Ni kiasi gani cha prism ya pembetatu? Kiasi cha prism moja kwa moja

Kiasi cha prism. Kutatua tatizo

Jiometri ndio njia yenye nguvu zaidi ya kunoa uwezo wetu wa kiakili na kutuwezesha kufikiria na kufikiria kwa usahihi.

G. Galileo

Kusudi la somo:

  • fundisha utatuzi wa shida juu ya kuhesabu kiasi cha prism, muhtasari na kupanga habari ambayo wanafunzi wanayo juu ya prism na vitu vyake, kukuza uwezo wa kutatua shida za ugumu ulioongezeka;
  • kuendeleza kufikiri kimantiki, uwezo wa kufanya kazi kwa kujitegemea, ujuzi wa kudhibiti pamoja na kujidhibiti, uwezo wa kuzungumza na kusikiliza;
  • kukuza tabia ya kuajiriwa mara kwa mara katika shughuli fulani muhimu, kukuza mwitikio, bidii, na usahihi.

Aina ya somo: somo la kutumia maarifa, ujuzi na uwezo.

Vifaa: kadi za udhibiti, projekta ya media, uwasilishaji "Somo. Kiasi cha Prism", kompyuta.

Wakati wa madarasa

  • Mbavu za baadaye za prism (Mchoro 2).
  • Uso wa upande wa prism (Mchoro 2, Mchoro 5).
  • Urefu wa prism (Mchoro 3, Mchoro 4).
  • Prism moja kwa moja (Mchoro 2,3,4).
  • Prism iliyoinuliwa(Kielelezo 5).
  • Prism sahihi(Kielelezo 2, Kielelezo 3).
  • Sehemu ya diagonal prisms (Kielelezo 2).
  • Ulalo wa prism (Kielelezo 2).
  • Sehemu ya perpendicular prisms (pi3, fig4).
  • Sehemu ya uso ya pembeni ya prism.
  • Mraba uso kamili miche.
  • Kiasi cha prism.

    1. ANGALIA KAZI YA NYUMBANI (dakika 8)

      2. Badilisha daftari, angalia suluhisho kwenye slaidi na uweke alama (weka alama 10 ikiwa shida imeundwa)

      Tengeneza shida kulingana na picha na utatue. Mwanafunzi anatetea tatizo alilokusanya kwenye bodi. Kielelezo 6 na Kielelezo 7.

      Sura ya 2,§3
      Tatizo.2. Urefu wa kingo zote za prism ya kawaida ya triangular ni sawa kwa kila mmoja. Kuhesabu kiasi cha prism ikiwa eneo la uso wake ni cm 2 (Mchoro 8)


      Sura ya 2,§3
      Tatizo la 5. Msingi wa prism ya kulia ABCA 1B 1C1 ni pembetatu ya kulia ABC (pembe ABC=90°), AB=4cm. Piga hesabu ya ujazo wa prism ikiwa kipenyo cha duara kimezungushwa pembetatu ABC, ni 2.5 cm, na urefu wa prism ni 10 cm. (Kielelezo 9).


      Sura ya 2,§3
      Tatizo 29. Urefu wa upande wa msingi ni wa kawaida prism ya quadrangular sawa na 3cm. Ulalo wa prism huunda angle ya 30 ° na ndege ya uso wa upande. Kuhesabu kiasi cha prism (Kielelezo 10).


    2. Ushirikiano walimu na darasa (2-3 min.).

      3. Kusudi: muhtasari wa uhamasishaji wa kinadharia (wanafunzi wape alama kila mmoja), kusoma njia za kutatua shida kwenye mada.

    3. DAKIKA YA MWILI (Dakika 3)
    4. KUTATUA MATATIZO (dakika 10)

      5. Washa katika hatua hii Mwalimu hupanga kazi ya mbele juu ya njia za kurudia za kutatua shida za planimetric na fomula za planimetric. Darasa limegawanywa katika vikundi viwili, wengine hutatua shida, wengine hufanya kazi kwenye kompyuta. Kisha wanabadilika. Wanafunzi wanaombwa kutatua yote Nambari 8 (kwa mdomo), No. 9 (kwa mdomo). Kisha wanagawanyika katika vikundi na kuendelea kutatua matatizo No. 14, No. 30, No. 32.

