండి పొందుతాము, మొదటి నుండి మనం పొందుతాము, పొందిన విలువలను సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలోకి మార్చండి:
మేము లేకపోతే విమానం గమనించండి MNB 1 మూలం గుండా వెళుతుంది. ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి మరియు మనం పొందుతాము:
ఒక బిందువు నుండి సమతలానికి దూరం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
నేను కొత్త వెర్డోవ్ ఫైల్‌ను సృష్టించడానికి మరియు అటువంటి మనోహరమైన అంశాన్ని కొనసాగించడానికి ముందు ఒక్క నిమిషం కూడా గడిచిపోలేదు. మీరు వర్కింగ్ మూడ్ యొక్క క్షణాలను క్యాప్చర్ చేయాలి, కాబట్టి లిరికల్ పరిచయం ఉండదు. ఒక గద్య పిరుదులపై ఉంటుంది =)
రెండు సరళ ఖాళీలు వీటిని చేయగలవు:
1) అంతర్జాతి;
2) పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి;
3) సమాంతరంగా ఉండండి;
4) మ్యాచ్.
కేసు సంఖ్య 1 ఇతర కేసుల నుండి ప్రాథమికంగా భిన్నంగా ఉంటుంది. ఒకే విమానంలో పడుకోకపోతే రెండు సరళ రేఖలు కలుస్తాయి. ఒక చేతిని పైకి లేపండి మరియు మరొక చేతిని ముందుకు విస్తరించండి - ఇక్కడ గీతలు దాటడానికి ఒక ఉదాహరణ. పాయింట్లు నం. 2-4లో సరళ రేఖలు తప్పనిసరిగా పడుకోవాలి ఒక విమానంలో.
అంతరిక్షంలో పంక్తుల సాపేక్ష స్థానాలను ఎలా కనుగొనాలి?
రెండు ప్రత్యక్ష ఖాళీలను పరిగణించండి:
- ఒక పాయింట్ మరియు దిశ వెక్టర్ ద్వారా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖ;
- ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ద్వారా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖ.
మెరుగైన అవగాహన కోసం, స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్‌ను తయారు చేద్దాం: 
డ్రాయింగ్ ఉదాహరణగా ఖండన సరళ రేఖలను చూపుతుంది.
ఈ సరళ రేఖలను ఎలా ఎదుర్కోవాలి?
పాయింట్లు తెలిసినందున, వెక్టర్‌ను కనుగొనడం సులభం.
సూటిగా ఉంటే అంతర్జాతి, తర్వాత వెక్టర్స్ కోప్లానార్ కాదు(పాఠం చూడండి వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ (కాని) ఆధారపడటం. వెక్టర్స్ యొక్క ఆధారం), అందువలన, వారి కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన నిర్ణాయకం సున్నా కాదు. లేదా, వాస్తవానికి అదే విషయం, ఇది సున్నా కాదు: 
.
సందర్భాలలో సంఖ్య 2-4, మా నిర్మాణం ఒక విమానం లోకి "పడుతుంది", అయితే వెక్టర్స్ కొప్లానార్, మరియు సరళ ఆధారిత వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం: 
.
అల్గోరిథంను మరింత విస్తరింపజేద్దాం. అలా నటిద్దాం 
అందువల్ల, పంక్తులు కలుస్తాయి, సమాంతరంగా ఉంటాయి లేదా సమానంగా ఉంటాయి.
దిశ వెక్టర్స్ ఉంటే కొలినియర్, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా లేదా యాదృచ్చికంగా ఉంటాయి. చివరి గోరు కోసం, నేను ఈ క్రింది సాంకేతికతను ప్రతిపాదిస్తున్నాను: ఒక లైన్‌లో ఏదైనా పాయింట్‌ని తీసుకోండి మరియు దాని కోఆర్డినేట్లను రెండవ పంక్తి యొక్క సమీకరణంలోకి మార్చండి; కోఆర్డినేట్లు "సరిపోయేవి" అయితే, పంక్తులు ఏకీభవిస్తాయి; అవి "సరిపోకపోతే" అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
అల్గోరిథం సులభం, కానీ ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలు ఇప్పటికీ సహాయపడతాయి:
ఉదాహరణ 11
రెండు పంక్తుల సాపేక్ష స్థానాన్ని కనుగొనండి
పరిష్కారం: అనేక జ్యామితి సమస్యలలో వలె, పాయింట్ల వారీగా పరిష్కార బిందువును రూపొందించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:
1) మేము సమీకరణాల నుండి పాయింట్లు మరియు దిశ వెక్టర్లను తీసుకుంటాము:
2) వెక్టర్‌ను కనుగొనండి:
అందువలన, వెక్టర్స్ కోప్లానార్, అంటే పంక్తులు ఒకే సమతలంలో ఉంటాయి మరియు కలుస్తాయి, సమాంతరంగా లేదా ఏకకాలంలో ఉంటాయి.
4) కోలినియారిటీ కోసం దిశ వెక్టర్లను తనిఖీ చేద్దాం.
ఈ వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల నుండి సిస్టమ్‌ను క్రియేట్ చేద్దాం:
నుండి ప్రతి ఒక్కరూఇది అనుసరించే సమీకరణాల ప్రకారం, సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్లు అనుపాతంలో ఉంటాయి మరియు వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉంటాయి.
ముగింపు: పంక్తులు సమాంతరంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి.
5) పంక్తులు సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉన్నాయో లేదో కనుగొనండి. మొదటి పంక్తికి చెందిన ఒక బిందువును తీసుకుందాం మరియు దాని కోఆర్డినేట్లను రేఖ యొక్క సమీకరణాలలోకి మార్చండి: 
అందువల్ల, పంక్తులకు సాధారణ పాయింట్లు లేవు మరియు వాటికి సమాంతరంగా ఉండటం తప్ప వేరే మార్గం లేదు.
