"ప్రొఫెషనల్ మ్యాథమెటిక్స్ ట్యూటర్" వెబ్‌సైట్ బోధనకు సంబంధించిన పద్దతి కథనాల శ్రేణిని కొనసాగిస్తుంది. నేను నా పని యొక్క పద్ధతుల వివరణలను అత్యంత సంక్లిష్టమైన వాటితో ప్రచురిస్తాను సమస్యాత్మక విషయాలుపాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. ఈ పదార్థం 8-11 తరగతుల విద్యార్థులతో పని చేసే గణితంలో ఉపాధ్యాయులు మరియు బోధకులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది సాధారణ కార్యక్రమం, మరియు గణిత తరగతుల కార్యక్రమం ప్రకారం.
పాఠ్యపుస్తకంలో పేలవంగా ప్రదర్శించబడిన విషయాలను గణిత శిక్షకుడు ఎల్లప్పుడూ వివరించలేడు. దురదృష్టవశాత్తూ, ఇటువంటి అంశాలు మరింత ఎక్కువ అవుతున్నాయి మరియు మాన్యువల్‌ల రచయితలను అనుసరించే ప్రెజెంటేషన్ లోపాలు పెద్దఎత్తున తయారు చేయబడుతున్నాయి. ఇది ప్రారంభ గణిత ట్యూటర్లు మరియు పార్ట్‌టైమ్ ట్యూటర్‌లకు (ట్యూటర్లు విద్యార్థులు మరియు యూనివర్సిటీ ట్యూటర్లు) మాత్రమే కాకుండా అనుభవజ్ఞులైన ఉపాధ్యాయులు, ప్రొఫెషనల్ ట్యూటర్లు, అనుభవం మరియు అర్హతలు కలిగిన ట్యూటర్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది. సమర్థ కరుకుదనం సరిచేసేవారి ప్రతిభ పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలుఅన్ని గణిత బోధకులకు ఇది ఉండదు. ఈ దిద్దుబాట్లు (లేదా చేర్పులు) అవసరమని కూడా అందరూ అర్థం చేసుకోలేరు. పిల్లల ద్వారా దాని గుణాత్మక అవగాహన కోసం పదార్థాన్ని స్వీకరించడంలో కొంతమంది పిల్లలు పాల్గొంటారు. దురదృష్టవశాత్తు, గణిత ఉపాధ్యాయులు, మెథడాలజిస్టులు మరియు ప్రచురణల రచయితలతో కలిసి పాఠ్యపుస్తకంలోని ప్రతి అక్షరాన్ని సామూహికంగా చర్చించే సమయం గడిచిపోయింది. ఇంతకుముందు, పాఠశాలల్లో పాఠ్యపుస్తకాన్ని విడుదల చేయడానికి ముందు, తీవ్రమైన విశ్లేషణలు మరియు అభ్యాస ఫలితాల అధ్యయనాలు నిర్వహించబడ్డాయి. పాఠ్యపుస్తకాలను విశ్వవ్యాప్తం చేయడానికి, వాటిని బలమైన గణిత తరగతుల ప్రమాణాలకు సర్దుబాటు చేయడానికి కృషి చేసే ఔత్సాహికులకు సమయం ఆసన్నమైంది.
సమాచార పరిమాణాన్ని పెంచే రేసు దాని సమీకరణ నాణ్యతలో తగ్గుదలకు దారితీస్తుంది మరియు పర్యవసానంగా, స్థాయి తగ్గుతుంది నిజమైన జ్ఞానంగణితంలో. అయితే దీన్ని ఎవరూ పట్టించుకోవడం లేదు. మరియు మా పిల్లలు, ఇప్పటికే 8వ తరగతిలో, మేము ఇన్స్టిట్యూట్‌లో చదివిన వాటిని అధ్యయనం చేయవలసి వస్తుంది: సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం, అధిక-స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం మరియు మరేదైనా. పిల్లలు పూర్తిగా గ్రహించడానికి పుస్తకాల్లోని విషయాలను అనుసరణకు అనుగుణంగా మార్చడం చాలా కావలసినది, మరియు గణిత బోధకుడు దీన్ని ఎలాగైనా ఎదుర్కోవలసి వస్తుంది.
పెద్దల గణితంలో "Bezout's theorem and Horner's scheme"గా ప్రసిద్ధి చెందిన "బహుపదిని బహుపదిని ఒక మూల ద్వారా విభజించడం" వంటి నిర్దిష్ట అంశాన్ని బోధించే పద్దతి గురించి మాట్లాడుకుందాం. కేవలం కొన్ని సంవత్సరాల క్రితం, గణిత బోధకుడికి ప్రశ్న అంతగా నొక్కలేదు, ఎందుకంటే ఇది ప్రధాన అంశంలో భాగం కాదు. పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. ఇప్పుడు టెల్యకోవ్స్కీచే సవరించబడిన పాఠ్యపుస్తకం యొక్క గౌరవనీయమైన రచయితలు, నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఉత్తమ పాఠ్యపుస్తకం యొక్క తాజా ఎడిషన్‌లో మార్పులు చేసారు మరియు దానిని పూర్తిగా పాడుచేసి, బోధకుడికి అనవసరమైన చింతలను మాత్రమే జోడించారు. గణిత స్థితి లేని పాఠశాలలు మరియు తరగతుల ఉపాధ్యాయులు, రచయితల ఆవిష్కరణలపై దృష్టి సారించి, వారి పాఠాలలో అదనపు పేరాగ్రాఫ్‌లను చేర్చడం ప్రారంభించారు, మరియు పరిశోధనాత్మక పిల్లలు, వారి గణిత పాఠ్య పుస్తకంలోని అందమైన పేజీలను చూస్తూ, ఎక్కువగా అడుగుతారు. బోధకుడు: “ఒక మూల ద్వారా ఈ విభజన ఏమిటి? మనం దీని ద్వారా వెళ్ళబోతున్నామా? ఒక మూలను ఎలా పంచుకోవాలి? ఇకపై ఇలాంటి సూటి ప్రశ్నలకు దాపరికం లేదు. ట్యూటర్ పిల్లవాడికి ఏదో చెప్పాలి.
