Nadharia. Sehemu mbili za pembe ya ndani ya pembetatu hugawanya upande wa pili katika sehemu sawia na pande zilizo karibu.

Ushahidi. Fikiria pembetatu ABC (Kielelezo 259) na kipenyo cha pembe yake B. Chora kupitia vertex C mstari wa moja kwa moja CM, sambamba na BC bisector, mpaka inapita kwenye hatua M na kuendelea kwa upande AB. Kwa kuwa BK ndiye sehemu mbili ya pembe ABC, basi . Zaidi ya hayo, kama pembe zinazolingana za mistari inayofanana, na kama pembe za mistari inayofanana. Kwa hivyo na kwa hivyo - isosceles, kutoka wapi. Kwa nadharia kuhusu mistari sambamba inayokatiza pande za pembe, tunayo na kwa mtazamo tunapata , ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Sehemu-mbili ya pembe ya nje B ya pembetatu ABC (Kielelezo 260) ina sifa sawa: sehemu AL na CL kutoka vipeo A na C hadi hatua L ya makutano ya sehemu-mbili na kuendelea kwa upande AC ni sawia na pande za pembetatu:

Mali hii imethibitishwa kwa njia sawa na ya awali: katika Mtini. 260 mstari wa ziada wa moja kwa moja SM umechorwa sambamba na sehemu mbili za BL. Msomaji mwenyewe atakuwa na hakika ya usawa wa pembe za VMS na VSM, na kwa hiyo pande za VM na BC za pembetatu ya VMS, baada ya hapo uwiano unaohitajika utapatikana mara moja.

Tunaweza kusema kwamba bisector ya pembe ya nje inagawanya upande wa kinyume katika sehemu sawia na pande zilizo karibu; unahitaji tu kukubali kuruhusu "mgawanyiko wa nje" wa sehemu hiyo.

Pointi L, iliyo nje ya sehemu ya AC (kwenye mwendelezo wake), inaigawanya nje katika uhusiano ikiwa Kwa hivyo, sehemu mbili za pembe ya pembetatu (ya ndani na nje) hugawanya upande wa pili (wa ndani na wa nje) katika sehemu sawia na pande za karibu.

Tatizo 1. Pande za trapezoid ni sawa na 12 na 15, besi ni sawa na 24 na 16. Pata pande za pembetatu zilizoundwa. msingi mkubwa trapezium na pande zake zilizopanuliwa.

Suluhisho. Katika nukuu ya Mtini. 261 tunayo uwiano wa sehemu ambayo hutumika kama mwendelezo wa upande wa upande, ambao tunapata kwa urahisi. Vivyo hivyo, tunaamua upande wa pili wa pembetatu. Upande wa tatu unalingana na msingi mkubwa: .

Tatizo 2. Misingi ya trapezoid ni 6 na 15. Je, ni urefu gani wa sehemu inayofanana na besi na kugawanya pande kwa uwiano wa 1:2, ukihesabu kutoka kwa wima ya msingi mdogo?

Suluhisho. Hebu tugeuke kwenye Mtini. 262, inayoonyesha trapezoid. Kupitia vertex C ya msingi mdogo tunachora mstari sambamba na upande wa AB, kukata parallelogram kutoka kwa trapezoid. Kwa kuwa, basi kutoka hapa tunapata. Kwa hiyo, sehemu nzima isiyojulikana ya KL ni sawa na Kumbuka kwamba ili kutatua tatizo hili hatuhitaji kujua pande za kando za trapezoid.

Tatizo la 3. Kipenyo kiwili cha pembe ya ndani B ya pembetatu ABC hukata upande AC katika sehemu kwa umbali gani kutoka kwa vipeo A na C je kipigo kiwili cha pembe ya nje B kitakatiza kiendelezi cha AC?

Suluhisho. Kila moja ya vijisekta vya pembe B hugawanya AC kwa uwiano sawa, lakini moja ndani na nyingine nje. Wacha tuonyeshe kwa L hatua ya makutano ya muendelezo wa AC na sehemu mbili ya pembe ya nje B. Tangu AK Hebu tuonyeshe umbali usiojulikana AL kufikia wakati huo na tutakuwa na uwiano Suluhisho ambalo linatupa umbali unaohitajika.

Kamilisha mchoro mwenyewe.

Mazoezi

1. Trapezoid yenye besi 8 na 18 imegawanywa na mistari iliyonyooka; sambamba na misingi, katika mistari sita ya upana sawa. Pata urefu wa sehemu za moja kwa moja zinazogawanya trapezoid katika vipande.

2. Mzunguko wa pembetatu ni 32. Mzunguko wa pembe A hugawanya upande wa BC katika sehemu sawa na 5 na 3. Pata urefu wa pande za pembetatu.

3. Msingi pembetatu ya isosceles sawa na a, upande b. Pata urefu wa sehemu inayounganisha sehemu za makutano ya sehemu mbili za pembe za msingi na pande.

Maagizo

Kama pembetatu iliyotolewa isosceles au kawaida, yaani, ana
pande mbili au tatu, kisha bisector yake, kulingana na mali pembetatu, pia atakuwa wa kati. Na, kwa hiyo, moja kinyume itagawanywa katika nusu na bisector.

Pima upande wa pili na mtawala pembetatu, ambapo bisector itaelekea. Gawanya upande huu kwa nusu na uweke alama katikati ya upande.

Chora mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu iliyojengwa na kipeo kinyume. Hii itakuwa bisector pembetatu.

