Hebu tuchunguze trapezoid iliyopinda iliyofungwa na mhimili wa Ox, curve y = f (x) na mistari miwili ya moja kwa moja: x = a na x = b (Mchoro 85). Wacha tuchukue dhamana ya kiholela ya x (sio tu a na sio b). Wacha tuipe nyongeza h = dx na tuzingatie ukanda uliofungwa na mistari iliyonyooka AB na CD, mhimili wa Ox na arc BD inayomilikiwa na curve inayozingatiwa. Tutaita strip hii strip ya msingi. Eneo la ukanda wa msingi hutofautiana na eneo la mstatili ACQB na pembetatu ya curvilinear BQD, na eneo la mwisho ni chini ya eneo la mstatili BQDM na pande BQ = = h= dx) QD=Ay na eneo sawa na hAy = Ay dx. Kadiri h inavyopungua, upande wa Du pia hupungua na wakati huo huo na h huelekea sifuri. Kwa hivyo, eneo la BQDM ni la pili lisilo na kipimo. Eneo la ukanda wa msingi ni ongezeko la eneo hilo, na eneo la mstatili ACQB, sawa na AB-AC ==/(x) dx> ni tofauti ya eneo hilo. Kwa hivyo, tunapata eneo lenyewe kwa kuunganisha tofauti yake. Ndani ya kielelezo kinachozingatiwa, tofauti huru l: hubadilika kutoka a hadi b, hivyo eneo linalohitajika 5 litakuwa sawa na 5= \f(x) dx. (I) Mfano 1. Hebu tuhesabu eneo lililofungwa na parabola y - 1 -x *, mistari ya moja kwa moja X =--Fj-, x = 1 na mhimili wa O * (Mchoro 86). kwenye Mtini. 87. Mtini. 86. 1 Hapa f(x) = 1 - l?, mipaka ya ushirikiano ni = - na £ = 1, kwa hiyo J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Mfano 2. Hebu tuhesabu eneo lililopunguzwa na sinusoid y = sinXy, mhimili wa Ox na mstari wa moja kwa moja (Mchoro 87). Kuweka fomula (I), tunapata A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Mfano 3. Piga hesabu ya eneo lililozuiwa na safu ya sinusoid ^у = sin jc, iliyoambatanishwa kati ya sehemu mbili za makutano zilizo karibu na mhimili wa Ox (kwa mfano, kati ya asili na uhakika na abscissa i). Kumbuka kwamba kutokana na masuala ya kijiometri ni wazi kuwa eneo hili litakuwa mara mbili ya eneo la mfano uliopita. Walakini, wacha tufanye mahesabu: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Hakika, dhana yetu iligeuka kuwa sahihi. Mfano 4. Kuhesabu eneo lililofungwa na sinusoid na mhimili wa Ox kwa kipindi kimoja (Mchoro 88). Hesabu za awali zinaonyesha kuwa eneo litakuwa kubwa mara nne kuliko katika Mfano 2. Hata hivyo, baada ya kufanya hesabu, tunapata “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Matokeo haya yanahitaji ufafanuzi. Ili kufafanua kiini cha jambo hilo, tunahesabu pia eneo lililopunguzwa na sinusoid sawa y = sin l: na mhimili wa Ox katika safu kutoka l hadi 2i. Kwa kutumia fomula (I), tunapata 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Kwa hivyo, tunaona kuwa eneo hili liligeuka kuwa hasi. Kuilinganisha na eneo lililohesabiwa katika zoezi la 3, tunaona kuwa maadili yao kamili ni sawa, lakini ishara ni tofauti. Ikiwa tutatumia mali V (tazama Sura ya XI, § 4), tunapata 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Kilichotokea katika mfano huu sio ajali. Kila mara eneo lililo chini ya mhimili wa Ox, mradi tu kigezo huru kinabadilika kutoka kushoto kwenda kulia, kinapatikana wakati kinakokotolewa kwa kutumia viambatanisho. Katika kozi hii tutazingatia kila wakati maeneo bila ishara. Kwa hiyo, jibu katika mfano uliojadiliwa hivi punde litakuwa: eneo linalohitajika ni 2 + |-2| = 4. Mfano 5. Wacha tuhesabu eneo la BAB lililoonyeshwa kwenye Mtini. 89. Eneo hili limepunguzwa na mhimili wa Ox, parabola y = - xr na mstari wa moja kwa moja y - = -x+\. Eneo la trapezoid ya curvilinear Eneo linalohitajika la OAB lina sehemu mbili: OAM na MAV. Kwa kuwa hatua A ni hatua ya makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja, tutapata kuratibu zake kwa kutatua mfumo wa equations 3 2 Y = mx. (tunahitaji tu kupata abscissa ya uhakika A). Kutatua mfumo, tunapata l; = ~. Kwa hiyo, eneo linapaswa kuhesabiwa kwa sehemu, mraba wa kwanza. OAM na kisha pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = 
[mbadala:
] = 
Hii inamaanisha kuwa kiunganishi kisichofaa huungana na thamani yake ni sawa na .
Tatizo 1(kuhusu kuhesabu eneo la trapezoid iliyopindika).
Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian xOy, takwimu inatolewa (tazama takwimu) iliyofungwa na mhimili wa x, mistari ya moja kwa moja x = a, x = b (a na trapezoid ya curvilinear. Ni muhimu kuhesabu eneo la curvilinear. trapezoid.
Suluhisho. Jiometri inatupa mapishi ya kuhesabu maeneo ya poligoni na baadhi ya sehemu za duara (sekta, sehemu). Kwa kutumia mambo ya kijiometri, tunaweza tu kupata takriban thamani ya eneo linalohitajika, tukizingatia kama ifuatavyo.
Wacha tugawanye sehemu [a; b] (msingi wa trapezoid iliyopinda) katika sehemu n sawa; ugawaji huu unafanywa kwa kutumia pointi x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Wacha tuchore mistari iliyonyooka kupitia nukta hizi sambamba na mhimili wa y. Kisha trapezoid ya curvilinear iliyotolewa itagawanywa katika sehemu za n, kwenye safu nyembamba n. Eneo la trapezoid nzima ni sawa na jumla ya maeneo ya nguzo.
Hebu tuzingalie safu ya k-th tofauti, i.e. trapezoid iliyopinda ambayo msingi wake ni sehemu. Wacha tuibadilishe na mstatili na msingi sawa na urefu sawa na f(x k) (tazama takwimu). Eneo la mstatili ni sawa na \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), ambapo \(\Delta x_k \) ni urefu wa sehemu; Ni kawaida kuzingatia bidhaa inayotokana kama thamani ya takriban ya eneo la safu ya kth. 
Ikiwa sasa tutafanya vivyo hivyo na safu zingine zote, tutakuja kwa matokeo yafuatayo: eneo S la trapezoid ya curvilinear iliyopewa ni takriban sawa na eneo la S n la kielelezo cha kupitiwa kinachoundwa na mistatili n (angalia takwimu):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Hapa, kwa ajili ya sare ya notation, tunadhani kwamba a = x 0, b = x n; \(\ Delta x_0 \) - urefu wa sehemu, \(\ Delta x_1 \) - urefu wa sehemu, nk; katika kesi hii, kama tulivyokubaliana hapo juu, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Kwa hivyo, \(S \takriban S_n \), na takriban usawa huu ni sahihi zaidi, kubwa n.
Kwa ufafanuzi, inaaminika kuwa eneo linalohitajika la trapezoid ya curvilinear ni sawa na kikomo cha mlolongo (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tatizo 2(kuhusu kusonga hatua)
Sehemu ya nyenzo husogea kwa safu moja kwa moja. Utegemezi wa kasi kwa wakati unaonyeshwa na formula v = v (t). Tafuta mwendo wa nukta kwa muda fulani [a; b].
Suluhisho. Ikiwa harakati ilikuwa sare, basi tatizo lingetatuliwa kwa urahisi sana: s = vt, i.e. s = v(b-a). Kwa harakati zisizo sawa, unapaswa kutumia mawazo sawa ambayo suluhisho la tatizo la awali lilikuwa msingi.
1) Gawanya muda wa muda [a; b] katika n sehemu sawa.
2) Fikiria kipindi cha muda na kudhani kwamba katika kipindi hiki cha muda kasi ilikuwa mara kwa mara, sawa na wakati t k. Kwa hivyo tunadhani kuwa v = v (t k).
3) Wacha tupate takriban thamani ya mwendo wa nukta kwa muda fulani; tutaashiria thamani hii kama s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Tafuta takriban thamani ya uhamishaji s:
\(s \takriban S_n \) wapi
\(S_n = s_0 + \vitone + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \vitone + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Uhamisho unaohitajika ni sawa na kikomo cha mlolongo (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Hebu tufanye muhtasari. Ufumbuzi wa matatizo mbalimbali ulipunguzwa kwa mfano huo wa hisabati. Matatizo mengi kutoka kwa nyanja mbalimbali za sayansi na teknolojia husababisha mfano huo katika mchakato wa ufumbuzi. Hii ina maana kwamba mtindo huu wa hisabati lazima usomewe hasa.
Dhana ya kiunganishi dhahiri
Wacha tutoe maelezo ya kihisabati ya modeli ambayo ilijengwa katika shida tatu zilizozingatiwa kwa chaguo la kukokotoa y = f(x), endelevu (lakini sio lazima sio hasi, kama ilivyodhaniwa katika shida zinazozingatiwa) kwa muda [a; b]:
1) gawanya sehemu [a; b] katika sehemu n sawa;
2) tengeneza jumla $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hesabu $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Katika kipindi cha uchanganuzi wa hisabati ilithibitishwa kuwa kikomo hiki kipo katika kesi ya kazi inayoendelea (au inayoendelea kwa sehemu). Anaitwa kiungo fulani cha chaguo za kukokotoa y = f(x) juu ya sehemu [a; b] na kuashiria kama ifuatavyo:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Nambari a na b huitwa mipaka ya ushirikiano (chini na juu, kwa mtiririko huo).
Wacha turudi kwenye kazi zilizojadiliwa hapo juu. Ufafanuzi wa eneo uliotolewa katika Tatizo la 1 sasa unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hapa S ni eneo la trapezoid iliyopotoka iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu. Hii ni maana ya kijiometri ya kiungo dhahiri.
Ufafanuzi wa uhamishaji wa sehemu inayosogea katika mstari ulionyooka na kasi v = v(t) kwa kipindi cha muda kutoka t = a hadi t = b, iliyotolewa katika Tatizo la 2, inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:
Fomula ya Newton-Leibniz
Kwanza, hebu tujibu swali: kuna uhusiano gani kati ya kiunganishi dhahiri na kizuia derivative?
Jibu linaweza kupatikana katika Tatizo la 2. Kwa upande mmoja, uhamisho s wa hatua inayohamia kwenye mstari wa moja kwa moja na kasi ya v = v (t) kwa kipindi cha muda kutoka t = a hadi t = b huhesabiwa na fomula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Kwa upande mwingine, uratibu wa hatua ya kusonga ni antiderivative kwa kasi - wacha tuonyeshe s (t); hii inamaanisha kuwa uhamishaji s unaonyeshwa na fomula s = s(b) - s(a). Kama matokeo, tunapata:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ambapo s(t) ni kinza derivative ya v(t).
Nadharia ifuatayo ilithibitishwa wakati wa uchambuzi wa hisabati.
Nadharia. Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) ni endelevu kwa muda [a; b], basi fomula ni halali
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ambapo F(x) ni kinza derivative ya f(x).
Fomula iliyotolewa kawaida huitwa Fomula ya Newton-Leibniz kwa heshima ya mwanafizikia wa Kiingereza Isaac Newton (1643-1727) na mwanafalsafa wa Ujerumani Gottfried Leibniz (1646-1716), ambaye aliipokea kwa kujitegemea na karibu wakati huo huo.
Kwa mazoezi, badala ya kuandika F(b) - F(a), wanatumia nukuu \(\left. F(x)\right|_a^b \) (wakati mwingine huitwa uingizwaji mara mbili) na, ipasavyo, andika upya fomula ya Newton-Leibniz katika fomu hii:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kushoto. F(x)\kulia|_a^b \)
Wakati wa kuhesabu kiunga cha uhakika, kwanza pata kizuia derivative, na kisha ufanye uingizwaji mara mbili.
Kulingana na fomula ya Newton-Leibniz, tunaweza kupata sifa mbili za kiunganishi dhahiri.
Mali 1. Muhimu wa jumla ya kazi ni sawa na jumla ya viambatanisho:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara muhimu:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri
Kutumia kiunga, unaweza kuhesabu maeneo sio tu ya trapezoid iliyopindika, lakini pia ya takwimu za ndege za aina ngumu zaidi, kwa mfano, ile iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Takwimu P imepunguzwa na mistari ya moja kwa moja x = a, x = b na grafu za kazi zinazoendelea y = f (x), y = g (x), na kwenye sehemu [a; b] ukosefu wa usawa \(g(x) \leq f(x) \) unaoshikilia. Ili kuhesabu eneo la S la takwimu kama hiyo, tutaendelea kama ifuatavyo:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Kwa hivyo, eneo la S la kielelezo lililofungwa na mistari iliyonyooka x = a, x = b na grafu za kazi y = f(x), y = g(x), inayoendelea kwenye sehemu na vile kwa x yoyote kutoka kwa sehemu. [a; b] ukosefu wa usawa \(g(x) \leq f(x) \) umeridhika, unaokokotolewa na fomula.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)