Jinsi ya kutatua sehemu za algebraic? Nadharia na mazoezi.

Nakala hii inachunguza utendakazi wa sehemu. Sheria za kujumlisha, kutoa, kuzidisha, kugawanya au kufafanua sehemu za fomu A B zitaundwa na kuhesabiwa haki, ambapo A na B zinaweza kuwa nambari, misemo ya nambari au misemo yenye vigeuzo. Kwa kumalizia, mifano ya ufumbuzi na maelezo ya kina itazingatiwa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sheria za kufanya shughuli na sehemu za nambari za jumla

Visehemu vya jumla vina nambari na denominator ambayo ina nambari asilia au usemi wa nambari. Ikiwa tutazingatia sehemu kama vile 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, basi ni wazi kwamba nambari na denominator inaweza kuwa na nambari sio tu, bali pia maneno ya aina mbalimbali.

Ufafanuzi 1

Kuna sheria ambazo shughuli na sehemu za kawaida hufanywa. Inafaa pia kwa sehemu za jumla:

• Wakati wa kutoa sehemu na dhehebu kama, nambari tu zinaongezwa, na dhehebu inabaki sawa, ambayo ni: a d ± c d = a ± c d, maadili a, c na d ≠ 0 ni nambari fulani au misemo ya nambari.
• Wakati wa kuongeza au kupunguza sehemu na madhehebu tofauti, ni muhimu kupunguza kwa dhehebu ya kawaida, na kisha kuongeza au kupunguza sehemu zinazosababisha na wasaidizi sawa. Kwa kweli inaonekana kama hii: a b ± c d = a · p ± c · r s, ambapo maadili a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 ni nambari halisi, na b · p = d · r = s . Wakati p = d na r = b, basi b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Wakati wa kuzidisha sehemu, hatua inafanywa na nambari, baada ya hapo na madhehebu, basi tunapata b · c d = a · c b · d, ambapo a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 hufanya kama nambari halisi.
• Wakati wa kugawanya sehemu kwa sehemu, tunazidisha kwanza kwa kinyume cha pili, yaani, tunabadilisha nambari na denominator: b: c d = a b · d c.

Mantiki kwa kanuni

Ufafanuzi 2

Kuna pointi zifuatazo za hisabati ambazo unapaswa kutegemea wakati wa kuhesabu:

• kufyeka maana yake ni ishara ya mgawanyiko;
• mgawanyiko kwa nambari unachukuliwa kama kuzidisha kwa thamani yake ya kubadilishana;
• utumiaji wa mali ya shughuli na nambari halisi;
• matumizi ya mali ya msingi ya sehemu na usawa wa nambari.

Kwa msaada wao, unaweza kufanya mabadiliko ya fomu:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Mifano

Katika aya iliyotangulia ilisemwa juu ya shughuli na sehemu. Ni baada ya hii kwamba sehemu inahitaji kurahisishwa. Mada hii ilijadiliwa kwa undani katika aya ya kubadilisha sehemu.

Kwanza, hebu tuangalie mfano wa kuongeza na kupunguza sehemu na denominator sawa.

Mfano 1

Kwa kuzingatia sehemu 8 2, 7 na 1 2, 7, basi kwa mujibu wa sheria ni muhimu kuongeza nambari na kuandika upya denominator.

Suluhisho

Kisha tunapata sehemu ya fomu 8 + 1 2, 7. Baada ya kufanya nyongeza, tunapata sehemu ya fomu 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Kwa hivyo, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Jibu: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Kuna suluhisho lingine. Kuanza, tunabadilisha kwa fomu ya sehemu ya kawaida, baada ya hapo tunafanya kurahisisha. Inaonekana kama hii:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Mfano 2

Hebu tuondoe kutoka kwa 1 - 2 3 · logi 2 3 · logi 2 5 + 1 sehemu ya fomu 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Kwa kuwa madhehebu sawa yanatolewa, ina maana kwamba tunahesabu sehemu na denominator sawa. Tunapata hilo

1 - 2 3 logi 2 3 logi 2 5 + 1 - 2 3 3 logi 2 3 logi 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 logi 2 3 logi 2 5 + 1

Kuna mifano ya kuhesabu sehemu na madhehebu tofauti. Jambo muhimu ni kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida. Bila hii, hatutaweza kufanya shughuli zaidi na sehemu.

Mchakato huo unakumbusha kwa uwazi kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida. Hiyo ni, kigawanyiko cha chini kabisa katika dhehebu hutafutwa, baada ya hapo sababu zinazokosekana huongezwa kwa sehemu.

Ikiwa sehemu zinazoongezwa hazina sababu za kawaida, basi bidhaa zao zinaweza kuwa moja.

Mfano 3

Wacha tuangalie mfano wa kuongeza sehemu 2 3 5 + 1 na 1 2.

