అని పిలువబడే రూపం యొక్క విధి క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్.
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ - పారాబోలా.
కేసులను పరిశీలిద్దాం:
ఐ కేస్, క్లాసికల్ పారాబోలా
అంటే,
నిర్మించడానికి, ఫార్ములాలో x విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా పట్టికను పూరించండి:
పాయింట్లను గుర్తించండి (0;0); (1;1); (-1;1), మొదలైనవి. కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో (మనం x విలువలను ఎంత చిన్నదిగా తీసుకుంటామో (ఈ సందర్భంలో, దశ 1), మరియు ఎక్కువ x విలువలను తీసుకుంటే, వక్రత సున్నితంగా ఉంటుంది), మనకు పారాబొలా లభిస్తుంది:
మనం కేసును తీసుకుంటే, , , అంటే, అక్షం (ఓహ్) గురించి సుష్టంగా ఉండే పారాబొలాను పొందడం సులభం. సారూప్య పట్టికను పూరించడం ద్వారా దీన్ని ధృవీకరించడం సులభం:
II కేస్, “a” యూనిట్ నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది
తీసుకుంటే ఏమవుతుంది , , ? పారాబొలా యొక్క ప్రవర్తన ఎలా మారుతుంది? శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
మొదటి చిత్రంలో (పైన చూడండి) పారాబొలా (1;1), (-1;1) కోసం పట్టిక నుండి పాయింట్లు (1;4), (1;-4)గా రూపాంతరం చెందడం స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. అంటే, అదే విలువలతో, ప్రతి పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్ 4 ద్వారా గుణించబడుతుంది. ఇది అసలు పట్టికలోని అన్ని కీలక పాయింట్లకు జరుగుతుంది. మేము చిత్రాలు 2 మరియు 3 విషయంలో కూడా అదేవిధంగా తర్కించాము.
మరియు పారాబొలా పారాబొలా కంటే "విశాలంగా మారినప్పుడు":
సారాంశం చేద్దాం:
1)గుణకం యొక్క సంకేతం శాఖల దిశను నిర్ణయిస్తుంది. శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) సంపూర్ణ విలువగుణకం (మాడ్యులస్) పారాబొలా యొక్క "విస్తరణ" మరియు "కుదింపు"కి బాధ్యత వహిస్తుంది. పెద్దది , ఇరుకైన పారాబొలా; చిన్న |a|, పారాబొలా వెడల్పుగా ఉంటుంది.
III కేస్, “C” కనిపిస్తుంది
ఇప్పుడు గేమ్‌లోకి ప్రవేశపెడదాం (అనగా, సందర్భాన్ని పరిగణలోకి తీసుకోండి), మేము ఫారమ్ యొక్క పారాబోలాలను పరిశీలిస్తాము . గుర్తును బట్టి పారాబొలా అక్షం వెంట పైకి లేదా క్రిందికి మారుతుందని ఊహించడం కష్టం కాదు (మీరు ఎల్లప్పుడూ పట్టికను సూచించవచ్చు):
IV కేసు, "b" కనిపిస్తుంది
పారాబొలా అక్షం నుండి "విచ్ఛిన్నం" మరియు చివరకు మొత్తం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఎప్పుడు "నడవుతుంది"? ఇది సమానంగా ఉండటం ఎప్పుడు ఆగిపోతుంది?
ఇక్కడ పారాబొలాను నిర్మించడానికి మనకు అవసరం శీర్షాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రం: , .
కాబట్టి ఈ సమయంలో (కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క పాయింట్ (0;0) వద్ద) మేము ఒక పారాబొలాను నిర్మిస్తాము, ఇది మనం ఇప్పటికే చేయగలము. మేము కేసుతో వ్యవహరిస్తున్నట్లయితే, అప్పుడు శీర్షం నుండి మేము ఒక యూనిట్ సెగ్మెంట్ను కుడివైపుకి, ఒకదానిపైకి ఉంచుతాము - ఫలితంగా వచ్చే పాయింట్ మాది (అదే విధంగా, ఎడమవైపుకి ఒక అడుగు, ఒక మెట్టు పైకి మా పాయింట్); మేము వ్యవహరిస్తుంటే, ఉదాహరణకు, శీర్షం నుండి మనం ఒక యూనిట్ సెగ్మెంట్ను కుడి వైపుకు, రెండు - పైకి, మొదలైనవి ఉంచుతాము.
ఉదాహరణకు, పారాబొలా యొక్క శీర్షం:
ఇప్పుడు అర్థం చేసుకోవలసిన ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, ఈ శీర్షంలో మనం పారాబొలా నమూనా ప్రకారం పారాబొలాను నిర్మిస్తాము, ఎందుకంటే మన విషయంలో.
పారాబొలాను నిర్మిస్తున్నప్పుడు శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొన్న తర్వాతకింది అంశాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:
1) పారాబోలా ఖచ్చితంగా పాయింట్ గుండా వెళుతుంది . నిజానికి, ఫార్ములాలో x=0ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము దానిని పొందుతాము. అంటే, అక్షం (ఓయ్)తో పారాబొలా ఖండన బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్. మా ఉదాహరణలో (పైన), పారాబొలా ఆర్డినేట్‌ను పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంది, నుండి .
2) సమరూపత యొక్క అక్షం పారాబొలాస్ అనేది సరళ రేఖ, కాబట్టి పారాబొలా యొక్క అన్ని పాయింట్లు దాని గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి. మా ఉదాహరణలో, మేము వెంటనే పాయింట్ (0; -2) తీసుకుంటాము మరియు పారాబొలా యొక్క సమరూప అక్షానికి సంబంధించి దానిని సుష్టంగా నిర్మిస్తాము, పారాబొలా పాస్ అయ్యే పాయింట్ (4; -2) మనకు లభిస్తుంది.
3) కు సమానం, మేము అక్షం (ఓహ్) తో పారాబొలా యొక్క ఖండన యొక్క పాయింట్లను కనుగొంటాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. వివక్షతపై ఆధారపడి, మేము ఒకటి (, ), రెండు (టైటిల్=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది) పొందుతాము." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . మునుపటి ఉదాహరణలో, వివక్షత యొక్క మా మూలం పూర్ణాంకం కాదు; నిర్మించేటప్పుడు, మూలాలను కనుగొనడం మాకు పెద్దగా అర్ధవంతం కాదు, కానీ అక్షంతో (ఓహ్) ఖండన యొక్క రెండు పాయింట్లు మనకు ఉన్నాయని మేము స్పష్టంగా చూస్తాము. (శీర్షిక నుండి=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
కాబట్టి దాన్ని పని చేద్దాం
పారాబొలా రూపంలో ఇచ్చినట్లయితే దానిని నిర్మించడానికి అల్గోరిథం
1) శాఖల దిశను నిర్ణయించండి (a>0 - పైకి, a<0 – вниз)
2) మేము ఫార్ములా ఉపయోగించి పారాబొలా యొక్క శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొంటాము.
3) ఉచిత పదాన్ని ఉపయోగించి పారాబొలా అక్షం (oy)తో ఖండన బిందువును మేము కనుగొంటాము, పారాబొలా యొక్క సమరూప అక్షానికి సంబంధించి ఈ బిందువుకు సుష్ట బిందువును నిర్మిస్తాము (ఇది గుర్తించడం లాభదాయకం కాదని గమనించాలి ఈ పాయింట్, ఉదాహరణకు, విలువ పెద్దది కాబట్టి... మేము ఈ పాయింట్‌ని దాటవేస్తాము...)
4) కనుగొనబడిన పాయింట్ వద్ద - పారాబొలా యొక్క శీర్షం (కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క పాయింట్ (0;0) వద్ద వలె) మేము పారాబొలాను నిర్మిస్తాము. ఒకవేళ శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా అక్షం (ఓయ్) (అవి ఇంకా "ఉపరితలం" కానట్లయితే)తో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను మేము కనుగొంటాము
ఉదాహరణ 1
ఉదాహరణ 2
గమనిక 1.పారాబొలా ప్రారంభంలో మనకు కొన్ని సంఖ్యలు (ఉదాహరణకు, ) రూపంలో ఇచ్చినట్లయితే, దానిని నిర్మించడం మరింత సులభం అవుతుంది, ఎందుకంటే మనకు ఇప్పటికే శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఇవ్వబడ్డాయి. ఎందుకు?
