1º. Milinganyo ya kielelezo huitwa milinganyo iliyo na kigezo katika kipeo.
Utatuzi wa milinganyo ya kielelezo inategemea mali ya mamlaka: mamlaka mbili zilizo na msingi sawa ni sawa ikiwa na tu ikiwa vielelezo vyao ni sawa.
2º. Mbinu za kimsingi za kutatua milinganyo ya kielelezo:
1) equation rahisi zaidi ina suluhisho;
2) equation ya fomu logarithmic kwa msingi a kupunguza kwa fomu;
3) equation ya fomu ni sawa na equation;
4) equation ya fomu 
ni sawa na mlinganyo.
5) equation ya fomu hupunguzwa kwa njia ya uingizwaji wa equation, na kisha seti ya equations rahisi ya kielelezo hutatuliwa;
6) equation na reciprocals 
kwa uingizwaji wao hupunguza kwa equation, na kisha kutatua seti ya equations;
7) milinganyo yenye usawa kuhusiana na g(x) Na b g(x) kutokana na hilo 
aina 
kwa njia ya uingizwaji hupunguzwa kwa equation, na kisha seti ya equations hutatuliwa.
Uainishaji wa milinganyo ya kielelezo.
1. Milinganyo hutatuliwa kwa kwenda kwenye msingi mmoja.
Mfano 18. Tatua mlinganyo 
.
Suluhisho: Wacha tuchukue fursa ya ukweli kwamba misingi yote ya nguvu ni nguvu ya nambari 5: .
2. Milinganyo hutatuliwa kwa kupitisha kwa kipeo kimoja.
Milinganyo hii hutatuliwa kwa kubadilisha mlingano asilia hadi umbo , ambayo imepunguzwa kwa rahisi zaidi kwa kutumia mali ya uwiano.
Mfano 19. Tatua mlinganyo:
3. Milinganyo hutatuliwa kwa kuondoa kipengele cha kawaida kwenye mabano.
Iwapo kila kipeo katika mlinganyo hutofautiana na kingine kwa nambari fulani, basi milinganyo hutatuliwa kwa kuweka kipeo kilicho na kipeo kidogo zaidi nje ya mabano.
Mfano 20. Tatua mlinganyo.
Suluhisho: Wacha tuchukue digrii na kipeo kikuu kidogo zaidi kutoka kwa mabano upande wa kushoto wa mlinganyo:
Mfano 21. Tatua mlinganyo 
Suluhisho: Wacha tupange kando upande wa kushoto wa equation masharti yaliyo na nguvu na msingi 4, upande wa kulia - na msingi 3, kisha tuweke nguvu na kipeo kidogo zaidi kutoka kwa mabano:
4. Milinganyo ambayo inapungua hadi milinganyo ya quadratic (au cubic)..
Milinganyo ifuatayo imepunguzwa hadi mlinganyo wa quadratic kwa kigezo kipya y:
a) aina ya uingizwaji, katika kesi hii;
b) aina ya uingizwaji, na.
Mfano 22. Tatua mlinganyo 
.
Suluhisho: Wacha tufanye mabadiliko ya kutofautisha na kutatua equation ya quadratic:
.
Jibu: 0; 1.
5. Milinganyo ambayo ni sawa kuhusiana na utendaji wa kielelezo.
Equation ya fomu ni usawa wa homogeneous wa shahada ya pili kwa heshima na haijulikani a x Na b x. Milinganyo kama hii hupunguzwa kwa kwanza kugawanya pande zote mbili na kisha kuzibadilisha katika milinganyo ya quadratic.
Mfano 23. Tatua mlinganyo.
Suluhisho: Gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa:
Kuweka, tunapata equation ya quadratic na mizizi.
Sasa shida inakuja katika kutatua seti ya equations 
. Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata hiyo. Equation ya pili haina mizizi, kwani kwa thamani yoyote x.
Jibu: -1/2.
6. Milinganyo ya kimantiki inayohusiana na utendaji wa kielelezo.
Mfano 24. Tatua mlinganyo.
Suluhisho: Gawanya nambari na denominator ya sehemu kwa 3 x na badala ya mbili tunapata kazi moja ya kielelezo:
7. Milinganyo ya fomu 
.
Milinganyo kama hiyo iliyo na seti ya maadili yanayokubalika (APV), iliyoamuliwa na hali, kwa kuchukua logarithm ya pande zote mbili za equation hupunguzwa hadi equation sawa, ambayo kwa upande wake ni sawa na seti ya equations mbili au.
Mfano 25. Tatua mlingano:.
.
Nyenzo za didactic.
Tatua milinganyo:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Pata bidhaa ya mizizi ya equation 
.
27. Pata jumla ya mizizi ya equation 
.
Tafuta maana ya usemi:
28., wapi x 0- mzizi wa equation;
29., wapi x 0- mzizi mzima wa equation 
.
Tatua mlinganyo:
31. 
; 32. .
Majibu: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31.; 32..
Mada Na.8.
Ukosefu wa usawa wa kielelezo.
1º. Ukosefu wa usawa ulio na kigezo katika kipeo huitwa usawa wa kielelezo.
2º. Suluhisho la ukosefu wa usawa wa kielelezo wa fomu ni msingi wa taarifa zifuatazo:
ikiwa, basi ukosefu wa usawa ni sawa na;
ikiwa, basi ukosefu wa usawa ni sawa na .
Wakati wa kutatua usawa wa kielelezo, mbinu sawa hutumiwa kama wakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo.
Mfano 26. Tatua ukosefu wa usawa 
(njia ya mpito kwa msingi mmoja).
Suluhisho: Kwa sababu 
, basi usawa uliopewa unaweza kuandikwa kama: 
. Kwa kuwa , basi ukosefu huu wa usawa ni sawa na ukosefu wa usawa 
.
Kutatua ukosefu wa usawa wa mwisho, tunapata .
Mfano 27. Tatua ukosefu wa usawa: ( kwa kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano).
Suluhisho: Wacha tutoe kwenye mabano upande wa kushoto wa kukosekana kwa usawa , upande wa kulia wa usawa na kugawanya pande zote mbili za usawa kwa (-2), kubadilisha ishara ya kukosekana kwa usawa kuwa kinyume:
Tangu , basi wakati wa kuhamia usawa wa viashiria, ishara ya kutofautiana tena inabadilika kinyume chake. Tunapata. Kwa hivyo, seti ya suluhisho zote za usawa huu ni muda.
Mfano 28. Tatua ukosefu wa usawa ( kwa kuanzisha kigezo kipya).
Suluhisho: Acha. Kisha ukosefu huu wa usawa utachukua fomu: 
au 
, ambayo suluhisho lake ni muda.
Kutoka hapa. Kwa kuwa kazi inaongezeka, basi.
Nyenzo za didactic.
Bainisha seti ya suluhisho kwa ukosefu wa usawa:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Kwa maadili gani x Je, pointi kwenye grafu ya kazi ziko chini ya mstari ulionyooka?
7. Kwa maadili gani x Je, pointi kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa ziko angalau hadi kwenye mstari ulionyooka?
Tatua ukosefu wa usawa:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Bainisha suluhu kubwa kabisa kamili kwa ukosefu wa usawa 
.
14. Tafuta bidhaa ya nambari kamili zaidi na suluhu ndogo kabisa kamili kwa ukosefu wa usawa 
.
Tatua ukosefu wa usawa:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Tafuta kikoa cha chaguo la kukokotoa:
27. 
; 28. 
.
29. Tafuta seti ya maadili ya hoja ambayo maadili ya kila moja ya chaguo ni kubwa kuliko 3:
Na 
.
Majibu: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16.; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac(1) (n))\) tunapata hiyo \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Kisha, kwa kutumia sifa ya shahada \((a^b)^c=a^(bc)\), tunapata \((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdoti \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Pia tunajua kwamba \(a^ba·a^c=a^(b+c)\). Kwa kutumia hii upande wa kushoto, tunapata: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Sasa kumbuka kwamba: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Fomula hii pia inaweza kutumika katika mwelekeo tofauti: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Kisha \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)
Kwa kutumia sifa \((a^b)^c=a^(bc)\) kwa upande wa kulia, tunapata: \((3^(-1)))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)
Na sasa besi zetu ni sawa na hakuna coefficients kuingilia kati, nk. Kwa hivyo tunaweza kufanya mabadiliko.
Mfano
. Tatua mlingano wa kielelezo \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Suluhisho:
|
\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) |
Tunatumia tena mali ya nguvu \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) katika mwelekeo tofauti. |
|
|
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) |
Sasa kumbuka kuwa \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) |
Kutumia mali ya digrii, tunabadilisha: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Tunaangalia kwa uangalifu equation na kuona kwamba uingizwaji \(t=2^x\) unajipendekeza. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Walakini, tulipata maadili ya \(t\), na tunahitaji \(x\). Tunarudi kwa X, tukifanya uingizwaji wa nyuma. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Wacha tubadilishe equation ya pili kwa kutumia mali hasi ya nguvu ... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...na tunaamua mpaka jibu. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Jibu : \(-1; 1\).
Swali linabaki - jinsi ya kuelewa wakati wa kutumia njia gani? Hii inakuja na uzoefu. Hadi umeikuza, tumia pendekezo la jumla la kutatua shida ngumu - "ikiwa hujui la kufanya, fanya unachoweza." Hiyo ni, tafuta jinsi unavyoweza kubadilisha equation kwa kanuni, na jaribu kuifanya - ikiwa nini kitatokea? Jambo kuu ni kufanya mabadiliko ya msingi wa hisabati tu.
Milinganyo ya kielelezo bila suluhu
Wacha tuangalie hali mbili zaidi ambazo mara nyingi huwachanganya wanafunzi:
- nambari nzuri kwa nguvu ni sawa na sifuri, kwa mfano, \(2^x=0\);
- nambari chanya ni sawa na nguvu ya nambari hasi, kwa mfano, \(2^x=-4\).
Hebu jaribu kutatua kwa nguvu brute. Ikiwa x ni nambari chanya, basi x inapokua, nguvu nzima \(2^x\) itaongezeka tu:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Pia kwa. X hasi zimebaki. Kukumbuka mali \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), tunaangalia:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
Licha ya ukweli kwamba nambari inakuwa ndogo kwa kila hatua, haitafikia sifuri kamwe. Kwa hiyo shahada hasi haikutuokoa. Tunafikia hitimisho la kimantiki:
Nambari chanya kwa digrii yoyote itasalia kuwa nambari chanya.
Kwa hivyo, hesabu zote mbili hapo juu hazina suluhisho.
Milinganyo ya kielelezo yenye misingi tofauti
Katika mazoezi, wakati mwingine tunakutana na milinganyo ya kielelezo na misingi tofauti ambayo haiwezi kupunguzwa kwa kila mmoja, na wakati huo huo na vielelezo sawa. Zinaonekana hivi: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), ambapo \(a\) na \(b\) ni nambari chanya.
Kwa mfano:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Milinganyo kama hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kugawanya kwa pande zozote za mlinganyo (kwa kawaida hugawanywa kwa upande wa kulia, yaani, \(b^(f(x))\). Unaweza kugawanya kwa njia hii kwa sababu nambari chanya ni chanya kwa nguvu yoyote (yaani, hatugawanyi kwa sifuri) Tunapata:
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
Mfano
. Tatua mlingano wa kielelezo \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Suluhisho:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Hapa hatutaweza kugeuza tano kuwa tatu, au kinyume chake (angalau bila kutumia). Hii ina maana kwamba hatuwezi kuja kwenye umbo \(a^(f(x)))=a^(g(x))\). Hata hivyo, viashiria ni sawa. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7)) )\) |
Sasa kumbuka mali \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) na uitumie kutoka upande wa kushoto kuelekea upande mwingine. Kwa upande wa kulia, tunapunguza tu sehemu. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Inaweza kuonekana kuwa mambo hayakuwa bora. Lakini kumbuka sifa moja zaidi ya nguvu: \(a^0=1\), kwa maneno mengine: "nambari yoyote hadi sifuri ni sawa na \(1\)." Mazungumzo pia ni kweli: "moja inaweza kuwakilishwa kama nambari yoyote kwa nguvu sifuri." Wacha tuchukue fursa hii kwa kutengeneza msingi wa kulia sawa na wa kushoto. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Voila! Tuachane na misingi. |
|
|
Tunaandika jibu. |
Jibu : \(-7\).
Wakati mwingine "usawa" wa watangazaji sio dhahiri, lakini utumiaji wa ustadi wa mali ya wafadhili hutatua suala hili.
Mfano
. Tatua mlingano wa kielelezo \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3)))^(-x+2)\)
Suluhisho:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Equation inaonekana ya kusikitisha sana ... Sio tu kwamba besi haziwezi kupunguzwa kwa idadi sawa (saba kwa njia yoyote haitakuwa sawa na \(\frac(1)(3)\)), lakini pia vielelezo ni tofauti. .. Hata hivyo, hebu tutumie deuce ya kipeo cha kushoto. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Kukumbuka mali \((a^b)^c=a^(b·c)\) , tunabadilisha kutoka kushoto: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Sasa, tukikumbuka sifa ya shahada hasi \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), tunabadilisha kutoka kulia: \((\frac(1)(3)))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Haleluya! Viashiria ni sawa! |
Jibu : \(2\).