Eneo la takwimu kwa kujumuisha. Kikokotoo cha mkondoni. Kokotoa kiunganishi dhahiri (eneo la trapezoid iliyopinda)

Dhahiri muhimu. Jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu

Wacha tuendelee kuzingatia matumizi ya hesabu muhimu. Katika somo hili tutachambua kazi ya kawaida na ya kawaida - jinsi ya kutumia kiunga fulani kuhesabu eneo la takwimu ya ndege. Hatimaye, wale ambao wanatafuta maana katika hisabati ya juu - wapate. Hauwezi kujua. Katika maisha halisi, italazimika kukadiria njama ya dacha kwa kutumia kazi za kimsingi na kupata eneo lake kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Ili kufanikiwa kwa nyenzo, lazima:

1) Elewa kiunganishi kisichojulikana angalau katika kiwango cha kati. Kwa hivyo, dummies inapaswa kwanza kusoma somo Sivyo.

2) Awe na uwezo wa kutumia fomula ya Newton-Leibniz na kukokotoa kiunga kamili. Unaweza kuanzisha mahusiano ya kirafiki ya joto na viungo fulani kwenye ukurasa Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.

Kwa kweli, ili kupata eneo la takwimu, hauitaji ujuzi mwingi wa ujumuishaji usio na kipimo na dhahiri. Kazi "kuhesabu eneo kwa kutumia kiunganishi cha uhakika" daima inahusisha kujenga kuchora, kwa hivyo ujuzi wako na ustadi wa kuchora itakuwa suala muhimu zaidi. Katika suala hili, ni muhimu kuburudisha kumbukumbu yako ya grafu za kazi za kimsingi za kimsingi, na, kwa kiwango cha chini, kuweza kuunda mstari wa moja kwa moja, parabola na hyperbola. Hii inaweza kufanyika (kwa wengi, ni muhimu) kwa msaada wa nyenzo za mbinu na makala juu ya mabadiliko ya kijiometri ya grafu.

Kwa kweli, kila mtu amefahamu kazi ya kutafuta eneo kwa kutumia kiungo dhahiri tangu shuleni, na hatutakwenda mbali zaidi ya mtaala wa shule. Nakala hii inaweza kuwa haikuwepo kabisa, lakini ukweli ni kwamba shida hutokea katika kesi 99 kati ya 100, wakati mwanafunzi anateseka na shule inayochukiwa na kwa shauku bwana wa kozi ya hisabati ya juu.

Nyenzo za warsha hii zinawasilishwa kwa urahisi, kwa undani na kwa kiwango cha chini cha nadharia.

Wacha tuanze na trapezoid iliyopindika.

Trapezoid ya Curvilinear ni kielelezo bapa kinachopakana na mhimili, mistari iliyonyooka, na grafu ya chaguo za kukokotoa inayoendelea kwa muda ambayo haibadilishi ishara kwenye muda huu. Hebu takwimu hii iko si kidogo mhimili wa x:

Kisha eneo la curvilinear trapezoid ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri. Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri. Kwenye somo Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi Nilisema kuwa kiunganishi dhahiri ni nambari. Na sasa ni wakati wa kusema ukweli mwingine muhimu. Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA.

Hiyo ni, kiunga cha uhakika (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Kwa mfano, fikiria kiunga cha uhakika. Mchanganyiko hufafanua curve kwenye ndege iliyo juu ya mhimili (wale wanaotaka wanaweza kutengeneza mchoro), na kiunga cha uhakika yenyewe ni nambari sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.

Mfano 1

Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Jambo la kwanza na muhimu zaidi katika uamuzi ni ujenzi wa kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.

Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi zingine. Ni faida zaidi kujenga grafu za kazi hatua kwa hatua, mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua inaweza kupatikana katika nyenzo za kumbukumbu Grafu na mali ya kazi za msingi. Huko unaweza pia kupata nyenzo muhimu sana kwa somo letu - jinsi ya kujenga parabola haraka.

Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.
Wacha tuchore mchoro (kumbuka kuwa equation inafafanua mhimili):

Sitaweka kivuli kwenye trapezoid iliyopinda, ni dhahiri hapa tunazungumzia eneo gani. Suluhisho linaendelea kama hii:

Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, Ndiyo maana:

Jibu:

Nani ana shida katika kuhesabu kiunganishi dhahiri na kutumia fomula ya Newton-Leibniz , rejea hotuba Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.

Baada ya kazi kukamilika, daima ni muhimu kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro "kwa jicho" - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Mfano 2

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari, , na mhimili

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili?

Mfano 3

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari na kuratibu shoka.

Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili(au angalau sio juu zaidi mhimili uliopewa), basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Kwa kesi hii:

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.

Mfano 4

Tafuta eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari, .

Suluhisho: Kwanza unahitaji kukamilisha kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ujumuishaji ni, kikomo cha juu cha ujumuishaji ni.
Ikiwezekana, ni bora kutotumia njia hii..

Ni faida zaidi na haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua kwa grafu mbalimbali inajadiliwa kwa undani katika usaidizi Grafu na mali ya kazi za msingi. Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana). Na pia tutazingatia mfano kama huo.

Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:

Ninarudia kwamba wakati wa kujenga kwa uhakika, mipaka ya ujumuishaji mara nyingi hupatikana "moja kwa moja".

Na sasa formula ya kufanya kazi: Ikiwa kuna utendakazi unaoendelea kwenye sehemu kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea , basi eneo la takwimu lililofungwa na grafu za kazi hizi na mistari , , inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Hapa hauitaji tena kufikiria ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, na, kwa kusema, ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo HAPA CHINI.

Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.

Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.
Kwenye sehemu, kulingana na formula inayolingana:

Jibu:

Kwa kweli, formula ya shule ya eneo la trapezoid ya curvilinear katika nusu ya chini ya ndege (angalia mfano rahisi No. 3) ni kesi maalum ya formula. . Kwa kuwa mhimili umetajwa na equation, na grafu ya kazi iko sio juu zaidi shoka, basi

Na sasa mifano michache kwa suluhisho lako mwenyewe

Mfano 5

Mfano 6

Tafuta eneo la takwimu iliyofungwa na mistari, .

Wakati wa kutatua matatizo yanayohusisha eneo la kukokotoa kwa kutumia kiunganishi dhahiri, tukio la kuchekesha wakati mwingine hutokea. Mchoro ulifanyika kwa usahihi, mahesabu yalikuwa sahihi, lakini kwa sababu ya kutojali ... eneo la takwimu mbaya lilipatikana, hivi ndivyo mtumishi wako mnyenyekevu alivyojikwaa mara kadhaa. Hapa kuna kesi ya maisha halisi:

Mfano 7

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari , , , .

Suluhisho: Kwanza, hebu tufanye mchoro:

...Eh, mchoro ulitoka ujinga, lakini kila kitu kinaonekana kusomeka.

Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, "glitch" mara nyingi hutokea kwamba unahitaji kupata eneo la takwimu ambalo lina kivuli kijani!

Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri. Kweli:

1) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya mstari wa moja kwa moja;

2) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya hyperbola.

Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:

Jibu:

Tuendelee na kazi nyingine ya maana.

Mfano 8

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari,
Wacha tuwasilishe milinganyo katika fomu ya "shule" na tufanye mchoro wa hatua kwa hatua:

Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba kikomo chetu cha juu ni "nzuri":.
Lakini ni nini kikomo cha chini?! Ni wazi kuwa hii sio nambari kamili, lakini ni nini? Labda ? Lakini iko wapi dhamana ya kwamba mchoro unafanywa kwa usahihi kamili, inaweza kugeuka kuwa ... Au mizizi. Ikiwa tutaunda grafu vibaya?

Katika hali hiyo, unapaswa kutumia muda wa ziada na kufafanua mipaka ya ushirikiano kwa uchambuzi.

Wacha tupate sehemu za makutano ya mstari wa moja kwa moja na parabola.
Ili kufanya hivyo, tunatatua equation:

,

Kweli,.

Suluhisho zaidi ni ndogo, jambo kuu sio kuchanganyikiwa katika uingizwaji na ishara hapa sio rahisi zaidi.

Kwenye sehemu , kulingana na fomula inayolingana:

Jibu:

Kweli, kuhitimisha somo, hebu tuangalie kazi mbili ngumu zaidi.

Mfano 9

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari,

Suluhisho: Hebu tuonyeshe takwimu hii kwenye mchoro.

Damn, nilisahau kusaini ratiba, na, samahani, sikutaka kufanya upya picha. Sio siku ya kuchora, kwa kifupi, leo ndio siku =)

Kwa ajili ya ujenzi wa hatua kwa hatua, ni muhimu kujua kuonekana kwa sinusoid (na kwa ujumla ni muhimu kujua. grafu za kazi zote za msingi), na vile vile maadili kadhaa, yanaweza kupatikana ndani meza ya trigonometric. Katika baadhi ya matukio (kama ilivyo katika kesi hii), inawezekana kujenga mchoro wa schematic, ambayo grafu na mipaka ya ushirikiano inapaswa kuonyeshwa kimsingi kwa usahihi.

