చతురస్రాకార సమీకరణాలు 8 వ తరగతిలో అధ్యయనం చేయబడ్డాయి, కాబట్టి ఇక్కడ సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. వాటిని పరిష్కరించగల సామర్థ్యం ఖచ్చితంగా అవసరం.

చతురస్రాకార సమీకరణం ax 2 + bx + c = 0 రూపం యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ గుణకాలు a, b మరియు c ఉంటాయి ఏకపక్ష సంఖ్యలు, మరియు a ≠ 0.

చదువుకునే ముందు నిర్దిష్ట పద్ధతులుపరిష్కారాలు, అన్ని వర్గ సమీకరణాలను మూడు తరగతులుగా విభజించవచ్చని గమనించండి:

1. మూలాలు లేవు;
2. ఖచ్చితంగా ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉండండి;
3. రెండు కలిగి వివిధ మూలాలు.

ఇది వర్గ సమీకరణాలు మరియు సరళ వాటి మధ్య ముఖ్యమైన వ్యత్యాసం, ఇక్కడ మూలం ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది మరియు ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది. సమీకరణం ఎన్ని మూలాలను కలిగి ఉందో ఎలా నిర్ణయించాలి? దీనికి ఒక అద్భుతమైన విషయం ఉంది - వివక్షత.

వివక్షత

చతురస్రాకార సమీకరణం 2 + bx + c = 0 ఇవ్వబడనివ్వండి, అప్పుడు వివక్షత కేవలం D = b 2 − 4ac.

మీరు ఈ సూత్రాన్ని హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి. అది ఎక్కడి నుంచి వచ్చిందన్నది ఇప్పుడు ముఖ్యం కాదు. మరొక విషయం ముఖ్యం: వివక్షత యొక్క సంకేతం ద్వారా మీరు చతురస్రాకార సమీకరణం ఎన్ని మూలాలను కలిగి ఉందో నిర్ణయించవచ్చు. అవి:

1. ఒకవేళ డి< 0, корней нет;
2. D = 0 అయితే, ఖచ్చితంగా ఒక మూలం ఉంటుంది;
3. D > 0 అయితే, రెండు మూలాలు ఉంటాయి.

దయచేసి గమనించండి: వివక్షత మూలాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు వారి అన్ని సంకేతాలలో కాదు, కొన్ని కారణాల వల్ల చాలా మంది నమ్ముతారు. ఉదాహరణలను పరిశీలించండి మరియు మీరు ప్రతిదీ మీరే అర్థం చేసుకుంటారు:

టాస్క్. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు ఎన్ని మూలాలను కలిగి ఉంటాయి:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

మొదటి సమీకరణం కోసం గుణకాలను వ్రాసి, వివక్షను కనుగొనండి:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

కాబట్టి వివక్షత సానుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి సమీకరణం రెండు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. మేము రెండవ సమీకరణాన్ని ఇదే విధంగా విశ్లేషిస్తాము:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

వివక్షత ప్రతికూలమైనది, మూలాలు లేవు. మిగిలి ఉన్న చివరి సమీకరణం:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

వివక్షత సున్నాకి సమానం- ఒక రూట్ ఉంటుంది.

ప్రతి సమీకరణం కోసం గుణకాలు వ్రాయబడి ఉన్నాయని దయచేసి గమనించండి. అవును, ఇది చాలా పొడవుగా ఉంది, అవును, ఇది దుర్భరమైనది, కానీ మీరు అసమానతలను కలపరు మరియు తెలివితక్కువ తప్పులు చేయరు. మీ కోసం ఎంచుకోండి: వేగం లేదా నాణ్యత.

మార్గం ద్వారా, మీరు హ్యాంగ్ పొందినట్లయితే, కొంతకాలం తర్వాత మీరు అన్ని కోఎఫీషియంట్లను వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు. మీరు మీ తలపై అలాంటి ఆపరేషన్లు చేస్తారు. చాలా మంది వ్యక్తులు 50-70 సమీకరణాలను పరిష్కరించిన తర్వాత ఎక్కడో దీన్ని చేయడం ప్రారంభిస్తారు - సాధారణంగా, అంత ఎక్కువ కాదు.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఇప్పుడు పరిష్కారానికి వెళ్దాం. విచక్షణ D > 0 అయితే, సూత్రాలను ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనవచ్చు:

ప్రాథమిక మూల సూత్రం వర్గ సమీకరణం

D = 0 అయినప్పుడు, మీరు ఈ ఫార్ములాల్లో దేనినైనా ఉపయోగించవచ్చు - మీరు అదే సంఖ్యను పొందుతారు, ఇది సమాధానం అవుతుంది. చివరగా, D అయితే< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

మొదటి సమీకరణం:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; బి = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని వెతుకుదాం:

రెండవ సమీకరణం:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; బి = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ సమీకరణం మళ్లీ రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని వెతుకుదాం

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & (((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చివరగా, మూడవ సమీకరణం:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఏదైనా ఫార్ములా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మొదటిది:

మీరు ఉదాహరణల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతిదీ చాలా సులభం. మీరు సూత్రాలు తెలుసుకొని లెక్కించగలిగితే, సమస్యలు ఉండవు. చాలా తరచుగా, ప్రతికూల గుణకాలను సూత్రంలోకి మార్చేటప్పుడు లోపాలు సంభవిస్తాయి. ఇక్కడ మళ్ళీ, పైన వివరించిన టెక్నిక్ సహాయం చేస్తుంది: ఫార్ములాను అక్షరాలా చూడండి, ప్రతి దశను వ్రాయండి - మరియు అతి త్వరలో మీరు తప్పులను వదిలించుకుంటారు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం నిర్వచనంలో ఇవ్వబడిన దాని నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

ఈ సమీకరణాలు నిబంధనలలో ఒకదానిని కోల్పోయాయని గమనించడం సులభం. ఇటువంటి వర్గ సమీకరణాలు ప్రామాణికమైన వాటి కంటే పరిష్కరించడం చాలా సులభం: వాటికి వివక్షను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. కాబట్టి, కొత్త భావనను పరిచయం చేద్దాం:

b = 0 లేదా c = 0 అయితే గొడ్డలి 2 + bx + c = 0 అనే సమీకరణాన్ని అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణం అంటారు, అనగా. వేరియబుల్ x లేదా ఉచిత మూలకం యొక్క గుణకం సున్నాకి సమానం.

