గణిత నమూనాను రూపొందించడానికి మీకు ఇది అవసరం:

1. నిజమైన వస్తువు లేదా ప్రక్రియను జాగ్రత్తగా విశ్లేషించండి;
2. దాని అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలు మరియు లక్షణాలను హైలైట్ చేయండి;
3. వేరియబుల్స్ నిర్వచించండి, అనగా. విలువలు వస్తువు యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు మరియు లక్షణాలను ప్రభావితం చేసే పారామితులు;
4. తార్కిక-గణిత సంబంధాలను (సమీకరణాలు, సమానతలు, అసమానతలు, తార్కిక-గణిత నిర్మాణాలు) ఉపయోగించి వేరియబుల్స్ విలువలపై ఒక వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలపై ఆధారపడటాన్ని వివరించండి;
5. పరిమితులు, సమీకరణాలు, సమానతలు, అసమానతలు, తార్కిక మరియు గణిత నిర్మాణాలను ఉపయోగించి వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత కనెక్షన్‌లను హైలైట్ చేయండి;
6. బాహ్య కనెక్షన్లను గుర్తించండి మరియు పరిమితులు, సమీకరణాలు, సమానతలు, అసమానతలు, తార్కిక మరియు గణిత నిర్మాణాలను ఉపయోగించి వాటిని వివరించండి.

గణిత మోడలింగ్, ఒక వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థను అధ్యయనం చేయడం మరియు దాని గణిత వివరణను రూపొందించడంతోపాటు, వీటిని కూడా కలిగి ఉంటుంది:

1. ఒక వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థ యొక్క ప్రవర్తనను మోడల్ చేసే అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడం;
2. గణన మరియు పూర్తి స్థాయి ప్రయోగాల ఆధారంగా మోడల్ మరియు వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థ యొక్క సమర్ధతను తనిఖీ చేయడం;
3. మోడల్ సర్దుబాటు;
4. మోడల్ ఉపయోగించి.

అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియలు మరియు వ్యవస్థల యొక్క గణిత వివరణ ఆధారపడి ఉంటుంది:

1. నిజమైన ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థ యొక్క స్వభావం మరియు భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, మెకానిక్స్, థర్మోడైనమిక్స్, హైడ్రోడైనమిక్స్, ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్, ప్లాస్టిసిటీ సిద్ధాంతం, స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతం మొదలైన వాటి యొక్క చట్టాల ఆధారంగా సంకలనం చేయబడింది.
2. నిజమైన ప్రక్రియలు మరియు వ్యవస్థల అధ్యయనం మరియు పరిశోధన యొక్క అవసరమైన విశ్వసనీయత మరియు ఖచ్చితత్వం.

గణిత నమూనా యొక్క నిర్మాణం సాధారణంగా పరిశీలనలో ఉన్న వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా వ్యవస్థ యొక్క సరళమైన, అత్యంత ముడి గణిత నమూనా యొక్క నిర్మాణం మరియు విశ్లేషణతో ప్రారంభమవుతుంది. భవిష్యత్తులో, అవసరమైతే, మోడల్ శుద్ధి చేయబడుతుంది మరియు వస్తువుకు దాని అనురూప్యం మరింత పూర్తి చేయబడుతుంది.

ఒక సాధారణ ఉదాహరణ తీసుకుందాం. డెస్క్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం. సాధారణంగా, ఇది దాని పొడవు మరియు వెడల్పును కొలవడం ద్వారా జరుగుతుంది, ఆపై ఫలిత సంఖ్యలను గుణించాలి. ఈ ప్రాథమిక విధానం వాస్తవానికి కింది అర్థం: నిజమైన వస్తువు (టేబుల్ ఉపరితలం) ఒక వియుక్త గణిత నమూనాతో భర్తీ చేయబడుతుంది - ఒక దీర్ఘచతురస్రం. టేబుల్ ఉపరితలం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పును కొలవడం ద్వారా పొందిన కొలతలు దీర్ఘచతురస్రానికి కేటాయించబడతాయి మరియు అటువంటి దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రాంతం పట్టిక యొక్క అవసరమైన ప్రాంతంగా సుమారుగా తీసుకోబడుతుంది. అయితే, డెస్క్ కోసం దీర్ఘచతురస్ర నమూనా సరళమైన, అత్యంత ముడి మోడల్. మీరు సమస్యకు మరింత తీవ్రమైన విధానాన్ని తీసుకుంటే, పట్టిక యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడానికి దీర్ఘచతురస్ర నమూనాను ఉపయోగించే ముందు, ఈ నమూనాను తనిఖీ చేయాలి. తనిఖీలు క్రింది విధంగా నిర్వహించబడతాయి: పట్టిక యొక్క వ్యతిరేక భుజాల పొడవులను, అలాగే దాని వికర్ణాల పొడవులను కొలవండి మరియు వాటిని ఒకదానితో ఒకటి సరిపోల్చండి. అవసరమైన స్థాయి ఖచ్చితత్వంతో, వ్యతిరేక భుజాల పొడవులు మరియు వికర్ణాల పొడవులు జంటగా సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పట్టిక యొక్క ఉపరితలం నిజంగా దీర్ఘచతురస్రంగా పరిగణించబడుతుంది. లేకపోతే, దీర్ఘచతురస్ర నమూనా తిరస్కరించబడాలి మరియు సాధారణ చతుర్భుజ నమూనాతో భర్తీ చేయబడుతుంది. ఖచ్చితత్వం కోసం అధిక అవసరంతో, మోడల్‌ను మరింత మెరుగుపరచడం అవసరం కావచ్చు, ఉదాహరణకు, పట్టిక మూలల చుట్టుముట్టడాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం.

ఈ సాధారణ ఉదాహరణను ఉపయోగించి, గణిత నమూనా వస్తువు, ప్రక్రియ లేదా ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడదని చూపబడింది. వ్యవస్థ.

లేదా (రేపు స్పష్టం చేయాలి)

గణితాన్ని పరిష్కరించడానికి మార్గాలు. నమూనాలు:

1, ప్రకృతి నియమాల ఆధారంగా నమూనా నిర్మాణం (విశ్లేషణాత్మక పద్ధతి)

2. గణాంక పద్ధతులను ఉపయోగించే అధికారిక మార్గం. ప్రాసెసింగ్ మరియు కొలత ఫలితాలు (గణాంక విధానం)

3. మూలకాల నమూనా (సంక్లిష్ట వ్యవస్థలు) ఆధారంగా నమూనా నిర్మాణం

1, విశ్లేషణాత్మక - తగినంత అధ్యయనంతో ఉపయోగించండి. సాధారణ నమూనా అంటారు. మోడల్స్.

2. ప్రయోగం. సమాచారం లేకపోవడంతో.

3. అనుకరణ m - వస్తువు యొక్క లక్షణాలను అన్వేషిస్తుంది. సాధారణంగా.

గణిత నమూనాను నిర్మించడానికి ఒక ఉదాహరణ.

గణిత నమూనావాస్తవికత యొక్క గణిత ప్రాతినిధ్యం.

గణిత మోడలింగ్గణిత నమూనాలను నిర్మించడం మరియు అధ్యయనం చేసే ప్రక్రియ.

గణితాన్ని ఉపయోగించే అన్ని సహజ మరియు సామాజిక శాస్త్రాలు తప్పనిసరిగా గణిత మోడలింగ్‌లో నిమగ్నమై ఉన్నాయి: అవి ఒక వస్తువును దాని గణిత నమూనాతో భర్తీ చేస్తాయి మరియు తరువాత దానిని అధ్యయనం చేస్తాయి. గణిత నమూనా మరియు వాస్తవికత మధ్య కనెక్షన్ పరికల్పనలు, ఆదర్శీకరణలు మరియు సరళీకరణల గొలుసును ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. గణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి, ఒక నియమం వలె, అర్ధవంతమైన మోడలింగ్ దశలో నిర్మించిన ఆదర్శ వస్తువు వివరించబడింది.

నమూనాలు ఎందుకు అవసరం?

చాలా తరచుగా, ఏదైనా వస్తువును అధ్యయనం చేసేటప్పుడు, ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి. అసలైనది కొన్నిసార్లు అందుబాటులో ఉండదు, లేదా దాని ఉపయోగం మంచిది కాదు, లేదా అసలైనదాన్ని ఆకర్షించడం ఖరీదైనది. ఈ సమస్యలన్నీ అనుకరణను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి. ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో, ఒక మోడల్ అధ్యయనంలో ఉన్న వస్తువును భర్తీ చేయగలదు.

నమూనాల సరళమైన ఉదాహరణలు

§ ఛాయాచిత్రాన్ని ఒక వ్యక్తి యొక్క నమూనాగా చెప్పవచ్చు. ఒక వ్యక్తిని గుర్తించాలంటే అతని ఫోటో చూస్తే చాలు.

§ వాస్తుశిల్పి కొత్త నివాస ప్రాంతం యొక్క నమూనాను సృష్టించాడు. అతను తన చేతి కదలికతో ఎత్తైన భవనాన్ని ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి తరలించగలడు. వాస్తవానికి ఇది సాధ్యం కాదు.

మోడల్ రకాలు

నమూనాలను విభజించవచ్చు పదార్థం"మరియు పరిపూర్ణమైనది. పై ఉదాహరణలు మెటీరియల్ మోడల్స్. ఆదర్శ నమూనాలు తరచుగా ఐకానిక్ ఆకృతులను కలిగి ఉంటాయి. వాస్తవ భావనలు కొన్ని సంకేతాల ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి, వీటిని కాగితంపై, కంప్యూటర్ మెమరీలో సులభంగా రికార్డ్ చేయవచ్చు.

గణిత మోడలింగ్

గణిత మోడలింగ్ సింబాలిక్ మోడలింగ్ తరగతికి చెందినది. అంతేకాకుండా, ఏదైనా గణిత వస్తువుల నుండి నమూనాలు సృష్టించబడతాయి: సంఖ్యలు, విధులు, సమీకరణాలు మొదలైనవి.

గణిత నమూనాను రూపొందించడం

§ గణిత నమూనాను నిర్మించే అనేక దశలను గమనించవచ్చు:

1. సమస్యను అర్థం చేసుకోవడం, మనకు అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలు, లక్షణాలు, పరిమాణాలు మరియు పారామితులను గుర్తించడం.

2. సంజ్ఞామానం పరిచయం.

3. నమోదు చేయబడిన విలువలు తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాల్సిన పరిమితుల వ్యవస్థను రూపొందించడం.

4. కావలసిన సరైన పరిష్కారం ద్వారా సంతృప్తి చెందవలసిన పరిస్థితులను రూపొందించడం మరియు రికార్డింగ్ చేయడం.

మోడలింగ్ ప్రక్రియ మోడల్ యొక్క సృష్టితో ముగియదు, కానీ దానితో మాత్రమే ప్రారంభమవుతుంది. ఒక నమూనాను సంకలనం చేసిన తరువాత, వారు సమాధానాన్ని కనుగొని సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతిని ఎంచుకుంటారు. సమాధానం దొరికిన తర్వాత, అది వాస్తవికతతో పోల్చబడుతుంది. మరియు సమాధానం సంతృప్తికరంగా ఉండకపోవచ్చు, ఈ సందర్భంలో మోడల్ సవరించబడింది లేదా పూర్తిగా భిన్నమైన మోడల్‌ను కూడా ఎంచుకోవచ్చు.

గణిత నమూనాకు ఉదాహరణ

టాస్క్

రెండు ఫర్నిచర్ ఫ్యాక్టరీలను కలిగి ఉన్న ప్రొడక్షన్ అసోసియేషన్, దాని మెషిన్ పార్క్‌ను నవీకరించాలి. అంతేకాకుండా, మొదటి ఫర్నిచర్ కర్మాగారం మూడు యంత్రాలను భర్తీ చేయాలి, మరియు రెండవది - ఏడు. ఆర్డర్‌లను రెండు మెషిన్ టూల్ ఫ్యాక్టరీలలో ఉంచవచ్చు. మొదటి ప్లాంట్ 6 కంటే ఎక్కువ యంత్రాలను ఉత్పత్తి చేయదు మరియు వాటిలో కనీసం మూడు ఉంటే రెండవ ప్లాంట్ ఆర్డర్‌ను అంగీకరిస్తుంది. ఆర్డర్‌లను ఎలా ఉంచాలో మీరు నిర్ణయించుకోవాలి.

గణిత మోడలింగ్

1. గణిత మోడలింగ్ అంటే ఏమిటి?

20వ శతాబ్దం మధ్యకాలం నుండి. గణిత పద్ధతులు మరియు కంప్యూటర్లు మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించడం ప్రారంభించాయి. "గణిత ఆర్థిక శాస్త్రం", "గణిత రసాయన శాస్త్రం", "గణిత భాషాశాస్త్రం" మొదలైన కొత్త విభాగాలు ఉద్భవించాయి, సంబంధిత వస్తువులు మరియు దృగ్విషయాల గణిత నమూనాలను అలాగే ఈ నమూనాలను అధ్యయనం చేసే పద్ధతులను అధ్యయనం చేస్తాయి.

గణిత నమూనా అనేది గణిత శాస్త్ర భాషలో వాస్తవ ప్రపంచంలోని ఏదైనా తరగతి దృగ్విషయం లేదా వస్తువుల యొక్క ఉజ్జాయింపు వివరణ. మోడలింగ్ యొక్క ముఖ్య ఉద్దేశ్యం ఈ వస్తువులను అన్వేషించడం మరియు భవిష్యత్ పరిశీలనల ఫలితాలను అంచనా వేయడం. అయినప్పటికీ, మోడలింగ్ అనేది మన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచాన్ని అర్థం చేసుకునే పద్ధతి, దానిని నియంత్రించడం సాధ్యపడుతుంది.

ఒక కారణం లేదా మరొక కారణంగా పూర్తి స్థాయి ప్రయోగం అసాధ్యం లేదా కష్టంగా ఉన్న సందర్భాల్లో గణిత శాస్త్ర మోడలింగ్ మరియు అనుబంధిత కంప్యూటర్ ప్రయోగం చాలా అవసరం. ఉదాహరణకు, చరిత్రలో ఒక సహజ ప్రయోగాన్ని ఏర్పరచడం అసాధ్యం "ఏమి జరిగి ఉంటే..." ఒకటి లేదా మరొక కాస్మోలాజికల్ సిద్ధాంతం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయడం అసాధ్యం. ప్లేగు వంటి వ్యాధి వ్యాప్తిపై ప్రయోగాలు చేయడం లేదా దాని పర్యవసానాలను అధ్యయనం చేయడానికి అణు విస్ఫోటనం చేయడం సాధ్యమే, కానీ సహేతుకంగా ఉండకపోవచ్చు. అయితే, అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయాల యొక్క గణిత నమూనాలను మొదట నిర్మించడం ద్వారా ఇవన్నీ కంప్యూటర్‌లో చేయవచ్చు.

2. గణిత నమూనా యొక్క ప్రధాన దశలు

1) మోడల్ భవనం. ఈ దశలో, కొన్ని "గణితం కాని" వస్తువు పేర్కొనబడింది - ఒక సహజ దృగ్విషయం, రూపకల్పన, ఆర్థిక ప్రణాళిక, ఉత్పత్తి ప్రక్రియ మొదలైనవి. ఈ సందర్భంలో, ఒక నియమం వలె, పరిస్థితి యొక్క స్పష్టమైన వివరణ కష్టం. మొదట, దృగ్విషయం యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు మరియు గుణాత్మక స్థాయిలో వాటి మధ్య కనెక్షన్లు గుర్తించబడతాయి. అప్పుడు కనుగొనబడిన గుణాత్మక డిపెండెన్సీలు గణిత శాస్త్ర భాషలో రూపొందించబడ్డాయి, అనగా గణిత నమూనా నిర్మించబడింది. మోడలింగ్‌లో ఇది చాలా కష్టమైన దశ.

2) మోడల్ దారితీసే గణిత సమస్యను పరిష్కరించడం. ఈ దశలో, కంప్యూటర్‌లో సమస్యను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథంలు మరియు సంఖ్యా పద్ధతుల అభివృద్ధికి చాలా శ్రద్ధ చెల్లించబడుతుంది, దీని సహాయంతో ఫలితాన్ని అవసరమైన ఖచ్చితత్వంతో మరియు ఆమోదయోగ్యమైన సమయంలో కనుగొనవచ్చు.

3) గణిత నమూనా నుండి పొందిన పరిణామాల యొక్క వివరణ.గణితం యొక్క భాషలో మోడల్ నుండి పొందిన పరిణామాలు ఫీల్డ్‌లో ఆమోదించబడిన భాషలో వివరించబడతాయి.

4) మోడల్ యొక్క సమర్ధతను తనిఖీ చేస్తోంది.ఈ దశలో, ప్రయోగాత్మక ఫలితాలు నిర్దిష్ట ఖచ్చితత్వంలో మోడల్ యొక్క సైద్ధాంతిక పరిణామాలతో ఏకీభవిస్తాయో లేదో నిర్ణయించబడుతుంది.

5) మోడల్ యొక్క సవరణ.ఈ దశలో, మోడల్ సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది, తద్వారా ఇది వాస్తవికతకు మరింత సరిపోతుంది, లేదా ఆచరణాత్మకంగా ఆమోదయోగ్యమైన పరిష్కారాన్ని సాధించడానికి ఇది సరళీకృతం చేయబడుతుంది.

