Vigezo vya mgawanyiko kwa nambari za asili.
Nambari zinazogawanywa na 2 bila salio huitwahata .
Nambari ambazo hazijagawanywa kwa 2 zinaitwaisiyo ya kawaida .
Jaribio la kugawanyika kwa 2
Ikiwa nambari asilia inaisha na nambari iliyo sawa, basi nambari hii inaweza kugawanywa na 2 bila salio, na ikiwa nambari inaisha na nambari isiyo ya kawaida, basi nambari hii haigawanyiki sawasawa na 2.
Kwa mfano, nambari 60 , 30 8 , 8 4 zinaweza kugawanywa na 2 bila salio, na nambari ni 51 , 8 5 , 16 7 hazigawanyiki kwa 2 bila salio.
Jaribio la kugawanyika kwa 3
Ikiwa jumla ya nambari za nambari zinaweza kugawanywa na 3, basi nambari inaweza kugawanywa na 3; Ikiwa jumla ya nambari za nambari hazigawanyiki na 3, basi nambari hiyo haiwezi kugawanywa na 3.
Kwa mfano, hebu tujue ikiwa nambari 2772825 inaweza kugawanywa na 3. Ili kufanya hivyo, hebu tuhesabu jumla ya tarakimu za nambari hii: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - kugawanywa na 3. Hii inamaanisha kuwa nambari 2772825 inaweza kugawanywa na 3.
Jaribio la mgawanyiko kwa 5
Ikiwa rekodi ya nambari ya asili inaisha na nambari 0 au 5, basi nambari hii inaweza kugawanywa na 5 bila salio. Ikiwa rekodi ya nambari inaisha na nambari nyingine, basi nambari haigawanyiki na 5 bila salio.
Kwa mfano, nambari 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 zinaweza kugawanywa na 5 bila salio, na nambari ni 17 , 37 8 , 9 1 usishiriki.
Jaribio la mgawanyiko kwa 9
Ikiwa jumla ya nambari za nambari zinaweza kugawanywa na 9, basi nambari inaweza kugawanywa na 9; Ikiwa jumla ya nambari za nambari hazigawanyiki na 9, basi nambari hiyo haiwezi kugawanywa na 9.
Kwa mfano, hebu tujue ikiwa nambari 5402070 inaweza kugawanywa na 9. Ili kufanya hivyo, hebu tuhesabu jumla ya tarakimu za nambari hii: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - haiwezi kugawanywa na 9. Hii inamaanisha kuwa nambari 5402070 haiwezi kugawanywa na 9.
Jaribio la mgawanyiko kwa 10
Ikiwa nambari asilia itaisha na nambari 0, basi nambari hii inaweza kugawanywa na 10 bila salio. Ikiwa nambari asilia itaisha na nambari nyingine, basi haiwezi kugawanywa kwa 10 sawasawa.
Kwa mfano, nambari 40 , 17 0 , 1409 0 zinagawanywa na 10 bila salio, na nambari 17 , 9 3 , 1430 7 - usishiriki.
Sheria ya kutafuta mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida (GCD).
Ili kupata kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari kadhaa za asili, unahitaji:
2) kutoka kwa sababu zilizojumuishwa katika upanuzi wa moja ya nambari hizi, vuka zile ambazo hazijajumuishwa katika upanuzi wa nambari zingine;
3) kupata bidhaa ya mambo iliyobaki.
Mfano. Wacha tupate GCD (48;36). Hebu tumia kanuni.
1. Wacha tuzingatie nambari 48 na 36 kuwa sababu kuu.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Kutoka kwa sababu zilizojumuishwa katika upanuzi wa nambari 48, tunafuta zile ambazo hazijajumuishwa katika upanuzi wa nambari 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Sababu zilizobaki ni 2, 2 na 3.
3. Zidisha vipengele vilivyosalia na upate 12. Nambari hii ndiyo kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari 48 na 36.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Sheria ya kupata nyingi za kawaida zaidi (LCM).
Ili kupata kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari kadhaa za asili, unahitaji:
1) ziweke kuwa sababu kuu;
2) kuandika mambo yaliyojumuishwa katika upanuzi wa moja ya nambari;
3) kuongeza kwao sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari zilizobaki;
4) pata bidhaa ya sababu zinazosababisha.
Mfano. Wacha tupate LOC (75;60). Hebu tumia kanuni.
1. Wacha tuzingatie nambari 75 na 60 kuwa sababu kuu.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Hebu tuandike mambo yaliyojumuishwa katika upanuzi wa nambari 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Ongeza kwao sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari 60, i.e. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Pata bidhaa ya sababu zinazosababisha
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Nambari kubwa ya asili ambayo nambari a na b zimegawanywa bila salio inaitwa mgawanyiko mkubwa wa kawaida nambari hizi. Onyesha GCD(a, b).
Wacha tufikirie kupata GCD kwa kutumia mfano wa nambari mbili asilia 18 na 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Na 432
Wacha tuzingatie nambari katika sababu kuu:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Kuvuka kutoka kwa nambari ya kwanza sababu ambazo haziko katika nambari ya pili na ya tatu, tunapata:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Kama matokeo, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Kupata GCD kwa kutumia algorithm ya Euclidean
Njia ya pili ya kupata kigawanyiko kikubwa zaidi ni kutumia Algorithm ya Euclidean. Algorithm ya Euclidean ndio njia bora zaidi ya kupata GCD, ukitumia unahitaji kupata kila mara mabaki ya nambari za kugawanya na kuomba fomula ya kurudia.
Fomula ya kurudia kwa GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), ambapo mod b ni salio la iliyogawanywa na b.
Algorithm ya Euclid
Mfano Tafuta kigawanyaji kikubwa zaidi cha nambari 7920 Na 594
Wacha tupate GCD ( 7920 , 594 ) kwa kutumia algoriti ya Euclidean, tutahesabu sehemu iliyobaki ya mgawanyiko kwa kutumia kikokotoo.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Kama matokeo, tunapata GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Angalau nyingi za kawaida
Ili kupata dhehebu la kawaida wakati wa kuongeza na kutoa sehemu na madhehebu tofauti, unahitaji kujua na kuweza kuhesabu. angalau nyingi za kawaida(NOK).
Kizidisho cha nambari "a" ni nambari ambayo yenyewe inaweza kugawanywa kwa nambari "a" bila salio.
Nambari ambazo ni zidishi za 8 (yaani, nambari hizi zinaweza kugawanywa na 8 bila salio): hizi ni nambari 16, 24, 32...
Nyingi za 9: 18, 27, 36, 45...
Kuna vizidishi vingi vya nambari fulani a, tofauti na vigawanyiko vya nambari sawa. Kuna idadi ya mwisho ya vigawanyiko.
Kizidishio cha kawaida cha nambari mbili asilia ni nambari ambayo inaweza kugawanywa na nambari hizi zote mbili..
Angalau nyingi za kawaida(LCM) ya nambari asilia mbili au zaidi ndiyo nambari asilia ndogo kabisa ambayo yenyewe inaweza kugawanywa kwa kila moja ya nambari hizi.
Jinsi ya kupata NOC
LCM inaweza kupatikana na kuandikwa kwa njia mbili.
Njia ya kwanza ya kupata LOC
Njia hii hutumiwa kwa idadi ndogo.
- Tunaandika vizidishio kwa kila nambari kwenye mstari hadi tupate kizidishio ambacho ni sawa kwa nambari zote mbili.
- Msururu wa nambari "a" unaonyeshwa na herufi kubwa "K".
Mfano. Tafuta LCM 6 na 8.
Njia ya pili ya kupata LOC
Njia hii ni rahisi kutumia kupata LCM kwa nambari tatu au zaidi.
