లాగరిథమ్‌లతో కార్యకలాపాలకు ఉదాహరణలు. ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం మరియు గుణకం యొక్క సంవర్గమానం

మేము లాగరిథమ్‌లను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ వ్యాసంలో మనం మాట్లాడతాము లాగరిథమ్‌లను గణించడం, ఈ ప్రక్రియ అంటారు సంవర్గమానం. మొదట మేము నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణనను అర్థం చేసుకుంటాము. తరువాత, లాగరిథమ్‌ల విలువలు వాటి లక్షణాలను ఉపయోగించి ఎలా కనుగొనబడతాయో చూద్దాం. దీని తరువాత, మేము ఇతర లాగరిథమ్‌ల ప్రారంభంలో పేర్కొన్న విలువల ద్వారా లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడంపై దృష్టి పెడతాము. చివరగా, లాగరిథమ్ పట్టికలను ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుందాం. మొత్తం సిద్ధాంతం వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలతో అందించబడింది.

పేజీ నావిగేషన్.

నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌లను గణించడం

సరళమైన సందర్భాల్లో, చాలా త్వరగా మరియు సులభంగా నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడం. ఈ ప్రక్రియ ఎలా జరుగుతుందో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

దాని సారాంశం a c రూపంలో సంఖ్యను సూచించడం, దీని నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య c అనేది లాగరిథమ్ యొక్క విలువ. అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, క్రింది సమానత్వ గొలుసు సంవర్గమానాన్ని కనుగొనడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది: లాగ్ a b=log a a c =c.

కాబట్టి, నిర్వచనం ద్వారా సంవర్గమానాన్ని గణించడం అనేది c = b అనే సంఖ్యను కనుగొనడానికి వస్తుంది మరియు c సంఖ్య కూడా లాగరిథమ్ యొక్క కావలసిన విలువ.

మునుపటి పేరాల్లోని సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య లాగరిథమ్ బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తి ద్వారా ఇవ్వబడినప్పుడు, మీరు వెంటనే లాగరిథమ్ దేనికి సమానమో సూచించవచ్చు - ఇది ఘాతాంకానికి సమానం. ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూపుదాం.

ఉదాహరణ.

లాగ్ 2 2 −3ని కనుగొనండి మరియు సంఖ్య ఇ 5,3 యొక్క సహజ సంవర్గమానాన్ని కూడా లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం లాగ్ 2 2 −3 =-3 అని వెంటనే చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. నిజానికి, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ 2కి −3 పవర్‌కి సమానం.

అదేవిధంగా, మేము రెండవ సంవర్గమానాన్ని కనుగొంటాము: lne 5.3 =5.3.

సమాధానం:

లాగ్ 2 2 −3 =-3 మరియు lne 5,3 =5,3.

సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య b సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క శక్తిగా పేర్కొనబడకపోతే, మీరు a c రూపంలో సంఖ్య b యొక్క ప్రాతినిధ్యంతో రావడం సాధ్యమేనా అని జాగ్రత్తగా చూడాలి. తరచుగా ఈ ప్రాతినిధ్యం చాలా స్పష్టంగా ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య 1, లేదా 2, లేదా 3 యొక్క శక్తికి బేస్‌కు సమానం అయినప్పుడు, ...

ఉదాహరణ.

సంవర్గమానాల లాగ్ 5 25 మరియు గణించండి.

పరిష్కారం.

25=5 2 అని చూడటం సులభం, ఇది మొదటి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: లాగ్ 5 25=లాగ్ 5 5 2 =2.

రెండవ సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి వెళ్దాం. సంఖ్యను 7 శక్తిగా సూచించవచ్చు: (అవసరమైతే చూడండి). అందుకే, .

మూడవ సంవర్గమానాన్ని క్రింది రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం. ఇప్పుడు మీరు దానిని చూడవచ్చు , దాని నుండి మేము దానిని ముగించాము . కాబట్టి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం .

క్లుప్తంగా, పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: .

సమాధానం:

లాగ్ 5 25=2 , మరియు .

సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద తగినంత పెద్ద సహజ సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, దానిని ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం బాధించదు. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం యొక్క కొంత శక్తి వలె అటువంటి సంఖ్యను సూచించడానికి ఇది తరచుగా సహాయపడుతుంది మరియు అందువల్ల ఈ సంవర్గమానాన్ని నిర్వచనం ద్వారా లెక్కించండి.

ఉదాహరణ.

లాగరిథమ్ విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

లాగరిథమ్‌ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలు సంవర్గమానాల విలువను వెంటనే పేర్కొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఈ లక్షణాలలో ఒకటి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం మరియు ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం ఉన్నాయి: లాగ్ 1 1=లాగ్ a a 0 =0 మరియు లాగ్ a=log a a 1 =1. అంటే, సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద సంఖ్య 1 లేదా సంవర్గమానం యొక్క ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, ఈ సందర్భాలలో లాగరిథమ్‌లు వరుసగా 0 మరియు 1కి సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ.

లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగ్10 దేనికి సమానం?

పరిష్కారం.

నుండి, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది .

రెండవ ఉదాహరణలో, సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద ఉన్న సంఖ్య 10 దాని ఆధారంతో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి పది యొక్క దశాంశ సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం, అంటే, lg10=lg10 1 =1.

సమాధానం:

మరియు lg10=1 .

నిర్వచనం ప్రకారం లాగరిథమ్‌ల గణన (ఇది మేము మునుపటి పేరాలో చర్చించాము) సమానత్వ లాగ్ a a p =p యొక్క ఉపయోగాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకటి.

ఆచరణలో, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తిగా సులభంగా సూచించబడినప్పుడు, సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. , ఇది లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలలో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ ఫార్ములా వినియోగాన్ని వివరించే సంవర్గమానాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

సమాధానం:

పైన పేర్కొనబడని లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలు గణనలలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి, అయితే మేము దీని గురించి క్రింది పేరాల్లో మాట్లాడుతాము.

ఇతర తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల ద్వారా లాగరిథమ్‌లను కనుగొనడం

ఈ పేరాలోని సమాచారం వాటిని లెక్కించేటప్పుడు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం అనే అంశాన్ని కొనసాగిస్తుంది. కానీ ఇక్కడ ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, సంవర్గమానాల యొక్క లక్షణాలు అసలు సంవర్గమానాన్ని మరొక లాగరిథమ్ పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగించబడతాయి, దాని విలువ తెలిసినది. స్పష్టత కోసం ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. లాగ్ 2 3≈1.584963 అని మనకు తెలుసు అని అనుకుందాం, ఉదాహరణకు, లాగరిథమ్ లక్షణాలను ఉపయోగించి కొద్దిగా పరివర్తన చేయడం ద్వారా లాగ్ 2 6ని కనుగొనవచ్చు: లాగ్ 2 6=లాగ్ 2 (2 3)=లాగ్ 2 2+లాగ్ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

పై ఉదాహరణలో, ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగించడం మాకు సరిపోతుంది. అయినప్పటికీ, ఇచ్చిన వాటి ద్వారా అసలైన లాగరిథమ్‌ను లెక్కించడానికి లాగరిథమ్‌ల లక్షణాల యొక్క విస్తృత ఆర్సెనల్‌ను ఉపయోగించడం చాలా తరచుగా అవసరం.

ఉదాహరణ.

లాగ్ 60 2=a మరియు లాగ్ 60 5=b అని మీకు తెలిస్తే, 27 నుండి బేస్ 60 నుండి సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

కాబట్టి మనం లాగ్ 60 27ని కనుగొనాలి. 27 = 3 3 , మరియు శక్తి యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం కారణంగా అసలు సంవర్గమానం 3·లాగ్ 60 3గా తిరిగి వ్రాయబడుతుందని చూడటం సులభం.

ఇప్పుడు తెలిసిన లాగరిథమ్‌ల పరంగా లాగ్ 60 3ని ఎలా వ్యక్తీకరించాలో చూద్దాం. ఆధారానికి సమానమైన సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం యొక్క లక్షణం 60 60=1 సమానత్వ లాగ్‌ను వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది. మరోవైపు, లాగ్ 60 60=log60(2 2 3 5)= లాగ్ 60 2 2 +లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5= 2·లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5 . ఈ విధంగా, 2 లాగ్ 60 2+లాగ్ 60 3+లాగ్ 60 5=1. అందుకే, లాగ్ 60 3=1−2·లాగ్ 60 2−లాగ్ 60 5=1−2·a−b.

చివరగా, మేము అసలు సంవర్గమానాన్ని గణిస్తాము: లాగ్ 60 27=3 లాగ్ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

సమాధానం:

లాగ్ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

విడిగా, ఫారమ్ యొక్క లాగరిథమ్ యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం యొక్క అర్ధాన్ని పేర్కొనడం విలువ. . ఇది ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌ల నుండి నిర్దిష్ట బేస్‌తో లాగరిథమ్‌లకు తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, వాటి విలువలు తెలిసినవి లేదా వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. సాధారణంగా, ఒరిజినల్ లాగరిథమ్ నుండి, పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అవి 2, ఇ లేదా 10 బేస్‌లలో ఒకదానిలో లాగరిథమ్‌లకు మారతాయి, ఎందుకంటే ఈ బేస్‌ల కోసం లాగరిథమ్‌ల పట్టికలు ఉన్నాయి, ఇవి వాటి విలువలను నిర్దిష్ట స్థాయితో లెక్కించడానికి అనుమతిస్తాయి. ఖచ్చితత్వం. ఇది ఎలా జరుగుతుందో తదుపరి పేరాలో చూపుతాము.

లాగరిథమ్ పట్టికలు మరియు వాటి ఉపయోగాలు

సంవర్గమాన విలువల యొక్క ఉజ్జాయింపు గణన కోసం ఉపయోగించవచ్చు లాగరిథమ్ పట్టికలు. అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే బేస్ 2 సంవర్గమాన పట్టిక, సహజ సంవర్గమాన పట్టిక మరియు దశాంశ సంవర్గమాన పట్టిక. దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో పని చేస్తున్నప్పుడు, బేస్ టెన్ ఆధారంగా లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దాని సహాయంతో మేము లాగరిథమ్‌ల విలువలను కనుగొనడం నేర్చుకుంటాము.

సమర్పించబడిన పట్టిక 1,000 నుండి 9,999 వరకు (మూడు దశాంశ స్థానాలతో) సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను పదివేల వంతు ఖచ్చితత్వంతో కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మేము నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టికను ఉపయోగించి లాగరిథమ్ విలువను కనుగొనే సూత్రాన్ని విశ్లేషిస్తాము - ఇది ఈ విధంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది. లాగ్1.256ని కనుగొనండి.

దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక యొక్క ఎడమ కాలమ్‌లో 1.256 సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు అంకెలను మనం కనుగొంటాము, అనగా, మేము 1.2 (స్పష్టత కోసం ఈ సంఖ్య నీలం రంగులో సర్కిల్ చేయబడింది). సంఖ్య 1.256 (అంకె 5) యొక్క మూడవ అంకె డబుల్ లైన్ యొక్క ఎడమవైపు మొదటి లేదా చివరి పంక్తిలో కనుగొనబడింది (ఈ సంఖ్య ఎరుపు రంగులో వృత్తం చేయబడింది). అసలైన సంఖ్య 1.256 (అంకె 6) యొక్క నాల్గవ అంకె డబుల్ లైన్ యొక్క కుడి వైపున మొదటి లేదా చివరి పంక్తిలో కనుగొనబడింది (ఈ సంఖ్య ఆకుపచ్చ గీతతో సర్కిల్ చేయబడింది). ఇప్పుడు మనం గుర్తించబడిన అడ్డు వరుస మరియు గుర్తించబడిన నిలువు వరుసల ఖండన వద్ద సంవర్గమాన పట్టిక యొక్క కణాలలో సంఖ్యలను కనుగొంటాము (ఈ సంఖ్యలు నారింజ రంగులో హైలైట్ చేయబడ్డాయి). గుర్తించబడిన సంఖ్యల మొత్తం నాల్గవ దశాంశ స్థానానికి ఖచ్చితమైన దశాంశ సంవర్గమానం యొక్క కావలసిన విలువను ఇస్తుంది, అనగా, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

పై పట్టికను ఉపయోగించి, దశాంశ బిందువు తర్వాత మూడు కంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉన్న సంఖ్యల దశాంశ లాగరిథమ్‌ల విలువలను, అలాగే 1 నుండి 9.999 పరిధికి మించిన వాటిని కనుగొనడం సాధ్యమేనా? మీరు చెయ్యవచ్చు అవును. ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

lg102.76332ని లెక్కిద్దాం. మొదట మీరు వ్రాయాలి ప్రామాణిక రూపంలో సంఖ్య: 102.76332=1.0276332·10 2. దీని తరువాత, మాంటిస్సా మూడవ దశాంశ స్థానానికి గుండ్రంగా ఉండాలి, మనకు ఉంది 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, అసలైన దశాంశ సంవర్గమానం ఫలిత సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానానికి దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది, అంటే, మేము log102.76332≈lg1.028·10 2ని తీసుకుంటాము. ఇప్పుడు మేము లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేస్తాము: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. చివరగా, మేము దశాంశ సంవర్గమానాల lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 పట్టిక నుండి లాగరిథమ్ lg1.028 విలువను కనుగొంటాము. ఫలితంగా, లాగరిథమ్‌ను లెక్కించే మొత్తం ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ముగింపులో, దశాంశ సంవర్గమానాల పట్టికను ఉపయోగించి మీరు ఏదైనా లాగరిథమ్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను లెక్కించవచ్చని గమనించాలి. దీన్ని చేయడానికి, దశాంశ లాగరిథమ్‌లకు వెళ్లడానికి, వాటి విలువలను పట్టికలో కనుగొని, మిగిలిన గణనలను నిర్వహించడానికి పరివర్తన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది.

ఉదాహరణకు, లాగ్ 2 3ని లెక్కిద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క కొత్త స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రం ప్రకారం, మనకు . దశాంశ లాగరిథమ్‌ల పట్టిక నుండి మనం లాగ్3≈0.4771 మరియు లాగ్2≈0.3010లను కనుగొంటాము. ఈ విధంగా, .

గ్రంథ పట్టిక.

కోల్మోగోరోవ్ A.N., అబ్రమోవ్ A.M., డడ్నిట్సిన్ యు.పి. మరియు ఇతరులు బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం: సాధారణ విద్యా సంస్థల 10 - 11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం.
గుసేవ్ V.A., మోర్డ్కోవిచ్ A.G. గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్).

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

దానిని మరింత సరళంగా వివరిస్తాము. ఉదాహరణకు, \(\log_(2)(8)\) అనేది \(8\) పొందడానికి \(2\)ని పెంచాల్సిన శక్తికి సమానం. దీని నుండి \(\log_(2)(8)=3\) అని స్పష్టమవుతుంది.

ఉదాహరణలు:	\(\log_(5)(25)=2\)	ఎందుకంటే \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	ఎందుకంటే \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	ఎందుకంటే \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్

ఏదైనా సంవర్గమానం క్రింది "అనాటమీ"ని కలిగి ఉంటుంది:

సంవర్గమానం యొక్క వాదన సాధారణంగా దాని స్థాయిలో వ్రాయబడుతుంది మరియు ఆధారం లాగరిథమ్ గుర్తుకు దగ్గరగా సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లో వ్రాయబడుతుంది. మరియు ఈ ఎంట్రీ ఇలా ఉంది: "ఇరవై ఐదు నుండి బేస్ ఐదు వరకు సంవర్గమానం."

సంవర్గమానాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?

సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: వాదనను పొందడానికి ఆధారాన్ని ఏ శక్తికి పెంచాలి?

ఉదాహరణకి, సంవర్గమానాన్ని లెక్కించండి: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ఎ) \(16\) పొందడానికి \(4\) ఏ శక్తిని పెంచాలి? స్పష్టంగా రెండవది. అందుకే:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) పొందడానికి \(\sqrt(5)\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ఏ శక్తి ఏదైనా నంబర్ వన్ చేస్తుంది? జీరో, అయితే!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) పొందేందుకు \(\sqrt(7)\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ముందుగా, మొదటి శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య దానికదే సమానం.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ఇ) \(\sqrt(3)\)ని పొందేందుకు \(3\)ని ఏ శక్తికి పెంచాలి? ఇది పాక్షిక శక్తి అని మనకు తెలుసు, అంటే వర్గమూలం \(\frac(1)(2)\) యొక్క శక్తి.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ఉదాహరణ : సంవర్గమానాన్ని లెక్కించు \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

పరిష్కారం :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		సంవర్గమానం యొక్క విలువను మనం కనుగొనాలి, దానిని x గా సూచిస్తాము. ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించుకుందాం: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) మరియు \(8\)ని ఏది కలుపుతుంది? రెండు, ఎందుకంటే రెండు సంఖ్యలను రెండుల ద్వారా సూచించవచ్చు: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		ఎడమవైపున మేము డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) మరియు \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		స్థావరాలు సమానంగా ఉంటాయి, మేము సూచికల సమానత్వానికి వెళ్తాము
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \(\frac(2)(5)\)తో గుణించండి
		ఫలిత మూలం సంవర్గమానం యొక్క విలువ

సమాధానం : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

సంవర్గమానం ఎందుకు కనుగొనబడింది?

దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం: \(3^(x)=9\). సమానత్వం పని చేయడానికి \(x\)ని సరిపోల్చండి. అయితే, \(x=2\).

ఇప్పుడు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: \(3^(x)=8\).x అంటే దేనికి సమానం? అదీ విషయం.

తెలివైన వారు ఇలా అంటారు: "X రెండు కంటే కొంచెం తక్కువ." ఈ సంఖ్యను సరిగ్గా ఎలా వ్రాయాలి? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, సంవర్గమానం కనుగొనబడింది. అతనికి ధన్యవాదాలు, ఇక్కడ సమాధానం \(x=\log_(3)(8)\) అని వ్రాయవచ్చు.

నేను \(\log_(3)(8)\), ఇష్టం అని నొక్కి చెప్పాలనుకుంటున్నాను ఏదైనా సంవర్గమానం కేవలం ఒక సంఖ్య. అవును, ఇది అసాధారణంగా కనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చిన్నది. ఎందుకంటే మనం దానిని దశాంశంగా రాయాలనుకుంటే, అది ఇలా ఉంటుంది: \(1.892789260714.....\)

ఉదాహరణ : సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(4^(5x-4)=10\)

పరిష్కారం :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) మరియు \(10\) ఒకే స్థావరానికి తీసుకురాలేదు. మీరు లాగరిథమ్ లేకుండా చేయలేరని దీని అర్థం. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		X ఎడమవైపు ఉండేలా సమీకరణాన్ని తిప్పుదాం
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		మా ముందు. \(4\)ని కుడివైపుకి తరలిద్దాం. మరియు లాగరిథమ్ గురించి భయపడవద్దు, దానిని సాధారణ సంఖ్య వలె పరిగణించండి.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		సమీకరణాన్ని 5తో భాగించండి
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		ఇది మన మూలం. అవును, ఇది అసాధారణంగా కనిపిస్తోంది, కానీ వారు సమాధానాన్ని ఎంచుకోలేదు.

సమాధానం : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

దశాంశ మరియు సహజ సంవర్గమానాలు

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనంలో పేర్కొన్నట్లుగా, దాని ఆధారం ఒకటి \((a>0, a\neq1)\) తప్ప ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య కావచ్చు. మరియు సాధ్యమయ్యే అన్ని స్థావరాల మధ్య, చాలా తరచుగా సంభవించే రెండు ఉన్నాయి, వాటితో లాగరిథమ్‌ల కోసం ప్రత్యేక సంక్షిప్త సంజ్ఞామానం కనుగొనబడింది:

సహజ సంవర్గమానం: ఆయులర్ సంఖ్య \(e\) (సుమారుగా \(2.7182818...\)కి సమానం), మరియు సంవర్గమానం \(\ln(a)\)గా వ్రాయబడిన సంవర్గమానం.

అంటే, \(\ln(a)\) అంటే \(\log_(e)(a)\)

దశాంశ సంవర్గమానం: 10 బేస్ ఉన్న సంవర్గమానం \(\lg(a)\) అని వ్రాయబడుతుంది.

అంటే, \(\lg(a)\) అంటే \(\log_(10)(a)\), ఇక్కడ \(a\) అనేది కొంత సంఖ్య.

ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు

లాగరిథమ్స్ అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. వాటిలో ఒకటి "బేసిక్ లాగరిథమిక్ ఐడెంటిటీ" అని పిలువబడుతుంది మరియు ఇలా కనిపిస్తుంది:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ఈ ఆస్తి నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది. అసలు ఈ ఫార్ములా ఎలా వచ్చిందో చూద్దాం.

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క చిన్న సంజ్ఞామానాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

ఒకవేళ \(a^(b)=c\), అప్పుడు \(\log_(a)(c)=b\)

అంటే, \(b\) అనేది \(\log_(a)(c)\). అప్పుడు మనం \(\log_(a)(c)\)ని \(b\) సూత్రంలో \(a^(b)=c\) అని వ్రాయవచ్చు. ఇది \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ప్రధాన సంవర్గమాన గుర్తింపు.

మీరు లాగరిథమ్‌ల యొక్క ఇతర లక్షణాలను కనుగొనవచ్చు. వారి సహాయంతో, మీరు నేరుగా గణించడం కష్టంగా ఉండే లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణల విలువలను సరళీకృతం చేయవచ్చు మరియు లెక్కించవచ్చు.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి \(36^(\log_(6)(5))\)

పరిష్కారం :

సమాధానం : \(25\)

సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా ఎలా వ్రాయాలి?

పైన చెప్పినట్లుగా, ఏదైనా సంవర్గమానం కేవలం ఒక సంఖ్య మాత్రమే. సంభాషణ కూడా నిజం: ఏదైనా సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, \(\log_(2)(4)\) రెండుకి సమానం అని మనకు తెలుసు. అప్పుడు రెండింటికి బదులుగా మీరు \(\log_(2)(4)\) అని వ్రాయవచ్చు.

కానీ \(\log_(3)(9)\) కూడా \(2\)కి సమానం, అంటే మనం \(2=\log_(3)(9)\) అని కూడా వ్రాయవచ్చు. అదేవిధంగా \(\log_(5)(25)\), మరియు \(\log_(9)(81)\), మొదలైన వాటితో. అంటే, అది మారుతుంది

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ లాగ్_(7)(49)...\)

ఈ విధంగా, మనకు అవసరమైతే, మనం ఎక్కడైనా ఏదైనా బేస్‌తో లాగరిథమ్‌గా రెండింటిని వ్రాయవచ్చు (అది సమీకరణంలో, వ్యక్తీకరణలో లేదా అసమానతలో కావచ్చు) - మేము బేస్ స్క్వేర్డ్‌ను ఆర్గ్యుమెంట్‌గా వ్రాస్తాము.