Vyanzo:

• Medians, bisectors na urefu wa pembetatu

Kugawanya pembe kwa nusu na kuhesabu urefu wa mstari uliochorwa kutoka juu hadi upande mwingine ni jambo ambalo wakataji, wapimaji, wasakinishaji na watu wa taaluma zingine wanahitaji kuweza kufanya.

Utahitaji

• Vyombo vya Penseli Mtawala Protractor Sine na Cosine Jedwali Fomula za hisabati na dhana: Ufafanuzi wa nadharia ya sehemu mbili Nadharia za sines na cosines Bisector theorem

Maagizo

Jenga pembetatu ya ukubwa unaohitajika, kulingana na kile ulichopewa? dfe pande na pembe kati yao, pande tatu au pembe mbili na upande ulio kati yao.

Weka alama kwenye vipeo vya pembe na pande kwa herufi za jadi za Kilatini A, B na C. Vipeo vya pembe vimewekwa alama na , na pande tofauti na herufi ndogo. Weka alama kwenye pembe Barua za Kigiriki?,? Na?

Kwa kutumia nadharia za sines na cosines, hesabu pembe na pande pembetatu.

Kumbuka bisectors. Bisector - kugawanya pembe kwa nusu. Angle bisector pembetatu hugawanya kinyume katika sehemu mbili, ambazo ni sawa na uwiano wa pande mbili zilizo karibu pembetatu.

Chora sehemu mbili za pembe. Weka alama kwenye sehemu zinazotokana na majina ya pembe zilizoandikwa herufi ndogo, yenye usajili l. Upande c umegawanywa katika sehemu a na b zenye fahirisi l.

Kuhesabu urefu wa sehemu zinazotokana kwa kutumia sheria ya sines.

Video kwenye mada

Kumbuka

Urefu wa sehemu, ambayo ni wakati huo huo upande wa pembetatu unaoundwa na moja ya pande za pembetatu ya awali, bisector na sehemu yenyewe, huhesabiwa kwa kutumia sheria ya sines. Ili kuhesabu urefu wa sehemu nyingine ya upande huo huo, tumia uwiano wa sehemu zinazosababisha na pande za karibu za pembetatu ya awali.

Ushauri wa manufaa

Ili kuepuka kuchanganyikiwa, chora sehemu mbili pembe tofauti rangi tofauti.

Bisector pembe inayoitwa mwale unaoanzia kwenye kipeo pembe na kuigawanya katika sehemu mbili sawa. Wale. kutumia sehemu mbili, unahitaji kupata katikati pembe. Njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kwa dira. Katika kesi hii, hauitaji kufanya mahesabu yoyote, na matokeo hayatategemea ikiwa wingi ni. pembe nambari kamili.

Utahitaji

• dira, penseli, rula.

Maagizo

Kuacha upana wa dira ikifungua sawa, weka sindano mwishoni mwa sehemu kwenye moja ya pande na chora sehemu ya duara ili iko ndani. pembe. Fanya vivyo hivyo na ya pili. Utaishia na sehemu mbili za miduara ambayo itaingiliana ndani pembe- takriban katikati. Sehemu za miduara zinaweza kuingiliana kwa pointi moja au mbili.

Video kwenye mada

Ushauri wa manufaa

Ili kujenga bisector ya pembe, unaweza kutumia protractor, lakini njia hii inahitaji usahihi zaidi. Zaidi ya hayo, ikiwa thamani ya pembe sio nambari kamili, uwezekano wa makosa katika kuunda sehemu mbili huongezeka.

Wakati wa kujenga au kuendeleza miradi ya kubuni nyumba, mara nyingi ni muhimu kujenga kona, sawa na kile ambacho tayari kinapatikana. Violezo kuja kuwaokoa maarifa ya shule jiometri.

Maagizo

Pembe huundwa na mistari miwili iliyonyooka inayotoka kwa nukta moja. Hatua hii itaitwa vertex ya angle, na mistari itakuwa pande za pembe.

Tumia tatu kuashiria pembe: moja juu, mbili kando. Imeitwa kona, kuanzia na herufi inayosimama upande mmoja, kisha herufi inayosimama juu inaitwa, na kisha herufi kwa upande mwingine. Tumia zingine kuashiria pembe ukipenda vinginevyo. Wakati mwingine barua moja tu inaitwa, ambayo iko juu. Na unaweza kuashiria pembe na barua za Kigiriki, kwa mfano, α, β, γ.

Kuna hali wakati inahitajika kona, hivyo kuwa ni nyembamba kuliko kona iliyotolewa. Ikiwa haiwezekani kutumia protractor wakati wa kujenga, unaweza kupata tu na mtawala na dira. Tuseme, kwenye mstari wa moja kwa moja uliowekwa na barua MN, unahitaji kujenga kona kwa uhakika K, ili iwe sawa na angle B. Hiyo ni, kutoka kwa uhakika K ni muhimu kuteka mstari wa moja kwa moja na mstari wa MN. kona, ambayo itakuwa sawa na pembe B.

Anza kwa kuweka alama kwa kila upande. pembe iliyopewa, kwa mfano, pointi A na C, kisha uunganishe pointi C na A kwa mstari wa moja kwa moja. Pata tre kona ni ABC.

Sasa jenga tre sawa kwenye mstari wa moja kwa moja MN kona ili vertex B yake iko kwenye mstari kwenye hatua ya K. Tumia kanuni ya kujenga pembetatu kona nnik katika tatu. Ondoa sehemu ya KL kutoka kwa alama K. Lazima iwe sawa na sehemu BC. Pata pointi ya L.

