సంభావ్యత ఎక్కువ లేదా ఎక్కువ. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత

ప్రతి సంఘటన దాని సంభవించే అవకాశం (దాని అమలు) యొక్క విభిన్న స్థాయిని కలిగి ఉందని స్పష్టమవుతుంది. ఈవెంట్‌లను వాటి సంభావ్యత స్థాయికి అనుగుణంగా ఒకదానితో ఒకటి పరిమాణాత్మకంగా పోల్చడానికి, స్పష్టంగా, ప్రతి ఈవెంట్‌తో నిర్దిష్ట సంఖ్యను అనుబంధించడం అవసరం, ఇది ఎక్కువ, ఈవెంట్ మరింత సాధ్యమవుతుంది. ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అంటారు.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత- ఈ సంఘటన యొక్క ఆబ్జెక్టివ్ అవకాశం యొక్క డిగ్రీ యొక్క సంఖ్యా కొలత.

ఈ ప్రయోగంలో గమనించిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం మరియు యాదృచ్ఛిక సంఘటన Aని పరిగణించండి. ఈ ప్రయోగాన్ని n సార్లు పునరావృతం చేద్దాం మరియు m(A) అనేది ఈవెంట్ A సంభవించిన ప్రయోగాల సంఖ్య.

సంబంధం (1.1)

అని పిలిచారు సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీచేసిన ప్రయోగాల శ్రేణిలో ఈవెంట్స్ A.

లక్షణాల చెల్లుబాటును ధృవీకరించడం సులభం:

A మరియు B అస్థిరంగా ఉంటే (AB= ), అప్పుడు ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రయోగాల శ్రేణి తర్వాత మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది మరియు సాధారణంగా చెప్పాలంటే, సిరీస్ నుండి సిరీస్‌కు మారవచ్చు. అయినప్పటికీ, అనేక సందర్భాల్లో, ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ నిర్దిష్ట సంఖ్యకు చేరుకుంటుందని అనుభవం చూపిస్తుంది. సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క స్థిరత్వం యొక్క ఈ వాస్తవం పదేపదే ధృవీకరించబడింది మరియు ప్రయోగాత్మకంగా స్థాపించబడినదిగా పరిగణించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1.19.. ఒక్క నాణెం విసిరితే అది ఎటువైపు పడుతుందో ఎవరూ ఊహించలేరు. కానీ మీరు రెండు టన్నుల నాణేలను విసిరితే, ప్రతి ఒక్కరూ కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్‌తో ఒక టన్ను పైకి పడిపోతారని చెబుతారు, అనగా కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ పడిపోవడం యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ సుమారు 0.5.

ఒకవేళ, ప్రయోగాల సంఖ్య పెరుగుదలతో, ఈవెంట్ ν(A) యొక్క సాపేక్ష పౌనఃపున్యం నిర్దిష్ట స్థిర సంఖ్యకు మొగ్గు చూపితే, అది చెప్పబడింది ఈవెంట్ A గణాంకపరంగా స్థిరంగా ఉంటుంది, మరియు ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత అంటారు.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎకొన్ని స్థిర సంఖ్య P(A) అని పిలుస్తారు, ఈ సంఘటన యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ ν(A) ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ ఉంటుంది, అంటే,

ఈ నిర్వచనం అంటారు గణాంక నిర్వచనంసంభావ్యతలు .

ఒక నిర్దిష్ట యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దాని ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం పరిమిత లేదా అనంతమైన (కానీ లెక్కించదగిన) ప్రాథమిక సంఘటనల ω 1, ω 2, ..., ω i, …. ప్రతి ఎలిమెంటరీ ఈవెంట్ ω i ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యను కేటాయించిందని అనుకుందాం - р i, సంభవించే అవకాశం యొక్క డిగ్రీని వర్గీకరిస్తుంది ఈ మూలకం యొక్క ary ఈవెంట్ మరియు క్రింది లక్షణాలను సంతృప్తి పరచడం:

ఈ సంఖ్య p i అని పిలుస్తారు ప్రాథమిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతωi.

ఇప్పుడు A అనేది ఈ ప్రయోగంలో గమనించిన యాదృచ్ఛిక సంఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు అది ఒక నిర్దిష్ట సమితికి అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి

ఈ సెట్టింగ్‌లో ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎ A అనుకూలమైన ప్రాథమిక సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తాన్ని కాల్ చేయండి(సంబంధిత సెట్ A లో చేర్చబడింది):

(1.4)

ఈ విధంగా ప్రవేశపెట్టిన సంభావ్యత సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానమైన లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది, అవి:

మరియు AB = (A మరియు B అననుకూలంగా ఉంటే),

అప్పుడు P(A+B) = P(A) + P(B)

నిజానికి, (1.4) ప్రకారం

చివరి సంబంధంలో, ఒకే ప్రాథమిక సంఘటన కూడా ఒకే సమయంలో రెండు అననుకూల సంఘటనలకు అనుకూలంగా ఉండదనే వాస్తవాన్ని మేము సద్వినియోగం చేసుకున్నాము.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం p iని నిర్ణయించే పద్ధతులను సూచించదని మేము ప్రత్యేకంగా గమనించాము; అవి తప్పనిసరిగా పరిశీలనల నుండి వెతకాలి. ఒక ఆచరణాత్మక స్వభావంలేదా తగిన గణాంక ప్రయోగం నుండి పొందబడింది.

ఉదాహరణగా, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క శాస్త్రీయ పథకాన్ని పరిగణించండి. దీన్ని చేయడానికి, ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి, ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం పరిమిత (n) మూలకాల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. ఈ ప్రాథమిక సంఘటనలన్నీ సమానంగా సాధ్యమని, అంటే, ప్రాథమిక సంఘటనల సంభావ్యత p(ω i)=p i =pకి సమానం అని మనం అదనంగా ఊహిద్దాం. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది

ఉదాహరణ 1.20. ఒక సుష్ట నాణెం విసిరినప్పుడు, తలలు మరియు తోకలను పొందడం సమానంగా సాధ్యమవుతుంది, వాటి సంభావ్యత 0.5కి సమానం.

ఉదాహరణ 1.21. ఒక సుష్ట డైని విసిరినప్పుడు, అన్ని ముఖాలు సమానంగా సాధ్యమవుతాయి, వాటి సంభావ్యత 1/6కి సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు ఈవెంట్ A కి m ప్రాథమిక సంఘటనలు అనుకూలంగా ఉండనివ్వండి, వాటిని సాధారణంగా అంటారు ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన ఫలితాలు. అప్పుడు

వచ్చింది క్లాసిక్ నిర్వచనంసంభావ్యతలు: ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత P(A) మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యకు ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానం

ఉదాహరణ 1.22. కలశంలో m తెలుపు బంతులు మరియు n నలుపు బంతులు ఉంటాయి. బయటకు వచ్చే అవకాశం ఎంత? తెల్లని బంతి?

పరిష్కారం. ప్రాథమిక ఈవెంట్‌ల మొత్తం సంఖ్య m+n. అవన్నీ సమానంగా సంభావ్యమైనవి. అనుకూలమైన సంఘటన A వీటిలో m. అందుకే, .

సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి:

ఆస్తి 1. సంభావ్యత నమ్మదగిన సంఘటనఒకరికి సమానం.

నిజానికి, ఈవెంట్ నమ్మదగినది అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రతి ప్రాథమిక ఫలితం ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ విషయంలో t=p,అందుచేత,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

ఆస్తి 2. సంభావ్యత అసాధ్యమైన సంఘటనసున్నాకి సమానం.

నిజానికి, ఒక ఈవెంట్ అసాధ్యం అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రాథమిక ఫలితాలు ఏవీ ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా లేవు. ఈ విషయంలో టి= 0, కాబట్టి, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

ఆస్తి 3.సంభావ్యత యాదృచ్ఛిక సంఘటనఉంది సానుకూల సంఖ్య, సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య మూసివేయబడింది.

నిజానికి, పరీక్ష యొక్క మొత్తం ప్రాథమిక ఫలితాలలో కొంత భాగం మాత్రమే యాదృచ్ఛిక సంఘటనకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. అంటే, 0≤m≤n, అంటే 0≤m/n≤1, కాబట్టి, ఏదైనా సంఘటన యొక్క సంభావ్యత డబుల్ అసమానత 0≤ని సంతృప్తిపరుస్తుంది పి(ఎ) ≤1. (1.8)

సంభావ్యత (1.5) మరియు సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ (1.1) యొక్క నిర్వచనాలను పోల్చి, మేము ముగించాము: సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం పరీక్ష నిర్వహించాల్సిన అవసరం లేదునిజానికి; సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క నిర్వచనం దానిని ఊహిస్తుంది నిజానికి పరీక్షలు జరిగాయి. వేరే పదాల్లో, సంభావ్యత ప్రయోగానికి ముందు లెక్కించబడుతుంది మరియు సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ - ప్రయోగం తర్వాత.

అయితే, సంభావ్యతను లెక్కించడానికి, ఇచ్చిన ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య లేదా సంభావ్యత గురించి ప్రాథమిక సమాచారం అవసరం. అటువంటి ప్రాథమిక సమాచారం లేనప్పుడు, సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి అనుభావిక డేటా ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా, సంఘటన యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాల ఆధారంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1.23. సాంకేతిక నియంత్రణ విభాగం కనుగొన్నారు 3యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న 80 భాగాల బ్యాచ్‌లో ప్రామాణికం కాని భాగాలు. ప్రామాణికం కాని భాగాల సంభవించిన సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ r(A)= 3/80.

ఉదాహరణ 1.24. ప్రయోజనం ప్రకారం.ఉత్పత్తి 24 షాట్, మరియు 19 హిట్‌లు నమోదు చేయబడ్డాయి. సాపేక్ష లక్ష్య హిట్ రేటు. r(A)=19/24.

దీర్ఘకాలిక పరిశీలనలుఒకే విధమైన పరిస్థితులలో ప్రయోగాలు జరిగితే, ప్రతి దానిలో పరీక్షల సంఖ్య తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే, సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ స్థిరత్వం యొక్క లక్షణాన్ని ప్రదర్శిస్తుందని చూపించింది. ఈ ఆస్తి వివిధ ప్రయోగాలలో సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ కొద్దిగా మారుతుంది (తక్కువ, ఎక్కువ పరీక్షలు నిర్వహిస్తారు), నిర్దిష్ట స్థిరమైన సంఖ్య చుట్టూ హెచ్చుతగ్గులకు గురవుతుంది.ఇదీ అని తేలింది స్థిర సంఖ్యఉజ్జాయింపు సంభావ్యత విలువగా తీసుకోవచ్చు.

మరిన్ని వివరాలు మరియు మరింత ఖచ్చితంగా కనెక్షన్సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య క్రింద వివరించబడుతుంది. ఇప్పుడు ఉదాహరణలతో స్థిరత్వం యొక్క ఆస్తిని ఉదహరిద్దాం.

ఉదాహరణ 1.25. స్వీడిష్ గణాంకాల ప్రకారం, నెలవారీగా 1935లో ఆడపిల్లల జననాల సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ క్రింది సంఖ్యల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది (సంఖ్యలు నెలల క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. జనవరి): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ 0.481 సంఖ్య చుట్టూ హెచ్చుతగ్గులకు గురవుతుంది, దీనిని తీసుకోవచ్చు సుమారు విలువఆడపిల్లలు పుట్టే అవకాశం.

గణాంక డేటాను గమనించండి వివిధ దేశాలుదాదాపు అదే సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ విలువను ఇవ్వండి.

ఉదాహరణ 1.26.నాణెం విసిరే ప్రయోగాలు చాలాసార్లు జరిగాయి, దీనిలో "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" యొక్క ప్రదర్శనల సంఖ్య లెక్కించబడుతుంది. అనేక ప్రయోగాల ఫలితాలు పట్టికలో చూపించబడ్డాయి.

ఇప్పటి వరకు తీసుకొచ్చారు తెరిచిన కూజాగణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సమస్యలు (mathege.ru), దీని పరిష్కారం ఒకే ఒక సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం.

సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి సులభమైన మార్గం ఉదాహరణలతో.
ఉదాహరణ 1.బుట్టలో 9 ఎరుపు బంతులు మరియు 3 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. బంతులు రంగులో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. మేము వాటిలో ఒకదానిని యాదృచ్ఛికంగా (చూడకుండా) తీసివేస్తాము. ఈ విధంగా ఎంచుకున్న బంతి నీలం రంగులో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?

ఒక వ్యాఖ్య.సంభావ్యత సిద్ధాంతంలోని సమస్యలలో, ఏదైనా జరుగుతుంది (ఈ సందర్భంలో, బంతిని బయటకు తీయడం మా చర్య) అది భిన్నమైన ఫలితాన్ని కలిగి ఉంటుంది - ఫలితం. ఫలితాన్ని వివిధ మార్గాల్లో చూడవచ్చని గమనించాలి. "మేము ఒక రకమైన బంతిని తీసివేసాము" కూడా ఫలితం. "మేము నీలిరంగు బంతిని తీసివేసాము" - ఫలితం. "మేము ఈ బంతిని సాధ్యమయ్యే అన్ని బంతుల నుండి ఖచ్చితంగా తీసివేసాము" - ఫలితం యొక్క ఈ తక్కువ సాధారణ వీక్షణను ప్రాథమిక ఫలితం అంటారు. ఇది సంభావ్యతను లెక్కించడానికి సూత్రంలో ఉద్దేశించిన ప్రాథమిక ఫలితాలు.

పరిష్కారం.ఇప్పుడు నీలిరంగు బంతిని ఎంచుకునే సంభావ్యతను గణిద్దాం.
ఈవెంట్ A: "ఎంచుకున్న బంతి నీలం రంగులోకి మారింది"
సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య: 9+3=12 (మనం డ్రా చేయగల అన్ని బంతుల సంఖ్య)
ఈవెంట్ A: 3కి అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (సంఘటన A సంభవించిన అటువంటి ఫలితాల సంఖ్య - అంటే నీలి బంతుల సంఖ్య)
P(A)=3/12=1/4=0.25
సమాధానం: 0.25

అదే సమస్య కోసం, ఎరుపు బంతిని ఎంచుకునే సంభావ్యతను గణిద్దాం.
సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య అలాగే ఉంటుంది, 12. అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య: 9. సంభావ్యత కోరింది: 9/12=3/4=0.75

ఏదైనా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటుంది.
కొన్నిసార్లు రోజువారీ ప్రసంగంలో (కానీ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కాదు!) సంఘటనల సంభావ్యత శాతంగా అంచనా వేయబడుతుంది. గణిత మరియు సంభాషణ స్కోర్‌ల మధ్య మార్పు 100% ద్వారా గుణించడం (లేదా విభజించడం) ద్వారా సాధించబడుతుంది.
కాబట్టి,
అంతేకాకుండా, జరగని సంఘటనలకు సంభావ్యత సున్నా - నమ్మశక్యం కాదు. ఉదాహరణకు, మా ఉదాహరణలో ఇది బుట్ట నుండి ఆకుపచ్చ బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత అవుతుంది. (సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణిస్తే అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య 0, P(A)=0/12=0)
సంభావ్యత 1 ఎంపికలు లేకుండా ఖచ్చితంగా జరిగే ఈవెంట్‌లను కలిగి ఉంది. ఉదాహరణకు, "ఎంచుకున్న బంతి ఎరుపు లేదా నీలం రంగులో ఉంటుంది" అనే సంభావ్యత మా పని కోసం. (అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య: 12, P(A)=12/12=1)

మేము సమీక్షించాము క్లాసిక్ ఉదాహరణ, సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనాన్ని వివరిస్తుంది. అన్నీ ఒకేలా ఉన్నాయి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనులుసంభావ్యత సిద్ధాంతం ప్రకారం, అవి ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి.
ఎరుపు మరియు నీలం బంతుల స్థానంలో యాపిల్ మరియు బేరి, అబ్బాయిలు మరియు అమ్మాయిలు, నేర్చుకున్న మరియు నేర్చుకోని టిక్కెట్లు, కొన్ని టాపిక్ (ప్రోటోటైప్‌లు,), లోపభూయిష్ట మరియు అధిక నాణ్యత గల బ్యాగ్‌లు లేదా గార్డెన్ పంపులు (ప్రోటోటైప్‌లు) ఉన్న మరియు లేని టిక్కెట్లు ఉండవచ్చు. ,) - సూత్రం అలాగే ఉంటుంది.

సిద్ధాంత సమస్య యొక్క సూత్రీకరణలో అవి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క సంభావ్యత, ఇక్కడ మీరు ఒక నిర్దిష్ట రోజున జరిగే ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించాలి. (, ) లో వలె మునుపటి పనులుమీరు ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటో గుర్తించాలి, ఆపై అదే సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి.

ఉదాహరణ 2.సదస్సు మూడు రోజుల పాటు కొనసాగుతుంది. మొదటి మరియు రెండవ రోజులలో 15 మంది వక్తలు ఉంటారు, మూడవ రోజున - 20. లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నివేదికల క్రమాన్ని నిర్ణయించినట్లయితే, మూడవ రోజు ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

ఇక్కడ ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటి? - సాధ్యమైన అన్నింటిలో ఒక ప్రొఫెసర్ నివేదికను కేటాయించడం క్రమ సంఖ్యలుఒక ప్రదర్శన కోసం. డ్రాలో 15+15+20=50 మంది పాల్గొంటారు. అందువలన, ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక 50 సమస్యలలో ఒకదానిని అందుకోవచ్చు. అంటే 50 ప్రాథమిక ఫలితాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.
అనుకూల ఫలితాలు ఏమిటి? - మూడవ రోజు ప్రొఫెసర్ మాట్లాడతారని తేలింది. అంటే, చివరి 20 సంఖ్యలు.
సూత్రం ప్రకారం, సంభావ్యత P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
సమాధానం: 0.4

ఇక్కడ లాట్ డ్రాయింగ్ అనేది వ్యక్తులు మరియు ఆర్డర్ చేసిన స్థలాల మధ్య యాదృచ్ఛిక అనురూపాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఉదాహరణ 2లో, ఏ స్థలాలను తీసుకోవచ్చనే కోణం నుండి కరస్పాండెన్స్ ఏర్పాటు పరిగణించబడింది ప్రత్యేక వ్యక్తి. మీరు అవతలి వైపు నుండి అదే పరిస్థితిని చేరుకోవచ్చు: సంభావ్యత ఉన్న వ్యక్తులలో ఎవరు చిక్కుకోగలరు? నిర్దిష్ట స్థలం(ప్రోటోటైప్‌లు , , , ):

ఉదాహరణ 3.డ్రాలో 5 మంది జర్మన్లు, 8 మంది ఫ్రెంచ్ మరియు 3 ఎస్టోనియన్లు ఉన్నారు. మొదటి (/రెండవ/ఏడవ/చివరి - ఇది పట్టింపు లేదు) ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి అయ్యే సంభావ్యత ఏమిటి.

ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య - అన్నింటి సంఖ్య సాధ్యమైన వ్యక్తులు, ఎవరు లాట్‌లు గీయడం ద్వారా ఈ ప్రదేశానికి చేరుకోగలరు. 5+8+3=16 మంది.
అనుకూల ఫలితాలు - ఫ్రెంచ్. 8 మంది.
అవసరమైన సంభావ్యత: 8/16=1/2=0.5
సమాధానం: 0.5

ప్రోటోటైప్ కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. నాణేలు () మరియు పాచికలు () గురించి ఇంకా సమస్యలు ఉన్నాయి, ఇవి కొంత సృజనాత్మకంగా ఉంటాయి. ఈ సమస్యలకు పరిష్కారం ప్రోటోటైప్ పేజీలలో చూడవచ్చు.

నాణెం లేదా పాచికలు విసిరే కొన్ని ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 4.మనం నాణెం విసిరినప్పుడు, తలపైకి దిగే సంభావ్యత ఎంత?
2 ఫలితాలు ఉన్నాయి - తలలు లేదా తోకలు. (నాణెం ఎప్పుడూ దాని అంచున దిగదని నమ్ముతారు) అనుకూలమైన ఫలితం తోకలు, 1.
సంభావ్యత 1/2=0.5
సమాధానం: 0.5.

ఉదాహరణ 5.మనం ఒక నాణెం రెండుసార్లు విసిరితే? రెండు సార్లు తలలు వచ్చే అవకాశం ఎంత?
రెండు నాణేలను విసిరేటప్పుడు మనం ఏ ప్రాథమిక ఫలితాలను పరిశీలిస్తామో నిర్ణయించడం ప్రధాన విషయం. రెండు నాణేలను విసిరిన తర్వాత, కింది ఫలితాలలో ఒకటి సంభవించవచ్చు:
1) PP - రెండు సార్లు అది తలపైకి వచ్చింది
2) PO - మొదటిసారి తలలు, రెండవ సారి తలలు
3) OP - మొదటి సారి తల, రెండవ సారి తోక
4) OO - తలలు రెండు సార్లు పైకి వచ్చాయి
ఇతర ఎంపికలు లేవు. అంటే 4 ప్రాథమిక ఫలితాలు ఉన్నాయి. మొదటిది 1 మాత్రమే అనుకూలమైనది.
సంభావ్యత: 1/4=0.25
సమాధానం: 0.25

రెండు నాణేలు టాసుల వలన తోకలు ఏర్పడే సంభావ్యత ఎంత?
ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉంటుంది, 4. అనుకూలమైన ఫలితాలు రెండవ మరియు మూడవవి, 2.
ఒక తోకను పొందే సంభావ్యత: 2/4=0.5

అటువంటి సమస్యలలో, మరొక సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది.
ఒక నాణెం ఒక టాసు సమయంలో ఉంటే సాధ్యం ఎంపికలుమాకు 2 ఫలితాలు ఉన్నాయి, ఆపై రెండు త్రోలకు ఫలితాలు 2 2 = 2 2 = 4 (ఉదాహరణ 5 వలె), మూడు త్రోలకు 2 2 2 = 2 3 = 8, నాలుగు కోసం: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N త్రోలకు సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు 2·2·...·2=2 N .

కాబట్టి, మీరు 5 కాయిన్ టాసులలో 5 తలలను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనవచ్చు.
ప్రాథమిక ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య: 2 5 =32.
అనుకూల ఫలితాలు: 1. (RRRRRR – మొత్తం 5 సార్లు తలపెట్టండి)
సంభావ్యత: 1/32=0.03125

పాచికలకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. ఒక త్రోతో, 6 సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, రెండు త్రోలకు: 6 6 = 36, మూడు 6 6 6 = 216, మొదలైనవి.

ఉదాహరణ 6.మేము పాచికలు త్రో. సరి సంఖ్య రోల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి?

మొత్తం ఫలితాలు: 6, భుజాల సంఖ్య ప్రకారం.
అనుకూలం: 3 ఫలితాలు. (2, 4, 6)
సంభావ్యత: 3/6=0.5

ఉదాహరణ 7.మేము రెండు పాచికలు విసిరేస్తాము. మొత్తం 10 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత? (సమీప వందవ వంతు వరకు)

ఒక మరణానికి 6 సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి. అంటే పై నియమం ప్రకారం ఇద్దరికి 6·6=36.
మొత్తం 10కి చేరుకోవడానికి ఏ ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి?
10 తప్పనిసరిగా 1 నుండి 6 వరకు ఉన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తంలో కుళ్ళిపోవాలి. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: 10=6+4 మరియు 10=5+5. దీని అర్థం ఘనాల కోసం క్రింది ఎంపికలు సాధ్యమే:
(మొదటిది 6 మరియు రెండవది 4)
(మొదటిది 4 మరియు రెండవది 6)
(మొదటిది 5 మరియు రెండవది 5)
మొత్తం, 3 ఎంపికలు. అవసరమైన సంభావ్యత: 3/36=1/12=0.08
సమాధానం: 0.08

ఇతర రకాల B6 సమస్యలు భవిష్యత్తులో ఎలా పరిష్కరించాలి అనే కథనంలో చర్చించబడతాయి.

