Bidhaa ya mgao wa faida na kigawanyaji chanya. Masharti na dhana ya quotient ya integers

Kwa sababu tu kwa nambari kamili unahitaji kuhesabu ishara ya mgawo. Jinsi ya kuhesabu ishara ya quotient ya integers? Hebu tuangalie kwa undani katika mada.

Masharti na dhana ya quotient ya integers.

Ili kufanya mgawanyiko wa nambari, unahitaji kukumbuka masharti na dhana. Katika mgawanyiko kuna: mgao, mgawanyiko na mgawo wa nambari kamili.

Gawio ni nambari kamili ambayo inagawanywa. Kigawanyaji ni nambari kamili ambayo inagawanywa na. Privat ni matokeo ya kugawanya nambari kamili.

Unaweza kusema "Mgawanyiko wa nambari" au "Nukuu ya nambari"; maana ya misemo hii ni sawa, ambayo ni, unahitaji kugawanya nambari moja na nyingine na kupata jibu.

Mgawanyiko unatokana na kuzidisha. Hebu tuangalie mfano:

Tuna mambo mawili 3 na 4. Lakini hebu sema tunajua kwamba kuna sababu moja ya 3 na matokeo ya kuzidisha mambo ni bidhaa zao 12. Jinsi ya kupata sababu ya pili? Mgawanyiko unakuja kuwaokoa.

Kanuni ya kugawanya nambari kamili.

Ufafanuzi:

Nukuu ya nambari mbili kamili ni sawa na mgawo wa moduli zao, na ishara ya kuongeza kama matokeo ikiwa nambari zina ishara sawa, na kwa ishara ya minus ikiwa zina ishara tofauti.

Ni muhimu kuzingatia ishara ya quotient ya integers. Sheria fupi za kugawa nambari kamili:

Plus on plus inatoa plus.
“+ : + = +”

Hasi mbili hufanya uthibitisho.
“– : – =+”

Minus plus plus inatoa minus.
“– : + = –”

Plus mara minus inatoa minus.
“+ : – = –”

Sasa hebu tuangalie kwa undani kila nukta ya sheria ya kugawa nambari kamili.

Kugawanya nambari chanya.

Kumbuka kwamba nambari chanya ni sawa na nambari asilia. Tunatumia sheria sawa na za mgawanyiko nambari za asili. Alama ya mgawo ya kugawanya nambari kamili nambari chanya daima ni pamoja na. Kwa maneno mengine, wakati wa kugawanya nambari mbili " plus on plus inatoa plus”.

Mfano:
Gawanya 306 kwa 3.

Suluhisho:
Nambari zote mbili zina ishara "+", hivyo jibu litakuwa ishara "+".
306:3=102
Jibu: 102.

Mfano:
Gawanya gawio 220286 na mgawanyiko 589.

Suluhisho:
Gawio la 220286 na kigawanyo cha 589 vina ishara ya kuongeza, kwa hivyo mgawo pia utakuwa na ishara ya kuongeza.
220286:589=374
Jibu: 374

Kugawanya nambari hasi.

Sheria ya kugawanya nambari mbili hasi.

Hebu tuwe na nambari mbili hasi a na b. Tunahitaji kupata moduli zao na kufanya mgawanyiko.

Matokeo ya mgawanyiko au mgawo wa nambari mbili hasi itakuwa na ishara "+". au "hasi mbili hufanya uthibitisho".

Hebu tuangalie mfano:
Tafuta mgawo -900:(-12).

Suluhisho:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Jibu: -900:(-12)=75

Mfano:
Gawanya nambari moja hasi -504 kwa pili nambari hasi -14.

Suluhisho:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Usemi huo unaweza kuandikwa kwa ufupi zaidi:
-504:(-14)=34

Kugawanya nambari kamili na ishara tofauti. Sheria na mifano.

Kwa kufanya kugawanya nambari kamili na ishara tofauti , mgawo utakuwa sawa na nambari hasi.

Ikiwa nambari kamili chanya imegawanywa na nambari hasi au nambari hasi imegawanywa na nambari chanya, matokeo ya mgawanyiko yatakuwa sawa na nambari hasi kila wakati.

