Ingawa kujumlisha na kutoa nambari changamano ni rahisi zaidi kufanya katika muundo wa aljebra, kuzidisha na kugawanya ni rahisi kufanya kwa kutumia fomu ya trigonometric ya nambari changamano.
Wacha tuchukue nambari mbili za kiholela zilizotolewa kwa fomu ya trigonometric:
Kuzidisha nambari hizi, tunapata:
Lakini kulingana na fomula za trigonometry
Kwa hivyo, wakati wa kuzidisha nambari ngumu, moduli zao zinazidishwa, na hoja
kunja juu. Kwa kuwa katika kesi hii moduli zinabadilishwa tofauti, na hoja - tofauti, kufanya kuzidisha kwa fomu ya trigonometric ni rahisi zaidi kuliko fomu ya algebraic.
Kutoka kwa usawa (1) mahusiano yafuatayo yanafuata:
Kwa kuwa mgawanyiko ni kitendo cha kinyume cha kuzidisha, tunapata hiyo
Kwa maneno mengine, moduli ya mgawo ni sawa na uwiano wa moduli ya mgawo na mgawanyiko, na hoja ya mgawo ni tofauti kati ya hoja za mgawanyiko na mgawanyiko.
Wacha sasa tukae juu ya maana ya kijiometri ya kuzidisha nambari ngumu. Fomula (1) - (3) zinaonyesha kuwa ili kupata bidhaa, lazima kwanza uongeze moduli ya idadi ya nyakati bila kubadilisha hoja yake, na kisha kuongeza hoja ya nambari inayotokana bila kubadilisha moduli yake. Ya kwanza ya shughuli hizi kijiometri ina maana ya homothety kwa heshima na uhakika O na mgawo , na pili ina maana ya mzunguko wa jamaa na uhakika O kwa pembe sawa na Kuzingatia hapa sababu moja ni ya mara kwa mara na kutofautiana nyingine, tunaweza kuunda matokeo. kama ifuatavyo: formula
Nambari changamano ni nambari ya fomu , ambapo na ni nambari halisi, zinazojulikana kitengo cha kufikiria. Nambari inaitwa sehemu halisi () nambari changamano, nambari inaitwa sehemu ya kufikirika () nambari changamano.
Nambari tata zinawakilishwa na ndege tata:
Kama ilivyoelezwa hapo juu, barua kawaida huashiria seti ya nambari halisi. Kundi la au nambari ngumu kawaida huonyeshwa kwa herufi "jasiri" au nene. Kwa hiyo, barua inapaswa kuwekwa kwenye kuchora, ikionyesha ukweli kwamba tuna ndege tata.
Aina ya aljebra ya nambari changamano. Kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya nambari changamano
Ongezeko la nambari changamano
Ili kuongeza nambari mbili ngumu, unahitaji kuongeza sehemu zao halisi na za kufikiria:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i * (b 1 + b 2).
Kwa nambari ngumu, sheria ya darasa la kwanza ni halali: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 - jumla haibadilika kutoka kwa kupanga upya masharti.
Kutoa Nambari Changamano
Kitendo ni sawa na kuongeza, upekee pekee ni kwamba subtrahend lazima iwekwe kwenye mabano, na kisha mabano lazima yafunguliwe kwa njia ya kawaida na mabadiliko ya ishara:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Kuzidisha nambari changamano
Usawa wa kimsingi wa nambari ngumu:
Bidhaa ya nambari ngumu:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Kama jumla, bidhaa ya nambari changamano inaweza kubadilika, yaani, usawa ni kweli: .
Mgawanyiko wa nambari ngumu
Mgawanyiko wa nambari unafanywa kwa kuzidisha dhehebu na nambari kwa usemi wa mnyambuliko wa kiidadi.
2 Swali. Ndege tata. Moduli na hoja za nambari changamano
Kila nambari changamano z = a + i*b inaweza kuhusishwa na nukta yenye viwianishi (a;b), na kinyume chake, kila nukta yenye viwianishi (c;d) inaweza kuhusishwa na nambari changamano w = c + i* d. Kwa hivyo, mawasiliano ya moja kwa moja yanaanzishwa kati ya vidokezo vya ndege na seti ya nambari ngumu. Kwa hivyo, nambari ngumu zinaweza kuwakilishwa kama alama kwenye ndege. Ndege ambayo nambari changamano zinaonyeshwa kawaida huitwa ndege tata.