ఇది ట్రిపుల్‌తో సమానంగా ఉంటుంది – దీనిని \(\log_(2)(8)\), లేదా \(\log_(3)(27)\), లేదా \(\log_(4)( అని వ్రాయవచ్చు 64) \)... ఇక్కడ మనం క్యూబ్‌లో ఆధారాన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌గా వ్రాస్తాము:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ లాగ్_(7)(343)...\)

మరియు నలుగురితో:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

మరియు మైనస్ ఒకటితో:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

మరియు మూడవ వంతుతో:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

\(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) ఏదైనా సంఖ్య \(a\)ని సంవర్గమానంగా సూచించవచ్చు

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

పరిష్కారం :

సమాధానం : \(1\)

(గ్రీకు నుండి λόγος - “పదం”, “సంబంధం” మరియు ἀριθμός - “సంఖ్య”) సంఖ్యలు బిఆధారంగా a(లాగ్ α బి) అటువంటి సంఖ్య అంటారు సి, మరియు బి= ఒక సి, అంటే, రికార్డుల లాగ్ α బి=సిమరియు b=aసిసమానంగా ఉంటాయి. ఒక > 0, a ≠ 1, b > 0 అయితే సంవర్గమానం అర్థవంతంగా ఉంటుంది.

వేరే పదాల్లో సంవర్గమానంసంఖ్యలు బిఆధారంగా ఎఒక ఘాతాంకం వలె రూపొందించబడింది, దీనికి ఒక సంఖ్యను తప్పనిసరిగా పెంచాలి aసంఖ్యను పొందడానికి బి(సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్యలకు మాత్రమే ఉంటుంది).

ఈ సూత్రీకరణ నుండి గణన x= లాగ్ α బి, a x =b సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సమానం.

ఉదాహరణకి:

లాగ్ 2 8 = 3 ఎందుకంటే 8 = 2 3 .

సంవర్గమానం యొక్క సూచించిన సూత్రీకరణ వెంటనే గుర్తించడం సాధ్యం చేస్తుందని నొక్కి చెప్పండి సంవర్గమాన విలువ, సంవర్గమానం గుర్తు క్రింద ఉన్న సంఖ్య బేస్ యొక్క నిర్దిష్ట శక్తిగా పనిచేసినప్పుడు. నిజానికి, సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ దానిని సమర్థించడం సాధ్యం చేస్తుంది b=a c, ఆపై సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానం బిఆధారంగా aసమానం తో. లాగరిథమ్‌ల అంశం టాపిక్‌తో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉందని కూడా స్పష్టమైంది సంఖ్య యొక్క అధికారాలు.

సంవర్గమానాన్ని లెక్కించడం అంటారు సంవర్గమానం. సంవర్గమానం అనేది సంవర్గమానాన్ని తీసుకునే గణిత ఆపరేషన్. లాగరిథమ్‌లను తీసుకున్నప్పుడు, కారకాల ఉత్పత్తులు పదాల మొత్తాలుగా రూపాంతరం చెందుతాయి.

పొటెన్షియేషన్సంవర్గమానం యొక్క విలోమ గణిత ఆపరేషన్. పొటెన్షియేషన్ సమయంలో, ఇచ్చిన బేస్ పొటెన్షియేషన్ ప్రదర్శించబడే వ్యక్తీకరణ స్థాయికి పెంచబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, నిబంధనల మొత్తాలు కారకాల ఉత్పత్తిగా రూపాంతరం చెందుతాయి.

చాలా తరచుగా, నిజమైన లాగరిథమ్‌లు బేస్‌లు 2 (బైనరీ), యూలర్ సంఖ్య ఇ ≈ 2.718 (సహజ సంవర్గమానం) మరియు 10 (దశాంశం)తో ఉపయోగించబడతాయి.

ఈ దశలో పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మంచిది లాగరిథమ్ నమూనాలులాగ్ 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

మరియు ఎంట్రీలు lg (-3), లాగ్ -3 3.2, లాగ్ -1 -4.3 అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే వాటిలో మొదటిదానిలో ప్రతికూల సంఖ్య లాగరిథమ్ చిహ్నం క్రింద ఉంచబడుతుంది, రెండవది ప్రతికూల సంఖ్య. బేస్‌లో, మరియు మూడవదానిలో సంవర్గమాన సంకేతం మరియు బేస్ వద్ద యూనిట్ కింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉంటుంది.

సంవర్గమానాన్ని నిర్ణయించడానికి షరతులు.

a > 0, a ≠ 1, b > 0. మేము పొందే షరతులను విడిగా పరిగణించడం విలువైనదే సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం.ఈ ఆంక్షలు ఎందుకు తీసుకున్నారో చూద్దాం. x = log α రూపం యొక్క సమానత్వం దీనికి మాకు సహాయం చేస్తుంది బి, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు అని పిలుస్తారు, ఇది నేరుగా పైన ఇవ్వబడిన లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది.

షరతు తీసుకుందాం a≠1. ఏదైనా శక్తికి ఒకటి ఒకదానికి సమానం కాబట్టి, సమానత్వం x=log α బిఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది b=1, కానీ లాగ్ 1 1 ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది. ఈ అస్పష్టతను తొలగించడానికి, మేము తీసుకుంటాము a≠1.

పరిస్థితి యొక్క ఆవశ్యకతను నిరూపిద్దాం a>0. వద్ద a=0సంవర్గమానం యొక్క సూత్రీకరణ ప్రకారం మాత్రమే ఉనికిలో ఉంటుంది b=0. మరియు తదనుగుణంగా అప్పుడు లాగ్ 0 0ఏదైనా సున్నా కాని వాస్తవ సంఖ్య కావచ్చు, ఎందుకంటే సున్నాకి సున్నా కాని శక్తికి సున్నా. ఈ అస్పష్టత పరిస్థితి ద్వారా తొలగించబడుతుంది a≠0. మరి ఎప్పుడూ a<0 సంవర్గమానం యొక్క హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక విలువల విశ్లేషణను మేము తిరస్కరించవలసి ఉంటుంది, ఎందుకంటే హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక ఘాతాంకం కలిగిన డిగ్రీ ప్రతికూలత లేని స్థావరాలకు మాత్రమే నిర్వచించబడుతుంది. ఈ కారణంగానే షరతు విధించారు a>0.

మరియు చివరి షరతు b>0అసమానత నుండి అనుసరిస్తుంది a>0, x=లాగ్ α నుండి బి, మరియు సానుకూల ఆధారంతో డిగ్రీ విలువ aఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

లాగరిథమ్స్ యొక్క లక్షణాలు.

లాగరిథమ్స్విలక్షణమైన లక్షణం లక్షణాలు, ఇది శ్రమతో కూడిన గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేయడానికి వారి విస్తృత వినియోగానికి దారితీసింది. "లాగరిథమ్‌ల ప్రపంచంలోకి" వెళ్లినప్పుడు, గుణకారం చాలా సులభమైన జోడింపుగా రూపాంతరం చెందుతుంది, విభజన వ్యవకలనంగా రూపాంతరం చెందుతుంది మరియు ఘాతాంకం మరియు మూలాల వెలికితీత వరుసగా ఘాతాంకం ద్వారా గుణకారం మరియు భాగహారంగా రూపాంతరం చెందుతుంది.

సంవర్గమానాల సూత్రీకరణ మరియు వాటి విలువల పట్టిక (త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల కోసం) మొదటిసారిగా 1614లో స్కాటిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జాన్ నేపియర్చే ప్రచురించబడింది. ఇతర శాస్త్రవేత్తలచే విస్తరించబడిన మరియు వివరించబడిన లాగరిథమిక్ పట్టికలు శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ గణనలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి మరియు ఎలక్ట్రానిక్ కాలిక్యులేటర్లు మరియు కంప్యూటర్ల ఉపయోగం వరకు సంబంధితంగా ఉన్నాయి.

ప్రధాన లక్షణాలు.

లోగాక్స్ + లోగే = లోగా(x y);
logax − logay = లోగా (x: y).

ఒకే మైదానాలు

లాగ్ 6 4 + లాగ్ 6 9.

ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం.

లాగరిథమ్‌లను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంక క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:

వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x >

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

కొత్త పునాదికి మార్పు

లాగరిథమ్ logax ఇవ్వబడనివ్వండి. అప్పుడు c > 0 మరియు c ≠ 1 వంటి ఏదైనా సంఖ్య cకి, సమానత్వం నిజం:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

ఇది కూడ చూడు:

సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

ఈ నియమాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు ఘాతాంకం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ మరియు లియో టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన తేదీ రెండింటినీ తెలుసుకుంటారు.

లాగరిథమ్‌లకు ఉదాహరణలు

లాగరిథమ్ వ్యక్తీకరణలు

ఉదాహరణ 1.
ఎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

లక్షణాలు 3.5 ఉపయోగించి మేము లెక్కిస్తాము

4. ఎక్కడ .

ఉదాహరణ 2. ఉంటే xని కనుగొనండి

ఉదాహరణ 3. లాగరిథమ్‌ల విలువను తెలియజేయండి

ఉంటే లాగ్ (x)ని లెక్కించండి

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

లాగరిథమ్‌లు, ఏదైనా సంఖ్యల వలె, ప్రతి విధంగా జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు రూపాంతరం చెందుతాయి. కానీ లాగరిథమ్‌లు ఖచ్చితంగా సాధారణ సంఖ్యలు కానందున, ఇక్కడ నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని పిలుస్తారు ప్రధాన లక్షణాలు.

మీరు ఖచ్చితంగా ఈ నియమాలను తెలుసుకోవాలి - అవి లేకుండా, ఒక్క తీవ్రమైన లాగరిథమిక్ సమస్య కూడా పరిష్కరించబడదు. అదనంగా, వాటిలో చాలా తక్కువ ఉన్నాయి - మీరు ఒక రోజులో ప్రతిదీ నేర్చుకోవచ్చు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం

ఒకే స్థావరాలతో రెండు లాగరిథమ్‌లను పరిగణించండి: లోగాక్స్ మరియు లోగే. అప్పుడు వాటిని జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు మరియు:

లోగాక్స్ + లోగే = లోగా(x y);
logax − logay = లోగా (x: y).

కాబట్టి, సంవర్గమానాల మొత్తం ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానానికి సమానం మరియు వ్యత్యాసం గుణకం యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం. దయచేసి గమనించండి: ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఒకే మైదానాలు. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే, ఈ నియమాలు పని చేయవు!

ఈ సూత్రాలు సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణను దాని వ్యక్తిగత భాగాలు పరిగణించబడనప్పుడు కూడా లెక్కించడంలో మీకు సహాయపడతాయి ("సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఉదాహరణలను పరిశీలించి చూడండి:

లాగరిథమ్‌లు ఒకే బేస్‌లను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log2 48 - log2 3.

స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము వ్యత్యాస సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log3 135 - log3 5.

