యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ ప్రాబబిలిటీ థియరీ. పరిష్కారాలతో సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో సమస్యలు

"సంభావ్యత సిద్ధాంతం" అనే అంశంపై పాఠం-ఉపన్యాసం

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2016 నుండి టాస్క్ నం. 4.

ప్రొఫైల్ స్థాయి.

1 సమూహం:క్లాసికల్ ప్రాబబిలిటీ ఫార్ములాను ఉపయోగించడంపై టాస్క్‌లు.

• వ్యాయామం 1.టాక్సీ కంపెనీకి 60 కార్లు ఉన్నాయి; వాటిలో 27 వైపులా పసుపు శాసనాలు ఉన్న నలుపు, మిగిలినవి ఉన్నాయి పసుపు రంగునల్ల శాసనాలతో. యాదృచ్ఛిక కాల్‌కు నలుపు రంగు శాసనాలు ఉన్న పసుపు కారు ప్రతిస్పందించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 2.మిషా, ఒలేగ్, నాస్త్యా మరియు గాల్యా గేమ్‌ను ఎవరు ప్రారంభించాలనే దానిపై చాలా మంది పోటీపడ్డారు. గాల్యా గేమ్‌ను ప్రారంభించని సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 3.సగటున, విక్రయించబడిన 1000 గార్డెన్ పంపులలో, 7 లీక్. నియంత్రణ కోసం యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక పంపు లీక్ చేయని సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 4.కెమిస్ట్రీ టిక్కెట్ల సేకరణలో కేవలం 15 టిక్కెట్లు మాత్రమే ఉన్నాయి, వాటిలో 6 "యాసిడ్స్" అనే అంశంపై ప్రశ్నను కలిగి ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న పరీక్ష టిక్కెట్‌పై విద్యార్థి "యాసిడ్‌లు" అనే అంశంపై ప్రశ్నను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 5. 45 మంది అథ్లెట్లు డైవింగ్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పోటీ పడుతున్నారు, వీరిలో స్పెయిన్ నుండి 4 డైవర్లు మరియు USA నుండి 9 మంది డైవర్లు ఉన్నారు. ప్రదర్శనల క్రమం చాలా డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. US జంపర్ ఇరవై నాల్గవ స్థానంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 6. శాస్త్రీయ సమావేశం 3 రోజుల పాటు జరుగుతుంది. మొత్తం 40 నివేదికలు ప్రణాళిక చేయబడ్డాయి - మొదటి రోజు 8 నివేదికలు, మిగిలినవి రెండవ మరియు మూడవ రోజుల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. నివేదికల క్రమం లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి?

• వ్యాయామం 1.టెన్నిస్ ఛాంపియన్‌షిప్ యొక్క మొదటి రౌండ్ ప్రారంభానికి ముందు, పాల్గొనేవారు ఆడే జంటలుగా విభజించబడ్డారు యాదృచ్ఛికంగాచాలా ద్వారా. మొత్తంగా, 26 మంది టెన్నిస్ ఆటగాళ్ళు ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పాల్గొంటున్నారు, ఇందులో టిమోఫీ ట్రుబ్నికోవ్‌తో సహా రష్యా నుండి 9 మంది పాల్గొనేవారు. మొదటి రౌండ్‌లో టిమోఫీ ట్రుబ్నికోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా టెన్నిస్ ఆటగాడితో ఆడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 2.బ్యాడ్మింటన్ ఛాంపియన్‌షిప్ యొక్క మొదటి రౌండ్ ప్రారంభానికి ముందు, పాల్గొనేవారిని యాదృచ్ఛికంగా లాట్‌లను ఉపయోగించి జంటలుగా విభజించారు. ఈ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో మొత్తం 76 మంది బ్యాడ్మింటన్ క్రీడాకారులు పాల్గొంటుండగా, ఇందులో రష్యాకు చెందిన 22 మంది అథ్లెట్లు విక్టర్ పొలియాకోవ్ ఉన్నారు. మొదటి రౌండ్‌లో విక్టర్ పాలియాకోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ఆటగాడితో ఆడగల సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 3.తరగతిలో 16 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు స్నేహితులు - ఒలేగ్ మరియు మిఖాయిల్. తరగతి యాదృచ్ఛికంగా 4 సమాన సమూహాలుగా విభజించబడింది. ఒలేగ్ మరియు మిఖాయిల్ ఒకే సమూహంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 4.తరగతిలో 33 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు స్నేహితులు - ఆండ్రీ మరియు మిఖాయిల్. విద్యార్థులను యాదృచ్ఛికంగా 3 సమాన సమూహాలుగా విభజించారు. ఆండ్రీ మరియు మిఖాయిల్ ఒకే సమూహంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• వ్యాయామం 1:సిరామిక్ టేబుల్‌వేర్ ఫ్యాక్టరీలో, ఉత్పత్తి చేయబడిన 20% ప్లేట్లు లోపభూయిష్టంగా ఉంటాయి. ఉత్పత్తి నాణ్యత నియంత్రణ సమయంలో, 70% లోపభూయిష్ట ప్లేట్లు గుర్తించబడతాయి. మిగిలిన ప్లేట్లు అమ్మకానికి ఉన్నాయి. కొనుగోలు చేసిన తర్వాత యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ప్లేట్‌లో లోపాలు లేవని సంభావ్యతను కనుగొనండి. మీ సమాధానాన్ని సమీప వందవ వంతుకు పూర్తి చేయండి.

• టాస్క్ 2.సిరామిక్ టేబుల్‌వేర్ ఫ్యాక్టరీలో, ఉత్పత్తి చేయబడిన 30% ప్లేట్లు లోపభూయిష్టంగా ఉంటాయి. ఉత్పత్తి నాణ్యత నియంత్రణ సమయంలో, 60% లోపభూయిష్ట ప్లేట్లు గుర్తించబడతాయి. మిగిలిన ప్లేట్లు అమ్మకానికి ఉన్నాయి. కొనుగోలు సమయంలో యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ప్లేట్‌లో లోపం ఉన్న సంభావ్యతను కనుగొనండి. మీ సమాధానాన్ని సమీప వందవ వంతుకు పూర్తి చేయండి.

• టాస్క్ 3:రెండు కర్మాగారాలు కారు హెడ్‌లైట్ల కోసం ఒకే గాజును ఉత్పత్తి చేస్తాయి. మొదటి ఫ్యాక్టరీ ఈ గ్లాసులలో 30% ఉత్పత్తి చేస్తుంది, రెండవది - 70%. మొదటి కర్మాగారం 3% లోపభూయిష్ట గాజును ఉత్పత్తి చేస్తుంది, మరియు రెండవది - 4%. అనుకోకుండా దుకాణంలో కొనుగోలు చేసిన గాజు లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

2 సమూహం:వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడం.

• వ్యాయామం 1.ఒక ప్రొఫెషనల్ షూటర్ కోసం 20 మీటర్ల దూరం నుండి లక్ష్యం మధ్యలో కొట్టే సంభావ్యత 0.85. లక్ష్యం మధ్యలో మిస్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 2. 67 మిమీ వ్యాసంతో బేరింగ్‌లను తయారు చేస్తున్నప్పుడు, వ్యాసం పేర్కొన్న దాని నుండి 0.01 మిమీ కంటే తక్కువ తేడా ఉండే సంభావ్యత 0.965. యాదృచ్ఛిక బేరింగ్ 66.99 మిమీ కంటే తక్కువ లేదా 67.01 మిమీ కంటే ఎక్కువ వ్యాసం కలిగి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

3 సమూహం:అననుకూల సంఘటనలలో కనీసం ఒక దాని సంభవించే సంభావ్యతను కనుగొనడం. సంభావ్యతలను జోడించడానికి సూత్రం.

• వ్యాయామం 1.డై విసిరినప్పుడు మీరు 5 లేదా 6 పాయింట్లు పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 2.ఒక కలశంలో 30 బంతులు ఉంటాయి: 10 ఎరుపు, 5 నీలం మరియు 15 తెలుపు. రంగు బంతిని గీయడానికి సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 3.షూటర్ 3 ప్రాంతాలుగా విభజించబడిన లక్ష్యాన్ని కాలుస్తాడు. మొదటి ప్రాంతాన్ని కొట్టే సంభావ్యత 0.45, రెండవది 0.35, షూటర్ ఒక షాట్‌తో మొదటి లేదా రెండవ ప్రాంతాన్ని కొట్టే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 4.నుండి జిల్లా కేంద్రంగ్రామానికి రోజూ బస్సు సౌకర్యం ఉంది. సోమవారం బస్సులో 18 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉండే అవకాశం 0.95. 12 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉండే సంభావ్యత 0.6. ప్రయాణీకుల సంఖ్య 12 నుండి 17 వరకు ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 5.కొత్త ఎలక్ట్రిక్ కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలం ఉండే సంభావ్యత 0.97. ఇది రెండు సంవత్సరాల కంటే ఎక్కువ కాలం ఉండే సంభావ్యత 0.89. ఇది రెండు సంవత్సరాల కంటే తక్కువ కానీ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 6.విద్యార్థి U. జీవశాస్త్ర పరీక్షలో 9 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను సరిగ్గా పరిష్కరించగల సంభావ్యత 0.61. U. 8 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను సరిగ్గా పరిష్కరించే సంభావ్యత 0.73. U సరిగ్గా 9 సమస్యలను పరిష్కరించగల సంభావ్యతను కనుగొనండి.

4 సమూహం:స్వతంత్ర సంఘటనలు ఏకకాలంలో సంభవించే సంభావ్యత. సంభావ్యత గుణకార సూత్రం.

• వ్యాయామం 1.గది రెండు దీపాలతో లాంతరుతో ప్రకాశిస్తుంది. ఒక సంవత్సరం లోపల ఒక దీపం కాలిపోయే సంభావ్యత 0.3. సంవత్సరంలో కనీసం ఒక దీపం కాలిపోకుండా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 2.మూడు దీపాలతో కూడిన లాంతరుతో గది ప్రకాశిస్తుంది. ఒక సంవత్సరం లోపల ఒక దీపం కాలిపోయే సంభావ్యత 0.3. సంవత్సరంలో కనీసం ఒక దీపం కాలిపోకుండా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 3.దుకాణంలో ఇద్దరు విక్రేతలు ఉన్నారు. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.4తో క్లయింట్‌తో బిజీగా ఉంది. లో సంభావ్యతను కనుగొనండి యాదృచ్ఛిక క్షణంసమయం, ఇద్దరు విక్రేతలు ఒకే సమయంలో బిజీగా ఉన్నారు (కస్టమర్‌లు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా వస్తారని భావించండి).

• టాస్క్ 4.దుకాణంలో ముగ్గురు విక్రేతలు ఉన్నారు. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.2తో క్లయింట్‌తో బిజీగా ఉంది. యాదృచ్ఛిక సమయంలో ముగ్గురు విక్రేతలు ఒకే సమయంలో బిజీగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి (కస్టమర్‌లు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా వస్తారని భావించండి).

• టాస్క్ 5:కస్టమర్ సమీక్షల ఆధారంగా, మిఖాయిల్ మిఖైలోవిచ్ రెండు ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌ల విశ్వసనీయతను అంచనా వేశారు. స్టోర్ A నుండి కావలసిన ఉత్పత్తి బట్వాడా చేయబడే సంభావ్యత 0.81. ఈ ఉత్పత్తి B స్టోర్ నుండి బట్వాడా చేయబడే సంభావ్యత 0.93. మిఖాయిల్ మిఖైలోవిచ్ రెండు దుకాణాల నుండి ఒకేసారి వస్తువులను ఆర్డర్ చేశాడు. ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయని ఊహిస్తే, ఏ స్టోర్ ఉత్పత్తిని బట్వాడా చేయని సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 6:గ్రాండ్‌మాస్టర్ A. తెల్లగా ఆడితే, అతను గ్రాండ్‌మాస్టర్ B.పై సంభావ్యత 0.6తో గెలుస్తాడు. A. నలుపు రంగును ఆడితే, A. B.పై సంభావ్యత 0.4తో గెలుస్తుంది. గ్రాండ్‌మాస్టర్‌లు A. మరియు B. రెండు గేమ్‌లు ఆడతారు మరియు రెండవ గేమ్‌లో వారు పావుల రంగును మారుస్తారు. A. రెండు సార్లు గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

5 సమూహం:రెండు సూత్రాల ఉపయోగంతో కూడిన సమస్యలు.

• వ్యాయామం 1:అనుమానిత హెపటైటిస్ ఉన్న రోగులందరూ రక్త పరీక్ష చేయించుకుంటారు. పరీక్షలో హెపటైటిస్‌ని వెల్లడిస్తే, పరీక్ష ఫలితం పాజిటివ్ అంటారు. హెపటైటిస్ ఉన్న రోగులలో, విశ్లేషణ ఇస్తుంది సానుకూల ఫలితంసంభావ్యత 0.9 తో. రోగికి హెపటైటిస్ లేకపోతే, పరీక్ష 0.02 సంభావ్యతతో తప్పుడు సానుకూల ఫలితాన్ని ఇవ్వవచ్చు. అనుమానిత హెపటైటిస్‌తో చేరిన 66% మంది రోగులు వాస్తవానికి హెపటైటిస్‌తో బాధపడుతున్నారని తెలిసింది. అనుమానిత హెపటైటిస్‌తో క్లినిక్‌లో చేరిన రోగి పాజిటివ్‌గా పరీక్షించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

• టాస్క్ 2.కౌబాయ్ జాన్ జీరోడ్ రివాల్వర్‌ని పేల్చివేస్తే గోడపై ఉన్న ఈగను కొట్టే అవకాశం 0.9 ఉంటుంది. జాన్ కనిపించని రివాల్వర్‌ను కాల్చినట్లయితే, అతను సంభావ్యత 0.2తో ఫ్లైని కొట్టాడు. టేబుల్ మీద 10 రివాల్వర్లు ఉన్నాయి, వాటిలో 4 మాత్రమే కాల్చబడ్డాయి. కౌబాయ్ జాన్ గోడపై ఒక ఈగను చూస్తాడు, యాదృచ్ఛికంగా తనకు ఎదురుగా వచ్చిన మొదటి రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని ఈగను కాల్చాడు. జాన్ మిస్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

టాస్క్ 3:

కొన్ని ప్రాంతాలలో, పరిశీలనలు చూపించాయి:

1. జూన్ ఉదయం స్పష్టంగా ఉంటే, ఆ రోజున వర్షం పడే సంభావ్యత 0.1. 2. జూన్ ఉదయం మేఘావృతమై ఉంటే, పగటిపూట వర్షం పడే సంభావ్యత 0.4. 3. జూన్‌లో ఉదయం మేఘావృతంగా ఉండే సంభావ్యత 0.3.

జూన్‌లో యాదృచ్ఛిక రోజున వర్షం పడని సంభావ్యతను కనుగొనండి.

