Nadharia ya idadi ndogo. Nadharia ya nambari: nadharia na mazoezi

Nadharia ya nambari au hesabu ya juu ni tawi la hisabati ambalo husoma nambari kamili na vitu sawa.

Nadharia ya nambari inahusika na uchunguzi wa sifa za nambari kamili. Hivi sasa, nadharia ya nambari inajumuisha anuwai kubwa ya maswala ambayo huenda zaidi ya masomo ya nambari asilia.

Katika nadharia ya nambari, sio nambari za asili tu zinazozingatiwa, lakini pia seti ya nambari zote, seti nambari za busara, kundi la nambari za algebra. Nadharia ya kisasa ya nambari ina sifa ya matumizi ya sana mbinu mbalimbali utafiti. Katika nadharia ya kisasa ya nambari, njia hutumiwa sana uchambuzi wa hisabati.

Nadharia ya kisasa nambari zinaweza kugawanywa katika sehemu zifuatazo:

1) Nadharia ya nambari ya msingi. Sehemu hii inajumuisha maswali ya nadharia ya nambari, ambayo ni maendeleo ya moja kwa moja nadharia za mgawanyiko na maswali kuhusu uwakilishi wa nambari katika fomu fulani. Shida ya jumla zaidi ni shida ya kutatua mifumo ya hesabu za Diophantine, ambayo ni, hesabu ambazo maadili ya haijulikani lazima ziwe nambari kamili.

2) Nadharia ya algebraic nambari. Sehemu hii inajumuisha maswali yanayohusiana na utafiti wa madarasa mbalimbali ya nambari za aljebra.

3) Makadirio ya Diophantine. Sehemu hii inajumuisha maswali yanayohusiana na utafiti wa kukadiria nambari halisi sehemu za mantiki. Inahusiana sana na mduara huo wa mawazo, makadirio ya Diophantine yanahusiana kwa karibu na utafiti wa asili ya hesabu ya madarasa mbalimbali ya nambari.

4) Nadharia ya uchanganuzi wa nambari. Sehemu hii inajumuisha maswali ya nadharia ya nambari, kwa utafiti ambao ni muhimu kutumia mbinu za uchambuzi wa hisabati.

Dhana za kimsingi:

1) Ugawanyiko ni mojawapo ya dhana za msingi za nadharia ya hesabu na nambari inayohusishwa na uendeshaji wa mgawanyiko. Kwa mtazamo wa nadharia iliyowekwa, mgawanyiko wa nambari kamili ni uhusiano unaofafanuliwa kwenye seti ya nambari kamili.

Ikiwa kwa nambari kamili a na nambari b kuna nambari kamili q hivi kwamba bq = a, basi tunasema kwamba nambari a inaweza kugawanywa kwa b au hiyo b inagawanya a. Katika kesi hii, nambari b inaitwa mgawanyiko wa nambari a, mgawanyiko wa a utakuwa kizidisho cha nambari b, na nambari q inaitwa mgawo wa nambari iliyogawanywa na b.

2) Nambari rahisi? ni nambari ya asili ambayo ina mbili tofauti kabisa mgawanyiko wa asili: kitengo na wewe mwenyewe. Nambari zingine zote isipokuwa moja zinaitwa nambari za mchanganyiko.

3) Nambari kamili? (Kigiriki cha kale ἀριθμὸς τέλειος) - nambari asilia, sawa na jumla wagawanyiko wake wote (yaani wote wagawanyiko chanya, tofauti na yenyewe? nambari).

Nambari ya kwanza kamili ni 6 (1 + 2 + 3 = 6), inayofuata ni 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Kadiri idadi ya asili inavyoongezeka, nambari kamili yanazidi kupungua.

4) Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida (GCD) cha nambari mbili kamili m na n ndicho kikubwa zaidi cha vigawanyiko vyao vya kawaida. Mfano: kwa nambari 70 na 105 kubwa zaidi mgawanyiko wa kawaida sawa na 35.

Kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida kipo na huamuliwa kwa njia ya kipekee ikiwa angalau moja ya nambari m au n sio sifuri.

5) Kizidishio cha chini kabisa cha kawaida (LCM) cha nambari mbili kamili m na n ni nambari asilia ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa kwa m na n.

6) Nambari m na n zinaitwa coprime ikiwa hazina vigawanyiko vya kawaida isipokuwa moja. Kwa nambari hizo GCD(m,n) = 1. Kinyume chake, ikiwa GCD(m,n) = 1, basi namba ni coprime.

7) Algorithm ya Euclidean - algoriti ya kutafuta kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari mbili kamili au kipimo kikuu cha kawaida cha idadi mbili za homogeneous.

Unaweza pia kupata maelezo unayovutiwa nayo katika injini ya utafutaji ya kisayansi ya Otvety.Online. Tumia fomu ya utafutaji:

Zaidi juu ya mada nambari 17. Dhana za kimsingi za nadharia ya nambari:

Nadharia ya nambari ni tawi la hisabati ambalo husoma sifa za nambari.