మళ్ళీ స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
లాగ్3 135 - లాగ్3 5 = లాగ్3 (135: 5) = లాగ్3 27 = 3.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అసలు వ్యక్తీకరణలు "చెడు" లాగరిథమ్‌లతో రూపొందించబడ్డాయి, అవి విడిగా లెక్కించబడవు. కానీ రూపాంతరాల తర్వాత, పూర్తిగా సాధారణ సంఖ్యలు పొందబడతాయి. అనేక పరీక్షలు ఈ వాస్తవం ఆధారంగా ఉంటాయి. అవును, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో అన్ని గంభీరంగా (కొన్నిసార్లు వాస్తవంగా ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా) పరీక్ష లాంటి వ్యక్తీకరణలు అందించబడతాయి.

సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం

చివరి నియమం మొదటి రెండింటిని అనుసరిస్తుందని చూడటం సులభం. కానీ ఏమైనప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడం మంచిది - కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది గణనల మొత్తాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.

వాస్తవానికి, లాగరిథమ్ యొక్క ODZ గమనించినట్లయితే ఈ నియమాలన్నీ అర్ధవంతంగా ఉంటాయి: a > 0, a ≠ 1, x > 0. మరియు మరొక విషయం: అన్ని సూత్రాలను ఎడమ నుండి కుడికి మాత్రమే కాకుండా, వైస్ వెర్సా కూడా వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి. , అనగా మీరు సంవర్గమాన సంకేతానికి ముందు సంఖ్యలను లాగరిథమ్‌లోనే నమోదు చేయవచ్చు. ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log7 496.

మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాదనలోని డిగ్రీని వదిలించుకుందాం:
లాగ్7 496 = 6 లాగ్7 49 = 6 2 = 12

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

హారం ఒక సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉందని గమనించండి, దీని యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు: 16 = 24; 49 = 72. మనకు ఉన్నాయి:

చివరి ఉదాహరణకి కొంత స్పష్టత అవసరమని నేను భావిస్తున్నాను. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము.

లాగరిథమ్ సూత్రాలు. లాగరిథమ్స్ ఉదాహరణలు పరిష్కారాలు.

మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.

ఇప్పుడు ప్రధాన భాగాన్ని చూద్దాం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి: log2 7. లాగ్2 7 ≠ 0 నుండి, మేము భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు - 2/4 హారంలో ఉంటుంది. అంకగణిత నియమాల ప్రకారం, నలుగురిని న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయవచ్చు, ఇది జరిగింది. ఫలితం సమాధానం: 2.

కొత్త పునాదికి మార్పు

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాల గురించి మాట్లాడుతూ, అవి ఒకే బేస్‌లతో మాత్రమే పనిచేస్తాయని నేను ప్రత్యేకంగా నొక్కిచెప్పాను. కారణాలు భిన్నంగా ఉంటే ఏమి చేయాలి? అవి ఒకే సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన అధికారాలు కాకపోతే ఏమి చేయాలి?

కొత్త పునాదికి పరివర్తన కోసం సూత్రాలు రక్షించటానికి వస్తాయి. వాటిని సిద్ధాంతం రూపంలో రూపొందిద్దాం:

ప్రత్యేకించి, మనం c = xని సెట్ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

రెండవ ఫార్ములా నుండి సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ మార్చుకోవచ్చని ఇది అనుసరిస్తుంది, అయితే ఈ సందర్భంలో మొత్తం వ్యక్తీకరణ "తిరిగిపోయింది", అనగా. సంవర్గమానం హారంలో కనిపిస్తుంది.

ఈ సూత్రాలు సాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో చాలా అరుదుగా కనిపిస్తాయి. సంవర్గమాన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు మాత్రమే అవి ఎంత సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయో అంచనా వేయడం సాధ్యమవుతుంది.

అయితే, కొత్త పునాదికి వెళ్లడం మినహా అన్నింటిలోనూ పరిష్కరించలేని సమస్యలు ఉన్నాయి. వీటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి: log5 16 log2 25.

రెండు లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్‌లు ఖచ్చితమైన అధికారాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. సూచికలను తీసుకుందాం: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:

కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు ఉత్పత్తి మారదు కాబట్టి, మేము ప్రశాంతంగా నాలుగు మరియు రెండు గుణించి, ఆపై లాగరిథమ్‌లతో వ్యవహరించాము.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log9 100 lg 3.

మొదటి సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం మరియు వాదన ఖచ్చితమైన అధికారాలు. దీన్ని వ్రాసి, సూచికలను వదిలించుకుందాం:

ఇప్పుడు కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడం ద్వారా దశాంశ సంవర్గమానాన్ని వదిలించుకుందాం:

ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు

తరచుగా పరిష్కార ప్రక్రియలో, ఇచ్చిన స్థావరానికి సంవర్గమానంగా సంఖ్యను సూచించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, కింది సూత్రాలు మాకు సహాయపడతాయి:

మొదటి సందర్భంలో, సంఖ్య n వాదనలో ఘాతాంకం అవుతుంది. n సంఖ్య ఖచ్చితంగా ఏదైనా కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం లాగరిథమ్ విలువ.

రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దానినే అంటారు: .

నిజానికి, b సంఖ్యను అటువంటి శక్తికి పెంచినట్లయితే, ఈ శక్తికి b సంఖ్య a సంఖ్యను ఇస్తుంది? అది నిజం: ఫలితం అదే సంఖ్య a. ఈ పేరాగ్రాఫ్‌ని మళ్లీ జాగ్రత్తగా చదవండి - చాలా మంది దానిలో చిక్కుకుపోతారు.

కొత్త స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రాల వలె, ప్రాథమిక సంవర్గమాన గుర్తింపు కొన్నిసార్లు సాధ్యమయ్యే ఏకైక పరిష్కారం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

log25 64 = log5 8 - సంవర్గమానం యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి చతురస్రాన్ని తీసుకున్నట్లు గమనించండి. ఒకే ఆధారంతో శక్తులను గుణించడం కోసం నియమాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:

ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)

లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా

ముగింపులో, నేను రెండు గుర్తింపులను ఇస్తాను, అవి అరుదుగా లక్షణాలు అని పిలవబడతాయి - బదులుగా, అవి లాగరిథమ్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామాలు. వారు నిరంతరం సమస్యలలో కనిపిస్తారు మరియు ఆశ్చర్యకరంగా, "అధునాతన" విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలను సృష్టిస్తారు.

లోగా = 1. ఒక్కసారి గుర్తుంచుకోండి: ఆ బేస్ యొక్క ఏదైనా బేస్ aకి సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం.
లోగా 1 = 0. ఆధారం ఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటే a0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.

ఆస్తులు అంతే. వాటిని ఆచరణలో పెట్టడం తప్పకుండా సాధన చేయండి! పాఠం ప్రారంభంలో చీట్ షీట్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి, దాన్ని ప్రింట్ చేయండి మరియు సమస్యలను పరిష్కరించండి.

ఇది కూడ చూడు:

b యొక్క సంవర్గమానం a బేస్ చేయడానికి వ్యక్తీకరణను సూచిస్తుంది. సంవర్గమానాన్ని గణించడం అంటే సమానత్వం సంతృప్తి చెందిన పవర్ x ()ని కనుగొనడం

సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన దాదాపు అన్ని సమస్యలు మరియు ఉదాహరణలు వాటి ఆధారంగా పరిష్కరించబడతాయి కాబట్టి పై లక్షణాలను తెలుసుకోవడం అవసరం. మిగిలిన అన్యదేశ లక్షణాలను ఈ సూత్రాలతో గణిత మానిప్యులేషన్స్ ద్వారా పొందవచ్చు

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

సంవర్గమానాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సూత్రాన్ని లెక్కించేటప్పుడు (3.4) మీరు చాలా తరచుగా చూస్తారు. మిగిలినవి కొంత క్లిష్టంగా ఉంటాయి, కానీ అనేక పనులలో సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి మరియు వాటి విలువలను లెక్కించడానికి అవి ఎంతో అవసరం.

లాగరిథమ్‌ల యొక్క సాధారణ సందర్భాలు

కొన్ని సాధారణ లాగరిథమ్‌లలో ఆధారం పది, ఘాతాంక లేదా రెండు కూడా ఉంటుంది.
ఆధారం పదికి సంవర్గమానాన్ని సాధారణంగా దశాంశ సంవర్గమానం అంటారు మరియు ఇది కేవలం lg(x)తో సూచించబడుతుంది.

రికార్డింగ్‌లో ప్రాథమిక అంశాలు వ్రాయబడలేదని రికార్డింగ్ నుండి స్పష్టమైంది. ఉదాహరణకి

సహజ సంవర్గమానం అనేది సంవర్గమానం, దీని మూలాధారం ఘాతాంకం (ln(x)చే సూచించబడుతుంది).

ఘాతాంకం 2.718281828…. ఘాతాంకాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి, మీరు నియమాన్ని అధ్యయనం చేయవచ్చు: ఘాతాంకం 2.7కి సమానం మరియు లియో నికోలెవిచ్ టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన సంవత్సరానికి రెండుసార్లు. ఈ నియమాన్ని తెలుసుకోవడం, మీరు ఘాతాంకం యొక్క ఖచ్చితమైన విలువ మరియు లియో టాల్‌స్టాయ్ పుట్టిన తేదీ రెండింటినీ తెలుసుకుంటారు.

మరియు బేస్ టూకి మరొక ముఖ్యమైన సంవర్గమానం ద్వారా సూచించబడుతుంది

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నం వేరియబుల్ ద్వారా విభజించబడిన ఒకదానికి సమానం

ఇంటిగ్రల్ లేదా యాంటీడెరివేటివ్ లాగరిథమ్ సంబంధం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగరిథమ్‌లకు సంబంధించిన అనేక రకాల సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు అందించిన మెటీరియల్ సరిపోతుంది. మెటీరియల్‌ని అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడటానికి, నేను పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు మరియు విశ్వవిద్యాలయాల నుండి కొన్ని సాధారణ ఉదాహరణలను మాత్రమే ఇస్తాను.

లాగరిథమ్‌లకు ఉదాహరణలు

లాగరిథమ్ వ్యక్తీకరణలు

ఉదాహరణ 1.
ఎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

లక్షణాలు 3.5 ఉపయోగించి మేము లెక్కిస్తాము

2.
మేము కలిగి ఉన్న లాగరిథమ్‌ల వ్యత్యాసం యొక్క లక్షణం ద్వారా

3.
లక్షణాలు 3.5 ఉపయోగించి మేము కనుగొంటాము

4. ఎక్కడ .

సంక్లిష్టంగా కనిపించే వ్యక్తీకరణ అనేక నియమాలను ఉపయోగించి రూపొందించడానికి సరళీకృతం చేయబడింది

సంవర్గమాన విలువలను కనుగొనడం

ఉదాహరణ 2. ఉంటే xని కనుగొనండి

పరిష్కారం. గణన కోసం, మేము చివరి పదం 5 మరియు 13 లక్షణాలకు వర్తింపజేస్తాము

మేము దానిని రికార్డులో ఉంచాము మరియు విచారిస్తున్నాము

స్థావరాలు సమానంగా ఉన్నందున, మేము వ్యక్తీకరణలను సమం చేస్తాము

లాగరిథమ్స్. మొదటి స్థాయి.