Suluhisho

Katika kesi hii, denominator ya kawaida ni bidhaa ya madhehebu. Kisha tunapata hiyo 2 · 3 5 + 1. Halafu, wakati wa kuweka mambo ya ziada, tunayo kwamba kwa sehemu ya kwanza ni sawa na 2, na kwa pili ni 3 5 + 1. Baada ya kuzidisha, sehemu hupunguzwa hadi fomu 4 2 · 3 5 + 1. Kupunguzwa kwa jumla kwa 1 2 itakuwa 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Tunaongeza misemo ya sehemu inayotokana na kupata hiyo

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Jibu: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Tunaposhughulika na sehemu za jumla, basi kwa kawaida hatuzungumzii juu ya dhehebu la chini kabisa. Haina faida kuchukua bidhaa ya nambari kama denominator. Kwanza unahitaji kuangalia ikiwa kuna nambari ambayo ni chini ya thamani kuliko bidhaa zao.

Mfano 4

Hebu tuchunguze mfano wa 1 6 · 2 1 5 na 1 4 · 2 3 5, wakati bidhaa zao ni sawa na 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Kisha tunachukua 12 · 2 3 5 kama denominator ya kawaida.

Wacha tuangalie mifano ya kuzidisha sehemu za jumla.

Mfano 5

Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha 2 + 1 6 na 2 · 5 3 · 2 + 1.

Suluhisho

Kufuatia sheria, ni muhimu kuandika upya na kuandika bidhaa ya nambari kama denominator. Tunapata hiyo 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Mara tu sehemu imezidishwa, unaweza kufanya upunguzaji ili kurahisisha. Kisha 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Kwa kutumia sheria ya mpito kutoka kwa mgawanyiko hadi kuzidisha kwa sehemu ya kuheshimiana, tunapata sehemu ambayo ni sawa ya ile iliyotolewa. Ili kufanya hivyo, nambari na denominator hubadilishwa. Hebu tuangalie mfano:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Kisha wanapaswa kuzidisha na kurahisisha sehemu inayosababisha. Ikiwa ni lazima, ondoa kutokuwa na busara katika dhehebu. Tunapata hilo

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Jibu: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Aya hii inatumika wakati nambari au usemi wa nambari unaweza kuwakilishwa kama sehemu yenye kiashiria sawa na 1, basi utendakazi ulio na sehemu kama hiyo inachukuliwa kuwa aya tofauti. Kwa mfano, usemi 1 6 · 7 4 - 1 · 3 unaonyesha kuwa mzizi wa 3 unaweza kubadilishwa na usemi mwingine 3 1. Kisha ingizo hili litaonekana kama kuzidisha sehemu mbili za fomu 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Kufanya Uendeshaji kwenye Sehemu Zenye Vigezo

Sheria zilizojadiliwa katika kifungu cha kwanza zinatumika kwa shughuli zilizo na sehemu zilizo na vigeuzo. Fikiria sheria ya kutoa wakati madhehebu ni sawa.

Ni muhimu kuthibitisha kwamba A, C na D (D si sawa na sifuri) inaweza kuwa maneno yoyote, na usawa A D ± C D = A ± C D ni sawa na anuwai ya maadili yanayoruhusiwa.

Ni muhimu kuchukua seti ya vigezo vya ODZ. Kisha A, C, D lazima ichukue maadili yanayolingana a 0 , c 0 na d 0. Uingizaji wa fomu A D ± C D husababisha tofauti ya fomu 0 d 0 ± c 0 d 0, ambapo, kwa kutumia kanuni ya kuongeza, tunapata formula ya fomu 0 ± c 0 d 0. Ikiwa tutabadilisha usemi A ± C D, basi tunapata sehemu sawa ya fomu 0 ± c 0 d 0. Kuanzia hapa tunahitimisha kwamba thamani iliyochaguliwa ambayo inakidhi ODZ, A ± C D na A D ± C D inachukuliwa kuwa sawa.

Kwa thamani yoyote ya vigezo, maneno haya yatakuwa sawa, yaani, yanaitwa sawa sawa. Hii ina maana kwamba usemi huu unachukuliwa kuwa usawa unaoweza kuthibitishwa wa fomu A D ± C D = A ± C D.

Mifano ya kuongeza na kupunguza sehemu na vigezo

Unapokuwa na madhehebu sawa, unahitaji tu kuongeza au kupunguza nambari. Sehemu hii inaweza kurahisishwa. Wakati mwingine lazima ufanye kazi na sehemu ambazo ni sawa, lakini kwa mtazamo wa kwanza hii haionekani, kwani mabadiliko kadhaa lazima yafanyike. Kwa mfano, x 2 3 x 1 3 + 1 na x 1 3 + 1 2 au 1 2 dhambi 2 α na sin a cos a. Mara nyingi, kurahisisha usemi wa asili unahitajika ili kuona madhehebu sawa.

Mfano 6

Hesabu: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Suluhisho

1. Ili kufanya hesabu, unahitaji kuondoa sehemu ambazo zina dhehebu sawa. Kisha tunapata kwamba x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Baada ya hapo unaweza kupanua mabano na kuongeza maneno sawa. Tunapata kwamba x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Kwa kuwa madhehebu ni sawa, kinachobakia ni kuongeza namba, na kuacha denominator: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Nyongeza imekamilika. Inaweza kuonekana kuwa inawezekana kupunguza sehemu. Nambari yake inaweza kukunjwa kwa kutumia fomula ya mraba wa jumla, kisha tunapata (l g x + 2) 2 kutoka kwa fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Kisha tunapata hiyo
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Kutokana na sehemu za fomu x - 1 x - 1 + x x + 1 na denominators tofauti. Baada ya mabadiliko, unaweza kuendelea na kuongeza.

