- Mafunzo
Utangulizi
Mimi ni mtaalamu wa hisabati na programu. Hatua kubwa niliyopiga katika taaluma yangu ni pale nilipojifunza kusema: "Sielewi chochote!" Sasa sioni aibu kumwambia mwangaza wa sayansi kwamba ananipa mhadhara, kwamba sielewi ananiambia nini yeye, mwangalizi. Na ni vigumu sana. Ndiyo, kukubali ujinga wako ni vigumu na aibu. Nani anapenda kukiri kuwa hajui misingi ya jambo fulani? Kwa sababu ya taaluma yangu, lazima nihudhurie idadi kubwa ya mawasilisho na mihadhara, ambapo, ninakubali, katika hali nyingi nataka kulala kwa sababu sielewi chochote. Lakini sielewi kwa sababu shida kubwa ya hali ya sasa katika sayansi iko kwenye hisabati. Inachukulia kuwa wasikilizaji wote wanafahamu kabisa maeneo yote ya hisabati (ambayo ni upuuzi). Kukubali kwamba haujui derivative ni nini (tutazungumza juu ya nini baadaye kidogo) ni aibu.
Lakini nimejifunza kusema kwamba sijui kuzidisha ni nini. Ndiyo, sijui subalgebra juu ya aljebra ya Uongo ni nini. Ndio, sijui kwa nini milinganyo ya quadratic inahitajika maishani. Kwa njia, ikiwa una uhakika kwamba unajua, basi tuna kitu cha kuzungumza juu! Hisabati ni mfululizo wa hila. Wanahisabati wanajaribu kuwachanganya na kuwatisha umma; ambapo hakuna machafuko, hakuna sifa, hakuna mamlaka. Ndiyo, ni jambo la kifahari kuzungumza kwa lugha isiyoeleweka iwezekanavyo, ambayo ni upuuzi mtupu.
Je, unajua derivative ni nini? Uwezekano mkubwa zaidi utaniambia juu ya kikomo cha uwiano wa tofauti. Katika mwaka wa kwanza wa hisabati na mechanics katika Chuo Kikuu cha Jimbo la St. Petersburg, Viktor Petrovich Khavin aliniambia. kuamua derivative kama mgawo wa muhula wa kwanza wa mfululizo wa Taylor wa chaguo za kukokotoa kwa uhakika (hii ilikuwa mazoezi tofauti ya kubainisha mfululizo wa Taylor bila viingilizi). Nilicheka ufafanuzi huu kwa muda mrefu hadi mwishowe nikaelewa ni nini. Nyingine si chochote zaidi ya kipimo rahisi cha jinsi kazi tunayotofautisha inavyofanana na chaguo za kukokotoa y=x, y=x^2, y=x^3.
Sasa nina heshima ya kuwafundisha wanafunzi ambao hofu hisabati. Ikiwa unaogopa hisabati, tuko kwenye njia sawa. Mara tu unapojaribu kusoma maandishi fulani na inaonekana kwako kuwa ni ngumu sana, basi ujue kuwa imeandikwa vibaya. Ninasisitiza kwamba hakuna eneo moja la hisabati ambalo haliwezi kujadiliwa "kwenye vidole" bila kupoteza usahihi.
Kazi ya siku za usoni: Niliwaagiza wanafunzi wangu kuelewa kidhibiti cha mstari cha nne ni nini. Usiwe na aibu, tumia dakika tatu za maisha yako na ufuate kiungo. Ikiwa hauelewi chochote, basi tuko kwenye njia sawa. Mimi (mtaalamu wa hesabu-programu) sikuelewa chochote pia. Na ninakuhakikishia, unaweza kujua hii "kwenye vidole vyako." Kwa sasa sijui ni nini, lakini ninakuhakikishia kwamba tutaweza kufahamu.
Kwa hivyo, hotuba ya kwanza ambayo nitawapa wanafunzi wangu baada ya kunijia kwa mshtuko na kusema kwamba kidhibiti cha mstari wa quadratic ni jambo la kutisha ambalo hautawahi kulijua maishani mwako. njia za mraba. Je, unaweza kutatua milinganyo ya mstari? Ikiwa unasoma maandishi haya, basi uwezekano mkubwa sio.
Kwa hivyo, kwa kuzingatia alama mbili (x0, y0), (x1, y1), kwa mfano, (1,1) na (3,2), kazi ni kupata equation ya mstari unaopita kupitia nukta hizi mbili:
kielelezo
Mstari huu unapaswa kuwa na mlinganyo kama ufuatao:
Hapa alpha na beta hazijulikani kwetu, lakini vidokezo viwili vya mstari huu vinajulikana:
Tunaweza kuandika equation hii katika fomu ya matrix:
Hapa tunapaswa kufanya utaftaji wa sauti: tumbo ni nini? Matrix sio kitu zaidi ya safu ya pande mbili. Hii ni njia ya kuhifadhi data; hakuna maana zaidi inapaswa kushikamana nayo. Inategemea sisi hasa jinsi ya kutafsiri matrix fulani. Mara kwa mara nitaitafsiri kama ramani ya mstari, mara kwa mara kama fomu ya quadratic, na wakati mwingine kama seti ya vekta. Haya yote yatafafanuliwa katika muktadha.
Wacha tubadilishe matiti halisi na uwakilishi wao wa mfano:
Kisha (alpha, beta) inaweza kupatikana kwa urahisi:
Zaidi hasa kwa data yetu ya awali:
Ambayo inaongoza kwa equation ifuatayo ya mstari kupita alama (1,1) na (3,2):
Sawa, kila kitu kiko wazi hapa. Wacha tupate equation ya mstari unaopita tatu pointi: (x0,y0), (x1,y1) na (x2,y2):
Oh-oh-oh, lakini tuna milinganyo tatu kwa mbili haijulikani! Mtaalamu wa kawaida wa hisabati atasema kuwa hakuna suluhisho. Mtayarishaji programu atasema nini? Na kwanza ataandika upya mfumo wa awali wa milinganyo kwa namna ifuatayo:
Kwa upande wetu, vectors i, j, b ni tatu-dimensional, kwa hiyo (katika kesi ya jumla) hakuna ufumbuzi wa mfumo huu. Vekta yoyote (alpha\*i + beta\*j) iko kwenye ndege iliyopasuliwa na vekta (i, j). Ikiwa b sio ya ndege hii, basi hakuna suluhisho (usawa hauwezi kupatikana katika equation). Nini cha kufanya? Tutafute maelewano. Hebu kuashiria kwa e (alpha, beta) ni kwa kiasi gani hatujapata usawa:
Na tutajaribu kupunguza kosa hili:
Kwa nini mraba?
Hatutazamii tu kiwango cha chini cha kawaida, lakini kwa kiwango cha chini cha mraba wa kawaida. Kwa nini? Pointi ya chini yenyewe inalingana, na mraba unatoa kazi laini (tendakazi ya quadratic ya hoja (alpha, beta)), wakati urefu tu unatoa kazi ya umbo la koni, isiyoweza kutofautishwa kwa kiwango cha chini. Br. Mraba ni rahisi zaidi.
Ni wazi, kosa hupunguzwa wakati vekta e orthogonal kwa ndege iliyowekwa na vekta i Na j.
Kielelezo
Kwa maneno mengine: tunatafuta mstari ulionyooka ili jumla ya urefu wa mraba wa umbali kutoka kwa pointi zote hadi mstari huu ulionyooka ni mdogo:
HABARI : Nina shida hapa, umbali wa mstari wa moja kwa moja unapaswa kupimwa kwa wima, na sio kwa makadirio ya orthogonal. Mtoa maoni huyu yuko sahihi.
Kielelezo
Kwa maneno tofauti kabisa (kwa uangalifu, isiyo rasmi, lakini inapaswa kuwa wazi): tunachukua mistari yote inayowezekana kati ya jozi zote za pointi na kutafuta mstari wa wastani kati ya yote:
Kielelezo
Maelezo mengine ni ya moja kwa moja: tunaunganisha chemchemi kati ya pointi zote za data (hapa tuna tatu) na mstari wa moja kwa moja ambao tunatafuta, na mstari wa moja kwa moja wa hali ya usawa ni nini hasa tunachotafuta.