Idadi ya sababu zinazofanana katika mtengano wa nambari zinaweza kuwa tofauti.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Jibu: LCM (24, 60) = 120
Unaweza pia kurasimisha kupata nyingi za kawaida zaidi (LCM) kama ifuatavyo. Wacha tupate LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Kama tunavyoona kutoka kwa mtengano wa nambari, mambo yote ya 12 yanajumuishwa katika mtengano wa 24 (kubwa zaidi ya nambari), kwa hivyo tunaongeza moja tu 2 kutoka kwa mtengano wa nambari 16 hadi LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Jibu: LCM (12, 16, 24) = 48
Kesi maalum za kupata NOC
Kwa mfano, LCM (60, 15) = 60
Kwa kuwa nambari za coprime hazina sababu kuu za kawaida, idadi yao isiyo ya kawaida ni sawa na bidhaa ya nambari hizi.
Kwenye tovuti yetu unaweza pia kutumia kikokotoo maalum ili kupata angalau nyingi nyingi mtandaoni ili kuangalia hesabu zako.
Ikiwa nambari ya asili inaweza kugawanywa tu na 1 na yenyewe, basi inaitwa mkuu.
Nambari yoyote ya asili daima inaweza kugawanywa na 1 na yenyewe.
Nambari 2 ndio nambari kuu ndogo zaidi. Hii ndiyo nambari kuu pekee, nambari kuu zilizobaki ni zisizo za kawaida.
Kuna nambari nyingi kuu, na ya kwanza kati yao ni nambari 2. Walakini, hakuna nambari kuu ya mwisho. Katika sehemu ya "Kwa Masomo" unaweza kupakua jedwali la nambari kuu hadi 997.
Lakini nambari nyingi za asili pia zinagawanywa na nambari zingine za asili.
- nambari ya 12 inaweza kugawanywa na 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- Nambari 36 inaweza kugawanywa na 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
- kutenganisha vigawanyiko vya nambari katika mambo makuu;
Nambari ambazo nambari inaweza kugawanywa kwa jumla (kwa 12 hizi ni 1, 2, 3, 4, 6 na 12) huitwa vigawanyiko vya nambari.
Kigawanyaji cha nambari asilia ni nambari asilia inayogawanya nambari iliyotolewa "a" bila salio.
Nambari ya asili ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili inaitwa composite.
Tafadhali kumbuka kuwa nambari 12 na 36 zina mambo ya kawaida. Nambari hizi ni: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari hizi ni 12.
Kigawanyiko cha kawaida cha nambari mbili zilizopewa "a" na "b" ni nambari ambayo nambari zilizopewa "a" na "b" zimegawanywa bila salio.
Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida(GCD) ya nambari mbili zilizotolewa "a" na "b" ndiyo nambari kubwa zaidi ambayo nambari zote "a" na "b" zinagawanywa bila salio.
Kwa kifupi, kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari "a" na "b" kimeandikwa kama ifuatavyo::
Mfano: gcd (12; 36) = 12.
Wagawanyiko wa nambari katika rekodi ya suluhisho huonyeshwa na herufi kubwa "D".
Nambari 7 na 9 zina mgawanyiko mmoja tu wa kawaida - nambari 1. Nambari kama hizo zinaitwa nambari za coprime.
Nambari za Coprime- hizi ni nambari za asili ambazo zina mgawanyiko mmoja tu wa kawaida - nambari 1. Gcd yao ni 1.
Jinsi ya kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida
Ili kupata gcd ya nambari mbili au zaidi za asili unahitaji:
Ni rahisi kuandika mahesabu kwa kutumia bar wima. Kwa upande wa kushoto wa mstari tunaandika kwanza mgawanyiko, kwa haki - mgawanyiko. Ifuatayo, kwenye safu ya kushoto tunaandika maadili ya quotients.
Hebu tueleze mara moja kwa mfano. Wacha tuzingatie nambari 28 na 64 kuwa sababu kuu.
- Tunasisitiza mambo makuu sawa katika nambari zote mbili.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Tafuta bidhaa ya sababu kuu zinazofanana na uandike jibu;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Jibu: GCD (28; 64) = 4
Unaweza kurasimisha eneo la GCD kwa njia mbili: kwenye safu (kama ilivyofanywa hapo juu) au "mfululizo".
Njia ya kwanza ya kuandika gcd
Tafuta gcd 48 na 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Njia ya pili ya kuandika gcd
Sasa hebu tuandike suluhisho la utafutaji wa GCD kwa mstari. Tafuta gcd 10 na 15.
Kwenye tovuti yetu ya habari unaweza pia kutumia Mgawanyiko Mkuu Msaidizi mtandaoni ili kuangalia mahesabu yako.
Kutafuta njia nyingi, njia, mifano ya kupata LCM.
Nyenzo iliyowasilishwa hapa chini ni mwendelezo wa kimantiki wa nadharia kutoka kwa kifungu kinachoitwa LCM - anuwai ya kawaida, ufafanuzi, mifano, uhusiano kati ya LCM na GCD. Hapa tutazungumzia kupata nyingi zaidi ya kawaida (LCM), na tutalipa kipaumbele maalum kwa kutatua mifano. Kwanza, tutaonyesha jinsi LCM ya nambari mbili inavyohesabiwa kwa kutumia GCD ya nambari hizi. Ifuatayo, tutaangalia kupata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu. Baada ya hayo, tutazingatia kutafuta LCM ya namba tatu au zaidi, na pia makini na kuhesabu LCM ya namba hasi.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa Angalau Nyingi Za Kawaida (LCM) kupitia GCD
Njia moja ya kupata kizidishio kisicho kawaida ni msingi wa uhusiano kati ya LCM na GCD. Muunganisho uliopo kati ya LCM na GCD huturuhusu kukokotoa kizidishio kisicho cha kawaida kati ya nambari mbili kamili chanya kupitia kigawanyo kikuu kinachojulikana zaidi. Fomula inayolingana ni LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Wacha tuangalie mifano ya kupata LCM kwa kutumia fomula uliyopewa.
Pata kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari mbili 126 na 70.
Katika mfano huu a=126 , b=70 . Hebu tutumie muunganisho kati ya LCM na GCD, unaoonyeshwa na fomula LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Hiyo ni, kwanza tunapaswa kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari 70 na 126, baada ya hapo tunaweza kuhesabu LCM ya nambari hizi kwa kutumia fomula iliyoandikwa.
Wacha tupate GCD(126, 70) kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, kwa hivyo, GCD(126, 70)=14.
Sasa tunapata kizidishio kinachohitajika angalau cha kawaida: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
LCM(68, 34) ni sawa na nini?
Kwa kuwa 68 inaweza kugawanywa na 34, basi GCD(68, 34)=34. Sasa tunakokotoa idadi isiyo ya kawaida zaidi: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Kumbuka kuwa mfano uliopita unalingana na kanuni ifuatayo ya kupata LCM kwa nambari kamili a na b: ikiwa a inaweza kugawanywa kwa b, basi kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hizi ni a.
Kupata LCM kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu
Njia nyingine ya kupata nyingi zaidi ya kawaida ni kwa msingi wa nambari za uainishaji kuwa sababu kuu. Ikiwa utatunga bidhaa kutoka kwa vipengele vyote kuu vya nambari zilizopewa, na kisha uondoe kutoka kwa bidhaa hii mambo yote kuu ya kawaida yaliyopo katika mtengano wa nambari zilizotolewa, basi bidhaa inayotokana itakuwa sawa na idadi ndogo ya kawaida ya nambari zilizotolewa. .
Kanuni iliyobainishwa ya kutafuta LCM inafuata kutoka kwa usawa LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Hakika, bidhaa ya nambari a na b ni sawa na bidhaa ya mambo yote yanayohusika katika upanuzi wa nambari a na b. Kwa upande wake, GCD(a, b) ni sawa na bidhaa ya mambo yote kuu yaliyopo wakati huo huo katika upanuzi wa nambari a na b (kama ilivyoelezewa katika sehemu ya kutafuta GCD kwa kutumia upanuzi wa nambari kuwa sababu kuu).