Minus plus plus inatoa minus.
Plus mara minus inatoa minus.

Mfano:
Pata mgawo wa nambari mbili kamili na ishara tofauti -2436:42.

Suluhisho:
-2436:42=-58

Mfano:
Hesabu mgawanyiko 4716:(-524).

Suluhisho:
4716:(-524)=-9

Sufuri imegawanywa na nambari kamili. Kanuni.

Wakati sifuri imegawanywa na nambari kamili, jibu ni sifuri.

Mfano:
Tekeleza mgawanyiko 0:558.

Suluhisho:
0:558=0

Mfano:
Gawanya sifuri kwa nambari hasi -4009.

Suluhisho:
0:(-4009)=0

Huwezi kugawanya kwa sifuri.

Hauwezi kugawanya 0 kwa 0.

Kuangalia mgawanyiko wa sehemu ya nambari kamili.

Kama ilivyoelezwa hapo awali, mgawanyiko na kuzidisha ni uhusiano wa karibu. Kwa hiyo, ili kuangalia matokeo ya kugawanya integers mbili, unahitaji kuzidisha mgawanyiko na mgawo, na kusababisha mgawanyiko.

Kuangalia matokeo ya mgawanyiko ni fomula fupi:
Kigawanyaji ∙ Nukuu = Gawio

Hebu tuangalie mfano:
Fanya mgawanyiko na uangalie 1888:(-32).

Suluhisho:
Makini na ishara za nambari kamili. Nambari 1888 ni chanya na ina ishara "+". Nambari (-32) ni hasi na ina ishara "-". Kwa hivyo, wakati wa kugawa nambari mbili na ishara tofauti, jibu litakuwa nambari hasi.
1888:(-32)=-59

Sasa hebu tuangalie jibu lililopatikana:
1888 - kugawanywa,
-32 - mgawanyiko,
-59 - faragha,

Tunazidisha kigawanyaji kwa mgawo.
-32∙(-59)=1888

Kazi ya n =f (n) ya hoja asilia n (n=1; 2; 3; 4;...) inaitwa mfuatano wa nambari.

Nambari 1; a 2; a 3; a 4;…, kutengeneza mfuatano, huitwa washiriki wa mfuatano wa nambari. Kwa hivyo a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);...

Kwa hivyo, washiriki wa mlolongo huteuliwa na barua zinazoonyesha fahirisi - nambari za serial wanachama wao: a 1; a 2; a 3; a 4;…, kwa hivyo, 1 ndiye mshiriki wa kwanza wa mfuatano;

a 2 ni muda wa pili wa mlolongo;

3 ni mwanachama wa tatu wa mlolongo;

a 4 ni muhula wa nne wa mlolongo, nk.

Kwa ufupi mfuatano wa nambari umeandikwa hivi: a n =f (n) au (a n).

Kuna njia zifuatazo za kutaja mlolongo wa nambari:

1) Mbinu ya maneno. Inawakilisha muundo au sheria ya mpangilio wa washiriki wa mlolongo, ulioelezewa kwa maneno.

Mfano 1. Andika mlolongo wa yote nambari zisizo hasi, nyingi za 5.

Suluhisho. Kwa kuwa nambari zote zinazoishia kwa 0 au 5 zinaweza kugawanywa na 5, mlolongo utaandikwa kama hii:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Mfano 2. Kutokana na mlolongo: 1; 4; 9; 16; 25; 36; .... Uliza kwa maneno.

Suluhisho. Tunaona kwamba 1=1 2; 4=2 2; 9=3 2; 16=4 2; 25=5 2; 36=6 2; ... Tunahitimisha: kutokana na mlolongo unaojumuisha miraba ya nambari za asili.

2) Mbinu ya uchambuzi. Mlolongo hutolewa na fomula ya neno la nth: n =f (n). Kwa kutumia fomula hii, unaweza kupata mwanachama yeyote wa mlolongo.

Mfano 3. Usemi wa neno la kth la mfuatano wa nambari unajulikana: a k = 3+2 · (k+1). Hesabu masharti manne ya kwanza ya mlolongo huu.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Mfano 4. Bainisha kanuni ya kutunga mfuatano wa nambari kwa kutumia washiriki wake wachache wa kwanza na ueleze neno la jumla la mfuatano huo kwa kutumia fomula rahisi zaidi: 1; 3; 5; 7; 9; ....

Suluhisho. Tunaona kwamba tunapewa mlolongo wa nambari zisizo za kawaida. Yoyote nambari isiyo ya kawaida inaweza kuandikwa kwa fomu: 2k-1, ambapo k ni nambari ya asili, i.e. k=1; 2; 3; 4; .... Jibu: a k =2k-1.

3) Mbinu ya mara kwa mara. Mlolongo pia hutolewa na fomula, lakini sio kwa fomula ya neno la jumla, ambayo inategemea tu idadi ya neno. Fomula imebainishwa ambayo kila muhula unaofuata unapatikana kupitia masharti yaliyotangulia. Katika kesi ya njia ya mara kwa mara ya kutaja kazi, mwanachama mmoja au kadhaa wa kwanza wa mlolongo daima huainishwa zaidi.

Mfano 5. Andika istilahi nne za kwanza za mfuatano (a n ),

ikiwa 1 = 7; a n+1 = 5+a n.

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Jibu: 7; 12; 17; 22; ....

Mfano 6. Andika istilahi tano za kwanza za mfuatano (b n),

ikiwa b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Jibu: -2; 3; -1; 5; 3; ....

4) Mbinu ya picha. Mlolongo wa nambari hutolewa na grafu, ambayo inawakilisha pointi pekee. Abscissas ya pointi hizi ni namba za asili: n = 1; 2; 3; 4; .... Maagizo ni maadili ya washiriki wa mlolongo: a 1; a 2; a 3; ya 4;….

Mfano 7. Andika istilahi zote tano za mfuatano wa nambari uliotolewa kwa michoro.

Kila nukta katika hili kuratibu ndege ina viwianishi (n; a n). Wacha tuandike kuratibu za alama zilizowekwa katika mpangilio wa kupanda wa abscissa n.

Tunapata: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Kwa hiyo, a 1 = -3; a 2 = 1; a 3 = 4; a 4 = 6; a 5 = 7.

Jibu: -3; 1; 4; 6; 7.

Imekaguliwa mlolongo wa nambari kama fomula (katika mfano 7) imetolewa kwenye seti ya nambari tano za asili (n=1; 2; 3; 4; 5), kwa hivyo, ni mlolongo wa nambari ya mwisho(lina wajumbe watano).

Ikiwa mlolongo wa nambari kama chaguo la kukokotoa umetolewa kwenye seti nzima ya nambari za asili, basi mlolongo huo utakuwa mlolongo wa nambari usio na kikomo.

Mlolongo wa nambari unaitwa kuongezeka, ikiwa wanachama wake wanaongezeka (a n+1 >a n) na kupungua, ikiwa wanachama wake zinapungua(n+1

Mlolongo wa nambari unaoongezeka au unaopungua unaitwa monotonous.

Nambari kubwa sana na ndogo sana kawaida huandikwa kwa fomu ya kawaida: a∙10 n, Wapi 1≤a<10 Na n(asili au nambari kamili) - ni mpangilio wa nambari iliyoandikwa kwa umbo la kawaida.

Kwa mfano, 345.7=3.457∙10 2; 123456=1.23456∙10 5 ; 0.000345=3.45∙10 -4.

Mifano.

Andika nambari katika fomu ya kawaida: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Suluhisho.

1) 40503=4.0503 · 10 4;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Mifano zaidi juu ya fomu ya kawaida ya nambari.

5) Idadi ya molekuli za gesi katika 1 cm 3 kwa 0 ° C na shinikizo la 760 mm ps.st ni sawa na

27 000 000 000 000 000 000.

Suluhisho.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) Sehemu 1(unit of length in astronomia) ni sawa na km 30,800,000,000,000. Andika nambari hii katika fomu ya kawaida.

Suluhisho.

Sehemu 1=30 800 000 000 000=3.08∙10 13 km.

Kwa uhakika:

Kilowati saa ni kitengo cha nishati au kazi isiyo ya mfumo, kinachotumika katika uhandisi wa umeme, kinachoashiria kWh.

1 kWh=3.6∙10 6 J(Joules).

Mara nyingi unahitaji kupata jumla ya mraba (x 1 2 +x 2 2) au jumla ya cubes (x 1 3 +x 2 3) ya mizizi ya equation ya quadratic, mara chache - jumla ya maadili yanayofanana ya miraba ya mizizi au jumla ya mizizi ya mraba ya hesabu ya mizizi ya equation ya quadratic:

Nadharia ya Vieta inaweza kusaidia na hii:

Jumla ya mizizi ya equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 +px+q=0 ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Hebu tueleze kupitia uk Na q:

1) jumla ya mraba wa mizizi ya equation x 2 +px+q=0;

2) jumla ya cubes ya mizizi ya equation x 2 +px+q=0.

Suluhisho.

1) Kujieleza x 1 2 +x 2 2 kupatikana kwa squaring pande zote mbili za equation x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2; fungua mabano: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; tunaeleza kiasi kinachohitajika: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Tulipata usawa muhimu: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Kujieleza x 1 3 +x 2 3 Wacha tuwakilishe jumla ya cubes kwa kutumia formula:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

Equation nyingine muhimu: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Mifano.

3) x 2 -3x-4=0. Bila kusuluhisha mlinganyo, hesabu thamani ya usemi x 1 2 +x 2 2.

Suluhisho.

x 1 +x 2 =-p=3, na kazi x 1 ∙x 2 =q=kwa mfano 1) usawa:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Tuna -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Kisha x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Jibu: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Hesabu: x 1 3 +x 2 3 .

Suluhisho.

Kwa nadharia ya Vieta, jumla ya mizizi ya equation hii ya quadratic iliyopunguzwa ni x 1 +x 2 =-p=2, na kazi x 1 ∙x 2 =q=-4. Wacha tutumie tulichopokea ( katika mfano 2) usawa: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Jibu: x 1 3 +x 2 3 =32.

Swali: vipi ikiwa tutapewa equation ya quadratic isiyopunguzwa? Jibu: inaweza "kupunguzwa" kila wakati kwa kugawa neno kwa neno na mgawo wa kwanza.

5) 2x 2 -5x-7=0. Bila kuamua, hesabu: x 1 2 +x 2 2.

Suluhisho. Tunapewa equation kamili ya quadratic. Gawa pande zote mbili za usawa kwa 2 (mgawo wa kwanza) na upate mlinganyo wa quadratic ufuatao: x 2 -2.5x-3.5=0.

Kulingana na nadharia ya Vieta, jumla ya mizizi ni sawa na 2,5 ; bidhaa ya mizizi ni sawa -3,5 .

Tunatatua kwa njia sawa na mfano 3) kwa kutumia usawa: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Jibu: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Tafuta:

Wacha tubadilishe usawa huu na, kwa kutumia nadharia ya Vieta, tubadilishe jumla ya mizizi kupitia -p, na bidhaa ya mizizi kupitia q, tunapata fomula nyingine muhimu. Wakati wa kupata fomula, tulitumia usawa 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Katika mfano wetu x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula inayosababisha:

7) x 2 -13x+36=0. Tafuta:

Hebu tubadilishe jumla hii na tupate fomula inayoweza kutumika kupata jumla ya mizizi ya mraba ya hesabu kutoka kwenye mizizi ya mlinganyo wa quadratic.

Tuna x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula inayosababisha:

Ushauri : daima angalia uwezekano wa kupata mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia njia inayofaa, kwa sababu 4 imepitiwa fomula muhimu hukuruhusu kukamilisha kazi haraka, haswa katika hali ambapo kibaguzi ni nambari "isiyo rahisi". Katika hali zote rahisi, pata mizizi na ufanyie kazi. Kwa mfano, katika mfano wa mwisho tunachagua mizizi kwa kutumia nadharia ya Vieta: jumla ya mizizi inapaswa kuwa sawa na 13 , na bidhaa ya mizizi 36 . Nambari hizi ni nini? Hakika, 4 na 9. Sasa hesabu jumla ya mizizi ya mraba ya nambari hizi: 2+3=5. Ni hayo tu!

Mgawanyiko unafafanuliwa kama kinyume cha kuzidisha.

Kugawanya nambari moja kwa njia nyingine kupata nambari ya tatu ambayo, ikizidishwa na mgawanyiko, itatoa gawio katika bidhaa:

Kulingana na ufafanuzi huu, tunapata kanuni ya mgawanyiko wa nambari za busara.

Kwanza kabisa, hebu tuonyeshe mara moja na kwa wote kwamba mgawanyiko hauwezi kuwa sifuri. Mgawanyiko kwa sifuri haujumuishwi kwa sababu sawa na ambayo haikujumuishwa katika hesabu.

Thamani kamili a ni sawa na bidhaa ya maadili kamili na c. Hii ina maana kwamba thamani kamili ya b ni sawa na thamani kamili ya iliyogawanywa na thamani kamili.

Hebu tufafanue ishara ya quotient s.

Ikiwa mgawanyiko na mgawanyiko una ishara sawa, basi mgawo ni nambari chanya. Hakika, ikiwa a na ni chanya, basi quotient o pia itakuwa nambari chanya.

Mfano. kwa sababu

Ikiwa a na ni hasi, basi mgawo wa c lazima pia uwe chanya katika kesi hii, kwani kwa kuzidisha kwa nambari yake hasi lazima tupate nambari hasi a.

Mfano. kwa sababu

Ikiwa mgawanyiko na mgawanyiko wana ishara tofauti, basi mgawo ni nambari hasi. Hakika, ikiwa ni chanya na a ni hasi, basi c lazima iwe hasi, kwani kwa kuzidisha nambari hasi kwayo lazima tupate nambari chanya a.

Mfano. kwa sababu

Ikiwa a ni hasi na a ni chanya, basi katika kesi hii c lazima iwe nambari hasi, kwani kwa kuzidisha nambari chanya nayo lazima tupate nambari hasi a.

Mfano. kwa sababu

Kwa hivyo, tulikuja kwa kanuni ifuatayo ya mgawanyiko:

Ili kugawanya kitu kimoja na kingine, unahitaji kugawanya thamani kamili ya gawio kwa thamani kamili ya mgawanyiko na kuweka ishara ya kuongeza mbele ya mgawo, ikiwa mgawanyiko na mgawanyiko wana ishara sawa, na ishara ya minus. ,

ikiwa mgawanyiko na mgawanyiko wana ishara tofauti.

Kama tulivyokwisha sema, mgawanyiko kwa sifuri hauwezekani, wacha tueleze hii kwa undani zaidi. Tuseme unahitaji kugawa nambari isiyo ya sifuri, kwa mfano -3, na 0.

Ikiwa nambari a ndio mgawo unaotaka, basi kwa kuzidisha na mgawanyiko, ambayo ni, kwa 0, lazima tupate gawio, ambayo ni - 3. Lakini bidhaa ni sawa na 0, na mgawanyiko - 3 hauwezi kuwa. kupatikana. Kutokana na hili tunahitimisha kuwa nambari

Huwezi kugawanya 3 kwa sifuri.

Hebu nambari 0 igawanywe na 0. Hebu iwe mgawo unaohitajika; kuzidisha a kwa kigawanyiko 0, tunapata 0 katika bidhaa kwa thamani yoyote ya:

Kwa hivyo, hatukupata nambari yoyote maalum: kuzidisha nambari yoyote kwa 0, tunapata 0. Kwa hiyo, kugawanya sifuri na sifuri pia inachukuliwa kuwa haiwezekani.

Kwa nambari za busara, mali ifuatayo ya mgawo inabaki kutumika:

Mgawo wa nambari mbili hautabadilika ikiwa gawio na kigawanyaji vinazidishwa na nambari sawa (sio sawa na sifuri).

Hebu tueleze hili kwa mifano ifuatayo.

1. Fikiria mgawo, zidisha mgao na mgawanyiko kwa - 4; kisha tunapata mgawo mpya

Kwa hivyo, katika mgawo mpya tulipata nambari sawa 2.

2. Fikiria mgawo, zidisha mgao na kigawanya kwa - kisha tunapata mgawo ufuatao:

Mgawo haujabadilika kwani matokeo ni nambari sawa