Jambo kuu la nadharia ya nambari ni nambari asilia (tazama Nambari). Mali yao kuu, ambayo inazingatiwa na nadharia ya nambari, ni mgawanyiko. Aina ya kwanza ya shida katika nadharia ya nambari ni nambari za uainishaji. "Vizuizi vya ujenzi" kuu katika utengano huu ni nambari kuu, i.e. nambari zinazoweza kugawanywa tu na 1 na wao wenyewe; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - hizi ni kumi za kwanza. nambari kuu(nambari 1 haizingatiwi kuwa kuu). Nadharia ya ajabu, inayoitwa nadharia ya kimsingi ya hesabu, inasema: kila nambari asilia inaweza kugawanywa kuwa sababu kuu, na njia pekee(hadi mpangilio wa eneo lao). Kwa kujumuisha nambari mbili katika sababu kuu, ni rahisi kuamua ikiwa moja yao inaweza kugawanywa na nyingine au la. Lakini bado inaweza kuwa ngumu kujua ikiwa hii ni idadi kubwa rahisi, i.e. iwe inaweza kugawanywa kwa nambari yoyote isipokuwa yenyewe na moja.

Msururu unaohusishwa na uwekaji nambari katika mambo makuu ni kazi za hesabu. Hebu tuangazie baadhi yao. φ(n) - Chaguo za kukokotoa za Euler - idadi ya nambari kutoka 1 hadi n ambazo zinalingana na nambari n (yaani kutoshiriki na n mambo ya kawaida, isipokuwa moja); α(n) ni nambari ya vigawanyiko vya nambari n, t(n) ni jumla ya vigawanyo vyote vya nambari n, π(n) ni chaguo la kukokotoa la Chebyshev - idadi ya nambari kuu isiyozidi n. Kazi hizi zinaonyesha mali nyingi za nambari za asili. Nadharia ya Euclid inasema kwamba kuna idadi kubwa isiyo na kikomo. Hii ina maana kwamba π(n)→∞ nambari n inapoongezeka. Tuliweza kujua ni kwa jinsi gani chaguo za kukokotoa π(n) huwa na ukomo. Ilibadilika kuwa ni takriban sawa na kazi

Nadharia hii inaitwa sheria ya asymptotic ya usambazaji wa nambari kuu. Iliundwa na kuthibitishwa kwa kiasi kikubwa na P. L. Chebyshev (1849), na ilithibitishwa kikamilifu miaka 50 tu baadaye.

Sheria isiyo na dalili ya usambazaji wa nambari kuu ni matokeo ya kinachojulikana nadharia ya nambari ya uchanganuzi, ambayo hutumia sana njia za uchambuzi wa hisabati kusoma kazi za nadharia ya nambari. Iligunduliwa katika nusu ya pili ya karne ya 19. ukweli wa uhusiano kati ya kitu tofauti kama nambari kamili na sifa za kina za kazi zilikuwa na ushawishi mkubwa katika ukuzaji wa nadharia ya nambari.

Nambari za uundaji huzingatia tu muundo wa seti ya nambari za asili zinazohusiana na kuzidisha, ndani kabisa na kazi ngumu nadharia za nambari hutokana na ulinganisho wa kujumlisha na kuzidisha. Shida kama hizo ni pamoja na, kwa mfano, shida ya Goldbach - inawezekana kufanya chochote? idadi sawa kuwakilisha kama jumla ya primes mbili; nadharia kubwa Fermat (tazama nadharia ya mwisho ya Fermat) - inawezekana nguvu ya nth wakilisha nambari kama jumla n nguvu za nambari yoyote mbili, nk.

Nadharia ya nambari inavutia kwa sababu ina uundaji mwingi rahisi, lakini ngumu na kazi za kuvutia. Mengi ya matatizo haya, yametatuliwa na hayajatatuliwa, yamekusanyika, na nadharia ya nambari mara nyingi inaonekana kama mkusanyiko wa mafumbo ya kifahari tofauti. Hata hivyo, sivyo. Nadharia ya nambari imeunda njia zake nzuri, na nyingi zimetengenezwa kikamilifu katika miongo ya hivi karibuni, ambayo imeingiza mkondo mpya wa kuishi katika hii. sehemu ya zamani hisabati.

Njia ya classical ya nadharia ya nambari ni njia ya kulinganisha. Kwa kutambua nambari ambazo hutoa mabaki sawa wakati zimegawanywa na nambari iliyochaguliwa, mara nyingi inawezekana kuanzisha kutowezekana kwa uhusiano wowote. Kwa mfano, kwa kuzingatia mabaki ya mgawanyiko na 3 (au, kama wanasema, modulo 3), ni rahisi kuthibitisha kutoweza kusuluhishwa kwa equation 3x 2 + 4y 2 = 5z 2 kwa nambari za asili.