వాస్తవానికి, ఈ రెండు గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు చాలా కష్టమైన సందర్భం సాధ్యమవుతుంది: b = c = 0. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం గొడ్డలి 2 = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. సహజంగానే, అటువంటి సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది: x = 0.

మిగిలిన కేసులను పరిశీలిద్దాం. b = 0 లెట్, అప్పుడు మేము ax 2 + c = 0 ఫారమ్ యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము. దానిని కొద్దిగా మారుద్దాం:

అంకగణితం నుండి వర్గమూలంనుండి మాత్రమే ఉంది ప్రతికూల సంఖ్య, చివరి సమానత్వం (−c /a) ≥ 0కి మాత్రమే అర్ధమవుతుంది. ముగింపు:

1. గొడ్డలి 2 + c = 0 రూపం యొక్క అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణంలో అసమానత (−c /a) ≥ 0 సంతృప్తి చెందితే, రెండు మూలాలు ఉంటాయి. సూత్రం పైన ఇవ్వబడింది;
2. ఒకవేళ (-c /a)< 0, корней нет.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వివక్ష అవసరం లేదు - అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలలో ఏదీ లేదు సంక్లిష్ట లెక్కలు. వాస్తవానికి, అసమానత (−c /a) ≥ 0ని గుర్తుంచుకోవడం కూడా అవసరం లేదు. x 2 విలువను వ్యక్తీకరించడం మరియు సమాన చిహ్నం యొక్క ఇతర వైపు ఏమి ఉందో చూడడం సరిపోతుంది. ఒకవేళ వుంటె సానుకూల సంఖ్య- రెండు మూలాలు ఉంటాయి. ఇది ప్రతికూలంగా ఉంటే, మూలాలు అస్సలు ఉండవు.

ఇప్పుడు గొడ్డలి 2 + bx = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాలను చూద్దాం, దీనిలో ఉచిత మూలకం సున్నాకి సమానం. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం: ఎల్లప్పుడూ రెండు మూలాలు ఉంటాయి. బహుపదిని కారకం చేస్తే సరిపోతుంది:

తొలగింపు సాధారణ గుణకంబ్రాకెట్ వెలుపల

కారకాల్లో కనీసం ఒకటి సున్నా అయినప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నా. ఇక్కడే మూలాలు వచ్చాయి. ముగింపులో, ఈ సమీకరణాలలో కొన్నింటిని చూద్దాం:

టాస్క్. వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. మూలాలు లేవు, ఎందుకంటే ఒక చతురస్రం ప్రతికూల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండకూడదు.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

ఉదాహరణకు, ట్రినోమియల్ కోసం \(3x^2+2x-7\), వివక్షత \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)కి సమానంగా ఉంటుంది. మరియు ట్రినోమియల్ కోసం \(x^2-5x+11\), ఇది \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)కి సమానంగా ఉంటుంది.

వివక్షత \(D\) అక్షరంతో సూచించబడుతుంది మరియు తరచుగా పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది. అలాగే, వివక్షత యొక్క విలువ ద్వారా, గ్రాఫ్ సుమారుగా ఎలా ఉంటుందో మీరు అర్థం చేసుకోవచ్చు (క్రింద చూడండి).

సమీకరణం యొక్క వివక్ష మరియు మూలాలు

వివక్షత విలువ వర్గ సమీకరణాల సంఖ్యను చూపుతుంది:
- \(D\) సానుకూలంగా ఉంటే, సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది;
- \(D\) సున్నాకి సమానం అయితే – ఒకే ఒక రూట్ ఉంటుంది;
- \(D\) ప్రతికూలంగా ఉంటే, మూలాలు లేవు.

ఇది బోధించవలసిన అవసరం లేదు, అటువంటి నిర్ణయానికి రావడం కష్టం కాదు, వివక్షత నుండి (అంటే \(\sqrt(D)\) సమీకరణం యొక్క మూలాలను లెక్కించే సూత్రంలో చేర్చబడింది. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) మరియు \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\).

వివక్షత అనుకూలతే

ఈ సందర్భంలో, దాని మూలం కొంత సానుకూల సంఖ్య, అంటే \(x_(1)\) మరియు \(x_(2)\) వేర్వేరు అర్థాలను కలిగి ఉంటాయి, ఎందుకంటే మొదటి సూత్రంలో \(\sqrt(D)\ ) జోడించబడింది మరియు రెండవదానిలో అది తీసివేయబడుతుంది. మరియు మనకు రెండు వేర్వేరు మూలాలు ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ : సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి \(x^2+2x-3=0\)
పరిష్కారం :

సమాధానం : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

వివక్ష సున్నా అయితే

వివక్ష సున్నా అయితే ఎన్ని మూలాలు ఉంటాయి? తర్కించుకుందాం.

మూల సూత్రాలు ఇలా ఉన్నాయి: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) మరియు \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . మరియు వివక్షత సున్నా అయితే, దాని మూలం కూడా సున్నా. అప్పుడు అది మారుతుంది:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

అంటే, సమీకరణం యొక్క మూలాల విలువలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే సున్నాని జోడించడం లేదా తీసివేయడం దేనినీ మార్చదు.

ఉదాహరణ : సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి \(x^2-4x+4=0\)
పరిష్కారం :

\(x^2-4x+4=0\)		మేము గుణకాలను వ్రాస్తాము:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		మేము \(D=b^2-4ac\) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వివక్షను గణిస్తాము
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		రెండు వచ్చాయి ఒకే మూలాలు, కాబట్టి వాటిని విడిగా రాయడం వల్ల ప్రయోజనం లేదు - మేము వాటిని ఒకటిగా వ్రాస్తాము.

సమాధానం : \(x=2\)

చతుర్భుజ సమీకరణాలు. వివక్షత. పరిష్కారం, ఉదాహరణలు.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

వర్గ సమీకరణాల రకాలు

చతుర్భుజ సమీకరణం అంటే ఏమిటి? ఇది ఎలా ఉంది? కాల పరిమితిలో వర్గ సమీకరణంకీవర్డ్ "చదరపు".అంటే సమీకరణంలో అని తప్పనిసరిగాతప్పనిసరిగా x స్క్వేర్ ఉండాలి. దానికి అదనంగా, సమీకరణం కేవలం X (మొదటి శక్తికి) మరియు కేవలం ఒక సంఖ్యను కలిగి ఉండవచ్చు (లేదా కాకపోవచ్చు!) (ఉచిత సభ్యుడు).మరియు రెండు కంటే ఎక్కువ శక్తికి X లు ఉండకూడదు.

