మీరు ఇంతకంటే ఎక్కువ అర్హులని నేను భావిస్తున్నాను. త్రికోణమితికి నా కీ ఇక్కడ ఉంది:

• గోపురం, గోడ మరియు పైకప్పును గీయండి
• త్రికోణమితి విధులు ఈ మూడు రూపాల శాతాలు తప్ప మరేమీ కాదు.

సైన్ మరియు కొసైన్ కోసం రూపకం: గోపురం

త్రిభుజాలను మాత్రమే చూడకుండా, కొన్నింటిని కనుగొనడం ద్వారా వాటిని చర్యలో ఊహించుకోండి ప్రత్యేక ఉదాహరణజీవితం నుండి.

మీరు గోపురం మధ్యలో ఉన్నారని మరియు సినిమా ప్రొజెక్టర్ స్క్రీన్‌ని వేలాడదీయాలనుకుంటున్నారని ఊహించుకోండి. మీరు ఒక నిర్దిష్ట కోణం "x" వద్ద గోపురం వైపు మీ వేలును చూపుతారు మరియు స్క్రీన్ ఈ పాయింట్ నుండి నిలిపివేయబడాలి.

మీరు సూచించే కోణం నిర్ణయిస్తుంది:

• సైన్(x) = sin(x) = స్క్రీన్ ఎత్తు (నేల నుండి గోపురం మౌంటు పాయింట్ వరకు)
• కొసైన్(x) = cos(x) = మీ నుండి స్క్రీన్‌కి దూరం (అంతస్తు ద్వారా)
• హైపోటెన్యూస్, మీ నుండి స్క్రీన్ పైభాగానికి దూరం, ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది, గోపురం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానం

స్క్రీన్ వీలైనంత పెద్దదిగా ఉండాలనుకుంటున్నారా? దాన్ని నేరుగా మీ పైన వేలాడదీయండి.

స్క్రీన్ మీకు వీలైనంత దూరంగా వేలాడదీయాలని మీరు కోరుకుంటున్నారా? నేరుగా లంబంగా వేలాడదీయండి. ఈ స్థితిలో స్క్రీన్ సున్నా ఎత్తును కలిగి ఉంటుంది మరియు మీరు అడిగినట్లుగా చాలా దూరంగా వేలాడదీయబడుతుంది.

స్క్రీన్ నుండి ఎత్తు మరియు దూరం విలోమానుపాతంలో ఉంటాయి: స్క్రీన్ ఎంత దగ్గరగా వేలాడుతుందో, దాని ఎత్తు అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సైన్ మరియు కొసైన్ శాతాలు

నా అధ్యయన సంవత్సరాల్లో ఎవరూ, అయ్యో, సైన్ మరియు కొసైన్ అనే త్రికోణమితి విధులు శాతాల కంటే మరేమీ కాదని నాకు వివరించలేదు. వాటి విలువలు +100% నుండి 0 నుండి -100% వరకు లేదా సానుకూల గరిష్టం నుండి సున్నా నుండి ప్రతికూల గరిష్టం వరకు ఉంటాయి.

నేను 14 రూబిళ్లు పన్ను చెల్లించానని అనుకుందాం. అది ఎంత అనేది మీకు తెలియదు. కానీ నేను 95% పన్ను చెల్లించాను అని మీరు చెబితే, నేను ఊరికే పారిపోయానని మీకు అర్థం అవుతుంది.

సంపూర్ణ ఎత్తు ఏదైనా అర్థం కాదు. కానీ సైన్ విలువ 0.95 అయితే, టీవీ దాదాపు మీ గోపురం పైభాగంలో వేలాడుతుందని నేను అర్థం చేసుకున్నాను. అతి త్వరలో అతను చేరుకుంటాడు గరిష్ట ఎత్తుగోపురం మధ్యలో, ఆపై మళ్లీ క్షీణించడం ప్రారంభమవుతుంది.

ఈ శాతాన్ని మనం ఎలా లెక్కించవచ్చు? ఇది చాలా సులభం: ప్రస్తుత స్క్రీన్ ఎత్తును సాధ్యమైనంత గరిష్టంగా విభజించండి (గోపురం యొక్క వ్యాసార్థం, దీనిని హైపోటెన్యూస్ అని కూడా పిలుస్తారు).

అందుకే"కొసైన్ = ఎదురుగా / హైపోటెన్యూస్" అని మనకు చెప్పబడింది. ఇదంతా వడ్డీ పొందడమే! "సాధ్యమైన గరిష్ట స్థాయి నుండి ప్రస్తుత ఎత్తు శాతం"గా సైన్ నిర్వచించడం ఉత్తమం. (మీ కోణం "భూగర్భంలో ఉంటే సైన్ ప్రతికూలంగా మారుతుంది." మీ వెనుక ఉన్న గోపురం పాయింట్ వైపు కోణం చూపితే కొసైన్ ప్రతికూలంగా మారుతుంది.)

కేంద్రంలో ఉన్నాం అనుకుని లెక్కలు సరళతరం చేద్దాం యూనిట్ సర్కిల్(వ్యాసార్థం = 1). మేము విభజనను దాటవేసి, ఎత్తుకు సమానమైన సైన్ని తీసుకోవచ్చు.

ప్రతి సర్కిల్ తప్పనిసరిగా ఒక యూనిట్, స్కేల్‌లో విస్తరించడం లేదా తగ్గించడం సరైన పరిమాణం. కాబట్టి యూనిట్ సర్కిల్ కనెక్షన్‌లను నిర్ణయించండి మరియు ఫలితాలను మీ నిర్దిష్ట సర్కిల్ పరిమాణానికి వర్తింపజేయండి.

ప్రయోగం: ఏదైనా కోణం తీసుకోండి మరియు ఏమి చూడండి శాతంఎత్తు నుండి వెడల్పు అది ప్రదర్శిస్తుంది:

సైన్ విలువ పెరుగుదల గ్రాఫ్ కేవలం సరళ రేఖ కాదు. మొదటి 45 డిగ్రీలు 70% ఎత్తును కవర్ చేస్తాయి, అయితే చివరి 10 డిగ్రీలు (80° నుండి 90° వరకు) 2% మాత్రమే కవర్ చేస్తాయి.

ఇది మీకు మరింత స్పష్టంగా తెలియజేస్తుంది: మీరు వృత్తంలో నడిస్తే, 0° వద్ద మీరు దాదాపు నిలువుగా పైకి లేస్తారు, కానీ మీరు గోపురం పైభాగానికి చేరుకున్నప్పుడు, ఎత్తు తక్కువగా మారుతుంది.

టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్. గోడ

ఒకరోజు పొరుగువాడు గోడ కట్టాడు ఒకదానికొకటి సరిగ్గామీ గోపురం వరకు. కిటికీ నుండి మీ వీక్షణను అరిచింది మరియు పునఃవిక్రయం కోసం మంచి ధర!

కానీ ఈ పరిస్థితిలో ఏదో ఒకవిధంగా గెలవడం సాధ్యమేనా?

