Mulighet for å bruke komplekse tall i et matematikkkurs på videregående skole. Ekte eksempel: Rotasjoner

Tekstdel av publikasjonen

Innhold
Innledning………………………………………………………………………………………..3 Kapittel I. Fra historien komplekse tall…………………………………………………………4 Kapittel II. Grunnleggende om komplekse tallmetoden…………………………………………6 Kapittel III. Geometri av en trekant i komplekse tall………………………………12 Kapittel IV. Løsning Unified State Exam problemer og ulike olympiader ved bruk av komplekse tallmetoden…………………………………………………………………………....20 Konklusjon………………………………… ………………………………………………….24 Bibliografi………………………………………………………………………..25

Introduksjon
Den store betydningen av komplekse tall i matematikk og dens anvendelser er viden kjent. Algebraen til komplekse tall kan med hell brukes i elementær geometri, trigonometri, teori om bevegelse og likheter, samt innen elektroteknikk, ulike mekaniske og fysiske problemer. I planimetri lar metoden for komplekse tall deg løse problemer ved direkte beregning ved hjelp av ferdige formler. Dette er enkelheten til denne metoden, sammenlignet med vektor og koordinere metoder, ved metoden for geometriske transformasjoner, som krever at elevene har betydelig intelligens og lange søk. I flere årtusener har trekanten vært et symbol på geometri. Du kan til og med si at en trekant er et geometriatom. Enhver polygon kan deles inn i trekanter, og studiet av dens egenskaper kommer ned til å studere egenskapene til trekantene til komponentene. La oss se på hvordan den komplekse tallmetoden fungerer når du beviser egenskapene til en trekant fra skolekurs planimetri, samt for å løse problemer C-4 i Unified State Exam. 2

Kapittel I. Fra historien til komplekse tall,,
For første gang ble tilsynelatende imaginære mengder nevnt i det berømte verket "Great Art, or About" algebraiske regler» Cardano (1545), som en del av en formell løsning på problemet med å regne ut to tall som summeres til 10 og multiplisert gir 40. For denne oppgaven fikk han en kvadratisk ligning for ett av begrepene, og fant røttene: 5 + √ − 15 og 5 − √ − 15 . I en kommentar til avgjørelsen skrev han: «disse de mest komplekse mengdene ubrukelig, selv om det er veldig smart" og "Aritmetiske betraktninger blir mer og mer unnvikende, og når en grense like subtil som den er ubrukelig." Muligheten for å bruke imaginære størrelser når man løser en kubikkligning, i det såkalte irreduserbare tilfellet (når de reelle røttene til polynomet uttrykkes gjennom terningerøtter av imaginære mengder), ble først beskrevet av Bombelli (1572). Han var den første som beskrev reglene for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av komplekse tall, men anså dem fortsatt som en ubrukelig og utspekulert "oppfinnelse". Uttrykk som kan representeres i formen a + b √ − 1, som vises ved løsning av kvadratisk og kubikkligninger, begynte å bli kalt "imaginær" i XVI-XVII århundrer på foranledning av Descartes, som kalte dem det, og avviste deres virkelighet, og for mange andre store vitenskapsmenn XVIIårhundrer virket naturen og retten til eksistensen av imaginære mengder svært tvilsom, akkurat som de anså som tvilsom på den tiden irrasjonelle tall, og til og med negative verdier. Til tross for dette søkte matematikere dristig formelle metoder algebraer av reelle størrelser og til komplekse, oppnådde korrekte reelle resultater selv fra middels komplekse, og dette kunne ikke annet enn å begynne å inspirere til tillit. Lenge var det uklart om alle operasjoner på komplekse tall fører til komplekse eller reelle resultater, eller om for eksempel å trekke ut en rot kunne føre til oppdagelsen av en annen ny type tall. Problemet med å uttrykke røtter av grad n fra gitt nummer ble løst i verkene til Moivre (1707) og Cotes (1722). Symbolet for å betegne den imaginære enheten ble foreslått av Euler (1777, publisert 1794), som tok den første bokstaven i det latinske ordet for dette. imaginarius - imaginær. Han utvidet også alle standardfunksjoner, inkludert logaritmen, til det komplekse domenet. Euler uttrykte også ideen i 1751 om at feltet for komplekse tall er algebraisk lukket. D'Alembert (1747) kom til samme konklusjon, men det første strenge beviset på dette faktum tilhører Gauss (1799). Det var Gauss som skapte begrepet "komplekst tall" til utbredt bruk i 1831, selv om begrepet tidligere hadde blitt brukt i samme betydning av den franske matematikeren Lazare Carnot i 1803. 3
Den aritmetiske (standard) modellen av komplekse tall som par av reelle tall ble konstruert av Hamilton (1837); dette beviste konsistensen av egenskapene deres. Mye tidligere, i 1685, i hans verk "Algebra", viste Wallis (England) at komplekse røtter en kvadratisk ligning med reelle koeffisienter kan representeres geometrisk, ved punkter på et plan. Men det gikk upåaktet hen. Neste gang dukket en geometrisk tolkning av komplekse tall og operasjoner på dem opp i arbeidet til Wessel (1799). Den moderne geometriske representasjonen, noen ganger kalt "Argand-diagrammet", kom i bruk etter publiseringen av J. R. Argands arbeid i 1806 og 1814, som uavhengig gjentok Wessels konklusjoner. Begrepene "modul", "argument" og "konjugert tall" ble introdusert av Cauchy. Dermed ble det oppdaget at komplekse tall også egner seg for ren utførelse. algebraiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av vektorer på planet, noe som i stor grad endret vektoralgebra. 4

Kapittel II. Grunnleggende om den komplekse tallmetoden
[ 1 ]
,
[2], [3] [4] Geometrisk tolkning av komplekse tall Lengde på et segment Gitt en rektangulær Kartesisk system koordinater på planet, kan det komplekse tallet z = x+iy (i 2 = -1) være en-til-en assosiert med punktet M i planet med koordinatene x, y (fig. 1): z = x + iy ↔M (x, y) ↔M (z) . Tallet z kalles da den komplekse koordinaten til punktet M. Siden settet med punkter i det euklidiske planet er i en-til-en-korrespondanse med settet av komplekse tall, kalles dette planet også planet med komplekse tall. Opprinnelsen O til det kartesiske koordinatsystemet kalles initial- eller nullpunktet til planet med komplekse tall. Når = 0 er tallet z reelt. Reelle tall er representert av punkter på x-aksen, og det er derfor det kalles den reelle aksen. Ved x=0 er tallet z rent imaginært: z=iy. Imaginære tall er representert ved punkter på y-aksen, og det er derfor det kalles den imaginære aksen. Null er både et reelt og rent imaginært tall. Avstanden fra begynnelsen av O-planet til punktet M(z) kalles modulen til det komplekse tallet z og er betegnet med |z| eller r: | z | = r = | OM | = √ x 2 + y 2 Hvis φ er den orienterte vinkelen dannet av vektoren ⃗ OM med x-aksen, så per definisjon av sinus- og cosinusfunksjonen sin φ = y r, cos φ = x r 5
hvorfra x = r cos φ, y = r sin φ, og derfor z = r (cos φ + sin φ). Denne representasjonen av et komplekst tall z kalles its
trigonometri

cheskoe
form. Den opprinnelige representasjonen z=x+iy kalles
algebraisk
form av dette nummeret. På trigonometrisk representasjon vinkelen  kalles argumentet til et komplekst tall og er også betegnet med arg z: φ = arg z Hvis et komplekst tall z = x + iy er gitt, kalles tallet ´ z = x − iy
komplekst konjugat
(eller ganske enkelt
konjugerer
) til dette tallet z. Da er selvsagt tallet z også konjugert til tallet ´ z. Punktene M(z) og M 1 (´ z) er symmetriske om x-aksen Av likheten z = ´ z følger det at y = 0 og omvendt. Det betyr at
et tall lik

til konjugatet er ekte og omvendt.
Punkter med komplekse koordinater z og -z er symmetriske i forhold til startpunktet O. Punkter med komplekse koordinater z og − ´z er symmetriske i forhold til y-aksen. Fra likheten z = ´ z følger det at x = 0 og omvendt. Derfor er betingelsen z =− ´ z et kriterium for et rent imaginært tall. For et hvilket som helst tall z, åpenbart | z | = | ´z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
Sum og produkt
to konjugerte komplekse tall er reelle tall: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Et tall konjugert til en sum, produkt eller kvotient av kompleks 6
tall er henholdsvis sum, produkt eller kvotient av tall konjugert til gitte komplekse tall: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 Disse likhetene kan enkelt verifiseres ved å bruke formler for operasjoner på komplekse tall. Hvis a og b er de komplekse koordinatene til henholdsvis punkt A og B, så er tallet c = a + b koordinaten til punkt C, slik at ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (fig. 3). Et komplekst tall d = a − b tilsvarer et punkt D slik at ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Avstanden mellom punktene A og B er | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Siden ¿ z ∨ 2 = z ´ z , så ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
Ligningen
z ´ z = r 2
definerer en sirkel med sentrum

Om radius

r.
Relasjonen AC CB = λ, (λ ≠ − 1) hvor punktet C deler seg dette segmentet AB, uttrykkes gjennom de komplekse koordinatene til disse punktene som følger: λ = c − a b − c, λ = ´ λ, hvorfra c = a + λb 1 + λ (3) For λ = 1 er punktet C midtpunktet av segmentet AB, og omvendt. Da: c = 1 2 (a + b) (4) Multiplikasjon av komplekse tall Multiplikasjon av komplekse tall utføres i henhold til formelen, Det vil si | a b | = | en || b | , og 7
Parallelisme og perpendikularitet Kollinearitet av tre punkter La punktene A(a) og B(b) gis på planet av komplekse tall. Vektorene ⃗ OA og ⃗ OB er co-dirigert hvis og bare hvis arg a = arg b, dvs. når arg a – arg b=arg a b =0 (ved deling av komplekse tall, trekkes argumentet til divisoren fra argumentet til utbytte). Det er også åpenbart at disse vektorene er rettet i motsatte retninger hvis og bare hvis arg a - arg b= arg a b = ± π. Komplekse tall med argumentene 0, π, - π er reelle.
Kollinearitetskriterium for punkt O, A, B:
For at punktene A(a) og B(b) skal være kollineære med startpunktet O, er det nødvendig og tilstrekkelig at kvotienten a b er et reelt tall, dvs. a b = ´ a ´ b eller a ´ b = ´ a b (6 ) Ta nå punktene A(a), B(b), C(c), D(d). Vektorer ⃗ BA og ⃗ DC collie er ikke-ære hvis og bare hvis punktene definert av kompleks tallene a-b og с-d, er kollineære med begynnelsen O. Merk: 1. Basert på (6) har vi: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (c - d); (8) 2. Hvis punktene A, B, C, D tilhører enhetssirkelen z ´ z = 1, så er ´ a = 1 a; ´b = 1 b; 'c = 1 c; ´ d = 1 d og derfor har betingelse (8) formen: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Kollineariteten til punktene A, B, C er preget av kollineariteten til vektorene ⃗AB og ⃗AC. Ved å bruke (8) får vi: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) Dette er kriteriet for at punktene A, B, C skal høre til til samme rette linje. Det kan representeres i den symmetriske formen a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
Hvis punktene A og B tilhører enhetssirkelen z ´ z = 1, så er ´ a = 1 a; ´ b = 1 b og derfor transformeres hver av relasjonene (10) og (11) (etter reduksjon med (a-b) til følgende: c + ab ´ c = a + b (12) Punktene A og B er faste, og punktet Vi vil betrakte C som en variabel, og redesigne dens koordinat som z. Da vil hver av de oppnådde relasjonene (10), (11), (12) være en ligning av den rette linjen AB: (´ a − ´ b). z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0 , (10a) z + ab ´ z = a + b (12a) Spesielt den direkte OA har ligningen a ´ z = ´ a z er rent imaginære Derfor er OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b eller OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) Perpendikulæriteten til segmentene AB og CD bestemmes av likheten (a. − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) Spesielt når punktene A, B, C, D tilhører enhetssirkelen z ´ z = 1 , så forenkles avhengighet (14): ab + cd = 0 (15) Skalarproduktet av vektorer uttrykkes. skalært produkt vektorer ⃗ OA og ⃗ OB gjennom de komplekse koordinatene a og b til punktene A og B. La a=x 1 +iy 1, b=x 2 +iy 2 . Da er a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Så, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
La nå fire bli gitt vilkårlige poeng A(a), B(b), C(c), D(d) ved deres komplekse koordinater. Så 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Vinkler La oss bli enige om å betegne med symbolet ∠ (AB ,CD) den positivt orienterte vinkelen gjennom hvor vektoren ⃗ må roteres AB slik at den blir samrettet med vektoren ⃗ CD. Deretter, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d − c || b − a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d − c || b − a | (19) Skjæringspunkt for sekanter til en sirkel Hvis punktene A, B, C og D ligger på sirkelen z ´ z = 1, blir den komplekse koordinaten til skjæringspunktet funnet av formelen ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Hvis AB er vinkelrett på CD, så er z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Skjæringspunkt for tangentene til sirkelen 10
Den komplekse koordinaten til skjæringspunktet for tangentene til sirkelen z ´ z =1 i punktene A(a) og B(b) er funnet av formelen z= 2ab a + b (22) Ortogonal projeksjon av et punkt på en rett linje Ortogonal projeksjon av et punkt M(m) på en rett linje AB, hvor A(a) og B(b) finnes ved formelen I tilfellet når A og B tilhører enhetssirkelen z= 1 2 (a + b + m - cb m) .
Kapittel III.

Trekantgeometri i komplekse tall
På planet med komplekse tall er en trekant definert av tre komplekse tall som tilsvarer toppene. Centroid og ortosenter av en trekant. [ 2 ] Det er kjent at for tyngdepunktet G (skjæringspunktet for medianene) til trekanten ABC og ethvert punkt O er følgende likhet sann: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Derfor beregnes den komplekse koordinaten g til tyngdepunktet G ved formelen g = 1 3 (a + b + c) (23) La oss uttrykke h den komplekse koordinaten til ortosenteret H til trekanten ABC gjennom koordinatene a, b, c av toppene. La linjene AH, BH, CH krysse trekantens omsirkel i henholdsvis punktene A1, B1, C1. La denne sirkelen ha ligningen z ´ z =1, så har vi ifølge (15): a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c Ved formel (20) h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
Hvor h=a+b+c kommer fra. (24) Det resulterende uttrykket inkluderer koordinatene til trekantens hjørner symmetrisk, derfor passerer den tredje høyden til trekanten gjennom skjæringspunktet til de to første Lignende trekantene [2,1] Trianglene ABC og A 1 B 1 C 1 er like og identisk orienterte (likhet av den første typen), hvis B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC og vinklene B 1 A 1 C 1 og BAC er like (orienterte vinkler). Ved å bruke komplekse tall kan disse likhetene skrives som følger: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 =arg c − a b − a . De to likhetene tilsvarer én med 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) hvor σ er et komplekst tall, |σ|=k-likhetskoeffisient. Hvis σ er reell, så er c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , hvor AC║A 1 C 1. Følgelig er trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 homotetiske. Relasjon (25) er nødvendig og tilstrekkelig tilstand slik at trekantene ABC og A 1 B 1 C 1 er like og likt orientert. Det kan gis en symmetrisk form ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Like trekanter Hvis | σ | = 1, da er trekantene ABC og A 1 B 1 C 1 like. Da er relasjon (25) et tegn på likhet av identisk orienterte trekanter, og relasjon (26) er et tegn på likhet av motsatt orienterte trekanter. Vanlige trekanter Hvis du krever at en orientert trekant ABC var lik orientert trekant BCA, så vil trekant ABC være vanlig. 12
Derfor, fra (25) får vi en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at trekant ABC skal være regulær (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Areal av trekanten (bevist av forfatteren) Vi utleder formel for arealet S av en positivt orientert trekant ABC: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) eller S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) Hvis trekant ABC innskrevet i sirkelen z ´ z = 1, så transformeres formel (28) til formen: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) Teorem om midtlinjen til en trekant (bevist av forfatteren)
Teorem
. midtlinje av trekanten er parallell med grunnflaten og lik halvparten av den. Bevis. La punktene M og N være midtpunktene til sidene AB og BC, da er m = b 2 ; n = b + c 2. Siden z 2 =z ´ z, så MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, derfor er 4MN 2 = AC 2 eller 2MN=AC Betingelse (8) for kollinearitet av vektorer MN og AC tilfredsstilt , og derfor MN ║AC. Thales 'teorem (bevist av forfatteren)
Teorem
. Hvis parallelle linjer på den ene siden av en vinkel avskjærer like segmenter, så avskjærer de like segmenter på den andre siden av vinkelen. Bevis La oss anta at c=kb. Så hvis BD||CE, så har vi (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) Åpning av parentes og bringe lignende vilkår, får vi ligningen b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d Ved å erstatte c med kb og ´ c med k ´ b , får vi bk ´ b -2b ´ d -dk ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . Hvis vi tar med lignende ledd igjen og flytter alt til en side, får vi 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0. Vi tar den ut felles multiplikator og vi får 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0. Derfor k=2, dvs. c=2b. På samme måte er det bevist at f=3b, osv. Pythagoras setning ( bevist av forfatteren) B høyre trekant kvadratet av hypotenusen lik summen firkantede ben 14
Bevis. Avstanden mellom punktene B og C er lik BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b. Siden |z| 2 = z ´ z , deretter AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b Siden b er et reelt tall, dvs. b= ´ b , så er -a ´ b =− ab , så a = - ´ a, det vil si - ´ ab = ab Dermed er AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. Teoremet er bevist rett linje (bevist av forfatteren) La oss bevise at ortosenter, tyngdepunkt og omkretssenter av trekanten ligger på den samme rette linjen (denne rette linjen kalles Euler rette linje), og OG = 1/2GH 15.
Bevis: Punkt G(g) er tyngdepunktet til trekanten ABC, H(h) er ortosenteret, og O(o) er senteret i trekantens omskrevne sirkel. For at disse punktene skal være kollineære, må likhet (10) være oppfylt: (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 La oss ta punkt O som opprinnelsen, deretter g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) kompleks koordinat av ortosenteret beregnes i henhold til formel (24) h=a+b+c, (30a) og tyngdepunktet i henhold til formel (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Erstatter til ( 30), får vi 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿))=0 Likhet (10) er oppfylt, derfor ligger tyngdepunktet, ortosenteret og midten av den omskrevne trekanten på samme linje OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a. +b+c)= 2 3 (a+b+c) Vi fikk, at OG= 1 2 GH Teoremet er bevist 16.
Eulers sirkel (nipunktssirkel). Bevist av forfatteren Tenk på triangel ABC. La oss bli enige om at‌ | OA | = | OB | = | OC | =1, dvs. alle hjørnene i trekanten tilhører enhetssirkelen z ´ z = 1 (senteret av den omskrevne sirkelen O er origo, og radius er lengdeenheten). La oss bevise at basene til de tre høydene til en vilkårlig trekant, midtpunktene på dens tre sider og midtpunktene til de tre segmentene som forbinder dets toppunkter med ortosenteret ligger på samme sirkel, og sentrum er midtpunktet til segmentet OH , hvor H, husker, er ortosenteret til trekanten ABC. En slik sirkel kalles
Euler sirkel
. La punktene K, L og M være midtpunktene til sidene til trekanten ABC, punktene Q, N, P høydebasene, punktene F, E, D midtpunktene til tre segmenter som forbinder dens toppunkter med ortosenteret. La oss bevise at punktene D, E, F, K, L, M, N, P, Q tilhører den samme sirkelen Tilordne de tilsvarende komplekse koordinatene til punktene: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2, o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2; e = 2 c + a + b2; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c), q = 1 2 (a + c + b − ac b), p = 1 2 (c + b + a − cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | en 2 | 01M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | en 2 | ,O1E = | o 1 − e | = | c 2 | ,O1F = | o 1 − f | = | b 2 | O1N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | en || b | | c | , O 1 Q = 1 2 | en || c | | b | 01F= 12 | b || c | | en | . 17
Fordi trekant ABC er skrevet inn i sirkelen z ´ z = 1, deretter | en | = | b | = | c | = 1,→ | en 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | en || b | | c | = 1 2 | en || c | | b | = 1 2 | b || c | | en | = 1 2 Altså, punktene D, E, F, K, L, M, N, Q, F tilhører den samme sirkelen Gauss' teorem Hvis en linje skjærer linjene som inneholder sidene BC, CA, AB i henholdsvis trekant ABC, kl. punktene A 1, B 1 , C 1, så er midtpunktene til segmentene AA 1, BB 1, СС 1 kollineære bevis. Ved å bruke (11) skriver vi betingelsene for kollineariteten til tripletter av punktene AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1              s av M b c a b (1, p) segmentene AA 1, BB 1, CC 1 , så må vi vise at 0) () () (      n m p m p n p n m (32) Siden), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c c p b b n a a m       så tilsvarer likheten som skal bevises (31) dette: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1                b b a a c c a c c b b c b b a a eller etter multiplikasjon: 0) () () () () () () () () () () () 1 1 1 1 1 b a c b a med b a c b a c a c b a med b a c b a c b c b a c b a c b a c a (33) Nå er det lett å se at (33) er oppnådd ved terminvis addisjon av likheter (31) Beviset er komplett

Kapittel IV.

Løse problemer med Unified State Exam (USE) og ulike olympiader ved hjelp av komplekse tallmetoden.
Oppgave 1. Unified State Examination -2012, P-4 På en linje som inneholder medianen AD til en rettvinklet trekant ABC med rett vinkel C, tas et punkt E, fjernt fra toppunktet A i en avstand lik 4. Finn arealet av triangel f.Kr. hvis BC=6, AC=4. Første løsning. I følge Pythagoras teorem AD=5. Da ED=1 La punkt E ligge på stråle AD. Medianen AD er lengre enn AE, og punktet E ligger innenfor trekant ABC (fig. 1). La oss slippe vinkelrett EF fra punkt E til linje BC og vurdere like rettvinklede trekanter DEF og DAC. Fra likheten mellom disse trekantene finner vi: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Derfor er S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2,4. La nå punkt A ligge mellom E og D (fig. 2). I dette tilfellet ED=9 og EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Så S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6. Svar: 2,4; 21.6. Løse oppgaven ved hjelp av komplekse tall. Tilfelle I: punkt E ligger på strålen AD. Siden D er midten av CB, så er CD=3. Og siden CA=4, er det klart at AD=5, dvs. DE=1. La oss ta punktet C som startpunktet, og linjene CA og CB som de reelle og imaginære aksene. Deretter A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Punktene A, E og D er kollineære, da e − 4 3i − e = 4 dvs. e= 12i + 4 5 . I henhold til formel (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Tilfelle II: punkt A ligger mellom punktene D og E , deretter 4 − e 3i − 4 = 4 5 , dvs. e= 36 − 12 i 5 S CBE = | den første måten, er det nødvendig å ha en rekke gjetninger, som kanskje ikke vises umiddelbart, men etter ganske mye resonnement, selv om, hvis studenten er godt forberedt, er løsningen i seg selv dannet umiddelbart den andre måten, vi bruker ferdige formler, og sparer tid på søk, men vi forstår at problemer ikke kan løses ved hjelp av komplekse tall-metoden .
Oppgave 2 (MIOO, 2011):
"Punkt M ligger på segment AB. På en sirkel med diameter AB tas punktet C, fjernt fra punktene A, M og B i avstander på henholdsvis 20, 14 og 15. Finn arealet til trekanten BMC." 20
Løsning: Siden AB er diameteren til en sirkel, så er ∆ ABC rektangulær, ∠ C = 90 ° La oss ta C som nullpunkt plan, deretter A(20i), B(15), M(z). Siden CM=14, er likheten z ´ z = 196 sann, dvs. punktet M ∈ en sirkel med sentrum i punktet C og r=14. La oss finne skjæringspunktene til denne sirkelen med linjen AB: Ligningen til linjen AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Erstatter ´ z med 196 z og multipliserer hele ligningen med (4 i − 3) , får vi en andregradsligning for z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Ved hjelp av formel (28), finner vi arealet ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b)) Hvor c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) Etter å ha fullført tilsvarende transformasjoner, får vi S = 54 ± 12 √ 13 kvm. enheter Svar. 54 ± 12 √ 13 kvm. enheter Hvis du løser problemet geometriske metoder, så er det nødvendig å vurdere to forskjellige tilfeller: 1. punkt M ligger mellom A og D; 2. - mellom D og B. 21

Når du løser et problem ved hjelp av metoden for komplekse tall, oppnås dualiteten til løsningen på grunn av tilstedeværelsen av to skjæringspunkter mellom en sirkel og en linje. Denne omstendigheten lar oss unngå en vanlig feil.
Oppgave 3
Medianene AA 1, BB 1 og CC 1 i trekanten ABC skjærer hverandre i punktet M. Det er kjent at AB=6MC 1. Bevis at trekant ABC er rettvinklet. Løsning: La C være nullpunktet til planet, og tilordne en reell enhet til punktet A. Problemet reduseres deretter til å bevise at b er et rent imaginært tall. AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M er tyngdepunktet, dens koordinat er 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Siden AB=6MC 1, så (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Etter å ha utført transformasjonene får vi b =− ´ b, dvs. b er et rent imaginært tall, dvs. vinkelen C er en rett linje.
Oppgave 4.
22
Som et resultat av en 90° rotasjon rundt punkt O, ble segment AB omgjort til segment A "B". Bevis at medianen OM til trekanten OAB " er vinkelrett på linjen A " B . Løsning: La koordinatene O, A, B være lik henholdsvis 0,1, b. Da vil punktene A " og B " ha koordinatene a" = i og b" = bi, og den midterste M av segmentet AB " vil ha koordinatene m = 1 2 (1 + bi). Vi finner: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i tall er rent imaginært. Basert på perpendikularitetskriteriet (segmentene AB og CD er perpendikulære hvis og bare hvis tallet a − b c − d er rent imaginært), er linjene OM og A ’ B perpendikulære.
Oppgave 5
. 23
Fra bunnen av trekantens høyde slippes perpendikulære på to sider som ikke samsvarer med denne høyden. Bevis at avstanden mellom basene til disse perpendikulærene ikke avhenger av valget av høyden på trekanten. Løsning: La trekant ABC være gitt, og sirkelen som er omskrevet rundt den har ligningen z ´ z = 1. Hvis CD er høyden på trekanten, så er d = 1 2 (a + b + c − ab c) De komplekse koordinatene til basene M og N til perpendikulære slipp fra punkt D til henholdsvis AC og BC er lik m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) Vi finner: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Siden | en | = | b | = 1, deretter | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4. Dette uttrykket er symmetrisk med hensyn til a, b, c, dvs. avstanden MN er ikke avhengig av valg av trekanthøyde.
Konklusjon
24
"Sikkert! Alle problemer kan løses uten komplekse tall. Men faktum er at algebraen for komplekse tall er en annen effektiv metode løse planimetriske problemer. Vi kan bare snakke om å velge en metode som er mer effektiv for en gitt oppgave. Tvister om fordelene med en bestemt metode er meningsløse hvis vi vurderer disse metodene generelt, uten anvendelse på et spesifikt problem» [2]. En stor plass i studiet av metoden er okkupert av et sett med formler. Dette er
største ulempen
metode og samtidig
verdighet
, siden det lar deg løse nok komplekse oppgaver etter ferdige formler med elementære beregninger. I tillegg tror jeg at når man løser planimetriproblemer denne metoden er universell.
Bibliografi
1. Markushevich A.I. Komplekse tall og konforme kartlegginger - M.: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1954. - 52 s. 25
2. Ponarin Ya P. Algebra av komplekse tall i geometriske problemer: En bok for elever i matematiske skoler, lærere og studenter ved pedagogiske universiteter - M.: MTsNMO, 2004. - 160 s. 3. Shvetsov D. Fra Simsons linje til Droz-Farny-teoremet, Kvant. - nr. 6, 2009. – s. 44-48 4. Yaglom I. M. Geometriske transformasjoner. Lineære og sirkulære transformasjoner. - Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1956. – 612 s. 5. Yaglom I.M. Komplekse tall og deres anvendelse i geometri - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 s. 6. Morkovich A.G. og andre, Algebra og begynnelsen av matematisk analyse 10. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner (profilnivå) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 s. 7. Andronov I.K. Matematikk av reelle og komplekse tall - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 s. 26

applikasjon

Klassiske teoremer elementær geometri

Newtons teorem.
I en firkant som er omskrevet rundt en sirkel, er midtpunktene til diagonalene kolineære med sentrum av sirkelen. 27
Bevis. La oss ta sentrum av sirkelen som opprinnelse, og sett dens radius lik én. La oss betegne kontaktpunktene til sidene til denne firkantede trekanten A o B o C o D o med A, B, C, D (i sirkulær rekkefølge) (fig. 4). La M og N være midtpunktene til henholdsvis diagonalene A o C o og B o D o. I henhold til formelen for skjæringspunktene for tangenter til en sirkel z = 2ab a + b, vil punktene A o , B o , C o , D o ha henholdsvis komplekse koordinater: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         hvor a, b, c, d er de komplekse koordinatene til punktene A, B, C, D. Derfor.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m             Beregn.))( b )(a d c )(a d c   Siden, 1 , 1 b b a a   , 1 , 1 d d c c   så er det direkte klart at n m n m  Basert på (6) er punktene O, M, N kollineære.
Pascals teorem

.
Skjæringspunktene til linjer som inneholder motsatte sider av en innskrevet sekskant, ligger på samme linje. 28
Bevis. La sekskanten ABCDEF og P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (Fig. 6) være innskrevet i en sirkel (Fig. 6). La oss ta sentrum av sirkelen som nullpunktet til planet, og dets radius er per lengdeenhet. Da har vi ifølge (17): ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n. de ab e d b a m                Beregn) )(())((ef bc de ab               og lignende .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n           Deretter finner vi: .))(())((de ab c f fa cd e b p n .       Siden tallene f e d c b a er like, henholdsvis f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1, 1, 1, avslører en muntlig sjekk at det funnet uttrykket sammenfaller med dets konjugat, dvs. det er et reelt tall. Dette betyr at punktene M, N, P er kollineære.
Monges teorem.
I en firkant innskrevet i en sirkel går linjene gjennom midtpunktene på sidene og. Hver diagonal er vinkelrett på motsatte sider, og følgelig skjærer den andre diagonalen på ett punkt. Det kalles Monge-punktet til en syklisk firkant. Bevis. De perpendikulære halveringslinjene til sidene av firkanten ABCD skjærer i midten av den omskrevne sirkelen, som vi tar utgangspunkt i. For hvert punkt M(z) i halveringslinjen til [AB] er tallet b a b a z   ) (2 1 rent imaginært. 29
Spesielt for z=0 er det lik) (2) (b a b a    . For hvert punkt N(z) på linjen som går gjennom midten av siden CD vinkelrett på (AB), tallet b a d c z   ) (2 1 må være rent imaginært og omvendt. Men for z=) (2 1 d c b a    er det likt) (2 b a b a   dvs. rent imaginært. Derfor, punkt E med en kompleks koordinat) ( 2 1 d c b a    ligger på den indikerte linjen. Og dette uttrykket er symmetrisk med hensyn til bokstavene a, b, c, d. Derfor inneholder de andre fem likt konstruerte linjene punkt E. 30

Vi vil ta utgangspunkt i sammenhenger, ikke på mekaniske formler.
La oss se på komplekse tall som et komplement til vårt tallsystem, det samme som null, brøk eller negative tall.
Vi visualiserer ideer i grafikk for bedre å forstå essensen, og ikke bare presentere dem i tørr tekst.

Og vår hemmelig våpen: læring ved analogi. Vi kommer til komplekse tall ved å starte med deres forfedre, negative tall. Her er en liten guide for deg:

Foreløpig gir denne tabellen liten mening, men la den være der. Ved slutten av artikkelen vil alt falle på plass.

La oss virkelig forstå hva negative tall er

Negative tall er ikke så enkle. Tenk deg at du er en europeisk matematiker på 1700-tallet. Du har 3 og 4, og du kan skrive 4 – 3 = 1. Det er enkelt.

Men hva er 3-4? Hva betyr dette egentlig? Hvordan kan du ta 4 kyr bort fra 3? Hvordan kan du ha mindre enn ingenting?

Negative tall ble sett på som fullstendig tull, noe som «kastet en skygge over hele teorien om ligninger» (Francis Maceres, 1759). I dag ville det vært fullstendig tull å tenke på negative tall som noe ulogisk og lite nyttig. Spør læreren din om negative tall bryter med grunnleggende matematikk.

Hva skjedde? Vi fant opp et teoretisk tall som hadde nyttige egenskaper. Negative tall kan ikke berøres eller føles, men de er gode til å beskrive visse forhold (som gjeld, for eksempel). Dette er en veldig nyttig idé.

I stedet for å si «jeg skylder deg 30» og lese ordene for å se om jeg er i svart eller i svart, kan jeg bare skrive ned «-30» og vite hva det betyr. Hvis jeg tjener penger og betaler ned gjelden min (-30 + 100 = 70), kan jeg enkelt skrive denne transaksjonen med noen få tegn. Jeg sitter igjen med +70.

Pluss- og minustegnet fanger automatisk retningen – du trenger ikke en hel setning for å beskrive endringene etter hver transaksjon. Matematikk har blitt enklere, mer elegant. Det spilte ikke lenger noen rolle om negative tall var "håndgripelige" - de hadde nyttige egenskaper, og vi brukte dem til de ble godt etablert i hverdagen vår. Hvis noen du kjenner ennå ikke har forstått essensen av negative tall, vil du nå hjelpe dem.

Men la oss ikke bagatellisere menneskelig lidelse: Negative tall var et virkelig skifte i bevisstheten. Selv Euler, geniet som oppdaget tallet e og mye mer, forsto ikke negative tall like godt som vi gjør i dag. De ble sett på som "meningsløse" resultater av beregninger.

Det er rart å forvente at barn rolig forstår ideer som en gang forvirret selv de beste matematikere.

Skrive inn imaginære tall

Det er den samme historien med imaginære tall. Vi kan løse ligninger som dette hele dagen lang:

Svarene vil være 3 og -3. Men la oss forestille oss at en smart fyr la til et minus her:

Vel vel. Dette er den typen spørsmål som får folk til å krype når de ser det for første gang. Vil du beregne kvadratroten av et tall mindre enn null? Dette er utenkelig! (Historisk var det virkelig lignende spørsmål, men det er mer praktisk for meg å forestille meg en vis ansiktsløs fyr, for ikke å sjenere fortidens vitenskapsmenn).

Det ser sprøtt ut, akkurat som negative tall, null og irrasjonelle tall (ikke-repeterende tall) så tilbake på dagen. Det er ingen "ekte" mening med dette spørsmålet, ikke sant?

Nei det er ikke sant. Såkalte "imaginære tall" er like normale som alle andre (eller like unormale): de er et verktøy for å beskrive verden. I samme ånd som vi forestiller oss at -1, 0,3 og 0 "eksisterer", la oss anta at det er et tall i, hvor:

Med andre ord multipliserer du i med seg selv for å få -1. Hva skjer nå?

Vel, først har vi absolutt hodepine. Men ved å spille spillet "La oss late som om jeg eksisterer" gjør vi faktisk matematikk enklere og mer elegant. Nye sammenhenger dukker opp som vi enkelt kan beskrive.

Du vil ikke tro på i, akkurat som de gamle gretten matematikere ikke trodde på eksistensen av -1. Alle nye konsepter som vrir hjernen til et rør er vanskelig å oppfatte, og deres betydning kommer ikke umiddelbart frem, selv for den geniale Euler. Men som negative tall har vist oss, kan merkelige nye ideer være ekstremt nyttige.

Jeg liker ikke selve begrepet "imaginære tall" - det føles som om det ble valgt spesielt for å støte følelsene til i. Tallet i er like normalt som de andre, men kallenavnet "imaginært" har festet seg til det, så vi vil også bruke det.

Visuell forståelse av negative og komplekse tall

Ligningen x^2 = 9 betyr faktisk dette:

Hvilken transformasjon av x, brukt to ganger, gjør 1 til 9?

Det er to svar: "x = 3" og "x = -3". Det vil si at du kan "skalere med" 3 ganger eller "skalere med 3 og snu" (reversere eller ta det gjensidige av resultatet er alle tolkninger av å multiplisere med negativ).

La oss nå tenke på ligningen x^2 = -1, som kan skrives slik:

Hvilken transformasjon av x, brukt to ganger, gjør 1 til -1? Hm.

Vi kan ikke multiplisere to ganger positivt tall fordi resultatet vil være positivt.
Vi kan ikke multiplisere et negativt tall to ganger fordi resultatet igjen blir positivt.

Hva med... rotasjon! Det høres selvfølgelig uvanlig ut, men hva om vi tenker på x som en "90 graders rotasjon", så ved å bruke x to ganger vil vi lage en 180 graders rotasjon med koordinataksen, og 1 blir til -1!

Wow! Og hvis vi tenker oss litt mer om, kan vi gjøre to revolusjoner inn motsatt retning, og gå også fra 1 til -1. Dette er en "negativ" rotasjon eller multiplikasjon med -i:

Hvis vi multipliserer med -i to ganger, får vi -i fra 1 ved den første multiplikasjonen, og på den andre -1 fra -i. Så det er faktisk to kvadratrøtter-1: i og -i.

Dette er ganske kult! Vi har noe sånt som en løsning, men hva betyr det?

i er den "nye imaginære dimensjonen" for å måle tallet
i (eller -i) er hva tallene "blir" når de roteres
Å multiplisere med i roterer 90 grader mot klokken
Multiplisere med -i er en 90 graders rotasjon med klokken.
Å rotere to ganger i begge retninger gir -1: det tar oss tilbake til den "normale" dimensjonen av positive og negative tall (x-aksen).

Alle tall er 2-dimensjonale. Ja, det er vanskelig å akseptere, men det hadde vært like vanskelig for de gamle romerne å akseptere. desimaler eller lang divisjon. (Hvordan har det seg at det er flere tall mellom 1 og 2?). Ser rart ut som alle andre ny måte tenke i matematikk.

Vi spurte "Hvordan gjøre 1 om til -1 i to handlinger?" og fant svaret: roter 1 90 grader to ganger. En ganske merkelig, ny måte å tenke på i matematikk. Men veldig nyttig. (Forresten, denne geometriske tolkningen av komplekse tall dukket opp bare tiår etter oppdagelsen av selve tallet i).

Også, ikke glem at å ta en omdreining mot klokken er positivt resultat– dette er en rent menneskelig konvensjon, og alt kunne vært helt annerledes.

Søk etter sett

La oss gå litt dypere inn i detaljene. Når du multipliserer negative tall (som -1), får du et sett:

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Siden -1 ikke endrer størrelsen på tallet, kun tegnet, får du det samme tallet enten med et "+"-tegn eller med et "-"-tegn. For tallet x får du:

x, -x, x, -x, x, -x...

Dette er en veldig nyttig idé. Tallet "x" kan representere gode og dårlige uker. La oss forestille oss det god uke erstatter den dårlige; Det er en god uke; Hvordan blir den 47. uken?

X betyr at det kommer til å bli en dårlig uke. Se hvordan negative tall "følger tegnet" - vi kan ganske enkelt legge inn (-1)^47 i kalkulatoren i stedet for å telle ("Uke 1 bra, uke 2 dårlig... uke 3 bra..."). Ting som hele tiden veksler kan modelleres perfekt ved å bruke negative tall.

Ok, hva skjer hvis vi fortsetter å multiplisere med i?

Veldig morsomt, la oss forenkle dette litt:

Her er det samme presentert grafisk:

Vi gjentar syklusen hver 4. omgang. Det er definitivt fornuftig, ikke sant? Ethvert barn vil fortelle deg at 4 svinger til venstre er det samme som å ikke snu i det hele tatt. Ta nå en pause fra de imaginære tallene (i, i^2) og se på det totale settet:

X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...

Nøyaktig hvordan negative tall er modellert speilrefleksjon tall, imaginære tall kan modellere alt som roterer mellom to dimensjoner "X" og "Y". Eller noe med en syklisk, sirkulær avhengighet – har du noe i tankene?

Forstå komplekse tall

Det er en detalj å vurdere: kan et tall være både "ekte" og "imaginært"?

Ikke tvil engang. Hvem sa at vi må snu nøyaktig 90 grader? Hvis vi står med en fot på den "ekte" dimensjonen og den andre på den "imaginære", vil det se omtrent slik ut:

Vi er ved 45-gradersmerket, der de virkelige og imaginære delene er de samme, og selve tallet er "1 + i". Det er som en pølse, der det er både ketchup og sennep – hvem har sagt at man må velge det ene eller det andre?

I utgangspunktet kan vi velge hvilken som helst kombinasjon av ekte og imaginære deler og lage en trekant av det hele. Vinkelen blir "rotasjonsvinkelen". Et komplekst tall er et fancy navn på tall som har en reell og en imaginær del. De er skrevet som "a + bi", der:

en - reell del
b - imaginær del

Ikke verst. Men det er bare én igjen siste spørsmål: Hvor "stort" er et komplekst tall? Vi kan ikke måle den virkelige delen eller den imaginære delen separat fordi vi vil gå glipp av det store bildet.

La oss ta et skritt tilbake. Størrelse negativt tall er avstanden fra null:

Dette er en annen måte å finne absolutt verdi. Men hvordan måle begge komponentene ved 90 grader for komplekse tall?

Er det en fugl på himmelen... eller et fly... Pythagoras kommer til unnsetning!

Denne teoremet dukker opp der det er mulig, selv i antall oppfunnet 2000 år etter selve teoremet. Ja, vi lager en trekant, og hypotenusen vil være lik avstanden fra null:

Selv om det ikke er så enkelt å måle et komplekst tall som "bare å utelate tegnet -", har komplekse tall veldig nyttige applikasjoner. La oss se på noen av dem.

Ekte eksempel: Rotasjoner

Vi vil ikke vente på et universitets fysikkkurs for å øve med komplekse tall. Vi skal gjøre dette i dag. Mye kan sies om emnet å multiplisere komplekse tall, men for nå må du forstå det viktigste:

Multiplisere med et komplekst tall roterer med vinkelen

La oss se hvordan det fungerer. Tenk deg at jeg er på en båt og beveger meg på en kurs på 3 enheter mot øst hver 4. enhet mot nord. Jeg vil endre kursen min 45 grader mot klokken. Hva blir det nye kurset mitt?

Noen vil kanskje si «Det er enkelt! Beregn sinus, cosinus, google tangentverdien... og så..." Jeg tror jeg knuste kalkulatoren...

La oss gå over på en enkel måte: vi er på en kurs på 3 + 4i (det spiller ingen rolle hva vinkelen er, vi bryr oss ikke nå) og vi ønsker å snu 45 grader. Vel, 45 grader er 1 + i (ideell diagonal). Så vi kan multiplisere vår rate med dette tallet!

Her er kjernen:

Innledende overskrift: 3 enheter øst, 4 enheter nord = 3 + 4i
Roter mot klokken 45 grader = multipliser med 1 + i

Når vi multipliserer får vi:

Vår nytt landemerke- 1 enhet mot vest (-1 mot øst) og 7 enheter mot nord, du kan tegne koordinatene på grafen og følge dem.

Men! Vi fant svaret på 10 sekunder, uten noen sinus og cosinus. Det var ingen vektorer, ingen matriser, ingen sporing av hvilken kvadrant vi var i. Det var enkel aritmetikk og litt algebra for å regne ut ligningen. Imaginære tall er flotte for rotasjon!

Dessuten er resultatet av en slik beregning veldig nyttig. Vi har kurs (-1, 7) i stedet for vinkel (atan(7/-1) = 98,13, og det er umiddelbart klart at vi er i andre kvadrant. Hvordan, nøyaktig, hadde du tenkt å tegne og følge den angitte vinkelen ? bruke en gradskive for hånden?

Nei, du vil konvertere vinkelen til cosinus og sinus (-0,14 og 0,99), finne det omtrentlige forholdet mellom dem (ca. 1 til 7) og skissere en trekant. Og her vinner utvilsomt komplekse tall - nøyaktig, lynraskt og uten kalkulator!

Hvis du er som meg, vil du finne denne oppdagelsen utrolig. Hvis ikke, er jeg redd for at matematikk ikke begeistrer deg i det hele tatt. Beklager!

Trigonometri er bra, men komplekse tall gjør beregninger mye enklere (som å finne cos(a + b)). Dette er bare en liten kunngjøring; i de følgende artiklene vil jeg gi deg den komplette menyen.

Lyrisk digresjon: noen tenker omtrent slik: «Hei, det er ikke praktisk å ha en nord/øst-bane i stedet for enkel vinkel for passasje av skipet!

Er det sant? Ok, se på din høyre hånd. Hva er vinkelen mellom bunnen av lillefingeren og tuppen pekefinger? Lykke til med beregningsmetoden din.

Eller du kan ganske enkelt svare: "Vel, spissen er X tommer til høyre og Y tommer opp," og du kan gjøre noe med det.

Kommer komplekse tall nærmere?

Vi gikk gjennom mine grunnleggende oppdagelser innen komplekse tall som en tornado. Se på den aller første illustrasjonen, den skal nå bli tydeligere.

Det er så mye mer å oppdage i disse vakre, fantastiske tallene, men hjernen min er allerede sliten. Målet mitt var enkelt:

Overbeviser deg om at komplekse tall bare ble sett på som "gale", men faktisk kan de være veldig nyttige (akkurat som negative tall)
Vis hvordan komplekse tall kan forenkle noen problemer som rotasjon.

Hvis jeg virker overdrevent bekymret for dette emnet, er det en grunn til det. Innbilte tall har vært en besettelse av meg i årevis - mangelen på forståelse irriterte meg.

Men å tenne et lys er bedre enn å vasse gjennom stummende mørke: dette er mine tanker, og jeg er sikker på at lyset vil lyse i hodet til leserne mine.

Epilog: Men de er fortsatt ganske rare!

Jeg vet at de fortsatt ser rare ut for meg også. Jeg prøver å tenke som den første personen som oppdaget null tanke.

Null er en så merkelig idé, "noe" representerer "ingenting", og dette kunne ikke forstås på noen måte i Antikkens Roma. Det er det samme med komplekse tall – det er en ny måte å tenke på. Men både null og komplekse tall forenkler matematikken i stor grad. Hvis vi aldri hadde introdusert rare ting som nye tallsystemer, ville vi fortsatt telle alt på fingrene våre.

Jeg gjentar denne analogien fordi det er så lett å begynne å tenke at komplekse tall er «ikke normale». La oss være åpne for innovasjon: I fremtiden vil folk bare spøke om hvordan noen frem til det 21. århundre ikke trodde på komplekse tall.

23. oktober 2015

MULIGHET FOR Å BRUKE KOMPLEKSE NUMMER

PÅ MATEMATIKKURSET PÅ ALLMENUDANNELSE SKOLEN

Vitenskapelig rådgiver:

Kommunal utdanningsinstitusjon

Pervomaiskaya ungdomsskole

Med. Kichmengsky by

St. Zarechnaya 38

Det presenterte arbeidet er viet til studiet av komplekse tall. Relevans: løse mange problemer innen fysikk og teknologi fører til andregradsligninger med negativ diskriminant. Disse ligningene har ingen løsning i regionen reelle tall. Men løsningen på mange slike problemer har en veldig bestemt fysisk betydning.

Praktisk betydning: komplekse tall og funksjoner av komplekse variabler brukes i mange spørsmål om vitenskap og teknologi de kan brukes i skolen for å løse andregradsligninger.

Objektområde: matematikk. Gjenstand for forskning: algebraiske begreper og handlinger. Gjenstand for forskning- komplekse tall. Problem: komplekse tall studeres ikke i et matematikkkurs på videregående skole, selv om de kan brukes til å løse andregradsligninger. Muligheten for å introdusere komplekse tall i Unified State Exam-oppgaver i fremtiden. Hypotese: Du kan bruke komplekse tall for å løse andregradsligninger på ungdomsskolen. Mål:å studere muligheten for å bruke komplekse tall når man studerer matematikk på 10. trinn på en ungdomsskole. Oppgaver: 1. Studer teorien om komplekse tall 2. Vurder muligheten for å bruke komplekse tall i et matematikkkurs i 10. klasse. 3. Utvikle og test oppgaver med komplekse tall.

For løsninger algebraiske ligninger Det er ikke nok reelle tall. Derfor er det naturlig å tilstrebe å gjøre disse ligningene løsbare, noe som igjen fører til en utvidelse av begrepet tall..gif" width="10" height="65 src=">

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

du trenger bare å gå med på å handle på slike uttrykk i henhold til reglene for vanlig algebra og anta det

I 1572 ble det utgitt en bok av den italienske algebraisten R. Bombelli, der de første reglene for aritmetiske operasjoner på slike tall ble etablert, frem til utdraget fra dem kubikkrøtter. Navnet "imaginære tall" ble introdusert i 1637. fransk matematiker og filosof R. Descartes, og i 1777 en av de største matematikere VIIIårhundre X..gif" width="58" height="19"> som et eksempel på bruk av komplekse tall når man studerer matematikk i 10. klasse. Derfor. Tallet x, hvis kvadrat er lik –1, kalles den imaginære enheten og er betegnet i Altså, , hvorfra ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">8. klasse. " href="/text/category/8_klass/" rel ="bokmerke">8. klasse i algebra.- M.: Education, 1994.-P.134-139.

2. encyklopedisk ordbok ung matematiker / komp. E-68. - M.: Pedagogikk, 19с