ఒక చతురస్రాకార త్రినామిని తీసుకొని దానిలోని పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరు చేద్దాం: చూడండి, మనకు అది వచ్చింది , . మీరు మరియు నేను మునుపు పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని పిలిచాము, అంటే ఇప్పుడు,.
ఉదాహరణకి, . మేము విమానంలో పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని గుర్తించాము, శాఖలు క్రిందికి మళ్లించబడిందని మేము అర్థం చేసుకున్నాము, పారాబొలా విస్తరించబడింది (సంబంధితం). అంటే, మేము పాయింట్లు 1 నిర్వహిస్తాము; 3; 4; పారాబొలాను నిర్మించడానికి అల్గోరిథం నుండి 5 (పైన చూడండి).
గమనిక 2.పారాబొలా ఇదే రూపంలో ఇవ్వబడితే (అనగా, రెండు సరళ కారకాల ఉత్పత్తిగా ప్రదర్శించబడుతుంది), అప్పుడు మేము వెంటనే అక్షం (ఎద్దు)తో పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను చూస్తాము. ఈ సందర్భంలో - (0;0) మరియు (4;0). మిగిలిన వాటి కోసం, మేము అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము, బ్రాకెట్లను తెరవడం.
తరగతి 10 . రెండవ ఆర్డర్ వక్రతలు.
10.1 దీర్ఘవృత్తాకారము. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ అక్షాలు, విపరీతత, గ్రాఫ్.
10.2 హైపర్బోలా. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ-యాక్సెస్, ఎక్సెంట్రిసిటీ, అసింప్టోట్స్, గ్రాఫ్.
10.3 పరబోలా. కానానికల్ సమీకరణం. పారాబొలా పరామితి, గ్రాఫ్.
విమానంలో సెకండ్-ఆర్డర్ వక్రతలు పంక్తులు, దీని అవ్యక్త నిర్వచనం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
ఎక్కడ 
- ఇచ్చిన వాస్తవ సంఖ్యలు, 
- కర్వ్ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు. రెండవ-క్రమం వక్రతలలో అత్యంత ముఖ్యమైన పంక్తులు దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా.
10.1 దీర్ఘవృత్తాకారము. కానానికల్ సమీకరణం. సెమీ అక్షాలు, విపరీతత, గ్రాఫ్.
దీర్ఘవృత్తం యొక్క నిర్వచనం.దీర్ఘవృత్తం అనేది ఒక సమతల వక్రరేఖ, దీని మొత్తం రెండు స్థిర బిందువుల నుండి దూరాలు 
ఏదైనా పాయింట్‌కి విమానం 
(అవి.). పాయింట్లు 
దీర్ఘవృత్తం యొక్క foci అంటారు.
కానానికల్ దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం:
.
(2)
(లేదా అక్షం 
) ట్రిక్స్ ద్వారా వెళుతుంది 
, మరియు మూలం పాయింట్ 
- సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంది 
(చిత్రం 1). దీర్ఘవృత్తం (2) కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు మూలం (దీర్ఘవృత్తం యొక్క కేంద్రం) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. శాశ్వతమైనది 
,
అంటారు దీర్ఘవృత్తం యొక్క అర్ధ-అక్షాలు.
దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని సమీకరణం (2) ద్వారా అందించినట్లయితే, దీర్ఘవృత్తాకారం యొక్క foci ఇలా కనుగొనబడుతుంది.
1) ముందుగా, foci ఎక్కడ ఉందో మేము నిర్ణయిస్తాము: ప్రధాన సెమీ అక్షాలు ఉన్న కోఆర్డినేట్ అక్షం మీద foci ఉంటుంది.
2) అప్పుడు ఫోకల్ పొడవు లెక్కించబడుతుంది 
(ఫోసిస్ నుండి మూలానికి దూరం).
వద్ద 
foci అక్షం మీద ఉంటుంది 
;
;
.
వద్ద 
foci అక్షం మీద ఉంటుంది 
;
;
.
విపరీతత్వందీర్ఘవృత్తాకారాన్ని పరిమాణం అంటారు: 
(వద్ద 
);
(వద్ద 
).
దీర్ఘవృత్తం ఎల్లప్పుడూ 
. విపరీతత దీర్ఘవృత్తాకార సంపీడనం యొక్క లక్షణంగా పనిచేస్తుంది.
దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని (2) తరలించినట్లయితే, దీర్ఘవృత్తాకార కేంద్రం పాయింట్‌ను తాకుతుంది 
,
, ఫలితంగా దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
.
10.2 హైపర్బోలా. నియమానుగుణ సమీకరణం. సెమీ-యాక్సెస్, ఎక్సెంట్రిసిటీ, అసింప్టోట్స్, గ్రాఫ్.
అతిశయోక్తి యొక్క నిర్వచనం.హైపర్బోలా అనేది ప్లేన్ కర్వ్, దీనిలో రెండు స్థిర బిందువుల నుండి దూరాలలో తేడా యొక్క సంపూర్ణ విలువ 
ఏదైనా పాయింట్‌కి విమానం 
ఈ వక్రరేఖ పాయింట్ నుండి స్వతంత్రంగా స్థిరమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది 
(అవి.). పాయింట్లు 
ఒక హైపర్బోలా యొక్క foci అంటారు.
కానానికల్ హైపర్బోలా సమీకరణం:
లేదా 
.
(3)
కోఆర్డినేట్ అక్షం అయితే ఈ సమీకరణం పొందబడుతుంది 
(లేదా అక్షం 
) ట్రిక్స్ ద్వారా వెళుతుంది 
, మరియు మూలం పాయింట్ 
- సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంది 
. హైపర్బోలాస్ (3) కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి. శాశ్వతమైనది 
,
అంటారు హైపర్బోలా యొక్క అర్ధ-అక్షాలు.
హైపర్బోల్ యొక్క ఫోసిస్ ఇలా కనుగొనబడింది.
అతిశయోక్తి వద్ద 
foci అక్షం మీద ఉంటుంది 
:
(Fig. 2.a).
అతిశయోక్తి వద్ద 
foci అక్షం మీద ఉంటుంది 
:
(Fig. 2.b)
ఇక్కడ 
- ఫోకల్ పొడవు (ఫోసి నుండి మూలానికి దూరం). ఇది సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది: 
.
విపరీతత్వంహైపర్బోలా అనేది పరిమాణం:
(కోసం 
);
(కోసం 
).
హైపర్బోల్ ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది 
.
హైపర్బోలాస్ యొక్క లక్షణాలు(3) రెండు సరళ రేఖలు: 
. హైపర్బోలా యొక్క రెండు శాఖలు పెరుగుదలతో పరిమితి లేకుండా అసిప్టోట్‌లను చేరుకుంటాయి 
.
హైపర్బోలా గ్రాఫ్ యొక్క నిర్మాణం క్రింది విధంగా నిర్వహించబడాలి: మొదట సెమీ-యాక్సెస్ వెంట 
మేము కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సమాంతరంగా భుజాలతో సహాయక దీర్ఘచతురస్రాన్ని నిర్మిస్తాము; ఈ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వ్యతిరేక శీర్షాల ద్వారా సరళ రేఖలను గీయండి, ఇవి హైపర్బోలా యొక్క లక్షణాలు; చివరగా మేము హైపర్బోలా యొక్క శాఖలను వర్ణిస్తాము, అవి సహాయక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సంబంధిత భుజాల మధ్య బిందువులను తాకి, పెరుగుదలతో దగ్గరగా ఉంటాయి 
అసింప్టోట్‌లకు (Fig. 2).
హైపర్బోలాస్ (3)ని తరలించినట్లయితే, వాటి కేంద్రం పాయింట్‌ను తాకుతుంది 
, మరియు సెమీ అక్షాలు అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉంటాయి 
,
, అప్పుడు ఫలిత హైపర్బోలాస్ యొక్క సమీకరణం రూపంలో వ్రాయబడుతుంది
,
.
10.3 పరబోలా. కానానికల్ సమీకరణం. పారాబొలా పరామితి, గ్రాఫ్.
పారాబొలా యొక్క నిర్వచనం.పారాబొలా అనేది ఏ బిందువుకైనా ఒక ప్లేన్ కర్వ్ 
ఈ వక్రరేఖ నుండి దూరం 
ఒక స్థిర బిందువుకు 
విమానం (పారాబొలా యొక్క ఫోకస్ అని పిలుస్తారు) నుండి దూరానికి సమానం 
విమానంలో స్థిరమైన సరళ రేఖకు(పారాబొలా యొక్క డైరెక్టిక్స్ అని పిలుస్తారు) .
కానానికల్ పారాబొలా సమీకరణం:
,
(4)
ఎక్కడ 
- అనే స్థిరాంకం పరామితిపారాబొలాస్.
చుక్క 
పారాబొలా (4)ను పారాబొలా యొక్క శీర్షం అంటారు. అక్షం 
సమరూపత యొక్క అక్షం. పారాబొలా (4) యొక్క దృష్టి బిందువు వద్ద ఉంది 
, డైరెక్టిక్స్ సమీకరణం 
. పారాబోలా గ్రాఫ్‌లు (4) అర్థాలతో 
మరియు 
అంజీర్లో చూపబడ్డాయి. 3.a మరియు 3.b వరుసగా.
సమీకరణం 
విమానంలో పారాబొలాను కూడా నిర్వచిస్తుంది 
, దీని గొడ్డలి, పారాబొలా (4)తో పోలిస్తే, 
,
స్థలాలు మారారు.
పారాబొలా (4)ని తరలించినట్లయితే, దాని శీర్షం పాయింట్‌ను తాకుతుంది 
, మరియు సమరూపత యొక్క అక్షం అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది 
, ఫలితంగా పారాబొలా యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
.
ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.
ఉదాహరణ 1. రెండవ ఆర్డర్ వక్రత సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది 
. ఈ వక్రరేఖకు పేరు పెట్టండి. దాని foci మరియు అసాధారణతను కనుగొనండి. ఒక విమానంలో ఒక వక్రరేఖను మరియు దాని కేంద్రాన్ని గీయండి 
.
పరిష్కారం. ఈ వక్రరేఖ బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం 
మరియు ఇరుసు షాఫ్ట్‌లు 
. దీన్ని భర్తీ చేయడం ద్వారా సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు 
. ఈ పరివర్తన అంటే ఇచ్చిన కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి మార్పు 
కొత్త కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు 
, దీని అక్షం 
అక్షాలకు సమాంతరంగా 
,
. ఈ కోఆర్డినేట్ పరివర్తనను సిస్టమ్ షిఫ్ట్ అంటారు 
సరిగ్గా 
. కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో 
వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణం దీర్ఘవృత్తం యొక్క నియమావళి సమీకరణంగా రూపాంతరం చెందుతుంది 
, దాని గ్రాఫ్ అంజీర్లో చూపబడింది. 4.
ఉపాయాలు వెతుకుదాం. 
, కాబట్టి ఉపాయాలు 
అక్షం మీద ఉన్న దీర్ఘవృత్తం 
.. సమన్వయ వ్యవస్థలో 
:
. ఎందుకంటే 
, పాత కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో 
foci కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 2. రెండవ-ఆర్డర్ వక్రరేఖ పేరును ఇవ్వండి మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను అందించండి.
పరిష్కారం. వేరియబుల్స్ ఉన్న నిబంధనల ఆధారంగా పరిపూర్ణ చతురస్రాలను ఎంచుకుందాం 
మరియు 
.
ఇప్పుడు, వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
కాబట్టి, ఇచ్చిన వక్రరేఖ బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారం 
మరియు ఇరుసు షాఫ్ట్‌లు 
. పొందిన సమాచారం దాని గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి అనుమతిస్తుంది.
ఉదాహరణ 3. లైన్ యొక్క పేరు మరియు గ్రాఫ్ ఇవ్వండి 
.
పరిష్కారం. . ఇది బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం 
మరియు ఇరుసు షాఫ్ట్‌లు 
.
ఎందుకంటే, 
, మేము ముగించాము: ఇచ్చిన సమీకరణం విమానంలో నిర్ణయిస్తుంది 
దీర్ఘవృత్తం యొక్క దిగువ సగం (Fig. 5).
ఉదాహరణ 4. రెండవ ఆర్డర్ వక్రరేఖ పేరును ఇవ్వండి 
. దాని కేంద్రీకరణలు, విపరీతతను కనుగొనండి. ఈ వక్రరేఖ యొక్క గ్రాఫ్ ఇవ్వండి.
- సెమీ-యాక్సెస్‌తో కూడిన హైపర్బోలా యొక్క కానానికల్ సమీకరణం 
.
ద్రుష్ట్య పొడవు.
మైనస్ గుర్తు పదానికి ముందు ఉంటుంది 
, కాబట్టి ఉపాయాలు 
హైపర్బోలాస్ అక్షం మీద ఉంటాయి 
:. హైపర్బోలా యొక్క శాఖలు అక్షం పైన మరియు క్రింద ఉన్నాయి 
.
- హైపర్బోలా యొక్క విపరీతత.
హైపర్బోలా యొక్క లక్షణాలు: .
ఈ హైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ నిర్మాణం పైన వివరించిన విధానానికి అనుగుణంగా నిర్వహించబడుతుంది: మేము ఒక సహాయక దీర్ఘచతురస్రాన్ని నిర్మిస్తాము, హైపర్బోలా యొక్క అసమానతలను గీయండి, హైపర్బోలా యొక్క శాఖలను గీయండి (Fig. 2.b చూడండి).
ఉదాహరణ 5. సమీకరణం ఇచ్చిన వక్రరేఖ రకాన్ని కనుగొనండి 
మరియు దానిని ప్లాట్ చేయండి.
- ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రంతో హైపర్బోలా 
మరియు ఇరుసు షాఫ్ట్‌లు.
ఎందుకంటే , మేము ముగించాము: ఇవ్వబడిన సమీకరణం సరళ రేఖకు కుడివైపున ఉన్న హైపర్బోలా యొక్క భాగాన్ని నిర్ణయిస్తుంది 
. సహాయక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో హైపర్బోలాను గీయడం మంచిది 
, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి పొందబడింది 
మార్పు 
, ఆపై హైపర్బోలా యొక్క కావలసిన భాగాన్ని బోల్డ్ లైన్‌తో హైలైట్ చేయండి
ఉదాహరణ 6. వక్రరేఖ రకాన్ని కనుగొని దాని గ్రాఫ్‌ను గీయండి.
పరిష్కారం. వేరియబుల్‌తో ఉన్న నిబంధనల ఆధారంగా పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుందాం 
:
వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం.
ఇది పాయింట్ వద్ద దాని శీర్షంతో పారాబొలా యొక్క సమీకరణం 
. షిఫ్ట్ ట్రాన్స్ఫర్మేషన్ ఉపయోగించి, పారాబొలా సమీకరణం కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురాబడుతుంది 
, ఇది పారాబొలా పరామితి అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. దృష్టి 
వ్యవస్థలో పారాబొలాస్ 
కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంది 
, మరియు వ్యవస్థలో 
(షిఫ్ట్ ట్రాన్స్ఫర్మేషన్ ప్రకారం). పారాబొలా గ్రాఫ్ అంజీర్లో చూపబడింది. 7.
ఇంటి పని.
1. సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన దీర్ఘవృత్తాకారాలను గీయండి: 
వాటి అర్ధ అక్షాలు, ఫోకల్ పొడవు, విపరీతతను కనుగొనండి మరియు దీర్ఘవృత్తాకార గ్రాఫ్‌లపై వాటి ఫోసిస్ స్థానాలను సూచించండి.
2. సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన హైపర్బోలాస్‌ను గీయండి: 
వాటి సెమీ-యాక్సెస్, ఫోకల్ లెంగ్త్, విపరీతతను కనుగొని, హైపర్బోలా గ్రాఫ్‌లపై వాటి ఫోసిస్ స్థానాలను సూచించండి. ఇచ్చిన హైపర్బోలాస్ యొక్క అసింప్టోట్‌ల కోసం సమీకరణాలను వ్రాయండి.
3. సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన పారాబొలాస్‌ను గీయండి: 
. వాటి పరామితి, ఫోకల్ పొడవును కనుగొని, పారాబొలా గ్రాఫ్‌లపై ఫోకస్ యొక్క స్థానాన్ని సూచించండి.
4. సమీకరణం 
వక్రరేఖ యొక్క 2వ ఆర్డర్ భాగాన్ని నిర్వచిస్తుంది. ఈ వక్రరేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని కనుగొని, దాని పేరును వ్రాసి, దాని గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయండి మరియు అసలు సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉండే వక్రరేఖ యొక్క భాగాన్ని దానిపై హైలైట్ చేయండి.
పారాబొలా అనేది సమతలంలోని పాయింట్ల లోకస్, ఇది ఇచ్చిన పాయింట్ F నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది మరియు ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళ్ళని ఇచ్చిన సరళ రేఖ d. ఈ రేఖాగణిత నిర్వచనం వ్యక్తపరుస్తుంది పారాబొలా యొక్క డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీ.
పారాబొలా యొక్క డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీ
పాయింట్ ఎఫ్‌ని పారాబొలా ఫోకస్ అంటారు, లైన్ d అనేది పారాబొలా డైరెక్ట్రిక్స్, ఫోకస్ నుండి డైరెక్ట్‌రిక్స్‌కు లంబంగా తగ్గించబడిన మధ్య బిందువు O అనేది పారాబొలా యొక్క శీర్షం, ఫోకస్ నుండి డైరెక్టిక్స్‌కు దూరం p. అనేది పారాబొలా యొక్క పరామితి, మరియు పారాబొలా యొక్క శీర్షం నుండి దాని దృష్టికి దూరం \frac(p)(2) ఫోకల్ పొడవు (Fig. 3.45a). డైరెక్ట్‌రిక్స్‌కు లంబంగా మరియు ఫోకస్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖను పారాబొలా యొక్క అక్షం (పారాబొలా యొక్క ఫోకల్ యాక్సిస్) అంటారు. పారాబొలా యొక్క ఏకపక్ష బిందువు Mని దాని ఫోకస్‌తో అనుసంధానించే సెగ్మెంట్ FMని పాయింట్ M యొక్క ఫోకల్ వ్యాసార్థం అంటారు. పారాబొలా యొక్క రెండు బిందువులను కలిపే విభాగాన్ని పారాబొలా యొక్క తీగ అంటారు.
పారాబొలా యొక్క ఏకపక్ష బిందువు కోసం, ఫోకస్‌కు దూరం నుండి డైరెక్ట్‌రిక్స్‌కు దూరానికి ఉన్న నిష్పత్తి ఒకదానికి సమానం. , మరియు పారాబొలాస్ యొక్క దర్శకత్వ లక్షణాలను పోల్చి, మేము దానిని ముగించాము పారాబొలా విపరీతతనిర్వచనం ప్రకారం ఒకదానికి సమానం (e=1).
పారాబొలా యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం, దాని డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీని వ్యక్తీకరించడం, దాని విశ్లేషణాత్మక నిర్వచనానికి సమానం - పారాబొలా యొక్క కానానికల్ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన లైన్:
నిజానికి, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం (Fig. 3.45, b). మేము కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలంగా పారాబొలా యొక్క శీర్షం Oని తీసుకుంటాము; మేము డైరెక్ట్‌రిక్స్‌కు లంబంగా ఫోకస్ గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖను abscissa యాక్సిస్‌గా తీసుకుంటాము (దానిపై సానుకూల దిశ పాయింట్ O నుండి పాయింట్ F వరకు ఉంటుంది); అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా ఉన్న సరళ రేఖను తీసుకుందాం మరియు పారాబొలా యొక్క శీర్షం గుండా ఆర్డినేట్ అక్షం (ఆర్డినేట్ అక్షం మీద దిశ ఎంచుకోబడుతుంది, తద్వారా దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సీ సరైనది).
పారాబొలా యొక్క డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీని వ్యక్తీకరించే జ్యామితీయ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి పారాబొలా కోసం సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం. ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, ఫోకస్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను మేము నిర్ణయిస్తాము F\!\ఎడమ(\frac(p)(2);\,0\కుడి)మరియు డైరెక్టిక్స్ సమీకరణం x=-\frac(p)(2) . పారాబొలాకు చెందిన ఏకపక్ష పాయింట్ M(x,y) కోసం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
FM=MM_d,
ఎక్కడ M_d\!\ఎడమ(\frac(p)(2);\,y\కుడి)- డైరెక్టిక్స్‌పై పాయింట్ M(x,y) యొక్క ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్. మేము ఈ సమీకరణాన్ని కోఆర్డినేట్ రూపంలో వ్రాస్తాము:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\ right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేస్తాము: (\ఎడమ(x-\frac(p)(2)\కుడి)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. ఇలాంటి నిబంధనలను తీసుకురావడం, మేము పొందుతాము కానానికల్ పారాబొలా సమీకరణం
y^2=2\cdot p\cdot x,ఆ. ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ కానానికల్.
రివర్స్ ఆర్డర్‌లో రీజనింగ్‌ను అమలు చేయడం ద్వారా, అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు సమీకరణాన్ని (3.51) సంతృప్తిపరుస్తాయని మరియు అవి మాత్రమే పారాబొలా అని పిలువబడే పాయింట్ల స్థానానికి చెందినవని మేము చూపగలము. అందువల్ల, పారాబొలా యొక్క విశ్లేషణాత్మక నిర్వచనం దాని రేఖాగణిత నిర్వచనానికి సమానం, ఇది పారాబొలా యొక్క డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీని వ్యక్తపరుస్తుంది.
పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పారాబోలా సమీకరణం
పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Fr\varphi (Fig. 3.45, c)లో పారాబొలా సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),ఇక్కడ p అనేది పారాబొలా యొక్క పరామితి, మరియు e=1 దాని అసాధారణత.
నిజానికి, పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క పోల్‌గా మనం పారాబొలా యొక్క ఫోకస్ Fని ఎంచుకుంటాము మరియు ధ్రువ అక్షం - పాయింట్ F వద్ద ప్రారంభంతో ఒక కిరణం, డైరెక్టిక్స్‌కు లంబంగా మరియు దానిని ఖండన చేయదు (Fig. 3.45, c) . అప్పుడు ఒక పారాబొలాకు చెందిన ఏకపక్ష బిందువు M(r,\varphi) కోసం, పారాబొలా యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం (డైరెక్షనల్ ప్రాపర్టీ) ప్రకారం, మనకు MM_d=r ఉంటుంది. ఎందుకంటే MM_d=p+r\cos\varphi, మేము కోఆర్డినేట్ రూపంలో పారాబొలా సమీకరణాన్ని పొందుతాము:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. ధ్రువ కోఆర్డినేట్లలో దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాలు, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా ఒకేలా ఉంటాయి, కానీ అవి విపరీతతలలో విభిన్నంగా ఉన్నందున వేర్వేరు పంక్తులను వివరిస్తాయి (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 కోసం).
పారాబొలా సమీకరణంలో పరామితి యొక్క రేఖాగణిత అర్థం
వివరిస్తాము పరామితి యొక్క రేఖాగణిత అర్థంకానానికల్ పారాబొలా సమీకరణంలో p. x=\frac(p)(2)ని సమీకరణం (3.51)గా మారుస్తే, మనం y^2=p^2ని పొందుతాము, అనగా. y=\pm p. కాబట్టి, పారామితి p అనేది పారాబొలా యొక్క అక్షానికి లంబంగా దాని దృష్టి గుండా వెళుతున్న పారాబొలా యొక్క తీగ యొక్క సగం పొడవు.
పారాబొలా యొక్క ఫోకల్ పరామితి, అలాగే దీర్ఘవృత్తాకారం మరియు హైపర్బోలా కోసం, ఫోకల్ అక్షానికి లంబంగా దాని ఫోకస్ గుండా వెళుతున్న తీగ యొక్క సగం పొడవు అంటారు (Fig. 3.45, c చూడండి). వద్ద ధ్రువ కోఆర్డినేట్లలో పారాబొలా సమీకరణం నుండి \varphi=\frac(\pi)(2)మనకు r=p వస్తుంది, అనగా. పారాబొలా యొక్క పరామితి దాని ఫోకల్ పరామితితో సమానంగా ఉంటుంది.
గమనికలు 3.11.
1. పారాబొలా యొక్క పారామితి p దాని ఆకారాన్ని వర్ణిస్తుంది. పెద్ద p, పారాబొలా యొక్క విస్తృత శాఖలు, p సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటుంది, పారాబొలా యొక్క శాఖలు ఇరుకైనవి (Fig. 3.46).
2. సమీకరణం y^2=-2px (p>0 కోసం) ఒక పారాబొలాను నిర్వచిస్తుంది, ఇది ఆర్డినేట్ అక్షానికి ఎడమ వైపున ఉంటుంది (Fig. 3.47,a). x-అక్షం (3.37) దిశను మార్చడం ద్వారా ఈ సమీకరణం కానానికల్‌కి తగ్గించబడుతుంది. అంజీర్లో. 3.47,a ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Oxy మరియు కానానికల్ Ox"y"ని చూపుతుంది.
3. సమీకరణం (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0శీర్షం O"(x_0,y_0)తో ఒక పారాబొలాను నిర్వచిస్తుంది, దీని అక్షం అబ్సిస్సా అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది (Fig. 3.47,6). ఈ సమీకరణం సమాంతర అనువాదం (3.36) ఉపయోగించి కానానికల్‌కు తగ్గించబడుతుంది.
సమీకరణం (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, శీర్షం O"(x_0,y_0)తో పారాబొలాను కూడా నిర్వచిస్తుంది, దీని అక్షం ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది (Fig. 3.47, c). ఈ సమీకరణం సమాంతర అనువాదం (3.36)ని ఉపయోగించి కానానికల్‌కి తగ్గించబడింది మరియు పేరు మార్చడం ద్వారా కోఆర్డినేట్ అక్షాలు (3.38) Fig. 3.47,b,cలో ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్స్ Oxy మరియు కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్స్ Ox"y"ని వర్ణిస్తుంది.
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0అనేది పాయింట్ వద్ద శీర్షంతో కూడిన పారాబొలా O"\!\ఎడమ(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\కుడి), ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే అక్షం, పారాబొలా యొక్క శాఖలు పైకి (a>0 కోసం) లేదా క్రిందికి (ఒక కోసం<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\కుడి)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\కుడి)\!,
ఇది కానానికల్ రూపానికి తగ్గించబడింది (y")^2=2px" , ఇక్కడ p=\left|\frac(1)(2a)\right|, భర్తీ ఉపయోగించి y"=x+\frac(b)(2a)మరియు x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\కుడి).
ప్రముఖ గుణకం a సంకేతంతో సమానంగా ఉండేలా గుర్తు ఎంపిక చేయబడింది. ఈ భర్తీ కూర్పుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది: సమాంతర బదిలీ (3.36) తో x_0=-\frac(b)(2a)మరియు y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), కోఆర్డినేట్ అక్షాల పేరు మార్చడం (3.38), మరియు a విషయంలో<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 మరియు ఎ<0 соответственно.
5. కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క x-యాక్సిస్ పారాబొలా యొక్క సమరూపత అక్షం, వేరియబుల్ yని -yతో భర్తీ చేయడం వలన సమీకరణం మారదు (3.51). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పారాబొలాకు చెందిన పాయింట్ M(x,y), మరియు పాయింట్ M"(x,-y) యొక్క కోఆర్డినేట్లు x-అక్షానికి సంబంధించి M బిందువుకు సుష్టంగా ఉంటాయి, సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. (3.S1) కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క అక్షాలు అంటారు పారాబొలా యొక్క ప్రధాన అక్షాలు.
ఉదాహరణ 3.22. కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Oxyలో పారాబొలా y^2=2xని గీయండి. ఫోకల్ పరామితి, ఫోకల్ కోఆర్డినేట్లు మరియు డైరెక్టిక్స్ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.మేము ఒక పారాబొలాను నిర్మిస్తాము, అబ్సిస్సా అక్షానికి సంబంధించి దాని సమరూపతను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము (Fig. 3.49). అవసరమైతే, పారాబొలా యొక్క కొన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించండి. ఉదాహరణకు, పారాబొలా సమీకరణంలో x=2ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. పర్యవసానంగా, కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్లు (2;2),\,(2;-2) పారాబొలాకు చెందినవి.
ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని కానానికల్ (3.S1)తో పోల్చడం, మేము ఫోకల్ పరామితిని నిర్ణయిస్తాము: p=1. ఫోకస్ కోఆర్డినేట్లు x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, అనగా F\!\ఎడమ(\frac(1)(2),\,0\కుడి). మేము డైరెక్టిక్స్ x=-\frac(p)(2) సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము, అనగా. x=-\frac(1)(2) .
ఎలిప్స్, హైపర్బోలా, పారాబొలా యొక్క సాధారణ లక్షణాలు
1. డైరెక్టరియల్ ప్రాపర్టీని దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా, పారాబొలా (Fig. 3.50 చూడండి): సమతలంలో ఉన్న బిందువుల స్థానం, వీటిలో ప్రతి ఒక్కదానికి ఇచ్చిన బిందువు F (ఫోకస్)కి దూరం యొక్క నిష్పత్తి ఇచ్చిన బిందువు గుండా వెళ్ళని d (డైరెక్ట్రిక్స్) స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు విపరీతతకు సమానంగా ఉంటుంది. , అంటారు:
a) 0\leqslant ఉంటే ఇ<1 ;
బి) ఇ>1 అయితే;
c) ఇ=1 అయితే పారాబోలా.
2. వృత్తాకార కోన్ యొక్క విభాగాలలో దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా సమతలంగా పొందబడతాయి మరియు అందువల్ల వీటిని పిలుస్తారు కోనిక్ విభాగాలు. ఈ లక్షణం దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనంగా కూడా ఉపయోగపడుతుంది.
3. దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా యొక్క సాధారణ లక్షణాలు ద్వివిభాగ ఆస్తివారి టాంజెంట్లు. కింద టాంజెంట్కొన్ని పాయింట్ వద్ద ఉన్న రేఖకు K అనేది సెకెంట్ KM యొక్క పరిమితి స్థానంగా అర్థం అవుతుంది, అయితే పాయింట్ M, పరిశీలనలో ఉన్న లైన్‌లో మిగిలి, పాయింట్ K వైపు మొగ్గు చూపుతుంది. ఒక రేఖకు టాంజెంట్‌కి లంబంగా ఉండే సరళ రేఖను మరియు టాంజెన్సీ బిందువు గుండా వెళ్లడాన్ని అంటారు. సాధారణఈ రేఖకు.