గణిత పరంగా, ఒక వర్గ సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం:

ఇక్కడ a, b మరియు c- కొన్ని సంఖ్యలు. బి మరియు సి- ఖచ్చితంగా ఏదైనా, కానీ ఎ- సున్నా కాకుండా ఏదైనా. ఉదాహరణకి:

ఇక్కడ ఎ =1; బి = 3; సి = -4

ఇక్కడ ఎ =2; బి = -0,5; సి = 2,2

ఇక్కడ ఎ =-3; బి = 6; సి = -18

బాగా, మీరు అర్థం ...

ఈ చతుర్భుజ సమీకరణాలలో ఎడమవైపున ఉంటుంది పూర్తి సెట్సభ్యులు. X గుణకంతో వర్గీకరించబడింది A,గుణకంతో మొదటి శక్తికి x బిమరియు ఉచిత సభ్యుడు ఎస్.

ఇటువంటి వర్గ సమీకరణాలను అంటారు పూర్తి.

మరియు ఉంటే బి= 0, మనకు ఏమి లభిస్తుంది? మన దగ్గర ఉంది X మొదటి శక్తికి పోతుంది.సున్నాతో గుణించినప్పుడు ఇది జరుగుతుంది.) ఇది మారుతుంది, ఉదాహరణకు:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

మరియు అందువలన న. మరియు రెండు గుణకాలు ఉంటే బిమరియు సిసున్నాకి సమానం, అప్పుడు ఇది మరింత సులభం:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

ఏదో తప్పిపోయిన అటువంటి సమీకరణాలను అంటారు అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.ఇది చాలా తార్కికం.) దయచేసి అన్ని సమీకరణాలలో x స్క్వేర్ ఉందని గమనించండి.

మార్గం ద్వారా, ఎందుకు ఎసున్నాకి సమానం కాదా? మరియు మీరు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం ఎసున్నా.) మా X స్క్వేర్డ్ అదృశ్యమవుతుంది! సమీకరణం సరళంగా మారుతుంది. మరియు పరిష్కారం పూర్తిగా భిన్నంగా ఉంటుంది ...

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల యొక్క అన్ని ప్రధాన రకాలు. పూర్తి మరియు అసంపూర్ణం.

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

పూర్తి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

చతుర్భుజ సమీకరణాలు పరిష్కరించడం సులభం. సూత్రాలు మరియు స్పష్టమైన, సాధారణ నియమాల ప్రకారం. మొదటి దశలో ఇది అవసరం ఇచ్చిన సమీకరణందారి ప్రామాణిక వీక్షణ, అనగా రూపానికి:

ఈ రూపంలో సమీకరణం ఇప్పటికే మీకు ఇవ్వబడితే, మీరు మొదటి దశను చేయవలసిన అవసరం లేదు.) ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అన్ని గుణకాలను సరిగ్గా గుర్తించడం, ఎ, బిమరియు సి.

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

మూల సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ అంటారు వివక్షత. కానీ అతని గురించి మరింత క్రింద. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, Xని కనుగొనడానికి, మేము ఉపయోగిస్తాము a, b మరియు c మాత్రమే. ఆ. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం నుండి గుణకాలు. విలువలను జాగ్రత్తగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి a, b మరియు cమేము ఈ సూత్రంలో లెక్కిస్తాము. ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మీ స్వంత సంకేతాలతో! ఉదాహరణకు, సమీకరణంలో:

ఎ =1; బి = 3; సి= -4. ఇక్కడ మేము వ్రాస్తాము:

ఉదాహరణ దాదాపుగా పరిష్కరించబడింది:

ఇదే సమాధానం.

ప్రతిదీ చాలా సులభం. మరియు ఏమి, తప్పు చేయడం అసాధ్యం అని మీరు అనుకుంటున్నారా? బాగా, అవును, ఎలా ...

అత్యంత సాధారణ తప్పులు సంకేత విలువలతో గందరగోళం a, b మరియు c. లేదా బదులుగా, వారి సంకేతాలతో కాదు (ఎక్కడ గందరగోళం చెందాలి?), కానీ ప్రత్యామ్నాయంతో ప్రతికూల విలువలుమూలాలను లెక్కించడానికి సూత్రంలోకి. ఫార్ములా యొక్క వివరణాత్మక రికార్డింగ్ ఇక్కడ సహాయపడుతుంది నిర్దిష్ట సంఖ్యలు. లెక్కల్లో సమస్యలుంటే.. అది చెయ్యి!

మేము ఈ క్రింది ఉదాహరణను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం:

ఇక్కడ a = -6; బి = -5; సి = -1

మీకు మొదటిసారిగా సమాధానాలు చాలా అరుదుగా లభిస్తాయని మీకు తెలుసు.

బాగా, సోమరితనం లేదు. అదనపు పంక్తిని మరియు లోపాల సంఖ్యను వ్రాయడానికి సుమారు 30 సెకన్లు పడుతుంది బాగా తగ్గుతుంది. కాబట్టి మేము అన్ని బ్రాకెట్లు మరియు సంకేతాలతో వివరంగా వ్రాస్తాము:

అంత జాగ్రత్తగా రాయడం చాలా కష్టంగా అనిపిస్తుంది. కానీ అది మాత్రమే అనిపిస్తుంది. దీనిని ఒకసారి ప్రయత్నించండి. బాగా, లేదా ఎంచుకోండి. ఏది మంచిది, వేగవంతమైనది లేదా సరైనది? అంతేకాకుండా, నేను మిమ్మల్ని సంతోషపరుస్తాను. కొంతకాలం తర్వాత, ప్రతిదీ చాలా జాగ్రత్తగా రాయాల్సిన అవసరం ఉండదు. ఇది దానంతట అదే పని చేస్తుంది. ముఖ్యంగా మీరు క్రింద వివరించిన ఆచరణాత్మక పద్ధతులను ఉపయోగిస్తే. మైనస్‌ల సమూహంతో ఈ చెడు ఉదాహరణ సులభంగా మరియు లోపాలు లేకుండా పరిష్కరించబడుతుంది!