Mbinu ya uchambuzi ina, kama tulivyokwisha sema, kwa ukweli kwamba, kuanzia nambari, huunda kazi ambazo zinasomwa na njia za uchambuzi wa hesabu. Ndio, Soviet mwanasayansi msomi I.M. Vinogradov alithibitisha toleo la tatizo la Goldbach - uwakilishi wa idadi kubwa ya kutosha isiyo ya kawaida kama jumla ya primes tatu.

Tunatoa mfano wa mbinu ya kijiometri ya nadharia ya nambari kwa kutumia nadharia ya mwisho ya Fermat kama mfano. Katika nadharia hii tunazungumzia juu ya utatuzi wa mlinganyo x n + y n = z n katika nambari kamili. Kugawanya pande zote mbili za equation kwa z n na kuchukua nafasi ya x / z na m na y / z na v, tunapata equation u n + v n = 1. Equation hii inafafanua curve fulani kwenye ndege na kuratibu (u, v). Masuluhisho ya mlingano asilia katika nambari kamili hulingana na suluhu za mlingano mpya katika nambari za mantiki. Kila suluhu kama hilo (u, v) linaweza kusemwa kama hoja yenye viwianishi vya busara kwenye ndege hii. Sasa tunaweza kujaribu kuomba mbinu za kijiometri kwa curve u n + v n = 1 kujifunza seti ya pointi na kuratibu za busara juu yake.

Sehemu kubwa ya nadharia ya nambari, inayoshughulika na kutafuta suluhu za milinganyo katika nambari kamili na mantiki, inaitwa nadharia ya milinganyo ya Diophantine, iliyopewa jina la mwanasayansi wa kale wa Kigiriki Diophantus (karne ya 3).

Mojawapo ya shida za zamani sana na zinazojulikana sana katika nadharia ya nambari ni shida ya kuwakilisha nambari kwa hesabu za miraba. Tunaorodhesha baadhi ya matokeo yaliyopatikana:

kila nambari kamili inaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba minne ya nambari kamili (kwa mfano: 7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2);

kila nambari kuu ya fomu 4n + 1 inaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba miwili ya nambari kamili (kwa mfano: 5 = 2 2 + 1 2, 41 = 4 2 + 5 2, nk), lakini sio nambari moja ( sio tu mkuu) idadi ya fomu 4n + 3 haiwezi kuwakilishwa katika fomu hii;

Kila nambari kuu, isipokuwa nambari za fomu 8n - 1, inaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba mitatu ya nambari kamili.

Utambulisho rahisi wa algebra

(a 2 + b 2) (x 2 + y 2) = (shoka + kwa) 2 + (ay - bx) 2

huturuhusu kuhitimisha: ikiwa nambari mbili zinaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba miwili, basi bidhaa zao pia zinaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba miwili. Mbinu za algebra V Hivi majuzi hutumika sana katika nadharia ya nambari. Hii iliwezeshwa na ukuzaji wa dhana ya jumla ya aljebra kama uwanja, mwonekano wake ambao kwa kiasi kikubwa ulichochewa na shida katika nadharia ya nambari.

Kwa nini nadharia ya nambari ni muhimu sana? Baada ya yote, ni vigumu kupata matumizi ya moja kwa moja ya matokeo yake. Walakini, shida za nadharia ya nambari zimevutia vijana na wanasayansi wadadisi kwa karne nyingi. Kuna nini hapa? Kwanza kabisa, shida hizi, kama ilivyotajwa tayari, zinavutia sana na nzuri. Wakati wote, watu wamekuwa wakishangazwa na hilo maswali rahisi Ni ngumu sana kupata jibu juu ya nambari. Utafutaji wa majibu haya mara nyingi umesababisha uvumbuzi ambao umuhimu wake unazidi kwa mbali upeo wa nadharia ya nambari. Inatosha kutaja ile inayoitwa nadharia ya maadili Mwanahisabati wa Ujerumani Karne ya XIX E. Kummer, ambaye alizaliwa kuhusiana na majaribio ya kuthibitisha nadharia ya mwisho ya Fermat.

Jina: Nadharia ya nambari. 2008.

Kitabu cha maandishi kinatokana na matokeo nadharia ya msingi nambari, zilizoundwa katika kazi za classics - Fermat, Euler, Gauss na wengine. Masuala kama vile nambari kuu na za mchanganyiko, kazi za hesabu, nadharia ya ulinganisho, mizizi ya zamani na fahirisi, sehemu zinazoendelea, nambari za aljebra na zile zinazovuka mipaka huzingatiwa. Sifa za nambari kuu, nadharia ya milinganyo ya Diophantine, vipengele vya algorithmic vya nadharia ya nambari na matumizi katika kriptografia (kujaribu nambari kuu za msingi, uainishaji. idadi kubwa katika vipengele, logarithm tofauti) na kutumia kompyuta.
Kwa wanafunzi wa chuo kikuu.