అయితే అవును. మనం సినిమా స్క్రీన్‌ని మన పొరుగువారి గోడకు వేలాడదీస్తే? మీరు కోణాన్ని (x) లక్ష్యంగా చేసుకుని, పొందండి:

• టాన్(x) = టాన్(x) = గోడపై స్క్రీన్ ఎత్తు
• మీ నుండి గోడకు దూరం: 1 (ఇది మీ గోపురం యొక్క వ్యాసార్థం, గోడ మీ నుండి ఎక్కడికీ కదలడం లేదు, సరియైనదా?)
• secant(x) = sec(x) = "నిచ్చెన యొక్క పొడవు" మీరు గోపురం మధ్యలో నిలబడి సస్పెండ్ చేయబడిన స్క్రీన్ పైభాగం వరకు

టాంజెంట్ లేదా స్క్రీన్ ఎత్తుకు సంబంధించి రెండు పాయింట్లను స్పష్టం చేద్దాం.

• ఇది 0 వద్ద ప్రారంభమవుతుంది మరియు అనంతమైన ఎత్తుకు వెళ్లవచ్చు. మీకు ఇష్టమైన చలనచిత్రాన్ని వీక్షించడం కోసం అంతులేని కాన్వాస్‌ను రూపొందించడానికి మీరు గోడపై స్క్రీన్‌ను ఎత్తుగా మరియు పైకి విస్తరించవచ్చు! (అంత పెద్ద దాని కోసం, మీరు చాలా డబ్బు ఖర్చు చేయాలి).
• టాంజెంట్ అనేది సైన్ యొక్క పెద్ద వెర్షన్! మరియు మీరు గోపురం పైభాగానికి వెళ్లినప్పుడు సైన్ పెరుగుదల మందగించినప్పుడు, టాంజెంట్ పెరుగుతూనే ఉంది!

సెకాన్సు గురించి గొప్పగా చెప్పుకోవడానికి కూడా ఏదో ఉంది:

• సెకెంట్ 1 వద్ద ప్రారంభమవుతుంది (నిచ్చెన నేలపై ఉంది, మీ నుండి గోడ వరకు) మరియు అక్కడ నుండి పెరగడం ప్రారంభమవుతుంది
• సెకెంట్ ఎల్లప్పుడూ టాంజెంట్ కంటే పొడవుగా ఉంటుంది. మీ స్క్రీన్‌ని వేలాడదీయడానికి మీరు ఉపయోగించే స్లాంటెడ్ నిచ్చెన స్క్రీన్ కంటే పొడవుగా ఉండాలి, సరియైనదా? (అవాస్తవిక పరిమాణాలతో, స్క్రీన్ చాలా పొడవుగా ఉన్నప్పుడు మరియు నిచ్చెనను దాదాపు నిలువుగా ఉంచాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, వాటి పరిమాణాలు దాదాపు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. కానీ అప్పుడు కూడా సెకాంట్ కొంచెం పొడవుగా ఉంటుంది).

గుర్తుంచుకోండి, విలువలు శాతం. మీరు స్క్రీన్‌ను 50 డిగ్రీల కోణంలో వేలాడదీయాలని నిర్ణయించుకుంటే, టాన్ (50)=1.19. మీ స్క్రీన్ గోడకు దూరం (గోపురం వ్యాసార్థం) కంటే 19% పెద్దది.

(x=0ని నమోదు చేసి, మీ అంతర్ దృష్టిని తనిఖీ చేయండి - tan(0) = 0 మరియు sec(0) = 1.)

కోటాంజెంట్ మరియు కోసెకెంట్. సీలింగ్

నమ్మశక్యం కాని విధంగా, మీ పొరుగువారు ఇప్పుడు మీ గోపురంపై పైకప్పును నిర్మించాలని నిర్ణయించుకున్నారు. (అతని తప్పు ఏమిటి? అతను నగ్నంగా పెరట్లో తిరుగుతున్నప్పుడు మీరు అతనిపై నిఘా పెట్టడం అతనికి ఇష్టం లేదు...)

సరే, పైకప్పుకు నిష్క్రమణను నిర్మించి, మీ పొరుగువారితో మాట్లాడటానికి ఇది సమయం. మీరు వంపు కోణాన్ని ఎంచుకుని, నిర్మాణాన్ని ప్రారంభించండి:

• పైకప్పు అవుట్‌లెట్ మరియు నేల మధ్య నిలువు దూరం ఎల్లప్పుడూ 1 (గోపురం యొక్క వ్యాసార్థం)
• cotangent(x) = cot(x) = గోపురం పైభాగం మరియు నిష్క్రమణ బిందువు మధ్య దూరం
• cosecant(x) = csc(x) = పైకప్పుకు మీ మార్గం పొడవు

టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ గోడను వివరిస్తాయి మరియు COtangent మరియు COsecant పైకప్పును వివరిస్తాయి.

ఈసారి మా సహజమైన ముగింపులు మునుపటి వాటిని పోలి ఉన్నాయి:

• మీరు 0°కి సమానమైన కోణాన్ని తీసుకుంటే, పైకప్పుకు మీ నిష్క్రమణ శాశ్వతంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అది ఎప్పటికీ పైకప్పుకు చేరదు. సమస్య.
• మీరు నేలకి 90 డిగ్రీల కోణంలో నిర్మించినట్లయితే పైకప్పుకు చిన్నదైన "నిచ్చెన" పొందబడుతుంది. కోటాంజెంట్ 0కి సమానంగా ఉంటుంది (మేము పైకప్పు వెంట అస్సలు కదలము, మేము ఖచ్చితంగా లంబంగా నిష్క్రమిస్తాము), మరియు కోసెకెంట్ 1కి సమానంగా ఉంటుంది ("నిచ్చెన పొడవు" కనిష్టంగా ఉంటుంది).

కనెక్షన్‌లను దృశ్యమానం చేయండి

మూడు సందర్భాలు గోపురం-గోడ-సీలింగ్ కలయికలో గీస్తే, ఫలితం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

సరే, ఇది ఇప్పటికీ అదే త్రిభుజం, గోడ మరియు పైకప్పును చేరుకోవడానికి పరిమాణం పెరిగింది. మనకు నిలువు భుజాలు (సైన్, టాంజెంట్), క్షితిజ సమాంతర భుజాలు (కొసైన్, కోటాంజెంట్) మరియు “హైపోటెనస్” (సెకెంట్, కోసెకెంట్) ఉన్నాయి. (బాణాల ద్వారా మీరు ప్రతి మూలకం ఎక్కడికి చేరుకుంటుందో చూడవచ్చు. కోసెకెంట్ అనేది మీ నుండి పైకప్పుకు ఉన్న మొత్తం దూరం).