Kiwango cha chini cha fomu ya quadratic
Kwa hivyo, kwa kuzingatia vector hii b na ndege iliyowekwa na veta za safu ya matrix A(katika kesi hii (x0,x1,x2) na (1,1,1)), tunatafuta vekta. e na angalau mraba wa urefu. Kwa wazi, kiwango cha chini kinaweza kufikiwa tu kwa vekta e, orthogonal kwa ndege iliyopanuliwa na vekta za safu ya matrix A:Kwa maneno mengine, tunatafuta vekta x=(alpha, beta) kama vile:
Acha nikukumbushe kwamba vekta hii x=(alpha, beta) ndiyo kiwango cha chini kabisa cha chaguo za kukokotoa za quadratic ||e(alpha, beta)||^2:
Hapa itakuwa muhimu kukumbuka kuwa matrix inaweza kufasiriwa pia kama fomu ya quadratic, kwa mfano, matrix ya kitambulisho ((1,0),(0,1)) inaweza kufasiriwa kama kazi x^2 + y^ 2:
fomu ya quadratic
Gymnastics hii yote inajulikana chini ya jina la regression ya mstari.
Mlinganyo wa Laplace na hali ya mpaka ya Dirichlet
Sasa kazi rahisi zaidi ya kweli: kuna uso fulani wa triangulated, ni muhimu kuifanya laini. Kwa mfano, wacha tupakie mfano wa uso wangu:
Ahadi ya asili inapatikana. Ili kupunguza utegemezi wa nje, nilichukua msimbo wa kionyeshi programu yangu, tayari kwenye Habre. Ili kutatua mfumo wa mstari, ninatumia OpenNL, hii ni solver bora, ambayo, hata hivyo, ni vigumu sana kufunga: unahitaji kunakili faili mbili (.h +.c) kwenye folda na mradi wako. Urekebishaji wote unafanywa na nambari ifuatayo:
Kwa (int d=0; d<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
Viwianishi vya X, Y na Z vinaweza kutenganishwa, ninavilainishia kando. Hiyo ni, mimi hutatua mifumo mitatu ya milinganyo ya mstari, kila moja ikiwa na idadi ya vigeuzo sawa na idadi ya wima katika mfano wangu. Safu mlalo n za kwanza za matrix A zina 1 tu kwa kila safu, na safu mlalo n za kwanza za vekta b zina viwianishi vya modeli asilia. Hiyo ni, mimi hufunga chemchemi kati ya nafasi mpya ya vertex na nafasi ya zamani ya vertex - mpya haipaswi kusonga mbali sana na ya zamani.
Safu mlalo zote zinazofuata za matrix A (faces.size()*3 = idadi ya kingo za pembetatu zote kwenye wavu) huwa na tukio moja la 1 na tukio moja la -1, vekta b ikiwa na vipengee sifuri kinyume. Hii inamaanisha kuwa ninaweka chemchemi kwenye kila ukingo wa matundu yetu ya pembetatu: kingo zote hujaribu kupata kipeo sawa na mahali pa kuanzia na kumalizia.
Kwa mara nyingine tena: wima zote ni anuwai, na haziwezi kusonga mbali na msimamo wao wa asili, lakini wakati huo huo hujaribu kufanana na kila mmoja.
Haya ndiyo matokeo:
Kila kitu kitakuwa sawa, mfano huo ni laini, lakini umeondoka kutoka kwa makali yake ya asili. Wacha tubadilishe nambari kidogo:
Kwa (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
Katika tumbo letu A, kwa vipeo vilivyo kwenye ukingo, siongezi safu mlalo kutoka kwa kategoria v_i = vitenzi[i][d], lakini 1000*v_i = 1000*vipeo[i][d]. Je, inabadilika nini? Na hii inabadilisha aina yetu ya makosa ya quadratic. Sasa kupotoka moja kutoka juu kwenye ukingo hautagharimu kitengo kimoja, kama hapo awali, lakini vitengo 1000 * 1000. Hiyo ni, tulipachika chemchemi yenye nguvu kwenye wima kali, suluhisho litapendelea kunyoosha zingine kwa nguvu zaidi. Haya ndiyo matokeo:
Wacha tuongeze nguvu ya chemchemi kati ya wima:
nlCoefficient( uso[ j ], 2); nlCoefficient(uso[(j+1)%3], -2);
Ni sawa kwamba uso umekuwa laini:
Na sasa hata nguvu mara mia:
Hii ni nini? Hebu fikiria kwamba tumechovya pete ya waya kwenye maji ya sabuni. Matokeo yake, filamu inayotokana na sabuni itajaribu kuwa na curvature angalau iwezekanavyo, kugusa mpaka - pete yetu ya waya. Hivi ndivyo tulivyopata kwa kurekebisha mpaka na kuomba uso laini ndani. Hongera, tumesuluhisha mlinganyo wa Laplace na masharti ya mpaka ya Dirichlet. Inaonekana poa? Lakini kwa ukweli, unahitaji tu kutatua mfumo mmoja wa hesabu za mstari.
Mlinganyo wa Poisson
Tukumbuke jina lingine zuri.Wacha tuseme nina picha kama hii:
Inaonekana vizuri kwa kila mtu, lakini siipendi mwenyekiti.
Nitakata picha hiyo katikati: 
Nami nitachagua kiti kwa mikono yangu: 
Kisha nitavuta kila kitu ambacho ni nyeupe kwenye mask upande wa kushoto wa picha, na wakati huo huo katika picha nitasema kwamba tofauti kati ya saizi mbili za jirani inapaswa kuwa sawa na tofauti kati ya saizi mbili za jirani za kulia. picha:
Kwa (int i=0; i Haya ndiyo matokeo: Msimbo na picha zinapatikana Baada ya kuchagua aina ya kazi ya urekebishaji, i.e. aina ya mfano unaozingatiwa wa utegemezi wa Y kwa X (au X juu ya Y), kwa mfano, mfano wa mstari y x =a+bx, ni muhimu kuamua maadili maalum ya coefficients ya mfano. Kwa maadili tofauti ya a na b, inawezekana kuunda idadi isiyo na kipimo ya utegemezi wa fomu y x = a + bx, i.e. kuna idadi isiyo na kikomo ya mistari iliyonyooka kwenye ndege ya kuratibu, lakini tunahitaji utegemezi bora zaidi. inalingana na maadili yaliyozingatiwa. Kwa hivyo, kazi inakuja kwa kuchagua coefficients bora. Tunatafuta chaguo la kukokotoa la mstari a+bx kulingana na idadi fulani tu ya uchunguzi unaopatikana. Ili kupata chaguo za kukokotoa zilizo na kifafa bora zaidi kwa thamani zilizotazamwa, tunatumia mbinu ya angalau miraba. Hebu tuonyeshe: Y i - thamani iliyohesabiwa na equation Y i =a+bx i. y i - thamani iliyopimwa, ε i =y i -Y i - tofauti kati ya thamani zilizopimwa na zilizokokotwa kwa kutumia mlingano, ε i =y i -a-bx i . Mbinu ya miraba ndogo inahitaji ε i, tofauti kati ya kipimo y i na thamani Y i zilizokokotwa kutoka kwa mlinganyo, iwe ndogo. Kwa hivyo, tunapata coefficients a na b ili jumla ya upungufu wa mraba wa maadili yaliyotazamwa kutoka kwa maadili kwenye mstari wa rejista wa moja kwa moja ni mdogo zaidi: Kwa kukagua utendakazi huu wa hoja a na kwa uthabiti kwa kutumia derivatives, tunaweza kuthibitisha kwamba chaguo za kukokotoa huchukua thamani ya chini zaidi ikiwa vibali a na b ni suluhu za mfumo: Ikiwa tutagawanya pande zote mbili za hesabu za kawaida na n, tunapata: Kwa kuzingatia hilo Tunapata Katika kesi hii, b inaitwa mgawo wa regression; a inaitwa neno la bure la equation ya rejista na huhesabiwa kwa kutumia fomula: Mstari wa moja kwa moja unaotokana ni makadirio ya mstari wa rejista wa kinadharia. Tuna: Kwa hiyo, Urejeshaji unaweza kuwa wa moja kwa moja (b>0) na kurudi nyuma (b Mfano 1. Matokeo ya kupima maadili ya X na Y yametolewa kwenye jedwali: Kwa kuchukulia kuwa kuna uhusiano wa kimstari kati ya X na Y y=a+bx, bainisha miraba a na b kwa kutumia mbinu ya angalau miraba. Suluhisho. Hapa n=5 na mfumo wa kawaida (2) una fomu Kutatua mfumo huu, tunapata: b=0.425, a=1.175. Kwa hivyo y=1.175+0.425x. Mfano 2. Kuna sampuli ya uchunguzi 10 wa viashiria vya kiuchumi (X) na (Y). Unahitaji kupata sampuli ya mlinganyo wa rejista wa Y kwenye X. Unda sampuli ya laini ya rejista ya Y kwenye X. Suluhisho. 1. Wacha tupange data kulingana na maadili x i na y i . Tunapata meza mpya: Ili kurahisisha mahesabu, tutaunda meza ya hesabu ambayo tutaingiza maadili muhimu ya nambari. Kulingana na fomula (4), tunakokotoa mgawo wa rejista na kwa mujibu wa formula (5) Kwa hivyo, sampuli ya mlinganyo wa kurejesha hali ni y=-59.34+1.3804x. Kielelezo cha 4 kinaonyesha jinsi maadili yaliyozingatiwa yanapatikana kuhusiana na mstari wa kurejesha. Ili kutathmini kwa nambari kupotoka kwa y i kutoka kwa Y i, ambapo y i huzingatiwa na Y i ni maadili yaliyoamuliwa na rejista, tunaunda jedwali: Thamani za Yi huhesabiwa kulingana na equation ya rejista. Mkengeuko unaoonekana wa maadili fulani kutoka kwa mstari wa rejista unaelezewa na idadi ndogo ya uchunguzi. Wakati wa kusoma kiwango cha utegemezi wa mstari wa Y kwenye X, idadi ya uchunguzi huzingatiwa. Nguvu ya utegemezi imedhamiriwa na thamani ya mgawo wa uunganisho. Mfano. Data ya majaribio juu ya maadili ya vigezo X Na katika hutolewa kwenye meza. Kama matokeo ya upatanishi wao, kazi hupatikana Kutumia njia ya angalau mraba, takriban data hizi kwa utegemezi wa mstari y=shoka+b(tafuta vigezo A Na b) Jua ni ipi kati ya mistari miwili iliyo bora zaidi (kwa maana ya mbinu ndogo zaidi ya miraba) inayosawazisha data ya majaribio. Fanya mchoro. Kazi ni kupata mgawo wa utegemezi wa mstari ambao kazi ya vigezo viwili A Na b
Kwa hivyo, kusuluhisha mfano kunakuja chini kupata mwisho wa kazi ya vijiti viwili. Mfumo wa milinganyo miwili yenye vitu viwili visivyojulikana hukusanywa na kutatuliwa. Kutafuta sehemu za sehemu za chaguo za kukokotoa Tunatatua mfumo unaotokana wa hesabu kwa kutumia njia yoyote (kwa mfano kwa njia mbadala au Njia ya Cramer) na upate fomula za kutafuta coefficients kwa kutumia mbinu ya angalau mraba (LSM). Imetolewa A Na b kazi Hiyo ndiyo njia nzima ya angalau miraba. Mfumo wa kutafuta parameta a ina jumla ya ,,, na parameta n- kiasi cha data ya majaribio. Tunapendekeza kuhesabu thamani za kiasi hiki tofauti. Mgawo b kupatikana baada ya kuhesabu a. Ni wakati wa kukumbuka mfano wa asili. Suluhisho. Katika mfano wetu n=5. Tunajaza meza kwa urahisi wa kuhesabu kiasi ambacho kinajumuishwa katika kanuni za coefficients zinazohitajika. Thamani katika safu ya nne ya jedwali hupatikana kwa kuzidisha maadili ya safu ya 2 kwa maadili ya safu ya 3 kwa kila nambari. i. Thamani katika safu ya tano ya jedwali hupatikana kwa kuweka maadili kwenye safu ya 2 kwa kila nambari. i. Thamani katika safu wima ya mwisho ya jedwali ni jumla ya thamani katika safu mlalo. Tunatumia fomula za mbinu ya angalau miraba ili kupata coefficients A Na b. Tunabadilisha maadili yanayolingana kutoka safu ya mwisho ya jedwali ndani yao: Kwa hivyo, y = 0.165x+2.184- mstari wa moja kwa moja unaokaribia unaohitajika. Inabakia kujua ni ipi kati ya mistari y = 0.165x+2.184 au Ili kufanya hivyo, unahitaji kuhesabu jumla ya kupotoka kwa mraba wa data asili kutoka kwa mistari hii Tangu, basi moja kwa moja y = 0.165x+2.184 bora inakadiria data asili. Kila kitu kinaonekana wazi kwenye grafu. Mstari mwekundu ni mstari wa moja kwa moja uliopatikana y = 0.165x+2.184, mstari wa bluu ni Kwa mazoezi, wakati wa kuiga michakato mbalimbali - haswa, kiuchumi, kimwili, kiufundi, kijamii - njia moja au nyingine ya kuhesabu maadili ya takriban ya kazi kutoka kwa maadili yao yanayojulikana katika pointi fulani maalum hutumiwa sana. Aina hii ya shida ya kukadiria utendakazi mara nyingi hutokea: wakati wa kuunda fomula takriban za kuhesabu maadili ya idadi ya tabia ya mchakato unaosomwa kwa kutumia data ya jedwali iliyopatikana kama matokeo ya jaribio; katika ujumuishaji wa nambari, utofautishaji, utatuzi wa milinganyo tofauti, nk; ikiwa ni lazima, hesabu maadili ya kazi katika sehemu za kati za muda unaozingatiwa; wakati wa kuamua maadili ya idadi ya tabia ya mchakato nje ya muda unaozingatiwa, haswa wakati wa utabiri. Ikiwa, kwa mfano wa mchakato fulani ulioainishwa na jedwali, tunaunda kazi ambayo takriban inaelezea mchakato huu kulingana na njia ndogo ya mraba, itaitwa kazi ya kukadiria (regression), na kazi ya kuunda kazi zinazokaribia yenyewe itaitwa. tatizo la makadirio. Nakala hii inajadili uwezo wa kifurushi cha MS Excel kwa kutatua aina hii ya shida, kwa kuongeza, inatoa njia na mbinu za kujenga (kuunda) regressions kwa kazi zilizowekwa (ambayo ni msingi wa uchambuzi wa regression). Excel ina chaguzi mbili za kujenga regressions. Kuongeza rejeshi zilizochaguliwa (mielekeo) kwenye mchoro uliojengwa kwa misingi ya jedwali la data kwa sifa ya mchakato unaochunguzwa (inapatikana tu ikiwa mchoro umeundwa); Kwa kutumia vitendaji vya takwimu vilivyojumuishwa vya lahakazi ya Excel, hukuruhusu kupata rejeshi (mistari ya mwelekeo) moja kwa moja kutoka kwa jedwali la data ya chanzo. Kuongeza mienendo kwenye chati Kwa jedwali la data linaloelezea mchakato na kuwakilishwa na mchoro, Excel ina zana bora ya uchanganuzi wa rejista ambayo hukuruhusu: jenga kwa msingi wa njia ndogo zaidi ya mraba na ongeza aina tano za kurudi nyuma kwenye mchoro, ambayo ni mfano wa mchakato unaosomwa na viwango tofauti vya usahihi; ongeza equation ya regression iliyojengwa kwenye mchoro; bainisha kiwango cha mawasiliano cha urejeshaji uliochaguliwa kwa data iliyoonyeshwa kwenye chati. Kulingana na data ya chati, Excel hukuruhusu kupata urejeshaji wa mstari, polynomial, logarithmic, nguvu, aina za kielelezo za rejeshi, ambazo zimebainishwa na mlinganyo: y = y(x) ambapo x ni kigezo huru ambacho mara nyingi huchukua maadili ya mlolongo wa nambari asilia (1; 2; 3; ...) na hutoa, kwa mfano, hesabu ya muda wa mchakato unaojifunza (tabia). 1
. Urejeshaji wa mstari ni mzuri kwa sifa za uundaji ambazo maadili yake huongezeka au kupungua kwa kasi isiyobadilika. Huu ndio muundo rahisi zaidi wa kuunda kwa mchakato unaojifunza. Imeundwa kwa mujibu wa equation: y = mx + b ambapo m ni tanjiti ya mteremko wa regression wa mstari kwa mhimili wa x; b - kuratibu hatua ya makutano ya regression ya mstari na mhimili wa kuratibu. 2
. Mstari wa mwelekeo wa polynomial ni muhimu kwa kuelezea sifa ambazo zina viwango tofauti tofauti (maxima na minima). Uchaguzi wa shahada ya polynomial imedhamiriwa na idadi ya extrema ya tabia inayosomwa. Kwa hivyo, polynomial ya shahada ya pili inaweza kuelezea vizuri mchakato ambao una kiwango cha juu au cha chini; polynomial ya shahada ya tatu - si zaidi ya mbili extrema; polynomial ya shahada ya nne - si zaidi ya tatu extrema, nk. Katika kesi hii, mstari wa mwenendo unaundwa kwa mujibu wa equation: y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6 ambapo coefficients c0, c1, c2,... c6 ni vidhibiti ambavyo maadili yake huamuliwa wakati wa ujenzi. 3
. Mstari wa mwelekeo wa logarithmic hutumiwa kwa mafanikio wakati wa kuiga sifa ambazo maadili yake mwanzoni hubadilika haraka na kisha kutulia polepole. y = c ln(x) + b 4
. Mstari wa mwenendo wa sheria-nguvu hutoa matokeo mazuri ikiwa maadili ya uhusiano unaochunguzwa yanaonyeshwa na mabadiliko ya mara kwa mara katika kiwango cha ukuaji. Mfano wa utegemezi kama huo ni grafu ya mwendo wa kasi wa gari. Ikiwa kuna thamani sifuri au hasi katika data, huwezi kutumia mstari wa mwelekeo wa nguvu. Imeundwa kwa mujibu wa equation: y = c xb ambapo mgawo b, c ni viunga. 5
. Mstari wa mwelekeo wa kielelezo unapaswa kutumika wakati kasi ya mabadiliko katika data inaendelea kuongezeka. Kwa data iliyo na thamani sifuri au hasi, aina hii ya ukadiriaji pia haitumiki. Imeundwa kwa mujibu wa equation: y = c ebx ambapo mgawo b, c ni viunga. Wakati wa kuchagua mstari wa mwelekeo, Excel huhesabu kiotomati thamani ya R2, ambayo inaashiria uaminifu wa makadirio: karibu thamani ya R2 ni ya umoja, kwa uhakika zaidi mstari wa mwelekeo unakaribia mchakato unaojifunza. Ikiwa ni lazima, thamani ya R2 inaweza kuonyeshwa kila wakati kwenye chati. Imedhamiriwa na formula: Ili kuongeza mwelekeo kwenye mfululizo wa data: washa chati kulingana na mfululizo wa data, yaani, bofya ndani ya eneo la chati. Kipengee cha Mchoro kitaonekana kwenye orodha kuu; baada ya kubofya kipengee hiki, menyu itaonekana kwenye skrini ambayo unapaswa kuchagua amri ya mstari wa Kuongeza. Vitendo sawa vinaweza kutekelezwa kwa urahisi kwa kusonga pointer ya panya juu ya grafu inayolingana na moja ya mfululizo wa data na kubofya kulia; Katika menyu ya muktadha inayoonekana, chagua amri ya mstari wa Kuongeza. Sanduku la mazungumzo la Mwenendo litaonekana kwenye skrini na kichupo cha Aina kufunguliwa (Mchoro 1). Baada ya hii unahitaji: Chagua aina ya mstari wa mwelekeo unaohitajika kwenye kichupo cha Aina (aina ya Mstari huchaguliwa kwa chaguomsingi). Kwa aina ya Polynomial, katika uwanja wa Shahada, taja kiwango cha polynomial iliyochaguliwa. 1
. Sehemu ya Built on series huorodhesha mfululizo wote wa data kwenye chati inayohusika. Ili kuongeza mwelekeo kwenye mfululizo mahususi wa data, chagua jina lake katika sehemu ya Imejengwa kwenye mfululizo. Ikiwa ni lazima, kwa kwenda kwenye kichupo cha Vigezo (Mchoro 2), unaweza kuweka vigezo vifuatavyo kwa mstari wa mwenendo: badilisha jina la mstari wa mwelekeo katika Jina la uga wa curve inayokaribia (iliyolainishwa). weka idadi ya vipindi (mbele au nyuma) kwa utabiri katika uwanja wa Utabiri; onyesha equation ya mstari wa mwenendo katika eneo la mchoro, ambayo unapaswa kuwezesha usawa wa maonyesho kwenye kisanduku cha kuteua cha mchoro; onyesha thamani ya kutegemewa ya kukadiria R2 katika eneo la mchoro, ambayo unapaswa kuwezesha Weka thamani ya kutegemewa ya kukadiria kwenye kisanduku cha kuteua cha mchoro (R^2); weka sehemu ya makutano ya mstari wa mwelekeo na mhimili wa Y, ambayo unapaswa kuwezesha kisanduku cha kuteua kwa makutano ya curve na mhimili wa Y kwa uhakika; Bofya kitufe cha OK ili kufunga kisanduku cha mazungumzo. Ili kuanza kuhariri mtindo uliochorwa tayari, kuna njia tatu: tumia amri iliyochaguliwa ya mstari wa mwelekeo kutoka kwa menyu ya Umbizo, ukiwa umechagua mstari wa mwenendo hapo awali; chagua amri ya mstari wa mwelekeo wa Umbizo kutoka kwa menyu ya muktadha, ambayo inaitwa kwa kubofya kulia kwenye mstari wa mwenendo; bonyeza mara mbili kwenye mstari wa mwenendo. Kisanduku cha mazungumzo cha Umbizo la Mstari Mwelekeo kitaonekana kwenye skrini (Kielelezo 3), kilicho na vichupo vitatu: Tazama, Aina, Vigezo, na yaliyomo katika mbili za mwisho sanjari kabisa na vichupo sawa vya kisanduku cha mazungumzo cha Mstari Mwenendo (Mchoro 1). -2). Kwenye kichupo cha Tazama, unaweza kuweka aina ya mstari, rangi yake na unene. Ili kufuta mwelekeo ambao tayari umechorwa, chagua mwelekeo utakaofutwa na ubonyeze kitufe cha Futa. Faida za zana inayozingatiwa ya uchambuzi wa urejeshi ni: urahisi wa jamaa wa kujenga mstari wa mwenendo kwenye chati bila kuunda meza ya data kwa ajili yake; orodha pana ya aina za mistari ya mwelekeo iliyopendekezwa, na orodha hii inajumuisha aina zinazotumiwa sana za urejeshaji; uwezo wa kutabiri tabia ya mchakato chini ya utafiti na kiholela (ndani ya mipaka ya akili ya kawaida) idadi ya hatua mbele na pia nyuma; uwezo wa kupata equation ya mstari wa mwenendo katika fomu ya uchambuzi; uwezekano, ikiwa ni lazima, wa kupata tathmini ya kuaminika kwa makadirio. Hasara ni pamoja na zifuatazo: ujenzi wa mstari wa mwenendo unafanywa tu ikiwa kuna mchoro uliojengwa kwenye mfululizo wa data; mchakato wa kutoa mfululizo wa data kwa sifa inayochunguzwa kulingana na milinganyo ya mwenendo iliyopatikana kwa ajili yake imechanganyikiwa kwa kiasi fulani: milinganyo inayohitajika ya urekebishaji inasasishwa na kila mabadiliko katika maadili ya mfululizo wa data asilia, lakini ndani ya eneo la chati tu. , wakati mfululizo wa data ulioundwa kwa misingi ya mwelekeo wa mlinganyo wa mstari wa zamani haujabadilika; Katika ripoti za PivotChart, kubadilisha mwonekano wa chati au ripoti husika ya PivotTable haihifadhi mitindo iliyopo, kumaanisha kuwa kabla ya kuchora mienendo au vinginevyo kuunda ripoti ya PivotChart, unapaswa kuhakikisha kuwa mpangilio wa ripoti unakidhi mahitaji yanayohitajika. Mistari ya mwenendo inaweza kutumika kuongezea mfululizo wa data unaowasilishwa kwenye chati kama vile grafu, histogramu, chati bapa za eneo zisizo na sanifu, chati za pau, chati za kutawanya, chati za viputo na chati za hisa. Huwezi kuongeza mitindo kwenye mfululizo wa data katika 3D, chati za kawaida, rada, pai na donuts. Kutumia vitendaji vilivyojumuishwa vya Excel Excel pia ina zana ya kuchanganua urejeshi kwa kupanga mistari ya mienendo nje ya eneo la chati. Kuna idadi ya vitendakazi vya karatasi za takwimu unazoweza kutumia kwa madhumuni haya, lakini zote hukuruhusu tu kuunda urejeshi wa mstari au wa kielelezo. Excel ina kazi kadhaa za kuunda urejeshaji wa mstari, haswa: MWENENDO; Mteremko na KATA. Pamoja na kazi kadhaa za kuunda mstari wa mwelekeo wa kielelezo, haswa: LGRFPRIBL. Ikumbukwe kwamba mbinu za kujenga regressions kwa kutumia kazi za TREND na GROWTH ni karibu sawa. Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu jozi ya kazi LINEST na LGRFPRIBL. Kwa kazi hizi nne, kuunda jedwali la maadili hutumia vipengee vya Excel kama fomula za safu, ambayo kwa kiasi fulani huchanganya mchakato wa kujenga rejista. Wacha tukumbuke kuwa ujenzi wa urejeshaji wa mstari, kwa maoni yetu, unakamilishwa kwa urahisi zaidi kwa kutumia kazi za SLOPE na INTERCEPT, ambapo ya kwanza huamua mteremko wa urejeshaji wa mstari, na ya pili huamua sehemu iliyoingiliwa na rejista. mhimili wa y. Faida za zana ya utendakazi iliyojengewa ndani ya uchanganuzi wa urekebishaji ni: mchakato rahisi, sawia wa kuzalisha mfululizo wa data wa sifa inayochunguzwa kwa vipengele vyote vya takwimu vilivyojengewa ndani ambavyo vinafafanua mienendo; mbinu ya kawaida ya kuunda mistari ya mwenendo kulingana na mfululizo wa data uliozalishwa; uwezo wa kutabiri tabia ya mchakato chini ya utafiti kwa idadi inayotakiwa ya hatua mbele au nyuma. Ubaya ni pamoja na ukweli kwamba Excel haina vitendaji vilivyojumuishwa vya kuunda aina zingine (isipokuwa za mstari na za kielelezo) za mistari ya mitindo. Hali hii mara nyingi hairuhusu kuchagua mfano sahihi wa kutosha wa mchakato unaojifunza, pamoja na kupata utabiri ambao uko karibu na ukweli. Kwa kuongeza, unapotumia kazi za TREND na GROWTH, usawa wa mistari ya mwenendo haujulikani. Ikumbukwe kwamba waandishi hawakujitolea kuwasilisha kozi ya uchanganuzi wa urejeshi kwa kiwango chochote cha ukamilifu. Kazi yake kuu ni kuonyesha, kwa kutumia mifano maalum, uwezo wa mfuko wa Excel wakati wa kutatua matatizo ya makadirio; onyesha ni zana gani madhubuti za Excel inazo za kujenga urejeleaji na utabiri; onyesha jinsi matatizo kama hayo yanaweza kutatuliwa kwa urahisi hata na mtumiaji ambaye hana ujuzi wa kina wa uchanganuzi wa urejeshi. Mifano ya kutatua matatizo maalum Hebu tuangalie kutatua matatizo maalum kwa kutumia zana zilizoorodheshwa za Excel. Tatizo 1 Na jedwali la data juu ya faida ya biashara ya usafiri wa magari kwa 1995-2002. unahitaji kufanya yafuatayo: Jenga mchoro. Ongeza mistari ya mwelekeo ya mstari na ya polynomial (quadratic na cubic) kwenye chati. Kwa kutumia milinganyo ya mwelekeo, pata data ya jedwali kuhusu faida za biashara kwa kila mtindo wa 1995-2004. Fanya utabiri wa faida ya biashara kwa 2003 na 2004. Suluhisho la tatizo Katika safu ya seli A4:C11 za lahakazi ya Excel, ingiza laha ya kazi iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 4. Baada ya kuchagua anuwai ya seli B4: C11, tunaunda mchoro. Tunawasha mchoro uliojengwa na, kwa mujibu wa njia iliyoelezwa hapo juu, baada ya kuchagua aina ya mstari wa mwenendo katika sanduku la mazungumzo la Mstari wa Mwelekeo (tazama Mchoro 1), tunaongeza mistari ya mwenendo wa mstari, wa quadratic na cubic kwenye mchoro. Katika kisanduku cha mazungumzo sawa, fungua kichupo cha Vigezo (ona Mtini. 2), katika Jina la uga wa curve inayokaribia (iliyolaini), weka jina la mwelekeo unaoongezwa, na katika Utabiri wa mbele kwa: uga wa vipindi, weka thamani 2, kwani imepangwa kufanya utabiri wa faida kwa miaka miwili mbele. Ili kuonyesha mlingano wa urejeshi na utegemezi wa ukadiriaji wa thamani R2 katika eneo la mchoro, washa mlingano wa onyesho kwenye visanduku vya kuteua vya skrini na uweke thamani ya ukadiriaji wa kuaminika (R^2) kwenye mchoro. Kwa mtazamo bora wa kuona, tunabadilisha aina, rangi na unene wa mistari ya mwenendo iliyojengwa, ambayo tunatumia kichupo cha Tazama cha sanduku la mazungumzo la Format Line Trend (ona Mchoro 3). Mchoro unaotokana na mistari iliyoongezwa ya mwenendo unaonyeshwa kwenye Mtini. 5. Ili kupata data ya jedwali juu ya faida za biashara kwa kila mstari wa mwenendo wa 1995-2004. Wacha tutumie milinganyo ya mwelekeo inayowasilishwa kwenye Mtini. 5. Ili kufanya hivyo, katika visanduku vya safu D3:F3, ingiza maelezo ya maandishi kuhusu aina ya mtindo uliochaguliwa: Mwelekeo wa mstari, mwelekeo wa Quadratic, Mwelekeo wa ujazo. Ifuatayo, weka fomula ya urejeshi wa mstari katika kisanduku cha D4 na, kwa kutumia kiashiria cha kujaza, nakili fomula hii kwa marejeleo yanayohusiana na safu ya kisanduku D5:D13. Ikumbukwe kwamba kila seli iliyo na fomula ya urejeshaji mstari kutoka safu ya visanduku D4:D13 ina kama kihoja kisanduku kinacholingana kutoka masafa A4:A13. Vile vile, kwa urejeshaji wa quadratic, jaza safu ya seli E4:E13, na kwa urejeshaji wa ujazo, jaza safu ya seli F4:F13. Kwa hivyo, utabiri wa faida ya biashara kwa 2003 na 2004 umeundwa. kwa kutumia mitindo mitatu. Jedwali la matokeo la maadili linaonyeshwa kwenye Mtini. 6. Tatizo 2 Jenga mchoro. Ongeza mistari ya logarithmic, nguvu na kielelezo kwenye chati. Pata hesabu za mistari ya mwenendo iliyopatikana, na pia maadili ya kuegemea ya takriban R2 kwa kila moja yao. Kwa kutumia milinganyo ya mwelekeo, pata data ya jedwali kuhusu faida ya biashara kwa kila mtindo wa 1995-2002. Toa utabiri wa faida ya kampuni kwa 2003 na 2004 ukitumia njia hizi za mitindo. Suluhisho la tatizo Kufuatia mbinu iliyotolewa katika kutatua tatizo la 1, tunapata mchoro wenye mistari ya logarithmic, nguvu na kielelezo kilichoongezwa kwake (Mchoro 7). Ifuatayo, kwa kutumia milinganyo ya mwenendo iliyopatikana, tunajaza jedwali la maadili kwa faida ya biashara, pamoja na maadili yaliyotabiriwa ya 2003 na 2004. (Mchoro 8). Katika Mtini. 5 na mtini. inaweza kuonekana kuwa modeli iliyo na mwelekeo wa logarithmic inalingana na dhamana ya chini kabisa ya utegemezi wa kukadiria. R2 = 0.8659 Maadili ya juu zaidi ya R2 yanahusiana na mifano yenye mwelekeo wa polynomial: quadratic (R2 = 0.9263) na ujazo (R2 = 0.933). Tatizo 3 Na jedwali la data juu ya faida ya biashara ya usafiri wa magari kwa 1995-2002, iliyotolewa katika kazi 1, lazima ufanyie hatua zifuatazo. Pata mfululizo wa data kwa mistari ya mienendo ya mstari na ya kielelezo kwa kutumia vipengele vya TREND na GROW. Kwa kutumia vipengele vya TREND na GROWTH, fanya utabiri wa faida ya biashara kwa 2003 na 2004. Tengeneza mchoro wa data asili na mfululizo wa data unaotokana. Suluhisho la tatizo Hebu tumia laha ya kazi kwa Tatizo la 1 (tazama Mchoro 4). Wacha tuanze na kitendakazi cha TREND: chagua safu ya seli D4: D11, ambazo zinapaswa kujazwa na maadili ya kazi ya TREND inayolingana na data inayojulikana juu ya faida ya biashara; Piga amri ya Kazi kutoka kwa menyu ya Ingiza. Katika sanduku la mazungumzo la Mchawi wa Kazi inayoonekana, chagua kazi ya TREND kutoka kwa kitengo cha Takwimu, na kisha bofya OK kifungo. Operesheni sawa inaweza kufanywa kwa kubofya kitufe cha (Ingiza Kazi) kwenye upau wa zana wa kawaida. Katika kisanduku cha mazungumzo cha Hoja za Kazi inayoonekana, ingiza safu ya seli C4:C11 katika sehemu ya Known_values_y; katika Inayojulikana_values_x uga - safu ya seli B4:B11; Ili kufanya fomula iliyoingizwa kuwa fomula ya safu, tumia mchanganyiko muhimu + + . Fomula tuliyoingiza kwenye upau wa fomula itaonekana kama: =(TREND(C4:C11,B4:B11)). Kama matokeo, anuwai ya seli D4: D11 imejazwa na maadili yanayolingana ya kazi ya TREND (Mchoro 9). Kufanya utabiri wa faida ya biashara kwa 2003 na 2004. muhimu: chagua safu ya visanduku D12:D13 ambapo thamani zilizotabiriwa na chaguo za kukokotoa za TREND zitawekwa. piga kitendakazi cha TREND na katika kisanduku cha mazungumzo cha Hoja za Kazi kinachoonekana, ingiza katika Uga Unaojulikana_values_y - safu ya seli C4:C11; katika Inayojulikana_values_x uga - safu ya seli B4:B11; na katika sehemu ya New_values_x - safu ya visanduku B12:B13. geuza fomula hii kuwa fomula ya safu kwa kutumia mchanganyiko muhimu Ctrl + Shift + Enter. Fomula iliyoingizwa itaonekana kama: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), na anuwai ya seli D12:D13 itajazwa na maadili yaliyotabiriwa ya chaguo la kukokotoa la TREND (ona Mtini. 9). Msururu wa data vile vile hujazwa kwa kutumia kipengele cha kukokotoa cha GROWTH, ambacho hutumika katika uchanganuzi wa vitegemezi visivyo vya mstari na hufanya kazi kwa njia sawa kabisa na kilinganishi cha TREND. Kielelezo cha 10 kinaonyesha jedwali katika hali ya onyesho la fomula. Kwa data ya awali na mfululizo wa data uliopatikana, mchoro umeonyeshwa kwenye Mtini. kumi na moja. Tatizo 4 Na jedwali la data juu ya upokeaji wa maombi ya huduma kwa huduma ya kupeleka ya biashara ya usafirishaji wa gari kwa kipindi cha 1 hadi 11 ya mwezi wa sasa, lazima ufanye vitendo vifuatavyo. Pata mfululizo wa data kwa urejeshaji wa mstari: kwa kutumia SLOPE na vitendaji vya INTERCEPT; kwa kutumia kitendakazi cha LINEST. Pata mfululizo wa data kwa urejeshaji wa kielelezo kwa kutumia kitendakazi cha LGRFPRIBL. Kwa kutumia vipengele vilivyo hapo juu, fanya utabiri kuhusu upokeaji wa maombi kwa huduma ya kutuma kwa kipindi cha kuanzia tarehe 12 hadi 14 ya mwezi wa sasa. Unda mchoro wa mfululizo wa data asilia na uliopokelewa. Suluhisho la tatizo Kumbuka kuwa, tofauti na chaguo za kukokotoa za TREND na GROWTH, hakuna chaguo mojawapo kati ya vitendakazi vilivyoorodheshwa hapo juu (Mteremko, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) ni rejista. Kazi hizi zina jukumu la kusaidia tu, kuamua vigezo muhimu vya urejeshaji. Kwa urejeshaji wa mstari na kielelezo uliojengwa kwa kutumia chaguo za kukokotoa SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB, mwonekano wa milinganyo yao inajulikana kila mara, tofauti na urejeshaji wa mstari na kielelezo sambamba na utendaji wa TREND na GROWTH. 1
. Wacha tujenge urejeshaji wa mstari na equation: y = mx+b kwa kutumia kazi za SLOPE na INTERCEPT, na mteremko wa regression m iliyoamuliwa na kazi ya SLOPE, na neno la bure b kwa kazi ya INTERCEPT. Ili kufanya hivyo, tunafanya vitendo vifuatavyo: ingiza jedwali la asili kwenye safu ya seli A4:B14; thamani ya parameter m itajulikana katika kiini C19. Chagua kazi ya Mteremko kutoka kwa kitengo cha Takwimu; weka safu ya visanduku B4:B14 katika sehemu_ya_maadili_y inayojulikana na safu ya visanduku A4:A14 katika sehemu_ya_maadili_x inayojulikana. Fomula itaingizwa katika seli C19: =Mteremko(B4:B14,A4:A14); Kutumia mbinu sawa, thamani ya parameter b katika kiini D19 imedhamiriwa. Na yaliyomo yake yataonekana kama: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). Kwa hivyo, maadili ya vigezo m na b zinazohitajika kwa ajili ya kujenga regression ya mstari zitahifadhiwa katika seli C19, D19, kwa mtiririko huo; Ifuatayo, weka fomula ya urejeshaji mstari katika kisanduku C4 katika umbo: =$C*A4+$D. Katika fomula hii, seli C19 na D19 zimeandikwa kwa marejeleo kamili (anwani ya seli haipaswi kubadilika wakati wa kunakili iwezekanavyo). Alama kamili ya marejeleo $ inaweza kuandikwa kutoka kwa kibodi au kwa kutumia kitufe cha F4, baada ya kuweka kishale kwenye anwani ya seli. Kwa kutumia kishikio cha kujaza, nakili fomula hii katika anuwai ya seli C4:C17. Tunapata mfululizo wa data unaohitajika (Mchoro 12). Kwa sababu ya ukweli kwamba idadi ya maombi ni nambari kamili, unapaswa kuweka umbizo la nambari na idadi ya maeneo ya decimal hadi 0 kwenye kichupo cha Nambari cha dirisha la Umbizo la Kiini. 2
. Sasa wacha tujenge urejeshaji wa mstari uliotolewa na equation: y = mx+b kwa kutumia kitendakazi cha LINEST. Kwa hii; kwa hili: Ingiza kitendakazi cha LINEST kama fomula ya safu katika safu ya seli C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Matokeo yake, tunapata thamani ya parameter m katika kiini C20, na thamani ya parameter b katika kiini D20; ingiza formula katika kiini D4: =$C*A4+$D; nakili fomula hii kwa kutumia alama ya kujaza kwenye safu ya seli D4:D17 na upate mfululizo wa data unaotaka. 3
. Tunaunda urejeshaji wa kielelezo na mlinganyo: kwa kutumia kazi ya LGRFPRIBL inafanywa vile vile: Katika safu ya seli C21:D21 tunaingiza chaguo za kukokotoa za LGRFPRIBL kama fomula ya mkusanyiko: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Katika kesi hii, thamani ya parameter m itatambuliwa katika kiini C21, na thamani ya parameter b itatambuliwa katika kiini D21; formula imeingia kwenye kiini E4: =$D*$C^A4; kwa kutumia alama ya kujaza, fomula hii inakiliwa kwa anuwai ya seli E4: E17, ambapo safu ya data ya urekebishaji wa kielelezo itapatikana (ona Mchoro 12). Katika Mtini. Mchoro wa 13 unaonyesha jedwali ambapo unaweza kuona vitendakazi tunavyotumia na safu za seli zinazohitajika, pamoja na fomula. Ukubwa R
2
kuitwa mgawo wa uamuzi. Kazi ya kujenga utegemezi wa regression ni kupata vector ya coefficients m ya mfano (1) ambayo mgawo R inachukua thamani ya juu. Ili kutathmini umuhimu wa R, mtihani wa F wa Fisher hutumiwa, unaohesabiwa kwa kutumia fomula Wapi n- ukubwa wa sampuli (idadi ya majaribio); k ni idadi ya mgawo wa mfano. Ikiwa F inazidi thamani fulani muhimu kwa data n Na k na uwezekano unaokubalika wa kujiamini, basi thamani ya R inachukuliwa kuwa muhimu. Majedwali ya maadili muhimu ya F yanatolewa katika vitabu vya kumbukumbu juu ya takwimu za hisabati. Kwa hivyo, umuhimu wa R haujatambuliwa tu kwa thamani yake, bali pia kwa uwiano kati ya idadi ya majaribio na idadi ya coefficients (vigezo) vya mfano. Hakika, uwiano wa uwiano wa n = 2 kwa mfano rahisi wa mstari ni sawa na 1 (mstari mmoja wa moja kwa moja unaweza daima kuchorwa kupitia pointi 2 kwenye ndege). Walakini, ikiwa data ya majaribio ni anuwai za nasibu, thamani kama hiyo ya R inapaswa kuaminiwa kwa tahadhari kubwa. Kawaida, ili kupata urejeshaji muhimu wa R na wa kuaminika, wanajitahidi kuhakikisha kuwa idadi ya majaribio inazidi kwa kiasi kikubwa idadi ya mgawo wa mfano (n>k). Ili kuunda mfano wa rejista ya mstari unahitaji: 1) tayarisha orodha ya safu mlalo n na safu wima m zenye data ya majaribio (safu iliyo na thamani ya matokeo Y lazima iwe ya kwanza au ya mwisho katika orodha); Kwa mfano, hebu tuchukue data kutoka kwa kazi ya awali, na kuongeza safu inayoitwa "Kipindi Nambari.", nambari ya nambari za kipindi kutoka 1 hadi 12. (hizi zitakuwa maadili. X) 2) nenda kwenye menyu ya Data/Uchambuzi wa Data/Regression Ikiwa kipengee cha "Uchambuzi wa Data" kwenye menyu ya "Zana" haipo, basi unapaswa kwenda kwenye kipengee cha "Ongeza-Ins" kwenye orodha sawa na uangalie kisanduku cha "Uchambuzi". 3) kwenye kisanduku cha mazungumzo cha "Regression", weka: · muda wa uingizaji Y; · muda wa pembejeo X; · muda wa pato - kiini cha juu cha kushoto cha muda ambacho matokeo ya hesabu yatawekwa (inapendekezwa kuwaweka kwenye karatasi mpya); 4) bofya "Ok" na kuchambua matokeo. Baada ya kusawazisha, tunapata kazi ya fomu ifuatayo: g (x) = x + 1 3 + 1 . Tunaweza kukadiria data hii kwa kutumia uhusiano wa mstari y = a x + b kwa kuhesabu vigezo vinavyolingana. Ili kufanya hivyo, tutahitaji kutumia njia inayoitwa angalau mraba. Pia utahitaji kutengeneza mchoro ili kuangalia ni mstari upi utakaosawazisha data ya majaribio vyema. Yandex.RTB R-A-339285-1 Jambo kuu tunalohitaji kufanya ni kupata mgawo kama huo wa utegemezi wa mstari ambao thamani ya kazi ya vigezo viwili F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 itakuwa ndogo zaidi. Kwa maneno mengine, kwa maadili fulani ya a na b, jumla ya upungufu wa mraba wa data iliyowasilishwa kutoka kwa mstari wa moja kwa moja unaosababishwa utakuwa na thamani ya chini. Hii ndiyo maana ya mbinu ya angalau miraba. Tunachohitaji kufanya ili kutatua mfano ni kupata upeo wa kazi ya vigezo viwili. Ili kupata fomula za kuhesabu coefficients, unahitaji kuunda na kutatua mfumo wa equations na vigezo viwili. Ili kufanya hivyo, tunahesabu derivatives ya sehemu ya usemi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 kwa heshima na a na b na kuzilinganisha na 0. δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n ay ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i Ili kutatua mfumo wa equations, unaweza kutumia njia yoyote, kwa mfano, mbadala au njia ya Cramer. Kwa hivyo, tunapaswa kuwa na fomula zinazoweza kutumiwa kukokotoa vigawo kwa kutumia mbinu ya angalau miraba. n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n Tumekokotoa thamani za viambajengo ambamo chaguo la kukokotoa Huu ni utumiaji wa njia ya miraba ndogo katika mazoezi. Fomula yake, ambayo hutumika kupata kigezo a, inajumuisha ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, pamoja na parameta. Hebu turudi kwenye mfano wa awali. Mfano 1 Hapa tuna n sawa na tano. Ili iwe rahisi zaidi kuhesabu kiasi kinachohitajika kilichojumuishwa katika fomula za mgawo, hebu tujaze meza. Suluhisho
Safu ya nne ni pamoja na data iliyopatikana kwa kuzidisha maadili kutoka safu ya pili na maadili ya tatu kwa kila mtu i. Mstari wa tano una data kutoka kwa pili, mraba. Safu wima ya mwisho inaonyesha jumla ya maadili ya safu mlalo mahususi. Wacha tutumie njia ya miraba ndogo zaidi kukokotoa mgawo a na b tunayohitaji. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yanayotakiwa kutoka kwa safu ya mwisho na uhesabu kiasi: n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ 3, 8 5 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184 Inabadilika kuwa mstari wa moja kwa moja unaokaribia unaohitajika utaonekana kama y = 0, 165 x + 2, 184. Sasa tunahitaji kuamua ni mstari gani utakaokadiria data vizuri zaidi - g (x) = x + 1 3 + 1 au 0, 165 x + 2, 184. Wacha tukadirie kwa kutumia njia ya miraba kidogo zaidi. Ili kuhesabu kosa, tunahitaji kupata jumla ya kupotoka kwa mraba wa data kutoka kwa mistari ya moja kwa moja σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 na σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) - g (x i)) 2, thamani ya chini itafanana na mstari unaofaa zaidi. σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096 Jibu: tangu σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет Njia ya miraba ndogo inaonyeshwa wazi katika mchoro wa picha. Mstari mwekundu unaashiria mstari wa moja kwa moja g (x) = x + 1 3 + 1, mstari wa bluu alama y = 0, 165 x + 2, 184. Data ya awali inaonyeshwa na dots pink. Hebu tueleze ni kwa nini hasa makadirio ya aina hii yanahitajika. Zinaweza kutumika katika kazi zinazohitaji kulainisha data, na vile vile katika zile ambapo data lazima iingizwe au kuongezwa. Kwa mfano, katika tatizo lililojadiliwa hapo juu, mtu anaweza kupata thamani ya kiasi kinachozingatiwa y kwa x = 3 au kwa x = 6. Tumetoa nakala tofauti kwa mifano kama hii. Ili kazi kuchukua thamani ya chini wakati a na b zinahesabiwa, ni muhimu kwamba katika hatua fulani matrix ya fomu ya quadratic ya tofauti ya kazi ya fomu F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ni chanya uhakika. Hebu tuonyeshe jinsi inapaswa kuonekana. Mfano 2 Tuna tofauti ya mpangilio wa pili wa fomu ifuatayo: d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 b Suluhisho
δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n Kwa maneno mengine, tunaweza kuiandika hivi: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b. Tulipata matrix ya fomu ya quadratic M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n. Katika kesi hii, maadili ya vitu vya mtu binafsi hayatabadilika kulingana na a na b . Je! tumbo hili ni chanya? Ili kujibu swali hili, hebu tuangalie ikiwa watoto wake wa angular ni chanya. Tunahesabu ndogo ya angular ya utaratibu wa kwanza: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0. Kwa kuwa pointi x silingani, ukosefu wa usawa ni mkali. Tutazingatia hili katika mahesabu zaidi. Tunahesabu agizo la pili la angular: d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 Baada ya hayo, tunaendelea kuthibitisha ukosefu wa usawa n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 kwa kutumia uingizaji wa hisabati. 2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0 Tumepata usawa sahihi (ikiwa thamani x 1 na x 2 hazilingani). Tunahesabu: (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0 Usemi ulioambatanishwa katika viunga vya curly utakuwa mkubwa kuliko 0 (kulingana na kile tulichofikiri katika hatua ya 2), na maneno yaliyobaki yatakuwa makubwa kuliko 0, kwa kuwa yote ni miraba ya nambari. Tumethibitisha ukosefu wa usawa. Jibu: kupatikana a na b italingana na thamani ndogo zaidi ya kazi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, ambayo ina maana kwamba ni vigezo vinavyohitajika vya njia ya angalau mraba. (LSM). Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter Kiini cha njia ya angalau mraba ni
katika kutafuta vigezo vya mtindo wa mwenendo unaoelezea vyema mwelekeo wa maendeleo ya jambo lolote lisilo la kawaida kwa wakati au nafasi (mwelekeo ni mstari unaoonyesha mwelekeo wa maendeleo haya). Jukumu la mbinu ya angalau miraba (LSM) inakuja chini ya kutafuta sio tu muundo fulani wa mwenendo, lakini kutafuta mfano bora au bora. Muundo huu utakuwa bora zaidi ikiwa jumla ya mikengeuko ya mraba kati ya thamani halisi iliyozingatiwa na maadili yanayolingana yaliyokokotwa ni ndogo (ndogo zaidi): mchepuko wa mraba kati ya thamani halisi iliyozingatiwa iko wapi na thamani inayolingana ya mwenendo iliyokokotwa, Thamani halisi (inayozingatiwa) ya jambo linalochunguzwa, Thamani iliyohesabiwa ya mtindo wa mwenendo, Idadi ya uchunguzi wa jambo linalochunguzwa. MNC hutumiwa mara chache peke yake. Kama sheria, mara nyingi hutumiwa tu kama mbinu muhimu ya kiufundi katika masomo ya uunganisho.
Ikumbukwe kwamba msingi wa habari wa OLS unaweza tu kuwa mfululizo wa takwimu wa kuaminika, na idadi ya uchunguzi haipaswi kuwa chini ya 4, vinginevyo taratibu za laini za OLS zinaweza kupoteza akili ya kawaida. Seti ya zana za MNC inazingatia taratibu zifuatazo: Utaratibu wa kwanza.
Inabadilika ikiwa kuna mwelekeo wowote wa kubadilisha sifa ya matokeo wakati hoja iliyochaguliwa inabadilika, au kwa maneno mengine, kuna uhusiano kati ya " katika
"Na" X
». Utaratibu wa pili.
Inabainishwa ni mstari upi (mwendo) unaoweza kufafanua vyema zaidi au kubainisha mwelekeo huu. Utaratibu wa tatu.
Mfano. Hebu tuseme tunayo taarifa kuhusu wastani wa mavuno ya alizeti kwa shamba linalofanyiwa utafiti (Jedwali 9.1). Jedwali 9.1 Nambari ya uchunguzi Tija, c/ha Kwa kuwa kiwango cha teknolojia katika uzalishaji wa alizeti katika nchi yetu imebakia bila kubadilika zaidi ya miaka 10 iliyopita, ina maana kwamba, inaonekana, kushuka kwa thamani ya mavuno katika kipindi cha kuchambuliwa kunategemea sana mabadiliko ya hali ya hewa na hali ya hewa. Je, hii ni kweli kweli? Utaratibu wa kwanza wa OLS.
Dhana kuhusu kuwepo kwa mwelekeo wa mabadiliko ya mavuno ya alizeti kulingana na mabadiliko ya hali ya hewa na hali ya hewa katika kipindi cha miaka 10 iliyochambuliwa inajaribiwa. Katika mfano huu, " y
"Ni vyema kuchukua mavuno ya alizeti, na kwa" x
»- idadi ya mwaka uliozingatiwa katika kipindi kilichochanganuliwa. Kujaribu nadharia juu ya uwepo wa uhusiano wowote kati ya " x
"Na" y
"inaweza kufanywa kwa njia mbili: kwa mikono na kwa kutumia programu za kompyuta. Bila shaka, kwa upatikanaji wa teknolojia ya kompyuta, tatizo hili linaweza kutatuliwa na yenyewe. Lakini ili kuelewa vyema zana za MNC, ni vyema kupima nadharia kuhusu kuwepo kwa uhusiano kati ya “ x
"Na" y
»kwa mikono, wakati tu kalamu na kikokotoo cha kawaida kiko karibu. Katika hali kama hizi, dhana kuhusu kuwepo kwa mwelekeo inaangaliwa vyema zaidi kwa kuibua na eneo la picha ya mchoro ya mfululizo uliochanganuliwa wa mienendo - uga wa uunganisho: Sehemu ya uunganisho katika mfano wetu iko karibu na mstari unaoongezeka polepole. Hii yenyewe inaonyesha kuwepo kwa mwelekeo fulani katika mabadiliko ya mazao ya alizeti. Haiwezekani kuzungumza juu ya uwepo wa tabia yoyote tu wakati uwanja wa uunganisho unaonekana kama mduara, duara, wingu madhubuti au madhubuti ya usawa, au lina alama zilizotawanyika kwa machafuko. Katika visa vingine vyote, nadharia juu ya uwepo wa uhusiano kati ya " x
"Na" y
", na kuendelea na utafiti. Utaratibu wa pili wa OLS.
Imebainishwa ni mstari upi (trajectory) unaweza kueleza vyema zaidi au kubainisha mwenendo wa mabadiliko ya mavuno ya alizeti katika kipindi kilichochambuliwa. Ikiwa una teknolojia ya kompyuta, uteuzi wa mwenendo bora hutokea moja kwa moja. Katika usindikaji wa "mwongozo", uteuzi wa kazi bora hufanywa, kama sheria, kuibua - kwa eneo la uwanja wa uunganisho. Hiyo ni, kulingana na aina ya grafu, equation ya mstari ambayo inafaa zaidi mwenendo wa majaribio (trajectory halisi) imechaguliwa. Kama inavyojulikana, kwa maumbile kuna anuwai kubwa ya utegemezi wa kazi, kwa hivyo ni ngumu sana kuchambua hata sehemu ndogo yao. Kwa bahati nzuri, katika mazoezi halisi ya kiuchumi, mahusiano mengi yanaweza kuelezewa kwa usahihi kabisa ama kwa parabola, au hyperbola, au mstari wa moja kwa moja. Katika suala hili, kwa chaguo la "mwongozo" wa kuchagua kazi bora, unaweza kujizuia kwa mifano hii mitatu tu. Hyperbola: Agizo la pili la parabola: Ni rahisi kuona kwamba kwa mfano wetu, mwelekeo wa mabadiliko katika mavuno ya alizeti kwa miaka 10 iliyochambuliwa ni bora zaidi kwa mstari wa moja kwa moja, hivyo usawa wa regression utakuwa equation ya mstari wa moja kwa moja. Utaratibu wa tatu.
Vigezo vya mlingano wa urejeshi unaoashiria mstari huu huhesabiwa, au kwa maneno mengine, fomula ya uchanganuzi imebainishwa ambayo inaelezea mtindo bora zaidi wa mwenendo. Kupata maadili ya vigezo vya equation ya rejista, kwa upande wetu vigezo na , ndio msingi wa OLS. Utaratibu huu unakuja kwa kutatua mfumo wa milinganyo ya kawaida. Mfumo huu wa milinganyo unaweza kutatuliwa kwa urahisi kabisa na njia ya Gauss. Wacha tukumbuke kwamba kama matokeo ya suluhisho, kwa mfano wetu, maadili ya vigezo na hupatikana. Kwa hivyo, equation ya rejista iliyopatikana itakuwa na fomu ifuatayo: 
(2)
(3)
, kutoka hapa, tukibadilisha thamani ya a kwenye equation ya kwanza, tunapata:
ni mlinganyo wa urejeshaji wa mstari.Xi
-2
0
1
2
4
y i
0.5
1
1.5
2
3
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
y i =0.5+1+1.5+2+3=8
Xi
180
172
173
169
175
170
179
170
167
174
y i
186
180
176
171
182
166
182
172
169
177
Xi
167
169
170
170
172
173
174
175
179
180
y i
169
171
166
172
180
176
177
182
182
186
Xi
y i
x mimi 2
x i y i
167
169
27889
28223
169
171
28561
28899
170
166
28900
28220
170
172
28900
29240
172
180
29584
30960
173
176
29929
30448
174
177
30276
30798
175
182
30625
31850
179
182
32041
32578
180
186
32400
33480
∑x i =1729
∑y i =1761
∑x i 2 299105
∑x i y i =304696
x=172.9
y=176.1
x i 2 =29910.5
xy=30469.6
Wacha tupange alama (x i ; y i) kwenye ndege ya kuratibu na uweke alama kwenye mstari wa rejista.
Kielelezo cha 4Xi
y i
Y i
Y i -y i
167
169
168.055
-0.945
169
171
170.778
-0.222
170
166
172.140
6.140
170
172
172.140
0.140
172
180
174.863
-5.137
173
176
176.225
0.225
174
177
177.587
0.587
175
182
178.949
-3.051
179
182
184.395
2.395
180
186
185.757
-0.243
Kiini cha mbinu ya angalau mraba (LSM).
inachukua thamani ndogo zaidi. Hiyo ni, kupewa A Na b jumla ya mikengeuko ya mraba ya data ya majaribio kutoka kwa laini iliyopatikana itakuwa ndogo zaidi. Hii ndio sehemu nzima ya mbinu ya angalau miraba.Inatoa fomula za kutafuta coefficients.
kwa vigezo A Na b, tunalinganisha derivatives hizi kwa sifuri. 
inachukua thamani ndogo zaidi. Uthibitisho wa ukweli huu umetolewa hapa chini kwenye maandishi mwishoni mwa ukurasa.
bora inakadiria data asili, ambayo ni, hufanya makisio kwa kutumia njia ya miraba ndogo zaidi.Kadirio la hitilafu ya mbinu ya angalau miraba.
Na 
, thamani ndogo inalingana na mstari ambao unakadiria vyema data asili kwa maana ya mbinu ya miraba ndogo zaidi. 
Mchoro wa mchoro wa mbinu ya miraba ndogo zaidi (LS).
, vitone vya waridi ndio data asili.
OLS ni nini (njia ya angalau mraba)
Jinsi ya kupata fomula za kuhesabu coefficients
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 itachukua thamani ya chini. Katika aya ya tatu tutathibitisha kwa nini iko hivi hasa.
n - inaashiria kiasi cha data ya majaribio. Tunakushauri kuhesabu kila kiasi tofauti. Thamani ya mgawo b huhesabiwa mara baada ya a.
mimi = 1
i=2
i=3
i=4
i=5
∑ i = 1 5
Xi
0
1
2
4
5
12
y i
2 , 1
2 , 4
2 , 6
2 , 8
3
12 , 9
x i y i
0
2 , 4
5 , 2
11 , 2
15
33 , 8
x mimi 2
0
1
4
16
25
46
y = 0.165 x + 2.184.Uthibitisho wa njia ya OLS
:
(9.2)