లాగరిథమ్‌ల విలువను తెలియజేయండి

ఉంటే లాగ్ (x)ని లెక్కించండి

పరిష్కారం: సంవర్గమానాన్ని దాని నిబంధనల మొత్తం ద్వారా వ్రాయడానికి వేరియబుల్ యొక్క సంవర్గమానాన్ని తీసుకుందాం

ఇది లాగరిథమ్‌లు మరియు వాటి లక్షణాలతో మన పరిచయం యొక్క ప్రారంభం మాత్రమే. గణనలను ప్రాక్టీస్ చేయండి, మీ ఆచరణాత్మక నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచండి - సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీరు పొందే జ్ఞానం మీకు త్వరలో అవసరం. అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులను అధ్యయనం చేసిన తరువాత, మేము మీ జ్ఞానాన్ని మరొక సమానమైన ముఖ్యమైన అంశానికి విస్తరిస్తాము - లాగరిథమిక్ అసమానతలు...

లాగరిథమ్స్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం

లోగాక్స్ + లోగే = లోగా(x y);
logax − logay = లోగా (x: y).

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log6 4 + log6 9.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log2 48 - log2 3.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log3 135 - log3 5.

సంవర్గమానం నుండి ఘాతాంకాన్ని సంగ్రహించడం

ఇప్పుడు పనిని కొద్దిగా క్లిష్టతరం చేద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం లేదా వాదన శక్తి అయితే? అప్పుడు ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంక క్రింది నియమాల ప్రకారం సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు:

లాగరిథమ్‌లను ఎలా పరిష్కరించాలి

ఇది చాలా తరచుగా అవసరం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log7 496.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

చివరి ఉదాహరణకి కొంత స్పష్టత అవసరమని నేను భావిస్తున్నాను. లాగరిథమ్‌లు ఎక్కడికి పోయాయి? చివరి క్షణం వరకు మేము హారంతో మాత్రమే పని చేస్తాము. మేము అక్కడ నిలబడి ఉన్న లాగరిథమ్ యొక్క బేస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను శక్తుల రూపంలో అందించాము మరియు ఘాతాంకాలను తీసివేసాము - మాకు “మూడు-అంతస్తుల” భిన్నం వచ్చింది.

కొత్త పునాదికి మార్పు

ప్రత్యేకించి, మనం c = xని సెట్ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి: log5 16 log2 25.

ఇప్పుడు రెండవ సంవర్గమానాన్ని "రివర్స్" చేద్దాం:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: log9 100 lg 3.

ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు

రెండవ సూత్రం వాస్తవానికి పారాఫ్రేస్డ్ నిర్వచనం. దానినే అంటారు: .

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

ఎవరికైనా తెలియకపోతే, ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి నిజమైన పని :)

లాగరిథమిక్ యూనిట్ మరియు లాగరిథమిక్ సున్నా

లోగా = 1. ఒక్కసారి గుర్తుంచుకోండి: ఆ బేస్ యొక్క ఏదైనా బేస్ aకి సంవర్గమానం ఒకదానికి సమానం.
లోగా 1 = 0. ఆధారం ఏదైనా కావచ్చు, కానీ ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఒకటి ఉంటే, సంవర్గమానం సున్నాకి సమానం! ఎందుకంటే a0 = 1 అనేది నిర్వచనం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.

ఈ వీడియోతో నేను లాగరిథమిక్ సమీకరణాల గురించి సుదీర్ఘమైన పాఠాలను ప్రారంభించాను. ఇప్పుడు మీ ముందు మూడు ఉదాహరణలు ఉన్నాయి, దాని ఆధారంగా మేము సరళమైన సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటాము, వీటిని పిలుస్తారు - ప్రోటోజోవా.

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = -3

లాగ్ (x + 3) = 3 + 2 లాగ్ 5

సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణం క్రిందిదని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

లాగ్ a f (x) = b

ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ x ఆర్గ్యుమెంట్ లోపల మాత్రమే ఉండటం ముఖ్యం, అంటే f (x) ఫంక్షన్‌లో మాత్రమే. మరియు a మరియు b సంఖ్యలు కేవలం సంఖ్యలు, మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉండే ఫంక్షన్‌లు కావు.

ప్రాథమిక పరిష్కార పద్ధతులు

అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, పాఠశాలలో చాలా మంది ఉపాధ్యాయులు ఈ పద్ధతిని అందిస్తారు: ఫార్ములా ఉపయోగించి f (x) ఫంక్షన్‌ని వెంటనే వ్యక్తపరచండి f ( x ) = ఒక బి . అంటే, మీరు సరళమైన నిర్మాణాన్ని చూసినప్పుడు, మీరు అదనపు చర్యలు మరియు నిర్మాణాలు లేకుండా వెంటనే పరిష్కారానికి వెళ్లవచ్చు.

అవును, ఖచ్చితంగా, నిర్ణయం సరైనది. అయితే, ఈ ఫార్ములా సమస్య చాలా మంది విద్యార్థులు అర్థం కాలేదు, ఇది ఎక్కడ నుండి వస్తుంది మరియు మనం a అక్షరాన్ని b అక్షరానికి ఎందుకు పెంచుతాము.

ఫలితంగా, నేను తరచుగా చాలా బాధించే తప్పులను చూస్తాను, ఉదాహరణకు, ఈ అక్షరాలు మార్చుకున్నప్పుడు. ఈ ఫార్ములా తప్పనిసరిగా అర్థం చేసుకోవాలి లేదా కిక్కిరిసి ఉండాలి మరియు రెండవ పద్ధతి చాలా అసంబద్ధమైన మరియు అత్యంత కీలకమైన సందర్భాలలో తప్పులకు దారితీస్తుంది: పరీక్షలు, పరీక్షలు మొదలైనవి.

అందుకే నేను నా విద్యార్థులందరికీ ప్రామాణిక పాఠశాల సూత్రాన్ని విడిచిపెట్టి, సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి రెండవ విధానాన్ని ఉపయోగించమని సూచిస్తున్నాను, మీరు బహుశా పేరు నుండి ఊహించినట్లుగా దీనిని పిలుస్తారు. కానానికల్ రూపం.

కానానికల్ రూపం యొక్క ఆలోచన చాలా సులభం. మన సమస్యను మళ్ళీ చూద్దాం: ఎడమ వైపున మనకు లాగ్ a ఉంటుంది మరియు a అక్షరం ద్వారా మనం ఒక సంఖ్యను సూచిస్తాము మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్. పర్యవసానంగా, ఈ లేఖ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారంపై విధించిన అన్ని పరిమితులకు లోబడి ఉంటుంది. అవి:

1 ≠ a > 0

మరోవైపు, అదే సమీకరణం నుండి సంవర్గమానం సంఖ్య b కి సమానంగా ఉండాలి మరియు ఈ అక్షరంపై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడవు, ఎందుకంటే ఇది ఏదైనా విలువను తీసుకోవచ్చు - సానుకూల మరియు ప్రతికూల రెండూ. ఇది f(x) ఫంక్షన్ ఏ విలువలను తీసుకుంటుందనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మరియు ఇక్కడ మేము మా అద్భుతమైన నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము, ఏ సంఖ్య b అయినా a యొక్క బేస్ a నుండి b యొక్క శక్తికి సంవర్గమానంగా సూచించబడుతుంది:

b = లాగ్ a a b

ఈ సూత్రాన్ని ఎలా గుర్తుంచుకోవాలి? అవును, చాలా సులభం. కింది నిర్మాణాన్ని వ్రాద్దాం:

b = b 1 = b log a a

వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో మేము ప్రారంభంలో వ్రాసిన అన్ని పరిమితులు తలెత్తుతాయి. ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు గుణకం bని a యొక్క శక్తిగా పరిచయం చేద్దాం. మాకు దొరికింది:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

అంతే. కొత్త ఫంక్షన్ ఇకపై లాగరిథమ్‌ను కలిగి ఉండదు మరియు ప్రామాణిక బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది.

వాస్తవానికి, ఎవరైనా ఇప్పుడు అభ్యంతరం వ్యక్తం చేస్తారు: ఒకరకమైన కానానికల్ ఫార్ములాను ఎందుకు తీసుకురావాలి, అసలు డిజైన్ నుండి తుది సూత్రానికి వెంటనే వెళ్లడం సాధ్యమైతే రెండు అదనపు అనవసరమైన దశలను ఎందుకు చేయాలి? అవును, చాలా మంది విద్యార్థులకు ఈ ఫార్ములా ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో అర్థం చేసుకోకపోతే మరియు దాని ఫలితంగా, దానిని వర్తింపజేసేటప్పుడు క్రమం తప్పకుండా తప్పులు చేస్తుంటారు.

కానీ ఈ చర్యల క్రమం, మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది, చివరి ఫార్ములా ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో మీకు అర్థం కాకపోయినా, అసలు సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మార్గం ద్వారా, ఈ ఎంట్రీని కానానికల్ ఫార్ములా అంటారు:

log a f (x) = log a a b

కానానికల్ రూపం యొక్క సౌలభ్యం ఏమిటంటే, ఇది చాలా విస్తృతమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు మరియు ఈ రోజు మనం పరిశీలిస్తున్న సరళమైన వాటిని మాత్రమే కాకుండా.

పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

ఇప్పుడు నిజమైన ఉదాహరణలను చూద్దాం. కాబట్టి, నిర్ణయించుకుందాం:

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = -3

దీన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాస్దాం:

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = లాగ్ 0.5 0.5 -3

చాలా మంది విద్యార్థులు ఆతురుతలో ఉన్నారు మరియు అసలు సమస్య నుండి మాకు వచ్చిన శక్తికి 0.5 సంఖ్యను వెంటనే పెంచడానికి ప్రయత్నిస్తారు. నిజానికి, మీరు ఇప్పటికే ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడంలో బాగా శిక్షణ పొందినప్పుడు, మీరు వెంటనే ఈ దశను చేయవచ్చు.

అయితే, మీరు ఇప్పుడు ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినట్లయితే, అప్రియమైన తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి ఎక్కడా తొందరపడకపోవడమే మంచిది. కాబట్టి, మనకు కానానికల్ రూపం ఉంది. మాకు ఉన్నాయి:

3x - 1 = 0.5 -3

ఇది ఇకపై సంవర్గమాన సమీకరణం కాదు, x వేరియబుల్‌కు సంబంధించి సరళంగా ఉంటుంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, ముందుగా −3 యొక్క శక్తికి 0.5 సంఖ్యను చూద్దాం. 0.5 1/2 అని గమనించండి.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చండి.

మేము తిరిగి వ్రాసి పొందుతాము:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

అంతే, మాకు సమాధానం వచ్చింది. మొదటి సమస్య పరిష్కరించబడింది.

రెండవ పని

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఈ సమీకరణం ఇకపై సరళమైనది కాదు. ఎడమవైపు తేడా ఉన్నందున, మరియు ఒక బేస్‌కు ఒక్క సంవర్గమానం కూడా ఉండకపోతే.