ఎలా? పాఠ్యపుస్తకాల్లో సమర్ధవంతంగా సమర్పించబడి ఉంటే, నేను టాపిక్‌తో పని చేసే పద్ధతిని వివరించి ఉండకపోవచ్చు. ప్రతిదీ మనతో ఎలా జరుగుతోంది? పాఠ్యపుస్తకాలను ముద్రించి విక్రయించాలి. మరియు దీని కోసం వారు క్రమం తప్పకుండా నవీకరించబడాలి. విజ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలు లేకుండా పిల్లలు ఖాళీ తలలతో తమ వద్దకు వస్తున్నారని విశ్వవిద్యాలయ ఉపాధ్యాయులు ఫిర్యాదు చేస్తారా? కోసం అవసరాలు గణిత జ్ఞానంపెరుగుతుందా? గొప్ప! కొన్ని వ్యాయామాలను తీసివేసి, బదులుగా ఇతర ప్రోగ్రామ్‌లలో అధ్యయనం చేసిన అంశాలను చొప్పిద్దాం. మన పాఠ్యపుస్తకం ఎందుకు అధ్వాన్నంగా ఉంది? కొన్నింటిని ఆన్ చేద్దాం అదనపు అధ్యాయాలు. మూలను విభజించే నియమం పాఠశాల విద్యార్థులకు తెలియదా? ఇది కూడా అదే ప్రాథమిక గణితం. "మరింత తెలుసుకోవాలనుకునే వారి కోసం" అనే శీర్షికతో ఈ పేరా ఐచ్ఛికంగా ఉండాలి. ట్యూటర్లు వ్యతిరేకిస్తారా? సాధారణంగా ట్యూటర్ల గురించి మనం ఎందుకు శ్రద్ధ వహిస్తాము? మెథడాలజిస్టులు మరియు పాఠశాల ఉపాధ్యాయులు కూడా వ్యతిరేకిస్తున్నారా? మేము పదార్థాన్ని క్లిష్టతరం చేయము మరియు దాని సరళమైన భాగాన్ని పరిశీలిస్తాము.
మరియు ఇది ఎక్కడ ప్రారంభమవుతుంది. టాపిక్ యొక్క సరళత మరియు దాని సమ్మేళనం యొక్క నాణ్యత, మొదటగా, దాని తర్కాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో ఉంది మరియు పాఠ్యపుస్తక రచయితల సూచనల ప్రకారం, ఒకదానికొకటి స్పష్టంగా సంబంధం లేని నిర్దిష్ట కార్యకలాపాల సమితిని అమలు చేయడంలో కాదు. . లేకపోతే, విద్యార్థి తలలో పొగమంచు ఉంటుంది. రచయితల లెక్కలు సాపేక్షంగా ఆధారపడి ఉంటే బలమైన విద్యార్థులు(కానీ సాధారణ ప్రోగ్రామ్‌లో అధ్యయనం చేయడం), అప్పుడు మీరు అంశాన్ని కమాండ్ రూపంలో ప్రదర్శించకూడదు. పాఠ్య పుస్తకంలో మనం ఏమి చూస్తాము? పిల్లలు, మేము ఈ నియమం ప్రకారం విభజించాలి. కోణం కింద బహుపదిని పొందండి. అందువలన, అసలు బహుపది కారకం చేయబడుతుంది. ఏదేమైనప్పటికీ, మూలలో ఉన్న పదాలు సరిగ్గా ఈ విధంగా ఎందుకు ఎంచుకోబడ్డాయో అర్థం చేసుకోవడం స్పష్టంగా లేదు, వాటిని మూలలో ఉన్న బహుపదితో ఎందుకు గుణించాలి, ఆపై ప్రస్తుత శేషం నుండి తీసివేయాలి. మరియు ముఖ్యంగా, ఎంచుకున్న మోనోమియల్‌లు చివరికి ఎందుకు జోడించబడాలి మరియు ఫలితంగా వచ్చే బ్రాకెట్‌లు అసలు బహుపది యొక్క విస్తరణ ఎందుకు అవుతాయి అనేది స్పష్టంగా తెలియదు. ఏదైనా సమర్థుడైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు చాలు బోల్డ్ గుర్తుపాఠ్యపుస్తకంలో ఇచ్చిన వివరణలపై ప్రశ్న.
నేను సమస్యకు నా పరిష్కారాన్ని ట్యూటర్లు మరియు గణిత ఉపాధ్యాయుల దృష్టికి తీసుకువస్తాను, ఇది పాఠ్యపుస్తకంలో పేర్కొన్న ప్రతిదాన్ని ఆచరణాత్మకంగా విద్యార్థికి స్పష్టంగా తెలియజేస్తుంది. వాస్తవానికి, మేము బెజౌట్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తాము: సంఖ్య a బహుపది యొక్క మూలం అయితే, ఈ బహుపదిని కారకాలుగా విడదీయవచ్చు, వాటిలో ఒకటి x-a, మరియు రెండవది అసలు ఒకటి నుండి మూడు మార్గాలలో ఒకటిగా పొందబడుతుంది: పరివర్తనల ద్వారా, ఒక మూల ద్వారా విభజించడం ద్వారా లేదా హార్నర్ పథకం ద్వారా సరళ కారకాన్ని వేరు చేయడం ద్వారా. ఈ సూత్రీకరణతోనే గణిత బోధకుడు పని చేయడం సులభం అవుతుంది.
టీచింగ్ మెథడాలజీ అంటే ఏమిటి? అన్నింటిలో మొదటిది, ఇది వివరణలు మరియు ఉదాహరణల క్రమంలో స్పష్టమైన క్రమం, దీని ఆధారంగా గణిత తీర్మానాలు తీసుకోబడతాయి. ఈ అంశంమినహాయింపు లేదు. గణిత బోధకుడు బిడ్డకు బెజౌట్ సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేయడం చాలా ముఖ్యం ఒక మూలలో విభజించే ముందు. ఇది చాలా ముఖ్యం! అవగాహన సాధించడానికి ఉత్తమ మార్గం నిర్దిష్ట ఉదాహరణ. ఎంచుకున్న రూట్‌తో కొన్ని బహుపదిని తీసుకొని, 7వ తరగతి నుండి పాఠశాల పిల్లలకు తెలిసిన పద్ధతిని ఉపయోగించి దానిని ఫ్యాక్టరింగ్ చేసే సాంకేతికతను చూపిద్దాం. గుర్తింపు పరివర్తనలు. గణిత బోధకుని నుండి తగిన వివరణలు, ఉద్ఘాటన మరియు చిట్కాలతో, సాధారణ గణిత గణనలు, ఏకపక్ష గుణకాలు మరియు అధికారాలు లేకుండా పదార్థాన్ని తెలియజేయడం చాలా సాధ్యమే.
గణిత బోధకుడికి ముఖ్యమైన సలహా- మొదటి నుండి చివరి వరకు సూచనలను అనుసరించండి మరియు ఈ క్రమాన్ని మార్చవద్దు.