దీర్ఘవృత్తాకారం, అతిపరావలయం మరియు పారాబొలాకు టాంజెంట్‌ల (మరియు నార్మల్‌లు) ద్వివిభాగ లక్షణం క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: టాంజెంట్ (సాధారణ) దీర్ఘవృత్తాకారానికి లేదా హైపర్బోలాకు టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క ఫోకల్ రేడియాలతో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది(Fig. 3.51, a, b); పారాబొలాకు టాంజెంట్ (సాధారణ) టాంజెన్సీ బిందువు యొక్క ఫోకల్ వ్యాసార్థంతో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది మరియు లంబంగా దాని నుండి డైరెక్టిక్స్‌కు పడిపోయింది(Fig. 3.51, c). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, K బిందువు వద్ద దీర్ఘవృత్తాకారానికి టాంజెంట్ అనేది త్రిభుజం F_1KF_2 యొక్క బాహ్య కోణం యొక్క ద్విదళం (మరియు సాధారణం అనేది త్రిభుజం యొక్క అంతర్గత కోణం F_1KF_2 యొక్క బైసెక్టర్); హైపర్బోలాకు టాంజెంట్ అనేది త్రిభుజం F_1KF_2 యొక్క అంతర్గత కోణం యొక్క బైసెక్టర్ (మరియు సాధారణం అనేది బాహ్య కోణం యొక్క బైసెక్టర్); పారాబొలాకు టాంజెంట్ అనేది త్రిభుజం FKK_d యొక్క అంతర్గత కోణం యొక్క ద్వంద్వ భాగము (మరియు సాధారణమైనది బాహ్య కోణం యొక్క ద్విభాగము). పారాబొలాకు టాంజెంట్ యొక్క బైసెక్టోరల్ ప్రాపర్టీని దీర్ఘవృత్తాకారం మరియు హైపర్బోలా మాదిరిగానే రూపొందించవచ్చు, పారాబొలాకు అనంతం వద్ద ఒక బిందువు వద్ద రెండవ ఫోకస్ ఉందని మనం ఊహిస్తే.
4. బైసెక్టోరల్ లక్షణాల నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా యొక్క ఆప్టికల్ లక్షణాలు, "ఫోకస్" అనే పదం యొక్క భౌతిక అర్థాన్ని వివరిస్తుంది. ఫోకల్ అక్షం చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా లేదా పారాబొలాను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలాలను ఊహించుకుందాం. ఈ ఉపరితలాలకు పరావర్తన పూత పూస్తే, ఎలిప్టికల్, హైపర్బోలిక్ మరియు పారాబొలిక్ అద్దాలు లభిస్తాయి. ఆప్టిక్స్ చట్టం ప్రకారం, అద్దంపై కాంతి కిరణం యొక్క సంభవం కోణం ప్రతిబింబ కోణంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. సంఘటన మరియు ప్రతిబింబించే కిరణాలు సాధారణ ఉపరితలంతో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి మరియు కిరణాలు మరియు భ్రమణ అక్షం రెండూ ఒకే సమతలంలో ఉంటాయి. ఇక్కడ నుండి మేము ఈ క్రింది లక్షణాలను పొందుతాము:
- కాంతి మూలం దీర్ఘవృత్తాకార అద్దం యొక్క ఫోకస్‌లలో ఒకదానిలో ఉన్నట్లయితే, అద్దం నుండి ప్రతిబింబించే కాంతి కిరణాలు మరొక దృష్టిలో సేకరించబడతాయి (Fig. 3.52, a);
- కాంతి మూలం హైపర్బోలిక్ మిర్రర్ యొక్క ఫోకస్‌లలో ఒకదానిలో ఉన్నట్లయితే, అద్దం నుండి ప్రతిబింబించే కాంతి కిరణాలు, అవి మరొక ఫోకస్ నుండి వచ్చినట్లుగా విభేదిస్తాయి (Fig. 3.52, b);
- కాంతి మూలం పారాబొలిక్ మిర్రర్ యొక్క దృష్టిలో ఉంటే, అద్దం నుండి ప్రతిబింబించే కాంతి కిరణాలు ఫోకల్ అక్షానికి సమాంతరంగా వెళ్తాయి (Fig. 3.52, c).
5. డయామెట్రిక్ ఆస్తిదీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడతాయి:
– దీర్ఘవృత్తం (హైపర్బోలా) యొక్క సమాంతర తీగల మధ్య బిందువులు దీర్ఘవృత్తాకార కేంద్రం (హైపర్బోలా) గుండా వెళుతున్న ఒక సరళ రేఖపై ఉంటాయి.;
– పారాబొలా యొక్క సమాంతర తీగల మధ్య బిందువులు పారాబొలా యొక్క సమరూపత యొక్క నేరుగా, కొలినియర్ అక్షం మీద ఉంటాయి.
దీర్ఘవృత్తంలోని అన్ని సమాంతర తీగల మధ్య బిందువుల రేఖాగణిత స్థానాన్ని (హైపర్బోలా, పారాబొలా) అంటారు దీర్ఘవృత్తాకార వ్యాసం (హైపర్బోలా, పారాబొలా), ఈ తీగలకు సంయోగం.
ఇది ఇరుకైన అర్థంలో వ్యాసం యొక్క నిర్వచనం (ఉదాహరణ 2.8 చూడండి). మునుపు, వ్యాసం యొక్క నిర్వచనం విస్తృత అర్థంలో ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా, పారాబొలా మరియు ఇతర రెండవ-క్రమ రేఖల యొక్క వ్యాసం అన్ని సమాంతర తీగల మధ్య బిందువులను కలిగి ఉన్న సరళ రేఖ. ఇరుకైన అర్థంలో, దీర్ఘవృత్తాకార వ్యాసం దాని కేంద్రం గుండా వెళుతున్న ఏదైనా తీగ (Fig. 3.53, a); హైపర్బోలా యొక్క వ్యాసం అనేది హైపర్బోలా మధ్యలో గుండా వెళుతున్న ఏదైనా సరళ రేఖ (అసింప్టోట్‌లను మినహాయించి), లేదా అటువంటి సరళ రేఖలో భాగం (Fig. 3.53,6); పారాబొలా యొక్క వ్యాసం అనేది పారాబొలా మరియు కొల్లినియర్ యొక్క నిర్దిష్ట బిందువు నుండి సమరూపత యొక్క అక్షం వరకు వెలువడే ఏదైనా కిరణం (Fig. 3.53, c).
రెండు వ్యాసాలు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఇతర వ్యాసానికి సమాంతరంగా అన్ని తీగలను విభజిస్తుంది, వీటిని సంయోగం అంటారు. Fig. 3.53లో, బోల్డ్ లైన్‌లు దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా యొక్క సంయోగ వ్యాసాలను చూపుతాయి.
పాయింట్ K వద్ద దీర్ఘవృత్తాకారానికి (హైపర్బోలా, పారాబొలా) టాంజెంట్‌ను సమాంతర సెకంట్లు M_1M_2 యొక్క పరిమితి స్థానంగా నిర్వచించవచ్చు, M_1 మరియు M_2 పాయింట్లు, పరిశీలనలో ఉన్న రేఖపై మిగిలి ఉంటే, K పాయింట్‌కి మొగ్గు చూపుతుంది. ఈ నిర్వచనం నుండి తీగలకు సమాంతరంగా ఉన్న ఒక టాంజెంట్ ఈ తీగలకు వ్యాసం యొక్క ముగింపు గుండా వెళుతుంది.
6. ఎలిప్స్, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా పైన ఇవ్వబడిన వాటికి అదనంగా, అనేక రేఖాగణిత లక్షణాలు మరియు భౌతిక అనువర్తనాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, Fig. 3.50 గురుత్వాకర్షణ F కేంద్రానికి సమీపంలో ఉన్న అంతరిక్ష వస్తువుల పథాల యొక్క ఉదాహరణగా ఉపయోగపడుతుంది.