కానీ, తరచుగా, వర్గ సమీకరణాలు కొద్దిగా భిన్నంగా కనిపిస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఇలా:

మీరు గుర్తించారా?) అవును! ఈ అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కూడా వాటిని పరిష్కరించవచ్చు. ఇక్కడ అవి దేనికి సమానమో మీరు సరిగ్గా అర్థం చేసుకోవాలి. a, b మరియు c.

మీరు దాన్ని కనుగొన్నారా? మొదటి ఉదాహరణలో a = 1; బి = -4;ఎ సి? అది అస్సలు లేదు! అవును, అది నిజమే. గణితంలో దీని అర్థం c = 0 ! అంతే. బదులుగా ఫార్ములాలో సున్నాని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి c,మరియు మేము విజయం సాధిస్తాము. రెండవ ఉదాహరణతో అదే. ఇక్కడ మనకు మాత్రమే సున్నా లేదు తో, ఎ బి !

కానీ అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను చాలా సరళంగా పరిష్కరించవచ్చు. ఎలాంటి ఫార్ములాలు లేకుండా. మొదటి దానిని పరిశీలిద్దాం అసంపూర్ణ సమీకరణం. మీరు ఎడమ వైపు ఏమి చేయవచ్చు? మీరు X బ్రాకెట్ల నుండి తీయవచ్చు! బయటకు తీసుకుందాం.

మరియు దీని నుండి ఏమిటి? మరియు ఏదైనా కారకాలు సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం! నన్ను నమ్మలేదా? సరే, రెండు సున్నా కాని సంఖ్యలతో రండి, గుణించినప్పుడు సున్నా వస్తుంది!
పని చేయదు? అంతే...
కాబట్టి, మేము నమ్మకంగా వ్రాయవచ్చు: x 1 = 0, x 2 = 4.

అన్నీ. ఇవి మన సమీకరణానికి మూలాలుగా ఉంటాయి. రెండూ సరిపోతాయి. వాటిలో దేనినైనా అసలు సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, మనకు సరైన గుర్తింపు 0 = 0 వస్తుంది. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కంటే పరిష్కారం చాలా సులభం. ఏది X మొదటిది మరియు ఏది రెండవది - ఖచ్చితంగా ఉదాసీనంగా ఉంటుందని నేను గమనించాను. క్రమంలో రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, x 1- ఏది చిన్నది మరియు x 2- ఏది గొప్పది.

రెండవ సమీకరణాన్ని కూడా సరళంగా పరిష్కరించవచ్చు. 9ని కుడి వైపుకు తరలించండి. మాకు దొరికింది:

9 నుండి మూలాన్ని సంగ్రహించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది మరియు అంతే. ఇది మారుతుంది:

అలాగే రెండు మూలాలు . x 1 = -3, x 2 = 3.

ఈ విధంగా అన్ని అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి. బ్రాకెట్ల నుండి Xని ఉంచడం ద్వారా లేదా సంఖ్యను కుడివైపుకి తరలించి, ఆపై మూలాన్ని సంగ్రహించడం ద్వారా.
ఈ పద్ధతులను గందరగోళానికి గురిచేయడం చాలా కష్టం. ఎందుకంటే మొదటి సందర్భంలో మీరు X యొక్క మూలాన్ని తీయవలసి ఉంటుంది, ఇది ఏదో ఒకవిధంగా అపారమయినది, మరియు రెండవ సందర్భంలో బ్రాకెట్ల నుండి తీయడానికి ఏమీ లేదు...

వివక్షత. వివక్ష సూత్రం.

మేజిక్ పదం వివక్షత ! చాలా అరుదుగా హైస్కూల్ విద్యార్థి ఈ మాట వినలేదు! "మేము వివక్షతతో పరిష్కరించుకుంటాము" అనే పదబంధం విశ్వాసం మరియు భరోసాను ప్రేరేపిస్తుంది. ఎందుకంటే వివక్ష చూపేవారి నుంచి మాయలు ఆశించాల్సిన అవసరం లేదు! ఇది ఉపయోగించడానికి సులభమైనది మరియు ఇబ్బంది లేనిది.) నేను మీకు చాలా గుర్తు చేస్తున్నాను సాధారణ సూత్రంపరిష్కారాల కోసం ఏదైనావర్గ సమీకరణాలు:

మూల సంకేతం క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణను వివక్షత అంటారు. సాధారణంగా వివక్షను అక్షరం ద్వారా సూచిస్తారు డి. వివక్ష సూత్రం:

D = b 2 - 4ac

మరియు ఈ వ్యక్తీకరణలో విశేషమైనది ఏమిటి? దీనికి ప్రత్యేక పేరు ఎందుకు వచ్చింది? ఏమిటి వివక్ష యొక్క అర్థం?అన్ని తరువాత -బి,లేదా 2aఈ ఫార్ములాలో వారు ప్రత్యేకంగా ఏదైనా పిలవరు... అక్షరాలు మరియు అక్షరాలు.

ఇక్కడ విషయం ఉంది. ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, అది సాధ్యమే కేవలం మూడు కేసులు.

1. వివక్షత సానుకూలంగా ఉంటుంది.దీని అర్థం దాని నుండి మూలాన్ని తీయవచ్చు. రూట్ బాగా లేదా పేలవంగా సంగ్రహించబడిందా అనేది మరొక ప్రశ్న. సూత్రప్రాయంగా సంగ్రహించబడినది ముఖ్యమైనది. అప్పుడు మీ వర్గ సమీకరణానికి రెండు మూలాలు ఉంటాయి. రెండు వివిధ పరిష్కారాలు.

2. వివక్షత సున్నా.అప్పుడు మీకు ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది. న్యూమరేటర్‌లో సున్నాని జోడించడం లేదా తీసివేయడం వల్ల ఏమీ మారదు కాబట్టి. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇది ఒక మూలం కాదు, కానీ రెండు ఒకేలా. కానీ, లో సరళీకృత వెర్షన్, గురించి మాట్లాడటం ఆచారం ఒక పరిష్కారం.

3. వివక్షత ప్రతికూలమైనది.ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం తీసుకోబడదు. సరే, సరే. దీని అర్థం పరిష్కారాలు లేవు.