Hebu tuchunguze suluhisho la pande mbili.

Njia ya kwanza ni kwamba denominator ya sehemu ya kwanza inafanywa kwa kutumia mraba, na kupunguzwa kwake baadae. Tunapata sehemu ya fomu

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Kwa hivyo x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Katika kesi hiyo, ni muhimu kuondokana na kutokuwa na maana katika denominator.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Njia ya pili ni kuzidisha nambari na denominator ya sehemu ya pili kwa usemi x - 1. Kwa hivyo, tunaondoa kutokuwa na akili na kuendelea na kuongeza sehemu na dhehebu sawa. Kisha

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x-1

Jibu: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Katika mfano wa mwisho tuligundua kuwa kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida hakuepukiki. Ili kufanya hivyo, unahitaji kurahisisha sehemu. Wakati wa kuongeza au kupunguza, daima unahitaji kuangalia denominator ya kawaida, ambayo inaonekana kama bidhaa ya denominators na vipengele vya ziada vilivyoongezwa kwa nambari.

Mfano 7

Kuhesabu maadili ya sehemu: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - dhambi x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Suluhisho

1. Denominator hauitaji mahesabu yoyote magumu, kwa hivyo unahitaji kuchagua bidhaa zao za fomu 3 x 7 + 2 · 2, kisha uchague x 7 + 2 · 2 kwa sehemu ya kwanza kama sababu ya ziada, na 3 kwa pili. Wakati wa kuzidisha, tunapata sehemu ya fomu x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Inaweza kuonekana kuwa madhehebu yanawasilishwa kwa namna ya bidhaa, ambayo ina maana kwamba mabadiliko ya ziada hayahitajiki. Dhana ya kawaida itazingatiwa kuwa bidhaa ya fomu x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Kwa hivyo x 4 ni jambo la ziada kwa sehemu ya kwanza, na ln(x + 1) kwa pili. Kisha tunaondoa na kupata:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - dhambi x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - dhambi x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - dhambi x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - dhambi x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Mfano huu unaeleweka wakati wa kufanya kazi na madhehebu ya sehemu. Inahitajika kutumia fomula za tofauti za mraba na mraba wa jumla, kwani watafanya iwezekanavyo kuendelea na usemi wa fomu 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Inaweza kuonekana kuwa sehemu hizo zimepunguzwa kwa dhehebu la kawaida. Tunapata hiyo cos x - x · cos x + x 2 .

Kisha tunapata hiyo

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Jibu:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - dhambi x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - dhambi x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) , 3) ​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Mifano ya kuzidisha sehemu na vigezo

Wakati wa kuzidisha sehemu, nambari inazidishwa na nambari na denominator na denominator. Kisha unaweza kuomba mali ya kupunguza.

Mfano 8

Zidisha sehemu x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 na 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 dhambi 2 · x - x.

Suluhisho

Kuzidisha kunahitajika kufanywa. Tunapata hilo

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dhambi (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 dhambi (2 x - x)

Nambari ya 3 inahamishwa hadi nafasi ya kwanza kwa urahisi wa mahesabu, na unaweza kupunguza sehemu kwa x 2, kisha tunapata usemi wa fomu.

3 x - 2 x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + dhambi 1 (2 x - x)

Jibu: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dhambi (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · dhambi (2 · x - x) .

Mgawanyiko

Mgawanyiko wa sehemu ni sawa na kuzidisha, kwani sehemu ya kwanza inazidishwa na ya pili ya kubadilishana. Ikiwa tutachukua kwa mfano sehemu x + 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 na kugawanya kwa 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dhambi 2 x - x, basi inaweza kuandikwa kama

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 dhambi (2 · x - x) , kisha ubadilishe na bidhaa ya fomu x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dhambi (2 x - x)

Ufafanuzi

Wacha tuendelee kuzingatia utendakazi na sehemu za jumla zilizo na ufafanuzi. Ikiwa kuna nguvu iliyo na kipeo cha asili, basi hatua hiyo inachukuliwa kama kuzidisha kwa sehemu sawa. Lakini inashauriwa kutumia mbinu ya jumla kulingana na mali ya digrii. Semi zozote A na C, ambapo C si sawa sawa na sifuri, na r yoyote halisi kwenye ODZ kwa usemi wa fomu A C r usawa A C r = A r C r ni halali. Matokeo yake ni sehemu iliyoinuliwa kwa nguvu. Kwa mfano, fikiria:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Utaratibu wa kufanya shughuli na sehemu

Uendeshaji kwenye sehemu hufanywa kulingana na sheria fulani. Kwa mazoezi, tunaona kuwa usemi unaweza kuwa na sehemu kadhaa au misemo ya sehemu. Kisha ni muhimu kufanya vitendo vyote kwa utaratibu mkali: kuinua kwa nguvu, kuzidisha, kugawanya, kisha kuongeza na kupunguza. Ikiwa kuna mabano, hatua ya kwanza inafanywa ndani yao.