Kutoka kwa uhakika K, chora mduara na radius sawa na sehemu ya BA. Kutoka L, chora duara yenye radius CA. Unganisha hatua inayosababisha (P) ya makutano ya miduara miwili na K. Pata tatu kona KPL, ambayo itakuwa sawa na tatu kona Kitabu cha ABC. Hivi ndivyo unavyopata kona K. Itakuwa sawa na pembe B. Ili kuifanya iwe rahisi zaidi na kwa haraka zaidi, tenga kutoka kwa kipeo B makundi sawa, kwa kutumia ufunguzi wa dira moja, bila kusonga miguu, elezea mduara na radius sawa kutoka kwa uhakika K.

Video kwenye mada

Kidokezo cha 5: Jinsi ya kuunda pembetatu kwa kutumia pande mbili na wastani

Pembetatu ni rahisi zaidi takwimu ya kijiometri, ikiwa na vipeo vitatu vilivyounganishwa katika jozi na sehemu zinazounda pande za poligoni hii. Sehemu inayounganisha vertex katikati ya upande wa kinyume inaitwa wastani. Kujua urefu wa pande mbili na wastani unaounganisha kwenye moja ya wima, unaweza kuunda pembetatu bila kuwa na habari kuhusu urefu wa upande wa tatu au ukubwa wa pembe.

Maagizo

Chora sehemu kutoka kwa hatua A ambayo urefu wake ni moja ya pande zinazojulikana za pembetatu (a). Weka alama ya mwisho wa sehemu hii na barua B. Baada ya hayo, moja ya pande (AB) ya pembetatu inayotaka inaweza kuchukuliwa kuwa imejengwa.

Kwa kutumia dira, chora mduara wenye kipenyo sawa na urefu wa wastani mara mbili (2∗m) na katikati kwa uhakika A.

Kutumia dira, chora mduara wa pili na radius sawa na urefu chama kinachojulikana(b), na katikati kwa uhakika B. Weka dira kando kwa muda, lakini uache kipimo juu yake - utahitaji tena baadaye kidogo.

Tengeneza sehemu ya kuunganisha ya mstari A hadi sehemu ya makutano ya hizo mbili ulizochora. Nusu ya sehemu hii itakuwa moja unayojenga - pima nusu hii na uweke uhakika M. Kwa wakati huu una upande mmoja wa pembetatu inayotakiwa (AB) na wastani wake (AM).

Kwa kutumia dira, chora mduara wenye kipenyo sawa na urefu wa upande wa pili unaojulikana (b) na uelekezwe kwenye ncha A.

Chora sehemu ambayo inapaswa kuanza kwa uhakika B, kupita kwa uhakika M na kuishia kwenye hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mduara uliochora katika hatua ya awali. Teua hatua ya makutano na barua C. Sasa upande wa BC, usiojulikana kulingana na hali ya tatizo, umejengwa katika moja ya taka.

Uwezo wa kugawanya pembe yoyote na bisector inahitajika sio tu kupata "A" katika hisabati. Ujuzi huu utakuwa muhimu sana kwa wajenzi, wabunifu, wapimaji na watengenezaji wa nguo. Katika maisha, unahitaji kuwa na uwezo wa kugawanya vitu vingi kwa nusu.

Kila mtu shuleni alijifunza utani kuhusu panya anayezunguka pembe na kugawanya kona kwa nusu. Jina la panya huyu mahiri na mwenye akili alikuwa Bisector. Haijulikani jinsi panya iligawanya kona, na wanahisabati kitabu cha shule"Jiometri" njia zifuatazo zinaweza kupendekezwa.

Kutumia protractor

Njia rahisi zaidi ya kufanya bisector ni kutumia kifaa kwa. Unahitaji kuunganisha protractor kwa upande mmoja wa pembe, ukitengenezea hatua ya kumbukumbu na ncha yake O. Kisha kupima angle kwa digrii au radians na ugawanye kwa mbili. Kwa kutumia protractor hiyo hiyo, weka kando digrii zilizopatikana kutoka kwa moja ya pande na chora mstari wa moja kwa moja, ambao utakuwa bisector, hadi mahali pa kuanzia pembe O.

Kwa kutumia dira

Unahitaji kuchukua dira na kuihamisha kwa ukubwa wowote wa kiholela (ndani ya mipaka ya kuchora). Baada ya kuweka ncha kwenye sehemu ya kuanzia ya pembe O, chora arc inayokatiza miale, ukiashiria alama mbili juu yao. Wameteuliwa A1 na A2. Kisha, kuweka dira kwa njia mbadala katika pointi hizi, unapaswa kuteka miduara miwili ya kipenyo sawa cha kiholela (kwa kiwango cha kuchora). Sehemu zao za makutano zimeteuliwa C na B. Kisha, unahitaji kuteka mstari wa moja kwa moja kupitia pointi O, C na B, ambayo itakuwa bisector inayohitajika.

Kwa kutumia rula

Ili kuteka kipenyo cha pembe kwa kutumia mtawala, unahitaji kupanga sehemu kutoka kwa uhakika O kwenye mionzi (pande) urefu sawa na uwateue kama pointi A na B. Kisha unapaswa kuwaunganisha kwa mstari wa moja kwa moja na, kwa kutumia mtawala, ugawanye sehemu inayosababisha kwa nusu, ukitengenezea hatua C. Bisector itapatikana ikiwa unatoa mstari wa moja kwa moja kupitia pointi C na O.