ఒక చిన్న మేజిక్. అన్ని త్రిభుజాలు ఒకే సమానత్వాన్ని పంచుకుంటాయి:

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం (a 2 + b 2 = c 2) నుండి ప్రతి త్రిభుజం యొక్క భుజాలు ఎలా కనెక్ట్ అయ్యాయో మనం చూస్తాము. అదనంగా, "ఎత్తు నుండి వెడల్పు" నిష్పత్తులు కూడా అన్ని త్రిభుజాలకు ఒకే విధంగా ఉండాలి. (అతి నుండి వెనక్కి అడుగు వేయండి పెద్ద త్రిభుజంతక్కువ వరకు. అవును, పరిమాణం మార్చబడింది, కానీ కారక నిష్పత్తులు అలాగే ఉంటాయి).

ప్రతి త్రిభుజంలోని ఏ వైపు 1 (గోపురం యొక్క వ్యాసార్థం)కి సమానం అని తెలుసుకోవడం ద్వారా, మనం "sin/cos = tan/1" అని సులభంగా లెక్కించవచ్చు.

నేను ఎల్లప్పుడూ సాధారణ విజువలైజేషన్ ద్వారా ఈ వాస్తవాలను గుర్తుంచుకోవడానికి ప్రయత్నించాను. చిత్రంలో మీరు ఈ డిపెండెన్సీలను స్పష్టంగా చూస్తారు మరియు అవి ఎక్కడ నుండి వచ్చాయో అర్థం చేసుకోండి. ఈ టెక్నిక్ చాలా ఎక్కువ కంఠస్థం కంటే మెరుగైనదిపొడి సూత్రాలు.

ఇతర కోణాల గురించి మర్చిపోవద్దు

Psst... టాంజెంట్ ఎల్లప్పుడూ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుందని భావించి, ఒక గ్రాఫ్‌లో చిక్కుకోకండి. మీరు కోణాన్ని పెంచినట్లయితే, మీరు గోడకు చేరుకోకుండా పైకప్పుకు చేరుకోవచ్చు:

పైథాగరియన్ కనెక్షన్లు ఎల్లప్పుడూ పని చేస్తాయి, కానీ సాపేక్ష పరిమాణాలుభిన్నంగా ఉండవచ్చు.

(సైన్ మరియు కొసైన్ నిష్పత్తులు గోపురం లోపల ఉన్నందున ఎల్లప్పుడూ చిన్నవిగా ఉంటాయని మీరు గమనించి ఉండవచ్చు).

సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే: మనం ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి?

మనలో చాలా మందికి, ఇది సరిపోతుందని నేను చెప్తాను:

• త్రికోణమితి వృత్తాలు మరియు పునరావృత విరామాలు వంటి గణిత వస్తువుల శరీర నిర్మాణ శాస్త్రాన్ని వివరిస్తుంది
• గోపురం/గోడ/పైకప్పు సారూప్యత వివిధ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మధ్య సంబంధాన్ని చూపుతుంది
• ఫలితం త్రికోణమితి విధులుఅనేవి మన స్క్రిప్ట్‌కి వర్తించే శాతాలు.

మీరు 1 2 + cot 2 = csc 2 వంటి సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు. అవి మాత్రమే సరిపోతాయి తెలివితక్కువ పరీక్షలు, దీనిలో వాస్తవం యొక్క జ్ఞానం దానిని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా అందించబడుతుంది. గోపురం, గోడ మరియు పైకప్పు రూపంలో అర్ధ వృత్తాన్ని గీయడానికి ఒక నిమిషం కేటాయించండి, మూలకాలను లేబుల్ చేయండి మరియు అన్ని సూత్రాలు కాగితంపై మీకు వస్తాయి.

అప్లికేషన్: విలోమ విధులు

ఏదైనా త్రికోణమితి ఫంక్షన్ ఒక కోణాన్ని ఇన్‌పుట్ పారామీటర్‌గా తీసుకుంటుంది మరియు ఫలితాన్ని శాతంగా అందిస్తుంది. sin(30) = 0.5. అంటే 30 డిగ్రీల కోణం గరిష్ట ఎత్తులో 50% పడుతుంది.

విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ sin -1 లేదా arcsin అని వ్రాయబడింది. ఇది తరచుగా asin అని కూడా వ్రాయబడుతుంది వివిధ భాషలుప్రోగ్రామింగ్.

గోపురం ఎత్తులో మన ఎత్తు 25% ఉంటే, మన కోణం ఎంత?

మా నిష్పత్తుల పట్టికలో మీరు సెకాంట్ 1 ద్వారా విభజించబడిన నిష్పత్తిని కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, 1 ద్వారా సెకెంట్ (హైపోటెన్యూస్ నుండి క్షితిజ సమాంతరానికి) కొసైన్‌తో భాగించబడిన 1కి సమానం:

మన సెకాంట్ 3.5 అని అనుకుందాం, అనగా. యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థంలో 350%. ఈ విలువ గోడకు ఏ కోణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది?

అనుబంధం: కొన్ని ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ: కోణం x యొక్క సైన్‌ని కనుగొనండి.

బోరింగ్ టాస్క్. సామాన్యమైన “సైన్‌ను కనుగొనండి”ని “గరిష్టంగా (హైపోటెన్యూస్) శాతంగా ఎత్తు ఎంత?” అని క్లిష్టతరం చేద్దాం.

మొదట, త్రిభుజం తిప్పబడిందని గమనించండి. అందులో తప్పేమీ లేదు. త్రిభుజం కూడా ఎత్తును కలిగి ఉంది, ఇది చిత్రంలో ఆకుపచ్చ రంగులో సూచించబడుతుంది.

హైపోటెన్యూస్ దేనికి సమానం? పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనకు ఇది తెలుసు:

3 2 + 4 2 = హైపోటెన్యూస్ 2 25 = హైపోటెన్యూస్ 2 5 = హైపోటెన్యూస్

బాగానే ఉంది! సైన్ అనేది త్రిభుజం యొక్క పొడవైన వైపు లేదా హైపోటెన్యూస్ యొక్క ఎత్తు శాతం. మా ఉదాహరణలో, సైన్ 3/5 లేదా 0.60.

వాస్తవానికి, మేము అనేక మార్గాల్లో వెళ్ళవచ్చు. ఇప్పుడు మనకు సైన్ 0.60 అని తెలుసు, మనం ఆర్క్‌సైన్‌ని కనుగొనవచ్చు:

అసిన్(0.6)=36.9

ఇక్కడ మరొక విధానం ఉంది. త్రిభుజం "గోడకు ఎదురుగా" ఉందని గమనించండి, కాబట్టి మనం సైన్కి బదులుగా టాంజెంట్‌ని ఉపయోగించవచ్చు. ఎత్తు 3, గోడకు దూరం 4, కాబట్టి టాంజెంట్ ¾ లేదా 75%. మేము ఒక శాతం విలువ నుండి ఒక కోణానికి తిరిగి వెళ్ళడానికి ఆర్క్టాంజెంట్‌ని ఉపయోగించవచ్చు:

టాన్ = 3/4 = 0.75 అటాన్ (0.75) = 36.9 ఉదాహరణ: మీరు ఒడ్డుకు ఈదతారా?