Hakuna matatizo na mipaka ya ushirikiano hapa hufuata moja kwa moja kutoka kwa hali: "x" hubadilika kutoka sifuri hadi "pi". Wacha tufanye uamuzi zaidi:

Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, kwa hivyo:

Tunaanza kuzingatia mchakato halisi wa kuhesabu kiunga mara mbili na kufahamiana na maana yake ya kijiometri.

Kiunga mara mbili ni sawa na eneo la takwimu ya ndege (eneo la ujumuishaji). Hii ndiyo aina rahisi zaidi ya kuunganisha mara mbili, wakati kazi ya vigezo viwili ni sawa na moja:.

Kwanza, hebu tuangalie tatizo kwa fomu ya jumla. Sasa utashangaa jinsi kila kitu kilivyo rahisi! Wacha tuhesabu eneo la takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari. Kwa uhakika, tunadhania kuwa kwenye sehemu . Eneo la takwimu hii kwa nambari ni sawa na:

Wacha tuonyeshe eneo kwenye mchoro:

Wacha tuchague njia ya kwanza ya kuvuka eneo hilo:

Hivyo:

Na mara moja mbinu muhimu ya kiufundi: viambatanisho vilivyorudiwa vinaweza kuhesabiwa tofauti. Kwanza kiunga cha ndani, kisha kiunga cha nje. Ninapendekeza sana njia hii kwa Kompyuta katika somo.

1) Wacha tuhesabu kiunga cha ndani, na ujumuishaji unafanywa juu ya kutofautisha "y":

Muhimu usio na kipimo hapa ndio rahisi zaidi, na kisha formula ya banal Newton-Leibniz inatumiwa, na tofauti pekee ambayo mipaka ya ushirikiano sio nambari, lakini kazi. Kwanza, tulibadilisha kikomo cha juu kwenye "y" (kazi ya antiderivative), kisha kikomo cha chini

2) Matokeo yaliyopatikana katika aya ya kwanza lazima yabadilishwe na kuwa kiungo cha nje:

Uwakilishi wa kompakt zaidi wa suluhisho zima inaonekana kama hii:

Fomula inayosababisha ndio fomula ya kufanya kazi ya kuhesabu eneo la takwimu ya ndege kwa kutumia kiunga cha "kawaida"! Tazama somo Eneo la Kukokotoa Kwa Kutumia Muunganisho Mahususi, hapo yuko kwa kila hatua!

Hiyo ni, tatizo la kukokotoa eneo kwa kutumia viambatanisho viwili sio tofauti sana kutoka kwa shida ya kupata eneo kwa kutumia kiunga cha uhakika! Kwa kweli, ni kitu kimoja!

Ipasavyo, hakuna ugumu unapaswa kutokea! Sitaangalia mifano mingi sana, kwa kuwa wewe, kwa kweli, umekutana na kazi hii mara kwa mara.

Mfano 9

Suluhisho: Wacha tuonyeshe eneo kwenye mchoro:

Wacha tuchague mpangilio ufuatao wa upitishaji wa eneo hilo:

Hapa na zaidi sitakaa juu ya jinsi ya kuvuka eneo hilo, kwani maelezo ya kina sana yalitolewa katika aya ya kwanza.

Hivyo:

Kama nilivyoona tayari, ni bora kwa Kompyuta kuhesabu viunga vilivyorudiwa kando, na nitashikamana na njia ile ile:

1) Kwanza, kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz, tunashughulika na kiunga cha ndani:

2) Matokeo yaliyopatikana katika hatua ya kwanza yanabadilishwa kuwa kiunga cha nje:

Uhakika wa 2 kwa kweli ni kutafuta eneo la takwimu ya ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Jibu:

Hii ni kazi ya kijinga na ya kijinga.

Mfano wa kuvutia wa suluhisho la kujitegemea:

Mfano 10

Kutumia kiunganishi mara mbili, hesabu eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari,

Mfano wa takriban wa suluhu la mwisho mwishoni mwa somo.

Katika Mifano 9-10, ni faida zaidi kutumia njia ya kwanza ya kuvuka eneo hilo, kwa njia, wanaweza kubadilisha utaratibu wa traversal na kuhesabu maeneo kwa kutumia njia ya pili. Ikiwa hutafanya makosa, basi, kwa kawaida, utapata maadili ya eneo sawa.