Mfano 9

Piga hesabu 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Suluhisho

Kwa kuwa tuna dhehebu sawa, basi 1 - x cos x na 1 c o s x, lakini uondoaji hauwezi kufanywa kulingana na sheria; kwanza, vitendo kwenye mabano hufanywa, kisha kuzidisha, na kisha kuongeza. Kisha wakati wa kuhesabu tunapata hiyo

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Wakati wa kubadilisha usemi kuwa wa asili, tunapata hiyo 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Wakati wa kuzidisha sehemu tunayo: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Baada ya kufanya mabadilisho yote, tunapata 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Sasa unahitaji kufanya kazi na sehemu ambazo zina madhehebu tofauti. Tunapata:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Jibu: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

) na denominator kwa denominator (tunapata denominator ya bidhaa).

Mfumo wa kuzidisha sehemu:

Kwa mfano:

Kabla ya kuanza kuzidisha nambari na denomineta, unahitaji kuangalia ikiwa sehemu inaweza kupunguzwa. Ikiwa unaweza kupunguza sehemu, itakuwa rahisi kwako kufanya mahesabu zaidi.

Kugawanya sehemu ya kawaida kwa sehemu.

Kugawanya sehemu zinazojumuisha nambari asilia.

Sio ya kutisha kama inavyoonekana. Kama ilivyo kwa nyongeza, tunabadilisha nambari kamili kuwa sehemu na moja kwenye denominator. Kwa mfano:

Kuzidisha sehemu zilizochanganywa.

Sheria za kuzidisha sehemu (zilizochanganywa):

• kubadilisha sehemu zilizochanganywa kwa sehemu zisizofaa;
• kuzidisha nambari na madhehebu ya sehemu;
• kupunguza sehemu;
• Ikiwa unapata sehemu isiyofaa, basi tunabadilisha sehemu isiyofaa katika sehemu iliyochanganywa.

Kumbuka! Ili kuzidisha sehemu iliyochanganywa na sehemu nyingine iliyochanganywa, kwanza unahitaji kuibadilisha kuwa fomu ya sehemu zisizofaa, na kisha kuzidisha kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu za kawaida.

Njia ya pili ya kuzidisha sehemu kwa nambari asilia.

Inaweza kuwa rahisi zaidi kutumia njia ya pili ya kuzidisha sehemu ya kawaida kwa nambari.

Kumbuka! Ili kuzidisha sehemu kwa nambari ya asili, lazima ugawanye denominator ya sehemu kwa nambari hii, na uache nambari bila kubadilika.

Kutoka kwa mfano uliotolewa hapo juu, ni wazi kwamba chaguo hili ni rahisi zaidi kutumia wakati denominator ya sehemu imegawanywa bila salio na nambari ya asili.

Sehemu za hadithi nyingi.

Katika shule ya upili, sehemu za hadithi tatu (au zaidi) mara nyingi hukutana. Mfano:

Ili kuleta sehemu kama hiyo kwa fomu yake ya kawaida, tumia mgawanyiko kupitia alama 2:

Kumbuka! Wakati wa kugawanya sehemu, utaratibu wa mgawanyiko ni muhimu sana. Kuwa mwangalifu, ni rahisi kuchanganyikiwa hapa.

Kumbuka, Kwa mfano:

Wakati wa kugawanya moja kwa sehemu yoyote, matokeo yatakuwa sehemu sawa, iliyogeuzwa tu:

Vidokezo vya vitendo vya kuzidisha na kugawanya sehemu:

1. Jambo muhimu zaidi wakati wa kufanya kazi na maneno ya sehemu ni usahihi na usikivu. Fanya mahesabu yote kwa uangalifu na kwa usahihi, kwa umakini na kwa uwazi. Ni bora kuandika mistari michache ya ziada katika rasimu yako kuliko kupotea katika hesabu za kiakili.

2. Katika kazi zilizo na aina tofauti za sehemu, nenda kwa aina ya sehemu za kawaida.

3. Tunapunguza sehemu zote mpaka haiwezekani tena kupunguza.

4. Tunabadilisha semi za sehemu za viwango vingi kuwa za kawaida kwa kutumia mgawanyiko kupitia alama 2.

5. Gawanya kitengo kwa sehemu katika kichwa chako, ukigeuza sehemu hiyo juu.

Maneno ya sehemu ni ngumu kwa mtoto kuelewa. Watu wengi wana shida na. Wakati wa kusoma mada "kuongeza sehemu na nambari nzima," mtoto huanguka kwenye usingizi, na kupata shida kutatua shida. Katika mifano mingi, kabla ya kufanya kitendo, mfululizo wa mahesabu lazima ufanyike. Kwa mfano, badilisha sehemu au ubadilishe sehemu isiyofaa kuwa sehemu inayofaa.