మీరు పడవలో ఉన్నారు మరియు మీకు 2 కి.మీ ప్రయాణించడానికి సరిపడా ఇంధనం ఉంది. మీరు ఇప్పుడు తీరం నుండి 0.25 కి.మీ. తీరానికి ఏ గరిష్ట కోణంలో మీరు తగినంత ఇంధనాన్ని కలిగి ఉండాలంటే దానికి ఈదవచ్చు? సమస్య ప్రకటనకు అదనంగా: మేము ఆర్క్ కొసైన్ విలువల పట్టికను మాత్రమే కలిగి ఉన్నాము.

మన దగ్గర ఏమి ఉంది? తీరప్రాంతంమా ప్రసిద్ధ త్రిభుజంలో "గోడ"గా సూచించబడవచ్చు మరియు గోడకు జోడించబడిన "నిచ్చెన పొడవు" అనేది పడవ ద్వారా ఒడ్డుకు (2 కి.మీ) చేరుకోవడానికి గరిష్టంగా సాధ్యమయ్యే దూరం. ఒక సెకెంట్ కనిపిస్తుంది.

మొదట, మీరు శాతాలకు వెళ్లాలి. మనకు 2 / 0.25 = 8 ఉంది, అంటే, మనం ఒడ్డుకు (లేదా గోడకు) నేరుగా దూరం కంటే 8 రెట్లు దూరం ఈదగలము.

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: "8 యొక్క సెకంట్ ఏమిటి?" కానీ మేము దానికి సమాధానం చెప్పలేము, ఎందుకంటే మనకు ఆర్క్ కొసైన్‌లు మాత్రమే ఉన్నాయి.

కొసైన్‌కి సెకెంట్‌ని రిలేట్ చేయడానికి మేము మా మునుపు ఉత్పన్నమైన డిపెండెన్సీలను ఉపయోగిస్తాము: “సెకన్/1 = 1/కాస్”

సెకన్స్ 8 కొసైన్‌తో సమానం⅛. కొసైన్ ⅛ ఉన్న కోణం acos(1/8) = 82.8కి సమానం. మరియు పేర్కొన్న ఇంధనంతో పడవలో మనం కొనుగోలు చేయగల అతిపెద్ద కోణం ఇది.

చెడ్డది కాదు, సరియైనదా? గోపురం-గోడ-పైకప్పు సారూప్యత లేకుండా, నేను సూత్రాలు మరియు లెక్కల సమూహంలో కోల్పోయి ఉండేవాడిని. సమస్యను విజువలైజ్ చేయడం అనేది పరిష్కారం కోసం అన్వేషణను చాలా సులభతరం చేస్తుంది మరియు చివరికి ఏ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ సహాయం చేస్తుందో చూడటం కూడా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది.

ప్రతి సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు ఆలోచించండి క్రింది విధంగా: నాకు గోపురం (సిన్/కాస్), గోడ (టాన్/సెకన్) లేదా సీలింగ్ (మంచం/csc)పై ఆసక్తి ఉందా?

మరియు త్రికోణమితి మరింత ఆనందదాయకంగా మారుతుంది. మీ కోసం సులభమైన లెక్కలు!

"సైన్, కొసైన్ మరియు టాంజెంట్" అనే అంశంపై పాఠం తీవ్రమైన కోణంకుడి త్రిభుజం"

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

విద్యా - సైన్, కొసైన్, లంబ త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ భావనను పరిచయం చేయండి, ఈ పరిమాణాల మధ్య ఆధారపడటం మరియు సంబంధాలను అన్వేషించండి;

అభివృద్ధి చెందుతున్నది - ఒక కోణం యొక్క విధులుగా సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ భావన ఏర్పడటం, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, అభివృద్ధి తార్కిక ఆలోచన, సరైన గణిత ప్రసంగం అభివృద్ధి;

విద్యా - స్వతంత్ర పని యొక్క నైపుణ్యాల అభివృద్ధి, ప్రవర్తన యొక్క సంస్కృతి, రికార్డ్ కీపింగ్‌లో ఖచ్చితత్వం.

పాఠం పురోగతి:

1. ఆర్గనైజింగ్ సమయం

“విద్య అనేది నేర్చుకున్న పాఠాల సంఖ్య కాదు, అర్థం చేసుకున్న సంఖ్య. కాబట్టి, మీరు ముందుకు వెళ్లాలనుకుంటే, నెమ్మదిగా త్వరపడండి మరియు జాగ్రత్తగా ఉండండి."

2. పాఠం ప్రేరణ.

ఒక తెలివైన వ్యక్తి ఇలా అన్నాడు: " అత్యున్నత అభివ్యక్తిఆత్మ అనేది మనస్సు. కారణం యొక్క అత్యధిక అభివ్యక్తి జ్యామితి. జ్యామితి కణం ఒక త్రిభుజం. ఇది విశ్వం వలె తరగనిది. వృత్తం జ్యామితి యొక్క ఆత్మ. వృత్తాన్ని తెలుసుకోండి, మరియు మీరు జ్యామితి యొక్క ఆత్మను మాత్రమే తెలుసుకోలేరు, కానీ మీరు మీ ఆత్మను ఉన్నతపరుస్తారు.

మేము మీతో కలిసి ఒక చిన్న పరిశోధన చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. మీ మనసులో మెదిలిన మీ ఆలోచనలను పంచుకుందాం మరియు తప్పులు చేయడానికి బయపడకండి, ఏ ఆలోచన అయినా శోధించడానికి మాకు కొత్త దిశను అందిస్తుంది. మన విజయాలు ఎవరికైనా గొప్పగా అనిపించకపోవచ్చు, కానీ అవి మన స్వంత విజయాలు!

3. ప్రాథమిక జ్ఞానం యొక్క నవీకరణ.

ఏ కోణాలు ఉండవచ్చు?

త్రిభుజాలు అంటే ఏమిటి?

త్రిభుజాన్ని నిర్వచించే ప్రధాన అంశాలు ఏమిటి?

భుజాలపై ఆధారపడి ఏ రకమైన త్రిభుజాలు ఉన్నాయి?

కోణాలను బట్టి ఏ రకమైన త్రిభుజాలు ఉన్నాయి?

కాలు అంటే ఏమిటి?

హైపోటెన్యూస్ అంటే ఏమిటి?

లంబ త్రిభుజం యొక్క భుజాలను ఏమంటారు?

ఈ త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య ఎలాంటి సంబంధాలు మీకు తెలుసు?

మీరు భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాలను ఎందుకు తెలుసుకోవాలి?

జీవితంలో ఏ పనులు లెక్కించాల్సిన అవసరానికి దారితీయవచ్చు తెలియని పార్టీలుత్రిభుజంలోనా?