సమాధానం:
మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి ఒక ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణ:
ఉదాహరణ 12
పంక్తుల సంబంధిత స్థానాలను కనుగొనండి
మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. దయచేసి రెండవ పంక్తిలో అక్షరం పారామీటర్‌గా ఉందని గమనించండి. లాజికల్. సాధారణ సందర్భంలో, ఇవి రెండు వేర్వేరు పంక్తులు, కాబట్టి ప్రతి పంక్తికి దాని స్వంత పరామితి ఉంటుంది.
ఉదాహరణలను దాటవేయవద్దని మళ్ళీ నేను మిమ్మల్ని కోరుతున్నాను, నేను ప్రతిపాదించే పనులు యాదృచ్ఛికంగా లేవు ;-)
అంతరిక్షంలో ఒక లైన్‌తో సమస్యలు
పాఠం యొక్క చివరి భాగంలో, నేను ప్రాదేశిక పంక్తులతో గరిష్ట సంఖ్యలో వివిధ సమస్యలను పరిగణించడానికి ప్రయత్నిస్తాను. ఈ సందర్భంలో, కథ యొక్క అసలు క్రమం గమనించబడుతుంది: మొదట మేము క్రాసింగ్ లైన్లతో సమస్యలను పరిశీలిస్తాము, తరువాత ఖండన పంక్తులతో మరియు చివరిలో మేము అంతరిక్షంలో సమాంతర రేఖల గురించి మాట్లాడుతాము. ఏదేమైనా, ఈ పాఠం యొక్క కొన్ని పనులు ఒకేసారి పంక్తుల స్థానం యొక్క అనేక సందర్భాల్లో రూపొందించబడతాయని నేను చెప్పాలి మరియు ఈ విషయంలో, విభాగాన్ని పేరాలుగా విభజించడం కొంతవరకు ఏకపక్షంగా ఉంటుంది. సరళమైన ఉదాహరణలు ఉన్నాయి, మరింత క్లిష్టమైన ఉదాహరణలు ఉన్నాయి మరియు ప్రతి ఒక్కరూ తమకు అవసరమైన వాటిని కనుగొంటారని ఆశిస్తున్నాము.
క్రాసింగ్ లైన్లు
అవి రెండూ ఉండే విమానం లేకుంటే సరళ రేఖలు కలుస్తాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. నేను అభ్యాసం గురించి ఆలోచిస్తున్నప్పుడు, ఒక రాక్షసుడు సమస్య గుర్తుకు వచ్చింది మరియు ఇప్పుడు మీ దృష్టికి నాలుగు తలలు ఉన్న డ్రాగన్‌ను అందించడం నాకు సంతోషంగా ఉంది:
ఉదాహరణ 13
సరళ రేఖలు ఇవ్వబడ్డాయి. అవసరం:
ఎ) పంక్తులు కలుస్తాయని నిరూపించండి;
బి) ఇచ్చిన పంక్తులకు లంబంగా ఉన్న పాయింట్ గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కనుగొనండి;
c) కలిగి ఉన్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయండి సాధారణ లంబంగాక్రాసింగ్ లైన్లు;
d) పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: నడిచేవాడు రహదారిపై పట్టు సాధిస్తాడు:
ఎ) పంక్తులు కలుస్తాయని నిరూపిద్దాం. ఈ పంక్తుల యొక్క పాయింట్లు మరియు దిశ వెక్టర్లను కనుగొనండి: 
వెక్టర్‌ను కనుగొనండి:
లెక్క తీసుకుందాం వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి:
అందువలన, వెక్టర్స్ కోప్లానార్ కాదు, అంటే పంక్తులు కలుస్తాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
పంక్తులను దాటడానికి ధృవీకరణ అల్గోరిథం చిన్నది అని బహుశా ప్రతి ఒక్కరూ చాలా కాలంగా గమనించారు.
బి) పాయింట్ గుండా వెళుతున్న మరియు పంక్తులకు లంబంగా ఉండే రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కనుగొనండి. స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్ చేద్దాం: 
మార్పు కోసం నేను నేరుగా పోస్ట్ చేసాను వెనుకనేరుగా, క్రాసింగ్ పాయింట్ల వద్ద అది ఎలా కొద్దిగా చెరిపివేయబడిందో చూడండి. సంకరజాతి? అవును, సాధారణంగా, "de" అనే సరళ రేఖ అసలు సరళ రేఖలతో దాటబడుతుంది. ఈ క్షణంలో మాకు ఆసక్తి లేనప్పటికీ, మనం ఒక లంబ రేఖను నిర్మించాలి మరియు అంతే.
ప్రత్యక్ష "డి" గురించి ఏమి తెలుసు? దానికి సంబంధించిన పాయింట్ తెలిసింది. తగినంత గైడ్ వెక్టర్ లేదు.
షరతు ప్రకారం, సరళ రేఖ సరళ రేఖలకు లంబంగా ఉండాలి, అంటే దాని దిశ వెక్టర్ దిశ వెక్టర్‌లకు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది. ఉదాహరణ సంఖ్య 9 నుండి ఇప్పటికే సుపరిచితం, వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి:
పాయింట్ మరియు డైరెక్షన్ వెక్టార్‌ని ఉపయోగించి “de” సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కంపోజ్ చేద్దాం:
సిద్ధంగా ఉంది. సూత్రప్రాయంగా, మీరు హారంలోని సంకేతాలను మార్చవచ్చు మరియు రూపంలో సమాధానాన్ని వ్రాయవచ్చు 
, కానీ దీని అవసరం లేదు.
తనిఖీ చేయడానికి, మీరు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను ఫలిత సరళ రేఖ సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి, ఆపై ఉపయోగించండి వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తివెక్టర్ "pe one" మరియు "pe two" అనే దిశ వెక్టర్‌లకు నిజంగా ఆర్తోగోనల్‌గా ఉందని నిర్ధారించుకోండి.
సాధారణ లంబాన్ని కలిగి ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాలను ఎలా కనుగొనాలి?