అందువల్ల, మనం ఏదో ఒకవిధంగా ఈ వ్యత్యాసాన్ని వదిలించుకోవాలి. ఈ సందర్భంలో, ప్రతిదీ చాలా సులభం. బేస్‌లను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం: ఎడమవైపు రూట్ కింద ఉన్న సంఖ్య:

సాధారణ సిఫార్సు: అన్ని సంవర్గమాన సమీకరణాలలో, రాడికల్‌లను వదిలించుకోవడానికి ప్రయత్నించండి, అనగా, మూలాలతో ఉన్న ఎంట్రీల నుండి మరియు పవర్ ఫంక్షన్‌లకు వెళ్లండి, ఎందుకంటే ఈ శక్తుల ఘాతాంకాలను లాగరిథమ్ యొక్క సంకేతం నుండి సులభంగా బయటకు తీయవచ్చు మరియు చివరికి, అలాంటివి ఒక ఎంట్రీ గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేస్తుంది మరియు వేగవంతం చేస్తుంది. దానిని ఇలా వ్రాస్దాము:

ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క విశేషమైన ఆస్తిని మనం గుర్తుంచుకుందాం: శక్తులు వాదన నుండి, అలాగే బేస్ నుండి పొందవచ్చు. ఆధారం విషయంలో, ఈ క్రిందివి జరుగుతాయి:

లాగ్ a k b = 1/k లోగా బి

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బేస్ పవర్‌లో ఉన్న సంఖ్య ముందుకు తీసుకురాబడుతుంది మరియు అదే సమయంలో విలోమం చేయబడుతుంది, అంటే, అది పరస్పర సంఖ్య అవుతుంది. మా విషయంలో, బేస్ డిగ్రీ 1/2. కాబట్టి, మనం దానిని 2/1గా తీసుకోవచ్చు. మాకు దొరికింది:

5 2 లాగ్ 5 x - లాగ్ 5 x = 18
10 లాగ్ 5 x - లాగ్ 5 x = 18

దయచేసి గమనించండి: ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు ఈ దశలో లాగరిథమ్‌లను వదిలించుకోకూడదు. 4వ-5వ తరగతి గణితం మరియు కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: గుణకారం మొదట నిర్వహించబడుతుంది, ఆపై మాత్రమే అదనంగా మరియు తీసివేత. ఈ సందర్భంలో, మేము 10 మూలకాల నుండి ఒకే మూలకాలలో ఒకదాన్ని తీసివేస్తాము:

9 లాగ్ 5 x = 18
లాగ్ 5 x = 2

ఇప్పుడు మన సమీకరణం అలాగే ఉంది. ఇది సరళమైన నిర్మాణం, మరియు మేము దీనిని కానానికల్ రూపాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

లాగ్ 5 x = లాగ్ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

అంతే. రెండవ సమస్య పరిష్కరించబడింది.

మూడవ ఉదాహరణ

మూడవ పనికి వెళ్దాం:

లాగ్ (x + 3) = 3 + 2 లాగ్ 5

నేను ఈ క్రింది సూత్రాన్ని మీకు గుర్తు చేస్తాను:

లాగ్ బి = లాగ్ 10 బి

కొన్ని కారణాల వల్ల మీరు సంజ్ఞామానం లాగ్ బితో గందరగోళానికి గురైతే, అన్ని గణనలను నిర్వహించేటప్పుడు మీరు లాగ్ 10 బిని వ్రాయవచ్చు. మీరు ఇతరులతో అదే విధంగా దశాంశ లాగరిథమ్‌లతో పని చేయవచ్చు: అధికారాలను తీసుకోండి, lg 10 రూపంలో ఏవైనా సంఖ్యలను జోడించండి మరియు సూచించండి.

ఈ లక్షణాలను మేము ఇప్పుడు సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగిస్తాము, ఎందుకంటే ఇది మా పాఠం ప్రారంభంలోనే మేము వ్రాసిన సరళమైనది కాదు.

ముందుగా, lg 5కి ముందు ఉన్న కారకం 2 జోడించబడి, బేస్ 5 యొక్క శక్తిగా మారుతుందని గమనించండి. అదనంగా, ఉచిత పదం 3 కూడా సంవర్గమానంగా సూచించబడుతుంది - ఇది మా సంజ్ఞామానం నుండి గమనించడం చాలా సులభం.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: బేస్ 10కి ఏదైనా సంఖ్యను లాగ్‌గా సూచించవచ్చు:

3 = లాగ్ 10 10 3 = లాగ్ 10 3

పొందిన మార్పులను పరిగణనలోకి తీసుకొని అసలు సమస్యను తిరిగి వ్రాద్దాం:

లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 1000 + లాగ్ 25
లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 1000 25
లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 25,000

మన ముందు మళ్లీ కానానికల్ రూపం ఉంది మరియు పరివర్తన దశను దాటకుండానే మేము దానిని పొందాము, అనగా సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణం ఎక్కడా కనిపించలేదు.

పాఠం ప్రారంభంలోనే నేను మాట్లాడినది ఇదే. చాలా మంది పాఠశాల ఉపాధ్యాయులు అందించే ప్రామాణిక పాఠశాల ఫార్ములా కంటే విస్తృత తరగతి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి నియమానుగుణ రూపం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

సరే, అంతే, మేము దశాంశ సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నాన్ని వదిలించుకుంటాము మరియు మేము సరళమైన సరళ నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

అన్నీ! సమస్య పరిష్కారమైంది.

పరిధిపై ఒక గమనిక

ఇక్కడ నేను నిర్వచనం యొక్క పరిధికి సంబంధించి ఒక ముఖ్యమైన వ్యాఖ్య చేయాలనుకుంటున్నాను. ఖచ్చితంగా ఇప్పుడు చెప్పే విద్యార్థులు మరియు ఉపాధ్యాయులు ఉంటారు: "మేము సంవర్గమానాలతో వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించినప్పుడు, f (x) వాదన సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోవాలి!" ఈ విషయంలో, ఒక తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పరిగణించబడిన ఏవైనా సమస్యలలో ఈ అసమానత సంతృప్తి చెందాలని మేము ఎందుకు కోరుకోలేదు?

చింతించకండి. ఈ సందర్భాలలో, అదనపు మూలాలు కనిపించవు. మరియు ఇది పరిష్కారాన్ని వేగవంతం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే మరొక గొప్ప ట్రిక్. సమస్యలో వేరియబుల్ x ఒకే చోట మాత్రమే సంభవిస్తే (లేదా బదులుగా, ఒకే లాగరిథమ్ యొక్క ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్‌లో), మరియు మన విషయంలో మరెక్కడా వేరియబుల్ x కనిపించకపోతే, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను వ్రాయండి. అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది స్వయంచాలకంగా అమలు చేయబడుతుంది.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: మొదటి సమీకరణంలో మనకు 3x - 1 అని వచ్చింది, అంటే వాదన 8కి సమానంగా ఉండాలి. దీని అర్థం స్వయంచాలకంగా 3x - 1 సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

అదే విజయంతో మనం రెండవ సందర్భంలో x 5 2కి సమానంగా ఉండాలి, అంటే అది ఖచ్చితంగా సున్నా కంటే ఎక్కువ అని వ్రాయవచ్చు. మరియు మూడవ సందర్భంలో, ఇక్కడ x + 3 = 25,000, అంటే, మళ్ళీ, స్పష్టంగా సున్నా కంటే ఎక్కువ. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్కోప్ స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది, కానీ ఒక సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే x సంభవించినట్లయితే మాత్రమే.

సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు తెలుసుకోవలసినది అంతే. ఈ నియమం మాత్రమే, పరివర్తన నియమాలతో కలిసి, మీరు చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది.

కానీ నిజాయితీగా ఉండండి: చివరకు ఈ సాంకేతికతను అర్థం చేసుకోవడానికి, లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి, కేవలం ఒక వీడియో పాఠాన్ని చూడటం సరిపోదు. కాబట్టి, ఇప్పుడే, ఈ వీడియో పాఠానికి జోడించబడిన స్వతంత్ర పరిష్కారాల ఎంపికలను డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి మరియు ఈ రెండు స్వతంత్ర పనులలో కనీసం ఒకదానిని పరిష్కరించడం ప్రారంభించండి.

ఇది మీకు అక్షరాలా కొన్ని నిమిషాలు పడుతుంది. కానీ మీరు ఈ వీడియో పాఠాన్ని చూసిన దానికంటే అలాంటి శిక్షణ ప్రభావం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పాఠం మీకు సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించండి, లాగరిథమ్‌లతో పని చేయడానికి నియమాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి - మరియు మీరు ఎటువంటి సమస్యలకు భయపడరు. ఈరోజు నా దగ్గర ఉన్నది అంతే.

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం

ఇప్పుడు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ గురించి మాట్లాడుదాం మరియు ఇది లాగరిథమిక్ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది. ఫారమ్ యొక్క నిర్మాణాన్ని పరిగణించండి

లాగ్ a f (x) = b

అటువంటి వ్యక్తీకరణను సరళమైనది అని పిలుస్తారు - ఇది ఒకే ఒక ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు a మరియు b సంఖ్యలు కేవలం సంఖ్యలు, మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xపై ఆధారపడి ఉండే ఫంక్షన్ కాదు. ఇది చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మీరు కేవలం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:

b = లాగ్ a a b

ఈ ఫార్ములా సంవర్గమానం యొక్క ముఖ్య లక్షణాలలో ఒకటి, మరియు మా అసలు వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

ఇది పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాల నుండి తెలిసిన సూత్రం. చాలా మంది విద్యార్థులకు బహుశా ఒక ప్రశ్న ఉండవచ్చు: అసలు వ్యక్తీకరణలో f (x) ఫంక్షన్ లాగ్ గుర్తు క్రింద ఉన్నందున, దానిపై క్రింది పరిమితులు విధించబడ్డాయి:

f(x) > 0

ప్రతికూల సంఖ్యల సంవర్గమానం ఉనికిలో లేనందున ఈ పరిమితి వర్తిస్తుంది. కాబట్టి, బహుశా, ఈ పరిమితి ఫలితంగా, సమాధానాలపై తనిఖీని ప్రవేశపెట్టాలా? బహుశా వాటిని మూలంలోకి చొప్పించాలా?

లేదు, సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో అదనపు తనిఖీ అనవసరం. మరియు అందుకే. మా చివరి సూత్రాన్ని పరిశీలించండి:

f (x) = a b

వాస్తవం ఏమిటంటే a సంఖ్య ఏదైనా సందర్భంలో 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది - ఈ అవసరం కూడా లాగరిథమ్ ద్వారా విధించబడుతుంది. సంఖ్య a ఆధారం. ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య బిపై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడవు. కానీ ఇది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే మనం ఏ శక్తికి ధనాత్మక సంఖ్యను పెంచినా, అవుట్‌పుట్ వద్ద మనం ఇంకా సానుకూల సంఖ్యను పొందుతాము. అందువలన, అవసరం f (x) > 0 స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

లాగ్ సైన్ కింద ఉన్న ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయడం నిజంగా విలువైనది. చాలా క్లిష్టమైన నిర్మాణాలు ఉండవచ్చు మరియు పరిష్కార ప్రక్రియలో మీరు ఖచ్చితంగా వాటిపై నిఘా ఉంచాలి. చూద్దాం.

మొదటి పని:

మొదటి దశ: కుడి వైపున ఉన్న భిన్నాన్ని మార్చండి. మాకు దొరికింది:

మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణ అహేతుక సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

పొందిన మూలాలలో, రెండవ మూలం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున మొదటిది మాత్రమే మనకు సరిపోతుంది. 9వ సంఖ్య మాత్రమే సమాధానం అవుతుంది. అంతే, సమస్య పరిష్కారమైంది. సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉందని నిర్ధారించడానికి అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం 0 కంటే ఎక్కువ కాదు, కానీ సమీకరణం యొక్క పరిస్థితి ప్రకారం ఇది 2కి సమానం. కాబట్టి, అవసరం “సున్నా కంటే ఎక్కువ ” స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

ఇక్కడ అంతా అలాగే ఉంది. మేము ట్రిపుల్ స్థానంలో నిర్మాణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

మేము లాగరిథమ్ సంకేతాలను వదిలించుకుంటాము మరియు అహేతుక సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

మేము పరిమితులను పరిగణనలోకి తీసుకొని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేస్తాము మరియు పొందుతాము:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

మేము వివక్షత ద్వారా ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = −6

కానీ x = −6 మనకు సరిపోదు, ఎందుకంటే మనం ఈ సంఖ్యను మన అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

−6 + 4 = −2 < 0

మా విషయంలో, ఇది 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి లేదా తీవ్రమైన సందర్భాల్లో సమానంగా ఉండాలి. కానీ x = −1 మాకు సరిపోతుంది:

−1 + 4 = 3 > 0

మా విషయంలో ఉన్న ఏకైక సమాధానం x = -1. అదే పరిష్కారం. మన లెక్కల ప్రారంభానికి తిరిగి వెళ్దాం.