టాస్క్ 4.ఫిరంగి కాల్పుల సమయంలో, ఆటోమేటిక్ సిస్టమ్ లక్ష్యాన్ని కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యం నాశనం కాకపోతే, సిస్టమ్ రెండవ షాట్‌ను కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే వరకు షాట్లు పునరావృతమవుతాయి. మొదటి షాట్‌తో నిర్దిష్ట లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత 0.3 మరియు ప్రతి తదుపరి షాట్‌తో అది 0.9. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత కనీసం 0.96 అని నిర్ధారించడానికి ఎన్ని షాట్‌లు అవసరం?

ఇప్పటి వరకు తీసుకొచ్చారు తెరిచిన కూజాగణితంలో ఏకీకృత స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సమస్యలు (mathege.ru), దీని పరిష్కారం ఒకే ఒక సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది క్లాసిక్ నిర్వచనంసంభావ్యతలు.

సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి సులభమైన మార్గం ఉదాహరణలతో.
ఉదాహరణ 1.బుట్టలో 9 ఎరుపు బంతులు మరియు 3 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. బంతులు రంగులో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. మేము వాటిలో ఒకదానిని యాదృచ్ఛికంగా (చూడకుండా) తీసివేస్తాము. ఈ విధంగా ఎంచుకున్న బంతి నీలం రంగులో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?

ఒక వ్యాఖ్య.సంభావ్యత సిద్ధాంతంలోని సమస్యలలో, ఏదో జరుగుతుంది (లో ఈ విషయంలోబంతిని బయటకు లాగడం మా చర్య), ఇది భిన్నమైన ఫలితాన్ని కలిగి ఉంటుంది - ఫలితం. ఫలితాన్ని వివిధ మార్గాల్లో చూడవచ్చని గమనించాలి. "మేము ఒక రకమైన బంతిని తీసివేసాము" కూడా ఫలితం. "మేము నీలిరంగు బంతిని తీసివేసాము" - ఫలితం. "మేము ఈ బంతిని సాధ్యమయ్యే అన్ని బంతుల నుండి ఖచ్చితంగా తీసివేసాము" - ఫలితం యొక్క ఈ తక్కువ సాధారణ వీక్షణను ప్రాథమిక ఫలితం అంటారు. ఇది సంభావ్యతను లెక్కించడానికి సూత్రంలో ఉద్దేశించిన ప్రాథమిక ఫలితాలు.

పరిష్కారం.ఇప్పుడు నీలిరంగు బంతిని ఎంచుకునే సంభావ్యతను గణిద్దాం.
ఈవెంట్ A: "ఎంచుకున్న బంతి నీలం రంగులోకి మారింది"
సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య: 9+3=12 (మనం డ్రా చేయగల అన్ని బంతుల సంఖ్య)
ఈవెంట్ A: 3కి అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (సంఘటన A సంభవించిన అటువంటి ఫలితాల సంఖ్య - అంటే నీలి బంతుల సంఖ్య)
P(A)=3/12=1/4=0.25
సమాధానం: 0.25

అదే సమస్య కోసం, ఎరుపు బంతిని ఎంచుకునే సంభావ్యతను గణిద్దాం.
సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య అలాగే ఉంటుంది, 12. అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య: 9. సంభావ్యత కోరింది: 9/12=3/4=0.75

ఏదైనా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటుంది.
కొన్నిసార్లు రోజువారీ ప్రసంగంలో (కానీ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కాదు!) సంఘటనల సంభావ్యత శాతంగా అంచనా వేయబడుతుంది. గణిత మరియు సంభాషణ స్కోర్‌ల మధ్య మార్పు 100% ద్వారా గుణించడం (లేదా విభజించడం) ద్వారా సాధించబడుతుంది.
కాబట్టి,
అంతేకాకుండా, జరగని సంఘటనలకు సంభావ్యత సున్నా - నమ్మశక్యం కాదు. ఉదాహరణకు, మా ఉదాహరణలో ఇది బుట్ట నుండి ఆకుపచ్చ బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత అవుతుంది. (సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణిస్తే అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య 0, P(A)=0/12=0)
సంభావ్యత 1 ఎంపికలు లేకుండా ఖచ్చితంగా జరిగే ఈవెంట్‌లను కలిగి ఉంది. ఉదాహరణకు, "ఎంచుకున్న బంతి ఎరుపు లేదా నీలం రంగులో ఉంటుంది" అనే సంభావ్యత మా పని కోసం. (అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య: 12, P(A)=12/12=1)

మేము సమీక్షించాము క్లాసిక్ ఉదాహరణ, సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనాన్ని వివరిస్తుంది. అన్నీ ఇలాంటి పనులుసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలు ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి.
ఎరుపు మరియు నీలం బంతుల స్థానంలో యాపిల్స్ మరియు బేరి, అబ్బాయిలు మరియు అమ్మాయిలు, నేర్చుకున్న మరియు నేర్చుకోని టిక్కెట్లు, నిర్దిష్ట అంశంపై ప్రశ్నను కలిగి ఉన్న మరియు లేని టిక్కెట్లు (ప్రోటోటైప్‌లు,), లోపభూయిష్ట మరియు అధిక-నాణ్యత సంచులు లేదా తోట పంపులు ( నమూనాలు,) - సూత్రం అలాగే ఉంటుంది.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సమస్య సూత్రీకరణలో అవి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి, ఇక్కడ మీరు ఒక నిర్దిష్ట రోజున సంభవించే కొన్ని సంఘటనల సంభావ్యతను లెక్కించాలి. ( , ) మునుపటి సమస్యల మాదిరిగానే, మీరు ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటో గుర్తించి, ఆపై అదే సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి.

ఉదాహరణ 2.సదస్సు మూడు రోజుల పాటు కొనసాగుతుంది. మొదటి మరియు రెండవ రోజులలో 15 మంది వక్తలు ఉంటారు, మూడవ రోజున - 20. లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నివేదికల క్రమాన్ని నిర్ణయించినట్లయితే, మూడవ రోజు ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?

ఇక్కడ ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటి? - సాధ్యమైన అన్నింటిలో ఒక ప్రొఫెసర్ నివేదికను కేటాయించడం క్రమ సంఖ్యలుఒక ప్రదర్శన కోసం. డ్రాలో 15+15+20=50 మంది పాల్గొంటారు. అందువలన, ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక 50 సమస్యలలో ఒకదానిని అందుకోవచ్చు. అంటే 50 ప్రాథమిక ఫలితాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.
అనుకూల ఫలితాలు ఏమిటి? - మూడవ రోజు ప్రొఫెసర్ మాట్లాడతారని తేలింది. అంటే, చివరి 20 సంఖ్యలు.
సూత్రం ప్రకారం, సంభావ్యత P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
సమాధానం: 0.4

ఇక్కడ లాట్ డ్రాయింగ్ అనేది వ్యక్తులు మరియు ఆర్డర్ చేసిన స్థలాల మధ్య యాదృచ్ఛిక అనురూపాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఉదాహరణ 2లో, ఏ స్థలాలను తీసుకోవచ్చనే కోణం నుండి కరస్పాండెన్స్ ఏర్పాటు పరిగణించబడింది ప్రత్యేక వ్యక్తి. మీరు అవతలి వైపు నుండి అదే పరిస్థితిని చేరుకోవచ్చు: సంభావ్యత ఉన్న వ్యక్తులలో ఎవరు చిక్కుకోగలరు? నిర్దిష్ట స్థలం(ప్రోటోటైప్‌లు , , , ):

ఉదాహరణ 3.డ్రాలో 5 మంది జర్మన్లు, 8 మంది ఫ్రెంచ్ మరియు 3 ఎస్టోనియన్లు ఉన్నారు. మొదటి (/రెండవ/ఏడవ/చివరి - ఇది పట్టింపు లేదు) ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి అయ్యే సంభావ్యత ఏమిటి.

ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య - అన్నింటి సంఖ్య సాధ్యమైన వ్యక్తులు, ఇది లాట్‌లు గీయడం ద్వారా పొందవచ్చు ఈ ప్రదేశం. 5+8+3=16 మంది.
అనుకూల ఫలితాలు - ఫ్రెంచ్. 8 మంది.
అవసరమైన సంభావ్యత: 8/16=1/2=0.5
సమాధానం: 0.5

ప్రోటోటైప్ కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. నాణేలు () మరియు పాచికలు () గురించి ఇంకా సమస్యలు ఉన్నాయి, ఇవి కొంత సృజనాత్మకంగా ఉంటాయి. ఈ సమస్యలకు పరిష్కారం ప్రోటోటైప్ పేజీలలో చూడవచ్చు.

నాణెం లేదా పాచికలు విసిరే కొన్ని ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 4.మనం నాణెం విసిరినప్పుడు, తలపైకి దిగే సంభావ్యత ఎంత?
2 ఫలితాలు ఉన్నాయి - తలలు లేదా తోకలు. (నాణెం ఎప్పుడూ దాని అంచున దిగదని నమ్ముతారు) అనుకూలమైన ఫలితం తోకలు, 1.
సంభావ్యత 1/2=0.5
సమాధానం: 0.5.

ఉదాహరణ 5.మనం ఒక నాణెం రెండుసార్లు విసిరితే? రెండు సార్లు తలలు వచ్చే అవకాశం ఎంత?
రెండు నాణేలను విసిరేటప్పుడు మనం ఏ ప్రాథమిక ఫలితాలను పరిశీలిస్తామో నిర్ణయించడం ప్రధాన విషయం. రెండు నాణేలను విసిరిన తర్వాత, కింది ఫలితాలలో ఒకటి సంభవించవచ్చు:
1) PP - రెండు సార్లు అది తలపైకి వచ్చింది
2) PO - మొదటిసారి తలలు, రెండవ సారి తలలు
3) OP - మొదటి సారి తల, రెండవ సారి తోక
4) OO - తలలు రెండు సార్లు పైకి వచ్చాయి
ఇతర ఎంపికలు లేవు. దీని అర్థం 4 ప్రాథమిక ఫలితాలు ఉన్నాయి, మొదటిది 1 మాత్రమే అనుకూలమైనది.
సంభావ్యత: 1/4=0.25
సమాధానం: 0.25

రెండు నాణేలు టాసుల వల్ల టెయిల్స్ ఏర్పడే సంభావ్యత ఎంత?
ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉంటుంది, 4. అనుకూలమైన ఫలితాలు రెండవ మరియు మూడవవి, 2.
ఒక తోకను పొందే సంభావ్యత: 2/4=0.5

అటువంటి సమస్యలలో, మరొక సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది.
ఒక నాణెం టాసు సమయంలో ఉంటే సాధ్యం ఎంపికలుమాకు 2 ఫలితాలు ఉన్నాయి, ఆపై రెండు త్రోలకు ఫలితాలు 2 2 = 2 2 = 4 (ఉదాహరణ 5 వలె), మూడు త్రోలకు 2 2 2 = 2 3 = 8, నాలుగు కోసం: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N త్రోల కోసం సాధ్యం ఫలితాలు 2·2·...·2=2 N ఉంటుంది.

కాబట్టి, మీరు 5 కాయిన్ టాసులలో 5 తలలను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనవచ్చు.
ప్రాథమిక ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య: 2 5 =32.
అనుకూల ఫలితాలు: 1. (RRRRRR – మొత్తం 5 సార్లు తలపెట్టండి)
సంభావ్యత: 1/32=0.03125

పాచికలకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. ఒక త్రోతో, రెండు త్రోలకు 6 ఫలితాలు ఉన్నాయి: 6 6 = 36, మూడు 6 6 6 = 216, మొదలైనవి.

ఉదాహరణ 6.మేము పాచికలు త్రో. సరి సంఖ్య రోల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి?

మొత్తం ఫలితాలు: 6, భుజాల సంఖ్య ప్రకారం.
అనుకూలం: 3 ఫలితాలు. (2, 4, 6)
సంభావ్యత: 3/6=0.5

ఉదాహరణ 7.మేము రెండు పాచికలు విసిరేస్తాము. మొత్తం 10 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత? (సమీప వందవ వంతు వరకు)

ఒక మరణానికి 6 సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి. అంటే పై నియమం ప్రకారం ఇద్దరికి 6·6=36.
మొత్తం 10కి చేరుకోవడానికి ఏ ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి?
10 తప్పనిసరిగా 1 నుండి 6 వరకు ఉన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తంలో కుళ్ళిపోవాలి. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: 10=6+4 మరియు 10=5+5. దీని అర్థం ఘనాల కోసం క్రింది ఎంపికలు సాధ్యమే:
(మొదటిది 6 మరియు రెండవది 4)
(మొదటిది 4 మరియు రెండవది 6)
(మొదటిది 5 మరియు రెండవది 5)
మొత్తం, 3 ఎంపికలు. అవసరమైన సంభావ్యత: 3/36=1/12=0.08
సమాధానం: 0.08

ఇతర రకాల B6 సమస్యలు భవిష్యత్తులో ఎలా పరిష్కరించాలి అనే కథనంలో చర్చించబడతాయి.

“ప్రమాదాలు ప్రమాదవశాత్తు కాదు”... ఏదో ఒక తత్వవేత్త చెప్పినట్లు అనిపిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి ప్రమాదాలను అధ్యయనం చేయడం విధి గొప్ప శాస్త్రంగణితం. గణితంలో, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ద్వారా అవకాశం పరిష్కరించబడుతుంది. సూత్రాలు మరియు పనుల ఉదాహరణలు, అలాగే ఈ శాస్త్రం యొక్క ప్రధాన నిర్వచనాలు వ్యాసంలో ప్రదర్శించబడతాయి.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం అంటే ఏమిటి?

యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను అధ్యయనం చేసే గణిత విభాగాలలో సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఒకటి.

కొంచెం స్పష్టంగా చెప్పాలంటే ఇద్దాం చిన్న ఉదాహరణ: మీరు నాణేన్ని పైకి తిప్పితే, అది తలలు లేదా తోకలపై పడవచ్చు. నాణెం గాలిలో ఉన్నప్పుడు, ఈ రెండు సంభావ్యతలు సాధ్యమే. అంటే, సంభావ్యత సాధ్యమయ్యే పరిణామాలునిష్పత్తి 1:1. 36 కార్డ్‌ల డెక్ నుండి ఒకటి డ్రా అయినట్లయితే, సంభావ్యత 1:36గా సూచించబడుతుంది. ముఖ్యంగా సహాయంతో ఇక్కడ అన్వేషించడానికి మరియు అంచనా వేయడానికి ఏమీ లేదని అనిపిస్తుంది గణిత సూత్రాలు. అయితే, మీరు పునరావృతం చేస్తే నిర్దిష్ట చర్యఅనేక సార్లు, ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను గుర్తించడం మరియు దాని ఆధారంగా, ఇతర పరిస్థితులలో సంఘటనల ఫలితాలను అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.

పైన పేర్కొన్నవన్నీ క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే, శాస్త్రీయ కోణంలో సంభావ్యత సిద్ధాంతం సంఖ్యా విలువలో సాధ్యమయ్యే సంఘటనలలో ఒకటి సంభవించే అవకాశాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది.