- (గ్రీకు పారాబోల్, పారాబోల్లో నుండి దగ్గరగా తీసుకురావడం). 1) ఉపమానం, ఉపమానం. 2) శంకువు యొక్క ఒక విభాగం నుండి దాని ఉత్పత్తి చేసే కొన్ని విమానాలకు సమాంతరంగా ఒక విమానం ద్వారా ఉద్భవించే వక్ర రేఖ. 3) బాంబు, ఫిరంగి, మొదలైనవి ఎగురుతున్న సమయంలో ఏర్పడిన వక్ర రేఖ నిఘంటువు... ... రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు
ఉపమానం, ఉపమానం (డాల్) ఉదాహరణ చూడండి... పర్యాయపద నిఘంటువు
- (గ్రీకు పారాబోల్) ఫ్లాట్ కర్వ్ (2వ ఆర్డర్). పారాబొలా అనేది M పాయింట్ల సమితి, ఇచ్చిన పాయింట్ F (ఫోకస్) మరియు ఇచ్చిన సరళ రేఖ D1D2 (డైరెక్ట్రిక్స్)కి దూరం సమానంగా ఉంటుంది. సరైన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, పారాబొలా యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: y2=2px, ఇక్కడ p=2OF.… … పెద్ద ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు
PARABOLA, గణిత వక్రరేఖ, ఒక బిందువు ద్వారా ఏర్పడిన కోనిక్ విభాగం స్థిర బిందువుకు దాని దూరం, ఫోకస్, స్థిరమైన సరళ రేఖకు దాని దూరానికి సమానం, డైరెక్టిక్స్. కోన్‌ను కత్తిరించినప్పుడు పారాబొలా ఏర్పడుతుంది ... ... శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు
స్త్రీ, గ్రీకు ఉపమానం, ఉపమానం. | చాప. వక్ర రేఖ, కోనిక్ విభాగాల మధ్య నుండి; చక్కెర రొట్టెను ఎదురుగా సమాంతరంగా కత్తిరించండి. పారాబొలిక్ లెక్కలు. పారాబొలిక్ ప్రసంగం, వైవిధ్యత, విదేశీ ప్రసంగం, అలంకారిక... ... డాల్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు
పారాబోలా- వై, డబ్ల్యు. పారాబోల్ f. గ్రా పారాబోల్. 1. పాతది ఉపమానం, ఉపమానం. BAS 1. ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి, పారిస్‌కు వస్తున్న రష్యన్‌ని చూసి నవ్వాలని కోరుకున్నాడు: పారాబోల్, ఫారిబోల్ మరియు ఓబోల్ అంటే ఏమిటి? కానీ అతను వెంటనే అతనికి సమాధానం చెప్పాడు: పారాబోలస్, మీకు అర్థం కాని విషయం ఉంది;... ... రష్యన్ భాష యొక్క గల్లిసిజం యొక్క హిస్టారికల్ డిక్షనరీ
పారాబోలా- (1) ప్లేన్‌పై 2వ క్రమం యొక్క ఓపెన్ వక్ర రేఖ, ఇది ఫంక్షన్ y2 = 2px యొక్క గ్రాఫ్, ఇక్కడ p అనేది పరామితి. ఒక వృత్తాకార విమానం (చూడండి) దాని శీర్షం గుండా వెళ్ళని మరియు దాని జనరేటర్‌లలో ఒకదానికి సమాంతరంగా ఉన్న ఒక సమతలాన్ని కలుస్తున్నప్పుడు పారాబొలా పొందబడుతుంది.... ... బిగ్ పాలిటెక్నిక్ ఎన్సైక్లోపీడియా
- (గ్రీకు పారాబోల్ నుండి), ఒక ఫ్లాట్ కర్వ్, ఇచ్చిన బిందువు F (ఫోకస్) మరియు ఇచ్చిన సరళ రేఖ D 1D1 (డైరెక్ట్రిక్స్)కి ఏదైనా పాయింట్ M దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి (MD=MF) ... ఆధునిక ఎన్సైక్లోపీడియా
పారాబోలా, పారాబొలాస్, మహిళలు. (గ్రీకు: parabol). 1. జెనరేట్రిసెస్‌లో ఒకదానికి సమాంతరంగా ఉన్న ఒక విమానం ద్వారా కుడి వృత్తాకార కోన్ యొక్క శంఖాకార విభాగాన్ని సూచించే రెండవ-క్రమం వక్రత (మత్.). || కింద విసిరిన భారీ శరీరం (ఉదాహరణకు, ఒక బుల్లెట్) వివరించిన మార్గం... ... ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు
పారాబోలా, లు, స్త్రీ. గణితశాస్త్రంలో: ఒక విమానం శంఖాకార ఉపరితలాన్ని కలుస్తున్నప్పుడు ఏర్పడే ఒక శాఖతో కూడిన ఓపెన్ కర్వ్. | adj పారాబొలిక్, ఓహ్, ఓహ్. ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు. ఎస్.ఐ. ఓజెగోవ్, ఎన్.యు. ష్వెడోవా. 1949 1992… ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు
- “పారాబోలా”, రష్యా, 1992, రంగు, 30 నిమి. డాక్యుమెంటరీ వ్యాసం. వోల్గా ప్రాంతంలోని చిన్న ప్రజలైన ఉడ్ముర్ట్‌ల కథల యొక్క ఆధ్యాత్మిక సారాన్ని అర్థం చేసుకునే ప్రయత్నం. దర్శకుడు: స్వెత్లానా స్టాసెంకో (స్వెత్లానా స్టాసెంకో చూడండి). స్క్రిప్ట్ రైటర్: స్వెత్లానా స్టాసెంకో (స్టాసెంకో చూడండి... ... ఎన్సైక్లోపీడియా ఆఫ్ సినిమా
పుస్తకాలు
- డ్రీమ్ జాబ్ సెర్చ్ ప్లాన్ యొక్క పారాబోలా. HR మేనేజర్ల ఆర్కిటైప్స్..., మెరీనా జోరినా. మెరీనా జోరినా యొక్క పుస్తకం "ది పారాబోలా ఆఫ్ ది డ్రీమ్ జాబ్ సెర్చ్ ప్లాన్" రచయిత యొక్క నిజమైన అనుభవంపై ఆధారపడింది మరియు అంతర్గత నియామక ప్రక్రియ యొక్క నమూనాలకు సంబంధించిన ఉపయోగకరమైన సమాచారంతో నిండి ఉంది.…
- నా జీవిత పరబోలా, తిట్టా రూఫో. పుస్తక రచయిత అత్యంత ప్రసిద్ధ ఇటాలియన్ గాయకుడు, ప్రపంచంలోని ప్రముఖ ఒపెరా హౌస్‌ల సోలో వాద్యకారుడు. తిట్టా రుఫో యొక్క జ్ఞాపకాలు, స్పష్టంగా మరియు ప్రత్యక్షంగా వ్రాయబడ్డాయి, మొదటి నాటక జీవితానికి సంబంధించిన స్కెచ్‌లు ఉన్నాయి...
పారాబొలా అంటే ఏమిటో బహుశా అందరికీ తెలుసు. కానీ దిగువన ఉన్న వివిధ ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు దాన్ని సరిగ్గా మరియు సమర్ధవంతంగా ఎలా ఉపయోగించాలో మేము పరిశీలిస్తాము.
ముందుగా, బీజగణితం మరియు జ్యామితి ఈ పదానికి ఇచ్చే ప్రాథమిక భావనలను వివరిస్తాము. ఈ గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని రకాల రకాలను పరిశీలిద్దాం.
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని ప్రధాన లక్షణాలను తెలుసుకుందాం. కర్వ్ నిర్మాణం (జ్యామితి) యొక్క ప్రాథమికాలను అర్థం చేసుకుందాం. ఈ రకమైన గ్రాఫ్ యొక్క టాప్ మరియు ఇతర ప్రాథమిక విలువలను ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకుందాం.
తెలుసుకుందాం: సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి కావలసిన వక్రతను ఎలా సరిగ్గా నిర్మించాలో, మీరు శ్రద్ధ వహించాల్సిన అవసరం ఉంది. మానవ జీవితంలో ఈ ప్రత్యేకమైన విలువ యొక్క ప్రధాన ఆచరణాత్మక అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.
పారాబొలా అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎలా ఉంటుంది?
బీజగణితం: ఈ పదం క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను సూచిస్తుంది.
జ్యామితి: ఇది అనేక నిర్దిష్ట లక్షణాలను కలిగి ఉన్న రెండవ-క్రమం వక్రరేఖ:
కానానికల్ పారాబొలా సమీకరణం
ఫిగర్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ (XOY), ఒక ఎక్స్‌ట్రంమ్, అబ్సిస్సా అక్షం వెంట డ్రాయింగ్ ఫంక్షన్ యొక్క శాఖల దిశను చూపుతుంది.
కానానికల్ సమీకరణం:
y 2 = 2 * p * x,
ఇక్కడ గుణకం p అనేది పారాబొలా (AF) యొక్క ఫోకల్ పరామితి.
బీజగణితంలో ఇది విభిన్నంగా వ్రాయబడుతుంది:
y = a x 2 + b x + c (గుర్తించదగిన నమూనా: y = x 2).
క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్
ఫంక్షన్ సమరూపత యొక్క అక్షం మరియు కేంద్రం (అతి) కలిగి ఉంటుంది. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క అన్ని విలువలు.
ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధి - (-∞, M) లేదా (M, +∞) వక్రరేఖ యొక్క శాఖల దిశపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇక్కడ M అనే పరామితి అంటే లైన్ ఎగువన ఉన్న ఫంక్షన్ విలువ.
పారాబొలా యొక్క శాఖలు ఎక్కడ నిర్దేశించబడతాయో ఎలా గుర్తించాలి
వ్యక్తీకరణ నుండి ఈ రకమైన వక్రరేఖ యొక్క దిశను కనుగొనడానికి, మీరు బీజగణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క మొదటి పరామితి ముందు గుర్తును గుర్తించాలి. ˃ 0 అయితే, అవి పైకి మళ్లించబడతాయి. ఇది మరో మార్గం అయితే, డౌన్.
ఫార్ములాను ఉపయోగించి పారాబొలా యొక్క శీర్షాన్ని ఎలా కనుగొనాలి
అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడంలో విపరీతాన్ని కనుగొనడం ప్రధాన దశ. వాస్తవానికి, మీరు ప్రత్యేక ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌లను తెరవవచ్చు, అయితే దీన్ని మీరే చేయగలగడం మంచిది.
దానిని ఎలా గుర్తించాలి? ఒక ప్రత్యేక ఫార్ములా ఉంది. b 0కి సమానం కానప్పుడు, మనం ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం వెతకాలి.
శీర్షాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాలు:
- x 0 = -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
ఉదాహరణ.
y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 ఫంక్షన్ ఉంది. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షాలను కనుగొనండి.
ఇలాంటి లైన్ కోసం:
- x = -16 / (2 * 4) = -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
మేము శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్లను పొందుతాము (-2, -41).
పారాబొలా స్థానభ్రంశం
ఒక క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ y = a x 2 + b x + c, రెండవ మరియు మూడవ పారామితులు 0 మరియు = 1 కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు క్లాసిక్ కేస్ - శీర్షం పాయింట్ (0; 0) వద్ద ఉంటుంది.
అబ్సిస్సా లేదా ఆర్డినేట్ అక్షాల వెంట కదలిక వరుసగా b మరియు c పారామితులలో మార్పుల కారణంగా ఉంటుంది.విమానంలోని లైన్ ఖచ్చితంగా పరామితి విలువకు సమానమైన యూనిట్ల సంఖ్య ద్వారా మార్చబడుతుంది.
ఉదాహరణ.
మనకు ఉన్నాయి: b = 2, c = 3.
దీని అర్థం వక్రరేఖ యొక్క క్లాసిక్ రూపం అబ్సిస్సా అక్షం వెంట 2 యూనిట్ విభాగాల ద్వారా మరియు ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట 3 ద్వారా మారుతుంది.
చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పారాబొలాను ఎలా నిర్మించాలి
ఇచ్చిన పారామితులను ఉపయోగించి పారాబొలాను ఎలా సరిగ్గా గీయాలి అని పాఠశాల పిల్లలు నేర్చుకోవడం చాలా ముఖ్యం.
వ్యక్తీకరణలు మరియు సమీకరణాలను విశ్లేషించడం ద్వారా, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చూడవచ్చు:
- ఆర్డినేట్ వెక్టార్‌తో కావలసిన లైన్ ఖండన బిందువు cకి సమానమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది.
- గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు (x-అక్షం వెంట) ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన అంత్య భాగాలకు సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి.
అదనంగా, అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క వివక్షత (D)ని తెలుసుకోవడం ద్వారా OXతో ఖండన పాయింట్లను కనుగొనవచ్చు:
D = (b 2 - 4 * a * c).
దీన్ని చేయడానికి, మీరు వ్యక్తీకరణను సున్నాకి సమానం చేయాలి.
పారాబొలా యొక్క మూలాల ఉనికి ఫలితంపై ఆధారపడి ఉంటుంది:
- D ˃ 0, ఆపై x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
- D = 0, ఆపై x 1, 2 = -b / (2 * a);
- D˂ 0, అప్పుడు వెక్టార్ OXతో ఖండన పాయింట్లు లేవు.
మేము పారాబొలాను నిర్మించడానికి అల్గోరిథం పొందుతాము:
- శాఖల దిశను నిర్ణయించండి;
- శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొనండి;
- ఆర్డినేట్ అక్షంతో ఖండనను కనుగొనండి;
- x-అక్షంతో ఖండనను కనుగొనండి.
ఉదాహరణ 1.
y = x 2 - 5 * x + 4 ఫంక్షన్ ఇచ్చినట్లయితే. ఇది పారాబొలాను నిర్మించడం అవసరం. మేము అల్గోరిథంను అనుసరిస్తాము:
- a = 1, కాబట్టి, శాఖలు పైకి మళ్లించబడతాయి;
- తీవ్ర కోఆర్డినేట్లు: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- విలువ y = 4 వద్ద ఆర్డినేట్ అక్షంతో కలుస్తుంది;
- వివక్షను కనుగొనండి: D = 25 - 16 = 9;
- మూలాల కోసం వెతుకుతోంది:
- X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10)
ఉదాహరణ 2.
y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 ఫంక్షన్ కోసం మీరు పారాబొలాను నిర్మించాలి. మేము ఇచ్చిన అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము:
- a = 3, కాబట్టి, శాఖలు పైకి దర్శకత్వం వహించబడతాయి;
- తీవ్ర కోఆర్డినేట్లు: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- y = -1 విలువ వద్ద y-యాక్సిస్‌తో కలుస్తుంది;
- వివక్షను కనుగొనండి: D = 4 + 12 = 16. కాబట్టి మూలాలు:
- X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
- X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
పొందిన పాయింట్లను ఉపయోగించి, మీరు పారాబొలాను నిర్మించవచ్చు.
డైరెట్రిక్స్, ఎక్సెంట్రిసిటీ, ఫోకస్ ఆఫ్ ఎ పారాబొలా
కానానికల్ సమీకరణం ఆధారంగా, F యొక్క ఫోకస్ కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంటుంది (p/2, 0).
స్ట్రెయిట్ లైన్ AB అనేది డైరెక్టిక్స్ (ఒక నిర్దిష్ట పొడవు గల పారాబొలా యొక్క ఒక రకమైన తీగ). దీని సమీకరణం: x = -p/2.
అసాధారణత (స్థిరం) = 1.
ముగింపు
హైస్కూల్‌లో విద్యార్థులు చదివే ఒక అంశాన్ని మేము పరిశీలించాము. ఇప్పుడు మీకు తెలుసు, పారాబొలా యొక్క క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌ను చూడటం, దాని శీర్షాన్ని ఎలా కనుగొనాలో, శాఖలు ఏ దిశలో మళ్ళించబడతాయి, గొడ్డలి వెంట స్థానభ్రంశం ఉందా మరియు నిర్మాణ అల్గోరిథం కలిగి ఉంటే, మీరు దాని గ్రాఫ్‌ను గీయవచ్చు.