సి) ఈ సమస్య మరింత క్లిష్టంగా ఉంటుంది. డమ్మీలు ఈ అంశాన్ని దాటవేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి పట్ల మీ హృదయపూర్వక సానుభూతిని చల్లబరచడం నాకు ఇష్టం లేదు =) మార్గం ద్వారా, మరింత సిద్ధమైన పాఠకులు కూడా నిలిపివేయడం మంచిది, వాస్తవం ఏమిటంటే సంక్లిష్టత పరంగా ఉదాహరణ వ్యాసంలో చివరిగా ఉంచాలి, కానీ ప్రదర్శన యొక్క తర్కం ప్రకారం అది ఇక్కడ ఉండాలి.
కాబట్టి, మీరు వక్ర రేఖల యొక్క సాధారణ లంబాన్ని కలిగి ఉన్న రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కనుగొనాలి.
- ఇది ఈ పంక్తులను కలుపుతూ మరియు ఈ పంక్తులకు లంబంగా ఉండే విభాగం: 
ఇక్కడ మా అందమైన వ్యక్తి: - ఖండన రేఖల యొక్క సాధారణ లంబంగా. అతను ఒక్కడే. అలాంటిది మరొకటి లేదు. ఈ విభాగాన్ని కలిగి ఉన్న లైన్ కోసం మనం సమీకరణాలను సృష్టించాలి.
ప్రత్యక్ష "ఉమ్" గురించి ఏమి తెలుసు? దాని దిశ వెక్టర్ తెలిసినది, మునుపటి పేరాలో కనుగొనబడింది. కానీ, దురదృష్టవశాత్తూ, “em” అనే సరళ రేఖకు చెందిన ఒక్క బిందువు కూడా మనకు తెలియదు, లేదా లంబంగా ఉన్న పాయింట్ల చివరలు కూడా మనకు తెలియదు. ఈ లంబ రేఖ రెండు అసలు పంక్తులను ఎక్కడ కలుస్తుంది? ఆఫ్రికాలో, అంటార్కిటికాలో? పరిస్థితి యొక్క ప్రాథమిక సమీక్ష మరియు విశ్లేషణ నుండి, సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలో స్పష్టంగా లేదు... కానీ సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాల వినియోగానికి సంబంధించి ఒక గమ్మత్తైన ట్రిక్ ఉంది.
మేము పాయింట్ ద్వారా నిర్ణయాన్ని రూపొందిస్తాము:
1) పారామెట్రిక్ రూపంలో మొదటి పంక్తి యొక్క సమీకరణాలను తిరిగి వ్రాద్దాం: 
విషయాన్ని పరిశీలిద్దాం. మాకు కోఆర్డినేట్లు తెలియవు. కానీ. ఒక పాయింట్ ఇచ్చిన రేఖకు చెందినదైతే, దాని కోఆర్డినేట్లు దానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి, దానిని ద్వారా సూచిస్తాము. అప్పుడు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు రూపంలో వ్రాయబడతాయి: 
జీవితం మెరుగుపడుతోంది, ఒకటి తెలియని వారు ఇంకా ముగ్గురు తెలియనివారు కాదు.
2) రెండో పాయింట్‌పై కూడా అదే దౌర్జన్యం జరగాలి. రెండవ పంక్తి యొక్క సమీకరణాలను పారామెట్రిక్ రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం: 
ఒక పాయింట్ ఇచ్చిన రేఖకు చెందినది అయితే, అప్పుడు చాలా నిర్దిష్టమైన అర్థంతోదాని కోఆర్డినేట్లు తప్పనిసరిగా పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను సంతృప్తి పరచాలి:
లేదా: 
3) వెక్టర్, గతంలో కనుగొనబడిన వెక్టార్ వలె, సరళ రేఖకు దర్శకత్వం వహించే వెక్టర్ అవుతుంది. రెండు పాయింట్ల నుండి వెక్టార్‌ను ఎలా నిర్మించాలో క్లాసులో ఎప్పటి నుంచో చర్చించబడింది డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్. ఇప్పుడు తేడా ఏమిటంటే వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు తెలియని పారామితి విలువలతో వ్రాయబడ్డాయి. అయితే ఏంటి? వెక్టార్ ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టార్ ప్రారంభం యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్లను తీసివేయడాన్ని ఎవరూ నిషేధించరు.
రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి: 
.
వెక్టర్‌ను కనుగొనడం:
4) దిశ వెక్టర్స్ కొలినియర్ అయినందున, ఒక వెక్టర్ ఒక నిర్దిష్ట అనుపాత గుణకం "లాంబ్డా"తో మరొకదాని ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
లేదా కోఆర్డినేట్-బై-కోఆర్డినేట్: 
ఇది అత్యంత సాధారణమైనదిగా మారింది సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థమూడు తెలియని వాటితో, ఇది ప్రామాణికంగా పరిష్కరించదగినది, ఉదాహరణకు, క్రామెర్ పద్ధతి. కానీ ఇక్కడ తక్కువ నష్టంతో బయటపడటం సాధ్యమవుతుంది; మూడవ సమీకరణం నుండి మనం "లాంబ్డా" ను వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము:
ఈ విధంగా: 
, మరియు మాకు "లాంబ్డా" అవసరం లేదు. పరామితి విలువలు ఒకే విధంగా మారిన వాస్తవం పూర్తిగా ప్రమాదం.
5) ఆకాశం పూర్తిగా క్లియర్ అవుతోంది, కనుగొన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం 
మా పాయింట్లకు:
దిశ వెక్టర్ ప్రత్యేకంగా అవసరం లేదు, ఎందుకంటే దాని ప్రతిరూపం ఇప్పటికే కనుగొనబడింది.
సుదీర్ఘ ప్రయాణం తర్వాత తనిఖీ చేయడం ఎల్లప్పుడూ ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది.
:
సరైన సమానత్వాలు లభిస్తాయి.
పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం 
:
సరైన సమానత్వాలు లభిస్తాయి.