చరిత్ర పుటల నుండి

మొదటి పనుల యొక్క సంభావ్యత, సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు సుదూర మధ్య యుగాలలో కనిపించాయి, మొదట కార్డ్ గేమ్‌ల ఫలితాలను అంచనా వేసే ప్రయత్నాలు ఉద్భవించాయి.

ప్రారంభంలో, సంభావ్యత సిద్ధాంతానికి గణితంతో సంబంధం లేదు. ఆమె స్థిరపడింది అనుభావిక వాస్తవాలులేదా ఆచరణలో పునరుత్పత్తి చేయగల సంఘటన యొక్క లక్షణాలు. గణితశాస్త్ర విభాగంగా ఈ ప్రాంతంలో మొదటి రచనలు 17వ శతాబ్దంలో కనిపించాయి. వ్యవస్థాపకులు బ్లేజ్ పాస్కల్ మరియు పియరీ ఫెర్మాట్. చాలా కాలంవారు చదువుకున్నారు జూదంమరియు వారు ప్రజలకు చెప్పాలని నిర్ణయించుకున్న కొన్ని నమూనాలను చూశారు.

పాస్కల్ మరియు ఫెర్మాట్ పరిశోధన ఫలితాల గురించి అతనికి తెలియనప్పటికీ, అదే సాంకేతికతను క్రిస్టియాన్ హ్యూజెన్స్ కనుగొన్నారు. క్రమశిక్షణ చరిత్రలో మొదటిదిగా పరిగణించబడే "సంభావ్యత సిద్ధాంతం", సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు అతనిచే పరిచయం చేయబడ్డాయి.

జాకబ్ బెర్నౌలీ, లాప్లేస్ మరియు పాయిసన్ సిద్ధాంతాల రచనలు కూడా చిన్న ప్రాముఖ్యతను కలిగి లేవు. వారు సంభావ్యత సిద్ధాంతాన్ని గణిత శాస్త్ర విభాగం వలె రూపొందించారు. సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు ప్రాథమిక పనుల ఉదాహరణలు కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సిద్ధాంతాల కారణంగా వాటి ప్రస్తుత రూపాన్ని పొందాయి. అన్ని మార్పుల ఫలితంగా, సంభావ్యత సిద్ధాంతం గణిత శాఖలలో ఒకటిగా మారింది.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు. ఈవెంట్స్

ఈ క్రమశిక్షణ యొక్క ప్రధాన భావన "ఈవెంట్". మూడు రకాల సంఘటనలు ఉన్నాయి:

• విశ్వసనీయమైనది.ఎలాగైనా జరిగేవి (నాణెం పడిపోతుంది).
• అసాధ్యం.ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ జరగని సంఘటనలు (నాణెం గాలిలో వేలాడుతూనే ఉంటుంది).
• యాదృచ్ఛికంగా.జరిగేవి లేదా జరగనివి. వారు ప్రభావితం కావచ్చు వివిధ కారకాలు, ఊహించడం చాలా కష్టం. మేము నాణెం గురించి మాట్లాడినట్లయితే, అప్పుడు యాదృచ్ఛిక కారకాలు, ఇది ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది: భౌతిక లక్షణాలునాణేలు, దాని ఆకారం, ప్రారంభ స్థానం, విసిరే శక్తి మొదలైనవి.

ఉదాహరణలలోని అన్ని సంఘటనలు క్యాపిటల్స్‌లో సూచించబడ్డాయి లాటిన్ అక్షరాలతో, విభిన్న పాత్రను కలిగి ఉన్న P మినహా. ఉదాహరణకి:

• A = "విద్యార్థులు ఉపన్యాసానికి వచ్చారు."
• Ā = "విద్యార్థులు ఉపన్యాసానికి రాలేదు."

IN ఆచరణాత్మక పనులుసంఘటనలు సాధారణంగా పదాలలో రికార్డ్ చేయబడతాయి.

సంఘటనల యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకటి వాటి సమాన అవకాశం. అంటే, మీరు ఒక నాణెం టాసు చేస్తే, అది పడిపోయే వరకు ప్రారంభ పతనం యొక్క అన్ని రకాలు సాధ్యమే. కానీ సంఘటనలు కూడా సమానంగా సాధ్యం కాదు. ఎవరైనా ఉద్దేశపూర్వకంగా ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేసినప్పుడు ఇది జరుగుతుంది. ఉదాహరణకు, "గుర్తించబడిన" ప్లేయింగ్ కార్డ్‌లు లేదా పాచికలు, దీనిలో గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం మార్చబడుతుంది.

ఈవెంట్‌లు అనుకూలమైనవి మరియు అననుకూలమైనవి కూడా కావచ్చు. అనుకూల సంఘటనలు ఒకదానికొకటి సంభవించడాన్ని మినహాయించవు. ఉదాహరణకి:

• A = "విద్యార్థి ఉపన్యాసానికి వచ్చాడు."
• B = "విద్యార్థి ఉపన్యాసానికి వచ్చారు."

ఈ సంఘటనలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు వాటిలో ఒకటి సంభవించడం మరొకటి సంభవించడాన్ని ప్రభావితం చేయదు. అననుకూల సంఘటనలు ఒకదాని సంభవం మరొకటి సంభవించడాన్ని మినహాయించడం ద్వారా నిర్వచించబడతాయి. మేము అదే నాణెం గురించి మాట్లాడినట్లయితే, "తోకలు" కోల్పోవడం వలన అదే ప్రయోగంలో "తలలు" కనిపించడం అసాధ్యం.

సంఘటనలపై చర్యలు

ఈవెంట్‌లను గుణించవచ్చు మరియు తదనుగుణంగా జోడించవచ్చు, క్రమశిక్షణను పరిచయం చేస్తుంది తార్కిక అనుసంధానాలు"AND" మరియు "OR".

ఈవెంట్ A లేదా B లేదా రెండు ఏకకాలంలో సంభవించవచ్చు అనే వాస్తవం ద్వారా మొత్తం నిర్ణయించబడుతుంది. ఒకవేళ అవి అనుకూలించని పక్షంలో, చివరి ఎంపికఅసాధ్యం, A లేదా B రోల్ చేయబడుతుంది.

సంఘటనల గుణకారం ఒకే సమయంలో A మరియు B రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఇప్పుడు మనం బేసిక్స్, ప్రాబబిలిటీ థియరీ మరియు ఫార్ములాలను బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి అనేక ఉదాహరణలు ఇవ్వవచ్చు. దిగువ సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు.

వ్యాయామం 1: కంపెనీ మూడు రకాల పని కోసం కాంట్రాక్టులను స్వీకరించడానికి పోటీలో పాల్గొంటుంది. సంభవించే సంభావ్య సంఘటనలు:

• A = "సంస్థ మొదటి ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది."
• A 1 = "సంస్థ మొదటి ఒప్పందాన్ని స్వీకరించదు."
• B = "సంస్థ రెండవ ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది."
• B 1 = "సంస్థ రెండవ ఒప్పందాన్ని స్వీకరించదు"
• C = "సంస్థ మూడవ ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది."
• C 1 = "సంస్థ మూడవ ఒప్పందాన్ని స్వీకరించదు."

ఈవెంట్‌లపై చర్యలను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది పరిస్థితులను వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము:

• K = "కంపెనీ అన్ని ఒప్పందాలను స్వీకరిస్తుంది."

IN గణిత రూపంసమీకరణం ఉంటుంది తదుపరి వీక్షణ: K = ABC.

• M = "కంపెనీ ఒక్క ఒప్పందాన్ని పొందదు."

M = A 1 B 1 C 1.

పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం: H = "కంపెనీ ఒక ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది." కంపెనీ ఏ కాంట్రాక్టును స్వీకరిస్తుందో తెలియదు కాబట్టి (మొదటి, రెండవ లేదా మూడవ), సాధ్యమయ్యే ఈవెంట్‌ల మొత్తం శ్రేణిని రికార్డ్ చేయడం అవసరం:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

మరియు 1 BC 1 అనేది సంస్థ మొదటి మరియు మూడవ ఒప్పందాన్ని స్వీకరించని సంఘటనల శ్రేణి, కానీ రెండవది పొందుతుంది. మరికొన్ని సంబంధిత పద్ధతిని ఉపయోగించి రికార్డ్ చేయబడ్డాయి. సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు. క్రమశిక్షణలో υ గుర్తు కనెక్టివ్ "OR"ని సూచిస్తుంది. మేము పై ఉదాహరణను అనువదిస్తే మానవ భాష, అప్పుడు కంపెనీ మూడవ ఒప్పందాన్ని లేదా రెండవది లేదా మొదటిది పొందుతుంది. ఇదే విధంగామీరు "ప్రాబబిలిటీ థియరీ" అనే క్రమశిక్షణలో ఇతర షరతులను వ్రాయవచ్చు. పైన అందించిన సమస్య పరిష్కార సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు దీన్ని మీరే చేయడంలో మీకు సహాయపడతాయి.

వాస్తవానికి, సంభావ్యత

బహుశా, ఈ గణిత శాస్త్ర విభాగంలో, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత అనేది కేంద్ర భావన. సంభావ్యత యొక్క 3 నిర్వచనాలు ఉన్నాయి:

• క్లాసిక్;
• గణాంక;
• రేఖాగణిత.

సంభావ్యత అధ్యయనంలో ప్రతి దానికీ దాని స్థానం ఉంది. సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు (9వ తరగతి) ప్రధానంగా శాస్త్రీయ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాయి, ఇది ఇలా ఉంటుంది:

• పరిస్థితి A యొక్క సంభావ్యత దాని సంభవించిన అన్ని ఫలితాల సంఖ్యకు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానం.

సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది: P(A)=m/n.

A నిజానికి ఒక సంఘటన. A కి ఎదురుగా ఉన్న సందర్భం కనిపిస్తే, దానిని Ā లేదా A 1 గా వ్రాయవచ్చు.

m అనేది అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య.

n - జరిగే అన్ని సంఘటనలు.

ఉదాహరణకు, A = "హార్ట్ సూట్ యొక్క కార్డును గీయండి." ప్రామాణిక డెక్‌లో 36 కార్డులు ఉన్నాయి, వాటిలో 9 హృదయాలు ఉన్నాయి. దీని ప్రకారం, సమస్యను పరిష్కరించడానికి సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

P(A)=9/36=0.25.

ఫలితంగా, డెక్ నుండి హార్ట్ సూట్ యొక్క కార్డ్ డ్రా చేయబడే సంభావ్యత 0.25 అవుతుంది.

ఉన్నత గణిత శాస్త్రం వైపు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు ఏమిటో ఇప్పుడు చాలా తక్కువగా తెలుసు. పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. అయినప్పటికీ, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఉన్నత గణితంలో కూడా కనుగొనబడింది, ఇది విశ్వవిద్యాలయాలలో బోధించబడుతుంది. చాలా తరచుగా వారు రేఖాగణిత మరియు పని చేస్తారు గణాంక నిర్వచనాలుసిద్ధాంతాలు మరియు సంక్లిష్ట సూత్రాలు.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం చాలా ఆసక్తికరమైనది. సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు ( ఉన్నత గణితం) సంభావ్యత యొక్క గణాంక (లేదా ఫ్రీక్వెన్సీ) నిర్వచనంతో - చిన్నదిగా అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించడం మంచిది.

గణాంక విధానం శాస్త్రీయ పద్ధతికి విరుద్ధంగా లేదు, కానీ దానిని కొద్దిగా విస్తరిస్తుంది. మొదటి సందర్భంలో ఒక సంఘటన ఏ సంభావ్యతతో సంభవిస్తుందో నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉంటే, ఈ పద్ధతిలో అది ఎంత తరచుగా జరుగుతుందో సూచించడం అవసరం. ఇక్కడ "సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ" యొక్క కొత్త భావన పరిచయం చేయబడింది, దీనిని W n (A) ద్వారా సూచించవచ్చు. ఫార్ములా క్లాసిక్ నుండి భిన్నంగా లేదు:

ఉంటే క్లాసిక్ ఫార్ములాఅంచనా కోసం లెక్కించబడుతుంది, ఆపై గణాంక - ప్రయోగం ఫలితాల ప్రకారం. ఉదాహరణకు ఒక చిన్న పని తీసుకుందాం.

శాఖ సాంకేతిక నియంత్రణనాణ్యత కోసం ఉత్పత్తులను తనిఖీ చేస్తుంది. 100 ఉత్పత్తుల్లో 3 నాణ్యత లేనివిగా గుర్తించారు. నాణ్యమైన ఉత్పత్తి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ సంభావ్యతను ఎలా కనుగొనాలి?

A = "నాణ్యమైన ఉత్పత్తి యొక్క రూపాన్ని."

W n (A)=97/100=0.97

అందువలన, నాణ్యమైన ఉత్పత్తి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ 0.97. మీకు 97 ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? తనిఖీ చేసిన 100 ఉత్పత్తుల్లో 3 నాణ్యత లేనివిగా గుర్తించారు. మేము 100 నుండి 3ని తీసివేసి 97 పొందుతాము, ఇది నాణ్యమైన వస్తువుల మొత్తం.

కాంబినేటరిక్స్ గురించి కొంచెం

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క మరొక పద్ధతిని కాంబినేటరిక్స్ అంటారు. దీని ప్రాథమిక సూత్రం ఏమిటంటే ఒక నిర్దిష్ట ఎంపిక A అయితే m చేయవచ్చు వివిధ మార్గాలు, మరియు B యొక్క ఎంపిక వివిధ మార్గాల్లో ఉంటుంది, అప్పుడు A మరియు B యొక్క ఎంపికను గుణకారం ద్వారా చేయవచ్చు.

ఉదాహరణకు, సిటీ A నుండి సిటీ Bకి 5 రోడ్లు ఉన్నాయి. నగరం B నుండి సిటీ Cకి 4 మార్గాలు ఉన్నాయి. మీరు సిటీ A నుండి సిటీ Cకి ఎన్ని మార్గాల్లో చేరుకోవచ్చు?

ఇది చాలా సులభం: 5x4=20, అంటే ఇరవై రకాలుగా మీరు పాయింట్ A నుండి పాయింట్ C వరకు పొందవచ్చు.

పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం. సాలిటైర్‌లో కార్డులను వేయడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి? డెక్‌లో 36 కార్డులు ఉన్నాయి - ఇది ప్రారంభ స్థానం. మార్గాల సంఖ్యను తెలుసుకోవడానికి, మీకు అవసరం ప్రారంభ స్థానంఒక సమయంలో ఒక కార్డును "తీసివేయండి" మరియు గుణించండి.

అంటే, 36x35x34x33x32...x2x1= ఫలితం కాలిక్యులేటర్ స్క్రీన్‌పై సరిపోదు, కాబట్టి దీనిని కేవలం 36గా పేర్కొనవచ్చు!. సైన్ "!" సంఖ్య పక్కన మొత్తం సంఖ్యల శ్రేణి కలిసి గుణించబడిందని సూచిస్తుంది.

కాంబినేటరిక్స్‌లో ప్రస్తారణ, ప్లేస్‌మెంట్ మరియు కలయిక వంటి భావనలు ఉన్నాయి. వాటిలో ప్రతి దాని స్వంత ఫార్ములా ఉంది.

సెట్ యొక్క మూలకాల యొక్క ఆర్డర్ సెట్‌ను అమరిక అంటారు. ప్లేస్‌మెంట్‌లను పునరావృతం చేయవచ్చు, అంటే, ఒక మూలకాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించవచ్చు. మరియు పునరావృతం లేకుండా, మూలకాలు పునరావృతం కానప్పుడు. n అనేది అన్ని మూలకాలు, m అనేది ప్లేస్‌మెంట్‌లో పాల్గొనే మూలకాలు. పునరావృతం లేకుండా ప్లేస్‌మెంట్ కోసం సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

A n m =n!/(n-m)!

ప్లేస్‌మెంట్ క్రమంలో మాత్రమే తేడా ఉండే n మూలకాల కనెక్షన్‌లను ప్రస్తారణలు అంటారు. గణితంలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: P n = n!

m యొక్క n మూలకాల కలయికలు ఆ సమ్మేళనాలు, అవి ఏ మూలకాలు మరియు వాటి మొత్తం సంఖ్య ఎంత అనేది ముఖ్యమైనది. ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది:

A n m =n!/m!(n-m)!

బెర్నౌలీ సూత్రం

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, అలాగే ప్రతి విభాగంలోనూ, దానిని తీసుకువచ్చిన వారి రంగంలో అత్యుత్తమ పరిశోధకుల రచనలు ఉన్నాయి. కొత్త స్థాయి. ఈ రచనలలో ఒకటి బెర్నౌలీ ఫార్ములా, ఇది సంభవించే సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది నిర్దిష్ట సంఘటనస్వతంత్ర పరిస్థితులలో. ప్రయోగంలో A సంభవించడం అనేది మునుపటి లేదా తదుపరి ట్రయల్స్‌లో అదే సంఘటన సంభవించడం లేదా జరగకపోవడంపై ఆధారపడి ఉండదని ఇది సూచిస్తుంది.

బెర్నౌలీ సమీకరణం:

P n (m) = C n m ×p m × q n-m.

ప్రతి ట్రయల్‌కు ఈవెంట్ (A) సంభవించే సంభావ్యత (p) స్థిరంగా ఉంటుంది. n ప్రయోగాలలో పరిస్థితి సరిగ్గా m సార్లు సంభవించే సంభావ్యత పైన అందించిన ఫార్ములా ద్వారా గణించబడుతుంది. దీని ప్రకారం, q సంఖ్యను ఎలా కనుగొనాలనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది.

ఈవెంట్ A అనేక సార్లు p సంభవించినట్లయితే, తదనుగుణంగా, అది జరగకపోవచ్చు. యూనిట్ అనేది ఒక క్రమశిక్షణలో పరిస్థితి యొక్క అన్ని ఫలితాలను సూచించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్య. కాబట్టి, q అనేది ఒక సంఘటన జరగని అవకాశాన్ని సూచించే సంఖ్య.

ఇప్పుడు మీకు బెర్నౌలీ సూత్రం (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) తెలుసు. మేము దిగువ సమస్య పరిష్కార (మొదటి స్థాయి) ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.

టాస్క్ 2:ఒక స్టోర్ సందర్శకుడు సంభావ్యత 0.2తో కొనుగోలు చేస్తాడు. 6 మంది సందర్శకులు స్వతంత్రంగా స్టోర్‌లోకి ప్రవేశించారు. సందర్శకుడు కొనుగోలు చేసే అవకాశం ఎంత?

పరిష్కారం: ఎంత మంది సందర్శకులు కొనుగోలు చేస్తారో తెలియదు, ఒకటి లేదా మొత్తం ఆరు, బెర్నౌలీ ఫార్ములా ఉపయోగించి సాధ్యమయ్యే అన్ని సంభావ్యతలను లెక్కించడం అవసరం.

A = "సందర్శకుడు కొనుగోలు చేస్తాడు."

ఈ సందర్భంలో: p = 0.2 (పనిలో సూచించినట్లు). దీని ప్రకారం, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (స్టోర్‌లో 6 మంది కస్టమర్‌లు ఉన్నారు కాబట్టి). m సంఖ్య 0 (ఒక్క కస్టమర్ కూడా కొనుగోలు చేయడు) నుండి 6 వరకు మారుతుంది (స్టోర్‌కి వచ్చే సందర్శకులందరూ ఏదైనా కొనుగోలు చేస్తారు). ఫలితంగా, మేము పరిష్కారం పొందుతాము:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

కొనుగోలుదారులు ఎవరూ సంభావ్యత 0.2621తో కొనుగోలు చేయరు.

బెర్నౌలీ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) ఇంకా ఎలా ఉపయోగించబడుతుంది? దిగువ సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు (రెండవ స్థాయి).

పై ఉదాహరణ తర్వాత, C మరియు r ఎక్కడికి వెళ్లాయి అనే ప్రశ్నలు తలెత్తుతాయి. pకి సంబంధించి, 0 యొక్క శక్తికి ఒక సంఖ్య ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది. C కొరకు, దీనిని ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనవచ్చు:

C n m = n! /m!(n-m)!

మొదటి ఉదాహరణలో m = 0, వరుసగా, C = 1, ఇది సూత్రప్రాయంగా ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయదు. ఉపయోగించి కొత్త ఫార్ములా, ఇద్దరు సందర్శకులు వస్తువులను కొనుగోలు చేసే సంభావ్యత ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం అంత క్లిష్టంగా లేదు. బెర్నౌలీ సూత్రం, వీటికి ఉదాహరణలు పైన అందించబడ్డాయి, దానికి నేరుగారుజువు.

పాయిసన్ సూత్రం

తక్కువ సంభావ్యత యాదృచ్ఛిక పరిస్థితులను లెక్కించడానికి పాయిసన్ సమీకరణం ఉపయోగించబడుతుంది.

ప్రాథమిక సూత్రం:

P n (m)=λ m /m! × ఇ (-λ) .

ఈ సందర్భంలో λ = n x p. ఇక్కడ ఒక సాధారణ పాయిజన్ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) ఉంది. మేము దిగువ సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.

టాస్క్ 3: ఫ్యాక్టరీ 100,000 భాగాలను ఉత్పత్తి చేసింది. లోపభూయిష్ట భాగం సంభవించడం = 0.0001. ఒక బ్యాచ్‌లో 5 లోపభూయిష్ట భాగాలు ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వివాహం అనేది అసంభవమైన సంఘటన, అందువల్ల పాయిసన్ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) గణన కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు క్రమశిక్షణలోని ఇతర పనుల నుండి భిన్నంగా ఉండవు;

A = "యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన భాగం లోపభూయిష్టంగా ఉంటుంది."

p = 0.0001 (పని పరిస్థితుల ప్రకారం).

n = 100000 (భాగాల సంఖ్య).

m = 5 (లోపభూయిష్ట భాగాలు). మేము డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు పొందండి:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

బెర్నౌలీ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) వలె, పైన వ్రాసిన పరిష్కారాల ఉదాహరణలు, పాయిసన్ సమీకరణం తెలియని ఇను కలిగి ఉంటుంది.

e -λ = లిమ్ n ->∞ (1-λ/n) n .

అయినప్పటికీ, ఇ యొక్క దాదాపు అన్ని విలువలను కలిగి ఉన్న ప్రత్యేక పట్టికలు ఉన్నాయి.

డి మోయివ్రే-లాప్లేస్ సిద్ధాంతం

బెర్నౌలీ స్కీమ్‌లో ట్రయల్స్ సంఖ్య తగినంతగా ఉంటే మరియు అన్ని స్కీమ్‌లలో ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యత ఒకేలా ఉంటే, పరీక్షల శ్రేణిలో నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యతను దీని ద్వారా కనుగొనవచ్చు లాప్లేస్ సూత్రం:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

లాప్లేస్ సూత్రాన్ని (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) మెరుగ్గా గుర్తుంచుకోవడానికి, సహాయం కోసం సమస్యల ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

ముందుగా, X mని కనుగొని, డేటాను (అవన్నీ పైన జాబితా చేయబడ్డాయి) ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసి 0.025 పొందండి. పట్టికలను ఉపయోగించి, మేము ϕ (0.025) సంఖ్యను కనుగొంటాము, దీని విలువ 0.3988. ఇప్పుడు మీరు మొత్తం డేటాను ఫార్ములాలో భర్తీ చేయవచ్చు:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

అందువలన, ఫ్లైయర్ సరిగ్గా 267 సార్లు పని చేసే సంభావ్యత 0.03.

బేస్ ఫార్ములా

బేయెస్ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం), దాని సహాయంతో సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు క్రింద ఇవ్వబడతాయి, ఇది ఒక సంఘటనతో అనుబంధించబడే పరిస్థితుల ఆధారంగా సంభావ్యతను వివరించే సమీకరణం. ప్రాథమిక సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A మరియు B ఖచ్చితమైన సంఘటనలు.

P(A|B) అనేది షరతులతో కూడిన సంభావ్యత, అంటే, ఈవెంట్ B నిజమైతే ఈవెంట్ A సంభవించవచ్చు.

P (B|A) - ఈవెంట్ B యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత.

కాబట్టి, చివరి భాగంచిన్న కోర్సు “థియరీ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ” - బేయెస్ ఫార్ములా, దిగువన ఉన్న సమస్యలకు పరిష్కారాల ఉదాహరణలు.

టాస్క్ 5: గోదాముకు మూడు కంపెనీల ఫోన్లు తెప్పించారు. అదే సమయంలో, మొదటి ప్లాంట్‌లో తయారు చేయబడిన ఫోన్‌ల వాటా 25%, రెండవది - 60%, మూడవది - 15%. మొదటి ఫ్యాక్టరీలో లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సగటు శాతం 2%, రెండవది - 4% మరియు మూడవది - 1% అని కూడా తెలుసు. మీరు యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న ఫోన్ లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనాలి.

A = "యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న ఫోన్."

B 1 - మొదటి ఫ్యాక్టరీ ఉత్పత్తి చేసిన ఫోన్. దీని ప్రకారం, పరిచయ B 2 మరియు B 3 కనిపిస్తాయి (రెండవ మరియు మూడవ కర్మాగారాలకు).

ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - అందువలన మేము ప్రతి ఎంపిక యొక్క సంభావ్యతను కనుగొన్నాము.

ఇప్పుడు మీరు కోరుకున్న ఈవెంట్ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతలను కనుగొనాలి, అనగా కంపెనీలలో లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంభావ్యత:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

ఇప్పుడు బేయస్ ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు పొందండి:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

వ్యాసం సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు సమస్య పరిష్కారం యొక్క ఉదాహరణలను అందిస్తుంది, అయితే ఇది విస్తారమైన క్రమశిక్షణ యొక్క మంచుకొండ యొక్క కొన మాత్రమే. మరియు వ్రాసిన ప్రతిదాని తర్వాత, సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం జీవితంలో అవసరమా అనే ప్రశ్న అడగడం తార్కికంగా ఉంటుంది. సామాన్యుడికిసమాధానం చెప్పడం కష్టం, జాక్‌పాట్‌ను ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు గెలవమని ఉపయోగించిన వారిని అడగడం మంచిది.

V-6-2014 (యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ బ్యాంక్ నుండి మొత్తం 56 ప్రోటోటైప్‌లు)

సరళమైన వాటిని నిర్మించి, అన్వేషించగలగాలి గణిత నమూనాలు(సంభావ్యత సిద్ధాంతం)

1.యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, రెండు పాచికలు వేయబడతాయి. మొత్తం 8 పాయింట్లు ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.పరిష్కారం: త్రో ఫలితంగా వచ్చిన ఫలితాల సంఖ్య పాచికలు 8 పాయింట్లు రోల్ చేయబడతాయి, 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2కి సమానంగా ఉంటాయి. ప్రతి పాచికలు ఆరు సాధ్యమైన రోల్స్‌ను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 6·6 = 36. కాబట్టి, మొత్తం 8 రోలింగ్ సంభావ్యత 5: 36=0.138…=0.14

2. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, సుష్ట నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. తలలు సరిగ్గా ఒకసారి కనిపించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: ప్రయోగం యొక్క 4 సమానమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి: తలలు-తలలు, తలలు-తోకలు, తోకలు-తలలు, తోకలు-తోకలు. తలలు రెండు సందర్భాలలో సరిగ్గా ఒకసారి కనిపిస్తాయి: తలలు-తోకలు మరియు తోకలు-తలలు. కాబట్టి, తలలు సరిగ్గా 1 సారి కనిపించే సంభావ్యత 2: 4 = 0.5.

3. జిమ్నాస్టిక్స్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 20 మంది అథ్లెట్లు పాల్గొంటున్నారు: రష్యా నుండి 8, USA నుండి 7, మిగిలిన చైనా నుండి. జిమ్నాస్ట్‌లు చేసే క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అథ్లెట్ మొదట పోటీ చేసే సంభావ్యతను కనుగొనండి చైనా నుండి.పరిష్కారం: ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పాల్గొంటుందిచైనా నుండి అథ్లెట్లు. అప్పుడు అథ్లెట్ మొదట పోటీ చేసే సంభావ్యత చైనా నుండి 5: 20 = 0.25

4. సగటున, విక్రయించబడిన 1000 తోట పంపులలో, 5 లీక్. నియంత్రణ కోసం యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక పంపు లీక్ చేయని సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: సగటున, విక్రయించబడిన 1000 తోట పంపులలో, 1000 - 5 = 995 లీక్ అవ్వవు. అంటే నియంత్రణ కోసం యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక పంపు లీక్ కాకుండా ఉండే సంభావ్యత 995: 1000 = 0.995కి సమానం

5. ఫ్యాక్టరీ సంచులను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. సగటున, ప్రతి 100 నాణ్యమైన సంచులకు, దాచిన లోపాలు ఉన్న ఎనిమిది సంచులు ఉన్నాయి. కొనుగోలు చేసిన బ్యాగ్ అధిక నాణ్యతతో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.పరిష్కారం: షరతు ప్రకారం, ప్రతి 100 + 8 = 108 సంచులకు 100 నాణ్యమైన సంచులు ఉన్నాయి. అంటే కొనుగోలు చేసిన బ్యాగ్ అధిక నాణ్యతతో ఉండే సంభావ్యత 100: 108 =0.925925...= 0.93

6. షాట్ పుట్ పోటీలో ఫిన్ లాండ్ నుంచి 4 అథ్లెట్లు, డెన్మార్క్ నుంచి 7, స్వీడన్ నుంచి 9, నార్వే నుంచి 5 అథ్లెట్లు పాల్గొంటున్నారు. అథ్లెట్లు పోటీపడే క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. స్వీడన్ నుండి చివరిగా పోటీ చేసే అథ్లెట్ సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం: మొత్తంగా, 4 + 7 + 9 + 5 = 25 మంది అథ్లెట్లు పోటీలో పాల్గొంటారు. అంటే స్వీడన్ నుండి చివరిగా పోటీ చేసే అథ్లెట్ సంభావ్యత 9: 25 = 0.36

