గణితంలో అసాధారణ లక్షణాలతో స్వీయ-సారూప్య సెట్లు
19వ శతాబ్దం చివరి నుండి, శాస్త్రీయ విశ్లేషణ యొక్క దృక్కోణం నుండి రోగలక్షణ లక్షణాలతో స్వీయ-సారూప్య వస్తువుల ఉదాహరణలు గణితంలో కనిపించాయి. వీటిలో ఈ క్రిందివి ఉన్నాయి:
- కాంటర్ సెట్ అనేది ఎక్కడా లేని దట్టమైన లెక్కించలేని ఖచ్చితమైన సెట్. విధానాన్ని సవరించడం ద్వారా, ఎక్కడా లేని దట్టమైన సానుకూల పొడవును కూడా పొందవచ్చు;
- సియర్పిన్స్కి ట్రయాంగిల్ ("టేబుల్క్లాత్") మరియు సియర్పిన్స్కి కార్పెట్ విమానంలో సెట్ చేయబడిన కాంటర్ యొక్క అనలాగ్లు;
- మెంగెర్స్ స్పాంజ్ అనేది త్రిమితీయ స్థలంలో సెట్ చేయబడిన కాంటర్ యొక్క అనలాగ్;
- వీర్‌స్ట్రాస్ మరియు వాన్ డెర్ వార్డెన్‌ల ఉదాహరణలు, ఎక్కడా భిన్నమైన నిరంతర ఫంక్షన్;
- కోచ్ వక్రరేఖ అనేది ఏ బిందువులోనూ టాంజెంట్ లేని అనంతమైన పొడవు గల స్వీయ-ఖండన లేని నిరంతర వక్రరేఖ;
- పీనో కర్వ్ - చతురస్రంలోని అన్ని బిందువుల గుండా వెళుతున్న నిరంతర వక్రరేఖ;
- బ్రౌనియన్ కణం యొక్క పథం కూడా సంభావ్యత 1తో ఎక్కడా తేడా లేదు. దీని Hausdorff పరిమాణం రెండు [ ] .
ఫ్రాక్టల్ వక్రతలను పొందడం కోసం పునరావృత విధానం
కంప్రెషన్ మ్యాపింగ్‌ల స్థిర బిందువులుగా ఫ్రాక్టల్స్
స్వీయ-సారూప్యత లక్షణాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా ఈ క్రింది విధంగా ఖచ్చితంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు. విమానం యొక్క కాంట్రాక్టివ్ మ్యాపింగ్‌లుగా ఉండనివ్వండి. విమానం యొక్క అన్ని కాంపాక్ట్ (క్లోజ్డ్ మరియు బౌండ్డ్) ఉపసమితుల సెట్‌లో క్రింది మ్యాపింగ్‌ను పరిగణించండి: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\ displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))
ఇది మ్యాపింగ్ అని చూపవచ్చు Ψ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \Psi)హౌస్డోర్ఫ్ మెట్రిక్‌తో కూడిన కాంపాక్టా సెట్‌లో సంకోచ పటం. కాబట్టి, బనాచ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ మ్యాపింగ్ ఒక ప్రత్యేకమైన స్థిర బిందువును కలిగి ఉంది. ఈ స్థిర బిందువు మన ఫ్రాక్టల్ అవుతుంది.
పైన వివరించిన ఫ్రాక్టల్ వక్రతలను పొందడం కోసం పునరావృత విధానం ఈ నిర్మాణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. ఇది అన్ని డిస్ప్లేలను కలిగి ఉంటుంది ψ i , i = 1 , … , n (\ displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- సారూప్యత ప్రదర్శనలు, మరియు n (\ displaystyle n)- జనరేటర్ లింక్‌ల సంఖ్య.
సంబంధిత డైనమిక్ సిస్టమ్‌ల ప్రవర్తనను బట్టి ప్లేన్ పాయింట్లను కలరింగ్ చేయడం ద్వారా సంక్లిష్ట డైనమిక్స్ ఆధారంగా అందమైన గ్రాఫిక్ చిత్రాలను రూపొందించడం ప్రజాదరణ పొందింది. ఉదాహరణకు, మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌ను పూర్తి చేయడానికి, మీరు ఆకాంక్ష యొక్క వేగాన్ని బట్టి పాయింట్లను రంగు వేయవచ్చు z n (\ displaystyle z_(n))అనంతం వరకు (నిర్వచించబడింది, చెప్పండి, చిన్న సంఖ్యగా n (\ displaystyle n), దేని వద్ద | z n | (\displaystyle |z_(n)|)స్థిరమైన పెద్ద విలువను మించిపోతుంది A (\డిస్ప్లేస్టైల్ A)).
బయోమార్ఫ్‌లు సంక్లిష్ట డైనమిక్స్ ఆధారంగా నిర్మించబడిన ఫ్రాక్టల్స్ మరియు జీవులను గుర్తుకు తెస్తాయి.
యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్
సహజ వస్తువులు తరచుగా ఫ్రాక్టల్ ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటాయి. యాదృచ్ఛిక (యాదృచ్ఛిక) ఫ్రాక్టల్స్ వాటిని మోడల్ చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు. యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్ ఉదాహరణలు:
- విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో బ్రౌనియన్ చలనం యొక్క పథం;
- ఒక విమానంలో బ్రౌనియన్ చలనం యొక్క పథం యొక్క సరిహద్దు. 2001లో, లాలర్, ష్రామ్ మరియు వెర్నర్ దాని పరిమాణం 4/3 అని మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క పరికల్పనను నిరూపించారు.
- Schramm-Löwner పరిణామాలు ఐసింగ్ మోడల్ మరియు పెర్కోలేషన్ వంటి స్టాటిస్టికల్ మెకానిక్స్ యొక్క క్లిష్టమైన ద్విమితీయ నమూనాలలో ఉత్పన్నమయ్యే కన్ఫార్మల్‌గా మార్పులేని ఫ్రాక్టల్ వక్రతలు.
- వివిధ రకాల యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్, అనగా, ప్రతి దశలో యాదృచ్ఛిక పరామితిని ప్రవేశపెట్టే పునరావృత విధానాన్ని ఉపయోగించి పొందిన ఫ్రాక్టల్స్. ప్లాస్మా కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో అటువంటి ఫ్రాక్టల్ వినియోగానికి ఒక ఉదాహరణ.
ఫ్రాక్టల్ లక్షణాలతో సహజ వస్తువులు
సహజ వస్తువులు ( పాక్షిక-ఫ్రాక్టల్స్) నిర్మాణం యొక్క పునరావృతాల అసంపూర్ణత మరియు సరికాని ఆదర్శ నైరూప్య ఫ్రాక్టల్స్ నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. ప్రకృతిలో కనిపించే చాలా ఫ్రాక్టల్ లాంటి నిర్మాణాలు (మేఘాల సరిహద్దులు, తీరప్రాంతాలు, చెట్లు, మొక్కల ఆకులు, పగడాలు, ...) పాక్షిక-ఫ్రాక్టల్స్, ఎందుకంటే కొన్ని చిన్న స్థాయిలో ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం అదృశ్యమవుతుంది. సజీవ కణం యొక్క పరిమాణం మరియు చివరికి అణువుల పరిమాణం ద్వారా విధించబడిన పరిమితుల కారణంగా సహజ నిర్మాణాలు ఖచ్చితమైన ఫ్రాక్టల్‌లు కావు.
- వన్యప్రాణులలో:
- స్టార్ ఫిష్ మరియు అర్చిన్స్
- పువ్వులు మరియు మొక్కలు (బ్రోకలీ, క్యాబేజీ)
- చెట్టు కిరీటాలు మరియు మొక్కల ఆకులు
- పండు (పైనాపిల్)
- మానవులు మరియు జంతువుల ప్రసరణ వ్యవస్థ మరియు శ్వాసనాళాలు
- నిర్జీవ ప్రకృతిలో:
- భౌగోళిక వస్తువుల సరిహద్దులు (దేశాలు, ప్రాంతాలు, నగరాలు)
- విండో గాజు మీద అతిశీతలమైన నమూనాలు
- స్టాలక్టైట్స్, స్టాలగ్మిట్స్, హెలిక్టైట్స్.
అప్లికేషన్
సహజ శాస్త్రాలు
భౌతిక శాస్త్రంలో, అల్లకల్లోల ద్రవ ప్రవాహం, సంక్లిష్ట వ్యాప్తి-శోషణ ప్రక్రియలు, మంటలు, మేఘాలు మరియు వంటివి వంటి నాన్‌లీనియర్ ప్రక్రియలను మోడలింగ్ చేసేటప్పుడు సహజంగా ఫ్రాక్టల్‌లు ఉత్పన్నమవుతాయి. పోరస్ పదార్థాలను మోడలింగ్ చేయడంలో ఫ్రాక్టల్స్ ఉపయోగించబడతాయి, ఉదాహరణకు, పెట్రోకెమికల్స్‌లో. జీవశాస్త్రంలో, అవి జనాభాను మోడల్ చేయడానికి మరియు అంతర్గత అవయవ వ్యవస్థలను (రక్తనాళ వ్యవస్థ) వివరించడానికి ఉపయోగిస్తారు. కోచ్ వక్రరేఖను సృష్టించిన తరువాత, తీరప్రాంతం యొక్క పొడవును లెక్కించేటప్పుడు దానిని ఉపయోగించాలని ప్రతిపాదించబడింది.
రేడియో ఇంజనీరింగ్
ఫ్రాక్టల్ యాంటెన్నాలు
డిజైన్‌లో ఫ్రాక్టల్ జ్యామితిని ఉపయోగించడం
ఫ్రాక్టల్స్ దాదాపు ఒక శతాబ్దం పాటు ప్రసిద్ధి చెందాయి, బాగా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి మరియు జీవితంలో అనేక అనువర్తనాలు ఉన్నాయి. ఈ దృగ్విషయం చాలా సులభమైన ఆలోచనపై ఆధారపడింది: అందం మరియు వైవిధ్యంలో అనంతమైన ఆకృతులను కేవలం రెండు కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి సాపేక్షంగా సరళమైన డిజైన్‌ల నుండి పొందవచ్చు - కాపీ చేయడం మరియు స్కేలింగ్
ఈ భావనకు ఖచ్చితమైన నిర్వచనం లేదు. కాబట్టి, "ఫ్రాక్టల్" అనే పదం గణిత పదం కాదు. ఇది సాధారణంగా కింది లక్షణాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వాటిని సంతృప్తిపరిచే రేఖాగణిత బొమ్మకు ఇవ్వబడిన పేరు:
- ఏదైనా మాగ్నిఫికేషన్ వద్ద సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది;
- (సుమారుగా) స్వీయ-సమానమైనది;
- పాక్షిక హౌస్డోర్ఫ్ (ఫ్రాక్టల్) కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది టోపోలాజికల్ కంటే పెద్దది;
- పునరావృత విధానాల ద్వారా నిర్మించవచ్చు.
19వ మరియు 20వ శతాబ్దాల ప్రారంభంలో, ఫ్రాక్టల్స్ అధ్యయనం క్రమపద్ధతిలో కంటే ఎక్కువ ఎపిసోడిక్‌గా ఉంది, ఎందుకంటే గతంలో గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రధానంగా సాధారణ పద్ధతులు మరియు సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయగల “మంచి” వస్తువులను అధ్యయనం చేశారు. 1872లో, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కార్ల్ వీర్‌స్ట్రాస్ ఒక నిరంతర ఫంక్షన్‌కు ఉదాహరణను రూపొందించాడు, అది ఎక్కడా భేదకరం కాదు. అయినప్పటికీ, దాని నిర్మాణం పూర్తిగా వియుక్తమైనది మరియు అర్థం చేసుకోవడం కష్టం. అందువల్ల, 1904లో, స్వీడన్ హెల్జ్ వాన్ కోచ్ నిరంతర వక్రరేఖతో ముందుకు వచ్చింది, అది ఎక్కడా టాంజెంట్ లేనిది మరియు గీయడం చాలా సులభం. ఇది ఫ్రాక్టల్ యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉందని తేలింది. ఈ వక్రత యొక్క ఒక రూపాంతరాన్ని "కోచ్ స్నోఫ్లేక్" అని పిలుస్తారు.
ఫిగర్స్ యొక్క స్వీయ-సారూప్యత యొక్క ఆలోచనలు బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క భవిష్యత్తు గురువు ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి పాల్ పియర్ లెవీ చేత తీసుకోబడ్డాయి. 1938లో, అతని వ్యాసం “ప్లేన్ మరియు స్పేషియల్ కర్వ్‌లు మరియు ఉపరితలాలను మొత్తంగా ఉండే భాగాలను కలిగి ఉంటుంది” ప్రచురించబడింది, ఇది మరొక ఫ్రాక్టల్‌ను వివరించింది - లెవీ సి-కర్వ్. పైన జాబితా చేయబడిన ఈ ఫ్రాక్టల్స్ అన్నీ షరతులతో ఒక తరగతి నిర్మాణాత్మక (జ్యామితీయ) ఫ్రాక్టల్స్‌గా వర్గీకరించబడతాయి.
మరొక తరగతి డైనమిక్ (బీజగణిత) ఫ్రాక్టల్స్, ఇందులో మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ ఉంటుంది. ఈ దిశలో మొదటి పరిశోధన 20 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ఉంది మరియు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు గాస్టన్ జూలియా మరియు పియరీ ఫాటౌ పేర్లతో సంబంధం కలిగి ఉంది. 1918లో, జూలియా సంక్లిష్ట హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ల పునరావృతాలపై దాదాపు రెండు వందల పేజీల పనిని ప్రచురించింది, ఇది జూలియా సెట్‌లను వివరించింది - మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌తో దగ్గరి సంబంధం ఉన్న ఫ్రాక్టల్స్ మొత్తం కుటుంబం. ఈ పని ఫ్రెంచ్ అకాడమీచే బహుమతిని పొందింది, కానీ ఇది ఒక్క దృష్టాంతాన్ని కలిగి లేదు, కాబట్టి బహిరంగ వస్తువుల అందాన్ని అభినందించడం అసాధ్యం. ఈ పని ఆ కాలపు గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో జూలియాకు ప్రసిద్ధి చెందినప్పటికీ, అది త్వరగా మరచిపోయింది.
జూలియా మరియు ఫాటౌ యొక్క పనికి మళ్ళీ శ్రద్ధ కంప్యూటర్ల ఆగమనంతో అర్ధ శతాబ్దం తర్వాత మాత్రమే మారింది: ఫ్రాక్టల్స్ ప్రపంచం యొక్క గొప్పతనాన్ని మరియు అందాన్ని కనిపించేలా చేసింది వారు. అన్నింటికంటే, మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ యొక్క చిత్రాలుగా మనకు ఇప్పుడు తెలిసిన చిత్రాలను ఫాటౌ ఎప్పటికీ చూడలేరు, ఎందుకంటే అవసరమైన లెక్కల సంఖ్య చేతితో చేయలేము. దీని కోసం కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించిన మొదటి వ్యక్తి బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్.
1982లో, మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క పుస్తకం "ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్" ప్రచురించబడింది, దీనిలో రచయిత ఆ సమయంలో అందుబాటులో ఉన్న ఫ్రాక్టల్స్ గురించి దాదాపు మొత్తం సమాచారాన్ని సేకరించి క్రమబద్ధీకరించారు మరియు దానిని సులభంగా మరియు ప్రాప్యత చేయగల పద్ధతిలో అందించారు. మాండెల్‌బ్రోట్ తన ప్రదర్శనలో భారీ సూత్రాలు మరియు గణిత నిర్మాణాలపై కాకుండా పాఠకుల రేఖాగణిత అంతర్ దృష్టికి ప్రధాన ప్రాధాన్యతనిచ్చాడు. కంప్యూటర్ మరియు చారిత్రక కథలను ఉపయోగించి పొందిన దృష్టాంతాలకు ధన్యవాదాలు, రచయిత మోనోగ్రాఫ్ యొక్క శాస్త్రీయ భాగాన్ని నైపుణ్యంగా కరిగించారు, పుస్తకం బెస్ట్ సెల్లర్‌గా మారింది మరియు ఫ్రాక్టల్స్ సాధారణ ప్రజలకు తెలుసు. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కానివారిలో వారి విజయానికి కారణం చాలా సులభమైన నిర్మాణాలు మరియు ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థి కూడా అర్థం చేసుకోగలిగే సూత్రాల సహాయంతో, అద్భుతమైన సంక్లిష్టత మరియు అందం యొక్క చిత్రాలు పొందడం. వ్యక్తిగత కంప్యూటర్లు తగినంత శక్తివంతంగా మారినప్పుడు, కళలో మొత్తం దిశ కూడా కనిపించింది - ఫ్రాక్టల్ పెయింటింగ్, మరియు దాదాపు ఏ కంప్యూటర్ యజమాని అయినా దీన్ని చేయగలడు. ఇప్పుడు ఇంటర్నెట్‌లో మీరు ఈ అంశానికి అంకితమైన అనేక సైట్‌లను సులభంగా కనుగొనవచ్చు.
ఒక చెట్టు, సముద్ర తీరం, మేఘం లేదా మన చేతిలోని రక్తనాళాలకు ఉమ్మడిగా ఏమి ఉంది? మొదటి చూపులో, ఈ వస్తువులన్నింటికీ ఉమ్మడిగా ఏమీ లేదని అనిపించవచ్చు. అయితే, వాస్తవానికి, జాబితా చేయబడిన అన్ని వస్తువులలో అంతర్లీనంగా ఉండే నిర్మాణం యొక్క ఒక ఆస్తి ఉంది: అవి స్వీయ-సారూప్యమైనవి. ఒక కొమ్మ నుండి, చెట్టు ట్రంక్ నుండి, చిన్న రెమ్మలు విస్తరించి ఉంటాయి, వాటి నుండి కూడా చిన్నవి మొదలైనవి, అంటే, ఒక కొమ్మ మొత్తం చెట్టును పోలి ఉంటుంది. ప్రసరణ వ్యవస్థ ఇదే విధంగా నిర్మించబడింది: ధమనుల నుండి ధమనులు బయలుదేరుతాయి మరియు వాటి నుండి ఆక్సిజన్ అవయవాలు మరియు కణజాలాలలోకి ప్రవేశించే అతి చిన్న కేశనాళికలు. సముద్ర తీరం యొక్క ఉపగ్రహ చిత్రాలను చూద్దాం: మేము బేలు మరియు ద్వీపకల్పాలను చూస్తాము; దానిని చూద్దాం, కానీ పక్షి దృష్టి నుండి: మేము బేలు మరియు కేప్‌లను చూస్తాము; ఇప్పుడు మనం బీచ్‌లో నిలబడి మన పాదాలను చూస్తున్నామని ఊహించుకోండి: మిగిలిన వాటి కంటే నీటిలో మరింత పొడుచుకు వచ్చిన గులకరాళ్లు ఎల్లప్పుడూ ఉంటాయి. అంటే, తీరప్రాంతం, జూమ్ ఇన్ చేసినప్పుడు, దానిలాగే ఉంటుంది. అమెరికన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు (అతను ఫ్రాన్స్‌లో పెరిగినప్పటికీ) బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ ఈ లక్షణాన్ని వస్తువుల ఫ్రాక్టాలిటీ అని పిలిచాడు మరియు అలాంటి వస్తువులనే - ఫ్రాక్టల్స్ (లాటిన్ ఫ్రాక్టస్ నుండి - విరిగినవి).