6) చివరి తీగ: ఒక పాయింట్ (మీరు దానిని తీసుకోవచ్చు) మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను సృష్టిద్దాం:
సూత్రప్రాయంగా, మీరు చెక్కుచెదరకుండా ఉన్న కోఆర్డినేట్‌లతో “మంచి” పాయింట్‌ను ఎంచుకోవచ్చు, కానీ ఇది సౌందర్య సాధనం.
ఖండన రేఖల మధ్య దూరాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
d) మేము డ్రాగన్ యొక్క నాల్గవ తలని కత్తిరించాము.
విధానం ఒకటి. ఒక పద్ధతి కూడా కాదు, కానీ ఒక చిన్న ప్రత్యేక సందర్భం. క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరం వాటి సాధారణ లంబ పొడవుకు సమానం: 
.
సాధారణ లంబంగా ఉన్న తీవ్ర పాయింట్లు 
మునుపటి పేరాలో కనుగొనబడింది మరియు పని ప్రాథమికమైనది:
విధానం రెండు. ఆచరణలో, చాలా తరచుగా సాధారణ లంబాల చివరలు తెలియవు, కాబట్టి వేరే విధానం ఉపయోగించబడుతుంది. సమాంతర విమానాలను రెండు ఖండన సరళ రేఖల ద్వారా గీయవచ్చు మరియు ఈ విమానాల మధ్య దూరం ఈ సరళ రేఖల మధ్య దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి, ఈ విమానాల మధ్య ఒక సాధారణ లంబంగా ఉంటుంది.
విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, పైన పేర్కొన్న అంశాల నుండి, ఖండన సరళ రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రం తీసుకోబడింది: 
(మా పాయింట్లు "ఉమ్ ఒకటి, రెండు" బదులుగా మీరు పంక్తుల యొక్క ఏకపక్ష పాయింట్లను తీసుకోవచ్చు).
వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తిఇప్పటికే పాయింట్ "a"లో కనుగొనబడింది: 
.
వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి"be" పేరాలో కనుగొనబడింది: 
, దాని పొడవును గణిద్దాం:
ఈ విధంగా:
ట్రోఫీలను సగర్వంగా ఒకే వరుసలో ప్రదర్శిస్తాం:
సమాధానం:
ఎ) 
, అంటే సరళ రేఖలు కలుస్తాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది;
బి) 
;
V) 
;
జి) 
క్రాసింగ్ లైన్ల గురించి మీరు ఇంకా ఏమి చెప్పగలరు? వాటి మధ్య ఒక నిర్దిష్ట కోణం ఉంది. కానీ మేము తదుపరి పేరాలో సార్వత్రిక కోణం సూత్రాన్ని పరిశీలిస్తాము:
ఖండన నేరుగా ఖాళీలు తప్పనిసరిగా ఒకే విమానంలో ఉంటాయి: 
మొదటి ఆలోచన మీ శక్తితో కూడలి పాయింట్‌పై మొగ్గు చూపడం. మరియు నేను వెంటనే అనుకున్నాను, సరైన కోరికలను ఎందుకు తిరస్కరించాలి?! ఇప్పుడే ఆమె గురించి తెలుసుకుందాం!
ప్రాదేశిక రేఖల ఖండన బిందువును ఎలా కనుగొనాలి?
ఉదాహరణ 14
పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనండి
పరిష్కారం: పంక్తుల సమీకరణాలను పారామెట్రిక్ రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం: 
ఈ పని ఈ పాఠం యొక్క ఉదాహరణ సంఖ్య 7లో వివరంగా చర్చించబడింది (చూడండి. అంతరిక్షంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణాలు) మరియు మార్గం ద్వారా, నేను ఉదాహరణ నం. 12 నుండి సరళ రేఖలను తీసుకున్నాను. నేను అబద్ధం చెప్పను, కొత్త వాటితో రావడానికి నేను చాలా సోమరిగా ఉన్నాను.
పరిష్కారం ప్రామాణికమైనది మరియు మేము ఖండన రేఖల యొక్క సాధారణ లంబంగా సమీకరణాలను గుర్తించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు ఇప్పటికే ఎదుర్కొంది.
రేఖల ఖండన స్థానం రేఖకు చెందినది, కాబట్టి దాని కోఆర్డినేట్లు ఈ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను సంతృప్తిపరుస్తాయి మరియు వాటికి అనుగుణంగా ఉంటాయి చాలా నిర్దిష్టమైన పరామితి విలువ:
కానీ ఇదే పాయింట్ రెండవ పంక్తికి చెందినది, కాబట్టి: 
మేము సంబంధిత సమీకరణాలను సమం చేస్తాము మరియు సరళీకరణలను నిర్వహిస్తాము: 
రెండు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ పొందబడుతుంది. పంక్తులు కలుస్తే (ఇది ఉదాహరణ నం. 12 లో నిరూపించబడింది), అప్పుడు సిస్టమ్ తప్పనిసరిగా స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది పరిష్కరించవచ్చు గాస్సియన్ పద్ధతి, కానీ మేము అలాంటి కిండర్ గార్టెన్ ఫెటిషిజంతో పాపం చేయము, మేము దానిని సరళంగా చేస్తాము: మొదటి సమీకరణం నుండి మేము "te జీరో" ను వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము: 
చివరి రెండు సమీకరణాలు తప్పనిసరిగా ఒకే విధంగా మారాయి మరియు వాటి నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. అప్పుడు:
పరామితి యొక్క కనుగొనబడిన విలువను సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: 
సమాధానం:
తనిఖీ చేయడానికి, మేము పరామితి యొక్క కనుగొన్న విలువను సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: 
తనిఖీ చేయడానికి అవసరమైన అదే కోఆర్డినేట్లు పొందబడ్డాయి. ఖచ్చితమైన పాఠకులు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను పంక్తుల యొక్క అసలైన నియమానుగుణ సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు.
మార్గం ద్వారా, దీనికి విరుద్ధంగా చేయడం సాధ్యమైంది: పాయింట్‌ను “es zero” ద్వారా కనుగొని, “te zero” ద్వారా దాన్ని తనిఖీ చేయండి.