Hebu tueleze kwa uwazi kwa mtoto. Hebu tuchukue apples tatu, mbili ambazo zitakuwa nzima, na kukata tatu katika sehemu 4. Tenganisha kipande kimoja kutoka kwa apple iliyokatwa, na kuweka tatu iliyobaki karibu na matunda mawili nzima. Tunapata ¼ ya apple upande mmoja na 2 ¾ kwa upande mwingine. Ikiwa tunawaunganisha, tunapata apples tatu. Wacha tujaribu kupunguza maapulo 2 ¾ kwa ¼, ambayo ni, ondoa kipande kingine, tunapata maapulo 2 2/4.

Wacha tuangalie kwa karibu utendakazi na sehemu ambazo zina nambari kamili:

Kwanza, hebu tukumbuke sheria ya hesabu ya misemo ya sehemu na dhehebu la kawaida:

Kwa mtazamo wa kwanza, kila kitu ni rahisi na rahisi. Lakini hii inatumika tu kwa maneno ambayo hayahitaji uongofu.

Jinsi ya kupata thamani ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti

Katika kazi zingine unahitaji kupata maana ya usemi ambapo madhehebu ni tofauti. Wacha tuangalie kesi maalum:
3 2/7+6 1/3

Wacha tupate thamani ya usemi huu kwa kutafuta dhehebu la kawaida la sehemu mbili.

Kwa nambari 7 na 3, hii ni 21. Tunaacha sehemu kamili sawa, na kuleta sehemu za sehemu hadi 21, kwa hili tunazidisha sehemu ya kwanza na 3, ya pili na 7, tunapata:
6/21+7/21, usisahau kwamba sehemu nzima haiwezi kubadilishwa. Kama matokeo, tunapata sehemu mbili na dhehebu moja na kuhesabu jumla yao:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Nini ikiwa matokeo ya nyongeza ni sehemu isiyofaa ambayo tayari ina sehemu kamili:
2 1/3+3 2/3
Katika kesi hii, tunaongeza sehemu kamili na sehemu za sehemu, tunapata:
5 3/3, kama unavyojua, 3/3 ni moja, ambayo ina maana 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Kupata jumla ni wazi, wacha tuangalie kutoa:

Kutoka kwa yote ambayo yamesemwa, sheria ya operesheni zilizo na nambari mchanganyiko ni kama ifuatavyo:

• Ikiwa unahitaji kutoa nambari kamili kutoka kwa usemi wa sehemu, hauitaji kuwakilisha nambari ya pili kama sehemu; inatosha kufanya operesheni kwenye sehemu kamili tu.

Wacha tujaribu kuhesabu maana ya misemo sisi wenyewe:

Wacha tuangalie kwa karibu mfano chini ya herufi "m":

4 5/11-2 8/11, nambari ya sehemu ya kwanza ni chini ya ya pili. Ili kufanya hivyo, tunakopa nambari moja kutoka kwa sehemu ya kwanza, tunapata,
3 5/11+11/11=3 nzima 16/11, toa ya pili kutoka sehemu ya kwanza:
3 16/11-2 8/11=1 nzima 8/11

• Kuwa mwangalifu wakati wa kukamilisha kazi, usisahau kubadilisha sehemu zisizofaa kuwa sehemu zilizochanganywa, ukionyesha sehemu nzima. Ili kufanya hivyo, unahitaji kugawanya thamani ya nambari kwa thamani ya dhehebu, kisha kinachotokea kinachukua nafasi ya sehemu nzima, iliyobaki itakuwa nambari, kwa mfano:

19/4=4 ¾, hebu tuangalie: 4*4+3=19, denominator 4 bado haijabadilika.

Fanya muhtasari:

Kabla ya kuanza kazi inayohusiana na sehemu, inahitajika kuchambua ni aina gani ya usemi, ni mabadiliko gani yanahitajika kufanywa kwenye sehemu ili suluhisho liwe sahihi. Tafuta suluhisho la busara zaidi. Usiende kwa njia ngumu. Panga hatua zote, zitatue kwanza katika fomu ya rasimu, kisha uhamishe kwenye daftari lako la shule.

Ili kuzuia machafuko wakati wa kutatua misemo ya sehemu, lazima ufuate sheria ya uthabiti. Amua kila kitu kwa uangalifu, bila kukimbilia.

Mifano na sehemu ni moja ya vipengele vya msingi vya hisabati. Kuna aina nyingi tofauti za milinganyo na sehemu. Chini ni maagizo ya kina ya kutatua mifano ya aina hii.

Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - sheria za jumla

Ili kutatua mifano na sehemu za aina yoyote, iwe ni kuongeza, kutoa, kuzidisha au kugawanya, unahitaji kujua sheria za msingi:

• Ili kuongeza misemo ya sehemu na dhehebu sawa (denominator ni nambari iliyo chini ya sehemu, nambari iliyo juu), unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha denominator sawa.
• Ili kuondoa usemi wa pili wa sehemu (na dhehebu sawa) kutoka kwa sehemu moja, unahitaji kutoa nambari zao na kuacha dhehebu sawa.
• Ili kuongeza au kupunguza sehemu na denominators tofauti, unahitaji kupata denominator ya chini kabisa.
• Ili kupata bidhaa ya sehemu, unahitaji kuzidisha nambari na madhehebu, na, ikiwezekana, punguza.
• Ili kugawanya sehemu kwa sehemu, unazidisha sehemu ya kwanza kwa sehemu ya pili iliyogeuzwa.

Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - mazoezi

Kanuni ya 1, mfano 1:

Piga hesabu 3/4 +1/4.

Kulingana na Kanuni ya 1, ikiwa sehemu mbili (au zaidi) zina dhehebu sawa, unaongeza tu nambari zao. Tunapata: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ikiwa sehemu ina nambari sawa na denominator, sehemu itakuwa sawa na 1.

Jibu: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Kanuni ya 2, mfano 1:

Hesabu: 3/4 - 1/4

Kutumia kanuni namba 2, ili kutatua equation hii unahitaji kutoa 1 kutoka 3 na kuacha denominator sawa. Tunapata 2/4. Kwa kuwa mbili 2 na 4 zinaweza kupunguzwa, tunapunguza na kupata 1/2.

Jibu: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Kanuni ya 3, Mfano 1

Hesabu: 3/4 + 1/6

Suluhisho: Kwa kutumia kanuni ya 3, tunapata dhehebu la chini kabisa la kawaida. Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida ni nambari ambayo inaweza kugawanywa na viashiria vya maneno yote ya sehemu katika mfano. Kwa hivyo, tunahitaji kupata nambari ya chini ambayo itagawanywa na 4 na 6. Nambari hii ni 12. Tunaandika 12 kama denominator. Gawanya 12 na denominator ya sehemu ya kwanza, tunapata 3, zidisha na 3, andika. 3 kwenye nambari *3 na + ishara. Gawanya 12 kwa dhehebu la sehemu ya pili, tunapata 2, kuzidisha 2 kwa 1, kuandika 2 * 1 katika nambari. Kwa hivyo, tunapata sehemu mpya yenye dhehebu sawa na 12 na nambari sawa na 3*3+2*1=11. 11/12.

Jibu: 11/12

Kanuni ya 3, Mfano 2:

Hesabu 3/4 - 1/6. Mfano huu ni sawa na uliopita. Tunafanya hatua zote sawa, lakini katika nambari badala ya + ishara, tunaandika ishara ya minus. Tunapata: 3 * 3-2 * 1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Jibu: 7/12

Kanuni ya 4, Mfano 1:

Hesabu: 3/4 * 1/4

Kwa kutumia kanuni ya nne, tunazidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na dhehebu la pili na nambari ya sehemu ya kwanza na nambari ya pili. 3*1/4*4 = 3/16.

Jibu: 3/16

Kanuni ya 4, Mfano 2:

Hesabu 2/5 * 10/4.

Sehemu hii inaweza kupunguzwa. Katika kesi ya bidhaa, nambari ya sehemu ya kwanza na denominator ya pili na nambari ya sehemu ya pili na denominator ya kwanza zimefutwa.

2 hughairi kutoka 4. 10 hughairi kutoka 5. Tunapata 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Jibu: 2/5 * 10/4 = 1

Kanuni ya 5, Mfano 1:

Hesabu: 3/4: 5/6

Kutumia kanuni ya 5, tunapata: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Tunapunguza sehemu kulingana na kanuni ya mfano uliopita na kupata 9/10.

Jibu: 9/10.

Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - hesabu za sehemu

Milinganyo ya sehemu ni mifano ambapo kiashiria kina kisichojulikana. Ili kutatua equation kama hiyo, unahitaji kutumia sheria fulani.

Hebu tuangalie mfano:

Tatua mlingano 15/3x+5 = 3

Hebu tukumbuke kwamba huwezi kugawanya kwa sifuri, i.e. thamani ya denomina lazima isiwe sifuri. Wakati wa kutatua mifano kama hiyo, hii lazima ionyeshe. Kwa kusudi hili, kuna OA (safu ya thamani inayoruhusiwa).

Kwa hivyo 3x+5 ≠ 0.
Kwa hivyo: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Kwa x = 5/3 equation haina suluhisho.

Baada ya kutaja ODZ, njia bora ya kutatua equation hii ni kuondoa sehemu. Ili kufanya hivyo, kwanza tunawasilisha maadili yote yasiyo ya sehemu kama sehemu, katika kesi hii nambari 3. Tunapata: 15/(3x+5) = 3/1. Ili kuondokana na sehemu unahitaji kuzidisha kila mmoja wao kwa denominator ya chini kabisa. Katika kesi hii itakuwa (3x+5)*1. Mfuatano:

1. Zidisha 15/(3x+5) kwa (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Fungua mabano: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Tunafanya vivyo hivyo na upande wa kulia wa equation: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Sawazisha pande za kushoto na kulia: 45x + 75 = 9x +15
5. Sogeza X kushoto, nambari kulia: 36x = - 50
6. Tafuta x: x = -50/36.
7. Tunapunguza: -50/36 = -25/18

Jibu: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - usawa wa sehemu

Tofauti za sehemu za aina (3x-5)/(2-x)≥0 hutatuliwa kwa kutumia mhimili wa nambari. Hebu tuangalie mfano huu.