ఈ పాఠం నుండి ప్రధాన టేకవే ఏమిటంటే, మీరు సాధారణ లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో ఫంక్షన్‌పై పరిమితులను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకంటే పరిష్కార ప్రక్రియ సమయంలో అన్ని పరిమితులు స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతాయి.

అయితే, ఇది ఏ విధంగానూ మీరు తనిఖీ చేయడం గురించి మరచిపోవచ్చని అర్థం. లాగరిథమిక్ సమీకరణంపై పని చేసే ప్రక్రియలో, ఇది అహేతుకంగా మారవచ్చు, ఇది కుడి వైపున దాని స్వంత పరిమితులు మరియు అవసరాలను కలిగి ఉంటుంది, ఈ రోజు మనం రెండు వేర్వేరు ఉదాహరణలలో చూశాము.

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సంకోచించకండి మరియు వాదనలో మూలం ఉంటే ప్రత్యేకించి జాగ్రత్తగా ఉండండి.

విభిన్న స్థావరాలు కలిగిన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు

మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము మరియు మరింత సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాలను పరిష్కరించడం ఫ్యాషన్‌గా ఉన్న మరో రెండు ఆసక్తికరమైన పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము. అయితే మొదట, సరళమైన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో గుర్తుంచుకోండి:

లాగ్ a f (x) = b

ఈ ఎంట్రీలో, a మరియు b సంఖ్యలు, మరియు f (x) ఫంక్షన్‌లో x వేరియబుల్ ఉండాలి మరియు అక్కడ మాత్రమే, అంటే x అనేది ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే ఉండాలి. మేము కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి అటువంటి సంవర్గమాన సమీకరణాలను మారుస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, గమనించండి

b = లాగ్ a a b

అంతేకాకుండా, a b అనేది ఖచ్చితంగా ఒక వాదన. ఈ వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాస్దాం:

log a f (x) = log a a b

మేము సరిగ్గా సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నది ఇదే, తద్వారా ఎడమ మరియు కుడి రెండింటిపై ఆధారం చేయడానికి సంవర్గమానం ఉంది. ఈ సందర్భంలో, మేము అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, లాగ్ సంకేతాలను దాటవచ్చు మరియు గణిత కోణం నుండి మనం వాదనలను సమం చేస్తున్నామని చెప్పవచ్చు:

f (x) = a b

ఫలితంగా, మేము కొత్త వ్యక్తీకరణను పొందుతాము, అది పరిష్కరించడం చాలా సులభం అవుతుంది. ఈ రోజు మన సమస్యలకు ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

కాబట్టి, మొదటి డిజైన్:

అన్నింటిలో మొదటిది, నేను కుడి వైపున ఒక భిన్నం, దీని హారం లాగ్ అని గమనించండి. మీరు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణను చూసినప్పుడు, లాగరిథమ్‌ల యొక్క అద్భుతమైన లక్షణాన్ని గుర్తుంచుకోవడం మంచిది:

రష్యన్ భాషలోకి అనువదించబడింది, దీని అర్థం ఏదైనా సంవర్గమానం ఏదైనా బేస్ సితో రెండు లాగరిథమ్‌ల గుణకం వలె సూచించబడుతుంది. వాస్తవానికి 0< с ≠ 1.

కాబట్టి: ఈ ఫార్ములా ఒక అద్భుతమైన ప్రత్యేక సందర్భాన్ని కలిగి ఉంటుంది, వేరియబుల్ c వేరియబుల్‌కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు బి. ఈ సందర్భంలో, మేము నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

మన సమీకరణంలో కుడి వైపున ఉన్న గుర్తు నుండి మనం చూసే నిర్మాణం ఇది. ఈ నిర్మాణాన్ని లాగ్ a bతో భర్తీ చేద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అసలు టాస్క్‌తో పోల్చితే, మేము ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారాన్ని మార్చుకున్నాము. బదులుగా, మేము భిన్నాన్ని రివర్స్ చేయాల్సి వచ్చింది.

కింది నియమం ప్రకారం ఏదైనా డిగ్రీని బేస్ నుండి పొందవచ్చని మేము గుర్తు చేస్తున్నాము:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బేస్ యొక్క శక్తి అయిన గుణకం k, విలోమ భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. దానిని విలోమ భిన్నం వలె రెండర్ చేద్దాం:

పాక్షిక కారకాన్ని ముందు ఉంచలేము, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో మేము ఈ సంజ్ఞామానాన్ని కానానికల్ రూపంగా సూచించలేము (అన్ని తరువాత, కానానికల్ రూపంలో రెండవ లాగరిథమ్‌కు ముందు అదనపు కారకం లేదు). కాబట్టి, ఆర్గ్యుమెంట్‌కు 1/4 భిన్నాన్ని శక్తిగా జోడిద్దాం:

ఇప్పుడు మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సమానం చేస్తాము (మరియు మా బేస్‌లు నిజంగా ఒకే విధంగా ఉంటాయి), మరియు వ్రాస్తాము:

x + 5 = 1

x = -4

అంతే. మేము మొదటి సంవర్గమాన సమీకరణానికి సమాధానం పొందాము. దయచేసి గమనించండి: అసలు సమస్యలో, వేరియబుల్ x ఒక లాగ్‌లో మాత్రమే కనిపిస్తుంది మరియు ఇది దాని వాదనలో కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు మరియు మా సంఖ్య x = −4 నిజానికి సమాధానం.

ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:

లాగ్ 56 = లాగ్ 2 లాగ్ 2 7 - 3లాగ్ (x + 4)

ఇక్కడ, సాధారణ లాగరిథమ్‌లతో పాటు, మేము లాగ్ f (x) తో పని చేయాలి. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? సిద్ధపడని విద్యార్థికి ఇది ఒక రకమైన కఠినమైన పనిలా అనిపించవచ్చు, కానీ వాస్తవానికి ప్రతిదీ ప్రాథమిక మార్గంలో పరిష్కరించబడుతుంది.

lg 2 లాగ్ అనే పదాన్ని నిశితంగా పరిశీలించండి 2 7. దాని గురించి మనం ఏమి చెప్పగలం? log మరియు lg యొక్క ఆధారాలు మరియు వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు ఇది కొన్ని ఆలోచనలను ఇవ్వాలి. సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద నుండి అధికారాలు ఎలా తీసివేయబడతాయో మరోసారి గుర్తుచేసుకుందాం:

log a b n = nlog a b

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్‌లో b యొక్క పవర్ ఏది అనేది లాగ్ ముందు కారకంగా మారుతుంది. lg 2 log 2 7 అనే వ్యక్తీకరణకు ఈ సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం. lg 2 ద్వారా భయపడవద్దు - ఇది అత్యంత సాధారణ వ్యక్తీకరణ. మీరు దానిని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఏదైనా ఇతర లాగరిథమ్‌కు వర్తించే అన్ని నియమాలు దీనికి చెల్లుబాటు అవుతాయి. ముఖ్యంగా, ముందు ఉన్న కారకాన్ని వాదన స్థాయికి జోడించవచ్చు. దానిని వ్రాసుకుందాం:

చాలా తరచుగా, విద్యార్థులు ఈ చర్యను నేరుగా చూడలేరు, ఎందుకంటే మరొక సంకేతం క్రింద ఒక లాగ్‌ను నమోదు చేయడం మంచిది కాదు. నిజానికి ఇందులో నేరం ఏమీ లేదు. అంతేకాకుండా, మీరు ఒక ముఖ్యమైన నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటే లెక్కించడానికి సులభమైన సూత్రాన్ని మేము పొందుతాము:

ఈ సూత్రాన్ని నిర్వచనంగా మరియు దాని లక్షణాలలో ఒకటిగా పరిగణించవచ్చు. ఏదైనా సందర్భంలో, మీరు సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని మారుస్తుంటే, మీరు ఏ సంఖ్య యొక్క లాగ్ ప్రాతినిధ్యాన్ని తెలుసుకుంటారో అలాగే మీరు ఈ సూత్రాన్ని తెలుసుకోవాలి.

మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం. సమాన సంకేతం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న మొదటి పదం కేవలం lg 7కి సమానంగా ఉంటుంది అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని మేము దానిని తిరిగి వ్రాస్తాము.

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7ని ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

మేము ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణలను తీసివేస్తాము ఎందుకంటే వాటికి ఒకే ఆధారం ఉంది:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ఇప్పుడు మనకు లభించిన సమీకరణాన్ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. ఇది ఆచరణాత్మకంగా కానానికల్ రూపం, కానీ కుడి వైపున కారకం -3 ఉంది. దీన్ని సరైన lg ఆర్గ్యుమెంట్‌కి జోడిద్దాం:

లాగ్ 8 = లాగ్ (x + 4) -3

మాకు ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపం, కాబట్టి మేము lg సంకేతాలను దాటి ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సమం చేస్తాము:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

అంతే! మేము రెండవ సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము. ఈ సందర్భంలో, అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే అసలు సమస్యలో x ఒక వాదనలో మాత్రమే ఉంది.

ఈ పాఠంలోని ముఖ్యాంశాలను మళ్లీ జాబితా చేస్తాను.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అంకితమైన ఈ పేజీలోని అన్ని పాఠాలలో బోధించబడే ప్రధాన సూత్రం కానానికల్ రూపం. మరియు చాలా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలు అటువంటి సమస్యలను విభిన్నంగా పరిష్కరించడానికి మీకు బోధిస్తాయనే వాస్తవం ద్వారా భయపడవద్దు. ఈ సాధనం చాలా ప్రభావవంతంగా పనిచేస్తుంది మరియు మా పాఠం ప్రారంభంలో మేము అధ్యయనం చేసిన సరళమైన వాటి కంటే చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

అదనంగా, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది ప్రాథమిక లక్షణాలను తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అవి:

ఒక స్థావరానికి తరలించడానికి సూత్రం మరియు మేము రివర్స్ లాగ్ చేసినప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భం (ఇది మొదటి సమస్యలో మాకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది);
సంవర్గమాన సంకేతం నుండి అధికారాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం ఫార్ములా. ఇక్కడ, చాలా మంది విద్యార్థులు చిక్కుకుపోతారు మరియు తీసిన మరియు ప్రవేశపెట్టిన డిగ్రీలో లాగ్ f (x) ఉండవచ్చని చూడలేదు. అందులో తప్పేమీ లేదు. మేము మరొక సంకేతం ప్రకారం ఒక లాగ్‌ను పరిచయం చేయవచ్చు మరియు అదే సమయంలో సమస్య యొక్క పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా సులభతరం చేయవచ్చు, ఇది రెండవ సందర్భంలో మనం గమనించవచ్చు.