7.శాస్త్రీయ సదస్సు 5 రోజుల పాటు జరుగుతుంది. మొత్తం 75 నివేదికలు ప్రణాళిక చేయబడ్డాయి - మొదటి మూడు రోజులలో 17 నివేదికలు ఉంటాయి, మిగిలినవి నాల్గవ మరియు ఐదవ రోజుల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. నివేదికల క్రమం లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి?పరిష్కారం: మొదటి మూడు రోజుల్లో, 51 నివేదికలు చదవబడతాయి మరియు చివరి రెండు రోజులలో 24 నివేదికలు ప్రణాళిక చేయబడ్డాయి. అందువల్ల, చివరి రోజు కోసం 12 నివేదికలు ప్లాన్ చేయబడ్డాయి. అంటే ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత 12: 75 = 0.16

8. ప్రదర్శకుల పోటీ 5 రోజుల పాటు నిర్వహించబడుతుంది. మొత్తం 80 ప్రదర్శనలు ప్రకటించబడ్డాయి - ప్రతి దేశం నుండి ఒకటి. మొదటి రోజు 8 ప్రదర్శనలు ఉన్నాయి, మిగిలినవి మిగిలిన రోజుల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. ప్రదర్శనల క్రమం చాలా డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పోటీ యొక్క మూడవ రోజున రష్యన్ ప్రతినిధి ప్రదర్శించే సంభావ్యత ఏమిటి?పరిష్కారం: మూడవ రోజు షెడ్యూల్ చేయబడిందిప్రసంగాలు. దీని అర్థం పోటీ యొక్క మూడవ రోజున రష్యా నుండి ప్రతినిధి పనితీరు షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత 18: 80 = 0.225

9. నార్వే నుండి 3, రష్యా నుండి 3 మరియు స్పెయిన్ నుండి 4 శాస్త్రవేత్తలు సెమినార్‌కు వచ్చారు. నివేదికల క్రమం లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఎనిమిదవ నివేదిక రష్యా నుండి వచ్చిన శాస్త్రవేత్త యొక్క నివేదిక అని సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొత్తంగా, 3 + 3 + 4 = 10 మంది శాస్త్రవేత్తలు సెమినార్‌లో పాల్గొంటారు, అంటే ఎనిమిదవ మాట్లాడే శాస్త్రవేత్త రష్యా నుండి వచ్చే సంభావ్యత 3:10 = 0.3.

10. బ్యాడ్మింటన్ ఛాంపియన్‌షిప్ యొక్క మొదటి రౌండ్ ప్రారంభానికి ముందు, పాల్గొనేవారు యాదృచ్ఛికంగా లాట్‌లను ఉపయోగించి జంటలుగా విభజించబడ్డారు. మొత్తంగా, 26 మంది బ్యాడ్మింటన్ క్రీడాకారులు ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పాల్గొంటున్నారు, ఇందులో రష్యా నుండి 10 మంది పాల్గొనేవారు, రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ ఉన్నారు. మొదటి రౌండ్‌లో రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో ఆడే సంభావ్యతను కనుగొనండి?పరిష్కారం: మొదటి రౌండ్‌లో, రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ 26 - 1 = 25 బ్యాడ్మింటన్ క్రీడాకారులతో ఆడవచ్చు, అందులో 10 - 1 = 9 మంది రష్యాకు చెందినవారు. అంటే మొదటి రౌండ్‌లో రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో ఆడే సంభావ్యత 9: 25 = 0.36.

11. జీవశాస్త్రం కోసం టిక్కెట్ల సేకరణలో 55 టిక్కెట్లు మాత్రమే ఉన్నాయి, వాటిలో 11 వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్నను కలిగి ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న పరీక్ష టిక్కెట్‌పై విద్యార్థి వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్నను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: 11: 55 = 0.2

12. డైవింగ్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 25 మంది అథ్లెట్లు ప్రదర్శన చేస్తున్నారు, వారిలో రష్యా నుండి 8 జంపర్లు మరియు పరాగ్వే నుండి 9 జంపర్లు ఉన్నారు. ప్రదర్శనల క్రమం చాలా డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పరాగ్వే జంపర్ ఆరవ స్థానంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

13.రెండు కర్మాగారాలు కారు హెడ్‌లైట్ల కోసం ఒకే గాజును ఉత్పత్తి చేస్తాయి. మొదటి ఫ్యాక్టరీ ఈ గ్లాసులలో 30%, రెండవది - 70% ఉత్పత్తి చేస్తుంది. మొదటి కర్మాగారం 3% లోపభూయిష్ట గాజును ఉత్పత్తి చేస్తుంది, మరియు రెండవది - 4%. అనుకోకుండా దుకాణంలో కొనుగోలు చేసిన గాజు లోపభూయిష్టంగా మారే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. %%ని భిన్నాలుగా మార్చండి.

ఈవెంట్ A - "మొదటి ఫ్యాక్టరీ నుండి గాజు కొనుగోలు చేయబడింది." P(A)=0.3

ఈవెంట్ B - "రెండవ ఫ్యాక్టరీ నుండి గాజు కొనుగోలు చేయబడింది." P(B)=0.7

ఈవెంట్ X - "లోపభూయిష్ట గాజు".

P(A మరియు X) = 0.3*0.03=0.009

P(B మరియు X) = 0.7*0.04=0.028 మొత్తం సంభావ్యత సూత్రం ప్రకారం: P = 0.009+0.028 = 0.037

14.గ్రాండ్‌మాస్టర్ A. తెల్లగా ఆడితే, అతను గ్రాండ్‌మాస్టర్ B.పై సంభావ్యత 0.52తో గెలుస్తాడు. A. నలుపు రంగుతో ఆడితే, A. B.పై సంభావ్యత 0.3తో గెలుస్తుంది. గ్రాండ్‌మాస్టర్‌లు A. మరియు B. రెండు గేమ్‌లు ఆడతారు మరియు రెండవ గేమ్‌లో వారు పావుల రంగును మారుస్తారు. A. రెండు సార్లు గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. వాస్యా, పెట్యా, కొల్యా మరియు లియోషా ఆటను ఎవరు ప్రారంభించాలి అనేదానిపై లాట్లు వేశారు. పెట్యా ఆటను ప్రారంభించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం - చాలా కాస్టింగ్.
ఈ ప్రయోగంలో, ఎలిమెంటరీ ఈవెంట్ లాట్‌ను గెలుచుకున్న పార్టిసిపెంట్.
సాధ్యమయ్యే ప్రాథమిక సంఘటనలను జాబితా చేద్దాం:
(వాస్య), (పెట్యా), (కోల్య), (లియోషా).
వాటిలో 4 ఉంటుంది, అనగా. N=4. అన్ని ప్రాథమిక సంఘటనలు సమానంగా సాధ్యమేనని చాలా సూచిస్తుంది.
ఈవెంట్ A= (పెట్యా లాట్ గెలిచింది) కేవలం ఒక ప్రాథమిక ఈవెంట్ (పెట్యా) ద్వారా అనుకూలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి N(A)=1.
అప్పుడు P(A)=0.25సమాధానం: 0.25.

16. ప్రపంచ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 16 జట్లు పాల్గొంటాయి. లాట్‌లను ఉపయోగించి, వాటిని ఒక్కొక్కటి నాలుగు బృందాలుగా నాలుగు గ్రూపులుగా విభజించాలి. బాక్స్‌లో గ్రూప్ నంబర్‌లు కలిపిన కార్డ్‌లు ఉన్నాయి: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. టీమ్ కెప్టెన్‌లు ఒక్కొక్కరు ఒక్కో కార్డును డ్రా చేస్తారు. రష్యా జట్టు రెండవ సమూహంలో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?పరిష్కారం: మొత్తం ఫలితాలు - 16. వీటిలో, అనుకూలమైనవి, అనగా. సంఖ్య 2తో, అది 4 అవుతుంది. కాబట్టి 4: 16=0.25

17. జ్యామితి పరీక్షలో, ఒక విద్యార్థి జాబితా నుండి ఒక ప్రశ్నను పొందుతాడు పరీక్ష ప్రశ్నలు. ఇది లిఖించబడిన సర్కిల్ ప్రశ్న అని సంభావ్యత 0.2. ఇది "సమాంతర చతుర్భుజం" అంశంపై ప్రశ్నగా ఉండే సంభావ్యత 0.15. ఈ రెండు అంశాలకు ఏకకాలంలో సంబంధించిన ప్రశ్నలు లేవు. పరీక్షలో ఈ రెండు అంశాలలో ఒకదానిపై విద్యార్థికి ప్రశ్న వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

= (“ఇన్‌స్క్రైబ్డ్ సర్కిల్” అనే అంశంపై ప్రశ్న),
= ("సమాంతర చతుర్భుజం" అంశంపై ప్రశ్న).
ఈవెంట్స్మరియు అననుకూలమైనవి, ఎందుకంటే షరతుల ప్రకారం జాబితాలో ఒకే సమయంలో ఈ రెండు అంశాలకు సంబంధించిన ప్రశ్నలు ఉండవు.
ఈవెంట్= (ఈ రెండు అంశాలలో ఒకదానిపై ప్రశ్న) వాటి కలయిక:.
అననుకూల ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతలను జోడించడానికి మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:
.

18.బి మాల్రెండు సారూప్య యంత్రాలు కాఫీని విక్రయిస్తాయి. రోజు ముగిసే సమయానికి యంత్రం కాఫీ అయిపోయే సంభావ్యత 0.3. రెండు మెషీన్లలో కాఫీ అయిపోయే సంభావ్యత 0.12. రోజు చివరిలో రెండు మెషీన్లలో కాఫీ మిగిలి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

సంఘటనలను నిర్వచించండి
= (మొదటి యంత్రంలో కాఫీ అయిపోతుంది),
= (రెండవ యంత్రంలో కాఫీ అయిపోతుంది).
సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారంమరియు .
సంభావ్యతలను జోడించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొంటాము
మరియు = (కనీసం ఒక మెషీన్‌లో కాఫీ అయిపోతుంది):

.
అందువల్ల, వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత (రెండు మెషీన్లలో కాఫీ ఉంటుంది) సమానంగా ఉంటుంది
.

19. ఒక బయాథ్లెట్ ఐదుసార్లు లక్ష్యాల వద్ద కాలుస్తుంది. ఒక షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 0.8. బయాథ్లెట్ మొదటి మూడు సార్లు లక్ష్యాలను చేధించే సంభావ్యతను కనుగొనండి మరియు చివరి రెండు తప్పిపోతుంది. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.

ఈ సమస్యలో ప్రతి తదుపరి షాట్ ఫలితం మునుపటి వాటిపై ఆధారపడి ఉండదని భావించబడుతుంది. అందువల్ల, ఈవెంట్‌లు “మొదటి షాట్‌లో హిట్,” “రెండవ షాట్‌లో హిట్,” మొదలైనవి. స్వతంత్ర.
ప్రతి హిట్ సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం ప్రతి మిస్ యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాము. మేము క్రమం అని కనుగొన్నాము
= (హిట్, హిట్, హిట్, మిస్డ్, మిస్డ్) సంభావ్యత ఉంది
=
= . సమాధానం: .

20. స్టోర్‌లో రెండు చెల్లింపు యంత్రాలు ఉన్నాయి. ఇతర యంత్రంతో సంబంధం లేకుండా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.05తో తప్పుగా ఉండవచ్చు. కనీసం ఒక యంత్రం పని చేస్తుందనే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

ఈ సమస్య ఆటోమేటా స్వతంత్రంగా పనిచేస్తుందని కూడా ఊహిస్తుంది.
వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనండి
= (రెండు యంత్రాలు తప్పుగా ఉన్నాయి).
దీన్ని చేయడానికి, స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
.
దీని అర్థం ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత= (కనీసం ఒక యంత్రం పనిచేస్తోంది) సమానం. సమాధానం: .

21. గది రెండు దీపాలతో ఒక లాంతరు ద్వారా ప్రకాశిస్తుంది. ఒక సంవత్సరం లోపల ఒక దీపం కాలిపోయే సంభావ్యత 0.3. సంవత్సరంలో కనీసం ఒక దీపం కాలిపోకుండా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: రెండూ కాలిపోతాయి (ఈవెంట్‌లు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తి కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము) సంభావ్యత p1=0.3⋅0.3=0.09
వ్యతిరేక సంఘటన(రెండూ కాలిపోవు = కనీసం ఒకటి కాలిపోదు)
సంభావ్యత p=1-p1=1-0.09=0.91తో జరుగుతుంది
జవాబు: 0.91

22. కొత్త ఎలక్ట్రిక్ కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలం ఉండే సంభావ్యత 0.97. ఇది రెండు సంవత్సరాల కంటే ఎక్కువ కాలం ఉండే సంభావ్యత 0.89. ఇది రెండు సంవత్సరాల కంటే తక్కువ కానీ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి

పరిష్కారం.

A = "కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ ఉంటుంది, కానీ రెండు సంవత్సరాల కంటే తక్కువ", B = "కెటిల్ రెండు సంవత్సరాల కంటే ఎక్కువ ఉంటుంది", అప్పుడు A + B = "కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలం ఉంటుంది".

ఈవెంట్‌లు A మరియు B ఉమ్మడిగా ఉంటాయి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం, వాటి సంభవించే సంభావ్యత ద్వారా తగ్గించబడుతుంది. ఈ సంఘటనలు సంభవించే సంభావ్యత, సరిగ్గా రెండు సంవత్సరాలలో కేటిల్ విఫలమవుతుంది - సరిగ్గా అదే రోజు, గంట మరియు రెండవది - సున్నా. అప్పుడు:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A) + P(B),

పరిస్థితి నుండి డేటాను ఉపయోగించి, మేము 0.97 = P(A) + 0.89ని పొందుతాము.

అందువలన, కావలసిన సంభావ్యత కోసం మనకు: P(A) = 0.97 - 0.89 = 0.08.

23. ఒక వ్యవసాయ సంస్థ రెండు గృహాల నుండి కోడి గుడ్లను కొనుగోలు చేస్తుంది. మొదటి పొలం నుండి 40% గుడ్లు అత్యధిక వర్గానికి చెందిన గుడ్లు, మరియు రెండవ పొలం నుండి - అత్యధిక వర్గం యొక్క 20% గుడ్లు. మొత్తం అత్యధిక వర్గం 35% గుడ్లు అందుకుంటుంది. ఈ వ్యవసాయ సంస్థ నుండి కొనుగోలు చేసిన గుడ్డు మొదటి పొలం నుండి వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: వ్యవసాయ సంస్థ మొదటి పొలం నుండి కొనుగోలు చేయనివ్వండిగుడ్లు, సహా అత్యధిక వర్గానికి చెందిన గుడ్లు, మరియు రెండవ పొలంలో -గుడ్లు, సహా అత్యధిక వర్గం యొక్క గుడ్లు. ఆ విధంగా, ఆగ్రోఫార్మ్ కొనుగోళ్ల మొత్తంగుడ్లు, సహా అత్యధిక వర్గం యొక్క గుడ్లు. షరతు ప్రకారం, 35% గుడ్లు అత్యధిక వర్గాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అప్పుడు:

అందువల్ల, కొనుగోలు చేసిన గుడ్డు మొదటి పొలం నుండి వచ్చే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది =0,75

24. టెలిఫోన్ కీప్యాడ్‌లో 0 నుండి 9 వరకు 10 అంకెలు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా నొక్కిన అంకె సమానంగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

25.యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన సంభావ్యత ఏమిటి సహజ సంఖ్య 10 నుండి 19 మూడుతో భాగించబడుతుందా?

26.కౌబాయ్ జాన్ సున్నా ఉన్న రివాల్వర్ నుండి షూట్ చేస్తే 0.9 సంభావ్యతతో గోడపై ఈగను కొట్టాడు. జాన్ కాల్పులు చేయని రివాల్వర్‌ను కాల్చినట్లయితే, అతను సంభావ్యత 0.2తో ఫ్లైని కొట్టాడు. టేబుల్ మీద 10 రివాల్వర్లు ఉన్నాయి, వాటిలో 4 మాత్రమే కాల్చబడ్డాయి. కౌబాయ్ జాన్ గోడపై ఒక ఈగను చూస్తాడు, యాదృచ్ఛికంగా తనకు ఎదురుగా వచ్చిన మొదటి రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని ఈగను కాల్చాడు. జాన్ మిస్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం: జాన్ అతను జీరోడ్ రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని దానితో కొట్టినా లేదా షాట్ కాని రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని దానితో కొట్టినా ఈగను కొట్టాడు. సూత్రం ప్రకారం షరతులతో కూడిన సంభావ్యత, ఈ సంఘటనల సంభావ్యత వరుసగా 0.4·0.9 = 0.36 మరియు 0.6·0.2 = 0.12. ఈ సంఘటనలు అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం: 0.36 + 0.12 = 0.48. జాన్ తప్పిపోయిన సంఘటన దీనికి విరుద్ధంగా ఉంది. దీని సంభావ్యత 1 - 0.48 = 0.52.

27. పర్యాటకుల సమూహంలో 5 మంది వ్యక్తులు ఉన్నారు. లాట్‌లను ఉపయోగించి, వారు ఆహారం కొనడానికి గ్రామానికి వెళ్లాల్సిన ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎన్నుకుంటారు. టూరిస్ట్ A. దుకాణానికి వెళ్లాలనుకుంటున్నారు, కానీ అతను చాలా పాటిస్తాడు. A. దుకాణానికి వెళ్లే సంభావ్యత ఎంత?పరిష్కారం: మొత్తం ఐదుగురు పర్యాటకులు ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడ్డారు. ఎంపిక చేయబడే సంభావ్యత 2: 5 = 0.4. సమాధానం: 0.4.

28. ఫుట్‌బాల్ మ్యాచ్ ప్రారంభానికి ముందు, బంతితో ఆటను ఏ జట్టు ప్రారంభిస్తుందో నిర్ణయించడానికి రిఫరీ ఒక నాణెం విసురుతాడు. ఫిజిక్ జట్టు మూడు మ్యాచ్‌లు ఆడుతుంది వివిధ జట్లు. ఈ గేమ్‌లలో "ఫిజిసిస్ట్" సరిగ్గా రెండుసార్లు గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: "భౌతిక శాస్త్రవేత్త" లాట్‌ను గెలుచుకోవడానికి కారణమైన నాణెం యొక్క "1" వైపును సూచిస్తాము మరియు "0" నాణెం యొక్క మరొక వైపును సూచిస్తాము. అప్పుడు మూడు అనుకూలమైన కలయికలు ఉన్నాయి: 110, 101, 011, మరియు మొత్తం 2 కలయికలు ఉన్నాయి 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. కాబట్టి, అవసరమైన సంభావ్యత దీనికి సమానం:

29. పాచికలు రెండుసార్లు వేయబడతాయి. "A = పాయింట్ల మొత్తం 5" అనే ఈవెంట్‌కు ఎన్ని ప్రాథమిక ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి? పరిష్కారం: పాయింట్ల మొత్తం నాలుగు సందర్భాలలో 5కి సమానంగా ఉంటుంది: “3 + 2”, “2 + 3”, “1 + 4”, “4 + 1”. సమాధానం: 4.

30. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, ఒక సుష్ట నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. OP ఫలితం సంభవించే సంభావ్యతను కనుగొనండి (మొదటిసారి తలలు, రెండవ సారి తోకలు).పరిష్కారం: నాలుగు సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉన్నాయి: తలలు-తలలు, తలలు-తోకలు, తోకలు-తలలు, తోకలు-తోకలు. ఒకటి అనుకూలమైనది: తలలు మరియు తోకలు. కాబట్టి, కావలసిన సంభావ్యత 1: 4 = 0.25. సమాధానం: 0.25.

31. రాక్ ఫెస్టివల్‌లో బ్యాండ్‌లు ప్రదర్శన ఇస్తాయి - ప్రకటిత దేశాల నుండి ఒక్కొక్కటి. పనితీరు యొక్క క్రమం చాలా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. డెన్మార్క్ నుండి వచ్చిన సమూహం స్వీడన్ నుండి వచ్చిన సమూహం తర్వాత మరియు నార్వే నుండి వచ్చిన సమూహం తర్వాత ప్రదర్శించే సంభావ్యత ఏమిటి? ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.పరిష్కారం: ఉత్సవంలో ప్రదర్శించే మొత్తం సమూహాల సంఖ్య ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడం ముఖ్యం కాదు. ఎన్ని ఉన్నా ఈ దేశాలకు 6 మార్గాలు ఉన్నాయి సాపేక్ష స్థానంమాట్లాడేవారిలో (D - డెన్మార్క్, W - స్వీడన్, N - నార్వే):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...

డెన్మార్క్ రెండు కేసులలో స్వీడన్ మరియు నార్వే కంటే వెనుకబడి ఉంది. అందువల్ల, సమూహాలు ఈ విధంగా యాదృచ్ఛికంగా పంపిణీ చేయబడే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుందిసమాధానం: 0.33.

32. ఫిరంగి కాల్పుల సమయంలో, ఆటోమేటిక్ సిస్టమ్ లక్ష్యంపై ఒక షాట్‌ను కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యం నాశనం కాకపోతే, సిస్టమ్ రెండవ షాట్‌ను కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే వరకు షాట్లు పునరావృతమవుతాయి. మొదటి షాట్‌తో నిర్దిష్ట లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత 0.4 మరియు ప్రతి తదుపరి షాట్‌తో అది 0.6. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత కనీసం 0.98 అని నిర్ధారించుకోవడానికి ఎన్ని షాట్‌లు అవసరం?పరిష్కారం: మీరు "చర్య ద్వారా" సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు, వరుస మిస్‌ల శ్రేణి తర్వాత మనుగడ సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు: P(1) = 0.6. P(2) = P(1) 0.4 = 0.24. P(3) = P(2) 0.4 = 0.096. P(4) = P(3) 0.4 = 0.0384; P(5) = P(4) 0.4 = 0.01536. తరువాతి సంభావ్యత 0.02 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి లక్ష్యం వద్ద ఐదు షాట్లు సరిపోతాయి.

33. తదుపరి రౌండ్ పోటీకి వెళ్లడానికి, ఫుట్బాల్ జట్టుమీరు రెండు గేమ్‌లలో కనీసం 4 పాయింట్లు సాధించాలి. ఒక జట్టు గెలిస్తే, అది 3 పాయింట్లను అందుకుంటుంది, డ్రా అయినప్పుడు - 1 పాయింట్, అది ఓడిపోతే - 0 పాయింట్లు. జట్టు పోటీలో తదుపరి రౌండ్‌కు చేరుకునే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ప్రతి గేమ్‌లో గెలుపు మరియు ఓడిపోయే సంభావ్యత ఒకేలా మరియు 0.4కి సమానంగా ఉంటుందని పరిగణించండి.. పరిష్కారం : ఒక జట్టు మూడు విధాలుగా రెండు గేమ్‌లలో కనీసం 4 పాయింట్లను పొందవచ్చు: 3+1, 1+3, 3+3. ఈ సంఘటనలు అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత వాటి సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం. ఈ ఈవెంట్‌లలో ప్రతి ఒక్కటి రెండు స్వతంత్ర ఈవెంట్‌ల ఉత్పత్తి - మొదటి మరియు రెండవ గేమ్‌లో ఫలితం. ఇక్కడ నుండి మేము కలిగి ఉన్నాము:

34. ఒక నిర్దిష్ట నగరంలో, పుట్టిన 5,000 మంది పిల్లలలో, 2,512 మంది అబ్బాయిలు. ఈ నగరంలో ఆడపిల్లల జననాల ఫ్రీక్వెన్సీని కనుగొనండి. ఫలితాన్ని సమీప వెయ్యికి పూర్తి చేయండి.పరిష్కారం: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. విమానంలో అత్యవసర నిష్క్రమణల పక్కన 12 సీట్లు మరియు క్యాబిన్‌లను వేరుచేసే విభజనల వెనుక 18 సీట్లు ఉన్నాయి. మిగిలిన సీట్లు ప్రయాణికులకు అసౌకర్యంగా ఉన్నాయి పొడవు. ప్రయాణీకుడు వి. పొడవుగా ఉన్నాడు. వద్ద రిజిస్ట్రేషన్ వద్ద సంభావ్యతను కనుగొనండి యాదృచ్ఛిక ఎంపికప్రయాణీకుల V. సీట్లు పొందుతారు సౌకర్యవంతమైన ప్రదేశం, విమానంలో 300 సీట్లు మాత్రమే ఉంటే.పరిష్కారం : ప్రయాణీకుల B కోసం సౌకర్యవంతమైన విమానంలో 12 + 18 = 30 సీట్లు ఉన్నాయి మరియు విమానంలో మొత్తం 300 సీట్లు ఉన్నాయి. అందువల్ల, ప్రయాణీకుడు B సౌకర్యవంతమైన సీటు పొందే సంభావ్యత 30: 300 = 0.1 సమాధానం: 0.1.

36. విశ్వవిద్యాలయంలో ఒలింపియాడ్‌లో, పాల్గొనేవారు మూడు తరగతి గదులలో కూర్చుంటారు. మొదటి ఇద్దరిలో ఒక్కొక్కరు 120 మంది ఉన్నారు; లెక్కించేటప్పుడు, మొత్తం 250 మంది పాల్గొన్నట్లు తేలింది. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పాల్గొనేవారు విడి తరగతి గదిలో పోటీని వ్రాసిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొత్తంగా, 250 - 120 - 120 = 10 మంది రిజర్వ్ ప్రేక్షకులకు పంపబడ్డారు. అందువల్ల, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పాల్గొనేవారు విడి తరగతి గదిలో ఒలింపియాడ్‌ను వ్రాసే సంభావ్యత 10: 250 = 0.04. సమాధానం: 0.04.

37. తరగతిలో 26 మంది ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు కవలలు - ఆండ్రీ మరియు సెర్గీ. తరగతి యాదృచ్ఛికంగా 13 మంది వ్యక్తులతో రెండు గ్రూపులుగా విభజించబడింది. ఆండ్రీ మరియు సెర్గీ ఒకే సమూహంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: కవలలలో ఒకరు ఏదో ఒక సమూహంలో ఉండనివ్వండి. అతనితో పాటు, మిగిలిన 25 సహవిద్యార్థుల నుండి 12 మంది సమూహంలో ఉంటారు. ఈ 12 మందిలో రెండవ జంట ఉండే సంభావ్యత 12: 25 = 0.48.

38. ఒక టాక్సీ కంపెనీకి 50 కార్లు ఉన్నాయి; వాటిలో 27 వైపులా పసుపు రాతలతో నలుపు రంగులో ఉన్నాయి, మిగిలినవి నలుపు రంగు శాసనాలతో పసుపు రంగులో ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛిక కాల్‌కు నలుపు రంగు శాసనాలు ఉన్న పసుపు కారు ప్రతిస్పందించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: 23:50=0.46

39.పర్యాటకుల బృందంలో 30 మంది ఉన్నారు. వారు హెలికాప్టర్‌లో అనేక దశల్లో చేరుకోలేని ప్రాంతంలోకి దింపబడ్డారు, ఒక్కో విమానానికి 6 మంది. హెలికాప్టర్ పర్యాటకులను రవాణా చేసే క్రమం యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది. పర్యాటక P. మొదటి హెలికాప్టర్ విమానాన్ని తీసుకునే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొదటి విమానంలో 6 సీట్లు ఉన్నాయి, మొత్తం 30 సీట్లు అప్పుడు మొదటి హెలికాప్టర్ విమానంలో ప్రయాణించే సంభావ్యత: 6:30 = 0.2.

40. ఒక కొత్త DVD ప్లేయర్ వారంటీ కింద ఒక సంవత్సరం లోపు మరమ్మత్తు చేయబడే సంభావ్యత 0.045. ఒక నిర్దిష్ట నగరంలో, సంవత్సరంలో విక్రయించబడిన 1,000 DVD ప్లేయర్‌లలో, 51 యూనిట్లు వారంటీ వర్క్‌షాప్ ద్వారా పొందబడ్డాయి. "వారంటీ రిపేర్" ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు ఈ నగరంలో దాని సంభావ్యత ఎంత భిన్నంగా ఉంటుంది?పరిష్కారం: "వారంటీ రిపేర్" ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ (సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ) 51: 1000 = 0.051. ఇది 0.006 ద్వారా అంచనా వేయబడిన సంభావ్యత నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

41. 67 మిమీ వ్యాసంతో బేరింగ్‌లను తయారు చేస్తున్నప్పుడు, వ్యాసం పేర్కొన్న దాని నుండి 0.01 మిమీ కంటే ఎక్కువ భిన్నంగా ఉండే సంభావ్యత 0.965. యాదృచ్ఛిక బేరింగ్ 66.99 మిమీ కంటే తక్కువ లేదా 67.01 మిమీ కంటే ఎక్కువ వ్యాసం కలిగి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. షరతు ప్రకారం, బేరింగ్ వ్యాసం 66.99 నుండి 67.01 మిమీ వరకు 0.965 సంభావ్యతతో ఉంటుంది. కాబట్టి, వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క కావలసిన సంభావ్యత 1 - 0.965 = 0.035.

42. విద్యార్థి O. జీవశాస్త్ర పరీక్షలో 11 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను సరిగ్గా పరిష్కరించగల సంభావ్యత 0.67. O. 10 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను సరిగ్గా పరిష్కరించే సంభావ్యత 0.74. O. సరిగ్గా 11 సమస్యలను పరిష్కరించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: A = "విద్యార్థి 11 సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు" మరియు B = "విద్యార్థి 11 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు" అనే సంఘటనలను పరిగణించండి. వాటి మొత్తం ఈవెంట్ A + B = "విద్యార్థి 10 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు." ఈవెంట్‌లు A మరియు B అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం: P(A + B) = P(A) + P(B). అప్పుడు, ఈ సమస్యలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము: 0.74 = P(A) + 0.67, ఎక్కడ నుండి P(A) = 0.74 - 0.67 = 0.07 సమాధానం: 0.07.

43. స్పెషాలిటీ “లింగ్విస్టిక్స్” కోసం ఇన్‌స్టిట్యూట్‌లోకి ప్రవేశించడానికి, దరఖాస్తుదారు ప్రతి ఒక్కదానిలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో కనీసం 70 పాయింట్లను స్కోర్ చేయాలి. మూడు అంశాలు- గణితం, రష్యన్ భాష మరియు విదేశీ భాష. స్పెషాలిటీ "కామర్స్"లో నమోదు చేసుకోవడానికి, మీరు గణితం, రష్యన్ భాష మరియు సామాజిక అధ్యయనాలు - ప్రతి మూడు సబ్జెక్టులలో కనీసం 70 పాయింట్లను స్కోర్ చేయాలి. దరఖాస్తుదారు Z. గణితంలో కనీసం 70 పాయింట్లు పొందే సంభావ్యత 0.6, రష్యన్ భాషలో - 0.8, లో విదేశీ భాష- 0.7 మరియు సోషల్ స్టడీస్‌లో - 0.5 పేర్కొన్న రెండు స్పెషాలిటీలలో కనీసం ఒకదానిలోనైనా నమోదు చేసుకోగల సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: ఎక్కడైనా నమోదు చేసుకోవడానికి, Z. రష్యన్ మరియు గణితం రెండింటిలో కనీసం 70 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించాలి మరియు దీనికి అదనంగా, కనీసం 70 పాయింట్లతో విదేశీ భాష లేదా సామాజిక అధ్యయనాలలో కూడా ఉత్తీర్ణత సాధించాలి. వీలుఎ, బి, సి మరియు డి - ఇవి Z. గణితం, రష్యన్, విదేశీ మరియు సామాజిక అధ్యయనాలలో వరుసగా కనీసం 70 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంఘటనలు. అప్పుడు నుండి

రాక సంభావ్యత కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము:

44. సిరామిక్ టేబుల్‌వేర్ ఫ్యాక్టరీలో, ఉత్పత్తి చేయబడిన 10% ప్లేట్లు లోపభూయిష్టంగా ఉంటాయి. ఉత్పత్తి నాణ్యత నియంత్రణ సమయంలో, 80% లోపభూయిష్ట ప్లేట్లు గుర్తించబడతాయి. మిగిలిన ప్లేట్లు అమ్మకానికి ఉన్నాయి. కొనుగోలు చేసిన తర్వాత యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ప్లేట్‌లో లోపాలు లేవని సంభావ్యతను కనుగొనండి. మీ సమాధానాన్ని సమీప వందవ వంతుకు పూర్తి చేయండి.పరిష్కారం : ఫ్యాక్టరీ ఉత్పత్తి చేయనివ్వండిప్లేట్లు. అన్ని నాణ్యమైన ప్లేట్లు మరియు గుర్తించబడని లోపభూయిష్ట ప్లేట్లలో 20% అమ్మకానికి వెళ్తాయి:ప్లేట్లు. ఎందుకంటే నాణ్యమైనవి, అధిక-నాణ్యత ప్లేట్‌ను కొనుగోలు చేసే సంభావ్యత 0.9p:0.92p=0.978 సమాధానం: 0.978.

45. స్టోర్‌లో ముగ్గురు విక్రేతలు ఉన్నారు. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.3తో క్లయింట్‌తో బిజీగా ఉంది. యాదృచ్ఛిక సమయంలో ముగ్గురు విక్రేతలు ఒకే సమయంలో బిజీగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి (కస్టమర్‌లు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా వస్తారని భావించండి).పరిష్కారం : స్వతంత్ర సంఘటనల ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. అందువల్ల, ముగ్గురు విక్రేతలు బిజీగా ఉండే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది

46.కస్టమర్ సమీక్షల ఆధారంగా, ఇవాన్ ఇవనోవిచ్ రెండు ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌ల విశ్వసనీయతను అంచనా వేశారు. స్టోర్ A నుండి కావలసిన ఉత్పత్తి బట్వాడా చేయబడే సంభావ్యత 0.8. స్టోర్ B నుండి ఈ ఉత్పత్తి పంపిణీ చేయబడే సంభావ్యత 0.9. ఇవాన్ ఇవనోవిచ్ రెండు దుకాణాల నుండి ఒకేసారి వస్తువులను ఆర్డర్ చేశాడు. ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయని ఊహిస్తే, ఏ స్టోర్ ఉత్పత్తిని బట్వాడా చేయని సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొదటి దుకాణం వస్తువులను పంపిణీ చేయని సంభావ్యత 1 - 0.9 = 0.1. రెండవ దుకాణం వస్తువులను పంపిణీ చేయని సంభావ్యత 1 - 0.8 = 0.2. ఈ సంఘటనలు స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, వాటి సంభవించే సంభావ్యత (రెండు దుకాణాలు వస్తువులను పంపిణీ చేయవు) ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: 0.1 · 0.2 = 0.02

47.జిల్లా కేంద్రం నుండి గ్రామానికి ప్రతిరోజూ ఒక బస్సు నడుస్తుంది. సోమవారం బస్సులో 20 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉండే అవకాశం 0.94. 15 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉండే అవకాశం 0.56. ప్రయాణీకుల సంఖ్య 15 మరియు 19 మధ్య ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: A = "బస్సులో 15 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉన్నారు" మరియు B = "బస్సులో 15 నుండి 19 మంది ప్రయాణికులు ఉన్నారు" అనే సంఘటనలను పరిగణించండి. వారి మొత్తం ఈవెంట్ A + B = "బస్సులో 20 కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉన్నారు." ఈవెంట్‌లు A మరియు B అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం: P(A + B) = P(A) + P(B). అప్పుడు, ఈ సమస్యలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము: 0.94 = 0.56 + P(B), ఎక్కడ నుండి P(B) = 0.94 - 0.56 = 0.38. సమాధానం: 0.38.

48.వాలీబాల్ మ్యాచ్ ప్రారంభానికి ముందు, జట్టు కెప్టెన్లు బంతితో ఆటను ఏ జట్టు ప్రారంభించాలో నిర్ణయించడానికి న్యాయమైన లాట్‌లను గీస్తారు. "స్టేటర్" బృందం "రోటర్", "మోటార్" మరియు "స్టార్టర్" జట్లతో మలుపులు ఆడుతుంది. Stator మొదటి మరియు చివరి గేమ్‌లను మాత్రమే ప్రారంభించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. మీరు మూడు ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతను కనుగొనాలి: “స్టేటర్” మొదటి గేమ్‌ను ప్రారంభిస్తుంది, రెండవ గేమ్‌ను ప్రారంభించదు మరియు మూడవ గేమ్‌ను ప్రారంభిస్తుంది. స్వతంత్ర సంఘటనల ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.5, దీని నుండి మనం కనుగొంటాము: 0.5 · 0.5 · 0.5 = 0.125. సమాధానం: 0.125.

49. IN ఫెయిరీల్యాండ్వాతావరణంలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి: మంచి మరియు అద్భుతమైన, మరియు వాతావరణం, ఉదయం ఏర్పాటు చేసిన తర్వాత, రోజంతా మారదు. 0.8 సంభావ్యతతో రేపు వాతావరణం ఈరోజు మాదిరిగానే ఉంటుందని తెలిసింది. ఈ రోజు జూలై 3, మ్యాజిక్ ల్యాండ్‌లో వాతావరణం బాగుంది. జూలై 6న ఫెయిరీల్యాండ్‌లో వాతావరణం అద్భుతంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. జూలై 4, 5 మరియు 6 తేదీల్లో వాతావరణం కోసం, 4 ఎంపికలు ఉన్నాయి: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (ఇక్కడ X బాగుంది, O అద్భుతమైన వాతావరణం). అటువంటి వాతావరణం సంభవించే సంభావ్యతలను కనుగొనండి: P(XXO) = 0.8·0.8·0.2 = 0.128; P(XOO) = 0.8 0.2 0.8 = 0.128; P(OXO) = 0.2 0.2 0.2 = 0.008; P(OOO) = 0.2 0.8 0.8 = 0.128. పేర్కొన్న సంఘటనలుఅస్థిరమైనది, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0.128 + 0.128 + 0.008 + 0.392 =.

50. అనుమానిత హెపటైటిస్ ఉన్న రోగులందరూ రక్త పరీక్ష చేయించుకుంటారు. పరీక్ష హెపటైటిస్‌ను వెల్లడి చేస్తే, పరీక్ష ఫలితం అంటారుఅనుకూల . హెపటైటిస్ ఉన్న రోగులలో, పరీక్ష 0.9 సంభావ్యతతో సానుకూల ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. రోగికి హెపటైటిస్ లేకపోతే, పరీక్ష 0.01 సంభావ్యతతో తప్పుడు సానుకూల ఫలితాన్ని ఇవ్వవచ్చు. అనుమానిత హెపటైటిస్‌తో అడ్మిట్ అయిన రోగులలో 5% మందికి హెపటైటిస్ ఉన్నట్లు తెలిసింది. అనుమానిత హెపటైటిస్‌తో క్లినిక్‌లో చేరిన రోగి పాజిటివ్‌గా పరీక్షించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం . రోగి యొక్క విశ్లేషణ రెండు కారణాల వల్ల సానుకూలంగా ఉంటుంది: ఎ) రోగికి హెపటైటిస్ ఉంది, అతని విశ్లేషణ సరైనది; బి) రోగికి హెపటైటిస్ లేదు, అతని విశ్లేషణ తప్పు. ఇవి అననుకూల సంఘటనలు, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం. మనకు ఉన్నాయి: p(A)=0.9 0.05=0.045; p(B)=0.01 0.95=0.0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0.045+0.0095=0.0545.

51. మిషా తన జేబులో నాలుగు క్యాండీలను కలిగి ఉన్నాడు - “గ్రిల్యాజ్”, “స్క్విరెల్”, “కొరోవ్కా” మరియు “స్వాలో”, అలాగే అపార్ట్మెంట్ కీలు. కీలు తీస్తున్నప్పుడు, మిషా పొరపాటున అతని జేబులో నుండి ఒక మిఠాయి ముక్క పడిపోయింది. "గ్రిల్లేజ్" మిఠాయి పోయిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.

52.పన్నెండు గంటల డయల్‌తో కూడిన మెకానికల్ వాచ్ ఏదో ఒక సమయంలో విరిగిపోయి పరుగు ఆగిపోయింది. ఆ సంభావ్యతను కనుగొనండి గంట చేతిస్తంభించిపోయింది, 10 మార్కును చేరుకుంది, కానీ 1 గంట మార్కును చేరుకోలేదు. పరిష్కారం: 3: 12=0.25

53. బ్యాటరీ లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత 0.06. స్టోర్‌లోని కొనుగోలుదారు ఈ రెండు బ్యాటరీలను కలిగి ఉన్న యాదృచ్ఛిక ప్యాకేజీని ఎంచుకుంటారు. రెండు బ్యాటరీలు బాగున్నాయనే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: బ్యాటరీ బాగుండే సంభావ్యత 0.94. స్వతంత్ర సంఘటనలు సంభవించే సంభావ్యత (రెండు బ్యాటరీలు మంచివి) ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం: 0.94·0.94 = 0.8836 సమాధానం: 0.8836.

54. ఆటోమేటిక్ లైన్ బ్యాటరీలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. పూర్తయిన బ్యాటరీ లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత 0.02. ప్యాకేజింగ్ చేయడానికి ముందు, ప్రతి బ్యాటరీ నియంత్రణ వ్యవస్థ ద్వారా వెళుతుంది. సిస్టమ్ లోపభూయిష్ట బ్యాటరీని తిరస్కరించే సంభావ్యత 0.99. సిస్టమ్ పని చేసే బ్యాటరీని తప్పుగా తిరస్కరించే సంభావ్యత 0.01. తనిఖీ వ్యవస్థ ద్వారా యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన తయారు చేయబడిన బ్యాటరీ తిరస్కరించబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. కింది సంఘటనల ఫలితంగా బ్యాటరీ తిరస్కరించబడే పరిస్థితి తలెత్తవచ్చు: A = బ్యాటరీ నిజంగా తప్పుగా ఉంది మరియు సరిగ్గా తిరస్కరించబడింది, లేదా B = బ్యాటరీ పని చేస్తోంది, కానీ పొరపాటున తిరస్కరించబడింది. ఇవి అననుకూల సంఘటనలు, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం. మాకు ఉన్నాయి:

55.చిత్రం ఒక చిక్కైన చూపిస్తుంది. స్పైడర్ ఎంట్రన్స్ పాయింట్ వద్ద చిట్టడవిలోకి క్రాల్ చేస్తుంది. స్పైడర్ చుట్టూ తిరగదు మరియు తిరిగి క్రాల్ చేయదు, కాబట్టి ప్రతి శాఖ వద్ద సాలీడు ఇంకా క్రాల్ చేయని మార్గాలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకుంటుంది. ఎంపిక అని నమ్ముతున్నారు మరింత మార్గంపూర్తిగా యాదృచ్ఛికంగా, స్పైడర్ నిష్క్రమణకు ఏ సంభావ్యతతో వస్తుందో నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం.

నాలుగు గుర్తించబడిన ఫోర్క్‌లలో ప్రతిదానిలో, సాలీడు D నుండి నిష్క్రమించే మార్గాన్ని లేదా సంభావ్యత 0.5తో మరొక మార్గాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. ఈ స్వతంత్ర సంఘటనలు, వారి ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత (స్పైడర్ నిష్క్రమణ D చేరుకుంటుంది) ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, నిష్క్రమణ D వద్దకు వచ్చే సంభావ్యత (0.5) 4 = 0,0625.

దరఖాస్తుదారులకు శ్రద్ధ!అనేక USE పనులు ఇక్కడ చర్చించబడ్డాయి. మిగిలినవి, మరింత ఆసక్తికరంగా, మా ఉచిత వీడియోలో ఉన్నాయి. చూడండి మరియు చేయండి!

మేము ప్రారంభిస్తాము సాధారణ పనులుమరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు.
యాదృచ్ఛికంగాముందుగా ఖచ్చితంగా అంచనా వేయలేని సంఘటన అంటారు. ఇది జరగవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు.
మీరు లాటరీని గెలుచుకున్నారు - యాదృచ్ఛిక ఈవెంట్. మీరు మీ విజయాన్ని జరుపుకోవడానికి స్నేహితులను ఆహ్వానించారు మరియు మీ వద్దకు వెళ్లే మార్గంలో వారు ఎలివేటర్‌లో చిక్కుకున్నారు - ఇది కూడా యాదృచ్ఛిక సంఘటన. నిజమే, మాస్టర్ సమీపంలోనే ఉన్నాడు మరియు పది నిమిషాల్లో మొత్తం కంపెనీని విడిపించాడు - మరియు ఇది సంతోషకరమైన ప్రమాదంగా కూడా పరిగణించబడుతుంది ...