ముఖ్యమైన గమనికలు!
1. మీరు ఫార్ములాలకు బదులుగా గోబ్లెడీగూక్‌ని చూసినట్లయితే, మీ కాష్‌ని క్లియర్ చేయండి. మీ బ్రౌజర్‌లో దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇక్కడ వ్రాయబడింది:
2. మీరు కథనాన్ని చదవడం ప్రారంభించే ముందు, మా నావిగేటర్‌పై ఎక్కువ శ్రద్ధ వహించండి ఉపయోగకరమైన వనరుకోసం

సంభావ్యత అంటే ఏమిటి?

నేను ఈ పదాన్ని మొదటిసారి ఎదుర్కొన్నప్పుడు, అది ఏమిటో నాకు అర్థం కాలేదు. అందువల్ల, నేను స్పష్టంగా వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

సంభావ్యత అంటే మనం కోరుకున్న సంఘటన జరిగే అవకాశం.

ఉదాహరణకు, మీరు స్నేహితుడి ఇంటికి వెళ్లాలని నిర్ణయించుకున్నారు, మీరు ప్రవేశ ద్వారం మరియు అతను నివసించే నేల కూడా గుర్తుంచుకుంటారు. కానీ నేను అపార్ట్‌మెంట్ నంబర్ మరియు స్థానాన్ని మర్చిపోయాను. మరియు ఇప్పుడు మీరు మెట్ల మీద నిలబడి ఉన్నారు మరియు మీ ముందు ఎంచుకోవడానికి తలుపులు ఉన్నాయి.

మీరు మొదటి డోర్‌బెల్‌ని మోగిస్తే, మీ స్నేహితుడు మీకు తలుపు చెప్పే అవకాశం (సంభావ్యత) ఎంత? అపార్టుమెంట్లు మాత్రమే ఉన్నాయి, మరియు ఒక స్నేహితుడు వాటిలో ఒకదాని వెనుక మాత్రమే నివసిస్తున్నాడు. సమాన అవకాశంతో మనం ఏదైనా తలుపును ఎంచుకోవచ్చు.

అయితే ఈ అవకాశం ఏమిటి?

తలుపు, కుడి తలుపు. మొదటి డోర్‌బెల్ మోగించడం ద్వారా ఊహించే సంభావ్యత: . అంటే, మూడింటిలో ఒక్కసారి మీరు ఖచ్చితంగా అంచనా వేస్తారు.

మేము తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాము, ఒకసారి కాల్ చేసిన తర్వాత, మనం ఎంత తరచుగా తలుపును ఊహించగలము? అన్ని ఎంపికలను చూద్దాం:

1. మీరు కాల్ చేసారు 1వతలుపు
2. మీరు కాల్ చేసారు 2వతలుపు
3. మీరు కాల్ చేసారు 3వతలుపు

ఇప్పుడు స్నేహితుడు ఉండగల అన్ని ఎంపికలను చూద్దాం:

ఎ. వెనుక 1వఆ తలుపు
బి. వెనుక 2వఆ తలుపు
వి. వెనుక 3వఆ తలుపు

పట్టిక రూపంలో అన్ని ఎంపికలను సరిపోల్చండి. మీ ఎంపిక స్నేహితుని స్థానంతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు చెక్‌మార్క్ ఎంపికలను సూచిస్తుంది, క్రాస్ - అది ఏకీభవించనప్పుడు.

మీరు ప్రతిదీ ఎలా చూస్తారు బహుశా ఎంపికలుమీ స్నేహితుడి స్థానం మరియు ఏ తలుపు రింగ్ చేయాలనేది మీ ఎంపిక.

ఎ అందరికీ అనుకూలమైన ఫలితాలు . అంటే, మీరు ఒకసారి డోర్‌బెల్ మోగించడం ద్వారా ఒకసారి ఊహించవచ్చు, అనగా. .

ఇది సంభావ్యత - సంఖ్యకు అనుకూలమైన ఫలితం (మీ ఎంపిక మీ స్నేహితుడి స్థానంతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు) నిష్పత్తి సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు.

నిర్వచనం సూత్రం. సంభావ్యత సాధారణంగా p ద్వారా సూచించబడుతుంది, కాబట్టి:

అటువంటి సూత్రాన్ని వ్రాయడం చాలా సౌకర్యవంతంగా లేదు, కాబట్టి మేము తీసుకుంటాము - అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య, మరియు - మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య.

సంభావ్యతను శాతంగా వ్రాయవచ్చు; దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఫలిత ఫలితాన్ని దీని ద్వారా గుణించాలి:

"ఫలితాలు" అనే పదం బహుశా మీ దృష్టిని ఆకర్షించింది. ఎందుకంటే గణిత శాస్త్రవేత్తలు పిలుస్తారు వివిధ చర్యలు(మన దేశంలో అటువంటి చర్య డోర్‌బెల్) ప్రయోగాలు, అప్పుడు అటువంటి ప్రయోగాల ఫలితాన్ని సాధారణంగా ఫలితం అంటారు.

బాగా, అనుకూలమైన మరియు అననుకూల ఫలితాలు ఉన్నాయి.

మన ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం. మేము తలుపులలో ఒకదానిని మోగించాము, కానీ అది మా కోసం తెరవబడింది అపరిచితుడు. మేము సరిగ్గా ఊహించలేదు. మనం మిగిలిన తలుపులలో ఒకదానిని మోగిస్తే, మన స్నేహితుడు దానిని మన కోసం తెరిచే సంభావ్యత ఏమిటి?

అని మీరు అనుకుంటే, ఇది పొరపాటు. దాన్ని గుర్తించండి.

మాకు రెండు తలుపులు మిగిలి ఉన్నాయి. కాబట్టి మాకు సాధ్యమయ్యే దశలు ఉన్నాయి:

1) కాల్ చేయండి 1వతలుపు
2) కాల్ చేయండి 2వతలుపు

స్నేహితుడు, ఇవన్నీ ఉన్నప్పటికీ, ఖచ్చితంగా వారిలో ఒకరి వెనుక ఉన్నాడు (అన్నింటికంటే, మేము పిలిచిన వ్యక్తి వెనుక అతను లేడు):

ఎ) కోసం స్నేహితుడు 1వఆ తలుపు
బి) కోసం స్నేహితుడు 2వఆ తలుపు

పట్టికను మళ్లీ గీయండి:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఎంపికలు మాత్రమే ఉన్నాయి, వాటిలో అనుకూలమైనవి. అంటే, సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

ఎందుకు కాదు?

మేము పరిగణించిన పరిస్థితి ఉదాహరణ ఆధారపడిన సంఘటనలు. మొదటి ఈవెంట్ మొదటి డోర్‌బెల్, రెండవ ఈవెంట్ రెండవ డోర్‌బెల్.

మరియు వాటిని డిపెండెంట్ అని పిలుస్తారు ఎందుకంటే అవి క్రింది చర్యలను ప్రభావితం చేస్తాయి. అన్నింటికంటే, మొదటి రింగ్ తర్వాత డోర్‌బెల్‌కు స్నేహితుడు సమాధానం ఇస్తే, అతను మిగతా రెండింటిలో ఒకదాని వెనుక ఉన్న సంభావ్యత ఎంత? కుడి, .

కానీ డిపెండెంట్ ఈవెంట్స్ ఉంటే, అప్పుడు కూడా ఉండాలి స్వతంత్ర? అది నిజం, అవి జరుగుతాయి.

ఒక పాఠ్యపుస్తక ఉదాహరణ నాణెం విసిరేయడం.

1. ఒకసారి నాణెం వేయండి. ఉదాహరణకు, తలలు పొందే సంభావ్యత ఏమిటి? అది నిజం - అన్ని ఎంపికలు ఉన్నందున (తలలు లేదా తోకలు, నాణెం దాని అంచున ల్యాండింగ్ యొక్క సంభావ్యతను మేము నిర్లక్ష్యం చేస్తాము), కానీ అది మాకు మాత్రమే సరిపోతుంది.
2. కానీ అది తలపైకి వచ్చింది. సరే, మళ్ళీ విసిరేద్దాం. ఇప్పుడు తలలు వచ్చే అవకాశం ఎంత? ఏదీ మారలేదు, అంతా అలాగే ఉంది. ఎన్ని ఎంపికలు? రెండు. మనం ఎంతమందితో సంతోషంగా ఉన్నాం? ఒకటి.

మరియు అది వరుసగా కనీసం వెయ్యి సార్లు తల పైకి రానివ్వండి. ఒకేసారి తలలు వచ్చే సంభావ్యత అదే విధంగా ఉంటుంది. ఎల్లప్పుడూ ఎంపికలు ఉన్నాయి, మరియు అనుకూలమైనవి.

స్వతంత్ర సంఘటనల నుండి ఆధారపడిన సంఘటనలను వేరు చేయడం సులభం:

1. ప్రయోగం ఒకసారి జరిగితే (వారు ఒకసారి నాణెం విసిరారు, ఒకసారి డోర్‌బెల్ మోగిస్తారు, మొదలైనవి), అప్పుడు సంఘటనలు ఎల్లప్పుడూ స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.
2. ఒక ప్రయోగం చాలాసార్లు నిర్వహించబడితే (ఒక నాణెం ఒకసారి విసిరివేయబడుతుంది, డోర్‌బెల్ చాలాసార్లు మోగబడుతుంది), అప్పుడు మొదటి ఈవెంట్ ఎల్లప్పుడూ స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. ఆపై, అనుకూలమైన వాటి సంఖ్య లేదా అన్ని ఫలితాల సంఖ్య మారితే, సంఘటనలు ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు కాకపోతే అవి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.

సంభావ్యతను నిర్ణయించడం కొద్దిగా సాధన చేద్దాం.

ఉదాహరణ 1.

నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. వరుసగా రెండుసార్లు తలలు వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం:

సాధ్యమయ్యే అన్ని ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం:

1. డేగ-డేగ
2. తలలు-తోకలు
3. తోకలు-తలలు
4. తోకలు-తోకలు

మీరు గమనిస్తే, ఎంపికలు మాత్రమే ఉన్నాయి. వీటిలో, మేము మాత్రమే సంతృప్తి చెందాము. అంటే, సంభావ్యత:

పరిస్థితి కేవలం సంభావ్యతను కనుగొనమని అడిగితే, అప్పుడు సమాధానం రూపంలో ఇవ్వాలి దశాంశ. సమాధానం శాతంగా ఇవ్వాలి అని నిర్దేశిస్తే, మనం గుణిస్తాము.

సమాధానం:

ఉదాహరణ 2.

చాక్లెట్ల పెట్టెలో, అన్ని చాక్లెట్లు ఒకే రేపర్లో ప్యాక్ చేయబడతాయి. అయితే, స్వీట్ల నుండి - గింజలతో, కాగ్నాక్‌తో, చెర్రీస్‌తో, పంచదార పాకంతో మరియు నౌగాట్‌తో.

ఒక మిఠాయిని తీసుకోవడం మరియు గింజలతో కూడిన మిఠాయిని పొందడం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి? మీ సమాధానాన్ని శాతంగా ఇవ్వండి.

పరిష్కారం:

ఎన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి? .

అంటే, మీరు ఒక మిఠాయిని తీసుకుంటే, అది పెట్టెలో లభించే వాటిలో ఒకటిగా ఉంటుంది.

ఎన్ని అనుకూల ఫలితాలు వచ్చాయి?

ఎందుకంటే పెట్టెలో గింజలతో కూడిన చాక్లెట్లు మాత్రమే ఉంటాయి.

సమాధానం:

ఉదాహరణ 3.

బెలూన్ల పెట్టెలో. వీటిలో తెలుపు మరియు నలుపు.

1. తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి?
2. మేము బాక్స్‌కు మరిన్ని నల్ల బంతులను జోడించాము. ఇప్పుడు తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం:

ఎ) పెట్టెలో బంతులు మాత్రమే ఉన్నాయి. వాటిలో తెల్లగా ఉంటాయి.

సంభావ్యత:

బి) ఇప్పుడు పెట్టెలో మరిన్ని బంతులు ఉన్నాయి. ఇంకా చాలా మంది శ్వేతజాతీయులు మిగిలి ఉన్నారు - .

సమాధానం:

మొత్తం సంభావ్యత

సాధ్యమయ్యే అన్ని ఈవెంట్‌ల సంభావ్యత ()కి సమానంగా ఉంటుంది.

ఒక పెట్టెలో ఎరుపు మరియు ఆకుపచ్చ బంతులు ఉన్నాయని అనుకుందాం. ఎరుపు బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి? ఆకుపచ్చ బంతి? ఎరుపు లేదా ఆకుపచ్చ బంతి?

ఎరుపు బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత

ఆకుపచ్చ బంతి:

ఎరుపు లేదా ఆకుపచ్చ బంతి:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సాధ్యమయ్యే అన్ని ఈవెంట్‌ల మొత్తం ()కి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ పాయింట్‌ను అర్థం చేసుకోవడం చాలా సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది.

ఉదాహరణ 4.

పెట్టెలో గుర్తులు ఉన్నాయి: ఆకుపచ్చ, ఎరుపు, నీలం, పసుపు, నలుపు.

ఎరుపు మార్కర్ కాకుండా డ్రాయింగ్ యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం:

సంఖ్యను లెక్కిద్దాం అనుకూల ఫలితాలు.

ఎరుపు మార్కర్ కాదు, అంటే ఆకుపచ్చ, నీలం, పసుపు లేదా నలుపు.

ఈవెంట్ జరగని సంభావ్యత, ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత మైనస్‌కు సమానం.

స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం నియమం

స్వతంత్ర సంఘటనలు ఏమిటో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు.

మీరు రెండు (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) స్వతంత్ర సంఘటనలు వరుసగా సంభవించే సంభావ్యతను కనుగొనవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి?

ఒకసారి కాయిన్‌ను తిప్పితే రెండుసార్లు తలలు చూసే సంభావ్యత ఏమిటో తెలుసుకోవాలని అనుకుందాం?

మేము ఇప్పటికే పరిగణించాము - .

మనం ఒకసారి నాణెం విసిరితే? ఒక డేగను వరుసగా రెండుసార్లు చూసే సంభావ్యత ఎంత?

సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఎంపికలు:

1. డేగ-ఈగిల్-డేగ
2. తలలు-తలలు-తోకలు
3. తలలు-తోకలు-తలలు
4. తలలు-తోకలు-తోకలు
5. తోకలు-తలలు-తలలు
6. తోకలు-తలలు-తోకలు
7. తోకలు-తోకలు-తలలు
8. తోకలు-తోకలు-తోకలు

మీ గురించి నాకు తెలియదు, కానీ ఈ జాబితాను కంపైల్ చేసేటప్పుడు నేను చాలాసార్లు తప్పులు చేసాను. వావ్! మరియు ఎంపిక మాత్రమే (మొదటిది) మాకు సరిపోతుంది.

5 త్రోల కోసం, మీరు సాధ్యమయ్యే ఫలితాల జాబితాను మీరే తయారు చేసుకోవచ్చు. కానీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మీ అంత కష్టపడి పని చేసేవారు కాదు.

అందువల్ల, వారు మొదట గమనించి, ఆపై స్వతంత్ర సంఘటనల యొక్క నిర్దిష్ట క్రమం యొక్క సంభావ్యత ప్రతిసారీ ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ద్వారా తగ్గుతుందని నిరూపించారు.

వేరే పదాల్లో,

అదే దురదృష్టకరమైన నాణెం యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

సవాలులో తలలు వచ్చే అవకాశం ఉందా? . ఇప్పుడు మేము నాణెం ఒకసారి తిప్పండి.

వరుసగా తలలు వచ్చే అవకాశం ఎంత?

ఒకే సంఘటన వరుసగా చాలాసార్లు జరిగే సంభావ్యతను కనుగొనమని మమ్మల్ని అడిగినప్పుడు మాత్రమే ఈ నియమం పని చేయదు.

మేము వరుసగా టాస్‌ల కోసం TAILS-HEADS-TAILS క్రమాన్ని కనుగొనాలనుకుంటే, మేము అదే చేస్తాము.

తోకలు పొందడానికి సంభావ్యత , తలలు - .

టెయిల్స్-హెడ్స్-టెయిల్స్-టెయిల్స్ క్రమాన్ని పొందే సంభావ్యత:

పట్టికను తయారు చేయడం ద్వారా మీరు దానిని మీరే తనిఖీ చేయవచ్చు.

అననుకూల ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతలను జోడించే నియమం.

కాబట్టి ఆపు! కొత్త నిర్వచనం.

దాన్ని గుర్తించండి. మా అరిగిపోయిన నాణెం తీసుకుని ఒకసారి విసిరేద్దాం.
సాధ్యమైన ఎంపికలు:

1. డేగ-ఈగిల్-డేగ
2. తలలు-తలలు-తోకలు
3. తలలు-తోకలు-తలలు
4. తలలు-తోకలు-తోకలు
5. తోకలు-తలలు-తలలు
6. తోకలు-తలలు-తోకలు
7. తోకలు-తోకలు-తలలు
8. తోకలు-తోకలు-తోకలు

కాబట్టి ఇవి అననుకూల సంఘటనలు, ఇది ఖచ్చితంగా ఉంది ఇచ్చిన క్రమంసంఘటనలు. - ఇవి అననుకూల సంఘటనలు.

మేము రెండు (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) సంభావ్యత ఏమిటో గుర్తించాలనుకుంటే అననుకూల సంఘటనలుఅప్పుడు మేము ఈ సంఘటనల సంభావ్యతలను జోడిస్తాము.

తలలు లేదా తోకలు రెండు స్వతంత్ర సంఘటనలు అని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి.

మేము ఒక క్రమం (లేదా ఏదైనా ఇతర) సంభవించే సంభావ్యతను గుర్తించాలనుకుంటే, మేము సంభావ్యతలను గుణించే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
మొదటి టాస్‌లో తలలు, మరియు రెండవ మరియు మూడవ టాస్‌లలో తోకలు పడే సంభావ్యత ఎంత?

కానీ మనం అనేక సీక్వెన్స్‌లలో ఒకదానిని పొందే సంభావ్యత ఏమిటో తెలుసుకోవాలనుకుంటే, ఉదాహరణకు, తలలు సరిగ్గా ఒకసారి వచ్చినప్పుడు, అనగా. ఎంపికలు మరియు, ఆ తర్వాత మనం ఈ సీక్వెన్స్‌ల సంభావ్యతలను తప్పనిసరిగా జోడించాలి.

మొత్తం ఎంపికలు మాకు సరిపోతాయి.

ప్రతి క్రమం యొక్క సంభావ్యతలను జోడించడం ద్వారా మనం అదే విషయాన్ని పొందవచ్చు:

ఈ విధంగా, మేము సంఘటనల యొక్క నిర్దిష్ట, అస్థిరమైన, క్రమాల సంభావ్యతను గుర్తించాలనుకున్నప్పుడు సంభావ్యతలను జోడిస్తాము.

ఎప్పుడు గుణించాలి మరియు ఎప్పుడు జోడించాలి అనే గందరగోళాన్ని నివారించడంలో మీకు సహాయపడే గొప్ప నియమం ఉంది:

మనం ఒకసారి నాణెం విసిరిన ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం మరియు ఒకసారి తలలను చూసే సంభావ్యతను తెలుసుకోవాలనుకున్నాము.
ఏమి జరగబోతున్నది?

బయట పడాలి:
(తలలు మరియు తోకలు మరియు తోకలు) లేదా (తోకలు మరియు తలలు మరియు తోకలు) లేదా (తోకలు మరియు తోకలు మరియు తలలు).
ఇది ఎలా మారుతుంది:

కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 5.

పెట్టెలో పెన్సిళ్లు ఉన్నాయి. ఎరుపు, ఆకుపచ్చ, నారింజ మరియు పసుపు మరియు నలుపు. ఎరుపు లేదా ఆకుపచ్చ పెన్సిల్స్ గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం:

ఉదాహరణ 6.

ఒక డైని రెండుసార్లు విసిరితే, మొత్తం 8 వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం.

మేము పాయింట్లను ఎలా పొందగలము?

(మరియు) లేదా (మరియు) లేదా (మరియు) లేదా (మరియు) లేదా (మరియు).

ఒక (ఏదైనా) ముఖాన్ని పొందే సంభావ్యత .

మేము సంభావ్యతను లెక్కిస్తాము:

శిక్షణ.

మీరు సంభావ్యతలను ఎప్పుడు లెక్కించాలో, వాటిని ఎప్పుడు జోడించాలో మరియు వాటిని ఎప్పుడు గుణించాలో మీరు ఇప్పుడు అర్థం చేసుకున్నారని నేను భావిస్తున్నాను. అది కాదా? కొంచెం సాధన చేద్దాం.

పనులు:

స్పేడ్స్, హార్ట్‌లు, 13 క్లబ్‌లు మరియు 13 వజ్రాలతో సహా కార్డ్‌లను కలిగి ఉన్న కార్డ్ డెక్‌ని తీసుకుందాం. ప్రతి సూట్ నుండి ఏస్ వరకు.

1. వరుసగా క్లబ్‌లను గీయడం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి (మేము తీసివేసిన మొదటి కార్డును డెక్‌లోకి తిరిగి ఉంచి దానిని షఫుల్ చేస్తాము)?
2. బ్లాక్ కార్డ్ (స్పేడ్స్ లేదా క్లబ్‌లు) గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి?
3. చిత్రాన్ని గీయడానికి సంభావ్యత ఎంత (జాక్, క్వీన్, కింగ్ లేదా ఏస్)?
4. వరుసగా రెండు చిత్రాలను గీయడం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి (మేము డెక్ నుండి తీసిన మొదటి కార్డును తీసివేస్తాము)?
5. (జాక్, క్వీన్ లేదా కింగ్) మరియు ఏస్ కలయికను సేకరించడానికి, రెండు కార్డ్‌లను తీసుకోవడానికి సంభావ్యత ఏమిటి? కార్డ్‌లు డ్రా చేయబడిన క్రమం పట్టింపు లేదు.

సమాధానాలు:

మీరు అన్ని సమస్యలను మీరే పరిష్కరించుకోగలిగితే, మీరు గొప్పవారు! ఇప్పుడు మీరు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో సంభావ్య థియరీ సమస్యలను నట్స్‌లా ఛేదిస్తారు!

సంభావ్యత సిద్ధాంతం. సగటు స్థాయి

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. మనం ఒక డైని విసిరేస్తాము అనుకుందాం. ఇది ఎలాంటి ఎముక, మీకు తెలుసా? దీనినే వారు దాని ముఖాలపై సంఖ్యలతో కూడిన క్యూబ్ అంటారు. ఎన్ని ముఖాలు, ఇన్ని సంఖ్యలు: ఎన్ని నుండి? ముందు.

కాబట్టి మేము పాచికలను చుట్టాము మరియు అది పైకి రావాలని మేము కోరుకుంటున్నాము లేదా. మరియు మేము దానిని పొందుతాము.

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో వారు ఏమి జరిగిందో చెబుతారు శుభ సంఘటన(సంపన్నంతో గందరగోళంగా ఉండకూడదు).

అది జరిగితే, ఈవెంట్ కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. మొత్తంగా, రెండు అనుకూలమైన సంఘటనలు మాత్రమే జరుగుతాయి.

ఎన్ని అననుకూలమైనవి? మొత్తం సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు ఉన్నందున, అననుకూలమైనవి సంఘటనలు అని అర్థం (ఇది ఉంటే లేదా పడిపోతే).

నిర్వచనం:

సంభావ్యత అనేది అన్ని సంభావ్య సంఘటనల సంఖ్యకు అనుకూలమైన సంఘటనల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి. అంటే, సంభావ్యత అన్ని సంఘటనలలో ఏ నిష్పత్తి అనుకూలంగా ఉందో చూపిస్తుంది.

సంభావ్యతను సూచిస్తుంది లాటిన్ అక్షరం(స్పష్టంగా నుండి ఆంగ్ల పదంసంభావ్యత - సంభావ్యత).

సంభావ్యతను శాతంగా కొలవడం ఆచారం (అంశం చూడండి). దీన్ని చేయడానికి, సంభావ్యత విలువ తప్పనిసరిగా గుణించాలి. పాచికల ఉదాహరణలో, సంభావ్యత.

మరియు శాతంలో: .