3. నమూనాల వర్గీకరణ

నమూనాలను వివిధ ప్రమాణాల ప్రకారం వర్గీకరించవచ్చు. ఉదాహరణకు, పరిష్కరించబడుతున్న సమస్యల స్వభావం ప్రకారం, నమూనాలను ఫంక్షనల్ మరియు స్ట్రక్చరల్‌గా విభజించవచ్చు. మొదటి సందర్భంలో, ఒక దృగ్విషయం లేదా వస్తువును వర్గీకరించే అన్ని పరిమాణాలు పరిమాణాత్మకంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. అంతేకాకుండా, వాటిలో కొన్ని స్వతంత్ర వేరియబుల్స్‌గా పరిగణించబడతాయి, మరికొన్ని ఈ పరిమాణాల విధులుగా పరిగణించబడతాయి. గణిత నమూనా అనేది సాధారణంగా వివిధ రకాల (అవకలన, బీజగణితం మొదలైనవి) సమీకరణాల వ్యవస్థ, ఇది పరిశీలనలో ఉన్న పరిమాణాల మధ్య పరిమాణాత్మక సంబంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. రెండవ సందర్భంలో, మోడల్ వ్యక్తిగత భాగాలతో కూడిన సంక్లిష్ట వస్తువు యొక్క నిర్మాణాన్ని వర్ణిస్తుంది, వాటి మధ్య కొన్ని కనెక్షన్లు ఉన్నాయి. సాధారణంగా, ఈ కనెక్షన్లు లెక్కించబడవు. అటువంటి నమూనాలను నిర్మించడానికి, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. గ్రాఫ్ అనేది ఒక గణిత వస్తువు, ఇది ఒక విమానం లేదా అంతరిక్షంలో ఉన్న పాయింట్ల (శీర్షాలు) సమితిని సూచిస్తుంది, వాటిలో కొన్ని పంక్తులు (అంచులు) ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి.

ప్రారంభ డేటా మరియు ఫలితాల స్వభావం ఆధారంగా, అంచనా నమూనాలను నిర్ణయాత్మక మరియు సంభావ్య-గణాంకాలుగా విభజించవచ్చు. మొదటి రకం నమూనాలు నిర్దిష్టమైన, నిస్సందేహమైన అంచనాలను చేస్తాయి. రెండవ రకం యొక్క నమూనాలు గణాంక సమాచారంపై ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు వారి సహాయంతో పొందిన అంచనాలు ప్రకృతిలో సంభావ్యతను కలిగి ఉంటాయి.

4. గణిత నమూనాల ఉదాహరణలు

1) ప్రక్షేపకం యొక్క కదలిక గురించి సమస్యలు.

కింది మెకానిక్స్ సమస్యను పరిగణించండి.

ప్రక్షేపకం భూమి నుండి ప్రారంభ వేగంతో ప్రారంభించబడింది v 0 = 30 m/s కోణంలో a = 45° దాని ఉపరితలం; దాని కదలిక యొక్క పథాన్ని మరియు ఈ పథం యొక్క ప్రారంభ మరియు ముగింపు బిందువుల మధ్య దూరం S ను కనుగొనడం అవసరం.

అప్పుడు, పాఠశాల భౌతిక శాస్త్ర కోర్సు నుండి తెలిసినట్లుగా, ప్రక్షేపకం యొక్క కదలిక సూత్రాల ద్వారా వివరించబడింది:

ఇక్కడ t అనేది సమయం, g = 10 m/s 2 అనేది గురుత్వాకర్షణ త్వరణం. ఈ సూత్రాలు సమస్య యొక్క గణిత నమూనాను అందిస్తాయి. మొదటి సమీకరణం నుండి x ద్వారా tని వ్యక్తీకరించడం మరియు దానిని రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం, మేము ప్రక్షేపకం యొక్క పథం కోసం సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఈ వక్రరేఖ (పారాబొలా) x అక్షాన్ని రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది: x 1 = 0 (పథం ప్రారంభం) మరియు (ప్రక్షేపకం పడిపోయిన ప్రదేశం). అందించిన v0 మరియు a యొక్క విలువలను ఫలిత సూత్రాలలోకి మార్చడం ద్వారా మేము పొందుతాము

సమాధానం: y = x – 90x 2, S = 90 మీ.

ఈ నమూనాను నిర్మించేటప్పుడు, అనేక అంచనాలు ఉపయోగించబడుతున్నాయని గమనించండి: ఉదాహరణకు, భూమి ఫ్లాట్ అని భావించబడుతుంది మరియు గాలి మరియు భూమి యొక్క భ్రమణం ప్రక్షేపకం యొక్క కదలికను ప్రభావితం చేయవు.

2) అతి చిన్న ఉపరితల వైశాల్యం కలిగిన ట్యాంక్ గురించిన సమస్య.

సంవృత వృత్తాకార సిలిండర్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉన్న వాల్యూమ్ V = 30 m 3 కలిగిన టిన్ ట్యాంక్ యొక్క ఎత్తు h 0 మరియు వ్యాసార్థం r 0 ను కనుగొనడం అవసరం, దాని ఉపరితల వైశాల్యం S తక్కువగా ఉంటుంది (ఈ సందర్భంలో, కనీసం దాని ఉత్పత్తికి టిన్ మొత్తం ఉపయోగించబడుతుంది).

ఎత్తు h మరియు వ్యాసార్థం r సిలిండర్ యొక్క వాల్యూమ్ మరియు ఉపరితల వైశాల్యం కోసం క్రింది సూత్రాలను వ్రాస్దాం:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

మొదటి ఫార్ములా నుండి r మరియు V ద్వారా hని వ్యక్తీకరించడం మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము:

అందువలన, గణిత శాస్త్ర కోణం నుండి, S(r) ఫంక్షన్ కనిష్ట స్థాయికి చేరుకునే r విలువను నిర్ణయించడంలో సమస్య వస్తుంది. ఉత్పన్నమైన r 0 విలువలను కనుగొనండి

సున్నాకి వెళుతుంది: ఆర్గ్యుమెంట్ r పాయింట్ r 0 గుండా వెళుతున్నప్పుడు ఫంక్షన్ S(r) యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం గుర్తును మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి మారుస్తుందో లేదో మీరు తనిఖీ చేయవచ్చు. పర్యవసానంగా, పాయింట్ r0 వద్ద ఫంక్షన్ S(r) కనిష్టంగా ఉంటుంది. సంబంధిత విలువ h 0 = 2r 0. ఇచ్చిన విలువ Vని r 0 మరియు h 0 కోసం ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లోకి మార్చడం ద్వారా మనం కోరుకున్న వ్యాసార్థాన్ని పొందుతాము మరియు ఎత్తు

3) రవాణా సమస్య.

నగరంలో రెండు పిండి గిడ్డంగులు మరియు రెండు బేకరీలు ఉన్నాయి. ప్రతిరోజు, మొదటి గిడ్డంగి నుండి 50 టన్నుల పిండిని మరియు రెండవ నుండి కర్మాగారాలకు 70 టన్నులు, మొదటి నుండి 40 టన్నులు మరియు రెండవది నుండి 80 టన్నులు రవాణా చేయబడుతుంది.

ద్వారా సూచిస్తాము a ij అనేది i-th గిడ్డంగి నుండి j-th ప్లాంట్‌కి 1 టన్ను పిండిని రవాణా చేయడానికి అయ్యే ఖర్చు (i, j = 1.2). వీలు

a 11 = 1.2 రూబిళ్లు, a 12 = 1.6 రూబిళ్లు, a 21 = 0.8 రబ్., a 22 = 1 రబ్.

దాని ఖర్చు తక్కువగా ఉండేలా రవాణాను ఎలా ప్లాన్ చేయాలి?

సమస్యకు గణిత సూత్రీకరణను ఇద్దాం. మొదటి గిడ్డంగి నుండి మొదటి మరియు రెండవ కర్మాగారాలకు మరియు x 3 మరియు x 4 ద్వారా వరుసగా రెండవ గిడ్డంగి నుండి మొదటి మరియు రెండవ కర్మాగారాలకు రవాణా చేయవలసిన పిండి మొత్తాన్ని x 1 మరియు x 2 ద్వారా సూచిస్తాము. అప్పుడు:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

మొత్తం రవాణా ఖర్చు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, సమస్య ఏమిటంటే, ఇవ్వబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరిచే మరియు కనిష్ట ఫంక్షన్ fని అందించే నాలుగు సంఖ్యలను x 1, x 2, x 3 మరియు x 4 కనుగొనడం. తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా xi (i = 1, 2, 3, 4) కోసం సమీకరణాల (1) వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం. మేము దానిని పొందుతాము

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

మరియు x 4 ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడదు. x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4) కాబట్టి, ఇది సమీకరణాల (2) నుండి 30Ј x 4 Ј 70ని అనుసరిస్తుంది. x 1, x 2, x 3 కోసం వ్యక్తీకరణను f కోసం సూత్రంలోకి మార్చడం, మనకు లభిస్తుంది

f = 148 – 0.2x 4.

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టాన్ని x 4 యొక్క గరిష్ట సాధ్యమైన విలువ వద్ద సాధించడం సులభం, అంటే x 4 = 70. ఇతర తెలియని వాటి సంబంధిత విలువలు సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) రేడియోధార్మిక క్షయం సమస్య.

N(0) అనేది రేడియోధార్మిక పదార్ధం యొక్క పరమాణువుల ప్రారంభ సంఖ్య, మరియు N(t) అనేది t సమయంలో క్షీణించని పరమాణువుల సంఖ్య. ఈ పరమాణువుల సంఖ్యలో మార్పు రేటు N(t)కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ధారించబడింది, అంటే N"(t)=–l N(t), l >0 ఇచ్చిన పదార్ధం యొక్క రేడియోధార్మికత స్థిరాంకం. గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణ యొక్క పాఠశాల కోర్సులో ఈ అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం N(t) = N(0)e –l t రూపాన్ని కలిగి ఉందని చూపబడింది. ప్రారంభ పరమాణువుల సంఖ్య సగానికి తగ్గిన సమయంలో T సమయాన్ని అర్ధ-జీవనం అంటారు మరియు ఇది ఒక పదార్ధం యొక్క రేడియోధార్మికత యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణం. T నిర్ణయించడానికి, మేము సూత్రంలో ఉంచాలి అప్పుడు ఉదాహరణకు, రాడాన్ కోసం l = 2.084 · 10 –6, అందువలన T = 3.15 రోజులు.

5) ట్రావెలింగ్ సేల్స్‌మ్యాన్ సమస్య.

నగరం A 1లో నివసిస్తున్న ట్రావెలింగ్ సేల్స్‌మ్యాన్ A 2, A 3 మరియు A 4 నగరాలను ప్రతి నగరాన్ని ఖచ్చితంగా ఒకసారి సందర్శించి, A 1కి తిరిగి రావాలి. అన్ని నగరాలు రోడ్ల ద్వారా జతగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయని మరియు A i మరియు A j (i, j = 1, 2, 3, 4) నగరాల మధ్య b ij రోడ్ల పొడవు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

సంబంధిత మార్గం యొక్క పొడవు తక్కువగా ఉన్న నగరాలను సందర్శించే క్రమాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

మనం ప్రతి నగరాన్ని విమానంలో ఒక బిందువుగా చిత్రీకరిద్దాం మరియు దానికి సంబంధిత లేబుల్ Ai (i = 1, 2, 3, 4)తో గుర్తు పెట్టుకుందాం. ఈ పాయింట్లను సరళ రేఖలతో అనుసంధానిద్దాం: అవి నగరాల మధ్య రహదారులను సూచిస్తాయి. ప్రతి "రహదారి" కోసం మేము దాని పొడవును కిలోమీటర్లలో సూచిస్తాము (Fig. 2). ఫలితం గ్రాఫ్ - విమానంలో నిర్దిష్ట బిందువులను (శీర్షాలు అని పిలుస్తారు) మరియు ఈ పాయింట్లను (అంచులు అని పిలుస్తారు) కలిపే నిర్దిష్ట పంక్తుల సమితిని కలిగి ఉన్న గణిత వస్తువు. అంతేకాకుండా, ఈ గ్రాఫ్ లేబుల్ చేయబడింది, ఎందుకంటే దాని శీర్షాలు మరియు అంచులు కొన్ని లేబుల్‌లను కేటాయించాయి - సంఖ్యలు (అంచులు) లేదా చిహ్నాలు (శీర్షాలు). గ్రాఫ్‌లోని చక్రం అనేది V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 శీర్షాల శ్రేణి, అంటే V 1 , ..., V k శీర్షాలు భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు V i , V శీర్షాల యొక్క ఏదైనా జత i+1 (i = 1, ..., k – 1) మరియు V 1, V k జత అంచుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. అందువల్ల, అన్ని అంచుల బరువుల మొత్తం తక్కువగా ఉండే నాలుగు శీర్షాల గుండా వెళుతున్న గ్రాఫ్‌లో చక్రాన్ని కనుగొనడం పరిశీలనలో ఉన్న సమస్య. నాలుగు శీర్షాల గుండా మరియు A 1 నుండి ప్రారంభించి అన్ని విభిన్న చక్రాల ద్వారా శోధిద్దాం:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

ఇప్పుడు మనం ఈ చక్రాల పొడవులను (కిమీలో) కనుగొంటాము: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. కాబట్టి, తక్కువ పొడవు యొక్క మార్గం మొదటిది.

గ్రాఫ్‌లో n శీర్షాలు ఉంటే మరియు అన్ని శీర్షాలు అంచుల ద్వారా జతగా అనుసంధానించబడి ఉంటే (అటువంటి గ్రాఫ్‌ని పూర్తి అంటారు), అప్పుడు అన్ని శీర్షాల గుండా వెళుతున్న చక్రాల సంఖ్య కాబట్టి, మా విషయంలో ఖచ్చితంగా మూడు చక్రాలు ఉన్నాయి.

6) పదార్థాల నిర్మాణం మరియు లక్షణాల మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య.

సాధారణ ఆల్కనేస్ అని పిలువబడే అనేక రసాయన సమ్మేళనాలను చూద్దాం. అవి n కార్బన్ పరమాణువులు మరియు n + 2 హైడ్రోజన్ అణువులను (n = 1, 2 ...) కలిగి ఉంటాయి, n = 3 కోసం మూర్తి 3లో చూపిన విధంగా పరస్పరం అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. ఈ సమ్మేళనాల మరిగే బిందువుల ప్రయోగాత్మక విలువలను తెలుసుకుందాం:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

ఈ సమ్మేళనాల కోసం మరిగే బిందువు మరియు సంఖ్య n మధ్య సుమారుగా సంబంధాన్ని కనుగొనడం అవసరం. ఈ పరాధీనతకు రూపం ఉందని అనుకుందాం

y" a n+b,

ఎక్కడ a, b - స్థిరాంకాలు నిర్ణయించబడతాయి. కనుగొనేందుకు aమరియు b మేము ఈ ఫార్ములాలో n = 3, 4, 5, 6 మరియు మరిగే బిందువుల సంబంధిత విలువలను వరుసగా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. మాకు ఉన్నాయి:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ బి.

ఉత్తమంగా నిర్ణయించడానికి aమరియు b అనేక విభిన్న పద్ధతులు ఉన్నాయి. వాటిలో సరళమైన వాటిని ఉపయోగించుకుందాం. b ద్వారా వ్యక్తీకరిద్దాం aఈ సమీకరణాల నుండి:

బి » – 42 – 3 a, బి "- 4 a, బి » 28 – 5 a, బి » 69 – 6 a.

ఈ విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును కావలసిన bగా తీసుకుందాం, అంటే, మేము b »16 – 4.5ని ఉంచుతాము. a. ఈ b విలువను అసలైన సమీకరణాల వ్యవస్థలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు, గణించడం a, మేము పొందుతాము aక్రింది విలువలు: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. అవసరమైన విధంగా తీసుకుందాం aఈ సంఖ్యల సగటు విలువ, అంటే, ఉంచుదాం a" 34. కాబట్టి, అవసరమైన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

y » 34n – 139.

అసలు నాలుగు సమ్మేళనాలపై మోడల్ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేద్దాం, దీని కోసం మేము ఫలిత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మరిగే పాయింట్లను లెక్కిస్తాము:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

అందువలన, ఈ సమ్మేళనాల కోసం ఈ ఆస్తిని లెక్కించడంలో లోపం 5 ° మించదు. n = 7 తో సమ్మేళనం యొక్క మరిగే బిందువును లెక్కించడానికి మేము ఫలిత సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము, ఇది అసలు సెట్‌లో చేర్చబడలేదు, దీని కోసం మేము ఈ సమీకరణంలో n = 7ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: y р (7) = 99°. ఫలితం చాలా ఖచ్చితమైనది: మరిగే బిందువు యొక్క ప్రయోగాత్మక విలువ y e (7) = 98° అని తెలిసింది.

7) ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ యొక్క విశ్వసనీయతను నిర్ణయించే సమస్య.