"హైపోటెన్యూస్" అనే పదం నుండి వచ్చింది గ్రీకు పదం"హైపోనౌస్", అంటే "ఏదో ఒకటి సాగదీయడం", "సంకోచం". ఈ పదం పురాతన గ్రీకు వీణల చిత్రం నుండి ఉద్భవించింది, దానిపై తీగలు రెండు పరస్పరం లంబంగా ఉండే స్టాండ్ల చివర్లలో విస్తరించి ఉంటాయి. "కాథెటస్" అనే పదం గ్రీకు పదం "కథేటోస్" నుండి వచ్చింది, దీని అర్థం "ప్లంబ్ లైన్", "లంబంగా" ప్రారంభం.

యూక్లిడ్ ఇలా అన్నాడు: "కాళ్ళు లంబ కోణాన్ని చుట్టుముట్టే వైపులా ఉంటాయి."

IN పురాతన గ్రీసుభూమిపై లంబ త్రిభుజాన్ని నిర్మించే పద్ధతి ఇప్పటికే తెలుసు. ఇది చేయుటకు, వారు ఒకదానికొకటి ఒకే దూరంలో 13 నాట్లు కట్టబడిన తాడును ఉపయోగించారు. ఈజిప్టులో పిరమిడ్ల నిర్మాణ సమయంలో, ఈ విధంగా కుడి త్రిభుజాలు తయారు చేయబడ్డాయి. అందుకే బహుశా కుడి త్రిభుజం 3,4,5 వైపులా మరియు అని పిలుస్తారు ఈజిప్షియన్ త్రిభుజం.

4. కొత్త విషయాలను అధ్యయనం చేయడం.

పురాతన కాలంలో, ప్రజలు నక్షత్రాలను వీక్షించారు మరియు ఈ పరిశీలనల ఆధారంగా, ఒక క్యాలెండర్ను ఉంచారు, విత్తనాలు విత్తే తేదీలు మరియు నది వరదల సమయాన్ని లెక్కించారు; సముద్రంలో నౌకలు మరియు భూమిపై యాత్రికులు తమ ప్రయాణాన్ని నక్షత్రాల ద్వారా నావిగేట్ చేశాయి. ఇవన్నీ ఒక త్రిభుజంలో భుజాలను ఎలా లెక్కించాలో నేర్చుకోవాల్సిన అవసరానికి దారితీశాయి, వీటిలో రెండు శీర్షాలు భూమిపై ఉన్నాయి మరియు మూడవది నక్షత్రాల ఆకాశంలో ఒక బిందువు ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ అవసరం ఆధారంగా, త్రికోణమితి శాస్త్రం ఉద్భవించింది - త్రిభుజం యొక్క భుజాల మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రం.

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన సంబంధాలు సరిపోతాయని మీరు అనుకుంటున్నారా?

నేటి పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం కొత్త కనెక్షన్‌లు మరియు డిపెండెన్సీలను అన్వేషించడం, సంబంధాలను పొందడం, తదుపరి జ్యామితి పాఠాలలో మీరు అలాంటి సమస్యలను పరిష్కరించగలుగుతారు.

ఆ పాత్రలో మనం ఉన్నామనే ఫీలింగ్ కలుగుతుంది శాస్త్రీయ కార్మికులుమరియు పురాతన కాలం నాటి మేధావులను అనుసరిస్తున్న థేల్స్, యూక్లిడ్, పైథాగరస్ దారిలో నడుద్దాంనిజం కోసం శోధించండి.

దీని కోసం మనకు అవసరం సైద్ధాంతిక ఆధారం.

ఎరుపు రంగులో కోణం A మరియు లెగ్ BCని హైలైట్ చేయండి.

హైలైట్ చేయండి ఆకుపచ్చలెగ్ AC.

ఎక్యూట్ యాంగిల్ A దాని హైపోటెన్యూస్‌కి వ్యతిరేక భాగమేదో లెక్కిద్దాం, దీని కోసం మనం నిష్పత్తిని సృష్టిస్తాము ఎదురు కాలుహైపోటెన్యూస్కు:

ఈ సంబంధానికి ఒక ప్రత్యేక పేరు ఉంది - గ్రహం యొక్క ప్రతి పాయింట్‌లోని ప్రతి వ్యక్తి దానిని అర్థం చేసుకుంటాడు మేము మాట్లాడుతున్నాముహైపోటెన్యూస్‌కు తీవ్రమైన కోణం యొక్క వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తిని సూచించే సంఖ్య గురించి. ఈ పదం పాపం. దాన్ని వ్రాయు. కోణం పేరు లేకుండా సైన్ అనే పదం అన్ని అర్థాలను కోల్పోతుంది కాబట్టి, గణిత సంజ్ఞామానం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఇప్పుడు తీవ్రమైన కోణం A కోసం ప్రక్కనే ఉన్న కాలు యొక్క నిష్పత్తిని హైపోటెన్యూస్‌కు కంపోజ్ చేయండి:

ఈ నిష్పత్తిని కొసైన్ అంటారు. దీని గణిత సంజ్ఞామానం:

తీవ్రమైన కోణం A కోసం మరొక సంబంధాన్ని పరిశీలిద్దాం: వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి ప్రక్కనే కాలు:

ఈ నిష్పత్తిని టాంజెంట్ అంటారు. దీని గణిత సంజ్ఞామానం:

5. కొత్త పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ.

మన ఇంటర్మీడియట్ ఆవిష్కరణలను ఏకీకృతం చేద్దాం.

సైన్ అంటే...

కొసైన్ అంటే...

టాంజెంట్ అంటే...

పాపం A =	పాపం గురించి =	పాపం ఎ 1 =
cos A =	కాస్ గురించి =	కాస్ ఎ 1 =
టాన్ A =	tg గురించి =	టాన్ ఎ 1 =

మౌఖికంగా నం. 88, 889, 892 (జతగా పని చేయండి) పరిష్కరించండి.

పరిష్కరించడానికి సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించడం ఆచరణాత్మక సమస్య:

“70 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న లైట్‌హౌస్ టవర్ నుండి, హోరిజోన్‌కు 3° కోణంలో ఓడ కనిపిస్తుంది. అది ఎలా ఉంటుంది

లైట్‌హౌస్ నుండి ఓడకు దూరం?

సమస్య ముందు ముందు పరిష్కరించబడుతుంది. చర్చ సమయంలో, మేము బోర్డు మరియు నోట్‌బుక్‌లలో డ్రాయింగ్ మరియు అవసరమైన గమనికలను చేస్తాము.

సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, బ్రాడిస్ పట్టికలు ఉపయోగించబడతాయి.

సమస్య పేజీ 175కి పరిష్కారాన్ని పరిగణించండి.

పరిష్కారం నం. 902(1).

6. కళ్లకు వ్యాయామం.