కాబట్టి, మనకు బహుపది ఉందని అనుకుందాం. మేము దాని Xకి బదులుగా సంఖ్య 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, బహుపది విలువ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి x=1 దాని మూలం. రెండు పదాలుగా కుళ్ళిపోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం, తద్వారా వాటిలో ఒకటి ఉత్పత్తి అవుతుంది సరళ వ్యక్తీకరణమరియు కొంత మోనోమియల్, మరియు రెండవది డిగ్రీ కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంటుంది. అంటే, దానిని రూపంలో సూచిస్తాం
మేము రెడ్ ఫీల్డ్ కోసం మోనోమియల్‌ని ఎంచుకుంటాము, తద్వారా లీడింగ్ టర్మ్‌తో గుణించినప్పుడు, అది అసలైన బహుపది యొక్క ప్రముఖ పదంతో పూర్తిగా సమానంగా ఉంటుంది. విద్యార్థి బలహీనుడు కాకపోతే, అతను గణిత బోధకుడికి అవసరమైన వ్యక్తీకరణను చెప్పగల సామర్థ్యం కలిగి ఉంటాడు: . ట్యూటర్‌ని వెంటనే రెడ్ ఫీల్డ్‌లోకి చొప్పించమని అడగాలి మరియు అవి తెరిచినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో చూపించాలి. ఈ వర్చువల్ తాత్కాలిక బహుపదిని బాణాల క్రింద (చిన్న ఫోటో కింద) సంతకం చేయడం ఉత్తమం, దానిని కొంత రంగుతో హైలైట్ చేస్తుంది, ఉదాహరణకు, నీలం. రెడ్ ఫీల్డ్ కోసం ఒక పదాన్ని ఎంచుకోవడానికి ఇది మీకు సహాయం చేస్తుంది, ఎంపికలో మిగిలినది అని పిలుస్తారు. ఈ శేషాన్ని వ్యవకలనం ద్వారా కనుగొనవచ్చని ఇక్కడ సూచించమని నేను ట్యూటర్‌లకు సలహా ఇస్తాను. ఈ ఆపరేషన్ చేయడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:
ఈ సమానత్వంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, దాని ఎడమ వైపున (1 అసలైన బహుపది యొక్క మూలం కాబట్టి), మరియు కుడి వైపున, స్పష్టంగా, మేము సున్నాని పొందుతామని గణిత బోధకుడు విద్యార్థి దృష్టిని ఆకర్షించాలి. మొదటి టర్మ్‌ను కూడా సున్నా చేస్తుంది. దీని అర్థం ఎటువంటి ధృవీకరణ లేకుండా మనం "ఆకుపచ్చ శేషం" యొక్క మూలం అని చెప్పవచ్చు.
అసలు బహుపదితో మనం వ్యవహరించిన విధంగానే, దాని నుండి అదే లీనియర్ ఫ్యాక్టర్‌ను వేరుచేద్దాం. గణిత బోధకుడు విద్యార్థి ముందు రెండు ఫ్రేమ్‌లను గీసి, ఎడమ నుండి కుడికి పూరించమని అడుగుతాడు.
విద్యార్థి ట్యూటర్ కోసం రెడ్ ఫీల్డ్ కోసం మోనోమియల్‌ని ఎంచుకుంటాడు, తద్వారా లీనియర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ యొక్క లీడింగ్ టర్మ్‌తో గుణించినప్పుడు, అది విస్తరిస్తున్న బహుపది యొక్క ప్రధాన పదాన్ని ఇస్తుంది. మేము దానిని ఫ్రేమ్‌లో అమర్చాము, వెంటనే బ్రాకెట్‌ను తెరిచి, మడత నుండి తీసివేయవలసిన వ్యక్తీకరణను నీలం రంగులో హైలైట్ చేస్తాము. ఈ ఆపరేషన్ చేయడం వల్ల మనకు లభిస్తుంది
చివరకు, చివరి మిగిలిన వాటితో కూడా అదే చేయడం
మేము దానిని చివరకు పొందుతాము
ఇప్పుడు వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్ నుండి తీసుకుందాం మరియు అసలు బహుపది యొక్క కుళ్ళిపోవడాన్ని కారకాలుగా చూస్తాము, అందులో ఒకటి "x మైనస్ ఎంచుకున్న రూట్."
విద్యార్థి చివరి "ఆకుపచ్చ శేషం" అనుకోకుండా అవసరమైన కారకాలుగా కుళ్ళిపోయిందని భావించకుండా నిరోధించడానికి, గణిత బోధకుడు సూచించాలి ముఖ్యమైన ఆస్తిఅన్ని ఆకుపచ్చ అవశేషాలలో - వాటిలో ప్రతిదానికి రూట్ 1 ఉంటుంది. ఈ అవశేషాల డిగ్రీలు తగ్గుతాయి కాబట్టి, ప్రారంభ బహుపది యొక్క డిగ్రీ ఏదైనా మనకు అందించబడుతుంది, ముందుగానే లేదా తరువాత, మేము రూట్ 1తో సరళ “ఆకుపచ్చ శేషం” పొందుతాము మరియు కనుక ఇది తప్పనిసరిగా ఉత్పత్తిలో కొంత సంఖ్య మరియు వ్యక్తీకరణగా కుళ్ళిపోతుంది.
దీని తరువాత సన్నాహక పనిఒక మూలలో విభజించినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో విద్యార్థికి వివరించడం గణిత శిక్షకుడికి కష్టం కాదు. సమాన సంకేతాలు లేకుండా మరియు అదే హైలైట్ చేసిన నిబంధనలను తిరిగి వ్రాయకుండా, చిన్న మరియు మరింత కాంపాక్ట్ రూపంలో మాత్రమే ఇదే ప్రక్రియ. సరళ కారకం సంగ్రహించబడిన బహుపది మూలలో ఎడమ వైపున వ్రాయబడింది, ఎంచుకున్న ఎరుపు మోనోమియల్స్ ఒక కోణంలో సేకరించబడతాయి (అవి ఎందుకు జోడించాలో ఇప్పుడు స్పష్టమవుతుంది), మీరు గుణించాల్సిన “బ్లూ బహుపది”లను పొందడం. "ఎరుపు" వాటిని x-1 ద్వారా, ఆపై ఇది ఎప్పుడు ఎలా జరుగుతుంది అనేది ప్రస్తుతం ఎంచుకున్న దాని నుండి తీసివేయండి సాధారణ విభజననిలువు వరుసలోని సంఖ్యలు (ఇక్కడ గతంలో అధ్యయనం చేసిన దానితో సారూప్యత ఉంది). ఫలితంగా "ఆకుపచ్చ అవశేషాలు" కొత్త ఐసోలేషన్ మరియు "రెడ్ మోనోమియల్స్" ఎంపికకు లోబడి ఉంటాయి. మరియు మీరు సున్నా "గ్రీన్ బ్యాలెన్స్" పొందే వరకు. అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే విద్యార్థి అర్థం చేసుకుంటాడు మరింత విధికోణం పైన మరియు క్రింద వ్రాసిన బహుపది. సహజంగానే, ఇవి బ్రాకెట్‌లు, దీని ఉత్పత్తి అసలు బహుపదికి సమానం.