ఇక్కడ మేము సంభావ్య నమూనా యొక్క ఉదాహరణను పరిశీలిస్తాము. మొదట, మేము సంభావ్యత సిద్ధాంతం నుండి కొంత సమాచారాన్ని అందజేస్తాము - ప్రయోగాలు పునరావృతమయ్యే సమయంలో గమనించిన యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాల నమూనాలను అధ్యయనం చేసే గణిత క్రమశిక్షణ. మనం ఒక యాదృచ్ఛిక సంఘటన A ని కొన్ని ప్రయోగం యొక్క సాధ్యమైన ఫలితం అని పిలుద్దాం. ఈవెంట్స్ A 1, ..., A k వాటిలో ఒకటి తప్పనిసరిగా ప్రయోగం ఫలితంగా సంభవించినట్లయితే పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఈవెంట్‌లు ఒక అనుభవంలో ఏకకాలంలో జరగకపోతే వాటిని అననుకూలమైనవి అంటారు. ప్రయోగం యొక్క n-రెట్లు పునరావృతం సమయంలో ఈవెంట్ A m సార్లు జరగనివ్వండి. ఈవెంట్ A యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ W = సంఖ్య. సహజంగానే, n ప్రయోగాల శ్రేణిని నిర్వహించే వరకు W విలువ ఖచ్చితంగా అంచనా వేయబడదు. అయితే, యాదృచ్ఛిక సంఘటనల స్వభావం ఆచరణలో ఈ క్రింది ప్రభావాన్ని కొన్నిసార్లు గమనించవచ్చు: ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, విలువ ఆచరణాత్మకంగా యాదృచ్ఛికంగా ఉండదు మరియు కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఖ్య P(A) చుట్టూ స్థిరీకరించబడుతుంది, దీనిని సంభావ్యత అని పిలుస్తారు. ఈవెంట్ A. అసాధ్యమైన సంఘటన కోసం (ఇది ఒక ప్రయోగంలో ఎప్పుడూ జరగదు) P(A)=0, మరియు నమ్మదగిన సంఘటన కోసం (ఇది ఎల్లప్పుడూ అనుభవంలో జరుగుతుంది) P(A)=1. ఈవెంట్‌లు A 1 , ..., A k పూర్తి అననుకూల ఈవెంట్‌ల సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకుంటే, P(A 1)+...+P(A k)=1.

ఉదాహరణకు, ప్రయోగంలో ఒక పాచికలు వేయడం మరియు పాయింట్ల సంఖ్యను గమనించడం వంటివి ఉంటాయి, ఆపై మేము ఈ క్రింది యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను పరిచయం చేయవచ్చు A i = (X = i), i = 1, ..., 6. సరిపోని సమాన సంభావ్య సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది, కాబట్టి P(A i) = (i = 1, ..., 6).

సంఘటనల మొత్తం A మరియు B అనేది ఈవెంట్ A + B, ఇది అనుభవంలో కనీసం ఒకదైనా సంభవిస్తుంది. సంఘటనలు A మరియు B యొక్క ఉత్పత్తి AB ఈవెంట్, ఇది ఈ సంఘటనల ఏకకాల సంఘటనను కలిగి ఉంటుంది. స్వతంత్ర సంఘటనలు A మరియు B కోసం, క్రింది సూత్రాలు నిజం:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) ఇప్పుడు ఈ క్రింది వాటిని పరిశీలిద్దాం పని. మూడు మూలకాలు ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్‌కు సిరీస్‌లో అనుసంధానించబడి, ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయని అనుకుందాం. 1వ, 2వ మరియు 3వ మూలకాల యొక్క వైఫల్య సంభావ్యత వరుసగా P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2కి సమానం. సర్క్యూట్‌లో కరెంట్ ఉండని సంభావ్యత 0.4 కంటే ఎక్కువ కానట్లయితే మేము సర్క్యూట్ నమ్మదగినదిగా పరిగణిస్తాము. ఇచ్చిన సర్క్యూట్ నమ్మదగినదో లేదో నిర్ణయించడం అవసరం.

మూలకాలు శ్రేణిలో అనుసంధానించబడినందున, కనీసం ఒక మూలకం విఫలమైతే సర్క్యూట్ (ఈవెంట్ A)లో కరెంట్ ఉండదు. i-వ మూలకం పనిచేసే సంఘటన A iగా ఉండనివ్వండి (i = 1, 2, 3). అప్పుడు P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. సహజంగానే, A 1 A 2 A 3 అనేది మూడు అంశాలు ఏకకాలంలో పనిచేసే ఒక సంఘటన, మరియు

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

అప్పుడు P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, కాబట్టి P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

ముగింపులో, గణిత నమూనాల (ఫంక్షనల్ మరియు స్ట్రక్చరల్, డెటర్మినిస్టిక్ మరియు ప్రాబబిలిస్టిక్‌తో సహా) ఇచ్చిన ఉదాహరణలు ప్రకృతిలో దృష్టాంతమైనవి మరియు సహజ శాస్త్రాలు మరియు మానవీయ శాస్త్రాలలో ఉత్పన్నమయ్యే వివిధ రకాల గణిత నమూనాలను నిర్వీర్యం చేయవని మేము గమనించాము.

ఉపన్యాసం 1.

మోడలింగ్ యొక్క మెథడాలాజికల్ బేసిక్స్

సిస్టమ్ మోడలింగ్ సమస్య యొక్క ప్రస్తుత స్థితి

మోడలింగ్ మరియు సిమ్యులేషన్ కాన్సెప్ట్స్

మోడలింగ్అధ్యయనంలో ఉన్న వస్తువును (అసలు) దాని సంప్రదాయ చిత్రం, వివరణ లేదా ఇతర వస్తువుతో భర్తీ చేయడంగా పరిగణించవచ్చు మోడల్మరియు కొన్ని అంచనాలు మరియు ఆమోదయోగ్యమైన లోపాల ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో అసలైన దానికి దగ్గరగా ప్రవర్తనను అందించడం. మోడలింగ్ సాధారణంగా దాని నమూనాను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా అసలైన లక్షణాలను అర్థం చేసుకునే లక్ష్యంతో నిర్వహించబడుతుంది మరియు వస్తువును కాదు. వాస్తవానికి, మోడలింగ్ అసలైనదాన్ని సృష్టించడం కంటే సరళంగా ఉన్నప్పుడు లేదా కొన్ని కారణాల వల్ల అసలైనదాన్ని సృష్టించకపోవడమే మంచిది.

కింద మోడల్భౌతిక లేదా నైరూప్య వస్తువుగా అర్థం చేసుకోవచ్చు, దీని లక్షణాలు ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో అధ్యయనంలో ఉన్న వస్తువు యొక్క లక్షణాలకు సమానంగా ఉంటాయి, ఈ సందర్భంలో, మోడల్ యొక్క అవసరాలు పరిష్కరించబడుతున్న సమస్య మరియు అందుబాటులో ఉన్న మార్గాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి. నమూనాల కోసం అనేక సాధారణ అవసరాలు ఉన్నాయి:

2) సంపూర్ణత - గ్రహీతకు అవసరమైన మొత్తం సమాచారాన్ని అందించడం

వస్తువు గురించి;

3) వశ్యత - ప్రతిదానిలో విభిన్న పరిస్థితులను పునరుత్పత్తి చేయగల సామర్థ్యం

పరిస్థితులు మరియు పారామితులలో మార్పుల శ్రేణి;

4) అభివృద్ధి యొక్క సంక్లిష్టత ఇప్పటికే ఉన్న వాటికి ఆమోదయోగ్యంగా ఉండాలి

సమయం మరియు సాఫ్ట్‌వేర్.

మోడలింగ్ఒక వస్తువు యొక్క నమూనాను నిర్మించడం మరియు నమూనాను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా దాని లక్షణాలను అధ్యయనం చేసే ప్రక్రియ.

అందువలన, మోడలింగ్ 2 ప్రధాన దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1) నమూనా అభివృద్ధి;

2) మోడల్ మరియు డ్రాయింగ్ ముగింపుల అధ్యయనం.

అదే సమయంలో, ప్రతి దశలో వివిధ పనులు పరిష్కరించబడతాయి మరియు

ముఖ్యంగా వివిధ పద్ధతులు మరియు మార్గాలు.

ఆచరణలో, వివిధ మోడలింగ్ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి. అమలు పద్ధతిపై ఆధారపడి, అన్ని నమూనాలను రెండు పెద్ద తరగతులుగా విభజించవచ్చు: భౌతిక మరియు గణిత.

గణిత మోడలింగ్ఇది సాధారణంగా వాటి గణిత నమూనాలను ఉపయోగించి ప్రక్రియలు లేదా దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేసే సాధనంగా పరిగణించబడుతుంది.

కింద భౌతిక మోడలింగ్భౌతిక నమూనాలపై వస్తువులు మరియు దృగ్విషయాల అధ్యయనాన్ని సూచిస్తుంది, అధ్యయనం చేయబడిన ప్రక్రియ దాని భౌతిక స్వభావాన్ని సంరక్షించేటప్పుడు పునరుత్పత్తి చేయబడినప్పుడు లేదా అధ్యయనం చేయబడిన దానికి సమానమైన మరొక భౌతిక దృగ్విషయం ఉపయోగించబడుతుంది. ఇందులో భౌతిక నమూనాలునియమం ప్రకారం, వారు ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితిలో ముఖ్యమైన భౌతిక లక్షణాల యొక్క నిజమైన స్వరూపాన్ని ఊహిస్తారు, ఉదాహరణకు, ఒక కొత్త విమానాన్ని రూపొందించేటప్పుడు, అదే ఏరోడైనమిక్ లక్షణాలను కలిగి ఉన్న మాక్-అప్ సృష్టించబడుతుంది; అభివృద్ధిని ప్లాన్ చేస్తున్నప్పుడు, వాస్తుశిల్పులు దాని మూలకాల యొక్క ప్రాదేశిక అమరికను ప్రతిబింబించే నమూనాను తయారు చేస్తారు. ఈ విషయంలో, ఫిజికల్ మోడలింగ్ అని కూడా పిలుస్తారు ప్రోటోటైపింగ్.

హాఫ్ లైఫ్ మోడలింగ్మోడల్‌లో నిజమైన పరికరాలను చేర్చడంతో మోడలింగ్ కాంప్లెక్స్‌లపై నియంత్రించదగిన సిస్టమ్‌ల అధ్యయనం. నిజమైన పరికరాలతో పాటు, క్లోజ్డ్ మోడల్‌లో ప్రభావాలు మరియు జోక్యం యొక్క అనుకరణ యంత్రాలు, బాహ్య వాతావరణం యొక్క గణిత నమూనాలు మరియు తగినంత ఖచ్చితమైన గణిత వివరణ తెలియని ప్రక్రియలు ఉన్నాయి. మోడలింగ్ సంక్లిష్ట ప్రక్రియల సర్క్యూట్‌లో నిజమైన పరికరాలు లేదా వాస్తవ వ్యవస్థలను చేర్చడం వలన ముందస్తు అనిశ్చితిని తగ్గించడం మరియు ఖచ్చితమైన గణిత వివరణ లేని ప్రక్రియలను అన్వేషించడం సాధ్యపడుతుంది. సెమీ-నేచురల్ మోడలింగ్ ఉపయోగించి, చిన్న సమయ స్థిరాంకాలు మరియు నిజమైన పరికరాలలో అంతర్లీనంగా ఉన్న సరళతలను పరిగణనలోకి తీసుకొని పరిశోధన జరుగుతుంది. నిజమైన పరికరాలను ఉపయోగించి నమూనాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, భావన ఉపయోగించబడుతుంది డైనమిక్ అనుకరణ, సంక్లిష్ట వ్యవస్థలు మరియు దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు - పరిణామాత్మకమైన, అనుకరణమరియు సైబర్నెటిక్ మోడలింగ్.

సహజంగానే, మోడలింగ్ యొక్క నిజమైన ప్రయోజనం రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే మాత్రమే పొందవచ్చు:

1) మోడల్ లక్షణాల యొక్క సరైన (తగినంత) ప్రదర్శనను అందిస్తుంది

అధ్యయనంలో ఉన్న ఆపరేషన్ కోణం నుండి అసలైనది, ముఖ్యమైనది;

2) పైన పేర్కొన్న సమస్యలను అంతర్గతంగా తొలగించడానికి మోడల్ మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది

నిజమైన వస్తువులపై పరిశోధన నిర్వహించడం.

2. గణిత మోడలింగ్ యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

గణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడం సమస్యను సూత్రీకరించడం (గణిత నమూనాను అభివృద్ధి చేయడం), ఫలిత గణిత నమూనాను అధ్యయనం చేయడానికి ఒక పద్ధతిని ఎంచుకోవడం మరియు పొందిన గణిత ఫలితాన్ని విశ్లేషించడం ద్వారా స్థిరంగా నిర్వహించబడుతుంది. సమస్య యొక్క గణిత సూత్రీకరణ సాధారణంగా రేఖాగణిత చిత్రాలు, విధులు, సమీకరణాల వ్యవస్థలు మొదలైన వాటి రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. ఒక వస్తువు (దృగ్విషయం) యొక్క వివరణను నిరంతర లేదా వివిక్త, నిర్ణయాత్మక లేదా యాదృచ్ఛిక మరియు ఇతర గణిత రూపాలను ఉపయోగించి సూచించవచ్చు.

గణిత నమూనా సిద్ధాంతంపరిసర ప్రపంచంలో వివిధ దృగ్విషయాలు సంభవించే నమూనాల గుర్తింపును లేదా పూర్తి స్థాయి పరీక్షలను నిర్వహించకుండా వాటి గణిత వివరణ మరియు మోడలింగ్ ద్వారా సిస్టమ్‌లు మరియు పరికరాల ఆపరేషన్‌ను నిర్ధారిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, గణితశాస్త్రం యొక్క నిబంధనలు మరియు చట్టాలు ఉపయోగించబడతాయి, ఇవి అనుకరణ దృగ్విషయాలు, సిస్టమ్‌లు లేదా పరికరాలను వాటి ఆదర్శీకరణ యొక్క కొంత స్థాయిలో వివరిస్తాయి.

గణిత నమూనా (MM)కొన్ని నైరూప్య భాషలో సిస్టమ్ (లేదా ఆపరేషన్) యొక్క అధికారిక వివరణ, ఉదాహరణకు, గణిత సంబంధాల సమితి లేదా అల్గోరిథం రేఖాచిత్రం రూపంలో, అనగా. అంటే సిస్టమ్‌లు లేదా పరికరాల పూర్తి స్థాయి పరీక్ష సమయంలో పొందిన వాటి వాస్తవ ప్రవర్తనకు తగినంత దగ్గరగా ఉన్న స్థాయిలో సిస్టమ్‌లు లేదా పరికరాల ఆపరేషన్ యొక్క అనుకరణను అందించే అటువంటి గణిత వివరణ.

ఏదైనా MM వాస్తవిక వస్తువు, దృగ్విషయం లేదా ప్రక్రియను వాస్తవికతకు కొంత అంచనాతో వివరిస్తుంది. MM రకం నిజమైన వస్తువు యొక్క స్వభావం మరియు అధ్యయనం యొక్క లక్ష్యాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

గణిత మోడలింగ్సామాజిక, ఆర్థిక, జీవ మరియు భౌతిక దృగ్విషయాలు, వస్తువులు, వ్యవస్థలు మరియు వివిధ పరికరాలు ప్రకృతిని అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు అనేక రకాల వ్యవస్థలు మరియు పరికరాలను రూపొందించడానికి అత్యంత ముఖ్యమైన సాధనాలలో ఒకటి. అణు సాంకేతికతలు, ఏవియేషన్ మరియు ఏరోస్పేస్ వ్యవస్థల సృష్టిలో, వాతావరణ మరియు సముద్రపు దృగ్విషయాలు, వాతావరణం మొదలైనవాటిని అంచనా వేయడంలో మోడలింగ్ యొక్క ప్రభావవంతమైన ఉపయోగం యొక్క ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

అయినప్పటికీ, మోడలింగ్ మరియు దాని డీబగ్గింగ్ కోసం డేటాను సిద్ధం చేయడానికి మోడలింగ్ యొక్క అటువంటి తీవ్రమైన రంగాలకు తరచుగా సూపర్ కంప్యూటర్లు మరియు శాస్త్రవేత్తల యొక్క పెద్ద బృందాలు సంవత్సరాలు పని చేయాల్సి ఉంటుంది. అయితే, ఈ సందర్భంలో, సంక్లిష్ట వ్యవస్థలు మరియు పరికరాల గణిత మోడలింగ్ పరిశోధన మరియు పరీక్షలపై డబ్బును ఆదా చేయడమే కాకుండా, పర్యావరణ విపత్తులను కూడా తొలగించగలదు - ఉదాహరణకు, అణు మరియు థర్మోన్యూక్లియర్ ఆయుధాల పరీక్షను వారి గణిత మోడలింగ్‌కు అనుకూలంగా వదిలివేయడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. లేదా ఏరోస్పేస్ సిస్టమ్‌లను వాటి వాస్తవ విమానాల మధ్య పరీక్షించడం వలన, మెకానిక్స్, ఎలక్ట్రికల్ ఇంజినీరింగ్, ఎలక్ట్రానిక్స్, రేడియో ఇంజినీరింగ్ మరియు సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీలోని అనేక ఇతర రంగాల నుండి సరళమైన సమస్యలను పరిష్కరించే స్థాయిలో గణిత మోడలింగ్ ఇప్పుడు మారింది. ఆధునిక PCలలో నిర్వహించడానికి అందుబాటులో ఉంది. మరియు సాధారణీకరించిన నమూనాలను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, చాలా క్లిష్టమైన వ్యవస్థలను అనుకరించడం సాధ్యమవుతుంది, ఉదాహరణకు, టెలికమ్యూనికేషన్ సిస్టమ్స్ మరియు నెట్‌వర్క్‌లు, రాడార్ లేదా రేడియో నావిగేషన్ సిస్టమ్‌లు.

గణిత నమూనా యొక్క ఉద్దేశ్యంగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి వాస్తవ ప్రక్రియల (ప్రకృతి లేదా సాంకేతికతలో) విశ్లేషణ. ప్రతిగా, MM ప్రక్రియ యొక్క అధికారికీకరణను అధ్యయనం చేయవలసి ఉంటుంది, మోడల్ అనేది వాస్తవిక వ్యవస్థ యొక్క ప్రవర్తనను పోలి ఉండే గణిత వ్యక్తీకరణగా ఉంటుంది ఇద్దరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ "ఆటగాళ్ళు" సాధ్యమయ్యే చర్యలు, ఉదాహరణకు, థియరీ గేమ్‌లలో; లేదా ఇది ఆపరేటింగ్ సిస్టమ్ యొక్క ఇంటర్‌కనెక్టడ్ భాగాల యొక్క నిజమైన వేరియబుల్‌లను సూచిస్తుంది.

వ్యవస్థల లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడానికి గణిత నమూనాను విశ్లేషణాత్మక, అనుకరణ మరియు కలయికగా విభజించవచ్చు. ప్రతిగా, MMలు అనుకరణ మరియు విశ్లేషణాత్మకంగా విభజించబడ్డాయి.

విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్

కోసం విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్వ్యవస్థ యొక్క పనితీరు యొక్క ప్రక్రియలు కొన్ని ఫంక్షనల్ రిలేషన్స్ (బీజగణిత, అవకలన, సమగ్ర సమీకరణాలు) రూపంలో వ్రాయబడతాయి. విశ్లేషణాత్మక నమూనా క్రింది పద్ధతులను ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయవచ్చు:

1) విశ్లేషణాత్మక, వారు సాధారణ రూపంలో, వ్యవస్థల లక్షణాల కోసం స్పష్టమైన డిపెండెన్సీలను పొందేందుకు ప్రయత్నించినప్పుడు;

2) సంఖ్యాపరంగా, సాధారణ రూపంలో సమీకరణాలకు పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం సాధ్యం కానప్పుడు మరియు అవి నిర్దిష్ట ప్రారంభ డేటా కోసం పరిష్కరించబడతాయి;

3) గుణాత్మకమైనది, పరిష్కారం లేనప్పుడు దాని లక్షణాలు కొన్ని కనుగొనబడ్డాయి.

సాపేక్షంగా సాధారణ వ్యవస్థల కోసం మాత్రమే విశ్లేషణాత్మక నమూనాలను పొందవచ్చు. సంక్లిష్ట వ్యవస్థల కోసం, పెద్ద గణిత సమస్యలు తరచుగా తలెత్తుతాయి. విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి, వారు అసలు నమూనా యొక్క ముఖ్యమైన సరళీకరణకు వెళతారు. అయినప్పటికీ, సరళీకృత నమూనాను ఉపయోగించి పరిశోధన సూచనాత్మక ఫలితాలను మాత్రమే పొందడంలో సహాయపడుతుంది. విశ్లేషణాత్మక నమూనాలు ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ వేరియబుల్స్ మరియు పారామితుల మధ్య సంబంధాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా సరిగ్గా ప్రతిబింబిస్తాయి. కానీ వాటి నిర్మాణం వస్తువు యొక్క అంతర్గత నిర్మాణాన్ని ప్రతిబింబించదు.

విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్ సమయంలో, దాని ఫలితాలు విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణల రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి. ఉదాహరణకు, కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా ఆర్.సి.- స్థిరమైన వోల్టేజ్ మూలానికి సర్క్యూట్ ఇ(ఆర్, సిమరియు ఇ- ఈ మోడల్ యొక్క భాగాలు), వోల్టేజ్ యొక్క సమయ ఆధారపడటం కోసం మేము ఒక విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణను సృష్టించవచ్చు u(t) కెపాసిటర్‌పై సి:

ఈ లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ (DE) అనేది ఈ సాధారణ లీనియర్ సర్క్యూట్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక నమూనా. దీని విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం, ప్రారంభ పరిస్థితిలో u(0) = 0, అంటే డిస్చార్జ్డ్ కెపాసిటర్ సిమోడలింగ్ ప్రారంభంలో, మీరు కోరుకున్న ఆధారపడటాన్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది - సూత్రం రూపంలో:

u(t) = ఇ(1− ఉదాp(- t/RC)). (2)

అయినప్పటికీ, ఈ సరళమైన ఉదాహరణలో కూడా, DE (1)ని పరిష్కరించడానికి లేదా దరఖాస్తు చేయడానికి కొన్ని ప్రయత్నాలు అవసరం కంప్యూటర్ గణిత వ్యవస్థలు(SCM) సింబాలిక్ లెక్కలతో – కంప్యూటర్ బీజగణిత వ్యవస్థలు. ఈ పూర్తిగా పనికిమాలిన కేసు కోసం, ఒక సరళ మోడలింగ్ సమస్యను పరిష్కరించడం ఆర్.సి.-సర్క్యూట్ చాలా సాధారణ రూపం యొక్క విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణను (2) ఇస్తుంది - ఏదైనా కాంపోనెంట్ రేటింగ్‌ల కోసం సర్క్యూట్ యొక్క ఆపరేషన్‌ను వివరించడానికి ఇది అనుకూలంగా ఉంటుంది ఆర్, సిమరియు ఇ, మరియు కెపాసిటర్ యొక్క ఘాతాంక ఛార్జ్‌ను వివరిస్తుంది సిఒక నిరోధకం ద్వారా ఆర్స్థిరమైన వోల్టేజ్ మూలం నుండి ఇ.

వాస్తవానికి, సాధారణ సరళ సర్క్యూట్‌లు, సిస్టమ్‌లు మరియు పరికరాల సాధారణ సైద్ధాంతిక నమూనాలను గుర్తించడానికి విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్ సమయంలో విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాలను కనుగొనడం చాలా విలువైనదిగా మారుతుంది, అయినప్పటికీ, మోడల్‌పై ప్రభావాలు మరింత క్లిష్టంగా మారడం మరియు క్రమం మరియు సంఖ్యతో దాని సంక్లిష్టత తీవ్రంగా పెరుగుతుంది మోడల్ చేయబడిన వస్తువు పెరుగుదలను వివరించే రాష్ట్ర సమీకరణాలు. మీరు రెండవ లేదా మూడవ క్రమంలో వస్తువులను మోడలింగ్ చేసినప్పుడు ఎక్కువ లేదా తక్కువ కనిపించే ఫలితాలను పొందవచ్చు, కానీ అధిక క్రమంలో, విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణలు చాలా గజిబిజిగా, సంక్లిష్టంగా మరియు అర్థం చేసుకోవడం కష్టంగా మారతాయి. ఉదాహరణకు, ఒక సాధారణ ఎలక్ట్రానిక్ యాంప్లిఫైయర్ కూడా తరచుగా డజన్ల కొద్దీ భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, అనేక ఆధునిక SCMలు, ఉదాహరణకు, సింబాలిక్ గణిత వ్యవస్థలు మాపుల్, మ్యాథమెటికాలేదా పర్యావరణం MATLAB, సంక్లిష్ట విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్ సమస్యల పరిష్కారాన్ని ఎక్కువగా ఆటోమేట్ చేయగలవు.

మోడలింగ్ యొక్క ఒక రకం సంఖ్యా నమూనా,ఆయులర్ లేదా రూంజ్-కుట్టా పద్ధతులు వంటి ఏదైనా తగిన సంఖ్యా పద్ధతి ద్వారా సిస్టమ్‌లు లేదా పరికరాల ప్రవర్తనపై అవసరమైన పరిమాణాత్మక డేటాను పొందడంలో ఇది ఉంటుంది. ఆచరణలో, వ్యక్తిగత ప్రైవేట్ లీనియర్ సర్క్యూట్‌లు, సిస్టమ్‌లు లేదా పరికరాల యొక్క విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్ కంటే సంఖ్యా పద్ధతులను ఉపయోగించి నాన్‌లీనియర్ సిస్టమ్‌లు మరియు పరికరాలను మోడలింగ్ చేయడం చాలా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, DE (1) లేదా DE వ్యవస్థలను మరింత సంక్లిష్టమైన సందర్భాలలో పరిష్కరించడానికి, విశ్లేషణాత్మక రూపంలో పరిష్కారం పొందడం సాధ్యం కాదు, కానీ సంఖ్యా అనుకరణ డేటాను ఉపయోగించి, మీరు అనుకరణ వ్యవస్థలు మరియు పరికరాల ప్రవర్తనపై పూర్తి డేటాను పొందవచ్చు. ఈ ప్రవర్తనను వివరించే డిపెండెన్సీల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడం.

అనుకరణ మోడలింగ్

వద్ద అనుకరణ 10 మరియు మోడలింగ్, మోడల్‌ను అమలు చేసే అల్గోరిథం కాలక్రమేణా సిస్టమ్ పనితీరు ప్రక్రియను పునరుత్పత్తి చేస్తుంది. ప్రక్రియను రూపొందించే ప్రాథమిక దృగ్విషయాలు అనుకరించబడతాయి, వాటి తార్కిక నిర్మాణం మరియు కాలక్రమేణా సంఘటనల క్రమాన్ని భద్రపరుస్తాయి.

విశ్లేషణాత్మకమైన వాటితో పోలిస్తే అనుకరణ నమూనాల యొక్క ప్రధాన ప్రయోజనం మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించగల సామర్థ్యం.

అనుకరణ నమూనాలు వివిక్త లేదా నిరంతర మూలకాలు, నాన్ లీనియర్ లక్షణాలు, యాదృచ్ఛిక ప్రభావాలు మొదలైన వాటి ఉనికిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడాన్ని సులభతరం చేస్తాయి. అందువల్ల, సంక్లిష్ట వ్యవస్థల రూపకల్పన దశలో ఈ పద్ధతి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. సిమ్యులేషన్ మోడలింగ్‌ను అమలు చేయడానికి ప్రధాన సాధనం కంప్యూటర్, ఇది సిస్టమ్‌లు మరియు సిగ్నల్‌ల డిజిటల్ మోడలింగ్‌ను అనుమతిస్తుంది.

ఈ విషయంలో, "" అనే పదబంధాన్ని నిర్వచిద్దాం. కంప్యూటర్ మోడలింగ్”, ఇది సాహిత్యంలో ఎక్కువగా ఉపయోగించబడుతుంది. అని అనుకుందాం కంప్యూటర్ మోడలింగ్కంప్యూటర్ టెక్నాలజీని ఉపయోగించి గణిత మోడలింగ్. దీని ప్రకారం, కంప్యూటర్ మోడలింగ్ టెక్నాలజీ కింది చర్యలను కలిగి ఉంటుంది:

1) మోడలింగ్ యొక్క ఉద్దేశ్యాన్ని నిర్ణయించడం;

2) సంభావిత నమూనా అభివృద్ధి;

3) మోడల్ యొక్క అధికారికీకరణ;

4) మోడల్ యొక్క సాఫ్ట్‌వేర్ అమలు;

5) నమూనా ప్రయోగాలను ప్లాన్ చేయడం;

6) ప్రయోగాత్మక ప్రణాళిక అమలు;

7) మోడలింగ్ ఫలితాల విశ్లేషణ మరియు వివరణ.

వద్ద అనుకరణ మోడలింగ్ఉపయోగించిన MM సిస్టమ్ పారామితులు మరియు బాహ్య వాతావరణం యొక్క వివిధ విలువల కలయిక కోసం కాలక్రమేణా అధ్యయనంలో ఉన్న సిస్టమ్ పనితీరు యొక్క అల్గోరిథం (“లాజిక్”) పునరుత్పత్తి చేస్తుంది.

సరళమైన విశ్లేషణాత్మక నమూనాకు ఉదాహరణ రెక్టిలినియర్ ఏకరీతి చలనం యొక్క సమీకరణం. అనుకరణ నమూనాను ఉపయోగించి అటువంటి ప్రక్రియను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, కాలక్రమేణా ప్రయాణించే మార్గంలో మార్పుల పరిశీలనను అమలు చేయాలి, కొన్ని సందర్భాల్లో విశ్లేషణాత్మక మోడలింగ్ మరింత ప్రాధాన్యతనిస్తుంది, ఇతరులలో - అనుకరణ (లేదా రెండింటి కలయిక). విజయవంతమైన ఎంపిక చేయడానికి, మీరు రెండు ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వాలి.

మోడలింగ్ యొక్క ప్రయోజనం ఏమిటి?

మోడల్ చేసిన దృగ్విషయాన్ని ఏ తరగతికి వర్గీకరించవచ్చు?

మోడలింగ్ యొక్క మొదటి రెండు దశలలో ఈ రెండు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు పొందవచ్చు.

అనుకరణ నమూనాలు లక్షణాలలో మాత్రమే కాకుండా, నిర్మాణంలో కూడా మోడల్ చేయబడిన వస్తువుకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, మోడల్‌పై పొందిన ప్రక్రియలు మరియు వస్తువు వద్ద సంభవించే ప్రక్రియల మధ్య స్పష్టమైన మరియు స్పష్టమైన అనురూప్యం ఉంది. అనుకరణ యొక్క ప్రతికూలత ఏమిటంటే, మంచి ఖచ్చితత్వాన్ని పొందడానికి సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా సమయం పడుతుంది.

యాదృచ్ఛిక వ్యవస్థ యొక్క ఆపరేషన్ యొక్క అనుకరణ నమూనా యొక్క ఫలితాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ లేదా ప్రక్రియల యొక్క సాక్షాత్కారాలు. అందువల్ల, సిస్టమ్ యొక్క లక్షణాలను కనుగొనడానికి, బహుళ పునరావృత్తులు మరియు తదుపరి డేటా ప్రాసెసింగ్ అవసరం. చాలా తరచుగా ఈ సందర్భంలో, ఒక రకమైన అనుకరణ ఉపయోగించబడుతుంది - గణాంకపరమైన

మోడలింగ్(లేదా మోంటే కార్లో పద్ధతి), అనగా. యాదృచ్ఛిక కారకాలు, సంఘటనలు, పరిమాణాలు, ప్రక్రియలు, నమూనాలలో ఫీల్డ్‌ల పునరుత్పత్తి.

గణాంక మోడలింగ్ ఫలితాల ఆధారంగా, నిర్వహించబడే వ్యవస్థ యొక్క పనితీరు మరియు సామర్థ్యాన్ని వర్గీకరించే సాధారణ మరియు నిర్దిష్టమైన సంభావ్య నాణ్యత ప్రమాణాల అంచనాలు నిర్ణయించబడతాయి. సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీ యొక్క వివిధ రంగాలలో శాస్త్రీయ మరియు అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి స్టాటిస్టికల్ మోడలింగ్ విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. సంక్లిష్ట డైనమిక్ సిస్టమ్‌ల అధ్యయనంలో, వాటి పనితీరు మరియు సామర్థ్యాన్ని అంచనా వేయడంలో గణాంక నమూనా పద్ధతులు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి.

స్టాటిస్టికల్ మోడలింగ్ యొక్క చివరి దశ పొందిన ఫలితాల గణిత ప్రాసెసింగ్ ఆధారంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ, గణిత గణాంకాల పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి (పారామెట్రిక్ మరియు నాన్‌పారామెట్రిక్ అంచనా, పరికల్పన పరీక్ష). పారామెట్రిక్ ఎస్టిమేటర్ యొక్క ఉదాహరణ పనితీరు కొలత యొక్క నమూనా సగటు. నాన్‌పారామెట్రిక్ పద్ధతులలో, విస్తృతమైనది హిస్టోగ్రాం పద్ధతి.

పరిగణించబడిన పథకం వ్యవస్థ యొక్క పునరావృత గణాంక పరీక్షలు మరియు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణాంకాల పద్ధతులపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఈ పథకం ఎల్లప్పుడూ ఆచరణలో సహజమైనది కాదు మరియు ఖర్చుల పరంగా సరైనది కాదు. మరింత ఖచ్చితమైన మూల్యాంకన పద్ధతులను ఉపయోగించడం ద్వారా సిస్టమ్ పరీక్ష సమయాన్ని తగ్గించడం సాధించవచ్చు. గణిత గణాంకాల నుండి తెలిసినట్లుగా, ప్రభావవంతమైన అంచనాలు ఇచ్చిన నమూనా పరిమాణానికి గొప్ప ఖచ్చితత్వాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఆప్టిమల్ ఫిల్టరింగ్ మరియు గరిష్ట సంభావ్యత పద్ధతి అటువంటి అంచనాలను పొందడం కోసం ఒక సాధారణ పద్ధతిని అందిస్తాయి గణాంక మోడలింగ్ సమస్యలలో, అవుట్‌పుట్ ప్రక్రియలను విశ్లేషించడానికి మాత్రమే కాకుండా యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియల ప్రాసెసింగ్ అమలు అవసరం.

ఇన్‌పుట్ యాదృచ్ఛిక ప్రభావాల లక్షణాల నియంత్రణ కూడా చాలా ముఖ్యం. నియంత్రణ అనేది అందించిన పంపిణీలతో ఉత్పత్తి చేయబడిన ప్రక్రియల పంపిణీల సమ్మతిని తనిఖీ చేయడం. ఈ సమస్య తరచుగా రూపొందించబడింది పరికల్పన పరీక్ష సమస్య.

సంక్లిష్ట నియంత్రిత వ్యవస్థల యొక్క కంప్యూటర్ మోడలింగ్‌లో సాధారణ ధోరణి మోడలింగ్ సమయాన్ని తగ్గించాలనే కోరిక, అలాగే నిజ సమయంలో పరిశోధన నిర్వహించడం. గణన అల్గారిథమ్‌లను పునరావృత రూపంలో సూచించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, ప్రస్తుత సమాచారం యొక్క రసీదు రేటుతో వాటి అమలును అనుమతిస్తుంది.

మోడలింగ్‌లో సిస్టమ్ అప్రోచ్ యొక్క సూత్రాలు

సిస్టమ్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు

డైనమిక్ సిస్టమ్స్ మరియు వాటి ఫంక్షనల్ ఎలిమెంట్స్ అధ్యయనం సమయంలో సిస్టమ్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు ఉద్భవించాయి. ముందుగా నిర్ణయించిన పనిని పూర్తి చేయడానికి కలిసి పనిచేసే ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించబడిన అంశాల సమూహంగా వ్యవస్థను అర్థం చేసుకోవచ్చు. సిస్టమ్స్ యొక్క విశ్లేషణ ఇచ్చిన పనిని నిర్వహించడానికి అత్యంత వాస్తవిక మార్గాలను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది, పేర్కొన్న అవసరాల యొక్క గరిష్ట సంతృప్తిని నిర్ధారిస్తుంది.

సిస్టమ్స్ సిద్ధాంతానికి ఆధారమైన అంశాలు పరికల్పనల ద్వారా సృష్టించబడవు, కానీ ప్రయోగాత్మకంగా కనుగొనబడ్డాయి. వ్యవస్థను నిర్మించడం ప్రారంభించడానికి, సాంకేతిక ప్రక్రియల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉండటం అవసరం. ఒక ప్రక్రియ లేదా దాని సైద్ధాంతిక వివరణ తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాల్సిన గణితశాస్త్ర సూత్రీకరణ ప్రమాణాలను రూపొందించే సూత్రాలకు సంబంధించి కూడా ఇది వర్తిస్తుంది. మోడలింగ్ అనేది శాస్త్రీయ పరిశోధన మరియు ప్రయోగాల యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన పద్ధతుల్లో ఒకటి.

వస్తువుల నమూనాలను నిర్మించేటప్పుడు, సిస్టమ్స్ విధానం ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్దతి, ఇది ఒక నిర్దిష్ట వాతావరణంలో పనిచేసే వ్యవస్థగా వస్తువును పరిగణించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక క్రమబద్ధమైన విధానం అనేది ఒక వస్తువు యొక్క సమగ్రతను బహిర్గతం చేయడం, దాని అంతర్గత నిర్మాణాన్ని గుర్తించడం మరియు అధ్యయనం చేయడం, అలాగే బాహ్య వాతావరణంతో సంబంధాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, వస్తువు వాస్తవ ప్రపంచంలో భాగంగా ప్రదర్శించబడుతుంది, ఇది మోడల్‌ను నిర్మించే సమస్యకు సంబంధించి వేరుచేయబడి అధ్యయనం చేయబడుతుంది. అదనంగా, సిస్టమ్స్ విధానం సాధారణ నుండి నిర్దిష్టమైన స్థిరమైన పరివర్తనను కలిగి ఉంటుంది, డిజైన్ లక్ష్యం పరిశీలనకు ఆధారం అయినప్పుడు మరియు వస్తువు పర్యావరణానికి సంబంధించి పరిగణించబడుతుంది.

సంక్లిష్టమైన వస్తువును ఉపవ్యవస్థలుగా విభజించవచ్చు, ఇవి క్రింది అవసరాలను తీర్చగల వస్తువు యొక్క భాగాలు:

1) సబ్‌సిస్టమ్ అనేది ఒక వస్తువు యొక్క క్రియాత్మకంగా స్వతంత్ర భాగం. ఇది ఇతర ఉపవ్యవస్థలతో అనుసంధానించబడి, వారితో సమాచారం మరియు శక్తిని మార్పిడి చేస్తుంది;

2) మొత్తం సిస్టమ్ యొక్క లక్షణాలతో ఏకీభవించని ప్రతి ఉపవ్యవస్థ విధులు లేదా లక్షణాలను నిర్వచించవచ్చు;

3) ప్రతి ఉపవ్యవస్థలు మూలకాల స్థాయికి మరింత విభజనకు లోబడి ఉంటాయి.

ఈ సందర్భంలో, ఒక మూలకం దిగువ-స్థాయి ఉపవ్యవస్థగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది, దీని యొక్క తదుపరి విభజన సమస్య పరిష్కారం యొక్క దృక్కోణం నుండి తగనిది.

ఈ విధంగా, ఒక వ్యవస్థను దాని సృష్టి, పరిశోధన లేదా మెరుగుదల కోసం ఉపవ్యవస్థలు, మూలకాలు మరియు కనెక్షన్‌ల సమితి రూపంలో ఒక వస్తువు యొక్క ప్రాతినిధ్యంగా నిర్వచించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ప్రధాన ఉపవ్యవస్థలు మరియు వాటి మధ్య ఉన్న కనెక్షన్‌లతో సహా సిస్టమ్ యొక్క విస్తారిత ప్రాతినిధ్యాన్ని మాక్రోస్ట్రక్చర్ అంటారు మరియు మూలకాల స్థాయికి వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత నిర్మాణాన్ని వివరంగా వెల్లడించడాన్ని మైక్రోస్ట్రక్చర్ అంటారు.

సిస్టమ్‌తో పాటు, సాధారణంగా ఒక సూపర్‌సిస్టమ్ ఉంటుంది - ఉన్నత స్థాయి వ్యవస్థ, ఇందులో ప్రశ్నలోని వస్తువు ఉంటుంది మరియు ఏదైనా సిస్టమ్ యొక్క పనితీరు సూపర్‌సిస్టమ్ ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది.

వ్యవస్థ యొక్క సామర్థ్యాన్ని గణనీయంగా ప్రభావితం చేసే బాహ్య ప్రపంచంలోని వస్తువుల సమితిగా పర్యావరణం యొక్క భావనను హైలైట్ చేయడం అవసరం, కానీ వ్యవస్థ మరియు దాని సూపర్ సిస్టమ్‌లో భాగం కాదు.

నమూనాలను నిర్మించడానికి సిస్టమ్స్ విధానానికి సంబంధించి, అవస్థాపన భావన ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది దాని పర్యావరణంతో (పర్యావరణము) వ్యవస్థ యొక్క సంబంధాన్ని వివరిస్తుంది, ఈ సందర్భంలో, ఒక వస్తువు యొక్క లక్షణాల గుర్తింపు, వివరణ మరియు అధ్యయనం అవసరం ఒక నిర్దిష్ట పని యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో వస్తువు యొక్క స్తరీకరణ అని పిలుస్తారు మరియు వస్తువు యొక్క ఏదైనా నమూనా దాని స్తరీకరించిన వివరణ.

సిస్టమ్స్ విధానం కోసం, సిస్టమ్ యొక్క నిర్మాణాన్ని గుర్తించడం చాలా ముఖ్యం, అనగా. సిస్టమ్ యొక్క మూలకాల మధ్య కనెక్షన్ల సమితి, వాటి పరస్పర చర్యను ప్రతిబింబిస్తుంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట మోడలింగ్‌కు నిర్మాణాత్మక మరియు క్రియాత్మక విధానాలను పరిశీలిస్తాము.

నిర్మాణాత్మక విధానంతో, సిస్టమ్ యొక్క ఎంచుకున్న అంశాల కూర్పు మరియు వాటి మధ్య కనెక్షన్లు వెల్లడి చేయబడతాయి. మూలకాలు మరియు కనెక్షన్ల సమితి వ్యవస్థ యొక్క నిర్మాణాన్ని నిర్ధారించడానికి అనుమతిస్తుంది. నిర్మాణం యొక్క అత్యంత సాధారణ వివరణ టోపోలాజికల్ వివరణ. ఇది గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క భాగాలను మరియు వాటి కనెక్షన్‌లను నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వ్యక్తిగత విధులు పరిగణించబడినప్పుడు ఫంక్షనల్ వివరణ తక్కువ సాధారణమైనది, అనగా, సిస్టమ్ యొక్క ప్రవర్తనకు అల్గారిథమ్‌లు. ఈ సందర్భంలో, సిస్టమ్ చేసే విధులను నిర్వచించే ఫంక్షనల్ విధానం అమలు చేయబడుతుంది.

సిస్టమ్స్ విధానం ఆధారంగా, మోడల్ డెవలప్‌మెంట్ యొక్క క్రమాన్ని ప్రతిపాదించవచ్చు, రెండు ప్రధాన డిజైన్ దశలు వేరు చేయబడినప్పుడు: మాక్రోడిజైన్ మరియు మైక్రోడిజైన్.

స్థూల-రూపకల్పన దశలో, బాహ్య వాతావరణం యొక్క నమూనా నిర్మించబడింది, వనరులు మరియు పరిమితులు గుర్తించబడతాయి, సమర్ధతను అంచనా వేయడానికి సిస్టమ్ మోడల్ మరియు ప్రమాణాలు ఎంపిక చేయబడతాయి.

మైక్రో-డిజైన్ దశ ఎక్కువగా ఎంచుకున్న మోడల్ రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సాధారణంగా, ఇది సమాచారం, గణిత, సాంకేతిక మరియు సాఫ్ట్‌వేర్ మోడలింగ్ వ్యవస్థల సృష్టిని కలిగి ఉంటుంది. ఈ దశలో, సృష్టించబడిన మోడల్ యొక్క ప్రధాన సాంకేతిక లక్షణాలు స్థాపించబడ్డాయి, దానితో పని చేయడానికి అవసరమైన సమయం మరియు మోడల్ యొక్క పేర్కొన్న నాణ్యతను పొందేందుకు వనరుల ఖర్చు అంచనా వేయబడుతుంది.

మోడల్ రకంతో సంబంధం లేకుండా, దానిని నిర్మించేటప్పుడు, క్రమబద్ధమైన విధానం యొక్క అనేక సూత్రాల ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయడం అవసరం:

1) మోడల్‌ను రూపొందించే దశల ద్వారా స్థిరమైన పురోగతి;

2) సమాచారం, వనరు, విశ్వసనీయత మరియు ఇతర లక్షణాల సమన్వయం;

3) మోడల్ నిర్మాణం యొక్క వివిధ స్థాయిల మధ్య సరైన సంబంధం;

4) మోడల్ డిజైన్ యొక్క వ్యక్తిగత దశల సమగ్రత.

ఉదాహరణ 1.5.1.

నిర్దిష్ట ఆర్థిక ప్రాంతం అనేక రకాల (n) రకాల ఉత్పత్తులను ప్రత్యేకంగా సొంతంగా మరియు ఈ ప్రాంతంలోని జనాభా కోసం మాత్రమే ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి. సాంకేతిక ప్రక్రియ పని చేయబడిందని మరియు ఈ వస్తువుల కోసం జనాభా యొక్క డిమాండ్ అధ్యయనం చేయబడిందని భావించబడుతుంది. ఉత్పత్తి ఉత్పత్తి యొక్క వార్షిక పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం, ఈ వాల్యూమ్ తుది మరియు పారిశ్రామిక వినియోగాన్ని అందించాలి అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది.

ఈ సమస్య యొక్క గణిత నమూనాను రూపొందిద్దాం. దాని షరతుల ప్రకారం, కిందివి ఇవ్వబడ్డాయి: ఉత్పత్తుల రకాలు, వాటికి డిమాండ్ మరియు సాంకేతిక ప్రక్రియ; మీరు ప్రతి రకమైన ఉత్పత్తి యొక్క అవుట్‌పుట్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనాలి.

తెలిసిన పరిమాణాలను సూచిస్తాము:

సి i- జనాభా డిమాండ్ iవ ఉత్పత్తి ( i=1,...,n); a ij- పరిమాణం iఇచ్చిన సాంకేతికతను ఉపయోగించి j వ ఉత్పత్తి యొక్క యూనిట్‌ను ఉత్పత్తి చేయడానికి అవసరమైన వ ఉత్పత్తి ( i=1,...,n ; జె=1,...,n);

X i - అవుట్పుట్ వాల్యూమ్ i-వ ఉత్పత్తి ( i=1,...,n); సంపూర్ణత తో =(సి 1 ,..., సి n ) డిమాండ్ వెక్టర్, సంఖ్యలు అని a ij- సాంకేతిక గుణకాలు మరియు మొత్తం X =(X 1 ,..., X n ) - విడుదల వెక్టర్.

సమస్య పరిస్థితుల ప్రకారం, వెక్టర్ X రెండు భాగాలుగా పంపిణీ చేయబడింది: తుది వినియోగం కోసం (వెక్టర్ తో ) మరియు పునరుత్పత్తి కోసం (వెక్టర్ x-s ) వెక్టర్ యొక్క ఆ భాగాన్ని గణిద్దాం X ఇది పునరుత్పత్తికి వెళుతుంది. ఉత్పత్తి కోసం మా హోదాల ప్రకారం X జెసరఫరా చేయబడిన jth ఉత్పత్తి పరిమాణం a ij · X జెపరిమాణంలో i-వ ఉత్పత్తి.

అప్పుడు మొత్తం a i1 · X 1 +...+ a లో · X nఆ విలువను చూపుతుంది i-వ ఉత్పత్తి, ఇది మొత్తం విడుదలకు అవసరం X =(X 1 ,..., X n ).

కాబట్టి, సమానత్వం సంతృప్తి చెందాలి:

ఈ తర్కాన్ని అన్ని రకాల ఉత్పత్తులకు విస్తరింపజేస్తూ, మేము కోరుకున్న మోడల్‌కి చేరుకుంటాము:

కోసం ఈ n లీనియర్ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం X 1 ,..., X nమరియు అవసరమైన విడుదల వెక్టర్‌ను కనుగొనండి.

ఈ నమూనాను మరింత కాంపాక్ట్ (వెక్టర్) రూపంలో వ్రాయడానికి, మేము ఈ క్రింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేస్తాము:

చతురస్రం (
) -మాతృక ఎటెక్నాలజీ మ్యాట్రిక్స్ అని పిలుస్తారు. మా మోడల్ ఇప్పుడు ఇలా వ్రాయబడిందో లేదో తనిఖీ చేయడం సులభం: x-s=ఆహ్లేదా

(1.6)

మేము క్లాసిక్ మోడల్‌ని అందుకున్నాము " ఇన్పుట్ - అవుట్పుట్ ", దీని రచయిత ప్రసిద్ధ అమెరికన్ ఆర్థికవేత్త V. లియోన్టీవ్.

ఉదాహరణ 1.5.2.

చమురు శుద్ధి కర్మాగారంలో రెండు రకాల నూనెలు ఉన్నాయి: గ్రేడ్ ఎ 10 యూనిట్ల మొత్తంలో, గ్రేడ్ IN- 15 యూనిట్లు. చమురును శుద్ధి చేసేటప్పుడు, రెండు పదార్థాలు లభిస్తాయి: గ్యాసోలిన్ (మేము సూచిస్తాము బి) మరియు ఇంధన చమురు ( ఎం) ప్రాసెసింగ్ సాంకేతిక ప్రక్రియ కోసం మూడు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

I: 1 యూనిట్ ఎ+ 2 యూనిట్లు IN 3 యూనిట్లు ఇస్తుంది. బి+ 2 యూనిట్లు ఎం

II: 2 యూనిట్లు. ఎ+ 1 యూనిట్ IN 1 యూనిట్ ఇస్తుంది. బి+ 5 యూనిట్లు ఎం

III: 2 యూనిట్లు ఎ+ 2 యూనిట్లు IN 1 యూనిట్ ఇస్తుంది. బి+ 2 యూనిట్లు ఎం

గ్యాసోలిన్ ధర యూనిట్కు $ 10, ఇంధన చమురు యూనిట్కు $ 1.

అందుబాటులో ఉన్న చమురును ప్రాసెస్ చేయడానికి సాంకేతిక ప్రక్రియల యొక్క అత్యంత ప్రయోజనకరమైన కలయికను నిర్ణయించడం అవసరం.

మోడలింగ్ చేయడానికి ముందు, ఈ క్రింది అంశాలను స్పష్టం చేద్దాం. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి, ప్లాంట్ కోసం సాంకేతిక ప్రక్రియ యొక్క "లాభదాయకత" దాని తుది ఉత్పత్తుల (గ్యాసోలిన్ మరియు ఇంధన చమురు) అమ్మకం నుండి గరిష్ట ఆదాయాన్ని పొందడం అనే అర్థంలో అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ విషయంలో, మొక్క యొక్క "ఎంపిక (తయారీ) నిర్ణయం" ఏ సాంకేతికతను వర్తింపజేయాలి మరియు ఎన్ని సార్లు నిర్ణయించడంలో ఉంటుంది. సహజంగానే, అటువంటి సాధ్యం ఎంపికలు చాలా ఉన్నాయి.