      Sura ya 2, §3, ukurasa wa 66-67

      Tatizo 8. Kingo zote ni sahihi prism ya pembe tatu ni sawa kwa kila mmoja. Pata kiasi cha prism ikiwa eneo la sehemu ya msalaba wa ndege inayopita kwenye ukingo wa msingi wa chini na katikati ya upande wa msingi wa juu ni sawa na cm (Mchoro 11).


      Sura ya 2,§3, ukurasa wa 66-67
      Tatizo 9. Msingi wa prism moja kwa moja ni mraba, na yake mbavu za pembeni mara mbili pande zaidi misingi. Kuhesabu kiasi cha prism ikiwa radius ya mduara iliyoelezwa karibu na sehemu ya msalaba wa prism na ndege inayopitia upande wa msingi na katikati ya makali ya upande wa kinyume ni sawa na cm (Mchoro 12).


      Sura ya 2,§3, ukurasa wa 66-67
      Tatizo 14 Msingi wa prism moja kwa moja ni rhombus, moja ya diagonals ambayo ni sawa na upande wake. Kuhesabu mzunguko wa sehemu kwa ndege inayopita kubwa ya diagonal msingi wa chini, ikiwa kiasi cha prism ni sawa na yote nyuso za upande mraba (Mchoro 13).


      Sura ya 2,§3, ukurasa wa 66-67
      Tatizo 30 ABCA 1 B 1 C 1 ni prism ya kawaida ya triangular, kingo zote ambazo ni sawa kwa kila mmoja, uhakika ni katikati ya makali BB 1. Kuhesabu radius ya mduara iliyoandikwa katika sehemu ya prism na ndege ya AOS, ikiwa kiasi cha prism ni sawa na (Mchoro 14).


      Sura ya 2,§3, ukurasa wa 66-67
      Tatizo 32.Katika prism ya kawaida ya quadrangular, jumla ya maeneo ya besi ni sawa na eneo la uso wa upande. Kuhesabu kiasi cha prism ikiwa kipenyo cha mduara kilichoelezwa karibu na sehemu ya msalaba wa prism kwa ndege inayopitia wima mbili za msingi wa chini na vertex kinyume cha msingi wa juu ni 6 cm (Mchoro 15).


      Wakati wa kutatua matatizo, wanafunzi hulinganisha majibu yao na yale yaliyoonyeshwa na mwalimu. Hii ni sampuli ya suluhisho la shida na maoni ya kina ... Kazi ya mtu binafsi walimu wenye wanafunzi "wenye nguvu" (dak. 10).

    5. Kazi ya kujitegemea wanafunzi wanaofanya mtihani kwenye kompyuta

      6. 1. Upande wa msingi wa prism ya kawaida ya triangular ni sawa na , na urefu ni 5. Tafuta kiasi cha prism.

      1) 152) 45 3) 104) 125) 18

      2. Chagua kauli sahihi.

      1) Kiasi cha prism ya kulia ambayo msingi wake ni pembetatu ya kulia ni sawa na bidhaa ya eneo la msingi na urefu.

      2) Kiasi cha prism ya kawaida ya triangular huhesabiwa na formula V = 0.25a 2 h - ambapo a ni upande wa msingi, h ni urefu wa prism.

      3) Kiasi cha prism moja kwa moja sawa na nusu bidhaa ya eneo la msingi na urefu.

      4) Kiasi cha prism ya kawaida ya quadrangular huhesabiwa na formula V = 2 h-ambapo a ni upande wa msingi, h ni urefu wa prism.

      5) Kiasi sahihi prism ya hexagonal imehesabiwa kwa formula V = 1.5a 2 h, ambapo a ni upande wa msingi, h ni urefu wa prism.

      3. Upande wa msingi wa prism ya kawaida ya triangular ni sawa na. Kupitia upande wa msingi wa chini na vertex kinyume Ndege hutolewa kutoka msingi wa juu, ambayo hupita kwa pembe ya 45 ° hadi msingi. Tafuta kiasi cha prism.