నిజాయితీగా చెప్పాలంటే, ఎప్పుడు సాధారణ పరిష్కారంవర్గ సమీకరణాలు, వివక్షత అనే భావన ప్రత్యేకంగా అవసరం లేదు. మేము గుణకాల విలువలను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు లెక్కిస్తాము. అక్కడ ప్రతిదీ స్వయంగా జరుగుతుంది, రెండు మూలాలు, ఒకటి, మరియు ఏదీ కాదు. అయితే, మరింత పరిష్కరించేటప్పుడు కష్టమైన పనులు, జ్ఞానం లేకుండా వివక్షత యొక్క అర్థం మరియు సూత్రంసరి పోదు. ముఖ్యంగా పారామితులతో సమీకరణాలలో. అటువంటి సమీకరణాలు ఏరోబాటిక్స్రాష్ట్ర పరీక్ష మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం!)

కాబట్టి, క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలిమీరు గుర్తుంచుకున్న వివక్ష ద్వారా. లేదా మీరు నేర్చుకున్నారు, ఇది కూడా చెడ్డది కాదు.) సరిగ్గా ఎలా గుర్తించాలో మీకు తెలుసు a, b మరియు c. నీకు ఎలాగో తెల్సా? శ్రద్ధగావాటిని రూట్ ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు శ్రద్ధగాఫలితాన్ని లెక్కించండి. అది మీకు అర్థమైందా కీవర్డ్ఇక్కడ - శ్రద్ధగా?

ఇప్పుడు లోపాల సంఖ్యను నాటకీయంగా తగ్గించే ఆచరణాత్మక పద్ధతులను గమనించండి. అజాగ్రత్త కారణంగా అవే... తర్వాత అది బాధాకరంగా, అభ్యంతరకరంగా మారుతుంది...

మొదటి నియామకం . వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ముందు సోమరితనంతో ఉండకండి మరియు దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకురండి. దీని అర్థం ఏమిటి?
అన్ని పరివర్తనల తర్వాత మీరు ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని పొందుతారని చెప్పండి:

మూల సూత్రాన్ని వ్రాయడానికి తొందరపడకండి! మీరు దాదాపు ఖచ్చితంగా అసమానతలను మిళితం చేస్తారు a, b మరియు c.ఉదాహరణను సరిగ్గా రూపొందించండి. మొదట, X స్క్వేర్డ్, తర్వాత స్క్వేర్ లేకుండా, తర్వాత ఫ్రీ టర్మ్. ఇలా:

మరలా, తొందరపడకండి! X స్క్వేర్డ్ ముందు ఉన్న మైనస్ మిమ్మల్ని కలవరపెడుతుంది. మర్చిపోవడం తేలికే... మైనస్‌ని వదిలించుకోండి. ఎలా? అవును, మునుపటి అంశంలో బోధించినట్లుగా! మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణించాలి. మాకు దొరికింది:

కానీ ఇప్పుడు మీరు మూలాల కోసం సూత్రాన్ని సురక్షితంగా వ్రాసి, వివక్షను లెక్కించవచ్చు మరియు ఉదాహరణను పరిష్కరించడం ముగించవచ్చు. మీరే నిర్ణయించుకోండి. మీరు ఇప్పుడు 2 మరియు -1 మూలాలను కలిగి ఉండాలి.

రిసెప్షన్ రెండవది. మూలాలను తనిఖీ చేయండి! వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం. భయపడవద్దు, నేను ప్రతిదీ వివరిస్తాను! తనిఖీ చేస్తోంది చివరి విషయంసమీకరణం. ఆ. మేము మూల సూత్రాన్ని వ్రాసేందుకు ఉపయోగించేది. ఒకవేళ (ఈ ఉదాహరణలో వలె) గుణకం a = 1, మూలాలను తనిఖీ చేయడం సులభం. వాటిని గుణిస్తే సరిపోతుంది. ఫలితం ఉచిత సభ్యుడు అయి ఉండాలి, అనగా. మా విషయంలో -2. దయచేసి గమనించండి, 2 కాదు, కానీ -2! ఉచిత సభ్యుడు మీ గుర్తుతో . ఇది పని చేయకపోతే, వారు ఇప్పటికే ఎక్కడో చిక్కుకున్నారని అర్థం. లోపం కోసం చూడండి.

ఇది పని చేస్తే, మీరు మూలాలను జోడించాలి. చివరి మరియు చివరి తనిఖీ. గుణకం ఉండాలి బితో ఎదురుగా తెలిసిన. మా విషయంలో -1+2 = +1. ఒక గుణకం బి, ఇది X కి ముందు, -1కి సమానం. కాబట్టి, ప్రతిదీ సరైనది!
గుణకంతో x స్క్వేర్డ్ స్వచ్ఛంగా ఉన్న ఉదాహరణలకు మాత్రమే ఇది చాలా సులభం కావడం విచారకరం a = 1.అయితే కనీసం అటువంటి సమీకరణాలనైనా తనిఖీ చేయండి! అన్నీ తక్కువ తప్పులురెడీ.

రిసెప్షన్ మూడవది . మీ సమీకరణం ఉంటే పాక్షిక అసమానత, - భిన్నాలను వదిలించుకోండి! సమీకరణాన్ని గుణించండి సాధారణ హారం, పాఠంలో వివరించిన విధంగా "సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి? ఒకేలా రూపాంతరాలు." భిన్నాలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, కొన్ని కారణాల వల్ల లోపాలు పెరుగుతూనే ఉంటాయి...

మార్గం ద్వారా, నేను మైనస్‌ల సమూహంతో చెడు ఉదాహరణను సరళీకృతం చేస్తానని వాగ్దానం చేసాను. దయచేసి! ఇక్కడ అతను ఉన్నాడు.

మైనస్‌ల ద్వారా గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, మేము సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణిస్తాము. మాకు దొరికింది:

అంతే! పరిష్కరించడం ఆనందంగా ఉంది!

కాబట్టి, అంశాన్ని సంగ్రహిద్దాం.

ఆచరణాత్మక సలహా:

1. పరిష్కరించడానికి ముందు, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకువస్తాము మరియు దానిని నిర్మిస్తాము కుడి.

2. X స్క్వేర్డ్ ముందు ప్రతికూల గుణకం ఉన్నట్లయితే, మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని -1 ద్వారా గుణించడం ద్వారా దాన్ని తొలగిస్తాము.

3. గుణకాలు పాక్షికంగా ఉంటే, మేము మొత్తం సమీకరణాన్ని సంబంధిత కారకం ద్వారా గుణించడం ద్వారా భిన్నాలను తొలగిస్తాము.