గణిత బోధకుని పని యొక్క తదుపరి దశ బెజౌట్ సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణ. వాస్తవానికి, ట్యూటర్ యొక్క ఈ విధానంతో దాని సూత్రీకరణ స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది: సంఖ్య a బహుపది యొక్క మూలం అయితే, దానిని కారకం చేయవచ్చు, వాటిలో ఒకటి , మరియు మరొకటి అసలు దాని నుండి మూడు మార్గాలలో ఒకటి పొందబడుతుంది. :
- ప్రత్యక్ష కుళ్ళిపోవడం (సమూహ పద్ధతికి సారూప్యం)
- ఒక మూల ద్వారా విభజించడం (ఒక నిలువు వరుసలో)
- హార్నర్ సర్క్యూట్ ద్వారా
అన్ని గణిత బోధకులు విద్యార్థులకు హార్నర్ రేఖాచిత్రాన్ని చూపించరని చెప్పాలి మరియు అందరికీ కాదు పాఠశాల ఉపాధ్యాయులు(అదృష్టవశాత్తూ ట్యూటర్ల కోసం) వారు పాఠాల సమయంలో టాపిక్‌లోకి చాలా లోతుగా వెళతారు. అయితే, విద్యార్థి కోసం గణిత తరగతిసుదీర్ఘ విభజనతో ఆపడానికి నాకు ఎటువంటి కారణం కనిపించదు. అంతేకాక, అత్యంత అనుకూలమైన మరియు వేగంగాకుళ్ళిపోయే సాంకేతికత ఖచ్చితంగా హార్నర్ పథకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో పిల్లలకు వివరించడానికి, ఒక మూలలో విభజన యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి, ఆకుపచ్చ అవశేషాలలో అధిక కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క రూపాన్ని గుర్తించడం సరిపోతుంది. ప్రారంభ బహుపది యొక్క ప్రముఖ గుణకం మొదటి "ఎరుపు మోనోమియల్" యొక్క గుణకంలోకి మరియు ప్రస్తుత ఎగువ బహుపది యొక్క రెండవ గుణకం నుండి మరింతగా తీసుకువెళుతుందని స్పష్టమవుతుంది. తీసివేసారు"రెడ్ మోనోమియల్" యొక్క ప్రస్తుత గుణకం ద్వారా గుణించడం యొక్క ఫలితం. అందువల్ల ఇది సాధ్యమవుతుంది జోడించుద్వారా గుణకారం యొక్క ఫలితం. గుణకాలతో చర్యల యొక్క ప్రత్యేకతలపై విద్యార్థి దృష్టిని కేంద్రీకరించిన తర్వాత, గణిత శిక్షకుడు వేరియబుల్స్‌ను రికార్డ్ చేయకుండా సాధారణంగా ఈ చర్యలు ఎలా నిర్వహించబడతాయో చూపగలడు. దీన్ని చేయడానికి, కింది పట్టికలో ప్రాధాన్యత క్రమంలో అసలు బహుపది యొక్క మూలం మరియు గుణకాలను నమోదు చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:
బహుపదిలో ఏదైనా డిగ్రీ లేకుంటే, దాని సున్నా గుణకం పట్టికలోకి బలవంతంగా ఉంటుంది. "రెడ్ బహుపది" యొక్క గుణకాలు "హుక్" నియమం ప్రకారం బాటమ్ లైన్‌లో వ్రాయబడ్డాయి: 
రూట్ చివరి ఎరుపు గుణకంతో గుణించబడుతుంది, ఎగువ లైన్‌లోని తదుపరి గుణకంకి జోడించబడుతుంది మరియు ఫలితం దిగువ రేఖకు వ్రాయబడుతుంది. చివరి కాలమ్‌లో చివరి “ఆకుపచ్చ మిగిలిన”, అంటే సున్నా యొక్క అత్యధిక గుణకాన్ని పొందుతామని మేము హామీ ఇస్తున్నాము. ప్రక్రియ పూర్తయిన తర్వాత, సంఖ్యలు సరిపోలిన రూట్ మరియు సున్నా శేషం మధ్య శాండ్‌విచ్ చేయబడిందిరెండవ (నాన్ లీనియర్) కారకం యొక్క గుణకాలుగా మారతాయి.
మూలం a బాటమ్ లైన్ చివరిలో సున్నాని ఇస్తుంది కాబట్టి, బహుపది యొక్క మూలం యొక్క శీర్షిక కోసం సంఖ్యలను తనిఖీ చేయడానికి హార్నర్ యొక్క పథకం ఉపయోగించబడుతుంది. హేతుబద్ధమైన రూట్ ఎంపికపై ప్రత్యేక సిద్ధాంతం ఉంటే. దీని సహాయంతో పొందిన ఈ శీర్షిక కోసం అభ్యర్థులందరూ ఎడమవైపు నుండి హార్నర్ రేఖాచిత్రంలోకి చొప్పించబడతారు. మేము సున్నాని పొందిన వెంటనే, పరీక్షించిన సంఖ్య రూట్ అవుతుంది మరియు అదే సమయంలో దాని లైన్‌లో అసలు బహుపది యొక్క కారకం యొక్క గుణకాలను పొందుతాము. చాలా అనుకూలమైనది.
ముగింపులో, హార్నర్ యొక్క స్కీమ్‌ను ఖచ్చితంగా పరిచయం చేయడానికి, అలాగే అంశాన్ని ఆచరణాత్మకంగా ఏకీకృతం చేయడానికి, గణిత బోధకుడు తన వద్ద తగినన్ని గంటలను కలిగి ఉండాలని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. "వారానికి ఒకసారి" పాలనతో పనిచేసే ట్యూటర్ మూలలో విభజనలో పాల్గొనకూడదు. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో మరియు గణితంలో స్టేట్ అకాడమీ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్‌లో, మొదటి భాగంలో మీరు అటువంటి మార్గాల ద్వారా పరిష్కరించగల మూడవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎప్పుడైనా ఎదుర్కొనే అవకాశం లేదు. ఒక శిక్షకుడు మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీలో గణిత పరీక్ష కోసం పిల్లవాడిని సిద్ధం చేస్తున్నట్లయితే, అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం తప్పనిసరి అవుతుంది. యూనివర్శిటీ ఉపాధ్యాయులు, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క కంపైలర్ల వలె కాకుండా, దరఖాస్తుదారు యొక్క జ్ఞానం యొక్క లోతును పరీక్షించడానికి నిజంగా ఇష్టపడతారు.
కోల్పకోవ్ అలెగ్జాండర్ నికోలెవిచ్, గణిత బోధకుడు మాస్కో, స్ట్రోగినో
సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ డిగ్రీ ఉన్న బహుపదిని కారకం చేయడం తరచుగా అవసరం. ఈ వ్యాసంలో మేము దీన్ని చేయడానికి సులభమైన మార్గాన్ని పరిశీలిస్తాము.
ఎప్పటిలాగే, సహాయం కోసం సిద్ధాంతానికి వెళ్దాం.
బెజౌట్ సిద్ధాంతంఒక బహుపదిని ద్విపద ద్వారా భాగించినప్పుడు మిగిలినది .
కానీ మనకు ముఖ్యమైనది సిద్ధాంతం కాదు, కానీ దాని నుండి ఫలితం:
సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలం అయితే, బహుపది శేషం లేకుండా ద్విపద ద్వారా భాగించబడుతుంది.