Lakini katika hali nyingine, njia ya pili ya kuvuka eneo hilo inafaa zaidi, na mwisho wa kozi ya nerd mchanga, hebu tuangalie mifano michache zaidi juu ya mada hii:

Mfano 11

Kutumia kiunganishi mara mbili, hesabu eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari,

Suluhisho: Tunatazamia parabolas mbili zilizo na quirk ambayo iko kwenye pande zao. Hakuna haja ya kutabasamu; mambo sawa hutokea mara nyingi katika viambatanisho vingi.

Ni ipi njia rahisi zaidi ya kufanya mchoro?

Wacha tufikirie parabola katika mfumo wa kazi mbili:
- tawi la juu na - tawi la chini.

Vile vile, fikiria parabola kwa namna ya juu na chini matawi.

Ifuatayo, njama za busara za sheria za grafu, na kusababisha takwimu ya ajabu kama hii:

Tunahesabu eneo la takwimu kwa kutumia kiunga mara mbili kulingana na formula:

Nini kitatokea ikiwa tutachagua njia ya kwanza ya kuvuka eneo hilo? Kwanza, eneo hili litalazimika kugawanywa katika sehemu mbili. Na pili, tutaona picha hii ya kusikitisha: . Integrals, bila shaka, si ya kiwango cha juu-ngumu, lakini ... kuna msemo wa zamani wa hisabati: wale walio karibu na mizizi yao hawana haja ya mtihani.

Kwa hivyo, kutokana na kutokuelewana katika hali hiyo, tunaelezea kazi za kinyume:

Kazi za kinyume katika mfano huu zina faida kwamba zinataja parabola nzima mara moja bila majani yoyote, acorns, matawi na mizizi.

Kulingana na njia ya pili, upitishaji wa eneo utakuwa kama ifuatavyo.

Hivyo:

Kama wanasema, jisikie tofauti.

1) Tunashughulika na kiunga cha ndani:

Tunabadilisha matokeo kwenye kiunga cha nje:

Ushirikiano juu ya kutofautiana "y" haipaswi kuchanganya; ikiwa kuna barua "zy", itakuwa nzuri kuunganisha juu yake. Ingawa ni nani aliyesoma aya ya pili ya somo Jinsi ya kuhesabu kiasi cha mwili wa mzunguko, hana tena shida kidogo na ujumuishaji kulingana na njia ya "Y".

Pia makini na hatua ya kwanza: integrand ni hata, na muda wa ushirikiano ni ulinganifu kuhusu sifuri. Kwa hiyo, sehemu inaweza kuwa nusu, na matokeo yanaweza mara mbili. Mbinu hii imeelezewa kwa kina katika somo. Njia za ufanisi za kuhesabu kiunganishi cha uhakika.

Nini cha kuongeza…. Wote!

Jibu:

Ili kupima mbinu yako ya kuunganisha, unaweza kujaribu kuhesabu . Jibu linapaswa kuwa sawa kabisa.

Mfano 12

Kutumia kiunganishi mara mbili, hesabu eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Inashangaza kutambua kwamba ikiwa unajaribu kutumia njia ya kwanza ya kuvuka eneo hilo, takwimu haitastahili tena kugawanywa katika mbili, lakini katika sehemu tatu! Na, ipasavyo, tunapata jozi tatu za viambatanisho vinavyorudiwa. Wakati mwingine hutokea.

Darasa la bwana limekamilika, na ni wakati wa kuendelea hadi kiwango cha grandmaster - Jinsi ya kuhesabu muhimu mara mbili? Mifano ya ufumbuzi. Nitajaribu kutokuwa wazimu sana katika kifungu cha pili =)

Nakutakia mafanikio!

Suluhisho na majibu:

Mfano 2:Suluhisho: Wacha tuonyeshe eneo hilo kwenye mchoro:

Wacha tuchague mpangilio ufuatao wa upitishaji wa eneo hilo:

Hivyo:
Wacha tuendelee kwenye vitendaji kinyume:

Hivyo:
Jibu:

Mfano 4:Suluhisho: Wacha tuendelee kwenye kazi za moja kwa moja:

Wacha tufanye mchoro:

Wacha tubadilishe mpangilio wa kuvuka eneo hilo:

Jibu:

Wacha tuendelee kuzingatia matumizi ya hesabu muhimu. Katika somo hili tutachambua kazi ya kawaida na ya kawaida kuhesabu eneo la takwimu ya ndege kwa kutumia kiunga fulani. Hatimaye, wale wote wanaotafuta maana katika hisabati ya juu waipate. Hauwezi kujua. Katika maisha halisi, italazimika kukadiria njama ya dacha kwa kutumia kazi za kimsingi na kupata eneo lake kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Ili kufanikiwa kwa nyenzo, lazima:

1) Elewa kiunganishi kisichojulikana angalau katika kiwango cha kati. Kwa hivyo, dummies inapaswa kwanza kusoma somo Sivyo.