Mfuatano:

• Tunalinganisha nambari na denomina kwa sufuri: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Tunachora mhimili wa nambari, tukiandika maadili yanayotokana nayo.
• Chora mduara chini ya thamani. Kuna aina mbili za miduara - iliyojaa na tupu. Mduara uliojazwa unamaanisha kuwa thamani iliyotolewa iko ndani ya safu ya suluhisho. Mduara usio na kitu unaonyesha kuwa thamani hii haijajumuishwa katika safu ya suluhisho.
• Kwa kuwa dhehebu haliwezi kuwa sawa na sifuri, kutakuwa na duara tupu chini ya 2.

• Kuamua ishara, tunabadilisha nambari yoyote kubwa kuliko mbili kwenye mlinganyo, kwa mfano 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. thamani ni hasi, ambayo ina maana sisi kuandika minus juu ya eneo baada ya mbili. Kisha ubadilishe X thamani yoyote ya muda kutoka 5/3 hadi 2, kwa mfano 1. Thamani ni hasi tena. Tunaandika minus. Tunarudia sawa na eneo lililopo hadi 5/3. Tunabadilisha nambari yoyote chini ya 5/3, kwa mfano 1. Tena, toa.

• Kwa kuwa tunavutiwa na maadili ya x ambayo usemi utakuwa mkubwa kuliko au sawa na 0, na hakuna maadili kama hayo (kuna minuses kila mahali), usawa huu hauna suluhisho, ambayo ni, x = Ø (seti tupu).

Jibu: x = Ø

Sehemu- nambari inayojumuisha nambari kamili ya sehemu za kitengo na inawakilishwa katika umbo: a/b

Nambari ya sehemu (a)- nambari iliyo juu ya mstari wa sehemu na kuonyesha idadi ya hisa ambazo kitengo kiligawanywa.

Kipunguzo cha sehemu (b)- nambari iliyo chini ya mstari wa sehemu na kuonyesha ni sehemu ngapi kitengo kimegawanywa.

2. Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

3. Shughuli za hesabu kwenye sehemu za kawaida

3.1. Ongezeko la sehemu za kawaida

3.2. Kutoa sehemu

3.3. Kuzidisha sehemu za kawaida

3.4. Kugawanya sehemu

4. Nambari za kubadilishana

5. Desimali

6. Operesheni za hesabu kwenye desimali

6.1. Kuongeza Desimali

6.2. Kutoa Desimali

6.3. Kuzidisha Desimali

6.4. Mgawanyiko wa decimal

#1. Mali kuu ya sehemu

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu zinazidishwa au kugawanywa na nambari sawa ambayo si sawa na sifuri, unapata sehemu sawa na ile uliyopewa.

3/7=3*3/7*3=9/21, yaani, 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - hivi ndivyo mali kuu ya sehemu inavyoonekana.

Kwa maneno mengine, tunapata sehemu sawa na ile iliyotolewa kwa kuzidisha au kugawanya nambari na denominator ya sehemu asilia kwa nambari asilia sawa.

Kama tangazo=bc, kisha sehemu mbili a/b =c /d inachukuliwa kuwa sawa.

Kwa mfano, sehemu 3/5 na 9/15 zitakuwa sawa, kwani 3*15=5*9, yaani, 45=45.

Kupunguza sehemu ni mchakato wa kuchukua nafasi ya sehemu ambayo sehemu mpya ni sawa na ile ya asili, lakini kwa nambari ndogo na denominator.

Ni kawaida kupunguza sehemu kulingana na mali ya msingi ya sehemu.

Kwa mfano, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (nambari na denominator imegawanywa na nambari 3, 5 na 15).

Sehemu isiyoweza kupunguzwa ni sehemu ya fomu 3/4 ​ ​ , ambapo nambari na denominator ni nambari kuu za pande zote. Kusudi kuu la kupunguza sehemu ni kufanya sehemu isiweze kupunguzwa.

2. Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Ili kuleta sehemu mbili kwa dhehebu la kawaida, unahitaji:

1) weka dhehebu la kila sehemu kuwa sababu kuu;

2) zidisha nambari na denominator ya sehemu ya kwanza na zile ambazo hazipo

sababu kutoka kwa upanuzi wa denominator ya pili;

3) kuzidisha nambari na denominator ya sehemu ya pili kwa sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa kwanza.

Mifano: Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.

Hebu tuchanganue madhehebu katika vipengele rahisi: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Zidisha nambari na denominator ya sehemu kwa sababu inayokosekana 5 kutoka kwa upanuzi wa pili.

nambari na denominator ya sehemu katika vipengele vinavyokosekana 3 na 2 kutoka kwa upanuzi wa kwanza.

= , 90 - denominator ya kawaida ya sehemu.

