Mchakato wa kutatua viambatanisho katika sayansi inayoitwa hisabati inaitwa ushirikiano. Kwa kutumia ujumuishaji tunaweza kupata baadhi kiasi cha kimwili: eneo, kiasi, wingi wa miili na mengi zaidi.
Viunganishi vinaweza kuwa vya kudumu au dhahiri. Wacha tuchunguze fomu ya kiunga fulani na jaribu kuielewa maana ya kimwili. Inawakilishwa katika fomu hii: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Kipengele tofauti kuandika kiunganishi dhahiri cha kiunganishi kisichojulikana ni kwamba kuna mipaka ya ujumuishaji wa a na b. Sasa tutajua kwa nini zinahitajika, na inamaanisha nini. uhakika muhimu. KATIKA maana ya kijiometri kiungo kama hicho sawa na eneo kielelezo kinachopakana na curve f(x), mistari a na b, na mhimili wa Ox.
Kutoka kwa Mchoro 1 ni wazi kwamba kiunga cha uhakika ni eneo lile lile ambalo lina kivuli kijivu. Wacha tuangalie hii kwa mfano rahisi. Wacha tupate eneo la takwimu kwenye picha hapa chini kwa kutumia ujumuishaji, na kisha tuhesabu kwa njia ya kawaida ya kuzidisha urefu kwa upana.
Kutoka kwa Mchoro wa 2 ni wazi kuwa $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sasa tunazibadilisha katika ufafanuzi wa muunganisho, tunapata hiyo $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Hebu tufanye ukaguzi kwa njia ya kawaida. Kwa upande wetu, urefu = 3, upana wa takwimu = 1. $$ S = \text(urefu) \cdot \text(upana) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Unavyoweza unaona, kila kitu kinalingana kikamilifu.
Swali linatokea: jinsi ya kutatua viunga visivyo na ukomo na maana yao ni nini? Kutatua viambatanisho vile ni kutafuta vitendakazi vya antiderivative. Utaratibu huu kinyume na kuwa derivative. Ili kupata kizuia derivative, unaweza kutumia msaada wetu katika kutatua shida katika hisabati, au unahitaji kukariri kwa uhuru mali ya viunga na jedwali la ujumuishaji la rahisi zaidi. kazi za msingi. Utaftaji unaonekana kama hii: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(ambapo) F(x) $ ni kipingamizi cha $ f(x), C = const $.
Ili kutatua muunganisho, unahitaji kuunganisha kazi $ f(x) $ juu ya kutofautiana. Ikiwa kazi ni tabular, basi jibu limeandikwa kwa fomu inayofaa. Ikiwa sivyo, basi mchakato unakuja kwa kupata kazi ya meza kutoka kwa chaguo la kukokotoa $ f(x) $ kupitia mabadiliko ya hesabu ya hila. Kwa hili kuna mbinu mbalimbali na mali ambazo tutazingatia zaidi.
Kwa hiyo, sasa hebu tuunda algorithm ya kutatua vipengele vya dummies?
Algorithm ya kuhesabu viambatanisho
- Wacha tujue kiunga cha uhakika au la.
- Ikiwa haijafafanuliwa, basi unahitaji kupata kazi ya antiderivative$ F(x) $ kutoka kwa kiunganishi $ f(x) $ kwa kutumia mageuzi ya kihesabu yanayoongoza kwenye muundo wa jedwali wa chaguo za kukokotoa $ f(x) $.
- Ikifafanuliwa, basi unahitaji kutekeleza hatua ya 2, na kisha ubadilishe vikomo vya $ a $ na $ b $ kwenye kitendakazi kizuia derivative $ F(x) $. Utajua ni formula gani ya kutumia kufanya hivyo katika kifungu "Mfumo wa Newton-Leibniz".
Mifano ya ufumbuzi
Kwa hivyo, umejifunza jinsi ya kutatua viunga vya dummies, mifano ya utatuzi wa viambatanisho imepangwa. Tulijifunza maana yao ya kimwili na ya kijiometri. Njia za suluhisho zitaelezewa katika nakala zingine.
Hapo awali sisi kazi iliyopewa, kuongozwa na fomula mbalimbali na sheria, kupatikana derivative yake. Derivative ina matumizi mengi: ni kasi ya harakati (au, kwa ujumla, kasi ya mchakato wowote); mteremko tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa; kwa kutumia derivative, unaweza kuchunguza kazi kwa monotonicity na extrema; inasaidia kutatua matatizo ya utoshelezaji.
