Podstawowy egzamin z teorii prawdopodobieństwa ujednoliconego stanu. Teoria prawdopodobieństwa

Uwaga na wnioskodawców! Omówiono tutaj kilka Problemy z egzaminem jednolitym. Reszta, co ciekawsze, znajduje się w naszym bezpłatnym filmie. Oglądaj i rób!

Zaczniemy od proste zadania oraz podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa.
Losowy Zdarzenie, którego nie można z góry dokładnie przewidzieć, nazywa się zdarzeniem. Może się to zdarzyć lub nie.
Wygrałeś na loterii - zdarzenie losowe. Zaprosiłeś znajomych, aby świętowali Twoją wygraną, a w drodze do Ciebie utknęli w windzie – to także zdarzenie losowe. To prawda, że ​​​​mistrz okazał się w pobliżu i w ciągu dziesięciu minut uwolnił całą kompanię - i to również można uznać za szczęśliwy wypadek...

Nasze życie jest pełne przypadkowych zdarzeń. O każdym z nich można powiedzieć, że z niektórymi tak się stanie prawdopodobieństwo. Najprawdopodobniej intuicyjnie znasz tę koncepcję. Teraz damy definicja matematyczna prawdopodobieństwa.

Zacznijmy od samego początku prosty przykład. Rzucasz monetą. Orzeł czy reszka?

Takie działanie, które może prowadzić do jednego z kilku rezultatów, nazywa się teorią prawdopodobieństwa test.

Głowa i reszka – dwie możliwe wynik testy.

Głowy wypadną w jednym przypadku na dwa możliwe. Mówią, że prawdopodobieństwoże moneta wyląduje na reszcie.

Rzućmy kostką. Kostka ma sześć stron, więc istnieje również sześć możliwych wyników.

Na przykład chciałeś, aby pojawiły się trzy punkty. Jest to jeden wynik z sześciu możliwych. W teorii prawdopodobieństwa będzie to tzw korzystny wynik.

Prawdopodobieństwo uzyskania trójki jest równe (jeden korzystny wynik z sześciu możliwych).

Prawdopodobieństwo czterech też jest

Ale prawdopodobieństwo pojawienia się siódemki wynosi zero. W końcu nie ma krawędzi z siedmioma punktami na sześcianie.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby wyników.

Oczywiście prawdopodobieństwo nie może być większe niż jeden.

Oto kolejny przykład. W torbie są jabłka, niektóre są czerwone, reszta jest zielona. Jabłka nie różnią się kształtem i wielkością. Wkładasz rękę do torby i wyjmujesz losowe jabłko. Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego jabłka jest równe , a prawdopodobieństwo wylosowania zielonego jabłka jest równe .

Prawdopodobieństwo otrzymania czerwonego lub zielonego jabłka jest równe.

Przeanalizujmy problemy z teorii prawdopodobieństwa zawarte w zbiorach przygotowujących do egzaminu Unified State Exam.

. W firmie taksówkarskiej ten moment bezpłatne samochody: czerwony, żółty i zielony. Na wezwanie odpowiedział jeden z samochodów, który znajdował się najbliżej klienta. Znajdź prawdopodobieństwo, że przyjedzie do niej żółta taksówka.

Samochodów jest ogółem, czyli jeden na piętnaście przyjedzie do klienta. Żółtych jest dziewięć, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo przybycia żółtego samochodu jest równe .

. (Wersja demonstracyjna) W zbiorze biletów na biologię wszystkich biletów, w dwóch z nich znajduje się pytanie o grzyby. W trakcie egzaminu student otrzymuje jeden losowo wybrany bilet. Znajdź prawdopodobieństwo, że na tym kuponie nie będzie pytania o grzyby.

Oczywiście prawdopodobieństwo wylosowania biletu bez pytania o grzyby jest równe , tj.

. Komitet Rodziców zakupił puzzle jako prezenty na zakończenie roku szkolnego dla dzieci. rok szkolny, w tym obrazy znanych artystów i wizerunki zwierząt. Rozdawane są prezenty losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że Vovochka dostanie zagadkę ze zwierzęciem.

Problem rozwiązuje się w podobny sposób.

Odpowiedź: .

. W mistrzostwach gimnastycznych biorą udział sportowcy z Rosji, USA i pozostali z Chin. Kolejność występów gimnastyczek jest ustalana w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że ostatni sportowiec, który wystartuje, będzie pochodził z Chin.

Wyobraźmy sobie, że wszyscy sportowcy jednocześnie podeszli do kapelusza i wyciągnęli z niego kartki papieru z numerami. Część z nich otrzyma numer dwudziesty. Prawdopodobieństwo, że wyciągnie go chiński sportowiec, jest równe (ponieważ sportowcy pochodzą z Chin). Odpowiedź: .

. Uczeń został poproszony o podanie numeru od do. Jakie jest prawdopodobieństwo, że poda liczbę będącą wielokrotnością pięciu?

Co piąty liczba z tego zbioru jest podzielna przez . Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest równe.

Rzucana jest kostka. Znajdź prawdopodobieństwo otrzymania nieparzysta liczba zwrotnica.

Liczby nieparzyste; - nawet. Prawdopodobieństwo zdobycia nieparzystej liczby punktów wynosi .

Odpowiedź: .

. Moneta rzucana jest trzykrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwie reszki i jedna reszka?

Należy pamiętać, że problem można sformułować inaczej: wrzucono jednocześnie trzy monety. Nie będzie to miało wpływu na decyzję.

Jak myślisz, ile jest możliwych wyników?

Rzucamy monetą. Ta akcja ma dwa możliwe wyniki: orzeł i reszka.

Dwie monety - już cztery wyniki:

Trzy monety? Zgadza się, wyniki, ponieważ .

Dwie głowy i jedna reszka pojawiają się trzy z ośmiu razy.

Odpowiedź: .

. W losowym eksperymencie rzucamy dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma będzie wynosić punkty. Zaokrąglij wynik do części setnych.

Rzucamy pierwszą kostką – sześć wyników. A dla każdego z nich możliwych jest jeszcze sześć – gdy rzucimy drugą kostką.

Odkryliśmy, że ta akcja – rzucenie dwiema kostkami – ma w sumie możliwe wyniki, ponieważ .

A teraz - korzystne wyniki:

Prawdopodobieństwo zdobycia ośmiu punktów wynosi .

>. Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem. Znajdź prawdopodobieństwo, że trafi w cel cztery razy z rzędu.

Jeśli prawdopodobieństwo trafienia jest równe, prawdopodobieństwo chybienia wynosi . Rozumujemy w taki sam sposób jak w poprzednie zadanie. Prawdopodobieństwo dwóch trafień z rzędu jest równe. A prawdopodobieństwo czterech trafień z rzędu jest równe.