ఉదాహరణలు (మీరే నిర్ణయించుకోండి):

1. నాణెం విసిరినప్పుడు తలలు వచ్చే అవకాశం ఎంత? ల్యాండింగ్ హెడ్స్ యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?
2. డైని విసిరేటప్పుడు సరి సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత? ఏది బేసి?
3. సాధారణ, నీలం మరియు ఎరుపు పెన్సిల్స్ బాక్స్ లో. మేము యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్సిల్ గీస్తాము. ఒక సాధారణ పొందే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారాలు:

1. ఎన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయి? తలలు మరియు తోకలు - కేవలం రెండు. వాటిలో ఎన్ని అనుకూలంగా ఉన్నాయి? ఒకే ఒక డేగ. కాబట్టి సంభావ్యత

   ఇది తోకలతో సమానంగా ఉంటుంది: .

2. మొత్తం ఎంపికలు: (క్యూబ్‌కి ఎన్ని భుజాలు ఉన్నాయి, చాలా వివిధ ఎంపికలు) అనుకూలమైనవి: (ఇవన్నీ సరి సంఖ్యలు:).
   సంభావ్యత. వాస్తవానికి, ఇది బేసి సంఖ్యలతో సమానంగా ఉంటుంది.
3. మొత్తం: . అనుకూలమైన: . సంభావ్యత: .

మొత్తం సంభావ్యత

పెట్టెలోని అన్ని పెన్సిల్స్ ఆకుపచ్చగా ఉంటాయి. ఎరుపు పెన్సిల్ గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి? అవకాశాలు లేవు: సంభావ్యత (అన్ని తరువాత, అనుకూలమైన సంఘటనలు -).

అలాంటి సంఘటనను అసాధ్యం అంటారు.

ఆకుపచ్చ పెన్సిల్ గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి? మొత్తం ఈవెంట్‌లు (అన్ని ఈవెంట్‌లు అనుకూలమైనవి) ఉన్నట్లే అనుకూలమైన ఈవెంట్‌లు కూడా అంతే సంఖ్యలో ఉన్నాయి. కాబట్టి సంభావ్యత సమానంగా లేదా.

అటువంటి సంఘటనను నమ్మదగినదిగా పిలుస్తారు.

ఒక పెట్టెలో ఆకుపచ్చ మరియు ఎరుపు పెన్సిల్‌లు ఉంటే, ఆకుపచ్చ లేదా ఎరుపు రంగును గీయడానికి సంభావ్యత ఎంత? మళ్ళీ. దీన్ని గమనించండి: ఆకుపచ్చని లాగడం యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఎరుపు సమానంగా ఉంటుంది.

మొత్తానికి, ఈ సంభావ్యతలు సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి. అంటే, సాధ్యమయ్యే అన్ని సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తం సమానంగా లేదా.

ఉదాహరణ:

పెన్సిల్స్ పెట్టెలో, వాటిలో నీలం, ఎరుపు, ఆకుపచ్చ, సాదా, పసుపు మరియు మిగిలినవి నారింజ. ఆకుపచ్చని గీయని సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం:

అన్ని సంభావ్యతలను కలుపుతామని మేము గుర్తుంచుకుంటాము. మరియు ఆకుపచ్చ పొందడానికి సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. అంటే ఆకుపచ్చని గీయకుండా ఉండే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ ట్రిక్ గుర్తుంచుకో:ఈవెంట్ జరగని సంభావ్యత, ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత మైనస్‌కు సమానం.

స్వతంత్ర సంఘటనలు మరియు గుణకార నియమం

మీరు నాణేన్ని ఒకసారి తిప్పండి మరియు అది రెండు సార్లు పైకి రావాలని కోరుకుంటారు. దీని సంభావ్యత ఏమిటి?

సాధ్యమయ్యే అన్ని ఎంపికలను చూద్దాం మరియు ఎన్ని ఉన్నాయో నిర్ణయించండి:

తలలు-తలలు, తోకలు-తలలు, తలలు-తోకలు, తోకలు-తోకలు. ఇంకేముంది?

మొత్తం ఎంపికలు. వీటిలో ఒకటి మాత్రమే మనకు సరిపోతుంది: ఈగిల్-ఈగిల్. మొత్తంగా, సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

ఫైన్. ఇప్పుడు ఒకసారి నాణేన్ని తిప్పుదాం. గణితాన్ని మీరే చేయండి. జరిగిందా? (సమాధానం).

ప్రతి తదుపరి త్రో అదనంగా, సంభావ్యత సగానికి తగ్గుతుందని మీరు గమనించి ఉండవచ్చు. సాధారణ నియమంఅని పిలిచారు గుణకారం నియమం:

స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత మారుతుంది.

స్వతంత్ర సంఘటనలు ఏమిటి? ప్రతిదీ తార్కికం: ఇవి ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడనివి. ఉదాహరణకు, మేము అనేక సార్లు ఒక నాణెం విసిరినప్పుడు, ప్రతిసారీ కొత్త త్రో తయారు చేయబడుతుంది, దాని ఫలితం మునుపటి అన్ని త్రోలపై ఆధారపడి ఉండదు. మనం ఒకే సమయంలో రెండు వేర్వేరు నాణేలను సులభంగా విసిరేయవచ్చు.

మరిన్ని ఉదాహరణలు:

1. పాచికలు రెండుసార్లు విసిరారు. రెండు సార్లు పొందే సంభావ్యత ఎంత?
2. నాణెం ఒకసారి విసిరివేయబడుతుంది. ఇది మొదటిసారి తలపైకి వచ్చి, ఆపై రెండుసార్లు వచ్చే సంభావ్యత ఏమిటి?
3. ఆటగాడు రెండు పాచికలు వేస్తాడు. వాటిపై ఉన్న సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

సమాధానాలు:

1. ఈవెంట్‌లు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, అంటే గుణకారం నియమం పనిచేస్తుంది: .
2. తలల సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. తోకల సంభావ్యత ఒకే విధంగా ఉంటుంది. గుణించండి:
3. రెండు -కి రోల్ చేస్తే 12 మాత్రమే పొందవచ్చు: .

అననుకూల సంఘటనలు మరియు అదనపు నియమం

ఒకదానికొకటి పూర్తి చేసే సంఘటనలను అననుకూలమైనవి అంటారు. పూర్తి సంభావ్యత. పేరు సూచించినట్లుగా, అవి ఏకకాలంలో జరగవు. ఉదాహరణకు, మనం నాణేన్ని తిప్పితే, అది తలలు లేదా తోకలు పైకి రావచ్చు.

ఉదాహరణ.

పెన్సిల్స్ పెట్టెలో, వాటిలో నీలం, ఎరుపు, ఆకుపచ్చ, సాదా, పసుపు మరియు మిగిలినవి నారింజ. ఆకుపచ్చ లేదా ఎరుపు గీసే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం .

ఆకుపచ్చ పెన్సిల్ గీయడం యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. ఎరుపు - .

అన్నింటిలోనూ అనుకూలమైన సంఘటనలు: ఆకుపచ్చ + ఎరుపు. అంటే ఆకుపచ్చ లేదా ఎరుపు గీసే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

అదే సంభావ్యతను ఈ రూపంలో సూచించవచ్చు: .

ఇది అదనపు నియమం:అననుకూల సంఘటనల సంభావ్యతలను జోడిస్తుంది.

మిశ్రమ రకం సమస్యలు

ఉదాహరణ.

నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. రోల్స్ ఫలితాలు భిన్నంగా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం .

దీని అర్థం మొదటి ఫలితం తలలు అయితే, రెండవది తప్పనిసరిగా తోకలు అయి ఉండాలి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉండాలి. రెండు జతల స్వతంత్ర సంఘటనలు ఉన్నాయని తేలింది మరియు ఈ జంటలు ఒకదానికొకటి అనుకూలంగా లేవు. ఎక్కడ గుణించాలి మరియు ఎక్కడ జోడించాలి అనే విషయంలో ఎలా గందరగోళం చెందకూడదు.

అటువంటి పరిస్థితులకు ఒక సాధారణ నియమం ఉంది. “AND” లేదా “OR” అనే సంయోగాలను ఉపయోగించి ఏమి జరగబోతోందో వివరించడానికి ప్రయత్నించండి. ఉదాహరణకు, ఈ సందర్భంలో:

ఇది పైకి రావాలి (తలలు మరియు తోకలు) లేదా (తోకలు మరియు తలలు).

“మరియు” అనే సంయోగం ఉన్నచోట గుణకారం ఉంటుంది మరియు “లేదా” ఉన్నచోట అదనంగా ఉంటుంది:

దీన్ని మీరే ప్రయత్నించండి:

1. ఒక నాణేన్ని రెండు సార్లు విసిరితే, ఆ నాణెం రెండు సార్లు ఒకే వైపుకు వచ్చే అవకాశం ఎంత?
2. పాచికలు రెండుసార్లు విసిరారు. మొత్తం పాయింట్లను పొందే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారాలు:

మరొక ఉదాహరణ:

ఒకసారి నాణెం వేయండి. తలలు కనీసం ఒక్కసారైనా కనిపించే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం:

సంభావ్యత సిద్ధాంతం. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

సంభావ్యత అనేది అన్ని సంభావ్య సంఘటనల సంఖ్యకు అనుకూలమైన సంఘటనల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి.

స్వతంత్ర సంఘటనలు

ఒకటి సంభవించినప్పుడు మరొకటి సంభవించే సంభావ్యతను మార్చకపోతే రెండు సంఘటనలు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.

మొత్తం సంభావ్యత

సాధ్యమయ్యే అన్ని ఈవెంట్‌ల సంభావ్యత ()కి సమానంగా ఉంటుంది.

ఈవెంట్ జరగని సంభావ్యత, ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత మైనస్‌కు సమానం.

స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం నియమం

స్వతంత్ర సంఘటనల యొక్క నిర్దిష్ట క్రమం యొక్క సంభావ్యత ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం

అననుకూల సంఘటనలు

అననుకూల సంఘటనలు ఒక ప్రయోగం ఫలితంగా ఏకకాలంలో సంభవించలేనివి. అననుకూల సంఘటనల శ్రేణి ఏర్పడుతుంది పూర్తి సమూహంసంఘటనలు.

అననుకూల సంఘటనల సంభావ్యతలను జోడిస్తుంది.

ఏమి జరగాలో వివరించిన తర్వాత, “AND” లేదా “OR” అనే సంయోగాలను ఉపయోగించి, “AND”కి బదులుగా మేము గుణకార గుర్తును ఉంచుతాము మరియు “OR”కి బదులుగా అదనపు గుర్తును ఉంచాము.

సరే, టాపిక్ ముగిసింది. మీరు ఈ పంక్తులు చదువుతుంటే, మీరు చాలా కూల్ గా ఉన్నారని అర్థం.

ఎందుకంటే కేవలం 5% మంది మాత్రమే సొంతంగా ఏదైనా నైపుణ్యం సాధించగలుగుతారు. మరియు మీరు చివరి వరకు చదివితే, మీరు ఈ 5% లో ఉన్నారు!

ఇప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం.

మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకున్నారు. మరియు, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ఇది... ఇది కేవలం సూపర్! మీ తోటివారిలో చాలా మంది కంటే మీరు ఇప్పటికే మెరుగ్గా ఉన్నారు.

సమస్య ఏమిటంటే ఇది సరిపోకపోవచ్చు ...

దేనికోసం?

కోసం విజయవంతంగా పూర్తియూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్, బడ్జెట్‌లో కాలేజీలో అడ్మిషన్ కోసం మరియు చాలా ముఖ్యమైనది, జీవితాంతం.

నేను మిమ్మల్ని ఏదీ ఒప్పించను, ఒక్కటి మాత్రమే చెబుతాను...

మంచి విద్యను పొందిన వారు దానిని పొందని వారి కంటే చాలా ఎక్కువ సంపాదిస్తారు. ఇది గణాంకాలు.

కానీ ఇది ప్రధాన విషయం కాదు.

ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వారు మరింత సంతోషంగా ఉన్నారు (అలాంటి అధ్యయనాలు ఉన్నాయి). బహుశా వారి ముందు చాలా ఎక్కువ ఓపెన్ ఉన్నందున మరిన్ని అవకాశాలుమరియు జీవితం ప్రకాశవంతంగా మారుతుందా? తెలియదు...

అయితే మీరే ఆలోచించండి...

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఇతరుల కంటే మెరుగ్గా ఉండటానికి మరియు చివరికి... సంతోషంగా ఉండటానికి ఏమి అవసరం?

ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా మీ చేతిని పొందండి.

పరీక్ష సమయంలో మీరు సిద్ధాంతం కోసం అడగబడరు.

నీకు అవసరం అవుతుంది సమయానికి వ్యతిరేకంగా సమస్యలను పరిష్కరించండి.

మరియు, మీరు వాటిని పరిష్కరించకపోతే (చాలా!), మీరు ఖచ్చితంగా ఎక్కడో ఒక తెలివితక్కువ పొరపాటు చేస్తారు లేదా సమయం ఉండదు.

ఇది క్రీడలలో లాగా ఉంటుంది - ఖచ్చితంగా గెలవడానికి మీరు దీన్ని చాలాసార్లు పునరావృతం చేయాలి.

మీకు కావలసిన చోట సేకరణను కనుగొనండి, తప్పనిసరిగా పరిష్కారాలతో, వివరణాత్మక విశ్లేషణ మరియు నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి!

మీరు మా పనులను ఉపయోగించవచ్చు (ఐచ్ఛికం) మరియు మేము వాటిని సిఫార్సు చేస్తాము.

మా టాస్క్‌లను ఉపయోగించడంలో మెరుగ్గా ఉండటానికి, మీరు ప్రస్తుతం చదువుతున్న YouClever పాఠ్యపుస్తకం యొక్క జీవితాన్ని పొడిగించడంలో మీరు సహాయం చేయాలి.

ఎలా? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. ఈ కథనంలో దాచిన అన్ని పనులను అన్‌లాక్ చేయండి -
2. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం 99 కథనాలలో దాచిన అన్ని పనులకు యాక్సెస్‌ను అన్‌లాక్ చేయండి - పాఠ్యపుస్తకాన్ని కొనండి - 499 RUR

అవును, మా పాఠ్యపుస్తకంలో అటువంటి 99 కథనాలు ఉన్నాయి మరియు అన్ని టాస్క్‌లకు యాక్సెస్ మరియు వాటిలో దాచిన అన్ని పాఠాలు వెంటనే తెరవబడతాయి.

అన్ని దాచిన పనులకు యాక్సెస్ సైట్ యొక్క మొత్తం జీవితానికి అందించబడుతుంది.

ముగింపులో...

మా పనులు మీకు నచ్చకపోతే, ఇతరులను కనుగొనండి. కేవలం సిద్ధాంతం వద్ద ఆగవద్దు.

"అర్థమైంది" మరియు "నేను పరిష్కరించగలను" పూర్తిగా భిన్నమైన నైపుణ్యాలు. మీకు రెండూ కావాలి.

సమస్యలను కనుగొని వాటిని పరిష్కరించండి!

నా బ్లాగ్‌లో, మార్వెల్ ట్రేడింగ్ కార్డ్ గేమ్ మరియు ప్లేబాయ్: ది మాన్షన్ వంటి ప్రాజెక్ట్‌లలో పనిచేసిన గేమ్ డిజైనర్ జాన్ ష్రెయిబర్ “ప్రిన్సిపల్స్ ఆఫ్ గేమ్ బ్యాలెన్స్” కోర్సు యొక్క తదుపరి ఉపన్యాసం యొక్క అనువాదం.

ఇప్పటి వరకు, మేము మాట్లాడిన దాదాపు ప్రతిదీ నిర్ణయాత్మకమైనది, మరియు గత వారం మేము ట్రాన్సిటివ్ మెకానిక్స్‌ను నిశితంగా పరిశీలించాము, నేను వివరించగలిగినంత వివరంగా చెప్పాము. కానీ ఇప్పటి వరకు మేము అనేక ఆటల యొక్క మరొక అంశానికి శ్రద్ధ చూపలేదు, అవి నిర్ణీత రహిత అంశాలు - ఇతర మాటలలో, యాదృచ్ఛికత.

గేమ్ డిజైనర్లకు యాదృచ్ఛికత యొక్క స్వభావాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం. ఇచ్చిన గేమ్‌లో వినియోగదారు అనుభవాన్ని ప్రభావితం చేసే సిస్టమ్‌లను మేము సృష్టిస్తాము, కాబట్టి ఆ సిస్టమ్‌లు ఎలా పని చేస్తాయో తెలుసుకోవాలి. వ్యవస్థలో యాదృచ్ఛికత ఉంటే, మనకు అవసరమైన ఫలితాలను పొందడానికి ఈ యాదృచ్ఛికత యొక్క స్వభావాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి మరియు దానిని ఎలా మార్చాలో తెలుసుకోవాలి.

పాచికలు

విసరడం - సరళమైన వాటితో ప్రారంభిద్దాం పాచికలు. చాలా మంది వ్యక్తులు పాచికల గురించి ఆలోచించినప్పుడు, వారు d6 అని పిలువబడే ఆరు-వైపుల డై గురించి ఆలోచిస్తారు. కానీ చాలా మంది గేమర్‌లు అనేక ఇతర పాచికలను చూశారు: టెట్రాహెడ్రల్ (d4), అష్టభుజి (d8), పన్నెండు-వైపుల (d12), ఇరవై-వైపుల (d20). మీరు నిజమైన గీక్ అయితే, మీరు ఎక్కడైనా 30-వైపుల లేదా 100-వైపుల పాచికలు కలిగి ఉండవచ్చు.

మీకు పదజాలం తెలియకపోతే, d అంటే డై, మరియు దాని తర్వాత వచ్చే సంఖ్య అది కలిగి ఉన్న భుజాల సంఖ్య. సంఖ్య d కంటే ముందు కనిపిస్తే, అది చుట్టాల్సిన పాచికల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మోనోపోలీ గేమ్‌లో మీరు 2d6ని రోల్ చేస్తారు.

కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, "పాచికలు" అనే పదబంధం చిహ్నం. భారీ సంఖ్యలో ఇతర యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్లు ఉన్నాయి, అవి ప్లాస్టిక్ బొమ్మల వలె కనిపించవు, కానీ అదే పనిని చేస్తాయి - ఉత్పత్తి యాదృచ్ఛిక సంఖ్య 1 నుండి n వరకు. ఒక సాధారణ నాణెం కూడా డైహెడ్రల్ డైస్ d2గా సూచించబడుతుంది.

నేను ఏడు-వైపుల పాచికల యొక్క రెండు డిజైన్లను చూశాను: వాటిలో ఒకటి పాచికలు లాగా, మరొకటి ఏడు వైపుల చెక్క పెన్సిల్ లాగా ఉంది. టెట్రాహెడ్రల్ డ్రీడెల్, దీనిని టైటోటమ్ అని కూడా పిలుస్తారు, ఇది టెట్రాహెడ్రల్ ఎముకను పోలి ఉంటుంది. 1 నుండి 6 వరకు స్కోర్‌లు ఉండే చ్యూట్స్ & లాడర్స్‌లోని స్పిన్నింగ్ బాణం బోర్డ్ ఆరు-వైపుల డైకి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

కంప్యూటర్‌లో 19-వైపుల డై లేనప్పటికీ, కంప్యూటర్‌లోని యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్ 1 నుండి 19 వరకు ఏదైనా సంఖ్యను డిజైనర్ నిర్దేశిస్తే, దానిని సృష్టించగలదు (సాధారణంగా, సంఖ్యల సంభావ్యత గురించి నేను మరింత మాట్లాడతాను a కంప్యూటర్ వచ్చే వారం). ఈ అంశాలన్నీ విభిన్నంగా కనిపిస్తాయి, కానీ వాస్తవానికి అవి సమానంగా ఉంటాయి: మీరు అనేక సాధ్యమయ్యే ఫలితాలకు సమాన అవకాశం కలిగి ఉంటారు.

పాచికలు కొన్ని ఉన్నాయి ఆసక్తికరమైన లక్షణాలుగురించి మనం తెలుసుకోవాలి. ముందుగా, ఏదైనా పాచికలు దిగే సంభావ్యత ఒకే విధంగా ఉంటుంది (మీరు సరైన పాచికలను చుట్టేస్తున్నారని నేను ఊహిస్తున్నాను). రేఖాగణిత ఆకారం) మీరు రోల్ యొక్క సగటు విలువను తెలుసుకోవాలనుకుంటే (సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఉన్నవారికి, ఇది ఊహించిన విలువగా పిలువబడుతుంది), అన్ని అంచులలోని విలువలను జోడించి, ఆ సంఖ్యను అంచుల సంఖ్యతో విభజించండి.

ప్రామాణిక సిక్స్-సైడ్ డై కోసం అన్ని భుజాల విలువల మొత్తం 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. 21 ను భుజాల సంఖ్యతో విభజించి, రోల్ యొక్క సగటు విలువను పొందండి: 21 / 6 = 3.5. ఈ ఒక ప్రత్యేక సందర్భం, ఎందుకంటే మేము అన్ని ఫలితాలు సమానంగా ఉంటాయని ఊహిస్తాము.

మీకు ప్రత్యేకమైన పాచికలు ఉంటే ఏమి చేయాలి? ఉదాహరణకు, 1, 1, 1, 2, 2, 3 వైపులా ప్రత్యేక స్టిక్కర్‌లతో ఆరు-వైపుల డై ఉన్న గేమ్‌ను నేను చూశాను, కనుక ఇది విచిత్రమైన మూడు-వైపుల డైలా ప్రవర్తిస్తుంది మరిన్ని అవకాశాలుసంఖ్య 2 కంటే 1 అవుతుంది మరియు ఆ సంఖ్య 3 కంటే 2 ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఈ డై యొక్క రోల్ యొక్క సగటు విలువ ఎంత? కాబట్టి, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6 ద్వారా విభజించబడింది - ఇది 5/3 లేదా సుమారుగా 1.66 అవుతుంది. కాబట్టి, మీకు ప్రత్యేకమైన డైస్ ఉంటే మరియు ఆటగాళ్ళు మూడు పాచికలు వేసి, ఆపై ఫలితాలను జోడిస్తే - వారి రోల్ సుమారు 5 వరకు జోడించబడుతుందని మీకు తెలుసు మరియు మీరు ఆ ఊహ ఆధారంగా గేమ్‌ను బ్యాలెన్స్ చేయవచ్చు.

పాచికలు మరియు స్వాతంత్ర్యం

నేను ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ప్రతి వైపు సమానంగా పడిపోయే అవకాశం ఉందనే భావన నుండి మేము ముందుకు వెళ్తాము. మీరు ఎన్ని పాచికలు వేసినా ఫర్వాలేదు. ప్రతి డైస్ రోల్ స్వతంత్రంగా ఉంటుంది, అంటే మునుపటి రోల్స్ తదుపరి వాటి ఫలితాలను ప్రభావితం చేయవు. తగినంత ట్రయల్స్ ఇచ్చినట్లయితే, మీరు సంఖ్యల నమూనాను గమనించవలసి ఉంటుంది - ఉదాహరణకు, ఎక్కువగా ఎక్కువ లేదా తక్కువ విలువలను రోలింగ్ చేయడం - లేదా ఇతర లక్షణాలు, కానీ పాచికలు "వేడి" లేదా "చల్లని" అని అర్థం కాదు. మేము దీని గురించి తరువాత మాట్లాడుతాము.

మీరు ప్రామాణిక సిక్స్-సైడ్ డైని రోల్ చేసి, 6వ సంఖ్య వరుసగా రెండుసార్లు వచ్చినట్లయితే, తదుపరి త్రో 6కి దారితీసే సంభావ్యత సరిగ్గా 1/6. డై "వేడెక్కింది" కాబట్టి సంభావ్యత పెరగదు. . అదే సమయంలో, సంభావ్యత తగ్గదు: సంఖ్య 6 ఇప్పటికే వరుసగా రెండుసార్లు వచ్చిందని వాదించడం తప్పు, అంటే ఇప్పుడు మరొక వైపు రావాలి.

వాస్తవానికి, మీరు ఒక డైని ఇరవై సార్లు చుట్టి, ప్రతిసారి 6ని పొందినట్లయితే, ఇరవై మొదటి సారి మీరు 6ని రోల్ చేసే అవకాశం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది: బహుశా మీరు తప్పుగా మరణించి ఉండవచ్చు. కానీ డై ఫెయిర్ అయితే, ఇతర రోల్స్ ఫలితాలతో సంబంధం లేకుండా, ప్రతి వైపు ల్యాండింగ్ యొక్క ఒకే సంభావ్యత ఉంటుంది. మేము ప్రతిసారీ డైని భర్తీ చేస్తామని కూడా మీరు ఊహించవచ్చు: సంఖ్య 6 వరుసగా రెండుసార్లు చుట్టబడి ఉంటే, ఆట నుండి "హాట్" డైని తీసివేసి, దాన్ని కొత్త దానితో భర్తీ చేయండి. మీలో ఎవరికైనా దీని గురించి ఇదివరకే తెలిసి ఉంటే నేను క్షమాపణలు కోరుతున్నాను, కానీ ముందుకు వెళ్లే ముందు నేను దీన్ని క్లియర్ చేయాల్సి ఉంటుంది.

డైస్ రోల్ ఎక్కువ లేదా తక్కువ యాదృచ్ఛికంగా ఎలా తయారు చేయాలి

వివిధ పాచికలపై వేర్వేరు ఫలితాలను ఎలా పొందాలో గురించి మాట్లాడుదాం. మీరు డైని ఒక్కసారి లేదా చాలా సార్లు రోల్ చేసినా, డైకి ఎక్కువ పార్శ్వాలు ఉన్నప్పుడు గేమ్ మరింత యాదృచ్ఛికంగా అనిపిస్తుంది. మీరు ఎంత తరచుగా పాచికలను చుట్టాలి, మరియు మీరు ఎంత ఎక్కువ పాచికలు వేస్తే, ఫలితాలు సగటుకు చేరుకుంటాయి.

ఉదాహరణకు, 1d6 + 4 విషయంలో (అంటే, మీరు ఒక ప్రామాణిక సిక్స్-సైడ్ డైని ఒకసారి రోల్ చేసి, ఫలితానికి 4ని జోడిస్తే), సగటు సంఖ్య 5 మరియు 10 మధ్య ఉంటుంది. మీరు 5d2ని రోల్ చేస్తే, సగటు 5 మరియు 10 మధ్య సంఖ్య కూడా ఉంటుంది. రోలింగ్ 5d2 యొక్క ఫలితాలు ప్రధానంగా 7 మరియు 8 సంఖ్యలు, తక్కువ తరచుగా ఇతర విలువలు. అదే శ్రేణి, అదే సగటు విలువ కూడా (రెండు సందర్భాలలో 7.5), కానీ యాదృచ్ఛికత యొక్క స్వభావం భిన్నంగా ఉంటుంది.

ఒక నిమిషం ఆగు. పాచికలు "వేడి" లేదా "చల్లగా" ఉండవని నేను చెప్పలేదా? ఇప్పుడు నేను చెప్తున్నాను: మీరు చాలా పాచికలు విసిరితే, రోల్స్ ఫలితాలు సగటుకు చేరుకుంటాయి. ఎందుకు?

నన్ను వివిరించనివ్వండి. మీరు ఒక డైని రోల్ చేస్తే, ప్రతి వైపు ల్యాండింగ్ యొక్క ఒకే సంభావ్యత ఉంటుంది. దీనర్థం మీరు కాలక్రమేణా చాలా పాచికలు వేస్తే, ప్రతి వైపు దాదాపు ఒకే సంఖ్యలో వస్తాయి. మీరు ఎంత ఎక్కువ పాచికలు వేస్తే, మొత్తం ఫలితం సగటుకు చేరుకుంటుంది.

గీసిన సంఖ్య ఇంకా డ్రా చేయని మరో సంఖ్యను డ్రా చేయాల్సిన "బలవంతం" చేయడం వల్ల కాదు. కానీ 6 (లేదా 20, లేదా మరొక సంఖ్య) యొక్క చిన్న శ్రేణి చివరికి మీరు పాచికలను పదివేల సార్లు చుట్టినట్లయితే ఫలితాన్ని అంతగా ప్రభావితం చేయదు మరియు ఎక్కువగా సగటు సంఖ్య వస్తుంది. ఇప్పుడు మీరు కొన్ని పెద్ద సంఖ్యలను పొందుతారు మరియు తరువాత కొన్ని చిన్న వాటిని పొందుతారు - మరియు కాలక్రమేణా అవి సగటుకు దగ్గరగా ఉంటాయి.

ఇది మునుపటి రోల్స్ పాచికలను ప్రభావితం చేయడం వల్ల కాదు (తీవ్రంగా, పాచికలు ప్లాస్టిక్‌తో తయారు చేయబడ్డాయి, "ఓహ్, మీరు 2 చుట్టి చాలా కాలం అయ్యింది" అని ఆలోచించే మెదడు లేదు), కానీ ఇది సాధారణంగా జరుగుతుంది కాబట్టి మీరు చాలా రోల్స్ పాచికలు రోల్ చేసినప్పుడు జరుగుతుంది

అందువల్ల, పాచికల యొక్క ఒక యాదృచ్ఛిక రోల్ కోసం గణనలను చేయడం చాలా సులభం - కనీసం రోల్ యొక్క సగటు విలువను లెక్కించడానికి. ఏదైనా "ఎంత యాదృచ్ఛికంగా" ఉంది మరియు 1d6+4 రోలింగ్ ఫలితాలు 5d2 కంటే "ఎక్కువ యాదృచ్ఛికం" అని చెప్పడానికి కూడా మార్గాలు ఉన్నాయి. 5d2 కోసం, రోల్స్ మరింత సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించాలి: పెద్ద విలువ, ఫలితాలు మరింత యాదృచ్ఛికంగా ఉంటాయి. నేను ఈ రోజు చాలా లెక్కలు చెప్పడం ఇష్టం లేదు; నేను ఈ అంశాన్ని తరువాత వివరిస్తాను.

నేను మిమ్మల్ని గుర్తుంచుకోవాలని అడిగే ఏకైక విషయం ఏమిటంటే, సాధారణ నియమం ప్రకారం, మీరు ఎంత తక్కువ పాచికలు వేస్తే, యాదృచ్ఛికత అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది. మరియు డైకి ఎక్కువ భుజాలు ఉంటే, ఎక్కువ యాదృచ్ఛికత ఉంటుంది, ఎందుకంటే మరింత సాధ్యమయ్యే విలువ ఎంపికలు ఉన్నాయి.

లెక్కింపును ఉపయోగించి సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలి

మీరు ఆశ్చర్యపోవచ్చు: మేము ఒక నిర్దిష్ట ఫలితాన్ని పొందే ఖచ్చితమైన సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించగలము? వాస్తవానికి, అనేక ఆటలకు ఇది చాలా ముఖ్యమైనది: మీరు మొదట్లో పాచికలు వేస్తే - చాలా మటుకు సరైన ఫలితం ఉంటుంది. నా సమాధానం: మనం రెండు విలువలను లెక్కించాలి. ముందుగా, మొత్తం సంఖ్యడై విసిరేటప్పుడు ఫలితాలు, మరియు రెండవది, అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య. రెండవ విలువను మొదటి దానితో భాగిస్తే మీకు కావలసిన సంభావ్యత లభిస్తుంది. శాతాన్ని పొందడానికి, ఫలితాన్ని 100తో గుణించండి.

ఉదాహరణలు

ఇక్కడ చాలా సులభమైన ఉదాహరణ. ఆరు-వైపుల డైని ఒకసారి రోల్ చేయడానికి మీకు 4 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్య కావాలి. ఫలితాల గరిష్ట సంఖ్య 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). వీటిలో 3 ఫలితాలు (4, 5, 6) అనుకూలమైనవి. దీని అర్థం సంభావ్యతను లెక్కించడానికి, మేము 3ని 6 ద్వారా విభజించి 0.5 లేదా 50% పొందుతాము.

కొంచెం సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది. మీరు 2d6ని రోల్ చేయాలనుకుంటున్నారు సరి సంఖ్య. ఫలితాల గరిష్ట సంఖ్య 36 (ప్రతి మరణానికి 6 ఎంపికలు, ఒక డై మరొకదానిపై ప్రభావం చూపదు, కాబట్టి 6ని 6తో గుణించి 36 పొందండి). సమస్య యొక్క కష్టం ఈ రకంరెండుసార్లు లెక్కించడం సులభం. ఉదాహరణకు, 2d6ని రోల్ చేస్తున్నప్పుడు, 3: 1+2 మరియు 2+1 యొక్క రెండు ఫలితాలు సాధ్యమవుతాయి. అవి ఒకేలా కనిపిస్తాయి, కానీ తేడా ఏమిటంటే మొదటి డైలో ఏ సంఖ్య ప్రదర్శించబడుతుంది మరియు రెండవది ఏ సంఖ్య ప్రదర్శించబడుతుంది.

మీరు కూడా పాచికలు అని ఊహించవచ్చు వివిధ రంగులు: కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఈ సందర్భంలో ఒక పాచికలు ఎరుపు, మరొకటి నీలం. ఆపై సరి సంఖ్యను రోలింగ్ చేయడానికి ఎంపికల సంఖ్యను లెక్కించండి:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

36 నుండి అనుకూలమైన ఫలితం కోసం 18 ఎంపికలు ఉన్నాయని తేలింది - మునుపటి సందర్భంలో వలె, సంభావ్యత 0.5 లేదా 50%. బహుశా ఊహించనిది, కానీ చాలా ఖచ్చితమైనది.

మోంటే కార్లో అనుకరణ

ఈ లెక్కన మీ దగ్గర చాలా పాచికలు ఉంటే? ఉదాహరణకు, 8d6ని రోల్ చేస్తున్నప్పుడు మొత్తం 15 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వచ్చే సంభావ్యత ఏమిటో మీరు తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. ఎనిమిది పాచికల కోసం ఉంది భారీ వివిధవిభిన్న ఫలితాలు, మరియు వాటిని మాన్యువల్‌గా లెక్కించడానికి చాలా సమయం పడుతుంది - మేము విభిన్న శ్రేణి డైస్ రోల్స్‌ను సమూహపరచడానికి కొంత మంచి పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నప్పటికీ.

ఈ సందర్భంలో, సులభమైన మార్గం మానవీయంగా లెక్కించడం కాదు, కానీ కంప్యూటర్ను ఉపయోగించడం. కంప్యూటర్‌లో సంభావ్యతను లెక్కించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి. మొదటి పద్ధతి మీకు ఖచ్చితమైన సమాధానాన్ని ఇవ్వగలదు, కానీ ఇందులో కొంచెం ప్రోగ్రామింగ్ లేదా స్క్రిప్టింగ్ ఉంటుంది. కంప్యూటర్ ప్రతి అవకాశం ద్వారా వెళ్లి, మొత్తం పునరావృత్తులు మరియు సరిపోలే పునరావృతాల సంఖ్యను మూల్యాంకనం చేస్తుంది మరియు గణిస్తుంది ఆశించిన ఫలితం, ఆపై సమాధానాలను అందించండి. మీ కోడ్ ఇలా ఉండవచ్చు క్రింది విధంగా:

మీకు ప్రోగ్రామింగ్ అర్థం కాకపోతే మరియు మీకు ఖచ్చితమైన సమాధానం కాకుండా ఉజ్జాయింపు సమాధానం అవసరమైతే, మీరు ఈ పరిస్థితిని Excelలో అనుకరించవచ్చు, ఇక్కడ మీరు 8d6ని అనేక వేల సార్లు రోల్ చేసి సమాధానాన్ని పొందవచ్చు. Excelలో 1d6ని రోల్ చేయడానికి, సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి =అంతస్తు(RAND()*6)+1.

మీకు సమాధానం తెలియనప్పుడు పరిస్థితికి ఒక పేరు ఉంది మరియు మళ్లీ మళ్లీ ప్రయత్నించండి - మోంటే కార్లో అనుకరణ. సంభావ్యతను లెక్కించడం చాలా కష్టంగా ఉన్నప్పుడు ఇది ఉపయోగించడానికి గొప్ప పరిష్కారం. గొప్ప విషయం ఏమిటంటే, ఈ సందర్భంలో గణితం ఎలా పనిచేస్తుందో మనం అర్థం చేసుకోవలసిన అవసరం లేదు మరియు సమాధానం "చాలా బాగుంది" అని మాకు తెలుసు ఎందుకంటే, మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, ఎక్కువ రోల్స్, ఫలితం దగ్గరగా ఉంటుంది. సగటు.

స్వతంత్ర పరీక్షలను ఎలా కలపాలి

మీరు అనేక పునరావృతం గురించి అడిగితే కానీ స్వతంత్ర పరీక్షలు, అప్పుడు ఒక త్రో యొక్క ఫలితం ఇతర త్రోల ఫలితాలను ప్రభావితం చేయదు. ఈ పరిస్థితికి మరొక సరళమైన వివరణ ఉంది.

ఆధారపడిన మరియు స్వతంత్రమైన వాటి మధ్య తేడాను ఎలా గుర్తించాలి? ప్రాథమికంగా, మీరు డై యొక్క ప్రతి త్రో (లేదా త్రోల శ్రేణి) ప్రత్యేక ఈవెంట్‌గా వేరు చేయగలిగితే, అది స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మనం 8d6ని రోల్ చేసి మొత్తం 15 కావాలి అనుకుందాం. ఈ కార్యక్రమంఅనేక స్వతంత్ర డైస్ రోల్స్‌గా విభజించబడదు. ఫలితాన్ని పొందడానికి, మీరు అన్ని విలువల మొత్తాన్ని గణిస్తారు, కాబట్టి ఒక డైలో వచ్చే ఫలితం ఇతరులపై వచ్చే ఫలితాలను ప్రభావితం చేస్తుంది.

ఇండిపెండెంట్ రోల్స్‌కి ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది: మీరు పాచికల ఆట ఆడుతున్నారు మరియు మీరు ఆరు వైపుల పాచికలను అనేకసార్లు తిప్పుతున్నారు. గేమ్‌లో ఉండడానికి మొదటి రోల్ తప్పనిసరిగా 2 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉండాలి. రెండవ త్రో కోసం - 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ. మూడవ దానికి 4 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అవసరం, నాల్గవ దానికి 5 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అవసరం, మరియు ఐదవ దానికి 6 అవసరం. మొత్తం ఐదు రోల్స్ విజయవంతమైతే, మీరు గెలుస్తారు. ఈ సందర్భంలో, అన్ని త్రోలు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. అవును, ఒక త్రో విఫలమైతే, అది మొత్తం గేమ్ ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది, కానీ ఒక త్రో మరొకదానిపై ప్రభావం చూపదు. ఉదాహరణకు, మీ పాచికల రెండవ రోల్ చాలా విజయవంతమైతే, తదుపరి రోల్‌లు మంచివిగా ఉంటాయని దీని అర్థం కాదు. అందువల్ల, పాచికల ప్రతి రోల్ యొక్క సంభావ్యతను మనం విడిగా పరిగణించవచ్చు.

నీ దగ్గర ఉన్నట్లైతే స్వతంత్ర సంభావ్యతమరియు జరుగుతున్న అన్ని సంఘటనల సంభావ్యత ఏమిటో మీరు తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు, మీరు ప్రతి వ్యక్తి సంభావ్యతను నిర్ణయించి, వాటిని కలిపి గుణించాలి. మరొక మార్గం: మీరు అనేక షరతులను వివరించడానికి “మరియు” అనే సంయోగాన్ని ఉపయోగిస్తే (ఉదాహరణకు, కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు మరియు కొన్ని ఇతర స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు సంభవించే సంభావ్యత ఏమిటి?) - వ్యక్తిగత సంభావ్యతలను లెక్కించి వాటిని గుణించండి.

మీరు ఏమి అనుకున్నా, స్వతంత్ర సంభావ్యతలను జోడించవద్దు. ఇది ఒక సాధారణ తప్పు. ఇది ఎందుకు తప్పు అని అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు ఒక నాణెం విసిరే పరిస్థితిని ఊహించుకోండి మరియు వరుసగా రెండుసార్లు తలలు పొందే సంభావ్యత ఏమిటో తెలుసుకోవాలి. ప్రతి వైపు పడిపోయే సంభావ్యత 50%. మీరు ఈ రెండు సంభావ్యతలను జోడిస్తే, మీరు తలలు పొందే అవకాశం 100% పొందుతారు, కానీ అది నిజం కాదని మాకు తెలుసు ఎందుకంటే వరుసగా రెండుసార్లు తోకలు ఉండవచ్చు. మీరు బదులుగా రెండు సంభావ్యతలను గుణిస్తే, మీరు 50% * 50% = 25% పొందుతారు - ఇది వరుసగా రెండుసార్లు తలలు పొందే సంభావ్యతను లెక్కించడానికి సరైన సమాధానం.

ఉదాహరణ

ఆరు-వైపుల పాచికల గేమ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం, ఇక్కడ మీరు మొదట 2 కంటే ఎక్కువ, తర్వాత 3 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను రోల్ చేయాలి - మరియు 6 వరకు. ఇవ్వబడిన ఐదు రోల్స్ సిరీస్‌లో అన్ని ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉండే అవకాశాలు ఏమిటి ?

పైన పేర్కొన్న విధంగా, ఇవి స్వతంత్ర ట్రయల్స్, కాబట్టి మేము ప్రతి వ్యక్తి రోల్ కోసం సంభావ్యతను లెక్కించి, ఆపై వాటిని కలిసి గుణిస్తాము. మొదటి రోల్ యొక్క ఫలితం అనుకూలంగా ఉండే సంభావ్యత 5/6. రెండవది - 4/6. మూడవది - 3/6. నాల్గవది - 2/6, ఐదవది - 1/6. మేము అన్ని ఫలితాలను ఒకదానికొకటి గుణిస్తాము మరియు సుమారు 1.5% పొందుతాము. ఈ గేమ్‌లో విజయాలు చాలా అరుదు, కాబట్టి మీరు మీ గేమ్‌కు ఈ మూలకాన్ని జోడిస్తే, మీకు చాలా పెద్ద జాక్‌పాట్ అవసరం.

నిరాకరణ

ఇక్కడ మరొకటి ఉంది ఉపయోగకరమైన సూచన: కొన్నిసార్లు ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యతను లెక్కించడం కష్టం, కానీ ఈవెంట్ జరగని అవకాశాలను గుర్తించడం సులభం. ఉదాహరణకు, మనకు మరో గేమ్ ఉందనుకుందాం: మీరు 6d6ని రోల్ చేసి, కనీసం ఒక్కసారైనా 6ని రోల్ చేస్తే గెలుస్తారు. గెలిచే సంభావ్యత ఎంత?

ఈ సందర్భంలో, పరిగణించవలసిన అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి. ఒక సంఖ్య 6 చుట్టబడే అవకాశం ఉంది, అంటే, పాచికలలో ఒకటి 6 సంఖ్యను చూపుతుంది, మరియు మిగిలినవి 1 నుండి 5 వరకు ఉన్న సంఖ్యలను చూపుతాయి, ఆపై పాచికలలో ఏది 6ని చూపుతుందో 6 ఎంపికలు ఉన్నాయి. మీరు రెండు పాచికలు, లేదా మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యలో 6 సంఖ్యను పొందవచ్చు మరియు ప్రతిసారీ మీరు ప్రత్యేక గణన చేయవలసి ఉంటుంది, కాబట్టి ఇక్కడ గందరగోళం చెందడం సులభం.

కానీ సమస్యను మరొక వైపు నుండి చూద్దాం. పాచికలు ఏవీ 6ని చుట్టకపోతే మీరు కోల్పోతారు. ఈ సందర్భంలో మాకు 6 స్వతంత్ర ట్రయల్స్ ఉన్నాయి. ప్రతి పాచికలు 6 కాకుండా వేరే సంఖ్యను చుట్టే సంభావ్యత 5/6. వాటిని గుణించండి మరియు మీరు సుమారు 33% పొందుతారు. అందువలన, కోల్పోయే సంభావ్యత మూడింటిలో ఒకటి. కాబట్టి, గెలిచే సంభావ్యత 67% (లేదా రెండు నుండి మూడు).

ఈ ఉదాహరణ నుండి ఇది స్పష్టంగా ఉంది: మీరు ఈవెంట్ జరగని సంభావ్యతను లెక్కించినట్లయితే, మీరు ఫలితాన్ని 100% నుండి తీసివేయాలి. గెలిచే సంభావ్యత 67% అయితే, ఓడిపోయే సంభావ్యత 100% మైనస్ 67% లేదా 33%, మరియు వైస్ వెర్సా. ఒక సంభావ్యతను లెక్కించడం కష్టం అయితే వ్యతిరేకతను లెక్కించడం సులభం అయితే, వ్యతిరేకతను లెక్కించి, ఆపై ఆ సంఖ్యను 100% నుండి తీసివేయండి.

మేము ఒక స్వతంత్ర పరీక్ష కోసం షరతులను మిళితం చేస్తాము

స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో మీరు ఎప్పటికీ సంభావ్యతలను జోడించకూడదని నేను పైన చెప్పాను. సంభావ్యతలను సంగ్రహించడం సాధ్యమయ్యే సందర్భాలు ఏమైనా ఉన్నాయా? అవును, ఒక ప్రత్యేక పరిస్థితిలో.

మీరు ఒకే ట్రయల్‌లో అనేక సంబంధం లేని అనుకూల ఫలితాల కోసం సంభావ్యతను లెక్కించాలనుకుంటే, ప్రతి అనుకూలమైన ఫలితం యొక్క సంభావ్యతలను సంకలనం చేయండి. ఉదాహరణకు, 1d6లో 4, 5, లేదా 6ని రోలింగ్ చేసే సంభావ్యత 4ని రోలింగ్ చేసే సంభావ్యత, 5ని రోలింగ్ చేసే సంభావ్యత మరియు 6ని రోలింగ్ చేసే సంభావ్యత మొత్తానికి సమానం. ఈ పరిస్థితిఈ విధంగా ఊహించవచ్చు: మీరు సంభావ్యత గురించిన ప్రశ్నలో "లేదా" అనే సంయోగాన్ని ఉపయోగిస్తే (ఉదాహరణకు, ఒక యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క ఒకటి లేదా మరొక ఫలితం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?) - వ్యక్తిగత సంభావ్యతలను లెక్కించి వాటిని సంగ్రహించండి.

దయచేసి గమనించండి: మీరు గేమ్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలను లెక్కించినప్పుడు, అవి సంభవించే సంభావ్యత మొత్తం తప్పనిసరిగా 100%కి సమానంగా ఉండాలి, లేకుంటే మీ గణన తప్పుగా చేయబడింది. మీ లెక్కలను ఒకటికి రెండుసార్లు సరిచూసుకోవడానికి ఇది మంచి మార్గం. ఉదాహరణకు, మీరు పోకర్‌లోని అన్ని కలయికల సంభావ్యతను విశ్లేషించారు. మీరు మీ అన్ని ఫలితాలను జోడిస్తే, మీరు ఖచ్చితంగా 100% (లేదా కనీసం 100%కి దగ్గరగా ఉండాలి: మీరు కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగిస్తే, చిన్న రౌండింగ్ లోపం ఉండవచ్చు, కానీ మీరు చేతితో ఖచ్చితమైన సంఖ్యలను జోడిస్తే, ప్రతిదీ జోడించాలి). మొత్తానికి సమ్మిళితం కాకపోతే, మీరు కొన్ని కలయికలను పరిగణనలోకి తీసుకోలేదని లేదా కొన్ని కలయికల సంభావ్యతలను తప్పుగా లెక్కించలేదని అర్థం, మరియు గణనలను ఒకటికి రెండుసార్లు తనిఖీ చేయాల్సి ఉంటుంది.

అసమాన సంభావ్యత

డైస్ యొక్క ప్రతి వైపు ఒకే పౌనఃపున్యం వద్ద చుట్టబడిందని మేము ఇప్పటివరకు భావించాము, ఎందుకంటే పాచికలు ఎలా పని చేస్తాయి. కానీ కొన్నిసార్లు మీరు వేర్వేరు ఫలితాలు సాధ్యమయ్యే పరిస్థితిని ఎదుర్కోవచ్చు మరియు అవి కనిపించే అవకాశాలు భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, న్యూక్లియర్ వార్ కార్డ్ గేమ్ యొక్క విస్తరణలో ఒక బాణంతో ప్లే ఫీల్డ్ ఉంది, దానిపై రాకెట్ ప్రయోగ ఫలితం ఆధారపడి ఉంటుంది. చాలా తరచుగా ఇది సాధారణ నష్టం, బలమైన లేదా బలహీనంగా వ్యవహరిస్తుంది, కానీ కొన్నిసార్లు నష్టం రెట్టింపు లేదా మూడు రెట్లు లేదా రాకెట్ పేలుతుంది లాంచ్ ప్యాడ్మరియు మీకు హాని చేస్తుంది లేదా ఏదైనా ఇతర సంఘటన జరుగుతుంది. చ్యూట్స్ & ల్యాడర్స్ లేదా ఎ గేమ్ ఆఫ్ లైఫ్‌లోని బాణం బోర్డులా కాకుండా, న్యూక్లియర్ వార్‌లో గేమ్ బోర్డ్ ఫలితాలు అసమానంగా ఉంటాయి. మైదానంలోని కొన్ని విభాగాలు పెద్దవిగా ఉంటాయి మరియు వాటిపై బాణం చాలా తరచుగా ఆగిపోతుంది, ఇతర విభాగాలు చాలా చిన్నవిగా ఉంటాయి మరియు బాణం వాటిపై చాలా అరుదుగా ఆగుతుంది.

కాబట్టి, మొదటి చూపులో, డై ఇలా కనిపిస్తుంది: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - మేము ఇప్పటికే దాని గురించి మాట్లాడాము, ఇది బరువున్న 1d3 లాంటిది. అందువల్ల, మేము ఈ విభాగాలన్నింటినీ సమాన భాగాలుగా విభజించి, కొలత యొక్క చిన్న యూనిట్‌ను కనుగొనాలి, దాని యొక్క డివైజర్ ప్రతిదీ బహుళంగా ఉంటుంది, ఆపై పరిస్థితిని d522 (లేదా కొన్ని) రూపంలో సూచిస్తుంది, ఇక్కడ పాచికల సమితి ముఖాలు అదే పరిస్థితిని సూచిస్తాయి, ముక్కు పెద్ద మొత్తంఫలితాలను. సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఇది ఒక మార్గం, మరియు ఇది సాంకేతికంగా సాధ్యమవుతుంది, కానీ సరళమైన ఎంపిక ఉంది.

మన ప్రామాణిక ఆరు-వైపుల పాచికలకు తిరిగి వెళ్దాం. సాధారణ డై కోసం సగటు రోల్‌ను లెక్కించడానికి మీరు అన్ని ముఖాల్లోని విలువలను జోడించి, ముఖాల సంఖ్యతో విభజించాలని మేము చెప్పాము, అయితే గణన సరిగ్గా ఎలా పని చేస్తుంది? దీన్ని వ్యక్తీకరించడానికి మరొక మార్గం ఉంది. ఆరు-వైపుల డై కోసం, ప్రతి వైపు రోల్ చేయబడే సంభావ్యత ఖచ్చితంగా 1/6. ఇప్పుడు మేము ప్రతి అంచు యొక్క ఫలితాన్ని ఆ ఫలితం యొక్క సంభావ్యతతో గుణిస్తాము (ఈ సందర్భంలో, ప్రతి అంచుకు 1/6), ఆపై ఫలిత విలువలను జోడించండి. అందువలన, సంగ్రహించడం (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), మేము పైన గణనలో అదే ఫలితం (3.5) పొందుతాము. వాస్తవానికి, మేము ప్రతిసారీ ఈ విధంగా గణిస్తాము: మేము ప్రతి ఫలితాన్ని ఆ ఫలితం యొక్క సంభావ్యతతో గుణిస్తాము.

న్యూక్లియర్ వార్‌లో ప్లే ఫీల్డ్‌పై బాణం కోసం మనం అదే లెక్కను చేయగలమా? అయితే మనం చేయగలం. మరియు మేము కనుగొన్న అన్ని ఫలితాలను సంగ్రహిస్తే, మేము సగటు విలువను పొందుతాము. మనం చేయాల్సిందల్లా గేమ్ బోర్డ్‌లోని బాణం కోసం ప్రతి ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడం మరియు ఫలిత విలువతో గుణించడం.

మరొక ఉదాహరణ

ఫలితాలు సమానంగా ఉన్నప్పటికీ విభిన్న ప్రయోజనాలను కలిగి ఉంటే సగటును లెక్కించే ఈ పద్ధతి కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది - ఉదాహరణకు, మీరు డైని రోల్ చేసి కొన్ని వైపులా ఇతరుల కంటే ఎక్కువగా గెలిస్తే. ఉదాహరణకు, ఒక కాసినో గేమ్ తీసుకుందాం: మీరు పందెం వేసి 2d6ని చుట్టండి. మూడు సంఖ్యలు చుట్టబడి ఉంటే అత్యల్ప విలువ(2, 3, 4) లేదా నాలుగు అధిక విలువ సంఖ్యలు (9, 10, 11, 12) - మీరు మీ పందెంతో సమానమైన మొత్తాన్ని గెలుచుకుంటారు. అత్యల్ప మరియు అత్యధిక విలువలు కలిగిన సంఖ్యలు ప్రత్యేకమైనవి: మీరు 2 లేదా 12ని రోల్ చేస్తే, మీరు మీ పందెం రెండింతలు గెలుస్తారు. ఏదైనా ఇతర సంఖ్య రోల్ చేయబడితే (5, 6, 7, 8), మీరు మీ పందెం కోల్పోతారు. అందంగా ఉంది సాధారణ గేమ్. కానీ గెలిచే సంభావ్యత ఏమిటి?

మీరు ఎన్నిసార్లు గెలుస్తారో లెక్కించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. 2d6ని రోలింగ్ చేసినప్పుడు గరిష్ట ఫలితాల సంఖ్య 36. అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య ఎంత?

• 2 రోల్ చేయబడే 1 ఎంపిక మరియు 12 రోల్ చేయబడే 1 ఎంపిక ఉంది.
• 3 రోల్ చేసే 2 ఎంపికలు మరియు 11 రోల్ చేసే 2 ఎంపికలు ఉన్నాయి.
• 4 రోల్ చేసే 3 ఎంపికలు మరియు 10 రోల్ చేసే 3 ఎంపికలు ఉన్నాయి.
• 9ని రోలింగ్ చేయడానికి 4 ఎంపికలు ఉన్నాయి.

అన్ని ఎంపికలను సంగ్రహించి, మేము 36 నుండి 16 అనుకూలమైన ఫలితాలను పొందుతాము. అందువలన, సాధారణ పరిస్థితుల్లో, మీరు సాధ్యమయ్యే 36లో 16 సార్లు గెలుస్తారు - గెలిచే సంభావ్యత 50% కంటే కొంచెం తక్కువగా ఉంటుంది.

కానీ ఈ పదహారులో రెండు సందర్భాల్లో మీరు రెండింతలు గెలుస్తారు - ఇది రెండుసార్లు గెలిచినట్లే. మీరు ఈ గేమ్‌ని 36 సార్లు ఆడితే, ప్రతిసారీ $1 బెట్టింగ్ చేసి, సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాలు ఒకసారి వచ్చినట్లయితే, మీరు మొత్తం $18 గెలుచుకుంటారు (వాస్తవానికి మీరు 16 సార్లు గెలుస్తారు, కానీ వాటిలో రెండు రెండు విజయాలుగా పరిగణించబడతాయి). మీరు 36 సార్లు ఆడి $18 గెలిస్తే, అసమానతలు సమానంగా ఉన్నాయని అర్థం కాదా?

మీకు కావలిసినంత సమయం తీసుకోండి. మీరు ఎన్నిసార్లు ఓడిపోగలరో లెక్కించినట్లయితే, మీరు 18 సార్లు కాకుండా 20తో ముగుస్తుంది. మీరు 36 సార్లు ఆడితే, ప్రతిసారీ $1 బెట్టింగ్ చేస్తే, మీరు గెలుస్తారు. మొత్తం మొత్తంఅన్ని అనుకూల ఫలితాలు వస్తే $18. మీరు మొత్తం 20 అననుకూల ఫలితాలను పొందినట్లయితే మీరు మొత్తం $20ని కోల్పోతారు. ఫలితంగా, మీరు కొంచెం వెనుకబడి ఉంటారు: మీరు ప్రతి 36 గేమ్‌లకు సగటున $2 నికరాన్ని కోల్పోతారు (మీరు రోజుకు సగటున 1/18 డాలర్‌ను కోల్పోతారని కూడా చెప్పవచ్చు). ఈ సందర్భంలో పొరపాటు చేయడం మరియు సంభావ్యతను తప్పుగా లెక్కించడం ఎంత సులభమో ఇప్పుడు మీరు చూస్తారు.

పునర్వ్యవస్థీకరణ

పాచికలు విసిరేటప్పుడు సంఖ్యల క్రమం పట్టింపు లేదని మేము ఇప్పటివరకు భావించాము. రోలింగ్ 2 + 4 రోలింగ్ 4 + 2 వలె ఉంటుంది. చాలా సందర్భాలలో, మేము అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్యను మాన్యువల్‌గా లెక్కిస్తాము, కానీ కొన్నిసార్లు ఈ పద్ధతిఅసాధ్యమైనది మరియు గణిత సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మంచిది.

ఈ పరిస్థితికి ఉదాహరణ ఫార్కిల్ డైస్ గేమ్. ప్రతి కొత్త రౌండ్ కోసం, మీరు 6d6 రోల్ చేయండి. మీరు అదృష్టవంతులైతే మరియు వాటన్నింటినీ పొందండి సాధ్యం ఫలితాలు 1-2-3-4-5-6 (నేరుగా), మీరు పెద్ద బోనస్ అందుకుంటారు. ఇది జరిగే అవకాశం ఏమిటి? ఈ సందర్భంలో, ఈ కలయిక పొందడానికి అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి.

పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంది: పాచికలలో ఒకటి (మరియు ఒకటి మాత్రమే) తప్పనిసరిగా సంఖ్య 1ని కలిగి ఉండాలి. ఒక పాచికపై సంఖ్య 1 ఎన్ని రకాలుగా కనిపిస్తుంది? 6 ఎంపికలు ఉన్నాయి, ఎందుకంటే 6 పాచికలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో ఏదైనా సంఖ్య 1 మీద పడవచ్చు. దాని ప్రకారం, ఒక పాచికను తీసుకొని పక్కన పెట్టండి. ఇప్పుడు మిగిలిన పాచికలలో ఒకటి సంఖ్య 2ను చుట్టాలి. దీని కోసం 5 ఎంపికలు ఉన్నాయి. మరొక పాచికలు తీసుకొని పక్కన పెట్టండి. అప్పుడు మిగిలిన పాచికలలో 4 3, 3 మిగిలిన పాచికలు 4, మరియు 2 మిగిలిన పాచికలు 5 ల్యాండింగ్ కావచ్చు. ఇది మీకు ఒక డైస్‌ను వదిలివేస్తుంది, అది 6 (లో తరువాతి కేసుఒకే ఒక డై ఉంది, మరియు ఎంపిక లేదు).

స్ట్రెయిట్‌గా కొట్టడం కోసం అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్యను లెక్కించేందుకు, మేము అన్ని విభిన్న స్వతంత్ర అవకాశాలను గుణిస్తాము: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - ఈ కలయిక రావడానికి చాలా పెద్ద సంఖ్యలో అవకాశాలు ఉన్నట్లు తెలుస్తోంది. .

నేరుగా పొందే సంభావ్యతను గణించడానికి, రోలింగ్ 6d6 కోసం సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల సంఖ్యతో మనం 720ని విభజించాలి. సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల సంఖ్య ఎంత? ప్రతి డై 6 వైపులా ఉంటుంది, కాబట్టి మేము 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (మునుపటి కంటే చాలా పెద్ద సంఖ్య) గుణించాలి. 720ని 46656తో భాగించండి మరియు మేము దాదాపు 1.5% సంభావ్యతను పొందుతాము. మీరు ఈ గేమ్‌ను రూపొందిస్తున్నట్లయితే, మీరు దీన్ని తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, తద్వారా మీరు తదనుగుణంగా స్కోరింగ్ సిస్టమ్‌ను సృష్టించవచ్చు. ఫార్కిల్‌లో మీరు స్ట్రెయిట్‌గా ఉంటే మీకు ఇంత పెద్ద బోనస్ ఎందుకు లభిస్తుందో ఇప్పుడు మేము అర్థం చేసుకున్నాము: ఇది చాలా అరుదైన పరిస్థితి.

ఫలితం మరొక కారణం కూడా ఆసక్తికరంగా ఉంది. సంభావ్యతకు అనుగుణంగా ఒక ఫలితం తక్కువ వ్యవధిలో ఎంత అరుదుగా సంభవిస్తుందో ఉదాహరణ చూపిస్తుంది. అయితే, మేము అనేక వేల పాచికలు విసిరితే, వివిధ ముఖాలుపాచికలు చాలా తరచుగా వస్తాయి. కానీ మనం ఆరు పాచికలు మాత్రమే విసిరినప్పుడు, ప్రతి ముఖం పైకి రావడం దాదాపు ఎప్పుడూ జరగదు. "మేము చాలా కాలంగా 6 వ సంఖ్యను చుట్టలేదు" కాబట్టి, ఇంకా జరగని లైన్ ఇప్పుడు కనిపిస్తుందని ఆశించడం తెలివితక్కువదని స్పష్టమవుతుంది. వినండి, మీ యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్ విచ్ఛిన్నమైంది.

ఇది తక్కువ వ్యవధిలో అన్ని ఫలితాలు ఒకే పౌనఃపున్యంలో సంభవిస్తాయనే సాధారణ దురభిప్రాయానికి దారి తీస్తుంది. మనం చాలా సార్లు పాచికలు విసిరితే, ప్రతి వైపు పడే ఫ్రీక్వెన్సీ ఒకేలా ఉండదు.

మీరు ఇంతకు ముందు ఏదో ఒక రకమైన యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్‌తో ఆన్‌లైన్ గేమ్‌లో పని చేసి ఉంటే, యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్ యాదృచ్ఛిక సంఖ్యలను చూపడం లేదని ఫిర్యాదు చేస్తూ ప్లేయర్ సాంకేతిక మద్దతుకు వ్రాసే పరిస్థితిని మీరు ఎక్కువగా ఎదుర్కొన్నారు. అతను ఈ నిర్ణయానికి వచ్చాడు ఎందుకంటే అతను వరుసగా 4 రాక్షసులను చంపాడు మరియు 4 సరిగ్గా అదే రివార్డులను అందుకున్నాడు మరియు ఈ రివార్డులు 10% సమయం మాత్రమే కనిపిస్తాయి, కాబట్టి ఇది దాదాపు ఎప్పుడూ జరగకూడదు.

మీరు గణిత గణన చేస్తున్నారు. సంభావ్యత 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, అంటే 10 వేలలో 1 ఫలితం చాలా ఎక్కువ అరుదైన కేసు. ప్లేయర్ మీకు చెప్పడానికి ప్రయత్నిస్తున్నది ఇదే. ఈ సందర్భంలో ఏదైనా సమస్య ఉందా?

ఇది అన్ని పరిస్థితులపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మీ సర్వర్‌లో ప్రస్తుతం ఎంత మంది ఆటగాళ్లు ఉన్నారు? మీకు చాలా జనాదరణ పొందిన గేమ్ ఉందని మరియు ప్రతిరోజూ 100 వేల మంది వ్యక్తులు దీన్ని ఆడుతున్నారని అనుకుందాం. ఎంత మంది ఆటగాళ్ళు వరుసగా నాలుగు రాక్షసులను చంపగలరు? బహుశా అన్ని, అనేక సార్లు ఒక రోజు, కానీ వాటిలో సగం కేవలం మార్పిడి అని అనుకుందాం వివిధ వస్తువులువేలంలో, RP సర్వర్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది లేదా ఇతర గేమ్ చర్యలను నిర్వహిస్తుంది - అందువలన, వాటిలో సగం మాత్రమే రాక్షసులను వేటాడతాయి. ఎవరైనా అదే బహుమతిని పొందే సంభావ్యత ఎంత? ఈ పరిస్థితిలో, ఇది రోజుకు కనీసం అనేక సార్లు జరుగుతుందని మీరు ఆశించవచ్చు.

మార్గం ద్వారా, ప్రతి కొన్ని వారాలకు ఎవరైనా లాటరీని గెలుపొందినట్లు అనిపిస్తుంది, అది మీరు లేదా మీకు తెలిసిన వారు ఎవరూ కానప్పటికీ. తగినంత మంది వ్యక్తులు క్రమం తప్పకుండా ఆడితే, ఎక్కడైనా కనీసం ఒక అదృష్ట ఆటగాడు ఉండే అవకాశం ఉంది. మీరు లాటరీని మీరే ఆడితే, మీరు గెలిచే అవకాశం లేదు, కానీ మీరు ఇన్ఫినిటీ వార్డ్‌లో పని చేయడానికి ఆహ్వానించబడతారు.

కార్డులు మరియు వ్యసనం

మేము డై విసరడం వంటి స్వతంత్ర సంఘటనలను చర్చించాము మరియు ఇప్పుడు మాకు చాలా తెలుసు శక్తివంతమైన సాధనాలుఅనేక ఆటలలో యాదృచ్ఛికత యొక్క విశ్లేషణ. డెక్ నుండి కార్డ్‌లను గీయడం విషయానికి వస్తే సంభావ్యతను లెక్కించడం కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మనం గీసే ప్రతి కార్డు డెక్‌లో మిగిలి ఉన్న వాటిని ప్రభావితం చేస్తుంది.

మీరు ప్రామాణిక 52-కార్డ్ డెక్‌ని కలిగి ఉన్నట్లయితే, మీరు దాని నుండి 10 హృదయాలను తీసివేసి, తదుపరి కార్డ్ అదే సూట్‌గా ఉండే సంభావ్యతను తెలుసుకోవాలనుకుంటే - మీరు ఇప్పటికే సూట్‌లోని ఒక కార్డ్‌ని తీసివేసినందున సంభావ్యత అసలైన దాని నుండి మార్చబడింది. డెక్ నుండి హృదయాల. మీరు తీసివేసిన ప్రతి కార్డ్ డెక్‌లో కనిపించే తదుపరి కార్డ్ సంభావ్యతను మారుస్తుంది. ఈ విషయంలో మునుపటి సంఘటనకింది వాటిని ప్రభావితం చేస్తుంది, కాబట్టి మేము దీనిని సంభావ్యత డిపెండెంట్ అని పిలుస్తాము.

దయచేసి నేను "కార్డ్‌లు" అని చెప్పినప్పుడు నేను ఏదైనా గేమ్ మెకానిక్ గురించి మాట్లాడుతున్నాను, అక్కడ మీరు ఆబ్జెక్ట్‌ల సెట్‌ను కలిగి ఉన్నారని మరియు మీరు దానిని భర్తీ చేయకుండా ఆబ్జెక్ట్‌లలో ఒకదాన్ని తీసివేసారని దయచేసి గమనించండి. ఈ సందర్భంలో “డెక్ ఆఫ్ కార్డ్స్” మీరు ఒక చిప్ తీసుకునే చిప్‌ల బ్యాగ్‌కి లేదా రంగు బంతులను తీసిన ఒక పాత్రకు సారూప్యంగా ఉంటుంది (రంగు బంతులను తీసిన పాత్రతో ఆటలను నేను ఎప్పుడూ చూడలేదు, కానీ ఉపాధ్యాయులు సంభావ్యత సిద్ధాంతం దేని ప్రకారం - ఈ ఉదాహరణకి ఎందుకు ప్రాధాన్యత ఇవ్వబడింది).

డిపెండెన్సీ ప్రాపర్టీస్

ఎప్పుడనేది నేను స్పష్టం చేయాలనుకుంటున్నాను మేము మాట్లాడుతున్నాముకార్డ్‌ల గురించి, మీరు కార్డులను తీసివేసి, వాటిని చూసి, వాటిని డెక్ నుండి తీసివేస్తారని నేను ఊహిస్తున్నాను. ఈ చర్యలలో ప్రతి ఒక్కటి ముఖ్యమైన ఆస్తి. నా దగ్గర 1 నుండి 6 సంఖ్యలు ఉన్న ఆరు కార్డ్‌ల డెక్ ఉంటే, నేను వాటిని షఫుల్ చేసి ఒక కార్డ్ గీస్తాను, ఆపై మొత్తం ఆరు కార్డులను మళ్లీ షఫుల్ చేస్తాను - ఇది ఆరు వైపుల డైని విసిరినట్లుగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఒక ఫలితం తదుపరి వాటిపై ప్రభావం ఉండదు. మరియు నేను కార్డ్‌లను తీసివేసి, వాటిని భర్తీ చేయకుంటే, కార్డ్ 1ని తీసివేయడం ద్వారా, నేను తదుపరిసారి 6 నంబర్‌తో కార్డ్‌ని డ్రా చేసే అవకాశాన్ని పెంచుతాను. నేను ఆ కార్డ్‌ని తొలగించే వరకు సంభావ్యత పెరుగుతుంది లేదా డెక్ షఫుల్.

మేము కార్డులను చూస్తున్నాము అనే వాస్తవం కూడా ముఖ్యమైనది. డెక్‌లోంచి కార్డు తీసి చూడకపోతే నా దగ్గర ఉండదు అదనపు సమాచారంమరియు వాస్తవానికి సంభావ్యత మారదు. ఇది ప్రతికూలంగా అనిపించవచ్చు. కార్డును ఎలా సులభంగా తిప్పవచ్చు అద్భుతంగాసంభావ్యతను మార్చాలా? కానీ మీకు తెలిసిన వాటి నుండి తెలియని వస్తువుల సంభావ్యతను మీరు లెక్కించవచ్చు కాబట్టి ఇది సాధ్యమవుతుంది.

ఉదాహరణకు, మీరు ఒక ప్రామాణిక డెక్ కార్డ్‌లను షఫుల్ చేసి, 51 కార్డ్‌లను బహిర్గతం చేస్తే మరియు వాటిలో ఏవీ క్లబ్‌ల రాణి కానట్లయితే, మిగిలిన కార్డ్ క్లబ్‌ల రాణి అని మీరు 100% ఖచ్చితంగా చెప్పవచ్చు. మీరు ఒక ప్రామాణిక డెక్ కార్డ్‌లను షఫుల్ చేసి, వాటిని చూడకుండా 51 కార్డ్‌లను తీసివేస్తే, మిగిలిన కార్డ్ క్లబ్‌ల క్వీన్‌గా ఉండే సంభావ్యత ఇప్పటికీ 1/52. మీరు ప్రతి కార్డును తెరిచినప్పుడు, మీరు మరింత సమాచారాన్ని పొందుతారు.

డిపెండెంట్ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతను గణించడం అనేది స్వతంత్ర ఈవెంట్‌ల మాదిరిగానే అదే సూత్రాలను అనుసరిస్తుంది, ఇది కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మీరు కార్డ్‌లను వెల్లడించినప్పుడు సంభావ్యత మారుతుంది. కాబట్టి మీరు చాలా గుణించాలి వివిధ అర్థాలు, అదే విలువను గుణించే బదులు. దీని అర్థం ఏమిటంటే, మనం చేసిన అన్ని లెక్కలను ఒక కలయికగా కలపాలి.

ఉదాహరణ

మీరు ప్రామాణిక 52-కార్డ్ డెక్‌ని షఫుల్ చేసి, రెండు కార్డ్‌లను గీయండి. మీరు ఒక జత గీసే సంభావ్యత ఏమిటి? ఈ సంభావ్యతను లెక్కించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి, కానీ బహుశా ఇది చాలా సరళమైనది: మీరు ఒక కార్డును గీసినట్లయితే, మీరు ఒక జతను గీయలేరు అనే సంభావ్యత ఏమిటి? ఈ సంభావ్యత సున్నా, కాబట్టి మీరు రెండవ కార్డుతో సరిపోలినంత వరకు మీరు ఏ మొదటి కార్డ్‌ని డ్రా చేసినా పర్వాలేదు. మనం మొదట ఏ కార్డు గీస్తామో అది పట్టింపు లేదు, మనకు ఇంకా ఒక జతను గీయడానికి అవకాశం ఉంది. అందువల్ల, మొదటి కార్డు డ్రా అయిన తర్వాత ఒక జతను గీయడానికి సంభావ్యత 100%.

రెండవ కార్డ్ మొదటి కార్డుతో సరిపోయే సంభావ్యత ఎంత? డెక్‌లో 51 కార్డ్‌లు మిగిలి ఉన్నాయి మరియు వాటిలో 3 మొదటి కార్డ్‌తో సరిపోలాయి (వాస్తవానికి 52లో 4 ఉంటుంది, కానీ మీరు మొదటి కార్డ్‌ను గీసినప్పుడు సరిపోలే కార్డ్‌లలో ఒకదాన్ని ఇప్పటికే తీసివేసారు), కాబట్టి సంభావ్యత 1/ 17. కాబట్టి మీరు తదుపరిసారి టెక్సాస్ హోల్డెమ్‌ని ఆడుతున్నప్పుడు, మీ నుండి టేబుల్‌కి ఎదురుగా ఉన్న వ్యక్తి ఇలా అన్నాడు, “కూల్, మరొక జత? ఈ రోజు నేను అదృష్టవంతుడిని, ”అతను బ్లఫ్ చేసే అవకాశం ఎక్కువగా ఉందని మీకు తెలుస్తుంది.

మనం డెక్‌లో 54 కార్డ్‌లను కలిగి ఉన్నందున ఇద్దరు జోకర్‌లను జోడించినట్లయితే మరియు ఒక జత గీయడం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటో తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా? మొదటి కార్డ్ జోకర్ కావచ్చు, ఆపై డెక్‌లో సరిపోలే ఒక కార్డు మాత్రమే ఉంటుంది మరియు మూడు కాదు. ఈ సందర్భంలో సంభావ్యతను ఎలా కనుగొనాలి? మేము సంభావ్యతలను విభజించి, ప్రతి అవకాశాన్ని గుణిస్తాము.

మా మొదటి కార్డ్ జోకర్ లేదా మరేదైనా కార్డ్ కావచ్చు. జోకర్‌ని గీయడానికి సంభావ్యత 2/54, ఇతర కార్డ్‌లను గీయడానికి సంభావ్యత 52/54. మొదటి కార్డ్ జోకర్ (2/54) అయితే, రెండవ కార్డ్ మొదటి కార్డుతో సరిపోలే సంభావ్యత 1/53. మేము విలువలను గుణిస్తాము (అవి వేర్వేరు సంఘటనలు మరియు రెండు సంఘటనలు జరగాలని మేము కోరుకుంటున్నాము కాబట్టి మేము వాటిని గుణించవచ్చు) మరియు మనకు 1/1431 - శాతంలో పదో వంతు కంటే తక్కువ.

మీరు ముందుగా వేరే కార్డ్‌ని డ్రా చేస్తే (52/54), రెండవ కార్డ్‌తో సరిపోలే సంభావ్యత 3/53. మేము విలువలను గుణించి 78/1431 (5.5% కంటే కొంచెం ఎక్కువ) పొందుతాము. ఈ రెండు ఫలితాలతో మనం ఏమి చేయాలి? అవి కలుస్తాయి మరియు మేము వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యతను తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాము, కాబట్టి మేము విలువలను జోడిస్తాము. మేము 79/1431 (ఇప్పటికీ దాదాపు 5.5%) యొక్క తుది ఫలితాన్ని పొందుతాము.

మేము సమాధానం యొక్క ఖచ్చితత్వం గురించి ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవాలనుకుంటే, మేము అన్ని ఇతర సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు: జోకర్‌ని గీయడం మరియు రెండవ కార్డ్‌తో సరిపోలడం లేదా మరొక కార్డ్‌ని గీయడం మరియు రెండవ కార్డ్‌తో సరిపోలకపోవడం. ఈ సంభావ్యతలను మరియు గెలిచే సంభావ్యతను సంగ్రహించడం ద్వారా, మేము ఖచ్చితంగా 100% పొందుతాము. నేను ఇక్కడ గణితాన్ని ఇవ్వను, కానీ మీరు గణితాన్ని రెండుసార్లు తనిఖీ చేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు.

మాంటీ హాల్ పారడాక్స్

ఇది చాలా మంది వ్యక్తులను తరచుగా గందరగోళానికి గురిచేసే ప్రసిద్ధ పారడాక్స్‌కు మమ్మల్ని తీసుకువస్తుంది - మాంటి హాల్ పారడాక్స్. లెట్స్ మేక్ ఎ డీల్ అనే టీవీ షో హోస్ట్ పేరు మీదనే ఈ పారడాక్స్ పేరు పెట్టబడింది.ఈ టీవీ షోని ఎప్పుడూ చూడని వారికి ఇది ది ప్రైస్ ఈజ్ రైట్‌కి వ్యతిరేకం.

ప్రైస్ ఈజ్ రైట్‌లో, హోస్ట్ (బాబ్ బార్కర్ హోస్ట్; ఇప్పుడు డ్రూ కేరీ ఎవరు? పర్వాలేదు) మీ స్నేహితుడు. మీరు డబ్బు లేదా మంచి బహుమతులు గెలవాలని అతను కోరుకుంటున్నాడు. స్పాన్సర్‌లు కొనుగోలు చేసిన వస్తువులు వాస్తవంగా ఎంత విలువైనవిగా ఉంటాయో మీరు ఊహించగలిగినంత వరకు, గెలవడానికి మీకు ప్రతి అవకాశాన్ని అందించడానికి ఇది ప్రయత్నిస్తుంది.

మాంటీ హాల్ భిన్నంగా ప్రవర్తించాడు. అతను బాబ్ బార్కర్ యొక్క దుష్ట జంట లాంటివాడు. జాతీయ టెలివిజన్‌లో మిమ్మల్ని ఇడియట్‌గా చూపించడమే అతని లక్ష్యం. మీరు ప్రదర్శనలో ఉన్నట్లయితే, అతను మీ ప్రత్యర్థి, మీరు అతనికి వ్యతిరేకంగా ఆడారు మరియు అసమానతలు అతనికి అనుకూలంగా ఉన్నాయి. బహుశా నేను చాలా కఠినంగా ప్రవర్తిస్తున్నాను, కానీ మీరు హాస్యాస్పదమైన దుస్తులు ధరిస్తే మీరు పాల్గొనే అవకాశం ఉందని ప్రదర్శనను చూస్తుంటే, నేను సరిగ్గా అదే అర్థం చేసుకున్నాను.

ప్రదర్శన యొక్క అత్యంత ప్రసిద్ధ మీమ్‌లలో ఇది ఒకటి: మీ ముందు మూడు తలుపులు ఉన్నాయి, డోర్ నంబర్ 1, డోర్ నంబర్ 2 మరియు డోర్ నంబర్ 3. మీరు ఒక డోర్‌ను ఉచితంగా ఎంచుకోవచ్చు. వాటిలో ఒకదాని వెనుక అద్భుతమైన బహుమతి ఉంది - ఉదాహరణకు, కొత్త కారు. మిగిలిన రెండు తలుపుల వెనుక బహుమతులు లేవు, రెండింటికీ విలువ లేదు. వారు మిమ్మల్ని అవమానించవలసి ఉంటుంది, కాబట్టి వారి వెనుక ఏమీ లేదు, కానీ ఏదో తెలివితక్కువది, ఉదాహరణకు, ఒక మేక లేదా టూత్‌పేస్ట్ యొక్క భారీ ట్యూబ్ - ఏదైనా కానీ కొత్త కారు.

మీరు డోర్‌లలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోండి, మీరు గెలిచారో లేదో తెలియజేయడానికి మోంటీ దాన్ని తెరవబోతున్నారు... అయితే వేచి ఉండండి. మేము కనుగొనే ముందు, మీరు ఎంచుకోని తలుపులలో ఒకదానిని చూద్దాం. బహుమతి ఏ తలుపు వెనుక ఉందో మోంటీకి తెలుసు మరియు బహుమతి లేని తలుపును అతను ఎల్లప్పుడూ తెరవగలడు. “మీరు డోర్ నంబర్ 3ని ఎంచుకుంటున్నారా? దాని వెనుక బహుమతి లేదని చూపించడానికి డోర్ నంబర్ 1 తెరవండి." ఇప్పుడు, దాతృత్వంతో, అతను ఎంచుకున్న డోర్ నంబర్ 3ని డోర్ నంబర్ 2 వెనుక ఉన్న దాని కోసం మార్పిడి చేసుకునే అవకాశాన్ని మీకు అందిస్తున్నాడు.

ఈ సమయంలో, సంభావ్యత యొక్క ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఈ అవకాశం మీ గెలుపు సంభావ్యతను పెంచుతుందా లేదా తగ్గిస్తుందా లేదా అది మారకుండా ఉందా? నువ్వు ఎలా ఆలోచిస్తావు?

సరైన సమాధానం: మరొక తలుపును ఎంచుకునే సామర్థ్యం 1/3 నుండి 2/3 వరకు గెలిచే సంభావ్యతను పెంచుతుంది. ఇది అశాస్త్రీయం. మీరు ఇంతకు ముందు ఈ పారడాక్స్‌ని ఎదుర్కోకపోతే, చాలా మటుకు మీరు ఆలోచిస్తున్నారు: వేచి ఉండండి, ఒక తలుపు తెరవడం ద్వారా మేము అద్భుతంగా సంభావ్యతను ఎలా మార్చాము? మేము ఇప్పటికే మ్యాప్‌లతో చూసినట్లుగా, మేము మరింత సమాచారాన్ని పొందినప్పుడు ఇది ఖచ్చితంగా జరుగుతుంది. సహజంగానే, మీరు మొదటిసారి ఎంచుకున్నప్పుడు, గెలిచే సంభావ్యత 1/3. ఒక తలుపు తెరిచినప్పుడు, అది మొదటి ఎంపిక కోసం గెలిచే సంభావ్యతను మార్చదు: సంభావ్యత ఇప్పటికీ 1/3. కానీ ఇతర తలుపు సరైనది అనే సంభావ్యత ఇప్పుడు 2/3.

ఈ ఉదాహరణను వేరే కోణం నుండి చూద్దాం. మీరు ఒక తలుపు ఎంచుకోండి. గెలిచే సంభావ్యత 1/3. మోంటీ హాల్ చేసే ఇతర రెండు తలుపులను మార్చమని నేను మీకు సూచిస్తున్నాను. ఖచ్చితంగా, అతను దాని వెనుక బహుమతి లేదని వెల్లడించడానికి తలుపులలో ఒకదాన్ని తెరుస్తాడు, కానీ అతను ఎల్లప్పుడూ అలా చేయగలడు, కాబట్టి ఇది నిజంగా దేనినీ మార్చదు. వాస్తవానికి, మీరు వేరే తలుపును ఎంచుకోవాలి.

మీకు ప్రశ్న సరిగ్గా అర్థం కాకపోతే మరియు మరింత నమ్మదగిన వివరణ అవసరమైతే, ఈ పారడాక్స్‌ను మరింత వివరంగా అన్వేషించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే గొప్ప చిన్న ఫ్లాష్ అప్లికేషన్‌కు తీసుకెళ్లడానికి ఈ లింక్‌పై క్లిక్ చేయండి. మీరు దాదాపు 10 డోర్‌లతో ప్రారంభించి, ఆపై క్రమంగా మూడు డోర్‌లతో గేమ్‌కు వెళ్లవచ్చు. మీరు 3 నుండి 50 వరకు ఎన్ని డోర్‌లతోనైనా ఆడగల సిమ్యులేటర్ కూడా ఉంది, లేదా అనేక వేల అనుకరణలను అమలు చేయండి మరియు మీరు ఆడితే మీరు ఎన్నిసార్లు గెలుస్తారో చూడండి.

మూడు తలుపులలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోండి - గెలిచే సంభావ్యత 1/3. ఇప్పుడు మీకు రెండు వ్యూహాలు ఉన్నాయి: తప్పు తలుపు తెరిచిన తర్వాత మీ ఎంపికను మార్చుకోండి లేదా. మీరు మీ ఎంపికను మార్చకపోతే, సంభావ్యత 1/3గా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఎంపిక మొదటి దశలో మాత్రమే జరుగుతుంది మరియు మీరు వెంటనే ఊహించాలి. మీరు మారినట్లయితే, మీరు మొదట తప్పు తలుపును ఎంచుకుంటే మీరు గెలవవచ్చు (అప్పుడు వారు మరొక తప్పును తెరుస్తారు, సరైనది మిగిలి ఉంటుంది - మీ నిర్ణయాన్ని మార్చడం ద్వారా, మీరు దానిని తీసుకుంటారు). ప్రారంభంలో తప్పు తలుపును ఎంచుకునే సంభావ్యత 2/3 - కాబట్టి మీ నిర్ణయాన్ని మార్చడం ద్వారా, మీరు గెలిచే సంభావ్యతను రెట్టింపు చేస్తారని తేలింది.

గురువు నుండి వ్యాఖ్య ఉన్నత గణితంమరియు గేమ్ బ్యాలెన్స్ స్పెషలిస్ట్ మాగ్జిమ్ సోల్డాటోవ్ - ష్రీబెర్, వాస్తవానికి, ఆమె లేదు, కానీ ఆమె లేకుండా మీరు దీన్ని అర్థం చేసుకోవచ్చు మాయా పరివర్తనతగినంత కష్టం

మరియు మళ్ళీ మాంటీ హాల్ పారడాక్స్ గురించి

ప్రదర్శన విషయానికొస్తే: మాంటీ హాల్ యొక్క ప్రత్యర్థులు గణితంలో నిష్ణాతులు కాకపోయినా, అతను దానిలో మంచివాడు. గేమ్‌ను కొద్దిగా మార్చడానికి అతను చేసిన పని ఇక్కడ ఉంది. మీరు దాని వెనుక బహుమతిని కలిగి ఉన్న డోర్‌ను ఎంచుకుంటే, అది జరిగే అవకాశం 1/3 ఉంటే, అది ఎల్లప్పుడూ మరొక తలుపును ఎంచుకునే ఎంపికను మీకు అందిస్తుంది. మీరు కారును ఎంచుకుని, దానిని మేక కోసం మార్చుకుంటారు మరియు మీరు చాలా తెలివితక్కువ వ్యక్తిగా కనిపిస్తారు - హాల్ ఒక రకమైన దుష్ట వ్యక్తి కాబట్టి మీరు కోరుకునేది ఇదే.

కానీ మీరు దాని వెనుక బహుమతి లేని తలుపును ఎంచుకుంటే, అతను మిమ్మల్ని సగం సమయం మాత్రమే ఎంచుకోమని అడుగుతాడు లేదా అతను మీకు మీ కొత్త మేకను చూపిస్తాడు మరియు మీరు వేదిక నుండి వెళ్లిపోతారు. దీనిని విశ్లేషిద్దాం కొత్త గేమ్, దీనిలో మోంటీ హాల్ మీకు మరొక తలుపును ఎంచుకునే అవకాశాన్ని అందించాలా వద్దా అని నిర్ణయించుకోవచ్చు.

అతను ఈ అల్గోరిథంను అనుసరించాడని అనుకుందాం: మీరు బహుమతితో తలుపును ఎంచుకుంటే, అతను ఎల్లప్పుడూ మీకు మరొక తలుపును ఎంచుకునే అవకాశాన్ని అందిస్తాడు, లేకుంటే అతను మరొక తలుపును ఎంచుకోవడానికి లేదా మీకు మేకను ఇవ్వడానికి మీకు సమానంగా అవకాశం ఉంది. మీ గెలుపు సంభావ్యత ఎంత?

ఒకదానిలో మూడు ఎంపికలుమీరు వెంటనే బహుమతి ఉన్న తలుపును ఎంచుకుంటారు మరియు ప్రెజెంటర్ మరొకదాన్ని ఎంచుకోమని మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తారు.

మూడింటిలో మిగిలిన రెండు ఎంపికలలో (మీరు మొదట్లో బహుమతి లేకుండా తలుపును ఎంచుకుంటారు), సగం సందర్భాలలో ప్రెజెంటర్ మీ నిర్ణయాన్ని మార్చమని మీకు అందిస్తారు మరియు మిగిలిన సగం కేసులలో - కాదు.

2/3లో సగం 1/3, అంటే మూడింటిలో ఒక సందర్భంలో మీరు మేకను పొందుతారు, మూడింటిలో ఒక సందర్భంలో మీరు తప్పు తలుపును ఎంచుకుంటారు మరియు హోస్ట్ మిమ్మల్ని మరొకదాన్ని ఎంచుకోమని అడుగుతుంది, మరియు ఒకదానిలో మూడింటిలో మీరు సరైన తలుపును ఎంచుకుంటారు, కానీ అతను మళ్లీ మరొకదాన్ని అందిస్తాడు.

ప్రెజెంటర్ మరొక తలుపును ఎంచుకోవడానికి ఆఫర్ చేస్తే, అతను మాకు మేకను ఇచ్చినప్పుడు మరియు మేము బయలుదేరినప్పుడు మూడింటిలో ఒక కేసు జరగలేదని మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ సహాయక సమాచారం: అంటే మన గెలుపు అవకాశాలు మారిపోయాయి. మనకు ఎంచుకునే అవకాశం ఉన్నప్పుడు మూడింటిలో రెండు సందర్భాలు: ఒక సందర్భంలో మనం సరిగ్గా ఊహించినట్లు, మరియు మరొకటి మనం తప్పుగా ఊహించినట్లు అర్థం, కాబట్టి మనం ఎంచుకునే అవకాశాన్ని అందిస్తే, మన గెలుపు సంభావ్యత 1/2 , మరియు గణిత శాస్త్ర దృక్కోణంలో, మీరు మీ ఎంపికతో ఉండాలా లేదా మరొక తలుపును ఎంచుకున్నా పర్వాలేదు.

పోకర్ లాగా, ఇది ఒక మానసిక గేమ్, గణిత శాస్త్రం కాదు. మాంటీ మీకు ఎంపిక ఎందుకు ఇచ్చారు? మీరు మరొక తలుపును ఎంచుకోవడం “సరైన” నిర్ణయం అని తెలియని సాధారణ వ్యక్తి అని మరియు అతని ఎంపికను మొండిగా పట్టుకుంటారని అతను భావిస్తున్నాడు (అన్నింటికంటే, మానసికంగా పరిస్థితి మరింత క్లిష్టంగా ఉంది, మీరు కారుని ఎంచుకున్నప్పుడు మరియు దానిని పోగొట్టుకున్నప్పుడు)?

లేదా మీరు తెలివైన వారని మరియు మరొక తలుపును ఎంచుకుంటారని నిర్ణయించుకుని, మీరు మొదట సరిగ్గా ఊహించారని మరియు కట్టిపడేశారని అతనికి తెలుసు కాబట్టి అతను మీకు ఈ అవకాశాన్ని ఇస్తారా? లేదా అతను అసాధారణమైన దయతో ఉంటాడు మరియు మీకు ప్రయోజనకరమైన పని చేయమని మిమ్మల్ని నెట్టివేస్తాడు ఎందుకంటే అతను కొంతకాలంగా కార్లు ఇవ్వలేదు మరియు ప్రేక్షకులు విసుగు చెందుతున్నారని మరియు త్వరలో పెద్ద బహుమతిని అందజేయడం మంచిదని నిర్మాతలు అంటున్నారు. రేటింగ్స్ తగ్గుతాయా?

ఈ విధంగా, మోంటీ కొన్నిసార్లు ఎంపికను అందించడానికి మరియు అదే సమయంలో నిర్వహిస్తుంది మొత్తం సంభావ్యతవిజయాలు 1/3కి సమానంగా ఉంటాయి. మీరు పూర్తిగా కోల్పోయే సంభావ్యత 1/3 అని గుర్తుంచుకోండి. మీరు వెంటనే సరిగ్గా ఊహించే అవకాశం 1/3, మరియు అందులో 50% మీరు గెలుస్తారు (1/3 x 1/2 = 1/6).

మీరు మొదట తప్పుగా ఊహించే అవకాశం 1/3 ఉంటుంది, ఆపై మరొక తలుపును ఎంచుకోవడానికి అవకాశం ఉంటుంది మరియు అందులో సగం సార్లు మీరు గెలుస్తారు (1/6 కూడా). రెండు స్వతంత్ర విజయ అవకాశాలను జోడించి, మీరు 1/3 సంభావ్యతను పొందుతారు, కాబట్టి మీరు మీ ఎంపికకు కట్టుబడి ఉన్నా లేదా మరొక తలుపును ఎంచుకున్నా పర్వాలేదు - గేమ్‌లో గెలిచే మీ మొత్తం సంభావ్యత 1/3.

మీరు తలుపును ఊహించినప్పుడు మరియు ప్రెజెంటర్ దాని వెనుక ఉన్నదానిని మరొకదాన్ని ఎంచుకోకుండానే మీకు చూపించినప్పుడు సంభావ్యత పరిస్థితి కంటే ఎక్కువగా ఉండదు. ప్రతిపాదన యొక్క ఉద్దేశ్యం సంభావ్యతను మార్చడం కాదు, కానీ టెలివిజన్‌లో చూడటానికి నిర్ణయం తీసుకునే ప్రక్రియను మరింత సరదాగా చేయడం.

మార్గం ద్వారా, పేకాట చాలా ఆసక్తికరంగా ఉండటానికి ఇది ఒక కారణం: చాలా ఫార్మాట్‌లలో, పందెం వేసినప్పుడు రౌండ్ల మధ్య (ఉదాహరణకు, టెక్సాస్ హోల్డెమ్‌లోని ఫ్లాప్, టర్న్ మరియు రివర్), కార్డ్‌లు క్రమంగా బహిర్గతమవుతాయి మరియు ఆట ప్రారంభంలో మీరు గెలిచే అవకాశం ఉన్నట్లయితే, ప్రతి బెట్టింగ్ రౌండ్ తర్వాత, అది తెరిచినప్పుడు మరిన్ని కార్డులు, ఈ సంభావ్యత మారుతుంది.

అబ్బాయి మరియు అమ్మాయి పారడాక్స్

ఇది మరొక ప్రసిద్ధ పారడాక్స్‌కు మమ్మల్ని తీసుకువస్తుంది, ఇది ఒక నియమం వలె ప్రతి ఒక్కరినీ పజిల్ చేస్తుంది - అబ్బాయి మరియు అమ్మాయి యొక్క పారడాక్స్. నేను ఈరోజు వ్రాస్తున్న ఏకైక విషయం గేమ్‌లకు నేరుగా సంబంధం లేనిది (అయితే నేను తగిన గేమ్ మెకానిక్‌లను రూపొందించడానికి మిమ్మల్ని ప్రోత్సహిస్తానని అనుకుంటున్నాను). ఇది చాలా పజిల్, కానీ ఆసక్తికరమైనది, మరియు దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు పైన మాట్లాడిన షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను అర్థం చేసుకోవాలి.

సమస్య: నాకు ఇద్దరు పిల్లలతో స్నేహితుడు ఉన్నాడు, వారిలో కనీసం ఒక అమ్మాయి. రెండో సంతానం కూడా ఆడపిల్లే అయ్యే సంభావ్యత ఎంత? ఏ కుటుంబంలోనైనా ఒక అమ్మాయి మరియు అబ్బాయిని కలిగి ఉండే అవకాశాలు 50/50 అని అనుకుందాం మరియు ఇది ప్రతి బిడ్డకు వర్తిస్తుంది.

వాస్తవానికి, కొంతమంది పురుషులు వారి స్పెర్మ్‌లో X క్రోమోజోమ్ లేదా Y క్రోమోజోమ్‌తో ఎక్కువ స్పెర్మ్ కలిగి ఉంటారు, కాబట్టి అసమానత కొద్దిగా మారుతుంది. ఒక బిడ్డ ఆడపిల్ల అని మీకు తెలిస్తే, రెండవ అమ్మాయి పుట్టే అవకాశం కొంచెం ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు హెర్మాఫ్రొడిటిజం వంటి ఇతర పరిస్థితులు కూడా ఉన్నాయి. కానీ ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మేము దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకోము మరియు పిల్లల పుట్టుక అని భావించము స్వతంత్ర సంఘటనమరియు ఒక అబ్బాయి మరియు ఒక అమ్మాయి పుట్టుక సమానంగా ఉంటుంది.

మేము 1/2 అవకాశం గురించి మాట్లాడుతున్నాము కాబట్టి, సమాధానం చాలా మటుకు 1/2 లేదా 1/4 లేదా హారంలో రెండిటికి గుణకారంగా ఉండే ఏదైనా ఇతర సంఖ్యగా ఉంటుందని మేము ఊహించాము. కానీ సమాధానం 1/3. ఎందుకు?

ఇక్కడ ఇబ్బంది ఏమిటంటే, మా వద్ద ఉన్న సమాచారం అవకాశాల సంఖ్యను తగ్గిస్తుంది. తల్లిదండ్రులు సెసేమ్ స్ట్రీట్ యొక్క అభిమానులు అనుకుందాం మరియు పిల్లల లింగంతో సంబంధం లేకుండా, వారికి A మరియు B అని పేరు పెట్టారు. సాధారణ పరిస్థితుల్లో, నాలుగు సమాన అవకాశాలు ఉన్నాయి: A మరియు B ఇద్దరు అబ్బాయిలు, A మరియు B ఇద్దరు అమ్మాయిలు, A ఒక అబ్బాయి మరియు B ఒక అమ్మాయి, A ఒక అమ్మాయి మరియు B ఒక అబ్బాయి. కనీసం ఒక బిడ్డ ఆడపిల్ల అని మనకు తెలుసు కాబట్టి, A మరియు B ఇద్దరు మగపిల్లలు అనే అవకాశాన్ని తోసిపుచ్చవచ్చు. ఇది మాకు మూడు అవకాశాలను మిగిల్చింది - ఇప్పటికీ సమానంగా సంభావ్యమైనది. అన్ని అవకాశాలు సమానంగా సంభావ్యంగా ఉంటే మరియు వాటిలో మూడు ఉంటే, అప్పుడు వాటిలో ప్రతి సంభావ్యత 1/3. ఈ మూడు ఎంపికలలో ఒకదానిలో మాత్రమే ఇద్దరు బాల బాలికలు ఉన్నారు, కాబట్టి సమాధానం 1/3.

మరియు మళ్ళీ ఒక అబ్బాయి మరియు ఒక అమ్మాయి యొక్క పారడాక్స్ గురించి

సమస్యకు పరిష్కారం మరింత అశాస్త్రీయంగా మారుతుంది. నా స్నేహితుడికి ఇద్దరు పిల్లలు ఉన్నారని మరియు వారిలో ఒకరు మంగళవారం జన్మించిన అమ్మాయి అని ఊహించుకోండి. సాధారణ పరిస్థితులలో వారానికి ఏడు రోజులలో సమాన సంభావ్యతతో ఒక బిడ్డ జన్మించవచ్చని మనం అనుకుందాం. రెండో సంతానం కూడా ఆడపిల్లే అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

సమాధానం ఇప్పటికీ 1/3 అని మీరు అనుకోవచ్చు: మంగళవారం ఏది ముఖ్యం? కానీ ఈ సందర్భంలో కూడా, మన అంతర్ దృష్టి మనకు విఫలమవుతుంది. సమాధానం 13/27, ఇది అస్పష్టంగా మాత్రమే కాదు, చాలా విచిత్రమైనది. ఈ కేసులో విషయం ఏమిటి?

వాస్తవానికి, మంగళవారం సంభావ్యతను మారుస్తుంది ఎందుకంటే మంగళవారం ఏ బిడ్డ పుట్టిందో లేదా బహుశా ఇద్దరూ మంగళవారం జన్మించారో మాకు తెలియదు. ఈ సందర్భంలో, మేము అదే తర్కాన్ని ఉపయోగిస్తాము: మేము ప్రతిదీ లెక్కిస్తాము సాధ్యం కలయికలు, కనీసం ఒక బిడ్డ మంగళవారం జన్మించిన ఆడపిల్ల అయితే. మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, పిల్లలకు A మరియు B అని పేరు పెట్టబడిందని అనుకుందాం. కలయికలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

• A అంటే మంగళవారం నాడు జన్మించిన అమ్మాయి, B అంటే అబ్బాయి (ఈ పరిస్థితిలో 7 అవకాశాలు ఉన్నాయి, అబ్బాయి పుట్టే అవకాశం ఉన్న వారంలోని ప్రతి రోజుకు ఒకటి).
• B మంగళవారం నాడు పుట్టిన అమ్మాయి, A అబ్బాయి (7 అవకాశాలు కూడా).
• A - మంగళవారం జన్మించిన అమ్మాయి, B - వారంలోని మరొక రోజున జన్మించిన అమ్మాయి (6 అవకాశాలు).
• B అంటే మంగళవారం పుట్టిన అమ్మాయి, A అంటే మంగళవారం పుట్టని అమ్మాయి (6 సంభావ్యతలు కూడా).
• A మరియు B మంగళవారం జన్మించిన ఇద్దరు అమ్మాయిలు (1 అవకాశం, రెండుసార్లు లెక్కించకుండా ఉండటానికి మీరు దీనిపై శ్రద్ధ వహించాలి).

మేము పిల్లల జననాలు మరియు రోజులలో 27 విభిన్న సమానమైన కలయికలను కలుపుతాము మరియు కనీసం ఒక అమ్మాయి మంగళవారం జన్మించే అవకాశం ఉంది. ఇందులో ఇద్దరు ఆడపిల్లలు పుడితే 13 అవకాశాలు ఉన్నాయి. ఇది కూడా పూర్తిగా అసంబద్ధంగా అనిపిస్తుంది - ఇది అనిపిస్తుంది ఈ పనికారణం కోసం మాత్రమే కనుగొనబడింది తలనొప్పి. మీరు ఇంకా అయోమయంలో ఉన్నట్లయితే, గేమ్ థియరిస్ట్ జెస్పర్ జుహ్ల్ వెబ్‌సైట్ ఈ సమస్య గురించి మంచి వివరణను కలిగి ఉంది.

మీరు ప్రస్తుతం గేమ్‌లో పని చేస్తుంటే

మీరు డిజైన్ చేస్తున్న గేమ్‌లో యాదృచ్ఛికత ఉంటే, దానిని విశ్లేషించడానికి ఇదే సరైన సమయం. మీరు విశ్లేషించాలనుకుంటున్న కొన్ని మూలకాన్ని ఎంచుకోండి. ఇవ్వబడిన మూలకం యొక్క సంభావ్యత ఏ విధంగా ఉంటుందని, గేమ్ సందర్భంలో అది ఎలా ఉండాలో ముందుగా మిమ్మల్ని మీరు ప్రశ్నించుకోండి.

ఉదాహరణకు, మీరు RPGని తయారు చేస్తుంటే మరియు ఆటగాడు యుద్ధంలో రాక్షసుడిని ఓడించే సంభావ్యత ఏమిటని మీరు ఆలోచిస్తున్నట్లయితే, మీరేమి ప్రశ్నించుకోండి శాతంగెలవడం మీకు సరైనదనిపిస్తుంది. సాధారణంగా కన్సోల్ RPGలతో, ఆటగాళ్ళు ఓడిపోయినప్పుడు చాలా కలత చెందుతారు, కాబట్టి వారు అరుదుగా ఓడిపోతే మంచిది - 10% లేదా అంతకంటే తక్కువ సమయం. మీరు RPG డిజైనర్ అయితే, నాకంటే మీకు బాగా తెలుసు, కానీ మీరు కలిగి ఉండాలి ప్రాథమిక ఆలోచన, సంభావ్యత ఎలా ఉండాలి.

అప్పుడు మీ సంభావ్యతలు ఆధారపడి ఉన్నాయా (కార్డుల వంటివి) లేదా స్వతంత్రంగా (పాచికలతో వంటివి) ఉన్నాయా అని మిమ్మల్ని మీరు ప్రశ్నించుకోండి. సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాలు మరియు వాటి సంభావ్యతలను విశ్లేషించండి. అన్ని సంభావ్యతల మొత్తం 100% అని నిర్ధారించుకోండి. మరియు, వాస్తవానికి, మీ అంచనాలతో పొందిన ఫలితాలను సరిపోల్చండి. మీరు పాచికలు వేయగలరా లేదా మీరు అనుకున్న విధంగా కార్డులను గీయగలరా లేదా విలువలను సర్దుబాటు చేయాల్సిన అవసరం ఉందని స్పష్టంగా ఉంది. మరియు, వాస్తవానికి, మీరు ఏవైనా లోపాలను కనుగొంటే, విలువలను ఎంత మార్చాలో నిర్ణయించడానికి మీరు అదే గణనలను ఉపయోగించవచ్చు.

హోంవర్క్ అప్పగింత

ఈ వారం మీ హోమ్‌వర్క్ మీ సంభావ్యత నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. ఇక్కడ మీరు సంభావ్యతను ఉపయోగించి విశ్లేషించే రెండు డైస్ గేమ్‌లు మరియు కార్డ్ గేమ్, అలాగే మోంటే కార్లో పద్ధతిని పరీక్షించే నేను ఒకసారి అభివృద్ధి చేసిన వింత గేమ్ మెకానిక్.

గేమ్ #1 - డ్రాగన్ బోన్స్

ఇది నా సహోద్యోగులు మరియు నేను ఒకసారి (జెబ్ హెవెన్స్ మరియు జెస్సీ కింగ్‌లకు ధన్యవాదాలు) రూపొందించిన డైస్ గేమ్ - ఇది ప్రత్యేకంగా దాని సంభావ్యతతో ప్రజల మనస్సులను కదిలిస్తుంది. ఇది డ్రాగన్ డైస్ అని పిలువబడే ఒక సాధారణ కాసినో గేమ్ మరియు ఇది ఆటగాడు మరియు ఇంటి మధ్య జూదం పాచికల పోటీ.

మీకు సాధారణ 1d6 డై ఇవ్వబడింది. ఆట యొక్క లక్ష్యం ఇంటి కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను రోల్ చేయడం. టామ్‌కు ప్రామాణికం కాని 1d6 ఇవ్వబడింది - మీది అదే, కానీ యూనిట్‌కు బదులుగా దాని ముఖాలలో ఒకదానిపై డ్రాగన్ చిత్రం ఉంది (కాసినోలో డ్రాగన్ క్యూబ్ ఉంది - 2-3-4-5-6 ) ఇంటికి డ్రాగన్ వస్తే, అది స్వయంచాలకంగా గెలుస్తుంది మరియు మీరు ఓడిపోతారు. రెండూ లభిస్తే అదే సంఖ్య- ఇది డ్రా మరియు మీరు మళ్లీ పాచికలు వేయండి. అత్యధిక సంఖ్యలో రోల్ చేసినవాడు గెలుస్తాడు.

వాస్తవానికి, ప్రతిదీ పూర్తిగా ఆటగాడికి అనుకూలంగా పని చేయదు, ఎందుకంటే డ్రాగన్ యొక్క అంచు రూపంలో క్యాసినోకు ప్రయోజనం ఉంటుంది. అయితే ఇది నిజంగా నిజమేనా? మీరు లెక్కించవలసినది ఇదే. అయితే ముందుగా మీ అంతర్ దృష్టిని చెక్ చేసుకోండి.

అసమానతలు 2 నుండి 1 అని అనుకుందాం. కాబట్టి మీరు గెలిస్తే, మీరు మీ పందెం కొనసాగించండి మరియు మీ పందెం రెండింతలు పొందుతారు. ఉదాహరణకు, మీరు 1 డాలర్‌తో పందెం వేసి గెలిస్తే, మీరు ఆ డాలర్‌ను అలాగే ఉంచుకుని, మొత్తం 3 డాలర్లకు పైన మరో 2 పొందండి. మీరు ఓడిపోతే, మీరు మీ పందెం మాత్రమే కోల్పోతారు. మీరు ఆడతారా? సంభావ్యత 2 నుండి 1 కంటే ఎక్కువగా ఉందని మీరు అకారణంగా భావిస్తున్నారా లేదా అది ఇంకా తక్కువగా ఉందని మీరు భావిస్తున్నారా? మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సగటున 3 గేమ్‌లకు పైగా, మీరు ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు, లేదా తక్కువ, లేదా ఒకసారి గెలవాలని భావిస్తున్నారా?

మీరు మీ అంతర్ దృష్టిని కనుగొన్న తర్వాత, గణితాన్ని ఉపయోగించండి. రెండు పాచికల కోసం కేవలం 36 స్థానాలు మాత్రమే ఉన్నాయి, కాబట్టి మీరు ఎలాంటి సమస్య లేకుండా వాటన్నింటినీ లెక్కించవచ్చు. ఆ 2-ఫర్-1 ఆఫర్ గురించి మీకు ఖచ్చితంగా తెలియకపోతే, దీన్ని పరిగణించండి: మీరు గేమ్‌ని 36 సార్లు ఆడారని అనుకుందాం (ప్రతిసారీ $1 బెట్టింగ్). ప్రతి విజయానికి మీరు 2 డాలర్లు పొందుతారు, ప్రతి నష్టానికి మీరు 1 కోల్పోతారు మరియు డ్రా ఏమీ మారదు. మీ అన్ని విజయాలు మరియు నష్టాలను లెక్కించండి మరియు మీరు కొన్ని డాలర్లను కోల్పోతారా లేదా పొందాలా అని నిర్ణయించుకోండి. అప్పుడు మీ అంతర్ దృష్టి ఎంత సరైనదో మీరే ప్రశ్నించుకోండి. ఆపై నేనెంత విలన్‌నో గుర్తించండి.

మరియు, అవును, మీరు ఇప్పటికే ఈ ప్రశ్న గురించి ఆలోచించినట్లయితే - డైస్ గేమ్‌ల యొక్క వాస్తవ మెకానిక్‌లను తప్పుగా సూచించడం ద్వారా నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా మిమ్మల్ని గందరగోళానికి గురిచేస్తున్నాను, కానీ మీరు కొంచెం ఆలోచనతో ఈ అడ్డంకిని అధిగమించగలరని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను. ఈ సమస్యను మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి.

గేమ్ నం. 2 - అదృష్టం కోసం త్రో

ఈ జూదం"లక్ త్రో" అని పిలువబడే ఒక పాచికలో ("బర్డ్‌కేజ్" కూడా ఎందుకంటే కొన్నిసార్లు పాచికలు చుట్టబడవు కానీ పెద్ద తీగ పంజరంలో ఉంచబడతాయి, ఇది బింగో నుండి వచ్చిన పంజరాన్ని గుర్తుకు తెస్తుంది). గేమ్ సరళమైనది మరియు ప్రాథమికంగా దీనికి తగ్గట్టుగా ఉంటుంది: 1 నుండి 6 వరకు ఉన్న సంఖ్యపై $1 పందెం వేయండి. ఆపై మీరు 3d6ని రోల్ చేయండి. మీ నంబర్‌ను ల్యాండ్ చేసే ప్రతి డై కోసం, మీరు $1 పొందుతారు (మరియు మీ అసలు పందెం ఉంచండి). మీ నంబర్ ఏదైనా పాచికలపై రాకపోతే, క్యాసినో మీ డాలర్‌ను పొందుతుంది మరియు మీకు ఏమీ లభించదు. కాబట్టి మీరు 1పై పందెం వేసి, మీరు మూడుసార్లు వైపులా 1ని పొందినట్లయితే, మీకు $3 లభిస్తుంది.

అకారణంగా, ఈ ఆటకు సమాన అవకాశాలు ఉన్నట్లు తెలుస్తోంది. ప్రతి డై 6లో 1 గెలిచే అవకాశం ఉంది, కాబట్టి మూడు రోల్స్ మొత్తం మీద, మీ గెలుపు అవకాశం 6లో 3. అయితే, మీరు మూడు వేర్వేరు డైస్‌లను జోడిస్తున్నారని గుర్తుంచుకోండి మరియు మీకు మాత్రమే అనుమతి ఉంది మేము అదే డై యొక్క వేర్వేరు విజేత కలయికల గురించి మాట్లాడుతున్నట్లయితే జోడించండి. మీరు గుణించవలసి ఉంటుంది.

మీరు సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాలను లెక్కించిన తర్వాత (ఎక్సెల్‌లో చేతితో చేయడం కంటే చాలా సులభం, వాటిలో 216 ఉన్నాయి కాబట్టి), గేమ్ ఇప్పటికీ మొదటి చూపులో సరి-బేసిగా కనిపిస్తుంది. నిజానికి, క్యాసినోలో గెలవడానికి ఇంకా మంచి అవకాశం ఉంది - ఇంకా ఎంత? ప్రత్యేకంగా, మీరు ప్రతి రౌండ్‌లో సగటున ఎంత డబ్బును కోల్పోతారు?

మీరు చేయాల్సిందల్లా మొత్తం 216 ఫలితాల విజయాలు మరియు నష్టాలను జోడించి, ఆపై 216తో భాగించండి, ఇది చాలా సులభం. కానీ, మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఇక్కడ అనేక ఆపదలు ఉన్నాయి, అందుకే నేను చెప్తున్నాను: ఈ గేమ్ గెలిచే అవకాశం ఉందని మీరు అనుకుంటే, మీరు అన్నింటినీ తప్పుగా కలిగి ఉన్నారు.

గేమ్ #3 - 5 కార్డ్ స్టడ్ పోకర్

మీరు ఇప్పటికే మునుపటి గేమ్‌లను వేడెక్కించినట్లయితే, దాని గురించి మనకు తెలిసిన వాటిని చూద్దాం షరతులతో కూడిన సంభావ్యత, ఈ కార్డ్ గేమ్‌ని ఉదాహరణగా ఉపయోగించడం. 52-కార్డ్ డెక్‌తో పోకర్ గేమ్‌ను ఊహించుకుందాం. 5 కార్డ్ స్టడ్‌ని కూడా ఊహించుకుందాం, ఇక్కడ ప్రతి క్రీడాకారుడు 5 కార్డులను మాత్రమే అందుకుంటాడు. మీరు కార్డ్‌ని విస్మరించలేరు, మీరు కొత్తది డ్రా చేయలేరు, షేర్డ్ డెక్ లేదు - మీకు 5 కార్డ్‌లు మాత్రమే లభిస్తాయి.

రాయల్ ఫ్లష్ ఒక చేతిలో 10-J-Q-K-A, మొత్తం నాలుగు ఉన్నాయి, కాబట్టి నాలుగు ఉన్నాయి సాధ్యమయ్యే మార్గాలురాయల్ ఫ్లష్ పొందండి. మీరు అలాంటి కలయికను పొందే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

నేను మిమ్మల్ని ఒక విషయం గురించి హెచ్చరించాలి: మీరు ఈ ఐదు కార్డులను ఏ క్రమంలోనైనా గీయవచ్చని గుర్తుంచుకోండి. అంటే, మొదట మీరు ఏస్ లేదా పదిని గీయవచ్చు, అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి మీరు గణితాన్ని చేస్తున్నప్పుడు, కార్డులు క్రమంలో డీల్ చేయబడి ఉన్నాయని భావించి, రాయల్ ఫ్లష్ పొందడానికి నాలుగు కంటే ఎక్కువ మార్గాలు ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి.

గేమ్ నం. 4 - IMF లాటరీ

ఈ రోజు మనం మాట్లాడిన పద్ధతులను ఉపయోగించి నాల్గవ సమస్య అంత సులభంగా పరిష్కరించబడదు, కానీ మీరు ప్రోగ్రామింగ్ లేదా ఎక్సెల్ ఉపయోగించి పరిస్థితిని సులభంగా అనుకరించవచ్చు. ఈ సమస్య యొక్క ఉదాహరణలో మీరు మోంటే కార్లో పద్ధతిని పని చేయవచ్చు.

నేను ఒకప్పుడు పనిచేసిన క్రోన్ X గేమ్ గురించి ముందుగా ప్రస్తావించాను మరియు అక్కడ ఒక ఆసక్తికరమైన కార్డ్ ఉంది - IMF లాటరీ. ఇది ఎలా పని చేస్తుందో ఇక్కడ ఉంది: మీరు దీన్ని గేమ్‌లో ఉపయోగించారు. రౌండ్ ముగిసిన తర్వాత, కార్డ్‌లు పునఃపంపిణీ చేయబడ్డాయి మరియు కార్డ్ ప్లే అయిపోవడానికి 10% అవకాశం ఉంది మరియు యాదృచ్ఛిక ఆటగాడు ఆ కార్డ్‌లో టోకెన్ ఉన్న ప్రతి రకమైన వనరు యొక్క 5 యూనిట్లను స్వీకరించే అవకాశం ఉంది. ఒక్క చిప్ లేకుండానే కార్డ్ ప్లేలోకి ప్రవేశించింది, అయితే అది తర్వాతి రౌండ్ ప్రారంభంలో ఆటలో ఉన్న ప్రతిసారీ, అది ఒక చిప్‌ని అందుకుంది.

కాబట్టి మీరు దానిని ఆటలో ఉంచినట్లయితే, రౌండ్ ముగుస్తుంది, కార్డ్ గేమ్ నుండి నిష్క్రమిస్తుంది మరియు ఎవరూ ఏమీ పొందలేరు అనే 10% అవకాశం ఉంది. ఇది జరగకపోతే (90% అవకాశం), 10% అవకాశం ఉంది (వాస్తవానికి 9%, ఇది 90%లో 10% కాబట్టి) తదుపరి రౌండ్‌లో ఆమె ఆటను వదిలివేస్తుంది మరియు ఎవరైనా 5 యూనిట్ల వనరులను అందుకుంటారు. కార్డ్ ఒక రౌండ్ తర్వాత ఆట నుండి నిష్క్రమిస్తే (అందుబాటులో ఉన్న 81%లో 10%, కాబట్టి సంభావ్యత 8.1%), ఎవరైనా 10 యూనిట్లను అందుకుంటారు, మరొక రౌండ్ - 15, మరొకటి - 20, మరియు మొదలైనవి. ప్రశ్న: ఈ కార్డ్ చివరకు గేమ్ నుండి నిష్క్రమించినప్పుడు దాని నుండి మీరు పొందే వనరుల సంఖ్య యొక్క సాధారణ అంచనా విలువ ఎంత?

సాధారణంగా మేము ప్రతి ఫలితం యొక్క అవకాశాన్ని లెక్కించడం ద్వారా మరియు అన్ని ఫలితాల సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. మీరు 0 (0.1 * 0 = 0) పొందేందుకు 10% అవకాశం ఉంది. 9% మీరు 5 యూనిట్ల వనరులను అందుకుంటారు (9% * 5 = 0.45 వనరులు). మీరు పొందే దానిలో 8.1% 10 (8.1%*10=0.81 వనరులు - మొత్తం అంచనా విలువ). మరియు అందువలన న. ఆపై మేము అన్నింటినీ సంగ్రహిస్తాము.

మరియు ఇప్పుడు సమస్య మీకు స్పష్టంగా ఉంది: కార్డ్ గేమ్‌ను విడిచిపెట్టకుండా ఉండటానికి ఎల్లప్పుడూ అవకాశం ఉంది, ఇది ఆటలో ఎప్పటికీ ఉంటుంది. అనంతమైన సంఖ్యరౌండ్లు, కాబట్టి ప్రతి సంభావ్యతను లెక్కించడానికి మార్గం లేదు. ఈ రోజు మనం నేర్చుకున్న పద్ధతులు అనంతమైన పునరావృత్తిని లెక్కించడానికి అనుమతించవు, కాబట్టి మనం దానిని కృత్రిమంగా సృష్టించాలి.

మీరు ప్రోగ్రామింగ్‌లో తగినంత నైపుణ్యం కలిగి ఉంటే, ఈ మ్యాప్‌ను అనుకరించే ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాయండి. మీరు వేరియబుల్‌ను సున్నా యొక్క ప్రారంభ స్థానానికి తీసుకువచ్చే టైమ్ లూప్ కలిగి ఉండాలి, యాదృచ్ఛిక సంఖ్యను చూపుతుంది మరియు 10% అవకాశంతో వేరియబుల్ లూప్ నుండి నిష్క్రమిస్తుంది. లేకపోతే, ఇది వేరియబుల్‌కు 5ని జోడిస్తుంది మరియు లూప్ పునరావృతమవుతుంది. ఇది చివరకు లూప్ నుండి నిష్క్రమించినప్పుడు, మొత్తం ట్రయల్ రన్‌ల సంఖ్యను 1 మరియు మొత్తం వనరుల సంఖ్యను పెంచండి (వేరియబుల్ ఎక్కడ ముగుస్తుందనే దానిపై ఎంత ఆధారపడి ఉంటుంది). అప్పుడు వేరియబుల్ రీసెట్ చేసి మళ్లీ ప్రారంభించండి.