ఒక ప్రసిద్ధ గణిత మూఢనమ్మకం ఇలా చెబుతోంది: పంక్తుల ఖండన చర్చించబడిన చోట, ఎల్లప్పుడూ లంబంగా వాసన ఉంటుంది.
ఇచ్చిన దానికి లంబంగా ఖాళీ రేఖను ఎలా నిర్మించాలి?
(రేఖలు కలుస్తాయి)
ఉదాహరణ 15
ఎ) రేఖకు లంబంగా ఉన్న బిందువు గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణాలను వ్రాయండి 
(రేఖలు కలుస్తాయి).
బి) పాయింట్ నుండి రేఖకు దూరాన్ని కనుగొనండి.
గమనిక
: నిబంధన “రేఖలు కలుస్తాయి” – ముఖ్యమైనది. పాయింట్ ద్వారా
మీరు "el" సరళ రేఖతో కలుస్తున్న అనంతమైన లంబ రేఖలను గీయవచ్చు. ఇచ్చిన బిందువుకు లంబంగా సరళ రేఖ గీసినప్పుడు మాత్రమే పరిష్కారం జరుగుతుంది రెండుసరళ రేఖ ద్వారా ఇవ్వబడింది (ఉదాహరణ సంఖ్య 13, పాయింట్ "బి" చూడండి).
ఎ) పరిష్కారం: మేము తెలియని పంక్తిని ద్వారా సూచిస్తాము. స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్ చేద్దాం:
సరళ రేఖ గురించి ఏమి తెలుసు? షరతు ప్రకారం, ఒక పాయింట్ ఇవ్వబడుతుంది. సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయడానికి, దిశ వెక్టర్‌ను కనుగొనడం అవసరం. వెక్టర్ అటువంటి వెక్టర్ వలె చాలా అనుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మేము దానితో వ్యవహరిస్తాము. మరింత ఖచ్చితంగా, మెడ యొక్క స్క్రఫ్ ద్వారా వెక్టర్ యొక్క తెలియని ముగింపుని తీసుకుందాం.
1) "el" సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాల నుండి దాని దిశ వెక్టర్‌ను తీసుకుందాం మరియు సమీకరణాలను పారామెట్రిక్ రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం: 
పాఠం సమయంలో ఇప్పుడు మూడవసారి మాంత్రికుడు తన టోపీ నుండి తెల్లటి హంసను బయటకు తీస్తాడని చాలామంది ఊహించారు. తెలియని కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్‌ను పరిగణించండి. పాయింట్ అయినందున, దాని కోఆర్డినేట్లు "el" సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను సంతృప్తిపరుస్తాయి మరియు అవి నిర్దిష్ట పరామితి విలువకు అనుగుణంగా ఉంటాయి: 
లేదా ఒక వరుసలో:
2) షరతు ప్రకారం, పంక్తులు లంబంగా ఉండాలి, కాబట్టి, వాటి దిశ వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్. మరియు వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్ అయితే, వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తిసున్నాకి సమానం: 
ఏం జరిగింది? తెలియని ఒకదానితో సరళమైన సరళ సమీకరణం: 
3) పరామితి యొక్క విలువ తెలుసు, పాయింట్‌ను కనుగొనండి:
మరియు దిశ వెక్టర్:
.
4) మేము ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కంపోజ్ చేస్తాము 
:
నిష్పత్తి యొక్క హారం పాక్షికంగా మారాయి మరియు భిన్నాలను వదిలించుకోవడానికి సముచితమైనప్పుడు ఇది ఖచ్చితంగా జరుగుతుంది. నేను వాటిని -2తో గుణిస్తాను: 
సమాధానం: 
గమనిక
: పరిష్కారానికి మరింత కఠినమైన ముగింపు క్రింది విధంగా లాంఛనప్రాయంగా ఉంది: ఒక బిందువు మరియు దిశ వెక్టర్ ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలను కంపోజ్ చేద్దాం 
. నిజానికి, ఒక వెక్టర్ సరళ రేఖకు మార్గదర్శక వెక్టర్ అయితే, కొలినియర్ వెక్టర్, సహజంగా, ఈ సరళ రేఖకు మార్గదర్శక వెక్టర్ కూడా అవుతుంది.
ధృవీకరణ రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది:
1) ఆర్తోగోనాలిటీ కోసం పంక్తుల దిశ వెక్టర్లను తనిఖీ చేయండి;
2) మేము పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను ప్రతి పంక్తి యొక్క సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము, అవి అక్కడ మరియు అక్కడ రెండూ "సరిపోయేలా" ఉండాలి.
సాధారణ చర్యల గురించి చాలా చర్చ జరిగింది, కాబట్టి నేను డ్రాఫ్ట్‌ని తనిఖీ చేసాను.
మార్గం ద్వారా, నేను మరొక పాయింట్‌ను మరచిపోయాను - “el” సరళ రేఖకు సంబంధించి “en” బిందువుకు సుష్టంగా “zyu” బిందువును నిర్మించడం. అయితే, ఒక మంచి "ఫ్లాట్ అనలాగ్" ఉంది, ఇది వ్యాసంలో చూడవచ్చు విమానంలో సరళ రేఖతో సరళమైన సమస్యలు. ఇక్కడ అదనపు "Z" కోఆర్డినేట్‌లో మాత్రమే తేడా ఉంటుంది.
అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
బి) పరిష్కారం: ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరాన్ని కనుక్కోండి.
విధానం ఒకటి. ఈ దూరం లంబంగా ఉన్న పొడవుకు ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటుంది: . పరిష్కారం స్పష్టంగా ఉంది: పాయింట్లు తెలిస్తే 
, అది:
విధానం రెండు. ఆచరణాత్మక సమస్యలలో, లంబంగా ఉండే ఆధారం తరచుగా మూసివున్న రహస్యం, కాబట్టి ఇది రెడీమేడ్ ఫార్ములాను ఉపయోగించడం మరింత హేతుబద్ధమైనది.
బిందువు నుండి రేఖకు దూరం సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది: 
, "el" సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టర్ ఎక్కడ ఉంది మరియు - ఉచితఇచ్చిన రేఖకు చెందిన పాయింట్.
1) రేఖ యొక్క సమీకరణాల నుండి 
మేము డైరెక్షన్ వెక్టర్ మరియు అత్యంత యాక్సెస్ చేయగల బిందువును తీసుకుంటాము.
2) పరిస్థితి నుండి పాయింట్ తెలుస్తుంది, వెక్టర్‌ను పదును పెట్టండి:
3) కనుక్కోండి వెక్టర్ ఉత్పత్తిమరియు దాని పొడవును లెక్కించండి: 
4) గైడ్ వెక్టర్ పొడవును లెక్కించండి:
5) అందువలన, ఒక పాయింట్ నుండి ఒక రేఖకు దూరం:
ఈ ఆర్టికల్ కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడంపై దృష్టి పెడుతుంది. మొదట, ఖండన రేఖల మధ్య దూరం యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది. తరువాత, క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి అనుమతించే ఒక అల్గోరిథం పొందబడుతుంది. ముగింపులో, ఉదాహరణకి పరిష్కారం వివరంగా విశ్లేషించబడుతుంది.
పేజీ నావిగేషన్.
క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరం - నిర్వచనం.
వక్ర రేఖల మధ్య దూరం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఇచ్చే ముందు, వక్ర రేఖల నిర్వచనాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం మరియు వక్ర రేఖలకు సంబంధించిన సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేద్దాం.
నిర్వచనం.
- ఇది ఖండన రేఖలలో ఒకటి మరియు మరొక రేఖ గుండా వెళుతున్న దానికి సమాంతరంగా ఉన్న విమానం మధ్య దూరం.
ప్రతిగా, సరళ రేఖ మరియు దానికి సమాంతరంగా ఉండే విమానం మధ్య దూరం సరళ రేఖలోని కొంత పాయింట్ నుండి విమానానికి దూరం. అప్పుడు క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరం యొక్క నిర్వచనం యొక్క క్రింది సూత్రీకరణ చెల్లుతుంది.
నిర్వచనం.
క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరంఖండన రేఖలలో ఒకదాని యొక్క నిర్దిష్ట బిందువు నుండి మొదటి పంక్తికి సమాంతరంగా మరొక రేఖ గుండా వెళుతున్న సమతలానికి దూరం.
క్రాసింగ్ లైన్లు a మరియు b పరిగణించండి. లైన్ aలో ఒక నిర్దిష్ట బిందువు M 1ని గుర్తు చేద్దాం, లైన్ b ద్వారా a లైన్‌కు సమాంతరంగా ఒక విమానం గీయండి మరియు పాయింట్ M 1 నుండి సమతలానికి లంబంగా M 1 H 1ని తగ్గించండి. లంబంగా ఉన్న M 1 H 1 యొక్క పొడవు a మరియు b క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరం.
క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం - సిద్ధాంతం, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు.
క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, ప్రధాన కష్టం తరచుగా కావలసిన దూరానికి సమానమైన పొడవును చూడటం లేదా నిర్మించడం. అటువంటి విభాగం నిర్మించబడితే, సమస్య యొక్క పరిస్థితులపై ఆధారపడి, దాని పొడవు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం, సమానత్వం లేదా త్రిభుజాల సారూప్యత మొదలైన వాటిని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు. 10-11 తరగతులలోని జ్యామితి పాఠాలలో ఖండన రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనేటప్పుడు మనం చేసేది ఇదే.
ఆక్సిజ్ త్రిమితీయ ప్రదేశంలో ప్రవేశపెట్టబడితే మరియు అందులో ఖండన పంక్తులు a మరియు b ఇవ్వబడితే, కోఆర్డినేట్ పద్ధతి మాకు ఇచ్చిన ఖండన రేఖల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించే పనిని ఎదుర్కోవటానికి అనుమతిస్తుంది. దానిని వివరంగా పరిశీలిద్దాం.
లైన్ a కి సమాంతరంగా లైన్ b గుండా వెళుతున్న విమానంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు క్రాసింగ్ లైన్లు a మరియు b మధ్య అవసరమైన దూరం, నిర్వచనం ప్రకారం, లైన్ a పై ఉన్న కొంత పాయింట్ M 1 నుండి విమానం వరకు ఉన్న దూరానికి సమానం. ఈ విధంగా, మేము ఒక లైన్ a పై ఉన్న నిర్దిష్ట పాయింట్ M 1 యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించి, విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని రూపంలో పొందినట్లయితే, అప్పుడు మనం పాయింట్ నుండి దూరాన్ని లెక్కించవచ్చు. 
సూత్రాన్ని ఉపయోగించి విమానానికి (ఈ ఫార్ములా ఒక పాయింట్ నుండి విమానానికి దూరాన్ని కనుగొనే వ్యాసంలో పొందబడింది). మరియు ఈ దూరం క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య అవసరమైన దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు వివరంగా.
A లైన్‌లో ఉన్న పాయింట్ M 1 యొక్క కోఆర్డినేట్లను పొందడం మరియు విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య వస్తుంది.
మీరు స్పేస్‌లోని సరళ రేఖ యొక్క ప్రాథమిక రకాల సమీకరణాలను బాగా తెలుసుకుంటే పాయింట్ M 1 యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించడంలో ఇబ్బందులు లేవు. కానీ విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందడంపై మరింత వివరంగా నివసించడం విలువ.
మేము ఒక నిర్దిష్ట బిందువు M 2 యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించినట్లయితే, దాని ద్వారా విమానం వెళుతుంది మరియు రూపంలో విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టర్‌ను కూడా పొందినట్లయితే 
, అప్పుడు మనం విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు.
పాయింట్ M 2 వలె, మీరు లైన్ b లైన్‌లో ఉన్న ఏదైనా పాయింట్‌ని తీసుకోవచ్చు, ఎందుకంటే విమానం b లైన్ గుండా వెళుతుంది. అందువలన, పాయింట్ M 2 యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనవచ్చు.
విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను పొందేందుకు ఇది మిగిలి ఉంది. మనం చేద్దాం.
విమానం b లైన్ గుండా వెళుతుంది మరియు లైన్ a కి సమాంతరంగా ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టార్ పంక్తి a (దీనిని సూచిస్తాం) మరియు లైన్ b (దీనిని సూచిస్తాం) యొక్క దిశ వెక్టార్ రెండింటికీ లంబంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మనం తీసుకోవచ్చు మరియు వెక్టర్‌గా, అంటే, . a మరియు b సరళ రేఖల కోఆర్డినేట్లు మరియు డైరెక్షన్ వెక్టార్‌లను నిర్ణయించి లెక్కించారు 
, మేము విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొంటాము.
కాబట్టి, మనకు విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఉంది: .
విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని సాధారణ రూపానికి తీసుకురావడం మరియు ఫార్ములా ఉపయోగించి a మరియు b క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య అవసరమైన దూరాన్ని లెక్కించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది.
ఈ విధంగా, క్రాసింగ్ లైన్లు a మరియు b మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి మీకు ఇది అవసరం:
ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Oxyzలో త్రిమితీయ స్థలంలో, రెండు ఖండన సరళ రేఖలు a మరియు b ఇవ్వబడ్డాయి. సరళ రేఖ a నిర్ణయించబడుతుంది
ఈ వ్యాసంలో, రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనే సమస్యను మేము పరిశీలిస్తాము, ప్రత్యేకించి, కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి. సాధారణ ఉదాహరణల విశ్లేషణ పొందిన సైద్ధాంతిక జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడంలో సహాయపడుతుంది.
Yandex.RTB R-A-339285-1 నిర్వచనం 1
రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరంసమాంతర రేఖలలో ఒకదాని యొక్క కొన్ని ఏకపక్ష బిందువు నుండి మరొక రేఖకు దూరం.
స్పష్టత కోసం ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
డ్రాయింగ్ రెండు సమాంతర రేఖలను చూపుతుంది aమరియు బి. పాయింట్ M 1 పంక్తి a కి చెందినది, దాని నుండి లంబంగా లైన్‌పై పడవేయబడుతుంది బి. ఫలితంగా సెగ్మెంట్ M 1 H 1 అనేది రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం aమరియు బి.
రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం యొక్క పేర్కొన్న నిర్వచనం విమానంలో మరియు త్రిమితీయ స్థలంలో ఉన్న పంక్తుల కోసం చెల్లుతుంది. అదనంగా, ఈ నిర్వచనం క్రింది సిద్ధాంతంతో పరస్పరం అనుసంధానించబడి ఉంది.
సిద్ధాంతం
రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు, వాటిలో ఒకదానిపై ఉన్న అన్ని పాయింట్లు ఇతర రేఖకు సమాన దూరంలో ఉంటాయి.
రుజువు
మాకు రెండు సమాంతర రేఖలు ఇవ్వండి aమరియు బి. దానిని సరళ రేఖలో సెట్ చేద్దాం ఎపాయింట్లు M 1 మరియు M 2, వాటి నుండి సరళ రేఖకు లంబంగా వదలండి బి, వాటి స్థావరాలను వరుసగా H 1 మరియు H 2గా సూచిస్తాయి. M 1 H 1 అనేది నిర్వచనం ప్రకారం రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం, మరియు మనం దానిని నిరూపించాలి | M 1 N 1 | = | M 2 N 2 | .
ఇచ్చిన రెండు సమాంతర రేఖలను కలిపే కొంత సెకెంట్ కూడా ఉండనివ్వండి. సంబంధిత కథనంలో చర్చించబడిన పంక్తుల సమాంతరత యొక్క స్థితి, ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క సెకాంట్ కలుస్తున్నప్పుడు ఏర్పడిన అంతర్గత క్రాస్‌వైస్ కోణాలు సమానంగా ఉన్నాయని నొక్కి చెప్పే హక్కును మాకు ఇస్తుంది: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . సరళ రేఖ M 2 H 2 నిర్మాణం ద్వారా సరళ రేఖ బికి లంబంగా ఉంటుంది మరియు, వాస్తవానికి, సరళ రేఖకు లంబంగా a. ఫలితంగా ఏర్పడే త్రిభుజాలు M 1 H 1 H 2 మరియు M 2 M 1 H 2 దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటాయి మరియు హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణంలో ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి: M 1 H 2 - సాధారణ హైపోటెన్యూస్, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . త్రిభుజాల సమానత్వం ఆధారంగా, వాటి భుజాల సమానత్వం గురించి మనం మాట్లాడవచ్చు, అనగా: | M 1 N 1 | = | M 2 N 2 | . సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం ఒక పంక్తి బిందువుల నుండి మరొక రేఖకు ఉన్న దూరాలలో అతి చిన్నదని గమనించండి.
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం
వాస్తవానికి, రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి, ఒక రేఖ యొక్క నిర్దిష్ట బిందువు నుండి మరొకదానికి పడిపోయిన లంబంగా పొడవును నిర్ణయించడం అవసరం అని మేము ఇప్పటికే కనుగొన్నాము. దీన్ని చేయడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. కొన్ని సమస్యలలో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది; ఇతరులు సమానత్వం లేదా త్రిభుజాల సారూప్యత మొదలైన సంకేతాలను ఉపయోగిస్తారు. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పంక్తులు పేర్కొనబడిన సందర్భాల్లో, కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించడం సాధ్యపడుతుంది. దానిని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.
షరతులు పెట్టుకుందాం. మనకు స్థిరమైన దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఉందని అనుకుందాం, దీనిలో a మరియు b అనే రెండు సమాంతర రేఖలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఇచ్చిన సరళ రేఖల మధ్య దూరాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.