Hebu tutoe mfano. Tujue kuwa 75=3 · 5 · 5 na 210=2 · 3 · 5 · 7. Hebu tutengeneze bidhaa kutoka kwa mambo yote ya upanuzi huu: 2·3·3·5·5·5·7 . Sasa kutoka kwa bidhaa hii tunaondoa mambo yote yaliyopo katika upanuzi wa nambari 75 na upanuzi wa nambari 210 (mambo haya ni 3 na 5), basi bidhaa itachukua fomu 2 · 3 · 5 · 5 · 7. . Thamani ya bidhaa hii ni sawa na kizidishio cha chini kabisa cha kawaida cha nambari 75 na 210, yaani, LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Weka nambari 441 na 700 kuwa sababu kuu na upate kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hizi.
Wacha tuzingatie nambari 441 na 700 kwa sababu kuu: 
Tunapata 441=3 · 3 · 7 · 7 na 700=2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Sasa hebu tutengeneze bidhaa kutoka kwa vipengele vyote vinavyohusika katika upanuzi wa nambari hizi: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Hebu tuondoe kutoka kwa bidhaa hii mambo yote ambayo yanapo wakati huo huo katika upanuzi wote (kuna sababu moja tu - hii ni nambari 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Hivyo, LCM(441, 700)=2·2·3·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Sheria ya kupata LCM kwa kutumia uainishaji wa nambari kuwa sababu kuu inaweza kutengenezwa kwa njia tofauti kidogo. Ikiwa sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari b zinaongezwa kwa sababu kutoka kwa upanuzi wa nambari a, basi thamani ya bidhaa inayotokana itakuwa sawa na idadi ndogo ya kawaida ya nambari a na b.
Kwa mfano, hebu tuchukue nambari sawa 75 na 210, mtengano wao kuwa sababu kuu ni kama ifuatavyo: 75 = 3 · 5 · 5 na 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Kwa sababu 3, 5 na 5 kutoka kwa upanuzi wa nambari 75 tunaongeza sababu zinazokosekana 2 na 7 kutoka kwa upanuzi wa nambari 210, tunapata bidhaa 2 · 3 · 5 · 5 · 7, thamani yake ni. sawa na LCM(75, 210).
Pata kizidishio kidogo cha kawaida cha 84 na 648.
Kwanza tunapata mtengano wa nambari 84 na 648 kuwa sababu kuu. Wanafanana na 84=2·2·3·7 na 648=2·2·2·3·3·3·3. Kwa sababu 2, 2, 3 na 7 kutoka kwa upanuzi wa nambari 84 tunaongeza sababu zinazokosekana 2, 3, 3 na 3 kutoka kwa upanuzi wa nambari 648, tunapata bidhaa 2 2 2 3 3 3 3 7, ambayo ni sawa na 4 536 . Kwa hivyo, kizidishio cha kawaida kinachotakikana cha 84 na 648 ni 4,536.
Kupata LCM ya nambari tatu au zaidi
Kizidishio cha chini kabisa cha nambari tatu au zaidi kinaweza kupatikana kwa kutafuta LCM ya nambari mbili kwa mpangilio. Wacha tukumbuke nadharia inayolingana, ambayo inatoa njia ya kupata LCM ya nambari tatu au zaidi.
Acha nambari kamili chanya a 1 , a 2 , ..., a k itolewe, m k nyingi ya kawaida kati ya nambari hizi hupatikana kwa kukokotoa kwa mpangilio m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , ... , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Wacha tuzingatie utumiaji wa nadharia hii kwa kutumia mfano wa kupata nambari ya kawaida zaidi ya nambari nne.
Pata LCM ya nambari nne 140, 9, 54 na 250.
Kwanza tunapata m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) . Ili kufanya hivyo, kwa kutumia algoriti ya Euclidean, tunaamua GCD(140, 9), tuna 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, kwa hiyo, GCD(140, 9)=1, ambayo LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Hiyo ni, m 2 =1 260.
Sasa tunapata m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54). Wacha tuihesabu kupitia GCD(1 260, 54), ambayo pia tunaamua kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Kisha gcd(1,260, 54)=18, ambayo gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Hiyo ni, m 3 =3 780.
Inabakia kupata m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250). Ili kufanya hivyo, tunapata GCD(3,780, 250) kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Kwa hiyo, GCD(3,780, 250)=10, ambayo GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Hiyo ni, m 4 = 94,500.
Kwa hivyo idadi ndogo zaidi ya nambari nne asili ni 94,500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .
Katika hali nyingi, ni rahisi kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari tatu au zaidi kwa kutumia sababu kuu za nambari ulizopewa. Katika kesi hii, unapaswa kufuata sheria zifuatazo. Idadi ndogo ya kawaida ya nambari kadhaa ni sawa na bidhaa, ambayo imeundwa kama ifuatavyo: sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili huongezwa kwa mambo yote kutoka kwa upanuzi wa nambari ya kwanza, sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari. nambari ya tatu huongezwa kwa sababu zinazosababisha, na kadhalika.
Wacha tuangalie mfano wa kupata nyingi zaidi ya kawaida kwa kutumia factorization kuu.
Tafuta idadi ndogo zaidi ya nambari tano 84, 6, 48, 7, 143.
Kwanza, tunapata mtengano wa nambari hizi kuwa sababu kuu: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ni nambari kuu, inalingana. na mtengano wake katika mambo makuu) na 143=11 · 13.
Ili kupata LCM ya nambari hizi, kwa sababu za nambari ya kwanza 84 (ni 2, 2, 3 na 7), unahitaji kuongeza sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili 6. Mtengano wa nambari 6 hauna sababu zinazokosekana, kwani 2 na 3 tayari zipo katika mtengano wa nambari ya kwanza 84. Ifuatayo, kwa sababu 2, 2, 3 na 7 tunaongeza sababu zinazokosekana 2 na 2 kutoka kwa upanuzi wa nambari ya tatu 48, tunapata seti ya mambo 2, 2, 2, 2, 3 na 7. Hakutakuwa na haja ya kuongeza vizidishi kwenye seti hii katika hatua inayofuata, kwani 7 tayari iko ndani yake. Mwishowe, kwa sababu 2, 2, 2, 2, 3 na 7 tunaongeza sababu zinazokosekana 11 na 13 kutoka kwa upanuzi wa nambari 143. Tunapata bidhaa 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, ambayo ni sawa na 48,048.
Kwa hiyo, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .
Kutafuta idadi isiyo ya kawaida zaidi ya nambari hasi
Wakati mwingine kuna kazi ambazo unahitaji kupata idadi ndogo ya kawaida ya nambari, kati ya ambayo moja, kadhaa au nambari zote ni hasi. Katika kesi hizi, nambari zote hasi lazima zibadilishwe na nambari zao tofauti, na kisha LCM ya nambari chanya lazima ipatikane. Hii ndio njia ya kupata LCM ya nambari hasi. Kwa mfano, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) na LCM(−622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Tunaweza kufanya hivi kwa sababu seti ya vizidishi vya a ni sawa na seti ya vizidishi vya −a (a na −a ni nambari tofauti). Kwa kweli, acha b iwe kizidisho cha a, kisha b kinaweza kugawanywa na a, na dhana ya mgawanyiko inaeleza kuwepo kwa nambari kamili q hivi kwamba b=a·q. Lakini usawa b=(−a)·(−q) pia utakuwa wa kweli, ambao, kutokana na dhana hiyo hiyo ya mgawanyiko, ina maana kwamba b inagawanywa kwa −a, yaani, b ni kizidishio cha −a. Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa b ni kizidishio cha −a, basi b pia ni kizidishio cha a.
Tafuta kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hasi -145 na -45.
Wacha tubadilishe nambari hasi -145 na -45 na nambari zao tofauti 145 na 45. Tuna LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Baada ya kuamua GCD(145, 45)=5 (kwa mfano, kwa kutumia algoriti ya Euclidean), tunakokotoa GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Kwa hivyo, kizidisho cha chini kabisa cha kawaida cha nambari hasi -145 na -45 ni 1,305.
www.cleverstudents.ru
Tunaendelea kusoma divisheni. Katika somo hili tutaangalia dhana kama vile GCD Na NOC.
GCD ndiye mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida.
NOC ndio nyingi zaidi ya kawaida.
Mada hiyo ni ya kuchosha sana, lakini hakika unahitaji kuielewa. Bila kuelewa mada hii, hautaweza kufanya kazi kwa ufanisi na sehemu, ambazo ni kikwazo cha kweli katika hisabati.
Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida
Ufafanuzi. Mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari a Na b a Na b kugawanywa bila salio.
Ili kuelewa ufafanuzi huu vizuri, hebu tubadilishe vigezo a Na b nambari zozote mbili, kwa mfano, badala ya kutofautisha a Wacha tubadilishe nambari 12, na badala ya kutofautisha b nambari 9. Sasa hebu tujaribu kusoma ufafanuzi huu:
Mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari 12 Na 9 inaitwa idadi kubwa zaidi ambayo kwayo 12 Na 9 kugawanywa bila salio.
Kutoka kwa ufafanuzi ni wazi kwamba tunazungumzia mgawanyiko wa kawaida wa namba 12 na 9, na mgawanyiko huu ni mkubwa zaidi wa wagawanyiko wote uliopo. Kigawanyiko hiki kikuu cha kawaida (GCD) kinahitaji kupatikana.
Ili kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari mbili, njia tatu hutumiwa. Njia ya kwanza ni ngumu sana, lakini hukuruhusu kuelewa wazi kiini cha mada na kuhisi maana yake kamili.
Njia ya pili na ya tatu ni rahisi sana na inafanya uwezekano wa kupata GCD haraka. Tutaangalia njia zote tatu. Na ni ipi ya kutumia katika mazoezi ni juu yako kuchagua.
Njia ya kwanza ni kupata vigawanyiko vyote vinavyowezekana vya nambari mbili na uchague moja kubwa zaidi. Wacha tuangalie njia hii kwa kutumia mfano ufuatao: pata kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari 12 na 9.
Kwanza, tutapata wagawanyaji wote wanaowezekana wa nambari 12. Ili kufanya hivyo, tutagawanya 12 na wagawanyiko wote katika safu kutoka 1 hadi 12. Ikiwa mgawanyiko unaturuhusu kugawanya 12 bila salio, basi tutaiangazia katika bluu na utoe maelezo yanayofaa kwenye mabano.
12: 1 = 12
(12 imegawanywa na 1 bila salio, ambayo inamaanisha 1 ni kigawanyo cha nambari 12)
12: 2 = 6
(12 imegawanywa na 2 bila salio, ambayo inamaanisha 2 ni kigawanyo cha nambari 12)
12: 3 = 4
(12 imegawanywa na 3 bila salio, ambayo inamaanisha 3 ni kigawanyo cha nambari 12)
12: 4 = 3
(12 imegawanywa na 4 bila salio, ambayo inamaanisha 4 ni kigawanyo cha nambari 12)
12: 5 = 2 (2 zimesalia)
(12 haijagawanywa na 5 bila salio, ambayo inamaanisha 5 sio kigawanyo cha nambari 12)
12: 6 = 2
(12 imegawanywa na 6 bila salio, ambayo inamaanisha 6 ni kigawanyo cha nambari 12)
12: 7 = 1 (mabaki 5)
(12 haijagawanywa na 7 bila salio, ambayo inamaanisha 7 sio kigawanyo cha nambari 12)
12: 8 = 1 (mabaki 4)
(12 haijagawanywa na 8 bila salio, ambayo inamaanisha 8 sio kigawanyo cha 12)
12: 9 = 1 (mabaki 3)
(12 haijagawanywa na 9 bila salio, ambayo inamaanisha 9 sio kigawanyo cha nambari 12)
12: 10 = 1 (2 iliyobaki)
(12 haijagawanywa na 10 bila salio, ambayo inamaanisha 10 sio kigawanyo cha nambari 12)
12: 11 = 1 (1 iliyobaki)
(12 haijagawanywa na 11 bila salio, ambayo inamaanisha 11 sio kigawanyo cha 12)
12: 12 = 1
(12 imegawanywa na 12 bila salio, ambayo inamaanisha 12 ni kigawanyo cha nambari 12)
Sasa hebu tupate vigawanyiko vya nambari 9. Ili kufanya hivyo, angalia wagawanyiko wote kutoka 1 hadi 9.
9: 1 = 9
(9 imegawanywa na 1 bila salio, ambayo inamaanisha 1 ni kigawanyo cha nambari 9)
9: 2 = 4 (1 iliyobaki)
(9 haijagawanywa na 2 bila salio, ambayo inamaanisha 2 sio kigawanyo cha nambari 9)
9: 3 = 3
(9 imegawanywa na 3 bila salio, ambayo inamaanisha 3 ni kigawanyo cha nambari 9)
9: 4 = 2 (1 iliyobaki)
(9 haijagawanywa na 4 bila salio, ambayo inamaanisha 4 sio kigawanyo cha nambari 9)
9: 5 = 1 (4 iliyobaki)
(9 haijagawanywa na 5 bila salio, ambayo inamaanisha 5 sio kigawanyo cha nambari 9)
9: 6 = 1 (mabaki 3)
(9 haijagawanywa na 6 bila salio, ambayo inamaanisha 6 sio kigawanyo cha nambari 9)
9: 7 = 1 (2 zimesalia)
(9 haijagawanywa na 7 bila salio, ambayo inamaanisha 7 sio kigawanyo cha nambari 9)
9: 8 = 1 (1 iliyobaki)
(9 haijagawanywa na 8 bila salio, ambayo inamaanisha 8 sio kigawanyo cha nambari 9)
9: 9 = 1
(9 imegawanywa na 9 bila salio, ambayo inamaanisha 9 ni kigawanyo cha nambari 9)
Sasa hebu tuandike vigawanyiko vya nambari zote mbili. Nambari zilizoangaziwa kwa bluu ni vigawanyiko. Hebu tuandike:
Baada ya kuandika wagawanyaji, unaweza kuamua mara moja ambayo ni kubwa na ya kawaida.
Kwa ufafanuzi, kigawanyiko kikuu cha kawaida cha nambari 12 na 9 ni nambari inayogawanya 12 na 9 bila salio. Mgawanyiko mkubwa na wa kawaida wa nambari 12 na 9 ni nambari 3
Nambari 12 na nambari 9 zote zinagawanywa na 3 bila salio:
Kwa hivyo gcd (12 na 9) = 3
Njia ya pili ya kupata GCD
Sasa hebu tuangalie njia ya pili ya kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida. Kiini cha njia hii ni kutenganisha nambari zote mbili kuwa sababu kuu na kuzidisha zile za kawaida.
Mfano 1. Pata gcd ya nambari 24 na 18
Kwanza, hebu tuzingatie nambari zote mbili kwa sababu kuu:
Sasa hebu tuzidishe sababu zao za kawaida. Ili kuepuka kuchanganyikiwa, mambo ya kawaida yanaweza kusisitizwa.
Tunaangalia upanuzi wa nambari 24. Sababu yake ya kwanza ni 2. Tunatafuta sababu sawa katika upanuzi wa namba 18 na kuona kwamba iko pia. Tunasisitiza zote mbili:
Tunaangalia tena upanuzi wa nambari 24. Sababu yake ya pili pia ni 2. Tunatafuta sababu sawa katika upanuzi wa namba 18 na kuona kwamba kwa mara ya pili haipo tena. Kisha hatusisitizi chochote.
Mbili zinazofuata katika upanuzi wa nambari 24 pia hazipo katika upanuzi wa nambari 18.
Hebu tuendelee kwenye kipengele cha mwisho katika upanuzi wa nambari 24. Hii ni sababu ya 3. Tunatafuta sababu sawa katika upanuzi wa namba 18 na kuona kwamba iko pia. Tunasisitiza yote matatu:
Kwa hivyo, sababu za kawaida za nambari 24 na 18 ni sababu 2 na 3. Ili kupata GCD, sababu hizi lazima ziongezwe:
Kwa hivyo gcd (24 na 18) = 6
Njia ya tatu ya kupata GCD
Sasa hebu tuangalie njia ya tatu ya kupata kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida. Kiini cha njia hii ni kwamba nambari zinazopatikana kwa kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida hutenganishwa kuwa sababu kuu. Kisha, kutoka kwa upanuzi wa nambari ya kwanza, mambo ambayo hayajajumuishwa katika upanuzi wa nambari ya pili yanavuka. Nambari zilizobaki katika upanuzi wa kwanza zinazidishwa na kupatikana GCD.
Kwa mfano, hebu tutafute GCD kwa nambari 28 na 16 kwa kutumia njia hii. Kwanza kabisa, tunatenganisha nambari hizi kuwa sababu kuu:
Tulipata upanuzi mbili: na
Sasa kutoka kwa mtengano wa nambari ya kwanza tutafuta sababu ambazo hazijajumuishwa katika mtengano wa nambari ya pili. Upanuzi wa nambari ya pili haujumuishi saba. Wacha tuiondoe kutoka kwa upanuzi wa kwanza:
Sasa tunazidisha sababu zilizobaki na kupata GCD:
Nambari ya 4 ndiyo kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari 28 na 16. Nambari hizi zote mbili zinaweza kugawanywa na 4 bila salio:
Mfano 2. Pata gcd ya nambari 100 na 40
Kuzingatia nambari 100
Kuzingatia nambari 40
Tulipata upanuzi mbili:
Sasa kutoka kwa mtengano wa nambari ya kwanza tutafuta sababu ambazo hazijajumuishwa katika mtengano wa nambari ya pili. Upanuzi wa nambari ya pili haujumuishi moja tano (kuna tano tu). Wacha tuivuke kutoka kwa upanuzi wa kwanza
Wacha tuzidishe nambari zilizobaki:
Tulipokea jibu la 20. Hii ina maana kwamba nambari 20 ndiyo kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari 100 na 40. Nambari hizi mbili zinaweza kugawanywa na 20 bila salio:
GCD (100 na 40) = 20.
Mfano 3. Pata gcd ya nambari 72 na 128
Kuzingatia nambari 72
Kuzingatia nambari 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Sasa kutoka kwa mtengano wa nambari ya kwanza tutafuta sababu ambazo hazijajumuishwa katika mtengano wa nambari ya pili. Upanuzi wa nambari ya pili haujumuishi triplets mbili (hazipo kabisa). Wacha tuwaondoe kutoka kwa upanuzi wa kwanza:
Tulipokea jibu la 8. Hii ina maana kwamba nambari 8 ndiyo kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari 72 na 128. Nambari hizi mbili zinaweza kugawanywa na 8 bila salio:
GCD (72 na 128) = 8
Kutafuta GCD kwa nambari kadhaa
Mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida unaweza kupatikana kwa nambari kadhaa, sio mbili tu. Ili kufanya hivyo, nambari zinazopatikana kwa mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida hutenganishwa kuwa sababu kuu, basi bidhaa ya mambo kuu ya kawaida ya nambari hizi hupatikana.
Kwa mfano, hebu tupate GCD kwa nambari 18, 24 na 36
Wacha tuangalie nambari 18
Wacha tuangalie nambari 24
Wacha tuangalie nambari 36
Tulipata upanuzi tatu:
Sasa hebu tuangazie na tupigie mstari vipengele vya kawaida katika nambari hizi. Sababu za kawaida lazima zionekane katika nambari zote tatu:
Tunaona kwamba mambo ya kawaida ya nambari 18, 24 na 36 ni sababu za 2 na 3. Kwa kuzidisha mambo haya, tunapata gcd tunayotafuta:
Tulipokea jibu la 6. Hii ina maana kwamba nambari 6 ndiyo kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari 18, 24 na 36. Nambari hizi tatu zinaweza kugawanywa na 6 bila salio:
GCD (18, 24 na 36) = 6
Mfano 2. Tafuta GCD kwa nambari 12, 24, 36 na 42
Wacha tuzingatie kila nambari kuwa sababu kuu. Kisha tunapata bidhaa ya mambo ya kawaida ya nambari hizi.
Wacha tuangalie nambari 12
Wacha tuangalie nambari 42
Tulipata upanuzi nne:
Sasa hebu tuangazie na tupigie mstari vipengele vya kawaida katika nambari hizi. Sababu za kawaida lazima zionekane katika nambari zote nne:
Tunaona kwamba vipengele vya kawaida vya nambari 12, 24, 36, na 42 ni vipengele vya 2 na 3. Kwa kuzidisha vipengele hivi pamoja, tunapata gcd tunayotafuta:
Tulipokea jibu la 6. Hii ina maana kwamba nambari 6 ndiyo kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari 12, 24, 36 na 42. Nambari hizi zinaweza kugawanywa na 6 bila salio:
GCD (12, 24, 36 na 42) = 6
Kutoka kwa somo lililopita tunajua kwamba ikiwa nambari imegawanywa na nyingine bila salio, inaitwa kizidisho cha nambari hii.
Inatokea kwamba nambari kadhaa zinaweza kuwa na nyingi za kawaida. Na sasa tutapendezwa na idadi ya nambari mbili, na inapaswa kuwa ndogo iwezekanavyo.
Ufafanuzi. Idadi isiyo ya kawaida zaidi (LCM) ya nambari a Na b- a Na b a na nambari b.
Ufafanuzi una vigezo viwili a Na b. Wacha tubadilishe nambari zozote mbili badala ya anuwai hizi. Kwa mfano, badala ya kutofautiana a Wacha tubadilishe nambari 9, na badala ya kutofautisha b Hebu tubadilishe nambari 12. Sasa hebu tujaribu kusoma ufafanuzi:
Idadi isiyo ya kawaida zaidi (LCM) ya nambari 9 Na 12 - ndio nambari ndogo zaidi ambayo ni mgawo wa 9 Na 12 . Kwa maneno mengine, hii ni nambari ndogo ambayo inaweza kugawanywa bila salio na nambari 9 na kwa nambari 12 .
Kutokana na ufafanuzi ni wazi kwamba LCM ndiyo nambari ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa na 9 na 12 bila salio. LCM hii inahitaji kupatikana.
Ili kupata nyingi za kawaida zaidi (LCM), unaweza kutumia njia mbili. Njia ya kwanza ni kwamba unaweza kuandika vizidishio vya kwanza vya nambari mbili, na kisha uchague kati ya vizidishi hivi nambari ambayo itakuwa ya kawaida kwa nambari zote mbili na ndogo. Wacha tuitumie njia hii.
Kwanza kabisa, hebu tutafute vizidishio vya kwanza vya nambari 9. Ili kupata vizidishio vya 9, unahitaji kuzidisha hii tisa moja baada ya nyingine kwa nambari kutoka 1 hadi 9. Majibu yanayotokana na hayo yatakuwa vigawe vya nambari 9. tuanze. Tutaangazia nakala katika nyekundu:
Sasa tunapata wingi wa nambari 12. Ili kufanya hivyo, tunazidisha 12 moja kwa moja kwa nambari zote 1 hadi 12.