మీ తల తిప్పకుండా, చుట్టుకొలత చుట్టూ క్లాస్‌రూమ్ గోడ చుట్టూ సవ్యదిశలో చూడండి, చుట్టుకొలత చుట్టూ ఉన్న సుద్ద బోర్డ్ అపసవ్య దిశలో, స్టాండ్‌పై త్రిభుజం సవ్యదిశలో మరియు సమానమైన త్రిభుజం అపసవ్య దిశలో చూడండి. మీ తలను ఎడమవైపుకు తిప్పండి మరియు క్షితిజ సమాంతర రేఖను చూడండి మరియు ఇప్పుడు మీ ముక్కు యొక్క కొన వద్ద. మీ కళ్ళు మూసుకోండి, 5కి లెక్కించండి, మీ కళ్ళు తెరవండి మరియు...

మేము మా అరచేతులను మా కళ్ళకు ఉంచుతాము,
మన దృఢమైన కాళ్ళను విప్పదాం.
కుడివైపుకు తిరగడం
చుట్టూ గంభీరంగా చూద్దాం.
మరియు మీరు ఎడమవైపు కూడా వెళ్లాలి
మీ అరచేతుల క్రింద నుండి చూడండి.
మరియు - కుడివైపు! మరియు మరింత
మీ ఎడమ భుజం మీద!
ఇప్పుడు పనిని కొనసాగిద్దాం.

7. స్వతంత్ర పనివిద్యార్థులు.

నం.

8. పాఠం సారాంశం. ప్రతిబింబం. D/z.

మీరు ఏ కొత్త విషయాలు నేర్చుకున్నారు? పాఠంలో:

మీరు ఆలోచించారా...

మీరు విశ్లేషించారు...

మీరు అందుకున్నారు…

మీరు ముగించారు...

మీరు తిరిగి నింపారు నిఘంటువుకింది నిబంధనలు...

ప్రపంచ విజ్ఞానం జ్యామితితో ప్రారంభమైంది. పాఠశాలలో జ్యామితిని అధ్యయనం చేయకపోతే ఒక వ్యక్తి నిజంగా సాంస్కృతికంగా మరియు ఆధ్యాత్మికంగా అభివృద్ధి చెందలేడు. జ్యామితి ఆచరణాత్మకం నుండి మాత్రమే కాకుండా, మనిషి యొక్క ఆధ్యాత్మిక అవసరాల నుండి కూడా ఉద్భవించింది.

జ్యామితి పట్ల తనకున్న ప్రేమను ఆమె కవితాత్మకంగా ఇలా వివరించింది

నాకు జామెట్రీ అంటే చాలా ఇష్టం...

నేను జ్యామితిని బోధిస్తాను ఎందుకంటే నేను దానిని ఇష్టపడుతున్నాను

మనకు జ్యామితి అవసరం, అది లేకుండా మనం ఎక్కడికీ రాలేము.

సైన్, కొసైన్, చుట్టుకొలత - ఇక్కడ ప్రతిదీ ముఖ్యమైనది,

ఇక్కడ ప్రతిదీ అవసరం

మీరు ప్రతిదీ చాలా స్పష్టంగా నేర్చుకోవాలి మరియు అర్థం చేసుకోవాలి,

సమయానికి అసైన్‌మెంట్‌లు మరియు పరీక్షలను పూర్తి చేయండి.

కొన్ని దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ మరియు సరళ రేఖను ఇవ్వనివ్వండి . వీలు మరియు - రెండు వేర్వేరు విమానాలు సరళ రేఖలో కలుస్తాయి మరియు సమీకరణాల ప్రకారం ఇవ్వబడింది. ఈ రెండు సమీకరణాలు సంయుక్తంగా సరళ రేఖను నిర్వచించాయి ఒకవేళ అవి సమాంతరంగా లేకుంటే మరియు ఒకదానితో ఒకటి ఏకీభవించనట్లయితే, అంటే సాధారణ వెక్టర్స్
మరియు
ఈ విమానాలు కొలినియర్ కాదు.

నిర్వచనం.సమీకరణాల గుణకాలు ఉంటే

అనుపాతంలో లేవు, అప్పుడు ఈ సమీకరణాలు అంటారు సాధారణ సమీకరణాలు సరళ రేఖ, విమానాల ఖండన రేఖగా నిర్వచించబడింది.

నిర్వచనం.రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న ఏదైనా నాన్-జీరో వెక్టర్ అంటారు గైడ్ వెక్టర్ఈ సరళ రేఖ.

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుదాం ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతుంది
స్థలం మరియు ఇచ్చిన దిశ వెక్టర్ కలిగి ఉంటుంది
.

పాయింట్ లెట్
- సరళ రేఖపై ఏకపక్ష బిందువు . ఈ పాయింట్ వెక్టార్ అయితే మరియు మాత్రమే రేఖపై ఉంటుంది
, కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది
, దిశ వెక్టర్‌కు కొలినియర్
నేరుగా. (2.28) ప్రకారం, వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియరిటీకి షరతు
మరియు కనిపిస్తోంది

. (3.18)

సమీకరణాలు (3.18) అంటారు కానానికల్ సమీకరణాలుఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ
మరియు దిశ వెక్టర్ కలిగి ఉంటుంది
.

సూటిగా ఉంటే సాధారణ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది (3.17), ఆపై దిశ వెక్టర్ ఈ రేఖ సాధారణ వెక్టర్‌లకు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది
మరియు
సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొన్న విమానాలు. వెక్టర్
వెక్టార్ ఉత్పత్తి లక్షణం ప్రకారం, ఇది ప్రతి వెక్టర్‌కు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది మరియు . నిర్వచనం ప్రకారం, దిశ వెక్టర్‌గా నేరుగా మీరు వెక్టర్ తీసుకోవచ్చు
, అనగా
.

ఒక పాయింట్ కనుగొనేందుకు
సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి
. సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించబడిన విమానాలు సమాంతరంగా ఉండవు మరియు ఏకీభవించవు కాబట్టి, కనీసం ఒక సమానత్వం కలిగి ఉండదు
. ఇది నిర్ణయాధికారులలో కనీసం ఒకదానికి దారి తీస్తుంది ,
,
సున్నా నుండి భిన్నమైనది. నిశ్చయత కోసం, మేము దానిని ఊహిస్తాము
. అప్పుడు, ఏకపక్ష విలువను తీసుకోవడం , మేము తెలియని వారి కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము మరియు :

.

క్రామెర్ యొక్క సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ వ్యవస్థ సూత్రాల ద్వారా నిర్వచించబడిన ఏకైక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది

,
. (3.19)

మీరు తీసుకుంటే
, అప్పుడు సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన సరళ రేఖ (3.17) పాయింట్ గుండా వెళుతుంది
.

అందువలన, సందర్భంలో ఎప్పుడు
, కానానికల్ సమీకరణాలుసరళ రేఖలు (3.17) రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి

.

సరళ రేఖ (3.17) యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలు నిర్ణయాత్మకం నాన్‌జీరో అయినప్పుడు అదే విధంగా వ్రాయబడతాయి
లేదా
.