3. Shughuli za hesabu kwenye sehemu za kawaida

3.1. Ongezeko la sehemu za kawaida

a) Ikiwa madhehebu ni sawa, nambari ya sehemu ya kwanza huongezwa kwa nambari ya sehemu ya pili, na kuacha denominator sawa. Kama unaweza kuona katika mfano:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Kwa madhehebu tofauti, sehemu ndogo hupunguzwa kwanza kwa dhehebu la kawaida, na kisha nambari zinaongezwa kulingana na sheria a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Kutoa sehemu

a) Ikiwa madhehebu ni sawa, toa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, ukiacha dhehebu sawa:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Ikiwa madhehebu ya sehemu ni tofauti, basi kwanza sehemu hizo huletwa kwa dhehebu la kawaida, na kisha vitendo vinarudiwa kama katika hatua a).

3.3. Kuzidisha sehemu za kawaida

Kuzidisha sehemu kunafuata sheria ifuatayo:

a/b*c/d=a*c/b*d,

yaani, wanazidisha nambari na denomineta tofauti.

Kwa mfano:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Kugawanya sehemu

Vipande vimegawanywa kwa njia ifuatayo:

a/b:c/d=a*d/b*c,

yaani, sehemu a/b inazidishwa na sehemu kinyume ya ile iliyotolewa, yaani, ikizidishwa na d/c.

Mfano: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Nambari za kubadilishana

Kama a*b=1, basi nambari b ni nambari ya kubadilishana kwa nambari a.

Mfano: kwa nambari ya 9 ni sawa 1/9 ​ ​ , tangu 9*1/9 = 1 , kwa nambari 5 - nambari ya inverse 1/5 ​ ​ , kwa sababu 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Desimali

Nukta ni sehemu sahihi ambayo denominator ni sawa na 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Kwa mfano: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Zile zisizo sahihi zilizo na denominator zimeandikwa kwa njia ile ile 10^n au nambari mchanganyiko.

Kwa mfano: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Sehemu yoyote ya kawaida yenye denominata ambayo ni kigawanyo cha nguvu fulani ya 10 inawakilishwa kama sehemu ya desimali.

kibadilishaji, ambacho ni kigawanyaji cha nguvu fulani ya nambari 10.

Mfano: 5 ni kigawanyo cha 100, kwa hivyo ni sehemu 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Operesheni za hesabu kwenye desimali

6.1. Kuongeza Desimali

Ili kuongeza sehemu mbili za desimali, unahitaji kuzipanga ili kuwe na nambari zinazofanana chini ya kila mmoja na koma chini ya koma, kisha ongeza sehemu kama nambari za kawaida.

6.2. Kutoa Desimali

Inafanywa kwa njia sawa na kuongeza.

6.3. Kuzidisha Desimali

Wakati wa kuzidisha nambari za desimali, inatosha kuzidisha nambari ulizopewa, bila kuzingatia koma (kama nambari asili), na katika jibu linalotokana, koma upande wa kulia hutenganisha nambari nyingi kama ilivyo baada ya nukta ya decimal katika mambo yote mawili. kwa ujumla.

Wacha tuzidishe 2.7 kwa 1.3. Tuna 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Tunatenganisha tarakimu mbili upande wa kulia na comma (nambari za kwanza na za pili zina tarakimu moja baada ya uhakika wa decimal; 1+1=2 1 + 1 = 2 ) Matokeo yake tunapata 2.7\cdoti 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ikiwa matokeo yana tarakimu chache kuliko haja ya kutenganishwa na koma, basi zero zinazokosekana zimeandikwa mbele, kwa mfano:

Ili kuzidisha na 10, 100, 1000, unahitaji kusonga nambari ya decimal 1, 2, 3 kwa haki (ikiwa ni lazima, idadi fulani ya zero imepewa haki).

Kwa mfano: 1.47\cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Mgawanyiko wa decimal

Kugawanya sehemu ya desimali kwa nambari asilia hufanywa kwa njia sawa na kugawanya nambari asilia na nambari asilia. Comma katika mgawo huwekwa baada ya mgawanyiko wa sehemu nzima kukamilika.

Ikiwa sehemu kamili ya gawio ni chini ya kigawanyaji, basi jibu ni nambari sifuri, kwa mfano:

Wacha tuangalie kugawanya desimali na desimali. Wacha tuseme tunahitaji kugawanya 2.576 na 1.12. Kwanza kabisa, wacha tuzidishe gawio na kigawanyo cha sehemu kwa 100, ambayo ni, hoja ya desimali kwenda kulia kwenye gawio na kigawanyiko kwa nambari nyingi kama ilivyo kwenye kigawanyiko baada ya nukta ya desimali (katika mfano huu, mbili). Kisha unahitaji kugawanya sehemu 257.6 na nambari ya asili 112, ambayo ni, shida imepunguzwa kwa kesi ambayo tayari imezingatiwa:

Inatokea kwamba sehemu ya mwisho ya decimal haipatikani kila wakati wakati wa kugawa nambari moja na nyingine. Matokeo yake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Katika hali kama hizi, tunaendelea kwa sehemu za kawaida.

Kwa mfano, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .