Vinkel mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.
La to linjer gis i rommet:
Åpenbart kan vinkelen φ mellom rette linjer tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og . Siden , da bruker formelen for cosinus av vinkelen mellom vektorer vi får
Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til to rette linjer tilsvarer betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til retningsvektorene deres og:
To rette parallell hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, dvs. l 1 parallell l 2 hvis og bare hvis parallell 
.
To rette vinkelrett hvis og bare hvis summen av produktene til de tilsvarende koeffisientene er lik null: .
U mål mellom linje og fly
La det være rett d- ikke vinkelrett på θ-planet;
d′− projeksjon av en linje d til θ-planet;
Den minste vinkelen mellom rette linjer d Og d"Vi ringer vinkel mellom en rett linje og et plan.
La oss betegne det som φ=( d,θ)
Hvis d⊥θ, deretter ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− rektangulært koordinatsystem.
Planligning:
θ: Øks+Av+Cz+D=0
Vi antar at den rette linjen er definert av et punkt og en retningsvektor: d[M 0,s→]
Vektor n→(EN,B,C)⊥θ
Så gjenstår det å finne ut vinkelen mellom vektorene n→ og s→, la oss betegne det som γ=( n→,s→).
Hvis vinkelen γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Hvis vinkelen er γ>π/2, så er den ønskede vinkelen φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Deretter, vinkel mellom rett linje og plan kan beregnes ved hjelp av formelen:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √EN 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23
Spørsmål 29. Konseptet med kvadratisk form. Tegnbestemthet av kvadratiske former.
Kvadratisk form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle variabler x 1, x 2, …, x n kalles summen av formen 
, (1)
Hvor en ij – noen tall kalt koeffisienter. Uten tap av generalitet kan vi anta det en ij = en ji.
Den kvadratiske formen kalles gyldig, Hvis en ij
Î GR. Matrise av kvadratisk form kalles en matrise som består av koeffisientene. Den kvadratiske formen (1) tilsvarer den eneste symmetriske matrisen 
Det er A T = A. Følgelig kan den kvadratiske formen (1) skrives i matriseform j ( X) = x T Ah, Hvor x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Og omvendt tilsvarer hver symmetrisk matrise (2) en unik kvadratisk form opp til notasjonen av variabler.
Rangering av kvadratisk form kalles rangeringen av matrisen. Den kvadratiske formen kalles ikke-degenerert, hvis matrisen er ikke-entall EN. (husk at matrisen EN kalles ikke-degenerert hvis determinanten ikke er lik null). Ellers er den kvadratiske formen degenerert.
positiv bestemt(eller strengt tatt positiv) hvis
j ( X) > 0 , for alle X = (X 1 , X 2 , …, x n), unntatt X = (0, 0, …, 0).
Matrise EN positiv bestemt kvadratisk form j ( X) kalles også positiv bestemt. Derfor tilsvarer en positiv bestemt kvadratisk form en unik positiv bestemt matrise og omvendt.
Den kvadratiske formen (1) kalles negativt definert(eller strengt tatt negativ) hvis
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), unntatt X = (0, 0, …, 0).
På samme måte som ovenfor kalles en matrise med negativ bestemt kvadratisk form også negativ bestemt.
Følgelig vil den positive (negative) bestemte kvadratiske formen j ( X) når minimum (maksimum) verdi j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Merk at de fleste kvadratiske former ikke er tegnbestemte, det vil si at de verken er positive eller negative. Slike kvadratiske former blir til 0 ikke bare ved opprinnelsen til koordinatsystemet, men også på andre punkter.
Når n> 2, kreves det spesielle kriterier for å kontrollere fortegnet på en kvadratisk form. La oss se på dem.
Større mindreårige kvadratisk form kalles mindreårige:
det vil si at disse er mindreårige i størrelsesorden 1, 2, ..., n matriser EN, plassert i øvre venstre hjørne, sammenfaller den siste av dem med determinanten til matrisen EN.
Positivt bestemthetskriterium (Sylvester-kriterium)
X) = x T Ah var positiv definitivt, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle de store mindreårige i matrisen EN var positive, det vil si: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negativt sikkerhetskriterium For at den kvadratiske formen j ( X) = x T Ah var negativ bestemt, er det nødvendig og tilstrekkelig at de viktigste mindreårige av partall er positive, og av oddetall - negative, dvs.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
EN. La to rette linjer gis Disse rette linjene, som angitt i kapittel 1, danner ulike positive og negative vinkler, som enten kan være spisse eller stumpe. Når vi kjenner en av disse vinklene, kan vi lett finne en annen.
For alle disse vinklene er den numeriske verdien av tangenten den samme, forskjellen kan bare være i tegnet
Ligninger av linjer. Tallene er projeksjonene av retningsvektorene til den første og andre rette linjen. Vinkelen mellom disse vektorene er lik en av vinklene som dannes av rette linjer. Derfor kommer problemet ned til å bestemme vinkelen mellom vektorene vi får
For enkelhets skyld kan vi bli enige om at vinkelen mellom to rette linjer forstås som en spiss positiv vinkel (som f.eks. i fig. 53).
Da vil tangenten til denne vinkelen alltid være positiv. Derfor, hvis det er et minustegn på høyre side av formel (1), må vi forkaste det, dvs. lagre bare den absolutte verdien.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom rette linjer
I henhold til formel (1) har vi
Med. Hvis det er indikert hvilken av sidene av vinkelen som er dens begynnelse og hvilken som er slutten, kan vi, alltid telle retningen til vinkelen mot klokken, trekke ut noe mer fra formel (1). Som det lett kan ses av fig. 53, vil tegnet oppnådd på høyre side av formel (1) indikere hva slags vinkel - spiss eller stump - den andre rette linjen danner med den første.
(Faktisk, fra fig. 53 ser vi at vinkelen mellom den første og andre retningsvektoren enten er lik den ønskede vinkelen mellom de rette linjene, eller skiller seg fra den med ±180°.)
d. Hvis linjene er parallelle, er retningsvektorene deres parallelle.
Dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallelliteten til to linjer.
Eksempel. Direkte
er parallelle fordi
e. Hvis linjene er vinkelrette, er retningsvektorene deres også vinkelrette. Ved å anvende betingelsen for perpendikularitet til to vektorer, får vi betingelsen for perpendikularitet til to rette linjer, nemlig
Eksempel. Direkte
er vinkelrett på grunn av det faktum at
I forbindelse med betingelsene for parallellitet og perpendikularitet vil vi løse følgende to problemer.
f. Tegn en linje gjennom et punkt parallelt med den gitte linjen
Løsningen utføres slik. Siden den ønskede linjen er parallell med denne, kan vi for retningsvektoren ta den samme som den til den gitte linjen, dvs. en vektor med projeksjoner A og B. Og så vil ligningen til den ønskede linjen bli skrevet i skjemaet (§ 1)
Eksempel. Ligning av en linje som går gjennom punktet (1; 3) parallelt med linjen
det blir neste!
g. Tegn en linje gjennom et punkt vinkelrett på den gitte linjen
Her er det ikke lenger egnet å ta vektoren med projeksjoner A og som ledevektor, men det er nødvendig å ta vektoren vinkelrett på denne. Projeksjonene til denne vektoren må derfor velges i henhold til betingelsen for perpendikularitet til begge vektorer, dvs. i henhold til tilstanden
Denne betingelsen kan oppfylles på utallige måter, siden her er en ligning med to ukjente Men den enkleste måten er å ta eller Da vil ligningen til ønsket linje skrives i formen
Eksempel. Ligning av en linje som går gjennom punktet (-7; 2) i en vinkelrett linje
det vil være følgende (i henhold til den andre formelen)!
h. I tilfellet når linjene er gitt ved formlikninger
Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som
To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2.
Teorem. Linjene Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A 1 = λA, B 1 = λB er proporsjonale. Hvis også C 1 = λC, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt
Vinkelrett på en gitt linje
Definisjon. En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
.
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av en perpendikulær droppet fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
(1)
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse likningssystemet:
Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Løsning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen: 
fra hvor b = 17. Totalt:. 
Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.
Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkelen mellom to rette linjer. Betingelsen for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer
1. Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt EN(x 1 , y 1) i en gitt retning, bestemt av helningen k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Denne ligningen definerer en blyant av linjer som går gjennom et punkt EN(x 1 , y 1), som kalles strålesenteret.
2. Ligning av en linje som går gjennom to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet slik:
Vinkelkoeffisienten til en rett linje som går gjennom to gitte punkter, bestemmes av formelen
3. Vinkel mellom rette linjer EN Og B er vinkelen som den første rette linjen må roteres med EN rundt skjæringspunktet for disse linjene mot klokken til det faller sammen med den andre linjen B. Hvis to rette linjer er gitt ved ligninger med en helning
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
da bestemmes vinkelen mellom dem av formelen
Det skal bemerkes at i telleren til brøken trekkes helningen til den første linjen fra helningen til den andre linjen.