2) Awe na uwezo wa kutumia fomula ya Newton-Leibniz na kukokotoa kiunga kamili. Unaweza kuanzisha mahusiano ya kirafiki ya joto na viungo fulani kwenye ukurasa Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi. Kazi "kuhesabu eneo kwa kutumia kiunganishi cha uhakika" daima inahusisha kujenga kuchora, hivyo ujuzi wako na ujuzi wa kuchora pia itakuwa suala muhimu. Kwa uchache, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga mstari wa moja kwa moja, parabola na hyperbola.

Wacha tuanze na trapezoid iliyopindika. Trapezoidi iliyopinda ni kielelezo bapa kinachopakana na grafu ya baadhi ya utendaji y = f(x), mhimili OX na mistari x = a; x = b.

Eneo la trapezoid ya curvilinear ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri

Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri. Kwenye somo Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi tulisema kuwa kiunganishi dhahiri ni nambari. Na sasa ni wakati wa kusema ukweli mwingine muhimu. Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA. Hiyo ni, kiunga cha uhakika (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Fikiria kiunga cha uhakika

Integrand

inafafanua Curve kwenye ndege (inaweza kuchorwa ikiwa inataka), na kiunga halisi yenyewe ni nambari sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.

Mfano 1

, , , .

Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Jambo muhimu zaidi katika uamuzi ni ujenzi wa kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.

Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi zingine. Mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua inaweza kupatikana katika nyenzo za kumbukumbu Grafu na mali ya kazi za msingi. Huko unaweza pia kupata nyenzo muhimu sana kwa somo letu - jinsi ya kujenga parabola haraka.

Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.

Wacha tufanye mchoro (kumbuka kuwa equation y= 0 inabainisha mhimili OX):

Hatutaweka kivuli kwenye trapezoid iliyopinda; Suluhisho linaendelea kama hii:

Kwenye sehemu [-2; 1] grafu ya kazi y = x 2 + 2 iko juu ya mhimiliOX, Ndiyo maana:

Jibu: .

Nani ana shida katika kuhesabu kiunganishi dhahiri na kutumia fomula ya Newton-Leibniz

rejea hotuba Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi. Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro "kwa jicho" - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Mfano 2

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari xy = 4, x = 2, x= 4 na mhimili OX.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimiliOX?

Mfano 3

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = e-x, x= 1 na kuratibu shoka.

Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili OX , basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Kwa kesi hii:

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.

Mfano 4

Pata eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari y = 2x – x 2 , y = -x.

Suluhisho: Kwanza unahitaji kufanya kuchora. Wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola y = 2x – x 2 na moja kwa moja y = -x. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano a= 0, kikomo cha juu cha ujumuishaji b= 3. Mara nyingi ni faida zaidi na kwa haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya kuunganisha inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana). Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:

Wacha turudie kwamba wakati wa kujenga pointwise, mipaka ya ujumuishaji mara nyingi huamuliwa "moja kwa moja".

Na sasa formula ya kufanya kazi:

Ikiwa kwenye sehemu [ a; b] utendakazi fulani endelevu f(x) kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea g(x), basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Hapa huhitaji tena kufikiri juu ya wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, lakini ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo HAPA CHINI.

Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo kutoka 2. x – x 2 lazima iondolewe - x.

Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola y = 2x – x 2 juu na moja kwa moja y = -x chini.

Kwenye sehemu ya 2 x – x 2 ≥ -x. Kulingana na formula inayolingana:

Jibu: .

Kwa kweli, formula ya shule ya eneo la trapezoid ya curvilinear katika nusu ya chini ya ndege (tazama mfano No. 3) ni kesi maalum ya fomula.

Kwa sababu mhimili OX iliyotolewa na equation y= 0, na grafu ya chaguo la kukokotoa g(x) iko chini ya mhimili OX, Hiyo

Na sasa mifano michache kwa suluhisho lako mwenyewe

Mfano 5

Mfano 6

Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Mfano 7

Kwanza, wacha tufanye mchoro:

Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, mara nyingi watu huamua kuwa wanahitaji kupata eneo la takwimu ambalo limetiwa kivuli kijani!

Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri. Kweli:

1) Kwenye sehemu [-1; 1] juu ya mhimili OX grafu iko sawa y = x+1;

2) Kwenye sehemu iliyo juu ya mhimili OX grafu ya hyperbola iko y = (2/x).

Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:

Jibu:

Mfano 8

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Hebu tuwasilishe milinganyo katika fomu ya "shule".

na ufanye mchoro wa hatua kwa hatua:

Kutoka kwa mchoro ni wazi kuwa kikomo chetu cha juu ni "nzuri": b = 1.

Lakini ni nini kikomo cha chini?! Ni wazi kuwa hii sio nambari kamili, lakini ni nini?

Labda, a=(-1/3)? Lakini ni wapi dhamana ya kwamba mchoro unafanywa kwa usahihi kamili, inaweza kugeuka kuwa hivyo a=(-1/4). Ikiwa tutaunda grafu vibaya?

Katika hali hiyo, unapaswa kutumia muda wa ziada na kufafanua mipaka ya ushirikiano kwa uchambuzi.

Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu

Ili kufanya hivyo, tunatatua equation:

Kwa hivyo, a=(-1/3).

Suluhisho zaidi ni ndogo. Jambo kuu sio kuchanganyikiwa katika uingizwaji na ishara. Mahesabu hapa sio rahisi zaidi. Kwenye sehemu

, ,

kulingana na formula inayolingana:

Jibu:

Kuhitimisha somo, hebu tuangalie kazi mbili ngumu zaidi.

Mfano 9

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Suluhisho: Wacha tuonyeshe takwimu hii kwenye mchoro.

Ili kujenga kuchora kwa uhakika, unahitaji kujua kuonekana kwa sinusoid. Kwa ujumla, ni muhimu kujua grafu za kazi zote za msingi, pamoja na maadili kadhaa ya sine. Wanaweza kupatikana katika jedwali la maadili kazi za trigonometric. Katika baadhi ya matukio (kwa mfano, katika kesi hii), inawezekana kujenga mchoro wa schematic, ambayo grafu na mipaka ya ushirikiano inapaswa kuonyeshwa kimsingi kwa usahihi.

Hakuna shida na mipaka ya ujumuishaji hapa;

- "x" hubadilika kutoka sufuri hadi "pi". Wacha tufanye uamuzi zaidi:

Kwenye sehemu, grafu ya chaguo za kukokotoa y= dhambi 3 x iko juu ya mhimili OX, Ndiyo maana:

(1) Unaweza kuona jinsi sine na kosini zimeunganishwa katika nguvu zisizo za kawaida katika somo Viunga vya kazi za trigonometric. Tunapunguza sinus moja.

(2) Tunatumia utambulisho mkuu wa trigonometric katika fomu

(3) Wacha tubadilishe utofauti t=cos x, basi: iko juu ya mhimili, kwa hivyo:

Kumbuka: kumbuka jinsi kiunganishi cha mchemraba wa tangent kinachukuliwa;

Tatizo 1(kuhusu kuhesabu eneo la trapezoid iliyopindika).

Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian xOy, takwimu inatolewa (tazama takwimu) iliyofungwa na mhimili wa x, mistari iliyonyooka x = a, x = b (a na trapezoid ya curvilinear. Inahitajika kuhesabu eneo la curvilinear. trapezoid.
Suluhisho. Jiometri inatupa mapishi ya kuhesabu maeneo ya poligoni na baadhi ya sehemu za duara (sekta, sehemu). Kwa kutumia mambo ya kijiometri, tunaweza tu kupata takriban thamani ya eneo linalohitajika, tukizingatia kama ifuatavyo.

Wacha tugawanye sehemu [a; b] (msingi wa trapezoid iliyopinda) katika sehemu n sawa; ugawaji huu unafanywa kwa kutumia pointi x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Wacha tuchore mistari iliyonyooka kupitia nukta hizi sambamba na mhimili wa y. Kisha trapezoid ya curvilinear iliyotolewa itagawanywa katika sehemu za n, kwenye safu nyembamba n. Eneo la trapezoid nzima ni sawa na jumla ya maeneo ya nguzo.

Hebu tuzingalie safu ya k-th tofauti, i.e. trapezoid iliyopinda ambayo msingi wake ni sehemu. Wacha tuibadilishe na mstatili na msingi sawa na urefu sawa na f(x k) (tazama takwimu). Eneo la mstatili ni sawa na $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, ambapo $\Delta x_k $ ni urefu wa sehemu; Ni kawaida kuzingatia bidhaa inayotokana kama thamani ya takriban ya eneo la safu ya kth.

Ikiwa sasa tutafanya vivyo hivyo na safu zingine zote, tutafikia matokeo yafuatayo: eneo S la trapezoid ya curvilinear iliyopewa ni takriban sawa na eneo la S n la kielelezo cha kupitiwa kinachoundwa na mistatili n (angalia mchoro):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Hapa, kwa ajili ya usawa wa notation, tunadhani kwamba a = x 0, b = x n; $\ Delta x_0 $ - urefu wa sehemu, $\ Delta x_1 $ - urefu wa sehemu, nk; katika kesi hii, kama tulivyokubaliana hapo juu, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Kwa hivyo, $S \takriban S_n $, na takriban usawa huu ni sahihi zaidi, kubwa n.
Kwa ufafanuzi, inaaminika kuwa eneo linalohitajika la trapezoid ya curvilinear ni sawa na kikomo cha mlolongo (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tatizo 2(kuhusu kusonga hatua)
Sehemu ya nyenzo husogea kwa safu moja kwa moja. Utegemezi wa kasi kwa wakati unaonyeshwa na formula v = v (t). Tafuta mwendo wa nukta kwa muda fulani [a; b].
Suluhisho. Ikiwa harakati ilikuwa sare, basi tatizo lingetatuliwa kwa urahisi sana: s = vt, i.e. s = v(b-a). Kwa harakati zisizo sawa, unapaswa kutumia mawazo sawa ambayo suluhisho la tatizo la awali lilikuwa msingi.
1) Gawanya muda wa muda [a; b] katika n sehemu sawa.
2) Fikiria kipindi cha muda na kudhani kwamba katika kipindi hiki cha muda kasi ilikuwa mara kwa mara, sawa na wakati t k. Kwa hivyo tunadhani kuwa v = v (t k).
3) Hebu tutafute takriban thamani ya mwendo wa hatua kwa muda fulani; tutaashiria thamani hii kama s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Tafuta takriban thamani ya uhamishaji s:
$s \takriban S_n $ wapi
$S_n = s_0 + \vitone + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \vitone + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Uhamisho unaohitajika ni sawa na kikomo cha mlolongo (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hebu tufanye muhtasari. Ufumbuzi wa matatizo mbalimbali ulipunguzwa kwa mfano huo wa hisabati. Matatizo mengi kutoka kwa nyanja mbalimbali za sayansi na teknolojia husababisha mfano huo katika mchakato wa ufumbuzi. Hii ina maana kwamba mtindo huu wa hisabati lazima usomewe hasa.

Dhana ya kiunganishi dhahiri

Wacha tutoe maelezo ya kihesabu ya modeli ambayo ilijengwa katika shida tatu zilizozingatiwa kwa chaguo la kukokotoa y = f(x), endelevu (lakini sio lazima sio hasi, kama ilivyodhaniwa katika shida zinazozingatiwa) kwa muda [a; b]:
1) gawanya sehemu [a; b] katika sehemu n sawa;
2) tengeneza jumla $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) hesabu $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Katika kipindi cha uchanganuzi wa hisabati ilithibitishwa kuwa kikomo hiki kipo katika kesi ya kazi inayoendelea (au inayoendelea kwa sehemu). Anaitwa kiungo fulani cha chaguo za kukokotoa y = f(x) juu ya sehemu [a; b] na kuashiria kama ifuatavyo:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Nambari a na b huitwa mipaka ya ushirikiano (chini na juu, kwa mtiririko huo).

Wacha turudi kwenye kazi zilizojadiliwa hapo juu. Ufafanuzi wa eneo uliotolewa katika Tatizo la 1 sasa unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
hapa S ni eneo la trapezoid iliyopotoka iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu. Hii ni maana ya kijiometri ya kiungo dhahiri.

Ufafanuzi wa uhamishaji wa sehemu inayosogea katika mstari ulionyooka na kasi v = v(t) kwa kipindi cha muda kutoka t = a hadi t = b, iliyotolewa katika Tatizo la 2, inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

Fomula ya Newton-Leibniz

Kwanza, hebu tujibu swali: kuna uhusiano gani kati ya kiunganishi dhahiri na kizuia derivative?

Jibu linaweza kupatikana katika Tatizo la 2. Kwa upande mmoja, uhamishaji s wa hatua inayohamia kwenye mstari wa moja kwa moja na kasi ya v = v (t) kwa kipindi cha muda kutoka t = a hadi t = b imehesabiwa na fomula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Kwa upande mwingine, uratibu wa hatua ya kusonga ni antiderivative kwa kasi - wacha tuonyeshe s (t); hii inamaanisha kuwa uhamishaji s unaonyeshwa na fomula s = s(b) - s(a). Kama matokeo, tunapata:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ambapo s(t) ni kinza derivative ya v(t).

Nadharia ifuatayo ilithibitishwa wakati wa uchambuzi wa hisabati.
Nadharia. Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) ni endelevu kwa muda [a; b], basi fomula ni halali
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ambapo F(x) ni kinza derivative ya f(x).

Fomula iliyotolewa kawaida huitwa Fomula ya Newton-Leibniz kwa heshima ya mwanafizikia wa Kiingereza Isaac Newton (1643-1727) na mwanafalsafa wa Ujerumani Gottfried Leibniz (1646-1716), ambaye aliipokea kwa kujitegemea na karibu wakati huo huo.

Kwa mazoezi, badala ya kuandika F(b) - F(a), wanatumia nukuu $\left. F(x)\right|_a^b $ (wakati mwingine huitwa uingizwaji mara mbili) na, ipasavyo, andika upya fomula ya Newton-Leibniz katika fomu hii:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kushoto. F(x)\kulia|_a^b $

Wakati wa kuhesabu kiunga cha uhakika, kwanza pata kizuia derivative, na kisha ufanye uingizwaji mara mbili.

Kulingana na fomula ya Newton-Leibniz, tunaweza kupata sifa mbili za kiunganishi dhahiri.

Mali 1. Muhimu wa jumla ya kazi ni sawa na jumla ya viambatanisho:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara muhimu:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri

Kutumia kiunga, unaweza kuhesabu maeneo sio tu ya trapezoid iliyopindika, lakini pia ya takwimu za ndege za aina ngumu zaidi, kwa mfano, ile iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Takwimu P imepunguzwa na mistari ya moja kwa moja x = a, x = b na grafu za kazi zinazoendelea y = f (x), y = g (x), na kwenye sehemu [a; b] ukosefu wa usawa $g(x) \leq f(x) $ unaoshikilia. Ili kuhesabu eneo la S la takwimu kama hiyo, tutaendelea kama ifuatavyo:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Kwa hivyo, eneo S la kielelezo lililofungwa na mistari iliyonyooka x = a, x = b na grafu za vitendakazi y = f(x), y = g(x), inayoendelea kwenye sehemu na vile vile kwa x yoyote kutoka kwa sehemu. [a; b] ukosefu wa usawa $g(x) \leq f(x) $ umeridhika, unaokokotolewa na fomula.
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Jedwali la viambatanisho visivyojulikana (vizuia derivatives) vya baadhi ya vipengele

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Suluhisho.

Hatua ya kwanza na muhimu zaidi ya uamuzi ni ujenzi wa kuchora.

Wacha tufanye mchoro:

Mlinganyo y=0 huweka mhimili wa "x";

- x=-2 Na x=1 - sawa, sambamba na mhimili OU;

- y=x 2 +2 - parabola, matawi ambayo yanaelekezwa juu, na vertex kwa uhakika (0;2).

Maoni. Ili kujenga parabola, inatosha kupata pointi za makutano yake na axes za kuratibu, i.e. kuweka x=0 pata makutano na mhimili OU na kutatua mlinganyo wa quadratic unaolingana, pata makutano na mhimili Oh .

Kipeo cha parabola kinaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Unaweza pia kujenga mistari hatua kwa hatua.

Kwenye muda [-2;1] grafu ya chaguo za kukokotoa y=x 2 +2 iko juu ya mhimili Ng'ombe , Ndiyo maana:

Jibu: S = vitengo 9 vya mraba

Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, "kwa jicho" tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili Oh?

b) Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y=-e x , x=1 na kuratibu shoka.

Suluhisho.

Hebu tufanye kuchora.

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili Oh , basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Jibu: S=(e-1) sq. vitengo" 1.72 sq. vitengo

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu iko katika ndege ya juu na ya chini ya nusu.

na) Pata eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari y=2x-x 2, y=-x.

Suluhisho.

Kwanza unahitaji kukamilisha kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola na moja kwa moja Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi.

Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano a=0 , kikomo cha juu cha ujumuishaji b=3 .

Tunajenga mistari iliyotolewa: 1. Parabola - vertex kwa uhakika (1;1); makutano ya mhimili Oh - pointi (0;0) na (0;2). 2. Mstari wa moja kwa moja - bisector ya pembe za 2 na 4 za kuratibu. Na sasa Makini! Ikiwa kwenye sehemu [ a;b] utendakazi fulani endelevu f(x) kubwa kuliko au sawa na utendakazi fulani endelevu g(x), basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula: .

Na haijalishi ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, lakini jambo muhimu ni grafu ipi ni ya JUU (inayohusiana na grafu nyingine), na ambayo ni CHINI. Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.

Unaweza kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana).

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.

Kwenye sehemu , kulingana na fomula inayolingana:

Jibu: S = 4.5 sq. vitengo