Mada ya utafiti wa nadharia ya nambari ni nambari na mali zao, i.e. nambari hazionekani hapa kama njia au chombo, lakini kama kitu cha kusoma. Mfululizo wa asili
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
- seti ya nambari za asili - ndio eneo muhimu zaidi la utafiti, lenye habari sana, muhimu na la kuvutia.
Utafiti wa nambari za asili ulianza Ugiriki ya Kale. Euclid na Eratosthenes waligundua sifa za mgawanyiko wa nambari, walithibitisha kutokuwa na mwisho wa seti ya nambari kuu na kutafuta njia za kuziunda. Matatizo yanayohusiana na suluhisho milinganyo isiyojulikana kwa idadi nzima, walikuwa mada ya utafiti na Diophantus, pamoja na wanasayansi India ya Kale na China ya Kale, nchi za Asia ya Kati.

Jedwali la yaliyomo
Utangulizi
Sura ya 1. Juu ya mgawanyiko wa nambari
1.1. Sifa za Mgawanyiko wa Nambari kamili
1.2. Angalau kigawanyaji cha kawaida zaidi na kikubwa zaidi cha kawaida
1.3. Algorithm ya Euclid
1.4. Suluhisho kamili milinganyo ya mstari

Sura ya 2. Nambari kuu na za mchanganyiko
2.1. Nambari kuu. Ungo wa Eratosthenes. Infinity ya seti ya nambari kuu
2.2. Nadharia ya Msingi ya Hesabu
2.3. Nadharia za Chebyshev
2.4. Riemann Zeta Kazi na Sifa za Nambari Kuu
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Sura ya 3. Kazi za Hesabu
3.1. Kazi nyingi na mali zao
3.2. Utendakazi wa Möbius na fomula za ubadilishaji
3.3. Kazi ya Euler
3.4. Jumla ya wagawanyaji na idadi ya wagawanyaji nambari ya asili
3.5. Makadirio ya thamani ya wastani ya utendakazi wa hesabu
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Sura ya 4: Ulinganisho wa Nambari
4.1. Ulinganisho na mali zao za msingi
4.2. Madarasa ya kupunguzwa. Pete ya madarasa ya mabaki kwa moduli fulani
4.3. Mifumo kamili na iliyopunguzwa ya makato
4.4. Nadharia ya Wilson
4.5. Nadharia za Euler na Fermat
4.6. Uwakilishi wa nambari za busara kama zisizo na mwisho desimali
4.7. Kupima ubora na kuunda nambari kuu
4.8. Uwekaji nambari kamili na matumizi ya kriptografia
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Sura ya 5. Kulinganisha na moja isiyojulikana
5.1.Maelezo ya kimsingi
5.2 Ulinganisho wa shahada ya kwanza
5.3.Nadharia iliyobaki ya Kichina
5.4. Ulinganisho wa polynomial na moduli rahisi
5.5. Ulinganisho wa polynomial na Matatizo ya modulo ya mchanganyiko kwa suluhisho la kujitegemea
Sura ya 6. Ulinganisho wa shahada ya pili
6.1. Ulinganisho wa shahada ya pili modulo mkuu
6.2. Ishara ya Legendre na sifa zake
6.3. Sheria ya usawa wa quadratic
6.4 Alama ya Jacobi na sifa zake
6.5 Jumla ya miraba miwili na minne
6.6. Uwakilishi wa sifuri fomu za quadratic kutoka kwa vigezo vitatu
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Sura ya 7. Mizizi ya antiderivative na fahirisi
7.1. Kiashiria cha nambari ya moduli fulani
7.2. Kuwepo kwa mizizi primitive modulo prime
7.3. Ujenzi wa mizizi primitive kutumia modules pk na 2pk
7.4. Nadharia ya kutokuwepo kwa mizizi ya zamani katika moduli zaidi ya 2, 4, pk na 2pk.
7.5. Fahirisi na mali zao
7.6. Logarithm tofauti
7.7. Ulinganisho wa Binomial
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Sura ya 8. Sehemu Zinazoendelea
8.1. Nadharia ya Dirichlet juu ya ukadiriaji wa nambari halisi kwa nambari za busara
8.2. Finite kuendelea sehemu
8.3. Inaendelea sehemu nambari halisi
8.4. Makadirio Bora
8.5. Nambari zinazolingana
8.6. Makosa ya quadratic na sehemu zinazoendelea
8.7. Kutumia sehemu zinazoendelea kutatua baadhi ya milinganyo ya Diophantine
8.8 Mtengano wa nambari e kuwa sehemu inayoendelea
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Sura ya 9. Nambari za algebraic na transcendental
9.1.Sehemu ya nambari za aljebra
9.2. Ukadiriaji wa nambari za aljebra kulingana na za busara. Kuwepo kwa nambari zinazopita maumbile
9.3. Kutokuwa na busara kwa nambari er na n
9.4. Upitaji wa nambari e
9.5. Upitaji wa nambari n
9.6 Kutowezekana kwa squaring mduara
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
Majibu na maelekezo
Bibliografia

Upakuaji wa bure e-kitabu katika muundo unaofaa, tazama na usome:
Pakua kitabu Nadharia ya Nambari - Nesterenko Yu.V. - fileskachat.com, upakuaji wa haraka na wa bure.