Sasa na katika kile kinachofuata tutafikiri kwamba angalau moja ya nambari hizi sio sifuri. Ikiwa nambari zote zilizopewa ni sawa na sifuri, basi kigawanyiko chao cha kawaida ni nambari yoyote, na kwa kuwa kuna nambari nyingi kamili, hatuwezi kuzungumza juu yao kubwa zaidi. Kwa hivyo, hatuwezi kuzungumza juu ya mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari, ambayo kila moja ni sawa na sifuri.
Sasa tunaweza kutoa kuamua mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida nambari mbili.
Ufafanuzi.
Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida nambari mbili kamili ni nambari kamili inayogawanya nambari mbili zilizotolewa.
Ili kuandika kwa ufupi mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida, kifupi GCD hutumiwa mara nyingi - Kigawanyiko Kikubwa Zaidi. Pia, kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari mbili a na b mara nyingi huonyeshwa kama GCD(a, b) .
Hebu tupe mfano wa mgawanyiko mkubwa wa kawaida (GCD) nambari mbili kamili. Kigawanyiko kikuu cha kawaida cha nambari 6 na -15 ni 3. Hebu kuhalalisha hili. Wacha tuandike vigawanyiko vyote vya nambari sita: ± 6, ± 3, ± 1, na vigawanyiko vya nambari -15 ni nambari ± 15, ± 5, ±3 na ±1. Sasa unaweza kupata vigawanyiko vyote vya kawaida vya nambari 6 na -15, hizi ni nambari −3, -1, 1 na 3. Tangu -3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Kubainisha kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari tatu au zaidi ni sawa na kubainisha gcd ya nambari mbili.
Ufafanuzi.
Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida nambari tatu au zaidi ndiyo nambari kamili kubwa zaidi inayogawanya nambari zote zilizotolewa kwa wakati mmoja.
Tutaashiria kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida cha n nambari kamili a 1 , a 2 , …, n kama GCD(a 1 , a 2 , …, a n) . Ikiwa thamani b ya mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari hizi hupatikana, basi tunaweza kuandika GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Kama mfano, hebu tupe gcd ya nambari nne -8, 52, 16 na -12, ni sawa na 4, yaani, gcd(-8, 52, 16, -12)=4. Hii inaweza kuangaliwa kwa kuandika vigawanyiko vyote vya nambari zilizopewa, kuchagua zile za kawaida kutoka kwao na kuamua mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida.
Kumbuka kuwa kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari kamili kinaweza kuwa sawa na mojawapo ya nambari hizi. Kauli hii ni kweli ikiwa nambari zote zilizotolewa zinaweza kugawanywa na mmoja wao (uthibitisho umetolewa katika aya inayofuata ya kifungu hiki). Kwa mfano, GCD(15, 60, −45)=15. Hii ni kweli, kwani 15 inagawanya nambari 15, na nambari 60, na nambari -45, na hakuna kigawanyaji cha kawaida cha nambari 15, 60 na -45 kinachozidi 15.
Ya kupendeza zaidi ni nambari zinazojulikana kama nambari kuu - nambari kamili ambazo mgawanyiko wake mkuu ni sawa na moja.
Sifa za mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida, algorithm ya Euclidean
Mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida una idadi ya matokeo ya tabia, kwa maneno mengine, idadi ya mali. Sasa tutaorodhesha kuu mali ya kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida (GCD), tutaziunda kwa namna ya nadharia na mara moja kutoa uthibitisho.
Tutaunda sifa zote za kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari chanya, na tutazingatia tu vigawanyiko vyema vya nambari hizi.
Kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari a na b ni sawa na kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari b na a , yaani, gcd(a, b) = gcd(a, b) .
Mali hii ya GCD inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida.
Ikiwa a inaweza kugawanywa kwa b, basi seti ya vigawanyiko vya kawaida vya nambari a na b inaambatana na seti ya vigawanyiko vya nambari b, haswa, gcd(a, b)=b.
Ushahidi.
Kigawanyo chochote cha kawaida cha nambari a na b ni kigawanyaji cha kila moja ya nambari hizi, pamoja na nambari b. Kwa upande mwingine, kwa kuwa a ni kizidishio cha b, basi kigawanyaji chochote cha nambari b ni kigawanyo cha nambari a kwa sababu ya ukweli kwamba mgawanyiko una sifa ya mpito, kwa hivyo, kigawanyiko chochote cha nambari b ni cha kawaida. kigawanyo cha nambari a na b. Hii inathibitisha kwamba ikiwa a inaweza kugawanywa kwa b, basi seti ya vigawanyiko vya nambari a na b inaambatana na seti ya vigawanyiko vya nambari moja b. Na kwa kuwa kigawanyaji kikubwa zaidi cha nambari b ni nambari b yenyewe, basi kigawanyaji kikubwa zaidi cha nambari a na b pia ni sawa na b, yaani, gcd(a, b)=b.
Hasa, ikiwa nambari a na b ni sawa, basi gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Kwa mfano, GCD(132, 132)=132.
Mali iliyothibitishwa ya mgawanyiko mkubwa zaidi inaruhusu sisi kupata gcd ya nambari mbili wakati moja yao imegawanywa na nyingine. Katika kesi hii, GCD ni sawa na moja ya nambari hizi, ambayo imegawanywa na nambari nyingine. Kwa mfano, GCD(8, 24)=8, kwani 24 ni mgawo wa nane.
Ikiwa a=b·q+c, ambapo a, b, c na q ni nambari kamili, basi seti ya vigawanyo vya kawaida vya nambari a na b inaambatana na seti ya vigawanyiko vya kawaida vya nambari b na c, haswa, gcd. (a, b)=gcd (b, c) .
Hebu tuhalalishe mali hii ya GCD.
Kwa kuwa usawa a=b·q+c unashikilia, basi kila kigawanyo cha kawaida cha nambari a na b pia hugawanya c (hii inafuata kutoka kwa sifa za mgawanyiko). Kwa sababu hiyo hiyo, kila kigawanyo cha kawaida cha b na c kinagawanya a. Kwa hiyo, seti ya wagawanyiko wa kawaida wa nambari a na b inafanana na seti ya wagawanyiko wa kawaida wa nambari b na c. Hasa, vigawanyiko vikubwa zaidi kati ya hivi vya kawaida lazima pia vipatane, yaani, usawa ufuatao wa GCD(a, b) = GCD(b, c) lazima iwe kweli.
Sasa tutaunda na kuthibitisha nadharia, ambayo ni Algorithm ya Euclidean. Algorithm ya Euclid hukuruhusu kupata GCD ya nambari mbili (tazama kutafuta GCD kwa kutumia algorithm ya Euclid). Kwa kuongezea, algorithm ya Euclid itaturuhusu kudhibitisha sifa zifuatazo za mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida.
Kabla ya kutoa uundaji wa nadharia, tunapendekeza kuonyesha upya kumbukumbu yako ya nadharia kutoka kwa sehemu ya nadharia, ambayo inasema kwamba gawio a linaweza kuwakilishwa kama b q + r, ambapo b ni kigawanyiko, q ni nambari kamili inayoitwa mgawo usio kamili, na r ni nambari kamili inayokidhi hali, inayoitwa salio.
Kwa hivyo, acha mfululizo wa usawa uwe kweli kwa nambari mbili chanya zisizo sifuri a na b 
kuishia wakati r k+1 =0 (ambayo haiwezi kuepukika, kwa kuwa b>r 1 >r 2 >r 3 , ... ni mfululizo wa nambari kamili zinazopungua, na mfululizo huu hauwezi kuwa na zaidi ya nambari maalum ya nambari chanya), kisha r k - hii ndiyo kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari a na b, yaani, r k = gcd(a, b) .
Ushahidi.
Hebu kwanza tuthibitishe kwamba r k ni kigawanyo cha kawaida cha nambari a na b, baada ya hapo tutaonyesha kwamba r k sio tu kigawanyiko, bali kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari a na b.