4. x స్క్వేర్డ్ స్వచ్ఛంగా ఉంటే, దాని గుణకం ఒకరికి సమానం, వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు. చేయి!

ఇప్పుడు మనం నిర్ణయించుకోవచ్చు.)

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

సమాధానాలు (అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నాయి):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ఏదైనా సంఖ్య

x 1 = -3
x 2 = 3

పరిష్కారాలు లేవు

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

అన్నీ సరిపోతాయా? గొప్ప! క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్స్ మీ విషయం కాదు తలనొప్పి. మొదటి మూడు పని చేశాయి, కానీ మిగిలినవి పని చేయలేదా? అప్పుడు సమస్య క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్స్‌తో కాదు. సమస్య సమీకరణాల యొక్క ఒకే విధమైన రూపాంతరాలలో ఉంది. లింక్‌ని పరిశీలించండి, ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంది.

సరిగ్గా పని చేయలేదా? లేక అస్సలు వర్కవుట్ కాలేదా? అప్పుడు సెక్షన్ 555 మీకు సహాయం చేస్తుంది ఈ ఉదాహరణలన్నీ అక్కడ విభజించబడ్డాయి. చూపబడింది ప్రధానపరిష్కారంలో లోపాలు. వాస్తవానికి, ఇది ఉపయోగం గురించి కూడా మాట్లాడుతుంది గుర్తింపు పరివర్తనలువివిధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో. చాలా సహాయపడుతుంది!

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

నేను ఆశిస్తున్నాను, చదువుకున్నాను ఈ వ్యాసం, మీరు పూర్తి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం నేర్చుకుంటారు.

అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పూర్తి వర్గ సమీకరణాలు మాత్రమే పరిష్కరించబడతాయి, ఇతర పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, వీటిని మీరు “అసంపూర్ణ వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” అనే వ్యాసంలో కనుగొంటారు.

ఏ వర్గ సమీకరణాలను పూర్తి అంటారు? ఈ రూపం గొడ్డలి 2 + b x + c = 0 యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ గుణకాలు a, b మరియు c సున్నాకి సమానంగా ఉండవు. కాబట్టి, పూర్తి చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము వివక్ష D ని లెక్కించాలి.

D = b 2 - 4ac.

వివక్షత యొక్క విలువను బట్టి, మేము సమాధానం వ్రాస్తాము.

వివక్ష ఉంటే ప్రతికూల సంఖ్య(డి< 0),то корней нет.

వివక్షత సున్నా అయితే, x = (-b)/2a. వివక్షత సానుకూల సంఖ్య అయినప్పుడు (D > 0),

అప్పుడు x 1 = (-b - √D)/2a, మరియు x 2 = (-b + √D)/2a.

ఉదాహరణకి. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

సమాధానం: 2.

సమీకరణం 2ని పరిష్కరించండి x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

సమాధానం: మూలాలు లేవు.

సమీకరణం 2ని పరిష్కరించండి x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

సమాధానం: - 3.5; 1.

కాబట్టి మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి పూర్తి వర్గ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఊహించుకుందాం.

ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు. మీరు కేవలం జాగ్రత్తగా ఉండాలి సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడింది

ఎ x 2 + bx + c,లేకుంటే మీరు పొరపాటు చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, x + 3 + 2x 2 = 0 సమీకరణాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, మీరు పొరపాటున దానిని నిర్ణయించవచ్చు

a = 1, b = 3 మరియు c = 2. అప్పుడు

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ఆపై సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. మరియు ఇది నిజం కాదు. (పై ఉదాహరణ 2కి పరిష్కారం చూడండి).

కాబట్టి, సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడకపోతే, మొదట పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయాలి (అతి పెద్ద ఘాతాంకం కలిగిన మోనోమియల్ మొదట రావాలి, అంటే ఎ x 2 , ఆపై తక్కువతో – bxఆపై ఉచిత సభ్యుడు తో.

తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణాన్ని మరియు రెండవ పదంలో సరి గుణకంతో వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు ఇతర సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ ఫార్ములాలను తెలుసుకుందాం. పూర్తి వర్గ సమీకరణంలో రెండవ పదం సరి గుణకం (b ​​= 2k) కలిగి ఉంటే, అప్పుడు మీరు మూర్తి 2లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు.

వద్ద గుణకం ఉంటే పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని తగ్గించడం అంటారు x 2 ఒకదానికి సమానం మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది x 2 + px + q = 0. అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కారం కోసం ఇవ్వవచ్చు లేదా సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలను గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందవచ్చు. ఎ, వద్ద నిలబడి x 2 .

తగ్గిన చతురస్రాన్ని పరిష్కరించడానికి మూర్తి 3 ఒక రేఖాచిత్రాన్ని చూపుతుంది
సమీకరణాలు. ఈ వ్యాసంలో చర్చించిన సూత్రాల అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

3x 2 + 6x – 6 = 0.

మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3

మీరు ఈ సమీకరణంలో x యొక్క గుణకం గమనించవచ్చు సరి సంఖ్య, అంటే, b = 6 లేదా b = 2k, ఎక్కడ నుండి k = 3. అప్పుడు D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 అనే బొమ్మ యొక్క రేఖాచిత్రంలో ఇచ్చిన సూత్రాలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3. ఈ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలు 3చే భాగించబడతాయని గమనించి, విభజనను నిర్వహిస్తే, మేము తగ్గిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము x 2 + 2x – 2 = 0 తగ్గించబడిన వర్గానికి సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
సమీకరణాలు ఫిగర్ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

సమాధానం: –1 – √3; –1 + √3.

మేము చూస్తున్నట్లుగా, ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు వివిధ సూత్రాలుమేము అదే సమాధానం పొందాము. అందువల్ల, మూర్తి 1లోని రేఖాచిత్రంలో చూపిన సూత్రాలను పూర్తిగా ప్రావీణ్యం పొందడం ద్వారా, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగలరు.

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.

పరిష్కారం సమయంలో తరచుగా చతురస్రాకార సమీకరణాలు కనిపిస్తాయి వివిధ పనులుభౌతిక శాస్త్రం మరియు గణితం. ఈ సమానత్వాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో ఈ వ్యాసంలో చూద్దాం సార్వత్రిక మార్గంలో"వివక్షత ద్వారా". సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించిన ఉదాహరణలు కూడా వ్యాసంలో ఇవ్వబడ్డాయి.