ఒక లైన్ రెండు వేర్వేరు పాయింట్ల గుండా వెళితే
మరియు
, అప్పుడు దాని కానానికల్ సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి

. (3.20)

సరళ రేఖ పాయింట్ గుండా వెళుతుందనే వాస్తవం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది
మరియు డైరెక్షన్ వెక్టర్ ఉంది.

సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలను (3.18) పరిశీలిద్దాం. ప్రతి సంబంధాలను పారామీటర్‌గా తీసుకుందాం , అనగా
. ఈ భిన్నాల యొక్క హారం సున్నా కానిది, మరియు సంబంధిత లవం ఏదైనా విలువను తీసుకోవచ్చు, కాబట్టి పరామితి ఏదైనా నిజమైన విలువలను తీసుకోవచ్చు. ప్రతి నిష్పత్తులు సమానంగా ఉన్నాయని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు , మాకు దొరికింది పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు నేరుగా:

,
,
. (3.21)

విమానం లెట్ సాధారణ సమీకరణం మరియు సరళ రేఖ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది - పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు
,
,
. చుక్క
సరళ రేఖ యొక్క ఖండన మరియు విమానాలు ఏకకాలంలో ఒక విమానం మరియు రేఖకు చెందినదిగా ఉండాలి. పరామితి ఉంటే మాత్రమే ఇది సాధ్యమవుతుంది సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది, అనగా.
. అందువలన, ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానం యొక్క ఖండన స్థానం అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటుంది

,

,

.

ఉదాహరణ 32. పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న లైన్ కోసం పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను వ్రాయండి
మరియు
.

పరిష్కారం.సరళ రేఖ యొక్క దర్శకత్వం వెక్టర్ కోసం మేము వెక్టర్ తీసుకుంటాము

. సరళ రేఖ ఒక బిందువు గుండా వెళుతుంది , కాబట్టి, ఫార్ములా (3.21) ప్రకారం, అవసరమైన సరళ రేఖ సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి
,
,
.

ఉదాహరణ 33. త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు
అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటాయి
,
మరియు
వరుసగా. శీర్షం నుండి తీసిన మధ్యస్థం కోసం పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయండి .

పరిష్కారం.వీలు
- వైపు మధ్యలో
, అప్పుడు
,
,
. మధ్యస్థం యొక్క గైడ్ వెక్టర్‌గా, మేము వెక్టర్‌ని తీసుకుంటాము
. అప్పుడు మధ్యస్థం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి
,
,
.

ఉదాహరణ 34. ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాలను కంపోజ్ చేయండి
రేఖకు సమాంతరంగా
.

పరిష్కారం.సరళ రేఖ సాధారణ వెక్టర్‌లతో విమానాల ఖండన రేఖగా నిర్వచించబడింది
మరియు
. గైడ్ వెక్టర్‌గా ఈ లైన్ యొక్క వెక్టర్ తీసుకోండి
, అనగా
. (3.18) ప్రకారం, అవసరమైన సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
లేదా
.

3.8 అంతరిక్షంలో సరళ రేఖల మధ్య కోణం. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణం

రెండు సరళ రేఖలను అనుమతించండి మరియు అంతరిక్షంలో వాటి కానానికల్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడ్డాయి
మరియు
. అప్పుడు మూలల్లో ఒకటి ఈ పంక్తుల మధ్య కోణానికి సమానంవారి దిశ వెక్టర్స్ మధ్య
మరియు
. ఫార్ములా (2.22) ఉపయోగించి, కోణాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము సూత్రాన్ని పొందుతాము

. (3.22)

రెండవ మూలలో ఈ పంక్తుల మధ్య సమానంగా ఉంటుంది
మరియు
.

సమాంతర రేఖల కోసం పరిస్థితి మరియు వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీ యొక్క స్థితికి సమానం
మరియు
మరియు వాటి కోఆర్డినేట్‌ల అనుపాతంలో ఉంటుంది, అనగా సమాంతర రేఖల పరిస్థితి రూపం కలిగి ఉంటుంది

. (3.23)

సూటిగా ఉంటే మరియు లంబంగా ఉంటాయి, అప్పుడు వాటి దిశ వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్, అనగా. లంబ స్థితి సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

. (3.24)

ఒక విమానాన్ని పరిగణించండి , సాధారణ సమీకరణం మరియు సరళ రేఖ ద్వారా ఇవ్వబడింది , కానానికల్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడింది
.

కార్నర్ సరళ రేఖ మధ్య మరియు విమానం కోణానికి పరిపూరకరమైనది సరళ రేఖ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్ మరియు విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టర్ మధ్య, అనగా.
మరియు
, లేదా

. (3.24)

పంక్తి యొక్క సమాంతరత కోసం షరతు మరియు విమానాలు రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ మరియు విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టార్ లంబంగా ఉండే షరతుకు సమానం, అంటే, ఈ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి:

రేఖ సమతలానికి లంబంగా ఉంటే, రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ మరియు విమానం యొక్క సాధారణ వెక్టార్ తప్పనిసరిగా కొలినియర్‌గా ఉండాలి. ఈ సందర్భంలో, వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు అనుపాతంలో ఉంటాయి, అనగా.

. (3.26)

ఉదాహరణ 35. కనుగొనండి గురు కోణంసరళ రేఖల మధ్య
,
,
మరియు
,
,
.

పరిష్కారం.ఈ పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి
మరియు
. అందువలన ఒక మూల సరళ రేఖల మధ్య నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా.
. అందువల్ల, సమస్య యొక్క పరిస్థితి పంక్తుల మధ్య రెండవ కోణం ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది, సమానంగా ఉంటుంది
.

3.9 అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం

వీలు
 కోఆర్డినేట్‌లతో స్పేస్‌లో పాయింట్
, కానానికల్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన సరళ రేఖ
. దూరం వెతుకుదాం పాయింట్ నుండి
సరళ రేఖకు .

గైడ్ వెక్టర్‌ని వర్తింపజేద్దాం
విషయానికి
. దూరం పాయింట్ నుండి
సరళ రేఖకు వెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఎత్తు మరియు
. క్రాస్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగించి సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

మరోవైపు, . చివరి రెండు సంబంధాల యొక్క కుడి-భుజాల సమానత్వం నుండి అది అనుసరిస్తుంది

. (3.27)

3.10 ఎలిప్సోయిడ్

నిర్వచనం. ఎలిప్సోయిడ్రెండవ-క్రమం ఉపరితలం, ఇది కొన్ని సమన్వయ వ్యవస్థలో సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది

. (3.28)

సమీకరణం (3.28) ఎలిప్సోయిడ్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం అంటారు.

సమీకరణం (3.28) నుండి కోఆర్డినేట్ విమానాలు దీర్ఘవృత్తాకార సమరూపత యొక్క విమానాలు మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలం సమరూపత యొక్క కేంద్రం. సంఖ్యలు
ఎలిప్సోయిడ్ యొక్క సెమీ-యాక్సెస్ అని పిలుస్తారు మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో మూలం నుండి దీర్ఘవృత్తాకార ఖండన వరకు ఉన్న విభాగాల పొడవులను సూచిస్తాయి. ఎలిప్సోయిడ్ అనేది సమాంతర పైప్డ్‌లో చుట్టబడిన సరిహద్దు ఉపరితలం
,
,
.