Tutasonga pamoja na usawa ulioandikwa kutoka chini hadi juu. Kutokana na usawa wa mwisho tunaweza kusema kwamba r k−1 inaweza kugawanywa na r k . Kwa kuzingatia ukweli huu, pamoja na mali ya awali ya GCD, usawa wa mwisho r k-2 =r k-1 ·q k +r k huturuhusu kusema kwamba r k-2 inaweza kugawanywa na r k, kwa kuwa r k-1 inaweza kugawanywa na r k. na r k inagawanywa na r k. Kwa mlinganisho, kutoka usawa wa tatu kutoka chini tunahitimisha kuwa r k-3 inaweza kugawanywa na r k . Nakadhalika. Kutoka kwa usawa wa pili tunapata kwamba b inaweza kugawanywa na r k , na kutoka kwa usawa wa kwanza tunapata kwamba a inagawanywa na r k . Kwa hivyo, r k ni mgawanyiko wa kawaida wa nambari a na b.
Inabakia kuthibitisha kwamba r k = GCD(a, b) . Kwa maana inatosha kuonyesha kwamba mgawanyiko wowote wa kawaida wa nambari a na b (hebu tuonyeshe r 0 ) hugawanya r k .
Tutasonga pamoja na usawa wa asili kutoka juu hadi chini. Kwa sababu ya mali iliyotangulia, inafuata kutoka kwa usawa wa kwanza kwamba r 1 inaweza kugawanywa na r 0 . Kisha kutoka kwa usawa wa pili tunapata kwamba r 2 inaweza kugawanywa na r 0 . Nakadhalika. Kutoka kwa usawa wa mwisho tunapata kwamba r k inaweza kugawanywa na r 0 . Hivyo, r k = GCD(a, b) .
Kutoka kwa mali inayozingatiwa ya mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida hufuata kwamba seti ya wagawanyiko wa kawaida wa nambari a na b inalingana na seti ya wagawanyaji wa mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari hizi. Ufuatano huu kutoka kwa algoriti ya Euclid huturuhusu kupata vigawanyiko vyote vya kawaida vya nambari mbili kama vigawanyo vya gcd ya nambari hizi.
Acha a na b ziwe nambari kamili ambazo si sawa na sifuri kwa wakati mmoja, kisha kuna nambari u 0 na v 0, kisha usawa wa GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 ni kweli. Usawa wa mwisho ni uwakilishi wa mstari wa kigawanyo kikubwa zaidi cha kawaida cha nambari a na b, usawa huu unaitwa uhusiano wa Bezout, na nambari u 0 na v 0 huitwa mgawo wa Bezout.
Ushahidi.
Kwa kutumia algoriti ya Euclidean tunaweza kuandika usawa ufuatao
Kutoka usawa wa kwanza tuna r 1 =a−b·q 1, na, ikiashiria 1=s 1 na −q 1 =t 1, usawa huu unachukua fomu r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b, na nambari s 1 na t 1 ni nambari kamili. Kisha kutoka kwa usawa wa pili tunapata r 2 =b-r 1 ·q 2 = b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. Kuashiria −s 1 ·q 2 =s 2 na 1−t 1 ·q 2 =t 2, usawa wa mwisho unaweza kuandikwa kama r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b, na s 2 na t 2 ni nambari kamili. (kwa kuwa jumla, tofauti na bidhaa ya nambari kamili ni nambari kamili). Vile vile, kutoka kwa usawa wa tatu tunapata r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, kutoka usawa wa nne r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, na kadhalika. Hatimaye, r k =s k ·a+t k ·b, ambapo s k na t k ni nambari kamili. Kwa kuwa r k =GCD(a, b) , na kuashiria s k =u 0 na t k =v 0 , tunapata uwakilishi wa mstari wa GCD wa fomu inayohitajika: GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .
Ikiwa m ni nambari yoyote ya asili, basi GCD(m a, m b)=m GCD(a, b).
Sababu ya mali hii ya mgawanyiko mkubwa zaidi ni kama ifuatavyo. Tukizidisha kwa m pande zote mbili za kila usawa wa algoriti ya Euclidean, tunapata kwamba GCD(m·a, m·b)=m·r k , na r k ni GCD(a, b) . Kwa hivyo, GCD(m a, m b)=m GCD(a, b).
Njia ya kupata GCD kwa kutumia factorization kuu inategemea mali hii ya mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida.
Acha p iwe kigawanyo chochote cha kawaida cha nambari a na b, basi gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, haswa, ikiwa p=GCD(a, b) tunayo gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, yaani, nambari a:GCD(a, b) na b:GCD(a,b) ni kuu kiasi.
Kwa kuwa a=p·(a:p) na b=p·(b:p) , na kutokana na sifa ya awali, tunaweza kuandika msururu wa usawa wa fomu. GCD(a, b)=GCD(p (a:p), p (b:p))= p·GCD(a:p, b:p) , ambapo usawa unathibitishwa.
Sifa ya kigawanyo kikuu zaidi ambacho tumethibitisha hivi punde ni msingi wa .
Sasa hebu tuzungumze juu ya mali ya GCD, ambayo inapunguza tatizo la kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari tatu au zaidi kwa sequentially kutafuta GCD ya namba mbili.
Kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari a 1 , a 2 , …, k ni sawa na nambari d k , ambayo hupatikana kwa kukokotoa kwa mpangilio GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)= d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .
Uthibitisho unatokana na muhtasari wa algoriti ya Euclidean. Vigawanyiko vya kawaida vya nambari 1 na 2 vinaambatana na vigawanyiko vya d 2. Kisha vigawanyiko vya kawaida vya nambari 1, 2 na 3 vinaendana na vigawanyiko vya kawaida vya nambari d 2 na 3, kwa hivyo, zinapatana na vigawanyiko vya d 3. Vigawanyiko vya kawaida vya nambari 1, 2, 3 na 4 vinalingana na vigawanyiko vya kawaida vya d 3 na 4, kwa hivyo, vinaambatana na vigawanyiko vya d 4. Nakadhalika. Hatimaye, vigawanyiko vya kawaida vya nambari a 1, a 2, ..., k sanjari na vigawanyiko d k. Na kwa kuwa mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari d k ni nambari d k yenyewe, basi GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Hii inahitimisha ukaguzi wetu wa sifa za kimsingi za kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. na wengine Hisabati. Daraja la 6: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla.
- Vinogradov I.M. Misingi ya nadharia ya nambari.
- Mikhelovich Sh.H. Nadharia ya nambari.
- Kulikov L.Ya. na wengine.Mkusanyiko wa matatizo katika nadharia ya aljebra na nambari: Kitabu cha kiada kwa wanafunzi wa fizikia na hisabati. utaalam wa taasisi za ufundishaji.
Ili kujifunza jinsi ya kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari mbili au zaidi, unahitaji kuelewa ni nambari gani za asili, kuu na ngumu.
Nambari asilia ni nambari yoyote inayotumika kuhesabu vitu vizima.
Ikiwa nambari ya asili inaweza tu kugawanywa yenyewe na moja, basi inaitwa mkuu.
Nambari zote za asili zinaweza kugawanywa na wao wenyewe na moja, lakini nambari pekee hata kuu ni 2, wengine wote wanaweza kugawanywa na mbili. Kwa hivyo, nambari zisizo za kawaida pekee zinaweza kuwa kuu.
Kuna idadi kubwa ya nambari kuu; hakuna orodha kamili yao. Ili kupata GCD ni rahisi kutumia meza maalum na nambari hizo.
Nambari nyingi za asili zinaweza kugawanywa sio tu na moja, wao wenyewe, lakini pia kwa nambari zingine. Kwa hivyo, kwa mfano, nambari 15 inaweza kugawanywa na nyingine 3 na 5. Wote huitwa wagawanyaji wa nambari 15.