Prawdopodobieństwo: logika brutalnej siły.

Oto problem z praca diagnostyczna, co dla wielu było trudne.

Petya miał w kieszeni monety warte ruble i monety warte ruble. Pietia, nie patrząc, przełożył trochę monet do drugiej kieszeni. Znajdź prawdopodobieństwo, że monety pięciorublowe znajdują się teraz w różnych kieszeniach.

Wiemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby wyników. Ale jak obliczyć te wszystkie wyniki?

Można oczywiście oznaczyć monety pięciorublowe liczbami, a monety dziesięciorublowe cyframi - a następnie policzyć, na ile sposobów można wybrać trzy elementy z zestawu.

Istnieje jednak prostsze rozwiązanie:

Monety kodujemy cyframi: , (są to monety pięciorublowe), (są to monety dziesięciorublowe). Warunek problemu można teraz sformułować w następujący sposób:

Jest sześć żetonów z liczbami od do . Na ile sposobów można je równomiernie rozłożyć w dwóch kieszeniach, tak aby żetony z liczbami nie trafiły razem?

Zapiszmy, co mamy w pierwszej kieszeni.

Zbierzmy wszystko w tym celu możliwe kombinacje z zestawu. Zestaw trzech żetonów będzie liczbą trzycyfrową. Oczywiście w naszych warunkach i są tym samym zestawem żetonów. Aby niczego nie przeoczyć i się nie powtarzać, mamy odpowiednie liczby trzycyfrowe Rosnąco:

Wszystko! Przeanalizowaliśmy wszystkie możliwe kombinacje, zaczynając od . Kontynuujmy:

Całkowite możliwe wyniki.

Mamy warunek - żetony z numerami nie powinny być razem. Oznacza to np., że kombinacja nam nie odpowiada – oznacza to, że obydwa żetony wylądowały nie w pierwszej, a w drugiej kieszeni. Korzystne dla nas skutki to te, w których jest albo tylko, albo tylko. Tutaj są:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – łącznie korzystne wyniki.

Wtedy wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Jakie zadania czekają na Ciebie na Unified State Examation z matematyki?

Przyjrzyjmy się jednemu z nich złożone zadania zgodnie z teorią prawdopodobieństwa.

Aby dostać się do instytutu specjalności „Lingwistyka”, kandydat Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów na jednolitym egzaminie państwowym w każdym z trzy pozycje- matematyka, język rosyjski i język obcy. Aby zapisać się na specjalność „Handel”, musisz zdobyć co najmniej 70 punktów z każdego z trzech przedmiotów - matematyki, języka rosyjskiego i nauk społecznych.

Prawdopodobieństwo, że wnioskodawca Z. otrzyma co najmniej 70 punktów z matematyki, wynosi 0,6, w języku rosyjskim - 0,8, w język obcy- 0,7, a w naukach społecznych - 0,5.
Znajdź prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł zapisać się na co najmniej jedną z dwóch wymienionych specjalności.

Należy zauważyć, że problem nie dotyczy tego, czy kandydat o imieniu Z. będzie studiował jednocześnie lingwistykę i handel i otrzyma dwa dyplomy. Należy tu znaleźć prawdopodobieństwo, że Z. będzie mógł zapisać się na co najmniej jedną z tych dwóch specjalności – czyli zyska wymagana ilość zwrotnica.
Aby zostać przyjętym na co najmniej jedną z dwóch specjalności, Z. musi uzyskać co najmniej 70 punktów z matematyki. I po rosyjsku. A także - nauki społeczne lub zagraniczne.
Prawdopodobieństwo, że zdobędzie 70 punktów z matematyki, wynosi 0,6.
Prawdopodobieństwo zdobycia punktów z matematyki i języka rosyjskiego wynosi 0,6 0,8.

Zajmijmy się studiami zagranicznymi i społecznymi. Opcje, które nam odpowiadają, to sytuacja, w której wnioskodawca zdobył punkty z nauk społecznych, studiów zagranicznych lub obu. Opcja nie jest odpowiednia, jeśli nie zdobył żadnych punktów w żadnym języku ani w „społeczeństwie”. Oznacza to, że prawdopodobieństwo zaliczenia nauk społecznych lub języka obcego na poziomie co najmniej 70 punktów jest równe
1 – 0,5 0,3.
W rezultacie prawdopodobieństwo zdania matematyki, rosyjskiego i nauk społecznych lub obcego jest równe
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. To jest odpowiedź.

Lekcja-wykład na temat „teoria prawdopodobieństwa”

Zadanie nr 4 z egzaminu Unified State Exam 2016.

Poziom profilu.


1 grupa: zadania do wykorzystania klasyczna formuła prawdopodobieństwa.



  • Ćwiczenie 1. Firma taksówkarska ma 60 samochodów; 27 z nich jest czarnych z żółtymi napisami po bokach, reszta jest żółty kolor z czarnymi napisami. Znajdź prawdopodobieństwo, że na losowe wezwanie odpowie żółty samochód z czarnymi napisami.

  • Zadanie 2. Misza, Oleg, Nastya i Galia rzucają losy o to, kto powinien rozpocząć grę. Znajdź prawdopodobieństwo, że Galya nie rozpocznie gry.

  • Zadanie 3.Średnio na 1000 sprzedanych pomp ogrodowych 7 przecieka. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna losowo wybrana do kontroli pompa nie będzie przeciekać.

  • Zadanie 4. W kolekcji biletów na chemię znajduje się tylko 15 biletów, 6 z nich zawiera pytanie na temat „Kwasy”. Znajdź prawdopodobieństwo, że student otrzyma pytanie na temat „Kwasy” na losowo wybranym kuponie egzaminacyjnym.

  • Zadanie 5. W mistrzostwach w nurkowaniu rywalizuje 45 zawodników, w tym 4 nurków z Hiszpanii i 9 nurków z USA. Kolejność występów ustalana jest w drodze losowania. Znajdź prawdopodobieństwo, że skoczek amerykański będzie dwudziesty czwarty.

  • Zadanie 6. Konferencja naukowa odbywa się w ciągu 3 dni. Łącznie zaplanowanych jest 40 raportów – 8 pierwszego dnia, pozostałe rozkładają się równomiernie pomiędzy drugim i trzecim dniem. Kolejność sprawozdań ustala się w drodze losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że referat profesora M. zostanie zaplanowany na ostatni dzień konferencji?


  • Ćwiczenie 1. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy tenisowych mistrzostw uczestnicy są losowo dzieleni na grające pary za pomocą losowania. W sumie w mistrzostwach bierze udział 26 tenisistów, w tym 9 zawodników z Rosji, w tym Timofey Trubnikov. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Timofey Trubnikov zmierzy się z dowolnym tenisistą z Rosji.

  • Zadanie 2. Przed rozpoczęciem pierwszej rundy mistrzostw w badmintona uczestnicy są losowo dzieleni na pary grające. W mistrzostwach bierze udział łącznie 76 badmintonistów, w tym 22 zawodników z Rosji, w tym Wiktor Polakow. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pierwszej rundzie Wiktor Polakow zagra z dowolnym badmintonistą z Rosji.

  • Zadanie 3. W klasie jest 16 uczniów, a wśród nich dwóch przyjaciół – Oleg i Michaił. Klasa zostaje losowo podzielona na 4 równe grupy. Znajdź prawdopodobieństwo, że Oleg i Michaił znajdą się w tej samej grupie.

  • Zadanie 4. W klasie jest 33 uczniów, wśród nich dwóch przyjaciół – Andriej i Michaił. Uczniowie są losowo podzieleni na 3 równe grupy. Znajdź prawdopodobieństwo, że Andriej i Michaił znajdą się w tej samej grupie.


  • Ćwiczenie 1: W fabryce ceramicznych zastaw stołowych 20% wyprodukowanych talerzy jest wadliwych. Podczas kontroli jakości produktu identyfikuje się 70% wadliwych płytek. Pozostałe talerze są w sprzedaży. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany przy zakupie talerz nie będzie miał wad. Zaokrąglij odpowiedź do części setnych.

  • Zadanie 2. W fabryce ceramicznych zastaw stołowych 30% wyprodukowanych talerzy jest wadliwych. Podczas kontroli jakości produktu identyfikuje się 60% wadliwych płytek. Pozostałe talerze są w sprzedaży. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany podczas zakupu talerz ma wadę. Zaokrąglij odpowiedź do części setnych.

  • Zadanie 3: Dwie fabryki produkują to samo szkło do reflektorów samochodowych. Pierwsza fabryka produkuje 30% tych okularów, druga - 70%. Pierwsza fabryka produkuje 3% wadliwego szkła, druga – 4%. Znajdź prawdopodobieństwo, że szkło zakupione przypadkowo w sklepie będzie wadliwe.

2 Grupa: znalezienie prawdopodobieństwa zdarzenia odwrotnego.


  • Ćwiczenie 1. Prawdopodobieństwo trafienia w środek tarczy z odległości 20 m dla strzelca zawodowego wynosi 0,85. Znajdź prawdopodobieństwo, że nie trafisz w środek celu.

  • Zadanie 2. Przy produkcji łożysk o średnicy 67 mm prawdopodobieństwo, że średnica będzie różnić się od podanej o mniej niż 0,01 mm, wynosi 0,965. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowe łożysko będzie miało średnicę mniejszą niż 66,99 mm lub większą niż 67,01 mm.

3 Grupa: Znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia co najmniej jednego ze zdarzeń niekompatybilne zdarzenia. Wzór na dodawanie prawdopodobieństw.


  • Ćwiczenie 1. Znajdź prawdopodobieństwo, że rzucając kostką otrzymasz 5 lub 6 punktów.

  • Zadanie 2. W urnie znajduje się 30 kul: 10 czerwonych, 5 niebieskich i 15 białych. Znajdź prawdopodobieństwo wylosowania kolorowej kuli.

  • Zadanie 3. Strzelec strzela do celu podzielonego na 3 obszary. Prawdopodobieństwo trafienia w pierwszy obszar wynosi 0,45, drugi 0,35. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec jednym strzałem trafi w pierwszy lub drugi obszar.

  • Zadanie 4. Z centrum dzielnicy Do wioski codziennie kursuje autobus. Prawdopodobieństwo, że w poniedziałek w autobusie będzie mniej niż 18 pasażerów, wynosi 0,95. Prawdopodobieństwo, że będzie mniej niż 12 pasażerów, wynosi 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że liczba pasażerów będzie wynosić od 12 do 17.

  • Zadanie 5. Prawdopodobieństwo, że nowy czajnik elektryczny będzie służył dłużej niż rok, wynosi 0,97. Prawdopodobieństwo, że potrwa to dłużej niż dwa lata, wynosi 0,89. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to trwało krócej niż dwa lata, ale dłużej niż rok.

  • Zadanie 6. Prawdopodobieństwo, że student U. na sprawdzianie z biologii poprawnie rozwiąże więcej niż 9 zadań, wynosi 0,61. Prawdopodobieństwo, że U. poprawnie rozwiąże więcej niż 8 zadań, wynosi 0,73. Znajdź prawdopodobieństwo, że U rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów.

4 Grupa: Prawdopodobieństwo jednoczesnego ataku niezależne wydarzenia. Wzór na mnożenie prawdopodobieństwa.


  • Ćwiczenie 1. Pomieszczenie oświetla latarnia z dwiema lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najmniej jedna lampa nie przepali się.

  • Zadanie 2. Pomieszczenie oświetla latarnia z trzema lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,3. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najmniej jedna lampa nie przepali się.

  • Zadanie 3. W sklepie jest dwóch sprzedawców. Każdy z nich jest zajęty klientem z prawdopodobieństwem 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że w przypadkowa chwila czasie obaj sprzedawcy są zajęci w tym samym czasie (należy wziąć pod uwagę, że klienci przychodzą niezależnie od siebie).

  • Zadanie 4. W sklepie jest trzech sprzedawców. Każdy z nich jest zajęty klientem z prawdopodobieństwem 0,2. Znajdź prawdopodobieństwo, że w losowym momencie wszyscy trzej sprzedawcy będą jednocześnie zajęci (załóż, że klienci przychodzą niezależnie od siebie).

  • Zadanie 5: Na podstawie opinii klientów Michaił Michajłowicz ocenił wiarygodność dwóch sklepów internetowych. Prawdopodobieństwo, że żądany produkt zostanie dostarczony ze sklepu A wynosi 0,81. Prawdopodobieństwo, że ten produkt zostanie dostarczony ze sklepu B wynosi 0,93. Michaił Michajłowicz zamówił towary z obu sklepów jednocześnie. Zakładając, że sklepy internetowe działają niezależnie od siebie, oblicz prawdopodobieństwo, że żaden sklep nie dostarczy produktu.

  • Zadanie 6: Jeśli arcymistrz A. gra białym, to wygrywa z arcymistrzem B. z prawdopodobieństwem 0,6. Jeżeli A. gra czarnymi, to A. wygrywa z B. z prawdopodobieństwem 0,4. Arcymistrzowie A. i B. rozgrywają dwie partie, a w drugiej grze zmieniają kolor pionków. Znajdź prawdopodobieństwo, że A. wygra w obu przypadkach.

5 Grupa: Problemy związane ze stosowaniem obu formuł.


  • Ćwiczenie 1: U wszystkich pacjentów z podejrzeniem zapalenia wątroby należy wykonać badanie krwi. Jeśli test wykaże zapalenie wątroby, wynik testu nazywa się pozytywnym. Analiza pokazuje, że u pacjentów z zapaleniem wątroby wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,9. Jeżeli pacjent nie choruje na zapalenie wątroby, test może dać wynik fałszywie dodatni z prawdopodobieństwem 0,02. Wiadomo, że 66% pacjentów przyjętych z podejrzeniem zapalenia wątroby w rzeczywistości ma zapalenie wątroby. Znajdź prawdopodobieństwo, że pacjent przyjęty do kliniki z podejrzeniem zapalenia wątroby uzyska wynik pozytywny.

  • Zadanie 2. Kowboj Jan ma 0,9 szans na trafienie muchy w ścianę, jeśli wystrzeli z rewolweru z zerem. Jeśli John wystrzeli z rewolweru bez celownika, trafi w muchę z prawdopodobieństwem 0,2. Na stole leży 10 rewolwerów, z których tylko 4 zostały wystrzelone. Kowboj Jan widzi muchę na ścianie, losowo chwyta pierwszy napotkany rewolwer i strzela do muchy. Znajdź prawdopodobieństwo, że Jan nie trafi.

Zadanie 3:

W niektórych obszarach obserwacje wykazały:

1. Jeśli czerwcowy poranek jest pogodny, prawdopodobieństwo deszczu w tym dniu wynosi 0,1. 2. Jeśli czerwcowy poranek jest pochmurny, prawdopodobieństwo deszczu w ciągu dnia wynosi 0,4. 3. Prawdopodobieństwo, że poranek w czerwcu będzie pochmurny, wynosi 0,3.

Znajdź prawdopodobieństwo, że w losowy dzień w czerwcu nie będzie deszczu.


Zadanie 4. Podczas ostrzału artyleryjskiego system automatyczny oddaje strzał w cel. Jeśli cel nie zostanie zniszczony, system odda drugi strzał. Strzały powtarzają się aż do zniszczenia celu. Prawdopodobieństwo zniszczenia określonego celu pierwszym strzałem wynosi 0,3, a przy każdym kolejnym strzale 0,9. Ile strzałów będzie potrzebnych, aby prawdopodobieństwo zniszczenia celu wynosiło co najmniej 0,96?

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Przypadkowe wydarzenie – każde zdarzenie, które może, ale nie musi, nastąpić w wyniku jakiegoś doświadczenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia R równy stosunkowi liczby korzystnych wyników k do liczby możliwych wyników N, tj.

p=\frac(k)(n)

Wzory na dodawanie i mnożenie teorii prawdopodobieństwa

Zdarzenie \bar(A) zwany przeciwieństwo zdarzenia A, jeśli zdarzenie A nie miało miejsca.

Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń jest równa jeden, tj.

P(\bar(A)) + P(A) =1

  • Prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być większe niż 1.
  • Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0, to zdarzenie nie nastąpi.
  • Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 1, to nastąpi.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa:

„Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń”.

P(A+B) = P(A) + P(B)

Prawdopodobieństwo kwoty dwie wspólne imprezy równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez uwzględnienia ich łącznego wystąpienia:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa

„Prawdopodobieństwo zajścia dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw jednego z nich i prawdopodobieństwa warunkowego drugiego, obliczonego przy założeniu, że nastąpiło pierwsze”.

P(AB)=P(A)*P(B)

Wydarzenia są nazywane niekompatybilny, jeżeli pojawienie się jednego z nich wyklucza pojawienie się pozostałych. Oznacza to, że może się zdarzyć tylko jedno konkretne wydarzenie, lub inny.

Wydarzenia są nazywane wspólny, jeżeli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego.

Dwa losowe zdarzenia Nazywa się A i B niezależny, jeżeli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. W W przeciwnym razie zdarzenia A i B nazywane są zależnymi.

W centrum handlowe dwa identyczne ekspresy sprzedają kawę. Serwis maszyn odbywa się wieczorami po zamknięciu centrum. Wiadomo, że prawdopodobieństwo zdarzenia „Do wieczora w pierwszym ekspresie skończy się kawa” wynosi 0,25. Prawdopodobieństwo zdarzenia „Do wieczora w drugim ekspresie skończy się kawa” jest takie samo. Prawdopodobieństwo, że do wieczora w obu ekspresach zabraknie kawy, wynosi 0,15. Znajdź prawdopodobieństwo, że do wieczora w obu ekspresach pozostanie kawa.

Rozwiązanie.

Rozważ wydarzenia

A = w pierwszym ekspresie skończy się kawa,

B = w drugim ekspresie skończy się kawa.

A B = kawa skończy się w obu ekspresach,

A + B = kawa skończy się w co najmniej jednym ekspresie.

Według warunku P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

Zdarzenia A i B są wspólne, prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,25 + 0,25 - 0,15 = 0,35.

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego, że kawa pozostanie w obu ekspresach, wynosi 1 − 0,35 = 0,65.

Odpowiedź: 0,65.

Podajmy inne rozwiązanie.

Prawdopodobieństwo, że kawa pozostanie w pierwszym ekspresie wynosi 1 − 0,25 = 0,75. Prawdopodobieństwo, że kawa pozostanie w drugim ekspresie wynosi 1 − 0,25 = 0,75. Prawdopodobieństwo, że kawa pozostanie w pierwszym lub drugim ekspresie wynosi 1 − 0,15 = 0,85. Ponieważ P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), mamy: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, skąd bierze się wymagane prawdopodobieństwo? X = 0,65.

Notatka.

Należy pamiętać, że zdarzenia A i B nie są niezależne. Rzeczywiście prawdopodobieństwo wystąpienia niezależnych zdarzeń byłoby równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, jednak zgodnie z warunkiem prawdopodobieństwo to wynosi 0,15.

Elena Aleksandrowna Popowa 10.10.2018 09:57

Ja, profesor nadzwyczajny, kandydat nauki pedagogiczne, uważam za CAŁKOWICIE GŁUPIE I ​​śmieszne uwzględnianie zadań związanych z wydarzeniami niezależnymi dla uczniów. Nauczyciele NIE ZNAJĄ tego działu - byłem zapraszany do prowadzenia wykładów w telewizji na kursach nauczycielskich. Ta sekcja nie znajduje się i nie może znajdować się w programie. Nie ma potrzeby wymyślać metod bez uzasadnienia. ZADANIA tego typu można po prostu wyeliminować. Ogranicz się do KLASYCZNEJ DEFINICJI PRAWdopodobieństw. Tak, a potem najpierw się tego przestudiuj książki szkolne- zobacz, co napisali na ten temat autorzy. Spójrz na piątą klasę Zubarevy. Nie zna nawet symboli i podaje prawdopodobieństwo w procentach. Ucząc się z takich podręczników, uczniowie nadal wierzą, że prawdopodobieństwo to procent. Dużo ciekawe zadania NA klasyczna definicja prawdopodobieństwa. O to powinni pytać uczniowie. Oburzenie nauczycieli akademickich na TWOJĄ głupotę w wprowadzaniu takich zadań nie ma granic.

Zadania teorii prawdopodobieństwa wraz z rozwiązaniami

1. Kombinatoryka

Problem 1 . W grupie jest 30 uczniów. Należy wybrać naczelnika, jego zastępcę i organizatora związkowego. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Na przewodniczącego może zostać wybrany dowolny z 30 uczniów, na zastępcę któregokolwiek z pozostałych 29 uczniów, a na organizatora związkowego można wybrać dowolnego z pozostałych 28 uczniów, tj. n1=30, n2=29, n3=28. Zgodnie z zasadą mnożenia Łączna N sposobów wyboru naczelnika, jego zastępcy i lidera związkowego wynosi N=n1’n2’n3=30’29’28=24360.

Problem 2 . Dwóch listonoszy musi dostarczyć 10 listów pod 10 adresów. Na ile sposobów mogą rozdzielić pracę?

Rozwiązanie. Pierwszy list ma n1=2 alternatyw – albo zostaje zabrany do adresata przez pierwszego listonosza, albo przez drugiego. Dla drugiej litery również istnieją alternatywy n2=2 itd., czyli n1=n2=…=n10=2. Zatem, zgodnie z zasadą mnożenia, całkowita liczba sposobów dystrybucji listów między dwoma listonoszami jest równa

Problem 3. W pudełku znajduje się 100 części, z czego 30 to części 1. klasy, 50 to części 2., reszta to 3. klasy. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka jedną część klasy 1 lub 2?

Rozwiązanie. Część pierwszego stopnia można wyodrębnić na n1=30 sposobów, część drugiego stopnia można wyodrębnić na n2=50 sposobów. Zgodnie z regułą sumy istnieje N=n1+n2=30+50=80 sposobów wyodrębnienia jednej części pierwszej lub drugiej klasy.

Problem 5 . Kolejność występów 7 uczestników konkursu ustalana jest w drodze losowania. Ile różne opcje Czy w tej sytuacji można losować?

Rozwiązanie. Każdy wariant losowania różni się jedynie kolejnością uczestników konkursu, czyli jest permutacją 7 elementów. Ich liczba jest równa

Problem 6 . W konkursie bierze udział 10 filmów w 5 nominacjach. Ile jest możliwości podziału nagród, jeśli dla wszystkich kategorii zostaną ustalone poniższe zasady? różny nagrody?

Rozwiązanie. Każda z opcji podziału nagród jest kombinacją 5 filmów z 10, różniących się od pozostałych kombinacji zarówno kompozycją, jak i kolejnością. Ponieważ każdy film może otrzymać nagrody w jednej lub kilku kategoriach, te same filmy mogą być powtarzane. Dlatego liczba takich kombinacji jest równa liczbie miejsc z powtórzeniami 10 elementów po 5:

Problem 7 . W turnieju szachowym bierze udział 16 osób. Ile gier należy rozegrać w turnieju, jeśli jedna gra musi zostać rozegrana pomiędzy dowolnymi dwoma uczestnikami?

Rozwiązanie. W każdej grze bierze udział dwóch uczestników z 16 i różni się od pozostałych jedynie składem par uczestników, czyli jest kombinacją 16 elementów po 2. Ich liczba jest równa

Problem 8 . W warunkach zadania 6 określ, ile istnieje możliwości podziału nagród, jeśli dla wszystkich nominacji ten sam nagrody?

Rozwiązanie. Jeżeli dla każdej nominacji zostaną ustalone te same nagrody, to kolejność filmów w kombinacji 5 nagród nie ma znaczenia, a liczba opcji to liczba kombinacji z powtórzeniami 10 elementów po 5, określona wzorem

Zadanie 9. Ogrodnik musi w ciągu trzech dni zasadzić 6 drzew. Na ile sposobów może rozłożyć swoją pracę na dni, jeśli sadzi co najmniej jedno drzewo dziennie?

Rozwiązanie. Załóżmy, że ogrodnik sadzi drzewa w rzędzie i może je zabrać różne rozwiązania dotyczące tego, które drzewo zatrzymać pierwszego dnia, a które drugiego dnia. Można więc sobie wyobrazić, że drzewa oddzielone są dwiema przegrodami, z których każda może stanąć w jednym z 5 miejsc (pomiędzy drzewami). Przegrody muszą być tam pojedynczo, bo inaczej któregoś dnia nie zostanie posadzone ani jedno drzewo. Zatem musisz wybrać 2 elementy z 5 (bez powtórzeń). Dlatego liczba sposobów.

Problem 10. Ile jest liczb czterocyfrowych (prawdopodobnie zaczynających się od zera), których suma cyfr daje 5?

Rozwiązanie. Wyobraźmy sobie liczbę 5 jako sumę kolejnych cyfr podzieloną na grupy przegródkami (każda grupa w sumie tworzy kolejną cyfrę liczby). Oczywiste jest, że potrzebne będą 3 takie przegrody.Jest 6 miejsc na przegrody (przed wszystkimi jednostkami, między nimi i po). Każde miejsce może być zajęte przez jedną lub więcej przegród (w ten ostatni przypadek nie ma między nimi jednostek, a odpowiadająca im suma wynosi zero). Rozważmy te miejsca jako elementy zbioru. Dlatego musisz wybrać 3 elementy z 6 (z powtórzeniami). Dlatego wymagana liczba liczb

Problem 11 . Na ile sposobów można podzielić grupę 25 uczniów na trzy podgrupy A, B i C, składające się odpowiednio z 6, 9 i 10 osób?

Rozwiązanie. Tutaj n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" szerokość="160" wysokość="41">

Problem 1 . W pudełku jest 5 pomarańczy i 4 jabłka. Wybierane są losowo 3 owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy owoce to pomarańcze?

Rozwiązanie. Podstawowymi wynikami są tutaj zestawy zawierające 3 owoce. Ponieważ kolejność owoców jest obojętna, ich wybór uznamy za nieuporządkowany (i niepowtarzający się)..gif" szerokość="21" wysokość="25 src=">. Liczba korzystnych wyników jest równa liczba sposobów wyboru 3 pomarańczy z dostępnych 5, tj. gif" szerokość="161 wysokość=83" wysokość="83">.

Problem 2 . Nauczyciel prosi każdego z trzech uczniów, aby pomyśleli o dowolnej liczbie od 1 do 10. Zakładając, że wybór dowolnej liczby przez każdego ucznia jest jednakowo możliwy, oblicz prawdopodobieństwo, że któryś z nich będzie miał tę samą liczbę.

Rozwiązanie. Najpierw obliczmy całkowitą liczbę wyników. Pierwszy uczeń wybiera jedną z 10 liczb i ma n1=10 możliwości, drugi również ma n2=10 możliwości, a na koniec trzeci również ma n3=10 możliwości. Zgodnie z zasadą mnożenia całkowita liczba dróg wynosi: n= n1’n2’n3=103 = 1000, czyli cała przestrzeń zawiera 1000 wyników elementarnych. Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, wygodnie jest przejść do zdarzenia odwrotnego, tj. policzyć liczbę przypadków, w których wszyscy trzej uczniowie myślą różne liczby. W pierwszym nadal jest m1=10 sposobów na wybranie liczby. Drugi uczeń ma teraz tylko m2=9 możliwości, gdyż musi uważać, aby jego liczba nie pokrywała się z zamierzoną liczbą pierwszego ucznia. Trzeci uczeń jest jeszcze bardziej ograniczony w swoim wyborze – ma tylko m3=8 możliwości. Zatem całkowita liczba kombinacji wymyślonych liczb, w których nie ma dopasowań, wynosi m=10×9×8=720. Przypadków dopasowań jest 280. Zatem pożądane prawdopodobieństwo wynosi P = 280/1000 = 0,28.

Problem 3 . Znajdź prawdopodobieństwo, że w liczbie 8-cyfrowej dokładnie 4 cyfry są takie same, a pozostałe są różne.

Rozwiązanie. Zdarzenie A=(ośmiocyfrowa liczba zawiera 4 te same liczby). Z warunków zadania wynika, że ​​liczba zawiera pięć różnych cyfr, jedna z nich się powtarza. Liczba sposobów wyboru jest równa liczbie sposobów wyboru jednej cyfry z 10 cyfr..gif" szerokość="21" wysokość="25 src="> . Następnie liczba korzystnych wyników. Całkowita liczba sposoby tworzenia liczb 8-cyfrowych to |W|=108 Wymagane prawdopodobieństwo jest równe

Problem 4 . Sześciu klientów losowo kontaktuje się z 5 firmami. Znajdź prawdopodobieństwo, że nikt nie skontaktuje się z przynajmniej jedną firmą.

Rozwiązanie. Rozważmy zdarzenie odwrotne https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif"width="195" height="41">. Łączna liczba sposobów dystrybucji 6 klientów w 5 firmach. Stąd . Stąd, .

Problem 5 . Niech w urnie będzie N kul, z których M jest białych, a N–M – czarnych. Z urny wylosowano n kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie dokładnie m białych kul.

Rozwiązanie. Ponieważ kolejność elementów nie ma tu znaczenia, liczba wszystkich możliwych zbiorów o objętości n N elementów jest równa liczbie kombinacji m kul białych, n–m czarnych, a zatem wymagane prawdopodobieństwo jest równe P(A) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image031_2.gif" szerokość="167" wysokość="44">.

Problem 7 (problem ze spotkaniem) . Dwie osoby A i B umówiły się na spotkanie w określonym miejscu pomiędzy godziną 12 a 13. Pierwsza osoba, która przyjdzie, czeka na drugą osobę przez 20 minut, a następnie wychodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania osób A i B, jeśli przybycie każdej z nich może nastąpić losowo w określonej godzinie, a momenty przybycia są niezależne?

Rozwiązanie. Oznaczmy moment przybycia osoby A przez x, a osoby B przez y. Aby spotkanie się odbyło konieczne i wystarczające jest x-yô £20. Przedstawmy x i y jako współrzędne na płaszczyźnie, wybierając minutę jako jednostkę skali. Wszystkie możliwe wyniki są reprezentowane przez punkty kwadratu o boku 60, a te sprzyjające spotkaniu znajdują się w zacienionym obszarze. Pożądane prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi pola zacienionej figury (ryc. 2.1) do pola całego kwadratu: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.

3. Podstawowe wzory teorii prawdopodobieństwa

Problem 1 . W pudełku znajduje się 10 czerwonych i 5 niebieskich guzików. Wyciągane są losowo dwa przyciski. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przyciski będą tego samego koloru? ?

Rozwiązanie. Zdarzenie A=(wyjęte przyciski tego samego koloru) można przedstawić jako sumę, gdzie zdarzenia i oznaczają wybór przycisków czerwonych i koloru niebieskiego odpowiednio. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch czerwonych przycisków jest równe i prawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch niebieskich przycisków https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" szerokość="19 wysokość=23" wysokość= "23">.gif" szerokość="249" wysokość="83">

Problem 2 . Wśród pracowników firmy 28% mówi po angielsku, 30% po niemiecku, 42% po francusku; Angielski i niemiecki – 8%, angielski i francuski – 10%, niemiecki i francuski – 5%, wszystkie trzy języki – 3%. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik firmy: a) zna język angielski lub niemiecki; b) zna język angielski, niemiecki lub francuski; c) nie zna żadnego z wymienionych języków.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A, B i C zdarzenia, w których losowo wybrany pracownik firmy mówi odpowiednio po angielsku, niemiecku lub francusku. Oczywiście odsetek pracowników firmy posługujących się określonymi językami określa prawdopodobieństwo wystąpienia tych zdarzeń. Otrzymujemy:

a) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;

b) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0, 3+ 0,42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

c) 1-P(AÈBÈC)=0,2.

Problem 3 . Rodzina ma dwójkę dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że najstarszym dzieckiem będzie chłopiec, jeśli wiadomo, że w rodzinie są dzieci obu płci?

Rozwiązanie. Niech A=(najstarsze dziecko to chłopiec), B=(w rodzinie są dzieci obu płci). Załóżmy, że narodziny chłopca i narodziny dziewczynki są zdarzeniami równie prawdopodobnymi. Jeżeli narodziny chłopca oznaczymy literą M, a narodziny dziewczynki literą D, to przestrzeń wszystkich elementarnych wyników składa się z czterech par: . W tej przestrzeni tylko dwa wyniki (MD i DM) odpowiadają zdarzeniu B. Zdarzenie AB oznacza, że ​​w rodzinie są dzieci obu płci. Najstarsze dziecko to chłopiec, zatem drugie (najmłodsze) dziecko to dziewczynka. Zdarzenie to AB odpowiada jednemu wynikowi – MD. Zatem |AB|=1, |B|=2 i

Problem 4 . Mistrz, mając 10 części, z czego 3 są niestandardowe, sprawdza części jedna po drugiej, aż natrafi na standardową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sprawdzi dokładnie dwa szczegóły?

Rozwiązanie. Zdarzenie A=(mistrz sprawdził dokładnie dwie części) oznacza, że ​​podczas takiego sprawdzenia pierwsza część okazała się niestandardowa, a druga standardowa. Oznacza to, gdzie =(pierwsza część okazała się niestandardowa) i =(druga część była standardowa). Oczywiście prawdopodobieństwo zdarzenia A1 jest również równe , gdyż przed przystąpieniem do drugiej części mistrzowi pozostało 9 części, z czego tylko 2 były niestandardowe, a 7 standardowe. Z twierdzenia o mnożeniu

Problem 5 . Jedno pudełko zawiera 3 białe i 5 czarnych kul, drugie pudełko zawiera 6 białych i 4 czarne kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że z co najmniej jednego pudełka zostanie wylosowana kula biała, jeśli z każdego pudełka zostanie wylosowana jedna kula.

Rozwiązanie. Zdarzenie A=(wyjęta jest biała kula z co najmniej jednego pudełka) można przedstawić jako sumę, gdzie zdarzenia oznaczają wystąpienie biała kula odpowiednio z pierwszego i drugiego pola..gif" szerokość="91" wysokość="23">..gif" szerokość="20" wysokość="23 src=">.gif" szerokość="480" wysokość= „23”>.

Problem 6 . Do egzaminu z określonego przedmiotu z grupy 30 osób przystępuje trzech egzaminatorów, przy czym pierwszy egzaminuje 6 uczniów, drugi – 3 uczniów, a trzeci – 21 uczniów (studenci wybierani są losowo z listy). Odmienny jest stosunek trzech egzaminatorów do słabo przygotowanych: szanse, że tacy uczniowie zdadzą egzamin u pierwszego nauczyciela wynoszą 40%, u drugiego tylko 10%, a u trzeciego – 70%. Znajdź prawdopodobieństwo, że słabo przygotowany student zda egzamin .

Rozwiązanie. Przyjmijmy hipotezy, że słabo przygotowany student odpowiedział odpowiednio pierwszemu, drugiemu i trzeciemu egzaminatorowi. Zgodnie z warunkami problemu

, , .

Niech zdarzenie A=(słabo przygotowany student zdał egzamin). Potem znowu, ze względu na warunki problemu

, , .

Według formuły pełne prawdopodobieństwo otrzymujemy:

Problem 7 . Firma posiada trzy źródła zaopatrzenia w komponenty - firmy A, B, C. Firma A stanowi 50% całości dostaw, B - 30% i C - 20%. Z praktyki wiadomo, że wśród części dostarczonych przez firmę A 10% jest wadliwych, przez firmę B - 5%, a przez firmę C - 6%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana część będzie odpowiednia?

Rozwiązanie. Niech wydarzeniem G będzie pojawienie się odpowiedniej części. Prawdopodobieństwa hipotez, że część dostarczyła firma A, B, C, wynoszą odpowiednio P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(C)=0,2. Warunkowe prawdopodobieństwa pojawienia się dobrej części są równe P(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94 (ponieważ prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych do pojawienia się wadliwa część). Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy:

P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923.

Problem 8 (patrz zadanie 6). Niech będzie wiadomo, że student nie zdał egzaminu, czyli otrzymał ocenę „niedostateczną”. Któremu z trzech nauczycieli najchętniej odpowiedział? ?

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo „porażki” jest równe . Musisz obliczyć prawdopodobieństwa warunkowe. Korzystając ze wzorów Bayesa otrzymujemy:

https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" szerokość="183" wysokość="44 src=">, .

Wynika z tego, że najprawdopodobniej słabo przygotowany student zdawał egzamin do trzeciego egzaminatora.

4. Powtarzane niezależne testy. Twierdzenie Bernoulliego

Problem 1 . Kostka do gry rzucony 6 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że szóstka zostanie wyrzucona dokładnie 3 razy.

Rozwiązanie. Rzut kostką sześć razy można traktować jako sekwencję niezależne testy z prawdopodobieństwem sukcesu („szóstki”) równym 1/6 i prawdopodobieństwem porażki 5/6. Wymagane prawdopodobieństwo obliczamy za pomocą wzoru .

Problem 2 . Monetą rzucamy 6 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb pojawi się nie więcej niż 2 razy.

Rozwiązanie. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe sumie prawdopodobieństw trzech zdarzeń, polegającej na tym, że herb nie pojawi się ani raz, ani raz, ani dwa razy:

P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" szerokość="445 wysokość=24" wysokość= "24">.

Problem 4 . Monetą rzucamy 3 razy. Znajdź najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów (herb).

Rozwiązanie. Możliwa wartość gdyż liczba sukcesów w trzech rozpatrywanych próbach wynosi m = 0, 1, 2 lub 3. Niech Am będzie zdarzeniem, w którym herb pojawi się m razy w trzech rzutach monetą. Korzystając ze wzoru Bernoulliego łatwo jest znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń Am (patrz tabela):

Z tej tabeli widać, że najbardziej prawdopodobne wartości to liczby 1 i 2 (ich prawdopodobieństwa wynoszą 3/8). Ten sam wynik można uzyskać z Twierdzenia 2. Rzeczywiście, n=3, p=1/2, q=1/2. Następnie

, tj. .

Zadanie 5. W wyniku każdej wizyty agenta ubezpieczeniowego dochodzi do zawarcia umowy z prawdopodobieństwem 0,1. Znajdź najbardziej prawdopodobną liczbę zawartych umów po 25 wizytach.

Rozwiązanie. Mamy n=10, p=0,1, q=0,9. Nierówność dla najbardziej prawdopodobnej liczby sukcesów przyjmuje postać: 25×0,1–0,9 mln GBP*25×0,1+0,1 lub 1,6 mln GBP*2,6 GBP. Ta nierówność ma tylko jedno rozwiązanie całkowite, a mianowicie m*=2.

Problem 6 . Wiadomo, że wskaźnik defektów dla pewnej części wynosi 0,5%. Inspektor sprawdza 1000 części. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie trzech wadliwych części? Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia co najmniej trzech wadliwych części?

Rozwiązanie. Mamy 1000 testów Bernoulliego z prawdopodobieństwem „sukcesu” p=0,005. Stosując przybliżenie Poissona dla λ=np=5 otrzymujemy

2) P1000(m3)=1-P1000(m<3)=1-»1-,

i P1000(3)”0,14; Р1000(m3)»0,875.

Problem 7 . Prawdopodobieństwo zakupu podczas wizyty klienta w sklepie wynosi p=0,75. Znajdź prawdopodobieństwo, że przy 100 wizytach klient dokona zakupu dokładnie 80 razy.

Rozwiązanie. W tym przypadku n=100, m=80, p=0,75, q=0,25. Znaleźliśmy , i wyznacz j(x)=0,2036, wówczas wymagane prawdopodobieństwo wynosi Р100(80)= .