Lakini pamoja na tatizo la kutafuta kasi kulingana na sheria inayojulikana ya mwendo, kuna pia tatizo kinyume- tatizo la kurejesha sheria ya mwendo kutoka kwa kasi inayojulikana. Hebu tuchunguze mojawapo ya matatizo haya.
Mfano 1. Sehemu ya nyenzo husogea kwa mstari ulionyooka, kasi yake kwa wakati t inatolewa na fomula v=gt. Tafuta sheria ya mwendo.
Suluhisho. Hebu s = s(t) iwe sheria inayotakiwa ya mwendo. Inajulikana kuwa s"(t) = v(t). Hii ina maana kwamba ili kutatua tatizo unahitaji kuchagua chaguo za kukokotoa s = s(t), derivative yake ambayo ni sawa na gt. Si vigumu kukisia. kwamba \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Kwa kweli
\(s"(t) = \kushoto(\frac(gt^2)(2) \kulia)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Jibu: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Hebu tuangalie mara moja kwamba mfano unatatuliwa kwa usahihi, lakini haujakamilika. Tulipata \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Kwa kweli, tatizo lina masuluhisho mengi sana: utendakazi wowote wa fomu \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ambapo C ni kigezo cha kiholela, kinaweza kutumika kama sheria ya mwendo, kwani \(\kushoto (\frac(gt^2)(2) +C \kulia)" = gt \)
Ili kufanya tatizo kuwa maalum zaidi, tulipaswa kurekebisha hali ya awali: onyesha uratibu wa hatua ya kusonga kwa wakati fulani, kwa mfano saa t = 0. Ikiwa, sema, s (0) = s 0, kisha kutoka kwa usawa s(t) = (gt 2)/2 + C tunapata: s(0) = 0 + C, yaani C = s 0. Sasa sheria ya mwendo imefafanuliwa kipekee: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Katika hisabati, shughuli za kubadilishana hupewa majina tofauti, kuja na nukuu maalum, kwa mfano: squaring (x 2) na mzizi wa mraba (\(\sqrt(x)\)), sine (sin x) na arcsine (arcsin x), n.k. Mchakato wa kutafuta derivative. kwa heshima na kazi fulani inaitwa utofautishaji, na utendakazi wa kinyume, yaani mchakato wa kutafuta kitendakazi kutoka kwa derivative fulani, ni ushirikiano.
Neno "derivative" lenyewe linaweza kuhesabiwa haki "katika maisha ya kila siku": kazi y = f(x) "inazalisha" kipengele kipya y" = f"(x). Chaguo za kukokotoa y = f(x) hufanya kama "mzazi", lakini wanahisabati, kwa kawaida, hawaiite "mzazi" au "mtayarishaji"; wanasema kwamba ni, kuhusiana na fomula y" = f"( x) , picha ya msingi, au ya awali.
Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa y = F(x) huitwa kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye muda X ikiwa usawa F"(x) = f(x) unashikilia kwa \(x \katika X\)
Kwa mazoezi, muda wa X kawaida haujabainishwa, lakini huonyeshwa (kama kikoa asili cha ufafanuzi wa kazi).
Hebu tutoe mifano.
1) Chaguo za kukokotoa y = x 2 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 2x, kwani kwa x yoyote usawa (x 2)" = 2x ni kweli.
2) Kitendakazi y = x 3 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 3x 2, kwani kwa x yoyote usawa (x 3)" = 3x 2 ni kweli.
3) Chaguo za kukokotoa y = sin(x) ni kizuia chaguo za kukokotoa y = cos(x), kwani kwa x yoyote usawa (sin(x))" = cos(x) ni kweli.
Wakati wa kupata antiderivatives, pamoja na derivatives, sio tu formula hutumiwa, lakini pia baadhi ya sheria. Zinahusiana moja kwa moja na sheria zinazolingana za kuhesabu derivatives.
Tunajua kwamba derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives yake. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 1. Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives.
Tunajua hilo sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 2. Ikiwa F(x) ni kizuia derivative cha f(x), basi kF(x) ni kinza-derivative cha kf(x).