Pakua djvu
Unaweza kununua kitabu hiki hapa chini kwa bei nzuri zaidi kwa punguzo la bei pamoja na kuletewa kote nchini Urusi.

Nadharia ya nambari 1

1. Dhana za kimsingi za nadharia ya mgawanyiko

Î UFAFANUZI. Nambari a inaweza kugawanywa kwa nambari isiyo ya sifuri b ikiwa kuna nambari kamili c hivi kwamba usawa a = b · c unashikilia.

Uteuzi:

1) a .b a imegawanywa na b ;

2) b | a b hugawanya a;

3) a ni nyingi (nyingi) za b , b za kigawanyiko a .

Mgawanyiko na salio

Acha nambari mbili a èb ,a Z ,b N itolewe, Z iwe seti ya nambari kamili, na N iwe seti ya nambari asilia. íàb inayoweza kugawanywa na salio a =b · q +r , ãäår iko katika muda wa 0≤ r< b ,q неполное частное,r остаток. Например, 7 = 2· 3 + 1.

Nadharia 1. Kwa nambari kamili A na nambari asilia b, uwakilishi

a = b q+ r,0 ≤ r< b

pekee.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Kuwepo.

Hebu tuzingatie seti isiyo na mwisho nambari (a − tb) , ãäåa ,b nambari zisizobadilika, t nambari yoyote, t Z . Kutoka kwake tutachagua nambari ndogo isiyo hasi r =a - q · b. Wacha tuthibitishe kuwa iko ndani

0 ≤ r< b.

Wacha nambari hii isiwe ya kipindi hiki. Kisha ni kubwa kuliko au sawa na b. Hebu tutengeneze nambari mpya r ′ =r−b =a−q·b−b =a−b (q +1).

Kutoka kwa hii tunaweza kuona yafuatayo:

1) r ’ (a - tb);

2) r′ isiyo hasi;

1 S.V. Fedorenko. Septemba 2012. Kozi ya mihadhara na kazi. Imesambazwa kwa uhuru. Kozi hiyo ilifundishwa katika Chuo Kikuu cha Jimbo la St. Petersburg cha Utawala wa Anga (1997 1999; 2008 2011) na Chuo Kikuu cha Ufundishaji cha Jimbo la St. Petersburg (2002 2005).

3) R< r .

Kwa hiyo, sivyo r , a r ′ ndio ndogo zaidi nambari isiyo hasi kutoka kwa kuweka (a - tb) , basi dhana r ≥ b ni uongo.

Kuwepo kumethibitishwa.

2. Upekee.

Acha kuwe na uwakilishi mwingine a =bq ′ +r ′ , mradi tu 0≤r′< b ;a ,b фиксированные числа,q Z . Т.е., мы можем разделить числоa íàb двумя способами, тогдаbq +r =bq ′ +r ′ . Kusonga mashartiñq katika mwelekeo mmoja, na сr kwa upande mwingine, tunapata b ( q − q ′ ) =r ′ − r . Inaonekana,

÷òî (r ′ − r ) .b . Kila moja ya salio ni chini ya b и

(r′ − r) . b. |r′ − r|< b

Kwa hiyo, r ’ − r = 0, ambayo ina maana r ’ =r èq =q ′ . Kwa hiyo, tumethibitisha

kwamba nambari moja inaweza kugawanywa na nyingine kwa njia ya kipekee. Nadharia imethibitishwa.

Nadharia 2. Ikiwa a .b èb .c , tòa .c , ãäåb, c ≠ 0.

a = b · q. b=c t

Kwa hiyo, a =c · qt. Kwa ufafanuzi ni wazi kwamba a .c .

Nadharia 3. Acha usawa a 1 +a 2 =b 1 +b 2 na nambari a 1, a 2, b 1 .d zitosheke, kisha b 2 .d.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a 1 =d · t 1 ,a 2 =d · t 2 ,b 1 =d · t 3 . Hebu tueleze b 2 kutoka kwa masharti ya theorem b 2 = a 1 +a 2 - b 1 =d (t 1 +t 2 - t 3). Kwa ufafanuzi wa mgawanyiko ni wazi kwamba b 2 .d .

2. Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida

Î ufafanuzi Kama nambari c ni kigawanyo cha nambari a èb , kisha nambari c inaitwa kigawanyo cha kawaida cha nambari a èb .

Ufafanuzi: Vigawanyiko vikubwa zaidi vya kawaida vya nambari a èb huitwa kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida (GCD) cha nambari a èb.

Dokezo: (a, b) =d, nambari ãäåa èb, tangazo ndilo linalojulikana zaidi

mgawanyiko wa nambari hizi.

Hebu tuangalie mfano kwa namba 12 na 9. Hebu tuandike vigawanyiko vyote vya 12 na vigawanyiko vyote vya 9. Kwa 12: 1, 2, 3, 4, 6 na 12; kwa 9: 1, 3 na 9; ni wazi kuwa wana vigawanyiko vya kawaida 1 na 3. Wacha tuchague kubwa kati yao ni 3. Kwa hivyo, (12, 9) = 3.

Ufafanuzi Nambari mbili a na b zinaitwa coprime ikiwa gcd yao ni sawa na 1.

Mfano. Kwa sababu (10,9)=1, kisha 10 na 9 ni nambari kuu.

Ufafanuzi huu unaweza kupanuliwa kwa idadi yoyote ya nambari. Ikiwa (a, b, c, . . . ) = 1, basi nambari a, b, c, . . . rahisi pande zote. Kwa mfano:

Î ï ð å ä ë å í è å. (a 1 , a 2 , ...a n ) ni nambari za nakala mbili ikiwa ni gcd ya jozi yoyote. sawa na moja(a i , a j ) = 1,i ≠ j .

Kwa mfano: 12,17,11 sio tu ya msingi, lakini pia coprime ya pande mbili.

Nadharia 1. Ikiwa a .b , basi (a, b ) =b .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Nambari b haiwezi kugawanywa na nambari kubwa kuliko yenyewe. Kwa hivyo, b ni GCD ya èb .

Nadharia 2. Hebu kuwe na uwakilishi a =bq +r (r si lazima iwe salio), kisha (a, b) = (b, r).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Fikiria mgawanyiko wowote wa kawaida hii c. Åñëa .c èb .c , tî

na Theorem 1.3 r .c , t.å.c pia ni kigawanyo cha kawaida cha b èr . Kigawanyiko chochote cha kawaida a èb ni kigawanyo cha kawaida b èr.

2. Kigawanyiko chochote cha kawaida b èr ni kigawanyo cha a. Hii ina maana kwamba vigawanyiko vya kawaida a, bèb, r vinapatana. Hii pia ni kweli kwa GCD.

3. Algorithm ya Euclid

Kwa nambari zozote èb kwa kutumia algorithm ya Euclidean mtu anaweza kupata

Acha ,b N iwe data ya ingizo ya algoriti, na (a, b ) =d N iwe towe.

		Bq 0	0 < r1 < b
		R 1 q 1	0 < r2 < r1
		R 2 q 2	0 < r3 < r2

	r i-2	R i−1 q i−1	0 < ri < ri− 1

	r n−2 = r n−1 q n−1 + r n		0 < rn < rn− 1
n+1	r n−1 = r nq n

Hatua ya 1. Gawanya íàb na salio a =bq 0 +r 1 , ãäå 0< r 1 < b . По теореме 2.2 (a, b ) = (b, r 1 ).

Hatua ya 2. Gawanya b íàr 1 na salio b =r 1 q 1 +r 2 , ãäå 0< r 2 < r 1 . Ïî теореме 2.2 (b, r 1 ) = (r 1 , r 2 ).

Na kadhalika mpaka itagawanywa kabisa. Kutoka kwa mlolongo wa usawa

(a, b) = (b, r 1) = (r 1, r 2) = (r 2, r 3) =... = (r n− 2, r n− 1) = (r n-1, r n) =r n

inafuata kwamba salio la mwisho lisilo sifuri r n itakuwa ya kawaida zaidi divisord =r n = (a, b ). Kwa sababu mabaki hupungua, basi algorithm itakamilika nambari ya mwisho hatua.

Nadharia zinazohusiana na algorithm ya Euclidean

Nadharia 1. Gcd ya nambari mbili inaweza kugawanywa na kigawanyiko chochote cha kawaida cha hizi

Åñëè (a, b) =d, òî (a c, c b) =d c, ãäå c kigawanyiko cha kawaida a èb.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Â maingizo ya algorithm ya Euclidean a, b и âñår nitatugawa. Tunapata

kurekodi algoriti ya Euclidean na data ya ingizo a b

jina a		c hii. Kutoka kwake ni wazi
jina a
	e c	sawa na c.

Nadharia 2. Ikiwa nambari mbili zimegawanywa na gcd yao, tunapata nambari kuu (a d, d b) = 1.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Nadharia 3. Ikiwa

Badala ya c (kutoka Theorem 1) tunabadilisha d.

(a, b) = 1, tòîc .b .ac . b

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Kwa nambari kuu kiasi a èb, kulingana na Theorem 7.1, kuna shoka la uwakilishi +kwa = 1. Tukizidisha usawa huu kwa c, tuna ac ·x +byc =c,

íî ac =bq ,bqx +byc =c ,b (qx +yc ) =c . Kwa hiyo, c .b .