Hata hivyo, mara nyingi zaidi nambari changamano huonyeshwa kama vekta yenye mwanzo katika nukta O, yaani, nambari changamano z = a + i*b inaonyeshwa kama vekta ya kipenyo cha nukta yenye viwianishi (a;b). Katika kesi hii, picha ya nambari ngumu kutoka kwa mfano uliopita itakuwa kama hii: 
Picha ya jumla ya nambari mbili changamano ni vekta sawa na jumla ya vekta zinazowakilisha nambari na . Kwa maneno mengine, nambari ngumu zinapoongezwa, vekta zinazowakilisha pia huongezwa.
Acha nambari changamano z = a + i*b iwakilishwe na vekta ya radius. Kisha urefu wa vector hii inaitwa moduli nambari z na inaashiria |z| .
|
|
Pembe inayoundwa na vekta ya radius ya nambari iliyo na mhimili inaitwa hoja nambari na inaonyeshwa na arg z. Hoja ya nambari haijabainishwa kipekee, lakini ndani ya kizidishio cha . Hata hivyo, kwa kawaida hoja hubainishwa katika masafa kutoka 0 au katika masafa kutoka -to. Kwa kuongeza, nambari ina hoja isiyojulikana.
Kwa kutumia uhusiano huu, unaweza kupata hoja ya nambari changamano:
Kwa kuongezea, fomula ya kwanza ni halali ikiwa picha ya nambari iko katika robo ya kwanza au ya nne, na ya pili, ikiwa iko katika ya pili au ya tatu. Ikiwa , basi nambari changamano inawakilishwa na vekta kwenye mhimili wa Oy na hoja yake ni sawa na /2 au 3*/2.
Wacha tupate fomula nyingine muhimu. Acha z = a + i*b. Kisha,
Ingawa kujumlisha na kutoa nambari changamano ni rahisi zaidi kufanya katika muundo wa aljebra, kuzidisha na kugawanya ni rahisi kufanya kwa kutumia fomu ya trigonometric ya nambari changamano.
Wacha tuchukue nambari mbili za kiholela zilizotolewa kwa fomu ya trigonometric:
Kuzidisha nambari hizi, tunapata:
Lakini kulingana na fomula za trigonometry
Kwa hivyo, wakati wa kuzidisha nambari ngumu, moduli zao zinazidishwa, na hoja
kunja juu. Kwa kuwa katika kesi hii moduli zinabadilishwa tofauti, na hoja - tofauti, kufanya kuzidisha kwa fomu ya trigonometric ni rahisi zaidi kuliko fomu ya algebraic.
Kutoka kwa usawa (1) mahusiano yafuatayo yanafuata:
Kwa kuwa mgawanyiko ni kitendo cha kinyume cha kuzidisha, tunapata hiyo
Kwa maneno mengine, moduli ya mgawo ni sawa na uwiano wa moduli ya mgawo na mgawanyiko, na hoja ya mgawo ni tofauti kati ya hoja za mgawanyiko na mgawanyiko.
Wacha sasa tukae juu ya maana ya kijiometri ya kuzidisha nambari ngumu. Fomula (1) - (3) zinaonyesha kuwa ili kupata bidhaa, lazima kwanza uongeze moduli ya idadi ya nyakati bila kubadilisha hoja yake, na kisha kuongeza hoja ya nambari inayotokana bila kubadilisha moduli yake. Ya kwanza ya shughuli hizi kijiometri ina maana ya homothety kwa heshima na uhakika O na mgawo , na pili ina maana ya mzunguko wa jamaa na uhakika O kwa pembe sawa na Kuzingatia hapa sababu moja ni ya mara kwa mara na kutofautiana nyingine, tunaweza kuunda matokeo. kama ifuatavyo: formula
Tunafafanua bidhaa ya nambari mbili changamano sawa na bidhaa ya nambari halisi, yaani: bidhaa hiyo inachukuliwa kuwa nambari inayoundwa na viambishi vingi, kama vile kipengele kinachoundwa na kitengo.
Vekta inayolingana na nambari changamano iliyo na moduli na hoja inaweza kupatikana kutoka kwa vekta ya kitengo, ambayo urefu wake ni sawa na moja na mwelekeo ambao unaambatana na mwelekeo mzuri wa mhimili wa OX, kwa kurefusha kwa sababu na kuzunguka. ni katika mwelekeo chanya kwa pembe
Bidhaa ya vector fulani na vector ni vector ambayo itapatikana ikiwa upanuzi na mzunguko uliotajwa hapo juu unatumika kwa vector, kwa msaada ambao vector hupatikana kutoka kwa vector ya kitengo, na mwisho ni wazi inafanana na. kitengo halisi.
Ikiwa moduli na hoja ni nambari changamano zinazolingana na vekta, basi bidhaa ya vekta hizi bila shaka italingana na nambari changamano yenye moduli na hoja . Kwa hivyo tunafikia ufafanuzi ufuatao wa bidhaa ya nambari ngumu:
Zao la nambari mbili changamano ni nambari changamano ambayo moduli yake ni sawa na zao la moduli ya vipengele na ambayo hoja yake ni sawa na jumla ya hoja za vipengele.
Kwa hivyo, katika kesi wakati nambari ngumu zimeandikwa kwa fomu ya trigonometric, tutakuwa nayo
Wacha sasa tupate sheria ya kuunda bidhaa kwa kesi wakati nambari ngumu hazijatolewa kwa fomu ya trigonometric:
Kwa kutumia nukuu hapo juu kwa moduli na hoja za mambo, tunaweza kuandika
kulingana na ufafanuzi wa kuzidisha (6):
na hatimaye tunapata
Ikiwa sababu ni nambari halisi na bidhaa imepunguzwa kwa aag ya bidhaa ya nambari hizi. Katika kesi ya usawa (7) inatoa
yaani mraba wa kitengo cha kufikiria ni sawa na
Kukokotoa kwa mfuatano nguvu kamili chanya, tunapata
na kwa ujumla, na chanya yoyote kwa ujumla
Kanuni ya kuzidisha iliyoonyeshwa kwa usawa (7) inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: nambari changamano lazima ziongezwe kama herufi nyingi za polynomia, kuhesabu.
Ikiwa a ni nambari changamano, basi nambari changamano inasemekana kuunganishwa kwa a, na inaonyeshwa na a. Kulingana na fomula (3) tunayo kutoka kwa usawa (7) inafuata
na kwa sababu hiyo,
Hiyo ni, bidhaa ya nambari changamano ya conjugate ni sawa na mraba wa moduli ya kila moja yao.
Wacha tuangalie fomula wazi
Kutoka kwa fomula (4) na (7) inafuata mara moja kwamba kuongeza na kuzidisha kwa nambari changamano kunatii sheria ya ubadilishaji, ambayo ni, jumla haitegemei mpangilio wa masharti, na bidhaa haitegemei mpangilio wa nambari. sababu. Si vigumu kuthibitisha uhalali wa sheria za mseto na za usambazaji, zinazoonyeshwa na vitambulisho vifuatavyo:
Tunamwachia msomaji kufanya hivi.
Kumbuka, hatimaye, kwamba bidhaa ya mambo kadhaa itakuwa na moduli sawa na bidhaa ya moduli ya mambo, na hoja sawa na jumla ya hoja za vipengele. Kwa hivyo, bidhaa ya nambari changamano itakuwa sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri.