తెలియని పరిమాణాలను సూచిస్తాము:

X i- ఉపయోగం మొత్తం iసాంకేతిక ప్రక్రియ (i=1,2,3). ఇతర మోడల్ పారామితులు (చమురు నిల్వలు, గ్యాసోలిన్ మరియు ఇంధన చమురు ధరలు) తెలిసిన.

ఇప్పుడు ఒక నిర్దిష్ట మొక్క నిర్ణయం ఒక వెక్టర్‌ను ఎంచుకోవడానికి వస్తుంది X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , దీని కోసం ప్లాంట్ ఆదాయం సమానంగా ఉంటుంది (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) ఇక్కడ, 32 డాలర్లు మొదటి సాంకేతిక ప్రక్రియ ($10 3 యూనిట్లు) యొక్క ఒక అప్లికేషన్ నుండి వచ్చిన ఆదాయం. బి+ 1 డాలర్ ·2 యూనిట్లు. ఎం= $32). రెండవ మరియు మూడవ సాంకేతిక ప్రక్రియలకు వరుసగా గుణకాలు 15 మరియు 12 ఒకే విధమైన అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి. చమురు నిల్వలను లెక్కించడం క్రింది పరిస్థితులకు దారితీస్తుంది:

వివిధ కోసం ఎ:

వివిధ కోసం IN:,

మొదటి అసమానత గుణకాలలో 1, 2, 2 సాంకేతిక ప్రక్రియల యొక్క ఒక-పర్యాయ ఉపయోగం కోసం గ్రేడ్ A చమురు యొక్క వినియోగ రేట్లు I,II,IIIవరుసగా. రెండవ అసమానత యొక్క గుణకాలు గ్రేడ్ B చమురుకు సమానమైన అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

మొత్తంగా గణిత నమూనా రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

అటువంటి వెక్టర్‌ను కనుగొనండి x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) గరిష్టీకరించడానికి

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

కింది షరతులకు లోబడి:

ఈ ఎంట్రీ యొక్క సంక్షిప్త రూపం:

పరిమితుల క్రింద

(1.7)

మేము లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ సమస్య అని పిలవబడ్డాము.

మోడల్ (1.7.) అనేది నిర్ణయాత్మక రకం (బాగా నిర్వచించబడిన అంశాలతో) యొక్క ఆప్టిమైజేషన్ మోడల్‌కి ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ 1.5.3.

పెట్టుబడిదారుడు తనకు తక్కువ రిస్క్‌తో నిర్దిష్ట లాభాలను పొందేందుకు కొంత మొత్తానికి కొనుగోలు చేయడానికి స్టాక్‌లు, బాండ్‌లు మరియు ఇతర సెక్యూరిటీల యొక్క ఉత్తమ మిశ్రమాన్ని నిర్ణయించాలి. సెక్యూరిటీలో పెట్టుబడి పెట్టిన డాలర్‌కు లాభం జె- రకం, రెండు సూచికల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది: ఆశించిన లాభం మరియు వాస్తవ లాభం. పెట్టుబడిదారునికి, ఒక డాలర్ పెట్టుబడికి ఆశించిన లాభం మొత్తం సెక్యూరిటీల సెట్‌కి ఇచ్చిన విలువ కంటే తక్కువగా ఉండకపోవడం మంచిది. బి.

ఈ సమస్యను సరిగ్గా రూపొందించడానికి, సెక్యూరిటీల పోర్ట్‌ఫోలియో థియరీ రంగంలో గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు నిర్దిష్ట ప్రాథమిక జ్ఞానం కలిగి ఉండాలని గమనించండి.

సమస్య యొక్క తెలిసిన పారామితులను సూచిస్తాము:

n- సెక్యూరిటీల రకాల సంఖ్య; ఎ జె- j-th రకం భద్రత నుండి వాస్తవ లాభం (యాదృచ్ఛిక సంఖ్య); - నుండి ఆశించిన లాభం జె-వ రకం భద్రత.

తెలియని పరిమాణాలను సూచిస్తాము :

వై జె - రకం సెక్యూరిటీల కొనుగోలు కోసం నిధులు కేటాయించబడ్డాయి జె.

మా సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, మొత్తం పెట్టుబడి మొత్తం ఇలా వ్యక్తీకరించబడుతుంది . మోడల్‌ను సరళీకృతం చేయడానికి, మేము కొత్త పరిమాణాలను పరిచయం చేస్తాము

.

ఈ విధంగా, X i- ఇది రకం సెక్యూరిటీల కొనుగోలు కోసం కేటాయించిన అన్ని నిధుల వాటా జె.

అన్నది స్పష్టం

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి, పెట్టుబడిదారుడి లక్ష్యం తక్కువ రిస్క్‌తో నిర్దిష్ట స్థాయి లాభాలను సాధించడం అని స్పష్టమవుతుంది. సారాంశంలో, రిస్క్ అనేది ఆశించిన దాని నుండి వాస్తవ లాభం యొక్క విచలనం యొక్క కొలత. అందువల్ల, ఇది టైప్ i మరియు టైప్ j యొక్క సెక్యూరిటీల కోసం లాభాల యొక్క కోవియారెన్స్‌తో గుర్తించబడుతుంది. ఇక్కడ M అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క హోదా.

అసలు సమస్య యొక్క గణిత నమూనా రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

పరిమితుల క్రింద

,
,
,
. (1.8)

సెక్యూరిటీల పోర్ట్‌ఫోలియో నిర్మాణాన్ని ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి మేము బాగా తెలిసిన మార్కోవిట్జ్ మోడల్‌ని పొందాము.

మోడల్ (1.8.) అనేది యాదృచ్ఛిక రకం (యాదృచ్ఛికత యొక్క అంశాలతో) యొక్క ఆప్టిమైజేషన్ మోడల్‌కు ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ 1.5.4.

వాణిజ్య సంస్థ ఆధారంగా కనీస కలగలుపు ఉత్పత్తులలో n రకాలు ఉన్నాయి. ఒక రకమైన ఉత్పత్తిని మాత్రమే స్టోర్‌లోకి తీసుకురావాలి. మీరు దుకాణంలోకి తీసుకురావడానికి తగిన ఉత్పత్తి రకాన్ని ఎంచుకోవాలి. ఉత్పత్తి రకం అయితే జెడిమాండ్ ఉంటుంది, స్టోర్ దాని అమ్మకం నుండి లాభం పొందుతుంది ఆర్ జె, అది డిమాండ్ లేకుంటే - నష్టం q జె .

మోడలింగ్ చేయడానికి ముందు, మేము కొన్ని ప్రాథమిక అంశాలను చర్చిస్తాము. ఈ సమస్యలో, డెసిషన్ మేకర్ (DM) అనేది స్టోర్. ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఫలితం (గరిష్ట లాభం) అతని నిర్ణయంపై మాత్రమే కాకుండా, దిగుమతి చేసుకున్న ఉత్పత్తికి డిమాండ్ ఉంటుందా అనే దానిపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే, అది జనాభా ద్వారా కొనుగోలు చేయబడుతుందా (కొన్ని కారణాల వల్ల స్టోర్ చేయదని భావించబడుతుంది. జనాభా డిమాండ్‌ను అధ్యయనం చేసే అవకాశం ఉంది). అందువల్ల, జనాభాను రెండవ నిర్ణయాధికారంగా పరిగణించవచ్చు, వారి ప్రాధాన్యతల ప్రకారం ఉత్పత్తి రకాన్ని ఎంచుకోవడం. దుకాణం కోసం జనాభా యొక్క చెత్త "నిర్ణయం": "దిగుమతి చేసిన వస్తువులకు డిమాండ్ లేదు." కాబట్టి, సాధ్యమయ్యే అన్ని పరిస్థితులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి, స్టోర్ జనాభాను దాని “శత్రువు” (షరతులతో కూడినది) గా పరిగణించాలి, వ్యతిరేక లక్ష్యాన్ని అనుసరించాలి - స్టోర్ యొక్క లాభాన్ని తగ్గించడానికి.

కాబట్టి, పరస్పర విరుద్ధమైన లక్ష్యాలను అనుసరించే ఇద్దరు భాగస్వాములతో మాకు నిర్ణయం తీసుకోవడంలో సమస్య ఉంది. స్టోర్ అమ్మకానికి సంబంధించిన వస్తువుల రకాల్లో ఒకదాన్ని ఎంచుకుంటుంది (n నిర్ణయ ఎంపికలు ఉన్నాయి), మరియు జనాభా అత్యధిక డిమాండ్ ఉన్న వస్తువుల రకాల్లో ఒకదాన్ని ఎంచుకుంటుంది ( nపరిష్కార ఎంపికలు).

గణిత నమూనాను కంపైల్ చేయడానికి, దీనితో పట్టికను గీయండి nపంక్తులు మరియు nనిలువు వరుసలు (మొత్తం n 2 కణాలు) మరియు అడ్డు వరుసలు స్టోర్ ఎంపికకు మరియు నిలువు వరుసలు జనాభా ఎంపికకు అనుగుణంగా ఉన్నాయని అంగీకరిస్తున్నారు. అప్పుడు సెల్ (i, j)స్టోర్ ఎంచుకున్నప్పుడు పరిస్థితికి అనుగుణంగా ఉంటుంది iఉత్పత్తి రకం ( i-వ పంక్తి), మరియు జనాభా ఎంచుకుంటుంది జెఉత్పత్తి రకం ( j-వ కాలమ్). ప్రతి సెల్‌లో మేము స్టోర్ దృక్కోణం నుండి సంబంధిత పరిస్థితి యొక్క సంఖ్యా అంచనా (లాభం లేదా నష్టం) వ్రాస్తాము:

సంఖ్యలు q iస్టోర్ నష్టాన్ని ప్రతిబింబించేలా మైనస్‌తో వ్రాయబడింది; ప్రతి పరిస్థితిలో, జనాభా యొక్క "లాభం" (షరతులతో కూడినది) దుకాణం యొక్క "లాభం"కి సమానం, వ్యతిరేక చిహ్నంతో తీసుకోబడుతుంది.

ఈ నమూనా యొక్క సంక్షిప్త రూపం:

(1.9)

మాకు మ్యాట్రిక్స్ గేమ్ అని పిలవబడేది వచ్చింది. మోడల్ (1.9.) గేమ్ డెసిషన్ మేకింగ్ మోడల్‌లకు ఉదాహరణ.

సోవెటోవ్ మరియు యాకోవ్లెవ్ పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం: "ఒక మోడల్ (lat. మాడ్యులస్ - కొలత) అనేది అసలు వస్తువుకు ప్రత్యామ్నాయ వస్తువు, ఇది అసలైన కొన్ని లక్షణాల అధ్యయనాన్ని నిర్ధారిస్తుంది." (p. 6) "మోడలింగ్ ఆబ్జెక్ట్‌ని ఉపయోగించి అసలైన వస్తువు యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాల గురించి సమాచారాన్ని పొందడం కోసం ఒక వస్తువును మరొక దానితో భర్తీ చేయడాన్ని మోడలింగ్ అంటారు." (p. 6) “గణిత నమూనా ద్వారా, గణిత నమూనా అని పిలువబడే నిర్దిష్ట గణిత వస్తువుతో ఇచ్చిన వాస్తవ వస్తువుకు అనురూప్యతను ఏర్పరుచుకునే ప్రక్రియను మేము అర్థం చేసుకున్నాము మరియు ఈ నమూనా యొక్క అధ్యయనం, ఇది వాస్తవ లక్షణాలను పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది. పరిశీలనలో ఉన్న వస్తువు. గణిత నమూనా రకం నిజమైన వస్తువు యొక్క స్వభావం మరియు వస్తువును అధ్యయనం చేసే పనులు మరియు ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన విశ్వసనీయత మరియు ఖచ్చితత్వం రెండింటిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

చివరగా, గణిత నమూనా యొక్క అత్యంత సంక్షిప్త నిర్వచనం: "ఒక ఆలోచనను వ్యక్తపరిచే సమీకరణం».

మోడల్ వర్గీకరణ

నమూనాల అధికారిక వర్గీకరణ

మోడల్స్ యొక్క అధికారిక వర్గీకరణ ఉపయోగించిన గణిత సాధనాల వర్గీకరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది. తరచుగా డైకోటోమీల రూపంలో నిర్మించబడింది. ఉదాహరణకు, డికోటోమీల యొక్క ప్రసిద్ధ సెట్లలో ఒకటి:

మరియు అందువలన న. ప్రతి నిర్మిత నమూనా లీనియర్ లేదా నాన్ లీనియర్, డిటర్మినిస్టిక్ లేదా యాదృచ్ఛికమైనది, ... సహజంగా, మిశ్రమ రకాలు కూడా సాధ్యమే: ఒక విషయంలో (పారామితుల పరంగా), మరొకదానిలో పంపిణీ చేయబడుతుంది, మొదలైనవి.

ఆబ్జెక్ట్ ప్రాతినిధ్యం వహించే విధానం ప్రకారం వర్గీకరణ

అధికారిక వర్గీకరణతో పాటు, నమూనాలు వస్తువును సూచించే విధానంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి:

• నిర్మాణాత్మక లేదా క్రియాత్మక నమూనాలు

నిర్మాణ నమూనాలుఒక వస్తువును దాని స్వంత నిర్మాణం మరియు పనితీరు మెకానిజంతో ఒక వ్యవస్థగా సూచిస్తుంది. ఫంక్షనల్ మోడల్స్అటువంటి ప్రాతినిధ్యాలను ఉపయోగించవద్దు మరియు వస్తువు యొక్క బాహ్యంగా గ్రహించిన ప్రవర్తన (పనితీరు) మాత్రమే ప్రతిబింబిస్తుంది. వారి తీవ్ర వ్యక్తీకరణలో, వాటిని "బ్లాక్ బాక్స్" మోడల్స్ అని కూడా పిలుస్తారు. సంయుక్త రకాల నమూనాలు కూడా సాధ్యమే, వీటిని కొన్నిసార్లు అంటారు " బూడిద పెట్టె».

కంటెంట్ మరియు అధికారిక నమూనాలు

గణిత మోడలింగ్ ప్రక్రియను వివరించే దాదాపు అందరు రచయితలు ముందుగా ఒక ప్రత్యేక ఆదర్శ నిర్మాణం నిర్మించబడిందని సూచిస్తున్నారు, కంటెంట్ మోడల్. ఇక్కడ స్థాపించబడిన పదజాలం లేదు మరియు ఇతర రచయితలు ఈ ఆదర్శ వస్తువు అని పిలుస్తారు సంభావిత నమూనా , ఊహాజనిత నమూనాలేదా ప్రీమోడల్. ఈ సందర్భంలో, చివరి గణిత నిర్మాణం అంటారు అధికారిక నమూనాలేదా కేవలం ఇచ్చిన అర్థవంతమైన నమూనా (ప్రీ-మోడల్) యొక్క అధికారికీకరణ ఫలితంగా పొందిన గణిత నమూనా. యాంత్రిక శాస్త్రంలో వలె, ఒక అర్ధవంతమైన నమూనా యొక్క నిర్మాణాన్ని రెడీమేడ్ ఆదర్శీకరణల సమితిని ఉపయోగించి చేయవచ్చు, ఇక్కడ ఆదర్శవంతమైన స్ప్రింగ్‌లు, దృఢమైన శరీరాలు, ఆదర్శ లోలకాలు, సాగే మాధ్యమం మొదలైనవి అర్థవంతమైన మోడలింగ్ కోసం రెడీమేడ్ నిర్మాణ అంశాలను అందిస్తాయి. ఏది ఏమైనప్పటికీ, పూర్తిగా పూర్తి చేయబడిన అధికారిక సిద్ధాంతాలు లేని జ్ఞాన రంగాలలో (భౌతికశాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, ఆర్థిక శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం, మనస్తత్వశాస్త్రం మరియు అనేక ఇతర రంగాల యొక్క అత్యాధునిక అంశాలు), అర్థవంతమైన నమూనాల సృష్టి నాటకీయంగా మరింత కష్టతరం అవుతుంది.

నమూనాల కంటెంట్ వర్గీకరణ

సైన్స్‌లో ఏ పరికల్పన ఒక్కసారిగా నిరూపించబడదు. రిచర్డ్ ఫేన్మాన్ దీన్ని చాలా స్పష్టంగా రూపొందించారు:

"ఒక సిద్ధాంతాన్ని తిరస్కరించడానికి మాకు ఎల్లప్పుడూ అవకాశం ఉంది, కానీ అది సరైనదని మేము ఎప్పటికీ నిరూపించలేమని గమనించండి. మీరు విజయవంతమైన పరికల్పనను ముందుకు తెచ్చారని, అది ఎక్కడికి దారితీస్తుందో లెక్కించి, దాని పరిణామాలన్నీ ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ధారించబడిందని భావించండి. అంటే మీ సిద్ధాంతం సరైనదేనా? లేదు, మీరు దానిని తిరస్కరించడంలో విఫలమయ్యారని దీని అర్థం.

మొదటి రకం యొక్క నమూనా నిర్మించబడితే, ఇది తాత్కాలికంగా సత్యంగా అంగీకరించబడిందని మరియు ఇతర సమస్యలపై దృష్టి పెట్టవచ్చని దీని అర్థం. అయితే, ఇది పరిశోధనలో ఒక పాయింట్ కాదు, కానీ తాత్కాలిక విరామం మాత్రమే: మొదటి రకం మోడల్ యొక్క స్థితి తాత్కాలికంగా మాత్రమే ఉంటుంది.