GCD ya nambari kadhaa

(a1 , a2 , . . . , an ) = dn (a1 , a2 ) = d2

(d 2 , a 3 ) = d 3

(d n− 1 , a n ) =d n

4. Angalau nyingi za kawaida

Î UFAFANUZI: Mchanganuo wa kawaida wa nambari mbilièb ni nambari ambayo inaweza kugawanywa kwa nambari hizi zote mbili a èb.

Î UFAFANUZI: Nyingine ndogo zaidi ya kawaidaèb inaitwa kizidishio kisicho cha kawaida zaidi (LCM) cha èb.

Acha M .a èM .b , kisha M ni kizidishio cha kawaida cha èb . Tunaashiria kizidishio cha chini kabisa cha kawaida cha èb kama .

Nadharia 1. LCM ya nambari mbili sawa na uwiano kazi zao

=(a, ab b) .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Hebu tuonyeshe idadi kadhaa ya kawaida ya nambari a èb na M , kisha M .

a èM .b . Aidha, d = (a, b), a =a ′ d,b =b ′ d, na (a ′, b ′) = 1. Kwa ufafanuzi wa kugawanyikaM =a · k, ãäåk Z




					a' dk				a' k
					b' d				b′

a′ haigawanyiki kwa b′ , kwa sababu ni bora kiasi, kwa hivyo k .b ′ kutoka kwa nadharia ya 3.3

k = b′ t=




M = a · k=
					(a, b)

aina ya kizidishio chochote cha kawaida cha èb. Ïðèt = 1M ni LCM ya nambari a èb .

LCM ya nambari kadhaa

[a1, a2, . . . , an ] = Mn [ a1 , a2 ] = M2

M 3 = M 4

Åñëè (a, b) = 1, tòî =ab. Pr (a i, a j ) = 1,i ≠ j ,M =a 1 a 2 ·. . . · n.

5. Nambari kuu na zilizojumuishwa

Nambari yoyote inaweza kugawanywa na 1 na yenyewe. Wacha tuwaite wagawanyaji hawa kuwa duni.

Ufafanuzi: Nambari inaitwa mkuu ikiwa haina vigawanyiko visivyo vya kawaida. Nambari inaitwa composite ikiwa ina kigawanyiko kisicho cha kawaida. Nambari ya 1 sio ya msingi au ya mchanganyiko.

Nadharia 1. Kwa nambari yoyote asilia a na nambari kuu p

imeridhika au (a, p ) = 1 èëèa .p .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Nambari kuu p ina vigawanyiko viwili visivyo na maana. Inawezekana

chaguzi mbili: a .p èëèa ̸ .p . Åñëèa ̸ .p , basi GCD ya èp ni 1. Kwa hiyo, (a, p ) = 1.

Nadharia 2. Kigawanyo kidogo zaidi cha nambari kamili tofauti na moja, zaidi ya moja, ni nambari kuu.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Åñëè a ≠ 1, òîa =p·q , ãäåp ndicho kigawanyo kidogo zaidi kisicho cha maana. Tuseme p ni nambari iliyojumuishwa. Hii ina maana kwamba kuna

nambari kama hiyo s , ÷òîp .s , lakini a .s èp sio mgawanyiko mdogo, ambayo inapingana na hali hiyo. T.o.p ni nambari kuu.

Nadharia ya 3. Kigawanyiko kidogo zaidi kisicho na maana nambari ya mchanganyiko haizidi mzizi wake.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = q b, q ≤ b, q2 ≤ bq= a, q ≤ a.

Ungo wa Eratosthenes

Hebu tuandike seti ya nambari za asili

1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 , . . .

Kitengo ni nambari maalum. Tunaendelea na nambari zilizobaki kwa njia ifuatayo: chukua nambari, itangaze kuwa kuu na utambue wingi wake.

Kwa mfano, 2 ni nambari kuu, tunavuka nambari ambazo ni nyingi za mbili, kwa hivyo, hakutakuwa na nambari hata iliyobaki. Hebu tufanye vivyo hivyo na watatu. Unahitaji kuvuka 6, 9, 12, 15, 18, nk. Nambari zote zilizobaki ni kuu.

Nadharia 4. Seti ya nambari kuu haina mwisho. Ushahidi

Hebu ( 2, 3, 5, . . . , P) iwe seti ya mwisho ya nambari kuu na N = 2· 3· 5·. . .·P +1.N haiwezi kugawanywa kwa nambari yoyote kuu, kwa sababu inapogawanywa, iliyobaki ni 1. Lakini kigawanyiko kidogo zaidi kisicho cha kawaida N kulingana na Theorem 2 ni nambari kuu 2(, 3, 5, . . . , P). Kwa hivyo, idadi ya nambari kuu sio seti ya mwisho, lakini isiyo na kikomo.

6. Fomu ya kisheria ya nambari

Nadharia ya 1 (Nadharia ya Msingi ya Hesabu). Nambari yoyote isipokuwa 1 inaweza tu kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Kuwepo.

Nambari n, ya Theorem 5.2, ina kigawanyiko kikuu p 1

n n 1 = p 1 .

Hoja kama hiyo ni halali kwa nambari n 1

n2 = n 1 ,p 2

aya p2 mgawanyiko mkuu n 1. Na tutaendelea hivi hadi tupate n i = 1.

2. Upekee.

Acha nambari n iwe na mtengano wa nambari kuu mbili

n = p1 · p2 ·. . . · pl = q1 · q2 ·. . . · qs.

Bila kupoteza kwa ujumla, tunakubali l ≤ s. Kama upande wa kushoto usawa unaweza kugawanywa na 1, kisha moja sahihi pia inaweza kugawanywa na 1. Hii ina maana kwamba baadhi q i =p 1 . Hebu iwe q 1 =p 1 . Gawanya pande zote mbili za usawa kwa 1

Vile vile, tukubali q 2 = uk 2 . Tutaendelea utaratibu huu hadi usemi uchukue fomu

1 = ql +1 ·. . . · qs.

Åñëè l< s , то произведение простых чисел не может быть равно 1. Следовательно, предположение о двух различных разложениях числаn невер-

íî. Åsëè s =l , tòp i =q i äëÿi na upanuzi huo mbili sanjari. Nadharia imethibitishwa.

Nambari yoyote n N inaweza kuandikwa katika mfumo wa kisheria

n = p1 s 1 ·. . . · pl s l ,

L p i ni nambari kuu, s i N .

Uwakilishi wa kisheria hukuruhusu kuandika vigawanyiko vyote vya nambari na kuamua GCD na LCM.

Vigawanyiko vyote c vya nambari n vina fomu

c = p1 i 1 · p2 i 2 . . . pl i ,ãäå ij .

Kupata GCD na LCM

Acha nambari a na b ziwakilishwe katika fomu

a = p1 s 1 · p2 s 2 ·. . . · pl s l b= p1 t 1 · p2 t 2 ·. . . · pl t l .

Uwakilishi huu unatofautiana na ule wa kisheria kwa kuwa baadhi ya s i и t i inaweza kuwa sawa na 0.

Kisha mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida ni èb

(a, b) = p1 dakika (s 1,t 1) · p2 min (s 2,t 2) ·. . . · pl min (s l ,t l ),

na idadi ndogo ya kawaida ni:

[ a, b] = p1 max (s 1,t 1) · p2 max (s 2,t 2) ·. . . · pl max (s l,t l).

Kuanzia hapa ni wazi pia kwamba (a, b) inaweza kugawanywa na kigawanyiko chochote cha kawaida a èb.

7. Milinganyo ya mstari wa Diophantine yenye vitu viwili visivyojulikana

Î Mlinganyo wa mstari wa Diophantine na vitu viwili visivyojulikana ni mlingano wa fomu.

shoka + kwa = c,

ambapo viambajengo a, b, c na visivyojulikana x, y ni nambari kamili, aa na b si sawa na sufuri kwa wakati mmoja.

Theorem 1 (Kwenye uwakilishi wa mstari wa GCD). Kwa jozi zozote za nambari (a, b) ((a, b) ≠ (0, 0)) kuna kama vile x, y Z, ÷òîax +by =(a, b).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Fikiria seti ya nambari (ax + by) na uchague kiwango cha chini kutoka kwake nambari chanya d =shoka 0 +kwa 0 .

Hebu tuthibitishe kuwa d ni kigawanyo cha b.

Hebu isiwe kigawanyo, kwa hivyo,b =d q +r, ãäå 0< r < d ,

r = b − dq= b −(ax0 + by0 ) q= a(−x0 q) + b(1 − y0 q). Ni wazi kwamba:

1) nambari r (shoka +kwa);

2) r ni chanya;

3) r< d .

Lakini tulidhani kuwa d ndio nambari chanya ndogo zaidi kutoka kwa seti hii, kwa hivyo dhana yetu kwamba r< d неверно, значитd делительb .

Vile vile, tunaweza kuthibitisha kwamba .d .

Kutoka kwa haya yote inafuata kwamba d ni kigawanyo cha kawaida cha èb.

a. (a, b)

Kostak, b. (a, b) d. (a, b), íîd ni kigawanyo cha kawaida cha èb, kwa hivyo, d ÍÎÄ a è b.

Nadharia 2. Shoka la mlinganyo +kwa =c lina suluhisho ikiwa na ifc pekee inagawanywa kwa (a, b).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Hebuc. (a, b), kisha na Theorem 1 shoka+kwa= (a, b) Zidisha mlinganyo kwa c

( a,b )

a (a,xcb) + b (a,ycb) = c.

Jozi ya nambari ( x0 ,y0 ) itakuwa suluhisho kwa mlinganyo wa asili

{ x0 = (a,bxc)y0 = (a,byc).

2. Hebu tuthibitishe kwamba ikiwa mlinganyo una suluhisho, basi c. (a, b).

a. (a, b) , hivyo, c lazima pia igawanywe na ( a, b).

b . ( a, b )