Bidhaa ya nambari mbili changamano ni sawa na bidhaa ya nambari mbili halisi, ambazo ni: bidhaa hiyo inachukuliwa kuwa nambari inayoundwa na vijisehemu vingi, kama vile kipengele kinaundwa na kitengo. Vekta inayolingana na nambari changamano yenye modulus r na hoja j inaweza kupatikana kutoka kwa vekta ya kitengo ambayo urefu wake ni sawa na moja na ambayo mwelekeo wake unaambatana na mwelekeo chanya wa mhimili wa OX, kwa kurefusha kwa nyakati r na kuzungusha katika mwelekeo chanya kwa pembe j. Bidhaa ya vector fulani 1 kwa vector a 2 ni vector ambayo hupatikana ikiwa tunatumia kupanua na kuzunguka kwa vector 1, kwa msaada ambao vector 2 hupatikana kutoka kwa vector ya kitengo, na mwisho. dhahiri inalingana na kitengo halisi. Ikiwa (r 1 , ? 1), (r 2, ? 2) ni moduli na hoja za nambari changamano zinazolingana na vekta 1 na 2, basi bidhaa ya vekta hizi bila shaka italingana na nambari changamano iliyo na moduli. r 1 r 2 na hoja (j 1 + j 2). Kwa hivyo, zao la nambari mbili changamano ni nambari changamano ambayo moduli yake ni sawa na zao la moduli ya vipengele na ambayo hoja yake ni sawa na jumla ya hoja za vipengele.
Katika kesi ambapo nambari ngumu zimeandikwa kwa fomu ya trigonometric, tunayo
r 1 (cos? 1 + i dhambi? 1) * r 2 (cos? 2 + i dhambi? 2) = r 1 r 2.
Katika kesi (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = x + yi, kwa kutumia nukuu ya moduli na hoja za mambo, tunaweza kuandika:
a 1 = r 1 cos? 1; b 1 = r 1 dhambi? 1; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 = r 2 dhambi? 2;
kulingana na ufafanuzi wa kuzidisha:
x = r 1 r 2 cos (? 1 +? 2); y = r 1 r 2 dhambi(? 1 +? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - dhambi? 1 dhambi? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 dhambi? 1 r 2 dhambi? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (dhambi? 1 cos? 2 + cos? dhambi 1? 2) = = r 1 dhambi? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 dhambi? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,
na hatimaye tunapata:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.
Katika kesi b 1 = b 2 = 0, sababu ni nambari halisi 1 na 2 na bidhaa imepunguzwa kwa bidhaa 1 a 2 ya nambari hizi. Lini
a 1 = a 2 = 0 na b 1 = b 2 = 1,
usawa (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)Ninatoa: i???i = i 2 = -1, yaani. mraba wa kitengo cha kufikiria ni -1. Kuhesabu kwa mfuatano nguvu kamili chanya i, tunapata:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = mimi; i 6 = -1; ...
na, kwa ujumla, kwa k yoyote chanya:
i 4k = 1; i 4k+1 = mimi; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Kanuni ya kuzidisha iliyoonyeshwa na usawa (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) naweza kuwa imeundwa kama ifuatavyo: nambari changamano lazima zizidishwe kama ponomia za alfabeti, ikihesabu i 2 = -1.
Kutoka kwa fomula zilizo hapo juu hufuata mara moja kwamba kuongeza na kuzidisha kwa nambari ngumu hutii sheria ya ubadilishaji, i.e. jumla haitegemei utaratibu wa masharti, na bidhaa haitegemei utaratibu wa mambo. Si vigumu kuthibitisha uhalali wa sheria za mseto na za usambazaji, zinazoonyeshwa na vitambulisho vifuatavyo:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Bidhaa ya mambo kadhaa itakuwa na moduli sawa na bidhaa ya moduli ya vipengele, na hoja sawa na jumla ya hoja za vipengele. Kwa hivyo, bidhaa ya nambari changamano itakuwa sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri.
Mfano: kutokana na nambari changamano z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Tafuta:
a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i) (5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (hapa inazingatiwa kwamba mimi 2 = - 1).
Mfano: fuata hatua hizi:
a) (2 + 3i) 2; b) (3 - 5i) 2; c) (5 + 3i) 3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3; tangu i 2 = - 1, na i 3 = - i, tunapata (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Mfano: fanya vitendo
a) (5 + 3i) (5 - 3i); b) (2 + 5i) (2 - 5i); c) (1 + i) (1 - i).
a) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.