సమస్యకు పరిష్కారం సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని నిర్ణయించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది: ఇచ్చిన రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం:
ఇచ్చిన పంక్తులలో ఒకదానికి చెందిన నిర్దిష్ట పాయింట్ M 1 యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనండి;
పాయింట్ M 1 నుండి ఈ పాయింట్ చెందని ఇచ్చిన రేఖకు దూరాన్ని లెక్కించండి.
ఒక విమానం లేదా అంతరిక్షంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాలతో పని చేసే నైపుణ్యాల ఆధారంగా, పాయింట్ M 1 యొక్క కోఆర్డినేట్లను గుర్తించడం సులభం. పాయింట్ M 1 నుండి సరళ రేఖకు దూరాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, ఒక పాయింట్ నుండి సరళ రేఖకు దూరాన్ని కనుగొనడంలో వ్యాసంలోని పదార్థం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం. A x + B y + C 1 = 0 అనే సాధారణ సమీకరణం ద్వారా సరళ రేఖను వర్ణించనివ్వండి మరియు A x + B y + C 2 = 0 సమీకరణం ద్వారా b సరళ రేఖను వివరించండి. అప్పుడు ఇచ్చిన రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2
ఈ ఫార్ములాను పొందుదాం.
మేము లైన్ a కి చెందిన కొంత పాయింట్ M 1 (x 1, y 1)ని ఉపయోగిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, పాయింట్ M 1 యొక్క కోఆర్డినేట్లు A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. అందువలన, సమానత్వం చెల్లుతుంది: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; దాని నుండి మనకు లభిస్తుంది: A x 1 + B y 1 = - C 1 .
ఎప్పుడు C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0
C 2 ≥ 0 కోసం, లైన్ b యొక్క సాధారణ సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:
A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0
ఆపై కేసుల కోసం C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .
మరియు C 2 ≥ 0 కోసం, అవసరమైన దూరం M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2
అందువలన, సంఖ్య C 2 యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు | M 1 N 1 | (పాయింట్ M 1 నుండి లైన్ b వరకు) సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది: M 1 H 1 = A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2
పైన మేము అందుకున్నాము: A x 1 + B y 1 = - C 1, అప్పుడు మేము సూత్రాన్ని మార్చవచ్చు: M 1 H 1 = - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 . ఈ విధంగా మేము, వాస్తవానికి, కోఆర్డినేట్ మెథడ్ అల్గోరిథంలో పేర్కొన్న సూత్రాన్ని పొందాము.
ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సిద్ధాంతాన్ని చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1
y = 2 3 x - 1 మరియు x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ అనే రెండు సమాంతర రేఖలు ఇవ్వబడ్డాయి. వాటి మధ్య దూరాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.
పరిష్కారం
అసలు పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడిన పంక్తి పాస్ అయ్యే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను పేర్కొనడం సాధ్యం చేస్తుంది. అందువలన, మేము పాయింట్ M 1 (4, - 5) పొందుతాము. అవసరమైన దూరం పాయింట్ M 1 (4, - 5) నుండి సరళ రేఖకు y = 2 3 x - 1 మధ్య దూరం, దానిని గణిద్దాం.
y = 2 3 x - 1 వాలుతో ఉన్న సరళ రేఖ యొక్క ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంగా మారుద్దాం. దీని కోసం, మేము మొదట సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణానికి పరివర్తన చేస్తాము:
y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0
సాధారణీకరణ కారకాన్ని గణిద్దాం: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13. దాని ద్వారా చివరి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణిద్దాం మరియు చివరకు, మేము లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని వ్రాయగలుగుతాము: 1 13 · 2 x - 3 y - 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.
x = 4 మరియు y = - 5 కోసం, మేము అవసరమైన దూరాన్ని తీవ్ర సమానత్వం యొక్క మాడ్యులస్‌గా గణిస్తాము:
2 13 · 4 - 3 13 · - 5 - 3 13 = 20 13
సమాధానం: 20 13 .
ఉదాహరణ 2
స్థిర దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x yలో, x - 3 = 0 మరియు x + 5 0 = y - 1 1 సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించబడిన రెండు సమాంతర రేఖలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఇచ్చిన సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
పరిష్కారం
సమస్య యొక్క పరిస్థితులు ఒక సాధారణ సమీకరణాన్ని నిర్వచించాయి, అసలు సరళ రేఖలలో ఒకదాని ద్వారా పేర్కొనబడింది: x-3=0. ఒరిజినల్ కానానికల్ సమీకరణాన్ని సాధారణమైనదిగా మారుద్దాం: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0. వేరియబుల్ x కోసం, రెండు సమీకరణాలలోని గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి (y - సున్నాకి కూడా సమానం), అందువల్ల సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి మేము సూత్రాన్ని అన్వయించవచ్చు:
M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 = 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 = 8
సమాధానం: 8 .
చివరగా, త్రిమితీయ ప్రదేశంలో రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనే సమస్యను పరిగణించండి.
ఉదాహరణ 3
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x y zలో, రెండు సమాంతర రేఖలు పేర్కొనబడ్డాయి, అవి అంతరిక్షంలో ఒక రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడ్డాయి: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 మరియు x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4. ఈ పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
పరిష్కారం
x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 సమీకరణం నుండి, ఈ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడిన రేఖ పాస్ అయ్యే పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు సులభంగా నిర్ణయించబడతాయి: M 1 (3, 0, - 2). దూరాన్ని లెక్కిద్దాం | M 1 N 1 | పాయింట్ M 1 నుండి సరళ రేఖ x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 వరకు.
సరళ రేఖ x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 పాయింట్ M 2 (- 5 , 1 , 2) గుండా వెళుతుంది. సరళ రేఖ x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 యొక్క దిశ వెక్టార్‌ని ఇలా వ్రాద్దాం బి → అక్షాంశాలతో (1 , - 1 , 4) . వెక్టర్ M 2 M → యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిర్ధారిద్దాం:
M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4
వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని గణిద్దాం:
b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 = 1 → 8, 36, 7)
అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:
M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2
సమాధానం: 1409 3 2 .
మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి