త్వరిత స్క్వేర్ కోసం పద్ధతులు. మైక్రోసాఫ్ట్ ఎక్సెల్‌లో సంఖ్యను స్క్వేర్ చేయడం

* వందల వరకు చతురస్రాలు

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అన్ని సంఖ్యలను బుద్ధిహీనంగా వర్గీకరించకుండా ఉండటానికి, మీరు ఈ క్రింది నియమాలతో మీ పనిని వీలైనంత సులభతరం చేయాలి.

నియమం 1 (10 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

0తో ముగిసే సంఖ్యల కోసం.
ఒక సంఖ్య 0తో ముగిస్తే, దాన్ని గుణించడం ఒక అంకె సంఖ్య కంటే కష్టం కాదు. మీరు కేవలం రెండు సున్నాలను జోడించాలి.
70 * 70 = 4900.
పట్టికలో ఎరుపు రంగులో గుర్తించబడింది.

నియమం 2 (10 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

5తో ముగిసే సంఖ్యల కోసం.
5తో ముగిసే రెండు అంకెల సంఖ్యను వర్గీకరించడానికి, మీరు మొదటి అంకె (x)ని (x+1)తో గుణించాలి మరియు ఫలితానికి “25”ని జోడించాలి.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
పట్టికలో ఆకుపచ్చ రంగులో గుర్తించబడింది.

రూల్ 3 (8 సంఖ్యలను కట్ చేస్తుంది)

40 నుండి 50 వరకు సంఖ్యల కోసం.
XX * XX = 1500 + 100 * రెండవ అంకె + (10 - రెండవ అంకె)^2
తగినంత కష్టం, సరియైనదా? ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
పట్టికలో అవి లేత నారింజ రంగులో గుర్తించబడ్డాయి.

నియమం 4 (8 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

50 నుండి 60 వరకు సంఖ్యల కోసం.
XX * XX = 2500 + 100 * రెండవ అంకె + (రెండవ అంకె)^2
అర్థం చేసుకోవడం కూడా చాలా కష్టం. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
పట్టికలో అవి ముదురు నారింజ రంగులో గుర్తించబడ్డాయి.

రూల్ 5 (8 సంఖ్యలను కట్ చేస్తుంది)

90 నుండి 100 వరకు సంఖ్యల కోసం.
XX * XX = 8000+ 200 * రెండవ అంకె + (10 - రెండవ అంకె)^2
నియమం 3ని పోలి ఉంటుంది, కానీ విభిన్న గుణకాలతో. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
పట్టికలో అవి ముదురు ముదురు నారింజ రంగులో గుర్తించబడ్డాయి.

నియమం నం. 6 (32 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

మీరు 40 వరకు ఉన్న సంఖ్యల చతురస్రాలను గుర్తుంచుకోవాలి. ఇది పిచ్చిగా మరియు కష్టంగా అనిపిస్తుంది, కానీ నిజానికి చాలా మందికి 20 వరకు ఉన్న చతురస్రాలు తెలుసు. 25, 30, 35 మరియు 40 సూత్రాలకు అనుకూలంగా ఉంటాయి. మరియు 16 జతల సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలి ఉన్నాయి. వారు ఇప్పటికే జ్ఞాపకశక్తిని ఉపయోగించి (నేను కూడా తరువాత మాట్లాడాలనుకుంటున్నాను) లేదా మరే ఇతర మార్గాల ద్వారా గుర్తుంచుకోవచ్చు. గుణకార పట్టిక లాగా :)
పట్టికలో నీలం రంగులో గుర్తించబడింది.

మీరు అన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవచ్చు లేదా మీరు ఎంపికగా గుర్తుంచుకోవచ్చు; ఏ సందర్భంలోనైనా, 1 నుండి 100 వరకు ఉన్న అన్ని సంఖ్యలు రెండు సూత్రాలకు కట్టుబడి ఉంటాయి. ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించకుండా, 70% కంటే ఎక్కువ ఎంపికలను త్వరగా లెక్కించడానికి నియమాలు సహాయపడతాయి. ఇక్కడ రెండు సూత్రాలు ఉన్నాయి:

సూత్రాలు (24 రోజులు మిగిలి ఉన్నాయి)

25 నుండి 50 వరకు సంఖ్యల కోసం
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
ఉదాహరణకి:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

50 నుండి 100 వరకు సంఖ్యల కోసం
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
ఉదాహరణకి:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

వాస్తవానికి, మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని విస్తరించడానికి సాధారణ సూత్రం గురించి మర్చిపోవద్దు (న్యూటన్ ద్విపద యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

నవీకరణ
100కి దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్యల ఉత్పత్తులు మరియు ప్రత్యేకించి వాటి చతురస్రాలు కూడా "100కి ప్రతికూలతలు" సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

పదాలలో: మొదటి సంఖ్య నుండి మేము రెండవ సంఖ్య యొక్క "ప్రతికూలత" ను వందకు తీసివేసి, "ప్రతికూలతలు" యొక్క రెండు-అంకెల ఉత్పత్తిని కేటాయించాము.

చతురస్రాల కోసం, తదనుగుణంగా, ఇది మరింత సరళమైనది.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(సీలోవర్ నుండి)

స్క్వేర్ చేయడం అనేది పొలంలో అత్యంత ఉపయోగకరమైన విషయం కాకపోవచ్చు. మీరు సంఖ్యను స్క్వేర్ చేయవలసి వచ్చినప్పుడు మీకు వెంటనే ఒక సందర్భం గుర్తుండదు. కానీ సంఖ్యలతో త్వరగా పనిచేసే సామర్థ్యం మరియు ప్రతి సంఖ్యకు తగిన నియమాలను వర్తింపజేయడం మీ మెదడు యొక్క జ్ఞాపకశక్తి మరియు "కంప్యూటింగ్ సామర్ధ్యాలను" సంపూర్ణంగా అభివృద్ధి చేస్తుంది.

మార్గం ద్వారా, హబ్రా పాఠకులందరికీ 64^2 = 4096, మరియు 32^2 = 1024 అని తెలుసునని నేను భావిస్తున్నాను.
అసోసియేటివ్ స్థాయిలో అనేక స్క్వేర్‌ల సంఖ్యలు గుర్తుంచుకోబడతాయి. ఉదాహరణకు, అదే సంఖ్యల కారణంగా నేను 88^2 = 7744 సులభంగా గుర్తుంచుకున్నాను. ప్రతి ఒక్కరికి బహుశా వారి స్వంత లక్షణాలు ఉండవచ్చు.

"మానసికవాదానికి 13 దశలు" అనే పుస్తకంలో నేను మొదట రెండు ప్రత్యేకమైన సూత్రాలను కనుగొన్నాను, దీనికి గణితంతో పెద్దగా సంబంధం లేదు. వాస్తవం ఏమిటంటే, ఇంతకుముందు (బహుశా ఇప్పుడు కూడా) ప్రత్యేకమైన కంప్యూటింగ్ సామర్ధ్యాలు స్టేజ్ మ్యాజిక్‌లోని సంఖ్యలలో ఒకటి: ఒక ఇంద్రజాలికుడు అతను సూపర్ పవర్‌లను ఎలా పొందాడనే దాని గురించి కథ చెబుతాడు మరియు దీనికి రుజువుగా, తక్షణమే సంఖ్యలను వంద వరకు వర్గీకరిస్తాడు. ఈ పుస్తకం క్యూబ్ నిర్మాణ పద్ధతులు, రూట్‌లు మరియు క్యూబ్ రూట్‌లను తీసివేసే పద్ధతులు కూడా చూపిస్తుంది.

త్వరిత లెక్కింపు అంశం ఆసక్తికరంగా ఉంటే, నేను మరింత వ్రాస్తాను.
దయచేసి PM లో లోపాలు మరియు దిద్దుబాట్ల గురించి వ్యాఖ్యలను వ్రాయండి, ముందుగా ధన్యవాదాలు.

మూడు అంకెల సంఖ్యలను స్క్వేర్ చేయడం అనేది మానసిక మాయాజాలం యొక్క ఆకట్టుకునే ఫీట్. రెండు-అంకెల సంఖ్యను స్క్వేర్ చేయడంలో 10 యొక్క గుణకాన్ని పొందడానికి దాన్ని పైకి లేదా క్రిందికి చుట్టుముట్టినట్లుగా, మూడు-అంకెల సంఖ్యను 100 యొక్క గుణకాన్ని పొందడానికి దాన్ని పైకి లేదా క్రిందికి చుట్టడం అవసరం. సంఖ్య 193ని వర్గీకరిద్దాం.

193 నుండి 200కి చుట్టుముట్టడం ద్వారా (రెండవ కారకం 186 అయింది), 3 బై 3 సమస్య 3 బై 1కి మరింత సరళంగా మారింది, ఎందుకంటే 200 x 186 కేవలం 2 x 186 = 372 చివరిలో రెండు సున్నాలతో ఉంటుంది . దాదాపుగా అయిపోయింది! ఇప్పుడు మీరు చేయాల్సిందల్లా 7 2 = 49 జోడించి సమాధానాన్ని పొందండి - 37,249.

స్క్వేర్ 706ని ప్రయత్నిద్దాం.

706 నుండి 700 వరకు సంఖ్యను చుట్టుముట్టేటప్పుడు, 712ని పొందడానికి మీరు తప్పనిసరిగా అదే సంఖ్యను 6కి మార్చాలి.

712 x 7 = 4984 (ఒక సాధారణ 3 బై 1 సమస్య) నుండి 712 x 700 = 498,400. 6 2 = 36 జోడించడం వల్ల 498,436 వస్తుంది.

చివరి ఉదాహరణలు అంత భయానకంగా లేవు ఎందుకంటే అవి అదనంగా చేర్చబడవు. అదనంగా, 6 2 మరియు 7 2 దేనికి సమానమో మీకు హృదయపూర్వకంగా తెలుసు. 100 యొక్క గుణకారం నుండి 10 యూనిట్ల కంటే ఎక్కువ దూరంలో ఉన్న సంఖ్యను వర్గీకరించడం చాలా కష్టం. 314 2 వద్ద మీ చేతిని ప్రయత్నించండి.

ఈ ఉదాహరణలో, 314 అనేది 14 నుండి రౌండ్ నుండి 300కి తగ్గించబడింది మరియు 14 నుండి 328కి పెరిగింది. 328 x 3 = 984ని గుణించండి మరియు 98,400 పొందేందుకు చివర రెండు సున్నాలను జోడించండి. ఆపై 14 యొక్క వర్గాన్ని జోడించండి. అది వెంటనే గుర్తుకు వస్తే. (మెమరీ లేదా శీఘ్ర గణనలకు ధన్యవాదాలు) అంటే 14 2 = 196, అప్పుడు మీరు మంచి స్థితిలో ఉన్నారు. తర్వాత, 98,596 యొక్క తుది సమాధానాన్ని పొందడానికి 98,400 + 196 జోడించండి.

మీకు 14 2 లెక్కించడానికి సమయం కావాలంటే, కొనసాగించడానికి ముందు "98,400"ని అనేకసార్లు పునరావృతం చేయండి. లేకపోతే, మీరు 14 2 = 196ని లెక్కించవచ్చు మరియు మీరు ఉత్పత్తిని జోడించాల్సిన సంఖ్యను మరచిపోవచ్చు.

మీరు ఆకట్టుకోవాలనుకునే ప్రేక్షకులను కలిగి ఉంటే, మీరు 292ని కనుగొనే ముందు మీరు "279,000" అని బిగ్గరగా చెప్పవచ్చు. కానీ మీరు పరిష్కరించే ప్రతి సమస్యకు ఇది పని చేయదు.

ఉదాహరణకు, స్క్వేర్ 636ని ప్రయత్నించండి.

ఇప్పుడు మీ మెదడు నిజంగా పని చేస్తోంది, కాదా?

మీరు 1296ని పొందడానికి సాధారణ పద్ధతిలో 36వ వర్గాన్ని స్క్వేర్ చేస్తున్నప్పుడు "403,200"ని అనేకసార్లు పునరావృతం చేయాలని గుర్తుంచుకోండి. కష్టతరమైన భాగం 1296 + 403,200ని జోడించడం. దీన్ని ఎడమ నుండి కుడికి ఒకేసారి ఒక అంకె చేయండి మరియు మీకు 404,496 సమాధానం వస్తుంది. మీరు రెండు-అంకెల సంఖ్యలను వర్గీకరించడం గురించి బాగా తెలిసిన తర్వాత, మూడు-అంకెల సంఖ్యలతో సమస్యలు చాలా సులభతరం అవుతాయని నేను వాగ్దానం చేస్తున్నాను.

ఇక్కడ మరింత క్లిష్టమైన ఉదాహరణ: 863 2 .

ఏ సంఖ్యలను గుణించాలో నిర్ణయించుకోవడం మొదటి సమస్య. నిస్సందేహంగా, వాటిలో ఒకటి 900, మరియు మరొకటి 800 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. అయితే ఏది? దీనిని రెండు విధాలుగా లెక్కించవచ్చు.

1. కఠినమైన మార్గం: 863 మరియు 900 మధ్య వ్యత్యాసం 37 (63 యొక్క పూరక), 863 నుండి 37ని తీసివేసి 826 పొందండి.

2. సులభమైన మార్గం: 63 సంఖ్యను రెట్టింపు చేయండి, మనకు 126 వస్తుంది, ఇప్పుడు మేము ఈ సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు అంకెలను 800 సంఖ్యకు జోడిస్తాము, ఇది చివరికి 826 ఇస్తుంది.

సులభమైన మార్గం ఎలా పనిచేస్తుందో ఇక్కడ ఉంది. రెండు సంఖ్యలకు 863 సంఖ్యతో ఒకే తేడా ఉన్నందున, వాటి మొత్తం తప్పనిసరిగా 863 సంఖ్యకు రెండు రెట్లు సమానంగా ఉండాలి, అంటే 1726. సంఖ్యలలో ఒకటి 900, అంటే మరొకటి 826కి సమానంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు మేము ఈ క్రింది గణనలను నిర్వహిస్తాము.

37 సంఖ్యను వర్గీకరించిన తర్వాత 743,400 సంఖ్యను గుర్తుంచుకోవడంలో మీకు సమస్య ఉంటే, చింతించకండి. కింది అధ్యాయాలలో మీరు జ్ఞాపకశక్తి వ్యవస్థను నేర్చుకుంటారు మరియు అటువంటి సంఖ్యలను ఎలా గుర్తుంచుకోవాలి అని నేర్చుకుంటారు.

359 సంఖ్యను స్క్వేర్ చేయండి - ఇప్పటివరకు చాలా కష్టమైన పనిలో మీ చేతిని ప్రయత్నించండి.

318ని పొందడానికి, 359 నుండి 41 (59 యొక్క పూరకాన్ని) తీసివేయండి లేదా 2 x 59 = 118ని గుణించి చివరి రెండు అంకెలను ఉపయోగించండి. తర్వాత 400 x 318 = 127,200ని గుణిస్తే ఈ సంఖ్యకు 412 = 1681 కలిపితే మొత్తం 128,881 వస్తుంది. అంతే! మీరు మొదటిసారి ప్రతిదీ సరిగ్గా చేస్తే, మీరు గొప్పవారు!

ఈ విభాగాన్ని పెద్ద కానీ సులభమైన పనితో పూర్తి చేద్దాం: 987 2ని గణించడం.

వ్యాయామం: మూడు అంకెల సంఖ్యలను స్క్వేర్ చేయడం

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

డోర్ నంబర్ 1 వెనుక ఏముంది?

పరేడ్ మ్యాగజైన్‌లో ప్రపంచంలోనే అత్యధిక IQ (గిన్నిస్ బుక్ ఆఫ్ రికార్డ్స్‌లో నమోదైనట్లుగా) ఉన్న మహిళ - మార్లిన్ సావంత్ రాసిన వ్యాసం 1991లో అందరినీ స్టంప్ చేసిన గణితశాస్త్ర ప్లాటిట్యూడ్. ఈ పారడాక్స్ మాంటీ హాల్ సమస్యగా పిలువబడింది మరియు ఇది క్రింది విధంగా ఉంది.

మీరు మాంటీ హాల్ షో లెట్స్ మేక్ ఎ డీల్‌లో ఉన్నారు. హోస్ట్ మీకు మూడు తలుపులలో ఒకదానిని ఎంచుకునే అవకాశాన్ని ఇస్తుంది, వాటిలో ఒకటి వెనుక పెద్ద బహుమతి, మిగిలిన రెండు మేకలు ఉన్నాయి. మీరు డోర్ నంబర్ 2ని ఎంచుకున్నారని అనుకుందాం. అయితే ఈ డోర్ వెనుక దాగి ఉన్నదాన్ని చూపించే ముందు, మోంటీ డోర్ నంబర్ 3ని తెరుస్తాడు. అక్కడ ఒక మేక ఉంది. ఇప్పుడు, అతని ఆటపట్టించే విధంగా, మాంటీ మిమ్మల్ని ఇలా అడుగుతాడు: మీరు డోర్ #2 తెరవాలనుకుంటున్నారా లేదా డోర్ #1 వెనుక ఏముందో చూసే ప్రమాదం ఉందా? మీరు ఏమి చేయాలి? ప్రధాన బహుమతి ఎక్కడ లేదని మాంటీ మీకు చెప్పబోతున్నాడని ఊహిస్తూ, అతను ఎల్లప్పుడూ "ఓదార్పు" తలుపులలో ఒకదాన్ని తెరుస్తాడు. ఇది మీకు ఎంపికను అందిస్తుంది: ఒక తలుపు పెద్ద బహుమతితో మరియు మరొకటి ఓదార్పు బహుమతితో. ఇప్పుడు మీ అవకాశాలు 50/50, సరియైనదా?

కానీ కాదు! మీరు మొదటిసారి సరిగ్గా ఎంచుకున్న అవకాశం ఇప్పటికీ 3లో 1 మాత్రమే. పెద్ద బహుమతి ఇతర తలుపు వెనుక ఉండే అవకాశం 2/3కి పెరుగుతుంది, ఎందుకంటే సంభావ్యతలు తప్పనిసరిగా 1 వరకు జోడించబడతాయి.

కాబట్టి, మీ ఎంపికను మార్చడం ద్వారా, మీరు గెలిచే అవకాశాలను రెట్టింపు చేస్తారు! (మాంటీ ఎల్లప్పుడూ "విజేత కాని" తలుపును చూపడం ద్వారా ఆటగాడికి కొత్త ఎంపికను ఇస్తుందని మరియు మీ మొదటి ఎంపిక సరైనది అయినప్పుడు, "నాన్-విన్నింగ్" తలుపును యాదృచ్ఛికంగా తెరుస్తుందని సమస్య ఊహిస్తుంది.) గేమ్ గురించి ఆలోచించండి పది తలుపులతో. మీ మొదటి ఎంపిక తర్వాత, హోస్ట్ ఎనిమిది "నాన్-విన్నింగ్" డోర్‌లను తెరవనివ్వండి. ఇక్కడే మీ ప్రవృత్తి తలుపును మార్చడానికి ఎక్కువగా ఉంటుంది. ప్రధాన బహుమతి ఎక్కడ ఉందో మాంటీ హాల్‌కు తెలియక డోర్ నంబర్ 3ని తెరిస్తే, అది మేక (బహుమతి ఉండవచ్చు) అని తేలితే, డోర్ నంబర్ 1లో 50 ఉందని ప్రజలు సాధారణంగా పొరబడతారు. సరైనది కావడానికి శాతం అవకాశం. అలాంటి తార్కికం ఇంగితజ్ఞానాన్ని ధిక్కరిస్తుంది, అయినప్పటికీ మార్లిన్ సావంత్ గణితశాస్త్రం గురించి వ్రాయకూడదని ఆమెకు లేఖలు (శాస్త్రవేత్తలు, గణిత శాస్త్రజ్ఞుల నుండి కూడా అనేకం) కుప్పలుగా వచ్చాయి. అయితే, ఈ వ్యక్తులందరూ తప్పు చేశారు.

ఇప్పుడు మనం ద్విపద యొక్క వర్గాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు అంకగణిత దృక్కోణాన్ని వర్తింపజేసి, మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని, అనగా (a + b)² మరియు రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాన్ని గురించి మాట్లాడుకుందాం, అనగా (a - బి)².

నుండి (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

అప్పుడు మనం కనుగొంటాము: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², i.e.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

ఈ ఫలితాన్ని పైన వివరించిన సమానత్వం రూపంలో మరియు పదాలలో గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: రెండు సంఖ్యల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ మొదటి సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మొదటి సంఖ్య మరియు రెండవ సంఖ్య ద్వారా రెండు యొక్క లబ్ధం సంఖ్య, రెండవ సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని కలిపి.

ఈ ఫలితాన్ని తెలుసుకోవడం, మేము వెంటనే వ్రాయవచ్చు, ఉదాహరణకు:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

ఈ ఉదాహరణలలో రెండవది చూద్దాం. మేము రెండు సంఖ్యల మొత్తాన్ని వర్గీకరించాలి: మొదటి సంఖ్య 3ab, రెండవది 1. ఫలితం ఇలా ఉండాలి: 1) మొదటి సంఖ్య యొక్క వర్గము, అనగా (3ab)², ఇది 9a²b²కి సమానం; 2) మొదటి సంఖ్య మరియు రెండవ సంఖ్య ద్వారా రెండింటి యొక్క ఉత్పత్తి, అనగా 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) 2వ సంఖ్య యొక్క వర్గము, అనగా 1² = 1 - ఈ మూడు పదాలను తప్పనిసరిగా జోడించాలి.

మేము రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని వర్గీకరించడానికి ఒక సూత్రాన్ని కూడా పొందుతాము, అనగా (a - b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

అనగా రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసం యొక్క వర్గము మొదటి సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం, మొదటి సంఖ్య మరియు రెండవది ద్వారా రెండు యొక్క లబ్దిని మైనస్ చేసి, రెండవ సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని కలిపితే.

ఈ ఫలితాన్ని తెలుసుకోవడం, మేము వెంటనే ద్విపదల వర్గీకరణను నిర్వహించగలము, ఇది అంకగణిత కోణం నుండి, రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని సూచిస్తుంది.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, మొదలైనవి.

2వ ఉదాహరణను వివరిద్దాం. ఇక్కడ బ్రాకెట్లలో రెండు సంఖ్యల తేడా ఉంది: మొదటి సంఖ్య 5ab 3 మరియు రెండవ సంఖ్య 3a 2 b. ఫలితం ఇలా ఉండాలి: 1) మొదటి సంఖ్య యొక్క వర్గము, అనగా (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) 1వ మరియు 2వ సంఖ్యల ద్వారా రెండిటి యొక్క ఉత్పత్తి, అనగా 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 మరియు 3) రెండవ సంఖ్య యొక్క వర్గము, అనగా (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; మొదటి మరియు మూడవ నిబంధనలు తప్పనిసరిగా ప్లస్‌తో తీసుకోవాలి మరియు 2వది మైనస్‌తో తీసుకోవాలి, మనకు 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 వస్తుంది. 4వ ఉదాహరణను వివరించడానికి, మేము 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... ఘాతాంకాన్ని తప్పనిసరిగా 2 మరియు 2తో గుణించాలి) 1వ సంఖ్యతో మరియు 2వ సంఖ్యతో రెండు యొక్క ఉత్పత్తిని మాత్రమే గమనించాలి. 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

మేము బీజగణితం యొక్క దృక్కోణాన్ని తీసుకుంటే, అప్పుడు రెండు సమానత్వాలు: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² మరియు 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² ఒకే విషయాన్ని వ్యక్తపరుస్తాయి, అవి: ద్విపద చతురస్రం మొదటి పదం యొక్క వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది, దానితో పాటు సంఖ్య (+2) యొక్క మొదటి పదం మరియు రెండవ దానితో పాటు రెండవ పదం యొక్క వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఇది స్పష్టంగా ఉంది ఎందుకంటే మా సమానత్వాలను ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

కొన్ని సందర్భాల్లో, ఫలిత సమానత్వాన్ని ఈ విధంగా అర్థం చేసుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

ఇక్కడ మనం ద్విపదను వర్గీకరిస్తాము, దీని మొదటి పదం = –4a మరియు రెండవది = –3b. తర్వాత మనం (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² మరియు చివరగా:

(–4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

ట్రినోమియల్, క్వాడ్రినోమియల్ లేదా సాధారణంగా ఏదైనా బహుపదిని వర్గీకరించడానికి సూత్రాన్ని పొందడం మరియు గుర్తుంచుకోవడం కూడా సాధ్యమవుతుంది. అయినప్పటికీ, మేము దీన్ని చేయము, ఎందుకంటే మేము ఈ సూత్రాలను చాలా అరుదుగా ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది మరియు ఏదైనా బహుపది (ద్విపది మినహా) స్క్వేర్ చేయవలసి వస్తే, మేము విషయాన్ని గుణకారానికి తగ్గిస్తాము. ఉదాహరణకి:

31. మనం పొందిన 3 సమానతలను వర్తింపజేద్దాం, అవి:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

అంకగణితానికి.

ఇది 41 ∙ 39గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు మనం దీన్ని (40 + 1) (40 – 1) రూపంలో సూచించవచ్చు మరియు విషయాన్ని మొదటి సమానత్వానికి తగ్గించవచ్చు - మనకు 40² – 1 లేదా 1600 – 1 = 1599 లభిస్తుంది. దీనికి ధన్యవాదాలు, 21 ∙ 19 వంటి గుణకారాలను చేయడం సులభం; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, మొదలైనవి.

ఇది 41 ∙ 41 గా ఉండనివ్వండి; ఇది 41² లేదా (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. అలాగే 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. మీకు 37 ∙ 37 అవసరమైతే, అప్పుడు ఇది (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369కి సమానం. అలాంటి గుణకారాలు (లేదా రెండు అంకెల సంఖ్యలను వర్గీకరించడం) మీ తలపై కొంత నైపుణ్యంతో సులభంగా నిర్వహించవచ్చు.

* వందల వరకు చతురస్రాలు

నియమం 1 (10 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

నియమం 2 (10 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

రూల్ 3 (8 సంఖ్యలను కట్ చేస్తుంది)

నియమం 4 (8 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

రూల్ 5 (8 సంఖ్యలను కట్ చేస్తుంది)

నియమం నం. 6 (32 సంఖ్యలను తగ్గిస్తుంది)

సూత్రాలు (24 అంకెలు మిగిలి ఉన్నాయి)

25 నుండి 50 వరకు సంఖ్యల కోసం
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
ఉదాహరణకి:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

50 నుండి 100 వరకు సంఖ్యల కోసం

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

ఉదాహరణకి:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

వాస్తవానికి, మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని విస్తరించడానికి సాధారణ సూత్రం గురించి మర్చిపోవద్దు (న్యూటన్ ద్విపద యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

"మానసికవాదానికి 13 దశలు" అనే పుస్తకంలో నేను మొదట రెండు ప్రత్యేకమైన సూత్రాలను కనుగొన్నాను, దీనికి గణితంతో పెద్దగా సంబంధం లేదు. వాస్తవం ఏమిటంటే, ఇంతకుముందు (బహుశా ఇప్పుడు కూడా) ప్రత్యేకమైన కంప్యూటింగ్ సామర్ధ్యాలు స్టేజ్ మ్యాజిక్‌లోని సంఖ్యలలో ఒకటి: ఒక ఇంద్రజాలికుడు అతను సూపర్ పవర్‌లను ఎలా పొందాడనే దాని గురించి కథ చెబుతాడు మరియు దీనికి రుజువుగా, తక్షణమే వంద వరకు సంఖ్యలను వర్గీకరిస్తాడు. ఈ పుస్తకం క్యూబ్ నిర్మాణ పద్ధతులు, రూట్‌లు మరియు క్యూబ్ రూట్‌లను తీసివేసే పద్ధతులు కూడా చూపిస్తుంది.

కాలిక్యులేటర్ లేకుండా పెద్ద ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లను త్వరగా స్క్వేర్ చేయడం ఎలాగో ఈ రోజు మనం నేర్చుకుందాం. పెద్దగా, నా ఉద్దేశ్యం పది నుండి వంద వరకు ఉన్న సంఖ్యలు. నిజమైన సమస్యలలో పెద్ద వ్యక్తీకరణలు చాలా అరుదు మరియు పది కంటే తక్కువ విలువలను ఎలా లెక్కించాలో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు, ఎందుకంటే ఇది సాధారణ గుణకార పట్టిక. నేటి పాఠంలోని విషయం చాలా అనుభవజ్ఞులైన విద్యార్థులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అనుభవశూన్యుడు విద్యార్థులు ఈ సాంకేతికత యొక్క వేగం మరియు ప్రభావాన్ని అభినందించరు.

మొదట, మనం సాధారణంగా ఏమి మాట్లాడుతున్నామో తెలుసుకుందాం. ఉదాహరణగా, మేము సాధారణంగా చేసే విధంగా ఏకపక్ష సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను నిర్మించాలని నేను ప్రతిపాదిస్తున్నాను. 34 అనుకుందాం. మనం దానిని నిలువు వరుసతో దాని ద్వారా గుణించడం ద్వారా పెంచుతాము:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 అనేది చతురస్రం 34.

ఈ పద్ధతి యొక్క సమస్యను రెండు పాయింట్లలో వివరించవచ్చు:

1) దీనికి వ్రాతపూర్వక డాక్యుమెంటేషన్ అవసరం;

2) గణన ప్రక్రియలో పొరపాటు చేయడం చాలా సులభం.

కాలిక్యులేటర్ లేకుండా, మౌఖికంగా మరియు వాస్తవంగా ఎటువంటి తప్పులు లేకుండా త్వరగా గుణించడం ఎలాగో ఈ రోజు మనం నేర్చుకుంటాము.

కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం. పని చేయడానికి, మనకు మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గానికి ఫార్ములా అవసరం. వాటిని వ్రాసుకుందాం:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

ఇది మనకు ఏమి ఇస్తుంది? వాస్తవం ఏమిటంటే, 10 నుండి 100 పరిధిలోని ఏదైనా విలువను $a$గా సూచించవచ్చు, ఇది 10 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు $b$ సంఖ్య, ఇది 10 ద్వారా భాగించబడిన శేషం.

ఉదాహరణకు, 28ని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\ end(align)\]

మేము మిగిలిన ఉదాహరణలను అదే విధంగా ప్రదర్శిస్తాము:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\ end(align)\]

ఈ ఆలోచన మనకు ఏమి చెబుతుంది? వాస్తవం ఏమిటంటే, మొత్తం లేదా వ్యత్యాసంతో, మేము పైన వివరించిన గణనలను వర్తింపజేయవచ్చు. వాస్తవానికి, గణనలను తగ్గించడానికి, ప్రతి మూలకం కోసం మీరు చిన్న రెండవ పదంతో వ్యక్తీకరణను ఎంచుకోవాలి. ఉదాహరణకు, $20+8$ మరియు $30-2$ ఎంపికల నుండి, మీరు $30-2$ ఎంపికను ఎంచుకోవాలి.

అలాగే మేము మిగిలిన ఉదాహరణల కోసం ఎంపికలను ఎంచుకుంటాము:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\ end(align)\]

త్వరగా గుణించేటప్పుడు రెండవ పదాన్ని తగ్గించడానికి మనం ఎందుకు ప్రయత్నించాలి? ఇది మొత్తం మరియు తేడా యొక్క స్క్వేర్ యొక్క ప్రారంభ గణనల గురించి. వాస్తవం ఏమిటంటే $2ab$ అనే పదం ప్లస్ లేదా మైనస్‌తో నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు లెక్కించడం చాలా కష్టం. మరియు కారకం $a$, 10 యొక్క గుణకారం, ఎల్లప్పుడూ సులభంగా గుణించబడితే, $b$ కారకంతో, ఇది ఒకటి నుండి పది వరకు ఉండే సంఖ్య, చాలా మంది విద్యార్థులు క్రమం తప్పకుండా ఇబ్బందులు ఎదుర్కొంటారు.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

కాబట్టి మూడు నిమిషాల్లో మేము ఎనిమిది ఉదాహరణల గుణకారం చేసాము. అంటే ఒక్కో వ్యక్తీకరణకు 25 సెకన్ల కంటే తక్కువ. వాస్తవానికి, ఒక చిన్న అభ్యాసం తర్వాత, మీరు మరింత వేగంగా లెక్కించబడతారు. ఏదైనా రెండు అంకెల వ్యక్తీకరణను లెక్కించడానికి మీకు ఐదు నుండి ఆరు సెకన్ల కంటే ఎక్కువ సమయం పట్టదు.

అయితే అంతే కాదు. చూపిన సాంకేతికత తగినంత వేగంగా మరియు తగినంత చల్లగా కనిపించని వారికి, నేను మరింత వేగవంతమైన గుణకార పద్ధతిని ప్రతిపాదిస్తున్నాను, అయితే, ఇది అన్ని పనులకు పని చేయదు, కానీ 10 యొక్క గుణిజాల నుండి ఒకదానితో తేడా ఉన్న వాటికి మాత్రమే. మా పాఠంలో అటువంటి నాలుగు విలువలు ఉన్నాయి: 51, 21, 81 మరియు 39.

ఇది చాలా వేగంగా కనిపిస్తుంది; మేము ఇప్పటికే వాటిని అక్షరాలా రెండు పంక్తులలో లెక్కించాము. కానీ, వాస్తవానికి, వేగవంతం చేయడం సాధ్యమవుతుంది మరియు ఇది క్రింది విధంగా జరుగుతుంది. పదికి గుణకారంగా ఉండే విలువను మనం వ్రాస్తాము, అది మనకు అవసరమైనదానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 51ని తీసుకుందాం. కాబట్టి, ప్రారంభించడానికి, యాభైని నిర్మిస్తాం:

\[{{50}^{2}}=2500\]

పది యొక్క గుణిజాలను వర్గీకరించడం చాలా సులభం. ఇప్పుడు మనం అసలు వ్యక్తీకరణకు యాభై మరియు 51ని జోడిస్తాము. సమాధానం అదే విధంగా ఉంటుంది:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

కాబట్టి ఒకదానితో ఒకటి తేడా ఉన్న అన్ని సంఖ్యలతో.

మనం వెతుకుతున్న విలువ మనం లెక్కించే విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, ఫలిత చతురస్రానికి మేము సంఖ్యలను జోడిస్తాము. కావలసిన సంఖ్య తక్కువగా ఉంటే, 39 విషయంలో వలె, అప్పుడు చర్య చేస్తున్నప్పుడు, మీరు స్క్వేర్ నుండి విలువను తీసివేయాలి. కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించకుండా సాధన చేద్దాం:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

మీరు గమనిస్తే, అన్ని సందర్భాల్లో సమాధానాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అంతేకాకుండా, ఈ సాంకేతికత ఏదైనా ప్రక్కనే ఉన్న విలువలకు వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకి:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\ end(align)\]

అదే సమయంలో, మేము మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క చతురస్రాల గణనలను గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం లేదు మరియు కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించాల్సిన అవసరం లేదు. పని వేగం ప్రశంసలకు మించినది. అందువల్ల, గుర్తుంచుకోండి, సాధన చేయండి మరియు ఆచరణలో ఉపయోగించండి.

ప్రధానాంశాలు

ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు 10 నుండి 100 వరకు ఉన్న ఏవైనా సహజ సంఖ్యలను సులభంగా గుణించవచ్చు. అంతేకాకుండా, అన్ని గణనలు కాలిక్యులేటర్ లేకుండా మరియు కాగితం లేకుండా కూడా మౌఖికంగా నిర్వహించబడతాయి!

ముందుగా, 10 యొక్క గుణకాలుగా ఉండే విలువల వర్గాలను గుర్తుంచుకోండి:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇంకా వేగంగా ఎలా లెక్కించాలి

అయితే అదంతా కాదు! ఈ వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి, మీరు రిఫరెన్స్ వాటికి "ప్రక్కనే" తక్షణమే వర్గ సంఖ్యలను చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, మనకు 152 (రిఫరెన్స్ విలువ) తెలుసు, కానీ మనం 142 (రిఫరెన్స్ విలువ కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉండే ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్య)ని కనుగొనాలి. దానిని వ్రాసుకుందాం:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

దయచేసి గమనించండి: ఆధ్యాత్మికత లేదు! రెండు విలువలను తీసివేయడం లేదా జోడించడం ద్వారా రిఫరెన్స్ సంఖ్యలను వాటి ద్వారా గుణించడం ద్వారా 1 ద్వారా తేడా ఉన్న సంఖ్యల చతురస్రాలు వాస్తవానికి పొందబడతాయి:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇలా ఎందుకు జరుగుతోంది? మొత్తం (మరియు వ్యత్యాసం) యొక్క వర్గానికి సూత్రాన్ని వ్రాస్దాం. $n$ మా సూచన విలువగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు అవి ఇలా లెక్కించబడతాయి:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\ end(align)\]

- ఇదీ ఫార్ములా.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\ end(align)\]

- 1 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యల కోసం ఇదే సూత్రం.

ఈ టెక్నిక్ మీ అధిక-స్టేక్స్ గణిత పరీక్షలు మరియు పరీక్షలలో మీ సమయాన్ని ఆదా చేస్తుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. మరియు నాకు అంతే. మళ్ళి కలుద్దాం!