రకం 2: దృగ్విషయ నమూనా (మేము అన్నట్లుగా ప్రవర్తిస్తాము…)

ఒక దృగ్విషయ నమూనా ఒక దృగ్విషయాన్ని వివరించడానికి ఒక యంత్రాంగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అయితే, ఈ మెకానిజం తగినంతగా నమ్మదగినది కాదు, అందుబాటులో ఉన్న డేటా ద్వారా తగినంతగా ధృవీకరించబడదు లేదా ఇప్పటికే ఉన్న సిద్ధాంతాలు మరియు ఆబ్జెక్ట్ గురించి సేకరించిన జ్ఞానంతో సరిగ్గా సరిపోదు. అందువల్ల, దృగ్విషయ నమూనాలు తాత్కాలిక పరిష్కారాల స్థితిని కలిగి ఉంటాయి. సమాధానం ఇప్పటికీ తెలియదని మరియు "నిజమైన యంత్రాంగాల" కోసం అన్వేషణ కొనసాగించాలని నమ్ముతారు. పీయర్ల్స్‌లో, ఉదాహరణకు, కెలోరిక్ మోడల్ మరియు ఎలిమెంటరీ పార్టికల్స్ యొక్క క్వార్క్ మోడల్‌లు రెండవ రకంగా ఉంటాయి.

పరిశోధనలో మోడల్ పాత్ర కాలక్రమేణా మారవచ్చు మరియు కొత్త డేటా మరియు సిద్ధాంతాలు దృగ్విషయ నమూనాలను నిర్ధారిస్తాయి మరియు అవి పరికల్పన యొక్క స్థితికి ప్రోత్సహించబడతాయి. అదేవిధంగా, కొత్త జ్ఞానం క్రమంగా మొదటి రకం నమూనాలు-హైపోథీసెస్‌తో విభేదిస్తుంది మరియు వాటిని రెండవదానికి అనువదించవచ్చు. అందువలన, క్వార్క్ మోడల్ క్రమంగా పరికల్పనల వర్గంలోకి వెళుతోంది; భౌతిక శాస్త్రంలో పరమాణువాదం తాత్కాలిక పరిష్కారంగా ఉద్భవించింది, కానీ చరిత్ర యొక్క కోర్సుతో ఇది మొదటి రకంగా మారింది. కానీ ఈథర్ నమూనాలు టైప్ 1 నుండి టైప్ 2కి దారితీశాయి మరియు ఇప్పుడు సైన్స్ వెలుపల ఉన్నాయి.

నమూనాలను నిర్మించేటప్పుడు సరళీకరణ ఆలోచన చాలా ప్రజాదరణ పొందింది. కానీ సరళీకరణ వివిధ రూపాల్లో వస్తుంది. మోడలింగ్‌లో పీయర్ల్స్ మూడు రకాల సరళీకరణలను గుర్తిస్తుంది.

రకం 3: ఉజ్జాయింపు (మేము చాలా పెద్దది లేదా చాలా చిన్నదిగా పరిగణించాము)

అధ్యయనంలో ఉన్న వ్యవస్థను వివరించే సమీకరణాలను నిర్మించడం సాధ్యమైతే, కంప్యూటర్ సహాయంతో కూడా వాటిని పరిష్కరించవచ్చని దీని అర్థం కాదు. ఈ సందర్భంలో ఒక సాధారణ సాంకేతికత ఉజ్జాయింపుల ఉపయోగం (రకం 3 నమూనాలు). వారందరిలో సరళ ప్రతిస్పందన నమూనాలు. సమీకరణాలు సరళ వాటితో భర్తీ చేయబడతాయి. ఒక ప్రామాణిక ఉదాహరణ ఓం యొక్క చట్టం.

ఇక్కడ టైప్ 8 వస్తుంది, ఇది జీవ వ్యవస్థల గణిత నమూనాలలో విస్తృతంగా ఉంది.

రకం 8: ఫీచర్ ప్రదర్శన (ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అవకాశం యొక్క అంతర్గత అనుగుణ్యతను చూపించడం)

ఇవి కూడా ఆలోచనా ప్రయోగాలుఅని ప్రదర్శించే ఊహాత్మక అస్తిత్వాలతో ఊహించిన దృగ్విషయంప్రాథమిక సూత్రాలకు అనుగుణంగా మరియు అంతర్గతంగా స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇది టైప్ 7 యొక్క నమూనాల నుండి ప్రధాన వ్యత్యాసం, ఇది దాచిన వైరుధ్యాలను వెల్లడిస్తుంది.

ఈ ప్రయోగాలలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది లోబాచెవ్స్కీ యొక్క జ్యామితి (లోబాచెవ్స్కీ దీనిని "ఊహాత్మక జ్యామితి" అని పిలిచాడు). రసాయన మరియు జీవ వైబ్రేషన్‌లు, ఆటోవేవ్‌లు మొదలైన వాటి యొక్క అధికారికంగా గతి నమూనాల భారీ ఉత్పత్తి మరొక ఉదాహరణ. క్వాంటం మెకానిక్స్ యొక్క అస్థిరతను ప్రదర్శించడానికి ఐన్‌స్టీన్-పోడోల్స్కీ-రోసెన్ పారడాక్స్ టైప్ 7 మోడల్‌గా రూపొందించబడింది. పూర్తిగా ప్రణాళిక లేని విధంగా, ఇది చివరికి టైప్ 8 మోడల్‌గా మారింది - సమాచారం యొక్క క్వాంటం టెలిపోర్టేషన్ యొక్క అవకాశం యొక్క ప్రదర్శన.

ఉదాహరణ

వసంత ఋతువులో ఒక చివర స్థిరంగా మరియు ద్రవ్యరాశిని కలిగి ఉండే యాంత్రిక వ్యవస్థను పరిగణించండి , స్ప్రింగ్ యొక్క ఉచిత ముగింపుకు జోడించబడింది. లోడ్ వసంత అక్షం యొక్క దిశలో మాత్రమే కదలగలదని మేము ఊహిస్తాము (ఉదాహరణకు, రాడ్ వెంట కదలిక జరుగుతుంది). ఈ వ్యవస్థ యొక్క గణిత నమూనాను రూపొందిద్దాం. మేము లోడ్ యొక్క కేంద్రం నుండి దాని సమతౌల్య స్థానానికి దూరం ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క స్థితిని వివరిస్తాము. స్ప్రింగ్ మరియు లోడ్ ఉపయోగించి పరస్పర చర్యను వివరిస్తాము హుక్ యొక్క చట్టం() ఆపై దానిని అవకలన సమీకరణం రూపంలో వ్యక్తీకరించడానికి న్యూటన్ యొక్క రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగించండి:

అంటే కాలానికి సంబంధించి రెండవ ఉత్పన్నం: .

ఫలిత సమీకరణం పరిగణించబడిన భౌతిక వ్యవస్థ యొక్క గణిత నమూనాను వివరిస్తుంది. ఈ నమూనాను "హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్" అంటారు.

అధికారిక వర్గీకరణ ప్రకారం, ఈ మోడల్ సరళ, నిర్ణయాత్మక, డైనమిక్, ఏకాగ్రత, నిరంతర. దాని నిర్మాణ ప్రక్రియలో, మేము అనేక అంచనాలను చేసాము (బాహ్య శక్తుల లేకపోవడం, ఘర్షణ లేకపోవడం, విచలనాల యొక్క చిన్నతనం మొదలైనవి), ఇది వాస్తవానికి కలుసుకోకపోవచ్చు.

వాస్తవానికి సంబంధించి, ఇది చాలా తరచుగా టైప్ 4 మోడల్ సరళీకరణ(“స్పష్టత కోసం మేము కొన్ని వివరాలను విస్మరిస్తాము”), ఎందుకంటే కొన్ని ముఖ్యమైన సార్వత్రిక లక్షణాలు (ఉదాహరణకు, డిస్సిపేషన్) విస్మరించబడ్డాయి. కొంత ఉజ్జాయింపులో (చెప్పండి, సమతౌల్యం నుండి లోడ్ యొక్క విచలనం చిన్నది, తక్కువ ఘర్షణతో, ఎక్కువ సమయం మరియు కొన్ని ఇతర షరతులకు లోబడి ఉండదు), అటువంటి మోడల్ నిజమైన యాంత్రిక వ్యవస్థను బాగా వివరిస్తుంది, ఎందుకంటే విస్మరించబడిన కారకాలు దాని ప్రవర్తనపై అతితక్కువ ప్రభావం. అయితే, ఈ అంశాలలో కొన్నింటిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా మోడల్‌ను మెరుగుపరచవచ్చు. ఇది విస్తృత (మళ్లీ పరిమితం అయినప్పటికీ) వర్తించే పరిధితో కొత్త మోడల్‌కి దారి తీస్తుంది.

అయినప్పటికీ, మోడల్‌ను మెరుగుపరిచేటప్పుడు, దాని గణిత పరిశోధన యొక్క సంక్లిష్టత గణనీయంగా పెరుగుతుంది మరియు మోడల్‌ను వాస్తవంగా పనికిరానిదిగా చేస్తుంది. తరచుగా, ఒక సరళమైన మోడల్ మరింత క్లిష్టమైన (మరియు, అధికారికంగా, "మరింత సరైనది") కంటే వాస్తవ వ్యవస్థ యొక్క మెరుగైన మరియు లోతైన అన్వేషణకు అనుమతిస్తుంది.

మేము భౌతిక శాస్త్రానికి దూరంగా ఉన్న వస్తువులకు హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ మోడల్‌ను వర్తింపజేస్తే, దాని వాస్తవిక స్థితి భిన్నంగా ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, జీవసంబంధమైన జనాభాకు ఈ నమూనాను వర్తింపజేసేటప్పుడు, ఇది ఎక్కువగా రకం 6గా వర్గీకరించబడాలి సారూప్యత("కొన్ని లక్షణాలను మాత్రమే పరిగణలోకి తీసుకుందాం").

కఠినమైన మరియు మృదువైన నమూనాలు

హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ "హార్డ్" మోడల్ అని పిలవబడే ఒక ఉదాహరణ. ఇది నిజమైన భౌతిక వ్యవస్థ యొక్క బలమైన ఆదర్శీకరణ ఫలితంగా పొందబడుతుంది. దాని వర్తించే సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మనం నిర్లక్ష్యం చేసిన అంశాలు ఎంత ముఖ్యమైనవో అర్థం చేసుకోవడం అవసరం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, "మృదువైన" నమూనాను అధ్యయనం చేయడం అవసరం, ఇది "కఠినమైన" ఒక చిన్న కలత ద్వారా పొందబడుతుంది. ఉదాహరణకు, కింది సమీకరణం ద్వారా దీనిని ఇవ్వవచ్చు:

ఇక్కడ కొన్ని చిన్న పరామితి - ఘర్షణ శక్తి లేదా దాని సాగతీత యొక్క డిగ్రీపై వసంత దృఢత్వం గుణకం యొక్క ఆధారపడటాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోగల కొన్ని ఫంక్షన్ ఉంది. ప్రస్తుతం ఫంక్షన్ యొక్క స్పష్టమైన రూపంపై మాకు ఆసక్తి లేదు. సాఫ్ట్ మోడల్ యొక్క ప్రవర్తన కఠినమైన వ్యక్తి యొక్క ప్రవర్తన నుండి ప్రాథమికంగా భిన్నంగా లేదని మేము నిరూపిస్తే (స్పష్టమైన రకమైన కలవరపరిచే కారకాలతో సంబంధం లేకుండా, అవి తగినంత చిన్నవిగా ఉంటే), హార్డ్ మోడల్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి సమస్య తగ్గించబడుతుంది. లేకపోతే, దృఢమైన నమూనాను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా పొందిన ఫలితాల దరఖాస్తుకు అదనపు పరిశోధన అవసరమవుతుంది. ఉదాహరణకు, హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క సమీకరణానికి పరిష్కారం రూపం యొక్క విధులు , అంటే, స్థిరమైన వ్యాప్తితో డోలనాలు. దీని నుండి నిజమైన ఓసిలేటర్ స్థిరమైన వ్యాప్తితో నిరవధికంగా డోలనం చేస్తుందా? లేదు, ఎందుకంటే ఏకపక్షంగా చిన్న ఘర్షణ (ఎల్లప్పుడూ నిజమైన సిస్టమ్‌లో ఉంటుంది) ఉన్న సిస్టమ్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము డంప్డ్ డోలనాలను పొందుతాము. వ్యవస్థ యొక్క ప్రవర్తన గుణాత్మకంగా మారింది.

ఒక వ్యవస్థ చిన్న చిన్న అవాంతరాల క్రింద దాని గుణాత్మక ప్రవర్తనను నిర్వహిస్తే, అది నిర్మాణాత్మకంగా స్థిరంగా ఉంటుంది. హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ అనేది నిర్మాణాత్మకంగా అస్థిర (నాన్-రఫ్) వ్యవస్థకు ఉదాహరణ. అయినప్పటికీ, పరిమిత కాల వ్యవధిలో ప్రక్రియలను అధ్యయనం చేయడానికి ఈ నమూనాను ఉపయోగించవచ్చు.

నమూనాల బహుముఖ ప్రజ్ఞ

అత్యంత ముఖ్యమైన గణిత నమూనాలు సాధారణంగా ముఖ్యమైన ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి బహుముఖ ప్రజ్ఞ: ప్రాథమికంగా భిన్నమైన వాస్తవ దృగ్విషయాలను ఒకే గణిత నమూనా ద్వారా వివరించవచ్చు. ఉదాహరణకు, హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ స్ప్రింగ్‌పై లోడ్ యొక్క ప్రవర్తనను మాత్రమే కాకుండా, ఇతర ఓసిలేటరీ ప్రక్రియలను కూడా వివరిస్తుంది, తరచుగా పూర్తిగా భిన్నమైన స్వభావం: లోలకం యొక్క చిన్న డోలనాలు, A- ఆకారపు పాత్రలో ద్రవ స్థాయిలో హెచ్చుతగ్గులు. , లేదా ఓసిలేటరీ సర్క్యూట్‌లో ప్రస్తుత బలంలో మార్పు. ఈ విధంగా, ఒక గణిత నమూనాను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, మేము వెంటనే వివరించిన మొత్తం తరగతి దృగ్విషయాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము. శాస్త్రీయ పరిజ్ఞానం యొక్క వివిధ విభాగాలలో గణిత నమూనాల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన చట్టాల యొక్క ఈ ఐసోమోర్ఫిజం, "జనరల్ థియరీ ఆఫ్ సిస్టమ్స్"ని రూపొందించడానికి లుడ్విగ్ వాన్ బెర్టలాన్ఫీని ప్రేరేపించింది.

గణిత మోడలింగ్ యొక్క ప్రత్యక్ష మరియు విలోమ సమస్యలు

గణిత నమూనాకు సంబంధించి అనేక సమస్యలు ఉన్నాయి. మొదట, మీరు మోడల్ చేయబడిన వస్తువు యొక్క ప్రాథమిక రేఖాచిత్రంతో ముందుకు రావాలి, ఈ శాస్త్రం యొక్క ఆదర్శీకరణల చట్రంలో పునరుత్పత్తి చేయాలి. అందువల్ల, రైలు కారు వివిధ పదార్థాల నుండి ప్లేట్లు మరియు మరింత సంక్లిష్టమైన శరీరాల వ్యవస్థగా మారుతుంది, ప్రతి పదార్థం దాని ప్రామాణిక యాంత్రిక ఆదర్శీకరణ (సాంద్రత, సాగే మాడ్యులి, ప్రామాణిక బలం లక్షణాలు) వలె పేర్కొనబడుతుంది, ఆ తర్వాత సమీకరణాలు రూపొందించబడతాయి మరియు మార్గం వెంట కొన్ని వివరాలు అప్రధానమైనవిగా విస్మరించబడతాయి , గణనలు చేయబడతాయి, కొలతలతో పోలిస్తే, మోడల్ శుద్ధి చేయబడింది మరియు మొదలైనవి. అయినప్పటికీ, గణిత మోడలింగ్ సాంకేతికతలను అభివృద్ధి చేయడానికి, ఈ ప్రక్రియను దాని ప్రధాన భాగాలుగా విడదీయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

సాంప్రదాయకంగా, గణిత నమూనాలతో సంబంధం ఉన్న రెండు ప్రధాన తరగతుల సమస్యలు ఉన్నాయి: ప్రత్యక్ష మరియు విలోమం.

ప్రత్యక్ష విధి: మోడల్ యొక్క నిర్మాణం మరియు దాని అన్ని పారామితులు తెలిసినవిగా పరిగణించబడతాయి, వస్తువు గురించి ఉపయోగకరమైన జ్ఞానాన్ని సేకరించేందుకు మోడల్ యొక్క అధ్యయనాన్ని నిర్వహించడం ప్రధాన పని. వంతెన ఏ స్టాటిక్ లోడ్‌ను తట్టుకోగలదు? ఇది డైనమిక్ లోడ్‌కి ఎలా స్పందిస్తుంది (ఉదాహరణకు, సైనికుల కంపెనీ మార్చ్‌కు లేదా వివిధ వేగంతో రైలు ప్రయాణించడానికి), విమానం ధ్వని అవరోధాన్ని ఎలా అధిగమిస్తుంది, అది అల్లాడు నుండి విడిపోతుందా - ఇవి ప్రత్యక్ష సమస్యకు సాధారణ ఉదాహరణలు. సరైన ప్రత్యక్ష సమస్యను సెట్ చేయడం (సరైన ప్రశ్న అడగడం) ప్రత్యేక నైపుణ్యం అవసరం. సరైన ప్రశ్నలు అడగకపోతే, వంతెన కూలిపోవచ్చు, దాని ప్రవర్తనకు మంచి నమూనా నిర్మించబడినప్పటికీ. కాబట్టి, 1879లో, గ్రేట్ బ్రిటన్‌లో టే నదికి అడ్డంగా ఒక మెటల్ వంతెన కూలిపోయింది, దీని రూపకర్తలు వంతెన యొక్క నమూనాను నిర్మించారు, పేలోడ్ యొక్క చర్య కోసం 20 రెట్లు భద్రతా కారకాన్ని కలిగి ఉన్నట్లు లెక్కించారు, కానీ గాలుల గురించి మరచిపోయారు. ఆ ప్రదేశాల్లో నిరంతరం వీస్తున్నాయి. మరియు ఏడాదిన్నర తర్వాత అది కూలిపోయింది.

సరళమైన సందర్భంలో (ఒక ఓసిలేటర్ సమీకరణం, ఉదాహరణకు), ప్రత్యక్ష సమస్య చాలా సులభం మరియు ఈ సమీకరణం యొక్క స్పష్టమైన పరిష్కారానికి తగ్గిస్తుంది.

విలోమ సమస్య: సాధ్యమయ్యే అనేక నమూనాలు తెలిసినవి, ఆబ్జెక్ట్ గురించి అదనపు డేటా ఆధారంగా ఒక నిర్దిష్ట మోడల్ ఎంచుకోవాలి. చాలా తరచుగా, మోడల్ యొక్క నిర్మాణం తెలిసినది, మరియు కొన్ని తెలియని పారామితులను నిర్ణయించడం అవసరం. అదనపు సమాచారం అదనపు అనుభావిక డేటా లేదా వస్తువు కోసం అవసరాలను కలిగి ఉండవచ్చు ( డిజైన్ సమస్య) విలోమ సమస్యను పరిష్కరించే ప్రక్రియతో సంబంధం లేకుండా అదనపు డేటా రావచ్చు ( నిష్క్రియ పరిశీలన) లేదా పరిష్కారం సమయంలో ప్రత్యేకంగా ప్రణాళిక చేయబడిన ప్రయోగం ఫలితంగా ( క్రియాశీల నిఘా).

అందుబాటులో ఉన్న డేటా యొక్క పూర్తి వినియోగంతో విలోమ సమస్యకు మాస్టర్లీ పరిష్కారం యొక్క మొదటి ఉదాహరణలలో ఒకటి, గమనించిన డంప్డ్ డోలనాల నుండి ఘర్షణ శక్తులను పునర్నిర్మించడానికి I. న్యూటన్ రూపొందించిన పద్ధతి.

మరొక ఉదాహరణ గణిత గణాంకాలు. సామూహిక యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాల యొక్క సంభావ్య నమూనాలను రూపొందించడానికి పరిశీలనాత్మక మరియు ప్రయోగాత్మక డేటాను రికార్డ్ చేయడానికి, వివరించడానికి మరియు విశ్లేషించడానికి పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడం ఈ శాస్త్రం యొక్క పని. ఆ. సాధ్యమయ్యే నమూనాల సమితి సంభావ్య నమూనాలకు పరిమితం చేయబడింది. నిర్దిష్ట పనులలో, నమూనాల సమితి మరింత పరిమితంగా ఉంటుంది.

కంప్యూటర్ అనుకరణ వ్యవస్థలు

గణిత మోడలింగ్‌కు మద్దతు ఇవ్వడానికి, కంప్యూటర్ గణిత వ్యవస్థలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి, ఉదాహరణకు, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, మొదలైనవి. అవి సరళమైన మరియు సంక్లిష్టమైన ప్రక్రియలు మరియు పరికరాల యొక్క అధికారిక మరియు బ్లాక్ నమూనాలను సృష్టించడానికి మరియు మోడల్ పారామితులను సులభంగా మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. మోడలింగ్. బ్లాక్ మోడల్స్బ్లాక్స్ (చాలా తరచుగా గ్రాఫిక్) ద్వారా సూచించబడతాయి, వీటిలో సెట్ మరియు కనెక్షన్ మోడల్ రేఖాచిత్రం ద్వారా పేర్కొనబడ్డాయి.

అదనపు ఉదాహరణలు

మాల్థస్ మోడల్

వృద్ధి రేటు ప్రస్తుత జనాభా పరిమాణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంది. ఇది అవకలన సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది

జనన రేటు మరియు మరణాల రేటు మధ్య వ్యత్యాసం ద్వారా నిర్ణయించబడిన నిర్దిష్ట పరామితి ఎక్కడ ఉంది. ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం ఘాతాంక విధి. జనన రేటు మరణాల రేటు () కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, జనాభా పరిమాణం నిరవధికంగా మరియు చాలా త్వరగా పెరుగుతుంది. వాస్తవానికి పరిమిత వనరుల వల్ల ఇది జరగదని స్పష్టమైంది. నిర్దిష్ట క్లిష్టమైన జనాభా పరిమాణాన్ని చేరుకున్నప్పుడు, మోడల్ తగినంతగా ఉండదు, ఎందుకంటే ఇది పరిమిత వనరులను పరిగణనలోకి తీసుకోదు. మాల్థస్ మోడల్ యొక్క శుద్ధీకరణ లాజిస్టిక్ మోడల్ కావచ్చు, ఇది వెర్‌హల్స్ట్ అవకలన సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది.

"సమతుల్యత" జనాభా పరిమాణం ఎక్కడ ఉంది, ఆ సమయంలో జనన రేటు మరణాల రేటు ద్వారా ఖచ్చితంగా భర్తీ చేయబడుతుంది. అటువంటి నమూనాలో జనాభా పరిమాణం సమతౌల్య విలువకు మొగ్గు చూపుతుంది మరియు ఈ ప్రవర్తన నిర్మాణాత్మకంగా స్థిరంగా ఉంటుంది.

ప్రిడేటర్-ఎర వ్యవస్థ

రెండు రకాల జంతువులు ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో నివసిస్తాయని చెప్పండి: కుందేళ్ళు (మొక్కలు తినడం) మరియు నక్కలు (కుందేళ్ళను తినడం). కుందేళ్ళ సంఖ్య, నక్కల సంఖ్య లెట్. నక్కలు కుందేళ్ళను తినడాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి అవసరమైన సవరణలతో మాల్థస్ మోడల్‌ను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థకు చేరుకుంటాము, పేరు నమూనాలు ట్రేలు - Volterra:

కుందేళ్ళు మరియు నక్కల సంఖ్య స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు ఈ వ్యవస్థ సమతౌల్య స్థితిని కలిగి ఉంటుంది. ఈ స్థితి నుండి విచలనం హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క హెచ్చుతగ్గుల మాదిరిగానే కుందేళ్ళు మరియు నక్కల సంఖ్యలో హెచ్చుతగ్గులకు దారితీస్తుంది. హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ మాదిరిగా, ఈ ప్రవర్తన నిర్మాణాత్మకంగా స్థిరంగా ఉండదు: మోడల్‌లో ఒక చిన్న మార్పు (ఉదాహరణకు, కుందేళ్ళకు అవసరమైన పరిమిత వనరులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం) ప్రవర్తనలో గుణాత్మక మార్పుకు దారితీస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమతౌల్య స్థితి స్థిరంగా మారవచ్చు మరియు సంఖ్యలో హెచ్చుతగ్గులు చనిపోతాయి. సమతౌల్య స్థానం నుండి ఏదైనా చిన్న విచలనం విపత్తు పరిణామాలకు దారితీసినప్పుడు, ఒక జాతి పూర్తిగా అంతరించిపోయే వరకు వ్యతిరేక పరిస్థితి కూడా సాధ్యమే. Volterra-Lotka మోడల్ ఈ దృశ్యాలలో ఏది గ్రహించబడుతుందనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వదు: ఇక్కడ అదనపు పరిశోధన అవసరం.

గమనికలు

1. “రియాలిటీ యొక్క గణిత ప్రాతినిధ్యం” (ఎన్‌సైక్లోపీడియా బ్రిటానికా)
2. నోవిక్ I. B., సైబర్నెటిక్ మోడలింగ్ యొక్క తాత్విక సమస్యలపై. M., నాలెడ్జ్, 1964.
3. సోవెటోవ్ B. యా., యాకోవ్లెవ్ S. A., వ్యవస్థల నమూనా: ప్రో. విశ్వవిద్యాలయాల కోసం - 3వ ఎడిషన్, సవరించబడింది. మరియు అదనపు - M.: హయ్యర్. పాఠశాల, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. సమర్స్కీ A. A., మిఖైలోవ్ A. P.గణిత మోడలింగ్. ఆలోచనలు. పద్ధతులు. ఉదాహరణలు. - 2వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. మిష్కిస్ ఎ. డి., గణిత నమూనాల సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు. - 3వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4తో
6. సెవోస్టియానోవ్, A.G. సాంకేతిక ప్రక్రియల నమూనా: పాఠ్య పుస్తకం / A.G. సెవోస్టియానోవ్, P.A. సెవోస్త్యనోవ్. – M.: లైట్ అండ్ ఫుడ్ ఇండస్ట్రీ, 1984. - 344 p.
7. విక్షనరీ: గణిత నమూనా
8. CliffsNotes.com. ఎర్త్ సైన్స్ గ్లోసరీ. 20 సెప్టెంబర్ 2010
9. మల్టీస్కేల్ ఫినామినా, స్ప్రింగర్, కాంప్లెక్సిటీ సిరీస్, బెర్లిన్-హైడెల్బర్గ్-న్యూయార్క్, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. “ఒక సిద్ధాంతం ఏ రకమైన గణిత ఉపకరణం - లీనియర్ లేదా నాన్ లీనియర్ - మరియు అది ఎలాంటి లీనియర్ లేదా నాన్ లీనియర్ గణిత నమూనాలను ఉపయోగిస్తుంది అనే దానిపై ఆధారపడి లీనియర్ లేదా నాన్ లీనియర్‌గా పరిగణించబడుతుంది. ... రెండోది కాదనకుండా. ఒక ఆధునిక భౌతిక శాస్త్రవేత్త, అతను నాన్‌లీనియారిటీ వంటి ముఖ్యమైన ఎంటిటీ యొక్క నిర్వచనాన్ని తిరిగి సృష్టించవలసి వస్తే, చాలా మటుకు భిన్నంగా వ్యవహరిస్తాడు మరియు రెండు వ్యతిరేకతలలో అత్యంత ముఖ్యమైన మరియు విస్తృతమైన నాన్‌లీనియారిటీకి ప్రాధాన్యతనిస్తూ, రేఖీయతను "కాదు" అని నిర్వచిస్తాడు. నాన్ లీనియారిటీ." డానిలోవ్ యు., నాన్ లీనియర్ డైనమిక్స్‌పై ఉపన్యాసాలు. ప్రాథమిక పరిచయం. సిరీస్ "సినర్జెటిక్స్: గతం నుండి భవిష్యత్తు వరకు." ఎడిషన్ 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
11. “పరిమిత సంఖ్యలో సాధారణ అవకలన సమీకరణాల ద్వారా రూపొందించబడిన డైనమిక్ సిస్టమ్‌లను సాంద్రీకృత లేదా పాయింట్ సిస్టమ్‌లు అంటారు. అవి పరిమిత-డైమెన్షనల్ ఫేజ్ స్పేస్‌ని ఉపయోగించి వివరించబడ్డాయి మరియు పరిమిత సంఖ్యలో స్వేచ్ఛను కలిగి ఉంటాయి. వివిధ పరిస్థితులలో ఒకే వ్యవస్థను కేంద్రీకృతం లేదా పంపిణీగా పరిగణించవచ్చు. పంపిణీ వ్యవస్థల యొక్క గణిత నమూనాలు పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు, సమగ్ర సమీకరణాలు లేదా సాధారణ ఆలస్యం సమీకరణాలు. పంపిణీ చేయబడిన వ్యవస్థ యొక్క స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య అనంతం మరియు దాని స్థితిని నిర్ణయించడానికి అనంతమైన డేటా అవసరం. అనిష్చెంకో V. S., డైనమిక్ సిస్టమ్స్, సోరోస్ ఎడ్యుకేషనల్ జర్నల్, 1997, నం. 11, పే. 77-84.
12. "సిస్టమ్ Sలో అధ్యయనం చేయబడిన ప్రక్రియల స్వభావాన్ని బట్టి, అన్ని రకాల మోడలింగ్‌లను నిర్ణయాత్మక మరియు యాదృచ్ఛిక, స్టాటిక్ మరియు డైనమిక్, వివిక్త, నిరంతర మరియు వివిక్త-నిరంతరంగా విభజించవచ్చు. నిర్ణయాత్మక మోడలింగ్ నిర్ణయాత్మక ప్రక్రియలను ప్రతిబింబిస్తుంది, అంటే, యాదృచ్ఛిక ప్రభావాలు లేవని భావించే ప్రక్రియలు; యాదృచ్ఛిక మోడలింగ్ సంభావ్య ప్రక్రియలు మరియు సంఘటనలను వర్ణిస్తుంది. ... స్టాటిక్ మోడలింగ్ అనేది ఏ సమయంలోనైనా వస్తువు యొక్క ప్రవర్తనను వివరించడానికి ఉపయోగపడుతుంది మరియు డైనమిక్ మోడలింగ్ కాలక్రమేణా వస్తువు యొక్క ప్రవర్తనను ప్రతిబింబిస్తుంది. వివిక్త మోడలింగ్ అనేది వివిక్తంగా భావించబడే ప్రక్రియలను వివరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది, నిరంతర మోడలింగ్ సిస్టమ్‌లలో నిరంతర ప్రక్రియలను ప్రతిబింబించేలా అనుమతిస్తుంది మరియు వివిక్త మరియు నిరంతర ప్రక్రియల ఉనికిని హైలైట్ చేయాలనుకున్న సందర్భాల్లో వివిక్త-నిరంతర మోడలింగ్ ఉపయోగించబడుతుంది. ” సోవెటోవ్ B. యా., యాకోవ్లెవ్ S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. సాధారణంగా, ఒక గణిత నమూనా మోడల్ చేయబడిన వస్తువు యొక్క నిర్మాణం (పరికరం), పరిశోధన ప్రయోజనాల కోసం అవసరమైన ఈ వస్తువు యొక్క భాగాల యొక్క లక్షణాలు మరియు సంబంధాలను ప్రతిబింబిస్తుంది; అటువంటి నమూనాను నిర్మాణాత్మకంగా పిలుస్తారు. మోడల్ ఆబ్జెక్ట్ ఎలా పనిచేస్తుందో మాత్రమే ప్రతిబింబిస్తే - ఉదాహరణకు, అది బాహ్య ప్రభావాలకు ఎలా స్పందిస్తుందో - అప్పుడు దానిని ఫంక్షనల్ లేదా, అలంకారికంగా, బ్లాక్ బాక్స్ అంటారు. కంబైన్డ్ మోడల్స్ కూడా సాధ్యమే. మిష్కిస్ ఎ. డి. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "గణిత నమూనాను నిర్మించడం లేదా ఎంచుకోవడం యొక్క స్పష్టమైన, కానీ అత్యంత ముఖ్యమైన ప్రారంభ దశ ఏమిటంటే, అనధికారిక చర్చల ఆధారంగా మోడల్ చేయబడిన వస్తువు గురించి సాధ్యమైనంత స్పష్టమైన చిత్రాన్ని పొందడం మరియు దాని అర్ధవంతమైన నమూనాను మెరుగుపరచడం. ఈ దశలో మీరు సమయం మరియు కృషిని విడిచిపెట్టకూడదు; మొత్తం అధ్యయనం యొక్క విజయం దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. గణిత శాస్త్ర సమస్యను పరిష్కరించడానికి వెచ్చించిన ముఖ్యమైన పని పనికిరానిది లేదా ఈ విషయంలో తగినంత శ్రద్ధ చూపకపోవడం వల్ల వృధాగా మారడం ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు జరిగింది. మిష్కిస్ ఎ. డి., గణిత నమూనాల సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు. - 3వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: KomKniga, 2007. - 192 విత్ ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « వ్యవస్థ యొక్క సంభావిత నమూనా యొక్క వివరణ.సిస్టమ్ నమూనాను నిర్మించే ఈ ఉప దశలో: a) సంభావిత నమూనా M వియుక్త నిబంధనలు మరియు భావనలలో వివరించబడింది; బి) ప్రామాణిక గణిత పథకాలను ఉపయోగించి మోడల్ యొక్క వివరణ ఇవ్వబడుతుంది; c) పరికల్పనలు మరియు ఊహలు చివరకు ఆమోదించబడ్డాయి; d) మోడల్‌ను నిర్మించేటప్పుడు వాస్తవ ప్రక్రియలను అంచనా వేయడానికి ప్రక్రియ యొక్క ఎంపిక సమర్థించబడుతుంది. సోవెటోవ్ B. యా., యాకోవ్లెవ్ S. A., వ్యవస్థల నమూనా: ప్రో. విశ్వవిద్యాలయాల కోసం - 3వ ఎడిషన్, సవరించబడింది. మరియు అదనపు - M.: హయ్యర్. పాఠశాల, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. బ్లేఖ్‌మన్ I. I., మిష్కిస్ A. D.,