ఎలిప్సోయిడ్ యొక్క రేఖాగణిత రూపాన్ని ఏర్పాటు చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా దాని విమానాల ఖండన రేఖల ఆకారాన్ని తెలుసుకుందాం.

నిర్దిష్టంగా చెప్పాలంటే, విమానాలతో దీర్ఘవృత్తాకార ఖండన రేఖలను పరిగణించండి
, విమానానికి సమాంతరంగా
. ఒక విమానంలో ఖండన రేఖ యొక్క ప్రొజెక్షన్ కోసం సమీకరణం
(3.28) నుండి మనం ఉంచినట్లయితే లభిస్తుంది
. ఈ ప్రొజెక్షన్ యొక్క సమీకరణం

. (3.29)

ఉంటే
, అప్పుడు (3.29) అనేది ఒక ఊహాత్మక దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం మరియు విమానంతో దీర్ఘవృత్తాకార ఖండన బిందువులు
నం. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది
. ఉంటే
, అప్పుడు పంక్తి (3.29) పాయింట్లుగా క్షీణిస్తుంది, అనగా విమానాలు
పాయింట్ల వద్ద దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని తాకండి
మరియు
. ఉంటే
, ఆ
మరియు మీరు సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేయవచ్చు

,
. (3.30)

అప్పుడు సమీకరణం (3.29) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

, (3.31)

అంటే విమానంలో ప్రొజెక్షన్
ఎలిప్సోయిడ్ మరియు విమానం యొక్క ఖండన రేఖలు
అర్ధ-గొడ్డలితో దీర్ఘవృత్తం, ఇది సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది (3.30). కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లకు సమాంతరంగా ఉండే విమానాలతో ఉపరితలం యొక్క ఖండన రేఖ ఎత్తుకు “పెంచబడిన” ప్రొజెక్షన్ కాబట్టి , అప్పుడు ఖండన రేఖ కూడా దీర్ఘవృత్తం.

విలువను తగ్గించేటప్పుడు ఇరుసు షాఫ్ట్లు మరియు వద్ద వారి గొప్ప విలువను పెంచండి మరియు చేరుకోండి
, అంటే కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ ద్వారా ఎలిప్సోయిడ్ విభాగంలో
సెమీ గొడ్డలితో అతిపెద్ద దీర్ఘవృత్తాకారం పొందబడింది
మరియు
.

ఎలిప్సోయిడ్ యొక్క ఆలోచన మరొక విధంగా పొందవచ్చు. విమానంలో పరిగణించండి
పాక్షిక అక్షాలతో దీర్ఘవృత్తాకార కుటుంబం (3.31). మరియు , సంబంధాల ద్వారా నిర్వచించబడింది (3.30) మరియు ఆధారపడి . అటువంటి ప్రతి దీర్ఘవృత్తం ఒక స్థాయి రేఖ, అంటే ప్రతి బిందువు వద్ద ఒక పంక్తి విలువ ఉంటుంది అదే. అటువంటి ప్రతి దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని ఎత్తుకు "పెంచడం" , మేము ఎలిప్సోయిడ్ యొక్క ప్రాదేశిక వీక్షణను పొందుతాము.

ఇచ్చిన ఉపరితలం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లకు సమాంతరంగా ఉన్న విమానాల ద్వారా కలుస్తున్నప్పుడు ఇలాంటి చిత్రం లభిస్తుంది.
మరియు
.

అందువలన, ఎలిప్సోయిడ్ అనేది క్లోజ్డ్ ఎలిప్టికల్ ఉపరితలం. ఎప్పుడు
ఎలిప్సోయిడ్ ఒక గోళం.

ఏదైనా విమానంతో దీర్ఘవృత్తాకార ఖండన రేఖ ఒక దీర్ఘవృత్తం, ఎందుకంటే అటువంటి రేఖ రెండవ క్రమంలో పరిమిత రేఖ, మరియు రెండవ క్రమం యొక్క పరిమిత రేఖ మాత్రమే దీర్ఘవృత్తం.

“Get an A” వీడియో కోర్సు మీకు అవసరమైన అన్ని అంశాలను కలిగి ఉంటుంది విజయవంతంగా పూర్తి 60-65 పాయింట్ల కోసం గణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష. పూర్తిగా అన్ని సమస్యలు 1-13 ప్రొఫైల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్గణితం. గణితంలో బేసిక్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 90-100 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించాలనుకుంటే, మీరు 30 నిమిషాల్లో మరియు తప్పులు లేకుండా పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాలి!

10-11 తరగతులకు, అలాగే ఉపాధ్యాయులకు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం ప్రిపరేషన్ కోర్సు. మీరు గణితం (మొదటి 12 సమస్యలు) మరియు సమస్య 13 (త్రికోణమితి)లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. మరియు ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో 70 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ, మరియు 100-పాయింట్ విద్యార్థి లేదా హ్యుమానిటీస్ విద్యార్థి వాటిని లేకుండా చేయలేరు.

అన్నీ అవసరమైన సిద్ధాంతం. త్వరిత మార్గాలుఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క పరిష్కారాలు, ఆపదలు మరియు రహస్యాలు. FIPI టాస్క్ బ్యాంక్ నుండి పార్ట్ 1 యొక్క అన్ని ప్రస్తుత టాస్క్‌లు విశ్లేషించబడ్డాయి. కోర్సు పూర్తిగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2018 యొక్క అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

కోర్సులో 5 ఉన్నాయి పెద్ద విషయాలు, 2.5 గంటలు ఒక్కొక్కటి. ప్రతి అంశం మొదటి నుండి సరళంగా మరియు స్పష్టంగా ఇవ్వబడింది.

వందలాది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌లు. పద సమస్యలుమరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి సులభమైన అల్గారిథమ్‌లు. జ్యామితి. సిద్ధాంతం, సూచన పదార్థం, అన్ని రకాల యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనుల విశ్లేషణ. స్టీరియోమెట్రీ. గమ్మత్తైన పరిష్కారాలు, ఉపయోగకరమైన చీట్ షీట్లు, అభివృద్ధి ప్రాదేశిక కల్పన. మొదటి నుండి సమస్య వరకు త్రికోణమితి 13. క్రామింగ్‌కు బదులుగా అర్థం చేసుకోవడం. దృశ్య వివరణ సంక్లిష్ట భావనలు. బీజగణితం. రూట్స్, పవర్స్ మరియు లాగరిథమ్స్, ఫంక్షన్ మరియు డెరివేటివ్. పరిష్కారం కోసం ఆధారం క్లిష్టమైన పనులుఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 2 భాగాలు.