ముగింపులో, ఈ సందర్భాలలో ప్రతిదానిలో డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదని నేను జోడించాలనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే ప్రతిచోటా వేరియబుల్ x లాగ్ యొక్క ఒక సంకేతంలో మాత్రమే ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో దాని వాదనలో ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, స్కోప్ యొక్క అన్ని అవసరాలు స్వయంచాలకంగా నెరవేరుతాయి.

వేరియబుల్ బేస్‌తో సమస్యలు

ఈ రోజు మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిశీలిస్తాము, ఇది చాలా మంది విద్యార్థులకు ప్రామాణికం కానిది, పూర్తిగా పరిష్కరించలేనిది. మేము సంఖ్యల ఆధారంగా కాకుండా వేరియబుల్స్ మరియు ఫంక్షన్ల ఆధారంగా వ్యక్తీకరణల గురించి మాట్లాడుతున్నాము. మేము మా ప్రామాణిక సాంకేతికతను ఉపయోగించి అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరిస్తాము, అవి కానానికల్ రూపం ద్వారా.

మొదట, సాధారణ సంఖ్యల ఆధారంగా సరళమైన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి, సరళమైన నిర్మాణం అంటారు

లాగ్ a f (x) = b

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మేము ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

b = లాగ్ a a b

మేము మా అసలు వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాసి, పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

అప్పుడు మేము వాదనలను సమం చేస్తాము, అనగా మేము వ్రాస్తాము:

f (x) = a b

అందువలన, మేము లాగ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణ సమస్యను పరిష్కరిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, పరిష్కారం నుండి పొందిన మూలాలు అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలుగా ఉంటాయి. అదనంగా, ఎడమ మరియు కుడి రెండూ ఒకే బేస్‌తో ఒకే లాగరిథమ్‌లో ఉన్నప్పుడు రికార్డ్‌ను ఖచ్చితంగా కానానికల్ ఫారమ్ అంటారు. అటువంటి రికార్డుకు మేము నేటి డిజైన్లను తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. కనుక మనము వెళ్దాము.

మొదటి పని:

లాగ్ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1ని లాగ్ x - 2 (x - 2) 1తో భర్తీ చేయండి. ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మనం గమనించే డిగ్రీ నిజానికి సమాన గుర్తుకు కుడివైపున ఉన్న సంఖ్య b. కాబట్టి, మన వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాస్దాం. మాకు దొరికింది:

లాగ్ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = లాగ్ x - 2 (x - 2)

మనం ఏమి చూస్తాము? మాకు ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం, కాబట్టి మనం వాదనలను సురక్షితంగా సమం చేయవచ్చు. మాకు దొరికింది:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

కానీ పరిష్కారం అక్కడ ముగియదు, ఎందుకంటే ఈ సమీకరణం అసలు దానికి సమానం కాదు. అన్నింటికంటే, ఫలిత నిర్మాణం మొత్తం సంఖ్య లైన్‌లో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు మా అసలు లాగరిథమ్‌లు ప్రతిచోటా నిర్వచించబడవు మరియు ఎల్లప్పుడూ కాదు.

కాబట్టి, మనం డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను విడిగా వ్రాయాలి. వెంట్రుకలను విడదీయవద్దు మరియు మొదట అన్ని అవసరాలను వ్రాయండి:

ముందుగా, ప్రతి లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్ తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

రెండవది, బేస్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండటమే కాకుండా 1 నుండి భిన్నంగా ఉండాలి:

x − 2 ≠ 1

ఫలితంగా, మేము వ్యవస్థను పొందుతాము:

కానీ భయపడవద్దు: లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను ప్రాసెస్ చేస్తున్నప్పుడు, అటువంటి వ్యవస్థను గణనీయంగా సరళీకృతం చేయవచ్చు.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: ఒక వైపు, క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని మేము కోరుతున్నాము మరియు మరోవైపు, ఈ క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ ఒక నిర్దిష్ట సరళ వ్యక్తీకరణకు సమానం, ఇది సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండటం కూడా అవసరం.

ఈ సందర్భంలో, మనకు x − 2 > 0 అవసరమైతే, 2x 2 - 13x + 18 > 0 స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది కాబట్టి, మేము క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉన్న అసమానతను సురక్షితంగా దాటవచ్చు. అందువలన, మా సిస్టమ్‌లో ఉన్న వ్యక్తీకరణల సంఖ్య మూడుకి తగ్గించబడుతుంది.

వాస్తవానికి, అదే విజయంతో మనం రేఖీయ అసమానతను దాటగలము, అంటే x - 2 > 0ని దాటవచ్చు మరియు 2x 2 - 13x + 18 > 0 అవసరం. కానీ సరళమైన సరళ అసమానతను పరిష్కరించడం చాలా వేగంగా ఉంటుందని మీరు అంగీకరిస్తారు. మరియు సరళమైనది, చతుర్భుజం కంటే, ఈ మొత్తం వ్యవస్థను పరిష్కరించడం వల్ల మనకు ఒకే మూలాలు లభిస్తాయి.

సాధారణంగా, సాధ్యమైనప్పుడల్లా గణనలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. మరియు లాగరిథమిక్ సమీకరణాల విషయంలో, చాలా కష్టమైన అసమానతలను దాటండి.

మన సిస్టమ్‌ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

ఇక్కడ మూడు వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థ ఉంది, వాటిలో రెండు, వాస్తవానికి, మేము ఇప్పటికే వ్యవహరించాము. వర్గ సమీకరణాన్ని విడిగా వ్రాసి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

మా ముందు తగ్గిన చతుర్భుజ ట్రినోమియల్ ఉంది మరియు అందువల్ల, మేము వియటా సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. మాకు దొరికింది:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ఇప్పుడు మేము మా సిస్టమ్‌కి తిరిగి వస్తాము మరియు x = 2 మనకు సరిపోదని కనుగొన్నాము, ఎందుకంటే x ఖచ్చితంగా 2 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

కానీ x = 5 మనకు సరిగ్గా సరిపోతుంది: సంఖ్య 5 2 కంటే ఎక్కువ, మరియు అదే సమయంలో 5 3కి సమానం కాదు. కాబట్టి, ఈ వ్యవస్థకు ఏకైక పరిష్కారం x = 5.

అంతే, ODZ ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంతో సహా సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది. రెండవ సమీకరణానికి వెళ్దాం. మరిన్ని ఆసక్తికరమైన మరియు సమాచార గణనలు ఇక్కడ మాకు వేచి ఉన్నాయి:

మొదటి దశ: గతసారి వలె, మేము ఈ మొత్తం విషయాన్ని నియమానుగుణ రూపంలోకి తీసుకువస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 9 సంఖ్యను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

మీరు రూట్‌తో బేస్‌ను తాకవలసిన అవసరం లేదు, కానీ వాదనను మార్చడం మంచిది. హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో మూలం నుండి శక్తికి వెళ్దాం. రాసుకుందాం:

మా మొత్తం పెద్ద సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయనివ్వండి, కానీ వెంటనే వాదనలను సమం చేయండి:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

మన ముందు కొత్తగా తగ్గించబడిన క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్, వియటా సూత్రాలను ఉపయోగించుకుని వ్రాద్దాం:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

కాబట్టి, మేము మూలాలను పొందాము, కానీ అవి అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి సరిపోతాయని ఎవరూ మాకు హామీ ఇవ్వలేదు. అన్నింటికంటే, లాగ్ సంకేతాలు అదనపు పరిమితులను విధిస్తాయి (ఇక్కడ మనం సిస్టమ్‌ను వ్రాసి ఉండాలి, కానీ మొత్తం నిర్మాణం యొక్క గజిబిజి స్వభావం కారణంగా, నేను నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విడిగా లెక్కించాలని నిర్ణయించుకున్నాను).

అన్నింటిలో మొదటిది, ఆర్గ్యుమెంట్‌లు తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి, అవి:

ఇవి నిర్వచనం యొక్క పరిధిచే విధించబడిన అవసరాలు.

మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు వ్యక్తీకరణలను ఒకదానికొకటి సమానం చేసినందున, వాటిలో దేనినైనా మనం దాటగలమని వెంటనే గమనించండి. మొదటిదానిని దాటవేద్దాం ఎందుకంటే ఇది రెండవదాని కంటే మరింత ప్రమాదకరంగా కనిపిస్తోంది.

అదనంగా, రెండవ మరియు మూడవ అసమానతలకు పరిష్కారం ఒకే సెట్‌లుగా ఉంటుందని గమనించండి (కొంత సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఈ సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే; అదేవిధంగా, మూడవ డిగ్రీ యొక్క మూలంతో - ఈ అసమానతలు పూర్తిగా సారూప్యమైనవి, కాబట్టి మనం దానిని దాటవచ్చు).

కానీ మూడవ అసమానతతో ఇది పనిచేయదు. రెండు భాగాలను క్యూబ్‌గా పెంచడం ద్వారా ఎడమ వైపున ఉన్న రాడికల్ గుర్తును వదిలించుకుందాం. మాకు దొరికింది:

కాబట్టి మేము ఈ క్రింది అవసరాలను పొందుతాము:

− 2 ≠ x > −3

మా మూలాలలో ఏది: x 1 = -3 లేదా x 2 = -1 ఈ అవసరాలను తీరుస్తుంది? సహజంగానే, x = −1 మాత్రమే, ఎందుకంటే x = -3 మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరచదు (మన అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది కాబట్టి). కాబట్టి, మా సమస్యకు తిరిగి వస్తే, మనకు ఒక మూలం వస్తుంది: x = -1. అంతే, సమస్య పరిష్కరించబడింది.

మరోసారి, ఈ పని యొక్క ముఖ్య అంశాలు:

కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను వర్తింపజేయడానికి మరియు పరిష్కరించడానికి సంకోచించకండి. అటువంటి సంజ్ఞామానాన్ని రూపొందించే విద్యార్థులు, అసలు సమస్య నుండి నేరుగా లాగ్ a f (x) = b వంటి నిర్మాణానికి వెళ్లడం కంటే, గణనల యొక్క ఇంటర్మీడియట్ దశలను దాటవేసి ఎక్కడికో పరుగెత్తే వారి కంటే చాలా తక్కువ తప్పులు చేస్తారు;
సంవర్గమానంలో వేరియబుల్ బేస్ కనిపించిన వెంటనే, సమస్య సరళమైనదిగా నిలిచిపోతుంది. అందువల్ల, దానిని పరిష్కరించేటప్పుడు, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం: ఆర్గ్యుమెంట్‌లు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు స్థావరాలు 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండకూడదు, కానీ అవి 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.

తుది అవసరాలు వివిధ మార్గాల్లో తుది సమాధానాలకు వర్తించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు డెఫినిషన్ డొమైన్ కోసం అన్ని అవసరాలను కలిగి ఉన్న మొత్తం సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించవచ్చు. మరోవైపు, మీరు మొదట సమస్యను స్వయంగా పరిష్కరించవచ్చు, ఆపై నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను గుర్తుంచుకోండి, దానిని సిస్టమ్ రూపంలో విడిగా పని చేయండి మరియు పొందిన మూలాలకు వర్తించండి.

నిర్దిష్ట లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఏ పద్ధతిని ఎంచుకోవాలి అనేది మీ ఇష్టం. ఏ సందర్భంలో, సమాధానం అదే ఉంటుంది.