      1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

      4. Msingi wa prism ya kulia ni rhombus, ambayo upande wake ni 13, na moja ya diagonals ni 24. Tafuta kiasi cha prism ikiwa ulalo wa uso wa upande ni 14.

Ni kiasi gani cha prism na jinsi ya kuipata

Kiasi cha prism ni bidhaa ya eneo la msingi wake na urefu wake.

Hata hivyo, tunajua kwamba chini ya prism kunaweza kuwa na pembetatu, mraba au polyhedron nyingine.

Kwa hivyo, ili kupata kiasi cha prism, unahitaji tu kuhesabu eneo la msingi wa prism, na kisha kuzidisha eneo hili kwa urefu wake.

Hiyo ni, ikiwa kuna pembetatu chini ya prism, basi kwanza unahitaji kupata eneo la pembetatu. Ikiwa msingi wa prism ni mraba au poligoni nyingine, basi kwanza unahitaji kutafuta eneo la mraba au poligoni nyingine.

Ikumbukwe kwamba urefu wa prism ni perpendicular inayotolewa kwa misingi ya prism.

Prism ni nini

Sasa hebu tukumbuke ufafanuzi wa prism.

Mche ni poligoni ambayo nyuso zake mbili (misingi) ziko ndani ndege sambamba, na kingo zote ziko nje ya nyuso hizi ni sambamba.

Ili kuiweka kwa urahisi:

Prism ni takwimu yoyote ya kijiometri ambayo ina besi mbili sawa na nyuso za gorofa.

Jina la prism inategemea sura ya msingi wake. Wakati msingi wa prism ni pembetatu, basi prism kama hiyo inaitwa triangular. Prism ya polyhedral ni takwimu ya kijiometri ambayo msingi wake ni polyhedron. Pia, prism ni aina ya silinda.

Kuna aina gani za prisms?

Ikiwa tunatazama picha hapo juu, tutaona kwamba prisms ni sawa, mara kwa mara na oblique.

Zoezi

1. Ni prism gani inayoitwa sahihi?
2. Kwa nini inaitwa hivyo?
3. Jina la mche ambao misingi yake ni poligoni za kawaida ni nini?
4. Urefu wa takwimu hii ni nini?
5. Prism ambayo kingo zake sio perpendicular inaitwaje?
6. Eleza mti kaboni prism.
7. Je, prism inaweza kuwa parallelepiped?
8. Ni kielelezo gani cha kijiometri kinachoitwa poligoni ya semiregular?

Je, prism inajumuisha vipengele gani?




Mche hujumuisha vipengele kama vile msingi wa chini na wa juu, nyuso za kando, kingo na vipeo.

Misingi yote miwili ya prism iko kwenye ndege na inafanana kwa kila mmoja.
Nyuso za upande wa piramidi ni sambamba.
Uso wa upande piramidi ni jumla ya nyuso za upande.
Vipengele vya jumla nyuso za upande sio zaidi ya kingo za upande wa takwimu fulani.
Urefu wa piramidi ni sehemu inayounganisha ndege za besi na perpendicular kwao.

Tabia za prism

Takwimu ya kijiometri, kama prism, ina idadi ya mali. Wacha tuangalie kwa undani mali hizi:

Kwanza, misingi ya prism inaitwa poligoni sawa;
Pili, nyuso za upande wa prism zinawasilishwa kwa namna ya parallelogram;
Tatu, hii takwimu ya kijiometri kingo ni sawa na sawa;
Nne, jumla ya eneo la prism ni:




Sasa hebu tuangalie theorem, ambayo hutoa fomula inayotumiwa kuhesabu eneo la uso wa upande na uthibitisho.




Je, umewahi kufikiria kuhusu hili ukweli wa kuvutia kwamba prism inaweza kuwa sio tu mwili wa kijiometri, lakini pia vitu vingine vinavyotuzunguka. Hata theluji ya kawaida, kulingana na utawala wa joto inaweza kugeuka kuwa prism ya barafu, ikichukua sura ya takwimu ya hexagonal.

Lakini fuwele za calcite zina hii jambo la kipekee, jinsi ya kuvunja vipande vipande na kuchukua sura ya parallelepiped. Na nini cha kushangaza zaidi ni kwamba bila kujali jinsi fuwele za calcite zinavyovunjwa ndani yake, matokeo yake daima ni sawa: hugeuka kwenye parallelepipeds ndogo.

Inabadilika kuwa prism imepata umaarufu sio tu katika hisabati, ikionyesha mwili wake wa kijiometri, lakini pia katika uwanja wa sanaa, kwani ndio msingi wa uchoraji iliyoundwa na wasanii wakubwa kama P. Picasso, Braque, Griss na wengine.

Kiasi cha prism moja kwa moja sawa na bidhaa eneo la msingi hadi urefu.

Uthibitisho:

Kwanza, tunathibitisha theorem kwa prism ya moja kwa moja ya triangular (Mchoro 1), na kisha kwa prism ya moja kwa moja ya kiholela (Mchoro 1).

Mchele. 1. Miche ya pembetatu iliyonyooka

Mchele. 2. Miche ya kiholela

Fikiria prism ya pembetatu iliyonyooka ABCA 1 B 1 C 1 yenye ujazo wa V na urefu h. Hebu tuchore urefu wa pembetatu ABC (sehemu ВD kwenye Mchoro 1) ambayo inagawanya pembetatu hii katika pembetatu mbili (angalau urefu mmoja wa pembetatu unakidhi hali hii). Ndege BB 1 D inagawanya prism hii katika prism mbili, ambazo misingi yake ni pembetatu za kulia ABD na BDC. Kwa hiyo, kiasi cha V 1 na V 2 cha prisms hizi ni sawa: na.

Kulingana na mali ya kiasi, V = V 1 + V 2.

Hivyo:

Wacha tuthibitishe nadharia ya prism iliyonyooka kiholela yenye urefu h na eneo la msingi S.

Prism kama hiyo inaweza kugawanywa katika prism moja kwa moja ya triangular na urefu h. Kwa mfano, takwimu (tazama Mchoro 2) inaonyesha prism ya pentagonal convex, ambayo imegawanywa katika prism tatu za moja kwa moja za triangular. Wacha tuonyeshe kiasi cha kila prism ya pembetatu kwa kutumia fomula na kuongeza viwango hivi. Kuweka mabano kizidishi cha kawaida h, tunapata katika mabano jumla ya maeneo ya misingi ya prism ya triangular, yaani, eneo la S la msingi wa prism ya awali. Kwa hivyo, kiasi cha prism asili ni sawa na bidhaa.

Jukumu la 1. Pata kiasi cha prism moja kwa moja ABCA 1 B 1 C 1 ikiwa: angle BAC = 120 °, AB = 5 cm, AC = 3 cm na eneo kubwa zaidi la nyuso za upande S gr = 35 cm 2.

Mchele. 3. Mchoro wa tatizo

Suluhisho: kwa kuwa nyuso zote za upande ni mistatili yenye urefu sawa, eneo kubwa zaidi itakuwa mahali ambapo makali marefu zaidi ya prism iko kwenye msingi: pembetatu ABC(tazama Mchoro 3).

Upande mkubwa zaidi wa pembetatu iko kinyume na pembe kubwa zaidi -. Maana,. Fikiria pembetatu ABC. Kulingana na nadharia ya cosine:

Kujua urefu wa prism, tunapata kiasi chake. Eneo la msingi litakuwa sawa na nusu ya bidhaa za pande mbili na sine ya pembe kati yao.

Jukumu la 2. Pata kiasi cha prism moja kwa moja ABCA 1 B 1 C 1 ikiwa: angle AB 1 C = 60 °, AB 1 = 3 cm, CB 1 = 2 cm na ni mstari wa moja kwa moja.

Mchele. 4. Mchoro wa tatizo

Suluhisho (tazama Mchoro 4):

Hebu tuzingatie. Kulingana na nadharia ya cosine:

Acha BB 1 =h, basi; . Wacha tuandike nadharia ya Pythagorean ya pembetatu ABC:

Kujua urefu h, tunapata pande za pembetatu ABC, ambazo tulielezea katika hatua ya 3: Tulipata urefu wa prism na pande za pembetatu kwenye msingi. Wacha tupate kiasi cha prism:

Jukumu la 3. Tafuta ujazo wa prism ya n-gonal ya kawaida na kila ukingo sawa na, ikiwa n=6.