Zadanie 8. Towarzystwo ubezpieczeniowe zawarło 40 tys. umów. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ubezpieczeniowego dla każdego z nich w ciągu roku wynosi 2%. Znajdź prawdopodobieństwo, że takich przypadków nie będzie więcej niż 870.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania n=40000, p=0,02. Znajdujemy np=800,. Aby obliczyć P(m £ 870), używamy twierdzenia całkowego Moivre’a-Laplace’a:

P(0 .

Z tabeli wartości funkcji Laplace'a znajdujemy:

P(0

Problem 9 . Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdym z 400 niezależnych badań wynosi 0,8. Znajdź liczbę dodatnią e taką, że z prawdopodobieństwem 0,99 wartość bezwzględna odchylenia względnej częstotliwości występowania zdarzenia od jego prawdopodobieństwa nie przekracza e.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania p=0,8, n=400. Korzystamy z wniosku z twierdzenia całkowego Moivre’a-Laplace’a: . Stąd, ..gif" szerokość="587" wysokość="41">

5. Dyskretne zmienne losowe

Problem 1 . W zestawie 3 kluczy do drzwi pasuje tylko jeden klucz. Klucze są przeszukiwane aż do znalezienia odpowiedniego klucza. Skonstruuj prawo dystrybucji dla zmienna losowa x – liczba przetestowanych kluczy .

Rozwiązanie. Liczba wypróbowanych kluczy mogła wynosić 1, 2 lub 3. Jeśli wypróbowano tylko jeden klucz, oznacza to, że ten pierwszy klucz od razu pasował do drzwi, a prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 1/3. Zatem, jeśli były 2 testowane klucze, tj. x=2, oznacza to, że pierwszy klucz nie zadziałał, ale drugi tak. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 2/3×1/2=1/3..gif" szerokość="100" wysokość="21"> Wynikiem jest następujący szereg rozkładów:

Problem 2 . Skonstruuj dystrybuantę Fx(x) dla zmiennej losowej x z zadania 1.

Rozwiązanie. Zmienna losowa x ma trzy wartości 1, 2, 3, które dzielą całą oś liczbową na cztery przedziały: . Jeśli x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Jeśli 1£x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Jeśli 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x

I wreszcie w przypadku x³3 nierówność x£x obowiązuje dla wszystkich wartości zmiennej losowej x, więc P(x

Otrzymaliśmy więc następującą funkcję:

Problem 3. Wspólne prawo rozkładu zmiennych losowych x i h podano za pomocą tabeli

Oblicz szczegółowe prawa rozkładu wielkości składowych x i h. Określ, czy są one zależne..gif" szerokość="423" wysokość="23 src=">;

https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" szerokość="376" wysokość="23 src=">.

Częściowy rozkład h otrzymuje się w podobny sposób:

https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" szerokość="229" wysokość="23 src=">.

Uzyskane prawdopodobieństwa można zapisać w tej samej tabeli naprzeciwko odpowiednich wartości zmiennych losowych:

Teraz odpowiedzmy na pytanie o niezależność zmiennych losowych x i h..gif" szerokość="108" wysokość="25 src="> w tej komórce. Przykładowo w komórce dla wartości x=-1 i h=1 prawdopodobieństwo wynosi 1/16, a iloczyn odpowiednich prawdopodobieństw cząstkowych 1/4×1/4 jest równy 1/16, czyli pokrywa się z wspólne prawdopodobieństwo. Warunek ten jest również testowany w pozostałych pięciu komórkach i okazuje się, że jest prawdziwy we wszystkich. Dlatego zmienne losowe x i h są niezależne.

Należy pamiętać, że jeśli nasz warunek został naruszony przynajmniej w jednej komórce, to ilości należy uznać za zależne.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo Zaznaczmy komórki, dla których warunek https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" szerokość="574" wysokość="23 src=">

Problem 4 . Niech zmienna losowa ξ ma następujące prawo rozkładu:

Oblicz wartość oczekiwana Mx, wariancja Dx i średnia odchylenie standardowe S.

Rozwiązanie. Z definicji matematyczne oczekiwanie x jest równe

Odchylenie standardowe https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" szerokość="51" wysokość="21">.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru . Mianowicie w każdej komórce tabeli mnożymy odpowiednie wartości i, mnożymy wynik przez prawdopodobieństwo pij i sumujemy to wszystko we wszystkich komórkach tabeli. W rezultacie otrzymujemy:

Problem 6 . Dla pary zmiennych losowych z Zadania 3 oblicz kowariancję cov(x, h).

Rozwiązanie. W poprzednim zadaniu obliczono już oczekiwanie matematyczne . Pozostaje policzyć I . Korzystając z praw dystrybucji cząstkowej otrzymanych przy rozwiązywaniu Zadania 3, otrzymujemy

; ;

i to oznacza, że

czego można było się spodziewać ze względu na niezależność zmiennych losowych.

Zadanie 7. Wektor losowy (x, h) przyjmuje wartości (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) i (0,–1) z jednakowym prawdopodobieństwem. Oblicz kowariancję zmiennych losowych x i h. Pokaż, że są zależni.

Rozwiązanie. Ponieważ P(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, wówczas Мx=3/5’0+1/5’1+1 /5’(–1)=0 i Мh=0;

М(xh)=0’0’1/5+1’0’1/5–1’0’1/5+0’1’1/5–0’1’1/5=0.

Otrzymujemy cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0, a zmienne losowe są nieskorelowane. Są jednak uzależnieni. Niech więc x=1 warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenie (h=0) jest równe Р(h=0|x=1)=1 i nie jest równe bezwarunkowemu Р(h=0)=3/5, czyli prawdopodobieństwu (ξ=0,η=0 ) nie jest równy iloczynowi prawdopodobieństw: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Dlatego x i h są zależne.

Problem 8 . Losowe wzrosty cen akcji dwóch spółek w dniu x i h wspólna dystrybucja, podane w tabeli:

Znajdź współczynnik korelacji.

Rozwiązanie. Najpierw obliczamy Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4. Następnie znajdujemy szczególne prawa rozkładu x i h:

Definiujemy Mx=0,5-0,5=0; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,22=0,96; cov(x, h)=0,4. Dostajemy

.

Zadanie 9. Losowe przyrosty cen akcji dwóch spółek dziennie mają wariancje Dx=1 i Dh=2, a ich współczynnik korelacji r=0,7. Znajdź wariancję przyrostu ceny portfela składającego się z 5 akcji pierwszej spółki i 3 akcji drugiej spółki.

Rozwiązanie. Korzystając z własności dyspersji, kowariancji oraz definicji współczynnika korelacji otrzymujemy:

Problem 10 . Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej podaje tabela:

Znajdź rozkład warunkowy i oczekiwanie warunkowe h przy x=1.

Rozwiązanie. Warunkowe oczekiwanie matematyczne to

Z warunków zadania znajdujemy rozkład składników h i x (ostatnia kolumna i Ostatni wiersz tabele).