మేము ఏ సమీకరణాల గురించి మాట్లాడుతాము?

దిగువ బొమ్మ x అనేది తెలియని వేరియబుల్ మరియు ఫార్ములాను చూపుతుంది లాటిన్ అక్షరాలు a, b, c కొన్ని తెలిసిన సంఖ్యలను సూచిస్తాయి.

ఈ ప్రతి చిహ్నాన్ని గుణకం అంటారు. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, "a" సంఖ్య వేరియబుల్ x స్క్వేర్డ్ ముందు కనిపిస్తుంది. ఈ గరిష్ట డిగ్రీఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ, కాబట్టి దీనిని వర్గ సమీకరణం అంటారు. దీని ఇతర పేరు తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది: రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణం. ఒక దానికే విలువ చదరపు గుణకం(వేరియబుల్ స్క్వేర్డ్ వద్ద నిలబడి), b అనేది సరళ గుణకం(ఇది మొదటి శక్తికి పెంచబడిన వేరియబుల్ పక్కన ఉంది), చివరగా, c సంఖ్య ఉచిత పదం.

పై చిత్రంలో చూపిన సమీకరణం యొక్క రూపం సాధారణ సాంప్రదాయకమని గమనించండి చతురస్రాకార వ్యక్తీకరణ. దానికి అదనంగా, ఇతర రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణాలు ఉన్నాయి, వీటిలో బి మరియు సి గుణకాలు సున్నా కావచ్చు.

ప్రశ్నలోని సమానత్వాన్ని పరిష్కరించడానికి టాస్క్ సెట్ చేయబడినప్పుడు, వేరియబుల్ x యొక్క అటువంటి విలువలు దానిని సంతృప్తిపరిచే వాటిని కనుగొనవలసి ఉంటుందని దీని అర్థం. మీరు ఇక్కడ గుర్తుంచుకోవలసిన మొదటి విషయం తదుపరి విషయం: X యొక్క గరిష్ట శక్తి 2 కాబట్టి, అప్పుడు ఈ పద్దతిలోవ్యక్తీకరణలు 2 కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉండకూడదు. దీనర్థం, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, దానిని సంతృప్తిపరిచే x యొక్క 2 విలువలు కనుగొనబడితే, మీరు 3వ సంఖ్య లేదని నిర్ధారించుకోవచ్చు, దానిని xకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, సమానత్వం కూడా నిజం. గణితంలో సమీకరణానికి పరిష్కారాలను దాని మూలాలు అంటారు.

రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

ఈ రకమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వాటి గురించి కొన్ని సిద్ధాంతాల పరిజ్ఞానం అవసరం. IN పాఠశాల కోర్సుబీజగణితాలు పరిగణలోకి 4 వివిధ పద్ధతులుపరిష్కారాలు. వాటిని జాబితా చేద్దాం:

• కారకాన్ని ఉపయోగించడం;
• ఖచ్చితమైన చతురస్రం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం;
• సంబంధిత క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను వర్తింపజేయడం ద్వారా;
• వివక్షత సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం.

మొదటి పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనం దాని సరళత, అయితే, ఇది అన్ని సమీకరణాలకు ఉపయోగించబడదు. రెండవ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది, కానీ కొంత గజిబిజిగా ఉంటుంది. మూడవ పద్ధతి దాని స్పష్టత ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది, కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ అనుకూలమైనది మరియు వర్తించదు. చివరకు, వివక్షత సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం అనేది ఖచ్చితంగా ఏదైనా రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి సార్వత్రిక మరియు చాలా సులభమైన మార్గం. అందువలన, ఈ వ్యాసంలో మేము దానిని మాత్రమే పరిశీలిస్తాము.

సమీకరణం యొక్క మూలాలను పొందడం కోసం సూత్రం

ఆవిడకి తిరుగుదాం సాధారణ వేషమువర్గ సమీకరణం. దీన్ని వ్రాస్దాం: a*x²+ b*x + c =0. "వివక్షత ద్వారా" పరిష్కరించే పద్ధతిని ఉపయోగించే ముందు, మీరు ఎల్లప్పుడూ సమానత్వాన్ని దాని వ్రాత రూపంలోకి తీసుకురావాలి. అంటే, ఇది తప్పనిసరిగా మూడు పదాలను కలిగి ఉండాలి (లేదా b లేదా c 0 అయితే తక్కువ).

ఉదాహరణకు, ఒక వ్యక్తీకరణ ఉంటే: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², అప్పుడు మీరు మొదట దాని నిబంధనలన్నింటినీ సమానత్వం యొక్క ఒక వైపుకు తరలించి, వేరియబుల్ xని కలిగి ఉన్న నిబంధనలను జోడించాలి. అదే అధికారాలు.

IN ఈ విషయంలోఈ ఆపరేషన్ కింది వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది: -6*x²-4*x+8=0, ఇది సమీకరణం 6*x²+4*x-8=0కి సమానం (ఇక్కడ మనం ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణించాము -1 ద్వారా సమానత్వం).

పై ఉదాహరణలో, a = 6, b=4, c=-8. పరిశీలనలో ఉన్న సమానత్వం యొక్క అన్ని నిబంధనలు ఎల్లప్పుడూ ఒకదానితో ఒకటి సంగ్రహించబడతాయని గమనించండి, కాబట్టి “-” గుర్తు కనిపించినట్లయితే, ఈ సందర్భంలో సి సంఖ్య వలె సంబంధిత గుణకం ప్రతికూలంగా ఉంటుందని దీని అర్థం.

ఈ అంశాన్ని పరిశీలించిన తరువాత, ఇప్పుడు మనం ఫార్ములాకు వెళ్దాం, ఇది క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలను పొందడం సాధ్యం చేస్తుంది. ఇది క్రింది ఫోటోలో చూపిన విధంగా కనిపిస్తుంది.

ఈ వ్యక్తీకరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ఇది రెండు మూలాలను పొందడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ("±" గుర్తుకు శ్రద్ధ వహించండి). దీన్ని చేయడానికి, b, c మరియు a అనే కోఎఫీషియంట్‌లను దానిలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే సరిపోతుంది.