బహుపది యొక్క కనీసం ఒక మూలాన్ని కనుగొని, బహుపది యొక్క మూలం ఎక్కడ ఉందో దానితో బహుపదిని విభజించే పనిని మేము ఎదుర్కొంటున్నాము. ఫలితంగా, మేము ఒక బహుపదిని పొందుతాము, దీని డిగ్రీ అసలు డిగ్రీ కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంటుంది. ఆపై, అవసరమైతే, మీరు ప్రక్రియను పునరావృతం చేయవచ్చు.
ఈ పని రెండుగా విభజించబడింది: బహుపది యొక్క మూలాన్ని ఎలా కనుగొనాలి మరియు బహుపదిని ద్విపద ద్వారా ఎలా విభజించాలి.
ఈ పాయింట్లను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.
1. బహుపది యొక్క మూలాన్ని ఎలా కనుగొనాలి.
ముందుగా మనం 1 మరియు -1 సంఖ్యలు బహుపది మూలాలు కాదా అని తనిఖీ చేస్తాము.
కింది వాస్తవాలు ఇక్కడ మాకు సహాయపడతాయి:
బహుపది యొక్క అన్ని గుణకాల మొత్తం సున్నా అయితే, ఆ సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలం.
ఉదాహరణకు, బహుపదిలో గుణకాల మొత్తం సున్నా: . బహుపది యొక్క మూలం ఏమిటో తనిఖీ చేయడం సులభం.
సరి శక్తుల వద్ద బహుపది యొక్క గుణకాల మొత్తం బేసి శక్తుల వద్ద ఉన్న గుణకాల మొత్తానికి సమానం అయితే, ఆ సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలం.ఉచిత పదం సరి స్థాయికి గుణకంగా పరిగణించబడుతుంది, ఎందుకంటే , a అనేది సరి సంఖ్య.
ఉదాహరణకు, బహుపదిలో సరి శక్తుల కోసం గుణకాల మొత్తం: , మరియు బేసి శక్తుల కోసం గుణకాల మొత్తం: . బహుపది యొక్క మూలం ఏమిటో తనిఖీ చేయడం సులభం.
1 లేదా -1 బహుపది మూలాలు కానట్లయితే, మేము ముందుకు వెళ్తాము.
తగ్గిన డిగ్రీ బహుపది కోసం (అంటే, ప్రముఖ గుణకం గుణకం వద్ద ఉండే బహుపది - ఒకరికి సమానం) Vieta సూత్రం చెల్లుతుంది:
బహుపది మూలాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.
బహుపది యొక్క మిగిలిన కోఎఫీషియంట్‌లకు సంబంధించి Vieta సూత్రాలు కూడా ఉన్నాయి, కానీ మేము దీనిపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము.
ఈ Vieta ఫార్ములా నుండి అది అనుసరిస్తుంది బహుపది యొక్క మూలాలు పూర్ణాంకాలు అయితే, అవి దాని ఉచిత పదం యొక్క భాగహారాలు, ఇది కూడా పూర్ణాంకం.
దీని ఆధారంగా, మేము బహుపది యొక్క ఉచిత పదాన్ని కారకం చేయాలి మరియు క్రమానుగతంగా, చిన్నది నుండి పెద్దది వరకు, బహుపది యొక్క మూలం ఏ కారకాలు అని తనిఖీ చేయాలి.
ఉదాహరణకు, బహుపదిని పరిగణించండి
ఉచిత పదం యొక్క విభజనలు: ;
;
;
బహుపది యొక్క అన్ని కోఎఫీషియంట్స్ మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, సంఖ్య 1 బహుపది యొక్క మూలం కాదు.
సరి అధికారాల కోసం గుణకాల మొత్తం:
బేసి శక్తుల కోసం గుణకాల మొత్తం:
కాబట్టి, సంఖ్య -1 కూడా బహుపది యొక్క మూలం కాదు.
ఒక బహుపదిని నిలువు వరుస ద్వారా ద్విపదంగా విభజించవచ్చు.
నిలువు వరుసను ఉపయోగించి బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించండి:
బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించడానికి మరొక మార్గం ఉంది - హార్నర్ పథకం.
అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ వీడియో చూడండి నిలువు వరుసతో ద్విపద ద్వారా బహుపదిని ఎలా విభజించాలి మరియు హార్నర్ రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించడం.
ఒక నిలువు వరుస ద్వారా విభజించేటప్పుడు, అసలు బహుపదిలో కొంతవరకు తెలియనిది లేకుంటే, మేము దాని స్థానంలో 0 అని వ్రాస్తాము - హార్నర్ స్కీమ్ కోసం పట్టికను కంపైల్ చేసేటప్పుడు అదే విధంగా.
కాబట్టి, మనం బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించవలసి వస్తే మరియు విభజన ఫలితంగా మనకు బహుపది వస్తుంది, అప్పుడు మేము హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించి బహుపది యొక్క గుణకాలను కనుగొనవచ్చు:
మనం కూడా ఉపయోగించుకోవచ్చు హార్నర్ పథకంఅది ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యబహుపది యొక్క మూలం: ఒక సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలం అయితే, బహుపదిని విభజించేటప్పుడు మిగిలినది సున్నాకి సమానం, అంటే, హార్నర్ పథకం యొక్క రెండవ వరుస యొక్క చివరి నిలువు వరుసలో మనకు 0 వస్తుంది.
హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించి, మేము "ఒకే రాయితో రెండు పక్షులను చంపుతాము": మేము ఏకకాలంలో సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలమా అని తనిఖీ చేస్తాము మరియు ఈ బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజిస్తాము.
ఉదాహరణ.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
1. ఉచిత పదం యొక్క భాగహారాలను వ్రాసి, ఉచిత పదం యొక్క భాగహారాలలో బహుపది యొక్క మూలాలను చూద్దాం.
24 యొక్క భాగహారాలు:
2. సంఖ్య 1 బహుపది యొక్క మూలాదా అని తనిఖీ చేద్దాం.
బహుపది యొక్క గుణకాల మొత్తం, కాబట్టి, సంఖ్య 1 బహుపది యొక్క మూలం.
3. హార్నర్స్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి అసలైన బహుపదిని ద్విపదగా విభజించండి.
ఎ) పట్టికలోని మొదటి వరుసలో అసలైన బహుపది యొక్క గుణకాలను వ్రాస్దాం.
కలిగి ఉన్న పదం తప్పిపోయినందున, గుణకం వ్రాయవలసిన పట్టిక యొక్క కాలమ్‌లో మనం 0 అని వ్రాస్తాము. ఎడమవైపు మనం కనుగొన్న మూలాన్ని వ్రాస్తాము: సంఖ్య 1.
బి) పట్టికలోని మొదటి వరుసను పూరించండి.
చివరి నిలువు వరుసలో, మేము సున్నాని పొందాము; విభజన ఫలితంగా బహుపది యొక్క గుణకాలు పట్టికలోని రెండవ వరుసలో నీలం రంగులో చూపబడ్డాయి:
1 మరియు -1 సంఖ్యలు బహుపది యొక్క మూలాలు కాదని తనిఖీ చేయడం సులభం
బి) పట్టికను కొనసాగిద్దాం. సంఖ్య 2 బహుపది యొక్క మూలాదా అని తనిఖీ చేద్దాం:
కాబట్టి ఒకటి ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందిన బహుపది యొక్క డిగ్రీ తక్కువ డిగ్రీఅసలైన బహుపది, కాబట్టి గుణకాల సంఖ్య మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య ఒకటి తక్కువగా ఉంటుంది.
చివరి కాలమ్‌లో మనకు -40 వచ్చింది - ఒక సంఖ్య, కాదు సున్నాకి సమానంకాబట్టి, బహుపది శేషంతో ద్విపద ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు సంఖ్య 2 బహుపది యొక్క మూలం కాదు.
సి) సంఖ్య -2 బహుపది యొక్క మూలాదా అని తనిఖీ చేద్దాం. మునుపటి ప్రయత్నం విఫలమైనందున, గుణకాలతో గందరగోళాన్ని నివారించడానికి, నేను ఈ ప్రయత్నానికి సంబంధించిన లైన్‌ను చెరిపివేస్తాను:
గొప్ప! మేము సున్నాని శేషంగా పొందాము, కాబట్టి, బహుపదిని శేషం లేకుండా ద్విపదగా విభజించారు, కాబట్టి, సంఖ్య -2 బహుపది యొక్క మూలం. బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందిన బహుపది యొక్క గుణకాలు పట్టికలో ఆకుపచ్చ రంగులో చూపబడ్డాయి.
విభజన ఫలితంగా మాకు వచ్చింది చతుర్భుజ త్రికోణము 
, దీని మూలాలను వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సులభంగా కనుగొనవచ్చు:
కాబట్టి, అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు:
{
}
సమాధానం: ( 
}
పాఠ్య లక్ష్యాలు:
- సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి విద్యార్థులకు నేర్పండి అధిక డిగ్రీలుహార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించడం;
- జంటగా పని చేసే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;
- కోర్సు యొక్క ప్రధాన విభాగాలతో కలిపి, విద్యార్థుల సామర్థ్యాలను అభివృద్ధి చేయడానికి ఒక ఆధారాన్ని సృష్టించండి;
- విద్యార్థి తన సామర్థ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి, గణితంలో ఆసక్తిని పెంపొందించడానికి, ఆలోచించే సామర్థ్యాన్ని మరియు అంశంపై మాట్లాడటానికి సహాయపడండి.
సామగ్రి:సమూహం పని కోసం కార్డులు, హార్నర్ యొక్క రేఖాచిత్రంతో పోస్టర్.
బోధనా విధానం:ఉపన్యాసం, కథ, వివరణ, శిక్షణా వ్యాయామాలు చేయడం.
నియంత్రణ రూపం:పనులను తనిఖీ చేస్తోంది స్వతంత్ర నిర్ణయం, స్వతంత్ర పని.
పాఠం పురోగతి
1. సంస్థాగత క్షణం
2. విద్యార్థుల జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం
సంఖ్య మూలాధారం కాదా అని నిర్ణయించడానికి ఏ సిద్ధాంతం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది? ఇచ్చిన సమీకరణం(ఒక సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించాలా)?
బెజౌట్ సిద్ధాంతం. ద్విపద ద్వారా బహుపది P(x) విభజన యొక్క మిగిలిన భాగం x-c సమానం P(c), P(c)=0 అయితే c సంఖ్యను బహుపది P(x) యొక్క మూలం అంటారు. సిద్ధాంతం విభజన ఆపరేషన్ చేయకుండా, ఇచ్చిన సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలాదా అని నిర్ణయించడానికి అనుమతిస్తుంది.
ఏ ప్రకటనలు మూలాలను కనుగొనడాన్ని సులభతరం చేస్తాయి?
ఎ) బహుపది యొక్క ప్రముఖ గుణకం ఒకదానికి సమానం అయితే, ఉచిత పదం యొక్క విభజనలలో బహుపది యొక్క మూలాలను వెతకాలి.
బి) బహుపది యొక్క గుణకాల మొత్తం 0 అయితే, మూలాలలో ఒకటి 1.
సి) సరి స్థానాల్లోని గుణకాల మొత్తం బేసి స్థానాల్లోని గుణకాల మొత్తానికి సమానం అయితే, మూలాలలో ఒకటి -1కి సమానం.
d) అన్ని గుణకాలు సానుకూలంగా ఉంటే, బహుపది యొక్క మూలాలు ప్రతికూల సంఖ్యలు.
ఇ) బేసి డిగ్రీ యొక్క బహుపది కనీసం ఒక వాస్తవ మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
3. కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం
పూర్ణాంకాలను పరిష్కరించేటప్పుడు బీజగణిత సమీకరణాలుమీరు బహుపదాల మూలాల విలువలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. హార్నర్ స్కీమ్ అని పిలువబడే ప్రత్యేక అల్గోరిథం ఉపయోగించి గణనలను నిర్వహించినట్లయితే ఈ ఆపరేషన్ గణనీయంగా సరళీకృతం చేయబడుతుంది. ఈ సర్క్యూట్‌కు ఆంగ్ల శాస్త్రవేత్త విలియం జార్జ్ హార్నర్ పేరు పెట్టారు. హార్నర్స్ స్కీమ్ అనేది బహుపది P(x)ని x-cతో భాగించే భాగము మరియు శేషాన్ని గణించడానికి ఒక అల్గారిథమ్. క్లుప్తంగా ఇది ఎలా పని చేస్తుంది.
ఏకపక్ష బహుపది P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n ఇవ్వబడనివ్వండి. ఈ బహుపదిని x-cతో భాగించడం అనేది P(x)=(x-c)g(x) + r(x) రూపంలో దాని ప్రాతినిధ్యం. పాక్షిక g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, ఇక్కడ 0 =a 0, n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. మిగిలిన r(x)= st n-1 +a n. ఈ గణన పద్ధతిని హార్నర్ పథకం అంటారు. అల్గోరిథం పేరులో "స్కీమ్" అనే పదం దాని అమలు సాధారణంగా అధికారికంగా ఉంటుంది. క్రింది విధంగా. ముందుగా, టేబుల్ 2(n+2)ని గీయండి. దిగువ ఎడమ గడిలో c సంఖ్యను వ్రాయండి మరియు ఎగువ పంక్తిలో బహుపది P(x) యొక్క గుణకాలు వ్రాయండి. ఈ సందర్భంలో, ఎగువ ఎడమ సెల్ ఖాళీగా ఉంటుంది.