Hvis likningene til en linje er gitt i generell form
EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
vinkelen mellom dem bestemmes av formelen
4. Betingelser for parallellitet av to linjer:
a) Hvis linjene er gitt av ligninger (4) med en vinkelkoeffisient, så er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet likheten mellom vinkelkoeffisientene deres:
k 1 = k 2 . (8)
b) For det tilfellet når linjene er gitt ved likninger i generell form (6), er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for deres parallellitet at koeffisientene for de tilsvarende strømkoordinatene i deres likninger er proporsjonale, dvs.
5. Betingelser for vinkelrett på to rette linjer:
a) I tilfellet når linjene er gitt av ligninger (4) med en vinkelkoeffisient, er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for deres perpendikularitet at deres vinkelkoeffisienter er inverse i størrelse og motsatt i fortegn, dvs.
Denne betingelsen kan også skrives i skjemaet
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Hvis linjelikningene er gitt i generell form (6), så er betingelsen for deres perpendikularitet (nødvendig og tilstrekkelig) å tilfredsstille likheten
EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer finner man ved å løse ligningssystemet (6). Linjer (6) krysser hvis og bare hvis
1. Skriv likningene til linjer som går gjennom punktet M, hvorav den ene er parallell og den andre vinkelrett på den gitte linjen l.
Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er tøft, som om han leste opp en setning for seg selv =) Avslapping vil imidlertid hjelpe senere, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, jeg håper at jeg ved slutten av artikkelen vil opprettholde et muntert humør.
Den relative plasseringen av to rette linjer
Slik er det når publikum synger med i kor. To rette linjer kan:
1) match;
2) være parallell: ;
3) eller kryss på et enkelt punkt: .
Hjelp til Dummies : Husk det matematiske krysstegnet, det vil dukke opp veldig ofte. Notasjonen betyr at linjen skjærer linjen ved punkt .
Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?
La oss starte med det første tilfellet:
To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et tall «lambda» slik at likestillingene tilfredsstilles
La oss vurdere de rette linjene og lage tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.
Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen 
multipliser med –1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen 
kutt med 2, får du samme ligning:.
Det andre tilfellet, når linjene er parallelle:
To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene til variablene er proporsjonale: 
, Men.
Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene: 
Det er imidlertid ganske åpenbart at.
Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:
To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det INGEN slik verdi av «lambda» er at likestillingene er tilfredsstilt 
Så for rette linjer vil vi lage et system: 
Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene til variablene ikke proporsjonale.
Konklusjon: linjer krysser hverandre
I praktiske problemer kan du bruke løsningsskjemaet som nettopp er omtalt. Det minner forresten veldig om algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi så på i klassen Konseptet med lineær (u)avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer. Men det er en mer sivilisert innpakning:
Eksempel 1
Finn ut den relative plasseringen av linjene: 
Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:
a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: 
.
, som betyr at vektorene ikke er kollineære og linjene krysser hverandre.
I tilfelle setter jeg en stein med skilt ved veikrysset:
Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei den udødelige =)
b) Finn retningsvektorene til linjene: 
Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller sammenfallende. Det er ikke nødvendig å telle determinanten her.
Det er åpenbart at koeffisientene til de ukjente er proporsjonale, og .
La oss finne ut om likheten er sann: 
Dermed,
c) Finn retningsvektorene til linjene: 
La oss beregne determinanten som består av koordinatene til disse vektorene: 
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.
Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: 
.
La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:
Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (ethvert tall tilfredsstiller den generelt).
Dermed faller linjene sammen.
Svar:
Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse problemet diskutert verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ikke noe poeng i å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en annen viktig murstein i det geometriske fundamentet:
Hvordan konstruere en linje parallelt med en gitt?
For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer Nattergalen røveren hardt.
Eksempel 2
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.
Løsning: La oss betegne den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om henne? Den rette linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, er det åpenbart at retningsvektoren til den rette linjen "tse" også er egnet for å konstruere den rette linjen "de".
Vi tar retningsvektoren ut av ligningen:
Svar:
Eksempelgeometrien ser enkel ut: 
Analytisk testing består av følgende trinn:
1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.
I de fleste tilfeller kan analytisk testing enkelt utføres muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt bestemme parallelliteten til linjene uten å tegne.
Eksempler på selvstendige løsninger i dag vil være kreative. For du vil fortsatt måtte konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if
Det er en rasjonell og ikke så rasjonell måte å løse det på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.
Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er veldig kjent for deg fra skolens læreplan:
Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?
Hvis rett 
skjærer punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger 
Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.
Værsågod geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.
Eksempel 4
Finn skjæringspunktet mellom linjer
Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.
Den grafiske metoden er å ganske enkelt tegne disse linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er poenget vårt: . For å sjekke, bør du erstatte dens koordinater i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt en løsning på systemet. I hovedsak så vi på en grafisk løsning systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.
Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en korrekt og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen rette linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.
Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av en analytisk metode. La oss løse systemet: 
For å løse systemet ble metoden med term-for-term addisjon av ligninger brukt. For å utvikle relevante ferdigheter, ta en leksjon Hvordan løser man et ligningssystem?
Svar:
Kontrollen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.
Eksempel 5
Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
2) Skriv ned ligningen til den rette linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.
Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.
Full løsning og svar på slutten av leksjonen:
Ikke engang et par sko var utslitt før vi kom til den andre delen av leksjonen:
Vinkelrette linjer. Avstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom rette linjer
La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med denne, og nå skal hytta på kyllingbein snu 90 grader:
Hvordan konstruere en linje vinkelrett på en gitt?
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning vinkelrett på linjen som går gjennom punktet.
Løsning: Ved tilstand er det kjent at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.
La oss komponere ligningen for en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor:
Svar: 
La oss utvide den geometriske skissen:
Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.
Analytisk verifisering av løsningen:
1) Vi tar ut retningsvektorene fra ligningene 
og med hjelp skalært produkt av vektorer vi kommer til den konklusjon at linjene faktisk er vinkelrette: .
Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen 
.
Testen er igjen enkel å utføre muntlig.
Eksempel 7
Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer hvis ligningen er kjent 
og periode.
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Problemet har flere handlinger, så det er praktisk å formulere løsningen punkt for punkt.
Vår spennende reise fortsetter:
Avstand fra punkt til linje
Foran oss er en rett stripe av elven og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.
Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".
Avstand fra punkt til linje 
uttrykt med formelen
Eksempel 8
Finn avstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:
Svar: 
La oss lage tegningen: 
Den funnet avstanden fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du tegner en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.
La oss vurdere en annen oppgave basert på samme tegning:
Oppgaven er å finne koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til den rette linjen 
. Jeg foreslår at du utfører trinnene selv, men jeg vil skissere en løsningsalgoritme med mellomresultater:
1) Finn en linje som er vinkelrett på linjen.
2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: 
.
Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.
3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midtpunktet til et segment Vi finner .
Det vil være lurt å sjekke at avstanden også er 2,2 enheter.
Her kan det oppstå vanskeligheter med beregninger, men en mikrokalkulator er til stor hjelp i tårnet, slik at du kan regne ut vanlige brøker. Jeg har gitt deg råd mange ganger og vil anbefale deg igjen.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Eksempel 9
Finn avstanden mellom to parallelle linjer
Dette er et annet eksempel for deg å bestemme selv. Jeg skal gi deg et lite hint: det er uendelig mange måter å løse dette på. Debriefing på slutten av leksjonen, men det er bedre å prøve å gjette selv, jeg tror oppfinnsomheten din var godt utviklet.
Vinkel mellom to rette linjer
Hvert hjørne er en jamb: 
I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt for å være den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og hans "grønne" nabo eller motsatt orientert"bringebær" hjørne.
Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.
Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen som vinkelen "rulles" i grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor fortalte jeg deg dette? Det ser ut til at vi kan klare oss med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at formlene som vi finner vinkler med lett kan resultere i et negativt resultat, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, sørg for å angi orienteringen med en pil (med klokken).
Hvordan finne vinkelen mellom to rette linjer? Det er to arbeidsformler:
Eksempel 10
Finn vinkelen mellom linjene
Løsning Og Metode én
La oss vurdere to rette linjer definert av ligninger i generell form: 
Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert Vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen: 
La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer av rette linjer:
Hvis , så blir nevneren til formelen null, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at rette linjer ikke er vinkelrett i formuleringen.
Basert på ovenstående er det praktisk å formalisere løsningen i to trinn:
1) La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.
2) Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:
Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi rartheten til arctangensen (se. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):
Svar: 
I svaret ditt angir vi den nøyaktige verdien, samt en omtrentlig verdi (gjerne i både grader og radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.
Vel, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustrasjon: 
Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tallet en rett linje og "avskruingen" av vinkelen begynte nøyaktig med den.
Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen 
, og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte 
.