వివక్షత యొక్క భావన

IN మునుపటి పేరాఏదైనా రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణాన్ని త్వరగా పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఫార్ములా ఇవ్వబడింది. అందులో, రాడికల్ వ్యక్తీకరణను వివక్షత అని పిలుస్తారు, అంటే, D = b²-4*a*c.

ఫార్ములాలోని ఈ భాగం ఎందుకు హైలైట్ చేయబడింది మరియు అది కూడా ఉంది సరియైన పేరు? వాస్తవం ఏమిటంటే, వివక్షత సమీకరణంలోని మూడు గుణకాలను ఒకే వ్యక్తీకరణగా కలుపుతుంది. చివరి వాస్తవంఇది పూర్తిగా మూలాల గురించి సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది క్రింది జాబితాలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

1. D>0: సమానత్వం 2 విభిన్న పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది, రెండూ వాస్తవ సంఖ్యలు.
2. D=0: సమీకరణం ఒక మూలాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది మరియు ఇది వాస్తవ సంఖ్య.

విచక్షణా నిర్ణయ విధి

వివక్షను ఎలా కనుగొనాలో ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఇద్దాం. కింది సమానత్వాన్ని ఇవ్వనివ్వండి: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

దానిని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకువద్దాం, మనకు లభిస్తుంది: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, దీని నుండి మనం సమానత్వానికి వస్తాము : -2*x² +2*x-11 = 0. ఇక్కడ a=-2, b=2, c=-11.

ఇప్పుడు మీరు వివక్షత కోసం పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. ఫలిత సంఖ్య పనికి సమాధానం. ఉదాహరణలో వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున, ఈ వర్గ సమీకరణం లేదని మనం చెప్పగలం నిజమైన మూలాలు. దీని పరిష్కారం సంక్లిష్ట రకం సంఖ్యలు మాత్రమే.

వివక్షత ద్వారా అసమానతకు ఉదాహరణ

కొద్దిగా భిన్నమైన రకాల సమస్యలను పరిష్కరిద్దాం: సమానత్వం -3*x²-6*x+c = 0. D>0 కోసం c విలువలను కనుగొనడం అవసరం.

ఈ సందర్భంలో, 3 గుణకాలలో 2 మాత్రమే తెలుసు, కాబట్టి వివక్షత యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను లెక్కించడం సాధ్యం కాదు, కానీ అది సానుకూలంగా ఉందని తెలిసింది. అసమానతను కంపోజ్ చేసేటప్పుడు మేము చివరి వాస్తవాన్ని ఉపయోగిస్తాము: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. ఫలిత అసమానతను పరిష్కరించడం ఫలితానికి దారి తీస్తుంది: c>-3.

ఫలిత సంఖ్యను తనిఖీ చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము 2 కేసుల కోసం Dని లెక్కిస్తాము: c=-2 మరియు c=-4. సంఖ్య -2 పొందిన ఫలితాన్ని (-2>-3) సంతృప్తిపరుస్తుంది, సంబంధిత వివక్షత విలువను కలిగి ఉంటుంది: D = 12>0. ప్రతిగా, సంఖ్య -4 అసమానతను సంతృప్తిపరచదు (-4. అందువలన, -3 కంటే ఎక్కువ ఉన్న ఏవైనా సంఖ్యలు సి షరతును సంతృప్తిపరుస్తాయి.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణ

వివక్షను కనుగొనడం మాత్రమే కాకుండా, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కూడా కలిగి ఉన్న సమస్యను ప్రదర్శిస్తాము. సమానత్వం -2*x²+7-9*x = 0 కోసం మూలాలను కనుగొనడం అవసరం.

ఈ ఉదాహరణలో, వివక్షత క్రింది విలువకు సమానంగా ఉంటుంది: D = 81-4*(-2)*7= 137. అప్పుడు సమీకరణం యొక్క మూలాలు క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడతాయి: x = (9±√137)/(- 4) ఈ ఖచ్చితమైన విలువలుమూలాలు, మీరు రూట్‌ను సుమారుగా లెక్కించినట్లయితే, మీరు సంఖ్యలను పొందుతారు: x = -5.176 మరియు x = 0.676.

రేఖాగణిత సమస్య

మేము వివక్షను లెక్కించే సామర్థ్యాన్ని మాత్రమే కాకుండా, నైపుణ్యాలను కూడా ఉపయోగించాల్సిన సమస్యను పరిష్కరిస్తాము. నైరూప్య ఆలోచనమరియు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను ఎలా వ్రాయాలో తెలుసుకోవడం.

బాబ్‌కు 5 x 4 మీటర్ల బొంత ఉంది. బాలుడు మొత్తం చుట్టుకొలత చుట్టూ కుట్టాలని కోరుకున్నాడు నిరంతర స్ట్రిప్అందమైన ఫాబ్రిక్ నుండి. బాబ్‌లో 10 m² ఫాబ్రిక్ ఉందని మనకు తెలిస్తే ఈ స్ట్రిప్ ఎంత మందంగా ఉంటుంది.

స్ట్రిప్ x m మందాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి, అప్పుడు దుప్పటి యొక్క పొడవాటి వైపున ఉన్న ఫాబ్రిక్ వైశాల్యం (5+2*x)*x, మరియు 2 పొడవాటి వైపులా ఉన్నందున, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: 2*x *(5+2*x). చిన్న వైపున, కుట్టిన ఫాబ్రిక్ వైశాల్యం 4*x ఉంటుంది, వీటిలో 2 భుజాలు ఉన్నాయి కాబట్టి, మనకు 8*x విలువ వస్తుంది. దుప్పటి పొడవు ఆ సంఖ్యతో పెరిగినందున 2*x విలువ పొడవు వైపుకు జోడించబడిందని గమనించండి. దుప్పటికి కుట్టిన ఫాబ్రిక్ మొత్తం వైశాల్యం 10 m². కాబట్టి, మనకు సమానత్వం లభిస్తుంది: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

ఈ ఉదాహరణ కోసం, వివక్షత సమానం: D = 18²-4*4*(-10) = 484. దీని రూట్ 22. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మనకు అవసరమైన మూలాలను కనుగొంటాము: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). సహజంగానే, రెండు మూలాలలో, సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా 0.5 సంఖ్య మాత్రమే సరిపోతుంది.

అందువలన, బాబ్ తన దుప్పటికి కుట్టిన ఫాబ్రిక్ స్ట్రిప్ 50 సెం.మీ వెడల్పు ఉంటుంది.