0 =a 0 లో |
1 =st 1 +a 1 లో |
2 = sv లో 1 + ఎ 2 |
n-1 =st n-2 +a n-1లో |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
అల్గారిథమ్‌ని అమలు చేసిన తర్వాత, దిగువ కుడి సెల్‌లో వ్రాయబడిన సంఖ్య, బహుపది P(x)ని x-c ద్వారా విభజించే శేషం. 0లోని ఇతర సంఖ్యలు, 1లో, 2లో,... బాటమ్ లైన్‌లోని గుణకం యొక్క గుణకాలు.
ఉదాహరణకు: బహుపది P(x)= x 3 -2x+3ని x-2తో భాగించండి.
మనకు x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 వస్తుంది.
4. అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ
ఉదాహరణ 1:బహుపది P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1ని పూర్ణాంకాల గుణకాలతో కారకాలుగా కారకం చేయండి.
మేము ఉచిత పదం -1: 1 యొక్క విభజనలలో మొత్తం మూలాల కోసం చూస్తున్నాము; -1. పట్టిక తయారు చేద్దాం:
X = -1 – రూట్
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
1/2 చెక్ చేద్దాం.
X=1/2 - రూట్ |
కాబట్టి, బహుపది P(x)ని రూపంలో సూచించవచ్చు
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
ఉదాహరణ 2: 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున వ్రాయబడిన బహుపది యొక్క కోఎఫీషియంట్స్ మొత్తం సున్నాకి సమానం కాబట్టి, మూలాలలో ఒకటి 1. హార్నర్ స్కీమ్‌ని వుపయోగిద్దాం:
X=1 - రూట్ |
మనకు P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) వస్తుంది. మేము ఉచిత పదం 2 యొక్క విభజనలలో మూలాల కోసం చూస్తాము.
చెక్కుచెదరని మూలాలు లేవని మేము కనుగొన్నాము. 1/2 తనిఖీ చేద్దాం; -1/2.
X= -1/2 - రూట్ |
సమాధానం: 1; -1/2.
ఉదాహరణ 3: 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
ఉచిత పదం 5: 1;-1;5;-5 యొక్క విభజనలలో ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను మేము చూస్తాము. x=1 అనేది సమీకరణం యొక్క మూలం, ఎందుకంటే గుణకాల మొత్తం సున్నా. హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించుకుందాం:
సమీకరణాన్ని మూడు కారకాల ఉత్పత్తిగా చూపుదాం: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. నిర్ణయించడం వర్గ సమీకరణం 5x 2 -7x+5=0, మాకు D=49-100=-51 వచ్చింది, మూలాలు లేవు.
కార్డ్ 1
- బహుపది కారకం: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
కార్డ్ 2
- బహుపది కారకం: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
కార్డ్ 3
- కారకం: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x 3 -2x 2 +4x-8=0
కార్డ్ 4
- కారకం: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. సంగ్రహించడం
జంటగా పరిష్కరించేటప్పుడు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించడం అనేది చర్య యొక్క పద్ధతి మరియు సమాధానం పేరును గుర్తించడం ద్వారా తరగతిలో నిర్వహించబడుతుంది.
హోంవర్క్:
సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:
ఎ) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
బి) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
సాహిత్యం
- N.Ya విలెంకిన్ మరియు ఇతరులు., బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం, గ్రేడ్ 10 ( లోతైన అధ్యయనంగణితం): జ్ఞానోదయం, 2005.
- U.I. సఖర్చుక్, L.S. సాగటెలోవా, ఉన్నత స్థాయిల సమీకరణాల పరిష్కారం: వోల్గోగ్రాడ్, 2007.
- ఎస్.బి. గాష్కోవ్, నంబర్ సిస్టమ్స్ మరియు వాటి అప్లికేషన్.
వెనుకకు ముందుకు
శ్రద్ధ! స్లయిడ్ ప్రివ్యూలు సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు ప్రదర్శన యొక్క అన్ని లక్షణాలను సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఆసక్తి ఉంటే ఈ పని, దయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.
పాఠం రకం: ప్రాథమిక జ్ఞానాన్ని మాస్టరింగ్ చేయడం మరియు ఏకీకృతం చేయడంలో ఒక పాఠం.
పాఠం యొక్క లక్ష్యం:
- బహుపది మూలాల భావనను విద్యార్థులకు పరిచయం చేయండి మరియు వాటిని ఎలా కనుగొనాలో నేర్పండి.
- శక్తుల ద్వారా బహుపదిని విస్తరించడానికి మరియు ద్విపద ద్వారా బహుపదిని విభజించడానికి హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని వర్తింపజేయడంలో నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచండి.
- హార్నర్ రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం నేర్చుకోండి.
- నైరూప్య ఆలోచనను అభివృద్ధి చేయండి.
- కంప్యూటింగ్ సంస్కృతిని ప్రోత్సహించండి.
ఇంటర్ డిసిప్లినరీ కనెక్షన్ల అభివృద్ధి.
పాఠం పురోగతి
1. సంస్థాగత క్షణం.
పాఠం యొక్క అంశాన్ని తెలియజేయండి, లక్ష్యాలను రూపొందించండి.
2. హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది.
3. కొత్త విషయాలను అధ్యయనం చేయడం. = Fn(x)ని అనుమతించండి - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 డిగ్రీ n యొక్క x కోసం బహుపది, ఇక్కడ a 0 , a 1 ,...,a n లకు సంఖ్యలు ఇవ్వబడతాయి మరియు 0 0కి సమానం కాదు. బహుపది F n (x)ని మిగిలిన దానితో భాగిస్తేద్విపద x-a , అప్పుడు గుణకం (అసంపూర్ణ గుణకం) అనేది డిగ్రీ n-1 యొక్క బహుపది Q n-1 (x), మిగిలిన R ఒక సంఖ్య, మరియు సమానత్వం నిజం F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.
బహుపది F n (x) అనేది R=0 విషయంలో మాత్రమే ద్విపద (x-a) ద్వారా భాగించబడుతుంది.
ఒక చిన్న చరిత్ర. బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతం, దాని స్పష్టమైన సరళత మరియు స్పష్టత ఉన్నప్పటికీ, వాటిలో ఒకటి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలుబహుపది సిద్ధాంతం. ఈ సిద్ధాంతం బహుపదాల బీజగణిత లక్షణాలను (ఇది బహుపదిలను పూర్ణాంకాలుగా పని చేయడానికి అనుమతిస్తుంది) వాటితో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది కార్యాచరణ లక్షణాలు(ఇది బహుపదిలను విధులుగా పరిగణించడానికి అనుమతిస్తుంది). ఉన్నత స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బహుపదిని కారకం చేయడం. బహుపది మరియు మిగిలిన గుణకాల గణన హార్నర్ పథకం అని పిలువబడే పట్టిక రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.
హార్నర్స్ స్కీమ్ అనేది బహుపదిలను విభజించడానికి ఒక అల్గారిథమ్, గుణకం ద్విపదకు సమానంగా ఉన్నప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భం కోసం వ్రాయబడుతుంది. x–a.
హార్నర్ విలియం జార్జ్ (1786 - 1837), ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. ప్రధాన పరిశోధన బీజగణిత సమీకరణాల సిద్ధాంతానికి సంబంధించినది. ఏదైనా డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల యొక్క ఉజ్జాయింపు పరిష్కారం కోసం ఒక పద్ధతిని అభివృద్ధి చేసింది. 1819లో, అతను బీజగణితానికి బహుపదిని x - a (హార్నర్స్ స్కీమ్) ద్వారా విభజించే ముఖ్యమైన పద్ధతిని ప్రవేశపెట్టాడు.
తీర్మానం సాధారణ సూత్రంహార్నర్ పథకం కోసం.
బహుపది f(x)ని శేషంతో ద్విపద (x-c)తో భాగించడం అంటే f(x)=(x-c)q(x)+r అనే బహుపది q(x) మరియు r సంఖ్యను కనుగొనడం
ఈ సమానత్వాన్ని వివరంగా వ్రాద్దాం:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
గుణకాలను ఒకే డిగ్రీల వద్ద సమం చేద్దాం:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి హార్నర్ యొక్క సర్క్యూట్ యొక్క ప్రదర్శన.
టాస్క్ 1.హార్నర్స్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి, మేము బహుపది f(x) = x 3 - 5x 2 + 8ని మిగిలిన ద్విపద x-2తో భాగిస్తాము.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ఇక్కడ g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 మిగిలినవి.
ద్విపద అధికారాలలో బహుపది యొక్క విస్తరణ.
హార్నర్స్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి, మేము ద్విపద (x+2) పవర్‌లలో బహుపది f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4ని విస్తరిస్తాము.
ఫలితంగా, మేము విస్తరణ f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
మూడవ, నాల్గవ మరియు అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, బహుపదిని ద్విపద x-aగా విస్తరించడం సౌకర్యంగా ఉన్నప్పుడు హార్నర్ యొక్క పథకం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. సంఖ్య aఅని పిలిచారు బహుపది యొక్క మూలం F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, వద్ద ఉంటే x=aబహుపది F n (x) విలువ సున్నాకి సమానం: F n (a)=0, అనగా. బహుపది ద్విపద x-a ద్వారా విభజించబడితే.
ఉదాహరణకు, సంఖ్య 2 అనేది F 3 (x)=3x 3 -2x-20 బహుపది యొక్క మూలం, ఎందుకంటే F 3 (2)=0. దాని అర్థం. ఈ బహుపది యొక్క కారకం x-2 కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
ఏదైనా బహుపది F n(x) డిగ్రీ n 1 ఎక్కువ ఉండకూడదు nనిజమైన మూలాలు.
ఏదైనా మొత్తం రూట్పూర్ణాంకాల గుణకాలతో సమీకరణం దాని ఉచిత పదం యొక్క విభజన.
సమీకరణం యొక్క ప్రముఖ గుణకం 1 అయితే, అన్నీ హేతుబద్ధమైన మూలాలుసమీకరణాలు, అవి ఉనికిలో ఉంటే, పూర్ణాంకాలు.
అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ.
కొత్త మెటీరియల్‌ను ఏకీకృతం చేయడానికి, విద్యార్థులు పాఠ్యపుస్తకం 2.41 మరియు 2.42 (p. 65) నుండి సంఖ్యలను పూర్తి చేయడానికి ఆహ్వానించబడ్డారు.
(2 విద్యార్థులు బోర్డు వద్ద పరిష్కరిస్తారు, మరియు మిగిలినవారు, నిర్ణయించుకున్న తర్వాత, బోర్డులోని సమాధానాలతో నోట్‌బుక్‌లోని అసైన్‌మెంట్‌లను తనిఖీ చేయండి).
సంగ్రహించడం.
హార్నర్ స్కీమ్ యొక్క నిర్మాణం మరియు ఆపరేషన్ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకున్న తరువాత, పూర్ణాంకాలను దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థ నుండి బైనరీ సిస్టమ్‌కు మార్చే సమస్యను పరిగణించినప్పుడు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కంప్యూటర్ సైన్స్ పాఠాలలో కూడా దీనిని ఉపయోగించవచ్చు. ఒక సంఖ్య వ్యవస్థ నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయడానికి ఆధారం క్రింది సాధారణ సిద్ధాంతం
సిద్ధాంతం.పూర్తి సంఖ్యను మార్చడానికి Apనుండి p-ary నంబర్ సిస్టమ్ నుండి బేస్ నంబర్ సిస్టమ్ డిఅవసరమైన Apక్రమానుగతంగా సంఖ్య ద్వారా శేషంతో భాగించండి డి, అదే వ్రాయబడింది p-ary వ్యవస్థ ఫలితంగా వచ్చే భాగం సున్నాకి సమానం అయ్యే వరకు. డివిజన్ నుండి మిగిలినవి ఉంటాయి డి-సంఖ్యా అంకెలు ప్రకటన, చిన్న వర్గం నుండి అత్యంత సీనియర్ వరకు. అన్ని చర్యలు తప్పనిసరిగా చేపట్టాలి p-ary సంఖ్య వ్యవస్థ. ఒక వ్యక్తికి, ఈ నియమం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది p= 10, అనగా. అనువదిస్తున్నప్పుడు నుండిదశాంశ వ్యవస్థ. కంప్యూటర్ విషయానికొస్తే, దీనికి విరుద్ధంగా, బైనరీ సిస్టమ్‌లో గణనలను నిర్వహించడానికి ఇది “మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది”. కాబట్టి, “2 నుండి 10”కి మార్చడానికి, బైనరీ సిస్టమ్‌లో పది ద్వారా సీక్వెన్షియల్ డివిజన్ ఉపయోగించబడుతుంది మరియు “10 నుండి 2” అనేది పది శక్తులను కలపడం. “10 ఇన్ 2” విధానం యొక్క గణనలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి, కంప్యూటర్ హార్నర్ యొక్క ఆర్థిక కంప్యూటింగ్ పథకాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.
హోంవర్క్. రెండు పనులు పూర్తి చేయాలని సూచించారు.
1వ. హార్నర్ స్కీమ్ ఉపయోగించి, బహుపది f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3ని ద్విపద (x-3)తో భాగించండి.
2వ. బహుపది f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 యొక్క పూర్ణాంక మూలాలను కనుగొనండి (పూర్ణాంక గుణకాలతో కూడిన సమీకరణం యొక్క ఏదైనా పూర్ణాంకం మూలం దాని ఉచిత పదం యొక్క భాగహారంగా పరిగణించబడుతుంది)
సాహిత్యం.
- కురోష్ ఎ.జి. "కోర్స్ ఆఫ్ హయ్యర్ ఆల్జీబ్రా."
- నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.K. మరియు ఇతరులు 10వ తరగతి "బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.