Hakuna zana

Ikiwa sivyo vyombo vya kupimia, unaweza kutumia werevu wako. Inatosha kuteka tu pembe kwenye karatasi ya kufuatilia au karatasi nyembamba ya kawaida na kukunja kwa uangalifu kipande cha karatasi ili mionzi ya pembe ifanane. Mstari wa kukunja kwenye mchoro utakuwa sehemu inayohitajika.

Pembe moja kwa moja

Pembe kubwa kuliko digrii 180 inaweza kugawanywa na sehemu mbili kwa kutumia njia sawa. Itakuwa muhimu tu kugawanya sio, lakini pembe ya papo hapo karibu nayo, iliyobaki kutoka kwa mduara. Kuendelea kwa sehemu mbili iliyopatikana itakuwa mstari wa moja kwa moja unaohitajika, ukigawanya pembe iliyofunuliwa kwa nusu.

Pembe katika pembetatu

Ikumbukwe kwamba katika pembetatu ya equilateral bisector pia ni wastani na urefu. Kwa hiyo, bisector ndani yake inaweza kupatikana kwa kupunguza tu perpendicular kwa upande kinyume na angle (urefu) au kugawanya upande huu kwa nusu na kuunganisha katikati na. pembe kinyume(wastani).

Video kwenye mada

Utawala wa Mnemonic"Bisector ni panya inayozunguka pembe na kuzigawanya kwa nusu" inaelezea kiini cha dhana, lakini haitoi mapendekezo ya kujenga bisector. Ili kuchora, pamoja na sheria, utahitaji dira na mtawala.

Maagizo

Wacha tuseme unahitaji kujenga sehemu mbili pembe A. Chukua dira, weka ncha yake kwenye hatua A (pembe) na uchora mduara wa yoyote. Ambapo inakatiza pande za kona, weka alama B na C.

Pima radius ya duara ya kwanza. Chora nyingine kwa kipenyo sawa, ukiweka dira kwenye ncha B.

Chora mduara unaofuata (sawa kwa saizi na zile zilizotangulia) na katikati yake kwa uhakika C.

Miduara yote mitatu lazima ikatike kwa hatua moja - wacha tuiite F. Kwa kutumia rula, chora miale inayopita kupitia pointi A na F. Hii itakuwa sehemu-mbili inayohitajika ya pembe A.

Kuna sheria kadhaa ambazo zitakusaidia kupata. Kwa mfano, ni kinyume chake katika, sawa na uwiano pande mbili zilizo karibu. Katika isosceles

Leo itakuwa sana somo rahisi. Tutazingatia kitu kimoja tu - angle bisector - na kuthibitisha mali yake muhimu zaidi, ambayo itakuwa muhimu sana kwetu katika siku zijazo.

Usipumzike tu: wakati mwingine wanafunzi ambao wanataka kupata alama ya juu kwenye OGE sawa au Mtihani wa Jimbo la Umoja, katika somo la kwanza hawawezi hata kuunda ufafanuzi wa bisector kwa usahihi.

Na badala ya kufanya kweli kazi za kuvutia, tunapoteza muda kwa mambo rahisi kama haya. Kwa hivyo soma, tazama, na uikubali. :)

Kwanza kidogo swali la ajabu: Pembe ni nini? Hiyo ni kweli: pembe ni miale miwili tu inayotoka kwenye sehemu moja. Kwa mfano:

Mifano ya pembe: papo hapo, butu na kulia

Kama unavyoona kutoka kwenye picha, pembe zinaweza kuwa za papo hapo, butu, moja kwa moja - haijalishi sasa. Mara nyingi, kwa urahisi, hatua ya ziada ni alama kwenye kila ray na wanasema kwamba mbele yetu ni angle $AOB$ (iliyoandikwa kama $\angle AOB$).

Captain Obviousness inaonekana kudokeza kuwa pamoja na miale $OA$ na $OB$, inawezekana kila wakati kuchora rundo la miale zaidi kutoka kwa uhakika $O$. Lakini kati yao kutakuwa na moja maalum - anaitwa bisector.

Ufafanuzi. Sehemu mbili za pembe ni miale inayotoka kwenye kipeo cha pembe hiyo na kugawanya pembe hiyo.

Kwa pembe zilizo hapo juu, viboreshaji vitaonekana kama hii:

Mifano ya sehemu mbili za pembe za papo hapo, butu na kulia

Kwa kuwa katika michoro halisi sio dhahiri kila wakati kuwa ray fulani (kwa upande wetu ni $ OM$ ray) hugawanya pembe ya asili kuwa mbili sawa, katika jiometri ni kawaida kuashiria pembe sawa na idadi sawa ya arcs. katika mchoro wetu hii ni arc 1 kwa pembe ya papo hapo, mbili kwa obtuse, tatu kwa moja kwa moja).

Sawa, tumepanga ufafanuzi. Sasa unahitaji kuelewa ni mali gani ambayo bisector ina.

Sifa kuu ya kipenyo cha pembe

Kwa kweli, bisector ina mali nyingi. Na hakika tutaziangalia katika somo linalofuata. Lakini kuna hila moja ambayo unahitaji kuelewa hivi sasa:

Nadharia. Sehemu ya sehemu mbili ya pembe ni eneo la pointi zinazolingana kutoka kwenye pande za pembe fulani.

Ilitafsiriwa kutoka kwa hisabati hadi Kirusi, hii inamaanisha ukweli mbili mara moja:

1. Hatua yoyote iliyo kwenye bisector ya pembe fulani iko katika umbali sawa kutoka kwa pande za pembe hii.
2. Na kinyume chake: ikiwa hatua iko kwa umbali sawa kutoka kwa pande za pembe fulani, basi imehakikishiwa kulala kwenye bisector ya pembe hii.

Kabla ya kuthibitisha kauli hizi, hebu tufafanue jambo moja: ni nini, hasa, kinachoitwa umbali kutoka kwa uhakika hadi upande wa pembe? Hapa uamuzi mzuri wa zamani wa umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari utatusaidia:

Ufafanuzi. Umbali kutoka kwa hatua hadi mstari ni urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua fulani hadi mstari huu.

Kwa mfano, zingatia mstari $l$ na nukta $A$ ambayo haipo kwenye mstari huu. Hebu tuchore perpendicular kwa $AH$, ambapo $H\in l$. Kisha urefu wa perpendicular hii itakuwa umbali kutoka kwa uhakika $ A $ hadi mstari wa moja kwa moja $ l $.

Uwakilishi wa picha umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari

Kwa kuwa pembe ni miale miwili tu, na kila ray ni kipande cha mstari wa moja kwa moja, ni rahisi kuamua umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye pande za pembe. Hizi ni perpendiculars mbili tu:

Tambua umbali kutoka kwa uhakika hadi pande za pembe

Ni hayo tu! Sasa tunajua umbali ni nini na bisector ni nini. Kwa hiyo, tunaweza kuthibitisha mali kuu.

Kama tulivyoahidi, tutagawanya uthibitisho katika sehemu mbili:

1. Umbali kutoka kwa hatua kwenye bisector hadi pande za pembe ni sawa

Fikiria pembe ya kiholela yenye kipeo $O$ na kipenyo cha pili $OM$:

Wacha tuthibitishe kuwa hatua hii $M$ iko umbali sawa kutoka kwa pande za pembe.

Ushahidi. Wacha tuchore perpendiculars kutoka kwa uhakika $M $ hadi pande za pembe. Hebu tuziite $M((H)_(1))$ na $M((H)_(2))$:

Chora perpendiculars kwa pande za pembe

Tulipata pembetatu mbili za kulia: $\vartriangle OM((H)_(1))$ na $\vatriangle OM((H)_(2))$. Wana hypotenuse ya kawaida $OM$ na pembe sawa:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ kwa sharti (kwa vile $OM$ ni sehemu mbili);
2. $\pembe M((H)_(1))O=\pembe M((H)_(2))O=90()^\circ $ kwa ujenzi;
3. $\pembe OM((H)_(1))=\pembe OM((H)_(2))=90()^\circ -\pembe MO((H)_(1))$, tangu jumla pembe kali ya pembetatu ya kulia daima ni digrii 90.

Kwa hiyo, pembetatu ni sawa kwa upande na pembe mbili za karibu (angalia ishara za usawa wa pembetatu). Kwa hiyo, hasa, $M((H)_(2)))=M((H)_(1))$, i.e. umbali kutoka kwa uhakika $O$ hadi pande za pembe ni sawa. Q.E.D.:)

2. Ikiwa umbali ni sawa, basi hatua iko kwenye bisector

Sasa hali ya kurudi nyuma. Acha pembe $O$ itolewe na alama $M$ sawa kutoka pande za pembe hii:

Hebu tuthibitishe kwamba ray $ OM$ ni bisector, i.e. $\pembe MO((H)_(1))=\pembe MO((H)_(2))$.

Ushahidi. Kwanza, wacha tuchore miale hii $OM$, vinginevyo hakutakuwa na chochote cha kudhibitisha:

Imetoa boriti ya $OM$ ndani ya kona

Tena tunapata pembetatu mbili za kulia: $\vartriangle OM((H)_(1))$ na $\vatriangle OM((H)_(2))$. Ni wazi kwamba wao ni sawa kwa sababu:

1. Hypotenuse $ OM$ - jumla;
2. Miguu $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ kwa hali (baada ya yote, uhakika $M$ ni sawa kutoka pande za pembe);
3. Miguu iliyobaki pia ni sawa, kwa sababu kwa nadharia ya Pythagorean $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Kwa hiyo, pembetatu $\vartriangle OM((H)_(1))$ na $\vatriangle OM((H)_(2))$ kwa pande tatu. Hasa, pembe zao ni sawa: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Na hii inamaanisha kuwa $OM$ ni sehemu mbili.

Kuhitimisha uthibitisho, tunaweka alama kwenye pembe sawa na arcs nyekundu:

Kisekta kinagawanya pembe $\((H)_(1))O((H)_(2))$ kuwa mbili sawa.

Kama unaweza kuona, hakuna kitu ngumu. Tumethibitisha kuwa sehemu-mbili ya pembe ni eneo la pointi sawa na pande za pembe hii. :)

Sasa kwa kuwa tumeamua zaidi au kidogo juu ya istilahi, ni wakati wa kuendelea ngazi mpya. Katika somo lijalo tutaangalia zaidi mali tata bisectors na kujifunza jinsi ya kuzitumia kutatua matatizo halisi.