Mchele. 5. Mchoro wa tatizo

Suluhisho: Kiasi cha prism ni sawa na bidhaa ya eneo la msingi na urefu. Urefu kwa hali ni sawa na a, ambayo inamaanisha hatuhitaji kuteka mchoro wa anga. Hebu tuchore msingi wa prism (tazama Mchoro 5).

Eneo la hexagon ni sawa na maeneo sita ya pembetatu AOB. Pembetatu AOB ni ya usawa,

Wacha tupate kiasi cha prism:

Jukumu la 4. Msingi wa prism moja kwa moja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ni parallelogram. Kupitia upande wa msingi DC=a, na upande wa kinyume wa msingi mwingine, sehemu inachorwa ambayo hufanya pembe β na ndege ya msingi. Sehemu ya sehemu ya msalaba ni Q. Tafuta ujazo wa prism hii.

Mchele. 6. Mchoro wa tatizo

Hebu tujenge sehemu na angle β (tazama Mchoro 6). Ili kufanya hivyo, chora urefu wa BL kwenye parallelogram. Kisha sehemu B 1 L itakuwa perpendicular kwa CD kwa theorem ya perpendiculars tatu. Kwa hivyo, pembe β sawa na pembe. . Hebu fikiria - mstatili, kwa kuwa sehemu ya BB 1 ni perpendicular kwa ndege ya msingi.

Wacha tupate kiasi cha prism kwa kutumia formula:

Jibu:

Jukumu la 5. Katika prism ya kawaida ya triangular ABCA 1 B 1 C 1, kupitia upande wa msingi wa chini na vertex kinyume cha msingi wa juu, sehemu inatolewa ambayo hufanya angle ya 60 ° na ndege ya msingi. Tafuta ujazo wa prism ikiwa upande wa msingi AB=a.

Mchele. 7. Mchoro wa tatizo

Hebu tuchore sehemu na pembe kati ya sehemu na msingi (tazama Mchoro 7). Ili kufanya hivyo, chora urefu wa AK perpendicular kwa BC. Kisha, kwa nadharia ya perpendiculars tatu, sehemu A 1 K pia ni perpendicular kwa BC. Hivyo,. Hebu fikiria - equilateral, ambayo ina maana. Ili kupata kiasi tunahitaji urefu wa prism. Kwa hiyo, hebu tuzingatie.

.

Sasa hebu tupate kiasi cha prism:

Bibliografia

  1. Jiometri: kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. Kwa taasisi za elimu: msingi na viwango vya wasifu/L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev na wengine - M.: "Prosveshchenie", 2008.
  2. Matatizo ya jiometri. Mwongozo kwa wanafunzi wa darasa la 7-11. taasisi za elimu /B. G. Ziv, V. M. Mailer - M.: "Mwangaza", 2003-2008.
  3. Jiometri. Kazi na mazoezi ya michoro iliyokamilika. 10-11 darasa /E. M. Rabinovich - Kharkov: "Gymnasium", 2003. - M.: "Ilexa", 2003.
  4. Jiometri. 10 madaraja Kujitegemea na karatasi za mtihani. /A. I. Ershova, V. V. Goloborodko - M.: "Ilexa", 2008.
  5. Hisabati. Mtihani wa Jimbo la Umoja - 2011. Kazi za mafunzo ya mada./V. V. Kochagin, M. N. Kochagina - M.: "Eksmo", 2011.
  6. Hisabati. Mtihani wa Jimbo la Umoja - 2009 /F. F. Lysenko - Rostov-on-Don: "Legion", 2008.
  1. Shkolo.ru ().
  2. Mathem.h1.ru ().
  3. Webmath.exponenta.ru ().

Kazi ya nyumbani

  1. P. 65. Nambari 663, 664. Kitabu cha maandishi kwa darasa la 10-11, L.S. Atanasyan et al., toleo la 18. - M.: Elimu, 2009.