మన జీవితం నిండిపోయింది యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు. వాటిలో ప్రతి దాని గురించి మనం చెప్పగలం, ఇది కొందరితో జరుగుతుంది సంభావ్యత. చాలా మటుకు, మీరు ఈ భావనతో అకారణంగా సుపరిచితులు. ఇప్పుడు ఇస్తాం గణిత నిర్వచనంసంభావ్యతలు.

చాలా మొదటి నుండి ప్రారంభిద్దాం సాధారణ ఉదాహరణ. మీరు నాణెం తిప్పండి. బొమ్మాబొరుసులు?

అనేక ఫలితాలలో ఒకదానికి దారితీసే ఇటువంటి చర్యను సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పిలుస్తారు పరీక్ష.

తలలు మరియు తోకలు - రెండు సాధ్యం ఫలితంపరీక్షలు.

సాధ్యమయ్యే రెండింటిలో ఒక సందర్భంలో తలలు పడిపోతాయి. అని అంటున్నారు సంభావ్యతనాణెం తలపైకి వస్తుంది.

పాచికలు వేస్తాం. డైకి ఆరు భుజాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి ఆరు సంభావ్య ఫలితాలు కూడా ఉన్నాయి.

ఉదాహరణకు, మీరు మూడు పాయింట్లు కనిపించాలని కోరుకున్నారు. ఇది సాధ్యమయ్యే ఆరు ఫలితాలలో ఒకటి. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో దీనిని పిలుస్తారు అనుకూలమైన ఫలితం.

మూడు పొందే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది (సాధ్యమైన ఆరులో ఒక అనుకూలమైన ఫలితం).

నాలుగు సంభావ్యత కూడా

కానీ ఏడు కనిపించే సంభావ్యత సున్నా. అన్ని తరువాత, క్యూబ్లో ఏడు పాయింట్లతో అంచు లేదు.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానం మొత్తం సంఖ్యఫలితాలను.

సహజంగానే, సంభావ్యత ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు.

ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ. ఒక సంచిలో ఆపిల్ల ఉన్నాయి, వాటిలో కొన్ని ఎరుపు, మిగిలినవి ఆకుపచ్చ. ఆపిల్ల ఆకారం మరియు పరిమాణంలో తేడా లేదు. మీరు బ్యాగ్‌లోకి మీ చేతిని ఉంచి, యాదృచ్ఛికంగా ఒక ఆపిల్‌ను తీయండి. ఎరుపు ఆపిల్‌ను గీయడానికి సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఆకుపచ్చ ఆపిల్‌ను గీయడానికి సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

ఎరుపు లేదా ఆకుపచ్చ ఆపిల్ పొందడానికి సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ కోసం ప్రిపరేషన్ కోసం సేకరణలలో చేర్చబడిన సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో సమస్యలను విశ్లేషిద్దాం.

. టాక్సీ కంపెనీలో ఈ క్షణంఉచిత కార్లు: ఎరుపు, పసుపు మరియు ఆకుపచ్చ. కస్టమర్‌కు అత్యంత సన్నిహితంగా ఉండే కార్లలో ఒకటి కాల్‌కు ప్రతిస్పందించింది. ఆమె వద్దకు పసుపు టాక్సీ వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

మొత్తం కార్లు ఉన్నాయి, అంటే పదిహేనులో ఒకటి కస్టమర్‌కు వస్తుంది. తొమ్మిది పసుపు రంగులు ఉన్నాయి, అంటే పసుపు కారు వచ్చే సంభావ్యత , అంటే సమానం.

. (డెమో వెర్షన్) అన్ని టిక్కెట్ల జీవశాస్త్రంపై టిక్కెట్ల సేకరణలో, వాటిలో రెండింటిలో పుట్టగొడుగుల గురించి ఒక ప్రశ్న ఉంది. పరీక్ష సమయంలో, విద్యార్థి యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న ఒక టిక్కెట్‌ను అందుకుంటాడు. ఈ టిక్కెట్టులో పుట్టగొడుగుల గురించిన ప్రశ్న ఉండకపోవచ్చనే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

సహజంగానే, పుట్టగొడుగుల గురించి అడగకుండా టికెట్ గీయడం యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది, అంటే.

. తల్లిదండ్రుల కమిటీ పిల్లలకు గ్రాడ్యుయేషన్ బహుమతుల కోసం పజిల్స్ కొనుగోలు చేసింది. విద్యా సంవత్సరం, ప్రసిద్ధ కళాకారుల పెయింటింగ్‌లు మరియు జంతువుల చిత్రాలతో సహా. బహుమతులు యాదృచ్ఛికంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. Vovochka జంతువుతో ఒక పజిల్ పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

సమస్య ఇదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

సమాధానం: .

. జిమ్నాస్టిక్స్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో రష్యా, అమెరికా, మిగిలిన చైనా క్రీడాకారులు పాల్గొంటున్నారు. జిమ్నాస్ట్‌లు చేసే క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పోటీ చేసే చివరి అథ్లెట్ చైనాకు చెందిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.

అథ్లెట్లందరూ ఏకకాలంలో టోపీని సమీపించి, దాని నుండి సంఖ్యలతో కూడిన కాగితపు ముక్కలను బయటకు తీసినట్లు ఊహించుకుందాం. వాటిలో కొన్ని ఇరవై సంఖ్యను పొందుతాయి. ఒక చైనీస్ అథ్లెట్ దానిని బయటకు తీసే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది (అథ్లెట్లు చైనా నుండి వచ్చినందున). సమాధానం: .

. నుండి వరకు ఉన్న నంబర్‌కు పేరు పెట్టాలని విద్యార్థిని కోరారు. అతను ఐదుకి గుణింతమైన సంఖ్యకు పేరు పెట్టే సంభావ్యత ఏమిటి?

ప్రతి ఐదవఈ సెట్ నుండి ఒక సంఖ్య ద్వారా భాగించబడుతుంది. దీని అర్థం సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

ఒక చావు విసిరివేయబడింది. పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి బేసి సంఖ్యపాయింట్లు.

బేసి సంఖ్యలు; - కూడా. పాయింట్ల బేసి సంఖ్య యొక్క సంభావ్యత .

సమాధానం: .

. నాణెం మూడు సార్లు విసిరివేయబడుతుంది. రెండు తలలు మరియు ఒక తోక సంభావ్యత ఎంత?

సమస్యను విభిన్నంగా రూపొందించవచ్చని గమనించండి: మూడు నాణేలు ఒకే సమయంలో విసిరివేయబడ్డాయి. ఇది నిర్ణయాన్ని ప్రభావితం చేయదు.

ఎన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉన్నాయని మీరు అనుకుంటున్నారు?

మేము ఒక నాణెం టాసు. ఈ చర్యకు రెండు సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి: తలలు మరియు తోకలు.

రెండు నాణేలు - ఇప్పటికే నాలుగు ఫలితాలు:

మూడు నాణేలు? అది నిజం, ఫలితాలు, నుండి .

రెండు తలలు మరియు ఒక తోకలు ఎనిమిది సార్లు మూడు కనిపిస్తాయి.

సమాధానం: .

. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, రెండు పాచికలు చుట్టబడతాయి. మొత్తం పాయింట్లుగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.

మేము మొదటి డైని విసిరేస్తాము - ఆరు ఫలితాలు. మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కరికి మరో ఆరు సాధ్యమే - మేము రెండవ డైని విసిరినప్పుడు.

ఈ చర్య - రెండు పాచికలు విసరడం - మొత్తం సాధ్యమయ్యే ఫలితాలను కలిగి ఉందని మేము కనుగొన్నాము.

మరియు ఇప్పుడు - అనుకూలమైన ఫలితాలు:

ఎనిమిది పాయింట్లు పొందే సంభావ్యత .

>. షూటర్ సంభావ్యతతో లక్ష్యాన్ని చేధిస్తాడు. అతను వరుసగా నాలుగు సార్లు లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

హిట్ సంభావ్యత సమానంగా ఉంటే, మిస్ అయ్యే సంభావ్యత . మేము లో ఉన్న విధంగానే తర్కించాము మునుపటి పని. వరుసగా రెండు హిట్‌ల సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. మరియు వరుసగా నాలుగు హిట్‌ల సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

సంభావ్యత: బ్రూట్ ఫోర్స్ లాజిక్.

ఇక్కడ నుండి సమస్య రోగనిర్ధారణ పని, ఇది చాలా మందికి కష్టంగా అనిపించింది.

పెట్యా జేబులో రూబిళ్లు విలువైన నాణేలు మరియు రూబిళ్లు విలువైన నాణేలు ఉన్నాయి. పెట్యా, చూడకుండా, కొన్ని నాణేలను మరొక జేబుకు బదిలీ చేశాడు. ఐదు-రూబుల్ నాణేలు ఇప్పుడు వేర్వేరు పాకెట్స్‌లో ఉన్న సంభావ్యతను కనుగొనండి.

ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యకు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానమని మాకు తెలుసు. అయితే ఈ ఫలితాలన్నింటినీ ఎలా లెక్కించాలి?

మీరు, వాస్తవానికి, సంఖ్యలతో ఐదు-రూబుల్ నాణేలను మరియు సంఖ్యలతో పది-రూబుల్ నాణేలను నియమించవచ్చు - ఆపై మీరు సెట్ నుండి మూడు అంశాలను ఎన్ని మార్గాల్లో ఎంచుకోవచ్చో లెక్కించవచ్చు.

అయితే, సరళమైన పరిష్కారం ఉంది:

మేము నాణేలను సంఖ్యలతో కోడ్ చేస్తాము: , (ఇవి ఐదు-రూబుల్ నాణేలు), (ఇవి పది-రూబుల్ నాణేలు). ఇప్పుడు సమస్య పరిస్థితిని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు:

నుండి సంఖ్యలతో ఆరు చిప్‌లు ఉన్నాయి. ఎన్ని విధాలుగా వాటిని రెండు పాకెట్స్‌లో సమానంగా పంపిణీ చేయవచ్చు, తద్వారా సంఖ్యలతో కూడిన చిప్‌లు కలిసి ఉండవు?

మన మొదటి జేబులో ఏమి ఉందో రాసుకుందాం.

దీని కోసం అంతా కలిసి చూద్దాం సాధ్యం కలయికలుసెట్ నుండి. మూడు చిప్‌ల సమితి మూడు అంకెల సంఖ్య అవుతుంది. సహజంగానే, మా పరిస్థితుల్లో మరియు చిప్స్ యొక్క అదే సెట్. ఏదైనా కోల్పోకుండా లేదా పునరావృతం కాకుండా ఉండటానికి, మనకు తగినవి ఉన్నాయి మూడు అంకెల సంఖ్యలుఆరోహణ:

అన్నీ! మేము ప్రారంభించి సాధ్యమయ్యే అన్ని కలయికల ద్వారా వెళ్ళాము. ముందుకు సాగిద్దాము:

సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఫలితాలు.

మాకు ఒక షరతు ఉంది - సంఖ్యలతో కూడిన చిప్స్ కలిసి ఉండకూడదు. దీని అర్థం, ఉదాహరణకు, కలయిక మాకు సరిపోదు - అంటే రెండు చిప్‌లు మొదటిది కాదు, రెండవ జేబులో ముగిశాయి. మనకు అనుకూలమైన ఫలితాలు కేవలం ఉన్న చోట మాత్రమే , లేదా మాత్రమే ఉంటాయి . వారు ఇక్కడ ఉన్నారు:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - మొత్తం అనుకూల ఫలితాలు.

అప్పుడు అవసరమైన సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది.

గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో మీకు ఏ టాస్క్‌లు వేచి ఉన్నాయి?

వాటిలో ఒకటి చూద్దాం క్లిష్టమైన పనులుసంభావ్యత సిద్ధాంతం ప్రకారం.

స్పెషాలిటీ "లింగ్విస్టిక్స్" కోసం ఇన్‌స్టిట్యూట్‌లోకి ప్రవేశించడానికి, దరఖాస్తుదారు Z. గణితం, రష్యన్ భాష మరియు విదేశీ భాష - ప్రతి మూడు సబ్జెక్టులలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనీసం 70 పాయింట్లను స్కోర్ చేయాలి. స్పెషాలిటీ "కామర్స్"లో నమోదు చేసుకోవడానికి, మీరు గణితం, రష్యన్ భాష మరియు సామాజిక అధ్యయనాలు - ప్రతి మూడు సబ్జెక్టులలో కనీసం 70 పాయింట్లను స్కోర్ చేయాలి.

దరఖాస్తుదారు Z. గణితంలో కనీసం 70 పాయింట్లు పొందే సంభావ్యత 0.6, రష్యన్లో - 0.8, విదేశీ భాషలో - 0.7 మరియు సామాజిక అధ్యయనాలలో - 0.5.
Z. పేర్కొన్న రెండు ప్రత్యేకతలలో కనీసం ఒకదానిలో నమోదు చేయగల సంభావ్యతను కనుగొనండి.

Z. అనే దరఖాస్తుదారు భాషాశాస్త్రం మరియు వాణిజ్యం రెండింటినీ ఒకేసారి అధ్యయనం చేసి, రెండు డిప్లొమాలను స్వీకరిస్తారా అని సమస్య అడగలేదని గమనించండి. Z. ఈ రెండు ప్రత్యేకతలలో కనీసం ఒకదానిలోనైనా నమోదు చేయగల సంభావ్యతను ఇక్కడ మనం కనుగొనాలి - అంటే, అతను పొందుతాడు. అవసరమైన మొత్తంపాయింట్లు.
రెండు స్పెషాలిటీలలో కనీసం ఒకదానిని నమోదు చేయడానికి, Z. గణితంలో కనీసం 70 పాయింట్లను స్కోర్ చేయాలి. మరియు రష్యన్ భాషలో. మరియు కూడా - సామాజిక అధ్యయనాలు లేదా విదేశీ.
అతను గణితంలో 70 పాయింట్లు సాధించడానికి సంభావ్యత 0.6.
గణితం మరియు రష్యన్‌లో పాయింట్లు సాధించే సంభావ్యత 0.6 0.8.

విదేశీ మరియు సామాజిక అధ్యయనాలతో వ్యవహరిస్తాము. దరఖాస్తుదారు సోషల్ స్టడీస్, ఫారిన్ స్టడీస్ లేదా రెండింటిలో పాయింట్లు సాధించినప్పుడు మనకు సరిపోయే ఎంపికలు. అతను భాషలో లేదా "సమాజం"లో ఎలాంటి పాయింట్లు సాధించనప్పుడు ఎంపిక తగినది కాదు. అంటే కనీసం 70 పాయింట్లతో సోషల్ స్టడీస్ లేదా విదేశీ భాషలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది
1 – 0,5 0,3.
ఫలితంగా, గణితం, రష్యన్ మరియు సామాజిక అధ్యయనాలు లేదా విదేశీ ఉత్తీర్ణత సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది
0.6 0.8 (1 - 0.5 0.3) = 0.408. ఇదే సమాధానం.