Kiwango cha wastani

Bisector ya pembetatu. Nadharia ya kina na mifano (2019)

Bisector ya pembetatu na mali zake

Je! unajua katikati ya sehemu ni nini? Bila shaka unafanya. Vipi kuhusu katikati ya duara? Sawa. Ni nini katikati ya pembe? Unaweza kusema kwamba hii haifanyiki. Lakini kwa nini sehemu inaweza kugawanywa kwa nusu, lakini pembe haiwezi? Inawezekana kabisa - sio tu nukta, lakini…. mstari.

Unakumbuka utani: bisector ni panya inayozunguka pembe na kugawanya kona kwa nusu. Kwa hivyo, ufafanuzi halisi wa bisector ni sawa na utani huu:

Bisector ya pembetatu- hii ni sehemu ya bisector ya pembe ya pembetatu inayounganisha vertex ya pembe hii na hatua kwa upande mwingine.

Hapo zamani za kale, wanajimu wa kale na wanahisabati waligundua mengi mali ya kuvutia sehemu mbili. Ujuzi huu umerahisisha sana maisha ya watu. Imekuwa rahisi kujenga, kuhesabu umbali, hata kurekebisha urushaji wa mizinga... Ujuzi wa mali hizi utatusaidia kutatua baadhi ya kazi za GIA na Mitihani ya Umoja wa Jimbo!

Ujuzi wa kwanza ambao utasaidia na hii ni sehemu mbili za pembetatu ya isosceles.

Kwa njia, unakumbuka masharti haya yote? Unakumbuka jinsi wanavyotofautiana kutoka kwa kila mmoja? Hapana? Sio ya kutisha. Hebu tufikirie sasa.

Kwa hiyo, msingi wa pembetatu ya isosceles- huu ni upande usio sawa na mwingine wowote. Angalia picha, unadhani iko upande gani? Hiyo ni kweli - hii ni upande.

Wastani ni mstari unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembetatu na kugawanyika upande wa pili(hii tena) kwa nusu.

Angalia hatusemi, "Median ya pembetatu ya isosceles." Unajua kwanini? Kwa sababu wastani unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembetatu hutenganisha upande wa pili katika pembetatu YOYOTE.

Naam, urefu ni mstari unaotolewa kutoka juu na perpendicular kwa msingi. Umeona? Tunazungumza tena juu ya pembetatu yoyote, sio tu isosceles. Urefu katika pembetatu YOYOTE daima ni perpendicular kwa msingi.

Kwa hivyo, umeelewa? Karibu. Ili kuelewa vizuri zaidi na kukumbuka milele kile kipenyo, wastani na urefu ni, unahitaji kuzilinganisha na kila mmoja na kuelewa jinsi zinavyofanana na jinsi zinavyotofautiana kutoka kwa kila mmoja. Wakati huo huo, ili kukumbuka bora, ni bora kuelezea kila kitu " lugha ya binadamu" Kisha utafanya kazi kwa urahisi katika lugha ya hisabati, lakini mwanzoni hauelewi lugha hii na unahitaji kuelewa kila kitu kwa lugha yako mwenyewe.

Kwa hiyo, zinafananaje? Bisector, wastani na urefu - zote "hutoka" kutoka kwenye kipeo cha pembetatu na kupumzika upande mwingine na "kufanya kitu" ama kwa pembe ambayo hutoka, au na. upande kinyume. Nadhani ni rahisi, hapana?

Je, zina tofauti gani?

• Bisector hugawanya angle ambayo inajitokeza kwa nusu.
• Wastani hugawanya upande wa pili kwa nusu.
• Urefu daima ni perpendicular kwa upande kinyume.

Ni hayo tu. Ni rahisi kuelewa. Na ukielewa, unaweza kukumbuka.

Sasa swali linalofuata. Kwa nini, katika kesi ya pembetatu ya isosceles, bisector ni wastani na urefu?

Unaweza tu kuangalia takwimu na uhakikishe kwamba wastani hugawanyika katika mbili kabisa pembetatu sawa. Ni hayo tu! Lakini wanahisabati hawapendi kuamini macho yao. Wanahitaji kuthibitisha kila kitu. Neno la kutisha? Hakuna kitu kama hicho - ni rahisi! Angalia: zote mbili zina pande sawa na, kwa ujumla zina upande wa kawaida na. (- bisector!) Na hivyo inageuka kuwa pembetatu mbili zina mbili pande sawa na pembe kati yao. Tunakumbuka ishara ya kwanza ya usawa wa pembetatu (ikiwa hukumbuka, angalia katika mada) na uhitimishe kwamba, na kwa hiyo = na.

Hii tayari ni nzuri - inamaanisha iligeuka kuwa wastani.

Lakini ni nini?

Hebu tuangalie picha -. Na tukaipata. Hivyo, pia! Hatimaye, haraka! Na.

Je, umepata uthibitisho huu kuwa mzito kidogo? Angalia picha - pembetatu mbili zinazofanana zinazungumza zenyewe.

Kwa hali yoyote, kumbuka kwa dhati:

Sasa ni ngumu zaidi: tutahesabu pembe kati ya sehemu mbili katika pembetatu yoyote! Usiogope, sio gumu hivyo. Angalia picha:

Hebu tuhesabu. Je, unakumbuka hilo jumla ya pembe za pembetatu ni?

Wacha tutumie ukweli huu wa kushangaza.

Kwa upande mmoja, kutoka:

Hiyo ni.

Sasa hebu tuangalie:

Lakini bisectors, bisectors!

Hebu tukumbuke kuhusu:

Sasa kupitia barua

\pembe AOC=90()^\circ +\frac(\pembe B)(2)

Je, haishangazi? Ikawa hivyo angle kati ya bisectors ya pembe mbili inategemea tu pembe ya tatu!

Naam, tuliangalia bisectors mbili. Kama wapo watatu??!! Je, zote zitakatiza kwa wakati mmoja?

Au itakuwa hivi?

Jinsi gani unadhani? Kwa hivyo wanahisabati walifikiria na kufikiria na kudhibitisha:

Je! hiyo si nzuri?

Je! ungependa kujua kwa nini hii inatokea?

Kwa hiyo ... pembetatu mbili za kulia: na. Wana:

• hypotenuse ya jumla.
• (kwa sababu ni bisector!)

Hii ina maana - kwa angle na hypotenuse. Kwa hiyo, miguu inayofanana ya pembetatu hizi ni sawa! Hiyo ni.

Tulithibitisha kwamba uhakika ni sawa (au sawa) mbali na pande za pembe. Pointi 1 inashughulikiwa. Sasa hebu tuendelee kwenye nukta ya 2.

Kwa nini 2 ni kweli?

Na hebu tuunganishe dots na.

Hii ina maana kwamba iko kwenye bisector!

Ni hayo tu!

Haya yote yanawezaje kutumika wakati wa kutatua matatizo? Kwa mfano, katika matatizo mara nyingi kuna maneno yafuatayo: "Mduara unagusa pande za pembe ...". Naam, unahitaji kupata kitu.

Kisha unatambua hilo haraka

Na unaweza kutumia usawa.

3. Vijisekta vitatu katika pembetatu vinaingiliana kwa hatua moja

Kutoka kwa mali ya bisector kuwa locus pointi sawa kutoka kwa pande za pembe, taarifa ifuatayo ifuatavyo:

Inatoka vipi hasa? Lakini angalia: bisectors mbili hakika zitaingiliana, sawa?

Na bisector ya tatu inaweza kwenda kama hii:

Lakini kwa kweli, kila kitu ni bora zaidi!

Wacha tuangalie sehemu ya makutano ya sehemu mbili. Hebu tuite.

Tulitumia nini hapa mara zote mbili? Ndiyo kifungu cha 1, bila shaka! Ikiwa hatua iko kwenye bisector, basi iko mbali sawa na pande za pembe.

Na hivyo ikawa.

Lakini angalia kwa makini hizi usawa mbili! Baada ya yote, inafuata kutoka kwao kwamba na, kwa hiyo,.

Na sasa itaingia kwenye mchezo pointi 2: ikiwa umbali wa pande za pembe ni sawa, basi hatua iko kwenye bisector ... ni angle gani? Tazama picha tena:

na ni umbali wa pande za pembe, na ni sawa, ambayo ina maana kwamba uhakika upo kwenye sehemu mbili za pembe. Bisector ya tatu ilipitia hatua hiyo hiyo! Vijisekta vyote vitatu vinaingiliana kwa wakati mmoja! Na kama zawadi ya ziada -

Radii iliyoandikwa miduara.

(Kwa hakika, angalia mada nyingine).

Kweli, sasa hutasahau kamwe:

Hatua ya makutano ya bisectors ya pembetatu ni katikati ya mduara iliyoandikwa ndani yake.

Wacha tuendelee kwenye mali inayofuata ... Wow, bisector ina mali nyingi, sawa? Na hiyo ni nzuri, kwa sababu mali zaidi, zana zaidi za kutatua matatizo ya sehemu mbili.

4. Bisector na parallelism, bisectors ya pembe za karibu

Ukweli kwamba bisector hugawanya pembe kwa nusu katika baadhi ya matukio husababisha matokeo yasiyotarajiwa kabisa. Kwa mfano,

Kesi ya 1

Kubwa, sawa? Hebu tuelewe kwa nini hii ni hivyo.

Kwa upande mmoja, tunachora bisector!

Lakini, kwa upande mwingine, kuna pembe ambazo zinalala kwa njia ya msalaba (kumbuka mandhari).

Na sasa inageuka kuwa; tupa katikati:! - isosceles!

Kesi ya 2

Hebu fikiria pembetatu (au angalia picha)

Wacha tuendelee upande zaidi ya hatua. Sasa tuna pembe mbili:

• - kona ya ndani
• - kona ya nje iko nje, sawa?

Kwa hivyo, na sasa mtu alitaka kuchora sio moja, lakini sehemu mbili mara moja: kwa na kwa. Nini kitatokea?

Je, itafanya kazi? mstatili!

Kwa kushangaza, hii ndiyo kesi hasa.

Hebu tufikirie.

Unafikiri ni kiasi gani?

Kwa kweli, - baada ya yote, wote kwa pamoja hufanya pembe ambayo inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja.

Sasa kumbuka hilo na ni bisectors na uone kuwa ndani ya pembe kuna haswa nusu kutoka kwa jumla ya pembe zote nne: na - - yaani, hasa. Unaweza pia kuiandika kama equation:

Kwa hivyo, ya kushangaza lakini ya kweli:

Pembe kati ya bisectors ya pembe ya ndani na nje ya pembetatu ni sawa.

Kesi ya 3

Unaona kwamba kila kitu ni sawa hapa na kwa pembe za ndani na nje?

Au hebu tufikirie tena kwa nini hii inatokea?

Tena, kama kwa pembe za karibu,

(kama inavyolingana na besi sambamba).

Na tena, wanatengeneza hasa nusu kutoka kwa jumla

Hitimisho: Ikiwa shida ina bisectors karibu pembe au sehemu mbili husika pembe za parallelogram au trapezoid, basi katika tatizo hili hakika inashiriki pembetatu ya kulia, na labda hata mstatili mzima.

5. Bisector na upande wa kinyume

Inabadilika kuwa bisector ya pembe ya pembetatu hugawanya upande mwingine sio tu kwa njia fulani, lakini kwa njia maalum na ya kuvutia sana:

Hiyo ni:

Ukweli wa kushangaza, sivyo?

Sasa tutathibitisha ukweli huu, lakini jitayarishe: itakuwa ngumu zaidi kuliko hapo awali.

Tena - toka kwa "nafasi" - malezi ya ziada!

Twende sawa.

Kwa ajili ya nini? Tutaona sasa.

Wacha tuendelee bisector hadi inaingiliana na mstari.

Je, hii ni picha inayojulikana? Ndio, ndio, ndio, sawa na katika nukta ya 4, kesi 1 - zinageuka kuwa (- bisector)

Kulala kinyume

Kwa hiyo, hiyo pia.

Sasa hebu tuangalie pembetatu na.

Unaweza kusema nini kuwahusu?

Wanafanana. Kweli, ndio, pembe zao ni sawa na za wima. Kwa hiyo, katika pembe mbili.

Sasa tuna haki ya kuandika mahusiano ya pande husika.

Na sasa kwa maelezo mafupi:

Lo! Inanikumbusha kitu, sawa? Je, hili silo tulilotaka kuthibitisha? Ndiyo, ndiyo, hivyo hasa!

Unaona jinsi "spacewalk" ilivyokuwa nzuri - ujenzi wa mstari wa ziada wa moja kwa moja - bila hiyo hakuna kitu kingefanyika! Na kwa hivyo, tumethibitisha hilo

Sasa unaweza kuitumia kwa usalama! Hebu tuangalie mali moja zaidi ya bisectors ya pembe za pembetatu - usifadhaike, sasa sehemu ngumu zaidi imekwisha - itakuwa rahisi zaidi.

Tunapata hilo

Nadharia ya 1:

Nadharia ya 2:

Nadharia ya 3:

Nadharia ya 4:

Nadharia ya 5:

Nadharia ya 6:

Sehemu ya pembetatu ni sehemu inayogawanya pembe ya pembetatu kuwa mbili pembe sawa. Kwa mfano, ikiwa pembe ya pembetatu ni 120 0, basi kwa kuchora bisector, tutajenga pembe mbili za 60 0 kila moja.

Na kwa kuwa kuna pembe tatu katika pembetatu, vipande vitatu vinaweza kuchora. Wote wana sehemu moja ya kukata. Hatua hii ni katikati ya duara iliyoandikwa katika pembetatu. Kwa njia nyingine, sehemu hii ya makutano inaitwa kitovu cha pembetatu.

Wakati bisectors mbili za angle ya ndani na ya nje zinaingiliana, angle ya 90 0 inapatikana. Kona ya nje katika pembetatu pembe inayopakana nayo kona ya ndani pembetatu.

Mchele. 1. Pembetatu iliyo na vijisekta 3

Bisector inagawanya upande wa pili katika sehemu mbili ambazo zimeunganishwa kwa pande:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Pointi za bisector ni sawa kutoka kwa pande za pembe, ambayo inamaanisha kuwa ziko umbali sawa kutoka kwa pande za pembe. Hiyo ni, ikiwa kutoka kwa hatua yoyote ya bisector tunashuka perpendiculars kwa kila pande za pembe ya pembetatu, basi hizi perpendiculars zitakuwa sawa.

Ikiwa unachora wastani, bisector na urefu kutoka kwa vertex moja, basi wastani utakuwa sehemu ndefu zaidi, na urefu utakuwa mfupi zaidi.

Baadhi ya mali ya bisector

KATIKA aina fulani pembetatu, bisector ina mali maalum. Hii inatumika kimsingi kwa pembetatu ya isosceles. Takwimu hii ina pande mbili zinazofanana, na ya tatu inaitwa msingi.

Ikiwa unatoa bisector kutoka kwenye vertex ya pembetatu ya isosceles hadi msingi, basi itakuwa na mali ya urefu na wastani. Ipasavyo, urefu wa bisector inalingana na urefu wa wastani na urefu.

Ufafanuzi:

• Urefu- perpendicular inayotolewa kutoka kwa vertex ya pembetatu hadi upande wa kinyume.
• Wastani- sehemu inayounganisha vertex ya pembetatu na katikati ya upande wa kinyume.

Mchele. 2. Bisector katika pembetatu ya isosceles

Hii inatumika pia pembetatu ya usawa, yaani, pembetatu ambayo pande zote tatu ni sawa.

Mgawo wa mfano

Katika pembetatu ABC: BR ni bisector, na AB = 6 cm, BC = 4 cm, na RC = 2 cm. Ondoa urefu wa upande wa tatu.

Mchele. 3. Bisector katika pembetatu

Suluhisho:

Bisector hugawanya upande wa pembetatu kwa uwiano fulani. Wacha tutumie sehemu hii na tueleze AR. Kisha tutapata urefu wa upande wa tatu kama jumla ya sehemu ambazo upande huu uligawanywa na sehemu mbili.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Kisha sehemu nzima AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Jumla ya makadirio yaliyopokelewa: 107.