ప్రోగ్రామ్‌ను అనేక వేల సార్లు అమలు చేయండి. చివరికి, మొత్తం వనరుల సంఖ్యను మొత్తం పరుగుల సంఖ్యతో భాగించండి - ఇది మీ అంచనా మోంటే కార్లో విలువ అవుతుంది. మీరు పొందే సంఖ్యలు దాదాపు ఒకే విధంగా ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోవడానికి ప్రోగ్రామ్‌ను అనేకసార్లు అమలు చేయండి. స్కాటర్ ఇంకా పెద్దగా ఉంటే, మీరు మ్యాచ్‌లను పొందడం ప్రారంభించే వరకు బాహ్య లూప్‌లో పునరావృతాల సంఖ్యను పెంచండి. మీరు ముగించే సంఖ్యలు దాదాపు సరైనవని మీరు ఖచ్చితంగా అనుకోవచ్చు.

మీరు ప్రోగ్రామింగ్‌కి కొత్తవారైతే (మీరు అయినప్పటికీ), మీ Excel నైపుణ్యాలను పరీక్షించడానికి ఇక్కడ శీఘ్ర వ్యాయామం ఉంది. మీరు గేమ్ డిజైనర్ అయితే, ఈ నైపుణ్యాలు ఎప్పటికీ నిరుపయోగంగా ఉండవు.

ఇప్పుడు if మరియు rand ఫంక్షన్‌లు మీకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి. రాండ్‌కు విలువలు అవసరం లేదు, ఇది కేవలం యాదృచ్ఛికంగా ఉత్పత్తి చేస్తుంది దశాంశ సంఖ్య 0 నుండి 1 వరకు. నేను ముందుగా పేర్కొన్న డైస్ రోల్‌ను అనుకరించడానికి మేము సాధారణంగా దానిని ఫ్లోర్ మరియు ప్లస్‌లు మరియు మైనస్‌లతో కలుపుతాము. అయితే, ఈ సందర్భంలో మేము కార్డ్ గేమ్ నుండి నిష్క్రమించే 10% అవకాశాన్ని వదిలివేస్తున్నాము, కాబట్టి మేము ర్యాండ్ విలువ 0.1 కంటే తక్కువగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయవచ్చు మరియు ఇకపై దాని గురించి చింతించకండి.

మూడు అర్థాలు ఉంటే. క్రమంలో: షరతు ఒప్పు లేదా తప్పు, ఆపై షరతు ఒప్పు అయితే తిరిగి ఇవ్వబడే విలువ మరియు షరతు తప్పు అయితే అందించబడే విలువ. కాబట్టి తదుపరి ఫంక్షన్ 5% సమయం, మరియు 0 మిగిలిన 90% సమయం: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

ఈ ఆదేశాన్ని సెట్ చేయడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి, కానీ మొదటి రౌండ్‌ను సూచించే సెల్ కోసం నేను ఈ ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాను, ఇది సెల్ A1 అని చెప్పండి: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

ఇక్కడ నేను ప్రతికూల వేరియబుల్‌ని ఉపయోగిస్తున్నాను, దీని అర్థం "ఈ కార్డ్ గేమ్ నుండి నిష్క్రమించలేదు మరియు ఇంకా ఏ వనరులను వదులుకోలేదు." కాబట్టి మొదటి రౌండ్ ముగిసి, కార్డ్ ప్లే అవుతుంటే, A1 0; లేకుంటే అది -1.

రెండవ రౌండ్‌ను సూచించే తదుపరి సెల్ కోసం: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . కాబట్టి మొదటి రౌండ్ ముగిసి, కార్డ్ వెంటనే గేమ్ నుండి నిష్క్రమించినట్లయితే, A1 0 (వనరుల సంఖ్య) మరియు ఈ సెల్ ఆ విలువను కాపీ చేస్తుంది. లేకపోతే, A1 -1 (కార్డ్ ఇంకా గేమ్ నుండి నిష్క్రమించలేదు), మరియు ఈ సెల్ యాదృచ్ఛికంగా కదలడం కొనసాగుతుంది: 10% సమయం అది 5 యూనిట్ల వనరులను తిరిగి ఇస్తుంది, మిగిలిన సమయంలో దాని విలువ ఇప్పటికీ సమానంగా ఉంటుంది -1. మేము ఈ ఫార్ములాను అదనపు సెల్‌లకు వర్తింపజేస్తే, మేము అదనపు రౌండ్‌లను పొందుతాము మరియు మీరు ఏ సెల్‌తో ముగించారో అది మీకు తుది ఫలితాన్ని ఇస్తుంది (లేదా మీరు ఆడిన అన్ని రౌండ్‌ల తర్వాత కార్డ్ ఎప్పుడూ గేమ్‌ను విడిచిపెట్టకపోతే -1).

ఆ కార్డ్‌తో ఉన్న ఏకైక రౌండ్‌ను సూచించే సెల్‌ల వరుసను తీసుకోండి మరియు అనేక వందల (లేదా వేల) వరుసలను కాపీ చేసి అతికించండి. మేము Excel కోసం అనంతమైన పరీక్షను చేయలేకపోవచ్చు (టేబుల్‌లో పరిమిత సంఖ్యలో సెల్‌లు ఉన్నాయి), కానీ కనీసం మేము చాలా సందర్భాలలో కవర్ చేయగలము. ఆపై మీరు అన్ని రౌండ్‌ల ఫలితాల సగటును ఉంచే ఒక సెల్‌ను ఎంచుకోండి - Excel దీని కోసం సగటు() ఫంక్షన్‌ను సహాయకరంగా అందిస్తుంది.

Windowsలో, అన్ని యాదృచ్ఛిక సంఖ్యలను తిరిగి లెక్కించడానికి మీరు కనీసం F9ని నొక్కవచ్చు. మునుపటిలా, దీన్ని చాలాసార్లు చేయండి మరియు మీరు అదే విలువలను పొందుతున్నారో లేదో చూడండి. స్ప్రెడ్ చాలా పెద్దగా ఉంటే, పరుగుల సంఖ్యను రెట్టింపు చేసి, మళ్లీ ప్రయత్నించండి.

పరిష్కారం కాని సమస్యలు

మీరు ప్రాబబిలిటీ థియరీలో డిగ్రీని కలిగి ఉండి, పైన పేర్కొన్న సమస్యలు మీకు చాలా తేలికగా అనిపిస్తే, ఇక్కడ రెండు సమస్యలు ఉన్నాయి, నేను చాలా సంవత్సరాలుగా నా తల గోకడం చేస్తున్నాను, కానీ దురదృష్టవశాత్తు వాటిని పరిష్కరించడానికి నేను గణితంలో సరిపోలేను.

పరిష్కరించని సమస్య #1: IMF లాటరీ

మొదటి పరిష్కరించని సమస్య మునుపటి హోంవర్క్ అసైన్‌మెంట్. నేను మోంటే కార్లో పద్ధతిని (C++ లేదా Excelని ఉపయోగించి) సులభంగా వర్తింపజేయగలను మరియు “ఆటగాడు ఎన్ని వనరులను అందుకుంటాడు” అనే ప్రశ్నకు సమాధానంలో నమ్మకంగా ఉండగలను, కానీ గణితశాస్త్రంలో ఖచ్చితమైన నిరూపితమైన సమాధానాన్ని ఎలా అందించాలో నాకు ఖచ్చితంగా తెలియదు (ఇది అనంత శ్రేణి).

పరిష్కరించని సమస్య #2: బొమ్మల క్రమాలు

ఈ సమస్య (ఇది ఈ బ్లాగ్‌లో పరిష్కరించబడిన టాస్క్‌ల కంటే చాలా ఎక్కువ) పదేళ్ల క్రితం నాకు గేమర్ స్నేహితుడు అందించారు. వెగాస్‌లో బ్లాక్‌జాక్ ఆడుతున్నప్పుడు, అతను ఒక ఆసక్తికరమైన విషయాన్ని గమనించాడు: అతను 8-డెక్ షూ నుండి కార్డులను తీసివేసినప్పుడు, అతను వరుసగా పది బొమ్మలను చూశాడు (ఫిగర్ లేదా ఫేస్ కార్డ్ 10, జోకర్, కింగ్ లేదా క్వీన్, కాబట్టి 16 ఇన్ ప్రామాణిక 52-డెక్ కార్డ్‌లలో మొత్తం లేదా 416 కార్డ్ షూలో 128).

ఈ షూ కనీసం పది లేదా అంతకంటే ఎక్కువ బొమ్మల శ్రేణిని కలిగి ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి? అవి యాదృచ్ఛికంగా, నిష్పక్షపాతంగా మారాయని అనుకుందాం. లేదా, మీరు కావాలనుకుంటే, పది లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల క్రమం ఎక్కడా జరగని సంభావ్యత ఏమిటి?

మేము పనిని సులభతరం చేయవచ్చు. ఇక్కడ 416 భాగాల క్రమం ఉంది. ప్రతి భాగం 0 లేదా 1. సీక్వెన్స్ అంతటా యాదృచ్ఛికంగా చెల్లాచెదురుగా 128 ఒకటి మరియు 288 సున్నాలు ఉన్నాయి. 288 సున్నాలతో 128 వాటిని యాదృచ్ఛికంగా విడదీయడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి మరియు ఈ మార్గాల్లో కనీసం పది లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమూహాలు ఎన్నిసార్లు జరుగుతాయి?

నేను ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రతిసారీ సెట్ చేసిన ప్రతిసారీ, ఇది నాకు సులభంగా మరియు స్పష్టంగా అనిపించింది, కానీ నేను వివరాలను పరిశీలించిన వెంటనే, అది అకస్మాత్తుగా పడిపోయింది మరియు అసాధ్యం అనిపించింది.

కాబట్టి సమాధానం చెప్పడానికి తొందరపడకండి: కూర్చోండి, జాగ్రత్తగా ఆలోచించండి, పరిస్థితులను అధ్యయనం చేయండి, వాస్తవ సంఖ్యలను ప్లగ్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి, ఎందుకంటే నేను ఈ సమస్య గురించి మాట్లాడిన వారందరూ (ఈ రంగంలో పనిచేస్తున్న అనేక మంది గ్రాడ్యుయేట్ విద్యార్థులతో సహా) ప్రతిస్పందించారు. అదే: "ఇది పూర్తిగా స్పష్టంగా ఉంది... ఓహ్, లేదు, వేచి ఉండండి, ఇది అస్సలు స్పష్టంగా లేదు." అన్ని ఎంపికలను లెక్కించడానికి నాకు పద్ధతి లేనప్పుడు ఇది జరుగుతుంది. నేను కంప్యూటర్ అల్గోరిథం ద్వారా సమస్యను బ్రూట్ ఫోర్స్ చేయగలను, కానీ గణిత పరిష్కారాన్ని తెలుసుకోవడం చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది.

ఇది మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్యకు ప్రశ్నలోని సంఘటన సంభవించిన పరిశీలనల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి. తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలు లేదా ప్రయోగాల విషయంలో ఈ వివరణ ఆమోదయోగ్యమైనది. ఉదాహరణకు, మీరు వీధిలో కలిసే వారిలో దాదాపు సగం మంది మహిళలు ఉంటే, మీరు వీధిలో కలిసే వ్యక్తి స్త్రీ అయ్యే సంభావ్యత 1/2 అని చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క స్వతంత్ర పునరావృతాల సుదీర్ఘ శ్రేణిలో దాని సంభవించిన ఫ్రీక్వెన్సీగా ఉంటుంది.

గణితంలో సంభావ్యత

ఆధునిక గణిత విధానంలో, క్లాసికల్ (అంటే క్వాంటం కాదు) సంభావ్యత కోల్మోగోరోవ్ యాక్సియోమాటిక్స్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. సంభావ్యత ఒక కొలత పి, ఇది సెట్లో నిర్వచించబడింది X, సంభావ్యత స్థలం అని పిలుస్తారు. ఈ కొలత కింది లక్షణాలను కలిగి ఉండాలి:

ఈ పరిస్థితుల నుండి సంభావ్యత కొలతను అనుసరిస్తుంది పిఆస్తి కూడా ఉంది సంకలితం: సెట్ చేస్తే ఎ 1 మరియు ఎ 2 కలుస్తాయి, అప్పుడు . నిరూపించడానికి మీరు ప్రతిదీ ఉంచాలి ఎ 3 , ఎ 4 , ... ఖాళీ సెట్‌కు సమానం మరియు లెక్కించదగిన సంకలిత ఆస్తిని వర్తింపజేయండి.

సెట్ యొక్క అన్ని ఉపసమితుల కోసం సంభావ్యత కొలత నిర్వచించబడకపోవచ్చు X. సెట్ యొక్క కొన్ని ఉపసమితులను కలిగి ఉన్న సిగ్మా ఆల్జీబ్రాపై దానిని నిర్వచించడం సరిపోతుంది X. ఈ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు స్థలం యొక్క కొలవగల ఉపసమితులుగా నిర్వచించబడతాయి X, అంటే, సిగ్మా బీజగణితం యొక్క మూలకాలుగా.

సంభావ్యత భావం

వాస్తవంగా సంభవించే కొన్ని వాస్తవాల కారణాలు విరుద్ధమైన కారణాల కంటే ఎక్కువగా ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నప్పుడు, మేము ఆ వాస్తవాన్ని పరిశీలిస్తాము సంభావ్య, లేకపోతే - అపురూపమైన. ప్రతికూల వాటిపై సానుకూల స్థావరాల యొక్క ఈ ప్రాధాన్యత మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, నిరవధిక డిగ్రీల సెట్‌ను సూచిస్తుంది, దీని ఫలితంగా సంభావ్యత(మరియు అసంభవం) అది జరుగుతుంది మరింతలేదా తక్కువ .

సంక్లిష్ట వ్యక్తిగత వాస్తవాలు వారి సంభావ్యత యొక్క డిగ్రీల యొక్క ఖచ్చితమైన గణనను అనుమతించవు, కానీ ఇక్కడ కూడా కొన్ని పెద్ద ఉపవిభాగాలను ఏర్పాటు చేయడం ముఖ్యం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, చట్టపరమైన రంగంలో, విచారణకు సంబంధించిన వ్యక్తిగత వాస్తవం సాక్ష్యం ఆధారంగా స్థాపించబడినప్పుడు, అది ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, సంభావ్యత మాత్రమే, మరియు ఈ సంభావ్యత ఎంత ముఖ్యమైనదో తెలుసుకోవడం అవసరం; రోమన్ చట్టంలో, ఇక్కడ నాలుగు రెట్లు విభజన ఆమోదించబడింది: ప్రొబేటియో ప్లీనా(ఇక్కడ సంభావ్యత ఆచరణాత్మకంగా మారుతుంది విశ్వసనీయత), ఇంకా - ప్రొబేషియో మైనస్ ప్లీనా, అప్పుడు - ప్రొబేటియో సెమిప్లీనా మేజర్మరియు చివరకు ప్రొబేటియో సెమిప్లీనా మైనర్ .

కేసు యొక్క సంభావ్యత యొక్క ప్రశ్నతో పాటు, న్యాయ రంగంలో మరియు నైతిక రంగంలో (నిర్దిష్ట నైతిక దృక్కోణంతో) ప్రశ్న తలెత్తవచ్చు, ఇచ్చిన నిర్దిష్ట వాస్తవం ఏ విధంగా ఉంటుంది సాధారణ చట్టం యొక్క ఉల్లంఘన. తాల్ముడ్ యొక్క మతపరమైన న్యాయశాస్త్రంలో ప్రధాన ఉద్దేశ్యంగా ఉపయోగపడే ఈ ప్రశ్న రోమన్ కాథలిక్ నైతిక వేదాంతశాస్త్రంలో (ముఖ్యంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుండి) (ముఖ్యంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుండి) (ముఖ్యంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుండి) (ప్రత్యేకంగా) సంభావ్యత చూడండి).

సంభావ్యత యొక్క భావన నిర్దిష్ట సజాతీయ శ్రేణిలో భాగమైన అటువంటి వాస్తవాలకు మాత్రమే వర్తించినప్పుడు నిర్దిష్ట సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి (సరళమైన ఉదాహరణలో), ఎవరైనా ఒక నాణేన్ని వరుసగా వంద సార్లు విసిరినప్పుడు, మేము ఇక్కడ ఒక సాధారణ లేదా పెద్ద శ్రేణిని (నాణెం యొక్క అన్ని ఫాల్స్ మొత్తం) కనుగొంటాము, ఇందులో రెండు ప్రైవేట్ లేదా చిన్నవి ఉంటాయి, ఈ సందర్భంలో సంఖ్యాపరంగా సమానం, సిరీస్ (పడుతుంది "తలలు" మరియు పడిపోతుంది "తోకలు"); ఈసారి నాణెం తలపైకి వచ్చే అవకాశం, అంటే సాధారణ సిరీస్‌లోని ఈ కొత్త సభ్యుడు రెండు చిన్న సిరీస్‌లకు చెందినవాడు కావడం, ఈ చిన్న సిరీస్ మరియు పెద్ద సిరీస్ మధ్య సంఖ్యా సంబంధాన్ని వ్యక్తీకరించే భిన్నానికి సమానం, అవి 1/2, అంటే, ఒకే సంభావ్యత రెండు నిర్దిష్ట సిరీస్‌లలో ఒకటి లేదా మరొకదానికి చెందినది. తక్కువ సాధారణ ఉదాహరణలలో, సమస్య యొక్క డేటా నుండి ముగింపు నేరుగా తీసివేయబడదు, కానీ ముందస్తు ప్రేరణ అవసరం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ప్రశ్న: ఇచ్చిన నవజాత శిశువు 80 సంవత్సరాల వరకు జీవించడానికి సంభావ్యత ఏమిటి? ఇక్కడ సారూప్య పరిస్థితులలో జన్మించిన మరియు వివిధ వయసులలో మరణిస్తున్న నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వ్యక్తుల సాధారణ లేదా పెద్ద, శ్రేణి ఉండాలి (ఈ సంఖ్య యాదృచ్ఛిక విచలనాలను తొలగించడానికి తగినంత పెద్దదిగా ఉండాలి మరియు సిరీస్ యొక్క సజాతీయతను కొనసాగించడానికి తగినంత చిన్నదిగా ఉండాలి. ఒక వ్యక్తి కోసం, ఉదాహరణకు, సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్‌లో సంపన్న, సంస్కారవంతమైన కుటుంబంలో జన్మించారు, మొత్తం మిలియన్-బలమైన నగరంలోని జనాభా, ఇందులో గణనీయమైన భాగం అకాలంగా చనిపోయే వివిధ సమూహాలకు చెందిన వ్యక్తులను కలిగి ఉంటుంది - సైనికులు, పాత్రికేయులు, ప్రమాదకరమైన వృత్తులలోని కార్మికులు - సంభావ్యత యొక్క నిజమైన నిర్ణయానికి చాలా భిన్నమైన సమూహాన్ని సూచిస్తుంది) ; ఈ సాధారణ శ్రేణి పది వేల మానవ జీవితాలను కలిగి ఉండనివ్వండి; ఇది ఒక నిర్దిష్ట వయస్సు వరకు జీవించి ఉన్న వ్యక్తుల సంఖ్యను సూచించే చిన్న సిరీస్‌లను కలిగి ఉంటుంది; ఈ చిన్న శ్రేణిలో ఒకటి 80 ఏళ్ల వరకు జీవించే వ్యక్తుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. కానీ ఈ చిన్న శ్రేణి సంఖ్యను గుర్తించడం అసాధ్యం (అన్నింటిలాగే) ఒక ప్రయోరి; ఇది గణాంకాల ద్వారా పూర్తిగా ప్రేరేపకంగా చేయబడుతుంది. 10,000 మంది మధ్యతరగతి సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ నివాసితులలో 45 మంది మాత్రమే 80 ఏళ్ల వరకు జీవిస్తున్నారని గణాంక అధ్యయనాలు నిర్ధారించాయని అనుకుందాం; ఈ విధంగా, ఈ చిన్న శ్రేణి 45 నుండి 10,000 వరకు పెద్దదానికి సంబంధించినది మరియు ఈ చిన్న శ్రేణికి చెందిన వ్యక్తికి, అంటే 80 సంవత్సరాల వరకు జీవించే సంభావ్యత 0.0045 యొక్క భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. గణిత కోణం నుండి సంభావ్యత యొక్క అధ్యయనం ఒక ప్రత్యేక క్రమశిక్షణను కలిగి ఉంటుంది - సంభావ్యత సిద్ధాంతం.

ఇది కూడ చూడు

గమనికలు

సాహిత్యం

• ఆల్ఫ్రెడ్ రెని. సంభావ్యత / ట్రాన్స్‌పై అక్షరాలు. హంగేరియన్ నుండి D. సాస్ మరియు A. క్రమ్లీ, eds. B.V. గ్నెడెంకో. M.: మీర్. 1970
• గ్నెడెంకో బి.వి.సంభావ్యత సిద్ధాంతం కోర్సు. M., 2007. 42 p.
• కుప్త్సోవ్ V.I.నిర్ణయాత్మకత మరియు సంభావ్యత. M., 1976. 256 p.

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

పర్యాయపదాలు:

వ్యతిరేక పదాలు:

ఇతర నిఘంటువులలో "సంభావ్యత" ఏమిటో చూడండి:

సాధారణ శాస్త్రీయ మరియు తాత్విక. స్థిర పరిశీలన పరిస్థితులలో సామూహిక యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు సంభవించే అవకాశం యొక్క పరిమాణాత్మక స్థాయిని సూచించే వర్గం, వాటి సాపేక్ష పౌనఃపున్యాల స్థిరత్వాన్ని వర్ణిస్తుంది. లాజిక్, సెమాంటిక్ డిగ్రీలో... ... ఫిలాసఫికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా

సంభావ్యత, సున్నా నుండి ఒకటి కలుపుకొని పరిధిలోని సంఖ్య, ఇచ్చిన ఈవెంట్ సంభవించే అవకాశాన్ని సూచిస్తుంది. ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది ఒక ఈవెంట్ సంభవించే అవకాశాల సంఖ్య మరియు సాధ్యమయ్యే మొత్తం సంఖ్యల నిష్పత్తిగా నిర్వచించబడింది... ... శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

అన్ని సంభావ్యతలోనూ.. రష్యన్ పర్యాయపదాలు మరియు సారూప్య వ్యక్తీకరణల నిఘంటువు. కింద. ed. N. అబ్రమోవా, M.: రష్యన్ నిఘంటువులు, 1999. సంభావ్యత అవకాశం, సంభావ్యత, అవకాశం, లక్ష్యం అవకాశం, మజా, ఆమోదయోగ్యత, ప్రమాదం. చీమ. అసంభవం...... పర్యాయపద నిఘంటువు

సంభావ్యత- ఒక సంఘటన జరిగే అవకాశం ఉన్న కొలత. గమనిక సంభావ్యత యొక్క గణిత నిర్వచనం: "యాదృచ్ఛిక సంఘటనతో అనుబంధించబడిన 0 మరియు 1 మధ్య వాస్తవ సంఖ్య." సంఖ్య పరిశీలనల శ్రేణిలో సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీని ప్రతిబింబిస్తుంది... ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

సంభావ్యత- "అపరిమిత సంఖ్యలో పునరావృతమయ్యే నిర్దిష్ట నిర్దిష్ట పరిస్థితులలో ఏదైనా సంఘటన సంభవించే అవకాశం యొక్క డిగ్రీ యొక్క గణిత, సంఖ్యా లక్షణం." ఈ క్లాసిక్ ఆధారంగా..... ఆర్థిక మరియు గణిత నిఘంటువు

- (సంభావ్యత) ఒక సంఘటన లేదా నిర్దిష్ట ఫలితం సంభవించే అవకాశం. ఇది 0 నుండి 1 వరకు విభజనలతో స్కేల్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత సున్నా అయితే, దాని సంభవించడం అసాధ్యం. 1కి సమానమైన సంభావ్యతతో, ప్రారంభం... వ్యాపార నిబంధనల నిఘంటువు