Nadharia 1. Ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(x), basi kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(kx + m) ni chaguo za kukokotoa \(y=\frac(1)(k)F. (kx+m) \)
Nadharia 2. Ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye kipindi cha X, basi chaguo la kukokotoa y = f(x) lina vizuia derivative nyingi sana, na zote zina umbo y = F(x) + C.
Mbinu za ujumuishaji
Njia mbadala ya kubadilisha (mbinu mbadala)
Njia ya ujumuishaji kwa uingizwaji inahusisha kuanzishwa kwa tofauti mpya ya ujumuishaji (yaani, uingizwaji). Katika kesi hii, kiunganishi kilichopewa kinapunguzwa kwa kiunga kipya, ambacho ni tabular au inaweza kupunguzwa kwake. Mbinu za kawaida hakuna uteuzi wa mbadala. Uwezo wa kuamua kwa usahihi uingizwaji hupatikana kupitia mazoezi.
Wacha iwe muhimu kuhesabu muhimu \(\textstyle \int F(x)dx \). Wacha tufanye badala \(x= \varphi(t) \) ambapo \(\varphi(t) \) ni chaguo la kukokotoa ambalo lina derivative inayoendelea.
Kisha \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) na kulingana na mali ya kutobadilika ya fomula ya ujumuishaji kwa muunganisho usiojulikana, tunapata fomula ya ujumuishaji kwa kubadilisha:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Ujumuishaji wa maneno ya fomu \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ikiwa m ni isiyo ya kawaida, m > 0, basi ni rahisi zaidi kufanya badala ya sin x = t.
Ikiwa n ni isiyo ya kawaida, n > 0, basi ni rahisi zaidi kufanya badala ya cos x = t.
Ikiwa n na m ni sawa, basi ni rahisi zaidi kufanya mbadala tg x = t.
Kuunganishwa kwa sehemu
Ujumuishaji kwa sehemu - kutumia fomula ifuatayo ya ujumuishaji:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
au:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Jedwali la viambatanisho visivyojulikana (vizuia derivatives) vya baadhi ya vipengele
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Kupata muunganisho usio na kikomo (seti ya vizuia derivatives au "vinza derivatives") inamaanisha kuunda upya chaguo la kukokotoa kutoka kwa derivative inayojulikana ya chaguo hili la kukokotoa. Seti iliyorejeshwa ya antiderivatives F(x) + NA kwa kazi f(x) inazingatia ujumuishaji mara kwa mara C. Kwa kasi ya harakati nyenzo uhakika(derivative) sheria ya mwendo wa hatua hii (antiderivative) inaweza kurejeshwa; kulingana na kasi ya harakati ya uhakika - kasi yake na sheria ya mwendo. Kama unaweza kuona, ujumuishaji ni uwanja mpana wa shughuli za Sherlock Holmeses ya fizikia. Na katika uchumi, dhana nyingi zinawakilishwa kupitia kazi na derivatives zao, na kwa hiyo, kwa mfano, inawezekana kurejesha kiasi cha bidhaa zinazozalishwa kwa wakati unaofanana kwa kutumia tija ya kazi kwa wakati fulani (derivative).
Kupata muunganisho usiojulikana kunahitaji idadi ndogo ya fomula za ujumuishaji za kimsingi. Lakini mchakato wa kuipata ni ngumu zaidi kuliko kutumia tu kanuni hizi. Utata wote hauhusiani na ujumuishaji, lakini kuleta usemi unaoweza kuunganishwa kwa fomu inayowezesha kupata muunganisho usiojulikana kwa kutumia fomula za kimsingi zilizotajwa hapo juu. Hii ina maana kwamba ili kuanza mazoezi ya ujumuishaji, unahitaji kuamilisha yale ambayo umejifunza ndani sekondari ujuzi wa mabadiliko ya kujieleza.
Tutajifunza kupata viambatanisho kwa kutumia mali na jedwali la viunga visivyo na kikomo kutoka kwa somo kuhusu dhana za msingi za mada hii (inafungua kwenye dirisha jipya).
Kuna njia kadhaa za kupata muhimu, ambayo njia ya uingizwaji tofauti Na ujumuishaji kwa njia ya sehemu- seti ya lazima ya muungwana kwa kila mtu ambaye amefanikiwa kupita hisabati ya juu. Hata hivyo, ni muhimu zaidi na ya kufurahisha kuanza ujuzi wa ushirikiano kwa kutumia njia ya upanuzi, kwa kuzingatia nadharia mbili zifuatazo juu ya mali ya uunganisho usio na kipimo, ambayo tunarudia hapa kwa urahisi.
Nadharia 3. Sababu ya mara kwa mara katika integrand inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya uunganisho usio na ukomo, i.e.
Nadharia 4. Muunganisho usio na kikomo wa jumla ya aljebra nambari ya mwisho kazi ni sawa jumla ya algebra viungo visivyo na ukomo vya kazi hizi, i.e.
(2)
Kwa kuongeza, sheria ifuatayo inaweza kuwa na manufaa katika ushirikiano: ikiwa usemi wa integrand una sababu ya mara kwa mara, basi usemi wa antiderivative huzidishwa na kinyume cha sababu ya mara kwa mara, ambayo ni.
(3)
Kwa kuwa somo hili ni la utangulizi wa kutatua matatizo ya ujumuishaji, ni muhimu kuzingatia mambo mawili ambayo tayari hatua ya awali, au baadaye kidogo wanaweza kukushangaza. Mshangao ni kwa sababu ya ukweli kwamba ujumuishaji ni operesheni ya kutofautisha na kiunga kisichojulikana kinaweza kuitwa "kinza derivative".
Jambo la kwanza haupaswi kushangazwa na wakati wa kuunganisha. Katika jedwali la viungo kuna fomula ambazo hazina analogi kati ya fomula za jedwali derivative . Hii fomula zifuatazo:
Walakini, unaweza kuhakikisha kuwa viingilio vya misemo kwenye pande za kulia za fomula hizi sanjari na viambatanisho vinavyolingana.
Jambo la pili ambalo halipaswi kushangaza wakati wa kuunganisha. Ingawa derivative ya kazi yoyote ya msingi pia ni kazi ya msingi, viambajengo visivyo na kikomo vya baadhi ya vipengele vya kukokotoa si vitendaji vya kimsingi tena . Mifano ya viambatanisho vile inaweza kuwa ifuatayo:
Ili kukuza mbinu za ujumuishaji, ustadi ufuatao utakuwa muhimu: kupunguza sehemu, kugawanya polynomial katika nambari ya sehemu na monomial katika dhehebu (kupata jumla ya viambatanisho visivyojulikana), kubadilisha mizizi kuwa nguvu, kuzidisha monomial na polynomial, kuinua kwa mamlaka. Ujuzi huu unahitajika kwa mabadiliko ya kiunganishi, ambayo yanapaswa kusababisha jumla ya viunga vilivyopo kwenye jedwali la viambatanisho.
Kupata viambatanisho visivyo na kikomo pamoja
Mfano 1. Pata muunganisho usio na kikomo
.
Suluhisho. Tunaona katika dhehebu la kiunganishi na polinomia ambamo x ni mraba. Hii ni ishara ya uhakika kwamba unaweza kutumia jedwali muhimu 21 (na arctangent kama matokeo). Tunachukua kipengele-mbili kutoka kwa dhehebu (kuna mali kama hiyo ya muhimu - sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya muhimu; ilitajwa hapo juu kama Theorem 3). Matokeo ya haya yote:
Sasa dhehebu ni jumla ya miraba, ambayo ina maana kwamba tunaweza kutumia jedwali lililotajwa muhimu. Hatimaye tunapata jibu:
.
Mfano 2. Pata muunganisho usio na kikomo
Suluhisho. Tunatumia tena Theorem 3 - mali ya kiunganishi, kwa msingi ambao sababu ya mara kwa mara inaweza kutolewa nje ya ishara ya muhimu:
Tunatumia fomula ya 7 kutoka kwa jedwali la viambatanisho (kigeu kwa nguvu) hadi kitendakazi cha integrand:
.
Tunapunguza sehemu zinazosababishwa na tunayo jibu la mwisho:
Mfano 3. Pata muunganisho usio na kikomo
Suluhisho. Tukitumia nadharia ya kwanza ya 4 na kisha nadharia ya 3 juu ya mali, tunapata hii muhimu kama jumla ya viambatanisho vitatu:
Viungo vyote vitatu vilivyopatikana ni vya jedwali. Tunatumia fomula (7) kutoka kwa jedwali la viunga kwa n = 1/2, n= 2 na n= 1/5, na kisha
inachanganya viunga vyote vitatu vya kiholela ambavyo vilianzishwa wakati wa kupata viambatanisho vitatu. Kwa hiyo, katika hali zinazofanana, mara kwa mara moja tu ya ushirikiano wa kiholela inapaswa kuletwa.
Mfano 4. Pata muunganisho usio na kikomo
Suluhisho. Wakati kipunguzo cha integrand kina monomia, tunaweza kugawanya nambari kwa neno la denominator kwa neno. Kiunga cha asili kiligeuka kuwa jumla ya viambatanisho viwili:
.
Ili kutumia jedwali muhimu, tunabadilisha mizizi kuwa nguvu na hapa kuna jibu la mwisho:
Tunaendelea kupata viambatanisho visivyo na kikomo pamoja
Mfano 7. Pata muunganisho usio na kikomo
Suluhisho. Ikiwa tutabadilisha muunganisho kwa kubana tarakimu mbili na kugawanya nambari kwa neno denominator kwa neno, basi kiunganishi asili kinakuwa jumla ya viambajengo vitatu.
Mapitio ya mbinu za kuhesabu viambatanisho visivyo na kikomo vinawasilishwa. Njia kuu za kuunganisha zinazingatiwa, ambazo ni pamoja na kuunganisha jumla na tofauti, kuweka mara kwa mara nje ya ishara muhimu, kuchukua nafasi ya kutofautiana, na kuunganisha kwa sehemu. Pia kuzingatiwa mbinu maalum na mbinu za kuunganisha sehemu, mizizi, trigonometric na kazi za kielelezo.
Antiderivative na indefinite integration
Kipinga derivative F(x) cha chaguo za kukokotoa f(x) ni chaguo za kukokotoa ambazo kinyambulisho chake ni sawa na f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Wapi Δ
- kipindi ambacho inafanywa kupewa mlinganyo.
Seti ya antiderivatives zote inaitwa muhimu kwa muda usiojulikana:
,
ambapo C ni huru ya mara kwa mara ya kutofautiana x.
Njia za kimsingi na njia za ujumuishaji
Jedwali la viungo
Lengo la mwisho hesabu ya viambajengo visivyo na kikomo - kwa njia ya mabadiliko, punguza kiunga fulani kwa usemi ulio na viambatanisho rahisi zaidi au vya jedwali.
Tazama Jedwali la Viunganishi >>>
Sheria ya kuunganisha hesabu (tofauti)
Kusonga mara kwa mara nje ya ishara muhimu
Hebu c iwe huru ya mara kwa mara ya x. Kisha inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara muhimu:
Uingizwaji unaobadilika
Hebu x iwe kazi ya kutofautiana t, x = φ(t), basi
.
Au kinyume chake, t = φ(x) ,
.
Kutumia mabadiliko ya kutofautiana, huwezi tu kuhesabu viungo rahisi, lakini pia kurahisisha hesabu ya ngumu zaidi.
Sheria ya kuunganishwa kwa sehemu
Ujumuishaji wa sehemu (kazi za busara)
Wacha tuanzishe nukuu. Acha P k (x), Q m (x), R n (x) idokeze polimanomia za digrii k, m, n, mtawalia, kuhusiana na mabadiliko ya x.
Wacha tuzingatie muunganisho unaojumuisha sehemu ya polynomials (kinachojulikana kazi ya busara):
Ikiwa k ≥ n, basi kwanza unahitaji kuchagua sehemu nzima ya sehemu:
.
Muhimu wa S k-n ya polynomial (x) huhesabiwa kwa kutumia jedwali la viambatanisho.
Kiunga kinabaki:
, wapi m< n
.
Ili kuihesabu, kiunganishi lazima kitenganishwe kwa sehemu rahisi.
Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata mizizi ya equation:
Q n (x) = 0 .
Kutumia mizizi iliyopatikana, unahitaji kuwakilisha dhehebu kama bidhaa ya sababu:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Hapa ni s ni mgawo wa x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
Baada ya hayo, gawanya sehemu hiyo kwa fomu yake rahisi:
Kuunganisha, tunapata usemi unaojumuisha zaidi viungo rahisi.
Viunga vya fomu
hupunguzwa kwa uingizwaji wa jedwali t = x - a.
Fikiria muhimu:
Wacha tubadilishe nambari:
.
Kubadilisha katika muunganisho, tunapata usemi unaojumuisha viambajengo viwili:
,
.
Ya kwanza, kwa kubadilisha t = x 2 + ex + f, imepunguzwa kwa moja ya jedwali.
Pili, kulingana na formula ya kupunguza:
imepunguzwa kuwa muhimu
Wacha tupunguze dhehebu lake kwa jumla ya mraba:
.
Kisha kwa uingizwaji, muhimu
pia imeorodheshwa.
Ujumuishaji wa kazi zisizo na maana
Wacha tuanzishe nukuu. Acha R(u 1, u 2, ..., u n) imaanishe kazi ya kimantiki ya vigeu u 1, u 2, ..., u n. Hiyo ni
,
ambapo P, Q ni polynomials katika vigezo u 1, u 2, ..., u n.
Ukosefu wa mantiki wa mstari
Wacha tuzingatie viungo vya fomu:
,
Wapi - nambari za busara, m 1, n 1, ..., m s, n s - nambari kamili.
Hebu n - dhehebu la kawaida nambari r 1, ..., r s.
Kisha kiunga hicho kinapunguzwa kwa ujumuishaji wa kazi za busara kwa uingizwaji:
.
Viunga kutoka kwa binomials tofauti
Fikiria muhimu:
,
ambapo m, n, p ni nambari za busara, a, b - nambari za kweli.
Viunga kama hivyo hupunguza kuwa viunga vya kazi za busara katika visa vitatu.
1) Ikiwa p ni nambari kamili. Uingizwaji x = t N, ambapo N ni dhehebu la kawaida la sehemu m na n.
2) Ikiwa - nambari kamili. Kubadilisha a x n + b = t M, ambapo M ni denominator ya nambari p.
3) Ikiwa - nambari kamili. Uingizwaji a + b x - n = t M, ambapo M ni denominator ya nambari p.
Ikiwa hakuna nambari moja kati ya hizo tatu ni nambari kamili, basi, kulingana na nadharia ya Chebyshev, viunga vya aina hii haviwezi kuonyeshwa na mchanganyiko wa mwisho wa kazi za kimsingi.
Katika hali nyingine, ni muhimu kwanza kupunguza muhimu kwa maadili rahisi zaidi m na p. Hii inaweza kufanywa kwa kutumia fomula za kupunguza:
;
.
Viunga vilivyo na mzizi wa mraba wa utatu wa mraba
Hapa tunazingatia viungo vya fomu:
,
Mabadiliko ya Euler
Viunga kama hivyo vinaweza kupunguzwa kuwa viunga vya utendakazi wa kimantiki wa mojawapo ya vibadala vitatu vya Euler:
, kwa > 0;
, kwa c > 0;
, ambapo x 1 ni mzizi wa equation a x 2 + b x + c = 0. Ikiwa equation hii ina mizizi halisi.
Ubadilishaji wa trigonometric na hyperbolic
Mbinu za moja kwa moja
Katika hali nyingi, uingizwaji wa Euler husababisha hesabu ndefu kuliko mbinu za moja kwa moja. Kutumia njia za moja kwa moja, kiunga hupunguzwa kwa moja ya fomu zilizoorodheshwa hapa chini.
Aina ya I
Muunganisho wa fomu:
,
ambapo P n (x) ni polynomial ya shahada n.
Viungo vile hupatikana kwa njia mgawo usio na uhakika, kwa kutumia kitambulisho:
Kutofautisha equation hii na kusawazisha pande za kushoto na kulia, tunapata coefficients A i.
Aina ya II
Muunganisho wa fomu:
,
ambapo P m (x) ni polynomial ya shahada m.
Uingizwaji t = (x - α) -1 kiungo hiki kinapunguzwa kwa aina ya awali. Ikiwa m ≥ n, basi sehemu inapaswa kuwa na sehemu kamili.
Aina ya III
Aina ya tatu na ngumu zaidi:
.
Hapa unahitaji kufanya mbadala:
.
Baada ya hapo kiungo kitachukua fomu:
.
Ifuatayo, viambatisho α, β lazima zichaguliwe ili kwamba mgawo wa t uwe sifuri:
B = 0, B 1 = 0.
Kisha kiunga hutengana katika jumla ya viunga vya aina mbili:
;
,
ambazo zimeunganishwa, kwa mtiririko huo, na mbadala:
z 2 = A 1 t 2 + C 1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.
Kesi ya jumla
Ujumuishaji wa kazi za upitaji maumbile (trigonometric na kielelezo).
Hebu tuangalie mapema kwamba njia hizo zinazotumika kwa kazi za trigonometric, pia inatumika kwa kazi za hyperbolic. Kwa sababu hii, hatutazingatia ujumuishaji wa kazi za hyperbolic kando.
Ujumuishaji wa kazi za kimantiki za trigonometriki za cos x na sin x
Wacha tuchunguze viunga vya kazi za trigonometric za fomu:
,
ambapo R ni kazi ya kimantiki. Hii inaweza pia kujumuisha tanjiti na kotanji, ambazo zinapaswa kubadilishwa kwa kutumia sine na kosini.
Wakati wa kuunganisha kazi kama hizo, ni muhimu kukumbuka sheria tatu:
1) ikiwa R ( cos x, dhambi x) kuzidishwa na -1 kutoka kwa mabadiliko ya ishara kabla ya moja ya idadi kwani x au dhambi x, basi ni muhimu kuashiria nyingine kwa t.
2) ikiwa R ( cos x, dhambi x) haibadiliki kwa sababu ya mabadiliko katika ishara wakati huo huo hapo awali kwani x Na dhambi x, basi ni muhimu kuweka tg x = t au kitanda x = t.
3) uingizwaji katika visa vyote husababisha ujumuishaji wa sehemu ya mantiki. Kwa bahati mbaya, uingizwaji huu husababisha hesabu ndefu zaidi kuliko za awali, ikiwa inatumika.
Bidhaa ya kazi za nguvu za cos x na sin x
Wacha tuzingatie viungo vya fomu:
Ikiwa m na n ni nambari za busara, basi moja ya mbadala t = dhambi x au t = kwani x muhimu ni kupunguzwa kwa muhimu ya binomial tofauti.
Ikiwa m na n ni nambari kamili, basi viunga vinahesabiwa kwa kuunganishwa na sehemu. Hii inazalisha fomula zifuatazo za kupunguza:
;
;
;
.
Kuunganishwa kwa sehemu
Utumiaji wa fomula ya Euler
Ikiwa kiunganishi ni cha mstari kwa heshima na mojawapo ya kazi
cos ax au sinax, basi ni rahisi kutumia fomula ya Euler:
e iax = cos ax + isin ax(ambapo mimi 2 = - 1
),
kubadilisha chaguo la kukokotoa na e iax na kuangazia ile halisi (wakati wa kubadilisha cos ax) au sehemu ya kufikiria (wakati wa kubadilisha sinax) kutokana na matokeo yaliyopatikana.
Marejeleo:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Mkusanyiko wa matatizo kwenye hisabati ya juu, "Lan", 2003.
Kutatua viungo - kazi rahisi, lakini kwa wachache waliochaguliwa. Nakala hii ni kwa wale ambao wanataka kujifunza kuelewa viunga, lakini hawajui chochote au karibu chochote juu yao. Muhimu... Kwa nini inahitajika? Jinsi ya kuhesabu? Ni nini hakika na kiungo kisicho na kikomo s? Iwapo matumizi pekee unayojua kwa kiungo muhimu ni kutumia ndoano ya crochet yenye umbo la aikoni muhimu ili kupata kitu muhimu kutoka sehemu ambazo ni ngumu kufikia, basi karibu! Jua jinsi ya kutatua viambatanisho na kwa nini huwezi kufanya bila hiyo.
Tunasoma dhana ya "muhimu"
Ujumuishaji ulijulikana nyuma Misri ya Kale. Bila shaka si ndani fomu ya kisasa, lakini bado. Tangu wakati huo, wanahisabati wameandika vitabu vingi juu ya mada hii. Hasa wanajulikana wenyewe Newton Na Leibniz , lakini kiini cha mambo hakijabadilika. Jinsi ya kuelewa viungo kutoka mwanzo? Hapana! Ili kuelewa mada hii bado utahitaji maarifa ya msingi misingi uchambuzi wa hisabati. Ni habari hii ya msingi ambayo utapata kwenye blogi yetu.
Muhimu usio na kikomo
Hebu tuwe na utendaji fulani f(x) .
Utendakazi muhimu usio na kikomo f(x) kazi hii inaitwa F(x) , ambayo derivative yake ni sawa na chaguo za kukokotoa f(x) .
Kwa maneno mengine, kiungo ni derivative kinyumenyume au kinza derivative. Kwa njia, soma kuhusu jinsi katika makala yetu.
Antiderivative ipo kwa kila mtu kazi zinazoendelea. Pia, ishara ya mara kwa mara huongezwa kwa antiderivative, kwa kuwa derivatives ya kazi ambazo hutofautiana na sanjari ya mara kwa mara. Mchakato wa kupata muunganisho unaitwa ujumuishaji.
Mfano rahisi:
Ili sio kuhesabu mara kwa mara antiderivatives ya kazi za msingi, ni rahisi kuziweka kwenye meza na kutumia maadili yaliyotengenezwa tayari:
Dhahiri muhimu
Wakati wa kushughulika na dhana ya kiunganishi, tunashughulika na idadi isiyo na kikomo. Muhimu itasaidia kuhesabu eneo la takwimu, wingi wa mwili usio na usawa, umbali uliosafirishwa. harakati zisizo sawa njia na mengi zaidi. Ikumbukwe kwamba kiunga ni jumla isiyo na kikomo kiasi kikubwa maneno yasiyo na kikomo.
Kwa mfano, fikiria grafu ya utendaji fulani. Jinsi ya kupata eneo la takwimu, mdogo kwa ratiba kazi?
Kwa kutumia kiunganishi! Hebu tuivunje trapezoid iliyopinda, iliyopunguzwa na shoka za kuratibu na grafu ya chaguo za kukokotoa, katika sehemu ndogo sana. Kwa njia hii takwimu itagawanywa katika safu nyembamba. Jumla ya maeneo ya nguzo itakuwa eneo la trapezoid. Lakini kumbuka kuwa hesabu kama hiyo itatoa matokeo ya takriban. Hata hivyo, ndogo na nyembamba makundi, sahihi zaidi hesabu itakuwa. Ikiwa tutazipunguza kwa kiwango ambacho urefu huelekea sifuri, basi jumla ya maeneo ya sehemu itaelekea eneo la takwimu. Huu ni muunganisho dhahiri, ambao umeandikwa kama hii:
Pointi a na b huitwa mipaka ya ujumuishaji.
Bari Alibasov na kikundi "Integral"
Japo kuwa! Kwa wasomaji wetu sasa kuna punguzo la 10%.
Sheria za kuhesabu viunga vya dummies
Sifa za kiunganishi kisicho na kikomo
Jinsi ya kutatua kiunga kisichojulikana? Hapa tutaangalia mali ya uunganisho usio na kipimo, ambayo itakuwa muhimu wakati wa kutatua mifano.
- Derivative ya muunganisho ni sawa na integrand:
- Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa kutoka chini ya ishara muhimu:
- Muhimu wa jumla sawa na jumla viungo. Hii pia ni kweli kwa tofauti:
Sifa za kiunganishi dhahiri
- Linearity:
- Ishara ya mabadiliko muhimu ikiwa mipaka ya ujumuishaji imebadilishwa:
- Katika yoyote pointi a, b Na Na:
Tayari tumegundua kuwa kiunganishi dhahiri ni kikomo cha jumla. Lakini jinsi ya kupata maana maalum wakati wa kutatua mfano? Kwa hili kuna formula ya Newton-Leibniz:
Mifano ya kutatua viambatanisho
Hapo chini tutazingatia mifano kadhaa ya kupata viambatanisho visivyo na kikomo. Tunakualika utambue ugumu wa suluhisho mwenyewe, na ikiwa kitu haijulikani, uliza maswali kwenye maoni.
Ili kuimarisha nyenzo, tazama video kuhusu jinsi viungo vinatatuliwa katika mazoezi. Usikate tamaa ikiwa kiunga hicho hakijatolewa mara moja. Uliza na watakuambia kila kitu wanachojua kuhusu kuhesabu viambatanisho. Kwa msaada wetu, yoyote mara tatu au mstari muhimu kwenye uso uliofungwa utaweza kuifanya.