ఈ భావనకు ఖచ్చితమైన నిర్వచనం లేదు. కాబట్టి, "ఫ్రాక్టల్" అనే పదం గణిత పదం కాదు. సాధారణంగా, ఫ్రాక్టల్ అనేది జ్యామితీయ ఫిగర్, ఇది క్రింది లక్షణాలలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వాటిని సంతృప్తిపరుస్తుంది: ఇది స్కేల్‌లో ఏదైనా పెరుగుదల వద్ద సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది (ఉదాహరణకు, సరళ రేఖ వలె కాకుండా, దానిలోని ఏదైనా భాగం సరళమైన రేఖాగణిత చిత్రం - ఒక విభాగం ) (సుమారుగా) స్వీయ-సమానమైనది. ఇది ఫ్రాక్షనల్ హౌస్డోర్ఫ్ (ఫ్రాక్టల్) కోణాన్ని కలిగి ఉంది, ఇది టోపోలాజికల్ కంటే పెద్దది. పునరావృత విధానాలను ఉపయోగించి నిర్మించవచ్చు.
జ్యామితి మరియు బీజగణితం
19వ మరియు 20వ శతాబ్దాల ప్రారంభంలో ఫ్రాక్టల్స్ అధ్యయనం క్రమపద్ధతిలో కంటే ఎక్కువ ఎపిసోడిక్, ఎందుకంటే గతంలో గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రధానంగా సాధారణ పద్ధతులు మరియు సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయగల “మంచి” వస్తువులను అధ్యయనం చేశారు. 1872లో, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కార్ల్ వీర్‌స్ట్రాస్ ఒక నిరంతర ఫంక్షన్‌కు ఉదాహరణను రూపొందించాడు, అది ఎక్కడా భేదకరం కాదు. అయినప్పటికీ, దాని నిర్మాణం పూర్తిగా వియుక్తమైనది మరియు అర్థం చేసుకోవడం కష్టం. అందువల్ల, 1904లో, స్వీడన్ హెల్జ్ వాన్ కోచ్ నిరంతర వక్రరేఖతో ముందుకు వచ్చింది, అది ఎక్కడా టాంజెంట్ లేనిది మరియు గీయడం చాలా సులభం. ఇది ఫ్రాక్టల్ యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉందని తేలింది. ఈ వక్రత యొక్క ఒక రూపాంతరాన్ని "కోచ్ స్నోఫ్లేక్" అని పిలుస్తారు.
ఫిగర్స్ యొక్క స్వీయ-సారూప్యత యొక్క ఆలోచనలు బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క భవిష్యత్తు గురువు ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి పాల్ పియర్ లెవీ చేత తీసుకోబడ్డాయి. 1938 లో, అతని వ్యాసం “విమానం మరియు ప్రాదేశిక వక్రతలు మరియు మొత్తం భాగాలను కలిగి ఉన్న ఉపరితలాలు” ప్రచురించబడ్డాయి, ఇది మరొక ఫ్రాక్టల్‌ను వివరించింది - లెవీ సి-కర్వ్. పైన జాబితా చేయబడిన ఈ ఫ్రాక్టల్స్ అన్నీ షరతులతో ఒక తరగతి నిర్మాణాత్మక (జ్యామితీయ) ఫ్రాక్టల్స్‌గా వర్గీకరించబడతాయి.
మరొక తరగతి డైనమిక్ (బీజగణిత) ఫ్రాక్టల్స్, ఇందులో మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ ఉంటుంది. ఈ దిశలో మొదటి పరిశోధన 20వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ప్రారంభమైంది మరియు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు గాస్టన్ జూలియా మరియు పియరీ ఫాటౌ పేర్లతో ముడిపడి ఉంది. 1918లో, జూలియా కాంప్లెక్స్ హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ల పునరావృతాలపై దాదాపు రెండు వందల పేజీల జ్ఞాపకాలను ప్రచురించింది, ఇది జూలియా సెట్‌లను వివరించింది, ఇది మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌తో దగ్గరి సంబంధం ఉన్న ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క మొత్తం కుటుంబం. ఈ పని ఫ్రెంచ్ అకాడమీచే బహుమతిని పొందింది, కానీ ఇది ఒక్క దృష్టాంతాన్ని కలిగి లేదు, కాబట్టి బహిరంగ వస్తువుల అందాన్ని అభినందించడం అసాధ్యం. ఈ పని ఆ కాలపు గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో జూలియాకు ప్రసిద్ధి చెందినప్పటికీ, అది త్వరగా మరచిపోయింది. కంప్యూటర్ల రాకతో అర్ధ శతాబ్దం తర్వాత దృష్టి మళ్లీ దాని వైపు మళ్లింది: ఫ్రాక్టల్స్ ప్రపంచం యొక్క గొప్పతనాన్ని మరియు అందాన్ని కనిపించేలా చేసింది వారు.
ఫ్రాక్టల్ కొలతలు
మీకు తెలిసినట్లుగా, రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క పరిమాణం (పరిమాణాల సంఖ్య) ఈ బొమ్మపై ఉన్న పాయింట్ యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించడానికి అవసరమైన కోఆర్డినేట్ల సంఖ్య.
ఉదాహరణకు, వక్రరేఖపై ఒక బిందువు యొక్క స్థానం ఒక కోఆర్డినేట్ ద్వారా, ఉపరితలంపై (తప్పనిసరిగా విమానం కాదు) రెండు కోఆర్డినేట్ల ద్వారా మరియు త్రిమితీయ స్థలంలో మూడు కోఆర్డినేట్ల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
మరింత సాధారణ గణిత దృక్కోణం నుండి, ఒకరు ఈ విధంగా కోణాన్ని నిర్వచించవచ్చు: ఒక డైమెన్షనల్ (టోపోలాజికల్ దృక్కోణం నుండి) వస్తువులు (విభాగం) కోసం లీనియర్ డైమెన్షన్‌లలో పెరుగుదల, రెండు కారకాల ద్వారా పరిమాణం (పొడవు) రెండంకెల పెరుగుదల, ద్విమితీయ వాటికి (ఒక చతురస్రం) సరళ పరిమాణాలలో అదే పెరుగుదల పరిమాణం (విస్తీర్ణం) 4 రెట్లు పెరుగుతుంది, త్రిమితీయ (క్యూబ్) - ద్వారా 8 సార్లు. అంటే, "నిజమైన" (హౌస్‌డార్ఫ్ అని పిలవబడే) పరిమాణం ఒక వస్తువు యొక్క "పరిమాణం" పెరుగుదల యొక్క సంవర్గమానం మరియు దాని సరళ పరిమాణంలో పెరుగుదల యొక్క సంవర్గమానం యొక్క నిష్పత్తిగా లెక్కించబడుతుంది. అంటే, ఒక విభాగానికి D=log (2)/log (2)=1, ఒక విమానం D=log (4)/log (2)=2, వాల్యూమ్ D=log (8)/log (2) కోసం )=3.
ఇప్పుడు కోచ్ వక్రరేఖ యొక్క పరిమాణాన్ని గణిద్దాం, దీని నిర్మాణం కోసం యూనిట్ సెగ్మెంట్ మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించబడింది మరియు మధ్య విరామం ఈ సెగ్మెంట్ లేకుండా సమబాహు త్రిభుజంతో భర్తీ చేయబడుతుంది. కనిష్ట సెగ్మెంట్ యొక్క లీనియర్ కొలతలు మూడు రెట్లు పెరిగినప్పుడు, కోచ్ కర్వ్ యొక్క పొడవు లాగ్ (4)/లాగ్ (3) ~ 1.26 ద్వారా పెరుగుతుంది. అంటే, కోచ్ వక్రరేఖ యొక్క పరిమాణం భిన్నం!
సైన్స్ మరియు కళ
1982లో, మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క పుస్తకం "ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్" ప్రచురించబడింది, దీనిలో రచయిత ఆ సమయంలో అందుబాటులో ఉన్న ఫ్రాక్టల్స్ గురించి దాదాపు మొత్తం సమాచారాన్ని సేకరించి క్రమబద్ధీకరించారు మరియు దానిని సులభంగా మరియు ప్రాప్యత చేయగల పద్ధతిలో అందించారు. మాండెల్‌బ్రోట్ తన ప్రదర్శనలో భారీ సూత్రాలు మరియు గణిత నిర్మాణాలపై కాకుండా పాఠకుల రేఖాగణిత అంతర్ దృష్టికి ప్రధాన ప్రాధాన్యతనిచ్చాడు. కంప్యూటర్ మరియు చారిత్రక కథలను ఉపయోగించి పొందిన దృష్టాంతాలకు ధన్యవాదాలు, రచయిత మోనోగ్రాఫ్ యొక్క శాస్త్రీయ భాగాన్ని నైపుణ్యంగా కరిగించారు, పుస్తకం బెస్ట్ సెల్లర్‌గా మారింది మరియు ఫ్రాక్టల్స్ సాధారణ ప్రజలకు తెలుసు. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కానివారిలో వారి విజయానికి కారణం చాలా సులభమైన నిర్మాణాలు మరియు ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థి కూడా అర్థం చేసుకోగలిగే సూత్రాల సహాయంతో, అద్భుతమైన సంక్లిష్టత మరియు అందం యొక్క చిత్రాలు పొందడం. వ్యక్తిగత కంప్యూటర్లు తగినంత శక్తివంతంగా మారినప్పుడు, కళలో మొత్తం దిశ కూడా కనిపించింది - ఫ్రాక్టల్ పెయింటింగ్, మరియు దాదాపు ఏ కంప్యూటర్ యజమాని అయినా దీన్ని చేయగలడు. ఇప్పుడు ఇంటర్నెట్‌లో మీరు ఈ అంశానికి అంకితమైన అనేక సైట్‌లను సులభంగా కనుగొనవచ్చు.
కోచ్ వక్రరేఖను పొందే పథకం
యుద్ధం మరియు శాంతి
పైన పేర్కొన్నట్లుగా, ఫ్రాక్టల్ లక్షణాలను కలిగి ఉన్న సహజ వస్తువులలో ఒకటి తీరప్రాంతం. ఒక ఆసక్తికరమైన కథ దానితో లేదా మరింత ఖచ్చితంగా దాని పొడవును కొలిచే ప్రయత్నంతో అనుసంధానించబడింది, ఇది మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క శాస్త్రీయ కథనానికి ఆధారం, మరియు అతని పుస్తకం "ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్"లో కూడా వివరించబడింది. మేము చాలా ప్రతిభావంతులైన మరియు అసాధారణ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, భౌతిక శాస్త్రవేత్త మరియు వాతావరణ శాస్త్రవేత్త అయిన లూయిస్ రిచర్డ్‌సన్ చేసిన ప్రయోగం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. అతని పరిశోధన యొక్క దిశలలో ఒకటి రెండు దేశాల మధ్య సాయుధ పోరాటానికి కారణాలు మరియు సంభావ్యత యొక్క గణిత వివరణను కనుగొనే ప్రయత్నం. అతను పరిగణనలోకి తీసుకున్న పారామితులలో రెండు పోరాడుతున్న దేశాల ఉమ్మడి సరిహద్దు పొడవు ఉంది. అతను సంఖ్యా ప్రయోగాల కోసం డేటాను సేకరించినప్పుడు, స్పెయిన్ మరియు పోర్చుగల్ యొక్క ఉమ్మడి సరిహద్దులోని డేటా వేర్వేరు మూలాల నుండి చాలా భిన్నంగా ఉందని అతను కనుగొన్నాడు. ఇది అతనిని ఈ క్రింది ఆవిష్కరణకు దారితీసింది: ఒక దేశం యొక్క సరిహద్దుల పొడవు మనం వాటిని కొలిచే పాలకుడిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. చిన్న స్థాయి, సరిహద్దు పొడవుగా ఉంటుంది. ఎక్కువ మాగ్నిఫికేషన్‌తో తీరం యొక్క మరిన్ని కొత్త వంపులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం సాధ్యమవుతుందనే వాస్తవం దీనికి కారణం, ఇది గతంలో కొలతల ముతక కారణంగా విస్మరించబడింది. మరియు, స్కేల్‌లో ప్రతి పెరుగుదలతో, గతంలో లెక్కించబడని రేఖల వంపులు వెల్లడైతే, సరిహద్దుల పొడవు అనంతం అని తేలింది! నిజమే, ఇది వాస్తవానికి జరగదు - మా కొలతల ఖచ్చితత్వానికి పరిమిత పరిమితి ఉంది. ఈ వైరుధ్యాన్ని రిచర్డ్‌సన్ ప్రభావం అంటారు.
నిర్మాణాత్మక (జ్యామితీయ) ఫ్రాక్టల్స్
సాధారణ సందర్భంలో నిర్మాణాత్మక ఫ్రాక్టల్‌ను నిర్మించడానికి అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది. అన్నింటిలో మొదటిది, మనకు రెండు సరిఅయిన రేఖాగణిత ఆకారాలు అవసరం, వాటిని బేస్ మరియు ఫ్రాగ్మెంట్ అని పిలుద్దాం. మొదటి దశలో, భవిష్యత్ ఫ్రాక్టల్ యొక్క ఆధారం వర్ణించబడింది. అప్పుడు దాని కొన్ని భాగాలు తగిన స్థాయిలో తీసిన ఒక భాగంతో భర్తీ చేయబడతాయి - ఇది నిర్మాణం యొక్క మొదటి పునరావృతం. ఆ తర్వాత వచ్చిన ఫిగర్ మళ్లీ కొన్ని భాగాలను ఫ్రాగ్‌మెంట్‌కు సమానమైన బొమ్మలుగా మారుస్తుంది.
కోచ్ కర్వ్‌ను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి ఈ ప్రక్రియను చూద్దాం (మునుపటి పేజీలోని సైడ్‌బార్ చూడండి). కోచ్ వక్రరేఖకు ఏదైనా వక్రరేఖను ప్రాతిపదికగా తీసుకోవచ్చు ("కోచ్ స్నోఫ్లేక్" కోసం ఇది ఒక త్రిభుజం). కానీ మనల్ని మనం సరళమైన కేసుకు పరిమితం చేస్తాము - ఒక విభాగానికి. శకలం విరిగిన గీత, చిత్రంలో ఎగువన చూపబడింది. అల్గోరిథం యొక్క మొదటి పునరావృతం తర్వాత, ఈ సందర్భంలో అసలు విభాగం శకలంతో సమానంగా ఉంటుంది, ఆపై దానిలోని ప్రతి భాగం విడిపోయిన పంక్తితో భర్తీ చేయబడుతుంది, మొదలైనవి. ఫిగర్ దీని యొక్క మొదటి నాలుగు దశలను చూపుతుంది. ప్రక్రియ.
గణిత శాస్త్ర భాషలో: డైనమిక్ (బీజగణిత) ఫ్రాక్టల్స్
నాన్ లీనియర్ డైనమిక్ సిస్టమ్‌లను (అందుకే పేరు) అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు ఈ రకమైన ఫ్రాక్టల్స్ ఉత్పన్నమవుతాయి. అటువంటి వ్యవస్థ యొక్క ప్రవర్తనను సంక్లిష్టమైన నాన్ లీనియర్ ఫంక్షన్ (పాలినోమియల్) f (z) ద్వారా వివరించవచ్చు. కాంప్లెక్స్ ప్లేన్‌లో కొన్ని ప్రారంభ పాయింట్ z0ని తీసుకుందాం (సైడ్‌బార్ చూడండి). ఇప్పుడు సంక్లిష్ట సమతలంపై అటువంటి అనంతమైన సంఖ్యల క్రమాన్ని పరిగణించండి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి మునుపటి దాని నుండి పొందబడింది: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ) ప్రారంభ బిందువు z0పై ఆధారపడి, అటువంటి శ్రేణి భిన్నంగా ప్రవర్తిస్తుంది: n -> ∞ వలె అనంతంగా ఉంటుంది; కొంత ముగింపు బిందువుకు కలుస్తాయి; చక్రీయంగా స్థిర విలువల శ్రేణిని తీసుకోండి; మరింత క్లిష్టమైన ఎంపికలు కూడా సాధ్యమే.
సంక్లిష్ట సంఖ్యలు
సంక్లిష్ట సంఖ్య అనేది రెండు భాగాలను కలిగి ఉండే సంఖ్య - వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక, అంటే అధికారిక మొత్తం x + iy (ఇక్కడ x మరియు y వాస్తవ సంఖ్యలు). నేను పిలవబడేవాడిని ఊహాత్మక యూనిట్, అంటే, సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే సంఖ్య i^ 2 = -1. సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై ప్రాథమిక గణిత కార్యకలాపాలు నిర్వచించబడ్డాయి: కూడిక, గుణకారం, భాగహారం, తీసివేత (పోలిక ఆపరేషన్ మాత్రమే నిర్వచించబడలేదు). సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ప్రదర్శించడానికి, జ్యామితీయ ప్రాతినిధ్యం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది - విమానంలో (దీనిని కాంప్లెక్స్ అని పిలుస్తారు), వాస్తవ భాగం అబ్సిస్సా అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడింది మరియు ఊహాత్మక భాగం ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడింది మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్ x మరియు y.
అందువలన, సంక్లిష్ట విమానం యొక్క ఏదైనా పాయింట్ z ఫంక్షన్ f (z) యొక్క పునరావృతాల సమయంలో దాని స్వంత ప్రవర్తనను కలిగి ఉంటుంది మరియు మొత్తం విమానం భాగాలుగా విభజించబడింది. అంతేకాకుండా, ఈ భాగాల సరిహద్దులపై ఉన్న పాయింట్లు క్రింది ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి: ఏకపక్షంగా చిన్న స్థానభ్రంశంతో, వారి ప్రవర్తన యొక్క స్వభావం తీవ్రంగా మారుతుంది (అటువంటి పాయింట్లను విభజన పాయింట్లు అంటారు). కాబట్టి, ఒక నిర్దిష్ట రకమైన ప్రవర్తనను కలిగి ఉన్న పాయింట్ల సెట్లు, అలాగే విభజన పాయింట్ల సెట్లు తరచుగా ఫ్రాక్టల్ లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. ఇవి f (z) ఫంక్షన్ కోసం జూలియా సెట్లు.
డ్రాగన్ కుటుంబం
బేస్ మరియు ఫ్రాగ్మెంట్‌ను మార్చడం ద్వారా, మీరు అద్భుతమైన విభిన్న నిర్మాణాత్మక ఫ్రాక్టల్‌లను పొందవచ్చు.
అంతేకాకుండా, త్రిమితీయ ప్రదేశంలో ఇలాంటి కార్యకలాపాలను నిర్వహించవచ్చు. వాల్యూమెట్రిక్ ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క ఉదాహరణలు "మెంగర్ స్పాంజ్", "సియర్పిన్స్కి పిరమిడ్" మరియు ఇతరులు.
డ్రాగన్ కుటుంబం కూడా నిర్మాణాత్మక ఫ్రాక్టల్‌గా పరిగణించబడుతుంది. కొన్నిసార్లు వాటిని "హెవీ-హార్టర్ డ్రాగన్లు" (వాటి ఆకారంలో అవి చైనీస్ డ్రాగన్‌లను పోలి ఉంటాయి) అనే వారి ఆవిష్కర్తల పేరుతో పిలువబడతాయి. ఈ వక్రరేఖను నిర్మించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. వాటిలో సరళమైన మరియు అత్యంత దృశ్యమానం ఇది: మీరు చాలా పొడవైన కాగితాన్ని తీసుకోవాలి (సన్నగా ఉండే కాగితం, మంచిది), మరియు దానిని సగానికి వంచండి. అప్పుడు మొదటిసారిగా అదే దిశలో మళ్లీ సగానికి వంచు. అనేక పునరావృత్తులు తర్వాత (సాధారణంగా ఐదు లేదా ఆరు మడతల తర్వాత స్ట్రిప్ చాలా మందంగా ఉంటుంది, అది మరింత మెల్లగా వంగి ఉంటుంది), మీరు స్ట్రిప్‌ను వెనుకకు వంచి, మడతల వద్ద 90˚ కోణాలను సృష్టించడానికి ప్రయత్నించండి. అప్పుడు ప్రొఫైల్‌లో మీరు డ్రాగన్ యొక్క వక్రతను పొందుతారు. వాస్తవానికి, ఫ్రాక్టల్ వస్తువులను చిత్రీకరించడానికి మా అన్ని ప్రయత్నాల మాదిరిగానే ఇది ఉజ్జాయింపు మాత్రమే అవుతుంది. కంప్యూటర్ ఈ ప్రక్రియ యొక్క మరిన్ని దశలను చిత్రీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు ఫలితం చాలా అందమైన చిత్రం.
మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ కొంత భిన్నంగా నిర్మించబడింది. fc (z) = z 2 +c అనే ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి, ఇక్కడ c అనేది సంక్లిష్ట సంఖ్య. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క క్రమాన్ని z0=0తో నిర్మిస్తాం, c పరామితిపై ఆధారపడి, అది అనంతం వరకు మారవచ్చు లేదా పరిమితంగా ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, ఈ క్రమం పరిమితం చేయబడిన c యొక్క అన్ని విలువలు మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌గా ఉంటాయి. ఈ సెట్ యొక్క అనేక ఆసక్తికరమైన లక్షణాలను కనుగొన్న మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు ఇతర గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని వివరంగా అధ్యయనం చేశారు.
జూలియా మరియు మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ల నిర్వచనాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నాయని చూడవచ్చు. నిజానికి, ఈ రెండు సెట్లు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. అవి, మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ అనేది జూలియా సెట్ fc (z) అనుసంధానించబడిన సంక్లిష్ట పరామితి c యొక్క అన్ని విలువలు (కొన్ని అదనపు షరతులతో ఒక సెట్‌ని రెండు విభజిత భాగాలుగా విభజించలేకపోతే దానిని కనెక్ట్ అంటారు).
ఫ్రాక్టల్స్ మరియు జీవితం
ఈ రోజుల్లో, ఫ్రాక్టల్స్ సిద్ధాంతం మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతోంది. పరిశోధన కోసం పూర్తిగా శాస్త్రీయ వస్తువు మరియు ఇప్పటికే పేర్కొన్న ఫ్రాక్టల్ పెయింటింగ్‌తో పాటు, గ్రాఫిక్ డేటాను కుదించడానికి సమాచార సిద్ధాంతంలో ఫ్రాక్టల్స్ ఉపయోగించబడతాయి (ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క స్వీయ-సారూప్యత ప్రధానంగా ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది - అన్నింటికంటే, చిత్రం యొక్క చిన్న భాగాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి. మరియు మీరు మిగిలిన భాగాలను పొందగలిగే పరివర్తనలు, మొత్తం ఫైల్‌ను నిల్వ చేయడం కంటే చాలా తక్కువ మెమరీ అవసరం). ఫ్రాక్టల్‌ను నిర్వచించే సూత్రాలకు యాదృచ్ఛిక ఆటంకాలను జోడించడం ద్వారా, మీరు కొన్ని వాస్తవ వస్తువులను చాలా స్పష్టంగా తెలియజేసే యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్‌లను పొందవచ్చు - రిలీఫ్ ఎలిమెంట్స్, రిజర్వాయర్ల ఉపరితలం, కొన్ని మొక్కలు, వీటిని భౌతిక శాస్త్రం, భౌగోళికం మరియు కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో విజయవంతంగా ఉపయోగించారు. వాస్తవికతతో అనుకరణ వస్తువుల సారూప్యత. రేడియో ఎలక్ట్రానిక్స్‌లో, గత దశాబ్దంలో, ఫ్రాక్టల్ ఆకారంతో యాంటెన్నాలు ఉత్పత్తి చేయడం ప్రారంభించాయి. తక్కువ స్థలాన్ని తీసుకుంటే, అవి అధిక-నాణ్యత సిగ్నల్ రిసెప్షన్‌ను అందిస్తాయి. ఆర్థికవేత్తలు కరెన్సీ హెచ్చుతగ్గుల వక్రతలను వివరించడానికి ఫ్రాక్టల్‌లను ఉపయోగిస్తారు (ఈ ఆస్తిని మాండెల్‌బ్రోట్ 30 సంవత్సరాల క్రితం కనుగొన్నారు). ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క అద్భుతంగా అందమైన మరియు విభిన్న ప్రపంచంలోకి ఈ చిన్న విహారయాత్రను ఇది ముగించింది.
70వ దశకం చివరిలో కనిపించిన ఫ్రాక్టల్ మరియు ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి యొక్క భావనలు 80ల మధ్యకాలం నుండి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు ప్రోగ్రామర్‌లలో దృఢంగా స్థిరపడ్డాయి. ఫ్రాక్టల్ అనే పదం లాటిన్ ఫ్రాక్టస్ నుండి ఉద్భవించింది మరియు దీని అర్థం శకలాలు అని అర్థం. 1975లో బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ తనకు సంబంధించిన క్రమరహితమైన కానీ స్వీయ-సారూప్య నిర్మాణాలను సూచించడానికి ప్రతిపాదించారు. ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి పుట్టుక సాధారణంగా 1977లో మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క పుస్తకం “ది ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్” ప్రచురణతో ముడిపడి ఉంటుంది. అతని రచనలు అదే రంగంలో 1875-1925 మధ్య కాలంలో పనిచేసిన ఇతర శాస్త్రవేత్తల శాస్త్రీయ ఫలితాలను ఉపయోగించాయి (పాయింకేర్, ఫాటౌ, జూలియా, కాంటర్, హౌస్డోర్ఫ్ కానీ మన కాలంలో మాత్రమే వారి పనిని ఒకే వ్యవస్థలో కలపడం సాధ్యమైంది.
నేడు కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో ఫ్రాక్టల్స్ పాత్ర చాలా పెద్దది. వారు రెస్క్యూకి వస్తారు, ఉదాహరణకు, అవసరమైనప్పుడు, అనేక గుణకాలను ఉపయోగించి, చాలా క్లిష్టమైన ఆకృతుల పంక్తులు మరియు ఉపరితలాలను నిర్వచించడానికి. కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్ దృక్కోణం నుండి, కృత్రిమ మేఘాలు, పర్వతాలు మరియు సముద్ర ఉపరితలాలను ఉత్పత్తి చేసేటప్పుడు ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి చాలా అవసరం. వాస్తవానికి, సంక్లిష్టమైన నాన్-యూక్లిడియన్ వస్తువులను సులభంగా సూచించడానికి ఒక మార్గం కనుగొనబడింది, వీటిలో చిత్రాలు సహజమైన వాటితో సమానంగా ఉంటాయి.
ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలలో ఒకటి స్వీయ-సారూప్యత. సరళమైన సందర్భంలో, ఫ్రాక్టల్ యొక్క చిన్న భాగం మొత్తం ఫ్రాక్టల్ గురించి సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఫ్రాక్టల్ యొక్క మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క నిర్వచనం: "ఫ్రాక్టల్ అనేది కొంత కోణంలో మొత్తంగా సమానమైన భాగాలతో కూడిన నిర్మాణం."
ఫ్రాక్టల్స్ (సియర్పిన్స్కి ట్రయాంగిల్, కోచ్ స్నోఫ్లేక్, పీనో కర్వ్, మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ మరియు లోరెంజ్ అట్రాక్టర్స్) అని పిలువబడే గణిత వస్తువులు పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్నాయి. ఫ్రాక్టల్స్ వాస్తవ ప్రపంచంలోని అనేక భౌతిక దృగ్విషయాలు మరియు నిర్మాణాలను చాలా ఖచ్చితత్వంతో వివరిస్తాయి: పర్వతాలు, మేఘాలు, అల్లకల్లోల (సుడి) ప్రవాహాలు, మూలాలు, కొమ్మలు మరియు చెట్ల ఆకులు, రక్త నాళాలు, ఇది సాధారణ రేఖాగణిత బొమ్మలకు అనుగుణంగా లేదు. మొట్టమొదటిసారిగా, బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ తన సెమినల్ వర్క్ “ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్”లో మన ప్రపంచం యొక్క ఫ్రాక్టల్ స్వభావం గురించి మాట్లాడాడు.
ఫ్రాక్టల్ అనే పదాన్ని బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ 1977లో తన ప్రాథమిక రచన ఫ్రాక్టల్స్, ఫారమ్, ఖోస్ అండ్ డైమెన్షన్‌లో పరిచయం చేశారు. మాండెల్‌బ్రోట్ ప్రకారం, ఫ్రాక్టల్ అనే పదం లాటిన్ పదాలు ఫ్రాక్టస్ - ఫ్రాక్షనల్ మరియు ఫ్రాంజేర్ - టు బ్రేక్ నుండి వచ్చింది, ఇది ఫ్రాక్టల్ యొక్క సారాన్ని “విరిగిన”, క్రమరహిత సెట్‌గా ప్రతిబింబిస్తుంది.
ఫ్రాక్టల్స్ వర్గీకరణ.
మొత్తం రకాల ఫ్రాక్టల్‌లను ప్రదర్శించడానికి, వారి సాధారణంగా ఆమోదించబడిన వర్గీకరణను ఆశ్రయించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఫ్రాక్టల్స్‌లో మూడు తరగతులు ఉన్నాయి.
1. రేఖాగణిత ఫ్రాక్టల్స్.
ఈ తరగతి యొక్క ఫ్రాక్టల్స్ అత్యంత దృశ్యమానంగా ఉంటాయి. ద్విమితీయ సందర్భంలో, అవి విరిగిన రేఖను (లేదా త్రిమితీయ సందర్భంలో ఉపరితలం) ఉపయోగించి పొందబడతాయి, దీనిని జనరేటర్ అని పిలుస్తారు. అల్గోరిథం యొక్క ఒక దశలో, పాలీలైన్‌ను రూపొందించే ప్రతి విభాగాలు తగిన స్థాయిలో జనరేటర్ పాలీలైన్‌తో భర్తీ చేయబడతాయి. ఈ ప్రక్రియ యొక్క అంతులేని పునరావృతం ఫలితంగా, ఒక రేఖాగణిత ఫ్రాక్టల్ పొందబడుతుంది.
ఈ ఫ్రాక్టల్ వస్తువులలో ఒకదానికి ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం - ట్రైయాడిక్ కోచ్ కర్వ్.
ట్రైయాడిక్ కోచ్ వక్రరేఖ నిర్మాణం.
పొడవు 1 యొక్క స్ట్రెయిట్ సెగ్మెంట్ తీసుకుందాం. దానిని పిలుద్దాం విత్తనం. విత్తనాన్ని 1/3 పొడవుగా మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించి, మధ్య భాగాన్ని విస్మరించి, 1/3 పొడవు గల రెండు లింక్‌ల విరిగిన గీతతో దాన్ని భర్తీ చేద్దాం.
మేము 4/3 మొత్తం పొడవుతో 4 లింక్‌లతో కూడిన విరిగిన లైన్‌ను పొందుతాము - అని పిలవబడేది మొదటి తరం.
కోచ్ వక్రరేఖ యొక్క తదుపరి తరానికి తరలించడానికి, ప్రతి లింక్ యొక్క మధ్య భాగాన్ని విస్మరించడం మరియు భర్తీ చేయడం అవసరం. దీని ప్రకారం, రెండవ తరం యొక్క పొడవు 16/9, మూడవది - 64/27. మేము ఈ ప్రక్రియను అనంతంగా కొనసాగిస్తే, ఫలితం ట్రైయాడిక్ కోచ్ కర్వ్.
ఇప్పుడు ట్రైయాడిక్ కోచ్ కర్వ్ యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం మరియు ఫ్రాక్టల్స్ ఎందుకు "రాక్షసులు" అని పిలుస్తారో తెలుసుకుందాం.
మొదట, ఈ వక్రరేఖకు పొడవు లేదు - మనం చూసినట్లుగా, తరాల సంఖ్యతో దాని పొడవు అనంతంగా ఉంటుంది.
రెండవది, ఈ వక్రరేఖకు టాంజెంట్‌ను నిర్మించడం అసాధ్యం - దానిలోని ప్రతి బిందువు ఉత్పన్నం లేని ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ - ఈ వక్రరేఖ మృదువైనది కాదు.
పొడవు మరియు సున్నితత్వం వక్రరేఖల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు, ఇవి యూక్లిడియన్ జ్యామితి మరియు లోబాచెవ్స్కీ మరియు రీమాన్ యొక్క జ్యామితి ద్వారా అధ్యయనం చేయబడతాయి. రేఖాగణిత విశ్లేషణ యొక్క సాంప్రదాయ పద్ధతులు ట్రైయాడిక్ కోచ్ వక్రరేఖకు వర్తించవు, కాబట్టి కోచ్ వక్రరేఖ ఒక రాక్షసుడిగా మారింది - సాంప్రదాయ జ్యామితి యొక్క మృదువైన నివాసులలో "రాక్షసుడు".
హార్టర్-హైత్వే "డ్రాగన్" నిర్మాణం.
మరొక ఫ్రాక్టల్ వస్తువు పొందడానికి, మీరు నిర్మాణ నియమాలను మార్చాలి. ఏర్పడే మూలకం లంబ కోణంలో అనుసంధానించబడిన రెండు సమాన భాగాలుగా ఉండనివ్వండి. జీరోత్ జనరేషన్‌లో, మేము యూనిట్ సెగ్మెంట్‌ను ఈ ఉత్పాదక మూలకంతో భర్తీ చేస్తాము, తద్వారా కోణం పైన ఉంటుంది. అటువంటి భర్తీతో లింక్ మధ్యలో స్థానభ్రంశం ఉందని మేము చెప్పగలం. తదుపరి తరాలను నిర్మించేటప్పుడు, నియమం అనుసరించబడుతుంది: ఎడమ వైపున ఉన్న మొదటి లింక్ ఏర్పడే మూలకంతో భర్తీ చేయబడుతుంది, తద్వారా లింక్ మధ్యలో కదలిక దిశలో ఎడమ వైపుకు మార్చబడుతుంది మరియు తదుపరి లింక్‌లను భర్తీ చేసేటప్పుడు, దిశలు విభాగాల మధ్యభాగాల స్థానభ్రంశం తప్పనిసరిగా ప్రత్యామ్నాయంగా ఉండాలి. పైన వివరించిన సూత్రం ప్రకారం నిర్మించిన వక్రరేఖ యొక్క మొదటి కొన్ని తరాలు మరియు 11వ తరాన్ని ఫిగర్ చూపిస్తుంది. n తో అనంతం వైపు మొగ్గు చూపే వక్రరేఖను హార్టర్-హైత్వే డ్రాగన్ అంటారు.
కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో, చెట్లు మరియు పొదలు చిత్రాలను పొందేటప్పుడు రేఖాగణిత ఫ్రాక్టల్స్ ఉపయోగించడం అవసరం. రెండు-డైమెన్షనల్ రేఖాగణిత ఫ్రాక్టల్స్ త్రిమితీయ అల్లికలను (ఒక వస్తువు యొక్క ఉపరితలంపై నమూనాలు) సృష్టించడానికి ఉపయోగించబడతాయి.
2.బీజగణిత ఫ్రాక్టల్స్
ఇది ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క అతిపెద్ద సమూహం. అవి n-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌లలో నాన్ లీనియర్ ప్రక్రియలను ఉపయోగించి పొందబడతాయి. రెండు డైమెన్షనల్ ప్రక్రియలు ఎక్కువగా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి. నాన్ లీనియర్ పునరావృత ప్రక్రియను వివిక్త డైనమిక్ సిస్టమ్‌గా వివరించేటప్పుడు, ఈ సిస్టమ్‌ల సిద్ధాంతం యొక్క పరిభాషను ఉపయోగించవచ్చు: ఫేజ్ పోర్ట్రెయిట్, స్టెడీ-స్టేట్ ప్రాసెస్, అట్రాక్టర్, మొదలైనవి.
నాన్ లీనియర్ డైనమిక్ సిస్టమ్‌లు అనేక స్థిరమైన స్థితులను కలిగి ఉన్నాయని తెలుసు. నిర్దిష్ట సంఖ్యలో పునరావృత్తులు తర్వాత డైనమిక్ సిస్టమ్ తనను తాను కనుగొనే స్థితి దాని ప్రారంభ స్థితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అందువల్ల, ప్రతి స్థిరమైన స్థితి (లేదా, వారు చెప్పినట్లు, ఆకర్షకం) ప్రారంభ స్థితుల యొక్క నిర్దిష్ట ప్రాంతాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దాని నుండి సిస్టమ్ తప్పనిసరిగా పరిశీలనలో ఉన్న చివరి స్థితులలోకి వస్తుంది. అందువలన, వ్యవస్థ యొక్క దశ స్థలం ఆకర్షకుల ఆకర్షణ ప్రాంతాలుగా విభజించబడింది. ఫేజ్ స్పేస్ రెండు డైమెన్షనల్ స్పేస్ అయితే, ఆకర్షణీయమైన ప్రాంతాలను వివిధ రంగులతో కలరింగ్ చేయడం ద్వారా, ఈ సిస్టమ్ (పునరుక్తి ప్రక్రియ) యొక్క కలర్ ఫేజ్ పోర్ట్రెయిట్‌ను పొందవచ్చు. రంగు ఎంపిక అల్గోరిథం మార్చడం ద్వారా, మీరు వికారమైన మల్టీకలర్ నమూనాలతో సంక్లిష్టమైన ఫ్రాక్టల్ నమూనాలను పొందవచ్చు. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏమిటంటే, ఆదిమ అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగించి చాలా క్లిష్టమైన నాన్-ట్రివియల్ నిర్మాణాలను రూపొందించగల సామర్థ్యం.
మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్. 
ఉదాహరణగా, మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌ను పరిగణించండి. దాని నిర్మాణం కోసం అల్గోరిథం చాలా సులభం మరియు సాధారణ పునరావృత వ్యక్తీకరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది: Z = Z[i] * Z[i] + C, ఎక్కడ జిమరియు సి- సంక్లిష్ట వేరియబుల్స్. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార లేదా చతురస్రాకార ప్రాంతం నుండి ప్రతి ప్రారంభ స్థానం కోసం పునరావృత్తులు నిర్వహించబడతాయి - సంక్లిష్ట విమానం యొక్క ఉపసమితి. వరకు పునరావృత ప్రక్రియ కొనసాగుతుంది Z[i]వ్యాసార్థం 2 యొక్క వృత్తం దాటి వెళ్ళదు, దీని కేంద్రం పాయింట్ (0,0) వద్ద ఉంటుంది (దీని అర్థం డైనమిక్ సిస్టమ్ యొక్క ఆకర్షణ అనంతం వద్ద ఉంటుంది), లేదా తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పునరావృతాల తర్వాత (ఉదాహరణకు , 200-500) Z[i]సర్కిల్‌లో కొంత బిందువుకు కలుస్తుంది. ఏ సమయంలో పునరావృత్తులు సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది Z[i]సర్కిల్ లోపల ఉండిపోయింది, మీరు పాయింట్ యొక్క రంగును సెట్ చేయవచ్చు సి(ఉంటే Z[i]తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పునరావృతాల కోసం సర్కిల్ లోపల ఉంటుంది, పునరావృత ప్రక్రియ ఆగిపోతుంది మరియు ఈ రాస్టర్ పాయింట్ నల్లగా పెయింట్ చేయబడింది).
3. యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్
ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క మరొక ప్రసిద్ధ తరగతి యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్, ఇది పునరావృత ప్రక్రియలో కొన్ని పారామితులను యాదృచ్ఛికంగా మార్చినట్లయితే పొందబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, ఫలిత వస్తువులు సహజమైన వాటికి చాలా పోలి ఉంటాయి - అసమాన చెట్లు, కఠినమైన తీరప్రాంతాలు మొదలైనవి. భూభాగం మరియు సముద్ర ఉపరితలాలను మోడలింగ్ చేయడంలో టూ-డైమెన్షనల్ యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్ ఉపయోగించబడతాయి.
ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క ఇతర వర్గీకరణలు ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, ఫ్రాక్టల్‌లను నిర్ణయాత్మక (బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత) మరియు నాన్-డిటర్మినిస్టిక్ (యాదృచ్ఛిక)గా విభజించడం.
ఫ్రాక్టల్స్ వాడకం గురించి
అన్నింటిలో మొదటిది, ఫ్రాక్టల్స్ అద్భుతమైన గణిత కళ యొక్క రంగం, సరళమైన సూత్రాలు మరియు అల్గారిథమ్‌ల సహాయంతో, అసాధారణ సౌందర్యం మరియు సంక్లిష్టత యొక్క చిత్రాలు పొందబడతాయి! నిర్మించిన చిత్రాల ఆకృతులలో ఆకులు, చెట్లు మరియు పువ్వులు తరచుగా కనిపిస్తాయి.
ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క అత్యంత శక్తివంతమైన కొన్ని అప్లికేషన్లు కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో ఉన్నాయి. మొదట, ఇది చిత్రాల ఫ్రాక్టల్ కంప్రెషన్, మరియు రెండవది, ప్రకృతి దృశ్యాలు, చెట్లు, మొక్కలు మరియు ఫ్రాక్టల్ అల్లికల తరం నిర్మాణం. ఆధునిక భౌతిక శాస్త్రం మరియు మెకానిక్స్ ఫ్రాక్టల్ వస్తువుల ప్రవర్తనను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించాయి. మరియు, వాస్తవానికి, ఫ్రాక్టల్స్ నేరుగా గణితంలో ఉపయోగించబడతాయి.
ఫ్రాక్టల్ ఇమేజ్ కంప్రెషన్ అల్గారిథమ్‌ల ప్రయోజనాలు ప్యాక్ చేయబడిన ఫైల్ యొక్క చాలా చిన్న పరిమాణం మరియు చిన్న ఇమేజ్ రికవరీ సమయం. ఫ్రాక్టల్ ప్యాక్డ్ ఇమేజ్‌లు పిక్సెలేషన్‌కు కారణం కాకుండా స్కేల్ చేయబడతాయి. కానీ కుదింపు ప్రక్రియ చాలా సమయం పడుతుంది మరియు కొన్నిసార్లు గంటల పాటు కొనసాగుతుంది. ఫ్రాక్టల్ లాస్సీ ప్యాకేజింగ్ అల్గోరిథం jpeg ఫార్మాట్ మాదిరిగానే కంప్రెషన్ స్థాయిని సెట్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అల్గోరిథం చిత్రం యొక్క పెద్ద ముక్కల కోసం శోధించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అవి కొన్ని చిన్న ముక్కలను పోలి ఉంటాయి. మరియు ఏ భాగాన్ని పోలి ఉందో మాత్రమే అవుట్‌పుట్ ఫైల్‌కు వ్రాయబడుతుంది. కుదించేటప్పుడు, ఒక చదరపు గ్రిడ్ సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది (ముక్కలు చతురస్రాలు), ఇది షట్కోణ గ్రిడ్‌కు ఈ లోపం లేదు.
ఇటరేటెడ్ "స్టింగ్" అనే కొత్త ఇమేజ్ ఫార్మాట్‌ను అభివృద్ధి చేసింది, ఇది ఫ్రాక్టల్ మరియు "వేవ్" (jpeg వంటివి) లాస్‌లెస్ కంప్రెషన్‌ను మిళితం చేస్తుంది. కొత్త ఫార్మాట్ తదుపరి అధిక-నాణ్యత స్కేలింగ్ యొక్క అవకాశంతో చిత్రాలను రూపొందించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది మరియు గ్రాఫిక్ ఫైళ్ల వాల్యూమ్ కంప్రెస్ చేయని చిత్రాల పరిమాణంలో 15-20% ఉంటుంది.
పర్వతాలు, పువ్వులు మరియు చెట్లను పోలి ఉండే ఫ్రాక్టల్‌ల ధోరణిని కొంతమంది గ్రాఫిక్ ఎడిటర్లు ఉపయోగించుకుంటున్నారు, ఉదాహరణకు, 3D స్టూడియో MAX నుండి ఫ్రాక్టల్ మేఘాలు, వరల్డ్ బిల్డర్‌లోని ఫ్రాక్టల్ పర్వతాలు. ఫ్రాక్టల్ చెట్లు, పర్వతాలు మరియు మొత్తం ప్రకృతి దృశ్యాలు సాధారణ సూత్రాల ద్వారా నిర్వచించబడతాయి, ప్రోగ్రామ్ చేయడం సులభం మరియు సమీపించినప్పుడు ప్రత్యేక త్రిభుజాలు మరియు ఘనాలగా విభజించబడవు.
గణితశాస్త్రంలోనే ఫ్రాక్టల్స్ వాడకాన్ని విస్మరించలేము. సెట్ థియరీలో, కాంటర్ సెట్ అనేది పర్ఫెక్ట్ నోవేర్ డెన్స్ సెట్ల ఉనికిని రుజువు చేస్తుంది.
మెకానిక్స్ మరియు ఫిజిక్స్‌లో, అనేక సహజ వస్తువుల రూపురేఖలను పునరావృతం చేసే ప్రత్యేక లక్షణం కారణంగా ఫ్రాక్టల్స్ ఉపయోగించబడతాయి. భాగాలు లేదా బహుభుజాల సెట్‌లను (అదే మొత్తంలో నిల్వ చేయబడిన డేటాతో) ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపుల కంటే ఎక్కువ ఖచ్చితత్వంతో చెట్లు, పర్వత ఉపరితలాలు మరియు పగుళ్లను అంచనా వేయడానికి ఫ్రాక్టల్‌లు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. సహజ వస్తువులు వంటి ఫ్రాక్టల్ నమూనాలు "కరుకుదనం" కలిగి ఉంటాయి మరియు మోడల్ యొక్క మాగ్నిఫికేషన్ ఎంత పెద్దదైనా ఈ ఆస్తి సంరక్షించబడుతుంది. ఫ్రాక్టల్స్‌పై ఏకరీతి కొలత ఉండటం వల్ల ఏకీకరణ, సంభావ్య సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి మరియు ఇప్పటికే అధ్యయనం చేసిన సమీకరణాలలో ప్రామాణిక వస్తువులకు బదులుగా వాటిని ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది.
ఫ్రాక్టల్ విధానంతో, గందరగోళం నీలం రుగ్మతగా నిలిచిపోతుంది మరియు చక్కటి నిర్మాణాన్ని పొందుతుంది. ఫ్రాక్టల్ సైన్స్ ఇప్పటికీ చాలా చిన్నది మరియు దీనికి గొప్ప భవిష్యత్తు ఉంది. ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క అందం అలసిపోవడానికి దూరంగా ఉంది మరియు ఇప్పటికీ మనకు చాలా కళాఖండాలను ఇస్తుంది - కంటికి ఆనందాన్ని కలిగించేవి మరియు మనస్సుకు నిజమైన ఆనందాన్ని కలిగించేవి.
ఫ్రాక్టల్‌లను నిర్మించడం గురించి
వరుస ఉజ్జాయింపు పద్ధతి
ఈ చిత్రాన్ని చూస్తే, మీరు స్వీయ-సారూప్య ఫ్రాక్టల్ (ఈ సందర్భంలో, సియర్పిన్స్కి పిరమిడ్) ఎలా నిర్మించవచ్చో అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు. మేము ఒక సాధారణ పిరమిడ్ (టెట్రాహెడ్రాన్) తీసుకోవాలి, ఆపై దాని మధ్యభాగాన్ని (ఆక్టాహెడ్రాన్) కత్తిరించాలి, ఫలితంగా నాలుగు చిన్న పిరమిడ్లు ఏర్పడతాయి. వాటిలో ప్రతిదానితో మేము అదే ఆపరేషన్, మొదలైనవి చేస్తాము. ఇది కొంతవరకు అమాయకమైన కానీ స్పష్టమైన వివరణ.
పద్ధతి యొక్క సారాంశాన్ని మరింత కఠినంగా పరిశీలిద్దాం. కొన్ని IFS వ్యవస్థ ఉండనివ్వండి, అనగా. కుదింపు మ్యాపింగ్ వ్యవస్థ ఎస్=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (ఉదాహరణకు, మా పిరమిడ్‌కు సంబంధించిన మ్యాపింగ్‌లు S i (x)=1/2*x+o i , o i ఉన్న చోట టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాలు, i=1,..,4). అప్పుడు మేము R nలో కొన్ని కాంపాక్ట్ సెట్ A 1ని ఎంచుకుంటాము (మా విషయంలో మేము టెట్రాహెడ్రాన్‌ను ఎంచుకుంటాము). మరియు మేము ఇండక్షన్ ద్వారా A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) సెట్ల క్రమాన్ని నిర్వచించాము. పెరుగుతున్న kతో A k సెట్లు సిస్టమ్ యొక్క కావలసిన ఆకర్షణను మెరుగ్గా మరియు మెరుగ్గా అంచనా వేస్తాయని తెలిసింది ఎస్.
ఈ పునరావృతాలలో ప్రతి ఒక్కటి ఆకర్షణీయంగా ఉంటుందని గమనించండి పునరావృత ఫంక్షన్ల పునరావృత వ్యవస్థ(ఆంగ్ల పదం డిగ్రాఫ్ IFS, RIFSమరియు కూడా గ్రాఫ్ దర్శకత్వం వహించిన IFS) కాబట్టి అవి మా ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించి నిర్మించడం సులభం.
పాయింట్-బై-పాయింట్ లేదా ప్రాబబిలిస్టిక్ పద్ధతి
ఇది కంప్యూటర్‌లో అమలు చేయడానికి సులభమైన పద్ధతి. సరళత కోసం, మేము ఫ్లాట్ సెల్ఫ్-అఫైన్ సెట్‌ను పరిశీలిస్తాము. కాబట్టి వీలు (ఎస్
) - అఫైన్ సంకోచాల యొక్క కొన్ని వ్యవస్థ. ప్రదర్శన S
ఇలా ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు: S
స్థిర మాతృక పరిమాణం 2x2 మరియు o
రెండు డైమెన్షనల్ వెక్టార్ కాలమ్.
- మొదటి మ్యాపింగ్ S 1 యొక్క స్థిర బిందువును ప్రారంభ బిందువుగా తీసుకుందాం:
x:= o1;
కుదింపు S 1,..,S m యొక్క అన్ని స్థిర బిందువులు ఫ్రాక్టల్‌కు చెందినవి అనే వాస్తవాన్ని ఇక్కడ మేము సద్వినియోగం చేస్తాము. మీరు ఒక ఏకపక్ష బిందువును ప్రారంభ బిందువుగా ఎంచుకోవచ్చు మరియు దాని ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన పాయింట్ల క్రమం ఒక ఫ్రాక్టల్‌కు డ్రా చేయబడుతుంది, అయితే అనేక అదనపు పాయింట్లు తెరపై కనిపిస్తాయి. - స్క్రీన్‌పై ప్రస్తుత పాయింట్ x=(x 1 ,x 2) గుర్తు చేద్దాం:
పుట్పిక్సెల్(x 1 ,x 2 ,15); - యాదృచ్ఛికంగా 1 నుండి m వరకు j సంఖ్యను ఎంచుకుందాం మరియు పాయింట్ x యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మళ్లీ గణిద్దాం:
j:=యాదృచ్ఛిక(m)+1;
x:=S j (x); - మేము 2వ దశకు వెళ్తాము లేదా, మేము తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పునరావృత్తులు చేసినట్లయితే, మేము ఆపివేస్తాము.
గమనిక.మ్యాపింగ్‌ల S i యొక్క కుదింపు నిష్పత్తులు భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు ఫ్రాక్టల్ పాయింట్‌లతో అసమానంగా నింపబడుతుంది. మ్యాపింగ్‌లు S i సమానంగా ఉంటే, అల్గారిథమ్‌ను కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేయడం ద్వారా దీనిని నివారించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, అల్గోరిథం యొక్క 3వ దశలో, 1 నుండి m వరకు ఉన్న సంఖ్యను p 1 =r 1 s,..,p m =r m s సంభావ్యతలతో ఎంచుకోవాలి, ఇక్కడ r i మ్యాపింగ్‌ల Si యొక్క కుదింపు గుణకాలను సూచిస్తుంది, మరియు సంఖ్య s (సారూప్యత పరిమాణం అని పిలుస్తారు) సమీకరణం r 1 s +...+r m s =1 నుండి కనుగొనబడింది. ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం కనుగొనవచ్చు, ఉదాహరణకు, న్యూటన్ పద్ధతి ద్వారా.
ఫ్రాక్టల్స్ మరియు వాటి అల్గారిథమ్‌ల గురించి
ఫ్రాక్టల్ అనేది లాటిన్ విశేషణం "ఫ్రాక్టస్" నుండి వచ్చింది, మరియు అనువాదంలో శకలాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు సంబంధిత లాటిన్ క్రియ "ఫ్రాంగేర్" అంటే విచ్ఛిన్నం, అనగా సక్రమంగా లేని శకలాలు సృష్టించడం. 70వ దశకం చివరిలో కనిపించిన ఫ్రాక్టల్ మరియు ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి యొక్క భావనలు 80ల మధ్యకాలం నుండి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు ప్రోగ్రామర్‌లలో దృఢంగా స్థిరపడ్డాయి. ఈ పదాన్ని బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ 1975లో క్రమరహితమైన కానీ స్వీయ-సారూప్య నిర్మాణాలను సూచించడానికి ఉపయోగించారు. ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి పుట్టుక సాధారణంగా 1977లో మాండెల్‌బ్రోట్ పుస్తకం "ది ఫ్రాక్టల్ జామెట్రీ ఆఫ్ నేచర్" ప్రచురణతో ముడిపడి ఉంటుంది. అతని రచనలు అదే రంగంలో 1875-1925 కాలంలో పనిచేసిన ఇతర శాస్త్రవేత్తల శాస్త్రీయ ఫలితాలను ఉపయోగించాయి (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).
సర్దుబాట్లు
H.-O ద్వారా పుస్తకంలో ప్రతిపాదించబడిన అల్గారిథమ్‌లకు కొన్ని సర్దుబాట్లు చేస్తాను. పీట్‌జెన్ మరియు P.H. రిక్టర్ “ది బ్యూటీ ఆఫ్ ఫ్రాక్టల్స్” M. 1993 పూర్తిగా అక్షరదోషాలను నిర్మూలించడానికి మరియు ప్రక్రియలను అర్థం చేసుకోవడానికి వీలు కల్పించారు, ఎందుకంటే వాటిని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత నాకు చాలా మిస్టరీగా మిగిలిపోయింది. దురదృష్టవశాత్తు, ఈ "అర్థమయ్యే" మరియు "సరళమైన" అల్గోరిథంలు రాకింగ్ జీవనశైలికి దారితీస్తాయి.
ఫ్రాక్టల్‌ల నిర్మాణం z => z 2 +c ఫీడ్‌బ్యాక్‌తో కూడిన సంక్లిష్ట ప్రక్రియ యొక్క నిర్దిష్ట నాన్‌లీనియర్ ఫంక్షన్‌పై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఎందుకంటే z మరియు c సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, అప్పుడు z = x + iy, c = p + iq దీనిని విచ్ఛిన్నం చేయడం అవసరం. సామాన్యులకు మరింత వాస్తవికమైన విమానంలోకి వెళ్లడానికి x మరియు y లోకి:
x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.
అన్ని జతల (x,y)తో కూడిన విమానం స్థిర విలువల కోసం పరిగణించబడుతుంది p మరియు q, మరియు డైనమిక్ వాటితో. మొదటి సందర్భంలో, చట్టం ప్రకారం విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్లను (x, y) గుండా వెళ్లి, పునరావృత ప్రక్రియ నుండి నిష్క్రమించడానికి అవసరమైన ఫంక్షన్ యొక్క పునరావృతాల సంఖ్యను బట్టి వాటిని రంగు వేయడం లేదా వాటిని (నలుపు రంగు) చేసినప్పుడు అనుమతించదగిన గరిష్ట పునరావృత్తులు మించిపోయాయి, మేము జూలియా సెట్ యొక్క ప్రదర్శనను పొందుతాము. దీనికి విరుద్ధంగా, మేము ప్రారంభ జత విలువలను (x,y) నిర్ణయిస్తాము మరియు p మరియు q పారామితుల యొక్క డైనమిక్‌గా మారుతున్న విలువలతో దాని రంగుల విధిని గుర్తించినట్లయితే, మేము మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్లు అని పిలువబడే చిత్రాలను పొందుతాము.
ఫ్రాక్టల్స్ కలరింగ్ కోసం అల్గోరిథంల ప్రశ్నపై.
సాధారణంగా ఒక సెట్ యొక్క శరీరం బ్లాక్ ఫీల్డ్‌గా సూచించబడుతుంది, అయితే నలుపు రంగును మరేదైనా భర్తీ చేయవచ్చని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అయితే ఇది కూడా కొద్దిగా ఆసక్తికరమైన ఫలితం. అన్ని రంగులలో ఒక సెట్ యొక్క చిత్రాన్ని పొందడం అనేది చక్రీయ కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించలేని పని ఎందుకంటే శరీరాన్ని ఏర్పరుచుకునే సెట్ల పునరావృతాల సంఖ్య గరిష్టంగా సాధ్యమయ్యేదానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. లూప్ ఎగ్జిట్ కండిషన్ (z_మాగ్నిట్యూడ్) లేదా దానికి సమానమైన దాన్ని తనిఖీ చేయడం ద్వారా వివిధ రంగులలో సెట్‌కు రంగు వేయడం సాధ్యమవుతుంది, కానీ ఇతర గణిత కార్యకలాపాలతో, రంగు సంఖ్యగా ఉంటుంది.
"ఫ్రాక్టల్ మైక్రోస్కోప్" యొక్క అప్లికేషన్
సరిహద్దు దృగ్విషయాన్ని ప్రదర్శించడానికి.
ఆకర్షకులు విమానంలో ఆధిపత్య పోరాటానికి దారితీసే కేంద్రాలు. ఆకర్షణీయుల మధ్య సరిహద్దు కనిపిస్తుంది, ఇది ఫ్లోరిడ్ నమూనాను సూచిస్తుంది. సెట్ యొక్క సరిహద్దులలో పరిశీలన స్థాయిని పెంచడం ద్వారా, సహజ ప్రపంచంలో ఒక సాధారణ దృగ్విషయం - నిర్ణయాత్మక గందరగోళ స్థితిని ప్రతిబింబించే నాన్-ట్రివియల్ నమూనాలను పొందవచ్చు.
భౌగోళిక శాస్త్రవేత్తలచే అధ్యయనం చేయబడిన వస్తువులు చాలా క్లిష్టమైన వ్యవస్థీకృత సరిహద్దులతో ఒక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి మరియు అందువల్ల వారి గుర్తింపు సాధారణ ఆచరణాత్మక పని కాదు. సహజ సముదాయాలు విలక్షణమైన కోర్లను కలిగి ఉంటాయి, ఇవి ఆకర్షకులుగా పనిచేస్తాయి, అవి దూరంగా వెళ్లినప్పుడు భూభాగంపై తమ ప్రభావాన్ని కోల్పోతాయి.
మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు జూలియా సెట్ల కోసం ఫ్రాక్టల్ మైక్రోస్కోప్‌ను ఉపయోగించి, పరిగణన స్థాయితో సంబంధం లేకుండా సమానంగా సంక్లిష్టంగా ఉండే సరిహద్దు ప్రక్రియలు మరియు దృగ్విషయాల ఆలోచనను రూపొందించవచ్చు మరియు తద్వారా డైనమిక్ మరియు అస్తవ్యస్తంగా అనిపించే సహజ వస్తువుతో ఎన్‌కౌంటర్ కోసం నిపుణుల అవగాహనను సిద్ధం చేయవచ్చు. ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి స్వభావం యొక్క అవగాహన కోసం స్థలం మరియు సమయంలో. రంగురంగుల రంగులు మరియు ఫ్రాక్టల్ సంగీతం ఖచ్చితంగా విద్యార్థుల మనస్సులలో లోతైన ముద్రను వదిలివేస్తాయి.
వేలకొద్దీ ప్రచురణలు మరియు విస్తారమైన ఇంటర్నెట్ వనరులు ఫ్రాక్టల్స్‌కు అంకితం చేయబడ్డాయి, అయితే కంప్యూటర్ సైన్స్‌కు దూరంగా ఉన్న చాలా మంది నిపుణులకు, ఈ పదం పూర్తిగా కొత్తది. ఫ్రాక్టల్స్, వివిధ విజ్ఞాన రంగాలలో నిపుణులకు ఆసక్తిని కలిగించే వస్తువులుగా, కంప్యూటర్ సైన్స్ కోర్సులలో సరైన స్థానాన్ని పొందాలి.
ఉదాహరణలు
| SIEPINSKI గ్రిడ్ |
 ఫ్రాక్టల్ కొలతలు మరియు పునరావృతాల భావనలను అభివృద్ధి చేసేటప్పుడు మాండెల్‌బ్రోట్ ప్రయోగాలు చేసిన ఫ్రాక్టల్‌లలో ఇది ఒకటి. పెద్ద త్రిభుజం యొక్క మధ్య బిందువులను అనుసంధానించడం ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజాలు ప్రధాన త్రిభుజం నుండి కత్తిరించబడతాయి, ఎక్కువ రంధ్రాలతో త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ సందర్భంలో, ఇనిషియేటర్ అనేది పెద్ద త్రిభుజం మరియు టెంప్లేట్ అనేది పెద్ద త్రిభుజాలను కత్తిరించే ఆపరేషన్. మీరు సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్‌ను ఉపయోగించడం ద్వారా మరియు చిన్న టెట్రాహెడ్రాన్‌లను కత్తిరించడం ద్వారా త్రిభుజం యొక్క త్రిమితీయ సంస్కరణను కూడా పొందవచ్చు. అటువంటి ఫ్రాక్టల్ యొక్క పరిమాణం ln3/ln2 = 1.584962501. పొందటానికి సియర్పిన్స్కి కార్పెట్, ఒక చతురస్రాన్ని తీసుకుని, దానిని తొమ్మిది చతురస్రాలుగా విభజించి, మధ్య భాగాన్ని కత్తిరించండి. మేము మిగిలిన చిన్న చతురస్రాలతో కూడా అదే చేస్తాము. చివరికి, ఒక ఫ్లాట్ ఫ్రాక్టల్ గ్రిడ్ ఏర్పడుతుంది, ఏ విస్తీర్ణం లేదు కానీ అనంతమైన కనెక్షన్‌లు ఉంటాయి. దాని ప్రాదేశిక రూపంలో, సియర్పిన్స్కి స్పాంజ్ ఎండ్-టు-ఎండ్ రూపాల వ్యవస్థగా రూపాంతరం చెందుతుంది, దీనిలో ప్రతి ఎండ్-టు-ఎండ్ ఎలిమెంట్ నిరంతరం దాని స్వంత రకంతో భర్తీ చేయబడుతుంది. ఈ నిర్మాణం ఎముక కణజాలం యొక్క విభాగానికి చాలా పోలి ఉంటుంది. ఏదో ఒక రోజు అటువంటి పునరావృత నిర్మాణాలు భవన నిర్మాణాలలో ఒక మూలకం అవుతుంది. వారి స్టాటిక్స్ మరియు డైనమిక్స్, మాండెల్‌బ్రోట్ నమ్మకం, దగ్గరి అధ్యయనానికి అర్హులు. |
| కోచ్ కర్వ్ |
 కోచ్ వక్రత అత్యంత విలక్షణమైన నిర్ణయాత్మక ఫ్రాక్టల్‌లలో ఒకటి. దీనిని పంతొమ్మిదవ శతాబ్దంలో హెల్జ్ వాన్ కోచ్ అనే జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కనుగొన్నాడు, అతను జార్జ్ కొంటోర్ మరియు కార్ల్ వీర్‌స్ట్రాస్సే యొక్క పనిని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, అసాధారణ ప్రవర్తనతో కొన్ని వింత వక్రరేఖల వివరణలను చూశాడు. ఇనిషియేటర్ ఒక సరళ రేఖ. జనరేటర్ ఒక సమబాహు త్రిభుజం, దీని భుజాలు పెద్ద సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవులో మూడవ వంతుకు సమానంగా ఉంటాయి. ఈ త్రిభుజాలు ప్రతి సెగ్మెంట్ మధ్యలో పదే పదే జోడించబడతాయి. తన పరిశోధనలో, మాండెల్‌బ్రోట్ కోచ్ వక్రతలతో విస్తృతంగా ప్రయోగాలు చేశాడు మరియు కోచ్ దీవులు, కోచ్ క్రాస్‌లు, కోచ్ స్నోఫ్లేక్స్ మరియు కోచ్ వక్రరేఖ యొక్క త్రిమితీయ ప్రాతినిధ్యాలను టెట్రాహెడ్రాన్ ఉపయోగించి మరియు దాని ప్రతి ముఖానికి చిన్న టెట్రాహెడ్రాన్‌లను జోడించడం వంటి బొమ్మలను రూపొందించాడు. కోచ్ కర్వ్ డైమెన్షన్ ln4/ln3 = 1.261859507 కలిగి ఉంది. |
| మాండెల్‌బ్రోట్ ఫ్రాక్టల్ |
 ఇది మీరు తరచుగా చూసే మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ కాదు. మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు ఇది సంక్లిష్టమైన ఫ్రాక్టల్. ఇది కూడా కోచ్ వక్రరేఖ యొక్క రూపాంతరం, అయితే ఈ వస్తువు దానితో సమానంగా లేదు. కోచ్ కర్వ్ సూత్రం ఆధారంగా ఫ్రాక్టల్‌లను రూపొందించడానికి ఉపయోగించే వాటి నుండి ఇనిషియేటర్ మరియు జనరేటర్ కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి, అయితే ఆలోచన అలాగే ఉంటుంది. సమబాహు త్రిభుజాలను వక్ర భాగానికి చేర్చడానికి బదులుగా, చతురస్రాలు ఒక చతురస్రానికి కలుస్తాయి. ఈ ఫ్రాక్టల్ ప్రతి పునరావృతం వద్ద కేటాయించిన స్థలంలో సరిగ్గా సగం ఆక్రమించిన వాస్తవం కారణంగా, ఇది 3/2 = 1.5 యొక్క సాధారణ ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం కలిగి ఉంటుంది. |
| డేరర్ పెంటగాన్ |
|
ఒక ఫ్రాక్టల్ పెంటగాన్‌ల సమూహంగా పిండినట్లు కనిపిస్తుంది. వాస్తవానికి, ఇది ఒక పెంటగాన్‌ను ఇనిషియేటర్‌గా మరియు సమద్విబాహు త్రిభుజాలను ఉపయోగించడం ద్వారా ఏర్పడుతుంది, దీనిలో పెద్ద వైపు నుండి చిన్న వైపు నిష్పత్తి ఖచ్చితంగా గోల్డెన్ రేషియో (1.618033989 లేదా 1/(2cos72)) అని పిలవబడే జనరేటర్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. . ఈ త్రిభుజాలు ప్రతి పెంటగాన్ మధ్యలో నుండి కత్తిరించబడతాయి, దీని ఫలితంగా 5 చిన్న పెంటగాన్‌లు ఒక పెద్దదానికి అతుక్కొని ఉంటాయి. షడ్భుజిని ఇనిషియేటర్‌గా ఉపయోగించడం ద్వారా ఈ ఫ్రాక్టల్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని పొందవచ్చు. ఈ ఫ్రాక్టల్‌ను స్టార్ ఆఫ్ డేవిడ్ అని పిలుస్తారు మరియు ఇది కోచ్ స్నోఫ్లేక్ యొక్క షట్కోణ రూపాన్ని పోలి ఉంటుంది. డేరర్ పెంటగాన్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం ln6/ln(1+g), ఇక్కడ g అనేది త్రిభుజం యొక్క పెద్ద వైపు పొడవు మరియు చిన్నది పొడవు యొక్క నిష్పత్తి. ఈ సందర్భంలో, g అనేది గోల్డెన్ రేషియో, కాబట్టి ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం సుమారుగా 1.86171596. స్టార్ ఆఫ్ డేవిడ్ ln6/ln3 లేదా 1.630929754 యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం. |
కాంప్లెక్స్ ఫ్రాక్టల్స్
వాస్తవానికి, మీరు ఏదైనా సంక్లిష్టమైన ఫ్రాక్టల్ యొక్క చిన్న ప్రాంతాన్ని పెద్దదిగా చేసి, ఆ ప్రాంతంలోని చిన్న ప్రాంతంతో అదే విధంగా చేస్తే, రెండు మాగ్నిఫికేషన్లు ఒకదానికొకటి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి. రెండు చిత్రాలు వివరంగా చాలా పోలి ఉంటాయి, కానీ అవి పూర్తిగా ఒకేలా ఉండవు. 
మూర్తి 1. మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ ఉజ్జాయింపు
ఉదాహరణకు, ఇక్కడ చూపిన మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ యొక్క చిత్రాలను సరిపోల్చండి, వాటిలో ఒకటి మరొక నిర్దిష్ట ప్రాంతాన్ని విస్తరించడం ద్వారా పొందబడింది. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అవి ఖచ్చితంగా ఒకేలా ఉండవు, అయినప్పటికీ రెండింటిలోనూ మనం ఒక నల్ల వృత్తాన్ని చూస్తాము, దాని నుండి మండుతున్న సామ్రాజ్యాన్ని వేర్వేరు దిశల్లో విస్తరించి ఉంటుంది. తగ్గుతున్న నిష్పత్తిలో మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌లో ఈ అంశాలు నిరవధికంగా పునరావృతమవుతాయి.
నిర్ణయాత్మక ఫ్రాక్టల్స్ సరళంగా ఉంటాయి, అయితే సంక్లిష్ట ఫ్రాక్టల్స్ కావు. నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండటం వల్ల, ఈ ఫ్రాక్టల్‌లు మాండెల్‌బ్రోట్ నాన్ లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల ద్వారా ఉత్పన్నమవుతాయి. ఒక మంచి ఉదాహరణ ప్రక్రియ Zn+1=ZnI + C, ఇది రెండవ డిగ్రీ యొక్క మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు జూలియా సెట్‌లను నిర్మించడానికి ఉపయోగించే సమీకరణం. ఈ గణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సంక్లిష్ట మరియు ఊహాత్మక సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది. సంక్లిష్ట సమతలంలో సమీకరణాన్ని గ్రాఫికల్‌గా వివరించినప్పుడు, ఫలితం ఒక విచిత్రమైన చిత్రం, దీనిలో సరళ రేఖలు వక్రతలుగా మారతాయి మరియు వివిధ స్థాయి స్థాయిలలో వైకల్యాలు లేకుండా కాకపోయినా స్వీయ-సారూప్యత ప్రభావాలు కనిపిస్తాయి. అదే సమయంలో, మొత్తం చిత్రం మొత్తం అనూహ్యమైనది మరియు చాలా అస్తవ్యస్తంగా ఉంటుంది.
మీరు చిత్రాలను చూడటం ద్వారా చూడగలిగినట్లుగా, సంక్లిష్టమైన ఫ్రాక్టల్‌లు చాలా క్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు కంప్యూటర్ సహాయం లేకుండా సృష్టించబడవు. రంగుల ఫలితాలను పొందడానికి, ఈ కంప్యూటర్‌లో తప్పనిసరిగా శక్తివంతమైన గణిత కోప్రాసెసర్ మరియు అధిక-రిజల్యూషన్ మానిటర్ ఉండాలి. నిర్ణయాత్మక ఫ్రాక్టల్స్ కాకుండా, సంక్లిష్ట ఫ్రాక్టల్స్ 5-10 పునరావృతాలలో లెక్కించబడవు. కంప్యూటర్ స్క్రీన్‌పై దాదాపు ప్రతి పాయింట్ ప్రత్యేక ఫ్రాక్టల్ లాగా ఉంటుంది. గణిత ప్రాసెసింగ్ సమయంలో, ప్రతి పాయింట్ ప్రత్యేక డ్రాయింగ్‌గా పరిగణించబడుతుంది. ప్రతి పాయింట్ నిర్దిష్ట విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమీకరణం ప్రతి పాయింట్ కోసం నిర్మించబడింది మరియు ప్రదర్శించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, 1000 పునరావృత్తులు. హోమ్ కంప్యూటర్‌లకు ఆమోదయోగ్యమైన వ్యవధిలో సాపేక్షంగా వక్రీకరించని చిత్రాన్ని పొందేందుకు, ఒక పాయింట్ కోసం 250 పునరావృత్తులు నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది.
ఈరోజు మనం చూస్తున్న ఫ్రాక్టల్స్ చాలా అందంగా రంగులతో ఉంటాయి. బహుశా ఫ్రాక్టల్ చిత్రాలు వాటి రంగు పథకాల కారణంగా చాలా గొప్ప సౌందర్య ప్రాముఖ్యతను పొందుతాయి. సమీకరణాన్ని లెక్కించిన తర్వాత, కంప్యూటర్ ఫలితాలను విశ్లేషిస్తుంది. ఫలితాలు స్థిరంగా ఉంటే లేదా నిర్దిష్ట విలువ చుట్టూ హెచ్చుతగ్గులకు గురైనట్లయితే, చుక్క సాధారణంగా నల్లగా మారుతుంది. ఒక దశలో లేదా మరొక దశలో ఉన్న విలువ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపినట్లయితే, పాయింట్ వేరే రంగులో పెయింట్ చేయబడుతుంది, బహుశా నీలం లేదా ఎరుపు. ఈ ప్రక్రియలో, కంప్యూటర్ అన్ని చలన వేగాలకు రంగులను కేటాయిస్తుంది.
సాధారణంగా, వేగంగా కదిలే చుక్కలు ఎరుపు రంగులో ఉంటాయి, నెమ్మదిగా ఉండేవి పసుపు రంగులో ఉంటాయి. డార్క్ స్పాట్స్ బహుశా చాలా స్థిరంగా ఉంటాయి.
కాంప్లెక్స్ ఫ్రాక్టల్స్ నిర్ణయాత్మక ఫ్రాక్టల్స్ నుండి విభిన్నంగా ఉంటాయి, అవి అనంతంగా సంక్లిష్టంగా ఉంటాయి, కానీ ఇప్పటికీ చాలా సులభమైన సూత్రం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడతాయి. నిర్ణయాత్మక ఫ్రాక్టల్‌లకు సూత్రాలు లేదా సమీకరణాలు అవసరం లేదు. కొంచెం డ్రాయింగ్ పేపర్‌ని తీసుకోండి మరియు మీరు ఎటువంటి ఇబ్బంది లేకుండా 3 లేదా 4 పునరావృతాల వరకు సియర్పిన్స్కి జల్లెడను నిర్మించవచ్చు. చాలా మంది జూలియాతో దీన్ని ప్రయత్నించండి! ఇంగ్లండ్ తీర రేఖ పొడవును కొలవడం సులభం!
మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్
అత్తి 2. మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్
మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు జూలియా సెట్లు కాంప్లెక్స్ ఫ్రాక్టల్స్‌లో చాలా సాధారణమైనవి. వాటిని అనేక శాస్త్రీయ పత్రికలు, పుస్తక కవర్లు, పోస్ట్‌కార్డ్‌లు మరియు కంప్యూటర్ స్క్రీన్ సేవర్‌లలో చూడవచ్చు. బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ చేత నిర్మించబడిన మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్, ఫ్రాక్టల్ అనే పదాన్ని విన్నప్పుడు ప్రజలు కలిగి ఉన్న మొదటి అనుబంధం కావచ్చు. కార్డింగ్ మెషీన్‌ను పోలి ఉండే ఈ ఫ్రాక్టల్, దానికి జోడించిన జ్వాలాతో కూడిన చెట్టు లాంటి మరియు వృత్తాకార ప్రాంతాలు, Zn+1=Zna+C అనే సాధారణ సూత్రం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది, ఇక్కడ Z మరియు C సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు a అనేది ధనాత్మక సంఖ్య.
మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్, చాలా తరచుగా చూడవచ్చు, ఇది 2వ డిగ్రీకి చెందిన మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్, అంటే a = 2. మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ Zn+1=ZnІ+C మాత్రమే కాదు, ఫ్రాక్టల్, ఫార్ములాలోని సూచిక ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కావచ్చు అనే వాస్తవం చాలా మందిని తప్పుదారి పట్టించింది. ఈ పేజీలో మీరు ఘాతాంకం a యొక్క వివిధ విలువల కోసం Mandelbrot సెట్ యొక్క ఉదాహరణను చూస్తారు. 
మూర్తి 3. a=3.5 వద్ద బుడగలు కనిపించడం
Z=Z*tg(Z+C) ప్రక్రియ కూడా ప్రజాదరణ పొందింది. టాంజెంట్ ఫంక్షన్‌ను చేర్చడం ద్వారా, ఫలితం యాపిల్‌ను పోలి ఉండే ప్రాంతంతో చుట్టుముట్టబడిన మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్. కొసైన్ ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, గాలి బుడగ ప్రభావాలు పొందబడతాయి. సంక్షిప్తంగా, వివిధ అందమైన చిత్రాలను రూపొందించడానికి మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌ను కాన్ఫిగర్ చేయడానికి అనంతమైన మార్గాలు ఉన్నాయి.
చాలా జూలియా
ఆశ్చర్యకరంగా, జూలియా సెట్లు మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ వలె అదే ఫార్ములా ప్రకారం ఏర్పడతాయి. జూలియా సెట్‌ను ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గాస్టన్ జూలియా కనిపెట్టాడు, అతని పేరు మీద సెట్‌కు పేరు పెట్టారు. మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు జూలియా సెట్‌లతో దృశ్య పరిచయం తర్వాత తలెత్తే మొదటి ప్రశ్న "రెండు ఫ్రాక్టల్‌లు ఒకే ఫార్ములా ప్రకారం ఉత్పత్తి చేయబడితే, అవి ఎందుకు భిన్నంగా ఉంటాయి?" జూలియా సెట్ చిత్రాలను మొదట చూడండి. విచిత్రమేమిటంటే, వివిధ రకాల జూలియా సెట్లు ఉన్నాయి. వేర్వేరు ప్రారంభ బిందువులను ఉపయోగించి ఫ్రాక్టల్‌ను గీసేటప్పుడు (పునరావృత ప్రక్రియను ప్రారంభించడానికి), విభిన్న చిత్రాలు రూపొందించబడతాయి. ఇది జూలియా సెట్‌కు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. 
మూర్తి 4. జూలియా సెట్
ఇది చిత్రంలో కనిపించనప్పటికీ, మాండెల్‌బ్రోట్ ఫ్రాక్టల్ నిజానికి అనేక జూలియా ఫ్రాక్టల్‌లు కలిసి కనెక్ట్ చేయబడింది. మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌లోని ప్రతి పాయింట్ (లేదా కోఆర్డినేట్) జూలియా ఫ్రాక్టల్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. Z=ZI+C సమీకరణంలో ఈ పాయింట్లను ప్రారంభ విలువలుగా ఉపయోగించి జూలియా సెట్‌లను రూపొందించవచ్చు. కానీ మీరు మాండెల్‌బ్రోట్ ఫ్రాక్టల్‌పై ఒక పాయింట్‌ని ఎంచుకుని, దానిని పెద్దదిగా చేస్తే, మీరు జూలియా ఫ్రాక్టల్‌ను పొందవచ్చని దీని అర్థం కాదు. ఈ రెండు పాయింట్లు ఒకేలా ఉంటాయి, కానీ గణిత కోణంలో మాత్రమే. మీరు ఈ పాయింట్‌ని తీసుకొని ఈ ఫార్ములాని ఉపయోగించి లెక్కించినట్లయితే, మీరు మాండెల్‌బ్రోట్ ఫ్రాక్టల్ యొక్క నిర్దిష్ట బిందువుకు అనుగుణంగా జూలియా ఫ్రాక్టల్‌ను పొందవచ్చు.
సైన్స్‌లో అత్యంత తెలివిగల ఆవిష్కరణలు మానవ జీవితాన్ని సమూలంగా మార్చగలవు. కనిపెట్టిన వ్యాక్సిన్ లక్షలాది మందిని రక్షించగలదు, దీనికి విరుద్ధంగా, ఈ జీవితాలను తీసివేస్తుంది. ఇటీవల (మానవ పరిణామం యొక్క స్థాయిలో) మేము విద్యుత్తును "లొంగదీసుకోవడం" నేర్చుకున్నాము - మరియు ఇప్పుడు విద్యుత్తును ఉపయోగించే ఈ సౌకర్యవంతమైన పరికరాలు లేకుండా జీవితాన్ని ఊహించలేము. కానీ కొంతమందికి ప్రాముఖ్యతనిచ్చే ఆవిష్కరణలు కూడా ఉన్నాయి, అయినప్పటికీ అవి మన జీవితాలను కూడా బాగా ప్రభావితం చేస్తాయి.
ఈ "అస్పష్టమైన" ఆవిష్కరణలలో ఒకటి ఫ్రాక్టల్స్. మీరు బహుశా ఈ ఆకట్టుకునే పదాన్ని ఇంతకు ముందు విని ఉండవచ్చు, కానీ దీని అర్థం ఏమిటో మరియు ఈ పదంలో ఎంత ఆసక్తికరమైన సమాచారం దాగి ఉందో మీకు తెలుసా?
ప్రతి వ్యక్తికి సహజమైన ఉత్సుకత ఉంటుంది, అతని చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచాన్ని అర్థం చేసుకోవాలనే కోరిక. మరియు ఈ ప్రయత్నంలో, ఒక వ్యక్తి తీర్పులలో తర్కానికి కట్టుబడి ఉండటానికి ప్రయత్నిస్తాడు. అతని చుట్టూ జరుగుతున్న ప్రక్రియలను విశ్లేషిస్తూ, అతను ఏమి జరుగుతుందో దాని యొక్క తర్కాన్ని కనుగొని కొంత నమూనాను పొందటానికి ప్రయత్నిస్తాడు. గ్రహం మీద ఉన్న గొప్ప మనస్సులు ఈ పనిలో బిజీగా ఉన్నాయి. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, శాస్త్రవేత్తలు ఒకటి ఉండకూడని నమూనా కోసం చూస్తున్నారు. అయినప్పటికీ, గందరగోళంలో కూడా సంఘటనల మధ్య సంబంధాలను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. మరియు ఈ కనెక్షన్ ఫ్రాక్టల్.
నాలుగున్నరేళ్ల మా చిన్న కూతురు, “ఎందుకు?” అనే ప్రశ్నల సంఖ్య ఇప్పుడు ఆ అద్భుతమైన వయసులో ఉంది. పెద్దలు ఇవ్వగలిగే సమాధానాల సంఖ్య కంటే చాలా రెట్లు ఎక్కువ. కొద్దిసేపటి క్రితం, నేల నుండి పెరిగిన కొమ్మను పరిశీలిస్తున్నప్పుడు, నా కుమార్తె అకస్మాత్తుగా ఈ కొమ్మలు మరియు కొమ్మలతో చెట్టులా కనిపించడం గమనించింది. మరియు, వాస్తవానికి, "ఎందుకు?" అనే సాధారణ ప్రశ్న ఏమిటంటే, తల్లిదండ్రులు పిల్లవాడు అర్థం చేసుకోగలిగే సాధారణ వివరణ కోసం వెతకాలి.
పిల్లలచే కనుగొనబడిన మొత్తం చెట్టుతో ఒకే శాఖ యొక్క సారూప్యత చాలా ఖచ్చితమైన పరిశీలన, ఇది ప్రకృతిలో పునరావృత స్వీయ-సారూప్యత యొక్క సూత్రానికి మరోసారి సాక్ష్యమిస్తుంది. ప్రకృతిలో అనేక సేంద్రీయ మరియు అకర్బన రూపాలు ఇదే విధంగా ఏర్పడతాయి. మేఘాలు, సముద్రపు గవ్వలు, ఒక నత్త యొక్క "ఇల్లు," చెట్ల బెరడు మరియు కిరీటం, ప్రసరణ వ్యవస్థ మరియు మొదలైనవి-ఈ అన్ని వస్తువుల యొక్క యాదృచ్ఛిక ఆకృతులను ఫ్రాక్టల్ అల్గోరిథం ద్వారా వర్ణించవచ్చు.
⇡ బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్: ఫ్రాక్టల్ జ్యామితికి తండ్రి
"ఫ్రాక్టల్" అనే పదం తెలివైన శాస్త్రవేత్త బెనాయిట్ బి. మాండెల్‌బ్రోట్‌కు ధన్యవాదాలు.
ఫ్రాక్టస్ అనే పదాన్ని లాటిన్ నుండి అరువు తెచ్చుకుని, 1970లలో అతనే ఈ పదాన్ని సృష్టించాడు, ఇక్కడ దీని అర్థం "విరిగినది" లేదా "నలిచివేయబడినది". ఇది ఏమిటి? నేడు, "ఫ్రాక్టల్" అనే పదం చాలా తరచుగా ఒక నిర్మాణం యొక్క గ్రాఫిక్ ప్రాతినిధ్యాన్ని సూచిస్తుంది, అది పెద్ద స్థాయిలో, దానికదే సమానంగా ఉంటుంది.
ఫ్రాక్టల్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిర్భావానికి గణిత ఆధారం బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ పుట్టడానికి చాలా సంవత్సరాల ముందు వేయబడింది, అయితే ఇది కంప్యూటింగ్ పరికరాల ఆగమనంతో మాత్రమే అభివృద్ధి చెందుతుంది. తన శాస్త్రీయ వృత్తి ప్రారంభంలో, బెనాయిట్ IBM పరిశోధనా కేంద్రంలో పనిచేశాడు. ఆ సమయంలో, సెంటర్ ఉద్యోగులు చాలా దూరం డేటాను ప్రసారం చేసే పనిలో ఉన్నారు. పరిశోధన సమయంలో, శాస్త్రవేత్తలు శబ్దం జోక్యం నుండి ఉత్పన్నమయ్యే పెద్ద నష్టాల సమస్యను ఎదుర్కొన్నారు. బెనాయిట్ కష్టతరమైన మరియు చాలా ముఖ్యమైన పనిని ఎదుర్కొన్నాడు - గణాంక పద్ధతి అసమర్థంగా మారినప్పుడు ఎలక్ట్రానిక్ సర్క్యూట్‌లలో శబ్దం అంతరాయాన్ని ఎలా అంచనా వేయాలో అర్థం చేసుకోవడం.
శబ్దం కొలతల ఫలితాలను పరిశీలిస్తే, మాండెల్‌బ్రోట్ ఒక వింత నమూనాను గమనించాడు - వివిధ ప్రమాణాల వద్ద శబ్ద గ్రాఫ్‌లు ఒకే విధంగా కనిపించాయి. ఇది ఒక రోజు, ఒక వారం లేదా గంటకు శబ్దం గ్రాఫ్ అనే దానితో సంబంధం లేకుండా ఒకే విధమైన నమూనా గమనించబడింది. గ్రాఫ్ యొక్క స్కేల్‌ను మార్చడం అవసరం, మరియు చిత్రం ప్రతిసారీ పునరావృతమవుతుంది.
తన జీవితకాలంలో, బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ తాను ఫార్ములాలను అధ్యయనం చేయలేదని, కేవలం చిత్రాలతో ఆడుకుంటానని పదే పదే చెప్పాడు. ఈ వ్యక్తి చాలా అలంకారికంగా ఆలోచించాడు మరియు ఏదైనా బీజగణిత సమస్యను జ్యామితి రంగంలోకి అనువదించాడు, ఇక్కడ, అతని ప్రకారం, సరైన సమాధానం ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా ఉంటుంది.
అంత గొప్ప ప్రాదేశిక కల్పన ఉన్న వ్యక్తి ఫ్రాక్టల్ జ్యామితికి పితామహుడు కావడంలో ఆశ్చర్యం లేదు. అన్నింటికంటే, మీరు డ్రాయింగ్‌లను అధ్యయనం చేయడం మరియు వింత స్విర్ల్ నమూనాల అర్థం గురించి ఆలోచించడం ప్రారంభించినప్పుడు ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క సారాంశం గురించి అవగాహన ఖచ్చితంగా వస్తుంది.
ఫ్రాక్టల్ నమూనా ఒకేలా మూలకాలను కలిగి ఉండదు, కానీ ఏ స్థాయిలోనైనా సమానంగా ఉంటుంది. మాన్యువల్‌గా అధిక స్థాయి వివరాలతో ఇటువంటి చిత్రాన్ని నిర్మించడం అసాధ్యం; ఉదాహరణకు, ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పియరీ జోసెఫ్ లూయిస్ ఫాటౌ బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క ఆవిష్కరణకు డెబ్బై సంవత్సరాల కంటే ముందు ఈ సెట్‌ను వివరించాడు. మేము స్వీయ-సారూప్యత యొక్క సూత్రాల గురించి మాట్లాడినట్లయితే, వారు లీబ్నిజ్ మరియు జార్జ్ కాంటర్ రచనలలో ప్రస్తావించబడ్డారు.
మొదటి ఫ్రాక్టల్ డ్రాయింగ్‌లలో ఒకటి మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్ యొక్క గ్రాఫికల్ వివరణ, ఇది గాస్టన్ మారిస్ జూలియా పరిశోధనకు ధన్యవాదాలు.
గాస్టన్ జూలియా (ఎల్లప్పుడూ ముసుగు ధరించడం - మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం నుండి గాయం)
ఈ ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫీడ్‌బ్యాక్ లూప్ ద్వారా పునరావృతమయ్యే సాధారణ ఫార్ములా నుండి సెట్‌ను నిర్మిస్తే అది ఎలా ఉంటుందో ఆలోచించాడు. మేము దానిని “వేళ్లపై” వివరిస్తే, నిర్దిష్ట సంఖ్య కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కొత్త విలువను కనుగొంటాము, దాని తర్వాత మేము దానిని మళ్లీ ఫార్ములాలో భర్తీ చేసి మరొక విలువను పొందుతాము. ఫలితం పెద్ద సంఖ్యలో సంఖ్యల శ్రేణి.
అటువంటి సెట్ యొక్క పూర్తి చిత్రాన్ని పొందడానికి, మీరు భారీ సంఖ్యలో గణనలను చేయాలి - వందలు, వేల, మిలియన్లు. దీన్ని మానవీయంగా చేయడం అసాధ్యం. కానీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు శక్తివంతమైన కంప్యూటింగ్ పరికరాలు అందుబాటులోకి వచ్చినప్పుడు, వారు దీర్ఘకాలంగా ఆసక్తిని కలిగి ఉన్న సూత్రాలు మరియు వ్యక్తీకరణలను తాజాగా పరిశీలించగలిగారు. క్లాసికల్ ఫ్రాక్టల్‌ను లెక్కించడానికి కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించిన మొదటి వ్యక్తి మాండెల్‌బ్రోట్. పెద్ద సంఖ్యలో విలువలతో కూడిన క్రమాన్ని ప్రాసెస్ చేసిన తర్వాత, బెనాయిట్ ఫలితాలను గ్రాఫ్‌లో రూపొందించాడు. అది అతనికి లభించింది.
తదనంతరం, ఈ చిత్రం రంగు వేయబడింది (ఉదాహరణకు, రంగులు వేసే పద్ధతుల్లో ఒకటి పునరావృతాల సంఖ్య) మరియు మనిషి సృష్టించిన అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన చిత్రాలలో ఒకటిగా మారింది.
ఎఫెసస్‌లోని హెరాక్లిటస్‌కి ఆపాదించబడిన పురాతన సామెత ప్రకారం, "మీరు ఒకే నదిలోకి రెండుసార్లు అడుగు పెట్టలేరు." ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క జ్యామితిని వివరించడానికి ఇది ఖచ్చితంగా సరిపోతుంది. ఫ్రాక్టల్ ఇమేజ్‌ని మనం ఎంత వివరంగా చూసినా, మనం ఎప్పుడూ ఇలాంటి నమూనానే చూస్తాము.
మ్యాండెల్‌బ్రోట్ స్పేస్ యొక్క ఇమేజ్‌ని అనేక సార్లు జూమ్ చేసినప్పుడు ఎలా ఉంటుందో చూడాలనుకునే వారు యానిమేట్ చేసిన GIFని డౌన్‌లోడ్ చేయడం ద్వారా అలా చేయవచ్చు.
⇡ లారెన్ కార్పెంటర్: ప్రకృతి సృష్టించిన కళ
ఫ్రాక్టల్స్ సిద్ధాంతం త్వరలో ఆచరణాత్మక అనువర్తనాన్ని కనుగొంది. ఇది స్వీయ-సారూప్య చిత్రాల విజువలైజేషన్‌తో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉన్నందున, అసాధారణమైన రూపాలను నిర్మించడానికి అల్గారిథమ్‌లు మరియు సూత్రాలను మొదట అనుసరించినవారు కళాకారులు కావడంలో ఆశ్చర్యం లేదు.
పురాణ పిక్సర్ స్టూడియో యొక్క భవిష్యత్తు సహ-వ్యవస్థాపకుడు, లోరెన్ సి. కార్పెంటర్, 1967లో బోయింగ్ కంప్యూటర్ సర్వీసెస్‌లో పని చేయడం ప్రారంభించాడు, ఇది కొత్త విమానాలను అభివృద్ధి చేస్తున్న ప్రసిద్ధ కార్పొరేషన్ యొక్క విభాగాలలో ఒకటి.
1977లో, అతను ప్రోటోటైప్ ఫ్లయింగ్ మోడళ్లతో ప్రదర్శనలను సృష్టించాడు. లోరెన్ యొక్క బాధ్యతలలో డిజైన్ చేయబడిన విమానం యొక్క చిత్రాలను అభివృద్ధి చేయడం కూడా ఉంది. అతను వివిధ కోణాల నుండి భవిష్యత్ విమానాలను చూపిస్తూ, కొత్త మోడళ్ల చిత్రాలను రూపొందించాల్సి వచ్చింది. ఏదో ఒక సమయంలో, పిక్సర్ యానిమేషన్ స్టూడియోస్ యొక్క భవిష్యత్తు వ్యవస్థాపకుడు పర్వతాల చిత్రాన్ని నేపథ్యంగా ఉపయోగించాలనే సృజనాత్మక ఆలోచనతో ముందుకు వచ్చారు. నేడు, ఏ పాఠశాల పిల్లవాడు అటువంటి సమస్యను పరిష్కరించగలడు, కానీ గత శతాబ్దం యొక్క డెబ్బైల చివరలో, కంప్యూటర్లు అటువంటి సంక్లిష్ట గణనలను భరించలేకపోయాయి - గ్రాఫిక్ ఎడిటర్లు లేరు, 3D గ్రాఫిక్స్ కోసం దరఖాస్తులను పేర్కొనలేదు. 1978లో, లారెన్ అనుకోకుండా బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క ఫ్రాక్టల్స్: ఫారం, ఛాన్స్ అండ్ డైమెన్షన్ అనే పుస్తకాన్ని ఒక దుకాణంలో చూసింది. ఈ పుస్తకంలో అతని దృష్టిని ఆకర్షించిన విషయం ఏమిటంటే, బెనాయిట్ నిజ జీవితంలో ఫ్రాక్టల్ ఆకారాలకు చాలా ఉదాహరణలు ఇచ్చాడు మరియు వాటిని గణిత వ్యక్తీకరణ ద్వారా వివరించవచ్చని వాదించాడు.
ఈ సారూప్యతను గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అనుకోకుండా ఎన్నుకోలేదు. వాస్తవం ఏమిటంటే, అతను తన పరిశోధనను ప్రచురించిన వెంటనే, అతను మొత్తం విమర్శలను ఎదుర్కోవలసి వచ్చింది. అతని సహచరులు అతనిని నిందించిన ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, అభివృద్ధి చెందుతున్న సిద్ధాంతం యొక్క పనికిరానిది. "అవును," వారు చెప్పారు, "ఇవి అందమైన చిత్రాలు, కానీ ఇంకేమీ లేవు. ఫ్రాక్టల్స్ సిద్ధాంతానికి ఆచరణాత్మక విలువ లేదు. ఫ్రాక్టల్ నమూనాలు కేవలం "డెవిలిష్ మెషీన్స్" యొక్క పని యొక్క ఉప-ఉత్పత్తి అని సాధారణంగా విశ్వసించే వారు కూడా ఉన్నారు, డెబ్బైల చివరిలో ఇది చాలా క్లిష్టంగా మరియు పూర్తిగా విశ్వసించబడనిదిగా అనిపించింది. మాండెల్‌బ్రోట్ ఫ్రాక్టల్ థియరీ కోసం స్పష్టమైన అప్లికేషన్‌లను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించాడు, కానీ అతను అవసరం లేని విషయాల యొక్క గొప్ప పథకంలో. తరువాతి 25 సంవత్సరాలలో, బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ అనుచరులు అటువంటి "గణిత ఉత్సుకత" యొక్క అపారమైన ప్రయోజనాలను నిరూపించారు మరియు ఆచరణలో ఫ్రాక్టల్ పద్ధతిని ప్రయత్నించిన వారిలో లారెన్ కార్పెంటర్ ఒకరు.
పుస్తకాన్ని అధ్యయనం చేసిన తరువాత, భవిష్యత్ యానిమేటర్ ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి యొక్క సూత్రాలను తీవ్రంగా అధ్యయనం చేశాడు మరియు కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో దానిని అమలు చేయడానికి ఒక మార్గం కోసం వెతకడం ప్రారంభించాడు. కేవలం మూడు రోజుల పనిలో, లారెన్ తన కంప్యూటర్‌లో పర్వత వ్యవస్థ యొక్క వాస్తవిక చిత్రాన్ని అందించగలిగాడు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అతను పూర్తిగా గుర్తించదగిన పర్వత ప్రకృతి దృశ్యాన్ని చిత్రించడానికి సూత్రాలను ఉపయోగించాడు.
లారెన్ తన లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి ఉపయోగించే సూత్రం చాలా సులభం. ఇది పెద్ద రేఖాగణిత బొమ్మను చిన్న మూలకాలుగా విభజించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు ఇవి చిన్న పరిమాణంలోని సారూప్య బొమ్మలుగా విభజించబడ్డాయి.
పెద్ద త్రిభుజాలను ఉపయోగించి, కార్పెంటర్ వాటిని నాలుగు చిన్నవిగా విభజించి, వాస్తవిక పర్వత ప్రకృతి దృశ్యాన్ని పొందే వరకు ఈ ప్రక్రియను మళ్లీ మళ్లీ పునరావృతం చేశాడు. అందువలన, అతను కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్లో చిత్రాలను నిర్మించడానికి ఫ్రాక్టల్ అల్గోరిథంను ఉపయోగించిన మొదటి కళాకారుడు అయ్యాడు. పని యొక్క పదం తెలిసిన వెంటనే, ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న ఔత్సాహికులు ఈ ఆలోచనను స్వీకరించారు మరియు వాస్తవిక సహజ ఆకృతులను అనుకరించడానికి ఫ్రాక్టల్ అల్గోరిథంను ఉపయోగించడం ప్రారంభించారు.
ఫ్రాక్టల్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి మొదటి 3D విజువలైజేషన్‌లలో ఒకటి
కొన్ని సంవత్సరాల తరువాత, లారెన్ కార్పెంటర్ తన అభివృద్ధిని చాలా పెద్ద ప్రాజెక్ట్‌లో అన్వయించగలిగాడు. యానిమేటర్ వారి నుండి వాల్ లిబ్రే యొక్క రెండు నిమిషాల డెమోని సృష్టించాడు, ఇది 1980లో సిగ్గ్రాఫ్‌లో చూపబడింది. ఈ వీడియో చూసిన ప్రతి ఒక్కరినీ ఆశ్చర్యపరిచింది మరియు లారెన్‌కు లూకాస్‌ఫిల్మ్ నుండి ఆహ్వానం వచ్చింది.
యానిమేషన్ ఐదు మెగాహెర్ట్జ్ క్లాక్ స్పీడ్‌తో డిజిటల్ ఎక్విప్‌మెంట్ కార్పొరేషన్ నుండి VAX-11/780 కంప్యూటర్‌లో రెండర్ చేయబడింది మరియు ప్రతి ఫ్రేమ్ రెండర్ చేయడానికి అరగంట సమయం పట్టింది.
లూకాస్‌ఫిల్మ్ లిమిటెడ్‌లో పని చేస్తూ, యానిమేటర్ స్టార్ ట్రెక్ సాగాలోని రెండవ పూర్తి-నిడివి చిత్రం కోసం అదే స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి 3D ల్యాండ్‌స్కేప్‌లను సృష్టించారు. ది వ్రాత్ ఆఫ్ ఖాన్‌లో, కార్పెంటర్ ఫ్రాక్టల్ ఉపరితల నమూనా యొక్క అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొత్తం గ్రహాన్ని సృష్టించగలిగాడు.
ప్రస్తుతం, 3D ల్యాండ్‌స్కేప్‌లను రూపొందించడానికి అన్ని ప్రముఖ అప్లికేషన్లు సహజ వస్తువులను రూపొందించడానికి ఇదే సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాయి. టెర్రాజెన్, బ్రైస్, వ్యూ మరియు ఇతర 3D ఎడిటర్లు మోడలింగ్ ఉపరితలాలు మరియు అల్లికల కోసం ఫ్రాక్టల్ అల్గారిథమ్‌పై ఆధారపడతాయి.
⇡ ఫ్రాక్టల్ యాంటెనాలు: తక్కువ ఎక్కువ
గత అర్ధ శతాబ్దంలో, జీవితం వేగంగా మారడం ప్రారంభించింది. మనలో చాలామంది ఆధునిక సాంకేతికత యొక్క పురోగతిని పెద్దగా తీసుకుంటారు. జీవితాన్ని మరింత సౌకర్యవంతంగా చేసే ప్రతిదానికీ మీరు చాలా త్వరగా అలవాటు పడతారు. "ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చింది?" అనే ప్రశ్నలను ఎవరైనా చాలా అరుదుగా అడుగుతారు. మరియు "ఇది ఎలా పని చేస్తుంది?" మైక్రోవేవ్ అల్పాహారాన్ని వేడి చేస్తుంది - గొప్పది, స్మార్ట్‌ఫోన్ మీకు మరొక వ్యక్తితో మాట్లాడే అవకాశాన్ని ఇస్తుంది - గొప్పది. ఇది మనకు స్పష్టమైన అవకాశంగా కనిపిస్తోంది.
కానీ ఒక వ్యక్తి జరుగుతున్న సంఘటనలకు వివరణ కోరకపోతే జీవితం పూర్తిగా భిన్నంగా ఉండేది. ఉదాహరణకు సెల్ ఫోన్లను తీసుకోండి. మొదటి మోడళ్లలో ముడుచుకునే యాంటెన్నాలను గుర్తుంచుకోవాలా? వారు జోక్యం చేసుకున్నారు, పరికరం యొక్క పరిమాణాన్ని పెంచారు మరియు చివరికి, తరచుగా విరిగిపోయారు. వారు ఎప్పటికీ ఉపేక్షలో మునిగిపోయారని మేము నమ్ముతున్నాము మరియు దీనికి కారణం... ఫ్రాక్టల్స్.
ఫ్రాక్టల్ నమూనాలు వాటి నమూనాలతో ఆకర్షితులవుతాయి. అవి ఖచ్చితంగా కాస్మిక్ వస్తువుల చిత్రాలను పోలి ఉంటాయి - నెబ్యులే, గెలాక్సీ క్లస్టర్లు మరియు మొదలైనవి. మాండెల్‌బ్రోట్ తన ఫ్రాక్టల్స్ సిద్ధాంతానికి గాత్రదానం చేసినప్పుడు, అతని పరిశోధన ఖగోళ శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేసిన వారిలో ఆసక్తిని పెంచింది. ఈ ఔత్సాహికులలో ఒకరు నాథన్ కోహెన్, బుడాపెస్ట్‌లో బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ ఉపన్యాసానికి హాజరైన తర్వాత, సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఆచరణాత్మకంగా ఉపయోగించాలనే ఆలోచనతో ప్రేరణ పొందారు. నిజమే, అతను దీన్ని అకారణంగా చేసాడు మరియు అతని ఆవిష్కరణలో అవకాశం ఒక ముఖ్యమైన పాత్ర పోషించింది. రేడియో ఔత్సాహికుడిగా, నాథన్ సాధ్యమైన అత్యధిక సున్నితత్వంతో యాంటెన్నాను రూపొందించడానికి ప్రయత్నించాడు.
యాంటెన్నా యొక్క పారామితులను మెరుగుపరచడానికి ఏకైక మార్గం, ఆ సమయంలో తెలిసినది, దాని రేఖాగణిత కొలతలు పెంచడం. అయితే, నాథన్ అద్దెకు తీసుకున్న బోస్టన్ డౌన్‌టౌన్‌లోని ఆస్తి యజమాని పైకప్పుపై పెద్ద పరికరాలను ఇన్‌స్టాల్ చేయడాన్ని వ్యతిరేకించారు. అప్పుడు నాథన్ వివిధ యాంటెన్నా ఆకృతులతో ప్రయోగాలు చేయడం ప్రారంభించాడు, కనీస పరిమాణంతో గరిష్ట ఫలితాన్ని పొందడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాడు. ఫ్రాక్టల్ రూపాల ఆలోచనతో ప్రేరణ పొందిన కోహెన్, వారు చెప్పినట్లు, యాదృచ్ఛికంగా వైర్ నుండి అత్యంత ప్రసిద్ధ ఫ్రాక్టల్‌లలో ఒకటి - “కోచ్ స్నోఫ్లేక్”. స్వీడిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు హెల్జ్ వాన్ కోచ్ 1904లో ఈ వక్రతను తిరిగి కనుగొన్నాడు. ఇది ఒక విభాగాన్ని మూడు భాగాలుగా విభజించి, మధ్య విభాగాన్ని ఈ సెగ్‌మెంట్‌తో సమానంగా లేకుండా సమబాహు త్రిభుజంతో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందబడుతుంది. నిర్వచనం అర్థం చేసుకోవడం కొంచెం కష్టం, కానీ చిత్రంలో ప్రతిదీ స్పష్టంగా మరియు సరళంగా ఉంటుంది.
కోచ్ వక్రరేఖ యొక్క ఇతర వైవిధ్యాలు కూడా ఉన్నాయి, అయితే వక్రరేఖ యొక్క సుమారు ఆకారం ఒకే విధంగా ఉంటుంది
నాథన్ రేడియో రిసీవర్‌కు యాంటెన్నాను కనెక్ట్ చేసినప్పుడు, అతను చాలా ఆశ్చర్యపోయాడు - సున్నితత్వం నాటకీయంగా పెరిగింది. ప్రయోగాల శ్రేణి తర్వాత, బోస్టన్ విశ్వవిద్యాలయంలోని భవిష్యత్ ప్రొఫెసర్, ఫ్రాక్టల్ నమూనా ప్రకారం తయారు చేయబడిన యాంటెన్నా అధిక సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉందని మరియు శాస్త్రీయ పరిష్కారాలతో పోలిస్తే చాలా విస్తృతమైన ఫ్రీక్వెన్సీ పరిధిని కలిగి ఉందని గ్రహించారు. అదనంగా, ఫ్రాక్టల్ కర్వ్ రూపంలో యాంటెన్నా యొక్క ఆకృతి రేఖాగణిత పరిమాణాలను గణనీయంగా తగ్గించడం సాధ్యం చేస్తుంది. నాథన్ కోహెన్ బ్రాడ్‌బ్యాండ్ యాంటెన్నాను రూపొందించడానికి, దానికి స్వీయ-సారూప్య ఫ్రాక్టల్ కర్వ్ ఆకారాన్ని ఇస్తే సరిపోతుందని నిరూపించే సిద్ధాంతంతో కూడా ముందుకు వచ్చాడు.
రచయిత తన ఆవిష్కరణకు పేటెంట్ పొందాడు మరియు ఫ్రాక్టల్ యాంటెన్నాస్ ఫ్రాక్టల్ యాంటెన్నా సిస్టమ్స్ యొక్క అభివృద్ధి మరియు రూపకల్పన కోసం ఒక సంస్థను స్థాపించాడు, భవిష్యత్తులో, అతని ఆవిష్కరణకు ధన్యవాదాలు, సెల్ ఫోన్‌లు స్థూలమైన యాంటెన్నాలను వదిలించుకోగలవని మరియు మరింత కాంపాక్ట్‌గా మారగలవని సరిగ్గా నమ్మాడు.
సూత్రప్రాయంగా, ఇది జరిగింది. నిజమే, ఈ రోజు వరకు నాథన్ తన ఆవిష్కరణను కాంపాక్ట్ కమ్యూనికేషన్ పరికరాలను ఉత్పత్తి చేయడానికి చట్టవిరుద్ధంగా ఉపయోగిస్తున్న పెద్ద సంస్థలతో న్యాయ పోరాటంలో నిమగ్నమై ఉన్నాడు. మోటరోలా వంటి కొన్ని ప్రసిద్ధ మొబైల్ పరికరాల తయారీదారులు, ఫ్రాక్టల్ యాంటెన్నా యొక్క ఆవిష్కర్తతో ఇప్పటికే స్నేహపూర్వక ఒప్పందాన్ని కుదుర్చుకున్నారు.
⇡ ఫ్రాక్టల్ కొలతలు: మీరు దానిని మీ మనస్సుతో అర్థం చేసుకోలేరు
బెనాయిట్ ఈ ప్రశ్నను ప్రసిద్ధ అమెరికన్ శాస్త్రవేత్త ఎడ్వర్డ్ కాస్నర్ నుండి స్వీకరించారు.
తరువాతి, అనేక ఇతర ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల వలె, పిల్లలతో కమ్యూనికేట్ చేయడానికి ఇష్టపడతారు, వారిని ప్రశ్నలు అడగడం మరియు ఊహించని సమాధానాలు పొందడం. కొన్నిసార్లు ఇది ఆశ్చర్యకరమైన పరిణామాలకు దారితీసింది. ఉదాహరణకు, ఎడ్వర్డ్ కాస్నర్ యొక్క తొమ్మిదేళ్ల మేనల్లుడు ఇప్పుడు బాగా తెలిసిన "గూగోల్" అనే పదంతో ముందుకు వచ్చాడు, అంటే ఒకటి తర్వాత వంద సున్నాలు. అయితే ఫ్రాక్టల్స్‌కి తిరిగి వద్దాం. US తీరప్రాంతం ఎంత పొడవుగా ఉంది అనే ప్రశ్న అడగడానికి అమెరికన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఇష్టపడ్డాడు. తన సంభాషణకర్త అభిప్రాయాన్ని విన్న తరువాత, ఎడ్వర్డ్ స్వయంగా సరైన సమాధానం చెప్పాడు. మీరు విరిగిన విభాగాలను ఉపయోగించి మ్యాప్‌లో పొడవును కొలిస్తే, ఫలితం సరికాదు, ఎందుకంటే తీరప్రాంతంలో పెద్ద సంఖ్యలో అసమానతలు ఉన్నాయి. మనం సాధ్యమైనంత ఖచ్చితంగా కొలిస్తే ఏమి జరుగుతుంది? మీరు ప్రతి అసమానత యొక్క పొడవును పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి - మీరు ప్రతి కేప్, ప్రతి బే, రాక్, ఒక రాతి అంచు యొక్క పొడవు, దానిపై ఒక రాయి, ఇసుక రేణువు, ఒక అణువు మొదలైనవాటిని కొలవాలి. అసమానతల సంఖ్య అనంతంగా ఉంటుంది కాబట్టి, ప్రతి కొత్త అసమానతను కొలిచేటప్పుడు తీరప్రాంతం యొక్క కొలిచిన పొడవు అనంతానికి పెరుగుతుంది.
కొలిచేటప్పుడు చిన్న కొలత, కొలవబడిన పొడవు ఎక్కువ
ఆసక్తికరంగా, ఎడ్వర్డ్ ప్రాంప్ట్‌లను అనుసరించి, పిల్లలు సరైన పరిష్కారం చెప్పడంలో పెద్దల కంటే చాలా వేగంగా ఉన్నారు, అయితే రెండో వారు అలాంటి అద్భుతమైన సమాధానాన్ని అంగీకరించడంలో ఇబ్బంది పడ్డారు.
ఈ సమస్యను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి, మాండెల్‌బ్రోట్ కొలతలకు కొత్త విధానాన్ని ఉపయోగించాలని ప్రతిపాదించారు. తీరప్రాంతం ఫ్రాక్టల్ వక్రరేఖకు దగ్గరగా ఉన్నందున, దానికి క్యారెక్టరైజింగ్ పరామితిని వర్తింపజేయవచ్చు - ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం అని పిలవబడేది.
రెగ్యులర్ డైమెన్షన్ అంటే ఎవరికైనా స్పష్టంగానే ఉంటుంది. పరిమాణం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటే, మనకు సరళ రేఖ లభిస్తుంది, రెండు ఉంటే - ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్, మూడు - ఒక వాల్యూమ్. అయినప్పటికీ, గణితంలో పరిమాణం యొక్క ఈ అవగాహన ఫ్రాక్టల్ వక్రతలతో పనిచేయదు, ఇక్కడ ఈ పరామితి పాక్షిక విలువను కలిగి ఉంటుంది. గణితంలో ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ సాంప్రదాయకంగా "కరుకుదనం"గా పరిగణించబడుతుంది. వంపు యొక్క కరుకుదనం ఎక్కువ, దాని ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం ఎక్కువ. మాండెల్‌బ్రోట్ ప్రకారం, దాని టోపోలాజికల్ డైమెన్షన్ కంటే ఎక్కువ ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ కలిగి ఉండే వక్రరేఖ కొలతల సంఖ్యపై ఆధారపడని సుమారు పొడవును కలిగి ఉంటుంది.
ప్రస్తుతం, శాస్త్రవేత్తలు ఫ్రాక్టల్స్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి మరిన్ని ప్రాంతాలను కనుగొంటున్నారు. ఫ్రాక్టల్స్ ఉపయోగించి, మీరు స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్ ధరలలో హెచ్చుతగ్గులను విశ్లేషించవచ్చు, జాతుల సంఖ్యలో హెచ్చుతగ్గులు వంటి అన్ని రకాల సహజ ప్రక్రియలను అధ్యయనం చేయవచ్చు లేదా ప్రవాహాల డైనమిక్స్‌ను అనుకరించవచ్చు. ఇమేజ్ కంప్రెషన్ వంటి డేటా కంప్రెషన్ కోసం ఫ్రాక్టల్ అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగించవచ్చు. మరియు మార్గం ద్వారా, మీ కంప్యూటర్ స్క్రీన్‌పై అందమైన ఫ్రాక్టల్ పొందడానికి, మీరు డాక్టరేట్ కలిగి ఉండవలసిన అవసరం లేదు.
⇡ బ్రౌజర్‌లో ఫ్రాక్టల్
యువ ప్రతిభావంతులైన ప్రోగ్రామర్ టోబీ షాచ్‌మన్ నుండి ఆన్‌లైన్ వెక్టర్ ఎడిటర్‌ను ఉపయోగించడం బహుశా ఫ్రాక్టల్ నమూనాను పొందడానికి సులభమైన మార్గాలలో ఒకటి. ఈ సాధారణ గ్రాఫిక్ ఎడిటర్ యొక్క సాధనాలు స్వీయ-సారూప్యత యొక్క అదే సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటాయి.
మీ పారవేయడం వద్ద కేవలం రెండు సరళమైన ఆకారాలు మాత్రమే ఉన్నాయి - ఒక చతుర్భుజం మరియు ఒక వృత్తం. మీరు వాటిని కాన్వాస్‌కు జోడించి, వాటిని స్కేల్ చేయవచ్చు (గొడ్డలిలో ఒకదానితో పాటు స్కేల్ చేయడానికి, Shift కీని నొక్కి పట్టుకోండి) మరియు వాటిని తిప్పవచ్చు. బూలియన్ జోడింపు కార్యకలాపాల సూత్రం ప్రకారం అతివ్యాప్తి చెందడం, ఈ సరళమైన మూలకాలు కొత్త, తక్కువ పనికిమాలిన రూపాలను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ కొత్త ఆకృతులను ప్రాజెక్ట్‌కు జోడించవచ్చు మరియు ప్రోగ్రామ్ అనంతంగా ఈ చిత్రాలను రూపొందించడాన్ని పునరావృతం చేస్తుంది. ఫ్రాక్టల్‌పై పని చేసే ఏ దశలోనైనా, మీరు సంక్లిష్ట ఆకృతిలోని ఏదైనా భాగానికి తిరిగి వెళ్లి దాని స్థానం మరియు జ్యామితిని సవరించవచ్చు. ఒక ఆహ్లాదకరమైన కార్యాచరణ, ప్రత్యేకించి మీరు సృష్టించాల్సిన ఏకైక సాధనం బ్రౌజర్ అని మీరు భావించినప్పుడు. ఈ రికర్సివ్ వెక్టర్ ఎడిటర్‌తో పని చేసే సూత్రం మీకు అర్థం కాకపోతే, ప్రాజెక్ట్ యొక్క అధికారిక వెబ్‌సైట్‌లో వీడియోను చూడమని మేము మీకు సలహా ఇస్తున్నాము, ఇది ఫ్రాక్టల్‌ను సృష్టించే మొత్తం ప్రక్రియను వివరంగా చూపుతుంది.
⇡ XaoS: ప్రతి రుచికి ఫ్రాక్టల్స్
అనేక గ్రాఫిక్ ఎడిటర్లు ఫ్రాక్టల్ నమూనాలను రూపొందించడానికి అంతర్నిర్మిత సాధనాలను కలిగి ఉన్నారు. అయినప్పటికీ, ఈ సాధనాలు సాధారణంగా ద్వితీయమైనవి మరియు ఉత్పత్తి చేయబడిన ఫ్రాక్టల్ నమూనా యొక్క చక్కటి ట్యూనింగ్‌ను అనుమతించవు. గణితశాస్త్రపరంగా ఖచ్చితమైన ఫ్రాక్టల్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉన్న సందర్భాలలో, క్రాస్-ప్లాట్‌ఫారమ్ ఎడిటర్ XaoS రక్షించబడుతుంది. ఈ ప్రోగ్రామ్ స్వీయ-సారూప్య చిత్రాన్ని నిర్మించడమే కాకుండా, దానితో వివిధ అవకతవకలను నిర్వహించడం కూడా సాధ్యం చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, నిజ సమయంలో మీరు దాని స్కేల్‌ని మార్చడం ద్వారా ఫ్రాక్టల్‌తో పాటు "నడక" తీసుకోవచ్చు. ఫ్రాక్టల్ వెంట యానిమేటెడ్ కదలికను XAF ఫైల్‌గా సేవ్ చేయవచ్చు మరియు ప్రోగ్రామ్‌లోనే పునరుత్పత్తి చేయవచ్చు.
XaoS యాదృచ్ఛిక పారామితుల సెట్‌ను లోడ్ చేయగలదు మరియు వివిధ ఇమేజ్ పోస్ట్-ప్రాసెసింగ్ ఫిల్టర్‌లను కూడా ఉపయోగించవచ్చు - అస్పష్టమైన చలన ప్రభావాన్ని జోడించండి, ఫ్రాక్టల్ పాయింట్ల మధ్య పదునైన పరివర్తనలను సున్నితంగా చేస్తుంది, 3D చిత్రాన్ని అనుకరిస్తుంది మరియు మొదలైనవి.
⇡ ఫ్రాక్టల్ జూమర్: కాంపాక్ట్ ఫ్రాక్టల్ జనరేటర్
ఇతర ఫ్రాక్టల్ ఇమేజ్ జనరేటర్‌లతో పోలిస్తే, దీనికి అనేక ప్రయోజనాలు ఉన్నాయి. మొదట, ఇది పరిమాణంలో చాలా చిన్నది మరియు సంస్థాపన అవసరం లేదు. రెండవది, ఇది చిత్రం యొక్క రంగుల పాలెట్‌ను నిర్ణయించే సామర్థ్యాన్ని అమలు చేస్తుంది. మీరు RGB, CMYK, HVS మరియు HSL కలర్ మోడల్‌లలో షేడ్స్‌ని ఎంచుకోవచ్చు.
యాదృచ్ఛికంగా రంగు షేడ్స్‌ను ఎంచుకునే ఎంపికను మరియు చిత్రంలో అన్ని రంగులను విలోమం చేసే పనిని ఉపయోగించడం కూడా చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. రంగును సర్దుబాటు చేయడానికి, షేడ్స్ యొక్క చక్రీయ ఎంపిక యొక్క ఫంక్షన్ ఉంది - మీరు సంబంధిత మోడ్‌ను ఆన్ చేసినప్పుడు, ప్రోగ్రామ్ చిత్రాన్ని యానిమేట్ చేస్తుంది, దానిపై రంగులను చక్రీయంగా మారుస్తుంది.
ఫ్రాక్టల్ జూమర్ 85 విభిన్న ఫ్రాక్టల్ ఫంక్షన్‌లను దృశ్యమానం చేయగలదు మరియు ప్రోగ్రామ్ మెనులో సూత్రాలు స్పష్టంగా చూపబడతాయి. ప్రోగ్రామ్‌లో ఇమేజ్ పోస్ట్-ప్రాసెసింగ్ కోసం ఫిల్టర్‌లు ఉన్నాయి, అయినప్పటికీ చిన్న పరిమాణంలో. కేటాయించిన ప్రతి ఫిల్టర్‌ని ఎప్పుడైనా రద్దు చేయవచ్చు.
⇡ Mandelbulb3D: 3D ఫ్రాక్టల్ ఎడిటర్
"ఫ్రాక్టల్" అనే పదాన్ని ఉపయోగించినప్పుడు, ఇది చాలా తరచుగా ఫ్లాట్, రెండు డైమెన్షనల్ ఇమేజ్‌ని సూచిస్తుంది. అయినప్పటికీ, ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి 2D కోణాన్ని మించి ఉంటుంది. ప్రకృతిలో, మీరు ఫ్లాట్ ఫ్రాక్టల్ రూపాల యొక్క రెండు ఉదాహరణలను కనుగొనవచ్చు, చెప్పాలంటే, మెరుపు యొక్క జ్యామితి మరియు త్రిమితీయ వాల్యూమెట్రిక్ బొమ్మలు. ఫ్రాక్టల్ ఉపరితలాలు త్రిమితీయంగా ఉంటాయి మరియు రోజువారీ జీవితంలో 3D ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క చాలా స్పష్టమైన ఉదాహరణ క్యాబేజీ యొక్క తల. ఫ్రాక్టల్‌లను చూడటానికి ఉత్తమ మార్గం రోమనెస్కో రకం, కాలీఫ్లవర్ మరియు బ్రోకలీ యొక్క హైబ్రిడ్.
మీరు ఈ ఫ్రాక్టల్ కూడా తినవచ్చు
Mandelbulb3D ప్రోగ్రామ్ సారూప్య ఆకారంతో త్రిమితీయ వస్తువులను సృష్టించగలదు. ఫ్రాక్టల్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి 3D ఉపరితలాన్ని పొందేందుకు, ఈ అప్లికేషన్ యొక్క రచయితలు, డేనియల్ వైట్ మరియు పాల్ నైలాండర్, మాండెల్‌బ్రోట్ సెట్‌ను గోళాకార కోఆర్డినేట్‌లుగా మార్చారు. వారు సృష్టించిన Mandelbulb3D ప్రోగ్రామ్ నిజమైన త్రిమితీయ ఎడిటర్, ఇది విభిన్న ఆకృతుల ఫ్రాక్టల్ ఉపరితలాలను మోడల్ చేస్తుంది. మేము తరచుగా ప్రకృతిలో ఫ్రాక్టల్ నమూనాలను గమనిస్తాము కాబట్టి, కృత్రిమంగా సృష్టించబడిన ఫ్రాక్టల్ త్రిమితీయ వస్తువు చాలా వాస్తవికంగా మరియు "సజీవంగా" కూడా కనిపిస్తుంది.
ఇది ఒక మొక్కను పోలి ఉండవచ్చు, ఇది ఒక వింత జంతువు, ఒక గ్రహం లేదా మరేదైనా పోలి ఉంటుంది. ఈ ప్రభావం అధునాతన రెండరింగ్ అల్గోరిథం ద్వారా మెరుగుపరచబడింది, ఇది వాస్తవిక ప్రతిబింబాలను పొందడం, పారదర్శకత మరియు నీడలను లెక్కించడం, ఫీల్డ్ యొక్క లోతు యొక్క ప్రభావాన్ని అనుకరించడం మరియు మొదలైన వాటిని సాధ్యం చేస్తుంది. Mandelbulb3D భారీ సంఖ్యలో సెట్టింగ్‌లు మరియు రెండరింగ్ ఎంపికలను కలిగి ఉంది. మీరు కాంతి వనరుల ఛాయలను నియంత్రించవచ్చు, అనుకరణ వస్తువు యొక్క నేపథ్యం మరియు వివరాల స్థాయిని ఎంచుకోవచ్చు.
ఇన్సెండియా ఫ్రాక్టల్ ఎడిటర్ డబుల్ ఇమేజ్ స్మూటింగ్‌కు మద్దతిస్తుంది, యాభై వేర్వేరు త్రిమితీయ ఫ్రాక్టల్‌ల లైబ్రరీని కలిగి ఉంది మరియు ప్రాథమిక ఆకృతులను సవరించడానికి ప్రత్యేక మాడ్యూల్‌ను కలిగి ఉంది.
అప్లికేషన్ ఫ్రాక్టల్ స్క్రిప్టింగ్‌ను ఉపయోగిస్తుంది, దానితో మీరు కొత్త రకాల ఫ్రాక్టల్ డిజైన్‌లను స్వతంత్రంగా వివరించవచ్చు. ఇన్సెండియా ఆకృతి మరియు మెటీరియల్ ఎడిటర్‌లను కలిగి ఉంది మరియు రెండరింగ్ ఇంజిన్ వాల్యూమెట్రిక్ ఫాగ్ ఎఫెక్ట్‌లు మరియు వివిధ షేడర్‌లను ఉపయోగించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ప్రోగ్రామ్ దీర్ఘకాలిక రెండరింగ్ సమయంలో బఫర్‌ను సేవ్ చేసే ఎంపికను అమలు చేస్తుంది మరియు యానిమేషన్ సృష్టికి మద్దతు ఇస్తుంది.
Incendia మీరు ప్రముఖ 3D గ్రాఫిక్స్ ఫార్మాట్‌లకు ఫ్రాక్టల్ మోడల్‌ను ఎగుమతి చేయడానికి అనుమతిస్తుంది - OBJ మరియు STL. ఇన్సెండియాలో జియోమెట్రికా అనే చిన్న యుటిలిటీ ఉంది, ఇది ఒక ఫ్రాక్టల్ ఉపరితలాన్ని 3D మోడల్‌కి ఎగుమతి చేయడానికి ఒక ప్రత్యేక సాధనం. ఈ యుటిలిటీని ఉపయోగించి, మీరు 3D ఉపరితలం యొక్క రిజల్యూషన్‌ని నిర్ణయించవచ్చు మరియు ఫ్రాక్టల్ పునరావృతాల సంఖ్యను పేర్కొనవచ్చు. Blender, 3ds max మరియు ఇతరుల వంటి 3D ఎడిటర్‌లతో పని చేస్తున్నప్పుడు ఎగుమతి చేసిన మోడల్‌లను 3D ప్రాజెక్ట్‌లలో ఉపయోగించవచ్చు.
ఇటీవల ఇన్సెండియా ప్రాజెక్ట్ పనులు కొంత మందగించాయి. ప్రస్తుతానికి, ప్రోగ్రామ్‌ను అభివృద్ధి చేయడంలో సహాయపడటానికి రచయిత స్పాన్సర్‌ల కోసం చూస్తున్నాడు.
ఈ ప్రోగ్రామ్‌లో అందమైన త్రిమితీయ ఫ్రాక్టల్‌ను గీయడానికి మీకు తగినంత ఊహ లేకపోతే, అది పట్టింపు లేదు. INCENDIA_EX\parameters ఫోల్డర్‌లో ఉన్న పారామీటర్‌ల లైబ్రరీని ఉపయోగించండి. PAR ఫైల్‌లను ఉపయోగించి, మీరు యానిమేటెడ్ వాటితో సహా అత్యంత అసాధారణమైన ఫ్రాక్టల్ ఆకృతులను త్వరగా కనుగొనవచ్చు.
⇡ ఆరల్: ఫ్రాక్టల్స్ ఎలా పాడతాయి
మేము సాధారణంగా పని చేస్తున్న ప్రాజెక్ట్‌ల గురించి మాట్లాడము, కానీ ఈ సందర్భంలో మేము మినహాయింపు ఇవ్వాలి, ఎందుకంటే ఇది చాలా అసాధారణమైన అప్లికేషన్. ఆరల్ అని పిలువబడే ప్రాజెక్ట్, ఇన్సెండియాను సృష్టించిన అదే వ్యక్తిచే కనుగొనబడింది. అయితే, ఈసారి ప్రోగ్రామ్ ఫ్రాక్టల్ సెట్‌ను దృశ్యమానం చేయదు, కానీ దానిని ధ్వనిస్తుంది, దానిని ఎలక్ట్రానిక్ సంగీతంగా మారుస్తుంది. ఆలోచన చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది, ముఖ్యంగా ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క అసాధారణ లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. ఆరల్ అనేది ఫ్రాక్టల్ అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగించి మెలోడీలను రూపొందించే ఆడియో ఎడిటర్, అంటే, సారాంశంలో, ఇది ఆడియో సింథసైజర్-సీక్వెన్సర్.
ఈ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన శబ్దాల క్రమం అసాధారణమైనది మరియు... అందంగా ఉంది. ఆధునిక రిథమ్‌లను వ్రాయడానికి ఇది బాగా ఉపయోగపడుతుంది మరియు టెలివిజన్ మరియు రేడియో ప్రోగ్రామ్‌ల స్క్రీన్‌సేవర్‌ల కోసం సౌండ్‌ట్రాక్‌లను అలాగే కంప్యూటర్ గేమ్‌ల కోసం బ్యాక్‌గ్రౌండ్ మ్యూజిక్ “లూప్‌లు” రూపొందించడానికి ఇది బాగా సరిపోతుందని మాకు అనిపిస్తుంది. రామిరో తన ప్రోగ్రామ్ యొక్క డెమోని ఇంకా అందించలేదు, కానీ అతను ఆరల్‌తో పని చేయడానికి, మీరు ఫ్రాక్టల్ సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయవలసిన అవసరం లేదని వాగ్దానం చేశాడు - మీరు ఒక క్రమాన్ని రూపొందించడానికి అల్గోరిథం యొక్క పారామితులతో ఆడవలసి ఉంటుంది. గమనికలు. ఫ్రాక్టల్స్ ఎలా ధ్వనిస్తాయో వినండి మరియు.
ఫ్రాక్టల్స్: సంగీత విరామం
వాస్తవానికి, సాఫ్ట్‌వేర్ లేకుండా కూడా సంగీతం రాయడంలో ఫ్రాక్టల్స్ మీకు సహాయపడతాయి. కానీ ఇది నిజంగా సహజ సామరస్యం యొక్క ఆలోచనతో నిండిన మరియు దురదృష్టకర "నేర్డ్" గా మారని వ్యక్తి మాత్రమే చేయగలడు. జొనాథన్ కౌల్టన్ అనే సంగీతకారుడి ఉదాహరణను అనుసరించడం అర్ధమే, అతను ఇతర విషయాలతోపాటు, పాపులర్ సైన్స్ మ్యాగజైన్‌కు కంపోజిషన్‌లను వ్రాస్తాడు. మరియు ఇతర ప్రదర్శకులకు భిన్నంగా, కాల్టన్ తన రచనలన్నింటినీ క్రియేటివ్ కామన్స్ అట్రిబ్యూషన్-నాన్ కమర్షియల్ లైసెన్స్ కింద ప్రచురిస్తుంది, ఇది (వాణిజ్యేతర ప్రయోజనాల కోసం ఉపయోగించినప్పుడు) ఉచితంగా కాపీ చేయడం, పంపిణీ చేయడం, పనిని ఇతరులకు బదిలీ చేయడం, అలాగే దాని సవరణ ( ఉత్పన్న రచనల సృష్టి) తద్వారా మీ పనులకు అనుగుణంగా.
జోనాథన్ కాల్టన్, వాస్తవానికి, ఫ్రాక్టల్స్ గురించి ఒక పాటను కలిగి ఉన్నాడు.
⇡ ముగింపు
మన చుట్టూ ఉన్న ప్రతిదానిలో, మేము తరచుగా గందరగోళాన్ని చూస్తాము, కానీ వాస్తవానికి ఇది ప్రమాదం కాదు, కానీ ఆదర్శవంతమైన రూపం, ఇది ఫ్రాక్టల్స్ మనకు గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది. ప్రకృతి ఉత్తమ వాస్తుశిల్పి, ఆదర్శ బిల్డర్ మరియు ఇంజనీర్. ఇది చాలా తార్కికంగా నిర్మించబడింది మరియు మనకు ఎక్కడా ఒక నమూనా కనిపించకపోతే, దీని అర్థం మనం దానిని వేరే స్థాయిలో వెతకాలి. ప్రజలు దీనిని మెరుగ్గా మరియు మెరుగ్గా అర్థం చేసుకుంటారు, అనేక విధాలుగా సహజ రూపాలను అనుకరించటానికి ప్రయత్నిస్తున్నారు. ఇంజనీర్లు షెల్-ఆకారపు స్పీకర్ సిస్టమ్‌లను డిజైన్ చేస్తారు, స్నోఫ్లేక్ ఆకారపు యాంటెన్నాలను సృష్టిస్తారు మరియు మొదలైనవి. ఫ్రాక్టల్స్ ఇప్పటికీ చాలా రహస్యాలను కలిగి ఉన్నాయని మేము ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాము మరియు వాటిలో చాలా వరకు మానవులు ఇంకా కనుగొనబడలేదు.