Kwa hivyo, kigawanyo cha A yoyote ni nambari ambayo inaweza kugawanywa bila salio. Ikiwa nambari ina zaidi ya sababu mbili za asili, inaitwa mchanganyiko.
Nambari 30 inaweza kuwa na vigawanyiko kama vile 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Utagundua kuwa 15 na 30 zina vigawanyiko sawa 1, 3, 5, 15. Kigawanyiko kikuu cha kawaida cha nambari hizi mbili ni 15.
Kwa hivyo, mgawanyiko wa kawaida wa nambari A na B ni nambari ambayo inaweza kugawanywa kabisa. Kubwa zaidi inaweza kuzingatiwa idadi ya juu kabisa ambayo inaweza kugawanywa.
Ili kutatua shida, maandishi yafuatayo yaliyofupishwa hutumiwa:
GCD (A; B).
Kwa mfano, gcd (15; 30) = 30.
Kuandika vigawanyiko vyote vya nambari asilia, tumia nukuu:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
Katika mfano huu, nambari za asili zina mgawanyiko mmoja tu wa kawaida. Wanaitwa wakuu kiasi, kwa hivyo umoja ndio mgawanyiko wao mkuu wa kawaida.
Jinsi ya kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari
Ili kupata gcd ya nambari kadhaa, unahitaji:
Pata vigawanyiko vyote vya kila nambari asilia kando, ambayo ni, ziweke kwa sababu (nambari kuu);
Chagua mambo yote yanayofanana ya nambari uliyopewa;
Zizidishe pamoja.
Kwa mfano, kuhesabu kigawanyaji kikubwa zaidi cha nambari 30 na 56, ungeandika yafuatayo:
Ili kuepuka kuchanganyikiwa, ni rahisi kuandika mambo kwa kutumia safu wima. Kwenye upande wa kushoto wa mstari unahitaji kuweka mgawanyiko, na upande wa kulia - mgawanyiko. Chini ya gawio unapaswa kuonyesha mgawo unaosababisha.
Kwa hiyo, katika safu ya kulia kutakuwa na mambo yote yanayohitajika kwa ufumbuzi.
Vigawanyiko vinavyofanana (sababu zilizopatikana) vinaweza kusisitizwa kwa urahisi. Yanapaswa kuandikwa upya na kuzidishwa na kigawanyo kikuu cha kawaida kiandikwe.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Hivi ndivyo ilivyo rahisi kupata kigawanyaji kikubwa zaidi cha nambari. Ikiwa unafanya mazoezi kidogo, unaweza kufanya hivi karibu moja kwa moja.
Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida
Ufafanuzi 2
Ikiwa nambari asilia a inaweza kugawanywa kwa nambari asilia $b$, basi $b$ inaitwa kigawanyo cha $a$, na $a$ inaitwa kizidishio cha $b$.
Acha $a$ na $b$ ziwe nambari asili. Nambari $c$ inaitwa kigawanyo cha kawaida cha $a$ na $b$.
Seti ya vigawanyo vya kawaida vya nambari $a$ na $b$ ina kikomo, kwa kuwa hakuna kati ya vigawanyiko hivi inayoweza kuwa kubwa kuliko $a$. Hii ina maana kwamba kati ya vigawanyiko hivi kuna kubwa zaidi, ambayo inaitwa kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari $a$ na $b$ na inaonyeshwa na nukuu ifuatayo:
$GCD\(a;b)\ au \D\(a;b)$
Ili kupata kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari mbili unahitaji:
- Pata bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa mgawanyiko wa kawaida unaohitajika.
Mfano 1
Pata gcd ya nambari $121$ na $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Chagua nambari ambazo zimejumuishwa katika upanuzi wa nambari hizi
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pata bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa mgawanyiko wa kawaida unaohitajika.
$GCD=2\cdot 11=22$
Mfano 2
Pata gcd ya monomials $63$ na $81$.
Tutapata kulingana na algorithm iliyowasilishwa. Kwa hii; kwa hili:
Wacha tuzingatie nambari kuwa sababu kuu
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Tunachagua nambari ambazo zimejumuishwa katika upanuzi wa nambari hizi
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Hebu tupate bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa mgawanyiko wa kawaida unaohitajika.
$GCD=3\cdot 3=9$
Unaweza kupata gcd ya nambari mbili kwa njia nyingine, kwa kutumia seti ya vigawanyiko vya nambari.
Mfano 3
Pata gcd ya nambari $48$ na $60$.
Suluhisho:
Wacha tupate seti ya vigawanyiko vya nambari $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Sasa hebu tutafute seti ya vigawanyiko vya nambari $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kulia\) $
Wacha tupate makutano ya seti hizi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - seti hii itaamua seti ya mgawanyiko wa kawaida wa nambari $48$ na $60 $. Kipengele kikubwa zaidi katika seti hii kitakuwa nambari $12$. Hii ina maana kwamba kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari $48$ na $60$ ni $12$.
Ufafanuzi wa NPL
Ufafanuzi 3
Viwimbi vya kawaida vya nambari asilia$a$ na $b$ ni nambari asilia ambayo ni kizidishio cha $a$ na $b$.
Vizidishio vya kawaida vya nambari ni nambari ambazo zinaweza kugawanywa kwa nambari asili bila salio. Kwa mfano, kwa nambari $25$ na $50$, vizidishio vya kawaida vitakuwa nambari $50,100,150,200$, n.k.
Kizidishio kidogo zaidi cha kawaida kitaitwa kizidishio kisicho cha kawaida na kitaashiria LCM$(a;b)$ au K$(a;b).$
Ili kupata LCM ya nambari mbili, unahitaji:
- Fanya nambari kuwa sababu kuu
- Andika mambo ambayo ni sehemu ya nambari ya kwanza na ongeza mambo ambayo ni sehemu ya ya pili na sio sehemu ya kwanza.
Mfano 4
Pata LCM ya nambari $99$ na $77$.
Tutapata kulingana na algorithm iliyowasilishwa. Kwa hii; kwa hili
Fanya nambari kuwa sababu kuu
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Andika mambo yaliyojumuishwa katika ya kwanza
ongeza kwao vizidishi ambavyo ni sehemu ya pili na sio sehemu ya kwanza
Pata bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa nyingi inayohitajika angalau ya kawaida
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Kukusanya orodha za vigawanyiko vya nambari mara nyingi ni kazi kubwa sana. Kuna njia ya kupata GCD inayoitwa algorithm ya Euclidean.
Taarifa ambazo algorithm ya Euclidean inategemea:
Ikiwa $a$ na $b$ ni nambari asilia, na $a\vdots b$, basi $D(a;b)=b$
Ikiwa $a$ na $b$ ni nambari za asili kama $b
Kwa kutumia $D(a;b)= D(a-b;b)$, tunaweza kupunguza nambari zinazozingatiwa mfululizo hadi tufikie jozi ya nambari hivi kwamba moja yao inaweza kugawanywa na nyingine. Kisha ndogo zaidi ya nambari hizi itakuwa kigawanyaji kinachohitajika zaidi cha nambari $a$ na $b$.
Sifa za GCD na LCM
- Kizidishio chochote cha kawaida cha $a$ na $b$ kinaweza kugawanywa na K$(a;b)$
- Ikiwa $a\vdots b$ , basi К$(a;b)=a$
Ikiwa K$(a;b)=k$ na $m$ ni nambari asilia, basi K$(am;bm)=km$
Ikiwa $d$ ni kigawanyo cha kawaida cha $a$ na $b$, basi K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $
Ikiwa $a\vdots c$ na $b\vdots c$ , basi $\frac(ab)(c)$ ndio kizidishio cha kawaida cha $a$ na $b$
Kwa nambari zozote asili $a$ na $b$ usawa unashikilia
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Kigawanyo chochote cha kawaida cha nambari $a$ na $b$ ni kigawanyo cha nambari $D(a;b)$